Type
stringclasses 1
value | Grade
stringclasses 12
values | Question
stringlengths 2
16.3k
⌀ | Explanation
stringlengths 1
32.4k
⌀ | Source
stringlengths 43
45
| Text
stringlengths 34
248k
|
|---|---|---|---|---|---|
Free Form | Lớp 10 | Theo các bước sau, hãy giải quyết vấn đề đã được nêu ra ở phần mở đầu bài học.
a) Tìm chiều cao của cổng mà bác Vinh đã tham quan;
b) Tìm chiều cao và chiều rộng của mô hình thu nhỏ mà bác Vinh dự định làm;
c) Tìm phương trình chính tắc của mô hình đó, theo đơn vị mét;
d) Nếu tại tiêu điểm của mô hình, bác Vinh treo một ngôi sao thì ngôi sao đó ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất? | a) Gọi toạ độ của điểm chân cầu có tung độ dương là M(x; y).
Cổng rộng 192 m tức là tung độ của điểm chân cầu là y = 192 : 2 = 96 $\Rightarrow 96^2 = 48x \Rightarrow x = 192.$
Vậy chiều cao của cổng là 192 mét.
b) Vì mô hình bác Vinh làm có tỉ lệ là 1 : 100 nên:
– Chiều cao của mô hình là: h = 192 : 100 = 1,92 (m).
– Chiều rộng của mô hình là: d = 192 : 100 = 1,92 (m).
c) Gọi phương trình chính tắc của mô hình là y<sup>2</sup> = 2px (p > 0).
Khi đó toạ độ của điểm chân cầu là $\left( h; \frac{d}{2} \right) = \left( 1,92; \frac{1,92}{2} \right) = \left( 1,92; 0,96 \right).$
Vậy phương trình chính tắc của mô hình là y<sup>2</sup> = 0,48x.
d) Tiêu điểm của mô hình có toạ độ là $\left( \frac{p}{2}; 0 \right) = \left( \frac{0,24}{2}; 0 \right) = \left( 0,12; 0 \right).$
Do đó ngôi sao cách đỉnh của mô hình 0,12 m
$\Rightarrow$ Độ cao của ngôi sao so với mặt đất là: 1,92 – 0,12 = 1,8 (m).
Vậy ngôi sao đó ở độ cao 1,8 mét so với mặt đất. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889817 | ### Câu hỏi:
Theo các bước sau, hãy giải quyết vấn đề đã được nêu ra ở phần mở đầu bài học.
a) Tìm chiều cao của cổng mà bác Vinh đã tham quan;
b) Tìm chiều cao và chiều rộng của mô hình thu nhỏ mà bác Vinh dự định làm;
c) Tìm phương trình chính tắc của mô hình đó, theo đơn vị mét;
d) Nếu tại tiêu điểm của mô hình, bác Vinh treo một ngôi sao thì ngôi sao đó ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?
### Lời giải:
a) Gọi toạ độ của điểm chân cầu có tung độ dương là M(x; y).
Cổng rộng 192 m tức là tung độ của điểm chân cầu là y = 192 : 2 = 96 $\Rightarrow 96^2 = 48x \Rightarrow x = 192.$
Vậy chiều cao của cổng là 192 mét.
b) Vì mô hình bác Vinh làm có tỉ lệ là 1 : 100 nên:
– Chiều cao của mô hình là: h = 192 : 100 = 1,92 (m).
– Chiều rộng của mô hình là: d = 192 : 100 = 1,92 (m).
c) Gọi phương trình chính tắc của mô hình là y<sup>2</sup> = 2px (p > 0).
Khi đó toạ độ của điểm chân cầu là $\left( h; \frac{d}{2} \right) = \left( 1,92; \frac{1,92}{2} \right) = \left( 1,92; 0,96 \right).$
Vậy phương trình chính tắc của mô hình là y<sup>2</sup> = 0,48x.
d) Tiêu điểm của mô hình có toạ độ là $\left( \frac{p}{2}; 0 \right) = \left( \frac{0,24}{2}; 0 \right) = \left( 0,12; 0 \right).$
Do đó ngôi sao cách đỉnh của mô hình 0,12 m
$\Rightarrow$ Độ cao của ngôi sao so với mặt đất là: 1,92 – 0,12 = 1,8 (m).
Vậy ngôi sao đó ở độ cao 1,8 mét so với mặt đất.
|
Free Form | Lớp 10 | Cho parabol có phương trình y2 = 12x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 5. | Có 2p = 12$ \Rightarrow $ <span style="position: relative; top: 3.0pt; mso-text-raise: -3.0pt;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>p = 6 $ \Rightarrow $<span style="position: relative; top: 3.0pt; mso-text-raise: -3.0pt;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Toạ độ tiêu điểm là F(3; 0) và phương trình đường chuẩn của parabol là x = –3.
Bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 5 là MF = x + <span style="position: relative; top: 13.0pt; mso-text-raise: -13.0pt;"> </span>$ \frac{p}{2}=5+\frac{6}{2}=8.$ | https://khoahoc.vietjack.com/question/889826 | ### Câu hỏi:
Cho parabol có phương trình y2 = 12x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 5.
### Lời giải:
Có 2p = 12<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> <span style="position: relative; top: 3.0pt; mso-text-raise: -3.0pt;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>p = 6 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math><span style="position: relative; top: 3.0pt; mso-text-raise: -3.0pt;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Toạ độ tiêu điểm là F(3; 0) và phương trình đường chuẩn của parabol là x = –3.
Bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 5 là MF = x + <span style="position: relative; top: 13.0pt; mso-text-raise: -13.0pt;"> </span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>p</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>5</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>6</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>8.</mn></math>
|
Free Form | Lớp 10 | Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm $ M(3;3\sqrt{2})$ . Tìm bán kính qua tiêu và khoảng cách từ tiêu điểm tới đường chuẩn của (P). | Gọi phương trình chính tắc của (P) là y<sup>2</sup> = 2px (p > 0).
Theo đề bài, (P) đi qua điểm $ M(3;3\sqrt{2})$ $ \Rightarrow {\left(3\sqrt{2}\right)}^{2}=2p.3\Rightarrow p=3.$
Bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) là MF = x +$ \frac{p}{2}=x+\frac{3}{2}.$
Khoảng cách từ tiêu điểm tới đường chuẩn của (P) là p = 3. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889831 | ### Câu hỏi:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>;</mo><mn>3</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>)</mo></math> . Tìm bán kính qua tiêu và khoảng cách từ tiêu điểm tới đường chuẩn của (P).
### Lời giải:
Gọi phương trình chính tắc của (P) là y<sup>2</sup> = 2px (p > 0).
Theo đề bài, (P) đi qua điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>;</mo><mn>3</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>)</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><msup><mfenced><mrow><mn>3</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>p</mi><mn>.3</mn><mo>⇒</mo><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>3.</mn></math>
Bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) là MF = x +<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>p</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo></math>
Khoảng cách từ tiêu điểm tới đường chuẩn của (P) là p = 3.
|
Free Form | Lớp 10 | Lập phương trình đường conic biết tâm sai bằng $\frac{2}{3}$ , một tiêu điểm F(–2; 0) và đường chuẩn tương ứng Δ: x +$\frac{9}{2}$ = 0. | Điểm M(x; y) thuộc đường conic khi và chỉ khi
$\frac{MF}{d(M,Δ)} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \sqrt{(x+2)^2 + y^2} = \frac{2}{3} |x + \frac{9}{2}|$
$\Leftrightarrow (x+2)^2 + y^2 = \frac{4}{9} (x + \frac{9}{2})^2$
$\Leftrightarrow 9[(x+2)^2 + y^2] = 4(x + \frac{9}{2})^2$
$\Leftrightarrow 9(x^2 + 4x + 4 + y^2) = 4(x^2 + 9x + \frac{81}{4})$
$\Leftrightarrow 9x^2 + 36x + 36 + 9y^2 = 4x^2 + 36x + 81$
$\Leftrightarrow 5x^2 + 9y^2 = 45$
$\Leftrightarrow \frac{5x^2 + 9y^2}{45} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1.$
Vậy phương trình conic đã cho có phương trình là $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1.$ | https://khoahoc.vietjack.com/question/889849 | ### Câu hỏi:
Lập phương trình đường conic biết tâm sai bằng $\frac{2}{3}$ , một tiêu điểm F(–2; 0) và đường chuẩn tương ứng Δ: x +$\frac{9}{2}$ = 0.
### Lời giải:
Điểm M(x; y) thuộc đường conic khi và chỉ khi
$\frac{MF}{d(M,Δ)} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \sqrt{(x+2)^2 + y^2} = \frac{2}{3} |x + \frac{9}{2}|$
$\Leftrightarrow (x+2)^2 + y^2 = \frac{4}{9} (x + \frac{9}{2})^2$
$\Leftrightarrow 9[(x+2)^2 + y^2] = 4(x + \frac{9}{2})^2$
$\Leftrightarrow 9(x^2 + 4x + 4 + y^2) = 4(x^2 + 9x + \frac{81}{4})$
$\Leftrightarrow 9x^2 + 36x + 36 + 9y^2 = 4x^2 + 36x + 81$
$\Leftrightarrow 5x^2 + 9y^2 = 45$
$\Leftrightarrow \frac{5x^2 + 9y^2}{45} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1.$
Vậy phương trình conic đã cho có phương trình là $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1.$
|
Free Form | Lớp 10 | Hãy cho biết quỹ đạo của từng vật thể trong bảng sau đây là parabol, elip hay hypebol.
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="267">
<p align="left">Tên</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">Tâm sai của quỹ đạo</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">Ngày phát hiện</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="267">
<p align="left">Sao chổi Halley</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">0,968</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">TCN</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="267">
<p align="left">Sao chổi Hale-Bopp</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">0,995</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">23/07/1995</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="267">
<p align="left">Sao chổi Hyakutake</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">0,999</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">31/01/1996</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="267">
<p align="left">Sao chổi C/1980E1</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">1,058</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">11/02/1980</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="267">
<p align="left">Oumuamua</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">1,201</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">19/10/2017</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table> | Sao chổi Halley: elip;
Sao chổi Hale-Bopp: elip.
Sao chổi Hyakutake: elip.
Sao chổi C/1980E1: hypebol.
Oumuamua: hypebol. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889852 | ### Câu hỏi:
Hãy cho biết quỹ đạo của từng vật thể trong bảng sau đây là parabol, elip hay hypebol.
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="267">
<p align="left">Tên</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">Tâm sai của quỹ đạo</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">Ngày phát hiện</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="267">
<p align="left">Sao chổi Halley</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">0,968</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">TCN</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="267">
<p align="left">Sao chổi Hale-Bopp</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">0,995</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">23/07/1995</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="267">
<p align="left">Sao chổi Hyakutake</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">0,999</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">31/01/1996</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="267">
<p align="left">Sao chổi C/1980E1</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">1,058</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">11/02/1980</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="267">
<p align="left">Oumuamua</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">1,201</p>
</td>
<td valign="top" width="268">
<p align="left">19/10/2017</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
### Lời giải:
Sao chổi Halley: elip;
Sao chổi Hale-Bopp: elip.
Sao chổi Hyakutake: elip.
Sao chổi C/1980E1: hypebol.
Oumuamua: hypebol.
|
Free Form | Lớp 10 | Viết phương trình của đường conic có tâm sai bằng 1, tiêu điểm F(2; 0) và đường chuẩn là Δ: x + 2 = 0. | Điểm M(x; y) thuộc đường conic khi và chỉ khi
$ \frac{MF}{d\left(M,\Delta \right)}=1\Leftrightarrow \sqrt{{\left(x-2\right)}^{2}+{y}^{2}}=\left|x+2\right|$
$ \Leftrightarrow {\left(x-2\right)}^{2}+{y}^{2}={\left(x+2\right)}^{2}$
$ \Leftrightarrow {x}^{2}-4x+4+{y}^{2}={x}^{2}+4x+4$
$ \Leftrightarrow {y}^{2}=8x.$
Vậy phương trình conic đã cho là y<sup>2</sup> = 8x. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889867 | ### Câu hỏi:
Viết phương trình của đường conic có tâm sai bằng 1, tiêu điểm F(2; 0) và đường chuẩn là Δ: x + 2 = 0.
### Lời giải:
Điểm M(x; y) thuộc đường conic khi và chỉ khi
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>M</mi><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mfenced><mrow><mi>M</mi><mo>,</mo><mi>Δ</mi></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>⇔</mo><msqrt><msup><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><mfenced close="|" open="|"><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><msup><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>4</mn></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>8</mn><mi>x</mi><mo>.</mo></math>
Vậy phương trình conic đã cho là y<sup>2</sup> = 8x.
|
Free Form | Lớp 10 | Chứng minh $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + ab^{n-2} + b^{n-1})$ với $n \in \mathbb{N}^*$. | +) Khi $n = 1$, ta có: $a^1 - b^1 = a - b$.
Vậy mệnh đề đúng với $n = 1$.
+) Với $k$ là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với $k + 1$, tức là:
$a^{k + 1} - b^{k + 1} = (a - b)[a^{(k + 1) - 1} + a^{(k + 1) - 2}b + ... + ab^{(k + 1) -2} + b^{(k + 1) - 1}]$
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
$a^k - b^k = (a - b)(a^{k - 1} + a^{k - 2}b + ... + ab^{k -2} + b^{k - 1})$
Khi đó:
$a^{k + 1} - b^{k + 1}$
$= a . a^k - b . b^k$
$= a . a^k - a . b^k + a . b^k - b . b^k$
$= a . (a^k - b^k) + b^k . (a - b)$
$= a . (a - b)(a^{k - 1} + a^{k - 2}b + ... + ab^{k -2} + b^{k - 1}) + b^k . (a - b)$
$= (a - b) . a . (a^{k - 1} + a^{k - 2}b + ... + ab^{k - 2} + b^{k - 1}) + (a - b) . b^k$
$= (a - b)[a^{1 + (k - 1)} + a^{1 + (k - 2)}b + ... + a^2b^{k - 2} + a . b^{k - 1}] + (a - b) . b^k$
$= (a - b)[a^{(k + 1) - 1} + a^{(k + 1) - 2}b + ... + a^2b^{(k + 1) - 3} + ab^{(k + 1) -2}] + (a - b) . b^{(k + 1) - 1}$
$= (a - b)[a^{(k + 1) - 1} + a^{(k + 1) - 2}b + ... + ab^{(k + 1) -2} + b^{(k + 1) - 1}]$.
Vậy mệnh đề cũng đúng với $n = k + 1$. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề $P(n)$ đúng với mọi $n \in \mathbb{N}^*$. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889872 | ### Câu hỏi:
Chứng minh $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + ab^{n-2} + b^{n-1})$ với $n \in \mathbb{N}^*$.
### Lời giải:
+) Khi $n = 1$, ta có: $a^1 - b^1 = a - b$.
Vậy mệnh đề đúng với $n = 1$.
+) Với $k$ là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với $k + 1$, tức là:
$a^{k + 1} - b^{k + 1} = (a - b)[a^{(k + 1) - 1} + a^{(k + 1) - 2}b + ... + ab^{(k + 1) -2} + b^{(k + 1) - 1}]$
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
$a^k - b^k = (a - b)(a^{k - 1} + a^{k - 2}b + ... + ab^{k -2} + b^{k - 1})$
Khi đó:
$a^{k + 1} - b^{k + 1}$
$= a . a^k - b . b^k$
$= a . a^k - a . b^k + a . b^k - b . b^k$
$= a . (a^k - b^k) + b^k . (a - b)$
$= a . (a - b)(a^{k - 1} + a^{k - 2}b + ... + ab^{k -2} + b^{k - 1}) + b^k . (a - b)$
$= (a - b) . a . (a^{k - 1} + a^{k - 2}b + ... + ab^{k - 2} + b^{k - 1}) + (a - b) . b^k$
$= (a - b)[a^{1 + (k - 1)} + a^{1 + (k - 2)}b + ... + a^2b^{k - 2} + a . b^{k - 1}] + (a - b) . b^k$
$= (a - b)[a^{(k + 1) - 1} + a^{(k + 1) - 2}b + ... + a^2b^{(k + 1) - 3} + ab^{(k + 1) -2}] + (a - b) . b^{(k + 1) - 1}$
$= (a - b)[a^{(k + 1) - 1} + a^{(k + 1) - 2}b + ... + ab^{(k + 1) -2} + b^{(k + 1) - 1}]$.
Vậy mệnh đề cũng đúng với $n = k + 1$. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề $P(n)$ đúng với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
|
Free Form | Lớp 10 | Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất).
a) Nêu quy luật chọn tam giác đều màu trắng ở Hình thứ hai.
b) Nêu quy luật chọn các tam giác đều màu trắng ở Hình thứ ba.
c) Nêu quy luật tiếp tục chọn các tam giác đều màu trắng từ Hình thứ tư và các tam giác đều màu trắng ở những hình sau đó.
d) Tinh số tam giác đều màu xanh lần lượt trong các Hình thứ nhất, Hình thú hai, Hình thứ ba.
e) Dự đoán số tam giác đều màu xanh trong Hình thứ n. Chứng minh kết quả đó bằng phương pháp quy nạp toán học. | a) Tam giác đều màu trắng ở Hình thứ hai có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác đều màu xanh ở hình thứ nhất.
b) Giữ nguyên tam giác đều màu trắng ở Hình thứ hai, với mỗi tam giác đều màu xanh ở Hình thứ hai, ta lại chọn các tam giác đều màu trắng như cách ở Hình thứ nhất.
c) Giữ nguyên các tam giác đều màu trắng ở Hình thứ ba, với mỗi tam giác đều màu xanh ở Hình thứ ba, ta lại chọn các tam giác đều màu trắng như cách ở Hình thứ nhất.
Như vậy, ta có quy luật chọn các tam giác đều màu trắng ở hình thứ n:
Giữ nguyên các tam giác đều màu trắng ở Hình thứ n – 1, với mỗi tam giác đều màu xanh ở Hình thứ n – 1, ta lại chọn các tam giác đều màu trắng như cách ở Hình thứ nhất.
d) Số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ nhất là: 1.
Số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ hai là: 3.
Số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ ba là: 9.
e) Dự đoán số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ n là: $3^{n – 1}$.
Xét mệnh đề P(n): "Số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ n là $3^{n – 1}$ với $n \in \mathbb{N}^*$.
Chứng minh:
+) Khi n = 1, ta có: Số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ nhất là: 1.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:
Số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ (k + 1) là $3^{(k + 1) –1}$.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
Số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ k là $3^{k –1}$.
Vì với cách chọn như trên, mỗi tam giác đều màu xanh sẽ tạo ta 3 tam giác đều màu xanh mới ở hình tiếp theo nên từ $3^{k – 1}$ tam giác đều màu xanh ở Hình thứ k sẽ cho ta 3 . $3^{k – 1}$ = $3^{k}$ = $3^{(k + 1) – 1}$ tam giác đều màu xanh ở Hình thứ (k + 1).
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề P(n) đúng với mọi $n \in \mathbb{N}^*$. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889877 | ### Câu hỏi:
Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất).
a) Nêu quy luật chọn tam giác đều màu trắng ở Hình thứ hai.
b) Nêu quy luật chọn các tam giác đều màu trắng ở Hình thứ ba.
c) Nêu quy luật tiếp tục chọn các tam giác đều màu trắng từ Hình thứ tư và các tam giác đều màu trắng ở những hình sau đó.
d) Tinh số tam giác đều màu xanh lần lượt trong các Hình thứ nhất, Hình thú hai, Hình thứ ba.
e) Dự đoán số tam giác đều màu xanh trong Hình thứ n. Chứng minh kết quả đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
### Lời giải:
a) Tam giác đều màu trắng ở Hình thứ hai có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác đều màu xanh ở hình thứ nhất.
b) Giữ nguyên tam giác đều màu trắng ở Hình thứ hai, với mỗi tam giác đều màu xanh ở Hình thứ hai, ta lại chọn các tam giác đều màu trắng như cách ở Hình thứ nhất.
c) Giữ nguyên các tam giác đều màu trắng ở Hình thứ ba, với mỗi tam giác đều màu xanh ở Hình thứ ba, ta lại chọn các tam giác đều màu trắng như cách ở Hình thứ nhất.
Như vậy, ta có quy luật chọn các tam giác đều màu trắng ở hình thứ n:
Giữ nguyên các tam giác đều màu trắng ở Hình thứ n – 1, với mỗi tam giác đều màu xanh ở Hình thứ n – 1, ta lại chọn các tam giác đều màu trắng như cách ở Hình thứ nhất.
d) Số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ nhất là: 1.
Số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ hai là: 3.
Số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ ba là: 9.
e) Dự đoán số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ n là: $3^{n – 1}$.
Xét mệnh đề P(n): "Số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ n là $3^{n – 1}$ với $n \in \mathbb{N}^*$.
Chứng minh:
+) Khi n = 1, ta có: Số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ nhất là: 1.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:
Số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ (k + 1) là $3^{(k + 1) –1}$.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
Số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ k là $3^{k –1}$.
Vì với cách chọn như trên, mỗi tam giác đều màu xanh sẽ tạo ta 3 tam giác đều màu xanh mới ở hình tiếp theo nên từ $3^{k – 1}$ tam giác đều màu xanh ở Hình thứ k sẽ cho ta 3 . $3^{k – 1}$ = $3^{k}$ = $3^{(k + 1) – 1}$ tam giác đều màu xanh ở Hình thứ (k + 1).
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề P(n) đúng với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
|
Free Form | Lớp 10 | Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm. Hết năm đầu tiên, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa. Hết năm thứ hai, cô Hạnh cũng không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa. Cứ tiếp tục như vậy cho những năm sau. Chứng minh số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $T_n = \frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^n - 1 \right]$ (đồng), nếu trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi. | Xét mệnh đề P(x): "Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $T_n = \frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^n - 1 \right]$ (đồng) (n$\in$ℕ<sup>*</sup>)".
+) Khi n = 1:
Số tiền lãi người đó nhận được là: A . r% = $\frac{A \, . \, r}{100}$ (đồng).
Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:
$A + \frac{A \, . \, r}{100} = \frac{A \left( 100 + r \right)}{100} = = \frac{A \left( 100 + r \right)}{r} \, . \, \frac{r}{100} \newline$
$= \frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right) - 1 \right]$
$= \frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^1 - 1 \right]$
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau (k +1) (năm) là $T_{k+1} = \frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{k+1} - 1 \right] \ (đồng)$
Vì cô Hạnh không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa nên:
– Số tiền vốn của cô Hạnh sau (k + 1) năm là: T<sub>k</sub> + A (đồng).
– Số tiền lãi cô Hạnh nhận được sau (k + 1) (năm) là:
(T<sub>k</sub> + A) . r% (đồng).
– Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau (k + 1) (năm) là:
(T<sub>k</sub> + A) + (T<sub>k</sub> + A) . r%
= (T<sub>k</sub> + A) + (T<sub>k</sub> + A) . $\frac{r}{100}$
= (T<sub>k</sub> + A) $\left( 1 + \frac{r}{100} \right)$
= $\left\{ \frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^k - 1 \right] + A \right\} . \left( 1 + \frac{r}{100} \right)$
= $\frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^k - 1 \right] \left( 1 + \frac{r}{100} \right) + A \left( 1 + \frac{r}{100} \right)$
= $\frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{k+1} - \left( 1 + \frac{r}{100} \right) \right] + A \, . \, \frac{100 + r}{100}$
= $\frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{k+1} - \left( 1 + \frac{r}{100} \right) \right] + A \, . \, \frac{100 + r}{r} \, . \, \frac{r}{100}$
= $\frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{k+1} - \left( 1 + \frac{r}{100} \right) + \frac{r}{100} \right]$
= $\frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{k+1} - 1 \right]$
= T<sub>k + 1</sub> (đồng).
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n$\in$ℕ<sup>*</sup>. Từ đó ta có điều phải chứng minh. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889896 | ### Câu hỏi:
Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm. Hết năm đầu tiên, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa. Hết năm thứ hai, cô Hạnh cũng không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa. Cứ tiếp tục như vậy cho những năm sau. Chứng minh số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $T_n = \frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^n - 1 \right]$ (đồng), nếu trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi.
### Lời giải:
Xét mệnh đề P(x): "Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $T_n = \frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^n - 1 \right]$ (đồng) (n$\in$ℕ<sup>*</sup>)".
+) Khi n = 1:
Số tiền lãi người đó nhận được là: A . r% = $\frac{A \, . \, r}{100}$ (đồng).
Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:
$A + \frac{A \, . \, r}{100} = \frac{A \left( 100 + r \right)}{100} = = \frac{A \left( 100 + r \right)}{r} \, . \, \frac{r}{100} \newline$
$= \frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right) - 1 \right]$
$= \frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^1 - 1 \right]$
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau (k +1) (năm) là $T_{k+1} = \frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{k+1} - 1 \right] \ (đồng)$
Vì cô Hạnh không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa nên:
– Số tiền vốn của cô Hạnh sau (k + 1) năm là: T<sub>k</sub> + A (đồng).
– Số tiền lãi cô Hạnh nhận được sau (k + 1) (năm) là:
(T<sub>k</sub> + A) . r% (đồng).
– Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau (k + 1) (năm) là:
(T<sub>k</sub> + A) + (T<sub>k</sub> + A) . r%
= (T<sub>k</sub> + A) + (T<sub>k</sub> + A) . $\frac{r}{100}$
= (T<sub>k</sub> + A) $\left( 1 + \frac{r}{100} \right)$
= $\left\{ \frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^k - 1 \right] + A \right\} . \left( 1 + \frac{r}{100} \right)$
= $\frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^k - 1 \right] \left( 1 + \frac{r}{100} \right) + A \left( 1 + \frac{r}{100} \right)$
= $\frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{k+1} - \left( 1 + \frac{r}{100} \right) \right] + A \, . \, \frac{100 + r}{100}$
= $\frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{k+1} - \left( 1 + \frac{r}{100} \right) \right] + A \, . \, \frac{100 + r}{r} \, . \, \frac{r}{100}$
= $\frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{k+1} - \left( 1 + \frac{r}{100} \right) + \frac{r}{100} \right]$
= $\frac{A(100+r)}{r} \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{k+1} - 1 \right]$
= T<sub>k + 1</sub> (đồng).
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n$\in$ℕ<sup>*</sup>. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
|
Free Form | Lớp 10 | a) Chọn số thích hợp cho ? trong khai triển biểu thức sau:
$ {(a+b)}^{3}={C}_{3}^{?}{a}^{3-?}+{C}_{3}^{?}{a}^{3-?}{b}^{1}+{C}_{3}^{?}{a}^{3-?}{b}^{2}+{C}_{3}^{?}{a}^{3-?}{b}^{3}.$
Từ đó nêu dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)<sup>3</sup>.
b) Xét biểu thức (a + b)<sup>n</sup>.
Nêu dự đoán về dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)<sup>n</sup>. | a) $ {(a+b)}^{3}={C}_{3}^{0}{a}^{3-0}+{C}_{3}^{1}{a}^{3-1}{b}^{1}+{C}_{3}^{2}{a}^{3-2}{b}^{2}+{C}_{3}^{3}{a}^{3-3}{b}^{3}.$
Mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)<sup>3</sup> đều có dạng $ {C}_{3}^{k}{a}^{3-k}{b}^{k}.$
b) Cũng như thế, mỗi số hạng trong khai triển
biểu thức (a + b)<sup>n</sup> đều có dạng $ {C}_{n}^{k}{a}^{n-k}{b}^{k}.$ | https://khoahoc.vietjack.com/question/889912 | ### Câu hỏi:
a) Chọn số thích hợp cho ? trong khai triển biểu thức sau:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></msup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>3</mn><mo>?</mo></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mn>3</mn><mo>−</mo><mo>?</mo></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>3</mn><mo>?</mo></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mn>3</mn><mo>−</mo><mo>?</mo></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>1</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>3</mn><mo>?</mo></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mn>3</mn><mo>−</mo><mo>?</mo></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>3</mn><mo>?</mo></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mn>3</mn><mo>−</mo><mo>?</mo></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup><mo>.</mo></math>
Từ đó nêu dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)<sup>3</sup>.
b) Xét biểu thức (a + b)<sup>n</sup>.
Nêu dự đoán về dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)<sup>n</sup>.
### Lời giải:
a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></msup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>3</mn><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mn>3</mn><mo>−</mo><mn>0</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>3</mn><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mn>3</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>1</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>3</mn><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mn>3</mn><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>3</mn><mn>3</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mn>3</mn><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup><mo>.</mo></math>
Mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)<sup>3</sup> đều có dạng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>3</mn><mi>k</mi></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mn>3</mn><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup><mo>.</mo></math>
b) Cũng như thế, mỗi số hạng trong khai triển
biểu thức (a + b)<sup>n</sup> đều có dạng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup><mo>.</mo></math>
|
Free Form | Lớp 10 | Khai triển biểu thức (x + 2)<sup>7</sup>. | $ {\left(x+2\right)}^{7}={x}^{7}+{C}_{7}^{1}{x}^{6}\text{\hspace{0.17em}}2+{C}_{7}^{2}{x}^{5}\text{\hspace{0.17em}}{2}^{2}+{C}_{7}^{3}{x}^{4}\text{\hspace{0.17em}}{2}^{3}+{C}_{7}^{4}{x}^{3}\text{\hspace{0.17em}}{2}^{4}+{C}_{7}^{5}{x}^{2}\text{\hspace{0.17em}}{2}^{5}+{C}_{7}^{6}x\text{\hspace{0.17em}}{2}^{6}+\text{\hspace{0.17em}}{2}^{7}.$ | https://khoahoc.vietjack.com/question/889914 | ### Câu hỏi:
Khai triển biểu thức (x + 2)<sup>7</sup>.
### Lời giải:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced><mn>7</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mn>6</mn></msup><mtext> </mtext><mn>2</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mn>5</mn></msup><mtext> </mtext><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>3</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mn>4</mn></msup><mtext> </mtext><msup><mn>2</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>4</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mtext> </mtext><msup><mn>2</mn><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>5</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><msup><mn>2</mn><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>6</mn></msubsup><mi>x</mi><mtext> </mtext><msup><mn>2</mn><mn>6</mn></msup><mo>+</mo><mtext> </mtext><msup><mn>2</mn><mn>7</mn></msup><mo>.</mo></math>
|
Free Form | Lớp 10 | Cho $n \in \mathbb{N}^*$. Chứng minh $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n} = 2^n.$ | Ta có:
\begin{align*}
(x + 1)^n &= \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1} \cdot 1 + \binom{n}{2}x^{n-2} \cdot 1^2 + ... + \binom{n}{n-1}x \cdot 1^{n-1} + \binom{n}{n} \cdot 1^n \\
&= \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2} + ... + \binom{n}{n-1}x + \binom{n}{n}.
\end{align*}
Cho $x = 1$, ta được:
\begin{align*}
(1 + 1)^n &= \binom{n}{0}1^n + \binom{n}{1}1^{n-1} + \binom{n}{2}1^{n-2} + ... + \binom{n}{n-1}1 + \binom{n}{n} \\
&= \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n}.
\end{align*}
Vậy $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n} = (1 + 1)^n = 2^n.$ | https://khoahoc.vietjack.com/question/889916 | ### Câu hỏi:
Cho $n \in \mathbb{N}^*$. Chứng minh $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n} = 2^n.$
### Lời giải:
Ta có:
\begin{align*}
(x + 1)^n &= \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1} \cdot 1 + \binom{n}{2}x^{n-2} \cdot 1^2 + ... + \binom{n}{n-1}x \cdot 1^{n-1} + \binom{n}{n} \cdot 1^n \\
&= \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2} + ... + \binom{n}{n-1}x + \binom{n}{n}.
\end{align*}
Cho $x = 1$, ta được:
\begin{align*}
(1 + 1)^n &= \binom{n}{0}1^n + \binom{n}{1}1^{n-1} + \binom{n}{2}1^{n-2} + ... + \binom{n}{n-1}1 + \binom{n}{n} \\
&= \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n}.
\end{align*}
Vậy $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n} = (1 + 1)^n = 2^n.$
|
Free Form | Lớp 10 | Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:
a) (a + b)<sup>2022</sup>;
b) (a + b)<sup>2023</sup>. | Vì dãy hệ số của khai triển (a + b)<sup>n</sup> tăng dần đến "giữa" rồi giảm dần nên:
a) Hệ số lớn nhất của (a + b)<sup>2022</sup> là $ {C}_{2022}^{1011}.$
b) Hệ số lớn nhất của (a + b)<sup>2023</sup> là <span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"> </span>$ {C}_{2023}^{1011}và{C}_{2023}^{1012}.$ | https://khoahoc.vietjack.com/question/889926 | ### Câu hỏi:
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:
a) (a + b)<sup>2022</sup>;
b) (a + b)<sup>2023</sup>.
### Lời giải:
Vì dãy hệ số của khai triển (a + b)<sup>n</sup> tăng dần đến "giữa" rồi giảm dần nên:
a) Hệ số lớn nhất của (a + b)<sup>2022</sup> là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>2022</mn><mn>1011</mn></msubsup><mo>.</mo></math>
b) Hệ số lớn nhất của (a + b)<sup>2023</sup> là <span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"> </span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>2023</mn><mn>1011</mn></msubsup><mo> </mo><mi>v</mi><mi>à</mi><mo> </mo><msubsup><mi>C</mi><mn>2023</mn><mn>1012</mn></msubsup><mo>.</mo></math>
|
Free Form | Lớp 10 | Quan sát khai triển nhị thức:
$ {(ax+b)}^{n}={C}_{n}^{0}{\left(ax\right)}^{n}+{C}_{n}^{1}{\left(ax\right)}^{n-1}b+{C}_{n}^{2}{\left(ax\right)}^{n-2}{b}^{2}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{n-1}\left(ax\right){b}^{n-1}+{C}_{n}^{n}{b}^{n}$
$ ={C}_{n}^{0}{a}^{n}{x}^{n}+{C}_{n}^{1}{a}^{n-1}b{x}^{n-1}+{C}_{n}^{2}{a}^{n-2}{b}^{2}{x}^{n-2}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{n-1}a{b}^{n-1}x+{C}_{n}^{n}{b}^{n}.$
Nêu công thức tính hệ số của x<sup>k</sup> trong khai triển trên. | Hệ số của x<sup>k</sup> trong khai triển trên là $ {C}_{n}^{n-k}{a}^{k}{b}^{n-k}$ với k$ \in $ℕ, k ≤ n, n$ \in $ℕ<sup>*</sup>. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889929 | ### Câu hỏi:
Quan sát khai triển nhị thức:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mi>n</mi></msup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>)</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><msup><mi>b</mi><mi>n</mi></msup></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mi>n</mi></msup><msup><mi>x</mi><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>b</mi><msup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>x</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><msup><mi>b</mi><mi>n</mi></msup><mo>.</mo></math>
Nêu công thức tính hệ số của x<sup>k</sup> trong khai triển trên.
### Lời giải:
Hệ số của x<sup>k</sup> trong khai triển trên là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msubsup><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup></math> với k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∈</mo></math>ℕ, k ≤ n, n<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∈</mo></math>ℕ<sup>*</sup>.
|
Free Form | Lớp 10 | Xét khai triển của (x + 5)<sup>15</sup>.
a) Nêu số hạng chứa x<sup>7</sup>, từ đó nêu hệ số của x<sup>7</sup>.
b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số a<sub>k</sub> của x<sup>k</sup> với 0 ≤ k ≤ 15. | a) Số hạng chứa x<sup>7</sup> là $ {C}_{15}^{5}{x}^{7}.\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{5}^{5}.$ <span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"> </span>Hệ số của x<sup>7</sup> là $ {C}_{15}^{5}{5}^{5}.$<span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"></span>
b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là $ {C}_{15}^{15-k}{x}^{k}{5}^{15-k}.$<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Hệ số của x<sup>k</sup> là $ {C}_{15}^{15-k}{5}^{15-k}.$<span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"></span> | https://khoahoc.vietjack.com/question/889930 | ### Câu hỏi:
Xét khai triển của (x + 5)<sup>15</sup>.
a) Nêu số hạng chứa x<sup>7</sup>, từ đó nêu hệ số của x<sup>7</sup>.
b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số a<sub>k</sub> của x<sup>k</sup> với 0 ≤ k ≤ 15.
