problem
stringlengths 22
2.3k
| answer
stringclasses 458
values | solution
stringclasses 458
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|---|---|---|
如果实数 $a,b,x,$ 和 $y$ 满足以下方程 \begin{align*} ax + by &= 3, \\ ax^2 + by^2 &= 7, \\ ax^3 + by^3 &= 16, \\ ax^4 + by^4 &= 42. \end{align*} 求 $ax^5 + by^5$。 | 20 | \boxed{20} |
Find the sum of all positive rational numbers that are less than 10 and that have denominator 30 when written in lowest terms. | 400 | \boxed{400} |
递增数列 $2,3,5,6,7,10,11,\ldots$ 由所有既不是正整数的平方也不是正整数的立方的正整数组成。求该数列的第500项。 | 528 | \boxed{528} |
对于正实数 $s$ ，令 $\tau(s)$ 表示所有面积为 $s$ 且两边长分别为 $4$ 和 $10$ 的钝角三角形的集合。使得 $\tau(s)$ 非空且其中所有三角形全等的所有 $s$ 的集合是区间 $[a,b)$ 。求 $a^2+b^2$ 。 | 736 | \boxed{736} |
考虑一个长方体（盒子）内或距离其一单位以内的点集，该长方体的尺寸为3乘4乘5单位。已知该点集的体积是$\frac{m + n \pi}{p},$ 其中$m, n,$ 和$p$是正整数，且$n$和$p$互质，求$m + n + p.$ | 505 | \boxed{505} |
The polynomial $f(z)=az^{2018}+bz^{2017}+cz^{2016}$ has real coefficients not exceeding $2019,$ and $f\left(\tfrac{1+\sqrt3i}{2}\right)=2015+2019\sqrt3i$ . Find the remainder when $f(1)$ is divided by $1000$ . | 53 | \boxed{53} |
有多少个1001的正整数倍可以表示成 $10^{j} - 10^{i}$ 的形式，其中 $i$ 和 $j$ 是整数且 $0\leq i < j \leq 99$? | 784 | \boxed{784} |
Find the smallest positive integer solution to $\tan{19x^{\circ}}=\dfrac{\cos{96^{\circ}}+\sin{96^{\circ}}}{\cos{96^{\circ}}-\sin{96^{\circ}}}$ . | 159 | \boxed{159} |
Recuerde que un palíndromo es un número que se lee igual de adelante hacia atrás y de atrás hacia adelante. Encuentre el mayor entero menor que $1000$ que sea un palíndromo tanto cuando se escribe en base diez como cuando se escribe en base ocho, como $292 = 444_{\text{eight}}.$ | 585 | \boxed{585} |
Sean $x_1< x_2 < x_3$ las tres raíces reales de la ecuación $\sqrt{2014} x^3 - 4029x^2 + 2 = 0$. Encuentra $x_2(x_1+x_3)$. | 2 | \boxed{2} |
Circles of radius $3$ and $6$ are externally tangent to each other and are internally tangent to a circle of radius $9$ . The circle of radius $9$ has a chord that is a common external tangent of the other two circles. Find the square of the length of this chord. | 224 | \boxed{224} |
At a certain university, the division of mathematical sciences consists of the departments of mathematics, statistics, and computer science. There are two male and two female professors in each department. A committee of six professors is to contain three men and three women and must also contain two professors from each of the three departments. Find the number of possible committees that can be formed subject to these requirements. | 88 | \boxed{88} |
Para cualquier entero positivo $a,$ $\sigma(a)$ denota la suma de los divisores enteros positivos de $a$. Sea $n$ el menor entero positivo tal que $\sigma(a^n)-1$ es divisible por $2021$ para todos los enteros positivos $a$. Encuentra la suma de los factores primos en la factorización prima de $n$. | 125 | \boxed{125} |
Tres esferas con radios $11,$ $13,$ y $19$ son mutuamente tangentes externamente. Un plano intersecta las esferas en tres círculos congruentes centrados en $A,$ $B,$ y $C,$ respectivamente, y los centros de las esferas están todos en el mismo lado de este plano. Suponga que $AB^2 = 560.$ Encuentre $AC^2.$ | 756 | \boxed{756} |
Triangle $AB_0C_0$ has side lengths $AB_0 = 12$ , $B_0C_0 = 17$ , and $C_0A = 25$ . For each positive integer $n$ , points $B_n$ and $C_n$ are located on $\overline{AB_{n-1}}$ and $\overline{AC_{n-1}}$ , respectively, creating three similar triangles $\triangle AB_nC_n \sim \triangle B_{n-1}C_nC_{n-1} \sim \triangle AB_{n-1}C_{n-1}$ . The area of the union of all triangles $B_{n-1}C_nB_n$ for $n\geq1$ can be expressed as $\tfrac pq$ , where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $q$ . | 961 | \boxed{961} |
