john6688/DeepSeek-R1-Distill-Qwen-1.5B-GRPO-LIMO-ECS
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2.3k
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|---|---|---|
What is the smallest positive integer than can be expressed as the sum of nine consecutive integers, the sum of ten consecutive integers, and the sum of eleven consecutive integers? | 495 | \boxed{495} |
一个平面上有 $40$ 条直线，其中没有两条是平行的。假设有 $3$ 个点恰好有 $3$ 条直线相交，有 $4$ 个点恰好有 $4$ 条直线相交，有 $5$ 个点恰好有 $5$ 条直线相交，有 $6$ 个点恰好有 $6$ 条直线相交，并且没有超过 $6$ 条直线相交的点。求恰好有 $2$ 条直线相交的点的数量。 | 607 | \boxed{607} |
一副 $52$ 张的牌被编号为 $1, 2, \cdots, 52$ 。Alex、Blair、Corey 和 Dylan 每人从牌堆中随机抽取一张牌且不放回。两张编号较小的牌的人组成一个队伍，两张编号较大的牌的人组成另一个队伍。设 $p(a)$ 为在 Alex 抽到其中一张编号为 $a$ 和 $a+9$ 的牌，且 Dylan 抽到另一张这两者中的情况下，Alex 和 Dylan 在同一队的概率。使得 $p(a)\ge\frac{1}{2}$ 的最小值可以写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。 | 263 | \boxed{263} |
A standard six-sided fair die is rolled four times. The probability that the product of all four numbers rolled is a perfect square is $\tfrac{m}{n}$ , where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n$ . | 187 | \boxed{187} |
Consider all 1000-element subsets of the set $\{ 1, 2, 3, ... , 2015 \}$ . From each such subset choose the least element. The arithmetic mean of all of these least elements is $\frac{p}{q}$ , where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q$ . | 431 | \boxed{431} |
设 $a$ 和 $b$ 是正实数，且 $a \ge b$ 。设 $\rho$ 是 $\dfrac{a}{b}$ 的最大可能值，使得方程组 \[a^2 + y^2 = b^2 + x^2 = (a-x)^2 + (b-y)^2\] 存在满足 $0 \le x < a$ 和 $0 \le y < b$ 的解 $(x,y)$ 。那么 $\rho^2$ 可以表示为一个分数 $\dfrac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$. | 7 | \boxed{7} |
El diagrama muestra un rectángulo que ha sido disecado en nueve cuadrados no superpuestos. Dado que el ancho y la altura del rectángulo son enteros positivos primos relativos, encuentra el perímetro del rectángulo. [asy]defaultpen(linewidth(0.7)); draw((0,0)--(69,0)--(69,61)--(0,61)--(0,0));draw((36,0)--(36,36)--(0,36)); draw((36,33)--(69,33));draw((41,33)--(41,61));draw((25,36)--(25,61)); draw((34,-1) -- (34,-1) -- (34,-1) -- (34,-1) ); draw((34,-2) -- (34,-2) -- (34,-2) -- (34,-2);[/asy] | 260 | \boxed{260} |
¿Para cuántos números reales $a^{}_{}$ la ecuación cuadrática $x^2 + ax^{}_{} + 6a=0$ tiene solo raíces enteras para $x^{}_{}$? | 10 | \boxed{10} |
设 $x_1\leq x_2\leq \cdots\leq x_{100}$ 是实数，满足 $|x_1| + |x_2| + \cdots + |x_{100}| = 1$ 且 $x_1 + x_2 + \cdots + x_{100} = 0$ 。在所有这样的 $100$ 个数的组中，$x_{76} - x_{16}$ 能达到的最大值是 $\tfrac mn$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m+n$. | 841 | \boxed{841} |
Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con $\overline{AD}||\overline{BC}$ cuyo ángulo en la base más larga $\overline{AD}$ es $\dfrac{\pi}{3}$. Las diagonales tienen una longitud de $10\sqrt {21}$, y el punto $E$ está a distancias de $10\sqrt {7}$ y $30\sqrt {7}$ de los vértices $A$ y $D$, respectivamente. Sea $F$ el pie de la altura desde $C$ hasta $\overline{AD}$. La distancia $EF$ se puede expresar en la forma $m\sqrt {n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra el valor de $m + n$. | 32 | \boxed{32} |
The expressions $A$ = $1 \times 2 + 3 \times 4 + 5 \times 6 + \cdots + 37 \times 38 + 39$ and $B$ = $1 + 2 \times 3 + 4 \times 5 + \cdots + 36 \times 37 + 38 \times 39$ are obtained by writing multiplication and addition operators in an alternating pattern between successive integers. Find the positive difference between integers $A$ and $B$ . | 722 | \boxed{722} |
Let triangle $ABC$ be a right triangle in the $xy$ -plane with a right angle at $C_{}$ . Given that the length of the hypotenuse $AB$ is $60$ , and that the medians through $A$ and $B$ lie along the lines $y=x+3$ and $y=2x+4$ respectively, find the area of triangle $ABC$ . | 400 | \boxed{400} |