### Lời giải:
a) Số hạng chứa x<sup>7</sup> là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>15</mn><mn>5</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup><mo>.</mo><mtext> </mtext><msup><mn>5</mn><mn>5</mn></msup><mo>.</mo></math> <span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"> </span>Hệ số của x<sup>7</sup> là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>15</mn><mn>5</mn></msubsup><msup><mn>5</mn><mn>5</mn></msup><mo>.</mo></math><span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"></span>
b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>15</mn><mrow><mn>15</mn><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msubsup><msup><mi>x</mi><mi>k</mi></msup><msup><mn>5</mn><mrow><mn>15</mn><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup><mo>.</mo></math><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Hệ số của x<sup>k</sup> là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>15</mn><mrow><mn>15</mn><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msubsup><msup><mn>5</mn><mrow><mn>15</mn><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup><mo>.</mo></math><span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"></span>
|
Free Form | Lớp 10 | Khai triển các biểu thức sau:
a) (2x + y)<sup>6</sup>;
b) (x – 3y)<sup>6</sup>;
c) (x – 1)<sup>n</sup>;
d) (x + 2)<sup>n</sup>;
e) (x + y)<sup>2n</sup>;
g) (x – y)<sup>2n</sup>
trong đó n lả số nguyên dương. | a) (2x + y)<sup>6</sup>
$ ={C}_{6}^{0}{\left(2x\right)}^{6}+{C}_{6}^{1}{\left(2x\right)}^{5}y+{C}_{6}^{2}{\left(2x\right)}^{4}{y}^{2}+{C}_{6}^{3}{\left(2x\right)}^{3}{y}^{3}+{C}_{6}^{2}{\left(2x\right)}^{2}{y}^{2}+{C}_{6}^{1}\left(2x\right){y}^{5}+{C}_{6}^{6}{y}^{6}$
$ ={2}^{6}{x}^{6}+{C}_{6}^{1}{2}^{5}{x}^{5}y+{C}_{6}^{2}{2}^{4}{x}^{4}{y}^{2}+{C}_{6}^{3}{2}^{3}{x}^{3}{y}^{3}+{C}_{6}^{4}{2}^{2}{x}^{2}{y}^{4}+{C}_{6}^{5}2x{y}^{5}+{y}^{6}.$
b) (x – 3y)<sup>6</sup>
= [x + (–3y)]<sup>6<br/></sup>
<sup>$ ={C}_{6}^{0}{x}^{6}+{C}_{6}^{1}{x}^{5}\left(-3y\right)+{C}_{6}^{2}{x}^{4}{\left(-3y\right)}^{2}+{C}_{6}^{3}{x}^{3}{\left(-3y\right)}^{3}+{C}_{6}^{4}{x}^{2}{\left(-3y\right)}^{4}+{C}_{6}^{5}x{\left(-3y\right)}^{5}+{C}_{6}^{6}{\left(-3y\right)}^{6}$</sup>
<sup>$ ={x}^{6}-{C}_{6}^{1}3{x}^{5}y+{C}_{6}^{2}{3}^{2}{x}^{4}{y}^{2}-{C}_{6}^{3}{3}^{3}{x}^{3}{y}^{3}+{C}_{6}^{4}{3}^{4}{x}^{2}{y}^{4}-{C}_{6}^{5}{3}^{5}x{y}^{5}+{3}^{6}{y}^{6}.$</sup>
c) (x – 1)<sup>n</sup>
= [(x + (–1)]<sup>n</sup>
$ ={C}_{n}^{0}{x}^{n}+{C}_{n}^{1}{x}^{n-1}\left(-1\right)+{C}_{n}^{2}{x}^{n-2}{\left(-1\right)}^{2}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{n-1}x{\left(-1\right)}^{n-1}+{C}_{n}^{n}{\left(-1\right)}^{n}$
$ ={x}^{n}+{C}_{n}^{1}\left(-1\right){x}^{n-1}+{C}_{n}^{2}{\left(-1\right)}^{2}{x}^{n-2}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{n-1}{\left(-1\right)}^{n-1}x+{\left(-1\right)}^{n}.$
d) (x + 2)<sup>n</sup>
$ ={C}_{n}^{0}{x}^{n}+{C}_{n}^{1}{x}^{n-1}2+{C}_{n}^{2}{x}^{n-2}{2}^{2}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{n-1}x{2}^{n-1}+{C}_{n}^{n}{2}^{n}$
$ ={x}^{n}+{C}_{n}^{1}2{x}^{n-1}+{C}_{n}^{2}{2}^{2}{x}^{n-2}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{n-1}{2}^{n-1}x+{2}^{n}.$
e) (x + y)<sup>2n</sup>
$ ={C}_{2n}^{0}{x}^{2n}+{C}_{2n}^{1}{x}^{2n-1}y+{C}_{2n}^{2}{x}^{2n-2}{y}^{2}+\mathrm{...}+{C}_{2n}^{2n-1}x{y}^{2n-1}+{C}_{2n}^{2n}{y}^{2n}$
$ ={x}^{2n}+{C}_{2n}^{1}{x}^{2n-1}y+{C}_{2n}^{2}{x}^{2n-2}{y}^{2}+\mathrm{...}+{C}_{2n}^{2n-1}x{y}^{2n-1}+{y}^{2n}.$
g) (x – y)<sup>2n</sup>
$ ={C}_{2n}^{0}{x}^{2n}+{C}_{2n}^{1}{x}^{2n-1}\left(-y\right)+{C}_{2n}^{2}{x}^{2n-2}{\left(-y\right)}^{2}+\mathrm{...}+{C}_{2n}^{2n-1}x{\left(-y\right)}^{2n-1}+{C}_{2n}^{2n}{\left(-y\right)}^{2n}$
$ ={C}_{2n}^{0}{x}^{2n}-{C}_{2n}^{1}{x}^{2n-1}y+{C}_{2n}^{2}{x}^{2n-2}{y}^{2}-\mathrm{...}-{C}_{2n}^{2n-1}x{y}^{2n-1}+{C}_{2n}^{2n}{y}^{2n}$
$ ={x}^{2n}-{C}_{2n}^{1}{x}^{2n-1}y+{C}_{2n}^{2}{x}^{2n-2}{y}^{2}-\mathrm{...}-{C}_{2n}^{2n-1}x{y}^{2n-1}+{y}^{2n}.$ | https://khoahoc.vietjack.com/question/889936 | ### Câu hỏi:
Khai triển các biểu thức sau:
a) (2x + y)<sup>6</sup>;
b) (x – 3y)<sup>6</sup>;
c) (x – 1)<sup>n</sup>;
d) (x + 2)<sup>n</sup>;
e) (x + y)<sup>2n</sup>;
g) (x – y)<sup>2n</sup>
trong đó n lả số nguyên dương.
### Lời giải:
a) (2x + y)<sup>6</sup>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>0</mn></msubsup><msup><mfenced><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfenced><mn>6</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>1</mn></msubsup><msup><mfenced><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfenced><mn>5</mn></msup><mi>y</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>2</mn></msubsup><msup><mfenced><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfenced><mn>4</mn></msup><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>3</mn></msubsup><msup><mfenced><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfenced><mn>3</mn></msup><msup><mi>y</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>2</mn></msubsup><msup><mfenced><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>1</mn></msubsup><mfenced><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfenced><msup><mi>y</mi><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>6</mn></msubsup><msup><mi>y</mi><mn>6</mn></msup></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mn>6</mn></msup><msup><mi>x</mi><mn>6</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>1</mn></msubsup><msup><mn>2</mn><mn>5</mn></msup><msup><mi>x</mi><mn>5</mn></msup><mi>y</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>2</mn></msubsup><msup><mn>2</mn><mn>4</mn></msup><msup><mi>x</mi><mn>4</mn></msup><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>3</mn></msubsup><msup><mn>2</mn><mn>3</mn></msup><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><msup><mi>y</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>4</mn></msubsup><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>y</mi><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>5</mn></msubsup><mn>2</mn><mi>x</mi><msup><mi>y</mi><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>6</mn></msup><mo>.</mo></math>
b) (x – 3y)<sup>6</sup>
= [x + (–3y)]<sup>6<br/></sup>
<sup><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mn>6</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mn>5</mn></msup><mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mn>4</mn></msup><msup><mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>3</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><msup><mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi></mrow></mfenced><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>4</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><msup><mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi></mrow></mfenced><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>5</mn></msubsup><mi>x</mi><msup><mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi></mrow></mfenced><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>6</mn></msubsup><msup><mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi></mrow></mfenced><mn>6</mn></msup></math></sup>
<sup><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mn>6</mn></msup><mo>−</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>1</mn></msubsup><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mn>5</mn></msup><mi>y</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>2</mn></msubsup><msup><mn>3</mn><mn>2</mn></msup><msup><mi>x</mi><mn>4</mn></msup><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>3</mn></msubsup><msup><mn>3</mn><mn>3</mn></msup><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><msup><mi>y</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>4</mn></msubsup><msup><mn>3</mn><mn>4</mn></msup><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>y</mi><mn>4</mn></msup><mo>−</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>6</mn><mn>5</mn></msubsup><msup><mn>3</mn><mn>5</mn></msup><mi>x</mi><msup><mi>y</mi><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>3</mn><mn>6</mn></msup><msup><mi>y</mi><mn>6</mn></msup><mo>.</mo></math></sup>
c) (x – 1)<sup>n</sup>
= [(x + (–1)]<sup>n</sup>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>x</mi><msup><mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><msup><mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>n</mi></msup></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><msup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><msup><mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><msup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msup><mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>x</mi><mo>+</mo><msup><mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>n</mi></msup><mo>.</mo></math>
d) (x + 2)<sup>n</sup>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mn>2</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>x</mi><msup><mn>2</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><msup><mn>2</mn><mi>n</mi></msup></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup><msup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msup><mn>2</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>x</mi><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mi>n</mi></msup><mo>.</mo></math>
e) (x + y)<sup>2n</sup>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>y</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>x</mi><msup><mi>y</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msubsup><msup><mi>y</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>y</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>x</mi><msup><mi>y</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><mo>.</mo></math>
g) (x – y)<sup>2n</sup>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mfenced><mrow><mo>−</mo><mi>y</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mfenced><mrow><mo>−</mo><mi>y</mi></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>x</mi><msup><mfenced><mrow><mo>−</mo><mi>y</mi></mrow></mfenced><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msubsup><msup><mfenced><mrow><mo>−</mo><mi>y</mi></mrow></mfenced><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><mo>−</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>y</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>...</mn><mo>−</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>x</mi><msup><mi>y</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msubsup><msup><mi>y</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><mo>−</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>y</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>...</mn><mo>−</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>x</mi><msup><mi>y</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><mo>.</mo></math>
|
Free Form | Lớp 10 | Tính:
a) $S = \binom{2022}{0} 9^{2022} + \binom{2022}{1} 9^{2021} + ... + \binom{2022}{k} 9^{2022-k} + ... + \binom{2022}{2021} 9 + \binom{2022}{2022}$.
b) $T = \binom{2022}{0} 4^{2022} - \binom{2022}{1} 4^{2021} \cdot 3 + ... - \binom{2022}{2021} 4 \cdot 3^{2021} + \binom{2022}{2022} 3^{2022}$. | Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có:
a) $S = \binom{2022}{0} 9^{2022} + \binom{2022}{1} 9^{2021} + ... + \binom{2022}{k} 9^{2022-k} + ... + \binom{2022}{2021} 9 + \binom{2022}{2022}$
$= \binom{2022}{0} 9^{2022} + \binom{2022}{1} 9^{2021} \cdot 1 + ... + \binom{2022}{k} 9^{2022-k} 1^k + ... + \binom{2022}{2021} 9.1^{2021} + \binom{2022}{2022} .1^{2022}$
$= (9+1)^{2020} = 10^{2022}$.
b) $T = \binom{2022}{0} 4^{2022} - \binom{2022}{1} 4^{2021} \cdot 3 + ... - \binom{2022}{2021} 4 \cdot 3^{2021} + \binom{2022}{2022} 3^{2022}$
$= \binom{2022}{0} 4^{2022} + \binom{2022}{1} 4^{2021} \cdot (-3)^1 + ... + \binom{2022}{2021} 4 \cdot (-3)^{2021} + \binom{2022}{2022} (-3)^{2022}$
$= [4 + (-3)]^{2022} = 1^{2022} = 1$. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889941 | ### Câu hỏi:
Tính:
a) $S = \binom{2022}{0} 9^{2022} + \binom{2022}{1} 9^{2021} + ... + \binom{2022}{k} 9^{2022-k} + ... + \binom{2022}{2021} 9 + \binom{2022}{2022}$.
b) $T = \binom{2022}{0} 4^{2022} - \binom{2022}{1} 4^{2021} \cdot 3 + ... - \binom{2022}{2021} 4 \cdot 3^{2021} + \binom{2022}{2022} 3^{2022}$.
### Lời giải:
Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có:
a) $S = \binom{2022}{0} 9^{2022} + \binom{2022}{1} 9^{2021} + ... + \binom{2022}{k} 9^{2022-k} + ... + \binom{2022}{2021} 9 + \binom{2022}{2022}$
$= \binom{2022}{0} 9^{2022} + \binom{2022}{1} 9^{2021} \cdot 1 + ... + \binom{2022}{k} 9^{2022-k} 1^k + ... + \binom{2022}{2021} 9.1^{2021} + \binom{2022}{2022} .1^{2022}$
$= (9+1)^{2020} = 10^{2022}$.
b) $T = \binom{2022}{0} 4^{2022} - \binom{2022}{1} 4^{2021} \cdot 3 + ... - \binom{2022}{2021} 4 \cdot 3^{2021} + \binom{2022}{2022} 3^{2022}$
$= \binom{2022}{0} 4^{2022} + \binom{2022}{1} 4^{2021} \cdot (-3)^1 + ... + \binom{2022}{2021} 4 \cdot (-3)^{2021} + \binom{2022}{2022} (-3)^{2022}$
$= [4 + (-3)]^{2022} = 1^{2022} = 1$.
|
Free Form | Lớp 10 | <p>Chứng minh:</p>
<p>$ {C}_{n}^{0}{3}^{n}+{C}_{n}^{1}{3}^{n-1}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{k}{3}^{n-k}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{n-1}3+{C}_{n}^{n}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}={C}_{n}^{0}+{C}_{n}^{1}3+\mathrm{...}+{C}_{n}^{k}{3}^{k}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{n-1}{3}^{n-1}+{C}_{n}^{n}{3}^{n}$</p> | <p>$ {C}_{n}^{0}{3}^{n}+{C}_{n}^{1}{3}^{n-1}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{k}{3}^{n-k}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{n-1}3+{C}_{n}^{n}$</p>
<p>$ ={C}_{n}^{0}{3}^{n}+{C}_{n}^{1}{3}^{n-1}{1}^{1}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{k}{3}^{n-k}{1}^{k}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{n-1}{3.1}^{n-1}+{C}_{n}^{n}{.1}^{n}$</p>
<p>$ ={\left(3+1\right)}^{n}={4}^{n}.$</p>
<p>$ {C}_{n}^{0}+{C}_{n}^{1}3+\mathrm{...}+{C}_{n}^{k}{3}^{k}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{n-1}{3}^{n-1}+{C}_{n}^{n}{3}^{n}$</p>
<p>$ ={C}_{n}^{0}{.1}^{n}+{C}_{n}^{1}{.1}^{n-1}3+\mathrm{...}+{C}_{n}^{k}{.1}^{n-k}{3}^{k}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{n-1}{.1}^{n-1}{3}^{n-1}+{C}_{n}^{n}{3}^{n}$</p>
<p>$ ={\left(1+3\right)}^{n}={4}^{n}.$</p>
<p>Vậy $ {C}_{n}^{0}{3}^{n}+{C}_{n}^{1}{3}^{n-1}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{k}{3}^{n-k}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{n-1}3+{C}_{n}^{n}$</p>
<p>$ ={C}_{n}^{0}+{C}_{n}^{1}3+\mathrm{...}+{C}_{n}^{k}{3}^{k}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{n-1}{3}^{n-1}+{C}_{n}^{n}{3}^{n}.$</p> | https://khoahoc.vietjack.com/question/889943 | ### Câu hỏi:
<p>Chứng minh:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mn>3</mn><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mn>3</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mn>3</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mn>3</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><mspace linebreak="newline"></mspace><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><mn>3</mn><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mn>3</mn><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msup><mn>3</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><msup><mn>3</mn><mi>n</mi></msup></math></p>
### Lời giải:
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mn>3</mn><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mn>3</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mn>3</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mn>3</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mn>3</mn><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mn>3</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mn>1</mn><mn>1</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mn>3</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup><msup><mn>1</mn><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msup><mn>3.1</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><msup><mn>.1</mn><mi>n</mi></msup></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msup><mfenced><mrow><mn>3</mn><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>n</mi></msup><mo>=</mo><msup><mn>4</mn><mi>n</mi></msup><mo>.</mo></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><mn>3</mn><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mn>3</mn><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msup><mn>3</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><msup><mn>3</mn><mi>n</mi></msup></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mn>.1</mn><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mn>.1</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mn>3</mn><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mn>.1</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup><msup><mn>3</mn><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msup><mn>.1</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mn>3</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><msup><mn>3</mn><mi>n</mi></msup></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msup><mfenced><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow></mfenced><mi>n</mi></msup><mo>=</mo><msup><mn>4</mn><mi>n</mi></msup><mo>.</mo></math></p>
<p>Vậy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mn>3</mn><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mn>3</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mn>3</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mn>3</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><mn>3</mn><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mn>3</mn><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msup><mn>3</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><msup><mn>3</mn><mi>n</mi></msup><mo>.</mo></math></p>
|
Free Form | Lớp 10 | Xét khai triển của $ {\left(x+\frac{5}{2}\right)}^{12}.$
a) Xác định hệ số của x<sup>7</sup>.
b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số a<sub>k</sub> của x<sup>k</sup> với 0 ≤ k ≤ 12. | a) Số hạng chứa x<sup>7</sup> là $ {C}_{12}^{5}{x}^{7}{\left(\frac{5}{2}\right)}^{5}.$ Hệ số của x<sup>7</sup> là $ {C}_{12}^{5}{\left(\frac{5}{2}\right)}^{5}.$
b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là $ {C}_{12}^{12-k}{x}^{k}{\left(\frac{5}{2}\right)}^{12-k}.$
Hệ số của x<sup>k</sup> là $ {C}_{12}^{12-k}{\left(\frac{5}{2}\right)}^{12-k}.$ | https://khoahoc.vietjack.com/question/889949 | ### Câu hỏi:
Xét khai triển của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfenced><mn>12</mn></msup><mo>.</mo></math>
a) Xác định hệ số của x<sup>7</sup>.
b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số a<sub>k</sub> của x<sup>k</sup> với 0 ≤ k ≤ 12.
### Lời giải:
a) Số hạng chứa x<sup>7</sup> là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>5</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mn>7</mn></msup><msup><mfenced><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></mfenced><mn>5</mn></msup><mo>.</mo></math> Hệ số của x<sup>7</sup> là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>5</mn></msubsup><msup><mfenced><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></mfenced><mn>5</mn></msup><mo>.</mo></math>
b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mrow><mn>12</mn><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msubsup><msup><mi>x</mi><mi>k</mi></msup><msup><mfenced><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></mfenced><mrow><mn>12</mn><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup><mo>.</mo></math>
Hệ số của x<sup>k</sup> là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mrow><mn>12</mn><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msubsup><msup><mfenced><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></mfenced><mrow><mn>12</mn><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup><mo>.</mo></math>
|
Free Form | Lớp 10 | Xét khai triển của $ {\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{5}\right)}^{21}.$
a) Xác định hệ số của x<sup>10</sup>.
b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, tưr đó nêu hệ số a<sub>k</sub> của x<sup>k</sup> với 0 ≤ k ≤ 21. | a) Số hạng chứa x<sup>10</sup> là $ {C}_{21}^{11}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{10}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{11}.$
Hệ số của x<sup>10</sup> là $ {C}_{21}^{11}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{11}={C}_{21}^{11}\frac{1}{{2}^{10}{5}^{11}}.$
b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là $ {C}_{21}^{21-k}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{k}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{21-k}.$
Hệ số của x<sup>k</sup> là $ {C}_{21}^{21-k}\frac{1}{{2}^{k}{5}^{21-k}}.$ | https://khoahoc.vietjack.com/question/889950 | ### Câu hỏi:
Xét khai triển của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mfenced><mrow><mfrac><mi>x</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac></mrow></mfenced><mn>21</mn></msup><mo>.</mo></math>
a) Xác định hệ số của x<sup>10</sup>.
b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, tưr đó nêu hệ số a<sub>k</sub> của x<sup>k</sup> với 0 ≤ k ≤ 21.
### Lời giải:
a) Số hạng chứa x<sup>10</sup> là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>21</mn><mn>11</mn></msubsup><msup><mfenced><mfrac><mi>x</mi><mn>2</mn></mfrac></mfenced><mn>10</mn></msup><msup><mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac></mfenced><mn>11</mn></msup><mo>.</mo></math>
Hệ số của x<sup>10</sup> là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>21</mn><mn>11</mn></msubsup><msup><mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mfenced><mn>10</mn></msup><msup><mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac></mfenced><mn>11</mn></msup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>21</mn><mn>11</mn></msubsup><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mn>2</mn><mn>10</mn></msup><msup><mn>5</mn><mn>11</mn></msup></mrow></mfrac><mo>.</mo></math>
b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>21</mn><mrow><mn>21</mn><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msubsup><msup><mfenced><mfrac><mi>x</mi><mn>2</mn></mfrac></mfenced><mi>k</mi></msup><msup><mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac></mfenced><mrow><mn>21</mn><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup><mo>.</mo></math>
Hệ số của x<sup>k</sup> là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>21</mn><mrow><mn>21</mn><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msubsup><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup><msup><mn>5</mn><mrow><mn>21</mn><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>.</mo></math>
|
Free Form | Lớp 10 | Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:
a) (a + b)<sup>8</sup>
b) (a + b)<sup>9</sup>. | Vì dãy hệ số của khai triển (a + b)<sup>n</sup> tăng dần đến "giữa" rồi giảm dần nên:
a) Hệ số lớn nhất của (a + b)<sup>8</sup> là $ {C}_{8}^{4}.$
b) Hệ số lớn nhất của (a + b)<sup>9</sup> là $ {C}_{9}^{4}$ và $ {C}_{9}^{5}.$ | https://khoahoc.vietjack.com/question/889951 | ### Câu hỏi:
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:
a) (a + b)<sup>8</sup>
b) (a + b)<sup>9</sup>.
### Lời giải:
Vì dãy hệ số của khai triển (a + b)<sup>n</sup> tăng dần đến "giữa" rồi giảm dần nên:
a) Hệ số lớn nhất của (a + b)<sup>8</sup> là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>8</mn><mn>4</mn></msubsup><mo>.</mo></math>
b) Hệ số lớn nhất của (a + b)<sup>9</sup> là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>9</mn><mn>4</mn></msubsup></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>9</mn><mn>5</mn></msubsup><mo>.</mo></math>
|
Free Form | Lớp 10 | Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:
$ {(a+b)}^{n}={C}_{n}^{0}{a}^{n}+{C}_{n}^{1}{a}^{n-1}b+\mathrm{...}+{C}_{n}^{n-1}a{b}^{n-1}+{C}_{n}^{n}{b}^{n}$ với n$ \in $ℕ<sup>*</sup>. | +) Với n = 1, ta có: (a + b)<sup>1</sup> = a + b =
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:
$ {(a+b)}^{k+1}={C}_{k+1}^{0}{a}^{k+1}+{C}_{k+1}^{1}{a}^{(k+1)-1}b+\mathrm{...}+{C}_{k+1}^{(k+1)-1}a{b}^{(k+1)-1}+{C}_{k+1}^{k+1}{b}^{k+1}.$
<div>
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
$ {(a+b)}^{k}={C}_{k}^{0}{a}^{k}+{C}_{k}^{1}{a}^{k-1}b+\mathrm{...}+{C}_{k}^{k-1}a{b}^{k-1}+{C}_{k}^{k}{b}^{k}.$
Khi đó:
$ {(a+b)}^{k+1}=\left(a+b\right){\left(a+b\right)}^{k}$
$ =a{\left(a+b\right)}^{k}+b{\left(a+b\right)}^{k}$
$ =a\left({C}_{k}^{0}{a}^{k}+{C}_{k}^{1}{a}^{k-1}b+\mathrm{...}+{C}_{k}^{k-1}a{b}^{k-1}+{C}_{k}^{k}{b}^{k}\right)$
$ +b\left({C}_{k}^{0}{a}^{k}+{C}_{k}^{1}{a}^{k-1}b+\mathrm{...}+{C}_{k}^{k-1}a{b}^{k-1}+{C}_{k}^{k}{b}^{k}\right)$
$ =\left({C}_{k}^{0}{a}^{k+1}+{C}_{k}^{1}{a}^{k}b+{C}_{k}^{2}{a}^{k-1}{b}^{2}+\mathrm{...}+{C}_{k}^{k-1}{a}^{2}{b}^{k-1}+{C}_{k}^{k}a{b}^{k}\right)$
$ +\left({C}_{k}^{0}{a}^{k}b+{C}_{k}^{1}{a}^{k-1}{b}^{2}+\mathrm{...}+{C}_{k}^{k-2}{a}^{2}{b}^{k-1}+{C}_{k}^{k-1}a{b}^{k}+{C}_{k}^{k}{b}^{k+1}\right)$
$ ={C}_{k}^{0}{a}^{k+1}+\left({C}_{k}^{0}+{C}_{k}^{1}\right){a}^{k}b+\left({C}_{k}^{1}+{C}_{k}^{2}\right){a}^{k-1}{b}^{2}+\mathrm{...}$
$ +\left({C}_{k}^{k-2}+{C}_{k}^{k-1}\right){a}^{2}{b}^{k-1}+\left({C}_{k}^{k-1}+{C}_{k}^{k}\right)a{b}^{k}+{C}_{k}^{k}{b}^{k+1}$
$ =1.{a}^{k+1}+{C}_{k+1}^{1}{a}^{k}b+{C}_{k+1}^{2}{a}^{k-1}{b}^{2}+\mathrm{...}+{C}_{k+1}^{k-1}{a}^{2}{b}^{k-1}+{C}_{k+1}^{k}a{b}^{k}+1.{b}^{k+1}$
$ (vì{C}_{k}^{i}+{C}_{k}^{i+1}={C}_{k+1}^{i+1}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\forall 0\le i\le k,i\in \mathrm{\mathbb{N}},k\in \mathrm{\mathbb{N}}*)$
$ ={C}_{k+1}^{0}{a}^{k+1}+{C}_{k+1}^{1}{a}^{(k+1)-1}b+\mathrm{...}+{C}_{k+1}^{(k+1)-1}a{b}^{(k+1)-1}+{C}_{k+1}^{k+1}{b}^{k+1}.$
<div>
Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n$ \in $ℕ<sup>*</sup>.
</div>
</div> | https://khoahoc.vietjack.com/question/889956 | ### Câu hỏi:
Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mi>n</mi></msup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><msup><mi>b</mi><mi>n</mi></msup></math> với n<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∈</mo></math>ℕ<sup>*</sup>.
### Lời giải:
+) Với n = 1, ta có: (a + b)<sup>1</sup> = a + b =
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>.</mo></math>
<div>
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mi>k</mi></msup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup><mo>.</mo></math>
Khi đó:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mi>k</mi></msup></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>a</mi><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><mi>b</mi><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mi>k</mi></msup></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>a</mi><mfenced><mrow><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup></mrow></mfenced></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>+</mo><mi>b</mi><mfenced><mrow><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup></mrow></mfenced></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfenced><mrow><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>k</mi></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup></mrow></mfenced></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>+</mo><mfenced><mrow><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mfenced><mrow><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>0</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>1</mn></msubsup></mrow></mfenced><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mfenced><mrow><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>1</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow></mfenced><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>+</mo><mfenced><mrow><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mfenced><mrow><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>k</mi></msubsup></mrow></mfenced><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mn>1.</mn><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>k</mi></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><mn>1.</mn><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><mi>v</mi><mi>ì</mi><mo> </mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>i</mi></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mtext> </mtext><mo>∀</mo><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>i</mi><mo>≤</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℕ</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℕ</mi><mo>*</mo><mo>)</mo></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>.</mo></math>
<div>
Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∈</mo></math>ℕ<sup>*</sup>.
</div>
</div>
|
Free Form | Lớp 10 | Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:
a) $n^5 - n$ chia hết cho 5 $\forall$ n $\in$ ℕ<sup>*</sup>;
b) $n^7 - n$ chia hết cho 7 $\forall$ n $\in$ ℕ<sup>*</sup>. | a)
+) Với n = 1, ta có: $1^5 - 1 = 0$ ⁝ 5.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $(k + 1)^5 - (k + 1)$ ⁝ 5.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $k^5 - k$ ⁝ 5.
Khi đó:
$(k + 1)^5 - (k + 1)$
= $k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1 - k - 1$
= $(k^5 - k) + 5(k^4 + 2k^3 + 2k^2 + k)$.
Mà $k^5 - k$ và $5(k^4 + 2k^3 + 2k^2 + k)$ đều chia hết cho 5, do đó
$(k + 1)^5 - (k + 1)$ ⁝ 5 hay $(k + 1)^5 - (k + 1)$ ⁝ 5.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ<sup>*</sup>.
b)
+) Với n = 1, ta có: $1^7 - 1 = 0$ ⁝ 7.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $(k + 1)^7 - (k + 1)$ ⁝ 7.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $k^7 - k$ ⁝ 7.
Khi đó:
$(k + 1)^7 - (k + 1)$
= $k^7 + 7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k + 1 - k - 1$
= $(k^7 - k) + 7(k^6 + 3k^5 + 5k^4 + 5k^3 + 3k^2 + k)$.
Mà $k^7 - k$ và $7(k^6 + 3k^5 + 5k^4 + 5k^3 + 3k^2 + k)$ đều chia hết cho 7, do đó
$(k + 1)^7 - (k + 1)$ ⁝ 7 hay $(k + 1)^7 - (k + 1)$ ⁝ 7.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ<sup>*</sup>. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889959 | ### Câu hỏi:
Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:
a) $n^5 - n$ chia hết cho 5 $\forall$ n $\in$ ℕ<sup>*</sup>;
b) $n^7 - n$ chia hết cho 7 $\forall$ n $\in$ ℕ<sup>*</sup>.
### Lời giải:
a)
+) Với n = 1, ta có: $1^5 - 1 = 0$ ⁝ 5.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $(k + 1)^5 - (k + 1)$ ⁝ 5.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $k^5 - k$ ⁝ 5.
Khi đó:
$(k + 1)^5 - (k + 1)$
= $k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1 - k - 1$
= $(k^5 - k) + 5(k^4 + 2k^3 + 2k^2 + k)$.
Mà $k^5 - k$ và $5(k^4 + 2k^3 + 2k^2 + k)$ đều chia hết cho 5, do đó
$(k + 1)^5 - (k + 1)$ ⁝ 5 hay $(k + 1)^5 - (k + 1)$ ⁝ 5.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ<sup>*</sup>.
b)
+) Với n = 1, ta có: $1^7 - 1 = 0$ ⁝ 7.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $(k + 1)^7 - (k + 1)$ ⁝ 7.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $k^7 - k$ ⁝ 7.
Khi đó:
$(k + 1)^7 - (k + 1)$
= $k^7 + 7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k + 1 - k - 1$
= $(k^7 - k) + 7(k^6 + 3k^5 + 5k^4 + 5k^3 + 3k^2 + k)$.
Mà $k^7 - k$ và $7(k^6 + 3k^5 + 5k^4 + 5k^3 + 3k^2 + k)$ đều chia hết cho 7, do đó
$(k + 1)^7 - (k + 1)$ ⁝ 7 hay $(k + 1)^7 - (k + 1)$ ⁝ 7.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ<sup>*</sup>.
|
Free Form | Lớp 10 | Cho tập hợp A = {x<sub>1</sub>; x<sub>2</sub>; x<sub>3</sub>; ... ; x<sub>n</sub>} có n phần tử. Tính số tập hợp con của A. | Vì A có n phần tử nên số tập hợp con có k phần tử của tập hợp A là: $ {C}_{n}^{k}.$
Như vậy tổng số tập con của tập hợp A là: $ {C}_{n}^{0}+{C}_{n}^{1}+{C}_{n}^{2}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{n-1}+{C}_{n}^{n}.$
Lại có $ {C}_{n}^{0}+{C}_{n}^{1}+{C}_{n}^{2}+\mathrm{...}+{C}_{n}^{n-1}+{C}_{n}^{n}={2}^{n}$ (theo luyện tập 2).
Vậy tập hợp A có tất cả 2<sup>n</sup> tập con. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889961 | ### Câu hỏi:
Cho tập hợp A = {x<sub>1</sub>; x<sub>2</sub>; x<sub>3</sub>; ... ; x<sub>n</sub>} có n phần tử. Tính số tập hợp con của A.
### Lời giải:
Vì A có n phần tử nên số tập hợp con có k phần tử của tập hợp A là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><mo>.</mo></math>
Như vậy tổng số tập con của tập hợp A là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><mo>.</mo></math>
Lại có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mi>n</mi></msup></math> (theo luyện tập 2).
Vậy tập hợp A có tất cả 2<sup>n</sup> tập con.
|
Free Form | Lớp 10 | Một nhóm gồm 10 học sinh tham gia chiến dịch Mùa hè xanh. Nhà trường muốn chọn ra một đội công tác có ít nhất hai học sinh trong những học sinh trên. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội công tác như thế? | Đội công tác có thể có từ 2 đến 10 học sinh.
Nếu đội công tác có k học sinh thì ta có $\msubsup{C}_{10}^{k}$ cách chọn.
Như vậy tổng số cách chọn là: $\msubsup{C}_{10}^{2}+\msubsup{C}_{10}^{3}+...+\msubsup{C}_{10}^{10}$.
Lại có $\msubsup{C}_{10}^{0}+\msubsup{C}_{10}^{1}+\msubsup{C}_{10}^{2}+\msubsup{C}_{10}^{3}+...+\msubsup{C}_{10}^{10}=2^{10}=1024$ (áp dụng luyện tập 2 với n = 10).
$\Rightarrow \msubsup{C}_{10}^{2}+\msubsup{C}_{10}^{3}+...+\msubsup{C}_{10}^{10}=2^{10}=1024-\left(\msubsup{C}_{10}^{0}+\msubsup{C}_{10}^{1}\right)=1024-\left(1+10\right)=1013$. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889963 | ### Câu hỏi:
Một nhóm gồm 10 học sinh tham gia chiến dịch Mùa hè xanh. Nhà trường muốn chọn ra một đội công tác có ít nhất hai học sinh trong những học sinh trên. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội công tác như thế?
### Lời giải:
Đội công tác có thể có từ 2 đến 10 học sinh.
Nếu đội công tác có k học sinh thì ta có $\msubsup{C}_{10}^{k}$ cách chọn.
Như vậy tổng số cách chọn là: $\msubsup{C}_{10}^{2}+\msubsup{C}_{10}^{3}+...+\msubsup{C}_{10}^{10}$.
Lại có $\msubsup{C}_{10}^{0}+\msubsup{C}_{10}^{1}+\msubsup{C}_{10}^{2}+\msubsup{C}_{10}^{3}+...+\msubsup{C}_{10}^{10}=2^{10}=1024$ (áp dụng luyện tập 2 với n = 10).
$\Rightarrow \msubsup{C}_{10}^{2}+\msubsup{C}_{10}^{3}+...+\msubsup{C}_{10}^{10}=2^{10}=1024-\left(\msubsup{C}_{10}^{0}+\msubsup{C}_{10}^{1}\right)=1024-\left(1+10\right)=1013$.
|
Free Form | Lớp 10 | Để tham gia một cuộc thi làm bánh, bạn Tiến làm 12 chiếc bánh có màu khác nhau và chọn ra số nguyên dương chẵn chiếc bánh để cho vào một hộp trưng bày. Hỏi bạn Tiến có bao nhiêu cách để chọn bánh cho vào hộp trưng bày đó? | Số bánh bạn Tiến có thể chọn để cho vào hộp có thể là 2, 4, 6, 8, 10 hoặc 12.
Như vậy tổng số cách chọn là: $ {C}_{12}^{2}+{C}_{12}^{4}+\mathrm{...}+{C}_{12}^{12}.$<span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"></span>
Lại có $ {C}_{12}^{0}+{C}_{12}^{2}+{C}_{12}^{4}+\mathrm{...}+{C}_{12}^{12}={2}^{2\text{\hspace{0.17em}}.\text{\hspace{0.17em}}6-1}={2}^{11}=2048$<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(áp dụng câu c Ví dụ 3 với n = 6).