Circles $\omega_1$ and $\omega_2$ intersect at points $X$ and $Y$ . Line $\ell$ is tangent to $\omega_1$ and $\omega_2$ at $A$ and $B$ , respectively, with line $AB$ closer to point $X$ than to $Y$ . Circle $\omega$ passes through $A$ and $B$ intersecting $\omega_1$ again at $D \neq A$ and intersecting $\omega_2$ again at $C \neq B$ . The three points $C$ , $Y$ , $D$ are collinear, $XC = 67$ , $XY = 47$ , and $XD = 37$ . Find $AB^2$ . | 270 | \boxed{270} |
The sequence $a_1, a_2, \ldots$ is geometric with $a_1=a$ and common ratio $r,$ where $a$ and $r$ are positive integers. Given that $\log_8 a_1+\log_8 a_2+\cdots+\log_8 a_{12} = 2006,$ find the number of possible ordered pairs $(a,r).$ | 46 | \boxed{46} |
矩形 $ABCD_{}^{}$ 的边 $\overline {AB}$ 长度为 4，$\overline {CB}$ 长度为 3。将 $\overline {AB}$ 分成 168 个全等的线段，点 $A_{}^{}=P_0, P_1, \ldots, P_{168}=B$ ，并将 $\overline {CB}$ 分成 168 个全等的线段，点 $C_{}^{}=Q_0, Q_1, \ldots, Q_{168}=B$ 。对于 $1_{}^{} \le k \le 167$ ，画出线段 $\overline {P_kQ_k}$ 。在边 $\overline {AD}$ 和 $\overline {CD}$ 上重复此构造，然后画出对角线 $\overline {AC}$ 。求所画出的335条平行线段的长度之和。 | 840 | \boxed{840} |
The vertices of a regular nonagon (9-sided polygon) are to be labeled with the digits 1 through 9 in such a way that the sum of the numbers on every three consecutive vertices is a multiple of 3. Two acceptable arrangements are considered to be indistinguishable if one can be obtained from the other by rotating the nonagon in the plane. Find the number of distinguishable acceptable arrangements. | 144 | \boxed{144} |
Encuentra $x^2+y^2_{}$ si $x_{}^{}$ y $y_{}^{}$ son enteros positivos tales que \begin{align*} xy+x+y&=71, \\ x^2y+xy^2&=880. \end{align*} | 146 | \boxed{146} |
设 $x=\frac{\sum\limits_{n=1}^{44} \cos n^\circ}{\sum\limits_{n=1}^{44} \sin n^\circ}$ 。不超过 $100x$ 的最大整数是多少？ | 241 | \boxed{241} |
A chord of a circle is perpendicular to a radius at the midpoint of the radius. The ratio of the area of the larger of the two regions into which the chord divides the circle to the smaller can be expressed in the form $\frac{a\pi+b\sqrt{c}}{d\pi-e\sqrt{f}},$ where $a, b, c, d, e,$ and $f$ are positive integers, $a$ and $e$ are relatively prime, and neither $c$ nor $f$ is divisible by the square of any prime. Find the remainder when the product $abcdef$ is divided by 1000. | 592 | \boxed{592} |
所有顶点也是一个1×1×1立方体顶点的三角形的面积之和是$m + \sqrt{n} + \sqrt{p},$ 其中$m, n,$ 和$p$是整数。求$m + n + p.$ | 348 | \boxed{348} |
设 $x$ 是一个实数，使得 $\sin^{10}x+\cos^{10} x = \tfrac{11}{36}$ 。那么 $\sin^{12}x+\cos^{12} x = \tfrac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m+n$ 。 | 67 | \boxed{67} |
Diez sillas están dispuestas en un círculo. Encuentra el número de subconjuntos de este conjunto de sillas que contienen al menos tres sillas adyacentes. | 581 | \boxed{581} |
En el plano cartesiano, sea $A = (1,0)$ y $B = \left( 2, 2\sqrt{3} \right)$. Se construye un triángulo equilátero $ABC$ de manera que $C$ se encuentra en el primer cuadrante. Sea $P=(x,y)$ el centro del $\triangle ABC$. Entonces, $x \cdot y$ se puede escribir como $\tfrac{p\sqrt{q}}{r}$, donde $p$ y $r$ son enteros positivos primos entre sí y $q$ es un entero que no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $p+q+r$. | 40 | \boxed{40} |
Los círculos $\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2,$ y $\mathcal{C}_3$ tienen sus centros en (0,0), (12,0) y (24,0), y tienen radios 1, 2 y 4, respectivamente. La línea $t_1$ es una tangente interna común a $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ y tiene una pendiente positiva, y la línea $t_2$ es una tangente interna común a $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$ y tiene una pendiente negativa. Dado que las líneas $t_1$ y $t_2$ se intersectan en $(x,y),$ y que $x=p-q\sqrt{r},$ donde $p$, $q,$ y $r$ son enteros positivos y $r$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, encuentra $p+q+r.$ | 27 | \boxed{27} |
