problem
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|---|---|---|
设 $n$ 是使得 $149^n-2^n$ 可被 $3^3\cdot5^5\cdot7^7$ 整除的最小正整数。求 $n$ 的正整数约数的个数。 | 270 | \boxed{270} |
Se dan dos mil puntos en un círculo. Etiqueta uno de los puntos con el número 1. Desde este punto, cuenta 2 puntos en la dirección de las agujas del reloj y etiqueta este punto con el número 2. Desde el punto etiquetado con el número 2, cuenta 3 puntos en la dirección de las agujas del reloj y etiqueta este punto con el número 3. (Ver figura.) Continúa este proceso hasta que se hayan utilizado todas las etiquetas $1,2,3\dots,1993\,$. Algunos de los puntos en el círculo tendrán más de una etiqueta y algunos puntos no tendrán ninguna etiqueta. ¿Cuál es el entero más pequeño que etiqueta el mismo punto que 1993? | 118 | \boxed{118} |
设 $a$ 和 $b$ 是满足 $\frac{ab+1}{a+b} < \frac{3}{2}$ 的正整数。$\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$ 的最大可能值是 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。求 $p+q$。 | 36 | \boxed{36} |
For $\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ and each of its nonempty subsets a unique alternating sum is defined as follows. Arrange the numbers in the subset in decreasing order and then, beginning with the largest, alternately add and subtract succesive numbers. For example, the alternating sum for $\{1, 2, 3, 6,9\}$ is $9-6+3-2+1=5$ and for $\{5\}$ it is simply $5$ . Find the sum of all such alternating sums for $n=7$ . | 448 | \boxed{448} |
In triangle $ABC$ , $AB=13$ , $BC=15$ and $CA=17$ . Point $D$ is on $\overline{AB}$ , $E$ is on $\overline{BC}$ , and $F$ is on $\overline{CA}$ . Let $AD=p\cdot AB$ , $BE=q\cdot BC$ , and $CF=r\cdot CA$ , where $p$ , $q$ , and $r$ are positive and satisfy $p+q+r=2/3$ and $p^2+q^2+r^2=2/5$ . The ratio of the area of triangle $DEF$ to the area of triangle $ABC$ can be written in the form $m/n$ , where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n$ . | 61 | \boxed{61} |
Sea el conjunto $S = \{P_1, P_2, \dots, P_{12}\}$ que consiste en los doce vértices de un $12$-gono regular. Un subconjunto $Q$ de $S$ se llama comunal si existe un círculo tal que todos los puntos de $Q$ están dentro del círculo y todos los puntos de $S$ que no están en $Q$ están fuera del círculo. ¿Cuántos subconjuntos comunales hay? (Nota que el conjunto vacío es un subconjunto comunal.) | 134 | \boxed{134} |
正实数 $b \not= 1$ 和 $n$ 满足以下方程：
\[
\sqrt{\log_b n} = \log_b \sqrt{n} \qquad \text{和} \qquad b \cdot \log_b n = \log_b (bn).
\]
$n$ 的值是 $\frac{j}{k},$ 其中 $j$ 和 $k$ 是互质的正整数。求 $j+k.$ | 881 | \boxed{881} |
Una caja rectangular de $m\times n\times p$ tiene la mitad del volumen de una caja rectangular de $(m + 2)\times(n + 2)\times(p + 2)$, donde $m, n,$ y $p$ son enteros, y $m\le n\le p.$ ¿Cuál es el valor máximo posible de $p$? | 130 | \boxed{130} |
设 $S$ 是 $\{1,2,3,\ldots,1989\}$ 的一个子集，使得 $S$ 中的任意两个元素之差不为 $4$ 或 $7$。问 $S$ 最多可以有多少个元素？ | 905 | \boxed{905} |
求方程 $20m + 12n = 2012$ 的正整数解的有序对 $(m, n)$ 的个数。 | 34 | \boxed{34} |
Find the number of $7$ -tuples of positive integers $(a,b,c,d,e,f,g)$ that satisfy the following system of equations: \[abc=70\] \[cde=71\] \[efg=72.\] | 96 | \boxed{96} |
Una moneda que muestra cara con probabilidad $p > 0$ y cruz con probabilidad $1 - p > 0$ independientemente en cada lanzamiento se lanza ocho veces. Suponga que la probabilidad de obtener tres caras y cinco cruces es igual a $\frac {1}{25}$ de la probabilidad de obtener cinco caras y tres cruces. Sea $p = \frac {m}{n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentre $m + n$. | 11 | \boxed{11} |