$ \Rightarrow {C}_{12}^{2}+{C}_{12}^{4}+\mathrm{...}+{C}_{12}^{12}={2}^{2\text{\hspace{0.17em}}.\text{\hspace{0.17em}}6-1}=2048-{C}_{12}^{0}=2048-1=2047$
Vậy có 2047 cách. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889965 | ### Câu hỏi:
Để tham gia một cuộc thi làm bánh, bạn Tiến làm 12 chiếc bánh có màu khác nhau và chọn ra số nguyên dương chẵn chiếc bánh để cho vào một hộp trưng bày. Hỏi bạn Tiến có bao nhiêu cách để chọn bánh cho vào hộp trưng bày đó?
### Lời giải:
Số bánh bạn Tiến có thể chọn để cho vào hộp có thể là 2, 4, 6, 8, 10 hoặc 12.
Như vậy tổng số cách chọn là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>2</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>4</mn></msubsup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>12</mn></msubsup><mo>.</mo></math><span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"></span>
Lại có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>0</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>2</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>4</mn></msubsup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>12</mn></msubsup><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mn>2</mn><mtext> </mtext><mo>.</mo><mtext> </mtext><mn>6</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mn>11</mn></msup><mo>=</mo><mn>2048</mn></math><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(áp dụng câu c Ví dụ 3 với n = 6).
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>2</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>4</mn></msubsup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>12</mn></msubsup><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mn>2</mn><mtext> </mtext><mo>.</mo><mtext> </mtext><mn>6</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>2048</mn><mo>−</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>0</mn></msubsup><mo>=</mo><mn>2048</mn><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>2047</mn></math>
Vậy có 2047 cách.
|
Free Form | Lớp 10 | Bác Thành muốn mua quà cho con nhân dịp sinh nhật nên đã đến một cửa hàng đồ chơi. Bác dự định chọn một trong năm loại đồ chơi. Ở cửa hàng, mỗi loại đồ chơi đó chỉ có 10 sản phẩm khác nhau bày bán. Biết rằng nếu mua bộ trực thăng điều khiển từ xa, bác sẽ chỉ mua 1 sản phẩm; nếu mua bộ đồ chơi lego, bác sẽ mua 3 sản phẩm khác nhau; nếu mua bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời, bác sẽ mua 5 sản phẩm khác nhau; nếu mua rubik, bác sẽ mua 7 sản phẩm khác nhau; còn nếu mua mô hình khủng long, bác sẽ mua 9 sản phẩm khác nhau. Bác Thành có bao nhiêu cách chọn quà sinh nhật cho con? | Số cách chọn nếu bác Thành mua:
– Bộ trực thăng điều khiển từ xa là: $ {C}_{10}^{1}.$
– Bộ đồ chơi lego là: $ {C}_{10}^{3}.$
– Bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời là: $ {C}_{10}^{5}.$
– Rubik là: $ {C}_{10}^{7}.$
– Mô hình khủng long là: $ {C}_{10}^{9}.$
Vậy tổng số cách chọn là: $ {C}_{10}^{1}+{C}_{10}^{3}+{C}_{10}^{5}+{C}_{10}^{7}+{C}_{10}^{9}.$
Lại có $ {C}_{10}^{1}+{C}_{10}^{3}+{C}_{10}^{5}+{C}_{10}^{7}+{C}_{10}^{9}={2}^{2\text{\hspace{0.17em}}.\text{\hspace{0.17em}}5-1}={2}^{9}=512$ (áp dụng câu c Ví dụ 3 với n = 5).
Vậy có 512 cách. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889966 | ### Câu hỏi:
Bác Thành muốn mua quà cho con nhân dịp sinh nhật nên đã đến một cửa hàng đồ chơi. Bác dự định chọn một trong năm loại đồ chơi. Ở cửa hàng, mỗi loại đồ chơi đó chỉ có 10 sản phẩm khác nhau bày bán. Biết rằng nếu mua bộ trực thăng điều khiển từ xa, bác sẽ chỉ mua 1 sản phẩm; nếu mua bộ đồ chơi lego, bác sẽ mua 3 sản phẩm khác nhau; nếu mua bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời, bác sẽ mua 5 sản phẩm khác nhau; nếu mua rubik, bác sẽ mua 7 sản phẩm khác nhau; còn nếu mua mô hình khủng long, bác sẽ mua 9 sản phẩm khác nhau. Bác Thành có bao nhiêu cách chọn quà sinh nhật cho con?
### Lời giải:
Số cách chọn nếu bác Thành mua:
– Bộ trực thăng điều khiển từ xa là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>10</mn><mn>1</mn></msubsup><mo>.</mo></math>
– Bộ đồ chơi lego là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>10</mn><mn>3</mn></msubsup><mo>.</mo></math>
– Bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>10</mn><mn>5</mn></msubsup><mo>.</mo></math>
– Rubik là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>10</mn><mn>7</mn></msubsup><mo>.</mo></math>
– Mô hình khủng long là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>10</mn><mn>9</mn></msubsup><mo>.</mo></math>
Vậy tổng số cách chọn là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>10</mn><mn>1</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>10</mn><mn>3</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>10</mn><mn>5</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>10</mn><mn>7</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>10</mn><mn>9</mn></msubsup><mo>.</mo></math>
Lại có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>10</mn><mn>1</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>10</mn><mn>3</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>10</mn><mn>5</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>10</mn><mn>7</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>10</mn><mn>9</mn></msubsup><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mn>2</mn><mtext> </mtext><mo>.</mo><mtext> </mtext><mn>5</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mn>9</mn></msup><mo>=</mo><mn>512</mn></math> (áp dụng câu c Ví dụ 3 với n = 5).
Vậy có 512 cách.
|
Free Form | Lớp 10 | Giả sử tính trạng ở một loài cây được quy định do tác động cộng gộp của n cặp alen phân li độc lập A<sub>1</sub>a<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>a<sub>2</sub>, ..., A<sub>n</sub>a<sub>n</sub>. Cho cây F<sub>1</sub> dị hợp về n cặp alen giao phối với nhau. Tỉ lệ phân li kiểu hình của F<sub>2</sub> là hệ số của khai triển nhị thức Newton (a + b)<sup>2n</sup>, nghĩa là tỉ lệ phân li kiểu hình của F<sub>2</sub> là $ {C}_{2n}^{0}:{C}_{2n}^{1}:{C}_{2n}^{2}:\mathrm{...}:{C}_{2n}^{2n-2}:{C}_{2n}^{2b-1}:{C}_{2n}^{2n}.$<span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"></span>
Cho biết một loài cây có tính trạng được quy định bởi tác động cộng gộp của 4 cặp alen phân li độc lập. Tìm tỉ lệ phân li kiểu hình của F<sub>2</sub> nếu cây F<sub>1</sub> dị hợp về 4 cặp alen giao phối với nhau. | Thay n = 4 vào công thức trong đề bài, ta được:
Tỉ lệ phân li kiểu hình của F<sub>2</sub> nếu cây F<sub>1</sub> dị hợp về 4 cặp alen giao phối với nhau là:
$ {C}_{2\text{\hspace{0.17em}}.\text{\hspace{0.17em}}4}^{0}:{C}_{2\text{\hspace{0.17em}}.\text{\hspace{0.17em}}4}^{1}:{C}_{2\text{\hspace{0.17em}}.\text{\hspace{0.17em}}4}^{2}:\mathrm{...}:{C}_{2\text{\hspace{0.17em}}.\text{\hspace{0.17em}}4}^{2\text{\hspace{0.17em}}.\text{\hspace{0.17em}}4}$ hay $ {C}_{8}^{0}:{C}_{8}^{1}:{C}_{8}^{2}:{C}_{8}^{3}:{C}_{8}^{4}:{C}_{8}^{5}:{C}_{8}^{6}:{C}_{8}^{7}:{C}_{8}^{8}.$<span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"></span> | https://khoahoc.vietjack.com/question/889967 | ### Câu hỏi:
Giả sử tính trạng ở một loài cây được quy định do tác động cộng gộp của n cặp alen phân li độc lập A<sub>1</sub>a<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>a<sub>2</sub>, ..., A<sub>n</sub>a<sub>n</sub>. Cho cây F<sub>1</sub> dị hợp về n cặp alen giao phối với nhau. Tỉ lệ phân li kiểu hình của F<sub>2</sub> là hệ số của khai triển nhị thức Newton (a + b)<sup>2n</sup>, nghĩa là tỉ lệ phân li kiểu hình của F<sub>2</sub> là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>0</mn></msubsup><mo>:</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>1</mn></msubsup><mo>:</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></msubsup><mo>:</mo><mn>...</mn><mo>:</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>:</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>b</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>:</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>.</mo></math><span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"></span>
Cho biết một loài cây có tính trạng được quy định bởi tác động cộng gộp của 4 cặp alen phân li độc lập. Tìm tỉ lệ phân li kiểu hình của F<sub>2</sub> nếu cây F<sub>1</sub> dị hợp về 4 cặp alen giao phối với nhau.
### Lời giải:
Thay n = 4 vào công thức trong đề bài, ta được:
Tỉ lệ phân li kiểu hình của F<sub>2</sub> nếu cây F<sub>1</sub> dị hợp về 4 cặp alen giao phối với nhau là:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mtext> </mtext><mo>.</mo><mtext> </mtext><mn>4</mn></mrow><mn>0</mn></msubsup><mo>:</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mtext> </mtext><mo>.</mo><mtext> </mtext><mn>4</mn></mrow><mn>1</mn></msubsup><mo>:</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mtext> </mtext><mo>.</mo><mtext> </mtext><mn>4</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><mo>:</mo><mn>...</mn><mo>:</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mtext> </mtext><mo>.</mo><mtext> </mtext><mn>4</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mtext> </mtext><mo>.</mo><mtext> </mtext><mn>4</mn></mrow></msubsup></math> hay <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>8</mn><mn>0</mn></msubsup><mo>:</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>8</mn><mn>1</mn></msubsup><mo>:</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>8</mn><mn>2</mn></msubsup><mo>:</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>8</mn><mn>3</mn></msubsup><mo>:</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>8</mn><mn>4</mn></msubsup><mo>:</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>8</mn><mn>5</mn></msubsup><mo>:</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>8</mn><mn>6</mn></msubsup><mo>:</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>8</mn><mn>7</mn></msubsup><mo>:</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>8</mn><mn>8</mn></msubsup><mo>.</mo></math><span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"></span>
|
Free Form | Lớp 10 | Cho A, B và C là ba dung dịch cùng loại acid có nồng độ khác nhau. Biết rằng nếu trộn ba dung dịch mỗi loại 100 ml thì được dung dịch nồng độ 0,4 M (mol/lít); nếu trộn 100 ml dung dịch A với 200 ml dung dịch B thì được dung dịch nồng độ 0,6 M; nếu trộn 100 ml dung dịch B với 200 ml dung dịch C thì được dung dịch nồng độ 0,3 M. Mỗi dung dịch A, B và C có nồng độ bao nhiêu? | Gọi nồng độ của mỗi dung dịch A, B, C lần lượt là x, y, z (M).
Theo đề bài ta có:
– Nếu trộn ba dung dịch mỗi loại 100 ml thì được dung dịch nồng độ 0,4 M, suy ra $\frac{0,1x+0,1y+0,1z}{0,1+0,1+0,1}$ = 0,4 hay x + y + z = 1,2 (1).
– Nếu trộn 100 ml dung dịch A với 200 ml dung dịch B thì được dung dịch nồng độ 0,6 M, suy ra $\frac{0,1x+0,2y}{0,1+0,2}$ = 0,6 hay x + 2y = 1,8 (2).
– Nếu trộn 100 ml dung dịch B với 200 ml dung dịch C thì được dung dịch nồng độ 0,3 M, suy ra $\frac{0,1y+0,2z}{0,1+0,2}$ = 0,3 hay y + 2z = 0,9 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\begin{cases}
x+y+z=1,2\\
x+2y=1,8\\
y+2z=0,9
\end{cases}$.
Giải hệ này ta được x = 0,4; y = 0,7; z = 0,1.
Vậy nồng độ của mỗi dung dịch A, B, C lần lượt là 0,4 M; 0,7 M; 0,1 M. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889983 | ### Câu hỏi:
Cho A, B và C là ba dung dịch cùng loại acid có nồng độ khác nhau. Biết rằng nếu trộn ba dung dịch mỗi loại 100 ml thì được dung dịch nồng độ 0,4 M (mol/lít); nếu trộn 100 ml dung dịch A với 200 ml dung dịch B thì được dung dịch nồng độ 0,6 M; nếu trộn 100 ml dung dịch B với 200 ml dung dịch C thì được dung dịch nồng độ 0,3 M. Mỗi dung dịch A, B và C có nồng độ bao nhiêu?
### Lời giải:
Gọi nồng độ của mỗi dung dịch A, B, C lần lượt là x, y, z (M).
Theo đề bài ta có:
– Nếu trộn ba dung dịch mỗi loại 100 ml thì được dung dịch nồng độ 0,4 M, suy ra $\frac{0,1x+0,1y+0,1z}{0,1+0,1+0,1}$ = 0,4 hay x + y + z = 1,2 (1).
– Nếu trộn 100 ml dung dịch A với 200 ml dung dịch B thì được dung dịch nồng độ 0,6 M, suy ra $\frac{0,1x+0,2y}{0,1+0,2}$ = 0,6 hay x + 2y = 1,8 (2).
– Nếu trộn 100 ml dung dịch B với 200 ml dung dịch C thì được dung dịch nồng độ 0,3 M, suy ra $\frac{0,1y+0,2z}{0,1+0,2}$ = 0,3 hay y + 2z = 0,9 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\begin{cases}
x+y+z=1,2\\
x+2y=1,8\\
y+2z=0,9
\end{cases}$.
Giải hệ này ta được x = 0,4; y = 0,7; z = 0,1.
Vậy nồng độ của mỗi dung dịch A, B, C lần lượt là 0,4 M; 0,7 M; 0,1 M.
|
Free Form | Lớp 10 | Xăng sinh học E5 là hỗn hợp xăng không chì truyền thống và cồn sinh học (bio – ethanol). Trong loại xăng này chứa 5% cồn sinh học. Khi động cơ đốt cháy lượng cồn trên thì xảy ra phản ứng hoá học
$C_2H_6O + O_2 \xrightarrow{t^o} CO_2 + H_2O$.
Cân bằng phương trình hoá học trên. | Gọi x, y, z, t lần lượt là bốn số nguyên dương thoả mãn cân bằng phương trình phản ứng hoá học:
$xC_2H_6O + yO_2 \xrightarrow{t^o} zCO_2 + tH_2O$.
Số nguyên tử C ở hai vế bằng nhau, ta có 2x = z (1).
Số nguyên từ H ở hai vế bằng nhau, ta có 6x = 2t hay 3x = t (2).
Số nguyên từ O ở hai vế bằng nhau, ta có x + 2y = 2z + t (3).
Thay (1) và (2) vào (3) ta được x + 2y = 2 . 2x + 3x hay y = 3x.
Vậy y = 3x, z = 2x, t = 3x.
Để phương trình có hệ số đơn giản, ta chọn x = 1, khi đó y = 3, z = 2, t = 3.
Vậy phương trình cân bằng phản ứng hoá học là $C_2H_6O + 3O_2 \xrightarrow{t^o} 2CO_2 + 3H_2O$. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889984 | ### Câu hỏi:
Xăng sinh học E5 là hỗn hợp xăng không chì truyền thống và cồn sinh học (bio – ethanol). Trong loại xăng này chứa 5% cồn sinh học. Khi động cơ đốt cháy lượng cồn trên thì xảy ra phản ứng hoá học
$C_2H_6O + O_2 \xrightarrow{t^o} CO_2 + H_2O$.
Cân bằng phương trình hoá học trên.
### Lời giải:
Gọi x, y, z, t lần lượt là bốn số nguyên dương thoả mãn cân bằng phương trình phản ứng hoá học:
$xC_2H_6O + yO_2 \xrightarrow{t^o} zCO_2 + tH_2O$.
Số nguyên tử C ở hai vế bằng nhau, ta có 2x = z (1).
Số nguyên từ H ở hai vế bằng nhau, ta có 6x = 2t hay 3x = t (2).
Số nguyên từ O ở hai vế bằng nhau, ta có x + 2y = 2z + t (3).
Thay (1) và (2) vào (3) ta được x + 2y = 2 . 2x + 3x hay y = 3x.
Vậy y = 3x, z = 2x, t = 3x.
Để phương trình có hệ số đơn giản, ta chọn x = 1, khi đó y = 3, z = 2, t = 3.
Vậy phương trình cân bằng phản ứng hoá học là $C_2H_6O + 3O_2 \xrightarrow{t^o} 2CO_2 + 3H_2O$.
|
Free Form | Lớp 10 | Trên thị trường hàng hoá có ba loại sản phẩm A, B, C với giá mỗi tấn tương ứng là x, y, z (đơn vị: triệu đồng, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0). Lượng cung và lượng cầu của mỗi sản phẩm được cho trong bảng dưới đây:
| Sản phẩm | Lượng cung | Lượng cầu |
|---|---|---|
| A | $Q_{S_A} = $ –60 + 4x – 2z | $Q_{D_A} = $ 137 – 3x + y |
| B | $Q_{S_B} = $ –30 – x + 5y – z | $Q_{D_B} = $ 131 + x –4y + z |
| C | $Q_{S_C} = $ –30 –2x + 3z | $Q_{D_C} = $ 157 + y – 2z |
Tìm giá của mỗi sản phẩm để thị trường cân bằng. | Thị trường cân bằng khi $\begin{cases} Q_{S_A} = Q_{D_A} \\ Q_{S_B} = Q_{D_B} \\ Q_{S_C} = Q_{D_C} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} -60 + 4x - 2z = 137 - 3x + y \\ -30 - x + 5y - z = 131 + x - 4y + z \\ -30 - 2x + 3z = 157 + y - 2z \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 7x - y - 2z = 197 \\ 2x - 9y + 2z = -161 \\ 2x + y - 5z = -187 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 54 \\ y = 45 \\ z = 68 \end{cases}.$
Vậy giá mỗi mỗi sản phẩm A, B, C lần lượt là 54, 45 và 68 triệu đồng. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889986 | ### Câu hỏi:
Trên thị trường hàng hoá có ba loại sản phẩm A, B, C với giá mỗi tấn tương ứng là x, y, z (đơn vị: triệu đồng, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0). Lượng cung và lượng cầu của mỗi sản phẩm được cho trong bảng dưới đây:
| Sản phẩm | Lượng cung | Lượng cầu |
|---|---|---|
| A | $Q_{S_A} = $ –60 + 4x – 2z | $Q_{D_A} = $ 137 – 3x + y |
| B | $Q_{S_B} = $ –30 – x + 5y – z | $Q_{D_B} = $ 131 + x –4y + z |
| C | $Q_{S_C} = $ –30 –2x + 3z | $Q_{D_C} = $ 157 + y – 2z |
Tìm giá của mỗi sản phẩm để thị trường cân bằng.
### Lời giải:
Thị trường cân bằng khi $\begin{cases} Q_{S_A} = Q_{D_A} \\ Q_{S_B} = Q_{D_B} \\ Q_{S_C} = Q_{D_C} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} -60 + 4x - 2z = 137 - 3x + y \\ -30 - x + 5y - z = 131 + x - 4y + z \\ -30 - 2x + 3z = 157 + y - 2z \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 7x - y - 2z = 197 \\ 2x - 9y + 2z = -161 \\ 2x + y - 5z = -187 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 54 \\ y = 45 \\ z = 68 \end{cases}.$
Vậy giá mỗi mỗi sản phẩm A, B, C lần lượt là 54, 45 và 68 triệu đồng.
|
Free Form | Lớp 10 | Giải bài toán cổ sau:
Trăm trâu, trăm cỏ
Trâu đứng ăn năm
Trâu nằm ăn ba
Lụ khụ trâu già
Ba con một bó
Hỏi có bao nhiêu con trâu đứng, trâu nằm, trâu già? | **Hướng dẫn giải**
Gọi số trâu đứng, trâu nằm, trâu già lần lượt là x, y, z (x, y, z là số nguyên dương).
Theo đề bài ta có hệ phương trình: $\begin{cases}
x + y + z = 100 \\
5x + 3y + \frac{1}{3}z = 100
\end{cases}$ (*).
(*) $\Leftrightarrow \begin{cases}
x + y = 100 - z \\
15x + 9y = 300 - z
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x = \frac{-300 + 4z}{3} \\
y = \frac{600 - 7z}{3}
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x = \frac{4z}{3} - 100 \\
y = 200 - \frac{7z}{3}
\end{cases}.$
Vìx > 0 nên $\frac{4z}{3} - 100 > 0$ $\Rightarrow z > 75,$
y > 0 nên $200 - \frac{7z}{3} > 0 \Rightarrow z < 85.$
Mà z là số nguyên dương nên $z \in \{76; 77; ...; 84\}.$
Lại có x là số nguyên nên $\frac{4z}{3} - 100$ là số nguyên, suy ra z ⁝ 3 $\Rightarrow z \in \{78; 81; 84\}.$
+) Với z = 78 thì x = 4, y = 18.
+) Với z = 81 thì x = 8, y = 11.
+) Với z = 84 thì x = 12, y = 4.
Vậy số trâu đứng, trâu nằm, trâu già theo thứ tự có thể là một trong ba bộ số (4; 18; 78), (8; 11; 81), (12; 4; 84). | https://khoahoc.vietjack.com/question/889987 | ### Câu hỏi:
Giải bài toán cổ sau:
Trăm trâu, trăm cỏ
Trâu đứng ăn năm
Trâu nằm ăn ba
Lụ khụ trâu già
Ba con một bó
Hỏi có bao nhiêu con trâu đứng, trâu nằm, trâu già?
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
Gọi số trâu đứng, trâu nằm, trâu già lần lượt là x, y, z (x, y, z là số nguyên dương).
Theo đề bài ta có hệ phương trình: $\begin{cases}
x + y + z = 100 \\
5x + 3y + \frac{1}{3}z = 100
\end{cases}$ (*).
(*) $\Leftrightarrow \begin{cases}
x + y = 100 - z \\
15x + 9y = 300 - z
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x = \frac{-300 + 4z}{3} \\
y = \frac{600 - 7z}{3}
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x = \frac{4z}{3} - 100 \\
y = 200 - \frac{7z}{3}
\end{cases}.$
Vìx > 0 nên $\frac{4z}{3} - 100 > 0$ $\Rightarrow z > 75,$
y > 0 nên $200 - \frac{7z}{3} > 0 \Rightarrow z < 85.$
Mà z là số nguyên dương nên $z \in \{76; 77; ...; 84\}.$
Lại có x là số nguyên nên $\frac{4z}{3} - 100$ là số nguyên, suy ra z ⁝ 3 $\Rightarrow z \in \{78; 81; 84\}.$
+) Với z = 78 thì x = 4, y = 18.
+) Với z = 81 thì x = 8, y = 11.
+) Với z = 84 thì x = 12, y = 4.
Vậy số trâu đứng, trâu nằm, trâu già theo thứ tự có thể là một trong ba bộ số (4; 18; 78), (8; 11; 81), (12; 4; 84).
|
Free Form | Lớp 10 | Ba lớp 10A, 10B, 10C gồm 128 học sinh cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi học sinh lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi học sinh lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi học sinh lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả 3 lớp trồng được 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh của các lớp 10A, 10B, 10C.
a) Lập các hệ thức thể hiện mối liên hệ giữa x, y và z.
b) Trong bảng dữ liệu sau, chọn các số liệu phù hợp với số học sinh của mỗi lớp 10A, 10B, 10C và giải thích sự lựa chọn của bạn.
| x | y | z |
|---|---|---|
| 41 | 43 | 44 |
| 40 | 43 | 45 |
| 42 | 43 | 43 | | Hướng dẫn giải
a) Các hệ thức thể hiện mối liên hệ giữa x, y và z là:
x + y + z = 128; 3x + 2y + 6z = 476; 4x + 5y = 375.
b) Các số liệu phù hợp với số học sinh của mỗi lớp 10A, 10B, 10C là x = 40, y = 43, z = 45. Vì các số liệu này thoả mãn tất cả các hệ thức thể hiện mỗi liên hệ giữa x, y và z trong câu a); các số liệu còn lại thì không thoả mãn. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889991 | ### Câu hỏi:
Ba lớp 10A, 10B, 10C gồm 128 học sinh cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi học sinh lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi học sinh lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi học sinh lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả 3 lớp trồng được 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh của các lớp 10A, 10B, 10C.
a) Lập các hệ thức thể hiện mối liên hệ giữa x, y và z.
b) Trong bảng dữ liệu sau, chọn các số liệu phù hợp với số học sinh của mỗi lớp 10A, 10B, 10C và giải thích sự lựa chọn của bạn.
| x | y | z |
|---|---|---|
| 41 | 43 | 44 |
| 40 | 43 | 45 |
| 42 | 43 | 43 |
### Lời giải:
Hướng dẫn giải
a) Các hệ thức thể hiện mối liên hệ giữa x, y và z là:
x + y + z = 128; 3x + 2y + 6z = 476; 4x + 5y = 375.
b) Các số liệu phù hợp với số học sinh của mỗi lớp 10A, 10B, 10C là x = 40, y = 43, z = 45. Vì các số liệu này thoả mãn tất cả các hệ thức thể hiện mỗi liên hệ giữa x, y và z trong câu a); các số liệu còn lại thì không thoả mãn.
|
Free Form | Lớp 10 | $ \{\begin{array}{l}4x-2y+z=5\\ 4xz-5y+2z=-7\\ -x+3y+2z=3\end{array}.$
$ \{\begin{array}{l}x+2z=5\\ 2x-y+z=-1\\ 3x-2y=-7\end{array}.$
Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Mỗi bộ ba số (1; 5; 2), (1; 1; 1) và (–1; 2; 3) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không? | – Hệ (1) không là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vì phương trình thứ hai của hệ có chứa xz.
–Hệ (2) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.
+) Bộ ba số (1; 5; 2) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.
Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:
1 + 2 . 2 = 5;
2 . 1 – 5 + 2 = –1;
3 . 1 – 2 . 5 = –7.
+) Bộ ba số (1; 1; 1) không là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.
Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 1 + 2 . 1 = 5, đây là đẳng thức sai.
+) Bộ ba số (–1; 2; 3) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.
Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:
–1 + 2 . 3 = 5;
2 . (–1) – 2 + 3 = –1;
3 . (–1) – 2 . 2 = –7. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889993 | ### Câu hỏi:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>5</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>4</mn><mi>x</mi><mi>z</mi><mo>−</mo><mn>5</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>7</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>5</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>7</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Mỗi bộ ba số (1; 5; 2), (1; 1; 1) và (–1; 2; 3) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không?
### Lời giải:
– Hệ (1) không là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vì phương trình thứ hai của hệ có chứa xz.
–Hệ (2) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.
+) Bộ ba số (1; 5; 2) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.
Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:
1 + 2 . 2 = 5;
2 . 1 – 5 + 2 = –1;
3 . 1 – 2 . 5 = –7.
+) Bộ ba số (1; 1; 1) không là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.
Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 1 + 2 . 1 = 5, đây là đẳng thức sai.
+) Bộ ba số (–1; 2; 3) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.
Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:
–1 + 2 . 3 = 5;
2 . (–1) – 2 + 3 = –1;
3 . (–1) – 2 . 2 = –7.
|
Free Form | Lớp 10 | Cho các hệ phương trình:
(1) $ \{\begin{array}{l}2x-y+z=1\\ 3y-z=2\\ 2z=3\end{array};$
(2) $ \{\begin{array}{l}2x-y+z=1\\ 2y+z=-1\\ 2y-z=-4\end{array}.$
a) Hệ phương trình (1) có gì đặc biệt? Giải hệ phương trình này.
b) Biến đổi hệ phương trình (2) về dạng như hệ phương trình (1). Giải hệ phương trình (2). | Hướng dẫn giải
a) Các phương trình trong hệ (1) theo thứ tự có số ẩn giảm dần: phương trình thứ nhất có 3 ẩn, phương trình thứ hai có 2 ẩn và phương trình thứ ba có 1 ẩn.
Hệ phương trình có dạng như hệ phương trình (1) được gọi là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn dạng tam giác.
b) Trừ vế với vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ ba của hệ (2) ta được:
(2y + z) – (2y – z) = –1 – (–4) hay 2z = 3. Do đó hệ (2) tương đương với:
$ \{\begin{array}{l}2x-y+z=1\\ 2y+z=-1\\ 2z=3\end{array}.$<br/>
Từ phương trình thứ ba, ta có: z = 3/2
Thay z = 3/2 vào phương trình thứ hai ta được y = -5/4
Thay y = -5/4 và z = 3/2 vào phương trình thứ nhất, ta được x = -7/8
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $ (-\frac{7}{8};-\frac{5}{4};\frac{3}{2}).$ | https://khoahoc.vietjack.com/question/889997 | ### Câu hỏi:
Cho các hệ phương trình:
(1) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>;</mo></math>
(2) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>4</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
a) Hệ phương trình (1) có gì đặc biệt? Giải hệ phương trình này.
b) Biến đổi hệ phương trình (2) về dạng như hệ phương trình (1). Giải hệ phương trình (2).
### Lời giải:
Hướng dẫn giải
a) Các phương trình trong hệ (1) theo thứ tự có số ẩn giảm dần: phương trình thứ nhất có 3 ẩn, phương trình thứ hai có 2 ẩn và phương trình thứ ba có 1 ẩn.
Hệ phương trình có dạng như hệ phương trình (1) được gọi là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn dạng tam giác.
b) Trừ vế với vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ ba của hệ (2) ta được:
(2y + z) – (2y – z) = –1 – (–4) hay 2z = 3. Do đó hệ (2) tương đương với:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math><br/>
Từ phương trình thứ ba, ta có: z = 3/2
Thay z = 3/2 vào phương trình thứ hai ta được y = -5/4
Thay y = -5/4 và z = 3/2 vào phương trình thứ nhất, ta được x = -7/8
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mfrac><mn>7</mn><mn>8</mn></mfrac><mo>;</mo><mo>−</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>;</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></math>
|
Free Form | Lớp 10 | $ \{\begin{array}{l}x-2y=1\\ x+2y-z=-2\\ x-3y+z=3\end{array};$
$ \{\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ x+2y-z=1\\ 2x-3y+3z=2\end{array};$
$ \{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ x-4y+2z=-1\\ 4x-y+3z=1\end{array}.$ | <strong>Hướng dẫn giải</strong>
$ \{\begin{array}{l}x-2y=1\\ x+2y-z=-2\\ x-3y+z=3\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}x-2y=1\\ -4y+z=3\\ x-3y+z=3\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}x-2y=1\\ -4y+z=3\\ y-z=-2\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}x-2y=1\\ -4y+z=3\\ -3z=-5\end{array}$
$ \Leftrightarrow \{\begin{array}{l}x-2y=1\\ -4y+\frac{5}{3}=3\\ z=\frac{5}{3}\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}x-2(-\frac{1}{3})=1\\ y=-\frac{1}{3}\\ z=\frac{5}{3}\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=-\frac{1}{3}\\ z=\frac{5}{3}\end{array}.$<br/>
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $ (\frac{1}{3};-\frac{1}{3};\frac{5}{3}).$
$ \{\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ x+2y-z=1\\ 2x-3y+3z=2\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ -7y+5z=-1\\ 2x-3y+3z=2\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ -7y+5z=-1\\ 7y-5z=-2\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ -7y+5z=-1\\ 0y+0z=-3\end{array}.$
Phương trình thứ ba của hệ này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
$ \{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ x-4y+2z=-1\\ 4x-y+3z=1\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ 3y-z=1\\ 4x-y+3z=1\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ 3y-z=1\\ -3y+z=-1\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ 3y-z=1\end{array}.$
Từ phương trình thứ hai, ta có z = 3y – 1, thay vào phương trình thứ nhất ta được x = –2y + 1.
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng (–2y + 1; y; 3y – 1). | https://khoahoc.vietjack.com/question/889998 | ### Câu hỏi:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>;</mo></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>;</mo></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>4</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
### Lời giải:
<strong>Hướng dẫn giải</strong>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>4</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>4</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>4</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>5</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>4</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>3</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>z</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>3</mn></mfrac></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>z</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>3</mn></mfrac></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>z</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>3</mn></mfrac></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math><br/>
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>(</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>;</mo><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>;</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>7</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>7</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>7</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mn>5</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>7</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>0</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
Phương trình thứ ba của hệ này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>4</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
Từ phương trình thứ hai, ta có z = 3y – 1, thay vào phương trình thứ nhất ta được x = –2y + 1.
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng (–2y + 1; y; 3y – 1).
|
Free Form | Lớp 10 | Tìm phương trình của parabol (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), biết (P) đi qua ba điểm A(0; –1), B(1; –2) và C(2; –1). | Hướng dẫn giải
(P) đi qua A(0; –1) => –1 = a . 02 + b . 0 + c hay c = –1 (1).
(P) đi qua B(1; –2) => –2 = a . 12 + b . 1 + c hay a + b + c = –2 (2).
(P) đi qua C(2; –1) => –1 = a . 22 + b . 2 + c hay 4a + 2b + c = –1 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $ \{\begin{array}{l}c=-1\\ a+b+c=-2\\ a-b+c=-1\end{array}.$
Giải hệ này ta được a = 1, b = –2, c = –1.
Vậy phương trình của (P) là y = x2 – 2x – 1. | https://khoahoc.vietjack.com/question/889999 | ### Câu hỏi:
Tìm phương trình của parabol (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), biết (P) đi qua ba điểm A(0; –1), B(1; –2) và C(2; –1).
### Lời giải:
Hướng dẫn giải
(P) đi qua A(0; –1) => –1 = a . 02 + b . 0 + c hay c = –1 (1).
(P) đi qua B(1; –2) => –2 = a . 12 + b . 1 + c hay a + b + c = –2 (2).
(P) đi qua C(2; –1) => –1 = a . 22 + b . 2 + c hay 4a + 2b + c = –1 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>c</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
Giải hệ này ta được a = 1, b = –2, c = –1.
Vậy phương trình của (P) là y = x2 – 2x – 1.
|
Free Form | Lớp 10 | $\begin{cases}
2x + y - z = -1 \\
x + 3y + 2z = 2 \\
3x + 3y - 3z = -5;
\end{cases}$
$\begin{cases}
2x - 3y + 2z = 5 \\
x + 2y - 3z = 4 \\
3x - y - z = 2;
\end{cases}$
$\begin{cases}
x - y - z = -1 \\
2x - y + z = -1 \\
-4x + 3y + z = 3.
\end{cases}$ | **Hướng dẫn giải**
a) Sau khi mở máy, ấn phím MENU để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.
Ấn liên tiếp các phím 9, 1, 3.
Tiếp theo, lần lượt nhập các hệ số của từng phương trình bằng cách ấn liên tiếp các phím như sau:
Nhập hệ số của phương trình thứ nhất:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
2 & = & 1 & = & - & 1 & = & - & 1 & = & \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ hai:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & = & 3 & = & 2 & = & 2 & = & 2 & = & \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ ba:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
3 & = & 3 & = & - & 3 & = & - & 5 & = & \\
\hline
\end{array}$
Tiếp theo, ấn liên tục 3 lần phím = để xem kết quả.
Ta được x = 2/3, y = -2/3, z = 5/3
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left(\frac{2}{3}; -\frac{2}{3}; \frac{5}{3}\right).$
b) Sau khi mở máy, ấn phím MENU để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.
Ấn liên tiếp các phím 9, 1, 3.
Tiếp theo, lần lượt nhập các hệ số của từng phương trình bằng cách ấn liên tiếp các phím như sau:
Nhập hệ số của phương trình thứ nhất:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
2 & = & - & 3 & = & 2 & = & 5 & = & 5 & = & \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ hai:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & = & 2 & = & - & 3 & = & 4 & = & 4 & = & \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ ba:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
3 & = & - & 1 & = & - & 1 & = & 2 & = & 2 & = & \\
\hline
\end{array}$
Tiếp theo, ấn liên tục 3 lần phím = để xem kết quả.
Ta thấy màn hình hiện ra No Solution.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
c) Sau khi mở máy, ấn phím MENU để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.
Ấn liên tiếp các phím 9, 1, 3.
Tiếp theo, lần lượt nhập các hệ số của từng phương trình bằng cách ấn liên tiếp các phím như sau:
Nhập hệ số của phương trình thứ nhất:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & = & - & 1 & = & - & 1 & = & - & 1 & = & \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ hai:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
2 & = & - & 1 & = & 1 & = & - & 1 & = & \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ ba:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
- & 4 & = & 3 & = & 1 & = & 3 & = & 3 & = & \\
\hline
\end{array}$
Tiếp theo, ấn liên tục 3 lần phím = để xem kết quả.
Ta thấy màn hình hiện ra Infinite Solution.
Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890002 | ### Câu hỏi:
$\begin{cases}
2x + y - z = -1 \\
x + 3y + 2z = 2 \\
3x + 3y - 3z = -5;
\end{cases}$
$\begin{cases}
2x - 3y + 2z = 5 \\
x + 2y - 3z = 4 \\
3x - y - z = 2;
\end{cases}$
$\begin{cases}
x - y - z = -1 \\
2x - y + z = -1 \\
-4x + 3y + z = 3.
\end{cases}$
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
a) Sau khi mở máy, ấn phím MENU để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.
Ấn liên tiếp các phím 9, 1, 3.
Tiếp theo, lần lượt nhập các hệ số của từng phương trình bằng cách ấn liên tiếp các phím như sau:
Nhập hệ số của phương trình thứ nhất:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
2 & = & 1 & = & - & 1 & = & - & 1 & = & \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ hai:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & = & 3 & = & 2 & = & 2 & = & 2 & = & \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ ba:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
3 & = & 3 & = & - & 3 & = & - & 5 & = & \\
\hline
\end{array}$
Tiếp theo, ấn liên tục 3 lần phím = để xem kết quả.
Ta được x = 2/3, y = -2/3, z = 5/3
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left(\frac{2}{3}; -\frac{2}{3}; \frac{5}{3}\right).$
b) Sau khi mở máy, ấn phím MENU để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.
Ấn liên tiếp các phím 9, 1, 3.
Tiếp theo, lần lượt nhập các hệ số của từng phương trình bằng cách ấn liên tiếp các phím như sau:
Nhập hệ số của phương trình thứ nhất:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
2 & = & - & 3 & = & 2 & = & 5 & = & 5 & = & \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ hai:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & = & 2 & = & - & 3 & = & 4 & = & 4 & = & \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ ba:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
3 & = & - & 1 & = & - & 1 & = & 2 & = & 2 & = & \\
\hline
\end{array}$
Tiếp theo, ấn liên tục 3 lần phím = để xem kết quả.
Ta thấy màn hình hiện ra No Solution.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
c) Sau khi mở máy, ấn phím MENU để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.
Ấn liên tiếp các phím 9, 1, 3.
Tiếp theo, lần lượt nhập các hệ số của từng phương trình bằng cách ấn liên tiếp các phím như sau:
Nhập hệ số của phương trình thứ nhất:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & = & - & 1 & = & - & 1 & = & - & 1 & = & \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ hai:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
2 & = & - & 1 & = & 1 & = & - & 1 & = & \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ ba:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
- & 4 & = & 3 & = & 1 & = & 3 & = & 3 & = & \\
\hline
\end{array}$
Tiếp theo, ấn liên tục 3 lần phím = để xem kết quả.
Ta thấy màn hình hiện ra Infinite Solution.
Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm.
|
Free Form | Lớp 10 | Ba bạn Nhân, Nghĩa và Phúc đi vào căng tin của trường. Nhân mua một li trà sữa, một li nước trái cây, hai cái bánh ngọt và trả 90000 đồng. Nghĩa mua một li trà sữa, ba cái bánh ngọt và trả 50000 đồng. Phúc mua một li trà sữa, hai li nước trái cây, ba cái bánh ngọt và trả 140000 đồng. Gọi x, y, z lần lượt là giá tiền của một li trà sữa, một li nước trái cây và một cái bánh ngọt tại căng tin đó.
a) Lập các hệ thức thể hiện mối liên hệ giữa x, y và z.
b) Tìm giá tiền của một li trà sữa, một li nước trái cây và một cái bánh ngọt tại căng tin đó. | Hướng dẫn giải
a) Theo đề bài ta có:
– Nhân mua một li trà sữa, một li nước trái cây, hai cái bánh ngọt và trả 90000 đồng, suy ra x + y + 2z = 90000 (1).
– Nghĩa mua một li trà sữa, ba cái bánh ngọt và trả 50000 đồng, suy ra x + 3z = 50000 (2).
– Phúc mua một li trà sữa, hai li nước trái cây, ba cái bánh ngọt và trả 140000 đồng, suy ra x + 2y + 3z = 140000 (3).
b) Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $ \{\begin{array}{l}x+y+2z=90000\\ x+3z=50000\\ x+2y+3z=140000\end{array}.$
Giải hệ này ta được x = 35000, y = 45000, z = 5000.
Vậy giá tiền của một li trà sữa, một li nước trái cây và một cái bánh ngọt lần lượt là 35000 đồng, 45000 đồng, 5000 đồng. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890005 | ### Câu hỏi:
Ba bạn Nhân, Nghĩa và Phúc đi vào căng tin của trường. Nhân mua một li trà sữa, một li nước trái cây, hai cái bánh ngọt và trả 90000 đồng. Nghĩa mua một li trà sữa, ba cái bánh ngọt và trả 50000 đồng. Phúc mua một li trà sữa, hai li nước trái cây, ba cái bánh ngọt và trả 140000 đồng. Gọi x, y, z lần lượt là giá tiền của một li trà sữa, một li nước trái cây và một cái bánh ngọt tại căng tin đó.
a) Lập các hệ thức thể hiện mối liên hệ giữa x, y và z.
b) Tìm giá tiền của một li trà sữa, một li nước trái cây và một cái bánh ngọt tại căng tin đó.
### Lời giải:
Hướng dẫn giải
a) Theo đề bài ta có:
– Nhân mua một li trà sữa, một li nước trái cây, hai cái bánh ngọt và trả 90000 đồng, suy ra x + y + 2z = 90000 (1).
– Nghĩa mua một li trà sữa, ba cái bánh ngọt và trả 50000 đồng, suy ra x + 3z = 50000 (2).
– Phúc mua một li trà sữa, hai li nước trái cây, ba cái bánh ngọt và trả 140000 đồng, suy ra x + 2y + 3z = 140000 (3).
b) Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>90000</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>50000</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>140000</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
Giải hệ này ta được x = 35000, y = 45000, z = 5000.
Vậy giá tiền của một li trà sữa, một li nước trái cây và một cái bánh ngọt lần lượt là 35000 đồng, 45000 đồng, 5000 đồng.
|
Free Form | Lớp 10 | $\begin{aligned}
&\text{Trong các hệ phương trình sau, hệ nào là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Mỗi bộ ba số (–1; 2; 1), (–1,5; 0,25; –1,25) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không?}\\
&a) \begin{cases}
3x - 2y + z = -6 \\
-2x + y + 3z = 7 \\
4x - y + 7z = 1
\end{cases};\\
&b) \begin{cases}
5x - 2y + 3z = 4 \\
3x + 2yz - z = 2 \\
x - 3y + 2z = -1
\end{cases};\\
&c) \begin{cases}
2x - 4y - 3z = \frac{-1}{4} \\
3x + 8y - 4z = \frac{5}{2} \\
2x + 3y - 2z = \frac{1}{4}
\end{cases}.
\end{aligned}$ | Hướng dẫn giải
a) và c) là các hệ phương trình bậc nhất ba ẩn; b) không phải hê phương trình bậc nhất ba ẩn vì chứa yz.
+) Bộ ba số (–1; 2; 1) không là nghiệm của hệ a).
Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 3 . (–1) – 2 . 1 + 1 = –6, đây là đẳng thức sai.
+) Bộ ba số (–1,5; 0,25; –1,25) không là nghiệm của hệ a).
Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 3 . (–1,5) – 2 . 0,25 + (–1,25) = –6, đây là đẳng thức sai.
+) Bộ ba số (–1; 2; 1) không là nghiệm của hệ c).
Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 2 . (–1) – 4 . 1 – 3 . 1 = -1/4 đây là đẳng thức sai.
+) Bộ ba số (–1,5; 0,25; –1,25) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.
Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:
2 . (–1,5) – 4 . 0,25 – 3. (–1,25) = -1/4
3 . (–1,5) + 8 . 0,25 – 4. (–1,25) = 5/2
2 . (–1,5) + 3 . 0,25 – 2. (–1,25) = 1/4 | https://khoahoc.vietjack.com/question/890011 | ### Câu hỏi:
$\begin{aligned}
&\text{Trong các hệ phương trình sau, hệ nào là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Mỗi bộ ba số (–1; 2; 1), (–1,5; 0,25; –1,25) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không?}\\
&a) \begin{cases}
3x - 2y + z = -6 \\
-2x + y + 3z = 7 \\
4x - y + 7z = 1
\end{cases};\\
&b) \begin{cases}
5x - 2y + 3z = 4 \\
3x + 2yz - z = 2 \\
x - 3y + 2z = -1
\end{cases};\\
&c) \begin{cases}
2x - 4y - 3z = \frac{-1}{4} \\
3x + 8y - 4z = \frac{5}{2} \\
2x + 3y - 2z = \frac{1}{4}
\end{cases}.
\end{aligned}$
### Lời giải:
Hướng dẫn giải
a) và c) là các hệ phương trình bậc nhất ba ẩn; b) không phải hê phương trình bậc nhất ba ẩn vì chứa yz.
+) Bộ ba số (–1; 2; 1) không là nghiệm của hệ a).
Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 3 . (–1) – 2 . 1 + 1 = –6, đây là đẳng thức sai.
+) Bộ ba số (–1,5; 0,25; –1,25) không là nghiệm của hệ a).
Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 3 . (–1,5) – 2 . 0,25 + (–1,25) = –6, đây là đẳng thức sai.
+) Bộ ba số (–1; 2; 1) không là nghiệm của hệ c).
Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 2 . (–1) – 4 . 1 – 3 . 1 = -1/4 đây là đẳng thức sai.
+) Bộ ba số (–1,5; 0,25; –1,25) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.
Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:
2 . (–1,5) – 4 . 0,25 – 3. (–1,25) = -1/4
3 . (–1,5) + 8 . 0,25 – 4. (–1,25) = 5/2
2 . (–1,5) + 3 . 0,25 – 2. (–1,25) = 1/4
|
Free Form | Lớp 10 | $ \{\begin{array}{l}2x+3y=4\\ x-3y=2\\ 2x+y-z=3\end{array};$
$ \{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x+3y+2z=8\\ 3x-y+z=4\end{array};$
$ \{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ 2x+y+4z=2\\ x+2y-z=4\end{array}.$ | <strong>Hướng dẫn giải</strong>
$ \{\begin{array}{l}2x+3y=4\\ x-3y=2\\ 2x+y-z=3\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}2x+3y=4\\ 3x=6\\ 2x+y-z=3\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}2\text{\hspace{0.17em}}.\text{\hspace{0.17em}}2+3y=4\\ x=2\\ 2x+y-z=3\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}y=0\\ x=2\\ 2x+y-z=3\end{array}$
$ \Leftrightarrow \{\begin{array}{l}y=0\\ x=2\\ 2.2+0-z=3\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}y=0\\ x=2\\ z=1\end{array}.$<br/>
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2; 0; 1).
$ \{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x+3y+2z=8\\ 3x-y+z=4\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ -2y-z=-6\\ 3x-y+z=4\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ -2y-z=-6\\ 4y+2z=2\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ -2y-z=-6\\ 2y+z=1\end{array}$$ \Leftrightarrow \{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ -2y-z=-6\\ 0y+0z=-5\end{array}.$
Phương trình thứ ba của hệ này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
$ \{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ 2x+y+4z=2\\ x+2y-z=4\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ -3y+6z=-6\\ x+2y-z=4\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ -3y+6z=-6\\ -3y+6z=-6\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ -3y+6z=-6\end{array}$$ \Leftrightarrow \{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ -y+2z=-2\end{array}.$
Từ phương trình thứ hai, ta có y = 2z + 2, thay vào phương trình thứ nhất ta được x = –3z.
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng (–3z; 2z + 2; z). | https://khoahoc.vietjack.com/question/890017 | ### Câu hỏi:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>4</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>;</mo></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>8</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>4</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>;</mo></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>4</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
### Lời giải:
<strong>Hướng dẫn giải</strong>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>4</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>4</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>6</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>2</mn><mtext> </mtext><mo>.</mo><mtext> </mtext><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>4</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></math>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2.2</mn><mo>+</mo><mn>0</mn><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math><br/>
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2; 0; 1).
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>8</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>4</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>6</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>4</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>6</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>4</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>6</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>6</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>0</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>5</mn></mtd></mtr></mtable><mo>.</mo></mrow></math>
Phương trình thứ ba của hệ này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>4</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>6</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>6</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>4</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>6</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>6</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>6</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>6</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>6</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>6</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
Từ phương trình thứ hai, ta có y = 2z + 2, thay vào phương trình thứ nhất ta được x = –3z.
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng (–3z; 2z + 2; z).
|
Free Form | Lớp 10 | Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:
a) $\begin{cases}
x-5z=2 \\
3x+y-4z=3 \\
-x+2y+z=-1
\end{cases}$;
b) $\begin{cases}
2x-y+z=3 \\
x+2y-z=1 \\
3x+y-2z=2
\end{cases}$;
c) $\begin{cases}
x+2y-z=1 \\
2x+y-2z=2 \\
4x-7y-4z=4
\end{cases}$. | **Hướng dẫn giải**
a) Sau khi mở máy, ấn phím MENU để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.
Ấn liên tiếp các phím 9, 1, 3.
Tiếp theo, lần lượt nhập các hệ số của từng phương trình bằng cách ấn liên tiếp các phím như sau:
Nhập hệ số của phương trình thứ nhất:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & = & 0 & = & - & 5 & = & 2 & = \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ hai:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
3 & = & 1 & = & - & 4 & = & 3 & = \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ ba:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
- & 1 & = & 2 & = & 1 & = & - & 1 & = \\
\hline
\end{array}$
Tiếp theo, ấn liên tục 3 lần phím = để xem kết quả.
Ta được x = 17/26, y = -1/26, z = -7/26.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left(\frac{17}{26};-\frac{1}{26};-\frac{7}{26}\right)$.
b) Sau khi mở máy, ấn phím MENU để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.
Ấn liên tiếp các phím 9, 1, 3.
Tiếp theo, lần lượt nhập các hệ số của từng phương trình bằng cách ấn liên tiếp các phím như sau:
Nhập hệ số của phương trình thứ nhất:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
2 & = & - & 1 & = & 1 & = & 3 & = \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ hai:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & = & 2 & = & - & 1 & = & 1 & = \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ ba:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
3 & = & 1 & = & - & 2 & = & 2 & = \\
\hline
\end{array}$
Tiếp theo, ấn liên tục 3 lần phím = để xem kết quả.
Ta được x = 6/5, y = 2/5, z = 1.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left(\frac{6}{5};\frac{2}{5};1\right)$.
c) Sau khi mở máy, ấn phím MENU để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.
Ấn liên tiếp các phím 9, 1, 3.
Tiếp theo, lần lượt nhập các hệ số của từng phương trình bằng cách ấn liên tiếp các phím như sau:
Nhập hệ số của phương trình thứ nhất:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & = & 2 & = & - & 1 & = & 1 & = \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ hai:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
2 & = & 1 & = & - & 2 & = & 2 & = \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ ba:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
4 & = & - & 7 & = & - & 4 & = & 4 & = \\
\hline
\end{array}$
Tiếp theo, ấn liên tục 3 lần phím = để xem kết quả.
Ta thấy màn hình hiện ra Infinite Solution.
Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890022 | ### Câu hỏi:
Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:
a) $\begin{cases}
x-5z=2 \\
3x+y-4z=3 \\
-x+2y+z=-1
\end{cases}$;
b) $\begin{cases}
2x-y+z=3 \\
x+2y-z=1 \\
3x+y-2z=2
\end{cases}$;
c) $\begin{cases}
x+2y-z=1 \\
2x+y-2z=2 \\
4x-7y-4z=4
\end{cases}$.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
a) Sau khi mở máy, ấn phím MENU để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.
Ấn liên tiếp các phím 9, 1, 3.
Tiếp theo, lần lượt nhập các hệ số của từng phương trình bằng cách ấn liên tiếp các phím như sau:
Nhập hệ số của phương trình thứ nhất:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & = & 0 & = & - & 5 & = & 2 & = \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ hai:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
3 & = & 1 & = & - & 4 & = & 3 & = \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ ba:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
- & 1 & = & 2 & = & 1 & = & - & 1 & = \\
\hline
\end{array}$
Tiếp theo, ấn liên tục 3 lần phím = để xem kết quả.
Ta được x = 17/26, y = -1/26, z = -7/26.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left(\frac{17}{26};-\frac{1}{26};-\frac{7}{26}\right)$.
b) Sau khi mở máy, ấn phím MENU để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.
Ấn liên tiếp các phím 9, 1, 3.
Tiếp theo, lần lượt nhập các hệ số của từng phương trình bằng cách ấn liên tiếp các phím như sau:
Nhập hệ số của phương trình thứ nhất:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
2 & = & - & 1 & = & 1 & = & 3 & = \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ hai:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & = & 2 & = & - & 1 & = & 1 & = \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ ba:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
3 & = & 1 & = & - & 2 & = & 2 & = \\
\hline
\end{array}$
Tiếp theo, ấn liên tục 3 lần phím = để xem kết quả.
Ta được x = 6/5, y = 2/5, z = 1.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left(\frac{6}{5};\frac{2}{5};1\right)$.
c) Sau khi mở máy, ấn phím MENU để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.
Ấn liên tiếp các phím 9, 1, 3.
Tiếp theo, lần lượt nhập các hệ số của từng phương trình bằng cách ấn liên tiếp các phím như sau:
Nhập hệ số của phương trình thứ nhất:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & = & 2 & = & - & 1 & = & 1 & = \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ hai:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
2 & = & 1 & = & - & 2 & = & 2 & = \\
\hline
\end{array}$
Nhập hệ số của phương trình thứ ba:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
4 & = & - & 7 & = & - & 4 & = & 4 & = \\
\hline
\end{array}$
Tiếp theo, ấn liên tục 3 lần phím = để xem kết quả.
Ta thấy màn hình hiện ra Infinite Solution.
Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm.
|
Free Form | Lớp 10 | Tìm phương trình của parabol (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), biết:
a) Parabol (P) có trục đối xứng x = 1 và đi qua hai điểm A(1; –4), B(2; –3);
b) Parabol (P) có đỉnh I= $ (\frac{1}{2};\frac{3}{4})$ và đi qua điểm M(–1; 3). | Hướng dẫn giải
a) Theo đề bài ta có:
– (P) có trục đối xứng x = 1, suy ra $ -\frac{b}{2a}$ = 1, suy ra 2a + b = 0 (1).
– (P) đi qua điểm A(1; –4), suy ra –4 = a . 12 + b . 1 + c hay a + b + c = –4 (2).
– (P) đi qua điểm B(2; –3), suy ra –3 = a . 22 + b . 2 + c hay 4a + 2b + c = –3 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $ \{\begin{array}{l}2a+b=0\\ a+b+c=-4\\ 4a+2b+c=-3\end{array}.$
Giải hệ này ta được a = 1, b = –2, c = –3.
Vậy phương trình của (P) là y = x2 – 2x – 3.
b) Theo đề bài ta có:
– (P) có có đỉnh I $ (\frac{1}{2};\frac{3}{4})$, suy ra $ -\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$ hay a + b = 0 (1)
và $ \frac{3}{4}=a{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}+b.\frac{1}{2}+c$ hay a + 2b + 4c = 3 (2).
– (P) đi qua điểm M(–1; 3), suy ra 3 = a . (–1)2 + b . (–1) + c hay a – b + c = 3 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $ \{\begin{array}{l}a+b=0\\ a+2b+4c=3\\ a-b+c=3\end{array}.$
Giải hệ này ta được a = 1, b = –1, c = 1.
Vậy phương trình của (P) là y = x2 – x + 1. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890031 | ### Câu hỏi:
Tìm phương trình của parabol (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), biết:
a) Parabol (P) có trục đối xứng x = 1 và đi qua hai điểm A(1; –4), B(2; –3);
b) Parabol (P) có đỉnh I= <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>;</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>)</mo></math> và đi qua điểm M(–1; 3).
### Lời giải:
Hướng dẫn giải
a) Theo đề bài ta có:
– (P) có trục đối xứng x = 1, suy ra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>−</mo><mfrac><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac></math> = 1, suy ra 2a + b = 0 (1).
– (P) đi qua điểm A(1; –4), suy ra –4 = a . 12 + b . 1 + c hay a + b + c = –4 (2).
– (P) đi qua điểm B(2; –3), suy ra –3 = a . 22 + b . 2 + c hay 4a + 2b + c = –3 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>4</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>4</mn><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
Giải hệ này ta được a = 1, b = –2, c = –3.
Vậy phương trình của (P) là y = x2 – 2x – 3.
b) Theo đề bài ta có:
– (P) có có đỉnh I <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>;</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>)</mo></math>, suy ra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>−</mo><mfrac><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math> hay a + b = 0 (1)
và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>3</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>=</mo><mi>a</mi><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>.</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>c</mi></math> hay a + 2b + 4c = 3 (2).
– (P) đi qua điểm M(–1; 3), suy ra 3 = a . (–1)2 + b . (–1) + c hay a – b + c = 3 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>c</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
Giải hệ này ta được a = 1, b = –1, c = 1.
Vậy phương trình của (P) là y = x2 – x + 1.
|
Free Form | Lớp 10 | Ba vận động viên Hùng, Dũng và Mạnh tham gia thi đấu nội dung ba môn phối hợp: chạy, bơi và đạp xe, trong đó tốc độ trung bình của họ trên mỗi chặng đua được cho ở bảng dưới đây.
| Vận động viên | Chạy (km/h) | Bơi (km/h) | Đạp xe (km/h) |
|---|---|---|---|
| Hùng | 12,5 | 3,6 | 48 |
| Dũng | 12 | 3,75 | 45 |
| Mạnh | 12,5 | 4 | 45 |
Biết tổng thời gian thi đấu ba môn phối hợp của Hùng là 1 giờ 1 phút 30 giây, của Dũng là 1 giờ 3 phút 40 giây và của Mạnh là 1 giờ 1 phút 55 giây. Tính cự li của mỗi chặng đua. | Đổi: 1 giờ 1 phút 30 giây = 41/40 h, 1 giờ 3 phút 40 giây = 191/180 h 1 giờ 1 phút 55 giây = 743/720 h
Gọi cự li của mỗi chặng đua chạy, bơi và đạp xe lần lượt là x, y, z (km).
Dựa vào bảng trên ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}
\frac{x}{12,5} + \frac{y}{3,6} + \frac{z}{48} = \frac{41}{40} \\
\frac{x}{12} + \frac{y}{3,75} + \frac{z}{45} = \frac{191}{180} \\
\frac{x}{12.5} + \frac{y}{4} + \frac{z}{45} = \frac{743}{720}
\end{cases}$.
Giải hệ này ta được x = 5, y = 0,75, z = 20.
Vậy cự li của mỗi chặng đua chạy, bơi và đạp xe lần lượt là 5 km; 0,75 km; 20 km. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890042 | ### Câu hỏi:
Ba vận động viên Hùng, Dũng và Mạnh tham gia thi đấu nội dung ba môn phối hợp: chạy, bơi và đạp xe, trong đó tốc độ trung bình của họ trên mỗi chặng đua được cho ở bảng dưới đây.
| Vận động viên | Chạy (km/h) | Bơi (km/h) | Đạp xe (km/h) |
|---|---|---|---|
| Hùng | 12,5 | 3,6 | 48 |
| Dũng | 12 | 3,75 | 45 |
| Mạnh | 12,5 | 4 | 45 |
Biết tổng thời gian thi đấu ba môn phối hợp của Hùng là 1 giờ 1 phút 30 giây, của Dũng là 1 giờ 3 phút 40 giây và của Mạnh là 1 giờ 1 phút 55 giây. Tính cự li của mỗi chặng đua.
### Lời giải:
Đổi: 1 giờ 1 phút 30 giây = 41/40 h, 1 giờ 3 phút 40 giây = 191/180 h 1 giờ 1 phút 55 giây = 743/720 h
Gọi cự li của mỗi chặng đua chạy, bơi và đạp xe lần lượt là x, y, z (km).
Dựa vào bảng trên ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}
\frac{x}{12,5} + \frac{y}{3,6} + \frac{z}{48} = \frac{41}{40} \\
\frac{x}{12} + \frac{y}{3,75} + \frac{z}{45} = \frac{191}{180} \\
\frac{x}{12.5} + \frac{y}{4} + \frac{z}{45} = \frac{743}{720}
\end{cases}$.
Giải hệ này ta được x = 5, y = 0,75, z = 20.
Vậy cự li của mỗi chặng đua chạy, bơi và đạp xe lần lượt là 5 km; 0,75 km; 20 km.
|
Free Form | Lớp 10 | Một nhà hoá học có ba dung dịch cùng một loại acid nhưng với nồng độ khác nhau là 10%, 20% và 40%. Trong một thí nghiệm, đề tạo ra 100 ml dung dịch nồng độ 18%, nhà hoá học đã sử dụng lượng dung dịch nồng độ 10% gấp bốn lần lượng dung dịch nồng độ 40%. Tính số mililít dung dịch mỗi loại mà nhà hoá học đó đã sử dụng trong thí nghiệm này. | **Hướng dẫn giải**
Gọi lượng dung dịch mỗi loại acid 10%, 20% và 40% mà nhà hoá học sử dụng lần lượt là x, y, z (mililít).
Theo đề bài ta có: x + y + z = 100 (1).
– Dung dịch mới có nồng độ 18%, suy ra
$ \frac{10\%x+20\%y+40\%z}{100}=18\%$<span style="position: relative; top: 14.0pt; mso-text-raise: -14.0pt;"></span>
<span style="mso-spacerun: yes;">$ \Rightarrow 10\%x+20\%y+40\%z=100.18\%\Rightarrow x+2y+4z=180$ </span>(2).
– Lượng dung dịch nồng độ 10% gấp bốn lần lượng dung dịch nồng độ 40%, suy ra x = 4z hay x – 4z = 0 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $ \{\begin{array}{l}x+y+z=100\\ x+2y+4z=180\\ x-4z=0\end{array}.$<span style="position: relative; top: 28.0pt; mso-text-raise: -28.0pt;"></span>
Giải hệ này ta được x = 40, y = 50, z = 10.
Vậy lượng dung dịch mỗi loại acid 10%, 20% và 40% mà nhà hoá học sử dụng lần lượt là 40 ml, 50 ml và 10 ml. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890045 | ### Câu hỏi:
Một nhà hoá học có ba dung dịch cùng một loại acid nhưng với nồng độ khác nhau là 10%, 20% và 40%. Trong một thí nghiệm, đề tạo ra 100 ml dung dịch nồng độ 18%, nhà hoá học đã sử dụng lượng dung dịch nồng độ 10% gấp bốn lần lượng dung dịch nồng độ 40%. Tính số mililít dung dịch mỗi loại mà nhà hoá học đó đã sử dụng trong thí nghiệm này.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
Gọi lượng dung dịch mỗi loại acid 10%, 20% và 40% mà nhà hoá học sử dụng lần lượt là x, y, z (mililít).
Theo đề bài ta có: x + y + z = 100 (1).
– Dung dịch mới có nồng độ 18%, suy ra
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>10</mn><mi>%</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>20</mn><mi>%</mi><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>40</mn><mi>%</mi><mi>z</mi></mrow><mn>100</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>18</mn><mi>%</mi></math><span style="position: relative; top: 14.0pt; mso-text-raise: -14.0pt;"></span>
<span style="mso-spacerun: yes;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mn>10</mn><mi>%</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>20</mn><mi>%</mi><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>40</mn><mi>%</mi><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>100.18</mn><mi>%</mi><mo>⇒</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>180</mn></math> </span>(2).
– Lượng dung dịch nồng độ 10% gấp bốn lần lượng dung dịch nồng độ 40%, suy ra x = 4z hay x – 4z = 0 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>100</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>180</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>4</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math><span style="position: relative; top: 28.0pt; mso-text-raise: -28.0pt;"></span>
Giải hệ này ta được x = 40, y = 50, z = 10.
Vậy lượng dung dịch mỗi loại acid 10%, 20% và 40% mà nhà hoá học sử dụng lần lượt là 40 ml, 50 ml và 10 ml.
|
Free Form | Lớp 10 | Ba loại tế bào A, B, C thực hiện số lần nguyên phân lần lượt là 3,4,7 và tổng số tế bào con tạo ra là 480. Biết rằng khi chưa thực hiện nguyên phân, số tế bào loại B bằng tổng số tế bào loại A và loại C. Sau khi thực hiện nguyên phân, tổng số tế bào con loại A và loại C được tạo ra gấp năm lần số tế bào con loại B được tạo ra. Tính số tế bào con mỗi loại lúc ban đầu. | Hướng dẫn giải
Gọi số tế bào con mỗi loại A, B, C lúc ban đầu lần lượt là x, y, z.
Theo đề bài ta có:
– Ba loại tế bào A, B, C thực hiện số lần nguyên phân lần lượt là 3,4,7; suy ra số tế bào con mỗi loại A, B, C được tạo ra lần lượt là 23x, 24y và 27z hay 8x, 16y và 128z.
– Tổng số tế bào con tạo ra là 480, suy ra 8x + 16y + 128z = 480 (1).
– Khi chưa thực hiện nguyên phân, số tế bào loại B bằng tổng số tế bào loại A và loại C, suy ra y = x + z hay x – y + z = 0 (2).
– Sau khi thực hiện nguyên phân, tổng số tế bào con loại A và loại C được tạo ra gấp năm lần số tế bào con loại B được tạo ra, suy ra 8x + 128z = 2 . 16y hay 8x – 32y + 128z = 0 hay x – 4y + 16z = 0 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $ \{\begin{array}{l}8x+16y+127z=480\\ x-y+z=0\\ x-4y+16z=0\end{array}.$<span style="position: relative; top: 28.0pt; mso-text-raise: -28.0pt;"></span>
Giải hệ này ta được x = 8, y = 10, z = 2.
Vậy số tế bào con mỗi loại A, B, C lúc ban đầu lần lượt là 8, 10 và 2. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890046 | ### Câu hỏi:
Ba loại tế bào A, B, C thực hiện số lần nguyên phân lần lượt là 3,4,7 và tổng số tế bào con tạo ra là 480. Biết rằng khi chưa thực hiện nguyên phân, số tế bào loại B bằng tổng số tế bào loại A và loại C. Sau khi thực hiện nguyên phân, tổng số tế bào con loại A và loại C được tạo ra gấp năm lần số tế bào con loại B được tạo ra. Tính số tế bào con mỗi loại lúc ban đầu.
### Lời giải:
Hướng dẫn giải
Gọi số tế bào con mỗi loại A, B, C lúc ban đầu lần lượt là x, y, z.
Theo đề bài ta có:
– Ba loại tế bào A, B, C thực hiện số lần nguyên phân lần lượt là 3,4,7; suy ra số tế bào con mỗi loại A, B, C được tạo ra lần lượt là 23x, 24y và 27z hay 8x, 16y và 128z.
– Tổng số tế bào con tạo ra là 480, suy ra 8x + 16y + 128z = 480 (1).
– Khi chưa thực hiện nguyên phân, số tế bào loại B bằng tổng số tế bào loại A và loại C, suy ra y = x + z hay x – y + z = 0 (2).
– Sau khi thực hiện nguyên phân, tổng số tế bào con loại A và loại C được tạo ra gấp năm lần số tế bào con loại B được tạo ra, suy ra 8x + 128z = 2 . 16y hay 8x – 32y + 128z = 0 hay x – 4y + 16z = 0 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>8</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>16</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>127</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>480</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>4</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>16</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math><span style="position: relative; top: 28.0pt; mso-text-raise: -28.0pt;"></span>
Giải hệ này ta được x = 8, y = 10, z = 2.
Vậy số tế bào con mỗi loại A, B, C lúc ban đầu lần lượt là 8, 10 và 2.
|
Free Form | Lớp 10 | Xét thị trường chè, cà phê và ca cao. Gọi x, y và z lần lượt là giá của 1 kg chè, 1 kg cà phê và 1 kg ca cao (đơn vị: nghìn đồng, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 ). Các lượng cung và lượng cầu của mỗi sản phẩm được cho như bảng sau:
| Sản phẩm | Lượng cung | Lượng cầu |
|---|---|---|
| Chè | $ {Q}_{{S}_{1}}=$ –380 + x + y | $ {Q}_{{D}_{1}}=$ 350 – x – z |
| Cà phê | $ {Q}_{{S}_{2}}=$ –405 + x + 2y – z | $ {Q}_{{D}_{2}}=$ 760 –2y – z |
| Ca cao | $ {Q}_{{S}_{3}}=$ –350 –2x + 3z | $ {Q}_{{D}_{3}}=$ 145 – x + y – z |
Tìm giá của mỗi kilôgam chè, cà phê và ca cao để thị trường cân bằng. | Hướng dẫn giải
Thị trường cân bằng khi $ \{\begin{array}{l}{Q}_{{S}_{1}}={Q}_{{D}_{1}}\\ {Q}_{{S}_{2}}={Q}_{{D}_{2}}\\ {Q}_{{S}_{3}}={Q}_{{D}_{3}}\end{array}$$ \Leftrightarrow \{\begin{array}{l}-380+x+y=350-x-z\\ -405+x+2y-z=760-2y-z\\ -350-2x+3z=145-x+y-z\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}2x+y+z=730\\ x+4y=1165\\ x+y-4z=-495\end{array}\Leftrightarrow \{\begin{array}{l}x=125\\ y=260\\ z=220\end{array}.$
Vậy để thị trường cân bằng thì giá của mỗi kilôgam chè, cà phê và ca cao lần lợt là 125 nghìn đồng, 260 nghìn đồng và 220 nghìn đồng. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890062 | ### Câu hỏi:
Xét thị trường chè, cà phê và ca cao. Gọi x, y và z lần lượt là giá của 1 kg chè, 1 kg cà phê và 1 kg ca cao (đơn vị: nghìn đồng, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 ). Các lượng cung và lượng cầu của mỗi sản phẩm được cho như bảng sau:
| Sản phẩm | Lượng cung | Lượng cầu |
|---|---|---|
| Chè | <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>Q</mi><msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub></msub><mo>=</mo></math> –380 + x + y | <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>Q</mi><msub><mi>D</mi><mn>1</mn></msub></msub><mo>=</mo></math> 350 – x – z |
| Cà phê | <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>Q</mi><msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub></msub><mo>=</mo></math> –405 + x + 2y – z | <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>Q</mi><msub><mi>D</mi><mn>2</mn></msub></msub><mo>=</mo></math> 760 –2y – z |
| Ca cao | <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>Q</mi><msub><mi>S</mi><mn>3</mn></msub></msub><mo>=</mo></math> –350 –2x + 3z | <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>Q</mi><msub><mi>D</mi><mn>3</mn></msub></msub><mo>=</mo></math> 145 – x + y – z |
Tìm giá của mỗi kilôgam chè, cà phê và ca cao để thị trường cân bằng.
### Lời giải:
Hướng dẫn giải
Thị trường cân bằng khi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mi>Q</mi><msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub></msub><mo>=</mo><msub><mi>Q</mi><msub><mi>D</mi><mn>1</mn></msub></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>Q</mi><msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub></msub><mo>=</mo><msub><mi>Q</mi><msub><mi>D</mi><mn>2</mn></msub></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>Q</mi><msub><mi>S</mi><mn>3</mn></msub></msub><mo>=</mo><msub><mi>Q</mi><msub><mi>D</mi><mn>3</mn></msub></msub></mtd></mtr></mtable></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>380</mn><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>350</mn><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>z</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>405</mn><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>760</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>350</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>145</mn><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>730</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>1165</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>−</mo><mn>4</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>495</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇔</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>125</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>260</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>220</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
Vậy để thị trường cân bằng thì giá của mỗi kilôgam chè, cà phê và ca cao lần lợt là 125 nghìn đồng, 260 nghìn đồng và 220 nghìn đồng.
|
Free Form | Lớp 10 | Để mở rộng sản suất, một công ty đã vay 800 triệu đồng từ ba ngân hàng A, B và C, với lãi suất cho vay theo năm lần lượt là 6%, 8% và 9%. Biết rằng tổng số tiền lãi năm đầu tiên công ty phải trả cho ba ngân hàng là 60 triệu đồng và số tiền lãi công ty trả cho hai ngân hàng A và C là bằng nhau. Tính số tiền công ty đã vay từ mỗi ngân hàng. | Gọi số tiền công ty đã vay từ ba ngân hàng A, B, C lần lượt là x, y, z (triệu đồng).
Theo đề bài ta có:
– Công ty đã vay 800 triệu đồng, suy ra x + y + z = 800 (1).
– Tổng số tiền lãi năm đầu tiên công ty phải trả cho ba ngân hàng là 60 triệu đồng, suy ra 6%x + 8%y + 9%z = 60 hay 6x + 8y + 9z = 6000 (2).
– Số tiền lãi công ty trả cho hai ngân hàng A và C là bằng nhau, suy ra 6%x = 9%z hay 2x – 3z = 0 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $ \{\begin{array}{l}x+y+z=800\\ 6x+8y+9z=6000\\ 2x-3z=0\end{array}.$
Giải hệ này ta được x = 300, y = 300, z = 200.
