problem
stringlengths 22
2.3k
| answer
stringclasses 458
values | solution
stringclasses 458
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|---|---|---|
Hay $2^{10} = 1024$ posibles cadenas de $10$ letras en las que cada letra es una A o una B. Encuentra el número de tales cadenas que no tienen más de $3$ letras adyacentes que sean idénticas. | 548 | \boxed{548} |
点 $A$、$B$ 和 $C$ 按顺序位于一条直线上，其中从 $A$ 到 $C$ 的距离是 $1800$ 米。Ina 跑得比 Eve 快两倍，而 Paul 跑得比 Ina 快两倍。三名跑步者同时开始跑步，Ina 从 $A$ 出发并朝着 $C$ 跑，Paul 从 $B$ 出发并朝着 $C$ 跑，而 Eve 从 $C` 出发并朝着 `A` 跑。当 Paul 遇到 Eve 时，他转身朝 `A` 方向跑。Paul 和 Ina 同时到达 `B`。求从 `A` 到 `B` 的距离（米）。 | 800 | \boxed{800} |
Sea $\overline{AB}$ un diámetro del círculo $\omega$. Extiende $\overline{AB}$ a través de $A$ hasta $C$. El punto $T$ se encuentra en $\omega$ de modo que la línea $CT$ es tangente a $\omega$. El punto $P$ es el pie de la perpendicular desde $A$ hasta la línea $CT$. Supón que $\overline{AB} = 18$, y sea $m$ denota la longitud máxima posible del segmento $BP$. Encuentra $m^{2}$. | 432 | \boxed{432} |
成人占音乐会人群的 $\frac5{12}$。在一辆载有 $50$ 人的巴士到达后，成人占音乐会人群的 $\frac{11}{25}$。求巴士到达后音乐会上可能有的最少成年人数量。 | 154 | \boxed{154} |
在参加学校聚会的学生中，$60\%$ 的学生是女生，$40\%$ 的学生喜欢跳舞。在这些学生加入了另外 $20$ 名喜欢跳舞的男生之后，现在聚会上的女生占 $58\%$。现在有多少在聚会上喜欢跳舞的学生？ | 252 | \boxed{252} |
Except for the first two terms, each term of the sequence $1000, x, 1000 - x,\ldots$ is obtained by subtracting the preceding term from the one before that. The last term of the sequence is the first negative term encountered. What positive integer $x$ produces a sequence of maximum length? | 618 | \boxed{618} |
所有角度均以度数测量，求乘积 $\prod_{k=1}^{45} \csc^2(2k-1)^\circ=m^n$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是大于 1 的整数。求 $m+n$ 。 | 91 | \boxed{91} |
El área del triángulo equilátero más pequeño con un vértice en cada uno de los lados del triángulo rectángulo con longitudes de lado $2\sqrt3$, $5$ y $\sqrt{37}$, como se muestra, es $\tfrac{m\sqrt{p}}{n}$, donde $m$, $n$ y $p$ son enteros positivos, $m$ y $n$ son primos relativos, y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $m+n+p$. [asy] size(5cm); pair C=(0,0),B=(0,2*sqrt(3)),A=(5,0); real t = .385, s = 3.5*t-1; pair R = A*t+B*(1-t), P=B*s; pair Q = dir(-60) * (R-P) + P; fill(P--Q--R--cycle,gray); draw(A--B--C--A^^P--Q--R--P); dot(A--B--C--P--Q--R); [/asy] | 145 | \boxed{145} |
设 $S$ 为所有形如 $\frac{a}{b}$ 的数的和，其中 $a$ 和 $b$ 是 $1000$ 的互质正因子。求不超过 $\frac{S}{10}$ 的最大整数是多少？ | 248 | \boxed{248} |
¿Cuál es el mayor número entero positivo $n$ para el cual $n^3+100$ es divisible por $n+10$? | 890 | \boxed{890} |
Círculos con radios 5, 5, 8 y $m/n$ son mutuamente tangentes externamente, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentra $m + n.$ | 17 | \boxed{17} |
一个正整数 $n$ 的数字从左到右读是四个连续递减的整数。当 $n$ 被 37 除时，所有可能的余数之和是多少？ | 217 | \boxed{217} |
The vertices of $\triangle ABC$ are $A = (0,0)\,$ , $B = (0,420)\,$ , and $C = (560,0)\,$ . The six faces of a die are labeled with two $A\,$ 's, two $B\,$ 's, and two $C\,$ 's. Point $P_1 = (k,m)\,$ is chosen in the interior of $\triangle ABC$ , and points $P_2\,$ , $P_3\,$ , $P_4, \dots$ are generated by rolling the die repeatedly and applying the rule: If the die shows label $L\,$ , where $L \in \{A, B, C\}$ , and $P_n\,$ is the most recently obtained point, then $P_{n + 1}^{}$ is the midpoint of $\overline{P_n L}$ . Given that $P_7 = (14,92)\,$ , what is $k + m\,$ ? | 344 | \boxed{344} |