En el cuadrado $ABCD$, los puntos $E, F, G$ y $H$ se encuentran en los lados $\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}$ y $\overline{DA}$, respectivamente, de modo que $\overline{EG} \perp \overline{FH}$ y $EG = FH = 34$. Los segmentos $\overline{EG}$ y $\overline{FH}$ se intersectan en un punto $P$, y las áreas de los cuadriláteros $AEPH, BFPE, CGPF$ y $DHPG$ están en la proporción $269:275:405:411$. Encuentra el área del cuadrado $ABCD$. [asy] pair A = (0,sqrt(850)); pair B = (0,0); pair C = (sqrt(850),0); pair D = (sqrt(850),sqrt(850)); draw(A--B--C--D--cycle); dotfactor = 3; dot("$A$",A,dir(135)); dot("$B$",B,dir(215)); dot("$C$",C,dir(305)); dot("$D$",D,dir(45)); pair H = ((2sqrt(850)-sqrt(306))/6,sqrt(850)); pair F = ((2sqrt(850)+sqrt(306)+7)/6,0); dot("$H$",H,dir(90)); dot("$F$",F,dir(270)); draw(H--F); pair E = (0,(sqrt[850]-6)/2); pair G=( sqrt[850],(( sqrt[100]+ sqrt[100])/2) );dot ("$E$",E , dir (180) );dot ("$G$",G , dir ( 0 ) );draw(E -- G ) ;pair P= extension(H,F,E,G) ;dot ("$P $" , P , dir (60)) ;label ("w" intersectionpoint(A -- P,E -- H )) ;label("x",intersectionpoint(B -- P,E -- F )) ;label("y",intersectionpoint(C -- P,G -- F )) ;label("z",intersectionpoint(D -- P,G - - H))[/asy] | 850 | \boxed{850} |
数字 $n$ 可以用 $14$ 进制表示为 $\underline{a}\text{ }\underline{b}\text{ }\underline{c}$ ，可以用 $15$ 进制表示为 $\underline{a}\text{ }\underline{c}\text{ }\underline{b}$ ，并且可以用 $6$ 进制表示为 $\underline{a}\text{ }\underline{c}\text{} \underline {a} \text{} \ underline { c } \ text {} $, 其中 $a > 0$. 求数字 $n$ 的十进制表示。 | 925 | \boxed{925} |
Dado un círculo de radio $\sqrt{13}$, sea $A$ un punto a una distancia de $4 + \sqrt{13}$ del centro $O$ del círculo. Sea $B$ el punto en el círculo más cercano al punto $A$. Una línea que pasa por el punto $A$ intersecta el círculo en los puntos $K$ y $L$. El área máxima posible para $\triangle BKL$ se puede escribir en la forma $\frac{a - b\sqrt{c}}{d}$, donde $a$, $b$, $c$, y $d$ son enteros positivos, $a$ y $d$ son primos relativos, y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $a+b+c+d$. | 146 | \boxed{146} |
Considere todos los subconjuntos de 1000 elementos del conjunto $\{ 1, 2, 3, ... , 2015 \}$. De cada uno de estos subconjuntos elija el elemento menor. La media aritmética de todos estos elementos menores es $\frac{p}{q}$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentre $p + q$. | 431 | \boxed{431} |
设 $\triangle{PQR}$ 是一个直角三角形，$PQ = 90$ ，$PR = 120$ ，$QR = 150$ 。设 $C_{1}$ 为内切圆。构造 $\overline{ST}$ ，使得 $S$ 在 $\overline{PR}$ 上，且 $T$ 在 $\overline{QR}$ 上，并且使得 $\overline{ST}$ 垂直于 $\overline{PR}$ 且与 $C_{1}$ 相切。构造 $\overline{UV}$ ，使得 $U$ 在 $\overline{PQ}$ 上，且 $V$ 在 $\overline{QR}$ 上，并且使得 $\overline{UV}$ 垂直于 $\overline{PQ}$ 且与 $C_{1} 相切。设 $C_{2} 为 \triangle {RST} 的内切圆， C_{3} 为 \triangle {QUV} 的内切圆。则 $C_{2} 和 C_{3} 的圆心之间的距离可以表示为 \sqrt {10n}} 。求 n 是多少？ | 725 | \boxed{725} |
Antes de comenzar a pintar, Bill tenía $130$ onzas de pintura azul, $164$ onzas de pintura roja y $188$ onzas de pintura blanca. Bill pintó cuatro franjas del mismo tamaño en una pared, haciendo una franja azul, una franja roja, una franja blanca y una franja rosa. El rosa es una mezcla de rojo y blanco, no necesariamente en cantidades iguales. Cuando Bill terminó, le quedaron cantidades iguales de pintura azul, roja y blanca. Encuentra el número total de onzas de pintura que le quedaron a Bill. | 114 | \boxed{114} |
Encuentra la suma de los valores de $x$ tales que $\cos^3 3x+ \cos^3 5x = 8 \cos^3 4x \cos^3 x,$ donde $x$ se mide en grados y $100< x< 200.$ | 906 | \boxed{906} |
三只聪明的猴子分一堆香蕉。第一只猴子从这堆香蕉中拿走一些，自己留了其中的四分之三，并将剩下的平均分给另外两只。第二只猴子从这堆香蕉中拿走一些，自己留了其中的四分之一，并将剩下的平均分给另外两只。第三只猴子拿走了剩下的所有香蕉，自己留了其中的十二分之一，并将剩下的平均分给另外两只。已知每次香蕉被平分时，每只猴子得到的是整数根，而在过程结束时，第一、第二和第三只猴子的香蕉数量比为 $3: 2: 1,$ 那么最少总共有多少根香蕉？ | 408 | \boxed{408} |
Hay enteros no nulos $a$, $b$, $r$ y $s$ tales que el número complejo $r+si$ es una raíz del polinomio $P(x)={x}^{3}-a{x}^{2}+bx-65$. Para cada posible combinación de $a$ y $b$, sea ${p}_{a,b}$ la suma de las raíces de $P(x)$. Encuentra la suma de los ${p}_{a,b}$ para todas las combinaciones posibles de $a$ y $b$. | 80 | \boxed{80} |