Vậy số tiền công ty đã vay từ ba ngân hàng A, B, C lần lượt là 300 triệu đồng, 300 triệu đồng và 200 triệu đồng. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890064 | ### Câu hỏi:
Để mở rộng sản suất, một công ty đã vay 800 triệu đồng từ ba ngân hàng A, B và C, với lãi suất cho vay theo năm lần lượt là 6%, 8% và 9%. Biết rằng tổng số tiền lãi năm đầu tiên công ty phải trả cho ba ngân hàng là 60 triệu đồng và số tiền lãi công ty trả cho hai ngân hàng A và C là bằng nhau. Tính số tiền công ty đã vay từ mỗi ngân hàng.
### Lời giải:
Gọi số tiền công ty đã vay từ ba ngân hàng A, B, C lần lượt là x, y, z (triệu đồng).
Theo đề bài ta có:
– Công ty đã vay 800 triệu đồng, suy ra x + y + z = 800 (1).
– Tổng số tiền lãi năm đầu tiên công ty phải trả cho ba ngân hàng là 60 triệu đồng, suy ra 6%x + 8%y + 9%z = 60 hay 6x + 8y + 9z = 6000 (2).
– Số tiền lãi công ty trả cho hai ngân hàng A và C là bằng nhau, suy ra 6%x = 9%z hay 2x – 3z = 0 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>800</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>6</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>8</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>9</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>6000</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
Giải hệ này ta được x = 300, y = 300, z = 200.
Vậy số tiền công ty đã vay từ ba ngân hàng A, B, C lần lượt là 300 triệu đồng, 300 triệu đồng và 200 triệu đồng.
|
Free Form | Lớp 10 | Bác Nhân có 650 triệu đồng dự định gửi tiết kiệm vào các ngân hàng A, B và C. Biết các ngân hàng A, B, C trả lãi suất lần lượt là 8%/năm, 7,5%/năm và 7%/năm. Để phù hợp với nhu cầu, bác Nhân mong muốn sau một năm, tổng số tiền lãi bác nhận được là 50 triệu đồng và số tiền bác gửi vào ngân hàng B lớn hơn số tiền gửi vào ngân hàng C là 100 triệu đồng. Hãy tính giúp bác Nhân số tiền gửi vào mỗi ngân hàng sao cho đáp ứng được yêu cầu của bác. | Hướng dẫn giải
Gọi số tiền bác Nhân gửi vào mỗi ngân hàng A, B, C lần lượt là x, y, z (triệu đồng).
Theo đề bài ta có:
– Tổng số tiền bác có là 650 triệu đồng, suy ra x + y + z = 650 (1).
– Tổng số tiền lãi bác nhận được sau một năm là 50 triệu đồng, suy ra 8%x + 7,5%y + 7%z = 50 hay 8x + 7,5y + 7z = 5000 (2).
– Số tiền bác gửi vào ngân hàng B lớn hơn số tiền gửi vào ngân hàng C là 100 triệu đồng, suy ra y – z = 100 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
$ \{\begin{array}{l}x+y+z=650\\ 8x+7,5y+7z=5000\\ y-z=100\end{array}.$
Giải hệ này ta được x = 350, y = 200, z = 100.
Vậy số tiền bác Nhân gửi vào mỗi ngân hàng A, B, C lần lượt là 350 triệu đồng, 200 triệu đồng và 100 triệu đồng. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890067 | ### Câu hỏi:
Bác Nhân có 650 triệu đồng dự định gửi tiết kiệm vào các ngân hàng A, B và C. Biết các ngân hàng A, B, C trả lãi suất lần lượt là 8%/năm, 7,5%/năm và 7%/năm. Để phù hợp với nhu cầu, bác Nhân mong muốn sau một năm, tổng số tiền lãi bác nhận được là 50 triệu đồng và số tiền bác gửi vào ngân hàng B lớn hơn số tiền gửi vào ngân hàng C là 100 triệu đồng. Hãy tính giúp bác Nhân số tiền gửi vào mỗi ngân hàng sao cho đáp ứng được yêu cầu của bác.
### Lời giải:
Hướng dẫn giải
Gọi số tiền bác Nhân gửi vào mỗi ngân hàng A, B, C lần lượt là x, y, z (triệu đồng).
Theo đề bài ta có:
– Tổng số tiền bác có là 650 triệu đồng, suy ra x + y + z = 650 (1).
– Tổng số tiền lãi bác nhận được sau một năm là 50 triệu đồng, suy ra 8%x + 7,5%y + 7%z = 50 hay 8x + 7,5y + 7z = 5000 (2).
– Số tiền bác gửi vào ngân hàng B lớn hơn số tiền gửi vào ngân hàng C là 100 triệu đồng, suy ra y – z = 100 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>650</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>8</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>7</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>7</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>5000</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>100</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
Giải hệ này ta được x = 350, y = 200, z = 100.
Vậy số tiền bác Nhân gửi vào mỗi ngân hàng A, B, C lần lượt là 350 triệu đồng, 200 triệu đồng và 100 triệu đồng.
|
Free Form | Lớp 10 | Một công ty sản xuất ba loại phân bón:
– Loại A có chứa 18% nitơ, 4% photphat và 5% kali;
– Loại B có chứa 20% nitơ, 4% photphat và 4% kali;
– Loại C có chứa 24% nitơ, 3% photphat và 6% kali.
Công ty sản xuất bao nhiêu kilôgam mỗi loại phân bón trên? Biết rằng công ty đã dùng hết 26400 kg nitơ, 4900 kg photphat, 6200 kg kali. | Hướng dẫn giải
Gọi khối lượng mỗi loại phân bón A, B, C lần lượt là x, y, z (kilôgam).
Theo đề bài ta có:
– Công ty dùng hết 26400 kg nitơ, suy ra 18%x + 20%y + 24%z = 26400 hay 18x + 20y + 24z = 2640000 (1).
– Công ty dùng hết 4900 kg photphat, suy ra 4%x + 4%y + 3%z = 4900 hay 4x + 4y + 3z = 490000 (2).
– Công ty dùng hết 6200 kg kali, suy ra 5%x + 4%y + 6%z = 4900 hay 5x + 4y + 6z = 620000 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
$ \{\begin{array}{l}18x+20y+24z=2640000\\ 4x+4y+3z=490000\\ 5x+4y+6z=620000\end{array}.$
Giải hệ này ta được x = 40000, y = 60000, z = 30000.
Vậy khối lượng mỗi loại phân bón A, B, C lần lượt là 40000kg, 60000kg và 30000 kg. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890071 | ### Câu hỏi:
Một công ty sản xuất ba loại phân bón:
– Loại A có chứa 18% nitơ, 4% photphat và 5% kali;
– Loại B có chứa 20% nitơ, 4% photphat và 4% kali;
– Loại C có chứa 24% nitơ, 3% photphat và 6% kali.
Công ty sản xuất bao nhiêu kilôgam mỗi loại phân bón trên? Biết rằng công ty đã dùng hết 26400 kg nitơ, 4900 kg photphat, 6200 kg kali.
### Lời giải:
Hướng dẫn giải
Gọi khối lượng mỗi loại phân bón A, B, C lần lượt là x, y, z (kilôgam).
Theo đề bài ta có:
– Công ty dùng hết 26400 kg nitơ, suy ra 18%x + 20%y + 24%z = 26400 hay 18x + 20y + 24z = 2640000 (1).
– Công ty dùng hết 4900 kg photphat, suy ra 4%x + 4%y + 3%z = 4900 hay 4x + 4y + 3z = 490000 (2).
– Công ty dùng hết 6200 kg kali, suy ra 5%x + 4%y + 6%z = 4900 hay 5x + 4y + 6z = 620000 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>18</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>20</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>24</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2640000</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>490000</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>5</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>6</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>620000</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
Giải hệ này ta được x = 40000, y = 60000, z = 30000.
Vậy khối lượng mỗi loại phân bón A, B, C lần lượt là 40000kg, 60000kg và 30000 kg.
|
Free Form | Lớp 10 | Một đại lí bán ba mẫu máy điều hoà A, B và C, với giá bán mỗi chiếc theo từng mẫu lần lượt là 8 triệu đồng, 10 triệu đồng và 12 triệu đồng. Tháng trước, đại lí bán được 100 chiếc gồm cả ba mẫu và thu được số tiền là 980 triệu đồng. Tính số lượng máy điều hoà mỗi mẫu đại lí bán được trong tháng trước, biết rằng số tiền thu được từ bán máy điều hoà mẫu A và mẫu C là bằng nhau. | **Hướng dẫn giải**
Gọi số lượng máy điều hoà mỗi mẫu A, B, C đại lí bán được trong tháng trước lần lượt là x, y, z.
Theo đề bài ta có:
– Đại lí bán được 100 chiếc gồm cả ba mẫu, suy ra x + y + z = 100 (1).
– Số tiền thu được là 980 triệu đồng, suy ra 8x + 10y + 12z = 980 hay 4x + 5y + 6z = 490 (2).
– Số tiền thu được từ bán máy điều hoà mẫu A và mẫu C là bằng nhau, suy ra 8x = 12z hay 2x –3z = 0 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $ \{\begin{array}{l}x+y+z=100\\ 4x+5y+6z=490\\ 2x-3z=0\end{array}.$<span style="position: relative; top: 28.0pt; mso-text-raise: -28.0pt;"></span>
Giải hệ này ta được x = 30, y = 50, z = 20.
Vậy số lượng máy điều hoà mỗi mẫu A, B, C đại lí bán được trong tháng trước lần lượt là 30, 50, 20. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890075 | ### Câu hỏi:
Một đại lí bán ba mẫu máy điều hoà A, B và C, với giá bán mỗi chiếc theo từng mẫu lần lượt là 8 triệu đồng, 10 triệu đồng và 12 triệu đồng. Tháng trước, đại lí bán được 100 chiếc gồm cả ba mẫu và thu được số tiền là 980 triệu đồng. Tính số lượng máy điều hoà mỗi mẫu đại lí bán được trong tháng trước, biết rằng số tiền thu được từ bán máy điều hoà mẫu A và mẫu C là bằng nhau.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
Gọi số lượng máy điều hoà mỗi mẫu A, B, C đại lí bán được trong tháng trước lần lượt là x, y, z.
Theo đề bài ta có:
– Đại lí bán được 100 chiếc gồm cả ba mẫu, suy ra x + y + z = 100 (1).
– Số tiền thu được là 980 triệu đồng, suy ra 8x + 10y + 12z = 980 hay 4x + 5y + 6z = 490 (2).
– Số tiền thu được từ bán máy điều hoà mẫu A và mẫu C là bằng nhau, suy ra 8x = 12z hay 2x –3z = 0 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>100</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>6</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>490</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math><span style="position: relative; top: 28.0pt; mso-text-raise: -28.0pt;"></span>
Giải hệ này ta được x = 30, y = 50, z = 20.
Vậy số lượng máy điều hoà mỗi mẫu A, B, C đại lí bán được trong tháng trước lần lượt là 30, 50, 20.
|
Free Form | Lớp 10 | Nhân dịp kỉ niệm ngày thành lập Đoàn Thanh niên Cộng sản Hồ Chí Minh, một trường Trung học phổ thông đã tổ chức cho học sinh tham gia các trò chơi. Ban tổ chức đã chọn 100 bạn và chia thành ba nhóm A, B, C để tham gia trò chơi thứ nhất. Sau khi trò chơi kết thúc, ban tổ chức chuyển 1/3 số bạn ở nhóm A sang nhóm B; 1/2 số bạn ở nhóm B sang nhóm C; số bạn chuyển từ nhóm C sang nhóm A và B đều bằng 1/3 số bạn ở nhóm C ban đầu. Tuy nhiên, người ta nhận thấy số bạn ở mỗi nhóm là không đổi qua hai trò chơi. Ban tổ chức đã chia mỗi nhóm bao nhiêu bạn? | Gọi số bạn trong mỗi nhóm A, B, C lần lượt là x, y, z.
Theo đề bài ta có: x + y + z = 100 (1).
– Số bạn ở nhóm A sau khi chuyển là: x – $ \frac{1}{3}x+\frac{1}{3}z;$
– Số bạn ở nhóm B sau khi chuyển là: y – $ \frac{1}{2}y+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}z;$
Vì số bạn ở mỗi nhóm là không đổi qua hai trò chơi nên ta có:$ \{\begin{array}{l}x-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}z=x\\ y-\frac{1}{2}y+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}z=y\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x-z=0\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(2\right)\\ 2x-3y+2z=0\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(3\right)\end{array}.$
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $ \{\begin{array}{l}x+y+z=100\\ x-z=0\\ 2x-3y+2z=0\text{\hspace{0.17em}}\end{array}.$
Giải hệ này ta được x = 30, y = 40, z = 30.
Vậy số bạn trong mỗi nhóm A, B, C lần lượt là 30, 40, 30. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890079 | ### Câu hỏi:
Nhân dịp kỉ niệm ngày thành lập Đoàn Thanh niên Cộng sản Hồ Chí Minh, một trường Trung học phổ thông đã tổ chức cho học sinh tham gia các trò chơi. Ban tổ chức đã chọn 100 bạn và chia thành ba nhóm A, B, C để tham gia trò chơi thứ nhất. Sau khi trò chơi kết thúc, ban tổ chức chuyển 1/3 số bạn ở nhóm A sang nhóm B; 1/2 số bạn ở nhóm B sang nhóm C; số bạn chuyển từ nhóm C sang nhóm A và B đều bằng 1/3 số bạn ở nhóm C ban đầu. Tuy nhiên, người ta nhận thấy số bạn ở mỗi nhóm là không đổi qua hai trò chơi. Ban tổ chức đã chia mỗi nhóm bao nhiêu bạn?
### Lời giải:
Gọi số bạn trong mỗi nhóm A, B, C lần lượt là x, y, z.
Theo đề bài ta có: x + y + z = 100 (1).
– Số bạn ở nhóm A sau khi chuyển là: x – <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>z</mi><mo>;</mo></math>
– Số bạn ở nhóm B sau khi chuyển là: y – <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>y</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>z</mi><mo>;</mo></math>
Vì số bạn ở mỗi nhóm là không đổi qua hai trò chơi nên ta có:<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>z</mi><mo>=</mo><mi>x</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>y</mi><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>y</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>z</mi><mo>=</mo><mi>y</mi></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>⇒</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>100</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mtext> </mtext></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
Giải hệ này ta được x = 30, y = 40, z = 30.
Vậy số bạn trong mỗi nhóm A, B, C lần lượt là 30, 40, 30.
|
Free Form | Lớp 10 | Một cửa hàng giải khát chỉ phục vụ ba loại sinh tố: xoài, bơ và mãng cầu. Để pha mỗi li (cốc) sinh tố này đều cần dùng đến sữa đặc, sữa tươi và sữa chua với công thức cho ở bảng sau.
| Sinh tố (li) | Sữa đặc (ml) | Sữa tươi (ml) | Sữa chua (ml) |
|---|---|---|---|
| Xoài | 20 | 100 | 30 |
| Bơ | 10 | 120 | 20 |
| Mãng cầu | 20 | 100 | 20 |
Ngày hôm qua cửa hàng đã dùng hết 2 l sữa đặc; 12,8 l sữa tươi và 2,9 l sữa chua. Cửa hàng đã bán được bao nhiêu li sinh tố mỗi loại trong ngày hôm qua? | Hướng dẫn giải
Gọi số li sinh tố mỗi loại xoài, bơ, mãng cầu cửa hàng bán được trong ngày hôm qua lần lượt là x, y, z.
Theo đề bài ta có:
– Cửa hàng đã dùng hết 2 l hay 2000 ml sữa đặc, suy ra 20x + 10y + 20z = 2000 hay 2x + y + 2z = 200 (1).
– Cửa hàng đã dùng hết 12,8 l hay 12800 ml sữa tươi, suy ra 100x + 120y + 100z = 12800 hay 5x + 6y + 5z = 640 (2).
– Cửa hàng đã dùng hết 2,9 l hay 2900 ml sữa chua, suy ra 30x + 20y + 20z = 2900 hay 3x + 2y + 2z = 290 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}
2x + y + 2z = 200 \\
5x + 6y + 5z = 640 \\
3x + 2y + 2z = 290
\end{cases}$.
Giải hệ này ta được x = 50, y = 40, z = 30.
Vậy số li sinh tố mỗi loại xoài, bơ, mãng cầu cửa hàng bán được trong ngày hôm qua lần lượt là 50, 40, 30. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890081 | ### Câu hỏi:
Một cửa hàng giải khát chỉ phục vụ ba loại sinh tố: xoài, bơ và mãng cầu. Để pha mỗi li (cốc) sinh tố này đều cần dùng đến sữa đặc, sữa tươi và sữa chua với công thức cho ở bảng sau.
| Sinh tố (li) | Sữa đặc (ml) | Sữa tươi (ml) | Sữa chua (ml) |
|---|---|---|---|
| Xoài | 20 | 100 | 30 |
| Bơ | 10 | 120 | 20 |
| Mãng cầu | 20 | 100 | 20 |
Ngày hôm qua cửa hàng đã dùng hết 2 l sữa đặc; 12,8 l sữa tươi và 2,9 l sữa chua. Cửa hàng đã bán được bao nhiêu li sinh tố mỗi loại trong ngày hôm qua?
### Lời giải:
Hướng dẫn giải
Gọi số li sinh tố mỗi loại xoài, bơ, mãng cầu cửa hàng bán được trong ngày hôm qua lần lượt là x, y, z.
Theo đề bài ta có:
– Cửa hàng đã dùng hết 2 l hay 2000 ml sữa đặc, suy ra 20x + 10y + 20z = 2000 hay 2x + y + 2z = 200 (1).
– Cửa hàng đã dùng hết 12,8 l hay 12800 ml sữa tươi, suy ra 100x + 120y + 100z = 12800 hay 5x + 6y + 5z = 640 (2).
– Cửa hàng đã dùng hết 2,9 l hay 2900 ml sữa chua, suy ra 30x + 20y + 20z = 2900 hay 3x + 2y + 2z = 290 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}
2x + y + 2z = 200 \\
5x + 6y + 5z = 640 \\
3x + 2y + 2z = 290
\end{cases}$.
Giải hệ này ta được x = 50, y = 40, z = 30.
Vậy số li sinh tố mỗi loại xoài, bơ, mãng cầu cửa hàng bán được trong ngày hôm qua lần lượt là 50, 40, 30.
|
Free Form | Lớp 10 | Ba tế bào A, B, C sau một số lần nguyên phân tạo ra 168 tế bào con. Biết số tế bào A tạo ra gấp bốn lần số tế bào B tạo ra và số lần nguyên phân của tế bào C nhiều hơn số lần nguyên phân của tế bào B là bốn lần. Tính số lần nguyên phân của mỗi tế bào. | **Hướng dẫn giải**
Gọi số lần nguyên phân của mỗi tế bào A, B, C lần lượt là x, y, z.
Theo đề bài ta có:
– Sau nguyên phân tạo ra 168 tế bào con, suy ra 2x + 2y + 2z = 168 (1).
– Số tế bào A tạo ra gấp bốn lần số tế bào B tạo ra, suy ra 2x = 4 . 2y hay 2x – 4 . 2y = 0 (2).
– Số lần nguyên phân của tế bào C nhiều hơn số lần nguyên phân của tế bào B là bốn lần, suy ra y + 4 = z, suy ra 2y + 4 = 2z hay 16 . 2y – 2z = 0 (3).
Đặt a = 2x, b = 2y, c = 2z thì từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:$ \{\begin{array}{l}a+b+c=168\\ a-4b=0\\ 16b-c=0\end{array}.$<span style="position: relative; top: 28.0pt; mso-text-raise: -28.0pt;"></span>
Giải hệ này ta được a = 32, b = 8, c = 128.
Suy ra x = 5, y = 3, z = 7.
Vậy số lần nguyên phân của mỗi tế bào A, B, C lần lượt là 5, 3, 7. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890088 | ### Câu hỏi:
Ba tế bào A, B, C sau một số lần nguyên phân tạo ra 168 tế bào con. Biết số tế bào A tạo ra gấp bốn lần số tế bào B tạo ra và số lần nguyên phân của tế bào C nhiều hơn số lần nguyên phân của tế bào B là bốn lần. Tính số lần nguyên phân của mỗi tế bào.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
Gọi số lần nguyên phân của mỗi tế bào A, B, C lần lượt là x, y, z.
Theo đề bài ta có:
– Sau nguyên phân tạo ra 168 tế bào con, suy ra 2x + 2y + 2z = 168 (1).
– Số tế bào A tạo ra gấp bốn lần số tế bào B tạo ra, suy ra 2x = 4 . 2y hay 2x – 4 . 2y = 0 (2).
– Số lần nguyên phân của tế bào C nhiều hơn số lần nguyên phân của tế bào B là bốn lần, suy ra y + 4 = z, suy ra 2y + 4 = 2z hay 16 . 2y – 2z = 0 (3).
Đặt a = 2x, b = 2y, c = 2z thì từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><mn>168</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>−</mo><mn>4</mn><mi>b</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>16</mn><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math><span style="position: relative; top: 28.0pt; mso-text-raise: -28.0pt;"></span>
Giải hệ này ta được a = 32, b = 8, c = 128.
Suy ra x = 5, y = 3, z = 7.
Vậy số lần nguyên phân của mỗi tế bào A, B, C lần lượt là 5, 3, 7.
|
Free Form | Lớp 10 | Cân bằng phương trình phản ứng khi đốt cháy khí methane trong oxygen:
CH<sub>4</sub> + O<sub>2</sub> $ \stackrel{{t}^{o}}{\to }$ CO<sub>2</sub> + H<sub>2</sub>O. | **Hướng dẫn giải**
Gọi x, y, z, t lần lượt là bốn số nguyên dương thoả mãn cân bằng phương trình phản ứng hoá học:
xCH<sub>4</sub> + yO<sub>2 </sub> $ \stackrel{{t}^{o}}{\to }$ zCO<sub>2</sub> + tH<sub>2</sub>O.
Số nguyên tử C ở hai vế bằng nhau, ta có x = z (1).
Số nguyên từ H ở hai vế bằng nhau, ta có 4x = 2t hay 2x = t (2).
Số nguyên từ O ở hai vế bằng nhau, ta có 2y = 2z + t (3).
Thay (1) và (2) vào (3) ta được 2y = 2x + 2x hay y = 2x.
Vậy y = 2x, z = x, t = 2x.
Để phương trình có hệ số đơn giản, ta chọn x = 1, khi đó y = 2, z = 1, t = 2.
Vậy phương trình cân bằng phản ứng hoá học là CH<sub>4</sub> + 2O<sub>2 </sub> $ \stackrel{{t}^{o}}{\to }$ CO<sub>2</sub> + 2H<sub>2</sub>O. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890095 | ### Câu hỏi:
Cân bằng phương trình phản ứng khi đốt cháy khí methane trong oxygen:
CH<sub>4</sub> + O<sub>2</sub> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mo>→</mo><msup><mi>t</mi><mi>o</mi></msup></mover></math> CO<sub>2</sub> + H<sub>2</sub>O.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
Gọi x, y, z, t lần lượt là bốn số nguyên dương thoả mãn cân bằng phương trình phản ứng hoá học:
xCH<sub>4</sub> + yO<sub>2 </sub> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mo>→</mo><msup><mi>t</mi><mi>o</mi></msup></mover></math> zCO<sub>2</sub> + tH<sub>2</sub>O.
Số nguyên tử C ở hai vế bằng nhau, ta có x = z (1).
Số nguyên từ H ở hai vế bằng nhau, ta có 4x = 2t hay 2x = t (2).
Số nguyên từ O ở hai vế bằng nhau, ta có 2y = 2z + t (3).
Thay (1) và (2) vào (3) ta được 2y = 2x + 2x hay y = 2x.
Vậy y = 2x, z = x, t = 2x.
Để phương trình có hệ số đơn giản, ta chọn x = 1, khi đó y = 2, z = 1, t = 2.
Vậy phương trình cân bằng phản ứng hoá học là CH<sub>4</sub> + 2O<sub>2 </sub> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mo>→</mo><msup><mi>t</mi><mi>o</mi></msup></mover></math> CO<sub>2</sub> + 2H<sub>2</sub>O.
|
Free Form | Lớp 10 | Bà Hà có 1 tỉ đồng để đầu tư vào cổ phiếu, trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng. Cổ phiếu sinh lợi nhuận 12%/năm, trong khi trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng cho lãi suất lần lượt là 8%/năm và 4%/năm. Bà Hà đã quy định rằng số tiền gửi tiết kiệm ngân hàng phải bằng tổng của 20% số tiền đầu tư vào cổ phiếu và 10% số tiền đầu tư vào trái phiếu. Bà Hà nên phân bổ nguồn vốn của mình như thế nào để nhận được 100 triệu đồng tiền lãi từ các khoản đầu tư đó trong năm đầu tiên? | Gọi số tiền bác Hà nên đầu tư vào cổ phiếu, trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng lần lượt là x, y, z (triệu đồng).
Theo đề bài ta có:
– Bác Hà có 1 tỉ đồng, suy ra x + y + z = 1000 (1).
– Số tiền gửi tiết kiệm ngân hàng bằng tổng của 20% số tiền đầu tư vào cổ phiếu và 10% số tiền đầu tư vào trái phiếu, suy ra z = 20%x + 10%y hay 2x + y – 10z = 0 (2).
– Số tiền lãi là 100 triệu đồng, suy ra 12%x + 8%y + 4%z = 100 hay 3x + 2y + z = 2500 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
$ \{\begin{array}{l}x+y+z=1000\\ 2x+y-10z=0\\ 3x+2y+z=2500\text{\hspace{0.17em}}\end{array}.$
Giải hệ này ta được x = 650, y = 200, z = 150.
Vậy số tiền bác Hà nên đầu tư vào cổ phiếu, trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng lần lượt là 650 triệu đồng, 200 triệu đồng, 150 triệu đồng. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890101 | ### Câu hỏi:
Bà Hà có 1 tỉ đồng để đầu tư vào cổ phiếu, trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng. Cổ phiếu sinh lợi nhuận 12%/năm, trong khi trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng cho lãi suất lần lượt là 8%/năm và 4%/năm. Bà Hà đã quy định rằng số tiền gửi tiết kiệm ngân hàng phải bằng tổng của 20% số tiền đầu tư vào cổ phiếu và 10% số tiền đầu tư vào trái phiếu. Bà Hà nên phân bổ nguồn vốn của mình như thế nào để nhận được 100 triệu đồng tiền lãi từ các khoản đầu tư đó trong năm đầu tiên?
### Lời giải:
Gọi số tiền bác Hà nên đầu tư vào cổ phiếu, trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng lần lượt là x, y, z (triệu đồng).
Theo đề bài ta có:
– Bác Hà có 1 tỉ đồng, suy ra x + y + z = 1000 (1).
– Số tiền gửi tiết kiệm ngân hàng bằng tổng của 20% số tiền đầu tư vào cổ phiếu và 10% số tiền đầu tư vào trái phiếu, suy ra z = 20%x + 10%y hay 2x + y – 10z = 0 (2).
– Số tiền lãi là 100 triệu đồng, suy ra 12%x + 8%y + 4%z = 100 hay 3x + 2y + z = 2500 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>1000</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>−</mo><mn>10</mn><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>2500</mn><mtext> </mtext></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>.</mo></math>
Giải hệ này ta được x = 650, y = 200, z = 150.
Vậy số tiền bác Hà nên đầu tư vào cổ phiếu, trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng lần lượt là 650 triệu đồng, 200 triệu đồng, 150 triệu đồng.
|
Free Form | Lớp 10 | Trên thị trường có ba loại sản phẩm A, B, C với giá mỗi tấn sản phẩm tương ứng là x, y, z (đơn vị: triệu đồng, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0). Lượng cung và lượng cầu của mỗi sản phẩm được cho trong bảng dưới đây:
| Sản phẩm | Lượng cung | Lượng cầu |
|---|---|---|
| A | $Q_{S_A} = $ 4x – y – z – 5 | $Q_{D_A} = $ –2x + y + z + 9 |
| B | $Q_{S_B} = $ –x + 4y – z – 5 | $Q_{D_B} = $ x – 2y + z + 3 |
| C | $Q_{S_C} = $ –x – y + 4z – 1 | $Q_{D_C} = $ x + y – 2z – 1 |
Tìm giá bán của mỗi sản phẩm để thị trường cân bằng. | Hướng dẫn giải
Thị trường cân bằng khi $\left\{
\begin{array}{l}
Q_{S_A} = Q_{D_A} \\
Q_{S_B} = Q_{D_B} \\
Q_{S_C} = Q_{D_C}
\end{array}
\right.$ $\Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
4x – y – z – 5 = –2x + y + z + 9 \\
–x + 4y – z – 5 = x – 2y + z + 3 \\
–x – y + 4z – 1 = x + y – 2z – 1
\end{array}
\right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
6x – 2y – 2z = 14 \\
2x – 6y + 2z = –8 \\
2x + 2y – 6z = 0
\end{array}
\right.$ $\Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
3x – y – z = 7 \\
x – 3y + z = –4 \\
x + y – 3z = 0
\end{array}
\right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
x = 4,5 \\
y = 3,75 \\
z = 2,75
\end{array}
\right..$
Vậy giá mỗi mỗi sản phẩm A, B, C để thị trường cân bằng lần lượt là 4,5 triệu đồng; 3,75 triệu đồng; 2,75 triệu đồng. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890110 | ### Câu hỏi:
Trên thị trường có ba loại sản phẩm A, B, C với giá mỗi tấn sản phẩm tương ứng là x, y, z (đơn vị: triệu đồng, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0). Lượng cung và lượng cầu của mỗi sản phẩm được cho trong bảng dưới đây:
| Sản phẩm | Lượng cung | Lượng cầu |
|---|---|---|
| A | $Q_{S_A} = $ 4x – y – z – 5 | $Q_{D_A} = $ –2x + y + z + 9 |
| B | $Q_{S_B} = $ –x + 4y – z – 5 | $Q_{D_B} = $ x – 2y + z + 3 |
| C | $Q_{S_C} = $ –x – y + 4z – 1 | $Q_{D_C} = $ x + y – 2z – 1 |
Tìm giá bán của mỗi sản phẩm để thị trường cân bằng.
### Lời giải:
Hướng dẫn giải
Thị trường cân bằng khi $\left\{
\begin{array}{l}
Q_{S_A} = Q_{D_A} \\
Q_{S_B} = Q_{D_B} \\
Q_{S_C} = Q_{D_C}
\end{array}
\right.$ $\Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
4x – y – z – 5 = –2x + y + z + 9 \\
–x + 4y – z – 5 = x – 2y + z + 3 \\
–x – y + 4z – 1 = x + y – 2z – 1
\end{array}
\right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
6x – 2y – 2z = 14 \\
2x – 6y + 2z = –8 \\
2x + 2y – 6z = 0
\end{array}
\right.$ $\Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
3x – y – z = 7 \\
x – 3y + z = –4 \\
x + y – 3z = 0
\end{array}
\right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
x = 4,5 \\
y = 3,75 \\
z = 2,75
\end{array}
\right..$
Vậy giá mỗi mỗi sản phẩm A, B, C để thị trường cân bằng lần lượt là 4,5 triệu đồng; 3,75 triệu đồng; 2,75 triệu đồng.
|
Free Form | Lớp 10 | Vé vào xem một vở kịch có ba mức giá khác nhau tuỳ theo khu vực ngồi trong nhà hát. Số lượng vé bán ra và doanh thu của ba suất diễn được cho bởi bảng sau:
| Suất diễn | Số vé bán được | Doanh thu (triệu đồng) |
|---|---|---|
| 10h00 – 12h00 | Khu vực 1: 210<br>Khu vực 2: 152<br>Khu vực 3: 125 | 212,7 |
| 15h00 – 17h00 | Khu vực 1: 225<br>Khu vực 2: 165<br>Khu vực 3: 118 | 224,4 |
| 20h00 – 22h00 | Khu vực 1: 254<br>Khu vực 2: 186<br>Khu vực 3: 130 | 252,2 |
Tìm giá vé ứng với mỗi khu vực ngồi trong nhà hát. | Gọi giá vé ứng với mỗi khu vực 1, khu vực 2, khu vực 3 lần lượt là x, y, z (triệu đồng).
Dựa vào bảng trên ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}
210x + 152y + 125z = 212,7 \\
225x + 165y + 118z = 224,4 \\
254x + 186y + 130z = 252,2
\end{cases}$.
Giải hệ này ta được x = 0,4; y = 0,6; z = 0,3.
Vậy giá vé ứng với mỗi khu vực 1, khu vực 2, khu vực 3 lần lượt là 400 nghìn đồng, 600 nghìn đồng và 300 nghìn đồng. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890112 | ### Câu hỏi:
Vé vào xem một vở kịch có ba mức giá khác nhau tuỳ theo khu vực ngồi trong nhà hát. Số lượng vé bán ra và doanh thu của ba suất diễn được cho bởi bảng sau:
| Suất diễn | Số vé bán được | Doanh thu (triệu đồng) |
|---|---|---|
| 10h00 – 12h00 | Khu vực 1: 210<br>Khu vực 2: 152<br>Khu vực 3: 125 | 212,7 |
| 15h00 – 17h00 | Khu vực 1: 225<br>Khu vực 2: 165<br>Khu vực 3: 118 | 224,4 |
| 20h00 – 22h00 | Khu vực 1: 254<br>Khu vực 2: 186<br>Khu vực 3: 130 | 252,2 |
Tìm giá vé ứng với mỗi khu vực ngồi trong nhà hát.
### Lời giải:
Gọi giá vé ứng với mỗi khu vực 1, khu vực 2, khu vực 3 lần lượt là x, y, z (triệu đồng).
Dựa vào bảng trên ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}
210x + 152y + 125z = 212,7 \\
225x + 165y + 118z = 224,4 \\
254x + 186y + 130z = 252,2
\end{cases}$.
Giải hệ này ta được x = 0,4; y = 0,6; z = 0,3.
Vậy giá vé ứng với mỗi khu vực 1, khu vực 2, khu vực 3 lần lượt là 400 nghìn đồng, 600 nghìn đồng và 300 nghìn đồng.
|
Free Form | Lớp 10 | Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in\mathbb{N}^*$.
a) $1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$;
b) $1.4+2.7+3.10+\ldots+n(3n+1)=n(n+1)^2$;
c) $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}$. | a) Bước 1. Với n = 1, ta có $1^3 = \frac{1^2(1+1)^2}{4}$. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $1^3+2^3+3^3+\ldots+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}$.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: $1^3+2^3+3^3+\ldots+k^3+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2[(k+1)+1]^2}{4}$.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
$1^3+2^3+3^3+\ldots+k^3+(k+1)^3$
$=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3$
$=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+\frac{4(k+1)^3}{4}$
$=\frac{(k+1)^2[k^2+4(k+1)]}{4}$
$=\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}$
$=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=\frac{(k+1)^2[(k+1)+1]^2}{4}$.
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
b) Bước 1. Với n = 1, ta có $1(3 . 1 + 1) = 4 = 1(1 + 1)^2$. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:
$1.4+2.7+3.10+\ldots+k(3k+1)=k(k+1)^2$.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
$1.4+2.7+3.10+\ldots+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1]^2$.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có: $1.4+2.7+3.10+\ldots+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]$
$=k(k+1)^2+(k+1)[3(k+1)+1]$
$=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]$
$=(k+1)(k^2+4k+4)$
$=(k+1)(k+2)^2=(k+1)[(k+1)+1]^2$.
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
c) Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{(2.1-1)(2.1+1)}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2.1+1}$. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k}{2k+1}$.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}$.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có: $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$
$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$
$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$
$=\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}$
$=\frac{2k^2+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}$
$=\frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}$.
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890354 | ### Câu hỏi:
Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in\mathbb{N}^*$.
a) $1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$;
b) $1.4+2.7+3.10+\ldots+n(3n+1)=n(n+1)^2$;
c) $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}$.
### Lời giải:
a) Bước 1. Với n = 1, ta có $1^3 = \frac{1^2(1+1)^2}{4}$. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $1^3+2^3+3^3+\ldots+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}$.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: $1^3+2^3+3^3+\ldots+k^3+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2[(k+1)+1]^2}{4}$.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
$1^3+2^3+3^3+\ldots+k^3+(k+1)^3$
$=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3$
$=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+\frac{4(k+1)^3}{4}$
$=\frac{(k+1)^2[k^2+4(k+1)]}{4}$
$=\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}$
$=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=\frac{(k+1)^2[(k+1)+1]^2}{4}$.
