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152
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|---|---|---|
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）**
**数 学（文科）**
**参考答案**
**一、选择题**
1．A 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B
7．C 8．B 9．C 10．D 11．D 12．B
**二、填空题**
13．
14．1
15．
16．
**三、解答题**
17．（本小题满分12分）
解：在△BCD中，
由正弦定理得
所以
在Rt△ABC中，
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）取AB的中点E，连结DE，CE，因为ADB是等边三角形，所以DE⊥AB。
当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面平面ABC=AB，所以DE平面ABC，可知DE⊥CE
由已知可得，在Rt△DEC中，
（Ⅱ）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD
证明：
（ⅰ）当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD
（ⅱ）当D不在平面ABC内时，由（Ⅰ）知AB⊥DE．又因AC⊥BC，所以AB⊥CE
又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由平面CDE，得AB⊥CD．
综上所述，总有AB⊥CD
19．（本小题满分12分）
解：的定义域为
（Ⅰ）
当时，；当时，；当时，
从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为
又
所以在区间的最大值为
20．（本小题满分12分）
解：设事件为"方程有实根"
当，时，方程有实根的充要条件为
（Ⅰ）基本事件共12个：
，其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值
事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为
（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为
构成事件的区域为
所以所求的概率为
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为，过且斜率为的直线方程为
代入圆方程得，
整理得 ①
直线与圆交于两个不同的点等价于
，
解得，即的取值范围为
（Ⅱ）设，则，
由方程①，
②
又 ③
而
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得。
由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数。
22．**A：**
（Ⅰ）证明：连结OP，OM。
因为AP与相切于点P，所以OP⊥AP。
因为M是的弦BC的中点，所以。
于是。
由圆心O在的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以。
由（Ⅰ）得OP⊥AP。
由圆心O在的内部，可知。
所以。
**B：**
解：以有点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。
（Ⅰ），，由得。
所以。
即为⊙的直角坐标方程。
同理为⊙的直角坐标方程。
（Ⅱ）由
解得
即⊙，⊙交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为。
| 1 | |
**《分苹果》同步练习**
一、用除法的竖式来计算下列各题，并说说除法竖式中每一步的意思。\[来源:学科网ZXXK\]
（1）王阿姨煮了25个汤圆，平均分给5个小朋友，每人可以分到几个汤圆？
（2）80个气球，每8个绑成一束，可以绑成多少束？
（3）16根香蕉，平均分给8个人，没人可以分到几根？
二、填一填。
6 9 4
三、40个草莓
（1）平均分给5个小朋友，每个小朋友分到（ ）个苹果。\
（2）如果平均分给6个朋友，每个小朋友分到（ ）个苹果，还剩（ ）个。\
（3）如果每3个苹果放一盘，至少需要（ ）个盘子。
四、（1）我们班一共有50人，平均分成8组，每组几人？还多几人？
> （2）一群小朋友们过河，一共有32个小朋友，一艘船能装下5个，请问需要多少艘船？
>
> （3）46个同学去春游，每辆车可坐8人，一共要用多少辆车？
>
> （4）在一道有余数的处罚中，除数是一个一位，商是9，余数是8，求被除数是多少？\[来源:Zxxk.Com\]
五、填空题。
> （1）（ ）÷（ ）＝（ ）......6 除数最小是（ ）。
>
> （2）（ ）÷5＝（ ）......（ ） 余数可能是（ ）。
>
> （3）有30本课外书，至少要拿出（ ）本，剩下的正好平均分给4个班。
>
> （4）（ ）÷4＝9......2
>
> （5）27÷（ ）＝3......3
**六、做一做：分别用竖式解决。**
**（1）81÷9=？**
**\[来源:学+科+网\]**
**（2）被除数是24，除数是6，商是多少？**
**（3）有45朵花，平均分给9个小朋友，平均每个小朋友获得几朵花？**
**（4）40个同学，每8人一组，可以分几组？**
\[来源:学\_科\_网\]
**参考答案：**
一、用除法的竖式来计算下列各题，并说说除法竖式中每一步的意思。
（1）5
（2）10
（3）2
二、填一填。
9 5 8
三、40个草莓
（1）8\
（2）6 4\[来源:学科网ZXXK\]
（3）14
四、（1）6 2
（2）7
> （3）6
>
> （4）17
五、填空题。
> （1）7
>
> （2）1 2 3 4
>
> （3）2
>
> （4）38
>
> （5）8
六、略
| 1 | |
**《最喜欢的水果》同步练习1**
> 一、数一数，按要求做题。
+-----------------------+-----------------+
| > 小鸟 | > √ √ √ |
+-----------------------+-----------------+
| > 兔子\[来源:学科网\] | > √ √ √ √ √ |
+-----------------------+-----------------+
| > 松鼠 | > √ √ √√ √ √ √ |
+-----------------------+-----------------+
| > 鸭子 | > √ √ √√ √ √ |
+-----------------------+-----------------+
> 1．将结果填入下表。
+--------------+--------------+-----------------------------+--------------+
| > 小鸟 | > 兔子 | > 松鼠\[来源:Z。xx。k.Com\] | > 鸭子 |
+--------------+--------------+-----------------------------+--------------+
| > （ ）只 | > （ ）只 | > （ ）只 | > （ ）只 |
+--------------+--------------+-----------------------------+--------------+
> 2．根据统计的结果填空。
>
> （1）松鼠比兔子多（ ）只。
>
> （2）鸭子是（ ）的2倍。
>
> （3）一共有（ ）只小动物。\[来源:学&科&网\]
>
> 二、下面是新华小学二（1）班同学最喜欢的假日活动统计表。
+--------+--------+--------+----------+----------+--------+
| > 项目 | > 郊游 | > 锻炼 | > 看电视 | > 学电脑 | > 其它 |
+--------+--------+--------+----------+----------+--------+
| > 人数 | > 18 | > 19 | > 15 | > 12 | > 20 |
+--------+--------+--------+----------+----------+--------+
> （1）喜欢（ ）的人最多。
>
> （2）喜欢（ ）的人最少。
>
> （3）我最喜欢（ ）。
>
> **三、**你知道"正"字的笔顺吗？请写下来：[\_\_\_\_\_]{.underline}、[\_\_\_\_\_]{.underline}、[\_\_\_\_\_]{.underline}、[\_\_\_\_\_]{.underline}、[\_\_\_\_\_]{.underline}。
>
> 在统计中经常用画"正"字的方法来记录数字。
>
> 如：有11只，则画为：正 正 一
>
> 有8辆，应画为：[\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}
>
> 有19支，应画为：[\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}
>
> 参考答案：
>
> 一．1.3，5，7，6；2.（1）2；（2）小鸟；（3）21。
二．（1）其它；（2）学电脑；（3）锻炼。
三.---，丨，-，丨，---；略。
| 1 | |
**第六单元测试卷**
一、圈一圈。绿色中小学教育http://www.LSPJY.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com
1\. 把辣椒右边的蔬菜圈起来。
2\. 把西瓜左边的水果圈起来。
二、填一填。
1\. 用"前""后"填空。
\(1\) 在最( )面,在最( )面。
(2)在的( )面,在 的( )面。
(3)在的( )面,在 的( )面。
2\. 
