Datasets:

tranthaihoa

/

Cleaned_Free_Form_pre-v1.0

like 0

Free Form

Lớp 10

Biết rằng $(3x – 1)^7 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + a_5x^5 + a_6x^6 + a_7x^7$. Hãy tính: a) $a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7$; b) $a_0 + a_2 + a_4 + a_6$.

Có $(3x – 1)^7$ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>0</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>7</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>1</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>6</mn></msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>2</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>5</mn></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>3</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>4</mn></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></msup<br/> + \msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>4</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>5</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>6</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>6</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>7</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>7</mn></msup<br/> = 2187x^7 – 5103x^6 + 5103x^5 – 2835x^4 + 945x^3 – 189x^2 + 21x – 1. a) $a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7$ = (–1) + 21 + (–189) + 945 + (–2835) + 5103 + (–5103) + 2187 = 128. b) $a_0 + a_2 + a_4 + a_6$ = (–1) + (–189) + (–2835) + (–5103) = –8128.

https://khoahoc.vietjack.com/question/890587

### Câu hỏi: Biết rằng $(3x – 1)^7 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + a_5x^5 + a_6x^6 + a_7x^7$. Hãy tính: a) $a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7$; b) $a_0 + a_2 + a_4 + a_6$. ### Lời giải: Có $(3x – 1)^7$ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>0</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>7</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>1</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>6</mn></msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>2</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>5</mn></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>3</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>4</mn></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></msup<br/> + \msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>4</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>5</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>6</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>6</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>7</mn><mn>7</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>7</mn></msup<br/> = 2187x^7 – 5103x^6 + 5103x^5 – 2835x^4 + 945x^3 – 189x^2 + 21x – 1. a) $a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7$ = (–1) + 21 + (–189) + 945 + (–2835) + 5103 + (–5103) + 2187 = 128. b) $a_0 + a_2 + a_4 + a_6$ = (–1) + (–189) + (–2835) + (–5103) = –8128.

Free Form

Lớp 10

Một tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả bao nhiêu tập hợp con?

**Hướng dẫn giải** Vì tập hợp đã cho có 12 phần tử nên số tập hợp con có k phần tử của nó là: $ {C}_{12}^{k}.$ Như vậy tổng số tập con của tập hợp này là: $ {C}_{12}^{0}+{C}_{12}^{1}+{C}_{12}^{2}+\mathrm{...}+{C}_{12}^{11}+{C}_{12}^{12}.$ Lại có $ {C}_{12}^{0}+{C}_{12}^{1}+{C}_{12}^{2}+\mathrm{...}+{C}_{12}^{11}+{C}_{12}^{12}={2}^{12}=4096.$ Vậy một tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả 4096 tập hợp con.

https://khoahoc.vietjack.com/question/890588

### Câu hỏi: Một tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả bao nhiêu tập hợp con? ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** Vì tập hợp đã cho có 12 phần tử nên số tập hợp con có k phần tử của nó là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mi>k</mi></msubsup><mo>.</mo></math> Như vậy tổng số tập con của tập hợp này là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>0</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>1</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>2</mn></msubsup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>11</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>12</mn></msubsup><mo>.</mo></math> Lại có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>0</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>1</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>2</mn></msubsup><mo>+</mo><mn>...</mn><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>11</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>12</mn><mn>12</mn></msubsup><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mn>12</mn></msup><mo>=</mo><mn>4096.</mn></math> Vậy một tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả 4096 tập hợp con.

Free Form

Lớp 10

Cho elip $(E):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$. Tìm toạ độ điểm $M\in (E)$ sao cho độ dài $F_2M$ lớn nhất, biết $F_2$ là một tiêu điểm có hoành độ dương của $(E)$.

Elip $(E)$ có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\Rightarrow$ $a^2 = 25$ và $b^2 = 9 \Rightarrow$ $a = 5$ và $b = 3$. $c^2 = a^2 – b^2 = 25 – 9 = 16 \Rightarrow$ $c = 4$. Gọi toạ độ của $M$ là $(x; y)$. Áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có: $MF_2 = a – ex = a – \frac{c}{a}x = 5 – \frac{4}{5}x$. Mà $x ≥ –a$ hay $x ≥ –5 \Rightarrow \frac{4}{5}x ≥ \frac{4}{5}. (–5) \Rightarrow$ $–\frac{4}{5}x ≤ –5$ $\Rightarrow MF_2 ≤ 5 – \frac{4}{5}. (–5) \Rightarrow$ $MF_2 ≤ 9$. Đẳng thức xảy ra khi $x = –5$. Vậy độ dài $F_2M$ lớn nhất khi $M$ có toạ độ $(–5; 0)$.

https://khoahoc.vietjack.com/question/890590

### Câu hỏi: Cho elip $(E):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$. Tìm toạ độ điểm $M\in (E)$ sao cho độ dài $F_2M$ lớn nhất, biết $F_2$ là một tiêu điểm có hoành độ dương của $(E)$. ### Lời giải: Elip $(E)$ có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\Rightarrow$ $a^2 = 25$ và $b^2 = 9 \Rightarrow$ $a = 5$ và $b = 3$. $c^2 = a^2 – b^2 = 25 – 9 = 16 \Rightarrow$ $c = 4$. Gọi toạ độ của $M$ là $(x; y)$. Áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có: $MF_2 = a – ex = a – \frac{c}{a}x = 5 – \frac{4}{5}x$. Mà $x ≥ –a$ hay $x ≥ –5 \Rightarrow \frac{4}{5}x ≥ \frac{4}{5}. (–5) \Rightarrow$ $–\frac{4}{5}x ≤ –5$ $\Rightarrow MF_2 ≤ 5 – \frac{4}{5}. (–5) \Rightarrow$ $MF_2 ≤ 9$. Đẳng thức xảy ra khi $x = –5$. Vậy độ dài $F_2M$ lớn nhất khi $M$ có toạ độ $(–5; 0)$.

Free Form

Lớp 10

Từ 15 bút chì màu có màu khác nhau đôi một, a) Có bao nhiêu cách chọn ra một số bút chì màu, tính cả trường hợp không chọn cái nào? b) Có bao nhiêu cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu?

**Hướng dẫn giải** a) Có $\binom{15}{0}$ cách chọn ra 0 bút chì màu; Có $\binom{15}{1}$ cách chọn ra 1 bút chì màu; Có $\binom{15}{2}$ cách chọn ra 2 bút chì màu; ... Có $\binom{15}{15}$ cách chọn ra 15 bút chì màu. Vậy có tổng cộng $\binom{15}{0}+\binom{15}{1}+\binom{15}{2}+...+\binom{15}{14}+\binom{15}{15}=2^{15}=32768$ cách chọn ra một số bút chì màu. b) Số cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu là: $\binom{15}{0}+\binom{15}{1}+\binom{15}{2}+...+\binom{15}{7}+\binom{15}{8}.$ Vì $\binom{15}{0}=\binom{15}{15},\ \binom{15}{1}=\binom{15}{14},\ \binom{15}{2}=\binom{15}{13},..., \binom{15}{7}=\binom{15}{8}$ nên $\binom{15}{0}+\binom{15}{1}+\binom{15}{2}+...+\binom{15}{7}=\frac{1}{2}(\binom{15}{0}+\binom{15}{1}+\binom{15}{2}+...+\binom{15}{14}+\binom{15}{15})=\frac{1}{2}.32768=16384$ $\Rightarrow \binom{15}{0}+\binom{15}{1}+\binom{15}{2}+...+\binom{15}{7}+\binom{15}{8}=16384+6345=22819.$ Vậy có 22819 cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu.

https://khoahoc.vietjack.com/question/890592

### Câu hỏi: Từ 15 bút chì màu có màu khác nhau đôi một, a) Có bao nhiêu cách chọn ra một số bút chì màu, tính cả trường hợp không chọn cái nào? b) Có bao nhiêu cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu? ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** a) Có $\binom{15}{0}$ cách chọn ra 0 bút chì màu; Có $\binom{15}{1}$ cách chọn ra 1 bút chì màu; Có $\binom{15}{2}$ cách chọn ra 2 bút chì màu; ... Có $\binom{15}{15}$ cách chọn ra 15 bút chì màu. Vậy có tổng cộng $\binom{15}{0}+\binom{15}{1}+\binom{15}{2}+...+\binom{15}{14}+\binom{15}{15}=2^{15}=32768$ cách chọn ra một số bút chì màu. b) Số cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu là: $\binom{15}{0}+\binom{15}{1}+\binom{15}{2}+...+\binom{15}{7}+\binom{15}{8}.$ Vì $\binom{15}{0}=\binom{15}{15},\ \binom{15}{1}=\binom{15}{14},\ \binom{15}{2}=\binom{15}{13},..., \binom{15}{7}=\binom{15}{8}$ nên $\binom{15}{0}+\binom{15}{1}+\binom{15}{2}+...+\binom{15}{7}=\frac{1}{2}(\binom{15}{0}+\binom{15}{1}+\binom{15}{2}+...+\binom{15}{14}+\binom{15}{15})=\frac{1}{2}.32768=16384$ $\Rightarrow \binom{15}{0}+\binom{15}{1}+\binom{15}{2}+...+\binom{15}{7}+\binom{15}{8}=16384+6345=22819.$ Vậy có 22819 cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu.

Free Form

Lớp 10

Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm và bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) của các conic sau: a) $\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144} = 1$; b) $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{144} = 1$; c) $y^2 = 11x$.

**Hướng dẫn giải** a) Elip có $a^2 = 169, b^2 = 144$ => a = 13, b = 12, $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{169 - 144} = 5$. Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(–13; 0), A₂(13; 0), B₁(0; –12), B₂(0; 12). Toạ độ các tiêu điểm của elip là F₁(–5; 0), F₂(5; 0). Các bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) là MF₁ = a + c/a x = 13 + 5/13 x; MF₂ = a – c/a x = 13 – 5/13x. b) Hypebol có $a^2 = 25, b^2 = 144$ => a = 5, b = 12, $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$. Toạ độ các đỉnh của hypebol là A₁(–5; 0), A₂(5; 0). Toạ độ các tiêu điểm của hypebol là F₁(–13; 0), F₂(13; 0). Các bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) là MF₁ = $|a + \frac{c}{a}x| = |5 + \frac{13}{5}x|$; MF₂ = $|a - \frac{c}{a}x| = |5 - \frac{13}{5}x|$. c) Parabol có 2p = 11, suy ra p = 11/2. Toạ độ đỉnh của parabol là O(0; 0). Toạ độ tiêu điểm của parabol là F$(\frac{11}{4}; 0)$. Bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) là MF = x + p/2 = x + 11/4.

https://khoahoc.vietjack.com/question/890596

### Câu hỏi: Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm và bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) của các conic sau: a) $\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144} = 1$; b) $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{144} = 1$; c) $y^2 = 11x$. ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** a) Elip có $a^2 = 169, b^2 = 144$ => a = 13, b = 12, $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{169 - 144} = 5$. Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(–13; 0), A₂(13; 0), B₁(0; –12), B₂(0; 12). Toạ độ các tiêu điểm của elip là F₁(–5; 0), F₂(5; 0). Các bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) là MF₁ = a + c/a x = 13 + 5/13 x; MF₂ = a – c/a x = 13 – 5/13x. b) Hypebol có $a^2 = 25, b^2 = 144$ => a = 5, b = 12, $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$. Toạ độ các đỉnh của hypebol là A₁(–5; 0), A₂(5; 0). Toạ độ các tiêu điểm của hypebol là F₁(–13; 0), F₂(13; 0). Các bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) là MF₁ = $|a + \frac{c}{a}x| = |5 + \frac{13}{5}x|$; MF₂ = $|a - \frac{c}{a}x| = |5 - \frac{13}{5}x|$. c) Parabol có 2p = 11, suy ra p = 11/2. Toạ độ đỉnh của parabol là O(0; 0). Toạ độ tiêu điểm của parabol là F$(\frac{11}{4}; 0)$. Bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) là MF = x + p/2 = x + 11/4.

Free Form

Lớp 10

Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là A₂(5; 0) và một đường tiệm cận là y = –3x.

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a &gt; 0, b &gt; 0). +) Hypebol có một đỉnh là A₂(5; 0) $\Rightarrow$ a = 5. +) Hypebol có một đường tiệm cận là y = –3x $\Rightarrow \frac{b}{a} = 3 \Rightarrow$ b = 3a = 15. Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{5^2} - \frac{y^2}{15^2} = 1$ hay $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{225} = 1.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/890604

### Câu hỏi: Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là A₂(5; 0) và một đường tiệm cận là y = –3x. ### Lời giải: Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a &gt; 0, b &gt; 0). +) Hypebol có một đỉnh là A₂(5; 0) $\Rightarrow$ a = 5. +) Hypebol có một đường tiệm cận là y = –3x $\Rightarrow \frac{b}{a} = 3 \Rightarrow$ b = 3a = 15. Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{5^2} - \frac{y^2}{15^2} = 1$ hay $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{225} = 1.$

Free Form

Lớp 10

Nêu định nghĩa tâm sai của elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với a > b > 0.

Tâm sai e của elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với a > b > 0 là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip, tức là $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$.

https://khoahoc.vietjack.com/question/890606

### Câu hỏi: Nêu định nghĩa tâm sai của elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với a > b > 0. ### Lời giải: Tâm sai e của elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với a > b > 0 là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip, tức là $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$.

Free Form

Lớp 10

Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết độ dài trục ảo bằng 6 và tâm sai bằng $\frac{5}{4}$.

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a &gt; 0, b &gt; 0). +) Hypebol có độ dài trục ảo bằng 6 $\Rightarrow$ 2b = 6 $\Rightarrow$ b = 3 $\Rightarrow$ b² = 9. +) Hypebol có tâm sai bằng $\frac{5}{4}\Rightarrow\frac{\sqrt{a^2+3^2}}{a}=\frac{5}{4}\Rightarrow16(a^2+3^2)=25a^2\Rightarrow a^2=16.$ Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/890640

### Câu hỏi: Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết độ dài trục ảo bằng 6 và tâm sai bằng $\frac{5}{4}$. ### Lời giải: Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a &gt; 0, b &gt; 0). +) Hypebol có độ dài trục ảo bằng 6 $\Rightarrow$ 2b = 6 $\Rightarrow$ b = 3 $\Rightarrow$ b² = 9. +) Hypebol có tâm sai bằng $\frac{5}{4}\Rightarrow\frac{\sqrt{a^2+3^2}}{a}=\frac{5}{4}\Rightarrow16(a^2+3^2)=25a^2\Rightarrow a^2=16.$ Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.$

Free Form

Lớp 10

Với mỗi điểm M thuộc hypebol (H), từ hai đẳng thức MF₁² – MF₂² = 4cx và |MF₁ – MF₂| = 2a, chứng minh: $ M{F}_{1}=\left|a+\frac{c}{a}x\right|=\text{\hspace{0.17em}}|a+ex|;\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}M{F}_{2}=\left|a-\frac{c}{a}x\right|=\text{\hspace{0.17em}}|a-ex|.$

+) Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trục Oy thì MF₁ &gt; MF₂. Khi đó: MF₁ – MF₂ = |MF₁ – MF₂| = 2a. Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx $ \Rightarrow $ (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx $ \Rightarrow $ (MF₁ + MF₂)2a = 4cx $ \Rightarrow $ MF₁ + MF₂ = $ \frac{4cx}{2a}$ = $ \frac{2c}{a}$x. Khi đó: (MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = $ \frac{2c}{a}x$ + 2a $ \Rightarrow $ 2MF₁ = $ \frac{2c}{a}x$ + 2a $ \Rightarrow $ MF₁ = a + $ \frac{c}{a}$x = $ =\left|a+\frac{c}{a}x\right|=\text{\hspace{0.17em}}|a+ex|.$ (MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = $ \frac{2c}{a}x$ – 2a $ \Rightarrow $ 2MF₂ = $ \frac{2c}{a}x$ – 2a $ \Rightarrow $ MF₂ = $ \frac{c}{a}$ x – a = $ =\left|a-\frac{c}{a}x\right|=\text{\hspace{0.17em}}|a-ex|.$ +) Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trái Oy thì MF₁ &lt; MF₂. Khi đó: MF₁ – MF₂ = –|MF₁ – MF₂| = –2a. Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx $ \Rightarrow $ (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx $ \Rightarrow $ (MF₁ + MF₂)(–2a) = 4cx $ \Rightarrow $ MF₁ + MF₂ = $ \frac{4cx}{2a}$ = – $ \frac{2c}{a}x$. Khi đó: (MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = – $ \frac{2c}{a}x$ + (–2a) $ \Rightarrow $ 2MF₁ = – $ \frac{2c}{a}x$ – 2a $ \Rightarrow $ MF₁ = $ -\left(\frac{c}{a}x+a\right)=\left|a+\frac{c}{a}x\right|=\text{\hspace{0.17em}}|a+ex|.$ (MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = – $ \frac{2c}{a}x$ – (–2a) $ \Rightarrow $ 2MF₂ = – $ \frac{2c}{a}x$ + 2a $ \Rightarrow $ MF₂ = a –$ \frac{c}{a}$x = $ =\left|a-\frac{c}{a}x\right|=\text{\hspace{0.17em}}|a-ex|.$ Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có $ M{F}_{1}=\left|a+\frac{c}{a}x\right|=\text{\hspace{0.17em}}|a+ex|;\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}M{F}_{2}=\left|a-\frac{c}{a}x\right|=\text{\hspace{0.17em}}|a-ex|.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/890649

### Câu hỏi: Với mỗi điểm M thuộc hypebol (H), từ hai đẳng thức MF₁² – MF₂² = 4cx và |MF₁ – MF₂| = 2a, chứng minh: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi><msub><mi>F</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mfenced close="|" open="|"><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mtext> </mtext><mo>|</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>x</mi><mo>|</mo><mo>;</mo><mtext>  </mtext><mi>M</mi><msub><mi>F</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mfenced close="|" open="|"><mrow><mi>a</mi><mo>−</mo><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mtext> </mtext><mo>|</mo><mi>a</mi><mo>−</mo><mi>e</mi><mi>x</mi><mo>|</mo><mo>.</mo></math> ### Lời giải: +) Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trục Oy thì MF₁ &gt; MF₂. Khi đó: MF₁ – MF₂ = |MF₁ – MF₂| = 2a. Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> (MF₁ + MF₂)2a = 4cx <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> MF₁ + MF₂ = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>4</mn><mi>c</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>c</mi></mrow><mi>a</mi></mfrac></math>x. Khi đó: (MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>c</mi></mrow><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi></math> + 2a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> 2MF₁ = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>c</mi></mrow><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi></math> + 2a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> MF₁ = a + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac></math>x = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfenced close="|" open="|"><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mtext> </mtext><mo>|</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>x</mi><mo>|</mo><mo>.</mo></math> (MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>c</mi></mrow><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi></math> – 2a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> 2MF₂ = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>c</mi></mrow><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi></math> – 2a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> MF₂ = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac></math> x – a =  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfenced close="|" open="|"><mrow><mi>a</mi><mo>−</mo><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mtext> </mtext><mo>|</mo><mi>a</mi><mo>−</mo><mi>e</mi><mi>x</mi><mo>|</mo><mo>.</mo></math> +) Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trái Oy thì MF₁ &lt; MF₂. Khi đó: MF₁ – MF₂ = –|MF₁ – MF₂| = –2a. Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> (MF₁ + MF₂)(–2a) = 4cx <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> MF₁ + MF₂ = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>4</mn><mi>c</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac></math> = – <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>c</mi></mrow><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi></math>. Khi đó: (MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = – <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>c</mi></mrow><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi></math> + (–2a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> 2MF₁ = – <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>c</mi></mrow><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi></math> – 2a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> MF₁ = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>−</mo><mfenced><mrow><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>a</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced close="|" open="|"><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mtext> </mtext><mo>|</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>x</mi><mo>|</mo><mo>.</mo></math> (MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = – <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>c</mi></mrow><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi></math> – (–2a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> 2MF₂ = – <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>c</mi></mrow><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi></math> + 2a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> MF₂ = a –<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac></math>x = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfenced close="|" open="|"><mrow><mi>a</mi><mo>−</mo><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mtext> </mtext><mo>|</mo><mi>a</mi><mo>−</mo><mi>e</mi><mi>x</mi><mo>|</mo><mo>.</mo></math> Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi><msub><mi>F</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mfenced close="|" open="|"><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mtext> </mtext><mo>|</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>x</mi><mo>|</mo><mo>;</mo><mtext>  </mtext><mi>M</mi><msub><mi>F</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mfenced close="|" open="|"><mrow><mi>a</mi><mo>−</mo><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mtext> </mtext><mo>|</mo><mi>a</mi><mo>−</mo><mi>e</mi><mi>x</mi><mo>|</mo><mo>.</mo></math>

Free Form

Lớp 10

Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1.$ Giả sử M là điểm thuộc hypebol có hoành độ là 15. Tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M.

Có $a^2 = 144$, $b^2 = 25$ $\Rightarrow a = 12$, $b = 5$, $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{144 + 25} = 13.$ Độ dài các bán kính qua tiêu của M là: $MF_1 = \left| a + \frac{c}{a} x \right| = \left| 12 + \frac{13}{12} . 15 \right| = \frac{113}{4}.$ $MF_2 = \left| a - \frac{c}{a} x \right| = \left| 12 - \frac{13}{12} . 15 \right| = \frac{17}{4}.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/890651

### Câu hỏi: Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1.$ Giả sử M là điểm thuộc hypebol có hoành độ là 15. Tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M. ### Lời giải: Có $a^2 = 144$, $b^2 = 25$ $\Rightarrow a = 12$, $b = 5$, $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{144 + 25} = 13.$ Độ dài các bán kính qua tiêu của M là: $MF_1 = \left| a + \frac{c}{a} x \right| = \left| 12 + \frac{13}{12} . 15 \right| = \frac{113}{4}.$ $MF_2 = \left| a - \frac{c}{a} x \right| = \left| 12 - \frac{13}{12} . 15 \right| = \frac{17}{4}.$

Free Form

Lớp 10

<p>Xác định tâm sai, tiêu điểm và đường chuẩn tương ứng của mỗi đường conic sau:</p> <p>a) $ \frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$</p> <p>b) $ \frac{{x}^{2}}{14}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$</p> <p>c) $ {y}^{2}$ = 7x.</p>

<p><strong>Hướng dẫn giải</strong></p> <p>a) Đây là một elip.</p> <p>Có $ {a}^{2}=16,{b}^{2}=12$ $ \Rightarrow a=4,b=2\sqrt{3},c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{16-12}=2,$</p> <p>e = $ \frac{c}{a}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\frac{a}{e}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8.$</p> <p>Suy ra elip có tiêu điểm F_{1$ (-2;0)$}đường chuẩn Δ₁: x = -8; tiêu điểm F_2(2;0), đường chuẩn Δ₁: x = 8 và tâm sai e = 1/2</p> <p>b) <span>Đây là một hypebol.</span></p> <p><span>Có $ {a}^{2}=14,{b}^{2}=2$ $ \Rightarrow a=\sqrt{14},b=\sqrt{2},c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{14+2}=\sqrt{16}=4,$</span></p> <p>e = $ \frac{c}{a}=\frac{4}{\sqrt{14}}=\frac{2\sqrt{14}}{7},\frac{a}{e}=\frac{\sqrt{14}}{\frac{2\sqrt{14}}{7}}=\frac{7}{2}.$</p> <p>Suy ra hypebol có tiêu điểm F_{1(-4;0_}, đường chuẩn Δ₁: x = –7/2; tiêu điểm F_2(4;0), đường chuẩn Δ₁: x = 7/2<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>và tâm sai e = $ \frac{2\sqrt{14}}{7}.$</p> <p>c) Đây là một parabol.</p> <p>CÓ 2p = 7, suy ra p = 7/2</p> <span style="mso-fareast- mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: EN-US; mso-bidi-language: AR-SA; vertical-align: baseline;">Suy ra parabol có tiêu điểm F(7/4;0)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>đường chuẩn Δ: x = -7/4<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>và tâm sai e = 1.</span>

https://khoahoc.vietjack.com/question/890752

### Câu hỏi: <p>Xác định tâm sai, tiêu điểm và đường chuẩn tương ứng của mỗi đường conic sau:</p> <p>a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mn>16</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mn>12</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math></p> <p>b) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mn>14</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math></p> <p>c) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></math> = 7x.</p> ### Lời giải: <p><strong>Hướng dẫn giải</strong></p> <p>a) Đây là một elip.</p> <p>Có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>16</mn><mo>,</mo><mo> </mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>12</mn></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>16</mn><mo>−</mo><mn>12</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo></math></p> <p>e = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mi>a</mi><mi>e</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>4</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mfrac><mo>=</mo><mn>8.</mn></math></p> <p>Suy ra elip có tiêu điểm F_{1<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math>}đường chuẩn Δ₁: x = -8; tiêu điểm F_2(2;0), đường chuẩn Δ₁: x = 8 và tâm sai e = 1/2</p> <p>b) <span>Đây là một hypebol.</span></p> <p><span>Có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>14</mn><mo>,</mo><mo> </mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>2</mn></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>a</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>14</mn></msqrt><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>14</mn><mo>+</mo><mn>2</mn></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>16</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>,</mo></math></span></p> <p>e = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>4</mn><msqrt><mn>14</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><msqrt><mn>14</mn></msqrt></mrow><mn>7</mn></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mi>a</mi><mi>e</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><msqrt><mn>14</mn></msqrt><mfrac><mrow><mn>2</mn><msqrt><mn>14</mn></msqrt></mrow><mn>7</mn></mfrac></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>7</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo></math></p> <p>Suy ra hypebol có tiêu điểm F_{1(-4;0_}, đường chuẩn Δ₁: x = –7/2; tiêu điểm F_2(4;0), đường chuẩn Δ₁: x = 7/2<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>và tâm sai e = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>2</mn><msqrt><mn>14</mn></msqrt></mrow><mn>7</mn></mfrac><mo>.</mo></math></p> <p>c) Đây là một parabol.</p> <p>CÓ 2p = 7, suy ra p = 7/2</p> <span style="mso-fareast- mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: EN-US; mso-bidi-language: AR-SA; vertical-align: baseline;">Suy ra parabol có tiêu điểm F(7/4;0)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>đường chuẩn Δ: x = -7/4<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>và tâm sai e = 1.</span>

Free Form

Lớp 10

Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và điểm F(1; 1). Viết phương trình đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau: a) e = 1/2; b) e = 1; c) e = 2.

**Hướng dẫn giải** a) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;\Delta)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}} = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2} = \frac{1}{2} \,\, . \,\, \frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$ $\Leftrightarrow \sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2} = \frac{1}{2} \,\, . \,\, \frac{|x+y-1|}{\sqrt{2}}$ $\Leftrightarrow (1-x)^2 + (1-y)^2 = \frac{|x+y-1|^2}{8}$ $\Leftrightarrow (1-2x+x^2) + (1-2y+y^2) = \frac{x^2 + y^2 + 1 + 2xy - 2x - 2y}{8}$ $\Leftrightarrow 8(1-2x+x^2 + 1-2y+y^2) = x^2 + y^2 + 1 + 2xy - 2x - 2y$ $\Leftrightarrow 7x^2 + 7y^2 - 2xy - 14x - 14y + 15 = 0.$ Vậy phương trình của conic đã cho là $7x^2 + 7y^2 - 2xy - 14x - 14y + 15 = 0.$ b) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;\Delta)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}} = 1$ $\Leftrightarrow \sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2} = \frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$ $\Leftrightarrow \sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2} = \frac{|x+y-1|}{\sqrt{2}}$ $\Leftrightarrow (1-x)^2 + (1-y)^2 = \frac{|x+y-1|^2}{2}$ $\Leftrightarrow (1-2x+x^2) + (1-2y+y^2) = \frac{x^2 + y^2 + 1 + 2xy - 2x - 2y}{2}$ $\Leftrightarrow 2(1-2x+x^2 + 1-2y+y^2) = x^2 + y^2 + 1 + 2xy - 2x - 2y$ $\Leftrightarrow x^2 + y^2 - 2xy - 2x - 2y + 1 = 0.$ Vậy phương trình của conic đã cho là $x^2 + y^2 - 2xy - 2x - 2y + 1 = 0.$ c) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;\Delta)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}} = 2$ $\Leftrightarrow \sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2} = 2 \,\, . \,\, \frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$ $\Leftrightarrow \sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2} = \sqrt{2} \,\, . \,\, |x+y-1|$ $\Leftrightarrow (1-x)^2 + (1-y)^2 = 2|x+y-1|^2$ $\Leftrightarrow (1-2x+x^2) + (1-2y+y^2) = 2(x^2 + y^2 + 1 + 2xy - 2x - 2y)$ $\Leftrightarrow x^2 + y^2 + 4xy - 2x - 2y = 0.$ Vậy phương trình của conic đã cho là $x^2 + y^2 + 4xy - 2x - 2y = 0.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/890757

### Câu hỏi: Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và điểm F(1; 1). Viết phương trình đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau: a) e = 1/2; b) e = 1; c) e = 2. ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** a) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có:  $\frac{MF}{d(M;\Delta)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}} = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2} = \frac{1}{2} \,\, . \,\, \frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$ $\Leftrightarrow \sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2} = \frac{1}{2} \,\, . \,\, \frac{|x+y-1|}{\sqrt{2}}$ $\Leftrightarrow (1-x)^2 + (1-y)^2 = \frac{|x+y-1|^2}{8}$ $\Leftrightarrow (1-2x+x^2) + (1-2y+y^2) = \frac{x^2 + y^2 + 1 + 2xy - 2x - 2y}{8}$ $\Leftrightarrow 8(1-2x+x^2 + 1-2y+y^2) = x^2 + y^2 + 1 + 2xy - 2x - 2y$ $\Leftrightarrow 7x^2 + 7y^2 - 2xy - 14x - 14y + 15 = 0.$ Vậy phương trình của conic đã cho là $7x^2 + 7y^2 - 2xy - 14x - 14y + 15 = 0.$ b) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;\Delta)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}} = 1$ $\Leftrightarrow \sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2} = \frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$ $\Leftrightarrow \sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2} = \frac{|x+y-1|}{\sqrt{2}}$ $\Leftrightarrow (1-x)^2 + (1-y)^2 = \frac{|x+y-1|^2}{2}$ $\Leftrightarrow (1-2x+x^2) + (1-2y+y^2) = \frac{x^2 + y^2 + 1 + 2xy - 2x - 2y}{2}$ $\Leftrightarrow 2(1-2x+x^2 + 1-2y+y^2) = x^2 + y^2 + 1 + 2xy - 2x - 2y$ $\Leftrightarrow x^2 + y^2 - 2xy - 2x - 2y + 1 = 0.$ Vậy phương trình của conic đã cho là $x^2 + y^2 - 2xy - 2x - 2y + 1 = 0.$ c) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;\Delta)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}} = 2$ $\Leftrightarrow \sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2} = 2 \,\, . \,\, \frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$ $\Leftrightarrow \sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2} = \sqrt{2} \,\, . \,\, |x+y-1|$ $\Leftrightarrow (1-x)^2 + (1-y)^2 = 2|x+y-1|^2$ $\Leftrightarrow (1-2x+x^2) + (1-2y+y^2) = 2(x^2 + y^2 + 1 + 2xy - 2x - 2y)$ $\Leftrightarrow x^2 + y^2 + 4xy - 2x - 2y = 0.$ Vậy phương trình của conic đã cho là $x^2 + y^2 + 4xy - 2x - 2y = 0.$

Free Form

Lớp 10

Viết phương trình chính tắc của elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Hãy xác định toạ độ đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của elip này.