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
b) Bước 1. Với n = 1, ta có $1(3 . 1 + 1) = 4 = 1(1 + 1)^2$. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:
$1.4+2.7+3.10+\ldots+k(3k+1)=k(k+1)^2$.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
$1.4+2.7+3.10+\ldots+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1]^2$.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có: $1.4+2.7+3.10+\ldots+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]$
$=k(k+1)^2+(k+1)[3(k+1)+1]$
$=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]$
$=(k+1)(k^2+4k+4)$
$=(k+1)(k+2)^2=(k+1)[(k+1)+1]^2$.
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
c) Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{(2.1-1)(2.1+1)}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2.1+1}$. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k}{2k+1}$.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}$.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có: $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$
$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$
$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$
$=\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}$
$=\frac{2k^2+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}$
$=\frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}$.
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
|
Free Form | Lớp 10 | Chứng minh rằng với mọi n $ \in {\mathbb{N}}^{*}$:
a) 3n – 1 – 2n chia hết cho 4;
b) 7n – 4n – 3n chia hết cho 12. | **Hướng dẫn giải**
a) Bước 1. Với n = 1, ta có 31 – 1 – 2 . 1 = 0 ⁝ 4. Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: <span style="mso-fareast-">3k – 1 – 2k</span> ⁝ 4.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
<span style="mso-fareast-">3k + 1 – 1 – 2(k + 1)</span> ⁝ 4.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
3k + 1 – 1 – 2(k + 1) = 3 . 3k – 1 –2k – 2 = 3 . 3k – 3 –2k = 3 . 3k – 3 –6k + 4k
= 3(3k – 1 – 2k) + 4k
Vì (3k – 1 – 2k) và 4k đều chia hết cho 4 nên 3(3k – 1 – 2k) + 4k ⁝ 4 hay 3k + 1 – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
b) Bước 1. Với n = 1, ta có 71 – 41 – 31 = 0 ⁝ 12. Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: <span style="mso-fareast-">7k – 4k – 3k</span> ⁝ 12.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
<span style="mso-fareast-">7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1</span> ⁝ 12.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 = 7 . 7k – 4 . 4k – 3 . 3k = 7 . 7k – 7 . 4k – 7 . 3k + 3 . 4k + 4 . 3k
= 7(7k – 4k – 3k) + 3 . 4k + 4 . 3k = 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 (vì k ≥ 1).
Vì 7(7k – 4k – 3k), 12 . 4k – 1 và 12 . 3k – 1 đều chia hết cho 12 nên 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 ⁝ 12 hay 7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 ⁝ 12.
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890356 | ### Câu hỏi:
Chứng minh rằng với mọi n <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∈</mo><msup><mi>ℕ</mi><mo>*</mo></msup></math>:
a) 3n – 1 – 2n chia hết cho 4;
b) 7n – 4n – 3n chia hết cho 12.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
a) Bước 1. Với n = 1, ta có 31 – 1 – 2 . 1 = 0 ⁝ 4. Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: <span style="mso-fareast-">3k – 1 – 2k</span> ⁝ 4.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
<span style="mso-fareast-">3k + 1 – 1 – 2(k + 1)</span> ⁝ 4.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
3k + 1 – 1 – 2(k + 1) = 3 . 3k – 1 –2k – 2 = 3 . 3k – 3 –2k = 3 . 3k – 3 –6k + 4k
= 3(3k – 1 – 2k) + 4k
Vì (3k – 1 – 2k) và 4k đều chia hết cho 4 nên 3(3k – 1 – 2k) + 4k ⁝ 4 hay 3k + 1 – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
b) Bước 1. Với n = 1, ta có 71 – 41 – 31 = 0 ⁝ 12. Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: <span style="mso-fareast-">7k – 4k – 3k</span> ⁝ 12.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
<span style="mso-fareast-">7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1</span> ⁝ 12.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 = 7 . 7k – 4 . 4k – 3 . 3k = 7 . 7k – 7 . 4k – 7 . 3k + 3 . 4k + 4 . 3k
= 7(7k – 4k – 3k) + 3 . 4k + 4 . 3k = 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 (vì k ≥ 1).
Vì 7(7k – 4k – 3k), 12 . 4k – 1 và 12 . 3k – 1 đều chia hết cho 12 nên 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 ⁝ 12 hay 7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 ⁝ 12.
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
|
Free Form | Lớp 10 | Chứng minh rằng 8n ≥ n3 với mọi n $ \in {\mathbb{N}}^{*}$. | **Hướng dẫn giải**
Bước 1. Với n = 1, ta có 81 = 8 > 1 = 13. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 8k ≥ k3.
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
8k + 1 ≥ (k + 1)3.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
8k + 1 = 8 . 8k ≥ 8 . k3 = k3 + 3k3 + 3k3 + k3 ≥ k3 + 3k2 + 3k + 1 (vì k ≥ 1) = (k + 1)3.
Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890358 | ### Câu hỏi:
Chứng minh rằng 8n ≥ n3 với mọi n <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∈</mo><msup><mi>ℕ</mi><mo>*</mo></msup></math>.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
Bước 1. Với n = 1, ta có 81 = 8 > 1 = 13. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 8k ≥ k3.
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
8k + 1 ≥ (k + 1)3.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
8k + 1 = 8 . 8k ≥ 8 . k3 = k3 + 3k3 + 3k3 + k3 ≥ k3 + 3k2 + 3k + 1 (vì k ≥ 1) = (k + 1)3.
Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
|
Free Form | Lớp 10 | Chứng minh rằng bất đẳng thức $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\leq\frac{n+1}{2}$ đúng với mọi $n\in\mathbb{N}^*$. | **Hướng dẫn giải**
Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{1}=1=\frac{1+1}{2}$. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{k}\leq\frac{k+1}{2}$.
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\leq\frac{(k+1)+1}{2}$.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\leq$ $\frac{k+1}{2}+\frac{1}{k+1}=\frac{(k+1)^2+2}{2(k+1)}=\frac{k^2+2k+3}{2(k+1)}$ $\leq\frac{k^2+2k+1+2}{2(k+1)}\leq\frac{k^2+2k+k+2}{2(k+1)}=\frac{k^2+3k+2}{2(k+1)}=\frac{(k+1)(k+2)}{2(k+1)}=\frac{k+2}{2}=\frac{(k+1)+1}{2}$.
Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890359 | ### Câu hỏi:
Chứng minh rằng bất đẳng thức $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\leq\frac{n+1}{2}$ đúng với mọi $n\in\mathbb{N}^*$.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{1}=1=\frac{1+1}{2}$. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{k}\leq\frac{k+1}{2}$.
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\leq\frac{(k+1)+1}{2}$.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\leq$ $\frac{k+1}{2}+\frac{1}{k+1}=\frac{(k+1)^2+2}{2(k+1)}=\frac{k^2+2k+3}{2(k+1)}$ $\leq\frac{k^2+2k+1+2}{2(k+1)}\leq\frac{k^2+2k+k+2}{2(k+1)}=\frac{k^2+3k+2}{2(k+1)}=\frac{(k+1)(k+2)}{2(k+1)}=\frac{k+2}{2}=\frac{(k+1)+1}{2}$.
Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
|
Free Form | Lớp 10 | Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:
Bước 1: Rót 1 l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.
Bước 2: Rót 1 l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.
Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4,...
Kí hiệu $a_n$ là lượng nước có trong bình sau bước $n(n\in\mathbb{N}^*)$.
a) Tính $a_1$, $a_2$, $a_3$. Từ đó dự đoán công thức tính $a_n$ với n $\in\mathbb{N}^*$.
b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học. | **Hướng dẫn giải**
a) Sau bước 1 thì trong bình có 1/2 l nước, do đó $a_1 = 1/2$
Sau bước 2 thì trong bình có: $\frac{(\frac{1}{2}+1)}{2}=\frac{3}{4}$ l nước, do đó $a_2 = 3/4$
Sau bước 3 thì trong bình có: $\frac{(\frac{3}{4}+1)}{2}=\frac{7}{8}.$ l nước, do đó $a_2 = 7/8$
Ta có thể dự đoán $a_n$ = $\frac{2^n-1}{2^n}$.
b) Ta chứng minh bằng quy nạp:
Bước 1. Với n = 1, ta có $a_1$ = $\frac{1}{2}=\frac{2^1-1}{2^1}$. Do đó công thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $a_k$ = $\frac{2^k-1}{2^k}$.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
$a_{k + 1}$ = $\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$.
Thật vậy:
$a_k$ là lượng nước có trong bình sau bước thứ k thì lượng nước có trong bình sau bước thứ k + 1 là:
$a_{k + 1}$ = $\frac{a_k+1}{2}$$\math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfrac><mrow><mfrac><mrow><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup></mfrac><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mfrac><mrow><mrow><mo>(</mo><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup></mrow><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup></mfrac><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mtext> </mtext><mo>.</mo><mtext> </mtext><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup><mtext> </mtext><mo>.</mo><mtext> </mtext><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mfrac><mo>.</mo></math>
Vậy công thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890360 | ### Câu hỏi:
Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:
Bước 1: Rót 1 l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.
Bước 2: Rót 1 l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.
Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4,...
Kí hiệu $a_n$ là lượng nước có trong bình sau bước $n(n\in\mathbb{N}^*)$.
a) Tính $a_1$, $a_2$, $a_3$. Từ đó dự đoán công thức tính $a_n$ với n $\in\mathbb{N}^*$.
b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
a) Sau bước 1 thì trong bình có 1/2 l nước, do đó $a_1 = 1/2$
Sau bước 2 thì trong bình có: $\frac{(\frac{1}{2}+1)}{2}=\frac{3}{4}$ l nước, do đó $a_2 = 3/4$
Sau bước 3 thì trong bình có: $\frac{(\frac{3}{4}+1)}{2}=\frac{7}{8}.$ l nước, do đó $a_2 = 7/8$
Ta có thể dự đoán $a_n$ = $\frac{2^n-1}{2^n}$.
b) Ta chứng minh bằng quy nạp:
Bước 1. Với n = 1, ta có $a_1$ = $\frac{1}{2}=\frac{2^1-1}{2^1}$. Do đó công thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $a_k$ = $\frac{2^k-1}{2^k}$.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
$a_{k + 1}$ = $\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$.
Thật vậy:
$a_k$ là lượng nước có trong bình sau bước thứ k thì lượng nước có trong bình sau bước thứ k + 1 là:
$a_{k + 1}$ = $\frac{a_k+1}{2}$$\math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfrac><mrow><mfrac><mrow><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup></mfrac><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mfrac><mrow><mrow><mo>(</mo><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup></mrow><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup></mfrac><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mtext> </mtext><mo>.</mo><mtext> </mtext><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup><mtext> </mtext><mo>.</mo><mtext> </mtext><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mfrac><mo>.</mo></math>
Vậy công thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
|
Free Form | Lớp 10 | Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển:
a) $(1 – 3x)^8$;
b) $\left(1+\frac{x}{2}\right)^7$. | **Hướng dẫn giải**
a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
$(1 – 3x)^8 = \msubsup{C}_{8}^{0}1^8+\msubsup{C}_{8}^{1}1^7(-3x)+...+\msubsup{C}_{8}^{k}1^{8-k}(-3x)^k+...+\msubsup{C}_{8}^{8}(-3x)^8$
$=1+\msubsup{C}_{8}^{1}(-3)x+...+\msubsup{C}_{8}^{k}(-3)^kx^k+...+\msubsup{C}_{8}^{8}(-3)^8x^8.$
Số hạng chứa $x^3$ ứng với giá trị $k = 3$. Hệ số của số hạng này là $\msubsup{C}_{8}^{3}(-3)^3=-1512.$
b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
$\left(1+\frac{x}{2}\right)^7 = \msubsup{C}_{7}^{0}1^7+\msubsup{C}_{7}^{1}1^6\left(\frac{x}{2}\right)+...+\msubsup{C}_{7}^{k}1^{7-k}\left(\frac{x}{2}\right)^k+...+\msubsup{C}_{7}^{7}\left(\frac{x}{2}\right)^7$
$=1+\msubsup{C}_{7}^{1}\frac{1}{2}x+...+\msubsup{C}_{7}^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^kx^k+...+\msubsup{C}_{7}^{7}\left(\frac{1}{2}\right)^7x^7.$
Số hạng chứa $x^3$ ứng với giá trị $k = 3$. Hệ số của số hạng này là $\msubsup{C}_{7}^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{35}{8}.$ | https://khoahoc.vietjack.com/question/890361 | ### Câu hỏi:
Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển:
a) $(1 – 3x)^8$;
b) $\left(1+\frac{x}{2}\right)^7$.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
$(1 – 3x)^8 = \msubsup{C}_{8}^{0}1^8+\msubsup{C}_{8}^{1}1^7(-3x)+...+\msubsup{C}_{8}^{k}1^{8-k}(-3x)^k+...+\msubsup{C}_{8}^{8}(-3x)^8$
$=1+\msubsup{C}_{8}^{1}(-3)x+...+\msubsup{C}_{8}^{k}(-3)^kx^k+...+\msubsup{C}_{8}^{8}(-3)^8x^8.$
Số hạng chứa $x^3$ ứng với giá trị $k = 3$. Hệ số của số hạng này là $\msubsup{C}_{8}^{3}(-3)^3=-1512.$
b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
$\left(1+\frac{x}{2}\right)^7 = \msubsup{C}_{7}^{0}1^7+\msubsup{C}_{7}^{1}1^6\left(\frac{x}{2}\right)+...+\msubsup{C}_{7}^{k}1^{7-k}\left(\frac{x}{2}\right)^k+...+\msubsup{C}_{7}^{7}\left(\frac{x}{2}\right)^7$
$=1+\msubsup{C}_{7}^{1}\frac{1}{2}x+...+\msubsup{C}_{7}^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^kx^k+...+\msubsup{C}_{7}^{7}\left(\frac{1}{2}\right)^7x^7.$
Số hạng chứa $x^3$ ứng với giá trị $k = 3$. Hệ số của số hạng này là $\msubsup{C}_{7}^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{35}{8}.$
|
Free Form | Lớp 10 | Tìm hệ số của $x^5$ trong khai triển $(2x + 3)(x – 2)^6$. | Có $(2x + 3)(x – 2)^6$
$= 2x(x – 2)^6 + 3(x – 2)^6$.
Ta tìm hệ số của $x^5$ trong từng khai triển: $2x(x – 2)^6$ và $3(x – 2)^6$.
+) Có: $2x(x – 2)^6$
$= 2x[C_6^0x^6 + C_6^1x^5(-2) + C_6^2x^4(-2)^2 + C_6^3x^3(-2)^3$
$+ C_6^4x^2(-2)^4 + C_6^5x(-2)^5 + C_6^6(-2)^6]$
$= 2C_6^0x^7 + 2(-2)C_6^1x^6 + 2(-2)^2C_6^2x^5 + 2(-2)^3C_6^3x^4$
$+ 2(-2)^4C_6^4x^3 + 2(-2)^5C_6^5x^2 + 2(-2)^6C_6^6x.$
Hệ số của $x^5$ trong khai triển này là $120$.
+) Có: $3(x – 2)^6$
$= 3[C_6^0x^6 + C_6^1x^5(-2) + C_6^2x^4(-2)^2 + C_6^3x^3(-2)^3$
$+ C_6^4x^2(-2)^4 + C_6^5x(-2)^5 + C_6^6(-2)^6]$
$= 3C_6^0x^6 + 3(-2)C_6^1x^5 + 3(-2)^2C_6^2x^4 + 3(-2)^3C_6^3x^3$
$+ 3(-2)^4C_6^4x^2 + 3(-2)^5C_6^5x + 3(-2)^6C_6^6.$
Hệ số của $x^5$ trong khai triển này là $3(-2)C_6^1$ = –36.
Vậy hệ số của $x^5$ trong khai triển $(2x + 3)(x – 2)^6$ là $120 + (–36) = 84$. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890362 | ### Câu hỏi:
Tìm hệ số của $x^5$ trong khai triển $(2x + 3)(x – 2)^6$.
### Lời giải:
Có $(2x + 3)(x – 2)^6$
$= 2x(x – 2)^6 + 3(x – 2)^6$.
Ta tìm hệ số của $x^5$ trong từng khai triển: $2x(x – 2)^6$ và $3(x – 2)^6$.
+) Có: $2x(x – 2)^6$
$= 2x[C_6^0x^6 + C_6^1x^5(-2) + C_6^2x^4(-2)^2 + C_6^3x^3(-2)^3$
$+ C_6^4x^2(-2)^4 + C_6^5x(-2)^5 + C_6^6(-2)^6]$
$= 2C_6^0x^7 + 2(-2)C_6^1x^6 + 2(-2)^2C_6^2x^5 + 2(-2)^3C_6^3x^4$
$+ 2(-2)^4C_6^4x^3 + 2(-2)^5C_6^5x^2 + 2(-2)^6C_6^6x.$
Hệ số của $x^5$ trong khai triển này là $120$.
+) Có: $3(x – 2)^6$
$= 3[C_6^0x^6 + C_6^1x^5(-2) + C_6^2x^4(-2)^2 + C_6^3x^3(-2)^3$
$+ C_6^4x^2(-2)^4 + C_6^5x(-2)^5 + C_6^6(-2)^6]$
$= 3C_6^0x^6 + 3(-2)C_6^1x^5 + 3(-2)^2C_6^2x^4 + 3(-2)^3C_6^3x^3$
$+ 3(-2)^4C_6^4x^2 + 3(-2)^5C_6^5x + 3(-2)^6C_6^6.$
Hệ số của $x^5$ trong khai triển này là $3(-2)C_6^1$ = –36.
Vậy hệ số của $x^5$ trong khai triển $(2x + 3)(x – 2)^6$ là $120 + (–36) = 84$.
|
Free Form | Lớp 10 | a) Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)<sup>6</sup>, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x tăng dần.
b) Sử dụng kết quả trên, hãy tính giá trị gần đúng của 1,026. | **Hướng dẫn giải**
a) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
(1 + 2x)<sup>6 </sup>
$ ={1}^{6}+{6.1}^{5}\left(2x\right)+{15.1}^{4}{\left(2x\right)}^{2}+{20.1}^{3}{\left(2x\right)}^{3}+{15.1}^{2}{\left(2x\right)}^{4}+6.1{\left(2x\right)}^{5}+{\left(2x\right)}^{6}$<br/>
$ =1+12x+60{x}^{2}+160{x}^{3}+240{x}^{4}+192{x}^{5}+64{x}^{6}.$<br/>
Ba số hạng đầu tiên của khai triển là 1, 12x và 60x<sup>2</sup>.
b) Với x nhỏ thì x<sup>3</sup>, x<sup>4</sup>, x<sup>5,</sup> x<sup>6</sup> sẽ rất nhỏ. Do đó có thể coi <span>(1 + 2x)<sup>6</sup> ≈ 1 + 12x + 60x2.</span>
Khi đó 1,026 = (1 + 2 . 0,01)6 ≈ 1 + 12 . 0,01 + 60 . 0,012 = 1,126. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890363 | ### Câu hỏi:
a) Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)<sup>6</sup>, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x tăng dần.
b) Sử dụng kết quả trên, hãy tính giá trị gần đúng của 1,026.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
a) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
(1 + 2x)<sup>6 </sup>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msup><mn>1</mn><mn>6</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>6.1</mn><mn>5</mn></msup><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msup><mn>15.1</mn><mn>4</mn></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>20.1</mn><mn>3</mn></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>15.1</mn><mn>2</mn></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><mn>6.1</mn><msup><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>6</mn></msup></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>12</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>60</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>160</mn><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>240</mn><msup><mi>x</mi><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><mn>192</mn><msup><mi>x</mi><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><mn>64</mn><msup><mi>x</mi><mn>6</mn></msup><mo>.</mo></math><br/>
Ba số hạng đầu tiên của khai triển là 1, 12x và 60x<sup>2</sup>.
b) Với x nhỏ thì x<sup>3</sup>, x<sup>4</sup>, x<sup>5,</sup> x<sup>6</sup> sẽ rất nhỏ. Do đó có thể coi <span>(1 + 2x)<sup>6</sup> ≈ 1 + 12x + 60x2.</span>
Khi đó 1,026 = (1 + 2 . 0,01)6 ≈ 1 + 12 . 0,01 + 60 . 0,012 = 1,126.
|
Free Form | Lớp 10 | Trong khai triển biểu thức (3x – 4)<sup>15</sup> thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được. | Có (3x – 4)<sup>15</sup>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>15</mn><mn>0</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>15</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>15</mn><mn>1</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>14</mn></msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>15</mn><mi>k</mi></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>15</mn><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></mrow><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>15</mn><mn>1</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></mrow><mn>14</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>15</mn><mn>15</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></mrow><mn>15</mn></msup</math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mn>15</mn></msub><msup><mi>x</mi><mn>15</mn></msup><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>14</mn></msub><msup><mi>x</mi><mn>14</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub><msup><mi>x</mi><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mi>x</mi><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>0</mn></msub></math> (với a<sub>i</sub> là hệ số của xi).
Thay x = 1, ta được:
(3 . 1 – 4)<sup>15</sup> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mn>15</mn></msub><msup><mn>1</mn><mn>15</mn></msup><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>14</mn></msub><msup><mn>1</mn><mn>14</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub><msup><mn>1</mn><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mn>1</mn><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>0</mn></msub></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mn>15</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>14</mn></msub><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>0</mn></msub></math><span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"></span>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><msub><mi>a</mi><mn>15</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>14</mn></msub><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>15</mn></msup><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1.</mn></math><br/>
Vậy tổng các hệ số của đa thức nhận được là –1. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890364 | ### Câu hỏi:
Trong khai triển biểu thức (3x – 4)<sup>15</sup> thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.
### Lời giải:
Có (3x – 4)<sup>15</sup>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>15</mn><mn>0</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>15</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>15</mn><mn>1</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>14</mn></msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>15</mn><mi>k</mi></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>15</mn><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></mrow><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>15</mn><mn>1</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></mrow><mn>14</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>15</mn><mn>15</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></mrow><mn>15</mn></msup</math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mn>15</mn></msub><msup><mi>x</mi><mn>15</mn></msup><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>14</mn></msub><msup><mi>x</mi><mn>14</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub><msup><mi>x</mi><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mi>x</mi><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>0</mn></msub></math> (với a<sub>i</sub> là hệ số của xi).
Thay x = 1, ta được:
(3 . 1 – 4)<sup>15</sup> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mn>15</mn></msub><msup><mn>1</mn><mn>15</mn></msup><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>14</mn></msub><msup><mn>1</mn><mn>14</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub><msup><mn>1</mn><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mn>1</mn><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>0</mn></msub></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mn>15</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>14</mn></msub><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>0</mn></msub></math><span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"></span>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><msub><mi>a</mi><mn>15</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>14</mn></msub><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>15</mn></msup><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1.</mn></math><br/>
Vậy tổng các hệ số của đa thức nhận được là –1.
|
Free Form | Lớp 10 | Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $ n\in {\mathbb{N}}^{*}$:
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0in;"><span style="mso-fareast-">a) $ 1+2{C}_{n}^{1}+4{C}_{n}^{2}+\dots +{2}^{n-1}{C}_{n}^{n-1}+{2}^{n}{C}_{n}^{n}={3}^{n};$</span><span style="mso-fareast-"></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="mso-fareast-">b) $ {C}_{2n}^{0}+{C}_{2n}^{2}+{C}_{2n}^{4}+\dots +{C}_{2n}^{2n}={C}_{2n}^{1}+{C}_{2n}^{3}+{C}_{2n}^{5}+\dots +{C}_{2n}^{2n-1}.$</span><span style="mso-fareast-"></span></p> | <p class="MsoNormal"><strong><span style="mso-fareast-">Hướng dẫn giải</span></strong><span style="mso-fareast-"></span></p>
<p class="MsoNormal">a) $ 1+2{C}_{n}^{1}+4{C}_{n}^{2}+\dots +{2}^{n-1}{C}_{n}^{n-1}+{2}^{n}{C}_{n}^{n}$<span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;">$ ={C}_{n}^{0}1+{C}_{n}^{1}2+{C}_{n}^{2}{2}^{2}+\dots +{C}_{n}^{n-1}{2}^{n-1}+{C}_{n}^{n}{2}^{n}$<br/></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;">$ ={C}_{n}^{0}{1}^{n}+{C}_{n}^{1}{1}^{n-1}2+{C}_{n}^{2}{1}^{n-2}{2}^{2}+\dots +{C}_{n}^{n-1}1\text{\hspace{0.17em}}{.2}^{n-1}+{C}_{n}^{n}{2}^{n}$<br/></span></p>
<p class="MsoNormal">= (1 + 2)n = 3n.</p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0in;">b) Ta có:</p>
$ {(x+1)}^{2n}={C}_{2n}^{0}{x}^{2n}+{C}_{2n}^{1}{x}^{2n-1}1+{C}_{2n}^{2}{x}^{2n-2}{1}^{2}+\dots +{C}_{2n}^{2n-1}x{1}^{2n-1}+{C}_{2n}^{2n}{1}^{2n}$</div>
<div><br/>$ ={C}_{2n}^{0}{x}^{2n}+{C}_{2n}^{1}{x}^{2n-1}+{C}_{2n}^{2}{x}^{2n-2}+\dots +{C}_{2n}^{2n-1}x+{C}_{2n}^{2n}.$<br/>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0in;"><a name="_Hlk100711445"></a><span style="mso-fareast-">Cho x = –1, ta được:</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0in;">$ {(-1+1)}^{2n}={\text{C}}_{2n}^{0}{(-1)}^{2n}{\text{+C}}_{2n}^{1}{(-1)}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2}{(-1)}^{2n-2}+\dots +{\text{C}}_{2n}^{2n-1}(-1)+{\text{C}}_{2n}^{2n}$</p>
<span style="mso-bookmark: _Hlk100711445;"></span>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0in;"><span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;">$ ={\text{C}}_{2n}^{0}-{\text{C}}_{2n}^{1}+{\text{C}}_{2n}^{2}-\dots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2n}$<br/></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0in;"> </p>
$ \Rightarrow {\text{C}}_{2n}^{0}-{\text{C}}_{2n}^{1}+{\text{C}}_{2n}^{2}-\dots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2n}=0$<br/>$ \Rightarrow {C}_{2n}^{0}+{C}_{2n}^{2}+{C}_{2n}^{4}+\dots +{C}_{2n}^{2n}={C}_{2n}^{1}+{C}_{2n}^{3}+{C}_{2n}^{5}+\dots +{C}_{2n}^{2n-1}.$</div> | https://khoahoc.vietjack.com/question/890367 | ### Câu hỏi:
Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>∈</mo><msup><mi>ℕ</mi><mo>*</mo></msup></math>:
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0in;"><span style="mso-fareast-">a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><mo>+</mo><mn>4</mn><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mi>n</mi></msup><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><mo>=</mo><msup><mn>3</mn><mi>n</mi></msup><mo>;</mo></math></span><span style="mso-fareast-"></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="mso-fareast-">b) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>0</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>4</mn></msubsup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>1</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>3</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>5</mn></msubsup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>.</mo></math></span><span style="mso-fareast-"></span></p>
### Lời giải:
<p class="MsoNormal"><strong><span style="mso-fareast-">Hướng dẫn giải</span></strong><span style="mso-fareast-"></span></p>
<p class="MsoNormal">a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><mo>+</mo><mn>4</mn><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mi>n</mi></msup><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup></math><span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><mn>1</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><mn>2</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msup><mn>2</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><msup><mn>2</mn><mi>n</mi></msup></math><br/></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mn>1</mn><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mn>1</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mn>2</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><msup><mn>1</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mn>1</mn><mtext> </mtext><msup><mn>.2</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><msup><mn>2</mn><mi>n</mi></msup></math><br/></span></p>
<p class="MsoNormal">= (1 + 2)n = 3n.</p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0in;">b) Ta có:</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mn>1</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mn>1</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>x</mi><msup><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msubsup><msup><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup></math></div>
<div><br/><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>x</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>.</mo></math><br/>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0in;"><a name="_Hlk100711445"></a><span style="mso-fareast-">Cho x = –1, ta được:</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0in;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msubsup><mtext>C</mtext><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>0</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup><msubsup><mtext>+C</mtext><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>1</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mtext>C</mtext><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msubsup><mtext>C</mtext><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msubsup><mtext>C</mtext><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msubsup></math></p>
<span style="mso-bookmark: _Hlk100711445;"></span>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0in;"><span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mtext>C</mtext><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>0</mn></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mtext>C</mtext><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>1</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mtext>C</mtext><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></msubsup><mo>−</mo><mo>…</mo><mo>−</mo><msubsup><mtext>C</mtext><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mtext>C</mtext><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msubsup></math><br/></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0in;"> </p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><msubsup><mtext>C</mtext><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>0</mn></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mtext>C</mtext><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>1</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mtext>C</mtext><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></msubsup><mo>−</mo><mo>…</mo><mo>−</mo><msubsup><mtext>C</mtext><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mtext>C</mtext><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>0</mn></math><br/><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>0</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>2</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>4</mn></msubsup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>1</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>3</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mn>5</mn></msubsup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>.</mo></math></div>
|
Free Form | Lớp 10 | Trong một trò chơi domino, các quân domino được xếp theo thứ tự từ quân đầu tiên đến quân cuối cùng. Biết rằng xảy ra hai điều sau:
1) Quân domino đầu tiên đồ;
2) Nếu quân thứ k đồ thì quân thứ k + 1 đổ.
Có thể kết luận rằng tất cả các quân domino đều đổ không? Hãy giải thích. | **Hướng dẫn giải**
Có thể kết luận rằng tất cả các quân domino đều đổ. Vì: quân domino đầu tiên đổ thì sử dụng 2) ta có quân domino thứ 2 cũng đổ, quân domino thứ 2 đổ thì lại tiếp tục sử dụng 2) suy ra quân domino thứ 3 cũng đổ,...cứ như vậy quân domino cuối cùng cũng đổ. Do đó tất cả các quân domino đều đổ. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890369 | ### Câu hỏi:
Trong một trò chơi domino, các quân domino được xếp theo thứ tự từ quân đầu tiên đến quân cuối cùng. Biết rằng xảy ra hai điều sau:
1) Quân domino đầu tiên đồ;
2) Nếu quân thứ k đồ thì quân thứ k + 1 đổ.
Có thể kết luận rằng tất cả các quân domino đều đổ không? Hãy giải thích.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
Có thể kết luận rằng tất cả các quân domino đều đổ. Vì: quân domino đầu tiên đổ thì sử dụng 2) ta có quân domino thứ 2 cũng đổ, quân domino thứ 2 đổ thì lại tiếp tục sử dụng 2) suy ra quân domino thứ 3 cũng đổ,...cứ như vậy quân domino cuối cùng cũng đổ. Do đó tất cả các quân domino đều đổ.
|
Free Form | Lớp 10 | Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 3$: $2n + 1 > n^2 + n + 2$. | **Hướng dẫn giải**
Bước 1. Với $n = 3$, ta có $23 + 1 = 16 > 14 = 3^2 + 3 + 2$. Do đó bất đẳng thức đúng với $n = 3$.
Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k \ge 3$, nghĩa là có: $2k + 1 > k^2 + k + 2$.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với $n = k + 1$, nghĩa là cần chứng minh:
$2(k +1) + 1 > (k + 1)^2 + (k + 1) + 2$.
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý $k \ge 3$, ta có:
$2(k +1) + 1 = 2 . 2k + 1 > 2(k^2 + k + 2) = 2k^2 + 2k + 4 = k^2 + k^2 + 2k + 4 > k^2 + k + 2k + 4$
$= (k^2 + 2k + 1) + (k + 1) + 2 = (k + 1)^2 + (k + 1) + 2$.
Vậy bất đẳng thức đúng với $n = k + 1$.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 3$. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890406 | ### Câu hỏi:
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 3$: $2n + 1 > n^2 + n + 2$.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
Bước 1. Với $n = 3$, ta có $23 + 1 = 16 > 14 = 3^2 + 3 + 2$. Do đó bất đẳng thức đúng với $n = 3$.
Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k \ge 3$, nghĩa là có: $2k + 1 > k^2 + k + 2$.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với $n = k + 1$, nghĩa là cần chứng minh:
$2(k +1) + 1 > (k + 1)^2 + (k + 1) + 2$.
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý $k \ge 3$, ta có:
$2(k +1) + 1 = 2 . 2k + 1 > 2(k^2 + k + 2) = 2k^2 + 2k + 4 = k^2 + k^2 + 2k + 4 > k^2 + k + 2k + 4$
$= (k^2 + 2k + 1) + (k + 1) + 2 = (k + 1)^2 + (k + 1) + 2$.
Vậy bất đẳng thức đúng với $n = k + 1$.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 3$.
|
Free Form | Lớp 10 | Chứng minh rằng n<sup>3</sup> + 2n chia hết cho 3 với mọi $ n\in {\mathbb{N}}^{*}$. | **Hướng dẫn giải**
Bước 1. Với n = 1, ta có 13 + 2 . 1 = 3 ⁝ 3. Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: k3 + 2k ⁝ 3.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
(k + 1)<sup>3</sup> + 2(k + 1) ⁝ 3.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
(k + 1)<sup>3</sup> + 2(k + 1) = k<sup>3</sup> + 3k<sup>2</sup> + 3k + 1 + 2k + 2 = (k<sup>3</sup> + 2k) + (3k<sup>2</sup> + 3k + 3)
Vì (k<sup>3</sup> + 2k) và (3k<sup>2</sup> + 3k + 3) đều chia hết cho 3 nên (k<sup>3</sup> + 2k) + (3k<sup>2</sup> + 3k + 3) ⁝ 3 hay (k + 1)3 + 2(k + 1) ⁝ 3.
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890407 | ### Câu hỏi:
Chứng minh rằng n<sup>3</sup> + 2n chia hết cho 3 với mọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>∈</mo><msup><mi>ℕ</mi><mo>*</mo></msup></math>.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
Bước 1. Với n = 1, ta có 13 + 2 . 1 = 3 ⁝ 3. Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: k3 + 2k ⁝ 3.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
(k + 1)<sup>3</sup> + 2(k + 1) ⁝ 3.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
(k + 1)<sup>3</sup> + 2(k + 1) = k<sup>3</sup> + 3k<sup>2</sup> + 3k + 1 + 2k + 2 = (k<sup>3</sup> + 2k) + (3k<sup>2</sup> + 3k + 3)
Vì (k<sup>3</sup> + 2k) và (3k<sup>2</sup> + 3k + 3) đều chia hết cho 3 nên (k<sup>3</sup> + 2k) + (3k<sup>2</sup> + 3k + 3) ⁝ 3 hay (k + 1)3 + 2(k + 1) ⁝ 3.
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
|
Free Form | Lớp 10 | Chứng minh rằng đẳng thức sau đây đúng với mọi $n\in\mathbb{N}^*$:
$$1+q+q^2+q^3+q^4+\ldots+q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}\quad (q\neq 1).$$ | **Hướng dẫn giải**
Bước 1. Với n = 1, ta có $q^1-1=q^0=1=\frac{1-q}{1-q}=\frac{1-q^1}{1-q}$. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:
$$1+q+q^2+q^3+q^4+\ldots+q^{k-1}=\frac{1-q^k}{1-q}.$$
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
$$1+q+q^2+q^3+q^4+\ldots+q^{k-1}+q^{(k+1)-1}=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}.$$
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
\begin{align*}
1+q+q^2+q^3+q^4+\ldots+q^{k-1}+q^{(k+1)-1} &= \frac{1-q^k}{1-q}+q^{(k+1)-1} \\
&= \frac{1-q^k}{1-q}+q^k \\
&= \frac{1-q^k+q^k(1-q)}{1-q} \\
&= \frac{1-q^k+q^k-q^{k+1}}{1-q} \\
&= \frac{1-q^{k+1}}{1-q}.
\end{align*}
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890410 | ### Câu hỏi:
Chứng minh rằng đẳng thức sau đây đúng với mọi $n\in\mathbb{N}^*$:
$$1+q+q^2+q^3+q^4+\ldots+q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}\quad (q\neq 1).$$
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
Bước 1. Với n = 1, ta có $q^1-1=q^0=1=\frac{1-q}{1-q}=\frac{1-q^1}{1-q}$. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:
$$1+q+q^2+q^3+q^4+\ldots+q^{k-1}=\frac{1-q^k}{1-q}.$$
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
$$1+q+q^2+q^3+q^4+\ldots+q^{k-1}+q^{(k+1)-1}=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}.$$
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
\begin{align*}
1+q+q^2+q^3+q^4+\ldots+q^{k-1}+q^{(k+1)-1} &= \frac{1-q^k}{1-q}+q^{(k+1)-1} \\
&= \frac{1-q^k}{1-q}+q^k \\
&= \frac{1-q^k+q^k(1-q)}{1-q} \\
&= \frac{1-q^k+q^k-q^{k+1}}{1-q} \\
&= \frac{1-q^{k+1}}{1-q}.