Jenny 和 Kenny 正在同一方向行走，Kenny 以每秒 3 英尺的速度行走，而 Jenny 以每秒 1 英尺的速度行走，他们在相距 200 英尺的平行路径上。一个直径为 100 英尺的高圆形建筑物位于两条路径之间的中点。当建筑物第一次阻挡 Jenny 和 Kenny 的视线时，他们相距 200 英尺。设 $t\,$ 为 Jenny 和 Kenny 再次能看到彼此之前经过的时间（以秒为单位）。如果 $t\,$ 被写成最简分数形式，求分子和分母之和是多少？ | 163 | \boxed{163} |
Una bióloga quiere calcular el número de peces en un lago. El 1 de mayo captura una muestra aleatoria de 60 peces, los etiqueta y los libera. El 1 de septiembre captura una muestra aleatoria de 70 peces y encuentra que 3 de ellos están etiquetados. Para calcular el número de peces en el lago el 1 de mayo, ella asume que el 25% de estos peces ya no están en el lago el 1 de septiembre (debido a la muerte y emigraciones), que el 40% de los peces no estaban en el lago el 1 de mayo (debido a nacimientos e inmigraciones), y que la cantidad de peces no etiquetados y etiquetados en la muestra del 1 de septiembre es representativa del total poblacional. ¿Qué calcula la bióloga como número total de peces en el lago al primero del mes? | 840 | \boxed{840} |
Define an ordered quadruple of integers $(a, b, c, d)$ as interesting if $1 \le a<b<c<d \le 10$ , and $a+d>b+c$ . How many interesting ordered quadruples are there? | 80 | \boxed{80} |
$ABCD$ es una hoja de papel rectangular que se ha doblado de manera que la esquina $B$ coincide con el punto $B'$ en el borde $AD.$ El pliegue es $EF,$ donde $E$ está en $AB$ y $F$ está en $CD.$ Se dan las dimensiones $AE=8, BE=17,$ y $CF=3.$ El perímetro del rectángulo $ABCD$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentra el valor de $m+n.$ [asy] size(200); defaultpen(linewidth(0.7)+fontsize(10)); pair A=origin, B=(25,0), C=(25,70/3), D=(0,70/3), E=(8,0), F=(22,70/3), Bp=reflect(E,F)*B, Cp=reflect(E,F)*C; draw(F--D--A--E); draw(E--B--C--F, linetype("4 4")); filldraw(E--F--Cp--Bp--cycle, white, black); pair point=( 12.5, 35/3 ); label("$A$", A, dir(point--A)); label("$B$", B, dir(point--B)); label("$C$", C, dir(point--C)); label("$D$", D, dir(point--D)); label("$E$", E, dir(point--E)); label("$F$", F, dir(point--F)); label("$B^\prime$", Bp ,dir (point --Bp ));label ("$\displaystyle C^\prime $" ,Cp ,dir (point --Cp ) ) ;[/asy] | 293 | \boxed{293} |
多项式 $f(z)=az^{2018}+bz^{2017}+cz^{2016}$ 的实系数不超过 $2019,$ 且 $f\left(\tfrac{1+\sqrt3i}{2}\right)=2015+2019\sqrt3i$ 。求 $f(1)$ 除以 $1000$ 的余数。 | 53 | \boxed{53} |
Los cuadrados $S_1$ y $S_2$ están inscritos en el triángulo rectángulo $ABC$, como se muestra en las figuras a continuación. Encuentra $AC + CB$ si el área de $(S_1) = 441$ y el área de $(S_2) = 440$. AIME 1987 Problema 15.png | 462 | \boxed{462} |
The adjoining figure shows two intersecting chords in a circle, with $B$ on minor arc $AD$ . Suppose that the radius of the circle is $5$ , that $BC=6$ , and that $AD$ is bisected by $BC$ . Suppose further that $AD$ is the only chord starting at $A$ which is bisected by $BC$ . It follows that the sine of the central angle of minor arc $AB$ is a rational number. If this number is expressed as a fraction $\frac{m}{n}$ in lowest terms, what is the product $mn$ ? [asy]size(140); defaultpen(linewidth(.8pt)+fontsize(11pt)); dotfactor=1; pair O1=(0,0); pair A=(-0.91,-0.41); pair B=(-0.99,0.13); pair C=(0.688,0.728); pair D=(-0.25,0.97); path C1=Circle(O1,1); draw(C1); label("$A$",A,W); label("$B$",B,W); label("$C$",C,NE); label("$D$",D,N); draw(A--D); draw(B--C); pair F=intersectionpoint(A--D,B--C); add(pathticks(A--F,1,0.5,0,3.5)); add(pathticks(F--D,1,0.5,0,3.5)); [/asy] | 175 | \boxed{175} |
一个 $a \times b \times c$ 的长方体盒子是由 $a \cdot b \cdot c$ 个单位立方体组成的。每个单位立方体被涂成红色、绿色或黄色。盒子中平行于 $(b \times c)$ 面的每个大小为 $1 \times b \times c$ 的 $a$ 层中，恰好包含 $9$ 个红色立方体，恰好包含 $12$ 个绿色立方体，以及一些黄色立方体。盒子中平行于 $(a \times c)$ 面的每个大小为 $a \times 1 \times c$ 的 $b$ 层中，恰好包含 $20$ 个绿色立方体，恰好包含 $25$ 个黄色立方体，以及一些红色立方体。求该盒子的最小可能容积。 | 180 | \boxed{180} |
En $\triangle ABC$, $AB= 425$, $BC=450$ y $AC=510$. Se dibuja un punto interior $P$, y se trazan segmentos a través de $P$ paralelos a los lados del triángulo. Si estos tres segmentos tienen una longitud igual a $d$, encuentra $d$. | 306 | \boxed{306} |