(1)这一队一共有( ) 只小动物,的左面是( ),右面是( )。
(2)在( )的左面,在( )的右面。
三、下图是欢欢家冰箱的保鲜室,在正确的说法后面画"√",错误的说法后面画"✕"。
1\. 青椒的左面是茄子。( )
2\. 草莓的右面是苹果。( )
3\. 青椒的下面是茄子。( )
4\. 西瓜的上面是火腿。( )
5\. 西瓜的左面是草莓。( )
四、涂一涂。绿色中小
1\.
把左面的涂上红色;
把上面的涂上绿色;
把下面的涂上黄色;
把右面的涂上蓝色。
2\. 将左边的第1只小狗涂上黑色,右边的第1只涂上黄色。(6分)
五、解决问题。
1.小红住在小萍楼上,小萍住在小美楼上,( )在最上面,( )在最下面。(10分)
2.这一队共有几只小动物?
六、宝物在哪个盒子里?
七、老鼠吃东西。
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -- -------------------------------------- -------------------------------------- -- --------------------------------------
 
 
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -- -------------------------------------- -------------------------------------- -- --------------------------------------
1\. 从上向下数,在第( )行,从左向右数,在第( )格。
2\. 往右走( )格,就能吃到。
3\. 先往左走( )格,再往下走( )格就能吃到。
4\. 先往( )走( )格,再往( )走( )格就能吃到。
5\. 要吃,应该怎么走?
| 1 | |
**《十年的变化》同步练习**
> 一、**有空我帮忙**
>
> 1.爷爷家今年收苹果385千克，收梨279千克，爷爷家今年共收水果（ ）千克。
>
> **2.**一个加数增加378，另一个加数减少378，和（ ）。
>
> **二、列竖式计算下列各题：**
>
> 386+287= 469+593= 764+968=
>
> 369+917= 628+183= 623+277=
>
> 246+489= 367+353= 404+513=
>
> 三、**脑筋转转转，答案全发现。**
>
> 1\. 飞飞家的居住面积是135平方米，比圆圆家的居住面积少27平方米，圆圆家的居住面积是（ ）平方米。
>
> A、152 B、172 C、162
>
> 2．小春家养了347只鸭子，养了864只鸡，鸡和鸭子一共有（ ）只
>
> A、1211 B、1101 C 、1111
>
> **四、把表格补充完整。**
+---------------------+-------+--------------------------+-------+-------+-------+-------+
| > 加数 | > 389 | > 543\[来源:学。科。网\] | > 522 | > 202 | > 465 | > 568 |
+---------------------+-------+--------------------------+-------+-------+-------+-------+
| > 加数 | > 532 | > 265\[来源:学科网ZXXK\] | > 89 | > 213 | > 236 | > 233 |
+---------------------+-------+--------------------------+-------+-------+-------+-------+
| > 和\[来源:学科网\] | | | | | | |
+---------------------+-------+--------------------------+-------+-------+-------+-------+
> \[来源:学科网\]
>
> **五、应用题。\[来源:Zxxk.Com\]**
>
> **1．饲养场养羊246只，养的兔比羊多182只，养兔多少只？养的羊和兔一共有多少只？**
>
> 2．新华书店卖出《雷锋的故事》256本，剩下的比卖出的多328本，剩下多少本？原来有多少本？
>
> 3．前进小学有男学生386人，女学生比男学生多 52人。全校有学生多少人？
>
> **参考答案：**
>
> 一：（1）664；（2）756。
>
> 二：673；1062；1732；1286；811；900；735；720；917。
>
> 三：（1）162；（2）A。
>
> 四：921；808；611；415；701；801。
>
> 五、应用题。
>
> 1．246＋182＝428（只），246＋428＝674（只）
>
> 2．256＋328＝584（本），256＋584＝840（本）
>
> 3．386＋52＝438（人），386＋438＝824（人）
| 1 | |
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（六）**
一、选择题（本题共5小题，每小题10分，满分50．每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号内）
1．若是方程的根，则的值为 .........【 】
A．0 B．1 C．－1 D．2
2．内角的度数为整数的正边形的个数是 ....................................【 】
A．24 B．22 C．20 D．18
3．某商场五一期间举行优惠销售活动，采取"满一百元送二十元，并且连环赠送"的
酬宾方式，即顾客每消费满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者
合计）就送20元购物券，满200元就送40元购物券，依次类推，现有一位顾客第
一次就用了16000元购物，并用所得购物券继续购物，那么他购回的商品大约相当
于它们原价的 ........................................................................【 】
A．90% B．85% C．80% D．75%
4．设为正整数，若是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是 【 】
A． B． C． D．
> 5．横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数的图象上整点的个数
>
> 是 .......................................................................................【 】
>
> A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
二、填空题（本题共5小题，每小题8分，共40分）
> 6．计算：1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋...＋97＋98－99＋100＝ [ ]{.underline} ．
>
> 7．已知实数满足，则代数式的值为
>
> [ ]{.underline} ．
8．若方程组的解为且＜3，则的取值范围是
[ ]{.underline} ．
9．已知函数的图象与轴有两个交点，且都在轴的负半
轴上，则的取值范围是 [ ]{.underline} ．
10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝60°，AD＝DC＝10，点E，F分别
在AD，BC上，且AE＝4，BF＝，设四边形DEFC的面积为，则关于的
函数关系式是 [ ]{.underline} （不必写自变量的取值范围）．
{width="2.53125in" height="1.382638888888889in"}
三、（本题共4小题，满分60分）
11．（本题满分15分）
我们知道相交的两直线的交点个数是1，记两平行直线的交点个数是0；这样平面内的三条平行线它们的交点个数就是0，经过同一点的三直线它们的交点个数就是1；依次类推......