En el triángulo $ABC$, el punto $D$ está en $\overline{BC}$ con $CD=2$ y $DB=5$, el punto $E$ está en $\overline{AC}$ con $CE=1$ y $EA=3$, $AB=8$, y $\overline{AD}$ y $\overline{BE}$ se intersectan en $P$. Los puntos $Q$ y $R$ están en $\overline{AB}$ de modo que $\overline{PQ}$ es paralelo a $\overline{CA}$ y $\overline{PR}$ es paralelo a $\overline{CB}$. Se da que la razón del área del triángulo $PQR$ al área del triángulo $ABC$ es de $m/n$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentra el valor de $m+n$. | 901 | \boxed{901} |
工厂的工人生产小部件和奇物。对于每种产品，生产时间是恒定的，并且对所有工人都是相同的，但两种产品的生产时间不一定相等。在一小时内，$100$名工人可以生产$300$个小部件和$200$个奇物。在两小时内，$60$名工人可以生产$240$个小部件和$300$个奇物。在三小时内， $50$名工人可以生产 $150 $ 个小部件和 $m $ 个奇物。求$m$. | 450 | \boxed{450} |
Let $x$ be a real number such that $\sin^{10}x+\cos^{10} x = \tfrac{11}{36}$ . Then $\sin^{12}x+\cos^{12} x = \tfrac{m}{n}$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n$ . | 67 | \boxed{67} |
一副包含四十张牌的牌组由四张1，四张2，……，和四张10组成。一对匹配的牌（两张数字相同的牌）从牌组中移除。假设这些牌不再返回到牌组中，令 $m/n$ 为随机选出的两张牌也形成一对的概率，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n.$ | 758 | \boxed{758} |
Con todos los ángulos medidos en grados, el producto $\prod_{k=1}^{45} \csc^2(2k-1)^\circ=m^n$, donde $m$ y $n$ son enteros mayores que 1. Encuentra $m+n$. | 91 | \boxed{91} |
El triángulo equilátero $T$ está inscrito en el círculo $A$, que tiene un radio de $10$. El círculo $B$ con un radio de $3$ es tangente internamente al círculo $A$ en uno de los vértices de $T$. Los círculos $C$ y $D$, ambos con un radio de $2$, son tangentes internamente al círculo $A$ en los otros dos vértices de $T$. Los círculos $B$, $C$ y `D` son todos tangentes externamente al círculo `E`, que tiene un radio $\dfrac mn$, donde `m` y `n` son enteros positivos primos entre sí. Encuentra `m+n`. [asy] unitsize(3mm); defaultpen(linewidth(.8pt)); dotfactor=4; pair A=(0,0), D=8*dir(330), C=8*dir(210), B=7*dir(90); pair Ep=(0,4-27/5); pair[] dotted={A,B,C,D,Ep}; draw(Circle(A,10)); draw(Circle(B,3)); draw(Circle(C,2)); draw(Circle(D,2)); draw(Circle(Ep,27/5)); dot(dotted); label("$E$",Ep,E); label("$A$",A,W); label("$B$",B,W); label("$C$",C,W); label("$D$",D,E); [/asy] | 32 | \boxed{32} |
El triángulo $ABC$ es un triángulo rectángulo con $AC = 7,$ $BC = 24,$ y el ángulo recto en $C.$ El punto $M$ es el punto medio de $AB,$ y $D$ está en el mismo lado de la línea $AB$ que $C$ de modo que $AD = BD = 15.$ Dado que el área del triángulo $CDM$ puede expresarse como $\frac {m\sqrt {n}}{p},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos, con $\textit{m}$ y $\textit{p}$ primos entre sí, y $\textit{n}$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, encuentra $\textit{m + n + p}.$ | 578 | \boxed{578} |
What is the largest even integer that cannot be written as the sum of two odd composite numbers? | 38 | \boxed{38} |
设 $f_1(x) = \frac23 - \frac3{3x+1}$ ，对于 $n \ge 2$ ，定义 $f_n(x) = f_1(f_{n-1}(x))$ 。满足 $f_{1001}(x) = x-3$ 的 $x$ 值可以表示成 $\frac mn$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m+n$. | 8 | \boxed{8} |
En $\triangle{ABC}$ con $AB = 12$, $BC = 13$ y $AC = 15$, sea $M$ un punto en $\overline{AC}$ tal que los círculos inscritos de $\triangle{ABM}$ y $\triangle{BCM}$ tienen radios iguales. Entonces, $\frac{AM}{CM} = \frac{p}{q}$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentra $p + q$. | 45 | \boxed{45} |
递增的几何数列 $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots$ 完全由 $3$ 的整数次幂组成。已知 $\sum_{n=0}^{7}\log_{3}(x_{n}) = 308$ 且 $56 \leq \log_{3}\left ( \sum_{n=0}^{7}x_{n}\right ) \leq 57,$ 求 $\log_{3}(x_{14}).$ | 91 | \boxed{91} |