**Hướng dẫn giải** Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (<span style="mso-fareast- mso-fareast-language: VI;">a &gt; b &gt; 0).</span> Theo đề bài ta có: elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6 =&gt;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>2a = 8 và 2b = 6 =&gt;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>a = 4, b = 3 $\Rightarrow c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}.$ <span style="position: relative; top: 4.0pt; mso-text-raise: -4.0pt;"></span> Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(–4; 0), A₂(4; 0), B₁(0; –3), B₂(0; 3). Toạ độ các tiêu điểm của elip là F₁(–$\sqrt{7}$; 0), F₂($\sqrt{7}$; 0). Tiêu cự của elip là 2c = 2$\sqrt{7}$. <span style=" mso-fareast- mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: EN-US; mso-bidi-language: AR-SA; vertical-align: baseline;">Độ dài trục lớn là 2a = 8, độ dài trục bé là 2b = 6.</span>

https://khoahoc.vietjack.com/question/890768

### Câu hỏi: Viết phương trình chính tắc của elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Hãy xác định toạ độ đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của elip này. ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (<span style="mso-fareast- mso-fareast-language: VI;">a &gt; b &gt; 0).</span> Theo đề bài ta có: elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6 =&gt;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>2a = 8 và 2b = 6 =&gt;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>a = 4, b = 3 $\Rightarrow c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}.$ <span style="position: relative; top: 4.0pt; mso-text-raise: -4.0pt;"></span> Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(–4; 0), A₂(4; 0), B₁(0; –3), B₂(0; 3). Toạ độ các tiêu điểm của elip là F₁(–$\sqrt{7}$; 0), F₂($\sqrt{7}$; 0). Tiêu cự của elip là 2c = 2$\sqrt{7}$. <span style=" mso-fareast- mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: EN-US; mso-bidi-language: AR-SA; vertical-align: baseline;">Độ dài trục lớn là 2a = 8, độ dài trục bé là 2b = 6.</span>

Free Form

Lớp 10

a) Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) trên elip (E): $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{36} = 1$. b) Tìm các điểm trên elip $(E): \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ có độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.

**Hướng dẫn giải** a) Có $a^2 = 64, b^2 = 36$ => a = 8, b = 6 $\Rightarrow c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$. Độ dài hai bán kính qua tiêu của M(x; y) là: MF₁ = a + c/a x = 8 + $\frac{2\sqrt{7}}{8}x$ = 8 + $\frac{\sqrt{7}}{4}x$; MF₂ = a – $\frac{c}{a}$x = 8 – $\frac{2\sqrt{7}}{8}x$ = 8 – $\frac{\sqrt{7}}{4}x$. b) Giả sử M(x; y) nằm trên (E) thoả mãn đề bài. Khi đó: MF₁ = MF₂ <=> 8 + $\frac{\sqrt{7}}{4}x$ = 8 – $\frac{\sqrt{7}}{4}x$; <=> x = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = 6 \\ y = -6 \end{array} \right.$. Vậy có hai điểm thoả mãn đề bài là M₁(0; 6) và M₂(0; –6).

https://khoahoc.vietjack.com/question/890791

### Câu hỏi: a) Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) trên elip (E): $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{36} = 1$. b) Tìm các điểm trên elip $(E): \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ có độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau. ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** a) Có $a^2 = 64, b^2 = 36$ => a = 8, b = 6 $\Rightarrow c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$. Độ dài hai bán kính qua tiêu của M(x; y) là: MF₁ = a + c/a x = 8 + $\frac{2\sqrt{7}}{8}x$ = 8 + $\frac{\sqrt{7}}{4}x$; MF₂ = a – $\frac{c}{a}$x = 8 – $\frac{2\sqrt{7}}{8}x$ = 8 – $\frac{\sqrt{7}}{4}x$. b) Giả sử M(x; y) nằm trên (E) thoả mãn đề bài. Khi đó: MF₁ = MF₂ <=> 8 + $\frac{\sqrt{7}}{4}x$ = 8 – $\frac{\sqrt{7}}{4}x$; <=> x = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = 6 \\ y = -6 \end{array} \right.$. Vậy có hai điểm thoả mãn đề bài là M₁(0; 6) và M₂(0; –6).

Free Form

Lớp 10

a) Tìm tâm sai của elip (E): $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{99} = 1$ và elip $(E'): \frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{1} = 1$. b) Không cần vẽ hình, theo bạn elip nào có hình dạng "dẹt" hơn?

Có $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} = \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a^2}}$. a) Tâm sai của (E) là e = $\sqrt{\frac{100 - 99}{100}} = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10} = 0,1$; tâm sai của (E') là e' = $\sqrt{\frac{10 - 1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \approx 0,95$. b) Vì (E') có tâm sai lớn hơn tâm sai của (E) nên (E') có hình dạng "dẹt" hơn.

https://khoahoc.vietjack.com/question/890798

### Câu hỏi: a) Tìm tâm sai của elip (E): $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{99} = 1$ và elip $(E'): \frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{1} = 1$. b) Không cần vẽ hình, theo bạn elip nào có hình dạng "dẹt" hơn? ### Lời giải: Có $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} = \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a^2}}$. a) Tâm sai của (E) là e = $\sqrt{\frac{100 - 99}{100}} = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10} = 0,1$; tâm sai của (E') là e' = $\sqrt{\frac{10 - 1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \approx 0,95$. b) Vì (E') có tâm sai lớn hơn tâm sai của (E) nên (E') có hình dạng "dẹt" hơn.

Free Form

Lớp 10

<p>Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các elip sau:</p> <p>a) $ \left({E}_{1}\right):\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{1}=1$</p> <p>b) $ \left({E}_{2}\right):\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$</p>

<p><strong>Hướng dẫn giải</strong></p> <p>a) Có $ {a}^{2}=4,{b}^{2}=1$ =&gt; a = 2, b = 1 $ \Rightarrow c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.$</p> <p>Toạ độ hai tiêu điểm của elip là $ {F}_{1}(-\sqrt{3};0)$ và $ {F}_{2}(\sqrt{3};0).$</p> <p>Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là</p> <p>Δ₁: $ x+\frac{a}{e}=0\Leftrightarrow x+\frac{{a}^{2}}{c}=0\Leftrightarrow x+\frac{4}{\sqrt{3}}=0;$</p> <p>Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là</p> <p>Δ₂: $ x-\frac{a}{e}=0\Leftrightarrow x-\frac{{a}^{2}}{c}=0\Leftrightarrow x-\frac{4}{\sqrt{3}}=0.$</p>

https://khoahoc.vietjack.com/question/890812

### Câu hỏi: <p>Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các elip sau:</p> <p>a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>(</mo><msub><mi>E</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>:</mo><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mn>1</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math></p> <p>b) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>(</mo><msub><mi>E</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>:</mo><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mn>100</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mn>36</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math></p> ### Lời giải: <p><strong>Hướng dẫn giải</strong></p> <p>a) Có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mo> </mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn></math> =&gt; a = 2, b = 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>4</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>.</mo></math></p> <p>Toạ độ hai tiêu điểm của elip là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>F</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>F</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></math></p> <p>Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là</p> <p>Δ₁: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>a</mi><mi>e</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>c</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>4</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>;</mo></math></p> <p>Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là</p> <p>Δ₂: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>−</mo><mfrac><mi>a</mi><mi>e</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>c</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mfrac><mn>4</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mn>0.</mn></math></p>

Free Form

Lớp 10

Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 50/3.

**Hướng dẫn giải** Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$). Theo đề bài ta có: – Elip có tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6, suy ra c = 3. – Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 50/3, suy ra $2\frac{a}{e} = \frac{50}{3}$ $\Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{25}{3} \Rightarrow \frac{a^2}{c} = \frac{25}{3} \Rightarrow \frac{a^2}{3} = \frac{25}{3} \Rightarrow a^2 = 25 \Rightarrow b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16.$ Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/890815

### Câu hỏi: Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 50/3. ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$). Theo đề bài ta có: – Elip có tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6, suy ra c = 3. – Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 50/3, suy ra $2\frac{a}{e} = \frac{50}{3}$ $\Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{25}{3} \Rightarrow \frac{a^2}{c} = \frac{25}{3} \Rightarrow \frac{a^2}{3} = \frac{25}{3} \Rightarrow a^2 = 25 \Rightarrow b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16.$ Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1.$

Free Form

Lớp 10

Cho elip $(E):\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$. a) Tìm tâm sai, chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật cơ sở của (E) và vẽ (E). b) Tìm độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(0; 6) trên (E). c) Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn của (E).

Hướng dẫn giải a) Có $a^2 = 64, b^2 = 36$ => a = 8, b = 6 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$. Tâm sai của (E) là $e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{7}}{8}=\frac{\sqrt{7}}{4}$. Chiều dài hình chữ nhật cơ sở là 2a = 16, chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 2b = 12. Vẽ (E): b) hai bán kính qua tiêu của điểm M(0; 6) là MF₁ = a + c/a x = 8 + $\frac{\sqrt{7}}{4}.0$ = 8, MF₂ = a – $\frac{c}{a}x$ = 8 ­– $\frac{\sqrt{7}}{4}.0$ = 8.

https://khoahoc.vietjack.com/question/890821

### Câu hỏi: Cho elip $(E):\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$. a) Tìm tâm sai, chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật cơ sở của (E) và vẽ (E). b) Tìm độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(0; 6) trên (E). c) Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn của (E). ### Lời giải: Hướng dẫn giải a) Có $a^2 = 64, b^2 = 36$ => a = 8, b = 6 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$. Tâm sai của (E) là $e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{7}}{8}=\frac{\sqrt{7}}{4}$. Chiều dài hình chữ nhật cơ sở là 2a = 16, chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 2b = 12. Vẽ (E): b) hai bán kính qua tiêu của điểm M(0; 6) là MF₁ = a + c/a x = 8 + $\frac{\sqrt{7}}{4}.0$ = 8, MF₂ = a – $\frac{c}{a}x$ = 8 ­– $\frac{\sqrt{7}}{4}.0$ = 8.

Free Form

Lớp 10

Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 12 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 169/6.

**Hướng dẫn giải** Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a &gt; b &gt; 0). Theo đề bài ta có: – Elip có tiêu cự bằng 12, suy ra 2c = 12, suy ra c = 6. – Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 169/6, suy ra $2\frac{a}{e} = \frac{169}{6}$ $\Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{169}{12} \Rightarrow \frac{a^2}{c} = \frac{169}{12} \Rightarrow \frac{a^2}{6} = \frac{169}{12} \Rightarrow a^2 = 84,5 \Rightarrow b^2 = a^2 - c^2 = 84,5 - 36 = 48,5.$ Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{84,5} + \frac{y^2}{48,5} = 1.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/890826

### Câu hỏi: Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 12 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 169/6. ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a &gt; b &gt; 0). Theo đề bài ta có: – Elip có tiêu cự bằng 12, suy ra 2c = 12, suy ra c = 6. – Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 169/6, suy ra $2\frac{a}{e} = \frac{169}{6}$ $\Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{169}{12} \Rightarrow \frac{a^2}{c} = \frac{169}{12} \Rightarrow \frac{a^2}{6} = \frac{169}{12} \Rightarrow a^2 = 84,5 \Rightarrow b^2 = a^2 - c^2 = 84,5 - 36 = 48,5.$ Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{84,5} + \frac{y^2}{48,5} = 1.$

Free Form

Lớp 10

Cho elip $(E):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$. a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(3; 0) trên (E). b) Tìm điểm N trên (E) sao cho $NF_1 = NF_2$. c) Tìm điểm S trên (E) sao cho $SF_1 = 2SF_2$.

**Hướng dẫn giải** a) Có $a^2 = 9, b^2 = 1$ => a = 3, b = 1 $\Rightarrow c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Tâm sai của (E) là $e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(3; 0) là $MF_1 = a + \frac{c}{a}x$ = 3 + $\frac{2\sqrt{2}}{3}.3$ = 3 + $2\sqrt{2}$, $MF_2 = a – \frac{c}{a}x$ = 3 – $\frac{2\sqrt{2}}{3}.3$ = 3 –$2\sqrt{2}$, b) Gọi toạ độ của N là (x; y). Khi đó $NF_1 = a + \frac{c}{a}x$, $NF_2 = a – \frac{c}{a}x$. $NF_1 = NF_2$ => $a + \frac{c}{a}x$ = $a – \frac{c}{a}x$ => x = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = 1 \\ y = -1 \end{array} \right.$. Vậy có hai điểm N thoả mãn là $N_1(0; 1)$ và $N_2(0; –1)$. c) Gọi toạ độ của S là (x; y). Khi đó $SF_1 = a + \frac{c}{a}x$, $SF_2 = a – \frac{c}{a}x$. $SF_1 = 2SF_2$ => $a + \frac{c}{a}x$ = $2(a - \frac{c}{a}x)$ $\Leftrightarrow 3\frac{c}{a}x = a \Leftrightarrow x = \frac{a^2}{3c} = \frac{9}{3.2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ y = -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right.$. Vậy có hai điểm S thoả mãn là $S_1(\frac{3\sqrt{2}}{4}; \frac{\sqrt{3}}{2})$ và $S_2(\frac{3\sqrt{2}}{4}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

https://khoahoc.vietjack.com/question/890847

### Câu hỏi: Cho elip $(E):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$. a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(3; 0) trên (E). b) Tìm điểm N trên (E) sao cho $NF_1 = NF_2$. c) Tìm điểm S trên (E) sao cho $SF_1 = 2SF_2$. ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** a) Có $a^2 = 9, b^2 = 1$ => a = 3, b = 1 $\Rightarrow c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Tâm sai của (E) là $e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(3; 0) là $MF_1 = a + \frac{c}{a}x$ = 3 + $\frac{2\sqrt{2}}{3}.3$ = 3 + $2\sqrt{2}$, $MF_2 = a – \frac{c}{a}x$ = 3 – $\frac{2\sqrt{2}}{3}.3$ = 3 –$2\sqrt{2}$, b) Gọi toạ độ của N là (x; y). Khi đó $NF_1 = a + \frac{c}{a}x$, $NF_2 = a – \frac{c}{a}x$. $NF_1 = NF_2$ => $a + \frac{c}{a}x$ = $a – \frac{c}{a}x$ => x = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = 1 \\ y = -1 \end{array} \right.$. Vậy có hai điểm N thoả mãn là $N_1(0; 1)$ và $N_2(0; –1)$. c) Gọi toạ độ của S là (x; y). Khi đó $SF_1 = a + \frac{c}{a}x$, $SF_2 = a – \frac{c}{a}x$. $SF_1 = 2SF_2$ => $a + \frac{c}{a}x$ = $2(a - \frac{c}{a}x)$ $\Leftrightarrow 3\frac{c}{a}x = a \Leftrightarrow x = \frac{a^2}{3c} = \frac{9}{3.2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ y = -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right.$. Vậy có hai điểm S thoả mãn là $S_1(\frac{3\sqrt{2}}{4}; \frac{\sqrt{3}}{2})$ và $S_2(\frac{3\sqrt{2}}{4}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Free Form

Lớp 9

Cho biểu thức: \(P = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\). 1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P? 2) Tìm tất cả các giá trị của x để \(P = \frac{1}{3}\)? 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = A - 9\sqrt x \)?

1) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x - \sqrt x \ne 0\\\sqrt x - 1 \ne 0\\x \ge 0\\\sqrt x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 1\\x \ge 0\\\sqrt x \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 &lt; x \ne 1\) Ta có: \(P = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}}\) \( = \left[ {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}}\) \( = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\) Vậy \(P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\). Cách 2: Đặt \(a = \sqrt x \) \(\left( {a \ge 0} \right)\) Ta có: \(P = \left( {\frac{1}{{{a^2} - a}} + \frac{1}{{a - 1}}} \right):\frac{{a + 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = \left[ {\frac{1}{{a\left( {a - 1} \right)}} + \frac{1}{{a - 1}}} \right].\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{a + 1}}\) \( = \left[ {\frac{{1 + a}}{{a\left( {a - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{a + 1}} = \frac{{a - 1}}{a} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\). Nhận xét: Bài toán tìm điều kiện và rút gọn áp dụng quy tắc tìm điều kiện và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 2) Với \(P = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} = \frac{1}{3}\) \( \Leftrightarrow 3\left( {\sqrt x - 1} \right) = \sqrt x \Leftrightarrow 2\sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{9}{4}\) (thõa mãn). Nhận xét: Bài toán tìm giá trị của biến để biểu thức nhận một giá trị cho trước. 3) Ta có \(Q = P - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)\) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm \(\frac{1}{{\sqrt x }}\) và \(9\sqrt x \), tạ có: \(\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 2\sqrt 9 = 6\). \( \Rightarrow Q \le 1 - 6 = - 5\) Dấu " = " xảy ra khi \(\frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow 1 = 9x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\) Vậy \(\max P = - 5\) khi \(x = \frac{1}{9}\). Nhận xét: Bài toán tìm cực trị của biểu thức.

https://khoahoc.vietjack.com/question/890848

### Câu hỏi: Cho biểu thức: \(P = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}\). 1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P? 2) Tìm tất cả các giá trị của x để \(P = \frac{1}{3}\)? 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = A - 9\sqrt x \)? ### Lời giải: 1) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x - \sqrt x  \ne 0\\\sqrt x  - 1 \ne 0\\x \ge 0\\\sqrt x  + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 1\\x \ge 0\\\sqrt x  \ne  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 &lt; x \ne 1\) Ta có: \(P = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  + 1}}\) \( = \left[ {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  + 1}}\) \( = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}\) Vậy \(P = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}\). Cách 2: Đặt \(a = \sqrt x \) \(\left( {a \ge 0} \right)\) Ta có: \(P = \left( {\frac{1}{{{a^2} - a}} + \frac{1}{{a - 1}}} \right):\frac{{a + 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = \left[ {\frac{1}{{a\left( {a - 1} \right)}} + \frac{1}{{a - 1}}} \right].\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{a + 1}}\) \( = \left[ {\frac{{1 + a}}{{a\left( {a - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{a + 1}} = \frac{{a - 1}}{a} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}\). Nhận xét: Bài toán tìm điều kiện và rút gọn áp dụng quy tắc tìm điều kiện và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.                            2) Với \(P = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} = \frac{1}{3}\) \( \Leftrightarrow 3\left( {\sqrt x  - 1} \right) = \sqrt x  \Leftrightarrow 2\sqrt x  = 3 \Leftrightarrow x = \frac{9}{4}\) (thõa mãn). Nhận xét: Bài toán tìm giá trị của biến để biểu thức nhận một giá trị cho trước. 3) Ta có \(Q = P - 9\sqrt x  = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x  = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)\) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm \(\frac{1}{{\sqrt x }}\) và \(9\sqrt x \), tạ có: \(\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x  \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x }  = 2\sqrt 9  = 6\). \( \Rightarrow Q \le 1 - 6 =  - 5\) Dấu " = " xảy ra khi \(\frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x  \Leftrightarrow 1 = 9x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\) Vậy \(\max P =  - 5\) khi \(x = \frac{1}{9}\). Nhận xét: Bài toán tìm cực trị của biểu thức.

Free Form

Lớp 9

1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + z\\y = 2 + 3z\\z - 3x - 2y + 2 = 0\end{array} \right.\) 2) Giải phương trình: \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 5} = 2x - 2\). 3) Cho phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0\). Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm duy nhất?

1) Hệ phương trình tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + z\\y = 2 + 3z\\z - 3\left( {2 + z} \right) - 2\left( {2 + 3z} \right) + z = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + z\\y = 2 + 3z\\ - 8z - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\\z = - 1\end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình có nghiệm: \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {1; - 1; - 1} \right)\). 2) Phương trình tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 \ge 0\\2{x^2} + 3x - 5 = {\left( {2x - 2} \right)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} + 3x - 5 = 4{x^2} - 8x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} - 11x + 9 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 9} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{9}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{9}{2}\end{array} \right.\) Vậy phương trình có nghiệm: \(x = 1;x = \frac{9}{2}\). 3) + Xét \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\), phương trình trở thành: \( - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\) Do đó \(m = 1\) thỏa mãn. + Xét \(m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\) (*). Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\Delta ' = 0\) \( \Leftrightarrow {\left[ { - \left( {m + 2} \right)} \right]^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {{m^2} - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 4m + 5 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{5}{4}\) (thỏa mãn điều kiện (*)) Kết luận: \(m = 1\) hoặc \(m = - \frac{5}{4}\).

https://khoahoc.vietjack.com/question/890854

### Câu hỏi: 1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + z\\y = 2 + 3z\\z - 3x - 2y + 2 = 0\end{array} \right.\) 2) Giải phương trình: \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 5}  = 2x - 2\). 3) Cho phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0\). Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm duy nhất? ### Lời giải: 1) Hệ phương trình tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + z\\y = 2 + 3z\\z - 3\left( {2 + z} \right) - 2\left( {2 + 3z} \right) + z = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + z\\y = 2 + 3z\\ - 8z - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 1\\z =  - 1\end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình có nghiệm: \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {1; - 1; - 1} \right)\). 2) Phương trình tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 \ge 0\\2{x^2} + 3x - 5 = {\left( {2x - 2} \right)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} + 3x - 5 = 4{x^2} - 8x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} - 11x + 9 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 9} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{9}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{9}{2}\end{array} \right.\) Vậy phương trình có nghiệm: \(x = 1;x = \frac{9}{2}\). 3) + Xét \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\), phương trình trở thành: \( - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\) Do đó \(m = 1\) thỏa mãn. + Xét \(m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\) (*). Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\Delta ' = 0\) \( \Leftrightarrow {\left[ { - \left( {m + 2} \right)} \right]^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {{m^2} - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 4m + 5 = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{5}{4}\)  (thỏa mãn điều kiện (*)) Kết luận: \(m = 1\) hoặc \(m =  - \frac{5}{4}\).

Free Form

Lớp 9

Tìm \[a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c\] biết rằng phương trình: \({x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 1;1} \right\}\)?

Phương trình có hai nghiệm là \(x = - 1\) và \(x = 1\), thay vào phương trình ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 + a - b + c = 0\\1 + a + b + c = 0\end{array} \right.\) Trừ hai phương trình trên, ta được: \( - 2 - 2b = 0 \Leftrightarrow b = - 1\) Cộng hai phương trình trên, ta được: \(a + c = 0 \Leftrightarrow c = - a\) Phương trình trở thành: \[{x^3} + a{x^2} - x - a = 0\] \( \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + a} \right) - \left( {x + a} \right) \Leftrightarrow \left( {x + a} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\) Theo giải thiết, phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 1;1} \right\}\), khi đó phương trình \(x + a = 0\) phải có nghiệm là \( - 1\) hoặc 1, suy ra. \(a = 1\) hoặc \(a = - 1\). Vậy các số a; b; c cần tìm là \(a = 1;b = - 1;c = - 1\) hoặc \(a = - 1;b = - 1;c = 1\).

https://khoahoc.vietjack.com/question/890858

### Câu hỏi: Tìm \[a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c\] biết rằng phương trình: \({x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 1;1} \right\}\)? ### Lời giải: Phương trình có hai nghiệm là \(x =  - 1\) và \(x = 1\), thay vào phương trình ta được hệ  \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 + a - b + c = 0\\1 + a + b + c = 0\end{array} \right.\) Trừ hai phương trình trên, ta được: \( - 2 - 2b = 0 \Leftrightarrow b =  - 1\) Cộng hai phương trình trên, ta được: \(a + c = 0 \Leftrightarrow c =  - a\) Phương trình trở thành: \[{x^3} + a{x^2} - x - a = 0\] \( \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + a} \right) - \left( {x + a} \right) \Leftrightarrow \left( {x + a} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\) Theo giải thiết, phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 1;1} \right\}\), khi đó phương trình \(x + a = 0\) phải có nghiệm là \( - 1\) hoặc 1, suy ra. \(a = 1\) hoặc \(a =  - 1\). Vậy các số a; b; c cần tìm là \(a = 1;b =  - 1;c =  - 1\) hoặc \(a =  - 1;b =  - 1;c = 1\).