（1）请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点？
（2）平面内的五条直线可以有4个交点吗？如果有，请你画出符合条件的所有图形；如果没有，请说明理由．
（3）在平面内画出10条直线，使交点数恰好是31．
12．（本题满分15分）
甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？
13．（本题满分15分）
⊙O~1~与⊙O~2~相交于点A、B，动点P在⊙O~2~上，且在⊙O~1~外，直线PA、PB分别
交⊙O~1~于点C、D．问：⊙O~1~的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？如果发生
变化，请你确定CD最长或最短时点P的位置；如果不发生变化，请给出你的证明．
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14．（本题满分15分）
如图，函数的图象交轴于M，交轴于N，点P是直线MN上任意一
点，PQ⊥轴，Q是垂足，设点Q的坐标为（，0），△POQ的面积为S（当点P与M、N重合时，其面积记为0）．
（1）试求S与之间的函数关系式；
（2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得S＝
（＞0）的点P的个数．
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**\
**
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（六）参考答案**
一、选择题（每小题10分，共50分）
1．C 2．B 3．C 4．D 5．B
二、填空题（每小题8分，共40分）
6．1684 7．7 8．－1＜＜5 9．＞－1且≠0
10．
三、解答题（每小题15分，共60分）
11．（本题满分15分）
解 （1）如图1，最多有10个交点； ........................（4分）
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图1 图2
（2）可以有4个交点，有3种不同的情形，如图2． ......（10分）
（3）如图3所示． .....................（15分）
{width="2.7083333333333335in" height="1.65625in"}
图3
12．（本题满分15分）
解：设甲库原来存粮袋，乙库原来存粮袋，依题意可得
． （1）
再设乙库调袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即
． （2） ..................（5分）
由（1）式得
． （3）
将（3）代入（2），并整理得
． ..................（10分）
由于．
又、是正整数，从而有≥1，即≥148；
并且7整除，又因为4与7互质，所以7整除．
经检验，可知的最小值为152．
答：甲库原来最少存粮153袋． .....................（15分）
13．当点P运动时，CD的长保持不变． .....................（4分）
证法一：A、B是⊙O~1~与⊙O~2~的交点，弦AB与点P的位置无关．......（6分）
连结AD，
∠ADP在⊙O~1~中所对的弦为AB，所以∠ADP为定值． ...............（10分）
∠P在⊙O~2~中所对的弦为AB，所以∠P为定值． ...............（12分）
因为∠CAD＝∠ADP＋∠P，
所以∠CAD为定值．
在⊙O~1~中∠CAD所对弦是CD，∴CD的长与点P的位置无关．.........（15分）
证法二：在⊙O~2~上任取一点Q，使点Q在⊙O~1~外，设直线QA、QB分别交⊙O~1~
于C＇、D＇，连结C＇D＇．
∵ ∠1＝∠3，∠2＝∠3，∠1＝∠2，
∴ ∠3＝∠4． .....................（10分）
∴ CC＇＝DD＇
∴ C＇mD＇＝CmD
∴ CD＝CD． .....................（15分）
{width="3.129861111111111in" height="2.2909722222222224in"}
14．（本题满分15分）
解法1（1）① 当＜0时，OQ＝，PQ＝．
∴ S＝；
② 当0＜＜4时，OQ＝，PQ＝．
∴ S＝；
③ 当＞4时，OQ＝，PQ＝．
∴ S＝．
④ 当＝0或4时，S＝0．
于是， ................................................6分
（2）
下图中的实线部分就是所画的函数图象． ..........................................12分
{width="3.1979166666666665in" height="2.2395833333333335in"}
观察图象可知：
当0＜＜1时，符合条件的点P有四个；
当＝1时，符合条件的点P有三个；
当＞1时，符合条件的点P只有两个． .............................................15分
解法2：（1）∵ OQ＝，PQ＝，
∴ S＝． ..........................................4分
（2） ...........................6分
以下同解法1．
| 1 | |
**小学五年级上册数学奥数知识点讲解第12课《染色中的抽屉原理》试题附答案**
**答案**
五年级奥数上册：第十三讲 染色中的抽屉原理 习题解答
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**等差数列**
1. 有这样的一列数，1、2、3、......、9，请你求出这列数各项相加的和。
**练习**
计算下面各题： 1、2+4+6+8+......+20= 2、3+5+7+9+......+17=
2. 有一等差数列："1、3、5、7、......"这个等差数列的第10项是多少？
**练习**
1、"2、4、6、8、......"这个等差数列的第15项是多少？
2、"4、8、12、......"这个等差数列的第20项是多少？
3. 有一个数列，2、6、10、14、18、......、50这个数列共有多少项？
**练习**
1、等差数列中，首项=1，末项=19，公差=2。这个等差数列共有多少项？
2、有一个等差数列：3、6、9、12、......、96，这个等差数列共有多少项？
4. 有一等差数列：8、12、16、20、......这个等差数列的第100项是多少？
**练习**
1、一个等差数列：首项=2，公差=5，项数=10，它的末项是多少？
2、求等差数列1、4、7、10、......的第20项是多少？
5. 有这样的一列数，1、2、3、4、......、99、100。请你求出这列数各项相加的和。
**练习**
计算下面各题。（1）1+2+3+4+......+19+20 （2）5+6+7+8+9+......+30
6. 求等差数列11、22、33、......、88、99的和。
**练习**
计算下面各题：（1）10+12+14+16+......+30 （2）5+10+15+20+......+95+100
7. 计算：（2+4+6+......+30）－（1+3+5+......+29）
**练习**
用简单方法计算下面各题。
（1）（1001+999+997+995）－（1000+998+996+994）
2、（2+4+6+......+1000）－（1+3+5+......+999）
**课外作业**
1、10+9+8+......+2+1=
2、"2、5、8、......、29"求这个等差数列共有多少项？
3、求等差数列：10、15、20、25、......、1000，共有多少项？
4、求等差数列10、16、22、28、......这个等差数列的第100项。
5、100+99+98+......+81+80
6、9+18+27+36+......+144+153+162
7、1+2－3+4+5－6+7+8－9+......+28+29－30
| 1 | |
2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）全解全析
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．
**参考公式：**
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
**一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
（1）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
B【解析】(直接法),,
> 故.(排除法)由可知中的元素比0要大, 而C、D项中有元素0，故排除C、D项，且中含有元素比1，故排除A项.故答案为B.