Se da que $\log_{6}a + \log_{6}b + \log_{6}c = 6$, donde $a$, $b$ y $c$ son enteros positivos que forman una secuencia geométrica creciente y $b - a$ es el cuadrado de un entero. Encuentra $a + b + c$. | 111 | \boxed{111} |
The sum of the areas of all triangles whose vertices are also vertices of a 1 by 1 by 1 cube is $m + \sqrt{n} + \sqrt{p},$ where $m, n,$ and $p$ are integers. Find $m + n + p.$ | 348 | \boxed{348} |
A frog begins at $P_0 = (0,0)$ and makes a sequence of jumps according to the following rule: from $P_n = (x_n, y_n),$ the frog jumps to $P_{n+1},$ which may be any of the points $(x_n + 7, y_n + 2),$ $(x_n + 2, y_n + 7),$ $(x_n - 5, y_n - 10),$ or $(x_n - 10, y_n - 5).$ There are $M$ points $(x, y)$ with $|x| + |y| \le 100$ that can be reached by a sequence of such jumps. Find the remainder when $M$ is divided by $1000.$ | 373 | \boxed{373} |
三角形 $ABC$ 中，$AB=40,AC=31,$ 且 $\sin{A}=\frac{1}{5}$ 。该三角形内接于矩形 $AQRS$ ，其中点 $B$ 在 $\overline{QR}$ 上，点 $C$ 在 $\overline{RS}$ 上。求 $AQRS$ 的最大可能面积。 | 744 | \boxed{744} |
Triangle $ABC$ lies in the Cartesian Plane and has an area of 70. The coordinates of $B$ and $C$ are $(12,19)$ and $(23,20),$ respectively, and the coordinates of $A$ are $(p,q).$ The line containing the median to side $BC$ has slope $-5.$ Find the largest possible value of $p+q.$ | 47 | \boxed{47} |
在$\triangle ABC$中，边长为$AB = 13,$ $BC = 14,$ 和 $CA = 15,$ 令$M$为$\overline{BC}$的中点。令$P$为$\triangle ABC$的外接圆上的一点，使得$M$在$\overline{AP}$上。存在一个唯一的点$Q$在线段$\overline{AM}$上，使得$\angle PBQ = \angle PCQ.$ 那么， $AQ$ 可以表示为 $\frac{m}{\sqrt{n}},其中$m和$n是互质正整数。求$m+n.$ | 247 | \boxed{247} |
求小于 $1000$ 的正整数中，可以表示为两个 $2$ 的整数次幂之差的数的个数。 | 50 | \boxed{50} |
Equilateral triangle $ABC$ has side length $840$ . Point $D$ lies on the same side of line $BC$ as $A$ such that $\overline{BD} \perp \overline{BC}$ . The line $\ell$ through $D$ parallel to line $BC$ intersects sides $\overline{AB}$ and $\overline{AC}$ at points $E$ and $F$ , respectively. Point $G$ lies on $\ell$ such that $F$ is between $E$ and $G$ , $\triangle AFG$ is isosceles, and the ratio of the area of $\triangle AFG$ to the area of $\triangle BED$ is $8:9$ . Find $AF$ . [asy] pair A,B,C,D,E,F,G; B=origin; A=5*dir(60); C=(5,0); E=0.6*A+0.4*B; F=0.6*A+0.4*C; G=rotate(240,F)*A; D=extension(E,F,B,dir(90)); draw(D--G--A,grey); draw(B--0.5*A+rotate(60,B)*A*0.5,grey); draw(A--B--C--cycle,linewidth(1.5)); dot(A^^B^^C^^D^^E^^F^^G); label("$A$",A,dir(90)); label("$B$",B,dir(225)); label("$C$",C,dir(-45)); label("$D$",D,dir(180)); label("$E$",E,dir(-45)); label("$F$",F,dir(225)); label("$G$",G,dir(0)); label("$\ell$",midpoint(E--F),dir(90)); [/asy] | 336 | \boxed{336} |
Una pirámide tiene una base triangular con longitudes de lados $20$, $20$ y $24$. Los tres bordes de la pirámide desde las tres esquinas de la base hasta el cuarto vértice de la pirámide tienen todos una longitud de $25$. El volumen de la pirámide es $m\sqrt{n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $m+n$. | 803 | \boxed{803} |
设 $K$ 为所有因子 $(b-a)$ 的乘积（不一定不同），其中 $a$ 和 $b$ 是满足 $1\le a < b \le 20$ 的整数。求最大的正整数 $n$，使得 $2^n$ 整除 $K$。 | 150 | \boxed{150} |
El triángulo $ABC$ es isósceles con $AC = BC$ y $\angle ACB = 106^\circ.$ El punto $M$ está en el interior del triángulo de modo que $\angle MAC = 7^\circ$ y $\angle MCA = 23^\circ.$ Encuentra el número de grados en $\angle CMB.$ | 83 | \boxed{83} |
El gráfico de la ecuación $9x+223y=2007$ se dibuja en papel milimetrado con cada cuadrado representando una unidad en cada dirección. ¿Cuántos de los cuadrados de papel milimetrado de $1$ por $1$ tienen interiores que se encuentran completamente por debajo del gráfico y completamente en el primer cuadrante? | 888 | \boxed{888} |