Free Form

Lớp 9

Cho biểu thức: \[P = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)\] với \(x &gt; 9\). 1) Rút gọn biểu thức P? 2) Tìm m để với mọi giá trị \(x &gt; 9\) ta có \(m\left( {\sqrt x - 3} \right)P &gt; x + 1\)

1) Với \(x &gt; 9\) thì biểu thức P đã có nghĩa. Ta có: \[P = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right]\] \[ = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right) + 8x}}{{4 - x}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x - 1 - 2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{x - 2\sqrt x }}} \right] = \left( {\frac{{8\sqrt x + 4x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{3 - \sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}} \right)\] \( = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}} \right].\left( {\frac{{x - 2\sqrt x }}{{3 - \sqrt x }}} \right) = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}} \right).\left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{3 - \sqrt x }}} \right] = \frac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\) Vậy \(P = \frac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\) Cách 2: Đặt \(a = \sqrt x \) \(a \ge 0\) Ta có: \(P = \left( {\frac{{4a}}{{2 + a}} + \frac{{8{a^2}}}{{4 - {a^2}}}} \right):\left( {\frac{{a - 1}}{{{a^2} - 2a}} - \frac{2}{a}} \right)\) \( = \left[ {\frac{{4a\left( {2 - a} \right)}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}} + \frac{{8{a^2}}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{a - 1}}{{a\left( {a - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {a - 2} \right)}}{{a\left( {a - 2} \right)}}} \right]\) \( = \frac{{4a\left( {2 - a} \right) + 8{a^2}}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}:\frac{{a - 1 - 2\left( {a - 2} \right)}}{{a\left( {a - 2} \right)}} = \frac{{4{a^2} + 8a}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}:\frac{{3 - a}}{{a\left( {a - 2} \right)}}\) \( = \frac{{4a\left( {a + 2} \right)}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}.\frac{{a\left( {a - 2} \right)}}{{3 - a}} = \frac{{4{a^2}}}{{a - 3}} = \frac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\) Nhận xét. Bài toán rút gọn biểu thức áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 2) Ta có: \(m\left( {\sqrt x - 3} \right)P &gt; x + 1 \Leftrightarrow m\left( {\sqrt x - 3} \right).\frac{{4x}}{{\sqrt x - 3}} &gt; x + 1\) \( \Leftrightarrow 4mx &gt; x + 1 \Leftrightarrow \left( {4m - 1} \right)x &gt; 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m - 1 &gt; 0 \Leftrightarrow m &lt; \frac{1}{4}\\x &gt; \frac{1}{{4m - 1}}\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\) Giải (*), do \(x &gt; 9 \Leftrightarrow \frac{1}{{4m - 1}} &gt; 9 \Leftrightarrow \frac{1}{9} &gt; 4m - 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{18}} &gt; m\) Như vậy \(\frac{1}{4} &lt; m &lt; \frac{5}{{18}}\). Nhận xét: Bài toán tìm điều kiện của tham số để biến thỏa mãn một bất đẳng thức trước

https://khoahoc.vietjack.com/question/890860

### Câu hỏi: Cho biểu thức: \[P = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)\] với \(x &gt; 9\). 1) Rút gọn biểu thức P? 2) Tìm m để với mọi giá trị \(x &gt; 9\) ta có \(m\left( {\sqrt x  - 3} \right)P &gt; x + 1\) ### Lời giải: 1) Với \(x &gt; 9\) thì biểu thức P đã có nghĩa. Ta có: \[P = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} + \frac{{8x}}{{4 - x}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{{2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}} \right]\] \[ = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right) + 8x}}{{4 - x}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x  - 1 - 2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{x - 2\sqrt x }}} \right] = \left( {\frac{{8\sqrt x  + 4x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\frac{{3 - \sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}} \right)\] \( = \left[ {\frac{{4\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}} \right].\left( {\frac{{x - 2\sqrt x }}{{3 - \sqrt x }}} \right) = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}} \right).\left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{3 - \sqrt x }}} \right] = \frac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}}\) Vậy \(P = \frac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}}\) Cách 2: Đặt \(a = \sqrt x \) \(a \ge 0\) Ta có: \(P = \left( {\frac{{4a}}{{2 + a}} + \frac{{8{a^2}}}{{4 - {a^2}}}} \right):\left( {\frac{{a - 1}}{{{a^2} - 2a}} - \frac{2}{a}} \right)\) \( = \left[ {\frac{{4a\left( {2 - a} \right)}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}} + \frac{{8{a^2}}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{a - 1}}{{a\left( {a - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {a - 2} \right)}}{{a\left( {a - 2} \right)}}} \right]\) \( = \frac{{4a\left( {2 - a} \right) + 8{a^2}}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}:\frac{{a - 1 - 2\left( {a - 2} \right)}}{{a\left( {a - 2} \right)}} = \frac{{4{a^2} + 8a}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}:\frac{{3 - a}}{{a\left( {a - 2} \right)}}\) \( = \frac{{4a\left( {a + 2} \right)}}{{\left( {2 + a} \right)\left( {2 - a} \right)}}.\frac{{a\left( {a - 2} \right)}}{{3 - a}} = \frac{{4{a^2}}}{{a - 3}} = \frac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}}\) Nhận xét. Bài toán rút gọn biểu thức áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 2) Ta có: \(m\left( {\sqrt x  - 3} \right)P &gt; x + 1 \Leftrightarrow m\left( {\sqrt x  - 3} \right).\frac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}} &gt; x + 1\) \( \Leftrightarrow 4mx &gt; x + 1 \Leftrightarrow \left( {4m - 1} \right)x &gt; 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m - 1 &gt; 0 \Leftrightarrow m &lt; \frac{1}{4}\\x &gt; \frac{1}{{4m - 1}}\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\) Giải (*), do \(x &gt; 9 \Leftrightarrow \frac{1}{{4m - 1}} &gt; 9 \Leftrightarrow \frac{1}{9} &gt; 4m - 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{18}} &gt; m\) Như vậy \(\frac{1}{4} &lt; m &lt; \frac{5}{{18}}\). Nhận xét: Bài toán tìm điều kiện của tham số để biến thỏa mãn một bất đẳng thức trước

Free Form

Lớp 9

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 100m2. Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m2. Tính diện tích thửa ruộng đó. 2) Xác định a, b để đường thẳng \(\left( d \right):ax + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 2\) và cắt đồ thị \(\left( P \right):y = \frac{1}{4}{x^2}\) tại điểm có hoành độ bằng 2.

1) Gọi chiều dài của thửa ruộng là \[x\] (m). Chiều rộng là y (m). Điều kiện:\[x,{\rm{ }}y &gt; 0\] . Diện tích thửa ruộng là \(x.y\). Nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3 m thì diện tích thửa ruộng lúc này là: \(\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right)\) và diện tích tăng thêm 100m2, tức là \(\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\) (1) Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích thửa ruộng còn lại là \(\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\) và diện tích giảm đi 68m2, tức là \(\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\) (2) Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\\\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + 3x + 2y + 6 = xy + 100\\xy - 2x - 2y + 4 = xy - 68\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 94\\2x + 2y = 72\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 22\\x + y = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 22\\y = 14\end{array} \right.\) Vậy diện tích thửa ruộng là: \(S = 22.14 = 308\left( {{m^2}} \right)\) 2) Đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 2\), nên ta có phưong trình: \( - 2 = a.0 + b \Leftrightarrow b = - 2\) Suy ra đường thẳng \(\left( d \right)\) có dạng: \(y = ax - 2\). Đường thẳng \(\left( d \right):y = ax - 2\) cắt đồ thị \(\left( P \right):y = \frac{1}{4}{x^2}\) tại điểm có hoành độ bằng 2, nên ta có phương trình:\(a.2 - 2 = \frac{1}{4}{.2^2} \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\) Vậy đường thẳng \(\left( d \right)\) là: \(y = \frac{3}{2}x - 2\).

https://khoahoc.vietjack.com/question/890862

### Câu hỏi: 1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 100m2. Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m2. Tính diện tích thửa ruộng đó. 2) Xác định a, b để đường thẳng \(\left( d \right):ax + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 2\) và cắt đồ thị \(\left( P \right):y = \frac{1}{4}{x^2}\) tại điểm có hoành độ bằng 2. ### Lời giải: 1) Gọi chiều dài của thửa ruộng là \[x\] (m). Chiều rộng là y (m). Điều kiện:\[x,{\rm{ }}y &gt; 0\] . Diện tích thửa ruộng là \(x.y\). Nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3 m thì diện tích thửa ruộng lúc này là: \(\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right)\) và diện tích tăng thêm 100m2, tức là \(\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\) (1) Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích thửa ruộng còn lại là \(\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\) và diện tích giảm đi 68m2, tức là \(\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\) (2) Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\\\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + 3x + 2y + 6 = xy + 100\\xy - 2x - 2y + 4 = xy - 68\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 94\\2x + 2y = 72\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 22\\x + y = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 22\\y = 14\end{array} \right.\) Vậy diện tích thửa ruộng là: \(S = 22.14 = 308\left( {{m^2}} \right)\) 2) Đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 2\), nên ta có phưong trình: \( - 2 = a.0 + b \Leftrightarrow b =  - 2\) Suy ra đường thẳng \(\left( d \right)\) có dạng: \(y = ax - 2\). Đường thẳng \(\left( d \right):y = ax - 2\) cắt đồ thị \(\left( P \right):y = \frac{1}{4}{x^2}\) tại điểm có hoành độ bằng 2, nên ta có phương trình:\(a.2 - 2 = \frac{1}{4}{.2^2} \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\) Vậy đường thẳng \(\left( d \right)\) là: \(y = \frac{3}{2}x - 2\).

Free Form

Lớp 9

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {2x + 3y - 2} \right)\left( {x - 5y - 3} \right) = 0\\x - 3y = 1\end{array} \right.\) 2) Giải phương trình: \(3\sqrt {x - 2} - \sqrt {{x^2} - 4} = 0\). 3) Cho phương trình \(\left( {2m - 1} \right){x^2} - 2mx + 1 = 0\). Tìm m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\)?

\(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}2x + 3y - 2 = 0\\x - 5y - 3 = 0\end{array} \right.\\x - 3y = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 2 = 0\\x - 3y = 1\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x - 5y - 3 = 0\\x - 3y = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {1 + 3y} \right) + 3y - 2 = 0\\x = 1 + 3y\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}\left( {1 + 3y} \right) - 5y - 3 = 0\\x = 1 + 3y\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9y = 0\\x = 1 + 3y\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} - 2y - 2 = 0\\x = 1 + 3y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 1\end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right),\,\,\left( { - 2; - 1} \right)\) 2) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\{x^2} - 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\\left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\) Phương trình tương đương \[3\sqrt {x - 2} - \sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} = 0\] \( \Leftrightarrow \sqrt {x - 2} \left( {3 - \sqrt {x + 2} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2} = 0\\3 - \sqrt {x + 2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x + 2 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 7\end{array} \right.\) (thõa mãn điều kiện) 3) + Xét \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)phương trình trở thành: \( - x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\), không thuộc khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\). + Xét \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{2}\), khi đó ta có \(\Delta ' = {m^2} - \left( {2m - 1} \right).1 = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall m\); nên phương trình có nghiệm với mọi m. Suy ra \(\sqrt {\Delta '} = m - 1\). Phương trình có nghiệm là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m + \left( {m - 1} \right)}}{{2m - 1}} = 1 \notin \left( { - 1;0} \right)\\x = \frac{{m - \left( {m - 1} \right)}}{{2m - 1}} = \frac{1}{{2m - 1}}\end{array} \right.\) Theo bài ra, ta có: \( - 1 &lt; \frac{1}{{2m - 1}} &lt; 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 &lt; \frac{1}{{2m - 1}}\\\frac{1}{{2m - 1}} &lt; 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2m}}{{2m - 1}} &gt; 0\\2m - 1 &lt; 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m &lt; 0\) Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) khi và chỉ khi \(m &lt; 0\).

https://khoahoc.vietjack.com/question/890863

### Câu hỏi: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {2x + 3y - 2} \right)\left( {x - 5y - 3} \right) = 0\\x - 3y = 1\end{array} \right.\) 2) Giải phương trình: \(3\sqrt {x - 2}  - \sqrt {{x^2} - 4}  = 0\). 3) Cho phương trình \(\left( {2m - 1} \right){x^2} - 2mx + 1 = 0\). Tìm m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\)? ### Lời giải: \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}2x + 3y - 2 = 0\\x - 5y - 3 = 0\end{array} \right.\\x - 3y = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 2 = 0\\x - 3y = 1\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x - 5y - 3 = 0\\x - 3y = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {1 + 3y} \right) + 3y - 2 = 0\\x = 1 + 3y\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}\left( {1 + 3y} \right) - 5y - 3 = 0\\x = 1 + 3y\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9y = 0\\x = 1 + 3y\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} - 2y - 2 = 0\\x = 1 + 3y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 1\end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right),\,\,\left( { - 2; - 1} \right)\) 2) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\{x^2} - 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\\left[ \begin{array}{l}x \le  - 1\\x \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\) Phương trình tương đương \[3\sqrt {x - 2}  - \sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}  = 0\] \( \Leftrightarrow \sqrt {x - 2} \left( {3 - \sqrt {x + 2} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2}  = 0\\3 - \sqrt {x + 2}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x + 2 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 7\end{array} \right.\) (thõa mãn điều kiện) 3) + Xét \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)phương trình trở thành: \( - x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\), không thuộc khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\). + Xét \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{2}\), khi đó ta có \(\Delta ' = {m^2} - \left( {2m - 1} \right).1 = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall m\); nên phương trình có nghiệm với mọi m. Suy ra \(\sqrt {\Delta '}  = m - 1\). Phương trình có nghiệm là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m + \left( {m - 1} \right)}}{{2m - 1}} = 1 \notin \left( { - 1;0} \right)\\x = \frac{{m - \left( {m - 1} \right)}}{{2m - 1}} = \frac{1}{{2m - 1}}\end{array} \right.\) Theo bài ra, ta có: \( - 1 &lt; \frac{1}{{2m - 1}} &lt; 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 &lt; \frac{1}{{2m - 1}}\\\frac{1}{{2m - 1}} &lt; 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2m}}{{2m - 1}} &gt; 0\\2m - 1 &lt; 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m &lt; 0\) Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) khi và chỉ khi \(m &lt; 0\).

Free Form

Lớp 9

Cho x; y là hai số thực thỏa mãn \(xy + \sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)} = 1\). Chứng minh rằng \(x\sqrt {1 + {y^2}} + y\sqrt {1 + {x^2}} = 0\).

Ta có: \(xy + \sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)} = 1 - xy\) \( \Rightarrow \left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right) = {\left( {1 - xy} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow 1 + {x^2} + {y^2} + {x^2}{y^2} = 1 - 2xy + {x^2}{y^2}\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2xy = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = - x\) \( \Rightarrow x\sqrt {1 + {y^2}} + y\sqrt {1 + {x^2}} = x\sqrt {1 + {x^2}} - x\sqrt {1 + {x^2}} = 0\) Nhận xét: Bài toán hay ở chỗ khai thác triệt để giả thiết, vì giả thiết là manh mối quyết định bài toán, khi tìm được \(x = - y\) thì việc chứng minh trở nên rất đơn giản.

https://khoahoc.vietjack.com/question/890868

### Câu hỏi: Cho x; y là hai số thực thỏa mãn \(xy + \sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}  = 1\). Chứng minh rằng \(x\sqrt {1 + {y^2}}  + y\sqrt {1 + {x^2}}  = 0\). ### Lời giải: Ta có: \(xy + \sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}  = 1 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}  = 1 - xy\) \( \Rightarrow \left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right) = {\left( {1 - xy} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow 1 + {x^2} + {y^2} + {x^2}{y^2} = 1 - 2xy + {x^2}{y^2}\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2xy = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y =  - x\) \( \Rightarrow x\sqrt {1 + {y^2}}  + y\sqrt {1 + {x^2}}  = x\sqrt {1 + {x^2}}  - x\sqrt {1 + {x^2}}  = 0\) Nhận xét: Bài toán hay ở chỗ khai thác triệt để giả thiết, vì giả thiết là manh mối quyết định bài toán, khi tìm được \(x =  - y\) thì việc chứng minh trở nên rất đơn giản.

Free Form

Lớp 9

Cho biểu thức \[P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right)\] 1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P? 2) Tìm m thỏa mãn \[P\sqrt x = m - \sqrt x ?\]

1) Điều kiện xác định : \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x - 1 \ne 0\\x - \sqrt x \ne 0\\\sqrt x + 1 \ne 0\\x - 1 \ne 0\\\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x &gt; 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 &lt; x \ne 1\] Ta có : \[P = \left[ {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right]\] \[ = \left[ {\frac{{x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\sqrt x }}} \right]\] \[:\left( {\frac{{\sqrt x - 1 + 2}}{{x - 1}}} \right)\] \[ = \left[ {\frac{{x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\sqrt x }}} \right].\left( {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}}} \right)\] \[ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\sqrt x }}\] \[ = \] \[\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\] Vậy \[P = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\] Cách 2: Đặt \[a = \sqrt x \left( {a \ge 0} \right)\] Ta có \[P = \left( {\frac{a}{{a - 1}} - \frac{1}{{{a^2} - a}}} \right):\left( {\frac{1}{{a + 1}} + \frac{2}{{{a^2} - 1}}} \right) = \left[ {\frac{a}{{a - 1}} - \frac{1}{{a\left( {a - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{1}{{a + 1}} + \frac{2}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}} \right]\] \[ = \frac{{{a^2} - 1}}{{a\left( {a - 1} \right)}}:\frac{{\left( {a - 1} \right) + 2}}{{a + 1}} = \frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{a\left( {a - 1} \right)}}:\frac{{a + 1}}{{a + 1}} = \frac{{a + 1}}{a} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\] Nhận xét : Bài toán rút gọn biểu thức có chứa biến 2) Ta có : \[P\sqrt x = m - \sqrt x \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}.\sqrt x = m - \sqrt x \] \[ \Leftrightarrow x - 1 = m - \sqrt x \Leftrightarrow m = x - 1 + \sqrt x \] Vậy \[m = x - 1 + \sqrt x \]với \[0 &lt; x \ne 1\] Nhận xét : Bài toán tìm tham số để thỏa mãn một đẳng thức cho trước

https://khoahoc.vietjack.com/question/890870

### Câu hỏi: Cho biểu thức \[P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right)\] 1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P? 2) Tìm m thỏa mãn \[P\sqrt x  = m - \sqrt x ?\] ### Lời giải: 1) Điều kiện xác định : \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x  - 1 \ne 0\\x - \sqrt x  \ne 0\\\sqrt x  + 1 \ne 0\\x - 1 \ne 0\\\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{2}{{x - 1}} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x &gt; 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 &lt; x \ne 1\] Ta có : \[P = \left[ {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right]\] \[ = \left[ {\frac{{x - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\sqrt x }}} \right]\] \[:\left( {\frac{{\sqrt x  - 1 + 2}}{{x - 1}}} \right)\] \[ = \left[ {\frac{{x - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\sqrt x }}} \right].\left( {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x  + 1}}} \right)\] \[ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\sqrt x }}\] \[ = \] \[\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\] Vậy \[P = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\] Cách 2: Đặt \[a = \sqrt x \left( {a \ge 0} \right)\] Ta có \[P = \left( {\frac{a}{{a - 1}} - \frac{1}{{{a^2} - a}}} \right):\left( {\frac{1}{{a + 1}} + \frac{2}{{{a^2} - 1}}} \right) = \left[ {\frac{a}{{a - 1}} - \frac{1}{{a\left( {a - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{1}{{a + 1}} + \frac{2}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}} \right]\] \[ = \frac{{{a^2} - 1}}{{a\left( {a - 1} \right)}}:\frac{{\left( {a - 1} \right) + 2}}{{a + 1}} = \frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{a\left( {a - 1} \right)}}:\frac{{a + 1}}{{a + 1}} = \frac{{a + 1}}{a} = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\] Nhận xét : Bài toán rút gọn biểu thức có chứa biến 2) Ta có : \[P\sqrt x  = m - \sqrt x  \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}.\sqrt x  = m - \sqrt x \] \[ \Leftrightarrow x - 1 = m - \sqrt x  \Leftrightarrow m = x - 1 + \sqrt x \] Vậy \[m = x - 1 + \sqrt x \]với \[0 &lt; x \ne 1\] Nhận xét : Bài toán tìm tham số để thỏa mãn một đẳng thức cho trước

Free Form

Lớp 9

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn : \[x > y\] và \[xy = 1\]. Chứng minh rằng \[\frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} \ge 8\]

Vì \[x > y\] nên \[x - y > 0,\] suy ra \[\frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} \ge 8 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} \ge 2\sqrt 2 \] \[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2\sqrt 2 \left( {x - y} \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2\sqrt 2 x + 2\sqrt 2 y \ge 0\] \[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2 - 2\sqrt 2 x + 2\sqrt 2 y \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 2 x + 2\sqrt 2 y - 2xy \ge 0\] (vì\[xy = 1\] nên \[2 = 2xy\]) \[{\left( {x - y - \sqrt 2 } \right)^2} \ge 0\], điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh.

https://khoahoc.vietjack.com/question/890877

### Câu hỏi: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn : \[x > y\] và \[xy = 1\]. Chứng minh rằng \[\frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} \ge 8\] ### Lời giải: Vì \[x > y\] nên \[x - y > 0,\] suy ra \[\frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} \ge 8 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} \ge 2\sqrt 2 \] \[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2\sqrt 2 \left( {x - y} \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2\sqrt 2 x + 2\sqrt 2 y \ge 0\] \[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2 - 2\sqrt 2 x + 2\sqrt 2 y \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 2 x + 2\sqrt 2 y - 2xy \ge 0\] (vì\[xy = 1\] nên \[2 = 2xy\]) \[{\left( {x - y - \sqrt 2 } \right)^2} \ge 0\], điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh.

Free Form

Lớp 10

Cho hypebol (H) với phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ và điểm M(x₀; y₀) nằm trên (H). Các điểm M₁(–x₀; y₀), M₂(x₀; –y₀), M₃(–x₀; –y₀) có thuộc (H) không?

**Hướng dẫn giải** Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc (H) thì ta có: $\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1.$ Ta có: $\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{(-y_0)^2}{b^2} = \frac{(-x_0)^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = \frac{(-x_0)^2}{a^2} - \frac{(-y_0)^2}{b^2} = \frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1$ nên các điểm có toạ độ M₁(–x₀; y₀), M₂(x₀; –y₀), M₃(–x₀; –y₀) cũng thuộc (H).

https://khoahoc.vietjack.com/question/890902

### Câu hỏi: Cho hypebol (H) với phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ và điểm M(x₀; y₀) nằm trên (H). Các điểm M₁(–x₀; y₀), M₂(x₀; –y₀), M₃(–x₀; –y₀) có thuộc (H) không? ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc (H) thì ta có: $\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1.$ Ta có: $\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{(-y_0)^2}{b^2} = \frac{(-x_0)^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = \frac{(-x_0)^2}{a^2} - \frac{(-y_0)^2}{b^2} = \frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1$ nên các điểm có toạ độ M₁(–x₀; y₀), M₂(x₀; –y₀), M₃(–x₀; –y₀) cũng thuộc (H).

Free Form

Lớp 10

Viết phương trình chính tắc của hypebol có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Xác định đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của hypebol này.

**Hướng dẫn giải** Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a &gt; 0, b &gt; 0). Hypebol kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6, suy ra 2a = 8, 2b = 6, suy ra a = 4 và b = 3. Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $ \frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1.$ Có $ {c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}$ = 42 + 32 = 25, suy ra c = 5. Toạ độ các đỉnh của hypebol là A₁(–4; 0) và A₂(4; 0). Toạ độ các tiêu điểm của hypebol là F₁(–5; 0) và F₂(5; 0). Tiêu cự của hypebol là 2c = 10. Độ dài trục thực là 2a = 8, độ dài trục ảo là 2b = 6.

https://khoahoc.vietjack.com/question/890905

### Câu hỏi: Viết phương trình chính tắc của hypebol có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Xác định đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của hypebol này. ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math> (a &gt; 0, b &gt; 0). Hypebol kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6, suy ra 2a = 8, 2b = 6, suy ra a = 4 và b = 3. Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mn>16</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mn>9</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>1.</mn></math> Có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math> = 42 + 32 = 25, suy ra c = 5. Toạ độ các đỉnh của hypebol là A₁(–4; 0) và A₂(4; 0). Toạ độ các tiêu điểm của hypebol là F₁(–5; 0) và F₂(5; 0). Tiêu cự của hypebol là 2c = 10. Độ dài trục thực là 2a = 8, độ dài trục ảo là 2b = 6.

Free Form

Lớp 10

Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) trên hypebol $(H):\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$.

Có $a^2 = 64, b^2$ = 36, suy ra a = 8, b = 6, c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10.$ Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) là: $MF_1 = |a+\frac{c}{a}x|=|8+\frac{10}{8}x|=|8+\frac{5}{4}x|;$ $MF_2 = |a-\frac{c}{a}x|=|8-\frac{10}{8}x|=|8-\frac{5}{4}x|.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/890923

### Câu hỏi: Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) trên hypebol $(H):\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$. ### Lời giải: Có $a^2 = 64, b^2$ = 36, suy ra a = 8, b = 6, c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10.$ Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) là: $MF_1 = |a+\frac{c}{a}x|=|8+\frac{10}{8}x|=|8+\frac{5}{4}x|;$  $MF_2 = |a-\frac{c}{a}x|=|8-\frac{10}{8}x|=|8-\frac{5}{4}x|.$

Free Form

Lớp 10

Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A₂(a; 0) trên hypebol (H): $ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$.

**Hướng dẫn giải** Độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A₂(a; 0) là: A₂F₁ = $ |a+\frac{c}{a}x|=|a+\frac{c}{a}a|=|a+c|=a+c$ (vì a + c &gt; 0 ); A₂F₂ = $ |a-\frac{c}{a}x|=|a-\frac{c}{a}a|=|a-c|=c-a$ (vì a – c &lt; 0).

https://khoahoc.vietjack.com/question/890924

### Câu hỏi: Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A₂(a; 0) trên hypebol (H): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math>. ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** Độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A₂(a; 0) là: A₂F₁ = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>|</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi><mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mi>a</mi><mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>c</mi></math> (vì a + c &gt; 0 ); A₂F₂ = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>|</mo><mi>a</mi><mo>−</mo><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi><mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo><mi>a</mi><mo>−</mo><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mi>a</mi><mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo><mi>a</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><mi>c</mi><mo>−</mo><mi>a</mi></math> (vì a – c &lt; 0).

Free Form

Lớp 10

Cho hypebol $(H):\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. Chứng tỏ rằng $\frac{c}{a}>1$.

Có $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}>\sqrt{1}=1.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/890925

### Câu hỏi: Cho hypebol $(H):\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. Chứng tỏ rằng $\frac{c}{a}>1$. ### Lời giải: Có $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}>\sqrt{1}=1.$

Free Form

Lớp 10

Tìm tâm sai của các hypebol sau: a) $\left(H_1\right): \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1$; b) $\left(H_2\right): \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{25} = 1$; c) $\left(H_3\right): \frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{3} = 1$.

**Hướng dẫn giải** a) Có $a^2 = 4, b^2 = 1$, suy ra a = 2, b = 1, c = $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ => tâm sai của hypebol là e = $\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. b) Có $a^2 = 9, b^2 = 25$, suy ra a = 3, b = 5, c = $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{31}$ => tâm sai của hypebol là e = $\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{31}}{3}$. c) Có $a^2 = 3, b^2 = 3$, suy ra a = $\sqrt{3}$, b = $\sqrt{3}$, c = $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}$ => tâm sai của hypebol là e = $\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$.

https://khoahoc.vietjack.com/question/890926

### Câu hỏi: Tìm tâm sai của các hypebol sau: a) $\left(H_1\right): \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1$; b) $\left(H_2\right): \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{25} = 1$; c) $\left(H_3\right): \frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{3} = 1$. ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** a) Có $a^2 = 4, b^2 = 1$, suy ra a = 2, b = 1, c = $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ => tâm sai của hypebol là e = $\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. b) Có $a^2 = 9, b^2 = 25$, suy ra a = 3, b = 5, c = $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{31}$ => tâm sai của hypebol là e = $\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{31}}{3}$. c) Có $a^2 = 3, b^2 = 3$, suy ra a = $\sqrt{3}$, b = $\sqrt{3}$, c = $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}$ => tâm sai của hypebol là e = $\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$.

Free Form

Lớp 10

Cho hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2}$. Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

**Hướng dẫn giải** Giả sử hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > 0, b > 0$). Hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2} \Rightarrow \frac{c}{a} = \sqrt{2}$ $\Rightarrow \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} = \sqrt{2} \Rightarrow \frac{a^2 + b^2}{a^2} = 2 \Rightarrow a^2 + b^2 = 2a^2 \Rightarrow a^2 = b^2 \Rightarrow a = b \Rightarrow 2a = 2b.$ Vậy trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

https://khoahoc.vietjack.com/question/890927

### Câu hỏi: Cho hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2}$. Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau. ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** Giả sử hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > 0, b > 0$). Hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2} \Rightarrow \frac{c}{a} = \sqrt{2}$ $\Rightarrow \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} = \sqrt{2} \Rightarrow \frac{a^2 + b^2}{a^2} = 2 \Rightarrow a^2 + b^2 = 2a^2 \Rightarrow a^2 = b^2 \Rightarrow a = b \Rightarrow 2a = 2b.$ Vậy trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Free Form

Lớp 10

Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các hypebol sau: a) $ \left({H}_{1}\right):\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{1}=1$ b) $ \left({H}_{2}\right):\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{64}=1$ c) $ \left({H}_{3}\right):\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$.

**Hướng dẫn giải** a) Có $ {a}^{2}=4,{b}^{2}=1$, suy ra c = $ \sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$ =&gt; Hai tiêu điểm của hypebol là $ {F}_{1}(-\sqrt{5};0)$ và $ {F}_{2}(\sqrt{5};0).$ Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁là$ {\Delta }_{1}:x+\frac{a}{e}=0\Leftrightarrow x+\frac{{a}^{2}}{c}=0\Leftrightarrow x+\frac{4}{\sqrt{5}}=0.$ Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂là$ {\Delta }_{1}:x-\frac{a}{e}=0\Leftrightarrow x-\frac{{a}^{2}}{c}=0\Leftrightarrow x-\frac{4}{\sqrt{5}}=0.$ b) Có $ {a}^{2}=36,{b}^{2}=64$, suy ra c = $ \sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{36+64}=10$ =&gt; Hai tiêu điểm của hypebol là $ {F}_{1}(-10;0)$ và $ {F}_{2}(10;0).$ Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁là$ {\Delta }_{1}:x+\frac{a}{e}=0\Leftrightarrow x+\frac{{a}^{2}}{c}=0\Leftrightarrow x+\frac{36}{10}=0\Leftrightarrow x+\frac{18}{5}=0.$ Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂là$ {\Delta }_{1}:x-\frac{a}{e}=0\Leftrightarrow x-\frac{{a}^{2}}{c}=0\Leftrightarrow x-\frac{36}{10}=0\Leftrightarrow x-\frac{18}{5}=0.$ c) Có $ {a}^{2}=9,{b}^{2}=9$, suy ra c = $ \sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$ =&gt; Hai tiêu điểm của hypebol là $ {F}_{1}(-3\sqrt{2};0)$ và $ {F}_{2}(3\sqrt{2};0).$ Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁là$ {\Delta }_{1}:x+\frac{a}{e}=0\Leftrightarrow x+\frac{{a}^{2}}{c}=0\Leftrightarrow x+\frac{9}{3\sqrt{2}}=0\Leftrightarrow x+\frac{3}{\sqrt{2}}=0.$ Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂là $ {\Delta }_{1}:x-\frac{a}{e}=0\Leftrightarrow x-\frac{{a}^{2}}{c}=0\Leftrightarrow x-\frac{9}{3\sqrt{2}}=0\Leftrightarrow x-\frac{3}{\sqrt{2}}=0.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/890932

### Câu hỏi: Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các hypebol sau: a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>(</mo><msub><mi>H</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>:</mo><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mn>1</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math> b) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>(</mo><msub><mi>H</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>:</mo><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mn>36</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mn>64</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math> c) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>(</mo><msub><mi>H</mi><mn>3</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>:</mo><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mn>9</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mn>9</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math>. ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** a) Có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mo> </mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn></math>, suy ra c = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>4</mn><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>5</mn></msqrt></math> =&gt; Hai tiêu điểm của hypebol là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>F</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><msqrt><mn>5</mn></msqrt><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>F</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msqrt><mn>5</mn></msqrt><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></math> Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁là<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>Δ</mi><mn>1</mn></msub><mo>:</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>a</mi><mi>e</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>c</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>4</mn><msqrt><mn>5</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mn>0.</mn></math> Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂là<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>Δ</mi><mn>1</mn></msub><mo>:</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mfrac><mi>a</mi><mi>e</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>c</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mfrac><mn>4</mn><msqrt><mn>5</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mn>0.</mn></math> b) Có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>36</mn><mo>,</mo><mo> </mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>64</mn></math>, suy ra c = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>36</mn><mo>+</mo><mn>64</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>10</mn></math> =&gt; Hai tiêu điểm của hypebol là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>F</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>10</mn><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>F</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mn>10</mn><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></math> Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁là<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>Δ</mi><mn>1</mn></msub><mo>:</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>a</mi><mi>e</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>c</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>36</mn><mn>10</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>18</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>0.</mn></math> Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂là<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>Δ</mi><mn>1</mn></msub><mo>:</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mfrac><mi>a</mi><mi>e</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>c</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mfrac><mn>36</mn><mn>10</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mfrac><mn>18</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>0.</mn></math> c) Có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>9</mn><mo>,</mo><mo> </mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>9</mn></math>, suy ra c = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>9</mn><mo>+</mo><mn>9</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>3</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math> =&gt; Hai tiêu điểm của hypebol là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>F</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>3</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>F</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></math> Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁là<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>Δ</mi><mn>1</mn></msub><mo>:</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>a</mi><mi>e</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>c</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>9</mn><mrow><mn>3</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>3</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mn>0.</mn></math> Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>Δ</mi><mn>1</mn></msub><mo>:</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mfrac><mi>a</mi><mi>e</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>c</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mfrac><mn>9</mn><mrow><mn>3</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mfrac><mn>3</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mn>0.</mn></math>

Free Form

Lớp 10

Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 288/13.