For any integer $k\geq 1$ , let $p(k)$ be the smallest prime which does not divide $k$ . Define the integer function $X(k)$ to be the product of all primes less than $p(k)$ if $p(k)>2$ , and $X(k)=1$ if $p(k)=2$ . Let $\{x_n\}$ be the sequence defined by $x_0=1$ , and $x_{n+1}X(x_n)=x_np(x_n)$ for $n\geq 0$ . Find the smallest positive integer $t$ such that $x_t=2090$ . | 149 | \boxed{149} |
En el cuadrilátero $ABCD, BC=8, CD=12, AD=10,$ y $m\angle A = m\angle B = 60^\circ.$ Dado que $AB = p + \sqrt{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos, encuentra $p+q.$ | 150 | \boxed{150} |
三个半径为 $3$ 的圆，其圆心分别位于 $(14, 92)$ 、$(17, 76)$ 和 $(19, 84)$ 。一条经过 $(17,76)$ 的直线使得三个圆在直线一侧的部分面积等于它们在直线另一侧的部分面积。求这条直线斜率的绝对值是多少？ | 24 | \boxed{24} |
Las expresiones $A$ = $1 \times 2 + 3 \times 4 + 5 \times 6 + \cdots + 37 \times 38 + 39$ y $B$ = $1 + 2 \times 3 + 4 \times 5 + \cdots + 36 \times 37 + 38 \times 39$ se obtienen escribiendo operadores de multiplicación y adición en un patrón alterno entre enteros sucesivos. Encuentra la diferencia positiva entre los enteros $A$ y $B$. | 722 | \boxed{722} |
设 $u$ 和 $v$ 是满足 $0 < v < u$ 的整数。令 $A = (u,v)$ ，令 $B$ 是点 $A$ 关于直线 $y = x$ 的对称点，令 $C$ 是点 $B$ 关于 y 轴的对称点，令 $D$ 是点 $C$ 关于 x 轴的对称点，并且令 $E$ 是点 $D$ 关于 y 轴的对称点。五边形 $ABCDE$ 的面积是451。求 $u + v$. | 21 | \boxed{21} |
Una base de un trapecio es $100$ unidades más larga que la otra base. El segmento que une los puntos medios de las patas divide el trapecio en dos regiones cuyas áreas están en la razón $2: 3$. Sea $x$ la longitud del segmento que une las patas del trapecio y que es paralelo a las bases y divide el trapecio en dos regiones de igual área. Encuentra el mayor entero que no exceda $x^2/100$. | 181 | \boxed{181} |
设 $\overline{CH}$ 是 $\triangle ABC$ 的一条高。令 $R\,$ 和 $S\,$ 分别是内切于三角形 $ACH\,$ 和 $BCH^{}_{}$ 的圆与 $\overline{CH}$ 相切的点。如果 $AB = 1995\,$ , $AC = 1994\,$ , 并且 $BC = 1993\,$ ，那么 $RS\,$ 可以表示为 $m/n\,$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质整数。求 $m + n$. | 997 | \boxed{997} |
For $1 \leq i \leq 215$ let $a_i = \dfrac{1}{2^{i}}$ and $a_{216} = \dfrac{1}{2^{215}}$ . Let $x_1, x_2, ..., x_{216}$ be positive real numbers such that $\sum_{i=1}^{216} x_i=1$ and $\sum_{1 \leq i < j \leq 216} x_ix_j = \dfrac{107}{215} + \sum_{i=1}^{216} \dfrac{a_i x_i^{2}}{2(1-a_i)}$ . The maximum possible value of $x_2=\dfrac{m}{n}$ , where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n$ . | 863 | \boxed{863} |
Let $x_1< x_2 < x_3$ be the three real roots of the equation $\sqrt{2014} x^3 - 4029x^2 + 2 = 0$ . Find $x_2(x_1+x_3)$ . | 2 | \boxed{2} |
Arnold is studying the prevalence of three health risk factors, denoted by A, B, and C, within a population of men. For each of the three factors, the probability that a randomly selected man in the population has only this risk factor (and none of the others) is 0.1. For any two of the three factors, the probability that a randomly selected man has exactly these two risk factors (but not the third) is 0.14. The probability that a randomly selected man has all three risk factors, given that he has A and B is $\frac{1}{3}$ . The probability that a man has none of the three risk factors given that he does not have risk factor A is $\frac{p}{q}$ , where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p+q$ . | 76 | \boxed{76} |
Real numbers $r$ and $s$ are roots of $p(x)=x^3+ax+b$ , and $r+4$ and $s-3$ are roots of $q(x)=x^3+ax+b+240$ . Find the sum of all possible values of $|b|$ . | 420 | \boxed{420} |
Cuarenta equipos juegan un torneo en el que cada equipo juega contra todos los demás ( $39$ oponentes diferentes) exactamente una vez. No hay empates, y cada equipo tiene un $50 \%$ de probabilidad de ganar cualquier juego que juegue. La probabilidad de que no haya dos equipos que ganen la misma cantidad de juegos es $m/n,$ donde $m_{}$ y $n_{}$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentra $\log_2 n.$ | 742 | \boxed{742} |