Encuentra el número de enteros positivos $m$ para los cuales existen enteros no negativos $x_0$, $x_1$, $\dots$, $x_{2011}$ tales que \[m^{x_0} = \sum_{k = 1}^{2011} m^{x_k}.\] | 16 | \boxed{16} |
有 $2n$ 个复数同时满足 $z^{28} - z^{8} - 1 = 0$ 和 $|z| = 1$ 。这些复数的形式为 $z_{m} = \cos\theta_{m} + i\sin\theta_{m}$ ，其中 $0\leq\theta_{1} < \theta_{2} < \ldots < \theta_{2n} < 360$ ，角度以度为单位。求 $\theta_{2} + \theta_{4} + \ldots + \theta_{2n}$ 的值。 | 840 | \boxed{840} |
¿Para cuántos pares ordenados de enteros positivos $(x,y),$ con $y<x\le 100,$ son ambos $\frac xy$ y $\frac{x+1}{y+1}$ enteros? | 85 | \boxed{85} |
Se dan diez puntos en el plano, sin que tres de ellos sean colineales. Se eligen al azar cuatro segmentos distintos que unen pares de estos puntos, siendo todos estos segmentos igualmente probables. La probabilidad de que tres de los segmentos formen un triángulo cuyos vértices estén entre los diez puntos dados es $m/n,$ donde $m_{}$ y $n_{}$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentra $m+n.$ | 489 | \boxed{489} |
The sequence $(a_n)$ satisfies $a_0=0$ and $a_{n + 1} = \frac{8}{5}a_n + \frac{6}{5}\sqrt{4^n - a_n^2}$ for $n \geq 0$ . Find the greatest integer less than or equal to $a_{10}$ . | 983 | \boxed{983} |
In triangle $ABC$ , $AB=\sqrt{30}$ , $AC=\sqrt{6}$ , and $BC=\sqrt{15}$ . There is a point $D$ for which $\overline{AD}$ bisects $\overline{BC}$ , and $\angle ADB$ is a right angle. The ratio \[\dfrac{\text{Area}(\triangle ADB)}{\text{Area}(\triangle ABC)}\] can be written in the form $\dfrac{m}{n}$ , where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n$ . | 65 | \boxed{65} |
There is a prime number $p$ such that $16p+1$ is the cube of a positive integer. Find $p$ . | 307 | \boxed{307} |
求由图形 $|x-60|+|y|=\left|\frac{x}{4}\right|$ 围成的区域的面积。 | 480 | \boxed{480} |
Let $w$ and $z$ be complex numbers such that $|w| = 1$ and $|z| = 10$ . Let $\theta = \arg \left(\tfrac{w-z}{z}\right)$ . The maximum possible value of $\tan^2 \theta$ can be written as $\tfrac{p}{q}$ , where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p+q$ . (Note that $\arg(w)$ , for $w \neq 0$ , denotes the measure of the angle that the ray from $0$ to $w$ makes with the positive real axis in the complex plane.) | 100 | \boxed{100} |
一个立方体的三个顶点是 $P=(7,12,10)$ ，$Q=(8,8,1)$ ，和 $R=(11,3,9)$ 。这个立方体的表面积是多少？ | 294 | \boxed{294} |
Para cualquier conjunto finito $X,$ sea $|X|$ el número de elementos en $X.$ Defina \[S_n = \sum |A \cap B|,\] donde la suma se toma sobre todos los pares ordenados $(A,B)$ tales que $A$ y $B$ son subconjuntos de $\{1,2,3,\ldots,n\}$ con $|A|=|B|.$ Por ejemplo, $S_2 = 4$ porque la suma se toma sobre los pares de subconjuntos \[(A,B) \in \left\{(\emptyset,\emptyset),(\{1\},\{1\}),(\{1\},\{2\}),(\{2\},\{1\}),(\{2\},\{2\}),(\{1,2\},\{1,2\})}\right,\] dando como resultado que $S_2 = 0+1+0+0+1+2=4.$ Sea $\frac{S_{2022}}{\S_{2021}} = \frac {p}{q}$ donde p y q son enteros positivos relativamente primos. Encuentre el residuo cuando p + q se divide por 1000. | 245 | \boxed{245} |
For certain pairs $(m,n)$ of positive integers with $m\geq n$ there are exactly $50$ distinct positive integers $k$ such that $|\log m - \log k| < \log n$ . Find the sum of all possible values of the product $m \cdot n$ . | 125 | \boxed{125} |
One base of a trapezoid is $100$ units longer than the other base. The segment that joins the midpoints of the legs divides the trapezoid into two regions whose areas are in the ratio $2: 3$ . Let $x$ be the length of the segment joining the legs of the trapezoid that is parallel to the bases and that divides the trapezoid into two regions of equal area. Find the greatest integer that does not exceed $x^2/100$ . | 181 | \boxed{181} |
欧拉公式指出，对于一个凸多面体，若其有 $V$ 个顶点，$E$ 条边和 $F$ 个面，则有 $V-E+F=2\,$ 。某个特定的凸多面体有 32 个面，每个面要么是三角形，要么是五边形。在它的每个 $V\,$ 顶点处，有 $T\,$ 个三角形面和 $P^{}_{}$ 五边形面相交。求 $100P+10T+V\,$ 的值是多少？ | 250 | \boxed{250} |