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > 0, b > 0). +) Hypebol có tiêu cự bằng 26, suy ra 2c = 26, suy ra c = 13. +) Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 288/13, suy ra $2\frac{a}{e} = \frac{288}{13}$ $\Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{144}{13} \Rightarrow \frac{a^2}{c} = \frac{144}{13} \Rightarrow \frac{a^2}{13} = \frac{144}{13} \Rightarrow a^2 = 144 \Rightarrow b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 144 = 25.$ Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/890933

### Câu hỏi: Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 288/13. ### Lời giải: Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > 0, b > 0). +) Hypebol có tiêu cự bằng 26, suy ra 2c = 26, suy ra c = 13. +) Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 288/13, suy ra $2\frac{a}{e} = \frac{288}{13}$ $\Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{144}{13} \Rightarrow \frac{a^2}{c} = \frac{144}{13} \Rightarrow \frac{a^2}{13} = \frac{144}{13} \Rightarrow a^2 = 144 \Rightarrow b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 144 = 25.$ Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1.$

Free Form

Lớp 10

Cho hypebol $(H):\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$. a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M(13;\frac{25}{12})$ trên $(H)$. b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng. c) Tìm điểm $N(x; y) \in$ $(H)$ sao cho $NF_1 = 2NF_2$ với $F_1$, $F_2$ là hai tiêu điểm của $(H)$.

Có $a^2 = 144, b^2 = 25$ => a = 12, b = 5, $c=\sqrt{a^2+b^2}=13$. Tâm sau của $(H)$ là e = $\frac{c}{a}=\frac{13}{12}$. Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M(13;\frac{25}{12})$ là: $MF_1 = |a+\frac{c}{a}x|=|12+\frac{13}{12}.13|=\frac{313}{12}$; $MF_2 = |a-\frac{c}{a}x|=|12-\frac{13}{12}.13|=\frac{25}{12}$. b) Hai tiêu điểm của hypebol là $F_1(-13; 0)$ và $F_2(13; 0)$. Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm $F_1$ là $\Delta_1:x+\frac{a}{e}=0 \Leftrightarrow x+\frac{a^2}{c}=0 \Leftrightarrow x+\frac{144}{13}=0$. Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm $F_2$ là $\Delta_1:x-\frac{a}{e}=0 \Leftrightarrow x-\frac{a^2}{c}=0 \Leftrightarrow x-\frac{144}{13}=0$. c) $NF_1 = |a+\frac{c}{a}x|$; $NF_2 = |a-\frac{c}{a}x|$. $NF_1 = 2NF_2$ $\Leftrightarrow |a+\frac{c}{a}x|=2|a-\frac{c}{a}x| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a+\frac{c}{a}x=2(a-\frac{c}{a}x) \\ a+\frac{c}{a}x=2(\frac{c}{a}x-a) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=3\frac{c}{a}x \\ 3a=\frac{c}{a}x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{a^2}{3c}=\frac{144}{3.13}=\frac{48}{13} \\ x=\frac{3a^2}{c}=\frac{3.144}{13}=\frac{432}{13} \end{array} \right.$. +) x = 48/13 loại vì 0 < x < a. +) x = 432/13 thì $\frac{(\frac{432}{13})^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1 \Rightarrow y^2=\frac{32400}{169} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} y=\frac{180}{13} \\ y=-\frac{180}{13} \end{array} \right.$. Vậy có hai điểm N thoả mãn đề bài là $N_1(\frac{432}{13};\frac{180}{13})$ và $N_2(\frac{432}{13};-\frac{180}{13})$.

https://khoahoc.vietjack.com/question/890975

### Câu hỏi: Cho hypebol $(H):\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$. a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M(13;\frac{25}{12})$ trên $(H)$. b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng. c) Tìm điểm $N(x; y) \in$ $(H)$ sao cho $NF_1 = 2NF_2$ với $F_1$, $F_2$ là hai tiêu điểm của $(H)$. ### Lời giải: Có $a^2 = 144, b^2 = 25$ => a = 12, b = 5, $c=\sqrt{a^2+b^2}=13$. Tâm sau của $(H)$ là e = $\frac{c}{a}=\frac{13}{12}$. Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M(13;\frac{25}{12})$ là: $MF_1 = |a+\frac{c}{a}x|=|12+\frac{13}{12}.13|=\frac{313}{12}$; $MF_2 = |a-\frac{c}{a}x|=|12-\frac{13}{12}.13|=\frac{25}{12}$. b) Hai tiêu điểm của hypebol là $F_1(-13; 0)$ và $F_2(13; 0)$. Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm $F_1$ là $\Delta_1:x+\frac{a}{e}=0 \Leftrightarrow x+\frac{a^2}{c}=0 \Leftrightarrow x+\frac{144}{13}=0$. Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm $F_2$ là $\Delta_1:x-\frac{a}{e}=0 \Leftrightarrow x-\frac{a^2}{c}=0 \Leftrightarrow x-\frac{144}{13}=0$. c) $NF_1 = |a+\frac{c}{a}x|$; $NF_2 = |a-\frac{c}{a}x|$. $NF_1 = 2NF_2$ $\Leftrightarrow |a+\frac{c}{a}x|=2|a-\frac{c}{a}x| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a+\frac{c}{a}x=2(a-\frac{c}{a}x) \\ a+\frac{c}{a}x=2(\frac{c}{a}x-a) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=3\frac{c}{a}x \\ 3a=\frac{c}{a}x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{a^2}{3c}=\frac{144}{3.13}=\frac{48}{13} \\ x=\frac{3a^2}{c}=\frac{3.144}{13}=\frac{432}{13} \end{array} \right.$. +) x = 48/13 loại vì 0 < x < a. +) x = 432/13 thì $\frac{(\frac{432}{13})^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1 \Rightarrow y^2=\frac{32400}{169} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} y=\frac{180}{13} \\ y=-\frac{180}{13} \end{array} \right.$. Vậy có hai điểm N thoả mãn đề bài là $N_1(\frac{432}{13};\frac{180}{13})$ và $N_2(\frac{432}{13};-\frac{180}{13})$.

Free Form

Lớp 10

Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 20 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 36/5.

**Hướng dẫn giải** Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > 0, b > 0). +) Hypebol có tiêu cự bằng 26, suy ra 2c = 20, suy ra c = 10. +) Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 36/5, suy ra $\frac{a}{e} = \frac{18}{5} \Rightarrow \frac{a^2}{c} = \frac{18}{5} \Rightarrow \frac{a^2}{10} = \frac{18}{5} \Rightarrow a^2 = 36 \Rightarrow b^2 = c^2 - a^2 = 10^2 - 36 = 64.$ Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/890976

### Câu hỏi: Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 20 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 36/5. ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > 0, b > 0). +) Hypebol có tiêu cự bằng 26, suy ra 2c = 20, suy ra c = 10. +) Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 36/5, suy ra $\frac{a}{e} = \frac{18}{5} \Rightarrow \frac{a^2}{c} = \frac{18}{5} \Rightarrow \frac{a^2}{10} = \frac{18}{5} \Rightarrow a^2 = 36 \Rightarrow b^2 = c^2 - a^2 = 10^2 - 36 = 64.$ Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1.$

Free Form

Lớp 10

Cho đường tròn (C) tâm $F_1$, bán kính r và một điểm $F_2$ thoả mãn $F_1F_2 = 4r$. a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua $F_2$ và tiếp xúc với (C) nằm trên một đường hypebol (H). b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).

**Hướng dẫn giải** a) Gọi (C'; r') là đường tròn đi qua $F_2$ và tiếp xúc với (C); I(x; y) là tâm của đường tròn đi qua $F_2$ và tiếp xúc với (C). Vì $F_2$ nằm ngoài (C) nên (C') tiếp xúc ngoài với (C) hoặc (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C'). +) Nếu (C') tiếp xúc ngoài với (C) thì r' + r = IF₁ =&gt; IF₂ + r = IF₁ =&gt; IF₁ – IF₂ = r +) Nếu (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C') thì r' – r = IF₁ =&gt; IF₂ – r = IF₁ =&gt; IF₂ – IF₁ = r. Vậy ta luôn có |IF₂ – IF₁| = r trong cả hai trường hợp =&gt; I nằm trên hypebol có hai tiêu điểm là F₁, F₂ và độ dài trục thực là r. b) Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của F₁F₂ và F₁, F₂ đều nằm trên trục Ox. Giả sử phương trình chính tắc của hypebol này là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a &gt; 0, b &gt; 0). Khi đó ta có 2a = r, suy ra a = r/2 F₁F₂ = 4r, suy ra c = 2r, suy ra $b^2 = c^2 - a^2 = (2r)^2 - (\frac{r}{2})^2 = \frac{15r^2}{4}$. Vậy phương trình chính tắc của hypebol này là $\frac{x^2}{\frac{r^2}{4}} - \frac{y^2}{\frac{15r^2}{4}} = 1.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/890977

### Câu hỏi: Cho đường tròn (C) tâm $F_1$, bán kính r và một điểm $F_2$ thoả mãn $F_1F_2 = 4r$. a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua $F_2$ và tiếp xúc với (C) nằm trên một đường hypebol (H). b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H). ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** a) Gọi (C'; r') là đường tròn đi qua $F_2$ và tiếp xúc với (C); I(x; y) là tâm của đường tròn đi qua $F_2$ và tiếp xúc với (C). Vì $F_2$ nằm ngoài (C) nên (C') tiếp xúc ngoài với (C) hoặc (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C'). +) Nếu (C') tiếp xúc ngoài với (C) thì r' + r = IF₁ =&gt;  IF₂ + r = IF₁ =&gt;  IF₁ – IF₂ = r +) Nếu (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C') thì r' – r = IF₁ =&gt;  IF₂ – r = IF₁ =&gt; IF₂ – IF₁ = r. Vậy ta luôn có |IF₂ – IF₁| = r trong cả hai trường hợp =&gt; I nằm trên hypebol có hai tiêu điểm là F₁, F₂ và độ dài trục thực là r. b) Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của F₁F₂ và F₁, F₂ đều nằm trên trục Ox. Giả sử phương trình chính tắc của hypebol này là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a &gt; 0, b &gt; 0). Khi đó ta có 2a = r, suy ra a = r/2 F₁F₂ = 4r, suy ra c = 2r, suy ra $b^2 = c^2 - a^2 = (2r)^2 - (\frac{r}{2})^2 = \frac{15r^2}{4}$. Vậy phương trình chính tắc của hypebol này là $\frac{x^2}{\frac{r^2}{4}} - \frac{y^2}{\frac{15r^2}{4}} = 1.$

Free Form

Lớp 10

Trong hoạt động mở đầu bài học, cho biết khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600 km, vận tốc sóng vô tuyến là 300000 km/s và thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ hai trạm trên bờ biển luôn cách nhau 0,0012 s (hai trạm vô tuyến phát các tín hiệu cùng một thời điểm). Viết phương trình chính tắc của quỹ đạo hypebol (H) của con tàu.

**Hướng dẫn giải** Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với tiêu điểm của F₁F₂, đơn vị trên các trục là km. Giả sử phương trình chính tắc của (H) là $ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(a &gt; 0, b &gt; 0). <span style="mso-bidi-font-weight: bold;">Gọi t</span>_{<span style="mso-bidi-font-weight: bold;">1</span>}<span style="mso-bidi-font-weight: bold;"> là thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ trạm F</span>_{<span style="mso-bidi-font-weight: bold;">1</span>}<span style="mso-bidi-font-weight: bold;">; t</span>_{<span style="mso-bidi-font-weight: bold;">2</span>}<span style="mso-bidi-font-weight: bold;"> là thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ trạm F</span>_{<span style="mso-bidi-font-weight: bold;">2</span>}<span style="mso-bidi-font-weight: bold;">, v là vận tốc sóng vô tuyến.</span> <span style="mso-bidi-font-weight: bold;">Theo đề bài ta có: |t</span>_{<span style="mso-bidi-font-weight: bold;">1</span>}<span style="mso-bidi-font-weight: bold;"> – t</span>_{<span style="mso-bidi-font-weight: bold;">2</span>}<span style="mso-bidi-font-weight: bold;">| = 0,0012</span> =&gt;|vt₁ – vt₂| = 0,0012v = 0,0012 . 300000 = 360 (km) =&gt;|MF₁ – MF₂| = 360 với mọi vị trí của M <span style="mso-spacerun: yes;">=&gt; </span>2a = 360 =&gt;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>a = 180. Có khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600 km =&gt;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>2c = 600 =&gt;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>c = 300 <span style="position: relative; top: 3.0pt; mso-text-raise: -3.0pt;">$ \Rightarrow {b}^{2}={c}^{2}-{a}^{2}={300}^{2}-{180}^{2}=57600.$<br/></span> Vậy phương trình chính tắc của (H) là $ \frac{{x}^{2}}{32400}-\frac{{y}^{2}}{57600}=1.$<span style="position: relative; top: 14.0pt; mso-text-raise: -14.0pt;"></span>

https://khoahoc.vietjack.com/question/890979

### Câu hỏi: Trong hoạt động mở đầu bài học, cho biết khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600 km, vận tốc sóng vô tuyến là 300000 km/s và thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ hai trạm trên bờ biển luôn cách nhau 0,0012 s (hai trạm vô tuyến phát các tín hiệu cùng một thời điểm). Viết phương trình chính tắc của quỹ đạo hypebol (H) của con tàu. ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với tiêu điểm của F₁F₂, đơn vị trên các trục là km. Giả sử phương trình chính tắc của (H) là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(a &gt; 0, b &gt; 0). <span style="mso-bidi-font-weight: bold;">Gọi t</span>_{<span style="mso-bidi-font-weight: bold;">1</span>}<span style="mso-bidi-font-weight: bold;"> là thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ trạm F</span>_{<span style="mso-bidi-font-weight: bold;">1</span>}<span style="mso-bidi-font-weight: bold;">; t</span>_{<span style="mso-bidi-font-weight: bold;">2</span>}<span style="mso-bidi-font-weight: bold;"> là thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ trạm F</span>_{<span style="mso-bidi-font-weight: bold;">2</span>}<span style="mso-bidi-font-weight: bold;">, v là vận tốc sóng vô tuyến.</span> <span style="mso-bidi-font-weight: bold;">Theo đề bài ta có: |t</span>_{<span style="mso-bidi-font-weight: bold;">1</span>}<span style="mso-bidi-font-weight: bold;"> – t</span>_{<span style="mso-bidi-font-weight: bold;">2</span>}<span style="mso-bidi-font-weight: bold;">| = 0,0012</span> =&gt;|vt₁ – vt₂| = 0,0012v = 0,0012 . 300000 = 360 (km) =&gt;|MF₁ – MF₂| = 360 với mọi vị trí của M <span style="mso-spacerun: yes;">=&gt; </span>2a = 360 =&gt;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>a = 180. Có khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600 km =&gt;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>2c = 600 =&gt;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>c = 300 <span style="position: relative; top: 3.0pt; mso-text-raise: -3.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mn>300</mn><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><msup><mn>180</mn><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>57600.</mn></math><br/></span> Vậy phương trình chính tắc của (H) là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mn>32400</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mn>57600</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>1.</mn></math><span style="position: relative; top: 14.0pt; mso-text-raise: -14.0pt;"></span>

Free Form

Lớp 10

Tìm các tiêu điểm và đường chuẩn của hypebol có phương trình chính tắc là $ \frac{{x}^{2}}{11}-\frac{{y}^{2}}{25}=1.$

Ta có: a² = 11, b² = 25 $ \Rightarrow a=\sqrt{11},\text{\hspace{0.17em}}b=5,\text{\hspace{0.17em}}c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{11+25}=6.$ Do đó hai tiêu điểm là F₁(–6; 0) và F₂(6; 0). Ta có: $ e=\frac{c}{a}=\frac{6}{\sqrt{11}}\Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{\sqrt{11}}{\frac{6}{\sqrt{11}}}=\frac{11}{6}.$ Vậy phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁(–6; 0) là $ {\Delta }_{1}:\text{\hspace{0.17em}}x=-\frac{11}{6}.$ Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂(6; 0) là $ {\Delta }_{2}:\text{\hspace{0.17em}}x=\frac{11}{6}.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/890980

### Câu hỏi: Tìm các tiêu điểm và đường chuẩn của hypebol có phương trình chính tắc là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mn>11</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mn>25</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>1.</mn></math> ### Lời giải: Ta có: a² = 11, b² = 25 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>a</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>11</mn></msqrt><mo>,</mo><mtext> </mtext><mi>b</mi><mo>=</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mtext> </mtext><mi>c</mi><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>11</mn><mo>+</mo><mn>25</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>6.</mn></math> Do đó hai tiêu điểm là F₁(–6; 0) và F₂(6; 0). Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>e</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>6</mn><msqrt><mn>11</mn></msqrt></mfrac><mo>⇒</mo><mfrac><mi>a</mi><mi>e</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><msqrt><mn>11</mn></msqrt><mfrac><mn>6</mn><msqrt><mn>11</mn></msqrt></mfrac></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>11</mn><mn>6</mn></mfrac><mo>.</mo></math> Vậy phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁(–6; 0) là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>Δ</mi><mn>1</mn></msub><mo>:</mo><mtext> </mtext><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mn>11</mn><mn>6</mn></mfrac><mo>.</mo></math> Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂(6; 0) là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>Δ</mi><mn>2</mn></msub><mo>:</mo><mtext> </mtext><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>11</mn><mn>6</mn></mfrac><mo>.</mo></math>

Free Form

Lớp 10

Chứng tỏ rằng nếu điểm M(x₀; y₀) nằm trên parabol (P) thì điểm M'(x₀; –y₀) cũng nằm trên parabol (P).

**Hướng dẫn giải** M(x₀; y₀) thuộc (P) thì $ {y}_{0}^{2}=2p{x}_{0}.$ Có $ {(-{y}_{0})}^{2}={y}_{0}^{2}=2p{x}_{0}$ nên M'(x₀; –y₀) cũng thuộc (P).

https://khoahoc.vietjack.com/question/890982

### Câu hỏi: Chứng tỏ rằng nếu điểm M(x₀; y₀) nằm trên parabol (P) thì điểm M'(x₀; –y₀) cũng nằm trên parabol (P). ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** M(x₀; y₀) thuộc (P) thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>y</mi><mn>0</mn><mn>2</mn></msubsup><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>p</mi><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>.</mo></math> Có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msubsup><mi>y</mi><mn>0</mn><mn>2</mn></msubsup><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>p</mi><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub></math> nên M'(x₀; –y₀) cũng thuộc (P).

Free Form

Lớp 10

Tìm toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, phương trình đường chuẩn và trục đối xứng của các parabol sau: a) $(P_1): y^2 = 2x;$ b) $(P_2): y^2 = x;$ c) $(P_3): y^2 = \frac{1}{5}x$.

**Hướng dẫn giải** a) Có $2p = 2$, suy ra $p = 1$. Toạ độ tiêu điểm của parabol là $F (\frac{1}{2};0)$ Toạ độ đỉnh của parabol là $O(0; 0)$. Phương trình đường chuẩn của parabol là $x = -\frac{1}{2}$ Trục đối xứng của parabol là trục $Ox$. b) Có $2p = 1$, suy ra $p = \frac{1}{2}$ Toạ độ tiêu điểm của parabol là $F(\frac{1}{4};0)$ Toạ độ đỉnh của parabol là $O(0; 0)$. Phương trình đường chuẩn của parabol là $x = -\frac{1}{4}$ Trục đối xứng của parabol là trục $Ox$. c) Có $2p = \frac{1}{5}$ suy ra $p = \frac{1}{10}$ Toạ độ tiêu điểm của parabol là $F(\frac{1}{20};0)$ Toạ độ đỉnh của parabol là $O(0; 0)$. Phương trình đường chuẩn của parabol là $x = -\frac{1}{20}$ Trục đối xứng của parabol là trục $Ox$.

https://khoahoc.vietjack.com/question/890985

### Câu hỏi: Tìm toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, phương trình đường chuẩn và trục đối xứng của các parabol sau: a) $(P_1): y^2 = 2x;$ b) $(P_2): y^2 = x;$ c) $(P_3): y^2 = \frac{1}{5}x$. ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** a) Có $2p = 2$, suy ra $p = 1$. Toạ độ tiêu điểm của parabol là $F (\frac{1}{2};0)$ Toạ độ đỉnh của parabol là $O(0; 0)$. Phương trình đường chuẩn của parabol là $x = -\frac{1}{2}$ Trục đối xứng của parabol là trục $Ox$. b) Có $2p = 1$, suy ra $p = \frac{1}{2}$ Toạ độ tiêu điểm của parabol là $F(\frac{1}{4};0)$ Toạ độ đỉnh của parabol là $O(0; 0)$. Phương trình đường chuẩn của parabol là $x = -\frac{1}{4}$ Trục đối xứng của parabol là trục $Ox$. c) Có $2p = \frac{1}{5}$ suy ra $p = \frac{1}{10}$ Toạ độ tiêu điểm của parabol là $F(\frac{1}{20};0)$ Toạ độ đỉnh của parabol là $O(0; 0)$. Phương trình đường chuẩn của parabol là $x = -\frac{1}{20}$ Trục đối xứng của parabol là trục $Ox$.

Free Form

Lớp 10

Cho hypebol (H) có một đỉnh là A₁(–4; 0) và tiêu cự là 10. Viết phương trình chính tắc và vẽ hypebol (H).

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a &gt; 0, b &gt; 0). +) Hypebol có một đỉnh là A₁(–4; 0) $\Rightarrow$ a = 4. +) Hypebol có tiêu cự là 10 $\Rightarrow$ 2c = 10 $\Rightarrow$ c = 5 $\Rightarrow$ b² = c² – a² = 5² – 4² = 9. Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/890986

### Câu hỏi: Cho hypebol (H) có một đỉnh là A₁(–4; 0) và tiêu cự là 10. Viết phương trình chính tắc và vẽ hypebol (H). ### Lời giải: Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a &gt; 0, b &gt; 0). +) Hypebol có một đỉnh là A₁(–4; 0) $\Rightarrow$ a = 4. +) Hypebol có tiêu cự là 10 $\Rightarrow$ 2c = 10 $\Rightarrow$ c = 5 $\Rightarrow$ b² = c² – a² = 5² – 4² = 9. Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1.$

Free Form

Lớp 10

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d: x + 2 = 0. Viết phương trình của đường (L) là tập hợp các tâm J(x; y) của các đường tròn (C) thay đổi nhưng luôn luôn đi qua A và tiếp xúc với d.

Có JA = $ \sqrt{{(2-x)}^{2}+{(0-y)}^{2}}=\sqrt{{(2-x)}^{2}+{y}^{2}}.$<span style="position: relative; top: 8.0pt; mso-text-raise: -8.0pt;"></span> Khoảng cách từ J đến d là: d(J; d) = |x + 2|. Đường tròn (C) luôn đi qua A và tiếp xúc với d =&gt;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>JA = d(J; d) <span style="position: relative; top: 8.0pt; mso-text-raise: -8.0pt;">$ \Leftrightarrow \sqrt{{(2-x)}^{2}+{y}^{2}}=|x+2|$<br/></span> <span style="position: relative; top: 7.0pt; mso-text-raise: -7.0pt;">$ \Leftrightarrow {(2-x)}^{2}+{y}^{2}={|x+2|}^{2}$<br/></span> <span style="position: relative; top: 9.0pt; mso-text-raise: -9.0pt;">$ \Leftrightarrow (4-4x+{x}^{2})+{y}^{2}={x}^{2}+4x+4$<br/></span> <span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;">$ \Leftrightarrow {y}^{2}=8x.$<br/></span> Vậy (L) là một parabol có phương trình $ {y}^{2}=8x$

https://khoahoc.vietjack.com/question/890987

### Câu hỏi: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d: x + 2 = 0. Viết phương trình của đường (L) là tập hợp các tâm J(x; y) của các đường tròn (C) thay đổi nhưng luôn luôn đi qua A và tiếp xúc với d. ### Lời giải: Có JA = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><msup><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><msup><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>.</mo></math><span style="position: relative; top: 8.0pt; mso-text-raise: -8.0pt;"></span> Khoảng cách từ J đến d là: d(J; d) = |x + 2|. Đường tròn (C) luôn đi qua A và tiếp xúc với d =&gt;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>JA = d(J; d) <span style="position: relative; top: 8.0pt; mso-text-raise: -8.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><msqrt><msup><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>|</mo></mrow></math><br/></span> <span style="position: relative; top: 7.0pt; mso-text-raise: -7.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mo>|</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>|</mo></mrow><mn>2</mn></msup></math><br/></span> <span style="position: relative; top: 9.0pt; mso-text-raise: -9.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><mrow><mo>(</mo><mn>4</mn><mo>−</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>4</mn></math><br/></span> <span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>8</mn><mi>x</mi><mo>.</mo></math><br/></span> Vậy (L) là một parabol có phương trình  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>y</mi><mrow><mn>2</mn><mo> </mo></mrow></msup><mo>=</mo><mo> </mo><mn>8</mn><mi>x</mi></math>

Free Form

Lớp 10

Tính bán kính qua tiêu của điểm dưới đây trên parabol tương ứng: a) Điểm $M_1(1; –4)$ trên $(P_1): \math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></math> = 16x; b) Điểm $M_2(3; –3)$ trên $(P_2): $ $\math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></math> = 3x; c) Điểm $M_3(4; 1)$ trên $\math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><msub><mi>P</mi><mn>3</mn></msub><mo>)</mo></math> : $\math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mi>x</mi$ .