Let $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ be distinct integers from $1$ to $9.$ The minimum possible positive value of \[\dfrac{a \cdot b \cdot c - d \cdot e \cdot f}{g \cdot h \cdot i}\] can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n.$ | 289 | \boxed{289} |
假设 $y = \frac34x$ 并且 $x^y = y^x$ 。数量 $x + y$ 可以表示为有理数 $\frac {r}{s}$ ，其中 $r$ 和 $s$ 是互质的正整数。求 $r + s$ 。 | 529 | \boxed{529} |
Find the number of cubic polynomials $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,$ where $a, b,$ and $c$ are integers in $\{-20,-19,-18,\ldots,18,19,20\},$ such that there is a unique integer $m \not= 2$ with $p(m) = p(2).$ | 738 | \boxed{738} |
Suppose that the sum of the squares of two complex numbers $x$ and $y$ is $7$ and the sum of the cubes is $10$ . What is the largest real value that $x + y$ can have? | 4 | \boxed{4} |
Let $N$ be the number of complex numbers $z$ with the properties that $|z|=1$ and $z^{6!}-z^{5!}$ is a real number. Find the remainder when $N$ is divided by $1000$ . | 440 | \boxed{440} |
Cuando un triángulo rectángulo se rota alrededor de una pierna, el volumen del cono producido es $800\pi \;\textrm{cm}^3$. Cuando el triángulo se rota alrededor de la otra pierna, el volumen del cono producido es $1920\pi \;\textrm{cm}^3$. ¿Cuál es la longitud (en cm) de la hipotenusa del triángulo? | 26 | \boxed{26} |
The function $f$ defined by $f(x)= \frac{ax+b}{cx+d}$ , where $a$ , $b$ , $c$ and $d$ are nonzero real numbers, has the properties $f(19)=19$ , $f(97)=97$ and $f(f(x))=x$ for all values except $\frac{-d}{c}$ . Find the unique number that is not in the range of $f$ . | 58 | \boxed{58} |
Compute $\sqrt{(31)(30)(29)(28)+1}$ . | 869 | \boxed{869} |
三角形 $AB_0C_0$ 的边长为 $AB_0 = 12$, $B_0C_0 = 17$, 和 $C_0A = 25$。对于每一个正整数 $n$，点 $B_n$ 和 $C_n$ 分别位于 $\overline{AB_{n-1}}$ 和 $\overline{AC_{n-1}}$ 上，从而形成三个相似的三角形 $\triangle AB_nC_n \sim \triangle B_{n-1}C_nC_{n-1} \sim \triangle AB_{n-1}C_{n-1}$。所有三角形 $B_{n-1}C_nB_n$ 的并集的面积对于所有满足条件的$n\geq 1$可以表示为 $\tfrac pq$, 其中$p$和$q$是互质的正整数。求$q$. | 961 | \boxed{961} |
一组职员被分配了整理 $1775$ 份文件的任务。每个职员以每小时 $30$ 份文件的恒定速度进行整理。在第一个小时结束时，一些职员被重新分配到其他任务；在第二个小时结束时，剩下的一些职员也被重新分配到其他任务，在第三个小时结束时发生了类似的重新分配。这组人在 $3$ 小时 $10$ 分钟内完成了整理工作。求在前一个半小时内整理的文件数量。 | 945 | \boxed{945} |
整数序列 $a_1, a_2, a_3, \ldots$ 被选择使得对于每个 $n \ge 3$ ，都有 $a_n = a_{n - 1} - a_{n - 2}$ 。如果前 $1492$ 项的和是 $1985$ ，且前 $1985$ 项的和是 $1492$ ，那么这个序列的前 $2001$ 项的和是多少？ | 986 | \boxed{986} |
一个 $m\times n\times p$ 长方体的体积是一个 $(m + 2)\times(n + 2)\times(p + 2)$ 长方体体积的一半，其中 $m, n,$ 和 $p$ 是整数，并且 $m\le n\le p.$ 那么 $p$ 的最大可能值是多少？ | 130 | \boxed{130} |
Hay un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros tal que \[P(x)=\frac{(x^{2310}-1)^6}{(x^{105}-1)(x^{70}-1)(x^{42}-1)(x^{30}-1)}\] se cumple para cada $0<x<1.$ Encuentra el coeficiente de $x^{2022}$ en $P(x)$. | 220 | \boxed{220} |
设 $z_1,z_2,z_3,\dots,z_{12}$ 是多项式 $z^{12}-2^{36}$ 的 12 个零点。对于每个 $j$，令 $w_j$ 为 $z_j$ 或 $i z_j$ 中的一个。那么 $\sum_{j=1}^{12} w_j$ 的实部的最大可能值可以写成 $m+\sqrt{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数。求 $m+n$. | 784 | \boxed{784} |
Un hexágono está inscrito en un círculo. Cinco de los lados tienen una longitud de 81 y el sexto, denotado por $\overline{AB}$, tiene una longitud de 31. Encuentra la suma de las longitudes de las tres diagonales que se pueden dibujar desde $A_{}^{}$. | 384 | \boxed{384} |
En el diagrama a continuación, $ABCD$ es un rectángulo con longitudes de lados $AB=3$ y $BC=11$, y $AECF$ es un rectángulo con longitudes de lados $AF=7$ y $FC=9$, como se muestra. El área de la región sombreada común a los interiores de ambos rectángulos es $\frac mn$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentra $m+n$. [asy] pair A, B, C, D, E, F; A = (0,3); B=(0,0); C=(11,0); D=(11,3); E=foot(C,A,(9/4,0)); F=foot(A,C,(35/4,3)); draw(A--B--C--D--cycle); draw(A--E--C--F--cycle); filldraw(A--(9/4,0)--C--(35/4,3)--cycle ,gray*0.5+0.5*lightgray); dot(A^^B^^C^^D^^E^^F ); label("$A$", A,W ); label("$B$", B,W ); label("$C$", C,(1 , )); label("$D$", D,(1 , )); label("$F$", F,N ); label("$E$", E,S ); [/asy] | 109 | \boxed{109} |