Sea $N$ el mayor múltiplo entero de 8, cuyos dígitos son todos diferentes. ¿Cuál es el residuo cuando $N$ se divide por 1000? | 120 | \boxed{120} |
一个用栅栏围起来的矩形田地，尺寸为24米乘52米。一位农业研究人员有1994米的栅栏，可以用于内部围栏，将田地划分成全等的正方形试验区。整个田地必须被划分，并且正方形的边必须与田地的边平行。使用全部或部分1994米的栅栏，最多可以将该田地划分成多少个正方形试验区？ | 702 | \boxed{702} |
Find the integer that is closest to $1000\sum_{n=3}^{10000}\frac1{n^2-4}$ . | 521 | \boxed{521} |
求所有正整数 $n$ 的和，使得当 $1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3$ 被 $n+5$ 除时，余数为 $17$ 。 | 239 | \boxed{239} |
有多少个正整数的有序对 $(x,y),$ 满足 $y<x\le 100,$ 并且 $\frac xy$ 和 $\frac{x+1}{y+1}$ 都是整数? | 85 | \boxed{85} |
求所有正整数 $n$ 的和，使得 $\sqrt{n^2+85n+2017}$ 是一个整数。 | 195 | \boxed{195} |
Convex pentagon $ABCDE$ has side lengths $AB=5$ , $BC=CD=DE=6$ , and $EA=7$ . Moreover, the pentagon has an inscribed circle (a circle tangent to each side of the pentagon). Find the area of $ABCDE$ . | 60 | \boxed{60} |
Hay un conjunto de 1000 interruptores, cada uno de los cuales tiene cuatro posiciones, llamadas $A, B, C$ y $D$. Cuando la posición de cualquier interruptor cambia, es solo de $A$ a $B$, de $B$ a $C$, de $C$ a $D$, o de $D$ a $A$. Inicialmente cada interruptor está en la posición $A$. Los interruptores están etiquetados con los 1000 diferentes enteros $(2^{x})(3^{y})(5^{z})$, donde $x, y$ y $z$ toman los valores entre 0 y 9. En el paso número \(i\) del proceso que consta de 1000 pasos, el \(i\)-ésimo interruptor avanza un paso, al igual que todos los otros interruptores cuyas etiquetas dividen la etiqueta del \(i\)-ésimo interruptor. Después de completar el paso número 1000, ¿cuántos interruptores estarán en la posición \(A\)? | 650 | \boxed{650} |
Encuentra el número de tríos ordenados $(a,b,c)$ donde $a$, $b$ y $c$ son enteros positivos, $a$ es un factor de $b$, $a$ es un factor de $c$, y $a+b+c=100$. | 200 | \boxed{200} |
A drawer contains a mixture of red socks and blue socks, at most 1991 in all. It so happens that, when two socks are selected randomly without replacement, there is a probability of exactly $\frac{1}{2}$ that both are red or both are blue. What is the largest possible number of red socks in the drawer that is consistent with this data? | 990 | \boxed{990} |
Let $x_1\leq x_2\leq \cdots\leq x_{100}$ be real numbers such that $|x_1| + |x_2| + \cdots + |x_{100}| = 1$ and $x_1 + x_2 + \cdots + x_{100} = 0$ . Among all such $100$ -tuples of numbers, the greatest value that $x_{76} - x_{16}$ can achieve is $\tfrac mn$ , where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n$ . | 841 | \boxed{841} |
四面体 $ABCD$ 的边长为 $AD=BC=28$, $AC=BD=44$, 和 $AB=CD=52$. 对于空间中的任意一点 $X$, 定义 $f(X)=AX+BX+CX+DX$. 函数 $f(X)$ 的最小可能值可以表示为 $m\sqrt{n}$, 其中 $m$ 和 $n$ 是正整数, 且 $n$ 不可被任何素数的平方整除. 求 $m+n$. | 682 | \boxed{682} |
El hexágono $ABCDEF$ está dividido en cinco rombos, $P, Q, R, S,$ y $T$, como se muestra. Los rombos $P, Q, R,$ y $S$ son congruentes y cada uno tiene un área de $\sqrt{2006}.$ Sea $K$ el área del rombo $T$. Dado que $K$ es un número entero positivo, encuentra el número de valores posibles para $K.$ [asy] // TheMathGuyd size(8cm); pair A=(0,0), B=(4.2,0), C=(5.85,-1.6), D=(4.2,-3.2), EE=(0,-3.2), F=(-1.65,-1.6), G=(0.45,-1.6), H=(3.75,-1.6), I=(2.1,0), J=(2.1,-3.2), K=(2.1,-1.6); draw(A--B--C--D--EE--F--cycle); draw(F--G--(2).10)); draw(C-H-(21)); label("$\mathcal{T}$",(21-16)); label("$\mathcal{P}$",(01NE)); label("$\mathcal{Q}$",(42NW)); label("$\mathcal{R}$",(02SE)); label("$\mathcal{S}$",(42SW)) [/asy] | 89 | \boxed{89} |