（2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．14
C【解析】先画出约束条件的可行域:如右图:得到当时目标函数有最大值为, ．
（3） ""是"直线平行于直线"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
C【解析】当则直线平行于直线,则是充分条件; 直线平行于直线时有: ,则是必要条件,故是充分必要条件.
（4）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
> 解析：∵由指、对函数的性质可知：, , ∴有.
（5）函数的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
> 解析：由得,即,故反函数是,再根据原函数的值域为反函数的定义域则有: ∵,则,
∴,故反函数的定义域为,则有.
（6）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若与所成的角相等，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
6.D【解析】Ａ项中若与所成的角相等，则可以平行、相交、异面故错；Ｂ项中若，，则可以平行、异面故错；Ｃ项中若则可以平行、相交；而D项是对，因为此时所成的角与所成的角是相等或是互补的，则．
（7）设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
D【解析】∵抛物线的准线为,故有\-\-\-\-\--①
又∵双曲线的离心率为,故有:\-\-\-\-\-\--②,
①②得到,进而求出, ∴双曲线的方程为
（8）设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（ ）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
B【解析】由等差数列且，得
，又∵是与的等比中项，则有
即：得，解之得（舍去）．
（9）设函数，则（ ）
A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数
> A【解析】由函数图象的变换可知:的图象是将的图象轴下方的对折上去,此时函数的最小正周期变为,则函数在区间即上为增函数,当时有: ,故在区间上是增函数.
（10）设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
A【解析】（排除法）当则得,
即在时恒成立,
> 而最大值,是当时出现,故的最大值为0,
>
> 则恒成立,排除B,C项,同理再验证时, 不成立,故排除D项.
**第Ⅱ卷**
**注意事项：**
**1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．**
**2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．**
**3．本卷共12小题，共100分．**
**二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．**
（11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
------ --- --- --- ---- -- ---
分组
频数 1 2 3 10 1
------ --- --- --- ---- -- ---
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 [ ]{.underline} ％．
11.70【解析】由表中可知这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数为:
故约占苹果总数的.
（12）的二项展开式中常数项是 [ ]{.underline} （用数字作答）．
12.84【解析】根据二项式展开式通项公式到展开式中常数项是：
,令得,故有:
（13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的表面积为 [ ]{.underline} ．
13.【解析】长方体的各顶点均在同一球的球面上则长方体的体对角线长为球的直径，
设球的直径为则：，由于球的表面积为:.
（14）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是[ ]{.underline}．
14.【解析】\-\-\-\-\-\-\--①
\-\-\-\-\-\--② 由①-②得到:.
（15）在中，，，是边的中点，则 [ ]{.underline} ．
15.【解析】根据向量的加减法法则有:
,此时
.
（16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有[ ]{.underline}种（用数字作答）．
16.630【解析】分为三类:第一类是只用两种颜色则为: 种,第二类是用三种颜色则为:种, 第三类是用四种颜色则为:种,故共计为630种.
**三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
（17）（本小题满分12分）
在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
（18）（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面，
，，是的中点．
（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；
（Ⅱ）证明平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．
（20）（本小题满分12分）
在数列中，，，．
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．
（21）（本小题满分14分）
设函数（），其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；
（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．
（22）（本小题满分14分）
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）**
**数学（文史类）参考答案**
**一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．**
（1）B （2）C （3）C （4）A （5）C
（6）D （7）D （8）B （9）A （10）A
**二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．**
（11） （12） （13）
（14） （15） （16）
**三、解答题**
（17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在中，，由正弦定理，
．
所以．
（Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是
，
，
．
．
（18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：设"从甲盒内取出的2个球均为红球"为事件，"从乙盒内取出的2个球均为红球"为事件．由于事件相互独立，且
，，
故取出的4个球均为红球的概率是
．
（Ⅱ）解：设"从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球"为事件，"从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球"为事件．由于事件互斥，且
，．
故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为
．
（19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在四棱锥中，因底面，平面，故．
又，，从而平面．故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．
在中，，故．
所以和平面所成的角的大小为．
（Ⅱ）证明：在四棱锥中，
因底面，平面，故．
由条件，，面．
又面，．
由，，可得．
是的中点，，
．综上得平面．
（Ⅲ）解：过点作，垂足为，连结．由（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．
由已知，可得．设，可得
，，，．
在中，，，则
．
在中，．
所以二面角的大小．
（20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：由题设，得
，．
又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为
．
所以数列的前项和．
（Ⅲ）证明：对任意的，
．
所以不等式，对任意皆成立．
（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．
（Ⅰ）解：当时，，得，且
，．
所以，曲线在点处的切线方程是，整理得
．
（Ⅱ）解：
．
令，解得或．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）若，当变化时，的正负如下表：
-- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- --
因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且
．
（2）若，当变化时，的正负如下表：
-- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- --
因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且
．
（Ⅲ）证明：由，得，当时，
，．
由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，
只要
即
①
设，则函数在上的最大值为．
要使①式恒成立，必须，即或．
所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．
（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中
，由于点在椭圆上，有，
，
解得，从而得到，
直线的方程为，整理得
．
由题设，原点到直线的距离为，即
，
将代入原式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为，
过点作，垂足为，易知，故
由椭圆定义得，又，所以
，
解得，而，得，即．
（Ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为．
当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组
的解．当时，由①式得
代入②式，得，即
，
于是，
．
若，则
．
所以，．由，得．在区间内此方程的解为．
当时，必有，同理求得在区间内的解为．
另一方面，当时，可推出，从而．
综上所述，使得所述命题成立．
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解第3课《认识图形三》试题附答案**
一年级奥数上册：认识图形习题三
小学一年级奥数题：认识图形例题讲解（三）
答案
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**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
采用列举法列举出中元素的即可.
【详解】由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4.
故选：C.
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
2.复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算求出*z*即可.
【详解】因为，
所以复数的虚部为.
故选：D.
【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.
3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.