**Hướng dẫn giải** a) Có 2p = 16, suy ra p = 8. Bán kính qua tiêu của $M_1$ là: $FM_1$ = x + p/2 = 1 + 8/2 = 5. b) Có 2p = 3, suy ra p = 3/2 Bán kính qua tiêu của $M_2$ là: $FM_2$ = x + p/2 = 3 + 3/4 = 15/4 c) Có 2p = 1/4 suy ra p = 1/8 Bán kính qua tiêu của $M_3$ là: $FM_3$ = x + p/2 = 4 + 1/16 = 65/16

https://khoahoc.vietjack.com/question/890993

### Câu hỏi: Tính bán kính qua tiêu của điểm dưới đây trên parabol tương ứng: a) Điểm $M_1(1; –4)$ trên $(P_1): \math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></math> = 16x; b) Điểm $M_2(3; –3)$ trên $(P_2): $ $\math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></math> = 3x; c) Điểm $M_3(4; 1)$ trên $\math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><msub><mi>P</mi><mn>3</mn></msub><mo>)</mo></math> : $\math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mi>x</mi$ . ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** a) Có 2p = 16, suy ra p = 8. Bán kính qua tiêu của $M_1$ là: $FM_1$ = x + p/2 = 1 + 8/2 = 5. b) Có 2p = 3, suy ra p = 3/2 Bán kính qua tiêu của $M_2$ là: $FM_2$ = x + p/2 = 3 + 3/4 = 15/4 c) Có 2p = 1/4 suy ra p = 1/8 Bán kính qua tiêu của $M_3$ là: $FM_3$ = x + p/2 = 4 + 1/16 = 65/16

Free Form

Lớp 10

Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết: a) Tiêu điểm là F₁(– 3; 0) và đỉnh là A₂ (2; 0). b) Đỉnh là A₂(4; 0) và tiêu cự bằng 10. c) Tiêu điểm F₂ (4; 0) và phương trình một đường tiệm cận là $y = -\frac{\sqrt{7}}{3}x$.

a) Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > 0, b > 0). +) Hypebol có một tiêu điểm là F₁(–3; 0) $\Rightarrow$ c = 3. +) Hypebol có một đỉnh là A₂(2; 0) $\Rightarrow$ a = 2 $\Rightarrow$ b² = c² – a² = 3² – 2² = 5. Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1.$ b) Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > 0, b > 0). +) Hypebol có một đỉnh là A₂(4; 0) $\Rightarrow$ a = 4. +) Hypebol có tiêu cự là 10 $\Rightarrow$ 2c = 10 $\Rightarrow$ c = 5 $\Rightarrow$ b² = c² – a² = 5² – 4² = 9. Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1.$ c) Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > 0, b > 0). +) Hypebol có một tiêu điểm là F₂(4; 0) $\Rightarrow$ c = 4. +) Hypebol có một đường tiệm cận là $y = -\frac{\sqrt{7}}{3}x \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{7}}{3}$ $\Rightarrow \frac{a}{3} = \frac{b}{\sqrt{7}} \Rightarrow \frac{a^2}{9} = \frac{b^2}{7} = \frac{a^2 + b^2}{9 + 7} = \frac{c^2}{16} = \frac{4^2}{16} = 1 \Rightarrow$ a² = 9, b² = 7. Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/890994

### Câu hỏi: Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết: a) Tiêu điểm là F₁(– 3; 0) và đỉnh là A₂ (2; 0). b) Đỉnh là A₂(4; 0) và tiêu cự bằng 10. c) Tiêu điểm F₂ (4; 0) và phương trình một đường tiệm cận là $y = -\frac{\sqrt{7}}{3}x$. ### Lời giải: a) Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > 0, b > 0). +) Hypebol có một tiêu điểm là F₁(–3; 0) $\Rightarrow$ c = 3. +) Hypebol có một đỉnh là A₂(2; 0) $\Rightarrow$ a = 2 $\Rightarrow$ b² = c² – a² = 3² – 2² = 5. Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1.$ b) Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > 0, b > 0). +) Hypebol có một đỉnh là A₂(4; 0) $\Rightarrow$ a = 4. +) Hypebol có tiêu cự là 10 $\Rightarrow$ 2c = 10 $\Rightarrow$ c = 5 $\Rightarrow$ b² = c² – a² = 5² – 4² = 9. Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1.$ c) Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > 0, b > 0). +) Hypebol có một tiêu điểm là F₂(4; 0) $\Rightarrow$ c = 4. +) Hypebol có một đường tiệm cận là $y = -\frac{\sqrt{7}}{3}x \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{7}}{3}$ $\Rightarrow \frac{a}{3} = \frac{b}{\sqrt{7}} \Rightarrow \frac{a^2}{9} = \frac{b^2}{7} = \frac{a^2 + b^2}{9 + 7} = \frac{c^2}{16} = \frac{4^2}{16} = 1 \Rightarrow$ a² = 9, b² = 7. Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1.$

Free Form

Lớp 10

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc là x² – y² = 1. Chứng minh rằng hai đường tiệm cận của hypebol vuông góc với nhau.

Ta có: a = 1, b = 1. Suy ra: Phương trình hai đường tiệm cận của hypebol là: $ {d}_{1}:y=-\frac{b}{a}x=-x$ và $ {d}_{2}:y=\frac{b}{a}x=x.$ $ {d}_{1}:y=-x$ hay x + y = 0 có vectơ pháp tuyến là $ \overrightarrow{{n}_{1}}\left(1;1\right).$ $ {d}_{2}:y=x$ hay x – y = 0 có vectơ pháp tuyến là $ \overrightarrow{{n}_{2}}\left(1;-1\right).$ Có $ \overrightarrow{{n}_{1}}\text{\hspace{0.17em}}.\text{\hspace{0.17em}}\overrightarrow{{n}_{2}}=1.1+1.\left(-1\right)=0.$ Suy ra hai vectơ này vuông góc với nhau, do đó hai đường thẳng d₁ và d₂ cũng vuông góc với nhau.

https://khoahoc.vietjack.com/question/891003

### Câu hỏi: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc là x² – y² = 1. Chứng minh rằng hai đường tiệm cận của hypebol vuông góc với nhau. ### Lời giải: Ta có: a = 1, b = 1. Suy ra: Phương trình hai đường tiệm cận của hypebol là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mo>:</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mi>b</mi><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>x</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><mo>:</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>b</mi><mi>a</mi></mfrac><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>.</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mo>:</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>x</mi></math> hay x + y = 0 có vectơ pháp tuyến là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent="true"><msub><mi>n</mi><mn>1</mn></msub><mo>→</mo></mover><mfenced><mrow><mn>1</mn><mo>;</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>.</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><mo>:</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>x</mi></math> hay x – y = 0 có vectơ pháp tuyến là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent="true"><msub><mi>n</mi><mn>2</mn></msub><mo>→</mo></mover><mfenced><mrow><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>.</mo></math> Có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent="true"><msub><mi>n</mi><mn>1</mn></msub><mo>→</mo></mover><mtext> </mtext><mo>.</mo><mtext> </mtext><mover accent="true"><msub><mi>n</mi><mn>2</mn></msub><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mn>1.1</mn><mo>+</mo><mn>1.</mn><mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0.</mn></math> Suy ra hai vectơ này vuông góc với nhau, do đó hai đường thẳng d₁ và d₂ cũng vuông góc với nhau.

Free Form

Lớp 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol $(H):\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$. Lập phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H) và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E).

Hypebol (H) có a = 8, b = 6 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=10$ và một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M(8; 6). Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a &gt; b &gt; 0). Theo đề bài ta có: +) (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H) $\Rightarrow c=10\Rightarrow a^2-b^2=c^2=100\text{ }(1).$ +) Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E) $\Rightarrow M\left(8;6\right)\in\left(E\right)$ $\Rightarrow\frac{8^2}{a^2}+\frac{6^2}{b^2}=1\Rightarrow\frac{64}{a^2}+\frac{36}{b^2}=1\text{ }(2).$ Thế (1) vào (2) ta được: $\frac{64}{b^2+100}+\frac{36}{b^2}=1\text{ }\Rightarrow\frac{64b^2+36\left(b^2+100\right)}{\left(b^2+100\right)b^2}=1$ $\Rightarrow64b^2+36\left(b^2+100\right)=\left(b^2+100\right)b^2$ $\Rightarrow100b^2+3600=b^4+100b^2\Rightarrow b^4=3600\Rightarrow b^2=60\Rightarrow a^2=160.$ Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^2}{160}+\frac{y^2}{60}=1.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/891006

### Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol $(H):\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$. Lập phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H) và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E). ### Lời giải: Hypebol (H) có a = 8, b = 6 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=10$ và một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M(8; 6). Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a &gt; b &gt; 0). Theo đề bài ta có: +) (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H) $\Rightarrow c=10\Rightarrow a^2-b^2=c^2=100\text{ }(1).$ +) Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E) $\Rightarrow M\left(8;6\right)\in\left(E\right)$ $\Rightarrow\frac{8^2}{a^2}+\frac{6^2}{b^2}=1\Rightarrow\frac{64}{a^2}+\frac{36}{b^2}=1\text{ }(2).$ Thế (1) vào (2) ta được: $\frac{64}{b^2+100}+\frac{36}{b^2}=1\text{ }\Rightarrow\frac{64b^2+36\left(b^2+100\right)}{\left(b^2+100\right)b^2}=1$ $\Rightarrow64b^2+36\left(b^2+100\right)=\left(b^2+100\right)b^2$ $\Rightarrow100b^2+3600=b^4+100b^2\Rightarrow b^4=3600\Rightarrow b^2=60\Rightarrow a^2=160.$ Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^2}{160}+\frac{y^2}{60}=1.$

Free Form

Lớp 10

Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của các parabol sau: a) $(P_1): y^2 = 7x;$ b) $(P_2): y^2 = \frac{1}{3}x;$ c) $(P_3): y^2 = \sqrt{2}x.$

**Hướng dẫn giải** a) Có $2p = 7 \Rightarrow p = \frac{7}{2} \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{7}{4}$ $\Rightarrow$ Toạ độ tiêu điểm của parabol là $F(\frac{7}{4};0)$, phương trình đường chuẩn của parabol là $x + \frac{7}{4} = 0$ b) Có $2p = \frac{1}{3} \Rightarrow p = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{1}{12}$ $\Rightarrow$ Toạ độ tiêu điểm của parabol là $F(\frac{1}{12};0)$, phương trình đường chuẩn của parabol là $x + \frac{1}{12} = 0$ c) Có $2p = \sqrt{2} \Rightarrow p = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ $\Rightarrow$ Toạ độ tiêu điểm của parabol là $F(\frac{\sqrt{2}}{4};0)$, phương trình đường chuẩn của parabol là $x + \frac{\sqrt{2}}{4} = 0.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/891007

### Câu hỏi: Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của các parabol sau: a) $(P_1): y^2 = 7x;$ b) $(P_2): y^2 = \frac{1}{3}x;$ c) $(P_3): y^2 = \sqrt{2}x.$ ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** a) Có $2p = 7 \Rightarrow p = \frac{7}{2} \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{7}{4}$ $\Rightarrow$ Toạ độ tiêu điểm của parabol là $F(\frac{7}{4};0)$, phương trình đường chuẩn của parabol là $x + \frac{7}{4} = 0$ b) Có $2p = \frac{1}{3} \Rightarrow p = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{1}{12}$ $\Rightarrow$ Toạ độ tiêu điểm của parabol là $F(\frac{1}{12};0)$, phương trình đường chuẩn của parabol là $x + \frac{1}{12} = 0$ c) Có $2p = \sqrt{2} \Rightarrow p = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ $\Rightarrow$ Toạ độ tiêu điểm của parabol là $F(\frac{\sqrt{2}}{4};0)$, phương trình đường chuẩn của parabol là $x + \frac{\sqrt{2}}{4} = 0.$

Free Form

Lớp 10

Tính bán kính qua tiêu của điểm đã cho trên các parabol sau: a) Điểm $M_1(3; –6)$ trên $(P_1): y^2= 12x;$ b) Điểm $M_2(6; 1)$ trên $(P_2): y^2= \frac{1}{6}x$; c) Điểm $M_3(\sqrt{3};\sqrt{3})$ trên $(P_3): y^2= \sqrt{3}x$.

**Hướng dẫn giải** a) Có $2p = 12$, suy ra $p = 6$. Bán kính qua tiêu của $M_1$ là: $FM_1 = x + p/2$ = 3 + 6/2 = 6. b) Có $2p = 1/6$ suy ra $p = 1/12$ Bán kính qua tiêu của $M_2$ là: $FM_2 = x + p/2$ = 6 + 1/24 = 145/24 b) Có $2p = \sqrt{3}$, suy ra $p = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Bán kính qua tiêu của $M_3$ là: $FM_3 = x + p/2$ = $\sqrt{3}$ + $\frac{\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{5\sqrt{3}}{4}$.

https://khoahoc.vietjack.com/question/891009

### Câu hỏi: Tính bán kính qua tiêu của điểm đã cho trên các parabol sau: a) Điểm $M_1(3; –6)$ trên $(P_1): y^2= 12x;$ b) Điểm $M_2(6; 1)$ trên $(P_2): y^2= \frac{1}{6}x$; c) Điểm $M_3(\sqrt{3};\sqrt{3})$ trên $(P_3): y^2= \sqrt{3}x$. ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** a) Có $2p = 12$, suy ra $p = 6$. Bán kính qua tiêu của $M_1$ là: $FM_1 = x + p/2$ = 3 + 6/2 = 6. b) Có $2p = 1/6$ suy ra $p = 1/12$ Bán kính qua tiêu của $M_2$ là: $FM_2 = x + p/2$ = 6 + 1/24 = 145/24 b) Có $2p = \sqrt{3}$, suy ra $p = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Bán kính qua tiêu của $M_3$ là: $FM_3 = x + p/2$ = $\sqrt{3}$ + $\frac{\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{5\sqrt{3}}{4}$.

Free Form

Lớp 10

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1/4; 0) và đường thẳng d: x+1/4. Viết phương trình của đường (P) là tập hợp tâm M(x; y) của các đường tròn (C) di động nhưng luôn luôn đi qua A và tiếp xúc với d.

Có MA = $ \sqrt{{(\frac{1}{4}-x)}^{2}+{(0-y)}^{2}}=\sqrt{{(\frac{1}{4}-x)}^{2}+{y}^{2}}.$<span style="position: relative; top: 17.0pt; mso-text-raise: -17.0pt;"></span> Khoảng cách từ M đến d là: d(M; d) = $ |x+\frac{1}{4}|.$<span style="position: relative; top: 16.0pt; mso-text-raise: -16.0pt;"></span> Đường tròn (C) luôn đi qua A và tiếp xúc với d =&gt;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>MA = d(M; d)$ \Leftrightarrow \sqrt{{(\frac{1}{4}-x)}^{2}+{y}^{2}}=|x+\frac{1}{4}|$<span style="position: relative; top: 17.0pt; mso-text-raise: -17.0pt;"></span> <span style="position: relative; top: 16.0pt; mso-text-raise: -16.0pt;">$ \Leftrightarrow {(\frac{1}{4}-x)}^{2}+{y}^{2}={|x+\frac{1}{4}|}^{2}$<br/></span> <span style="position: relative; top: 16.0pt; mso-text-raise: -16.0pt;">$ \Leftrightarrow (\frac{1}{16}-\frac{x}{2}+{x}^{2})+{y}^{2}={x}^{2}+\frac{x}{2}+\frac{1}{16}$<br/></span> <span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;">$ \Leftrightarrow {y}^{2}=x.$<br/></span> Vậy (P) là một parabol có phương trình <span>$ {y}^{2}$</span>= 8x.

https://khoahoc.vietjack.com/question/891011

### Câu hỏi: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1/4; 0) và đường thẳng d: x+1/4. Viết phương trình của đường (P) là tập hợp tâm M(x; y) của các đường tròn (C) di động nhưng luôn luôn đi qua A và tiếp xúc với d. ### Lời giải: Có MA = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>.</mo></math><span style="position: relative; top: 17.0pt; mso-text-raise: -17.0pt;"></span> Khoảng cách từ M đến d là: d(M; d) = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>|</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>|</mo></mrow><mo>.</mo></math><span style="position: relative; top: 16.0pt; mso-text-raise: -16.0pt;"></span> Đường tròn (C) luôn đi qua A và tiếp xúc với d =&gt;<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>MA = d(M; d)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><msqrt><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>|</mo></mrow></math><span style="position: relative; top: 17.0pt; mso-text-raise: -17.0pt;"></span> <span style="position: relative; top: 16.0pt; mso-text-raise: -16.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mo>|</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>|</mo></mrow><mn>2</mn></msup></math><br/></span> <span style="position: relative; top: 16.0pt; mso-text-raise: -16.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><mrow><mo>(</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mi>x</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mfrac><mi>x</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>16</mn></mfrac></math><br/></span> <span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>.</mo></math><br/></span> Vậy (P) là một parabol có phương trình <span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></math></span>= 8x.

Free Form

Lớp 10

Hãy so sánh bán kính qua tiêu của điểm M trên parabol (P) với bán kính của đường tròn tâm M, tiếp xúc với đường chuẩn của (P).

**Hướng dẫn giải** Giả sử parabol (P) có phương trình chính tắc là $y^2$= 2px (p &gt; 0). Gọi toạ độ của M là (x; y). F(p/2;0) là tiêu điểm của (P), H là hình chiếu của M lên đường chuẩn Δ: x + p/2 = 0 của (P). Khi đó: MF = $\sqrt{\left(\frac{p}{2}-x\right)^2+y^2}=\sqrt{\frac{p^2}{4}-px+x^2+2px}=\sqrt{\frac{p^2}{4}+px+x^2}=\sqrt{\left(x+\frac{p}{2}\right)^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|.$ MH = $\left|x+\frac{p}{2}\right|.$ Vậy MF = MH, mặt khác MH chính là bán kính của đường tròn tâm M, tiếp xúc với đường chuẩn của (P), do đó bán kính qua tiêu của điểm M trên parabol (P) bằng bán kính của đường tròn tâm M, tiếp xúc với đường chuẩn của (P).

https://khoahoc.vietjack.com/question/891015

### Câu hỏi: Hãy so sánh bán kính qua tiêu của điểm M trên parabol (P) với bán kính của đường tròn tâm M, tiếp xúc với đường chuẩn của (P). ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** Giả sử parabol (P) có phương trình chính tắc là $y^2$= 2px (p &gt; 0). Gọi toạ độ của M là (x; y). F(p/2;0) là tiêu điểm của (P), H là hình chiếu của M lên đường chuẩn Δ: x + p/2 = 0 của (P). Khi đó: MF = $\sqrt{\left(\frac{p}{2}-x\right)^2+y^2}=\sqrt{\frac{p^2}{4}-px+x^2+2px}=\sqrt{\frac{p^2}{4}+px+x^2}=\sqrt{\left(x+\frac{p}{2}\right)^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|.$ MH = $\left|x+\frac{p}{2}\right|.$ Vậy MF = MH, mặt khác MH chính là bán kính của đường tròn tâm M, tiếp xúc với đường chuẩn của (P), do đó bán kính qua tiêu của điểm M trên parabol (P) bằng bán kính của đường tròn tâm M, tiếp xúc với đường chuẩn của (P).

Free Form

Lớp 10

a) Lập phương trình chính tắc của parabol (P), biết phương trình đường chuẩn là x = –2. b) Tìm toạ độ tiêu điểm của parabol (P). c) Tìm toạ độ điểm M thuộc parabol (P), biết khoảng cách từ M đến tiêu điểm bằng 6.

a) Gọi phương trình chính tắc của (P) là y² = 2px (p &gt; 0). Theo đề bài, phương trình đường chuẩn của (P) là x = –2 $ \Rightarrow \frac{p}{2}=2\Rightarrow p=4.$ Vậy phương trình chính tắc của (P) là y² = 8x. b) Toạ độ tiêu điểm của (P) là $ F\left(2;0\right).$ c) Gọi toạ độ của M là (x; y). Khoảng cách từ M đến tiêu điểm bằng 6 $ \Rightarrow x+\frac{p}{2}=6\Rightarrow x+\frac{4}{2}=6\Rightarrow x=4\Rightarrow {y}^{2}=8.4=32\Rightarrow y=\pm 4\sqrt{2}.$ Vậy $ M\left(4;4\sqrt{2}\right)$<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>hoặc $ M\left(4;-4\sqrt{2}\right).$

https://khoahoc.vietjack.com/question/891016

### Câu hỏi: a) Lập phương trình chính tắc của parabol (P), biết phương trình đường chuẩn là x = –2. b) Tìm toạ độ tiêu điểm của parabol (P). c) Tìm toạ độ điểm M thuộc parabol (P), biết khoảng cách từ M đến tiêu điểm bằng 6. ### Lời giải: a) Gọi phương trình chính tắc của (P) là y² = 2px (p &gt; 0). Theo đề bài, phương trình đường chuẩn của (P) là x = –2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mfrac><mi>p</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>⇒</mo><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>4.</mn></math> Vậy phương trình chính tắc của (P) là y² = 8x. b) Toạ độ tiêu điểm của (P) là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mfenced><mrow><mn>2</mn><mo>;</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>.</mo></math> c) Gọi toạ độ của M là (x; y). Khoảng cách từ M đến tiêu điểm bằng 6 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>p</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>6</mn><mo>⇒</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>4</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>6</mn><mo>⇒</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>⇒</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>8.4</mn><mo>=</mo><mn>32</mn><mo>⇒</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>±</mo><mn>4</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>.</mo></math> Vậy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi><mfenced><mrow><mn>4</mn><mo>;</mo><mn>4</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow></mfenced></math><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>hoặc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi><mfenced><mrow><mn>4</mn><mo>;</mo><mo>−</mo><mn>4</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>

Free Form

Lớp 10

Viết phương trình chính tắc của parabol trong mỗi trường hợp sau: a) Tiêu điểm là F₂(5; 0); b) Phương trình đường chuẩn là x = –4; c) Parabol đi qua điểm A(4; 9).

a) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 2px (p &gt; 0). Thep đề bài, ta có: Parabol có tiêu điểm là F₂(5; 0) $ \Rightarrow \frac{p}{2}=5\Rightarrow p=10.$ Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 20x. b) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 2px (p &gt; 0). Thep đề bài, ta có: Parabol có đường chuẩn là x = –4 $ \Rightarrow \frac{p}{2}=4\Rightarrow p=8.$ Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 16x. c) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 2px (p &gt; 0). Thep đề bài, ta có: Parabol đi qua điểm A (4; 9) $ \Rightarrow {9}^{2}=2p.4\Rightarrow p=\frac{81}{8}.$ Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = $ \frac{81}{4}$x.

https://khoahoc.vietjack.com/question/891021

### Câu hỏi: Viết phương trình chính tắc của parabol trong mỗi trường hợp sau: a) Tiêu điểm là F₂(5; 0); b) Phương trình đường chuẩn là x = –4; c) Parabol đi qua điểm A(4; 9). ### Lời giải: a) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 2px (p &gt; 0). Thep đề bài, ta có: Parabol có tiêu điểm là F₂(5; 0) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mfrac><mi>p</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>5</mn><mo>⇒</mo><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>10.</mn></math> Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 20x. b) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 2px (p &gt; 0). Thep đề bài, ta có: Parabol có đường chuẩn là x = –4 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mfrac><mi>p</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>⇒</mo><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>8.</mn></math> Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 16x. c) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 2px (p &gt; 0). Thep đề bài, ta có: Parabol đi qua điểm A (4; 9) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><msup><mn>9</mn><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>p</mi><mn>.4</mn><mo>⇒</mo><mi>p</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>81</mn><mn>8</mn></mfrac><mo>.</mo></math> Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>81</mn><mn>4</mn></mfrac></math>x.

Free Form

Lớp 10

<p>Các đường conic có phương trình như sau là đường elip hay hypebol? Tìm độ dài các trục, toạ độ tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của các đường conic đó.</p> <p>a) $ \frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{64}=1$;</p> <p>b) $ \frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{64}=1$.</p>

<p>a) Đây là đường elip.</p> <p>Ta có a = 10, b = 8 $ \Rightarrow c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=6.$</p> <p>Độ dài trục lớn là 2a = 20, độ dài trục bé là 2b = 16.</p> <p>Toạ độ các tiêu điểm là F₁(–6; 0) và F₂(6; 0).</p> <p>Tiêu cự là 2c = 12.</p> <p>Tâm sai là $ \Rightarrow c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=10.$</p> <p>b) Đây là đường hypebol.</p> <p>Ta có a = 6, b = 8 $ \Rightarrow c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=10.$</p> <p>Độ dài trục thực là 2a = 12, độ dài trục ảo là 2b = 16.</p> <p>Toạ độ các tiêu điểm là F₁(–10; 0) và F₂(10; 0).</p> <p>Tiêu cự là 2c = 20.</p> <p>Tâm sai là $ e=\frac{c}{a}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}.$</p>

https://khoahoc.vietjack.com/question/891049

### Câu hỏi: <p>Các đường conic có phương trình như sau là đường elip hay hypebol? Tìm độ dài các trục, toạ độ tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của các đường conic đó.</p> <p>a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mn>100</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mn>64</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math>;</p> <p>b) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mn>36</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mn>64</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math>.</p> ### Lời giải: <p>a) Đây là đường elip.</p> <p>Ta có a = 10, b = 8 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><mn>6.</mn></math></p> <p>Độ dài trục lớn là 2a = 20, độ dài trục bé là 2b = 16.</p> <p>Toạ độ các tiêu điểm là F₁(–6; 0) và F₂(6; 0).</p> <p>Tiêu cự là 2c = 12.</p> <p>Tâm sai là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><mn>10.</mn></math></p> <p>b) Đây là đường hypebol.</p> <p>Ta có a = 6, b = 8 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><mn>10.</mn></math></p> <p>Độ dài trục thực là 2a = 12, độ dài trục ảo là 2b = 16.</p> <p>Toạ độ các tiêu điểm là F₁(–10; 0) và F₂(10; 0).</p> <p>Tiêu cự là 2c = 20.</p> <p>Tâm sai là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>e</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>10</mn><mn>6</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo></math></p>

Free Form

Lớp 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ: x = –5 và điểm F(–4; 0). Cho ba điểm A(–3; 1), B(2; 8), C(0; 3). a) Tính các tỉ số sau: $\frac{AF}{d(A,Δ)}, \frac{BF}{d(B,Δ)}, \frac{CF}{d(C,Δ)}$. b) Hỏi mỗi điểm A, B, C lần lượt nằm trên loại đường conic nào nhận F là tiêu điểm và Δ là đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó?

a) Ta viết lại phương trình đường thẳng Δ: x + 0 . y + 5 = 0. Khi đó $\frac{AF}{d(A,Δ)} = \frac{\sqrt{(-4 - (-3))^2 + (0 - 1)^2}}{\frac{|-3 + 0.1 + 5|}{\sqrt{1^2 + 0^2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2};$ $\frac{BF}{d(B,Δ)} = \frac{\sqrt{(-4 - 2)^2 + (0 - 8)^2}}{\frac{|2 + 0.8 + 5|}{\sqrt{1^2 + 0^2}}} = \frac{10}{7};$ $\frac{CF}{d(C,Δ)} = \frac{\sqrt{(-4 - 0)^2 + (0 - 3)^2}}{\frac{|0 + 0.3 + 5|}{\sqrt{1^2 + 0^2}}} = 1.$ b) – Vì $\frac{AF}{d(A,Δ)} = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$ nên A nằm trên elip nhận F là tiêu điểm và Δ là đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó. – Vì $\frac{BF}{d(B,Δ)} = \frac{10}{7} > 1$ nên A nằm trên hypebol nhận F là tiêu điểm và Δ là đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó. – Vì $\frac{CF}{d(C,Δ)} = 1$ nên A nằm trên parabol nhận F là tiêu điểm và Δ là đường chuẩn.

https://khoahoc.vietjack.com/question/891084

### Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ: x = –5 và điểm F(–4; 0). Cho ba điểm A(–3; 1), B(2; 8), C(0; 3). a) Tính các tỉ số sau: $\frac{AF}{d(A,Δ)}, \frac{BF}{d(B,Δ)}, \frac{CF}{d(C,Δ)}$. b) Hỏi mỗi điểm A, B, C lần lượt nằm trên loại đường conic nào nhận F là tiêu điểm và Δ là đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó? ### Lời giải: a) Ta viết lại phương trình đường thẳng Δ: x + 0 . y + 5 = 0. Khi đó $\frac{AF}{d(A,Δ)} = \frac{\sqrt{(-4 - (-3))^2 + (0 - 1)^2}}{\frac{|-3 + 0.1 + 5|}{\sqrt{1^2 + 0^2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2};$ $\frac{BF}{d(B,Δ)} = \frac{\sqrt{(-4 - 2)^2 + (0 - 8)^2}}{\frac{|2 + 0.8 + 5|}{\sqrt{1^2 + 0^2}}} = \frac{10}{7};$ $\frac{CF}{d(C,Δ)} = \frac{\sqrt{(-4 - 0)^2 + (0 - 3)^2}}{\frac{|0 + 0.3 + 5|}{\sqrt{1^2 + 0^2}}} = 1.$ b) – Vì $\frac{AF}{d(A,Δ)} = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$ nên A nằm trên elip nhận F là tiêu điểm và Δ là đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó. – Vì $\frac{BF}{d(B,Δ)} = \frac{10}{7} > 1$ nên A nằm trên hypebol nhận F là tiêu điểm và Δ là đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó. – Vì $\frac{CF}{d(C,Δ)} = 1$ nên A nằm trên parabol nhận F là tiêu điểm và Δ là đường chuẩn.

Free Form

Lớp 10

Sao Diêm Vương chuyển động xung quanh Mặt Trời theo quỹ đạo là một đường elip có một trong hai tiêu điểm là tâm của Mặt Trời. Biết elip này có bán trục lớn a ≈ 5,906 . 10⁶ km và tâm sai e ≈ 0,249. (Nguồn: https://vi.wikipedia.org) Tìm khoảng cách nhỏ nhất (gần đúng) giữa Sao Diêm Vương và Mặt Trời.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁ của elip. Khi đó elip có phương trình là $ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a &gt; b &gt; 0). Theo đề bài, ta có: elip này có bán trục lớn a ≈ 5,906 . 10⁶ km và tâm sai e ≈ 0,249 Giả sử Sao Diêm Vương có toạ độ là M(x; y). Khi đó khoảng cách giữa Sao Diêm Vương và Mặt Trời là: MF₁ = a + ex. Vì x ≥ –a nên MF₁ ≥ a – ea ≈ 5,906 . 10⁶ – 0,249 . 5,906 . 10⁶ = 4435406 (km). Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa Sao Diêm Vương và Mặt Trời xấp xỉ 4435406 km.

https://khoahoc.vietjack.com/question/891090

### Câu hỏi: Sao Diêm Vương chuyển động xung quanh Mặt Trời theo quỹ đạo là một đường elip có một trong hai tiêu điểm là tâm của Mặt Trời. Biết elip này có bán trục lớn a ≈ 5,906 . 10⁶ km và tâm sai e ≈ 0,249. (Nguồn: https://vi.wikipedia.org) Tìm khoảng cách nhỏ nhất (gần đúng) giữa Sao Diêm Vương và Mặt Trời. ### Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ sao cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁ của elip. Khi đó elip có phương trình là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math>  (a &gt; b &gt; 0). Theo đề bài, ta có: elip này có bán trục lớn a ≈ 5,906 . 10⁶ km và tâm sai e ≈ 0,249 Giả sử Sao Diêm Vương có toạ độ là M(x; y). Khi đó khoảng cách giữa Sao Diêm Vương và Mặt Trời là: MF₁ = a + ex. Vì x ≥ –a nên MF₁ ≥ a – ea ≈ 5,906 . 10⁶ – 0,249 . 5,906 . 10⁶ = 4435406 (km). Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa Sao Diêm Vương và Mặt Trời xấp xỉ 4435406 km.