El octágono regular $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ está inscrito en un círculo de área $1.$ El punto $P$ se encuentra dentro del círculo de manera que la región delimitada por $\overline{PA_1},\overline{PA_2},$ y el arco menor $\widehat{A_1A_2}$ del círculo tiene un área de $\tfrac{1}{7},$ mientras que la región delimitada por $\overline{PA_3},\overline{PA_4},$ y el arco menor $\widehat{A_3A_4}$ del círculo tiene un área de $\tfrac{1}{9}.$ Existe un número entero positivo $n$ tal que el área de la región delimitada por $\overline{PA_6},\overline{PA}_7,$ y el arco menor $\widehat{ A _ 6 A _ 7 }$ del círculo es igual a $\tfrac { 1 } { 8 } - \tfrac { \sqrt { 2 } } { n} .$ Encuentra $n.$ | 504 | \boxed{504} |
设 $S$ 为 $20^9$ 的正整数因子的集合。从集合 $S$ 中独立且有放回地随机选择三个数，并按选择顺序标记为 $a_1, a_2,$ 和 $a_3$。使得 $a_1$ 整除 $a_2$ 且 $a_2$ 整除 $a_3$ 的概率是 $\tfrac{m}{n},$ 其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m.$ | 77 | \boxed{77} |
Sea $P$ un punto en el círculo circunscrito al cuadrado $ABCD$ que satisface $PA \cdot PC = 56$ y $PB \cdot PD = 90.$ Encuentra el área de $ABCD.$ | 106 | \boxed{106} |
Sea $\triangle ABC$ con longitudes de lados $AB=30$, $BC=32$ y $AC=34$. El punto $X$ se encuentra en el interior de $\overline{BC}$, y los puntos $I_1$ e $I_2$ son los incentros de $\triangle ABX$ y $\triangle ACX$, respectivamente. Encuentra el área mínima posible de $\triangle AI_1I_2$ mientras $X$ varía a lo largo de $\overline{BC}$. | 126 | \boxed{126} |
一个罐子里有10颗红色糖果和10颗蓝色糖果。Terry随机挑选两颗糖果，然后Mary从剩下的糖果中随机挑选两颗。已知他们得到相同颜色组合（顺序无关）的概率是$\frac{m}{n}$，其中$m$和$n$是互质的正整数，求$m+n$。 | 441 | \boxed{441} |
There are nonzero integers $a$ , $b$ , $r$ , and $s$ such that the complex number $r+si$ is a zero of the polynomial $P(x)={x}^{3}-a{x}^{2}+bx-65$ . For each possible combination of $a$ and $b$ , let ${p}_{a,b}$ be the sum of the zeros of $P(x)$ . Find the sum of the ${p}_{a,b}$ 's for all possible combinations of $a$ and $b$ . | 80 | \boxed{80} |
设 $a, b, c,$ 和 $d$ 是满足以下方程组的实数：
\begin{align*}
a + b &= -3, \\
ab + bc + ca &= -4, \\
abc + bcd + cda + dab &= 14, \\
abcd &= 30.
\end{align*}
存在互质的正整数 $m$ 和 $n$，使得
\[a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \frac{m}{n}.\]
求 $m+n$. | 145 | \boxed{145} |
Each vertex of a regular dodecagon ( $12$ -gon) is to be colored either red or blue, and thus there are $2^{12}$ possible colorings. Find the number of these colorings with the property that no four vertices colored the same color are the four vertices of a rectangle. | 928 | \boxed{928} |
数字 $r$ 可以表示为一个四位小数 $0.abcd,$ 其中 $a, b, c,$ 和 $d$ 表示数字，任何一个都可以是零。希望用分子为1或2且分母为整数的分数来近似 $r$。与 $r$ 最接近的这样的分数是 $\frac 27.$ 那么可能的 $r$ 的值有多少个？ | 417 | \boxed{417} |
$m/n$ 的十进制表示，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数且 $m < n,$ 包含数字 2, 5 和 1 按顺序连续出现。求使得这种情况可能的最小 $n$ 值。 | 127 | \boxed{127} |
En un juego de salón, el mago le pide a uno de los participantes que piense en un número de tres dígitos $(abc)$ donde $a$, $b$ y $c$ representan dígitos en base $10$ en el orden indicado. Luego, el mago le pide a esta persona que forme los números $(acb)$, $(bca)$, $(bac)$, $(cab)$ y $(cba)$, que sume estos cinco números y revele su suma, $N$. Si se le dice el valor de $N$, el mago puede identificar el número original, $(abc)$. Desempeña el papel del mago y determina cuál es $(abc)$ si $N= 3194$. | 358 | \boxed{358} |
El triángulo $ABC$ tiene longitudes de lados enteros positivos con $AB=AC$. Sea $I$ la intersección de las bisectrices de $\angle B$ y $\angle C$. Suponga que $BI=8$. Encuentre el perímetro más pequeño posible del $\triangle ABC$. | 108 | \boxed{108} |
¿Para cuántos pares ordenados $(x,y)$ de enteros es cierto que $0 < x < y < 10^{6}$ y que la media aritmética de $x$ e $y$ es exactamente $2$ más que la media geométrica de $x$ e $y$? | 997 | \boxed{997} |
En un círculo, cuerdas paralelas de longitudes $2$, $3$ y $4$ determinan ángulos centrales de $\alpha$, $\beta$ y $\alpha + \beta$ radianes, respectivamente, donde $\alpha + \beta < \pi$. Si $\cos \alpha$, que es un número racional positivo, se expresa como una fracción en su forma más simple, ¿cuál es la suma de su numerador y denominador? | 49 | \boxed{49} |