Sea $\mathcal{S}$ el conjunto de todos los cuadrados perfectos cuyos tres últimos dígitos en base $10$ son $256$. Sea $\mathcal{T}$ el conjunto de todos los números de la forma $\frac{x-256}{1000}$, donde $x$ está en $\mathcal{S}$. En otras palabras, $\mathcal{T}$ es el conjunto de números que resultan cuando se truncan los tres últimos dígitos de cada número en $\mathcal{S}$. Encuentra el residuo cuando el décimo elemento más pequeño de $\mathcal{T}$ se divide por $1000$. | 170 | \boxed{170} |
Determine the number of ordered pairs $(a,b)$ of integers such that $\log_a b + 6\log_b a=5, 2 \leq a \leq 2005,$ and $2 \leq b \leq 2005.$ | 54 | \boxed{54} |
En una secuencia creciente de cuatro números enteros positivos, los primeros tres términos forman una progresión aritmética, los últimos tres términos forman una progresión geométrica, y el primer y cuarto término difieren en $30.$ Encuentra la suma de los cuatro términos. | 129 | \boxed{129} |
多面体 $ABCDEFG$ 有六个面。 面 $ABCD$ 是一个边长为 $12$ 的正方形；面 $ABFG$ 是一个梯形，$\overline{AB}$ 平行于 $\overline{GF},$ 且 $BF = AG = 8,$ 以及 $GF = 6;$ 面 $CDE$ 满足 $CE = DE = 14.$ 另外三个面是 $ADEG, BCEF,$ 和 $EFG.$ 点 $E$ 到平面 $ABCD$ 的距离是12。已知 ${EG}^2 = p - q\sqrt {r},$ 其中$p, q,$ 和$r$ 是正整数且$r$ 不可被任何素数的平方整除，求$p + q + r.$ | 163 | \boxed{163} |
Las distancias más cortas entre una diagonal interior de un paralelepípedo rectangular, $P$, y los bordes que no encuentra son $2\sqrt{5}$, $\frac{30}{\sqrt{13}}$, y $\frac{15}{\sqrt{10}}$. Determina el volumen de $P$. | 750 | \boxed{750} |
Una pasarela móvil de 100 pies de largo se mueve a una velocidad constante de 6 pies por segundo. Al se sube al inicio de la pasarela y se queda parado. Bob se sube al inicio de la pasarela dos segundos después y avanza por la pasarela a una velocidad constante de 4 pies por segundo. Dos segundos después, Cy llega al inicio de la pasarela y camina rápidamente junto a la pasarela a una velocidad constante de 8 pies por segundo. En un momento dado, una de estas tres personas está exactamente a mitad del camino entre las otras dos. En ese momento, encuentra la distancia en pies entre el inicio de la pasarela y la persona que está en el medio. | 52 | \boxed{52} |
设 $ABCD$ 是一个凸四边形，且 $AB=2, AD=7,$ 和 $CD=3$，使得锐角 $\angle{DAB}$ 和 $\angle{ADC}$ 的平分线相交于 $\overline{BC}$ 的中点。求 $ABCD$ 面积的平方。 | 180 | \boxed{180} |
Se elige un ángulo $x$ al azar del intervalo $0^\circ < x < 90^\circ.$ Sea $p$ la probabilidad de que los números $\sin^2 x, \cos^2 x,$ y $\sin x \cos x$ no sean las longitudes de los lados de un triángulo. Dado que $p = d/n,$ donde $d$ es el número de grados en $\arctan m$ y $m$ y $n$ son enteros positivos con $m + n < 1000,$ encuentra $m + n.$ | 92 | \boxed{92} |
There is a $40\%$ chance of rain on Saturday and a $30\%$ chance of rain on Sunday. However, it is twice as likely to rain on Sunday if it rains on Saturday than if it does not rain on Saturday. The probability that it rains at least one day this weekend is $\frac{a}{b}$ , where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. Find $a+b$ . | 107 | \boxed{107} |
The formula for converting a Fahrenheit temperature $F$ to the corresponding Celsius temperature $C$ is $C = \frac{5}{9}(F-32).$ An integer Fahrenheit temperature is converted to Celsius, rounded to the nearest integer, converted back to Fahrenheit, and again rounded to the nearest integer. For how many integer Fahrenheit temperatures between $32$ and $1000$ inclusive does the original temperature equal the final temperature? | 539 | \boxed{539} |
三角形 $APM$ 的周长是 $152$，且角 $PAM$ 是直角。以 $\overline{AP}$ 上的点 $O$ 为圆心，半径为 $19$ 的圆画出，使其与 $\overline{AM}$ 和 $\overline{PM}$ 相切。已知 $OP=m/n$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $m+n$. | 98 | \boxed{98} |