一个正十二边形（$12$-gon）的每个顶点要么被涂成红色，要么被涂成蓝色，因此有 $2^{12}$ 种可能的颜色组合。找出具有以下性质的这些颜色组合的数量：没有四个相同颜色的顶点构成一个矩形。 | 928 | \boxed{928} |
A moving particle starts at the point $(4,4)$ and moves until it hits one of the coordinate axes for the first time. When the particle is at the point $(a,b)$ , it moves at random to one of the points $(a-1,b)$ , $(a,b-1)$ , or $(a-1,b-1)$ , each with probability $\tfrac{1}{3}$ , independently of its previous moves. The probability that it will hit the coordinate axes at $(0,0)$ is $\tfrac{m}{3^n}$ , where $m$ and $n$ are positive integers, and $m$ is not divisible by $3$ . Find $m + n$ . | 252 | \boxed{252} |
El rectángulo $ABCD$ tiene longitudes de lados $AB=84$ y $AD=42$. El punto $M$ es el punto medio de $\overline{AD}$, el punto $N$ es el punto de trisección de $\overline{AB}$ más cercano a $A$, y el punto $O$ es la intersección de $\overline{CM}$ y $\overline{DN}$. El punto $P$ se encuentra en el cuadrilátero $BCON$, y $\overline{BP}$ biseca el área de $BCON$. Encuentra el área del triángulo $\triangle CDP$. | 546 | \boxed{546} |
Los segmentos $\overline{AB}, \overline{AC},$ y $\overline{AD}$ son aristas de un cubo y $\overline{AG}$ es una diagonal a través del centro del cubo. El punto $P$ satisface $BP=60\sqrt{10}$ , $CP=60\sqrt{5}$ , $DP=120\sqrt{2}$ , y $GP=36\sqrt{7}$. Encuentra $AP.$ | 192 | \boxed{192} |
Se elige un número real $a$ al azar y de manera uniforme del intervalo $[-20, 18]$. La probabilidad de que las raíces del polinomio \[x^4 + 2ax^3 + (2a - 2)x^2 + (-4a + 3)x - 2\] sean todas reales se puede escribir en la forma $\dfrac{m}{n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentra $m + n$. | 37 | \boxed{37} |
En el triángulo $ABC$, $AB=13$, $BC=15$ y $CA=17$. El punto $D$ está en $\overline{AB}$, $E$ está en $\overline{BC}$, y $F$ está en $\overline{CA}$. Sea $AD=p\cdot AB$, $BE=q\cdot BC$, y $CF=r\cdot CA$, donde $p$, $q$ y $r$ son positivos y satisfacen que \( p+q+r=\frac{2}{3} \) y \( p^2+q^2+r^2=\frac{2}{5} \). La razón del área del triángulo \( DEF \) al área del triángulo \( ABC \) se puede escribir en la forma \( m/n \), donde \( m \) y \( n \) son enteros positivos primos entre sí. Encuentra \( m+n \). | 61 | \boxed{61} |
Sea $N$ el número de enteros positivos que son menores o iguales a 2003 y cuya representación en base-2 tiene más 1's que 0's. Encuentra el residuo cuando $N$ se divide por 1000. | 155 | \boxed{155} |
找到其立方以 $888$ 结尾的最小正整数。 | 192 | \boxed{192} |
Find the least positive integer $N$ such that the set of $1000$ consecutive integers beginning with $1000\cdot N$ contains no square of an integer. | 282 | \boxed{282} |
Sarah intended to multiply a two-digit number and a three-digit number, but she left out the multiplication sign and simply placed the two-digit number to the left of the three-digit number, thereby forming a five-digit number. This number is exactly nine times the product Sarah should have obtained. What is the sum of the two-digit number and the three-digit number? | 126 | \boxed{126} |
对于任何实数序列 $A=(a_1,a_2,a_3,\ldots)$ ，定义 $\Delta A^{}_{}$ 为序列 $(a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3,\ldots)$ ，其第 $n$ 项是 $a_{n+1}-a_n^{}$ 。假设序列 $\Delta(\Delta A^{}_{})$ 的所有项都是 $1^{}_{}$ ，并且 $a_{19}=a_{92}^{}=0$ 。求 $a_1^{}$ 。 | 819 | \boxed{819} |
Sea $f(x)$ un polinomio de tercer grado con coeficientes reales que satisface \[|f(1)|=|f(2)|=|f(3)|=|f(5)|=|f(6)|=|f(7)|=12.\] Encuentra $|f(0)|$. | 72 | \boxed{72} |
Five towns are connected by a system of roads. There is exactly one road connecting each pair of towns. Find the number of ways there are to make all the roads one-way in such a way that it is still possible to get from any town to any other town using the roads (possibly passing through other towns on the way). | 544 | \boxed{544} |
给定八个可区分的戒指，设 $n$ 为在一只手的四个手指（不包括拇指）上可能的五戒排列数。每个手指上的戒指顺序是重要的，但并不要求每个手指都有戒指。求 $n$ 的最左边三个非零数字。 | 376 | \boxed{376} |