Ten adults enter a room, remove their shoes, and toss their shoes into a pile. Later, a child randomly pairs each left shoe with a right shoe without regard to which shoes belong together. The probability that for every positive integer $k<5$ , no collection of $k$ pairs made by the child contains the shoes from exactly $k$ of the adults is $\frac{m}{n}$ , where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n$ . | 28 | \boxed{28} |
一只青蛙被放置在数轴的原点上，并根据以下规则移动：在某次移动中，青蛙前进到整数坐标为 $3$ 的倍数的最近点，或者前进到整数坐标为 $13$ 的倍数的最近点。一个移动序列是对应于有效移动的一系列坐标，以 $0$ 开始，以 $39$ 结束。例如，$0,\ 3,\ 6,\ 13,\ 15,\ 26,\ 39$ 是一个移动序列。问有多少种可能的青蛙移动序列？ | 169 | \boxed{169} |
Dave rolls a fair six-sided die until a six appears for the first time. Independently, Linda rolls a fair six-sided die until a six appears for the first time. Let $m$ and $n$ be relatively prime positive integers such that $\dfrac mn$ is the probability that the number of times Dave rolls his die is equal to or within one of the number of times Linda rolls her die. Find $m+n$ . | 41 | \boxed{41} |
For any finite set $S$ , let $|S|$ denote the number of elements in $S$ . Find the number of ordered pairs $(A,B)$ such that $A$ and $B$ are (not necessarily distinct) subsets of $\{1,2,3,4,5\}$ that satisfy \[|A| \cdot |B| = |A \cap B| \cdot |A \cup B|\] | 454 | \boxed{454} |
Sea $f(x)=(x^2+3x+2)^{\cos(\pi x)}$. Encuentra la suma de todos los enteros positivos $n$ para los cuales $\left |\sum_{k=1}^n\log_{10}f(k)\right|=1.$ | 21 | \boxed{21} |
Triangle $ABC$ is inscribed in circle $\omega$ with $AB=5$ , $BC=7$ , and $AC=3$ . The bisector of angle $A$ meets side $\overline{BC}$ at $D$ and circle $\omega$ at a second point $E$ . Let $\gamma$ be the circle with diameter $\overline{DE}$ . Circles $\omega$ and $\gamma$ meet at $E$ and a second point $F$ . Then $AF^2 = \frac mn$ , where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n$ . | 919 | \boxed{919} |
求满足以下条件的正整数 $m$ 的个数：存在非负整数 $x_0, x_1, \dots, x_{2011}$ 使得
\[m^{x_0} = \sum_{k = 1}^{2011} m^{x_k}.\] | 16 | \boxed{16} |
下图显示了一个由六个小部分组成的环，你需要在墙上涂上颜色。你有四种可用的油漆颜色，并且你将每个小部分涂成一种纯色。如果相邻的两个部分不能涂成相同的颜色，求有多少种方法可以选择来给这些部分上色。[asy] draw(Circle((0,0), 4)); draw(Circle((0,0), 3)); draw((0,4)--(0,3)); draw((0,-4)--(0,-3)); draw((-2.598, 1.5)--(-3.4641, 2)); draw((-2.598, -1.5)--(-3.4641, -2)); draw((2.598, -1.5)--(3.4641, -2)); draw((2.598, 1.5)--(3.4641, 2)); [/asy] | 732 | \boxed{732} |
Let $N$ be the greatest integer multiple of 8, whose digits are all different. What is the remainder when $N$ is divided by 1000? | 120 | \boxed{120} |
找到数字 $1, 2, 3, 4, 5$ 的排列 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ 的数量，使得五个乘积的和 \[x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + x_3x_4x_5 + x_4x_5x_1 + x_{5}x_{1}x_{2}\] 能被 $3$ 整除。 | 80 | \boxed{80} |
Un frasco tiene 10 caramelos rojos y 10 caramelos azules. Terry elige dos caramelos al azar, luego Mary elige dos de los caramelos restantes al azar. Dado que la probabilidad de que obtengan la misma combinación de colores, sin importar el orden, es $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, encuentra $m+n.$ | 441 | \boxed{441} |
Find the number of ordered pairs of integers $(a,b)$ such that the sequence \[3,4,5,a,b,30,40,50\] is strictly increasing and no set of four (not necessarily consecutive) terms forms an arithmetic progression. | 228 | \boxed{228} |
Triangle $ABC$ is isosceles with $AC = BC$ and $\angle ACB = 106^\circ.$ Point $M$ is in the interior of the triangle so that $\angle MAC = 7^\circ$ and $\angle MCA = 23^\circ.$ Find the number of degrees in $\angle CMB.$ | 83 | \boxed{83} |