【详解】对于A选项，该组数据的平均数为，
方差为；
对于B选项，该组数据的平均数为，
方差为；
对于C选项，该组数据的平均数为，
方差为；
对于D选项，该组数据的平均数为，
方差为.
因此，B选项这一组的标准差最大.
故选：B.
【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
4.*Logistic*模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数*I*(*t*)(*t*的单位：天)的*Logistic*模型：，其中*K*为最大确诊病例数．当*I*()=0.95*K*时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
【答案】C
【解析】
【分析】
将代入函数结合求得即可得解.
【详解】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
5.设*O*为坐标原点，直线*x*=2与抛物线*C*：*y*^2^=2*px*(*p*\>0)交于*D*，*E*两点，若*OD*⊥*OE*，则*C*的焦点坐标为（ ）
A. （，0） B. （，0） C. （1，0） D. （2，0）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
【详解】因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.
6.已知向量***a***，***b***满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.
【详解】，，，.
，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.
7.在△*ABC*中，cos*C*=，*AC*=4，*BC*=3，则cos*B*=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.
【详解】在中，，，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A. 6+4 B. 4+4 C. 6+2 D. 4+2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.
【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
根据立体图形可得：
根据勾股定理可得：
是边长为的等边三角形
根据三角形面积公式可得：
该几何体的表面积是：.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.
9.已知2tan*θ*--tan(*θ*+)=7，则tan*θ*=（ ）
A. --2 B. --1 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
10.若直线*l*与曲线*y*=和*x*^2^+*y*^2^=都相切，则*l*的方程为（ ）
A. *y*=2*x*+1 B. *y*=2*x*+ C. *y*=*x*+1 D. *y*=*x*+
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
11.设双曲线*C*：（*a*\>0，*b*\>0）的左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，离心率为．*P*是*C*上一点，且*F*~1~*P*⊥*F*~2~*P*．若△*PF*~1~*F*~2~的面积为4，则*a*=（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
12.已知5^5^\<8^4^，13^4^\<8^5^．设*a*=log~5~3，*b*=log~8~5，*c*=log~13~8，则（ ）
A. *a*\<*b*\<*c* B. *b*\<*a*\<*c* C. *b*\<*c*\<*a* D. *c*\<*a*\<*b*
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.若*x*，*y*满足约束条件 ，则*z*=3*x*+2*y*的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】7
【解析】
【分析】
作出可行域，利用截距的几何意义解决.
【详解】不等式组所表示的可行域如图
因为，所以，易知截距越大，则越大，
平移直线，当经过*A*点时截距最大，此时z最大，
由，得，，
所以
故答案为：7.
【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.
14.的展开式中常数项是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】
写出二项式展开通项，即可求得常数项.
【详解】
其二项式展开通项：
当，解得
的展开式中常数项是：.
故答案为：.
【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中，且点*M*为*BC*边上的中点，
设内切圆的圆心为，
由于，故，
设内切圆半径为，则：
，
解得：，其体积：.
故答案为：.
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
16.关于函数*f*（*x*）=有如下四个命题：
①*f*（*x*）的图像关于*y*轴对称．
②*f*（*x*）的图像关于原点对称．
③*f*（*x*）的图像关于直线*x*=对称．
④*f*（*x*）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】②③
【解析】
【分析】
利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
**三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.**
**（一）必考题：共60分.**
17.设数列{*a~n~*}满足*a*~1~=3，．
（1）计算*a*~2~，*a*~3~，猜想{*a~n~*}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2*^n^a~n~*}的前*n*项和*S~n~*．
【答案】（1），，，证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）由错位相减法求解即可.
【详解】（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即.
【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 锻炼人次 | \[0，200\] | (200，400\] | (400，600\] |
| | | | |
| 空气质量等级 | | | |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 1（优） | 2 | 16 | 25 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 2（良） | 5 | 10 | 12 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 3（轻度污染） | 6 | 7 | 8 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 4（中度污染） | 7 | 2 | 0 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天"空气质量好"；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天"空气质量不好"．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
-------------- ---------- -----------
人次≤400 人次\>400
空气质量好
空气质量不好
-------------- ---------- -----------
附：，
----------------- ------- ------- --------
*P*(*K*^2^≥*k*) 0.050 0.010 0.001
*k* 3.841 6.635 10.828
----------------- ------- ------- --------
【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率分别为、、、；（2）；（3）有，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率；
（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以可得结果；
（3）根据表格中的数据完善列联表，计算出的观测值，再结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为；
（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
（3）列联表如下：
-------------- ------ ------
人次 人次
空气质量不好
空气质量好
-------------- ------ ------
，
因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.
19.如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．
（1）证明：点在平面内；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平面内；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角的正弦值.
【详解】（1）在棱上取点，使得，连接、、、，
在长方体中，且，且，
，，且，
所以，四边形为平行四边形，则且，
同理可证四边形为平行四边形，且，
且，则四边形为平行四边形，
因此，点在平面内；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，，，
设平面的法向量为，
由，得取，得，则，
设平面的法向量为，
由，得，取，得，，则，
，
设二面角的平面角为，则，.
因此，二面角的正弦值为.
【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20.已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）因为，可得，，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；
（2）点在上，点在直线上，且，，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为，可得，可求得点坐标，求出直线的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得的面积.
【详解】（1）
，，
根据离心率，
解得或(舍)，
的方程为：，
即；
（2）点在上，点在直线上，且，，
过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为
根据题意画出图形，如图
，，，
又，，
，
根据三角形全等条件""，
可得：，
，
，
，
设点为，
可得点纵坐标为，将其代入，
可得：，
解得：或，
点为或，
①当点为时，
故，
，
，
可得：点为，
画出图象，如图
,，
可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，
根据两点间距离公式可得：，
面积为：；
②当点时，
故，
，
，
可得：点为，
画出图象，如图
,，
可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，
根据两点间距离公式可得：，
面积为：，
综上所述，面积为：.
【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
21.设函数，曲线在点(，*f*())处的切线与*y*轴垂直．
（1）求*b*．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义得到，解方程即可；
（2）由（1）可得，易知在上单调递减，在，上单调递增，且，采用反证法，推出矛盾即可.
【详解】（1）因为，
由题意，，即
则；
（2）由（1）可得，
，
令，得或；令，得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
且，
若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，
即或.