一个底面为 $ABCD$ 、顶点为 $E$ 的四棱锥的八条边长均为 4。一平面通过 $AE$ 、$BC$ 和 $CD$ 的中点。该平面与四棱锥的交线所围成的面积可以表示为 $\sqrt{p}$ 。求 $p$ 。 | 80 | \boxed{80} |
两个盒子中各包含黑色和白色弹珠，总共的弹珠数量是 $25$。从每个盒子中随机取出一个弹珠。两个弹珠都是黑色的概率是 $\frac{27}{50}$，而两个弹珠都是白色的概率是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 是多少？ | 26 | \boxed{26} |
Find $(\log_2 x)^2$ if $\log_2 (\log_8 x) = \log_8 (\log_2 x)$ . | 27 | \boxed{27} |
Let $ABCDEF$ be an equiangular hexagon such that $AB=6, BC=8, CD=10$ , and $DE=12$ . Denote $d$ the diameter of the largest circle that fits inside the hexagon. Find $d^2$ . | 147 | \boxed{147} |
A finite set $\mathcal{S}$ of distinct real numbers has the following properties: the mean of $\mathcal{S}\cup\{1\}$ is $13$ less than the mean of $\mathcal{S}$ , and the mean of $\mathcal{S}\cup\{2001\}$ is $27$ more than the mean of $\mathcal{S}$ . Find the mean of $\mathcal{S}$ . | 651 | \boxed{651} |
El triángulo $ABC$ tiene $AB=40, AC=31,$ y $\sin{A}=\frac{1}{5}$ . Este triángulo está inscrito en el rectángulo $AQRS$ con $B$ en $\overline{QR}$ y $C$ en $\overline{RS}$ . Encuentra el área máxima posible de $AQRS$. | 744 | \boxed{744} |
A solid rectangular block is formed by gluing together $N$ congruent 1-cm cubes face to face. When the block is viewed so that three of its faces are visible, exactly 231 of the 1-cm cubes cannot be seen. Find the smallest possible value of $N.$ | 384 | \boxed{384} |
A basketball player has a constant probability of $.4$ of making any given shot, independent of previous shots. Let $a_n$ be the ratio of shots made to shots attempted after $n$ shots. The probability that $a_{10}=.4$ and $a_n\le.4$ for all $n$ such that $1\le n\le9$ is given to be $p^aq^br/\left(s^c\right)$ where $p$ , $q$ , $r$ , and $s$ are primes, and $a$ , $b$ , and $c$ are positive integers. Find $\left(p+q+r+s\right)\left(a+b+c\right)$ . | 660 | \boxed{660} |
设 $N$ 是最小的正整数，它比一个整数少 $22\%$，且比另一个整数多 $16\%$。求 $N$ 除以 $1000$ 的余数。 | 131 | \boxed{131} |
Encuentra $ax^5 + by^5$ si los números reales $a,b,x,$ y $y$ satisfacen las ecuaciones \begin{align*} ax + by &= 3, \\ ax^2 + by^2 &= 7, \\ ax^3 + by^3 &= 16, \\ ax^4 + by^4 &= 42. \end{align*} | 20 | \boxed{20} |
Find the area of the region enclosed by the graph of $|x-60|+|y|=\left|\frac{x}{4}\right|.$ | 480 | \boxed{480} |
圆 $\mathcal{P}$ 和 $\mathcal{Q}$ 的半径分别为 $1$ 和 $4$ ，并且在点 $A$ 外切。点 $B$ 在 $\mathcal{P}$ 上，点 $C$ 在 $\mathcal{Q}$ 上，使得 $BC$ 是两圆的公切线。经过 $A$ 的直线 $\ell$ 再次与 $\mathcal{P}$ 相交于点 $D$, 并再次与 $\mathcal{Q}$ 相交于点 $E$. 点 $B$ 和 点 $C$ 位于直线$\ell$ 的同一侧，并且$\triangle DBA$和$\triangle ACE$的面积相等。这个公共面积是$\frac{m}{n}$，其中$m$和$n$是互质正整数。求$m+n$. [asy] import cse5; pathpen=black; pointpen=black; size(6cm); pair E = IP(L((-.2476,1.9689),(0.8,1.6),-3,5.5),CR((4,4),4)), D = (-.2476,1.9689); filldraw(D--(0.8,1.6)--(0,0)--cycle,gray(0.7)); filldraw(E--(0.8,1.6)--(4,0)--cycle,gray(0.7)); D(CR((0,1),1)); D(CR((4,4),4,150,390)); D(L(MP("D",D(D),N),MP("A",D((0.8,1.6)),NE),1,5.5)); D((-1.2,-2)--MP("B",D((2,-2)),S)--MP("C",D((-3,-2)),S)--(-10,-2)); D(MP("E",E,N)); [/asy] | 129 | \boxed{129} |
The sets $A = \{z : z^{18} = 1\}$ and $B = \{w : w^{48} = 1\}$ are both sets of complex roots of unity. The set $C = \{zw : z \in A ~ \mbox{and} ~ w \in B\}$ is also a set of complex roots of unity. How many distinct elements are in $C^{}_{}$ ? | 144 | \boxed{144} |
对于正整数 $n$ ，令 $s(n)$ 表示 $n$ 的各位数字之和。找到满足 $s(n) = s(n+864) = 20$ 的最小正整数。 | 695 | \boxed{695} |
Una secuencia de números $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots,x_{100}$ tiene la propiedad de que, para cada entero $k$ entre $1$ y $100,$ inclusive, el número $x_{k}$ es $k$ menos que la suma de los otros $99$ números. Dado que $x_{50} = \frac{m}{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, encuentra $m + n$. | 173 | \boxed{173} |
¿Cuántos enteros positivos tienen exactamente tres divisores propios (divisores enteros positivos excluyendo el propio), cada uno de los cuales es menor que 50? | 109 | \boxed{109} |