Defina un dominó como un par ordenado de enteros positivos distintos. Una secuencia adecuada de dominós es una lista de dominós distintos en la que la primera coordenada de cada par después del primero es igual a la segunda coordenada del par inmediatamente anterior, y en la que $(i,j)$ y $(j,i)$ no aparecen ambos para ningún $i$ y $j$. Sea $D_{40}$ el conjunto de todos los dominós cuyas coordenadas no son mayores que 40. Encuentre la longitud de la secuencia adecuada más larga de dominós que se puede formar utilizando los dominós de $D_{40}.$ | 761 | \boxed{761} |
Sea $ABC$ un triángulo equilátero, y sean $D$ y $F$ puntos en los lados $BC$ y $AB$, respectivamente, con $FA = 5$ y $CD = 2$. El punto $E$ se encuentra en el lado $CA$ de tal manera que el ángulo $\angle DEF = 60^{\circ}$. El área del triángulo $DEF$ es de $14\sqrt{3}$. Los dos posibles valores de la longitud del lado $AB$ son $p \pm q \sqrt{r}$, donde $p$ y $q$ son racionales, y $r$ es un entero que no es divisible por el cuadrado de un primo. Encuentra el valor de \( r \). | 989 | \boxed{989} |
在下图中，$ABCD$ 是一个矩形，其边长为 $AB=3$ 和 $BC=11$ ，而 $AECF$ 是一个矩形，其边长为 $AF=7$ 和 $FC=9$, 如图所示。两个矩形内部共有的阴影区域的面积是 $\frac mn$, 其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m+n$. [asy] pair A, B, C, D, E, F; A = (0,3); B=(0,0); C=(11,0); D=(11,3); E=foot(C, A, (9/4,0)); F=foot(A, C, (35/4,3)); draw(A--B--C--D--cycle); draw(A--E--C--F--cycle); filldraw(A--(9/4,0)--C--(35/4,3)--cycle ,gray*0.5+0.5*lightgray ); dot(A^^B^^C^^D^^E^^F ); label("$A$", A , W ); label("$B$", B , W ); label("$C$", C , (1 , 0 )); label("$D$", D , (1 , 0 )); label("$F$", F , N ); label("$E$", E , S ); [/asy] | 109 | \boxed{109} |
Forty teams play a tournament in which every team plays every other( $39$ different opponents) team exactly once. No ties occur, and each team has a $50 \%$ chance of winning any game it plays. The probability that no two teams win the same number of games is $m/n,$ where $m_{}$ and $n_{}$ are relatively prime positive integers. Find $\log_2 n.$ | 742 | \boxed{742} |
A set $\mathcal{S}$ of distinct positive integers has the following property: for every integer $x$ in $\mathcal{S},$ the arithmetic mean of the set of values obtained by deleting $x$ from $\mathcal{S}$ is an integer. Given that 1 belongs to $\mathcal{S}$ and that 2002 is the largest element of $\mathcal{S},$ what is the greatest number of elements that $\mathcal{S}$ can have? | 30 | \boxed{30} |
Let $p_{}$ be the probability that, in the process of repeatedly flipping a fair coin, one will encounter a run of 5 heads before one encounters a run of 2 tails. Given that $p_{}$ can be written in the form $m/n$ where $m_{}$ and $n_{}$ are relatively prime positive integers, find $m+n$ . | 37 | \boxed{37} |
当 \[\binom{\binom{3}{2}}{2} + \binom{\binom{4}{2}}{2} + \dots + \binom{\binom{40}{2}}{2}\] 被 $1000$ 除时，求余数。 | 4 | \boxed{4} |
Llamamos a un conjunto $S$ libre de productos si no existen $a, b, c \in S$ (no necesariamente distintos) tales que $a b = c$. Por ejemplo, el conjunto vacío y el conjunto $\{16, 20\}$ son libres de productos, mientras que los conjuntos $\{4, 16\}$ y $\{2, 8, 16\}$ no son libres de productos. Encuentra el número de subconjuntos libres de productos del conjunto $\{1, 2, 3, 4, \ldots, 7, 8, 9 ,10\}$. | 252 | \boxed{252} |
数列 $101$ , $104$ , $109$ , $116$ , $\ldots$ 的形式为 $a_n=100+n^2$, 其中 $n=1,2,3,\ldots$. 对于每个 $n$, 令 $d_n$ 为 $a_n$ 和 $a_{n+1}$ 的最大公约数. 求当$n$取正整数时$d_n$的最大值. | 401 | \boxed{401} |
设 $P$ 是在顶点为 $(0,0), (1,0), (1,1)$ 和 $(0,1)$ 的单位正方形内部均匀随机选择的一个点。由 $P$ 和点 $\left(\frac58, \frac38 \right)$ 确定的直线的斜率大于或等于 $\frac12$ 的概率可以写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m+n$ 。 | 171 | \boxed{171} |
在四面体 $ABCD$ 中，边 $AB$ 的长度为 3 厘米。面 $ABC$ 的面积是 $15\mbox{cm}^2$，面 $ABD$ 的面积是 $12 \mbox { cm}^2$。这两个面的夹角为 $30^\circ$。求该四面体的体积（单位：$\mbox{cm}^3$）。 | 20 | \boxed{20} |