当时，，
又，
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，
即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
当时，，
又，
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，
即上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
综上，所有零点的绝对值都不大于1.
【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.
**（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.**
**\[选修4---4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22.在直角坐标系*xOy*中，曲线*C*的参数方程为（*t*为参数且*t*≠1），*C*与坐标轴交于*A*、*B*两点．
（1）求；
（2）以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线*AB*的极坐标方程．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由参数方程得出的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出的值；
（2）由的坐标得出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
【详解】（1）令，则，解得或（舍），则，即.
令，则，解得或（舍），则，即
；
（2）由（1）可知，
则直线的方程为，即.
由可得，直线的极坐标方程为.
【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.
**\[选修4---5：不等式选讲\]（10分）**
23.设*a*，*b*，*cR*，*a*+*b*+*c*=0，*abc*=1．
（1）证明：*ab*+*bc*+*ca*\<0；
（2）用max{*a*，*b*，*c*}表示*a*，*b*，*c*中的最大值，证明：max{*a*，*b*，*c*}≥．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由结合不等式的性质，即可得出证明；
（2）不妨设，由题意得出，由，结合基本不等式，即可得出证明.
【详解】（1），
.
均不为，则，；
（2）不妨设，
由可知，，
，.
当且仅当时，取等号，
，即.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.
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**2008年全国高等院校招生统一考试**
**江苏化学试卷**
一、单项选择题：（本题包括8小题，每题3分，共24分。每小题只有一个选项符合题意）
1．化学与生活、社会密切相关。下列说法不正确的是
A．利用太阳能等清洁能源代替化石燃料，有利于节约资源、保护环境
B．凡含有食品添加剂的食物对人体健康均有害，不可食用
C．为防止电池中的重金属等污染土壤和水体，应积极开发废电池的综合利用技术
D．提倡人们购物时不用塑料袋，是为了防止白色污染
2．下列文字表述与反应方程式对应且正确的是
A．溴乙烷中滴入AgNO~3~溶液检验其中的溴元素：Br^-^+Ag^+^==AgBr↓
B．用醋酸除去水垢：CaCO~3~ + 2H^+^==Ca^2+^ + H~2~O + CO~2~↑
C．利用腐蚀法制作印刷线路板：Fe^3+^ + Cu == Fe^2+^ + Cu^2+^
D．实验室用液溴和苯在催化剂作用下制溴苯：
3．用N~A~表示阿伏加德罗常数的值。下列叙述正确的是
A．常温常压下的33.6L氯气与27g铝充分反应，转移电子数为3N~A~
B．标准状况下，22.4L己烷中共价键数目为19N~A~
C．由CO~2~和O~2~组成的混合物中共有N~A~个分子，其中的氧原子数为2N~A~
D．1L浓度为1mol·L^-1^的Na~2~CO~3~溶液中含有N~A~个CO~3~^2-^
4．下列现象或事实可用同一原理解释的是
A．浓硫酸和浓盐酸长期暴露在空气中浓度降低
B．氯水和活性炭使红墨水褪色
C．漂白粉和水玻璃长期暴露在变质
D．乙炔和乙烯使溴的四氯化炭溶液褪色
5．镍镉（Ni-Cd）可充电电池在现代生活中有广泛应用。已知某镍镉电池的电解质溶液为KOH溶液，其充、放电按下式进行：Cd + 2NiOOH + 2H~2~OCd(OH)~2~ + 2Ni(OH)~2~
有关该电池的说法正确的是
A．充电时阳极反应：Ni(OH)~2~ －e^---^ + OH^-^ == NiOOH + H~2~O
B．充电过程是化学能转化为电能的过程
C．放电时负极附近溶液的碱性不变
D．放电时电解质溶液中的OH^-^向正极移动
6．下列装置或操作能达到实验目的的是
7．下列排列顺序正确的是
①热稳定性：H~2~O＞HF＞H~2~S ②原子半径：Na＞Mg＞O
③酸性：H~3~PO~4~＞H~2~SO~4~＞HClO~4~ ④结合质子能力：OH^-^＞CH~3~COO^-^＞Cl^-^
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
8．在下列溶液中，各组离子一定能够大量共存的是
A．使酚酞试液变红的溶液： Na^+^、Cl^-^、SO~4~^2-^、Fe^3+^
B．使紫色石蕊试液变红的溶液：Fe^2+^、Mg^2+^、NO~3~^-^、Cl^-^
C． *c*(H^+^)=10^-12^ mol·L^-1^的溶液：K^+^、Ba^2+^、Cl^-^、Br^-^
D．碳酸氢钠溶液：K^+^、SO~4~^2-^、Cl^-^、H^+^
**二、不定项选择题**（本题包括6小题，每小题4分，共24分。每小题只有一个或两个选项符合题意。若正确答案只包括一个选项，多选时，该题为0分；若正确答案包括两个选项，只选一个且正确的得2分，选两个且都正确的得满分，但只要选错一个，该小题就为0分）
9．以下实验或操作不能达到目的的是
A．用溴水鉴别苯、乙醇、四氯化碳
B．准确称取0.4000g的NaOH固体配成1000mL浓度为0.01000 mol·L^-1^的溶液