\end{align*}
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
|
Free Form | Lớp 10 | Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng khác nhau cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần $(n\in\mathbb{N}^*)$. | **Hướng dẫn giải**
Bước 1. Với n = 1, ta có rõ ràng một đường thẳng chia mặt phẳng thành 2 phần.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: k đường thẳng khác nhau đi qua một điểm chia mặt phẳng ra thành 2k phần.
Ta cần chứng minh khẳng định đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: (k + 1) đường thẳng khác nhau đi qua một điểm chia mặt phẳng ra thành 2(k + 1) phần.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
Nếu dựng đường thẳng đi qua điểm đã cho và không trùng với đường thẳng nào trong số những đường thẳng còn lại, thì ta nhận thêm 2 phần của mặt phẳng. Như vậy tổng số phần mặt phẳng là của 2k cộng thêm 2 , nghĩa là 2(k + 1).
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890411 | ### Câu hỏi:
Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng khác nhau cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần $(n\in\mathbb{N}^*)$.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
Bước 1. Với n = 1, ta có rõ ràng một đường thẳng chia mặt phẳng thành 2 phần.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: k đường thẳng khác nhau đi qua một điểm chia mặt phẳng ra thành 2k phần.
Ta cần chứng minh khẳng định đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: (k + 1) đường thẳng khác nhau đi qua một điểm chia mặt phẳng ra thành 2(k + 1) phần.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
Nếu dựng đường thẳng đi qua điểm đã cho và không trùng với đường thẳng nào trong số những đường thẳng còn lại, thì ta nhận thêm 2 phần của mặt phẳng. Như vậy tổng số phần mặt phẳng là của 2k cộng thêm 2 , nghĩa là 2(k + 1).
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
|
Free Form | Lớp 10 | <p class="MsoNormal"><span>(Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn nếu không rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp). Giả sử lãi suất theo kì là r không đổi qua các kì hạn, người gửi không rút tiền vốn và lãi trong suốt các kì hạn đề cập sau đây. Gọi T</span><sub><span>n</span></sub><span> là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau kì hạn thứ $ n(n\in {\mathbb{N}}^{*})$</span><span>.</span></p>
<p class="MsoNormal"><span>a) Tính T</span><sub><span>1</span></sub><span>, T</span><sub><span>2</span></sub><span>, T</span><sub><span>3</span></sub><span>.</span></p>
<p class="MsoNormal"><span>b) Từ đó, dự đoán công thức tính T</span><sub><span>n</span></sub><span> và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.</span></p> | <p class="MsoNormal"><strong><span>Hướng dẫn giải</span></strong><span></span></p>
<p class="MsoBodyText"><span>a) </span></p>
<p class="MsoBodyText"><span>– </span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">1</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> nhận được sau kì thứ 1 là: </span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">1</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> = A + Ar = A(1 + r).</span></p>
<p class="MsoBodyText"><span>– </span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">2</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> nhận được sau kì thứ 2 là: </span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">2</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> = A(1 + r) + A(1 + r)r = A(1 + r)(1 + r) = A(1 + r)2.</span></p>
<p class="MsoBodyText"><span>– </span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">3</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> nhận được sau kì thứ 3 là: </span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">3</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> = A(1 + r)2 + A(1 + r)2r = A(1 + r)3.</span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">b) Từ câu a) ta có thể dự đoán T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">n</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> = A(1 + r)n.</span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Ta chứng minh bằng quy nạp toán học.</span><span></span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Bước 1. Với n = 1 ta có T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">1</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> = A(1 + r) = A(1 + r)1.<span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span><span></span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.</span><span></span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là ta có: T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">k</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> = A(1 + r)k.</span><span></span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:</span><span> </span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">k + 1</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> = A(1 + r)k + 1.</span><span></span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Thật vậy,</span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">k + 1</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> nhận được sau kì thứ (k + 1) là: </span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">k + 1</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> = A(1 + r)k + A(1 + r)k.r = A(1 + r)k(1 + r) = A(1 + r)k + 1.</span></p>
<p class="MsoBodyText"><span>Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.</span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"></span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n </span><span>≥</span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> 1.</span><span> </span></p>
<p class="MsoBodyText"><span>Vậy </span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">n</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> = A(1 + r)n với mọi số tự nhiên n </span><span>≥</span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> 1.</span><span></span></p> | https://khoahoc.vietjack.com/question/890412 | ### Câu hỏi:
<p class="MsoNormal"><span>(Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn nếu không rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp). Giả sử lãi suất theo kì là r không đổi qua các kì hạn, người gửi không rút tiền vốn và lãi trong suốt các kì hạn đề cập sau đây. Gọi T</span><sub><span>n</span></sub><span> là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau kì hạn thứ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>∈</mo><msup><mi>ℕ</mi><mo>*</mo></msup><mo>)</mo></mrow></math></span><span>.</span></p>
<p class="MsoNormal"><span>a) Tính T</span><sub><span>1</span></sub><span>, T</span><sub><span>2</span></sub><span>, T</span><sub><span>3</span></sub><span>.</span></p>
<p class="MsoNormal"><span>b) Từ đó, dự đoán công thức tính T</span><sub><span>n</span></sub><span> và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.</span></p>
### Lời giải:
<p class="MsoNormal"><strong><span>Hướng dẫn giải</span></strong><span></span></p>
<p class="MsoBodyText"><span>a) </span></p>
<p class="MsoBodyText"><span>– </span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">1</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> nhận được sau kì thứ 1 là: </span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">1</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> = A + Ar = A(1 + r).</span></p>
<p class="MsoBodyText"><span>– </span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">2</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> nhận được sau kì thứ 2 là: </span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">2</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> = A(1 + r) + A(1 + r)r = A(1 + r)(1 + r) = A(1 + r)2.</span></p>
<p class="MsoBodyText"><span>– </span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">3</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> nhận được sau kì thứ 3 là: </span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">3</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> = A(1 + r)2 + A(1 + r)2r = A(1 + r)3.</span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">b) Từ câu a) ta có thể dự đoán T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">n</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> = A(1 + r)n.</span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Ta chứng minh bằng quy nạp toán học.</span><span></span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Bước 1. Với n = 1 ta có T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">1</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> = A(1 + r) = A(1 + r)1.<span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span><span></span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.</span><span></span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là ta có: T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">k</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> = A(1 + r)k.</span><span></span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:</span><span> </span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">k + 1</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> = A(1 + r)k + 1.</span><span></span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Thật vậy,</span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">k + 1</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> nhận được sau kì thứ (k + 1) là: </span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">k + 1</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> = A(1 + r)k + A(1 + r)k.r = A(1 + r)k(1 + r) = A(1 + r)k + 1.</span></p>
<p class="MsoBodyText"><span>Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.</span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"></span></p>
<p class="MsoBodyText"><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n </span><span>≥</span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> 1.</span><span> </span></p>
<p class="MsoBodyText"><span>Vậy </span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">T</span><sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">n</span></sub><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> = A(1 + r)n với mọi số tự nhiên n </span><span>≥</span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> 1.</span><span></span></p>
|
Free Form | Lớp 10 | a) Nêu nhận xét về vị trí bốn đỉnh của elip (E) với bốn cạnh của hình chữ nhật cơ sở.
b) Cho điểm M(x; y) thuộc elip (E). Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của x và của y. | a) Bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở.
b) Nếu điểm M(x; y) thuộc (E) thì $ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1.$<span style="mso-bidi- mso-bidi-"><span style="position: relative; top: 14.0pt; mso-text-raise: -14.0pt;"></span></span>
+) Vì $ \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}\ge 0$<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>nên $ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}\le 1\Rightarrow {x}^{2}\le {a}^{2}\Rightarrow $<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>–a ≤ x ≤ a.
Do đó:
Giá trị nhỏ nhất của x là –a khi x = –a, y = 0.
Giá trị lớn nhất của x là a khi x = a, y = 0.
+) Vì $ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}\ge 0$<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>nên $ \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}\le 1\Rightarrow {y}^{2}\le {b}^{2}\Rightarrow $<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>– b ≤ y ≤ b.
Do đó:
Giá trị nhỏ nhất của y là –b khi x = 0, y = –b.
Giá trị lớn nhất của y là b khi x = 0, y = b. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890420 | ### Câu hỏi:
a) Nêu nhận xét về vị trí bốn đỉnh của elip (E) với bốn cạnh của hình chữ nhật cơ sở.
b) Cho điểm M(x; y) thuộc elip (E). Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của x và của y.
### Lời giải:
a) Bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở.
b) Nếu điểm M(x; y) thuộc (E) thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>=</mo><mn>1.</mn></math><span style="mso-bidi- mso-bidi-"><span style="position: relative; top: 14.0pt; mso-text-raise: -14.0pt;"></span></span>
+) Vì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>≥</mo><mn>0</mn></math><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>≤</mo><mn>1</mn><mo>⇒</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>≤</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>⇒</mo></math><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>–a ≤ x ≤ a.
Do đó:
Giá trị nhỏ nhất của x là –a khi x = –a, y = 0.
Giá trị lớn nhất của x là a khi x = a, y = 0.
+) Vì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>≥</mo><mn>0</mn></math><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>≤</mo><mn>1</mn><mo>⇒</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>≤</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>⇒</mo></math><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>– b ≤ y ≤ b.
Do đó:
Giá trị nhỏ nhất của y là –b khi x = 0, y = –b.
Giá trị lớn nhất của y là b khi x = 0, y = b.
|
Free Form | Lớp 10 | Viết phương trình chính tắc của elip, biết A<sub>1</sub>(– 4; 0) và B<sub>2</sub>(0; 2) là hai đỉnh của nó. | Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > b > 0).
Elip đã cho có hai đỉnh là A<sub>1</sub>(– 4; 0) và B<sub>2</sub>(0; 2) nên a = 4, b = 2 hoặc a = 2, b = 4.
Mà a > b nên a = 4, b = 2.
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ hay $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1.$ | https://khoahoc.vietjack.com/question/890422 | ### Câu hỏi:
Viết phương trình chính tắc của elip, biết A<sub>1</sub>(– 4; 0) và B<sub>2</sub>(0; 2) là hai đỉnh của nó.
### Lời giải:
Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > b > 0).
Elip đã cho có hai đỉnh là A<sub>1</sub>(– 4; 0) và B<sub>2</sub>(0; 2) nên a = 4, b = 2 hoặc a = 2, b = 4.
Mà a > b nên a = 4, b = 2.
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ hay $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1.$
|
Free Form | Lớp 10 | Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng $\frac{3}{5}$. | Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > b > 0).
Theo đề bài elip có tiêu cự bằng 12 => 2c = 12 => c = 6.
Elip có tâm sai bằng $\frac{3}{5} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{6}{a} = \frac{3}{5} \Rightarrow$a = 10 $\Rightarrow b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8.$
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{10^2} + \frac{y^2}{8^2} = 1$ hay $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1.$ | https://khoahoc.vietjack.com/question/890426 | ### Câu hỏi:
Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng $\frac{3}{5}$.
### Lời giải:
Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > b > 0).
Theo đề bài elip có tiêu cự bằng 12 => 2c = 12 => c = 6.
Elip có tâm sai bằng $\frac{3}{5} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{6}{a} = \frac{3}{5} \Rightarrow$a = 10 $\Rightarrow b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8.$
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{10^2} + \frac{y^2}{8^2} = 1$ hay $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1.$
|
Free Form | Lớp 10 | Sử dụng đẳng thức c) ở trên và đẳng thức MF<sub>1</sub> + MF<sub>2</sub> = 2a, chứng minh:
a) MF<sub>1</sub> – MF<sub>2</sub> = $\frac{2c}{a}$x;
b) MF<sub>1</sub> = a + $\frac{c}{a}$x;
c) MF<sub>2</sub> = a – $\frac{c}{a}$x. | a) MF<sub>1</sub><sup>2</sup> – MF<sub>2</sub><sup>2</sup> = 4cx $\Rightarrow$ (MF<sub>1</sub> + MF<sub>2</sub>)(MF<sub>1</sub> – MF<sub>2</sub>) = 4cx $\Rightarrow$ 2a(MF<sub>1</sub> – MF<sub>2</sub>) = 4cx
$\Rightarrow$ MF<sub>1</sub> – MF<sub>2</sub> = $\frac{4cx}{2a}$ = $\frac{2c}{a}$.
b) Từ MF<sub>1</sub> + MF<sub>2</sub> = 2a và $MF_1 - MF_2 = \frac{2c}{a}x$ ta suy ra:
(MF<sub>1</sub> + MF<sub>2</sub>) + (MF<sub>1</sub> – MF<sub>2</sub>) = 2a + $\frac{2c}{a}x$ 2MF<sub>1</sub> = 2a + $\frac{2c}{a}x$ MF<sub>1</sub> = a + $\frac{c}{a}$x.
c) Từ MF<sub>1</sub> + MF<sub>2</sub> = 2a và $MF_1 - MF_2 = \frac{2c}{a}x$ ta suy ra:
(MF<sub>1</sub> + MF<sub>2</sub>) – (MF<sub>1</sub> – MF<sub>2</sub>) = 2a – $\frac{2c}{a}x$ $\Rightarrow$ 2MF<sub>2</sub> = 2a – $\frac{2c}{a}x$ $\Rightarrow$ MF<sub>2</sub> = a – $\frac{c}{a}$x. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890459 | ### Câu hỏi:
Sử dụng đẳng thức c) ở trên và đẳng thức MF<sub>1</sub> + MF<sub>2</sub> = 2a, chứng minh:
a) MF<sub>1</sub> – MF<sub>2</sub> = $\frac{2c}{a}$x;
b) MF<sub>1</sub> = a + $\frac{c}{a}$x;
c) MF<sub>2</sub> = a – $\frac{c}{a}$x.
### Lời giải:
a) MF<sub>1</sub><sup>2</sup> – MF<sub>2</sub><sup>2</sup> = 4cx $\Rightarrow$ (MF<sub>1</sub> + MF<sub>2</sub>)(MF<sub>1</sub> – MF<sub>2</sub>) = 4cx $\Rightarrow$ 2a(MF<sub>1</sub> – MF<sub>2</sub>) = 4cx
$\Rightarrow$ MF<sub>1</sub> – MF<sub>2</sub> = $\frac{4cx}{2a}$ = $\frac{2c}{a}$.
b) Từ MF<sub>1</sub> + MF<sub>2</sub> = 2a và $MF_1 - MF_2 = \frac{2c}{a}x$ ta suy ra:
(MF<sub>1</sub> + MF<sub>2</sub>) + (MF<sub>1</sub> – MF<sub>2</sub>) = 2a + $\frac{2c}{a}x$ 2MF<sub>1</sub> = 2a + $\frac{2c}{a}x$ MF<sub>1</sub> = a + $\frac{c}{a}$x.
c) Từ MF<sub>1</sub> + MF<sub>2</sub> = 2a và $MF_1 - MF_2 = \frac{2c}{a}x$ ta suy ra:
(MF<sub>1</sub> + MF<sub>2</sub>) – (MF<sub>1</sub> – MF<sub>2</sub>) = 2a – $\frac{2c}{a}x$ $\Rightarrow$ 2MF<sub>2</sub> = 2a – $\frac{2c}{a}x$ $\Rightarrow$ MF<sub>2</sub> = a – $\frac{c}{a}$x.
|
Free Form | Lớp 10 | Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in\mathbb{N}^*$:
a) $1.2+2.3+3.4+\ldots+n.(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$;
b) $1+4+9+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$;
c) $1+2+2^2+2^3+2^4+\ldots+2^{n-1}=2^n-1$. | **Hướng dẫn giải**
a) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(1 + 1) = 2 = $\frac{1(1+1)(1+2)}{3}$.
Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:$1.2+2.3+3.4+\ldots+k.(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:$1.2+2.3+3.4+\ldots+k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]=\frac{(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]}{3}$.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
$ 1.2+2.3+3.4+\dots +k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]$<br/>
$ =\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)$<br/>
$ =\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+\frac{3(k+1)(k+2)}{3}$<br/>
$ =\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$<br/>
$ =\frac{(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]}{3}.$<br/>
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
b) Bước 1. Với n = 1, ta có 12 = 1 = $\frac{1(1+1)(2.1+2)}{6}$.
Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:
$ 1+4+9+\dots +{k}^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.$<br/>
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:$ 1+4+9+\dots +{k}^{2}+{(k+1)}^{2}=\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}.$<span style="position: relative; top: 14.0pt; mso-text-raise: -14.0pt;"></span></p>
<p class="MsoNormal">Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:</p>
$ 1+4+9+\dots +{k}^{2}+{(k+1)}^{2}$<br/>
$ =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+{(k+1)}^{2}$<br/>
$ =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{6{(k+1)}^{2}}{6}$<br/>
$ =\frac{k+1}{6}[k(2k+1)+6(k+1)]$<br/>
$ =\frac{k+1}{6}[2{k}^{2}+7k+6]$<br/>
$ =\frac{k+1}{6}(k+2)(2k+3)$<br/>
$ =\frac{k+1}{6}[(k+1)+1][2(k+1)+1]$<br/>
<div> </div>
$ =\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}.$<br/>
<p class="MsoBodyText" style="margin-bottom: 6.0pt; text-align: justify; "><span style="mso-bidi- mso-bidi-">Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.</span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"></span></p>
<p class="MsoBodyText" style="margin-bottom: 6.0pt; text-align: justify; "><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n </span><span style="mso-bidi- mso-bidi-">≥</span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> 1.</span><span style="mso-bidi- mso-bidi-"></span></p>
c) Bước 1. Với n = 1, ta có 21 – 1 = 20 = 1 = 21 – 1.
Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:
$ 1+2+{2}^{2}+{2}^{3}+{2}^{4}+\dots +{2}^{k-1}={2}^{k}-1.$<br/>
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
$ 1+2+{2}^{2}+{2}^{3}+{2}^{4}+\dots +{2}^{k-1}+{2}^{(k+1)-1}={2}^{k+1}-1.$<br/>
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
$ 1+2+{2}^{2}+{2}^{3}+{2}^{4}+\dots +{2}^{k-1}+{2}^{(k+1)-1}$<br/>
$ =({2}^{k}-1)+{2}^{(k+1)-1}$<br/>
$ ={2}^{k}-1+{2}^{k}$<br/>
$ ={2.2}^{k}-1$<br/>
$ ={2}^{k+1}-1.$<br/>
<p class="MsoBodyText" style="margin-bottom: 6.0pt; text-align: justify; "><span style="mso-bidi- mso-bidi-">Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.</span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"></span></p>
<p class="MsoBodyText" style="margin-bottom: 6.0pt; text-align: justify; "><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n </span><span style="mso-bidi- mso-bidi-">≥</span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> 1.</span><span style="mso-bidi- mso-bidi-"></span></p> | https://khoahoc.vietjack.com/question/890461 | ### Câu hỏi:
Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in\mathbb{N}^*$:
a) $1.2+2.3+3.4+\ldots+n.(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$;
b) $1+4+9+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$;
c) $1+2+2^2+2^3+2^4+\ldots+2^{n-1}=2^n-1$.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
a) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(1 + 1) = 2 = $\frac{1(1+1)(1+2)}{3}$.
Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:$1.2+2.3+3.4+\ldots+k.(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:$1.2+2.3+3.4+\ldots+k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]=\frac{(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]}{3}$.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1.2</mn><mo>+</mo><mn>2.3</mn><mo>+</mo><mn>3.4</mn><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>.</mo><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>[</mo><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></mrow></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>k</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>k</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>3</mn></mfrac></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfrac><mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>3</mn></mfrac></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></mrow><mrow><mo>[</mo><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>]</mo></mrow></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo></math><br/>
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
b) Bước 1. Với n = 1, ta có 12 = 1 = $\frac{1(1+1)(2.1+2)}{6}$.
Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><mo>+</mo><mn>9</mn><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msup><mi>k</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>k</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>6</mn></mfrac><mo>.</mo></math><br/>
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><mo>+</mo><mn>9</mn><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msup><mi>k</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></mrow><mrow><mo>[</mo><mn>2</mn><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></mrow></mrow><mn>6</mn></mfrac><mo>.</mo></math><span style="position: relative; top: 14.0pt; mso-text-raise: -14.0pt;"></span></p>
<p class="MsoNormal">Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:</p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><mo>+</mo><mn>9</mn><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msup><mi>k</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>k</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>6</mn></mfrac><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>k</mi><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>6</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>6</mn><msup><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup></mrow><mn>6</mn></mfrac></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>6</mn></mfrac><mrow><mo>[</mo><mi>k</mi><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>6</mn><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>]</mo></mrow></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>6</mn></mfrac><mrow><mo>[</mo><mn>2</mn><msup><mi>k</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>7</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>6</mn><mo>]</mo></mrow></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>6</mn></mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>6</mn></mfrac><mrow><mo>[</mo><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></mrow><mrow><mo>[</mo><mn>2</mn><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></mrow></math><br/>
<div> </div>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></mrow><mrow><mo>[</mo><mn>2</mn><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></mrow></mrow><mn>6</mn></mfrac><mo>.</mo></math><br/>
<p class="MsoBodyText" style="margin-bottom: 6.0pt; text-align: justify; "><span style="mso-bidi- mso-bidi-">Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.</span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"></span></p>
<p class="MsoBodyText" style="margin-bottom: 6.0pt; text-align: justify; "><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n </span><span style="mso-bidi- mso-bidi-">≥</span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> 1.</span><span style="mso-bidi- mso-bidi-"></span></p>
c) Bước 1. Với n = 1, ta có 21 – 1 = 20 = 1 = 21 – 1.
Do đó đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup><mo>−</mo><mn>1.</mn></math><br/>
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1.</mn></math><br/>
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msup><mn>2.2</mn><mi>k</mi></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1.</mn></math><br/>
<p class="MsoBodyText" style="margin-bottom: 6.0pt; text-align: justify; "><span style="mso-bidi- mso-bidi-">Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.</span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"></span></p>
<p class="MsoBodyText" style="margin-bottom: 6.0pt; text-align: justify; "><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;">Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n </span><span style="mso-bidi- mso-bidi-">≥</span><span style="mso-bidi- mso-bidi- color: black; mso-fareast-language: VI; mso-bidi-language: VI;"> 1.</span><span style="mso-bidi- mso-bidi-"></span></p>
|
Free Form | Lớp 10 | Chứng minh rằng, với mọi $n\in\mathbb{N}^*$, ta có:
a) $5^{2n} - 1$ chia hết cho 24;
b) $n^3 + 5n$ chia hết cho 6. | **Hướng dẫn giải**
a) Bước 1. Với n = 1, ta có $5^{2.1} - 1 = 24 \vdots 24$. Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $5^{2k} - 1$ ⁝ 24.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
$5^{2(k + 1)} - 1$ ⁝ 24.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
$5^{2(k + 1)} - 1 = 5^{2k + 2} - 1 = 25 . 5^{2k} - 1 = 24 . 5^{2k} + (5^{2k} - 1)$
Vì $24 . 5^{2k}$ và $(5^{2k} - 1)$ đều chia hết cho 24 nên $24 . 5^{2k} + (5^{2k} - 1)$ ⁝ 24 hay $5^{2(k + 1)} - 1$ ⁝ 24.
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
b) Bước 1. Với n = 1, ta có $1^3 + 5 . 1 = 6 \vdots 6$. Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $k^3 + 5k$ ⁝ 6.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
$(k + 1)^3 + 5(k + 1)$ ⁝ 6.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
$(k + 1)^3 + 5(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 5k + 5 = (k^3 + 5k) + (3k^2 + 3k) + 6$
= $(k^3 + 5k) + 3k(k + 1) + 6$.
Vì k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, do đó 3k(k + 1) ⁝ 6.
Do đó $(k^3 + 5k)$ và 3k(k + 1) đều chia hết cho 6, suy ra $(k^3 + 5k) + 3k(k + 1) + 6$ ⁝ 6 hay $(k + 1)^3 + 5(k + 1)$ ⁝ 6.
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890462 | ### Câu hỏi:
Chứng minh rằng, với mọi $n\in\mathbb{N}^*$, ta có:
a) $5^{2n} - 1$ chia hết cho 24;
b) $n^3 + 5n$ chia hết cho 6.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
a) Bước 1. Với n = 1, ta có $5^{2.1} - 1 = 24 \vdots 24$. Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $5^{2k} - 1$ ⁝ 24.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
$5^{2(k + 1)} - 1$ ⁝ 24.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
$5^{2(k + 1)} - 1 = 5^{2k + 2} - 1 = 25 . 5^{2k} - 1 = 24 . 5^{2k} + (5^{2k} - 1)$
Vì $24 . 5^{2k}$ và $(5^{2k} - 1)$ đều chia hết cho 24 nên $24 . 5^{2k} + (5^{2k} - 1)$ ⁝ 24 hay $5^{2(k + 1)} - 1$ ⁝ 24.
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
b) Bước 1. Với n = 1, ta có $1^3 + 5 . 1 = 6 \vdots 6$. Do đó khẳng định đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $k^3 + 5k$ ⁝ 6.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
$(k + 1)^3 + 5(k + 1)$ ⁝ 6.
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
$(k + 1)^3 + 5(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 5k + 5 = (k^3 + 5k) + (3k^2 + 3k) + 6$
= $(k^3 + 5k) + 3k(k + 1) + 6$.
Vì k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, do đó 3k(k + 1) ⁝ 6.
Do đó $(k^3 + 5k)$ và 3k(k + 1) đều chia hết cho 6, suy ra $(k^3 + 5k) + 3k(k + 1) + 6$ ⁝ 6 hay $(k + 1)^3 + 5(k + 1)$ ⁝ 6.
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
|
Free Form | Lớp 10 | Cho elip (E): $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ với tiêu điểm $F_2(\sqrt{5}; 0)$. Tìm toạ độ điểm $M \in (E)$ sao cho độ dài $F_2M$ nhỏ nhất. | Có $a^2 = 9$, suy ra $a = 3$.
Gọi toạ độ của $M$ là $(x; y)$.
Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có $F_2M = 3 – \frac{\sqrt{5}}{3}x$.
Mặt khác, vì $M$ thuộc $(E)$ nên $x \le 3 \Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{3}x \le \frac{\sqrt{5}}{3}3 \Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{3}x \le \sqrt{5} \Rightarrow -\frac{\sqrt{5}}{3}x \ge -\sqrt{5}$
$\Rightarrow F_2M = 3 – x \ge 3 – \sqrt{5}.$
Đẳng thức xảy ra khi $x = 3$.
Vậy độ dài $F_2M$ nhỏ nhất khi $M$ có hoành độ bằng 3, tức là $M$ trùng với đỉnh $(3; 0)$ của elip. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890464 | ### Câu hỏi:
Cho elip (E): $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ với tiêu điểm $F_2(\sqrt{5}; 0)$. Tìm toạ độ điểm $M \in (E)$ sao cho độ dài $F_2M$ nhỏ nhất.
### Lời giải:
Có $a^2 = 9$, suy ra $a = 3$.
Gọi toạ độ của $M$ là $(x; y)$.
Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có $F_2M = 3 – \frac{\sqrt{5}}{3}x$.
Mặt khác, vì $M$ thuộc $(E)$ nên $x \le 3 \Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{3}x \le \frac{\sqrt{5}}{3}3 \Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{3}x \le \sqrt{5} \Rightarrow -\frac{\sqrt{5}}{3}x \ge -\sqrt{5}$
$\Rightarrow F_2M = 3 – x \ge 3 – \sqrt{5}.$
Đẳng thức xảy ra khi $x = 3$.
Vậy độ dài $F_2M$ nhỏ nhất khi $M$ có hoành độ bằng 3, tức là $M$ trùng với đỉnh $(3; 0)$ của elip.
|
Free Form | Lớp 10 | Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)n ≥ 1 + nx với mọi $ n\in {\mathbb{N}}^{*}$. | **Hướng dẫn giải**
Bước 1. Với n = 1 ta có (1 + x)1 = 1 + x = 1 + 1.x. Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: (1 + x)k ≥ 1+ kx.
Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: (1 + x)k + 1 ≥ 1+ (k + 1)x.
Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:
(1 + x)k + 1
= (1 + x)(1 + x)k ≥ (1 + x)(1+ kx) = 1 + x + kx + kx2 > 1 + x + kx = 1+ (k + 1)x.
Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890465 | ### Câu hỏi:
Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)n ≥ 1 + nx với mọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>∈</mo><msup><mi>ℕ</mi><mo>*</mo></msup></math>.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
Bước 1. Với n = 1 ta có (1 + x)1 = 1 + x = 1 + 1.x. Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: (1 + x)k ≥ 1+ kx.
Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: (1 + x)k + 1 ≥ 1+ (k + 1)x.
Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:
(1 + x)k + 1
= (1 + x)(1 + x)k ≥ (1 + x)(1+ kx) = 1 + x + kx + kx2 > 1 + x + kx = 1+ (k + 1)x.
Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
|
Free Form | Lớp 10 | Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi $ n\in \mathbb{N}*$:
$ \frac{{a}^{n}+{b}^{n}}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{n}\text{.}$ | **Hướng dẫn giải**
Bước 1. Với n = 1, ta có $ \frac{{a}^{1}+{b}^{1}}{2}=\frac{a+b}{2}={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{1}\text{.}$ Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $ \frac{{a}^{k}+{b}^{k}}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{k}\text{.}$
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
$ \frac{{a}^{k+1}+{b}^{k+1}}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{k+1}\text{.}$<br/>
Ta có:
Vì (ak – bk) và (a – b) cùng dấu nên (ak – bk)(a – b) ≥ 0 với mọi k ≥ 1,
suy ra ak + 1 + bk + 1 ≥ akb + abk
<span style="mso-spacerun: yes;">=> </span>(ak + 1 + bk + 1) + (ak + 1 + bk + 1) ≥ (akb + abk) + (ak + 1 + bk + 1) = (a + b)(ak + bk)
<span style="mso-spacerun: yes;">=> </span>2(ak + 1 + bk + 1) ≥ (a + b)(ak + bk)
$ \Rightarrow \frac{{a}^{k+1}+{b}^{k+1}}{2}\ge \frac{(a+b)}{2}.\frac{({a}^{k}+{b}^{k})}{2}$<br/>
$ \Rightarrow \frac{{a}^{k+1}+{b}^{k+1}}{2}\ge \frac{a+b}{2}.\frac{{a}^{k}+{b}^{k}}{2}\ge \frac{a+b}{2}.{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{k}={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{k+1}\text{.}$<br/>
Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890469 | ### Câu hỏi:
Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>∈</mo><mi>ℕ</mi><mo>*</mo></math>:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mi>n</mi></msup></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>≥</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mi>n</mi></msup><mtext>. </mtext></math>
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
Bước 1. Với n = 1, ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mn>1</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>1</mn></msup></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></msup><mtext>. </mtext></math> Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>≥</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mi>k</mi></msup><mtext>. </mtext></math>
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>≥</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mtext>. </mtext></math><br/>
Ta có:
Vì (ak – bk) và (a – b) cùng dấu nên (ak – bk)(a – b) ≥ 0 với mọi k ≥ 1,
suy ra ak + 1 + bk + 1 ≥ akb + abk
<span style="mso-spacerun: yes;">=> </span>(ak + 1 + bk + 1) + (ak + 1 + bk + 1) ≥ (akb + abk) + (ak + 1 + bk + 1) = (a + b)(ak + bk)
<span style="mso-spacerun: yes;">=> </span>2(ak + 1 + bk + 1) ≥ (a + b)(ak + bk)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>≥</mo><mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mo>(</mo><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></mfrac></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>≥</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>≥</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mi>k</mi></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mtext>. </mtext></math><br/>
Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
|
Free Form | Lớp 10 | Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 2$:
$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > \frac{2n}{n+1}.$$ | **Hướng dẫn giải**
Bước 1. Với $n = 2$, ta có $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > \frac{4}{3} = \frac{2.2}{2+1}.$ Do đó bất đẳng thức đúng với $n = 2$.
Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k \ge 2$, nghĩa là có:
$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} > \frac{2k}{k+1}.$$
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với $n = k + 1$, nghĩa là cần chứng minh:
$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} > \frac{2(k+1)}{(k+1)+1}.$$
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
\begin{align*}
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} &> \frac{2k}{k+1} + \frac{1}{k+1} \\
&= \frac{2k+1}{k+1} \\
&= \frac{(2k+1)(k+2)}{(k+1)(k+2)} \\
&= \frac{2k^2 + 5k + 2}{(k+1)(k+2)} \\
&> \frac{2k^2 + 4k + 2}{(k+1)(k+2)} \\
&= \frac{2(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} \\
&= \frac{2(k+1)}{k+2} \\
&= \frac{2(k+1)}{(k+1)+1}.
\end{align*}
Vậy bất đẳng thức đúng với $n = k + 1$.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 2$. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890470 | ### Câu hỏi:
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 2$:
$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > \frac{2n}{n+1}.$$
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
Bước 1. Với $n = 2$, ta có $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > \frac{4}{3} = \frac{2.2}{2+1}.$ Do đó bất đẳng thức đúng với $n = 2$.
Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k \ge 2$, nghĩa là có:
$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} > \frac{2k}{k+1}.$$
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với $n = k + 1$, nghĩa là cần chứng minh:
$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} > \frac{2(k+1)}{(k+1)+1}.$$
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
\begin{align*}
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} &> \frac{2k}{k+1} + \frac{1}{k+1} \\
&= \frac{2k+1}{k+1} \\
&= \frac{(2k+1)(k+2)}{(k+1)(k+2)} \\
&= \frac{2k^2 + 5k + 2}{(k+1)(k+2)} \\
&> \frac{2k^2 + 4k + 2}{(k+1)(k+2)} \\
&= \frac{2(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} \\
&= \frac{2(k+1)}{k+2} \\
&= \frac{2(k+1)}{(k+1)+1}.
\end{align*}
Vậy bất đẳng thức đúng với $n = k + 1$.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 2$.
|
Free Form | Lớp 10 | Viết phương trình chính tắc của elip, biết tiêu điểm $F_2(5; 0)$ và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là $x = \frac{36}{5}$. | Elip có một tiêu điểm là $F_2(5; 0)$ nên $c = 5$.
Theo đề bài ta có, đường chuẩn ứng với tiêu điểm $F_2(5; 0)$ là $x = \frac{36}{5}$.
Suy ra $\frac{a}{e} = \frac{36}{5} \Rightarrow \frac{a}{\frac{c}{a}} = \frac{36}{5} \Rightarrow \frac{a^2}{c} = \frac{36}{5} \Rightarrow \frac{a^2}{5} = \frac{36}{5} \Rightarrow a^2 = 36$.
Suy ra $b^2 = a^2 – c^2 = 36 – 5^2 = 36 – 25 = 11$.
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1$. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890500 | ### Câu hỏi:
Viết phương trình chính tắc của elip, biết tiêu điểm $F_2(5; 0)$ và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là $x = \frac{36}{5}$.
### Lời giải:
Elip có một tiêu điểm là $F_2(5; 0)$ nên $c = 5$.
Theo đề bài ta có, đường chuẩn ứng với tiêu điểm $F_2(5; 0)$ là $x = \frac{36}{5}$.
Suy ra $\frac{a}{e} = \frac{36}{5} \Rightarrow \frac{a}{\frac{c}{a}} = \frac{36}{5} \Rightarrow \frac{a^2}{c} = \frac{36}{5} \Rightarrow \frac{a^2}{5} = \frac{36}{5} \Rightarrow a^2 = 36$.
Suy ra $b^2 = a^2 – c^2 = 36 – 5^2 = 36 – 25 = 11$.
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1$.
|
Free Form | Lớp 10 | Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hằng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn của tháng kế tiếp). Gọi T<sub>n</sub> (n ≥ 1) là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ n + 1.
a) Tính T<sub>1</sub>, T<sub>2</sub>, T<sub>3</sub>.
b) Dự đoán công thức tính T<sub>n</sub> và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học | **Hướng dẫn giải**
a)
– T<sub>1</sub> là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 2:
T<sub>1</sub> = (a + ar) + a = a(1 + r) + a = a[(1 + r) + 1].
– T<sub>2</sub> là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 3:
T<sub>2</sub> = T<sub>1</sub> + T<sub>1</sub> . r + a
= a[(1 + r) + 1] + a[(1 + r) + 1]r + a
= a[(1 + r) + 1](1 + r) + a
= a(1 + r)2 + a(1 + r) + a
= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1].