Un cono circular recto tiene una base con radio 600 y altura $200\sqrt{7}.$ Una mosca comienza en un punto de la superficie del cono cuya distancia desde el vértice del cono es 125, y se arrastra a lo largo de la superficie del cono hasta un punto en el lado opuesto exacto del cono cuya distancia desde el vértice es $375\sqrt{2}.$ Encuentra la menor distancia que la mosca podría haber recorrido. | 625 | \boxed{625} |
The number $n$ can be written in base $14$ as $\underline{a}\text{ }\underline{b}\text{ }\underline{c}$ , can be written in base $15$ as $\underline{a}\text{ }\underline{c}\text{ }\underline{b}$ , and can be written in base $6$ as $\underline{a}\text{ }\underline{c}\text{ }\underline{a}\text{ }\underline{c}\text{ }$ , where $a > 0$ . Find the base- $10$ representation of $n$ . | 925 | \boxed{925} |
设 $f(x)=(x^2+3x+2)^{\cos(\pi x)}$ 。求满足 $\left |\sum_{k=1}^n\log_{10}f(k)\right|=1$ 的所有正整数 $n$ 的和。 | 21 | \boxed{21} |
对于每一对满足以下条件的实数有序对 $(x,y)$
\[\log_2(2x+y) = \log_4(x^2+xy+7y^2)\]
存在一个实数 $K$ 使得
\[\log_3(3x+y) = \log_9(3x^2+4xy+Ky^2).\]
求所有可能的 $K$ 值的乘积。 | 189 | \boxed{189} |
求 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 的排列数，使得对于每个 $k$ 满足 $1 \leq k \leq 5$ ，排列的前 $k$ 项中至少有一项大于 $k$ 。 | 461 | \boxed{461} |
复数 $z$ 和 $w$ 满足以下方程组 \[z + \frac{20i}w = 5+i\] \[w+\frac{12i}z = -4+10i\] 求 $\vert zw\vert^2$ 的最小可能值。 | 40 | \boxed{40} |
The numbers $1447$ , $1005$ and $1231$ have something in common: each is a $4$ -digit number beginning with $1$ that has exactly two identical digits. How many such numbers are there? | 432 | \boxed{432} |
Let $K$ be the product of all factors $(b-a)$ (not necessarily distinct) where $a$ and $b$ are integers satisfying $1\le a < b \le 20$ . Find the greatest positive integer $n$ such that $2^n$ divides $K$ . | 150 | \boxed{150} |
Let $ABCD$ be a square, and let $E$ and $F$ be points on $\overline{AB}$ and $\overline{BC},$ respectively. The line through $E$ parallel to $\overline{BC}$ and the line through $F$ parallel to $\overline{AB}$ divide $ABCD$ into two squares and two nonsquare rectangles. The sum of the areas of the two squares is $\frac{9}{10}$ of the area of square $ABCD.$ Find $\frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE}.$ | 18 | \boxed{18} |
Ten identical crates each of dimensions $3$ ft $\times$ $4$ ft $\times$ $6$ ft. The first crate is placed flat on the floor. Each of the remaining nine crates is placed, in turn, flat on top of the previous crate, and the orientation of each crate is chosen at random. Let $\frac {m}{n}$ be the probability that the stack of crates is exactly $41$ ft tall, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m$ . | 190 | \boxed{190} |
The graph of the equation $9x+223y=2007$ is drawn on graph paper with each square representing one unit in each direction. How many of the $1$ by $1$ graph paper squares have interiors lying entirely below the graph and entirely in the first quadrant ? | 888 | \boxed{888} |
设 $P(x)$ 是一个非零多项式，使得 $(x-1)P(x+1)=(x+2)P(x)$ 对于每个实数 $x$ 都成立，并且 $\left(P(2)\right)^2 = P(3)$ 。那么 $P(\tfrac72)=\tfrac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。 | 109 | \boxed{109} |
Hay números reales $a, b, c,$ y $d$ tales que $-20$ es una raíz de $x^3 + ax + b$ y $-21$ es una raíz de $x^3 + cx^2 + d.$ Estos dos polinomios comparten una raíz compleja $m + \sqrt{n} \cdot i,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos e $i = \sqrt{-1}.$ Encuentra el valor de $m+n.$ | 330 | \boxed{330} |
Al 走到正在向上移动的自动扶梯底部，他数了150步。他的朋友Bob走到自动扶梯顶部，数了75步。如果Al的行走速度（以每单位时间的步数计算）是Bob行走速度的三倍，那么在任意时刻自动扶梯上可见多少步？（假设这个值是恒定的。） | 120 | \boxed{120} |