数列 $a_1, a_2, \ldots$ 是一个等比数列，且 $a_1=a$ 和公比为 $r,$ 其中 $a$ 和 $r$ 是正整数。已知 $\log_8 a_1+\log_8 a_2+\cdots+\log_8 a_{12} = 2006,$ 求可能的有序对 $(a,r)$ 的个数。 | 46 | \boxed{46} |
Al walks down to the bottom of an escalator that is moving up and he counts 150 steps. His friend, Bob, walks up to the top of the escalator and counts 75 steps. If Al's speed of walking (in steps per unit time) is three times Bob's walking speed, how many steps are visible on the escalator at a given time? (Assume that this value is constant.) | 120 | \boxed{120} |
Los términos de la secuencia $\{a_i\}$ definida por $a_{n + 2} = \frac {a_n + 2009} {1 + a_{n + 1}}$ para $n \ge 1$ son enteros positivos. Encuentra el valor mínimo posible de $a_1 + a_2$. | 90 | \boxed{90} |
在 $0^\circ$ 和 $90^\circ$ 之间有一个唯一的角 $\theta$ ，使得对于非负整数 $n,$ 当 $n$ 是 $3$ 的倍数时，$\tan(2^n\theta)$ 的值为正，否则为负。$\theta$ 的度量是 $\tfrac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。求 $p+q$. | 547 | \boxed{547} |
A container in the shape of a right circular cone is 12 inches tall and its base has a 5-inch radius. The liquid that is sealed inside is 9 inches deep when the cone is held with its point down and its base horizontal. When the liquid is held with its point up and its base horizontal, the height of the liquid is $m - n\sqrt [3]{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers and $p$ is not divisible by the cube of any prime number. Find $m + n + p$ . | 52 | \boxed{52} |
在三角形 $ABC$ 中，$AC=13$ ，$BC=14$ ，以及 $AB=15$ 。点 $M$ 和 $D$ 位于 $AC$ 上，且 $AM=MC$ 并且 $\angle ABD = \angle DBC$ 。点 $N$ 和 $E$ 位于 $AB$ 上，且 $AN=NB$, 并且 $\angle ACE = \angle ECB$. 令点 $P$, 除了点 A 以外，是 $\triangle AMN 和 \triangle ADE 的外接圆的交点。射线 AP 与 BC 相交于 Q 点。比值 $\frac{BQ}{CQ}$ 可以写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 m 和 n 是互质的正整数。求 m-n。 | 218 | \boxed{218} |
Sea $n$ el menor entero positivo que es múltiplo de $75$ y tiene exactamente $75$ divisores enteros positivos, incluyendo $1$ y él mismo. Encuentra $\frac{n}{75}$. | 432 | \boxed{432} |
Sean $v$ y $w$ raíces distintas elegidas al azar de la ecuación $z^{1997}-1=0$. Sea $m/n$ la probabilidad de que $\sqrt{2+\sqrt{3}}\le |v+w|$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentra $m+n$. | 582 | \boxed{582} |
A semicircle with diameter $d$ is contained in a square whose sides have length 8. Given the maximum value of $d$ is $m - \sqrt{n},$ find $m+n.$ | 544 | \boxed{544} |
The sequences of positive integers $1,a_2, a_3,...$ and $1,b_2, b_3,...$ are an increasing arithmetic sequence and an increasing geometric sequence, respectively. Let $c_n=a_n+b_n$ . There is an integer $k$ such that $c_{k-1}=100$ and $c_{k+1}=1000$ . Find $c_k$ . | 262 | \boxed{262} |
Encuentra el menor entero positivo cuyo cubo termina en $888$. | 192 | \boxed{192} |
Let $P$ be the product of the first 100 positive odd integers. Find the largest integer $k$ such that $P$ is divisible by $3^k$ . | 49 | \boxed{49} |
A regular hexagon with center at the origin in the complex plane has opposite pairs of sides one unit apart. One pair of sides is parallel to the imaginary axis. Let $R$ be the region outside the hexagon, and let $S = \left\lbrace\frac{1}{z}|z \in R\right\rbrace$ . Then the area of $S$ has the form $a\pi + \sqrt{b}$ , where $a$ and $b$ are positive integers. Find $a + b$ . | 29 | \boxed{29} |
Sea $S^{}_{}$ el conjunto de todos los números racionales $r^{}_{}$, $0^{}_{}<r<1$, que tienen una expansión decimal periódica en la forma $0.abcabcabc\ldots=0.\overline{abc}$, donde los dígitos $a^{}_{}$, $b^{}_{}$ y $c^{}_{}$ no son necesariamente distintos. Para escribir los elementos de $S^{}_{}$ como fracciones en su forma más simple, ¿cuántos numeradores diferentes se requieren? | 660 | \boxed{660} |