Un sólido en forma de cono circular recto tiene una altura de 4 pulgadas y su base tiene un radio de 3 pulgadas. Toda la superficie del cono, incluida su base, está pintada. Un plano paralelo a la base del cono divide el cono en dos sólidos, un sólido más pequeño en forma de cono $C$ y un sólido en forma de tronco $F,$ de tal manera que la relación entre las áreas de las superficies pintadas de $C$ y $F$ y la relación entre los volúmenes de $C$ y $F$ son ambas iguales a $k.$ Dado que $k=m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos, encuentra $m+n.$ | 512 | \boxed{512} |
设 $R$ 为一个形如 $2^n$ 的数（其中 $n$ 是非负整数）除以 1000 时所有可能余数的集合。设 $S$ 为集合 $R$ 中元素的和。求当 $S$ 除以 1000 时的余数。 | 7 | \boxed{7} |
设 $S$ 为有序对 $(x, y)$ 的集合，使得 $0 < x \le 1, 0<y\le 1,$ 且 $\left \lfloor{\log_2{\left(\frac 1x\right)}}\right \rfloor$ 和 $\left \lfloor{\log_5{\left(\frac 1y\right)}}\right \rfloor$ 都是偶数。已知 $S$ 的图形的面积为 $m/n,$ 其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $m+n.$ 符号 $\left \lfloor{z}\right \rfloor$ 表示小于或等于 $z$ 的最大整数。 | 14 | \boxed{14} |
Un par ordenado $(m,n)$ de enteros no negativos se llama "simple" si la suma $m+n$ en base $10$ no requiere llevar. Encuentra el número de pares ordenados simples de enteros no negativos que suman $1492$. | 300 | \boxed{300} |
Find the least odd prime factor of $2019^8 + 1$ . | 97 | \boxed{97} |
Una elipse tiene focos en $(9, 20)$ y $(49, 55)$ en el plano $xy$ y es tangente al eje $x$. ¿Cuál es la longitud de su eje mayor? | 85 | \boxed{85} |
A sequence is defined as follows $a_1=a_2=a_3=1,$ and, for all positive integers $n, a_{n+3}=a_{n+2}+a_{n+1}+a_n.$ Given that $a_{28}=6090307, a_{29}=11201821,$ and $a_{30}=20603361,$ find the remainder when $\sum^{28}_{k=1} a_k$ is divided by 1000. | 834 | \boxed{834} |
Encuentra el número de enteros positivos con tres dígitos no necesariamente distintos, $abc$, con $a \neq 0$ y $c \neq 0$ tal que tanto $abc$ como $cba$ sean múltiplos de $4$. | 40 | \boxed{40} |
Seis círculos congruentes forman un anillo, con cada círculo tangente externamente a dos círculos adyacentes. Todos los círculos son tangentes internamente a un círculo $C$ con radio 30. Sea $K$ el área de la región dentro del círculo $C$ y fuera de los seis círculos en el anillo. Encuentra $\lfloor K \rfloor.$ | 942 | \boxed{942} |
When each of $702$ , $787$ , and $855$ is divided by the positive integer $m$ , the remainder is always the positive integer $r$ . When each of $412$ , $722$ , and $815$ is divided by the positive integer $n$ , the remainder is always the positive integer $s \neq r$ . Find $m+n+r+s$ . | 62 | \boxed{62} |
Let $S^{}_{}$ be a subset of $\{1,2,3^{}_{},\ldots,1989\}$ such that no two members of $S^{}_{}$ differ by $4^{}_{}$ or $7^{}_{}$ . What is the largest number of elements $S^{}_{}$ can have? | 905 | \boxed{905} |
Dos cadenas de tres letras, $aaa^{}_{}$ y $bbb^{}_{}$, se transmiten electrónicamente. Cada cadena se envía letra por letra. Debido a un equipo defectuoso, cada una de las seis letras tiene una probabilidad de 1/3 de ser recibida incorrectamente, como un $a^{}_{}$ cuando debería haber sido un $b^{}_{}$, o como un $b^{}_{}$ cuando debería ser un $a^{}_{}. Sin embargo, si una letra dada se recibe correctamente o incorrectamente es independiente de la recepción de cualquier otra letra. Sea $S_a^{}$ la cadena de tres letras recibida cuando se transmite $aaa^{}_{}$ y sea $S_b^{}$ la cadena de tres letras recibida cuando se transmite $bbb^{}_{}. Sea $p$ la probabilidad de que $S_a^{}$ venga antes que $S_b^{}$ en orden alfabético. Cuando p se escribe como una fracción en su forma más simple, ¿cuál es su numerador? | 532 | \boxed{532} |