C．为除去苯中的少量苯酚,向混合物中加入适量的溴水后过滤
D．用激光笔检验淀粉溶液的丁达尔现象
10．下列离子方程式正确的是
A．用惰性电极电解饱和氯化钠溶液：2Cl^-^ + 2H^+^ H~2~↑+ Cl~2~↑
B．用银氨溶液检验乙醛中的醛基：
CH~3~CHO +2Ag(NH~3~)~2~^+^ + 2OH^-^CH~3~COO^-^ + NH~4~^+^ +3NH~3~ + 3Ag↓+ H~2~O
C．苯酚钠溶液中通入少量CO~2~：CO~2~ + H~2~O + 2C~6~H~5~O^-^ 2C~6~H~5~OH + 2CO~3~^2-^
D．Na~2~SO~3~溶液使酸性KMnO~4~溶液褪色：5SO~3~^2-^ + 6H^+^ + 2MnO~4~^-^ == 5SO~4~^2-^ + 2Mn^2+^ 3H~2~O
11．香兰素是重要的香料之一，它可由丁香酚经多步反应合成。
有关上述两种化合物的说法正确的是
A．常温下，1mol丁香酚只能与1molBr~2~反应
B．丁香酚不能FeCl~3~溶液发生显色反应
C．1mol香兰素最多能与3mol氢气发生加成反应
D．香兰素分子中至少有12个原子共平面
12．下列溶液中有关物质的量浓度关系正确的是
A．pH=2的HA溶液与pH=12的MOH溶液任意比混合：
*c*(H^+^) + *c*(M^+^) == *c*(OH^-^) + *c*(A^-^)
B．pH相等的CH~3~COONa、NaOH和Na~2~CO~3~三种溶液：
*c*(NaOH)＜*c*(CH~3~COONa)＜*c*(Na~2~CO~3~)
C．物质的量浓度相等CH~3~COOH和CH~3~COONa溶液等体积混合：
*c*(CH~3~COO^-^) +2*c*(OH^-^) == 2*c*(H^+^) + *c*(CH~3~COOH)
D．0.1mol·L^-1^的NaHA溶液，其pH=4：*c*(HA^-^)＞*c*(H^+^)＞*c*(H~2~A)＞*c*(A^2-^)
13．研究反应物的化学计量数与产物之间的关系时，使用类似数轴的方法可以收到的直观形象的效果。下列表达不正确的是
A．密闭容器中CuO和C高温反应的气体产物：
B．Fe在Cl~2~中的燃烧产物：
C．AlCl~3~溶液中滴加NaOH后铝的存在形式：
D．氨水与SO~2~反应后溶液中的铵盐：
14．某有机样品3.1g完全燃烧，燃烧后的混合物通入过量的澄清石灰水，石灰水共增重7.1g，经过滤得到10g沉淀。该有机样品可能是
A．乙二醇 B．乙醇 C．乙醛 D．甲醇和丙三醇的混合物
**第二卷（非选择题 共72分）**
**三、（本题包括1小题，共10分）**
15．(10分)金矿开采、冶炼和电镀工业会产生大量含氰化合物的污水，其中含氰化合物以HCN、CN ^-^和金属离子的配离子M(CN)*~n~^m-^*的形式存在于水中。测定污水中含氰化合物含量的实验步骤如下：
> ①水样预处理：水样中加入磷酸和EDTA，在pH＜2的条件下加热蒸馏，蒸出所有的HCN，并用NaOH溶液吸收。
②滴定：将吸收液调节至pH＞11，以试银灵作指示剂，用AgNO~3~标准溶液滴定
Ag^+^+2CN ^-^ == \[Ag(CN)~2~\] ^-^
终点时，溶液由黄色变成橙红色。
根据以上知识回答下列问题：
⑴水样预处理的目的是 [ ]{.underline} 。
⑵水样预处理的装置如右图，细导管插入吸收液中是为了 [ ]{.underline}
[ ]{.underline} 。
⑶蒸馏瓶比吸收液面要高出很多，其目的是 [ ]{.underline} 。
> ⑷如果用盐酸代替磷酸进行预处理，实验结果将 [ ]{.underline} (填"偏高"、"无影响"或"偏低")。
>
> ⑸准确移取某工厂污水100mL，经处理后用浓度为0.01000mol·L^-1^的硝酸银标准溶液滴定，终点时消耗了21.00mL。此水样中含氰化合物的含量为 [ ]{.underline} mg·L^-1^的(以计，计算结果保留一位小数)。
**四、（本题包括2小题，共18分）**
16．（8分）根据下列框图回答问题（答题时，方程式中的M、E用所对应的元素符号表示）：
⑴写出M溶于稀H~2~SO~4~和H~2~O~2~混合液的化学方程式： [ ]{.underline} 。
> ⑵某同学取X的溶液，酸化后加入KI、淀粉溶液，变为蓝色。写出与上述变化过程相关的离子方程式： [ ]{.underline} 、 [ ]{.underline} 。
⑶写出Cl~2~将Z氧化为K~2~EO~4~的化学方程式： [ ]{.underline} 。
> ⑷由E制备的E(C~2~H~5~)~2~的结构如右图，其中氢原子的化学环境完全相同。但早期人们却错误地认为它的结构为：。核磁共振法能够区分这两种结构。在核磁共振氢谱中，正确的结构有 [ ]{.underline} 种峰，错误的结构有 [ ]{.underline} 种峰。
17．（10分）工业上制备BaCl~2~的工艺流程图如下：
某研究小组在实验室用重晶石（主要成分BaSO~4~）对工业过程进行模拟实验。查表得
BaSO~4~(s) + 4C(s)4CO(g) + BaS(s) △*H*~1~ = 571.2 kJ·mol^-1^ ①
BaSO~4~(s) + 2C(s)2CO~2~(g) + BaS(s) △*H*~2~= 226.2 kJ·mol^-1^ ②
⑴气体用过量NaOH溶液吸收,得到硫化钠。Na~2~S水解的离子方程式为 [ ]{.underline} 。
⑵向BaCl~2~溶液中加入AgNO~3~和KBr，当两种沉淀共存时，= [ ]{.underline} 。
\[*K*~sp~(AgBr)=5.4×10^-13^，*K*~sp~(AgCl)=2.0×10^-10^\]
⑶反应C(s) + CO~2~(g)2CO(g)的△*H*~2~= [ ]{.underline} kJ·mol^-1^。
⑷实际生产中必须加入过量的炭，同时还要通入空气，其目的是 [ ]{.underline}
[ ]{.underline} ， [ ]{.underline} 。
**五、（本题包括1小题，共10分）**
18．（10分）"温室效应"是全球关注的环境问题之一。CO~2~是目前大气中含量最高的一种温室气体。因此，控制和治理CO~2~是解决温室效应的有效途径。
⑴下列措施中，有利于降低大气中CO~2~浓度的有： [ ]{.underline} 。（填字母）
a．减少化石燃料的使用 b．植树造林，增大植被面积