Dos conos circulares rectos congruentes, cada uno con un radio de base de $3$ y una altura de $8$, tienen ejes de simetría que se intersectan en ángulos rectos en un punto en el interior de los conos a una distancia de $3$ desde la base de cada cono. Una esfera con radio $r$ se encuentra dentro de ambos conos. El valor máximo posible de $r^2$ es $\frac{m}{n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentra $m+n$. | 298 | \boxed{298} |
求满足多项式 $x^4 - nx + 63$ 可以表示为两个具有整数系数的非常数多项式的乘积的最小正整数 $n$。 | 8 | \boxed{8} |
A teacher was leading a class of four perfectly logical students. The teacher chose a set $S$ of four integers and gave a different number in $S$ to each student. Then the teacher announced to the class that the numbers in $S$ were four consecutive two-digit positive integers, that some number in $S$ was divisible by $6$ , and a different number in $S$ was divisible by $7$ . The teacher then asked if any of the students could deduce what $S$ is, but in unison, all of the students replied no. However, upon hearing that all four students replied no, each student was able to determine the elements of $S$ . Find the sum of all possible values of the greatest element of $S$ . | 258 | \boxed{258} |
Los círculos $\mathcal{P}$ y $\mathcal{Q}$ tienen radios $1$ y $4$, respectivamente, y son tangentes externamente en el punto $A$. El punto $B$ está en $\mathcal{P}$ y el punto $C$ está en $\mathcal{Q}$ de tal manera que $BC$ es una tangente externa común a los dos círculos. Una línea $\ell$ que pasa por $A$ intersecta nuevamente a $\mathcal{P}$ en $D$ e intersecta nuevamente a $\mathcal{Q}$ en $E$. Los puntos $B$ y $C$ están del mismo lado de la línea $\ell$, y las áreas de los triángulos $\triangle DBA$ y $\triangle ACE$ son iguales. Esta área común es $\frac{m}{n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentra el valor de $m+n$. [asy] import cse5; pathpen=black; pointpen=black; size(6cm); pair E = IP(L((-.2476,1.9689),(0.8,1.6),-3,5.5),CR((4,4),4)), D = (-.2476,1.9689); filldraw(D--(0.8,1.6)--(0,0)--cycle,gray(0.7)); filldraw(E--(0.8,1.6)--(4,0)--cycle,gray(0.7)); D(CR((0,1),1)); D(CR((4,4),4,150,-390)); D(L(MP("D",D(D),N),MP("A",D((0 .8 , 1 . 6)),NE ), 1 , 5 .5 ) ); D((- 12 , -10 ) -- MP (" B ", ( (00) ), S ) -- MP (" C ", ( (40) ), S ) -- (80) ); D(MP("E",E,N)); [/asy] | 129 | \boxed{129} |
设 $S_i$ 是所有整数 $n$ 的集合，使得 $100i\leq n < 100(i + 1)$ 。例如，$S_4$ 是集合 ${400,401,402,\ldots,499}$ 。在集合 $S_0, S_1, S_2, \ldots, S_{999}$ 中，有多少个不包含完全平方数的集合？ | 708 | \boxed{708} |
Ellina tiene doce bloques, dos de cada uno de los siguientes colores: rojo ( $\textbf{R}$ ), azul ( $\textbf{B}$ ), amarillo ( $\textbf{Y}$ ), verde ( $\textbf{G}$ ), naranja ( $\textbf{O}$ ) y morado ( $\textbf{P}$ ). Llamamos a una disposición de bloques $\textit{par}$ si hay un número par de bloques entre cada par de bloques del mismo color. Por ejemplo, la disposición \[\textbf{R B B Y G G Y R O P P O}\] es par. Ellina dispone sus bloques en una fila en orden aleatorio. La probabilidad de que su disposición sea par es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentra $m+n.$ | 247 | \boxed{247} |
Para cada entero positivo $n,$ sea $f(n) = \sum_{k = 1}^{100} \lfloor \log_{10} (kn) \rfloor$ . Encuentra el valor más grande de $n$ para el cual $f(n) \le 300$ . Nota: $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x$. | 109 | \boxed{109} |
Considera el triángulo de papel cuyos vértices son $(0,0), (34,0),$ y $(16,24).$ Los vértices de su triángulo de puntos medios son los puntos medios de sus lados. Se forma una pirámide triangular doblando el triángulo a lo largo de los lados de su triángulo de puntos medios. ¿Cuál es el volumen de esta pirámide? | 408 | \boxed{408} |
Subsets and Splits
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