Let $ABCD$ be a parallelogram . Extend $\overline{DA}$ through $A$ to a point $P,$ and let $\overline{PC}$ meet $\overline{AB}$ at $Q$ and $\overline{DB}$ at $R.$ Given that $PQ = 735$ and $QR = 112,$ find $RC.$ | 308 | \boxed{308} |
Sea $ABCDEF$ un hexágono regular. Sean $G$, $H$, $I$, $J$, $K$ y $L$ los puntos medios de los lados $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$ y $AF$, respectivamente. Los segmentos $\overline{AH}$, $\overline{BI}$, $\overline{CJ}$, $\overline{DK}$, $\overline{EL}$ y $\overline{FG}$ delimitan un hexágono regular más pequeño. Sea la razón del área del hexágono más pequeño al área de $ABCDEF$ expresada como una fracción $\frac {m}{n}$ donde $m$ y `$n` son enteros positivos primos entre sí. Encuentra el valor de `$m + n`. | 11 | \boxed{11} |
For any positive integer $x_{}$ , let $S(x)$ be the sum of the digits of $x_{}$ , and let $T(x)$ be $|S(x+2)-S(x)|.$ For example, $T(199)=|S(201)-S(199)|=|3-19|=16.$ How many values of $T(x)$ do not exceed 1999? | 223 | \boxed{223} |
Let $n$ be the least positive integer for which $149^n-2^n$ is divisible by $3^3\cdot5^5\cdot7^7.$ Find the number of positive integer divisors of $n.$ | 270 | \boxed{270} |
Misha lanza un dado estándar y justo de seis caras hasta que obtiene 1-2-3 en ese orden en tres lanzamientos consecutivos. La probabilidad de que ella lance el dado un número impar de veces es $\dfrac{m}{n}$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentra $m+n$. | 647 | \boxed{647} |
Each of two boxes contains both black and white marbles, and the total number of marbles in the two boxes is $25.$ One marble is taken out of each box randomly. The probability that both marbles are black is $\frac{27}{50},$ and the probability that both marbles are white is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n$ ? | 26 | \boxed{26} |
Sea $R$ el conjunto de todos los posibles restos cuando un número de la forma $2^n$, con $n$ un entero no negativo, se divide por 1000. Sea $S$ la suma de los elementos en $R$. Encuentra el resto cuando $S$ se divide por 1000. | 7 | \boxed{7} |
Let $\mathcal{R}$ be the region consisting of the set of points in the coordinate plane that satisfy both $|8 - x| + y \le 10$ and $3y - x \ge 15$ . When $\mathcal{R}$ is revolved around the line whose equation is $3y - x = 15$ , the volume of the resulting solid is $\frac {m\pi}{n\sqrt {p}}$ , where $m$ , $n$ , and $p$ are positive integers, $m$ and $n$ are relatively prime, and $p$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p$ . | 365 | \boxed{365} |
Suponga que los ángulos de $\triangle ABC$ satisfacen $\cos(3A)+\cos(3B)+\cos(3C)=1$. Dos lados del triángulo tienen longitudes 10 y 13. Hay un número entero positivo $m$ tal que la longitud máxima posible para el lado restante de $\triangle ABC$ es $\sqrt{m}$. Encuentre $m$. | 399 | \boxed{399} |
Every card in a deck has a picture of one shape - circle, square, or triangle, which is painted in one of the three colors - red, blue, or green. Furthermore, each color is applied in one of three shades - light, medium, or dark. The deck has 27 cards, with every shape-color-shade combination represented. A set of three cards from the deck is called complementary if all of the following statements are true: i. Either each of the three cards has a different shape or all three of the card have the same shape. ii. Either each of the three cards has a different color or all three of the cards have the same color. iii. Either each of the three cards has a different shade or all three of the cards have the same shade. How many different complementary three-card sets are there? | 117 | \boxed{117} |