Free Form

Lớp 10

Một sao chổi A chuyển động theo quỹ đạo có dạng một parabol (P) nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm. Cho biết khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km. a) Viết phương trình chính tắc của parabol (P). b) Tính khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P).

**Hướng dẫn giải** a) Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với đỉnh của parabol, tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét. Gọi phương trình chính tắc của (P) là $ {y}^{2}$= 2px (p &gt; 0). Gọi F là tiêu điêm của (P), (x; y) là toạ độ của sao chổi A. Khi đó khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là AF = $ x+\frac{p}{2}$ ≥ p/2 (vì x ≥ 0) =&gt; khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là p/2 (km) =&gt; $ \frac{p}{2}=112\Rightarrow p=224.$ Vậy phương trình chính tắc của (P) là y2 = 448x. b) Khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P) thì sao chổi có hoành độ là x=p/2 Khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi đó là: AF = $ x+\frac{p}{2}=\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=p=224$ (km).

https://khoahoc.vietjack.com/question/891096

### Câu hỏi: Một sao chổi A chuyển động theo quỹ đạo có dạng một parabol (P) nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm. Cho biết khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km. a) Viết phương trình chính tắc của parabol (P). b) Tính khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P). ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** a) Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với đỉnh của parabol, tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét. Gọi phương trình chính tắc của (P) là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></math>= 2px (p &gt; 0). Gọi F là tiêu điêm của (P), (x; y) là toạ độ của sao chổi A. Khi đó khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là AF = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>p</mi><mn>2</mn></mfrac></math> ≥ p/2 (vì x ≥ 0) =&gt; khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là p/2 (km) =&gt; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>p</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>112</mn><mo>⇒</mo><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>224.</mn></math> Vậy phương trình chính tắc của (P) là y2 = 448x. b) Khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P) thì sao chổi có hoành độ là x=p/2 Khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi đó là: AF = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>p</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>p</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mi>p</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>224</mn></math> (km).

Free Form

Lớp 10

Mặt cắt của gương phản chiếu của một đèn pha có dạng một parabol (P) có phương trình chính tắc $y^2= 6x$. Tính khoảng cách từ điểm $M(1; \sqrt{6})$ trên gương đến tiêu điểm của (P) (với đơn vị trên hệ trục toạ độ là xentimét).

**Hướng dẫn giải** Có 2p = 6, suy ra p = 3. Khoảng cách từ điểm $M(1; \sqrt{6})$ trên gương đến tiêu điểm của (P) là: MF = $x+\frac{p}{2}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}=2,5$ (cm).

https://khoahoc.vietjack.com/question/891126

### Câu hỏi: Mặt cắt của gương phản chiếu của một đèn pha có dạng một parabol (P) có phương trình chính tắc $y^2= 6x$. Tính khoảng cách từ điểm $M(1; \sqrt{6})$ trên gương đến tiêu điểm của (P) (với đơn vị trên hệ trục toạ độ là xentimét). ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** Có 2p = 6, suy ra p = 3. Khoảng cách từ điểm $M(1; \sqrt{6})$ trên gương đến tiêu điểm của (P) là: MF = $x+\frac{p}{2}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}=2,5$ (cm).

Free Form

Lớp 10

Cho đường conic có tiêu điểm F, đường chuẩn Δ và một điểm M là điểm nằm trên đường conic đó. Tìm mối liên hệ giữa tỉ số $\frac{MF}{d(M;\Delta)}$ và tên gọi của đường conic.

– Với elip, ta có $\frac{MF}{d(M;\Delta)}$ = e &lt; 1. – Với parabol, ta có $\frac{MF}{d(M;\Delta)}$ = e = 1. – Với hypebol, ta có $\frac{MF}{d(M;\Delta)}$ = e &gt; 1.

https://khoahoc.vietjack.com/question/891145

### Câu hỏi: Cho đường conic có tiêu điểm F, đường chuẩn Δ và một điểm M là điểm nằm trên đường conic đó. Tìm mối liên hệ giữa tỉ số $\frac{MF}{d(M;\Delta)}$ và tên gọi của đường conic. ### Lời giải: – Với elip, ta có $\frac{MF}{d(M;\Delta)}$ = e &lt; 1. – Với parabol, ta có $\frac{MF}{d(M;\Delta)}$ = e = 1. – Với hypebol, ta có $\frac{MF}{d(M;\Delta)}$ = e &gt; 1.

Free Form

Lớp 10

$ \frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$ $ \frac{{x}^{2}}{12}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$ $ {y}^{2}=\frac{1}{2}x$

**Hướng dẫn giải** a) Đây là một elip. Có $ {a}^{2}$ = 5, $ {b}^{2}$ = 2 $ \Rightarrow a=\sqrt{5},b=\sqrt{2},c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{5-2}=\sqrt{3},$ e = $ \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5},\frac{a}{e}=\frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{15}}{5}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}.$ Suy ra elip có tiêu điểm F_{1$ (-\sqrt{3};0)$}, đường chuẩn Δ₁: x = $ -\frac{5\sqrt{3}}{3}$ và tâm sai e = $ \frac{\sqrt{15}}{5}.$ b) <span>Đây là một hypebol.</span> Có <span>$ {a}^{2}$</span>= 12, <span>$ {b}^{2}$</span>= 4 $ \Rightarrow a=2\sqrt{3},b=2,c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4,$ e = $ \frac{c}{a}=\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{a}{e}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=3.$ Suy ra hypebol có tiêu điểm F_1(-4;0), đường chuẩn Δ₁: x = –3 và tâm sai e = $ \frac{2\sqrt{3}}{3}.$ c) Đây là một parabol. CÓ 2p = 1/2, suy ra p = 1/4 Suy ra parabol có tiêu điểm F $ (\frac{1}{8};0),$ đường chuẩn Δ: $ x=-\frac{1}{8}$ và tâm sai e = 1.

https://khoahoc.vietjack.com/question/891189

### Câu hỏi: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mn>5</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mn>12</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>x</mi></math> ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** a) Đây là một elip. Có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></math> = 5, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math> = 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>a</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>5</mn></msqrt><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>5</mn><mo>−</mo><mn>2</mn></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>,</mo></math> e = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><msqrt><mn>5</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mfrac><msqrt><mn>15</mn></msqrt><mn>5</mn></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mi>a</mi><mi>e</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><msqrt><mn>5</mn></msqrt><mfrac><msqrt><mn>15</mn></msqrt><mn>5</mn></mfrac></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo></math> Suy ra elip có tiêu điểm F_{1<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><mo>−</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math>}, đường chuẩn Δ₁: x = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac></math> và tâm sai e = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msqrt><mn>15</mn></msqrt><mn>5</mn></mfrac><mo>.</mo></math> b) <span>Đây là một hypebol.</span> Có <span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></math></span>= 12, <span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math></span>= 4 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>12</mn><mo>+</mo><mn>4</mn></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>16</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>,</mo></math> e = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>4</mn><mrow><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mi>a</mi><mi>e</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac></mfrac><mo>=</mo><mn>3.</mn></math> Suy ra hypebol có tiêu điểm F_1(-4;0), đường chuẩn Δ₁: x = –3 và tâm sai e = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo></math> c) Đây là một parabol. CÓ 2p = 1/2, suy ra p = 1/4 Suy ra parabol có tiêu điểm F <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>(</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>8</mn></mfrac><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></math> đường chuẩn Δ: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>8</mn></mfrac></math> và tâm sai e = 1.

Free Form

Lớp 10

Quỹ đạo của các vật thể sau đây là những đường conic. Những đường này là elip, parabol hay hypebol? Tên | Tâm sai ------- | -------- Trái Đất | 0,0167 Sao chổi Halley | 0,9671 Sao chổi Great Southern of 1887 | 1,0 Vật thể Oumuamua | 1,2

Hướng dẫn giải Vì quỹ đạo của Trái Đất có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip. Vì quỹ đạo của Sao chổi Halley có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip. Vì quỹ đạo của Sao chổi Great Southern of 1887 có tâm sai bằng 1 nên là đường parabol. Vì quỹ đạo của Vật thể Oumuamua có tâm sai lớn hơn 1 nên là đường hypebol.

https://khoahoc.vietjack.com/question/891192

### Câu hỏi: Quỹ đạo của các vật thể sau đây là những đường conic. Những đường này là elip, parabol hay hypebol? Tên | Tâm sai ------- | -------- Trái Đất | 0,0167 Sao chổi Halley | 0,9671 Sao chổi Great Southern of 1887 | 1,0 Vật thể Oumuamua | 1,2 ### Lời giải: Hướng dẫn giải Vì quỹ đạo của Trái Đất có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip. Vì quỹ đạo của Sao chổi Halley có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip. Vì quỹ đạo của Sao chổi Great Southern of 1887 có tâm sai bằng 1 nên là đường parabol. Vì quỹ đạo của Vật thể Oumuamua có tâm sai lớn hơn 1 nên là đường hypebol.

Free Form

Lớp 10

<p>Xác định tâm sai, toạ độ một tiêu điểm và phương trình đường chuẩn tương ứng của mỗi đường conic sau:</p> <p>a) $ \frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{7}=1$</p> <p>b) $ \frac{{x}^{2}}{15}-\frac{{y}^{2}}{10}=1$</p> <p>c) y² = x.</p>

<p><strong>Hướng dẫn giải</strong></p> <p>a) Đây là một elip.</p> <p>Có a² = 9, b² = 7 $ \Rightarrow a=3,b=\sqrt{7},c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{9-7}=\sqrt{2},$</p> <p>e = $ \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{3},\frac{a}{e}=\frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{3}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}.$</p> <p>Suy ra elip có tiêu điểm F_{1$ (-\sqrt{2};0)$}, đường chuẩn Δ₁: x = $ -\frac{9\sqrt{2}}{2}$<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>và tâm sai e = $ \frac{\sqrt{2}}{3}.$</p> <p>b) <span>Đây là một hypebol.</span></p> <p><span>Có a2 = 15, b2 = 10 $ \Rightarrow a=\sqrt{15},b=\sqrt{10},c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{15+10}=\sqrt{25}=5,$</span></p> <p>e = $ \frac{c}{a}=\frac{5}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{3},\frac{a}{e}=\frac{\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{15}}{3}}=3.$</p> <p>Suy ra hypebol có tiêu điểm F₁(–5; 0), đường chuẩn Δ₁: x = –3 và tâm sai e = $ \frac{\sqrt{15}}{3}.$</p> <p>c) Đây là một parabol.</p> <p>Có 2p = 1, suy ra p = 1/2</p> <p>Suy ra parabol có tiêu điểm F$ (\frac{1}{4};0),$<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>đường chuẩn Δ: $ x=-\frac{1}{4}$<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>và tâm sai e = 1.</p>

https://khoahoc.vietjack.com/question/891215

### Câu hỏi: <p>Xác định tâm sai, toạ độ một tiêu điểm và phương trình đường chuẩn tương ứng của mỗi đường conic sau:</p> <p>a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mn>9</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mn>7</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math></p> <p>b) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mn>15</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mn>10</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math></p> <p>c) y² = x.</p> ### Lời giải: <p><strong>Hướng dẫn giải</strong></p> <p>a) Đây là một elip.</p> <p>Có a² = 9, b² = 7 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>7</mn></msqrt><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>9</mn><mo>−</mo><mn>7</mn></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>,</mo></math></p> <p>e = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mn>3</mn></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mi>a</mi><mi>e</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>3</mn><mfrac><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mn>3</mn></mfrac></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>9</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo></math></p> <p>Suy ra elip có tiêu điểm F_{1<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><mo>−</mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math>}, đường chuẩn Δ₁: x = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>9</mn><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></math><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>và tâm sai e = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo></math></p> <p>b) <span>Đây là một hypebol.</span></p> <p><span>Có a2 = 15, b2 = 10 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>a</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>15</mn></msqrt><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>10</mn></msqrt><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>15</mn><mo>+</mo><mn>10</mn></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>25</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>5</mn><mo>,</mo></math></span></p> <p>e = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>5</mn><msqrt><mn>15</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mfrac><msqrt><mn>15</mn></msqrt><mn>3</mn></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mi>a</mi><mi>e</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><msqrt><mn>15</mn></msqrt><mfrac><msqrt><mn>15</mn></msqrt><mn>3</mn></mfrac></mfrac><mo>=</mo><mn>3.</mn></math></p> <p>Suy ra hypebol có tiêu điểm F₁(–5; 0), đường chuẩn Δ₁: x = –3 và tâm sai e = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msqrt><mn>15</mn></msqrt><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo></math></p> <p>c) Đây là một parabol.</p> <p>Có 2p = 1, suy ra p = 1/2</p> <p>Suy ra parabol có tiêu điểm F<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>(</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></math><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>đường chuẩn Δ: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></math><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>và tâm sai e = 1.</p>

Free Form

Lớp 10

Viết phương trình của conic có tâm sai e = 1, tiêu điểm F(1; 0) và đường chuẩn Δ: x + 1 = 0.

Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $ \frac{MF}{d(M;\Delta )}=e$ $ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(1-x)}^{2}+{(0-y)}^{2}}}{|x+1|}=1$ <p class="MsoNormal">$ \Leftrightarrow \sqrt{{(1-x)}^{2}+{(0-y)}^{2}}=|x+1|$<span style="position: relative; top: 8.0pt; mso-text-raise: -8.0pt;"></span></p> <p class="MsoNormal"><span style="position: relative; top: 7.0pt; mso-text-raise: -7.0pt;">$ \Leftrightarrow {(1-x)}^{2}+{(0-y)}^{2}={|x+1|}^{2}$<br/></span></p> <p class="MsoNormal"><span style="position: relative; top: 9.0pt; mso-text-raise: -9.0pt;">$ \Leftrightarrow (1-2x+{x}^{2})+{y}^{2}={x}^{2}+2x+1$<br/></span></p> <p class="MsoNormal"><span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;">$ \Leftrightarrow {y}^{2}=4x.$<br/></span></p> Vậy phương trình của conic đã cho là y² = 4x.

https://khoahoc.vietjack.com/question/891221

### Câu hỏi: Viết phương trình của conic có tâm sai e = 1, tiêu điểm F(1; 0) và đường chuẩn Δ: x + 1 = 0. ### Lời giải: Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>M</mi><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mrow><mo>(</mo><mi>M</mi><mo>;</mo><mi>Δ</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>e</mi></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><mfrac><msqrt><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup></msqrt><mrow><mo>|</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>|</mo></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math>  <p class="MsoNormal"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><msqrt><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>|</mo></mrow></math><span style="position: relative; top: 8.0pt; mso-text-raise: -8.0pt;"></span></p> <p class="MsoNormal"><span style="position: relative; top: 7.0pt; mso-text-raise: -7.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mo>|</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>|</mo></mrow><mn>2</mn></msup></math><br/></span></p> <p class="MsoNormal"><span style="position: relative; top: 9.0pt; mso-text-raise: -9.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math><br/></span></p> <p class="MsoNormal"><span style="position: relative; top: 6.0pt; mso-text-raise: -6.0pt;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>.</mo></math><br/></span></p> Vậy phương trình của conic đã cho là y² = 4x.

Free Form

Lớp 10

Viết phương trình của conic (C) trong mỗi trường hợp sau: a) (C) có tiêu điểm F(8; 0), đường chuẩn Δ: x – 2 = 0 và tâm sai e = 2; b) (C) có tiêu điểm F(–4; 0), đường chuẩn $\Delta: x + \frac{25}{4} = 0$ và tâm sai $e = \frac{4}{5}$.

**Hướng dẫn giải** a) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M; \Delta)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{(8-x)^2 + (0-y)^2}}{|x-2|} = 2$ $\Leftrightarrow \sqrt{(8-x)^2 + (0-y)^2} = 2|x-2|$ $\Leftrightarrow (8-x)^2 + (0-y)^2 = 4|x-2|^2$ $\Leftrightarrow (64 - 16x + x^2) + y^2 = 4(x^2 - 4x + 4)$ $\Leftrightarrow 3x^2 - y^2 = 48$ $\Leftrightarrow \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1.$ Vậy phương trình của conic đã cho là $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1.$ b) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M; \Delta)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{(-4-x)^2 + (0-y)^2}}{|x + \frac{25}{4}|} = \frac{4}{5}$ $\Leftrightarrow \sqrt{(-4-x)^2 + (0-y)^2} = \frac{4}{5}|x + \frac{25}{4}|$ $\Leftrightarrow (-4-x)^2 + (0-y)^2 = \frac{16}{25}|x + \frac{25}{4}|^2$ $\Leftrightarrow (16 + 8x + x^2) + y^2 = \frac{16}{25}(x^2 + \frac{25}{2}x + \frac{625}{16})$ $\Leftrightarrow 16 + 8x + x^2 + y^2 = \frac{16}{25}x^2 + 8x + 25$ $\Leftrightarrow \frac{9}{25}x^2 + y^2 = 9$ $\Leftrightarrow \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1.$ Vậy phương trình của conic đã cho là $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1.$

https://khoahoc.vietjack.com/question/891242

### Câu hỏi: Viết phương trình của conic (C) trong mỗi trường hợp sau: a) (C) có tiêu điểm F(8; 0), đường chuẩn Δ: x – 2 = 0 và tâm sai e = 2; b) (C) có tiêu điểm F(–4; 0), đường chuẩn $\Delta: x + \frac{25}{4} = 0$ và tâm sai $e = \frac{4}{5}$. ### Lời giải: **Hướng dẫn giải** a) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M; \Delta)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{(8-x)^2 + (0-y)^2}}{|x-2|} = 2$ $\Leftrightarrow \sqrt{(8-x)^2 + (0-y)^2} = 2|x-2|$ $\Leftrightarrow (8-x)^2 + (0-y)^2 = 4|x-2|^2$ $\Leftrightarrow (64 - 16x + x^2) + y^2 = 4(x^2 - 4x + 4)$ $\Leftrightarrow 3x^2 - y^2 = 48$ $\Leftrightarrow \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1.$ Vậy phương trình của conic đã cho là $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1.$ b) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M; \Delta)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{(-4-x)^2 + (0-y)^2}}{|x + \frac{25}{4}|} = \frac{4}{5}$ $\Leftrightarrow \sqrt{(-4-x)^2 + (0-y)^2} = \frac{4}{5}|x + \frac{25}{4}|$ $\Leftrightarrow (-4-x)^2 + (0-y)^2 = \frac{16}{25}|x + \frac{25}{4}|^2$ $\Leftrightarrow (16 + 8x + x^2) + y^2 = \frac{16}{25}(x^2 + \frac{25}{2}x + \frac{625}{16})$ $\Leftrightarrow 16 + 8x + x^2 + y^2 = \frac{16}{25}x^2 + 8x + 25$ $\Leftrightarrow \frac{9}{25}x^2 + y^2 = 9$ $\Leftrightarrow \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1.$ Vậy phương trình của conic đã cho là $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1.$

Free Form

Lớp 10

Quỹ đạo của các vật thể sau đây là những đường conic. Những đường này là elip, parabol hay hypebol? Tên | Tâm sai ------- | -------- Sao Hoả | 0,0934 Mặt Trăng | 0,0549 Sao Thuỷ | 0,2056 Sao chổi Ikeya-Seki | 0,9999 C/2019 Q4 | 3,5

Hướng dẫn giải Vì quỹ đạo của Sao Hoả có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip. Vì quỹ đạo của Mặt Trăng có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip. Vì quỹ đạo của Sao Thuỷ có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip. Vì quỹ đạo của Sao chổi Ikeya-Seki có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip. Vì quỹ đạo C/2019 Q4 có tâm sai lớn hơn 1 nên là đường hypebol.

https://khoahoc.vietjack.com/question/891245

### Câu hỏi: Quỹ đạo của các vật thể sau đây là những đường conic. Những đường này là elip, parabol hay hypebol? Tên | Tâm sai ------- | -------- Sao Hoả | 0,0934 Mặt Trăng | 0,0549 Sao Thuỷ | 0,2056 Sao chổi Ikeya-Seki | 0,9999 C/2019 Q4 | 3,5 ### Lời giải: Hướng dẫn giải Vì quỹ đạo của Sao Hoả có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip. Vì quỹ đạo của Mặt Trăng có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip. Vì quỹ đạo của Sao Thuỷ có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip. Vì quỹ đạo của Sao chổi Ikeya-Seki có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip. Vì quỹ đạo C/2019 Q4 có tâm sai lớn hơn 1 nên là đường hypebol.

Free Form

Lớp 10

a) Bạn hãy tìm sự khác biệt giữa hai đại lượng sau: - Bác Ba có số tiền là 20 triệu đồng. - Một cơn bão di chuyển với vận tốc 20 km/h theo hướng đông bắc. b) Trong các đại lượng sau, đại lượng nào cần được biểu diễn bởi vectơ? Giá tiền, lực, thể tích, tuổi, độ dịch chuyển, vận tốc.

a) Sự khác biệt giữa hai đại lượng đã cho là: - Bác Ba có số tiền là 20 triệu đồng, đại lượng này là một đại lượng vô hướng vì nó chỉ số tiền nên nó chỉ có độ lớn. - Một cơn bão di chuyển với vận tốc 20 km/h theo hướng đông bắc, đại lượng này là một đại lượng có hướng vì nó có đề cập đến độ lớn và hướng. b) Trong các đại lượng đã cho, các đại lượng lực, độ dịch chuyển, vận tốc là các đại lượng có hướng, chúng bao gồm cả độ lớn và hướng nên các đại lượng đó cần được biểu diễn bởi vectơ.

https://khoahoc.vietjack.com/question/891322

### Câu hỏi: a) Bạn hãy tìm sự khác biệt giữa hai đại lượng sau: - Bác Ba có số tiền là 20 triệu đồng. - Một cơn bão di chuyển với vận tốc 20 km/h theo hướng đông bắc. b) Trong các đại lượng sau, đại lượng nào cần được biểu diễn bởi vectơ? Giá tiền, lực, thể tích, tuổi, độ dịch chuyển, vận tốc. ### Lời giải: a) Sự khác biệt giữa hai đại lượng đã cho là: - Bác Ba có số tiền là 20 triệu đồng, đại lượng này là một đại lượng vô hướng vì nó chỉ số tiền nên nó chỉ có độ lớn. - Một cơn bão di chuyển với vận tốc 20 km/h theo hướng đông bắc, đại lượng này là một đại lượng có hướng vì nó có đề cập đến độ lớn và hướng. b) Trong các đại lượng đã cho, các đại lượng lực, độ dịch chuyển, vận tốc là các đại lượng có hướng, chúng bao gồm cả độ lớn và hướng nên các đại lượng đó cần được biểu diễn bởi vectơ.

Free Form

Lớp 10

Cho tứ giác ABCD, thực hiện các phép cộng và trừ vectơ sau: a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}$; b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$; c) $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}$.

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}$ $=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})$ $=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$. Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$. b) Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$. c) Ta có: $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DB}$.

https://khoahoc.vietjack.com/question/891697

### Câu hỏi: Cho tứ giác ABCD, thực hiện các phép cộng và trừ vectơ sau: a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}$; b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$; c) $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}$. ### Lời giải: a) Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}$ $=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})$ $=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$. Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$. b) Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$. c) Ta có: $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DB}$.

Free Form

Lớp 10

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng: a) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$; b) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$.

a) Ta có: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$; $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CD}$ ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ Vậy $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$. b) Ta có: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CC}=\overrightarrow{0}$. Vậy $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$.

https://khoahoc.vietjack.com/question/891704

### Câu hỏi: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng: a) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$; b) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$. ### Lời giải: a) Ta có: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$; $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CD}$ ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ Vậy $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$. b) Ta có: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CC}=\overrightarrow{0}$. Vậy $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$.

Free Form

Lớp 10

Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$.

+) Giả sử tam giác ABC có trọng tâm G, ta cần chứng minh $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$. Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$. Với điểm M bất kì ta có: $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}$, $\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}$. Khi đó: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}) + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}) + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC})$ $= 3\overrightarrow{MG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) = 3\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{0} = 3\overrightarrow{MG}$. Vậy $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$. +) Giả sử tam giác ABC có 2 điểm M, G thỏa mãn $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$, ta cần chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} - 3\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow (\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MG}) + (\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MG}) + (\overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MG}) = \overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.

https://khoahoc.vietjack.com/question/892058

### Câu hỏi: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$. ### Lời giải: +) Giả sử tam giác ABC có trọng tâm G, ta cần chứng minh $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$. Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$. Với điểm M bất kì ta có: $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}$, $\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}$. Khi đó:  $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}) + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}) + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC})$ $= 3\overrightarrow{MG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) = 3\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{0} = 3\overrightarrow{MG}$. Vậy $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$. +) Giả sử tam giác ABC có 2 điểm M, G thỏa mãn $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$, ta cần chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} - 3\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow (\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MG}) + (\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MG}) + (\overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MG}) = \overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.

Free Form

Lớp 10

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và cho $\overrightarrow{c} = \frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}.\overrightarrow{b}$. So sánh độ dài và hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$

Vì $|\overrightarrow{a}| \ge 0, \,\, |\overrightarrow{b}| > 0$ (độ dài của vectơ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$). Nên $\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|} \ge 0$. Mà $\overrightarrow{c} = \frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}.\overrightarrow{b}$ nên vectơ $\overrightarrow{c}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$. Do đó vectơ $\overrightarrow{c}$ cùng phương với $\overrightarrow{b}$, mà vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$. Nên hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng phương. Ta lại có: $|\overrightarrow{c}| = |\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}.\overrightarrow{b}| = \frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}.|\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}|$. Vậy hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng độ dài và cùng phương.

https://khoahoc.vietjack.com/question/892068

### Câu hỏi: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và cho $\overrightarrow{c} = \frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}.\overrightarrow{b}$. So sánh độ dài và hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ ### Lời giải: Vì $|\overrightarrow{a}| \ge 0, \,\, |\overrightarrow{b}| > 0$ (độ dài của vectơ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$). Nên $\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|} \ge 0$. Mà $\overrightarrow{c} = \frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}.\overrightarrow{b}$ nên vectơ $\overrightarrow{c}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$. Do đó vectơ $\overrightarrow{c}$ cùng phương với $\overrightarrow{b}$, mà vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$. Nên hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng phương. Ta lại có: $|\overrightarrow{c}| = |\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}.\overrightarrow{b}| = \frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}.|\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}|$. Vậy hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng độ dài và cùng phương.

Free Form

Lớp 10

Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh ba điểm I, G, J thẳng hàng.

Vì I là trung điểm của AB nên với điểm G bất kì ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GI}$. Vì J là trung điểm của CD nên với điểm G bất kì ta có: $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GJ}$. Mà $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ Do đó: $2\overrightarrow{GI}+2\overrightarrow{GJ}=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow 2(\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GJ})=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GJ}=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{GI}=-\overrightarrow{GJ}$. Vậy ba điểm G, I, J thẳng hàng.

https://khoahoc.vietjack.com/question/892070

### Câu hỏi: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh ba điểm I, G, J thẳng hàng. ### Lời giải: Vì I là trung điểm của AB nên với điểm G bất kì ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GI}$. Vì J là trung điểm của CD nên với điểm G bất kì ta có: $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GJ}$. Mà $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ Do đó: $2\overrightarrow{GI}+2\overrightarrow{GJ}=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow 2(\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GJ})=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GJ}=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{GI}=-\overrightarrow{GJ}$. Vậy ba điểm G, I, J thẳng hàng.

Free Form

Lớp 10

Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng: a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}$; b) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$.

a) Do M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$. Do N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$. Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}\right)+\left(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MB}\right)$ $=\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)-\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)$ $=\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)-\overrightarrow{0}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$ $=2\overrightarrow{MN}+\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\right)=2\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{0}=2\overrightarrow{MN}$. Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}$. b) Ta có: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NC}\right)+\left(\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{ND}\right)$ $=\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AN}\right)+\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\right)$ $=\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AN}\right)+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AN}$ $=\left(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MA}\right)$ $=2\overrightarrow{MN}-\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)=2\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{0}=2\overrightarrow{MN}$<br/> Do đó: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}$ Mà theo câu a, ta có: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}$. Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$.

https://khoahoc.vietjack.com/question/892078

### Câu hỏi: Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng: a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}$; b) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$. ### Lời giải: a) Do M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$. Do N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$. Theo quy tắc ba điểm ta có:  $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}\right)+\left(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MB}\right)$ $=\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)-\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)$ $=\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)-\overrightarrow{0}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$ $=2\overrightarrow{MN}+\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\right)=2\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{0}=2\overrightarrow{MN}$. Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}$. b) Ta có: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NC}\right)+\left(\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{ND}\right)$ $=\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AN}\right)+\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\right)$ $=\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AN}\right)+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AN}$  $=\left(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MA}\right)$ $=2\overrightarrow{MN}-\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)=2\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{0}=2\overrightarrow{MN}$<br/> Do đó: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}$ Mà theo câu a, ta có: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}$. Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$.