– T<sub>3</sub> là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 4:
T<sub>3</sub> = T<sub>2</sub> + T<sub>2</sub> . r + a
= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1] + a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1]r + a
= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1](1 + r) + a
= a(1 + r)3 + a(1 + r)2 + a(1 + r) + a
= a[(1 + r)3 + (1 + r)2 + (1 + r) + 1].
b) Từ câu a) ta có thể dự đoán:
T<sub>n</sub> = a[(1 + r)n + ... + (1 + r)2 + (1 + r) + 1]
$ =a.\frac{1-{(1+r)}^{n+1}}{1-(1+r)}=a.\frac{1-{(1+r)}^{n+1}}{-r}=a.\frac{{(1+r)}^{n+1}-1}{r}.$<br/>
Ta chứng minh bằng quy nạp toán học.
Bước 1. Với n = 1 ta có:
T<sub>1</sub> = a[(1 + r) + 1]
<span style="mso-spacerun: yes;">$ =a.\frac{{r}^{2}+2r}{r}=a.\frac{({r}^{2}+2r+1)-1}{r}=a.\frac{{(1+r)}^{2}-1}{r}=a.\frac{{(1+r)}^{1+1}-1}{r}.$ </span><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>
Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là ta có: T<sub>k</sub> = $ a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}.$
Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: T<sub>k + 1</sub> = $ a.\frac{{(1+r)}^{(k+1)+1}-1}{r}.$
Thật vậy,
T<sub>k + 1</sub> = T<sub>k</sub> + T<sub>k</sub> . r + a
<span style="position: relative; top: 13.0pt; mso-text-raise: -13.0pt;">$ =a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}+a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}.r+a$<br/></span>
<span style="position: relative; top: 21.0pt; mso-text-raise: -21.0pt;">$ =a[\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}+\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}.r+1]$<br/></span>
<span style="position: relative; top: 26.0pt; mso-text-raise: -26.0pt;">$ =a[\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}+\frac{[{(1+r)}^{k+1}-1]r}{r}+\frac{r}{r}]$<br/></span>
$ =a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1+[{(1+r)}^{k+1}-1]r+r}{r}$
<span style="position: relative; top: 13.0pt; mso-text-raise: -13.0pt;">$ =a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1+r{(1+r)}^{k+1}-r+r}{r}$<br/></span>
<span style="position: relative; top: 13.0pt; mso-text-raise: -13.0pt;">$ =a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1+r{(1+r)}^{k+1}}{r}$<br/></span>
<span style="position: relative; top: 13.0pt; mso-text-raise: -13.0pt;">$ =a.\frac{(1+r){(1+r)}^{k+1}-1}{r}$<br/></span>
<span style="position: relative; top: 13.0pt; mso-text-raise: -13.0pt;">$ =a.\frac{{(1+r)}^{k+2}-1}{r}$<br/></span>
<div> </div>
<div>$ =a.\frac{{(1+r)}^{(k+1)+2}-1}{r}.$<br/>
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Vậy T<sub>n</sub> = $ a.\frac{{(1+r)}^{n+1}-1}{r}$<span style="mso-spacerun: yes;"> </span> với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
</div> | https://khoahoc.vietjack.com/question/890531 | ### Câu hỏi:
Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hằng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn của tháng kế tiếp). Gọi T<sub>n</sub> (n ≥ 1) là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ n + 1.
a) Tính T<sub>1</sub>, T<sub>2</sub>, T<sub>3</sub>.
b) Dự đoán công thức tính T<sub>n</sub> và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
a)
– T<sub>1</sub> là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 2:
T<sub>1</sub> = (a + ar) + a = a(1 + r) + a = a[(1 + r) + 1].
– T<sub>2</sub> là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 3:
T<sub>2</sub> = T<sub>1</sub> + T<sub>1</sub> . r + a
= a[(1 + r) + 1] + a[(1 + r) + 1]r + a
= a[(1 + r) + 1](1 + r) + a
= a(1 + r)2 + a(1 + r) + a
= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1].
– T<sub>3</sub> là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 4:
T<sub>3</sub> = T<sub>2</sub> + T<sub>2</sub> . r + a
= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1] + a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1]r + a
= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1](1 + r) + a
= a(1 + r)3 + a(1 + r)2 + a(1 + r) + a
= a[(1 + r)3 + (1 + r)2 + (1 + r) + 1].
b) Từ câu a) ta có thể dự đoán:
T<sub>n</sub> = a[(1 + r)n + ... + (1 + r)2 + (1 + r) + 1]
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mo>−</mo><mi>r</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>r</mi></mfrac><mo>.</mo></math><br/>
Ta chứng minh bằng quy nạp toán học.
Bước 1. Với n = 1 ta có:
T<sub>1</sub> = a[(1 + r) + 1]
<span style="mso-spacerun: yes;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>r</mi></mrow><mi>r</mi></mfrac><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><mrow><mo>(</mo><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>r</mi></mfrac><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>r</mi></mfrac><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>r</mi></mfrac><mo>.</mo></math> </span><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>
Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là ta có: T<sub>k</sub> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>r</mi></mfrac><mo>.</mo></math>
Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: T<sub>k + 1</sub> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>r</mi></mfrac><mo>.</mo></math>
Thật vậy,
T<sub>k + 1</sub> = T<sub>k</sub> + T<sub>k</sub> . r + a
<span style="position: relative; top: 13.0pt; mso-text-raise: -13.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>r</mi></mfrac><mo>+</mo><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>r</mi></mfrac><mo>.</mo><mi>r</mi><mo>+</mo><mi>a</mi></math><br/></span>
<span style="position: relative; top: 21.0pt; mso-text-raise: -21.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>a</mi><mrow><mo>[</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>r</mi></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>r</mi></mfrac><mo>.</mo><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></mrow></math><br/></span>
<span style="position: relative; top: 26.0pt; mso-text-raise: -26.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>a</mi><mrow><mo>[</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>r</mi></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mrow><mo>[</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></mrow><mi>r</mi></mrow><mi>r</mi></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mi>r</mi><mi>r</mi></mfrac><mo>]</mo></mrow></math><br/></span>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mo>[</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mi>r</mi></mrow><mi>r</mi></mfrac></math>
<span style="position: relative; top: 13.0pt; mso-text-raise: -13.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>+</mo><mi>r</mi></mrow><mi>r</mi></mfrac></math><br/></span>
<span style="position: relative; top: 13.0pt; mso-text-raise: -13.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mi>r</mi></mfrac></math><br/></span>
<span style="position: relative; top: 13.0pt; mso-text-raise: -13.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>r</mi></mfrac></math><br/></span>
<span style="position: relative; top: 13.0pt; mso-text-raise: -13.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>r</mi></mfrac></math><br/></span>
<div> </div>
<div><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>r</mi></mfrac><mo>.</mo></math><br/>
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Vậy T<sub>n</sub> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>r</mi></mfrac></math><span style="mso-spacerun: yes;"> </span> với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
</div>
|
Free Form | Lớp 10 | Hãy khai triển:
a) $(x - y)^6$;
b) $(1 + x)^7$. | Hướng dẫn giải
a) $(x - y)^6$
$= C_6^0x^6 + C_6^1x^5(-y) + C_6^2x^4(-y)^2 + C_6^3x^3(-y)^3$
$+ C_6^4x^2(-y)^4 + C_6^5x(-y)^5 + C_6^6(-y)^6$
$= x^6 - C_6^1x^5y + C_6^2x^4y^2 - C_6^3x^3y^3 + C_6^4x^2y^4 - C_6^5xy^5 + y^6$
$= x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6.$
b) $(1 + x)^7$
$= C_7^01^7 + C_7^11^6x + C_7^21^5x^2 + C_7^31^4x^3$
$+ C_7^41^3x^4 + C_7^51^2x^5 + C_7^61x^6 + C_7^7x^7$
= 1 + 7x + 21x2 + 35x3 + 35x4 + 21x5 + 7x6 + x7. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890563 | ### Câu hỏi:
Hãy khai triển:
a) $(x - y)^6$;
b) $(1 + x)^7$.
### Lời giải:
Hướng dẫn giải
a) $(x - y)^6$
$= C_6^0x^6 + C_6^1x^5(-y) + C_6^2x^4(-y)^2 + C_6^3x^3(-y)^3$
$+ C_6^4x^2(-y)^4 + C_6^5x(-y)^5 + C_6^6(-y)^6$
$= x^6 - C_6^1x^5y + C_6^2x^4y^2 - C_6^3x^3y^3 + C_6^4x^2y^4 - C_6^5xy^5 + y^6$
$= x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6.$
b) $(1 + x)^7$
$= C_7^01^7 + C_7^11^6x + C_7^21^5x^2 + C_7^31^4x^3$
$+ C_7^41^3x^4 + C_7^51^2x^5 + C_7^61x^6 + C_7^7x^7$
= 1 + 7x + 21x2 + 35x3 + 35x4 + 21x5 + 7x6 + x7.
|
Free Form | Lớp 10 | Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:
a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là F<sub>1</sub>(–2; 0);
b) Tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng $\frac{3}{5}$;
c) Tâm sai bằng $\frac{\sqrt{5}}{3}$ và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20. | a) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > b > 0).
Theo đề bài ta có:
– Độ dài trục lớn bằng 6, suy ra 2a = 6, suy ra a = 3, suy ra a<sup>2</sup> = 9.
– Elip có một tiêu điểm là F<sub>1</sub>(– 2; 0), suy ra c = 2, suy ra b<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> – c<sup>2</sup> = 3<sup>2</sup> – 2<sup>2</sup> = 5.
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$.
b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > b > 0).
Theo đề bài ta có:
– Elip có tiêu cự bằng 12, suy ra 2c = 12, suy ra c = 6, suy ra c<sup>2</sup> = 36.
– Elip có tâm sai bằng $\frac{3}{5}$ suy ra $\frac{c}{a} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{6}{a} = \frac{3}{5} \Rightarrow a = 10$
$\Rightarrow b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8.$
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
c) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > b > 0).
Theo đề bài ta có:
– Elip có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{5}}{3}$, suy ra $\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3} \Rightarrow \frac{c^2}{a^2} = \frac{5}{9} \Rightarrow \frac{a^2 - b^2}{a^2} = \frac{5}{9} \Rightarrow 1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{5}{9}$
$\Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{2}{3} \Rightarrow b = \frac{2}{3}a \text{ }(1).$
– Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip bằng 20 $\Rightarrow 2(2a + 2b) = 20 \Rightarrow a + b = 5 \text{ }(2).$
Thế (1) vào (2) ta được $\frac{2}{3}a + a = 5 \Rightarrow \frac{5}{3}a = 5 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow b = \frac{2}{3}a = \frac{2}{3} \text{ }.\text{ } 3 = 2.$
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ hay $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890564 | ### Câu hỏi:
Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:
a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là F<sub>1</sub>(–2; 0);
b) Tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng $\frac{3}{5}$;
c) Tâm sai bằng $\frac{\sqrt{5}}{3}$ và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20.
### Lời giải:
a) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > b > 0).
Theo đề bài ta có:
– Độ dài trục lớn bằng 6, suy ra 2a = 6, suy ra a = 3, suy ra a<sup>2</sup> = 9.
– Elip có một tiêu điểm là F<sub>1</sub>(– 2; 0), suy ra c = 2, suy ra b<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> – c<sup>2</sup> = 3<sup>2</sup> – 2<sup>2</sup> = 5.
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$.
b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > b > 0).
Theo đề bài ta có:
– Elip có tiêu cự bằng 12, suy ra 2c = 12, suy ra c = 6, suy ra c<sup>2</sup> = 36.
– Elip có tâm sai bằng $\frac{3}{5}$ suy ra $\frac{c}{a} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{6}{a} = \frac{3}{5} \Rightarrow a = 10$
$\Rightarrow b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8.$
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
c) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > b > 0).
Theo đề bài ta có:
– Elip có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{5}}{3}$, suy ra $\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3} \Rightarrow \frac{c^2}{a^2} = \frac{5}{9} \Rightarrow \frac{a^2 - b^2}{a^2} = \frac{5}{9} \Rightarrow 1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{5}{9}$
$\Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{2}{3} \Rightarrow b = \frac{2}{3}a \text{ }(1).$
– Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip bằng 20 $\Rightarrow 2(2a + 2b) = 20 \Rightarrow a + b = 5 \text{ }(2).$
Thế (1) vào (2) ta được $\frac{2}{3}a + a = 5 \Rightarrow \frac{5}{3}a = 5 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow b = \frac{2}{3}a = \frac{2}{3} \text{ }.\text{ } 3 = 2.$
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ hay $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$.
|
Free Form | Lớp 10 | Sử dụng tam giác Pascal, hãy khai triển:
a) $(2x + 1)^6$
b) $(x - y)^7$ | Hướng dẫn giải
a) $(2x + 1)^6$
$= (2x)^6 + 6(2x)^5 1 + 15(2x)^4 1^2 + 20(2x)^3 1^3 + 15(2x)^2 1^4 + 6(2x) 1^5 + 1^6$
$= 64x^6 + 192x^5 + 240x^4 + 160x^3 + 60x^2 + 12x + 1.$
b) $(x - y)^7$
$= x^7 + 7x^6(-y) + 21x^5 (-y)^2 + 35x^4 (-y)^3 + 35x^3 (-y)^4 + 21x^2 (-y)^5 + 7x (-y)^6 + (-y)^7$ | https://khoahoc.vietjack.com/question/890567 | ### Câu hỏi:
Sử dụng tam giác Pascal, hãy khai triển:
a) $(2x + 1)^6$
b) $(x - y)^7$
### Lời giải:
Hướng dẫn giải
a) $(2x + 1)^6$
$= (2x)^6 + 6(2x)^5 1 + 15(2x)^4 1^2 + 20(2x)^3 1^3 + 15(2x)^2 1^4 + 6(2x) 1^5 + 1^6$
$= 64x^6 + 192x^5 + 240x^4 + 160x^3 + 60x^2 + 12x + 1.$
b) $(x - y)^7$
$= x^7 + 7x^6(-y) + 21x^5 (-y)^2 + 35x^4 (-y)^3 + 35x^3 (-y)^4 + 21x^2 (-y)^5 + 7x (-y)^6 + (-y)^7$
|
Free Form | Lớp 10 | $ {(3x+2)}^{9}$. | **Hướng dẫn giải**
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
<div>$ {(3x+2)}^{9}$ =</div>
<p class="MsoNormal">$ {C}_{9}^{0}{\left(3x\right)}^{9}+{C}_{9}^{1}{\left(3x\right)}^{8}2+\mathrm{...}+{C}_{9}^{k}{\left(3x\right)}^{9-k}{2}^{k}+\mathrm{...}+{C}_{9}^{9}{2}^{9}.$</p>
Số hạng chứa $ {x}^{2}$ ứng với giá trị k = 7. Hệ số của số hạng này là $ {C}_{9}^{7}{3}^{2}{2}^{7}=41472.$ | https://khoahoc.vietjack.com/question/890569 | ### Câu hỏi:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow><mn>9</mn></msup></math>.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
<div><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow><mn>9</mn></msup></math> =</div>
<p class="MsoNormal"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>9</mn><mn>0</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>9</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>9</mn><mn>1</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>8</mn></msup><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>9</mn><mi>k</mi></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>9</mn><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup><msup><mn>2</mn><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>9</mn><mn>9</mn></msubsup><msup><mn>2</mn><mn>9</mn></msup><mo>.</mo></math></p>
Số hạng chứa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></math> ứng với giá trị k = 7. Hệ số của số hạng này là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>9</mn><mn>7</mn></msubsup><msup><mn>3</mn><mn>2</mn></msup><msup><mn>2</mn><mn>7</mn></msup><mo>=</mo><mn>41472.</mn></math>
|
Free Form | Lớp 10 | Biết rằng trong khai triển $(x + a)^6$ với a là một số thực, hệ số của $x^4$ là 60. Tìm giá trị của a. | Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
$(x + a)^6$ = $C_6^0x^6 + C_6^1x^5a + ... + C_6^kx^{6-k}a^k + ... + C_6^6a^6.$
Số hạng chứa $x^4$ ứng với giá trị k = 2. Hệ số của số hạng này là $C_6^2a^2 = 15a^2.$
Theo giả thiết, ta có $15a^2$ = 60, suy ra a = 2 hoặc a = –2.
Vậy a = 2 hoặc a = –2. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890570 | ### Câu hỏi:
Biết rằng trong khai triển $(x + a)^6$ với a là một số thực, hệ số của $x^4$ là 60. Tìm giá trị của a.
### Lời giải:
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
$(x + a)^6$ = $C_6^0x^6 + C_6^1x^5a + ... + C_6^kx^{6-k}a^k + ... + C_6^6a^6.$
Số hạng chứa $x^4$ ứng với giá trị k = 2. Hệ số của số hạng này là $C_6^2a^2 = 15a^2.$
Theo giả thiết, ta có $15a^2$ = 60, suy ra a = 2 hoặc a = –2.
Vậy a = 2 hoặc a = –2.
|
Free Form | Lớp 10 | $ {C}_{n}^{0}-{C}_{n}^{1}+{C}_{n}^{2}-{C}_{n}^{3}+\dots +{(-1)}^{n}{C}_{n}^{n}=0.$ | <p><strong>Hướng dẫn giải</strong></p>
<p>$ {(1+x)}^{n}$ $ ={C}_{n}^{0}{1}^{n}+{C}_{n}^{1}{1}^{n-1}x+{C}_{n}^{2}{1}^{n-2}{x}^{2}+{C}_{n}^{3}{1}^{n-3}{x}^{3}+\dots +{C}_{n}^{n}{x}^{n}$</p>
<p>$ ={C}_{n}^{0}+{C}_{n}^{1}x+{C}_{n}^{2}{x}^{2}+{C}_{n}^{3}{x}^{3}+\dots +{C}_{n}^{n}{x}^{n}.$<br/></p>
<p>Thay x = –1 ta được:</p>
<p>$ {(1–1)}^{n}$ $ ={C}_{n}^{0}+{C}_{n}^{1}(-1)+{C}_{n}^{2}{(-1)}^{2}+{C}_{n}^{3}{(-1)}^{3}+\dots +{C}_{n}^{n}{(-1)}^{n}$</p>
<p>$ ={C}_{n}^{0}-{C}_{n}^{1}+{C}_{n}^{2}-{C}_{n}^{3}+\dots +{(-1)}^{n}{C}_{n}^{n}$<br/></p>
$ \Rightarrow {C}_{n}^{0}-{C}_{n}^{1}+{C}_{n}^{2}-{C}_{n}^{3}+\dots +{(-1)}^{n}{C}_{n}^{n}=0.$ | https://khoahoc.vietjack.com/question/890572 | ### Câu hỏi:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>3</mn></msubsup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mi>n</mi></msup><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><mo>=</mo><mn>0.</mn></math>
### Lời giải:
<p><strong>Hướng dẫn giải</strong></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mi>n</mi></msup></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mn>1</mn><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mn>1</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>x</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><msup><mn>1</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>3</mn></msubsup><msup><mn>1</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></msup><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><msup><mi>x</mi><mi>n</mi></msup></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><mi>x</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>3</mn></msubsup><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><msup><mi>x</mi><mi>n</mi></msup><mo>.</mo></math><br/></p>
<p>Thay x = –1 ta được:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>–</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mi>n</mi></msup></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>3</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mi>n</mi></msup></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>3</mn></msubsup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mi>n</mi></msup><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup></math><br/></p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>3</mn></msubsup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mi>n</mi></msup><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><mo>=</mo><mn>0.</mn></math>
|
Free Form | Lớp 10 | Trong hộp A có 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Người ta lấy một số quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B. Có tất cả bao nhiêu cách lấy, tính cả trường hợp lấy không quả (tức không lấy quả nào)? | **Hướng dẫn giải**
Số cách lấy k quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B là $C_{10}^k$ với 0 ≤ k ≤ 10.
Như vậy có tất cả $C_{10}^0+C_{10}^1+C_{10}^2+...+C_{10}^9+C_{10}^{10}$ cách.
Lại có $C_{10}^0+C_{10}^1+C_{10}^2+...+C_{10}^9+C_{10}^{10}=2^{10}=1024$
nên có tổng cộng 1024 cách lấy. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890573 | ### Câu hỏi:
Trong hộp A có 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Người ta lấy một số quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B. Có tất cả bao nhiêu cách lấy, tính cả trường hợp lấy không quả (tức không lấy quả nào)?
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
Số cách lấy k quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B là $C_{10}^k$ với 0 ≤ k ≤ 10.
Như vậy có tất cả $C_{10}^0+C_{10}^1+C_{10}^2+...+C_{10}^9+C_{10}^{10}$ cách.
Lại có $C_{10}^0+C_{10}^1+C_{10}^2+...+C_{10}^9+C_{10}^{10}=2^{10}=1024$
nên có tổng cộng 1024 cách lấy.
|
Free Form | Lớp 10 | $ {(x–2y)}^{6}$
<p>
$ {(3x–1)}^{5}$
</p> | <p>
$ ={x}^{6}+6{x}^{5}(-2y)+15{x}^{4}{(-2y)}^{2}+20{x}^{3}{(-2y)}^{3}+15{x}^{2}{(-2y)}^{4}+6x{(-2y)}^{5}+{(-2y)}^{6}$<br/>
$ ={x}^{6}-12{x}^{5}y+60{x}^{4}{y}^{2}-160{x}^{3}{y}^{3}+240{x}^{2}{y}^{4}-12x{y}^{5}+64{y}^{6}.$<br/>
<p>
$ ={\left(3x\right)}^{5}+5{\left(3x\right)}^{4}(-1)+10{\left(3x\right)}^{3}{(-1)}^{2}+10{\left(3x\right)}^{2}{(-1)}^{3}+5\left(3x\right){(-1)}^{4}+{(-1)}^{5}$<br/>
$ =243{x}^{5}-405{x}^{4}+270{x}^{3}-90{x}^{2}+15x-1.$
</p> | https://khoahoc.vietjack.com/question/890575 | ### Câu hỏi:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>–</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mn>6</mn></msup></math>
<p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>–</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>5</mn></msup></math>
</p>
### Lời giải:
<p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mn>6</mn></msup><mo>+</mo><mn>6</mn><msup><mi>x</mi><mn>5</mn></msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>15</mn><msup><mi>x</mi><mn>4</mn></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>20</mn><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>15</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><mn>6</mn><mi>x</mi><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mn>6</mn></msup></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mn>6</mn></msup><mo>−</mo><mn>12</mn><msup><mi>x</mi><mn>5</mn></msup><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>60</mn><msup><mi>x</mi><mn>4</mn></msup><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>160</mn><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><msup><mi>y</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>240</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>y</mi><mn>4</mn></msup><mo>−</mo><mn>12</mn><mi>x</mi><msup><mi>y</mi><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><mn>64</mn><msup><mi>y</mi><mn>6</mn></msup><mo>.</mo></math><br/>
<p>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><mn>5</mn><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>4</mn></msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>10</mn><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>10</mn><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>5</mn><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>5</mn></msup></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mn>243</mn><msup><mi>x</mi><mn>5</mn></msup><mo>−</mo><mn>405</mn><msup><mi>x</mi><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><mn>270</mn><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>−</mo><mn>90</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>15</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>1.</mn></math>
</p>
|
Free Form | Lớp 10 | Tìm hệ số của $x^{10}$ trong khai triển của biểu thức $(2 – x)^{12}$. | Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
$$(2 – x)^{12} = \sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k} 2^{12-k} (-x)^k = \sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k} 2^{12-k} (-1)^k x^k.$$
Số hạng chứa $x^{10}$ ứng với giá trị $k = 10$. Hệ số của số hạng này là $\binom{12}{10} 2^{12-10} (-1)^{10} = 264.$ | https://khoahoc.vietjack.com/question/890576 | ### Câu hỏi:
Tìm hệ số của $x^{10}$ trong khai triển của biểu thức $(2 – x)^{12}$.
### Lời giải:
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
$$(2 – x)^{12} = \sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k} 2^{12-k} (-x)^k = \sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k} 2^{12-k} (-1)^k x^k.$$
Số hạng chứa $x^{10}$ ứng với giá trị $k = 10$. Hệ số của số hạng này là $\binom{12}{10} 2^{12-10} (-1)^{10} = 264.$
|
Free Form | Lớp 10 | Biết rằng a là một số thực khác 0 và trong khai triển của $(ax + 1)^6$, hệ số của $x^4$ gấp bốn lần hệ số của $x^2$. Tìm giá trị của a. | Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
$$(ax + 1)^6 = \binom{6}{0}(ax)^6 + \binom{6}{1}(ax)^5 1 + ... + \binom{6}{k}(ax)^{6-k} 1^k + ... + \binom{6}{6} 1^6$$
$$= \binom{6}{0}a^6x^6 + \binom{6}{1}a^5x^5 + ... + \binom{6}{k}a^{6-k}x^{6-k} + ... + 1.$$
Số hạng chứa $x^4$ ứng với giá trị $k = 2$. Hệ số của số hạng này là $\binom{6}{2}a^{6-2} = 15a^4$;
Số hạng chứa $x^2$ ứng với giá trị $k = 4$. Hệ số của số hạng này là $\binom{6}{4}a^{6-4} = 15a^2$.
Theo giả thiết, ta có $15a^4 = 4 . 15a^2$, suy ra $a = 2$ hoặc $a = -2$.
Vậy $a = 2$ hoặc $a = -2$. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890577 | ### Câu hỏi:
Biết rằng a là một số thực khác 0 và trong khai triển của $(ax + 1)^6$, hệ số của $x^4$ gấp bốn lần hệ số của $x^2$. Tìm giá trị của a.
### Lời giải:
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
$$(ax + 1)^6 = \binom{6}{0}(ax)^6 + \binom{6}{1}(ax)^5 1 + ... + \binom{6}{k}(ax)^{6-k} 1^k + ... + \binom{6}{6} 1^6$$
$$= \binom{6}{0}a^6x^6 + \binom{6}{1}a^5x^5 + ... + \binom{6}{k}a^{6-k}x^{6-k} + ... + 1.$$
Số hạng chứa $x^4$ ứng với giá trị $k = 2$. Hệ số của số hạng này là $\binom{6}{2}a^{6-2} = 15a^4$;
Số hạng chứa $x^2$ ứng với giá trị $k = 4$. Hệ số của số hạng này là $\binom{6}{4}a^{6-4} = 15a^2$.
Theo giả thiết, ta có $15a^4 = 4 . 15a^2$, suy ra $a = 2$ hoặc $a = -2$.
Vậy $a = 2$ hoặc $a = -2$.
|
Free Form | Lớp 10 | Biết rằng hệ số của $x^2$ trong khai triển của $(1 + 3x)^n$ là 90. Tìm giá trị của $n$. | Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
$$(1 + 3x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 1^{n-k} (3x)^k = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 3^k x^k.$$
Số hạng chứa $x^2$ ứng với giá trị $k = 2$. Hệ số của số hạng này là $\binom{n}{2} 3^2 = \frac{9n(n-1)}{2}$.
Theo giả thiết, ta có $\frac{9n(n-1)}{2} = 90 \Rightarrow n(n-1) = 20 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 5 \quad (TM) \\ n = -4 \quad (L) \end{array} \right.$.
Vậy $n = 5$. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890578 | ### Câu hỏi:
Biết rằng hệ số của $x^2$ trong khai triển của $(1 + 3x)^n$ là 90. Tìm giá trị của $n$.
### Lời giải:
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
$$(1 + 3x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 1^{n-k} (3x)^k = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 3^k x^k.$$
Số hạng chứa $x^2$ ứng với giá trị $k = 2$. Hệ số của số hạng này là $\binom{n}{2} 3^2 = \frac{9n(n-1)}{2}$.
Theo giả thiết, ta có $\frac{9n(n-1)}{2} = 90 \Rightarrow n(n-1) = 20 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 5 \quad (TM) \\ n = -4 \quad (L) \end{array} \right.$.
Vậy $n = 5$.
|
Free Form | Lớp 10 | Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:
a) Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé;
b) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục bé bằng tiêu cự. | a) Gọi độ dài bán trục lớn và bán trục bé lần lượt là a và b, ta có a = 2b.
Suy ra c = $\sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\sqrt{3}a}{2}$.
Vậy tâm sai của elip là $e = \frac{c}{a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
b) Giả sử elip có một đỉnh trên trục lớn là A(a; 0) (a > 0) và một đỉnh trên trục bé là B(0; b) (b > 0).
Khi đó theo đề bài ta có AB = 2c = 2 $\sqrt{a^2 - b^2}$.
$\begin{aligned}
\Rightarrow \sqrt{(0 - a)^2 + (b - 0)^2} &= 2\sqrt{a^2 - b^2} \Rightarrow a^2 + b^2 = 4(a^2 - b^2) \\
\Rightarrow 3a^2 &= 5b^2 \Rightarrow b^2 = \frac{3}{5}a^2 \Rightarrow c^2 = a^2 - \frac{3}{5}a^2 = \frac{2}{5}a^2 \\
\Rightarrow \frac{c^2}{a^2} &= \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{c}{a} = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}.
\end{aligned}$
Vậy elip có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{10}}{5}$. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890583 | ### Câu hỏi:
Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:
a) Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé;
b) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục bé bằng tiêu cự.
### Lời giải:
a) Gọi độ dài bán trục lớn và bán trục bé lần lượt là a và b, ta có a = 2b.
Suy ra c = $\sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\sqrt{3}a}{2}$.
Vậy tâm sai của elip là $e = \frac{c}{a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
b) Giả sử elip có một đỉnh trên trục lớn là A(a; 0) (a > 0) và một đỉnh trên trục bé là B(0; b) (b > 0).
Khi đó theo đề bài ta có AB = 2c = 2 $\sqrt{a^2 - b^2}$.
$\begin{aligned}
\Rightarrow \sqrt{(0 - a)^2 + (b - 0)^2} &= 2\sqrt{a^2 - b^2} \Rightarrow a^2 + b^2 = 4(a^2 - b^2) \\
\Rightarrow 3a^2 &= 5b^2 \Rightarrow b^2 = \frac{3}{5}a^2 \Rightarrow c^2 = a^2 - \frac{3}{5}a^2 = \frac{2}{5}a^2 \\
\Rightarrow \frac{c^2}{a^2} &= \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{c}{a} = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}.
\end{aligned}$
Vậy elip có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{10}}{5}$.
|
Free Form | Lớp 10 | Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo là đường elip mà Mặt Trời là một tiêu điểm. Biết elip này có bán trục lớn $a \approx 149598261$ km và tâm sai $e \approx 0,017$. Tìm khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị). | Chọn hệ trục toạ độ sao cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm $F_1$ của elip. Khi đó, áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có, khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trời là:
$MF_1 = a + ex$ với $x$ là hoành độ của điểm biểu diễn Trái Đất và $-a \le x \le a$.
Do đó $a + e . (-a) \le MF_1 \le a + e . a$
hay $147055090 \le MF_1 \le 152141431$
Vậy khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời lần lượt là 147055090 km và 152141431 km. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890585 | ### Câu hỏi:
Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo là đường elip mà Mặt Trời là một tiêu điểm. Biết elip này có bán trục lớn $a \approx 149598261$ km và tâm sai $e \approx 0,017$. Tìm khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).
### Lời giải:
Chọn hệ trục toạ độ sao cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm $F_1$ của elip. Khi đó, áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có, khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trời là:
$MF_1 = a + ex$ với $x$ là hoành độ của điểm biểu diễn Trái Đất và $-a \le x \le a$.
Do đó $a + e . (-a) \le MF_1 \le a + e . a$
hay $147055090 \le MF_1 \le 152141431$
Vậy khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời lần lượt là 147055090 km và 152141431 km.
|
Free Form | Lớp 10 | Chứng minh công thức nhị thức Newton (công thức (1), trang 35 ) bằng phương pháp quy nạp toán học. | **Hướng dẫn giải**
+) Với n = 1, ta có: (a + b)1 = a + b = $ {C}_{1}^{0}{a}^{1}+{C}_{1}^{1}{b}^{1}.$
Vậy công thức đúng với n = 1.
+) Với k ≥ 1 là một số nguyên dương tuỳ ý mà công thức đúng đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:
$ {(a+b)}^{k+1}={C}_{k+1}^{0}{a}^{k+1}+{C}_{k+1}^{1}{a}^{(k+1)-1}b+\mathrm{...}+{C}_{k+1}^{(k+1)-1}a{b}^{(k+1)-1}+{C}_{k+1}^{k+1}{b}^{k+1}.$<br/>
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
$ {(a+b)}^{k}={C}_{k}^{0}{a}^{k}+{C}_{k}^{1}{a}^{k-1}b+\mathrm{...}+{C}_{k}^{k-1}a{b}^{k-1}+{C}_{k}^{k}{b}^{k}.$<br/>
Khi đó:
$ {(a+b)}^{k+1}=(a+b){(a+b)}^{k}$<br/>
$ =a{(a+b)}^{k}+b{(a+b)}^{k}$<br/>
$ =a({C}_{k}^{0}{a}^{k}+{C}_{k}^{1}{a}^{k-1}b+\mathrm{...}+{C}_{k}^{k-1}a{b}^{k-1}+{C}_{k}^{k}{b}^{k})$<br/>
$ +b({C}_{k}^{0}{a}^{k}+{C}_{k}^{1}{a}^{k-1}b+\mathrm{...}+{C}_{k}^{k-1}a{b}^{k-1}+{C}_{k}^{k}{b}^{k})$<br/>
$ =({C}_{k}^{0}{a}^{k+1}+{C}_{k}^{1}{a}^{k}b+{C}_{k}^{2}{a}^{k-1}{b}^{2}+\mathrm{...}+{C}_{k}^{k-1}{a}^{2}{b}^{k-1}+{C}_{k}^{k}a{b}^{k})$<br/>
$ +({C}_{k}^{0}{a}^{k}b+{C}_{k}^{1}{a}^{k-1}{b}^{2}+\mathrm{...}+{C}_{k}^{k-2}{a}^{2}{b}^{k-1}+{C}_{k}^{k-1}a{b}^{k}+{C}_{k}^{k}{b}^{k+1})$<br/>
$ ={C}_{k}^{0}{a}^{k+1}+({C}_{k}^{0}+{C}_{k}^{1}){a}^{k}b+({C}_{k}^{1}+{C}_{k}^{2}){a}^{k-1}{b}^{2}+\mathrm{...}$<br/>
$ +({C}_{k}^{k-2}+{C}_{k}^{k-1}){a}^{2}{b}^{k-1}+({C}_{k}^{k-1}+{C}_{k}^{k})a{b}^{k}+{C}_{k}^{k}{b}^{k+1}$<br/>
$ =1.{a}^{k+1}+{C}_{k+1}^{1}{a}^{k}b+{C}_{k+1}^{2}{a}^{k-1}{b}^{2}+\mathrm{...}+{C}_{k+1}^{k-1}{a}^{2}{b}^{k-1}+{C}_{k+1}^{k}a{b}^{k}+1.{b}^{k+1}$
(vì $ {C}_{k}^{i}+{C}_{k}^{i+1}={C}_{k+1}^{i+1}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\forall 0\le i\le k$, i $ \in $ ℕ, k$ \in $ ℕ*)
$ ={C}_{k+1}^{0}{a}^{k+1}+{C}_{k+1}^{1}{a}^{(k+1)-1}b+\mathrm{...}+{C}_{k+1}^{(k+1)-1}a{b}^{(k+1)-1}+{C}_{k+1}^{k+1}{b}^{k+1}.$<br/>
Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n $ \in $ ℕ*. | https://khoahoc.vietjack.com/question/890586 | ### Câu hỏi:
Chứng minh công thức nhị thức Newton (công thức (1), trang 35 ) bằng phương pháp quy nạp toán học.
### Lời giải:
**Hướng dẫn giải**
+) Với n = 1, ta có: (a + b)1 = a + b = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>1</mn><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mn>1</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>1</mn><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>b</mi><mn>1</mn></msup><mo>.</mo></math>
Vậy công thức đúng với n = 1.
+) Với k ≥ 1 là một số nguyên dương tuỳ ý mà công thức đúng đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>.</mo></math><br/>
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mi>k</mi></msup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup><mo>.</mo></math><br/>
Khi đó:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mi>k</mi></msup></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>a</mi><msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><mi>b</mi><msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mi>k</mi></msup></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup><mo>)</mo></mrow></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>+</mo><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup><mo>)</mo></mrow></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>k</mi></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup><mo>)</mo></mrow></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>0</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>1</mn></msubsup><mo>)</mo></mrow><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>1</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mn>2</mn></msubsup><mo>)</mo></mrow><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>k</mi></msubsup><mo>)</mo></mrow><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math><br/>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mn>1.</mn><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>k</mi></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup><mo>+</mo><mn>1.</mn><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math>
(vì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mi>i</mi></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mtext> </mtext><mo>∀</mo><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>i</mi><mo>≤</mo><mi>k</mi></math>, i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∈</mo></math> ℕ, k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∈</mo></math> ℕ*)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>.</mo></math><br/>
Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∈</mo></math> ℕ*.
|