设 $S$ 是所有满足以下性质的正整数 $N$ 的集合：$N$ 的最后四位数字是 $2020,$ 并且当去掉最后四位数字后，所得结果是 $N$ 的一个约数。例如，$42{,}020$ 属于 $S$, 因为 $4$ 是 $42{,}020$ 的一个约数。求所有在集合 $S$ 中的数字的各位数字之和。例如，数字 $42{,}020$ 对这个总和的贡献是 $4+2+0+2+0=8$. | 93 | \boxed{93} |
圆 $\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2,$ 和 $\mathcal{C}_3$ 的圆心分别位于 (0,0), (12,0), 和 (24,0)，半径分别为 1, 2 和 4。直线 $t_1$ 是 $\mathcal{C}_1$ 和 $\mathcal{C}_2$ 的一条公共内切线，且斜率为正；直线 $t_2$ 是 $\mathcal{C}_2$ 和 $\mathcal{C}_3$ 的一条公共内切线，且斜率为负。已知直线 $t_1$ 和 $t_2$ 相交于 $(x,y)$，并且 $x=p-q\sqrt{r}$，其中 $p, q,$ 和 $r$ 是正整数，并且 $r$ 不可被任何素数的平方整除，求 $p+q+r.$ | 27 | \boxed{27} |
El triángulo $AB_0C_0$ tiene longitudes de lados $AB_0 = 12$, $B_0C_0 = 17$ y $C_0A = 25$. Para cada entero positivo $n$, los puntos $B_n$ y $C_n$ están ubicados en $\overline{AB_{n-1}}$ y $\overline{AC_{n-1}}$, respectivamente, creando tres triángulos similares $\triangle AB_nC_n \sim \triangle B_{n-1}C_nC_{n-1} \sim \triangle AB_{n-1}C_{n-1}$. El área de la unión de todos los triángulos $B_{n-1}C_nB_n$ para $n\geq 1$ puede expresarse como $\tfrac pq$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentra el valor de $q$. | 961 | \boxed{961} |
设 $(a,b,c)$ 是方程组 $x^3 - xyz = 2$ , $y^3 - xyz = 6$ , $z^3 - xyz = 20$ 的一个实数解。$a^3 + b^3 + c^3$ 的最大可能值可以写成 $\frac {m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$. | 158 | \boxed{158} |
Positive integers $a$ , $b$ , $c$ , and $d$ satisfy $a > b > c > d$ , $a + b + c + d = 2010$ , and $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 2010$ . Find the number of possible values of $a$ . | 501 | \boxed{501} |
在三角形 $ABC$ 中，$AB = 13,$ $BC = 14,$ $AC = 15,$ 点 $G$ 是中线的交点。点 $A'$, $B'$, 和 $C'$ 分别是点 $A$, $B$, 和 $C$ 绕点 $G$ 旋转180度后的对应像。三角形 $ABC$ 和三角形 $A'B'C'$ 所围成的两个区域的总面积是多少？ | 112 | \boxed{112} |
有 $2^{10} = 1024$ 种可能的 $10$ 个字母的字符串，其中每个字母要么是 A，要么是 B。求出其中不超过 $3$ 个相邻字母相同的字符串数量。 | 548 | \boxed{548} |
Alice knows that $3$ red cards and $3$ black cards will be revealed to her one at a time in random order. Before each card is revealed, Alice must guess its color. If Alice plays optimally, the expected number of cards she will guess correctly is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n.$ | 51 | \boxed{51} |
Hay dos mástiles distinguibles, y hay $19$ banderas, de las cuales $10$ son banderas azules idénticas y $9$ son banderas verdes idénticas. Sea $N$ el número de arreglos distinguibles usando todas las banderas en los que cada mástil tiene al menos una bandera y no hay dos banderas verdes adyacentes en ninguno de los mástiles. Encuentra el residuo cuando $N$ se divide por $1000$. | 310 | \boxed{310} |
Given that $A_k = \frac {k(k - 1)}2\cos\frac {k(k - 1)\pi}2,$ find $|A_{19} + A_{20} + \cdots + A_{98}|.$ | 40 | \boxed{40} |
一个矩形内切于一个更大的矩形（每边都有一个顶点）称为未卡住的，如果可以在较大矩形的范围内绕其中心稍微旋转较小的矩形。在所有可以未卡住地内切于 $6 \times 8$ 矩形的矩形中，最小周长的形式为 $\sqrt{N}\,$ ，其中 $N\,$ 是正整数。求 $N\,$ 。 | 448 | \boxed{448} |
Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros que satisface $P(17)=10$ y $P(24)=17.$ Dado que $P(n)=n+3$ tiene dos soluciones enteras distintas $n_1$ y $n_2,$ encuentra el producto $n_1\cdot n_2.$ | 418 | \boxed{418} |
设 $ABC$ 为等边三角形，$D, E,$ 和 $F$ 分别是 $\overline{BC}, \overline{CA},$ 和 $\overline{AB}$ 的中点。存在点 $P, Q,$ 和 $R$ 在分别在 $\overline{DE}, \overline{EF},$ 和 $\overline{FD}$ 上，使得 $P$ 在 $\overline{CQ}$ 上，$Q$ 在 $\overline{AR}$ 上，且 $R$ 在 $\overline{BP}$ 上。三角形 $ABC$ 的面积与三角形 $PQR$ 的面积之比为 $a + b\sqrt {c}$，其中$a, b,$ 和$c$ 是整数，并且$c$ 不是任何素数的平方的倍数。求$a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 是多少？ | 83 | \boxed{83} |