Free Form

Lớp 10

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}$.

Vì E là trung điểm của AB nên với điểm G ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GE}$. Vì F là trung điểm của CD nên với điểm G ta có: $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GF}$. Mà G là trung điểm của EF nên $\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}$. Do đó: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GE}+2\overrightarrow{GF}=2(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF})=\overrightarrow{0}$. Với điểm M tùy ý, ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$ $=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GD})$ $=4\overrightarrow{MG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})$ $=4\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{MG}$. Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}$.

https://khoahoc.vietjack.com/question/892084

### Câu hỏi: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}$. ### Lời giải: Vì E là trung điểm của AB nên với điểm G ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GE}$. Vì F là trung điểm của CD nên với điểm G ta có: $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GF}$. Mà G là trung điểm của EF nên $\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}$. Do đó: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GE}+2\overrightarrow{GF}=2(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF})=\overrightarrow{0}$. Với điểm M tùy ý, ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$ $=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GD})$ $=4\overrightarrow{MG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})$ $=4\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{MG}$. Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}$.

Free Form

Lớp 10

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có độ dài lần lượt là 3 và 8 và có tích vô hướng là $12\sqrt{2}$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Ta có: $|\overrightarrow{a}|=3,\,\,|\overrightarrow{b}|=8,\,\, \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=12\sqrt{2}$. Mà $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b})$ Suy ra: $cos(\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}=\frac{12\sqrt{2}}{3.8}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Do đó: $(\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b})=45^\circ$. Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là 45°.

https://khoahoc.vietjack.com/question/892927

### Câu hỏi: Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có độ dài lần lượt là 3 và 8 và có tích vô hướng là $12\sqrt{2}$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. ### Lời giải: Ta có: $|\overrightarrow{a}|=3,\,\,|\overrightarrow{b}|=8,\,\, \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=12\sqrt{2}$. Mà $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b})$ Suy ra: $cos(\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}=\frac{12\sqrt{2}}{3.8}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Do đó: $(\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b})=45^\circ$. Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là 45°.

Free Form

Lớp 10

Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với $\overrightarrow{F}$. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$.

Vì lực $\overrightarrow{F}$ cùng hướng với hướng dịch chuyển của vật nên góc tạo bởi lực $\overrightarrow{F}$ và hướng dịch chuyển là 0°. Vậy công sinh bởi lực F là: A = 20 . 50 . cos0° = 1000 (J).

https://khoahoc.vietjack.com/question/892946

### Câu hỏi: Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với $\overrightarrow{F}$. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$. ### Lời giải: Vì lực $\overrightarrow{F}$ cùng hướng với hướng dịch chuyển của vật nên góc tạo bởi lực $\overrightarrow{F}$ và hướng dịch chuyển là 0°. Vậy công sinh bởi lực F là: A = 20 . 50 . cos0° = 1000 (J).

Free Form

Lớp 10

Cho hai vectơ $\overrightarrow{i},\,\,\overrightarrow{j}$ vuông góc, cùng có độ dài bằng 1. a) Tính: $(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j})^2;\,\,(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})^2; (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}).(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})$. b) Cho $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j},\,\,\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ và tính góc $(\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b})$.

Hai vectơ $\overrightarrow{i},\,\,\overrightarrow{j}$ vuông góc nên $(\overrightarrow{i},\,\overrightarrow{j})=90^\circ$. Ta có: $\overrightarrow{i}\,\,.\,\,\overrightarrow{j}\,\,=\,\left|\overrightarrow{i}\right|.\left|\overrightarrow{j}\right|.cos(\overrightarrow{i},\,\overrightarrow{j})=1.1.cos90^\circ=0$. a) $(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j})^2=\overrightarrow{i}^2+2\overrightarrow{i}\,\cdot\,\overrightarrow{j}+\overrightarrow{j}^2$ $=\left|\overrightarrow{i}\right|^2+2\overrightarrow{i}\,\cdot\,\overrightarrow{j}+\left|\overrightarrow{j}\right|^2$ $=1^2+2.0+1^2=2$. $(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})^2=\overrightarrow{i}^2-2\overrightarrow{i}\,\cdot\,\overrightarrow{j}+\overrightarrow{j}^2$ $=\left|\overrightarrow{i}\right|^2-2\overrightarrow{i}\,\cdot\,\overrightarrow{j}+\left|\overrightarrow{j}\right|^2$ $=1^2–2.0+1^2=2$. $(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}).(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})=\overrightarrow{i}^2-\overrightarrow{j}^2=\left|\overrightarrow{i}\right|^2-\left|\overrightarrow{j}\right|^2=1^2-1^2=0$ b) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}).(3\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j})$ $=2(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j})3(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})=6.(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}).(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})=6.0=0$. Do đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$. Vậy $(\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b})=90^\circ$.

https://khoahoc.vietjack.com/question/892962

### Câu hỏi: Cho hai vectơ $\overrightarrow{i},\,\,\overrightarrow{j}$ vuông góc, cùng có độ dài bằng 1. a) Tính: $(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j})^2;\,\,(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})^2; (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}).(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})$. b) Cho $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j},\,\,\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ và tính góc $(\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b})$. ### Lời giải: Hai vectơ $\overrightarrow{i},\,\,\overrightarrow{j}$ vuông góc nên $(\overrightarrow{i},\,\overrightarrow{j})=90^\circ$. Ta có: $\overrightarrow{i}\,\,.\,\,\overrightarrow{j}\,\,=\,\left|\overrightarrow{i}\right|.\left|\overrightarrow{j}\right|.cos(\overrightarrow{i},\,\overrightarrow{j})=1.1.cos90^\circ=0$. a) $(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j})^2=\overrightarrow{i}^2+2\overrightarrow{i}\,\cdot\,\overrightarrow{j}+\overrightarrow{j}^2$ $=\left|\overrightarrow{i}\right|^2+2\overrightarrow{i}\,\cdot\,\overrightarrow{j}+\left|\overrightarrow{j}\right|^2$ $=1^2+2.0+1^2=2$. $(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})^2=\overrightarrow{i}^2-2\overrightarrow{i}\,\cdot\,\overrightarrow{j}+\overrightarrow{j}^2$ $=\left|\overrightarrow{i}\right|^2-2\overrightarrow{i}\,\cdot\,\overrightarrow{j}+\left|\overrightarrow{j}\right|^2$ $=1^2–2.0+1^2=2$. $(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}).(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})=\overrightarrow{i}^2-\overrightarrow{j}^2=\left|\overrightarrow{i}\right|^2-\left|\overrightarrow{j}\right|^2=1^2-1^2=0$ b) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}).(3\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j})$ $=2(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j})3(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})=6.(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}).(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})=6.0=0$. Do đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$. Vậy $(\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b})=90^\circ$.

Free Form

Lớp 10

Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực $\overrightarrow{F}$ hợp với hướng dịch chuyển một góc 60°. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$.

Lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là 90 N. Quãng đường dịch chuyển của vật là 100 m. Góc tạo bởi lực $\overrightarrow{F}$ với hướng dịch chuyển là 60°. Vây công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ là: A = 90 . 100 . cos60° = 4500 (J).

https://khoahoc.vietjack.com/question/893026

### Câu hỏi: Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực $\overrightarrow{F}$ hợp với hướng dịch chuyển một góc 60°. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$. ### Lời giải: Lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là 90 N. Quãng đường dịch chuyển của vật là 100 m. Góc tạo bởi lực $\overrightarrow{F}$ với hướng dịch chuyển là 60°. Vây công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ là: A = 90 . 100 . cos60° = 4500 (J).

Free Form

Lớp 10

Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 và có tích vô hướng là – 6. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Giả sử hai vectơ đề bài cho là $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Theo bài ra ta có: $|\overrightarrow{a}|=3,\,\,|\overrightarrow{b}|=4,\,\, \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-6$. Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b})$ Suy ra: $cos(\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}=\frac{-6}{3.4}=\frac{-1}{2}$ . Vậy $(\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b})=120^\circ$.

https://khoahoc.vietjack.com/question/893029

### Câu hỏi: Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 và có tích vô hướng là – 6. Tính góc giữa hai vectơ đó. ### Lời giải: Giả sử hai vectơ đề bài cho là $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Theo bài ra ta có: $|\overrightarrow{a}|=3,\,\,|\overrightarrow{b}|=4,\,\, \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-6$. Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b})$ Suy ra: $cos(\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}=\frac{-6}{3.4}=\frac{-1}{2}$ . Vậy $(\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b})=120^\circ$.

Free Form

Lớp 10

Cho ba vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Các khẳng định sau đúng hay sai? a) Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ cùng phương với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương. b) Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ cùng ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

a) Gọi Δ₁, Δ₂, Δ₃ lần lượt là giá của ba vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$. + Vectơ $\overrightarrow{a}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{c}$ ⇒ Δ₁ //≡ Δ₃ + Vectơ $\overrightarrow{b}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{c}$ ⇒ Δ₂ //≡ Δ₃ Do đó: Δ₁ //≡ Δ₂ Vậy vectơ $\overrightarrow{a}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{b}$ (theo định nghĩa). Vậy khẳng định a) đúng. b) Hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ cùng ngược hướng với $\overrightarrow{c}$. Suy ra $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ đều cùng phương với $\overrightarrow{c}$. Theo câu a suy ra vectơ $\overrightarrow{a}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{b}$. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Mà hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng. Vậy khẳng định b) đúng.

https://khoahoc.vietjack.com/question/893054

### Câu hỏi: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Các khẳng định sau đúng hay sai? a) Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ cùng phương với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương. b) Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ cùng ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng. ### Lời giải: a) Gọi Δ₁, Δ₂, Δ₃ lần lượt là giá của ba vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$. + Vectơ $\overrightarrow{a}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{c}$ ⇒ Δ₁ //≡ Δ₃ + Vectơ $\overrightarrow{b}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{c}$ ⇒ Δ₂ //≡ Δ₃ Do đó: Δ₁ //≡ Δ₂ Vậy vectơ $\overrightarrow{a}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{b}$ (theo định nghĩa). Vậy khẳng định a) đúng. b) Hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ cùng ngược hướng với $\overrightarrow{c}$. Suy ra $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ đều cùng phương với $\overrightarrow{c}$. Theo câu a suy ra vectơ $\overrightarrow{a}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{b}$. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Mà hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng. Vậy khẳng định b) đúng.

Free Form

Lớp 10

Cho $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng? a) $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$; b) $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$.

a) Áp dụng công thức $\overrightarrow{u}^2=|\overrightarrow{u}|^2$. Bình phương hai vế của đẳng phức $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$, ta được: $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2=(|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|)^2$ $\Leftrightarrow (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=|\overrightarrow{a}|^2+2|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}|^2$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2=\overrightarrow{a}^2+2|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|+\overrightarrow{b}^2$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|$ Mà $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ Do đó: $|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})\Leftrightarrow cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=1$ Suy ra: $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0^\circ$ hay hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng. Vậy đẳng thức a) đúng khi hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng. b) Bình phương hai vế của đẳng thức $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$, ta được: $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2$ $\Leftrightarrow (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2=\overrightarrow{a}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$ Vậy đẳng thức b) đúng khi hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau.

https://khoahoc.vietjack.com/question/893100

### Câu hỏi: Cho $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng? a) $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$; b) $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$. ### Lời giải: a) Áp dụng công thức $\overrightarrow{u}^2=|\overrightarrow{u}|^2$. Bình phương hai vế của đẳng phức $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$, ta được: $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2=(|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|)^2$ $\Leftrightarrow (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=|\overrightarrow{a}|^2+2|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}|^2$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2=\overrightarrow{a}^2+2|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|+\overrightarrow{b}^2$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|$ Mà $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ Do đó: $|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})\Leftrightarrow cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=1$ Suy ra: $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0^\circ$ hay hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng. Vậy đẳng thức a) đúng khi hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng. b) Bình phương hai vế của đẳng thức $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$, ta được: $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2$ $\Leftrightarrow (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2=\overrightarrow{a}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$ Vậy đẳng thức b) đúng khi hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau.

Free Form

Lớp 6

Thực hiện phép tính: a) (15,25 + 3,75).4 + (20,71 + 5,29).5; b) \[\frac{4}{{20}} + \frac{{16}}{{42}} + \frac{6}{{15}} + \frac{{ - 3}}{5} + \frac{2}{{21}} + \frac{{ - 10}}{{21}} + \frac{3}{{20}}\]; c) \[\frac{5}{{11}}.\frac{5}{7} + \frac{5}{{11}}.\frac{2}{7} + \frac{6}{{11}};\] d) \(\left( { - \frac{5}{{24}} + 0,75 + \frac{7}{{12}}} \right):\left( { - 2\frac{1}{8}} \right)\) .

Hướng dẫn giải: a) (15,25 + 3,75).4 + (20,71 + 5,29).5 = 19.4 + 26.5 = 76 + 130 = 206 b) \[\frac{4}{{20}} + \frac{{16}}{{42}} + \frac{6}{{15}} + \frac{{ - 3}}{5} + \frac{2}{{21}} + \frac{{ - 10}}{{21}} + \frac{3}{{20}}\] \[ = \frac{1}{5} + \frac{8}{{21}} + \frac{2}{5} + \frac{{ - 3}}{5} + \frac{2}{{21}} + \frac{{ - 10}}{{21}} + \frac{3}{{20}}\] \[ = \frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{{ - 3}}{5} + \frac{8}{{21}} + \frac{2}{{21}} + \frac{{ - 10}}{{21}} + \frac{3}{{20}}\] \[ = \left( {\frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{{ - 3}}{5}} \right) + \left( {\frac{8}{{21}} + \frac{2}{{21}} + \frac{{ - 10}}{{21}}} \right) + \frac{3}{{20}}\] \[ = \frac{{1 + 2 + \left( { - 3} \right)}}{5} + \frac{{8 + 2 + \left( { - 10} \right)}}{{21}} + \frac{3}{{20}}\] \( = \frac{0}{5} + \frac{0}{{21}} + \frac{3}{{20}}\) \( = 0 + 0 + \frac{3}{{20}}\) \[ = \frac{3}{{20}}\] c) \[\frac{5}{{11}}.\frac{5}{7} + \frac{5}{{11}}.\frac{2}{7} + \frac{6}{{11}}\] \[ = \left( {\frac{5}{{11}}.\frac{5}{7} + \frac{5}{{11}}.\frac{2}{7}} \right) + \frac{6}{{11}}\] \[ = \frac{5}{{11}}.\left( {\frac{5}{7} + \frac{2}{7}} \right) + \frac{6}{{11}}\] \( = \frac{5}{{11}}.\frac{7}{7} + \frac{6}{{11}}\) \( = \frac{5}{{11}}.1 + \frac{6}{{11}}\) \[ = \frac{5}{{11}} + \frac{6}{{11}}\] \( = \frac{{5 + 6}}{{11}}\) \( = \frac{{11}}{{11}}\) = 1. d) \(\left( { - \frac{5}{{24}} + 0,75 + \frac{7}{{12}}} \right):\left( { - 2\frac{1}{8}} \right)\) \( = \left( { - \frac{5}{{24}} + \frac{3}{4} + \frac{7}{{12}}} \right):\left( { - \frac{{17}}{8}} \right)\) \( = \left( { - \frac{5}{{24}} + \frac{{18}}{{24}} + \frac{{14}}{{24}}} \right):\left( { - \frac{{17}}{8}} \right)\) \( = \frac{{ - 5 + 18 + 14}}{{24}}:\left( { - \frac{{17}}{8}} \right)\) \( = \frac{9}{8}.\left( { - \frac{8}{{17}}} \right)\) \[ = \frac{{9.\left( { - 8} \right)}}{{8.17}}\] \[ = - \frac{9}{{17}}\]

https://khoahoc.vietjack.com/question/894302

### Câu hỏi: Thực hiện phép tính: a) (15,25 + 3,75).4 + (20,71 + 5,29).5; b) \[\frac{4}{{20}} + \frac{{16}}{{42}} + \frac{6}{{15}} + \frac{{ - 3}}{5} + \frac{2}{{21}} + \frac{{ - 10}}{{21}} + \frac{3}{{20}}\]; c) \[\frac{5}{{11}}.\frac{5}{7} + \frac{5}{{11}}.\frac{2}{7} + \frac{6}{{11}};\] d) \(\left( { - \frac{5}{{24}} + 0,75 + \frac{7}{{12}}} \right):\left( { - 2\frac{1}{8}} \right)\) . ### Lời giải: Hướng dẫn giải: a) (15,25 + 3,75).4 + (20,71 + 5,29).5 = 19.4 + 26.5 = 76 + 130 = 206 b) \[\frac{4}{{20}} + \frac{{16}}{{42}} + \frac{6}{{15}} + \frac{{ - 3}}{5} + \frac{2}{{21}} + \frac{{ - 10}}{{21}} + \frac{3}{{20}}\] \[ = \frac{1}{5} + \frac{8}{{21}} + \frac{2}{5} + \frac{{ - 3}}{5} + \frac{2}{{21}} + \frac{{ - 10}}{{21}} + \frac{3}{{20}}\] \[ = \frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{{ - 3}}{5} + \frac{8}{{21}} + \frac{2}{{21}} + \frac{{ - 10}}{{21}} + \frac{3}{{20}}\] \[ = \left( {\frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{{ - 3}}{5}} \right) + \left( {\frac{8}{{21}} + \frac{2}{{21}} + \frac{{ - 10}}{{21}}} \right) + \frac{3}{{20}}\] \[ = \frac{{1 + 2 + \left( { - 3} \right)}}{5} + \frac{{8 + 2 + \left( { - 10} \right)}}{{21}} + \frac{3}{{20}}\] \( = \frac{0}{5} + \frac{0}{{21}} + \frac{3}{{20}}\) \( = 0 + 0 + \frac{3}{{20}}\) \[ = \frac{3}{{20}}\] c) \[\frac{5}{{11}}.\frac{5}{7} + \frac{5}{{11}}.\frac{2}{7} + \frac{6}{{11}}\] \[ = \left( {\frac{5}{{11}}.\frac{5}{7} + \frac{5}{{11}}.\frac{2}{7}} \right) + \frac{6}{{11}}\] \[ = \frac{5}{{11}}.\left( {\frac{5}{7} + \frac{2}{7}} \right) + \frac{6}{{11}}\] \( = \frac{5}{{11}}.\frac{7}{7} + \frac{6}{{11}}\) \( = \frac{5}{{11}}.1 + \frac{6}{{11}}\) \[ = \frac{5}{{11}} + \frac{6}{{11}}\] \( = \frac{{5 + 6}}{{11}}\) \( = \frac{{11}}{{11}}\) = 1. d) \(\left( { - \frac{5}{{24}} + 0,75 + \frac{7}{{12}}} \right):\left( { - 2\frac{1}{8}} \right)\) \( = \left( { - \frac{5}{{24}} + \frac{3}{4} + \frac{7}{{12}}} \right):\left( { - \frac{{17}}{8}} \right)\) \( = \left( { - \frac{5}{{24}} + \frac{{18}}{{24}} + \frac{{14}}{{24}}} \right):\left( { - \frac{{17}}{8}} \right)\) \( = \frac{{ - 5 + 18 + 14}}{{24}}:\left( { - \frac{{17}}{8}} \right)\) \( = \frac{9}{8}.\left( { - \frac{8}{{17}}} \right)\) \[ = \frac{{9.\left( { - 8} \right)}}{{8.17}}\] \[ = - \frac{9}{{17}}\]

Free Form

Lớp 6

Tìm x: a) $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot x = \frac{5}{6}$ b) 53,2 : (x – 3,5) + 45,8 = 99 c) $\left( {4\frac{1}{2} - 2x} \right).1\frac{4}{{61}} = 6\frac{1}{2}$ d) $\frac{1}{2}\,\, \cdot \,x\,\, + \,\,150\% \cdot \,\,x\,\, = \,\,\,2022$

Hướng dẫn giải: a) $\frac{2}{3}\,\, + \,\,\frac{1}{3} \cdot \,\,x\, = \,\frac{5}{6}$ ${\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{1}{3}{\mkern 1mu} \cdot \,x{\mkern 1mu} \, = \,\,\frac{5}{6} - \frac{2}{3}{\mkern 1mu} $ ${\mkern 1mu} \frac{1}{3}{\mkern 1mu} \, \cdot \,x{\mkern 1mu} \, = {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{5}{6}{\mkern 1mu} \, - \,{\mkern 1mu} \frac{4}{6}$ ${\mkern 1mu} \frac{1}{3} \cdot \,{\mkern 1mu} x{\mkern 1mu} \, = {\mkern 1mu} \,{\mkern 1mu} \frac{1}{6}{\mkern 1mu} $ $x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{1}{6}\,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,{\mkern 1mu} \frac{1}{3}$ $x{\mkern 1mu} \, = \,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{1}{6}\,{\mkern 1mu} \cdot \,\frac{3}{1}$ $x{\mkern 1mu} \, = \,{\mkern 1mu} \frac{1}{2}$. Vậy $x{\mkern 1mu} \, = \,{\mkern 1mu} \frac{1}{2}$. b) 53,2 : (x – 3,5) + 45,8 = 99 53,2 : (x – 3,5) = 99 – 45,8 53,2 : (x – 3,5) = 53,2 x – 3,5 = 53,2 : 53,2 x – 3,5 = 1 x = 1 + 3,5 x = 4,5. Vậy x = 4,5. c) $\left( {4\frac{1}{2} - 2x} \right).1\frac{4}{{61}} = 6\frac{1}{2}$. $\left( {\frac{9}{2} - 2x} \right).\frac{{65}}{{61}} = \frac{{13}}{2}$ $\frac{9}{2} - 2x = \frac{{13}}{2}:\frac{{65}}{{61}}$ $\frac{9}{2} - 2x = \frac{{13}}{2}.\frac{{61}}{{65}}$ $\frac{9}{2} - 2x = \frac{{13}}{2}.\frac{{61}}{{5.13}}$ $\frac{9}{2} - 2x = \frac{{61}}{{10}}$ $2x = \frac{9}{2} - \frac{{61}}{{10}}$ $2x = \frac{{45}}{{10}} - \frac{{61}}{{10}}$ $2x = \frac{{ - 16}}{{10}}$ $2x = \frac{{ - 8}}{5}$ $x = \frac{{ - 8}}{5}:2$ $x = \frac{{ - 8}}{5}.\frac{1}{2}$ $x = \frac{{ - 4}}{5}$ Vậy $x = \frac{{ - 4}}{5}$. d) $\frac{1}{2}\,\, \cdot \,x\,\, + \,\,150\% \cdot \,\,x\,\, = \,\,\,2022$ $\frac{1}{2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \cdot \,x{\mkern 1mu} \,{\mkern 1mu} + \,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{150}}{{100}}\,\, \cdot \,{\mkern 1mu} x\,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2022$ $\frac{1}{2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \cdot \,{\mkern 1mu} x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \, + \,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{3}{2}{\mkern 1mu} \, \cdot {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,x{\mkern 1mu} \,{\mkern 1mu} = \,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2022$ $x.\left( {\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \right) = 2022$ $x\,.{\mkern 1mu} \,\frac{4}{2}{\mkern 1mu} \, = {\mkern 1mu} \,2022$ x . 2 = 2022 x = 2022 : 2 x = 1011 Vậy x = 1011.

https://khoahoc.vietjack.com/question/894304

### Câu hỏi: Tìm x: a) $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot x = \frac{5}{6}$ b) 53,2 : (x – 3,5) + 45,8 = 99 c) $\left( {4\frac{1}{2} - 2x} \right).1\frac{4}{{61}} = 6\frac{1}{2}$ d) $\frac{1}{2}\,\, \cdot \,x\,\, + \,\,150\% \cdot \,\,x\,\, = \,\,\,2022$ ### Lời giải: Hướng dẫn giải: a) $\frac{2}{3}\,\, + \,\,\frac{1}{3} \cdot \,\,x\, = \,\frac{5}{6}$ ${\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{1}{3}{\mkern 1mu} \cdot \,x{\mkern 1mu} \, = \,\,\frac{5}{6} - \frac{2}{3}{\mkern 1mu} $ ${\mkern 1mu} \frac{1}{3}{\mkern 1mu} \, \cdot \,x{\mkern 1mu} \, = {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{5}{6}{\mkern 1mu} \, - \,{\mkern 1mu} \frac{4}{6}$ ${\mkern 1mu} \frac{1}{3} \cdot \,{\mkern 1mu} x{\mkern 1mu} \, = {\mkern 1mu} \,{\mkern 1mu} \frac{1}{6}{\mkern 1mu} $ $x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{1}{6}\,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,{\mkern 1mu} \frac{1}{3}$ $x{\mkern 1mu} \, = \,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{1}{6}\,{\mkern 1mu} \cdot \,\frac{3}{1}$ $x{\mkern 1mu} \, = \,{\mkern 1mu} \frac{1}{2}$. Vậy $x{\mkern 1mu} \, = \,{\mkern 1mu} \frac{1}{2}$. b) 53,2 : (x – 3,5) + 45,8 = 99 53,2 : (x – 3,5) = 99 – 45,8 53,2 : (x – 3,5) = 53,2 x – 3,5 = 53,2 : 53,2 x – 3,5 = 1 x = 1 + 3,5 x = 4,5. Vậy x = 4,5. c) $\left( {4\frac{1}{2} - 2x} \right).1\frac{4}{{61}} = 6\frac{1}{2}$. $\left( {\frac{9}{2} - 2x} \right).\frac{{65}}{{61}} = \frac{{13}}{2}$ $\frac{9}{2} - 2x = \frac{{13}}{2}:\frac{{65}}{{61}}$ $\frac{9}{2} - 2x = \frac{{13}}{2}.\frac{{61}}{{65}}$ $\frac{9}{2} - 2x = \frac{{13}}{2}.\frac{{61}}{{5.13}}$ $\frac{9}{2} - 2x = \frac{{61}}{{10}}$ $2x = \frac{9}{2} - \frac{{61}}{{10}}$ $2x = \frac{{45}}{{10}} - \frac{{61}}{{10}}$ $2x = \frac{{ - 16}}{{10}}$ $2x = \frac{{ - 8}}{5}$ $x = \frac{{ - 8}}{5}:2$ $x = \frac{{ - 8}}{5}.\frac{1}{2}$ $x = \frac{{ - 4}}{5}$ Vậy $x = \frac{{ - 4}}{5}$. d) $\frac{1}{2}\,\, \cdot \,x\,\, + \,\,150\% \cdot \,\,x\,\, = \,\,\,2022$ $\frac{1}{2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \cdot \,x{\mkern 1mu} \,{\mkern 1mu} + \,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{150}}{{100}}\,\, \cdot \,{\mkern 1mu} x\,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2022$ $\frac{1}{2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \cdot \,{\mkern 1mu} x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \, + \,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{3}{2}{\mkern 1mu} \, \cdot {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,x{\mkern 1mu} \,{\mkern 1mu} = \,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2022$ $x.\left( {\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \right) = 2022$ $x\,.{\mkern 1mu} \,\frac{4}{2}{\mkern 1mu} \, = {\mkern 1mu} \,2022$ x . 2 = 2022 x = 2022 : 2 x = 1011 Vậy x = 1011.

Free Form

Lớp 6

Một mảnh vườn có diện tích là 870 m², trong đó có \[\frac{2}{3}\] diện tích trồng cây ăn trái, 25% trồng rau, diện tích còn lại trồng hoa. Tính diện tích trồng hoa.

Hướng dẫn giải Diện tích trồng cây ăn trái của mảnh vườn là: \[\frac{2}{3}.870 = 580\](m²). Diện tích trồng rau của mảnh vườn là: 25% . 870 = 217,5 (m²). Diện tích trồng hoa của mảnh vườn là: 870 – (580 + 217,5) = 72,5 (m²). Vậy diện tích trồng hoa của mảnh vườn là 72,5 m².

https://khoahoc.vietjack.com/question/894307

### Câu hỏi: Một mảnh vườn có diện tích là 870 m², trong đó có \[\frac{2}{3}\] diện tích trồng cây ăn trái, 25% trồng rau, diện tích còn lại trồng hoa. Tính diện tích trồng hoa. ### Lời giải: Hướng dẫn giải Diện tích trồng cây ăn trái của mảnh vườn là: \[\frac{2}{3}.870 = 580\](m²). Diện tích trồng rau của mảnh vườn là: 25% . 870 = 217,5 (m²). Diện tích trồng hoa của mảnh vườn là: 870 – (580 + 217,5) = 72,5 (m²). Vậy diện tích trồng hoa của mảnh vườn là 72,5 m².

Free Form

Lớp 6

Cho M = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … 2²⁰²² + 2²⁰²³. Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3.