Consider the parallelogram with vertices $(10,45),$ $(10,114),$ $(28,153),$ and $(28,84).$ A line through the origin cuts this figure into two congruent polygons. The slope of the line is $m/n,$ where $m_{}$ and $n_{}$ are relatively prime positive integers. Find $m+n.$ | 118 | \boxed{118} |
Una ficha comienza en el punto $(0,0)$ de una cuadrícula de coordenadas $xy$ y luego realiza una secuencia de seis movimientos. Cada movimiento es de 1 unidad en una dirección paralela a uno de los ejes coordenados. Cada movimiento se selecciona aleatoriamente entre las cuatro direcciones posibles e independientemente de los otros movimientos. La probabilidad de que la ficha termine en un punto del gráfico de $|y|=|x|$ es $\tfrac{m}{n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentra $m+n$. | 391 | \boxed{391} |
设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 是一个正四面体的顶点，每条边的长度为1米。一只虫子从顶点 $A$ 出发，遵循以下规则：在每个顶点，它选择与该顶点相连的三条边中的一条，每条边被选择的概率相等，然后沿着该边爬到另一端的顶点。设 $p = \frac{n}{729}$ 为虫子在爬了恰好7米后位于顶点 $A$ 的概率。求 $n$ 的值。 | 182 | \boxed{182} |
对于 $-1<r<1$ ，令 $S(r)$ 表示几何级数的和 \[12+12r+12r^2+12r^3+\cdots .\] 令 $a$ 在 $-1$ 和 $1$ 之间满足 $S(a)S(-a)=2016$ 。求 $S(a)+S(-a)$ 。 | 336 | \boxed{336} |
求满足以下条件的正整数对 $(m,n)$ 的个数，其中 $1\le m<n\le 30$，使得存在一个实数 $x$ 满足
\[\sin(mx)+\sin(nx)=2.\] | 63 | \boxed{63} |
El triángulo $ABC$ tiene $AC = 450$ y $BC = 300$. Los puntos $K$ y $L$ están ubicados en $\overline{AC}$ y $\overline{AB}$ respectivamente, de modo que $AK = CK$, y $\overline{CL}$ es la bisectriz del ángulo en $C$. Sea $P$ el punto de intersección de $\overline{BK}$ y $\overline{CL}$, y sea $M$ el punto en la línea $BK$ para el cual $K$ es el punto medio de $\overline{PM}$. Si $AM = 180$, encuentra $LP$. | 72 | \boxed{72} |
En el trapecio isósceles $ABCD,$ las bases paralelas $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ tienen longitudes $500$ y $650,$ respectivamente, y $AD=BC=333.$ Las bisectrices de los ángulos $\angle A$ y $\angle D$ se encuentran en $P,$ y las bisectrices de los ángulos $\angle B$ y $\angle C$ se encuentran en $Q.$ Encuentra $PQ.$ | 242 | \boxed{242} |
一个体积为 $54$ 的正方锥的底面边长为 $6.$ 该锥体的五个顶点都位于一个半径为 $\frac{m}{n}$ 的球上，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m+n$. | 21 | \boxed{21} |
El diagrama muestra veinte círculos congruentes dispuestos en tres filas y encerrados en un rectángulo. Los círculos son tangentes entre sí y a los lados del rectángulo como se muestra en el diagrama. La razón de la dimensión más larga del rectángulo a la dimensión más corta se puede escribir como $\frac{1}{2}\left(\sqrt{p}-q\right)$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos. Encuentra $p+q$. [asy] size(250);real x=sqrt(3); int i; draw(origin--(14,0)--(14,2+2x)--(0,2+2x)--cycle); for(i=0; i<7; i=i+1) { draw(Circle((2*i+1,1), 1)^^Circle((2*i+1,1+2x), 1)); } for(i=0; i<6; i=i+1) { draw(Circle((2*i+2,1+x), 1)); } [/asy] | 154 | \boxed{154} |
正八边形 $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ 内接于面积为 $1$ 的圆。点 $P$ 位于圆内，使得由 $\overline{PA_1},\overline{PA_2}$ 和圆的劣弧 $\widehat{A_1A_2}$ 围成的区域面积为 $\tfrac{1}{7}$，而由 $\overline{PA_3},\overline{PA_4}$ 和圆的劣弧 $\widehat{A_3A_4}$ 围成的区域面积为 $\tfrac{1}{9}$。存在一个正整数 $n$，使得由 $\overline{PA_6},\overline{PA_7}$ 和圆的劣弧 $\widehat{A_{6} A_{7}}$ 围成的区域面积等于 $\tfrac {1} {8}-\tfrac {\sqrt {2}} {n}$. 求 $n$. | 504 | \boxed{504} |
一个实心长方体是通过将 $N$ 个全等的 1 厘米立方体面与面粘合在一起形成的。当从一个可以看到其三个面的角度观察该长方体时，恰好有 231 个 1 厘米立方体不可见。求 $N$ 的最小可能值。 | 384 | \boxed{384} |
三个正整数的乘积 $N$ 是它们的和的 6 倍，并且其中一个整数是另外两个整数之和。求 $N$ 的所有可能值之和。 | 336 | \boxed{336} |