在笛卡尔平面上，设 $A = (1,0)$ 和 $B = \left( 2, 2\sqrt{3} \right)$ 。构造等边三角形 $ABC$ ，使得点 $C$ 位于第一象限。设 $P=(x,y)$ 为 $\triangle ABC$ 的中心。那么 $x \cdot y$ 可以写成 $\tfrac{p\sqrt{q}}{r}$ ，其中 $p$ 和 $r$ 是互质的正整数，且 $q$ 是不被任何素数的平方整除的整数。求 $p+q+r$ 。 | 40 | \boxed{40} |
Encuentra el valor de $10\cot(\cot^{-1}3+\cot^{-1}7+\cot^{-1}13+\cot^{-1}21).$ | 15 | \boxed{15} |
Find the number of rational numbers $r$ , $0<r<1,$ such that when $r$ is written as a fraction in lowest terms, the numerator and the denominator have a sum of $1000$ . | 200 | \boxed{200} |
在1到1000（包括1000）之间，有多少个整数可以表示为两个非负整数的平方差？ | 750 | \boxed{750} |
在下图所示的 $13$ 个正方形数组中，$8$ 个正方形被涂成红色，其余 $5$ 个正方形被涂成蓝色。如果从所有可能的这种着色中随机选择一种，则所选着色数组在绕中心正方形旋转 $90^{\circ}$ 后看起来相同的概率是 $\frac{1}{n}$ ，其中 $n$ 是一个正整数。求 $n$ 。 [asy] draw((0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--(0,0)); draw((2,0)--(2,2)--(3,2)--(3,0)--(3,1)--(2,1)--(4,1)--(4,-.5)); draw((-.5,-.5) rectangle (4.5,.5)); size(.75cm);[/asy] | 429 | \boxed{429} |
Find the number of ordered pairs $(x,y)$ of positive integers that satisfy $x \le 2y \le 60$ and $y \le 2x \le 60$ . | 480 | \boxed{480} |
已知 $\sum_{k=1}^{35}\sin 5k=\tan \frac mn,$ 其中角度以度数为单位，且 $m_{}$ 和 $n_{}$ 是互质的正整数，并满足 $\frac mn<90,$ 求 $m+n.$ | 177 | \boxed{177} |
Triangle $ABC$ has right angle at $B$ , and contains a point $P$ for which $PA = 10$ , $PB = 6$ , and $\angle APB = \angle BPC = \angle CPA$ . Find $PC$ . AIME 1987 Problem 9.png | 33 | \boxed{33} |
设 $S$ 是一个包含六个元素的集合。设 $\mathcal{P}$ 是 $S$ 的所有子集的集合。从 $\mathcal{P}$ 中独立且随机地选择两个子集 $A$ 和 $B$，它们不一定不同。事件“$B$ 包含于 $A$ 或者包含于 $S-A$”发生的概率是 $\frac{m}{n^{r}}$, 其中 $m$, $n$, 和 $r$ 是正整数，且$n$是质数，并且$m$和$n$互质。求$m+n+r.$（集合 $S-A$ 是指所有不在集合 A 中的 S 的元素组成的集合。） | 710 | \boxed{710} |
有多少个小于 $1000$ 的正整数 $N$ 使得方程 $x^{\lfloor x\rfloor} = N$ 对于某些 $x$ 有解？ | 412 | \boxed{412} |
Sea $P$ un punto elegido uniformemente al azar en el interior del cuadrado unitario con vértices en $(0,0), (1,0), (1,1)$ y $(0,1)$. La probabilidad de que la pendiente de la línea determinada por $P$ y el punto $\left(\frac58, \frac38 \right)$ sea mayor o igual a $\frac12$ se puede escribir como $\frac{m}{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentra $m+n$. | 171 | \boxed{171} |
What is the largest $2$ -digit prime factor of the integer $n = {200\choose 100}$ ? | 61 | \boxed{61} |
设 $\mathcal{T}$ 为位于平面 $x+y+z=1$ 上的非负实数有序三元组 $(x,y,z)$ 的集合。我们说当且仅当以下两个条件成立时，$(x,y,z)$ 支持 $(a,b,c)$：$x\ge a, y\ge b, z\ge c.$ 令 $\mathcal{S}$ 为在 $\mathcal{T}$ 中支持 $\left(\frac 12,\frac 13,\frac 16\right)$ 的那些三元组的集合。$\mathcal{S}$ 的面积与 $\mathcal{T}$ 的面积之比为 $m/n,$ 其中 $m_{}$ 和 $n_{}$ 是互质的正整数，求 $m+n.$ | 25 | \boxed{25} |
Find the smallest integer $k$ for which the conditions (1) $a_1, a_2, a_3, \ldots$ is a nondecreasing sequence of positive integers (2) $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ for all $n>2$ (3) $a_9=k$ are satisfied by more than one sequence. | 748 | \boxed{748} |
Sea $n=2^{31}3^{19}.$ ¿Cuántos divisores enteros positivos de $n^2$ son menores que $n_{}$ pero no dividen a $n_{}$? | 589 | \boxed{589} |
Let $N$ be the largest positive integer with the following property: reading from left to right, each pair of consecutive digits of $N$ forms a perfect square. What are the leftmost three digits of $N$ ? | 816 | \boxed{816} |
Rectangle $ABCD$ is given with $AB=63$ and $BC=448.$ Points $E$ and $F$ lie on $AD$ and $BC$ respectively, such that $AE=CF=84.$ The inscribed circle of triangle $BEF$ is tangent to $EF$ at point $P,$ and the inscribed circle of triangle $DEF$ is tangent to $EF$ at point $Q.$ Find $PQ.$ | 259 | \boxed{259} |