Rectangle $ABCD_{}^{}$ has sides $\overline {AB}$ of length 4 and $\overline {CB}$ of length 3. Divide $\overline {AB}$ into 168 congruent segments with points $A_{}^{}=P_0, P_1, \ldots, P_{168}=B$ , and divide $\overline {CB}$ into 168 congruent segments with points $C_{}^{}=Q_0, Q_1, \ldots, Q_{168}=B$ . For $1_{}^{} \le k \le 167$ , draw the segments $\overline {P_kQ_k}$ . Repeat this construction on the sides $\overline {AD}$ and $\overline {CD}$ , and then draw the diagonal $\overline {AC}$ . Find the sum of the lengths of the 335 parallel segments drawn. | 840 | \boxed{840} |
Encuentra el valor mínimo de $\frac{9x^2\sin^2 x + 4}{x\sin x}$ para $0 < x < \pi$. | 12 | \boxed{12} |
Two unit squares are selected at random without replacement from an $n \times n$ grid of unit squares. Find the least positive integer $n$ such that the probability that the two selected unit squares are horizontally or vertically adjacent is less than $\frac{1}{2015}$ . | 90 | \boxed{90} |
Defina $n!!$ como $n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1$ para $n$ impar y $n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2$ para $n$ par. Cuando $\sum_{i=1}^{2009} \frac{(2i-1)!!}{(2i)!!}$ se expresa como una fracción en términos más simples, su denominador es $2^ab$ con $b$ impar. Encuentre $\dfrac{ab}{10}$. | 401 | \boxed{401} |
如果一个正整数 $n$ 恰好有 $k$ 个正因数并且 $n$ 能被 $k$ 整除，则称其为 $k$ - 漂亮。例如，$18$ 是 $6$ - 漂亮的。设 $S$ 为小于 $2019$ 的所有 $20$ - 漂亮的正整数之和。求 $\tfrac{S}{20}$ 。 | 472 | \boxed{472} |
La ecuación $2^{333x-2} + 2^{111x+2} = 2^{222x+1} + 1$ tiene tres raíces reales. Dado que su suma es $\frac mn$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, encuentra $m+n.$ | 113 | \boxed{113} |
Los números en la secuencia $101$, $104$, $109$, $116$, $\ldots$ son de la forma $a_n=100+n^2$, donde $n=1,2,3,\ldots$. Para cada $n$, sea $d_n$ el máximo común divisor de $a_n$ y $a_{n+1}$. Encuentra el valor máximo de $d_n$ cuando $n$ recorre los enteros positivos. | 401 | \boxed{401} |
Se elige un punto $P$ en el interior de $\triangle ABC$ tal que cuando se trazan líneas a través de $P$ paralelas a los lados de $\triangle ABC$, los triángulos más pequeños resultantes $t_{1}$, $t_{2}$ y $t_{3}$ en la figura, tienen áreas $4$, $9$ y $49$, respectivamente. Encuentra el área de $\triangle ABC$. [asy] size(200); pathpen=black+linewidth(0.65);pointpen=black; pair A=(0,0),B=(12,0),C=(4,5); D(A--B--C--cycle); D(A+(B-A)*3/4--A+(C-A)*3/4); D(B+(C-B)*5/6--B+(A-B)*5/6);D(C+(B-C)*5/12--C+(A-C)*5/12); MP("A",C,N);MP("B",A,SW);MP("C",B,SE); /* sorry mixed up points according to resources diagram. */ MP("t_3",(A+B+(B-A)*3/4+(A-B)*5/6)/2+(-1,0.8),N); MP("t_2",(B+C+(B-C)*5/12+(C-B)*5/6)/2+(-0.3,0.1),WSW); MP("t_1",(A+C+(C-A)*3/4+(A-C)*5/12)/2+(0,0.15),ESE); [/asy] | 144 | \boxed{144} |
Find the number of ways $66$ identical coins can be separated into three nonempty piles so that there are fewer coins in the first pile than in the second pile and fewer coins in the second pile than in the third pile. | 331 | \boxed{331} |
设$\triangle ABC$是一个等腰三角形，且$\angle A = 90^\circ.$ 存在一点$P$在$\triangle ABC$内部，使得$\angle PAB = \angle PBC = \angle PCA$并且$AP = 10.$ 求$\triangle ABC$的面积。 | 250 | \boxed{250} |
在 $\{1000,1001,1002^{}_{},\ldots,2000\}$ 中，有多少对连续整数在相加时不需要进位？ | 156 | \boxed{156} |
Doce discos congruentes se colocan en un círculo $C^{}_{}$ de radio 1 de tal manera que los doce discos cubren $C^{}_{}$, no hay dos discos que se superpongan, y cada uno de los doce discos es tangente a sus dos vecinos. La disposición resultante de los discos se muestra en la figura a continuación. La suma de las áreas de los doce discos puede escribirse en la forma $\pi(a-b\sqrt{c})$, donde $a,b,c^{}_{}$ son enteros positivos y $c^{}_{}$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $a+b+c^{}_{}$. [asy] unitsize(100); draw(Circle((0,0),1)); dot((0,0)); draw((0,0)--(1,0)); label("$1$", (0.5,0), S); for (int i=0; i<12; ++i) { dot((cos(i*pi/6), sin(i*pi/6))); } for (int a=1; a<24; a+=2) { dot(((1/cos(pi/12))*cos(a*pi/12), (1/cos(pi/12))*sin(a*pi/12))); draw(((1/cos(pi/12))*cos(a*pi/12), (1/cos(pi/12))*sin(a*pi/12))--((1/cos(pi/12))*cos((a+2)*pi/12), (1/cos(pi/12))*sin((a+2)*pi/12))); draw(Circle(((1/cos(pi/12))*cos(a*pi/12), (1/cos(pi/12))*sin(a*pi/12)), tan(pi / )); } [/asy] | 135 | \boxed{135} |