Let $f(n)$ and $g(n)$ be functions satisfying \[f(n) = \begin{cases} \sqrt{n} & \text{ if } \sqrt{n} \text{ is an integer}\\ 1 + f(n+1) & \text{ otherwise} \end{cases}\] and \[g(n) = \begin{cases}\sqrt{n} & \text{ if } \sqrt{n} \text{ is an integer}\\ 2 + g(n+2) & \text{ otherwise} \end{cases}\] for positive integers $n$ . Find the least positive integer $n$ such that $\tfrac{f(n)}{g(n)} = \tfrac{4}{7}$ . | 258 | \boxed{258} |
Equilateral $\triangle ABC$ is inscribed in a circle of radius 2. Extend $\overline{AB}$ through $B$ to point $D$ so that $AD=13,$ and extend $\overline{AC}$ through $C$ to point $E$ so that $AE = 11.$ Through $D,$ draw a line $l_1$ parallel to $\overline{AE},$ and through $E,$ draw a line $l_2$ parallel to $\overline{AD}.$ Let $F$ be the intersection of $l_1$ and $l_2.$ Let $G$ be the point on the circle that is collinear with $A$ and $F$ and distinct from $A.$ Given that the area of $\triangle CBG$ can be expressed in the form $\frac{p\sqrt{q}}{r},$ where $p, q,$ and $r$ are positive integers, $p$ and $r$ are relatively prime, and $q$ is not divisible by the square of any prime, find $p+q+r.$ | 865 | \boxed{865} |
凸五边形 $ABCDE$ 的边长为 $AB=5$ , $BC=CD=DE=6$ , 和 $EA=7$ 。此外，该五边形有一个内切圆（一个与五边形的每一条边都相切的圆）。求 $ABCDE$ 的面积。 | 60 | \boxed{60} |
给定一个非负实数 $x$ ，令 $\langle x\rangle$ 表示 $x$ 的小数部分；即 $\langle x\rangle=x-\lfloor x\rfloor$ ，其中 $\lfloor x\rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。假设 $a$ 是正数，$\langle a^{-1}\rangle=\langle a^2\rangle$ ，并且 $2<a^2<3$ 。求 $a^{12}-144a^{-1}$ 的值。 | 233 | \boxed{233} |
三角形 $ABC$ 中，$AB=21$ ，$AC=22$ 和 $BC=20$ 。点 $D$ 和 $E$ 分别位于 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 上，使得 $\overline{DE}$ 平行于 $\overline{BC}$ 并且包含三角形 $ABC$ 的内切圆的圆心。那么 $DE=\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m+n$. | 923 | \boxed{923} |
A game show offers a contestant three prizes A, B and C, each of which is worth a whole number of dollars from $\text{\textdollar}1$ to $\text{\textdollar}9999$ inclusive. The contestant wins the prizes by correctly guessing the price of each prize in the order A, B, C. As a hint, the digits of the three prices are given. On a particular day, the digits given were $1, 1, 1, 1, 3, 3, 3$ . Find the total number of possible guesses for all three prizes consistent with the hint. | 420 | \boxed{420} |
半径为 $11,$ $13,$ 和 $19$ 的三个球体相互外切。一个平面与这些球体相交，形成三个同圆心角的圆，这些圆的中心分别位于 $A,$ $B,$ 和 $C$，并且所有球体的中心都位于该平面的同一侧。假设 $AB^2 = 560.$ 求 $AC^2.$ | 756 | \boxed{756} |
Inicialmente, Alex, Betty y Charlie tenían un total de $444$ cacahuates. Charlie tenía la mayor cantidad de cacahuates, y Alex tenía la menor cantidad. Los tres números de cacahuates que cada persona tenía formaban una progresión geométrica. Alex come $5$ de sus cacahuates, Betty come $9$ de sus cacahuates, y Charlie come $25$ de sus cacahuates. Ahora los tres números de cacahuates que cada persona tiene forman una progresión aritmética. Encuentra el número de cacahuates que Alex tenía inicialmente. | 108 | \boxed{108} |
在三角形 $ABC$ 中，$A'$、$B'$ 和 $C'$ 分别在边 $BC$、$AC$ 和 $AB$ 上。已知 $AA'$、$BB'$ 和 $CC'$ 在点 $O$ 处相交，并且 $\frac{AO}{OA'}+\frac{BO}{OB'}+\frac{CO}{OC'}=92$, 求 $\frac{AO}{OA'}\cdot \frac{BO}{OB'}\cdot \frac{CO}{OC'}$. | 94 | \boxed{94} |
求使得 $2^n + 5^n - n$ 是 $1000$ 的倍数的最小正整数 $n$ 。 | 797 | \boxed{797} |
Los puntos $A$, $B$ y $C$ se encuentran en la superficie de una esfera con centro en $O$ y radio $20$. Se da que $AB=13$, $BC=14$, $CA=15$, y que la distancia desde $O$ al triángulo $ABC$ es $\frac{m\sqrt{n}}{k}$, donde $m$, $n$ y $k$ son enteros positivos, $m$ y $k$ son primos relativos, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra el valor de \( m+n+k \). | 118 | \boxed{118} |
For how many values of $k$ is $12^{12}$ the least common multiple of the positive integers $6^6$ and $8^8$ , and $k$ ? | 25 | \boxed{25} |
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