一个集合包含四个数字。该集合中不同元素的六个两两和（顺序不限）是 $189$ 、$320$ 、$287$ 、$234$ 、 $x$ 和 $y$ 。求 $x+y$ 的最大可能值。 | 791 | \boxed{791} |
Encuentra el número de conjuntos $\{a,b,c\}$ de tres enteros positivos distintos con la propiedad de que el producto de $a, b,$ y $c$ es igual al producto de $11, 21, 31, 41, 51,$ y $61$. | 728 | \boxed{728} |
Club Truncator is in a soccer league with six other teams, each of which it plays once. In any of its 6 matches, the probabilities that Club Truncator will win, lose, or tie are each $\frac {1}{3}$ . The probability that Club Truncator will finish the season with more wins than losses is $\frac {m}{n}$ , where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n$ . | 341 | \boxed{341} |
Encuentra el número de pares ordenados de enteros positivos $(a,b)$ tales que $a+b=1000$ y ni $a$ ni $b$ tienen un dígito cero. | 738 | \boxed{738} |
坐标平面第一象限的一个变换将每个点 $(x,y)$ 映射到点 $(\sqrt{x},\sqrt{y})$。四边形 $ABCD$ 的顶点为 $A=(900,300), B=(1800,600), C=(600,1800), D=(300,900)$。设 $k_{}$ 为四边形 $ABCD$ 的像所围成区域的面积。求不超过 $k_{}$ 的最大整数。 | 314 | \boxed{314} |
Jon 和 Steve 沿着一条与东西方向并行的两条火车轨道骑自行车。Jon 以每小时 $20$ 英里的速度向东骑行，Steve 以每小时 $20$ 英里的速度向西骑行。两列长度相等的火车，以恒定但不同的速度朝相反方向行驶，并经过两名骑手。每列火车经过 Jon 所需时间恰好为 $1$ 分钟。西行火车经过 Steve 所需时间是东行火车的 $10$ 倍。每列火车的长度为 $\tfrac{m}{n}$ 英里，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$. | 49 | \boxed{49} |
Si $\{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n\}$ es un conjunto de números reales, indexados de tal manera que $a_1 < a_2 < a_3 < \cdots < a_n,$ su suma compleja de potencias se define como $a_1i + a_2i^2+ a_3i^3 + \cdots + a_ni^n,$ donde $i^2 = - 1.$ Sea $S_n$ la suma de las sumas complejas de potencias de todos los subconjuntos no vacíos de $\{1,2,\ldots,n\}.$ Dado que $S_8 = - 176 - 64i$ y $S_9 = p + qi,$ donde $p$ y $q$ son enteros, encuentra $|p| + |q|.$ | 368 | \boxed{368} |
在正方形 $ABCD$ 上，点 $E, F, G,$ 和 $H$ 分别位于边 $\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD},$ 和 $\overline{DA}$ 上，使得 $\overline{EG} \perp \overline{FH}$ 且 $EG=FH = 34$ 。线段 $\overline{EG}$ 和 $\overline{FH}$ 相交于点 $P$ ，且四边形 $AEPH, BFPE, CGPF,$ 和 $DHPG$ 的面积比为 $269:275:405:411.$ 求正方形 $ABCD$ 的面积。 [asy] pair A = (0,sqrt(850)); pair B = (0,0); pair C = (sqrt(850),0); pair D = (sqrt(850),sqrt(850)); draw(A--B--C--D--cycle); dotfactor = 3; dot("$A$",A,dir(135)); dot("$B$",B,dir(215)); dot("$C$",C,dir(305)); dot("$D$",D,dir(45)); pair H = ((2sqrt(850)-sqrt(306))/6,sqrt(850)); pair F = ((2sqrt(850)+sqrt(306)+7)/6,0); dot("$H$",H,dir(90)); dot("$F$",F,dir(270)); draw(H--F); pair E = (0,(sqrt(850)-6)/2); pair G = (sqrt(850),(sqrt(850)+sqrt{100))/2); dot("$E$",E,direction180});dot{"G"$G$,direction {}}draw(E-G)pair P=extension(H,F,E,G)dot{"P"$P$,direction60})label{"w"$intersectionpoint(A-P,E-H))label("x"intersectionpoint(B-P,E-F))label("y"intersectionpoint(C-P,G-F))label("z"intersectionpoint(D-P,G-H)[/asy] | 850 | \boxed{850} |
Sea $R = (8,6)$. Las líneas cuyas ecuaciones son $8y = 15x$ y $10y = 3x$ contienen los puntos $P$ y $Q$, respectivamente, tales que $R$ es el punto medio de $\overline{PQ}$. La longitud de $PQ$ es igual a $\frac{m}{n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentra $m + n$. | 67 | \boxed{67} |
复平面上以原点为中心的正六边形，其相对的边对之间的距离为一单位。其中一对边平行于虚轴。设 $R$ 为六边形外部区域，且 $S = \left\lbrace\frac{1}{z}|z \in R\right\rbrace$ 。那么 $S$ 的面积形式为 $a\pi + \sqrt{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是正整数。求 $a + b$ 。 | 29 | \boxed{29} |