设 $ABCD$ 是一个等腰梯形，且 $AD=BC$ 且 $AB<CD.$ 假设从点 $A$ 到直线 $BC, CD,$ 和 $BD$ 的距离分别是 $15, 18,$ 和 $10.$ 令 $K$ 为梯形 $ABCD$ 的面积。求 $\sqrt2 \cdot K.$ | 567 | \boxed{567} |
A hexagon is inscribed in a circle. Five of the sides have length 81 and the sixth, denoted by $\overline{AB}$ , has length 31. Find the sum of the lengths of the three diagonals that can be drawn from $A_{}^{}$ . | 384 | \boxed{384} |
对于 $1 \leq i \leq 215$，令 $a_i = \dfrac{1}{2^{i}}$ 且 $a_{216} = \dfrac{1}{2^{215}}$ 。令 $x_1, x_2, ..., x_{216}$ 为正实数，使得 $\sum_{i=1}^{216} x_i=1$ 且 $\sum_{1 \leq i < j \leq 216} x_ix_j = \dfrac{107}{215} + \sum_{i=1}^{216} \dfrac{a_i x_i^{2}}{2(1-a_i)}$ 。$x_2=\dfrac{m}{n}$ 的最大可能值，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m+n$. | 863 | \boxed{863} |
设 $C$ 是在展开 $(1 - x)(1 + 2x)(1 - 3x)\cdots(1 + 14x)(1 - 15x)$ 的乘积中 $x^2$ 的系数。求 $|C|.$ | 588 | \boxed{588} |
Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $C.$ Sean $D$ y $E$ puntos en $\overline{AB}$ con $D$ entre $A$ y $E$ tal que $\overline{CD}$ y $\overline{CE}$ trisecan el ángulo $\angle C.$ Si $\frac{DE}{BE} = \frac{8}{15},$ entonces $\tan B$ se puede escribir como $\frac{m \sqrt{p}}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, y $p$ es un entero positivo no divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $m+n+p.$ | 18 | \boxed{18} |
Encuentra $a$ si $a$ y $b$ son enteros tales que $x^2 - x - 1$ es un factor de $ax^{17} + bx^{16} + 1$. | 987 | \boxed{987} |
Se lanza un dado estándar de seis caras justo cuatro veces. La probabilidad de que el producto de los cuatro números obtenidos sea un cuadrado perfecto es $\tfrac{m}{n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentra $m+n$. | 187 | \boxed{187} |
求所有正整数 $b < 1000$ 的和，使得以 $b$ 为底的整数 $36_{b}$ 是一个完全平方数，并且以 $b$ 为底的整数 $27_{b}$ 是一个完全立方数。 | 371 | \boxed{371} |
Suponga que $a$, $b$ y $c$ son números reales positivos tales que $a^{\log_3 7} = 27$, $b^{\log_7 11} = 49$ y $c^{\log_{11}25} = \sqrt{11}$. Encuentre \[a^{(\log_3 7)^2} + b^{(\log_7 11)^2} + c^{(\log_{11} 25)^2}.\] | 469 | \boxed{469} |
In convex hexagon $ABCDEF$ , all six sides are congruent, $\angle A$ and $\angle D$ are right angles, and $\angle B, \angle C, \angle E,$ and $\angle F$ are congruent. The area of the hexagonal region is $2116(\sqrt{2}+1).$ Find $AB$ . | 46 | \boxed{46} |
For how many positive integers $n$ less than or equal to 1000 is $(\sin t + i \cos t)^n = \sin nt + i \cos nt$ true for all real $t$ ? | 250 | \boxed{250} |
Consider the set of points that are inside or within one unit of a rectangular parallelepiped (box) that measures 3 by 4 by 5 units. Given that the volume of this set is $\frac{m + n \pi}{p},$ where $m, n,$ and $p$ are positive integers, and $n$ and $p$ are relatively prime, find $m + n + p.$ | 505 | \boxed{505} |
Cuatro faros están ubicados en los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$. El faro en $A$ está a $5$ kilómetros del faro en $B$, el faro en $B$ está a $12$ kilómetros del faro en $C$, y el faro en $A$ está a $13$ kilómetros del faro en $C$. Para un observador en $A$, el ángulo determinado por las luces de los puntos B y D y el ángulo determinado por las luces de los puntos C y D son iguales. Para un observador en C, el ángulo determinado por las luces de los puntos A y B y el ángulo determinado por las luces de los puntos D y B son iguales. La cantidad de kilómetros desde A hasta D está dada por $\frac{p\sqrt{r}}{q}$, donde p, q, y r son enteros positivos primos entre sí, y r no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra p+q+r. | 96 | \boxed{96} |
Subsets and Splits
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