**Hướng dẫn giải.** M = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … 2²⁰²² + 2²⁰²³ M = (1 + 2) + (2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵) + … + (2²⁰²² + 2²⁰²³) M = (1 + 2) + 2².(1 + 2) + 2⁴.(1 + 2) + … + 2²⁰²².(1 + 2) M = (1 + 2).(1 + 2² + 2⁴ + …+ 2²⁰²²) M = 3.(1 + 2² + 2⁴ + …+ 2²⁰²²) ⁝ 3 Vậy M chia hết cho 3.

https://khoahoc.vietjack.com/question/894314

### Câu hỏi: Cho M = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … 2²⁰²² + 2²⁰²³. Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3. ### Lời giải: **Hướng dẫn giải.** M = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … 2²⁰²² + 2²⁰²³ M = (1 + 2) + (2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵) + … + (2²⁰²² + 2²⁰²³) M = (1 + 2) + 2².(1 + 2) + 2⁴.(1 + 2) + … + 2²⁰²².(1 + 2) M = (1 + 2).(1 + 2² + 2⁴ + …+ 2²⁰²²) M = 3.(1 + 2² + 2⁴ + …+ 2²⁰²²) ⁝ 3 Vậy M chia hết cho 3.

Free Form

Lớp 6

Thực hiện phép tính (tính hợp lí nếu có thể): a) (34,72 + 32,28) : 5 – (57,25 – 36,05) : 2; b) \(8\frac{2}{7} - \left( {3\frac{4}{9} + 4\frac{2}{7}} \right)\); c) \(\frac{5}{{13}} + \frac{{ - 5}}{7} + \frac{{ - 20}}{{41}} + \frac{8}{{13}} + \frac{{ - 21}}{{41}}\); d) \(1\frac{{13}}{{15}}.0,75 - \left( {\frac{8}{{15}} + 25\% } \right)\)

Hướng dẫn giải: a) (34,72 + 32,28) : 5 – (57,25 – 36,05) : 2; = 67 : 5 + 21,2 : 2 = 13,4 – 10,6 = 2,8 b) \(8\frac{2}{7} - \left( {3\frac{4}{9} + 4\frac{2}{7}} \right)\); \( = 8\frac{2}{7} - 3\frac{4}{9} - 4\frac{2}{7}\) \( = \left( {8\frac{2}{7} - 4\frac{2}{7}} \right) - 3\frac{4}{9}\) \( = \left[ {\left( {8 + \frac{2}{7}} \right) - \left( {4 + \frac{2}{7}} \right)} \right] - \left( {3 + \frac{4}{9}} \right)\) \( = \left[ {\left( {8 - 4} \right) + \left( {\frac{2}{7} - \frac{2}{7}} \right)} \right] - \left( {3 + \frac{4}{9}} \right)\) \( = 4 - 3 - \frac{4}{9}\) \( = 1 - \frac{4}{9}\) \( = \frac{9}{9} - \frac{4}{9}\) \( = \frac{5}{9}\) c) \(\frac{5}{{13}} + \frac{{ - 5}}{7} + \frac{{ - 20}}{{41}} + \frac{8}{{13}} + \frac{{ - 21}}{{41}}\) \( = \left( {\frac{5}{{13}} + \frac{8}{{13}}} \right) + \left( {\frac{{ - 20}}{{41}} + \frac{{ - 21}}{{41}}} \right) + \frac{{ - 5}}{7}\) \( = \frac{{13}}{{13}} + \frac{{ - 41}}{{41}} + \frac{{ - 5}}{7}\) \( = 1 + \left( { - 1} \right) + \frac{{ - 5}}{7}\) \( = 0 + \frac{{ - 5}}{7}\) \( = \frac{{ - 5}}{7}\) d) \(1\frac{{13}}{{15}}.0,75 - \left( {\frac{8}{{15}} + 25\% } \right)\) \( = \frac{{28}}{{15}}.\frac{{75}}{{100}} - \left( {\frac{8}{{15}} + \frac{{25}}{{100}}} \right)\) \[ = \frac{{4.7}}{{3.5}}.\frac{{3.25}}{{4.25}} - \left( {\frac{8}{{15}} + \frac{1}{4}} \right)\] \( = \frac{7}{5} - \frac{8}{{15}} - \frac{1}{4}\) \( = \frac{{84}}{{60}} - \frac{{32}}{{60}} - \frac{{15}}{{60}}\) \( = \frac{{37}}{{60}}\)

https://khoahoc.vietjack.com/question/894380

### Câu hỏi: Thực hiện phép tính (tính hợp lí nếu có thể): a) (34,72 + 32,28) : 5 – (57,25 – 36,05) : 2; b) \(8\frac{2}{7} - \left( {3\frac{4}{9} + 4\frac{2}{7}} \right)\); c) \(\frac{5}{{13}} + \frac{{ - 5}}{7} + \frac{{ - 20}}{{41}} + \frac{8}{{13}} + \frac{{ - 21}}{{41}}\); d) \(1\frac{{13}}{{15}}.0,75 - \left( {\frac{8}{{15}} + 25\% } \right)\) ### Lời giải: Hướng dẫn giải: a) (34,72 + 32,28) : 5 – (57,25 – 36,05) : 2; = 67 : 5 + 21,2 : 2 = 13,4 – 10,6 = 2,8 b) \(8\frac{2}{7} - \left( {3\frac{4}{9} + 4\frac{2}{7}} \right)\); \( = 8\frac{2}{7} - 3\frac{4}{9} - 4\frac{2}{7}\) \( = \left( {8\frac{2}{7} - 4\frac{2}{7}} \right) - 3\frac{4}{9}\) \( = \left[ {\left( {8 + \frac{2}{7}} \right) - \left( {4 + \frac{2}{7}} \right)} \right] - \left( {3 + \frac{4}{9}} \right)\) \( = \left[ {\left( {8 - 4} \right) + \left( {\frac{2}{7} - \frac{2}{7}} \right)} \right] - \left( {3 + \frac{4}{9}} \right)\) \( = 4 - 3 - \frac{4}{9}\) \( = 1 - \frac{4}{9}\) \( = \frac{9}{9} - \frac{4}{9}\) \( = \frac{5}{9}\) c) \(\frac{5}{{13}} + \frac{{ - 5}}{7} + \frac{{ - 20}}{{41}} + \frac{8}{{13}} + \frac{{ - 21}}{{41}}\) \( = \left( {\frac{5}{{13}} + \frac{8}{{13}}} \right) + \left( {\frac{{ - 20}}{{41}} + \frac{{ - 21}}{{41}}} \right) + \frac{{ - 5}}{7}\) \( = \frac{{13}}{{13}} + \frac{{ - 41}}{{41}} + \frac{{ - 5}}{7}\) \( = 1 + \left( { - 1} \right) + \frac{{ - 5}}{7}\) \( = 0 + \frac{{ - 5}}{7}\) \( = \frac{{ - 5}}{7}\) d) \(1\frac{{13}}{{15}}.0,75 - \left( {\frac{8}{{15}} + 25\% } \right)\) \( = \frac{{28}}{{15}}.\frac{{75}}{{100}} - \left( {\frac{8}{{15}} + \frac{{25}}{{100}}} \right)\) \[ = \frac{{4.7}}{{3.5}}.\frac{{3.25}}{{4.25}} - \left( {\frac{8}{{15}} + \frac{1}{4}} \right)\] \( = \frac{7}{5} - \frac{8}{{15}} - \frac{1}{4}\) \( = \frac{{84}}{{60}} - \frac{{32}}{{60}} - \frac{{15}}{{60}}\) \( = \frac{{37}}{{60}}\)

Free Form

Lớp 6

Tìm x biết: a) $\frac{3}{5}x - \frac{1}{2} = \frac{1}{7}$ b) $\left( 4,5-2x \right).\frac{11}{7}=\frac{11}{14}$ c) $80\% + \frac{7}{6}:x = \frac{1}{6}$ d) $\frac{3}{4} - \left( {4\frac{1}{2} + 3x} \right) = - 1$

Hướng dẫn giải: a) $\frac{3}{5}x - \frac{1}{2} = \frac{1}{7}$ $\frac{3}{5}x = \frac{1}{7} + \frac{1}{2}$ $\frac{3}{5}x = \frac{2}{{14}} + \frac{7}{{14}}$ $\frac{3}{5}x = \frac{9}{{14}}$ $x = \frac{9}{{14}}:\frac{3}{5}$ $x = \frac{9}{{14}}.\frac{5}{3}$ $x = \frac{{15}}{{14}}$ Vậy $x = \frac{{15}}{{14}}$. b) $\left( {4,5 - 2x} \right).\frac{{11}}{7} = \frac{{11}}{{14}}$ $\frac{9}{2} - 2x = \frac{{11}}{{14}}:\frac{{11}}{7}$ $\frac{9}{2} - 2x = \frac{{11}}{{14}}.\frac{7}{{11}}$ $\frac{9}{2} - 2x = \frac{1}{2}$ $2x = \frac{9}{2} - \frac{1}{2}$ $2x = \frac{8}{2}$ 2x = 4 x = 2. Vậy x = 2. c) $80\% + \frac{7}{6}:x = \frac{1}{6}$ $\frac{{80}}{{100}} + \frac{7}{6} = \frac{1}{6}$ $\frac{4}{5} + \frac{7}{6}:x = \frac{1}{6}$ $\frac{7}{6}:x = \frac{1}{6} - \frac{4}{5}$ $\frac{7}{6}:x = \frac{5}{{30}} - \frac{{24}}{{30}}$ $\frac{7}{6}:x = \frac{{ - 19}}{{30}}$ $x = \frac{7}{6}:\frac{{ - 19}}{{30}}$ $x = \frac{7}{6}.\frac{{30}}{{ - 19}}$ $x = \frac{{ - 35}}{{19}}$ Vậy $x = \frac{{ - 35}}{{19}}$. d) $\frac{3}{4} - \left( {4\frac{1}{2} + 3x} \right) = - 1$ $4\frac{1}{2} + 3x = \frac{3}{4} - \left( { - 1} \right)$ $\frac{9}{2} + 3x = \frac{3}{4} + 1$ $\frac{9}{2} + 3x = \frac{3}{4} + \frac{4}{4}$ $\frac{9}{2} + 3x = \frac{7}{4}$ $3x = \frac{9}{2} - \frac{7}{4}$ $3x = \frac{{18}}{4} - \frac{7}{4}$ $3x = \frac{{11}}{4}$ $x = \frac{{11}}{4}:3$ $x = \frac{{11}}{4}.\frac{1}{3}$ $x = \frac{{11}}{{12}}$ Vậy $x = \frac{{11}}{{12}}$.

https://khoahoc.vietjack.com/question/894383

### Câu hỏi: Tìm x biết: a) $\frac{3}{5}x - \frac{1}{2} = \frac{1}{7}$ b) $\left( 4,5-2x \right).\frac{11}{7}=\frac{11}{14}$ c) $80\% + \frac{7}{6}:x = \frac{1}{6}$ d) $\frac{3}{4} - \left( {4\frac{1}{2} + 3x} \right) = - 1$ ### Lời giải: Hướng dẫn giải: a) $\frac{3}{5}x - \frac{1}{2} = \frac{1}{7}$ $\frac{3}{5}x = \frac{1}{7} + \frac{1}{2}$ $\frac{3}{5}x = \frac{2}{{14}} + \frac{7}{{14}}$ $\frac{3}{5}x = \frac{9}{{14}}$ $x = \frac{9}{{14}}:\frac{3}{5}$ $x = \frac{9}{{14}}.\frac{5}{3}$ $x = \frac{{15}}{{14}}$ Vậy $x = \frac{{15}}{{14}}$. b) $\left( {4,5 - 2x} \right).\frac{{11}}{7} = \frac{{11}}{{14}}$ $\frac{9}{2} - 2x = \frac{{11}}{{14}}:\frac{{11}}{7}$ $\frac{9}{2} - 2x = \frac{{11}}{{14}}.\frac{7}{{11}}$ $\frac{9}{2} - 2x = \frac{1}{2}$ $2x = \frac{9}{2} - \frac{1}{2}$ $2x = \frac{8}{2}$ 2x = 4 x = 2. Vậy x = 2. c) $80\% + \frac{7}{6}:x = \frac{1}{6}$ $\frac{{80}}{{100}} + \frac{7}{6} = \frac{1}{6}$ $\frac{4}{5} + \frac{7}{6}:x = \frac{1}{6}$ $\frac{7}{6}:x = \frac{1}{6} - \frac{4}{5}$ $\frac{7}{6}:x = \frac{5}{{30}} - \frac{{24}}{{30}}$ $\frac{7}{6}:x = \frac{{ - 19}}{{30}}$ $x = \frac{7}{6}:\frac{{ - 19}}{{30}}$ $x = \frac{7}{6}.\frac{{30}}{{ - 19}}$ $x = \frac{{ - 35}}{{19}}$ Vậy $x = \frac{{ - 35}}{{19}}$. d) $\frac{3}{4} - \left( {4\frac{1}{2} + 3x} \right) = - 1$ $4\frac{1}{2} + 3x = \frac{3}{4} - \left( { - 1} \right)$ $\frac{9}{2} + 3x = \frac{3}{4} + 1$ $\frac{9}{2} + 3x = \frac{3}{4} + \frac{4}{4}$ $\frac{9}{2} + 3x = \frac{7}{4}$ $3x = \frac{9}{2} - \frac{7}{4}$ $3x = \frac{{18}}{4} - \frac{7}{4}$ $3x = \frac{{11}}{4}$ $x = \frac{{11}}{4}:3$ $x = \frac{{11}}{4}.\frac{1}{3}$ $x = \frac{{11}}{{12}}$ Vậy $x = \frac{{11}}{{12}}$.

Free Form

Lớp 6

Bạn An làm một số bài toán trong ba ngày, ngày đầu bạn làm được $\frac{2}{3}$ tổng số bài, ngày thứ hai bạn làm được $20\%$ tổng số bài, ngày thứ ba bạn làm nốt $2$ bài. Hỏi trong ba ngày bạn An làm được bao nhiêu bài toán?

Hướng dẫn giải: Ngày thứ nhất bạn An làm được $\frac{2}{3}$ tổng số bài. Ngày thứ hai bạn An làm được $20\%$ tổng số bài, hay số bài làm được là $\frac{{20}}{{100}} = \frac{1}{5}$ tổng số bài. Vậy sau ngày thứ nhất và ngày thứ hai An làm được: $\frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{{13}}{{15}}$ tổng số bài. Vậy ngày thứ ba còn $1 - \frac{{13}}{{15}} = \frac{2}{{15}}$ tổng số bài. Ngày thứ ba bạn An làm nốt $2$ bài nên ta có số bài làm trong ba ngày là: $2:\frac{2}{{15}} = 15$ bài. Vậy tổng số bài bạn An làm là 15 bài.

https://khoahoc.vietjack.com/question/894384

### Câu hỏi: Bạn An làm một số bài toán trong ba ngày, ngày đầu bạn làm được $\frac{2}{3}$ tổng số bài, ngày thứ hai bạn làm được $20\%$ tổng số bài, ngày thứ ba bạn làm nốt $2$ bài. Hỏi trong ba ngày bạn An làm được bao nhiêu bài toán? ### Lời giải: Hướng dẫn giải: Ngày thứ nhất bạn An làm được $\frac{2}{3}$ tổng số bài. Ngày thứ hai bạn An làm được $20\%$ tổng số bài, hay số bài làm được là $\frac{{20}}{{100}} = \frac{1}{5}$ tổng số bài. Vậy sau ngày thứ nhất và ngày thứ hai An làm được: $\frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{{13}}{{15}}$ tổng số bài. Vậy ngày thứ ba còn $1 - \frac{{13}}{{15}} = \frac{2}{{15}}$ tổng số bài. Ngày thứ ba bạn An làm nốt $2$ bài nên ta có số bài làm trong ba ngày là: $2:\frac{2}{{15}} = 15$ bài. Vậy tổng số bài bạn An làm là 15 bài.

Free Form

Lớp 6

Gieo con xúc xắc có 6 mặt 100 lần, kết quả thu được ghi ở bảng sau: | Mặt | 1 chấm | 2 chấm | 3 chấm | 4 chấm | 5 chấm | 6 chấm | |---|---|---|---|---|---|---| | Số lần xuất hiện | 17 | 18 | 15 | 14 | 16 | 20 | a) Trong 100 lần gieo xúc xắc thì mặt nào xuất hiện nhiều nhất? Mặt nào xuất hiện ít nhất? b) Hãy tìm xác suất của thực nghiệm của các sự kiện gieo được mặt có chấm chẵn?

Hướng dẫn giải: a) Trong 100 lần gieo xúc xắc thì mặt 6 chấm xuất hiện nhiều nhất và mặt 4 chấm xuất hiện ít nhất. b) Các mặt có số chẵn chấm của con xúc xắc là mặt 2 chấm, 4 chấm, 6 chấm. Tổng số lần xuất hiện mặt chấm chẵn là: 18 + 14 + 20 = 52 (lần). Xác suất của thực nghiệm của các sự kiện gieo được mặt có chấm chẵn là: $\frac{{52}}{{100}} = 0,52.$ Vậy xác suất của thực nghiệm của các sự kiện gieo được mặt có chấm chẵn là: 0,52.

https://khoahoc.vietjack.com/question/894386

### Câu hỏi: Gieo con xúc xắc có 6 mặt 100 lần, kết quả thu được ghi ở bảng sau: | Mặt | 1 chấm | 2 chấm | 3 chấm | 4 chấm | 5 chấm | 6 chấm | |---|---|---|---|---|---|---| | Số lần xuất hiện | 17 | 18 | 15 | 14 | 16 | 20 |   a) Trong 100 lần gieo xúc xắc thì mặt nào xuất hiện nhiều nhất? Mặt nào xuất hiện ít nhất?   b) Hãy tìm xác suất của thực nghiệm của các sự kiện gieo được mặt có chấm chẵn? ### Lời giải: Hướng dẫn giải: a) Trong 100 lần gieo xúc xắc thì mặt 6 chấm xuất hiện nhiều nhất và mặt 4 chấm xuất hiện ít nhất. b) Các mặt có số chẵn chấm của con xúc xắc là mặt 2 chấm, 4 chấm, 6 chấm. Tổng số lần xuất hiện mặt chấm chẵn là: 18 + 14 + 20 = 52 (lần). Xác suất của thực nghiệm của các sự kiện gieo được mặt có chấm chẵn là: $\frac{{52}}{{100}} = 0,52.$ Vậy xác suất của thực nghiệm của các sự kiện gieo được mặt có chấm chẵn là: 0,52.

Free Form

Lớp 6

Tìm số tự nhiên n để phân số \(B = \frac{{10n - 3}}{{4n - 10}}\) đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải: Ta có: \[B = \frac{{10n - 3}}{{4n - 10}} = \frac{{2,5\left( {4n - 10} \right) + 22}}{{4n - 10}}\] \[ = \frac{{2,5\left( {4n - 10} \right)}}{{4n - 10}} + \frac{{22}}{{4n - 10}} = 2,5 + \frac{{22}}{{4n - 10}}\] Vì n là số tự nhiên nên \[B = 2,5 + \frac{{22}}{{4n - 10}}\] đạ t giá trị lớn nhất khi \[\frac{{22}}{{4n - 10}}\] đạt đạ t giá trị lớn nhất. Mà \[\frac{{22}}{{4n - 10}}\] đạt đạ t giá trị lớn nhất khi 4n – 10 là số nguyên dương nhỏ nhất. +) Nếu 4n – 10 = 1 thì 4n = 11 hay \(n = \frac{{11}}{4}\) (loại) +) Nếu 4n – 10 = 2 thì 4n = 12 hay n = 3 (chọn) Khi đó \(B = 2,5 + \frac{{22}}{2} = 13,5\) Vậy B đạt giá trị lớn nhất là 13,5 khi n = 3.

https://khoahoc.vietjack.com/question/894388

### Câu hỏi: Tìm số tự nhiên n để phân số \(B = \frac{{10n - 3}}{{4n - 10}}\) đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất. ### Lời giải: Hướng dẫn giải: Ta có: \[B = \frac{{10n - 3}}{{4n - 10}} = \frac{{2,5\left( {4n - 10} \right) + 22}}{{4n - 10}}\] \[ = \frac{{2,5\left( {4n - 10} \right)}}{{4n - 10}} + \frac{{22}}{{4n - 10}} = 2,5 + \frac{{22}}{{4n - 10}}\] Vì n là số tự nhiên nên \[B = 2,5 + \frac{{22}}{{4n - 10}}\] đạ t giá trị lớn nhất khi \[\frac{{22}}{{4n - 10}}\] đạt đạ t giá trị lớn nhất. Mà \[\frac{{22}}{{4n - 10}}\] đạt đạ t giá trị lớn nhất khi 4n – 10 là số nguyên dương nhỏ nhất. +) Nếu 4n – 10 = 1 thì 4n = 11 hay \(n = \frac{{11}}{4}\) (loại) +) Nếu 4n – 10 = 2 thì 4n = 12 hay n = 3 (chọn) Khi đó \(B = 2,5 + \frac{{22}}{2} = 13,5\) Vậy B đạt giá trị lớn nhất là 13,5 khi n = 3.

Free Form

Lớp 10

Cho $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=0$. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Ta có: $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=0 \Leftrightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$. Khi đó $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ đối nhau. Vậy $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, ngược hướng và có cùng độ dài.

https://khoahoc.vietjack.com/question/895074

### Câu hỏi: Cho $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=0$. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. ### Lời giải: Ta có: $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=0 \Leftrightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$. Khi đó $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ đối nhau. Vậy $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, ngược hướng và có cùng độ dài.

Free Form

Lớp 10

Hãy đo chiều dài của bàn học bạn đang sử dụng.

Tùy thuộc vào bàn học mình đang sử dụng là loại nào, các em hãy dùng thước có độ chia để đo. Chẳng hạn, bàn học sinh hai người ngồi thường có chiều dài khoảng 120 cm.

https://khoahoc.vietjack.com/question/895255

### Câu hỏi: Hãy đo chiều dài của bàn học bạn đang sử dụng. ### Lời giải: Tùy thuộc vào bàn học mình đang sử dụng là loại nào, các em hãy dùng thước có độ chia để đo. Chẳng hạn, bàn học sinh hai người ngồi thường có chiều dài khoảng 120 cm.

Free Form

Lớp 10

Cho biết $1,41 < \sqrt{2} < 1,42$. Hãy tính độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 10 cm và xác định độ chính xác của kết quả tìm được.

Độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 10 cm là $10\sqrt{2}$ cm. Vì $1,41 < \sqrt{2} < 1,42$ $\Rightarrow 1,41 . 10 < 10\sqrt{2} < 1,42 . 10$ $\Rightarrow 14,1 < 10\sqrt{2} < 14,2$ Do đó nếu lấy giá trị gần đúng của $\sqrt{2}$ là 1,41 thì $\overline{a} = 10\sqrt{2}$ và $a = 10 . 1,41 = 14,1$ Suy ra: $\Delta_a = |\overline{a} - a| = |10\sqrt{2} - 14,1| = 10\sqrt{2} - 14,1 < 14,2 – 14,1 = 0,1$. Vậy độ chính xác $d = 0,1$.

https://khoahoc.vietjack.com/question/895263

### Câu hỏi: Cho biết $1,41 < \sqrt{2} < 1,42$. Hãy tính độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 10 cm và xác định độ chính xác của kết quả tìm được. ### Lời giải: Độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 10 cm là $10\sqrt{2}$ cm. Vì $1,41 < \sqrt{2} < 1,42$ $\Rightarrow 1,41 . 10 < 10\sqrt{2} < 1,42 . 10$ $\Rightarrow 14,1 < 10\sqrt{2} < 14,2$ Do đó nếu lấy giá trị gần đúng của $\sqrt{2}$ là 1,41 thì $\overline{a} = 10\sqrt{2}$ và $a = 10 . 1,41 = 14,1$ Suy ra: $\Delta_a = |\overline{a} - a| = |10\sqrt{2} - 14,1| = 10\sqrt{2} - 14,1 < 14,2 – 14,1 = 0,1$. Vậy độ chính xác $d = 0,1$.

Free Form

Lớp 10

Vào năm 2015, các nhà khoa học trên thế giới ước lượng độ tuổi của vũ trụ là 13 799 ± 21 triệu năm. Trọng tài bấm thời gian chạy 100 m của một vận động viên là 10,3 ± 0,1 giây. Theo bạn, trong hai phép đo trên, phép đo nào có độ chính xác cao hơn?

Nếu so sánh sai số tuyệt đối, ta thấy phép đo của trọng tài chính xác hơn của các nhà khoa học. Tuy nhiên, 21 triệu năm là độ chính xác của phép đo trong một khoảng thời gian dài 13 799 triệu năm, còn 0,1 giây là độ chính xác của phép đo một khoảng thời gian 10,3 giây. So sánh hai tỉ số <p align="center"> $ \frac{21}{13799}=0,\mathrm{0015...}$ và $ \frac{0,1}{10,3}=0,\mathrm{0097...}$ </p> ta thấy phép đo của các nhà khoa học có tỉ số giữa độ chính xác và số gần đúng nhỏ hơn. Do vậy, trong hai phép đo trên, phép đo của các nhà khoa học có độ chính xác cao hơn.

https://khoahoc.vietjack.com/question/895265

### Câu hỏi: Vào năm 2015, các nhà khoa học trên thế giới ước lượng độ tuổi của vũ trụ là 13 799 ± 21 triệu năm. Trọng tài bấm thời gian chạy 100 m của một vận động viên là 10,3 ± 0,1 giây. Theo bạn, trong hai phép đo trên, phép đo nào có độ chính xác cao hơn? ### Lời giải: Nếu so sánh sai số tuyệt đối, ta thấy phép đo của trọng tài chính xác hơn của các nhà khoa học. Tuy nhiên, 21 triệu năm là độ chính xác của phép đo trong một khoảng thời gian dài 13 799 triệu năm, còn 0,1 giây là độ chính xác của phép đo một khoảng thời gian 10,3 giây. So sánh hai tỉ số <p align="center"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>21</mn><mn>13799</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0015...</mn></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>10</mn><mo>,</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0097...</mn></math> </p> ta thấy phép đo của các nhà khoa học có tỉ số giữa độ chính xác và số gần đúng nhỏ hơn. Do vậy, trong hai phép đo trên, phép đo của các nhà khoa học có độ chính xác cao hơn.

Free Form

Lớp 10

Hãy ước lượng sai số tương đối trong phép đo tuổi của vũ trụ và thời gian chạy của vận động viên ở Hoạt động khám phá 3 trang 106.

+ Sai số tương đối trong phép đo tuổi của vũ trụ không vượt quá $\frac{21}{13799}\approx0,15\%$. + Sai số tương đối trong phép đo thời gian chạy của vận động viên không vượt quá $\frac{0,1}{10,3}\approx0,97\%$.

https://khoahoc.vietjack.com/question/895281

### Câu hỏi: Hãy ước lượng sai số tương đối trong phép đo tuổi của vũ trụ và thời gian chạy của vận động viên ở Hoạt động khám phá 3 trang 106. ### Lời giải: + Sai số tương đối trong phép đo tuổi của vũ trụ không vượt quá $\frac{21}{13799}\approx0,15\%$. + Sai số tương đối trong phép đo thời gian chạy của vận động viên không vượt quá  $\frac{0,1}{10,3}\approx0,97\%$.

Free Form

Lớp 10

Hãy quy tròn số $\overline{b}=5496$ đến hàng chục và ước lượng sai số tương đối.

Quy tròn số $\overline{b}=5496$ đến hàng chục, ta được số gần đúng là b = 5500. Do $\overline{b}$< b nên sai số tuyệt đối là $\Delta_b = |\overline{b}-b| = |5496-5500| = 4$ < 5. Sai số tương đối là $\delta_b = \frac{\Delta_b}{|b|} = \frac{4}{|5500|} \approx 0,073%$.

https://khoahoc.vietjack.com/question/895282

### Câu hỏi: Hãy quy tròn số $\overline{b}=5496$ đến hàng chục và ước lượng sai số tương đối. ### Lời giải: Quy tròn số $\overline{b}=5496$ đến hàng chục, ta được số gần đúng là b = 5500. Do $\overline{b}$< b nên sai số tuyệt đối là $\Delta_b = |\overline{b}-b| = |5496-5500| = 4$ < 5. Sai số tương đối là $\delta_b = \frac{\Delta_b}{|b|} = \frac{4}{|5500|} \approx 0,073%$.

Free Form

Lớp 10

Hãy viết số quy tròn của số gần đúng trong những trường hợp sau: a) 318081 ± 2000; b) 18,0113 ± 0,003.

a) 318081 ± 2000 Vì hàng lớn nhất của độ chính xác 2000 là hàng nghìn, nên ta quy tròn đến hàng chục nghìn. Vậy số quy tròn cần tìm là 320000. b) 18,0113 ± 0,003 Vì hàng lớn nhất của độ chính xác 0,003 là hàng phần nghìn, nên ta quy tròn đến hàng phần trăm. Vậy số quy tròn cần tìm là 18,01.

https://khoahoc.vietjack.com/question/895283

### Câu hỏi: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng trong những trường hợp sau: a) 318081 ± 2000; b) 18,0113 ± 0,003. ### Lời giải: a) 318081 ± 2000 Vì hàng lớn nhất của độ chính xác 2000 là hàng nghìn, nên ta quy tròn đến hàng chục nghìn. Vậy số quy tròn cần tìm là 320000. b) 18,0113 ± 0,003 Vì hàng lớn nhất của độ chính xác 0,003 là hàng phần nghìn, nên ta quy tròn đến hàng phần trăm. Vậy số quy tròn cần tìm là 18,01.