Consider the sequence defined by $a_k=\frac 1{k^2+k}$ for $k\ge 1$ . Given that $a_m+a_{m+1}+\cdots+a_{n-1}=1/29$ , for positive integers $m$ and $n$ with $m<n$ , find $m+n$ . | 840 | \boxed{840} |
Find the smallest positive integer $n$ with the property that the polynomial $x^4 - nx + 63$ can be written as a product of two nonconstant polynomials with integer coefficients. | 8 | \boxed{8} |
A flat board has a circular hole with radius $1$ and a circular hole with radius $2$ such that the distance between the centers of the two holes is $7$ . Two spheres with equal radii sit in the two holes such that the spheres are tangent to each other. The square of the radius of the spheres is $\tfrac{m}{n}$ , where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n$ . | 173 | \boxed{173} |
半径为2的圆$C$有直径$\overline{AB}$。圆$D$在点$A$与圆$C$内切。圆$E$在圆$C$内切，在圆$D$外切，并且与$\overline{AB}$相切。已知圆 $D $ 的半径是 圆 $E $ 的半径的三倍，并且可以写成 $\sqrt{m}-n$, 其中$m $ 和$n $ 是正整数。求$m+n$. | 254 | \boxed{254} |
Sea $a_{10} = 10$, y para cada entero positivo $n > 10$ sea $a_n = 100a_{n - 1} + n$. Encuentra el menor $n > 10$ tal que $a_n$ sea un múltiplo de $99$. | 45 | \boxed{45} |
求整数 $c$ 的个数，使得方程 \[\left||20|x|-x^2|-c\right|=21\] 有 $12$ 个不同的实数解。 | 57 | \boxed{57} |
With all angles measured in degrees, the product $\prod_{k=1}^{45} \csc^2(2k-1)^\circ=m^n$ , where $m$ and $n$ are integers greater than 1. Find $m+n$ . | 91 | \boxed{91} |
The equation $z^6+z^3+1=0$ has complex roots with argument $\theta$ between $90^\circ$ and $180^\circ$ in the complex plane. Determine the degree measure of $\theta$ . | 160 | \boxed{160} |
A convex polyhedron has for its faces 12 squares, 8 regular hexagons, and 6 regular octagons. At each vertex of the polyhedron one square, one hexagon, and one octagon meet. How many segments joining vertices of the polyhedron lie in the interior of the polyhedron rather than along an edge or a face? | 840 | \boxed{840} |
Un hotel preparó el desayuno para cada uno de tres huéspedes. Cada desayuno debería haber consistido en tres tipos de panecillos, uno de cada tipo: nuez, queso y fruta. La persona que los preparó envolvió cada uno de los nueve panecillos y una vez envueltos, los panecillos eran indistinguibles entre sí. Luego puso al azar tres panecillos en una bolsa para cada uno de los huéspedes. Dado que la probabilidad de que cada huésped obtuviera un panecillo de cada tipo es $\frac mn,$ donde $m$ y $n$ son enteros primos relativos, encuentra $m+n.$ | 79 | \boxed{79} |
Call a $3$ -digit number geometric if it has $3$ distinct digits which, when read from left to right, form a geometric sequence. Find the difference between the largest and smallest geometric numbers. | 840 | \boxed{840} |
A triangle has vertices $P_{}^{}=(-8,5)$ , $Q_{}^{}=(-15,-19)$ , and $R_{}^{}=(1,-7)$ . The equation of the bisector of $\angle P$ can be written in the form $ax+2y+c=0_{}^{}$ . Find $a+c_{}^{}$ . | 89 | \boxed{89} |
Una partícula en movimiento comienza en el punto $(4,4)$ y se mueve hasta que golpea uno de los ejes coordenados por primera vez. Cuando la partícula está en el punto $(a,b)$, se mueve al azar a uno de los puntos $(a-1,b)$, $(a,b-1)$ o $(a-1,b-1)$, cada uno con probabilidad $\tfrac{1}{3}$, independientemente de sus movimientos anteriores. La probabilidad de que golpee los ejes coordenados en $(0,0)$ es $\tfrac{m}{3^n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $m$ no es divisible por $3$. Encuentra $m + n$. | 252 | \boxed{252} |
求有多少个有理数 $r$ ，$0<r<1,$ 使得当 $r$ 写成最简分数时，分子和分母的和为 $1000$ 。 | 200 | \boxed{200} |
Subsets and Splits
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