c．采用节能技术 d．利用太阳能、风能
⑵将CO~2~转化成有机物可有效实现碳循环。CO~2~转化成有机物的例子很多，如：
a．6CO~2~ + 6H~2~OC~6~H~12~O~6~ b．CO~2~ + 3H~2~CH~3~OH +H~2~O
c．CO~2~ + CH~4~CH~3~COOH d．2CO~2~ + 6H~2~CH~2~==CH~2~ + 4H~2~O
以上反应中，最节能的是 [ ]{.underline} ，原子利用率最高的是 [ ]{.underline} 。
⑶文献报道某课题组利用CO~2~催化氢化制甲烷的研究过程如下：
> 反应结束后，气体中检测到CH~4~和H~2~，滤液中检测到HCOOH，固体中检测到镍粉和Fe~3~O~4~。
>
> CH~4~、HCOOH、H~2~的产量和镍粉用量的关系如下图所示（仅改变镍粉用量，其他条件不变）：
研究人员根据实验结果得出结论：
HCOOH是CO~2~转化为CH~4~的中间体，
即：CO~2~HCOOHCH~4~
①写出产生H~2~的反应方程式 [ ]{.underline}
[ ]{.underline} 。
②由图可知，镍粉是 [ ]{.underline} 。（填字母）
a．反应的催化剂
b．反应的催化剂
c．反应的催化剂
d．不是催化剂
③当镍粉用量从1mmol增加到10mmol，反应速率的变化情况是 [ ]{.underline} 。（填字母）
a．反应Ⅰ的速率增加，反应Ⅱ的速率不变
b．反应Ⅰ的速率不变，反应Ⅱ的速率增加
c．反应ⅠⅡ的速率均不变
d．反应ⅠⅡ的速率均增加，且反应Ⅰ的速率增加得快
e．反应ⅠⅡ的速率均增加，且反应Ⅱ的速率增加得快
f．反应Ⅰ的速率减小，反应Ⅱ的速率增加
**六、（本题包括1小题，共12分）**
19．（12分）布噁布洛芬是一种消炎镇痛的药物。它的工业合成路线如下：
请回答下列问题：
⑴A长期暴露在空气中会变质，其原因是 [ ]{.underline} 。
> ⑵有A到B的反应通常在低温时进行。温度升高时，多硝基取代副产物会增多。下列二硝基取代物中，最可能生成的是 [ ]{.underline} 。（填字母）
a． b． c． d．
⑶在E的下列同分异构体中，含有手性碳原子的分子是 [ ]{.underline} 。（填字母）
a． b．
c． d．
⑷F的结构简式 [ ]{.underline} 。
> ⑸D的同分异构体H是一种α-氨基酸，H可被酸性KMnO~4~溶液氧化成对苯二甲酸，则H的结构简式是 [ ]{.underline} 。高聚物L由H通过肽键连接而成，L的结构简式是 [ ]{.underline} 。
**七、（本题包括1小题，共10分）**
20．（10分）将一定量的SO和含0.7mol氧气的空气（忽略CO~2~）放入一定体积的密闭容器中，550℃时，在催化剂作用下发生反应：2SO~2~+O~2~  2SO~3~（正反应放热）。反应达到平衡后，将容器中的混合气体通过过量NaOH溶液，气体体积减少了21.28L；再将剩余气体通过焦性没食子酸的碱性溶液吸收O~2~，气体的体积又减少了5.6L（以上气体体积均为标准状况下的体积）。（计算结果保留一位小数）
请回答下列问题：
（1）判断该反应达到平衡状态的标志是 [ ]{.underline} 。（填字母）
a．SO~2~和SO~3~浓度相等 b．SO~2~百分含量保持不变
c．容器中气体的压强不变 d．SO~3~的生成速率与SO~2~的消耗速率相等
e．容器中混合气体的密度保持不变
（2）欲提高SO~2~的转化率，下列措施可行的是 [ ]{.underline} 。（填字母）
a．向装置中再充入N~2~ b．向装置中再充入O~2~
c．改变反应的催化剂 d．生高温度
（3）求该反应达到平衡时SO~3~的转化率（用百分数表示）。
（4）若将平衡混合气体的5%通入过量的BaCl~2~溶液，生成沉淀多少克？
**八、（本题包括1小题，共12分）**
> 下列两题分别对应于"物质结构与性质"和"实验化学"两个选修课程模块的内容，请你选择其中一题作答，如果两题全做，则按A题评分。
21．（12分）
A. 已知A、B、C、D、E都是周期表中前四周期的元素，它们的核电荷数A＜B＜C＜D＜E。其中A、B、C是同一周期的非金属元素。化合物DC的晶体为离子晶体，D的二价阳离子与C的阴离子具有相同的电子层结构。AC~2~为非极性分子。B、C的氢化物的沸点比它们同族相邻周期元素氢化物的沸点高。E的原子序数为24，ECl~3~能与B、C的氢化物形成六配位的配合物，且两种配体的物质的量之比为2∶1，三个氯离子位于外界。请根据以上情况，回答下列问题：（答题时，A、B、C、D、E用所对应的元素符号表示）
> （1）A、B、C的第一电离能由小到大的顺序为 [ ]{.underline} 。
>
> （2）B的氢化物的分子空间构型是 [ ]{.underline} 。其中心原子采取 [ ]{.underline} 杂化。
>
> （3）写出化合物AC~2~的电子式 [ ]{.underline} ；一种由B、C组成的化合物与AC~2~互为等电子体，其化学式为 [ ]{.underline} 。
>
> （4）E的核外电子排布式是 [ ]{.underline} ，ECl~3~形成的配合物的化学式为 [ ]{.underline} 。
>
> （5）B的最高价氧化物对应的水化物的稀溶液与D的单质反应时，B被还原到最低价，该反应的化学方程式是 [ ]{.underline} 。
B．醇与氢卤酸反应是制备卤代烃的重要方法。实验室制备溴乙烷和1-溴丁烷的反应如下：
NaBr+H~2~SO~4~HBr+NaHSO~4~ ①
R-OH+HBrR-Br+H~2~O ②
> 可能存在的副反应有：醇在浓硫酸的存在下脱水生成烯和醚，Br^---^被浓硫酸氧化为Br~2~等。有关数据列表如下；
--------------- --------- --------- --------- ----------
乙醇 溴乙烷 正丁醇 1-溴丁烷
密度/g·cm^-3^ 0．7893 1．4604 0．8098 1．2758
沸点/℃ 78．5 38．4 117．2 101．6
--------------- --------- --------- --------- ----------
请回答下列问题：
（1）溴乙烷和1-溴丁烷的制备实验中，下列仪器最不可能用到的是 [ ]{.underline} 。（填字母）
a．圆底烧瓶 b．量筒 c．锥形瓶 d．布氏漏斗
（2）溴代烃的水溶性 [ ]{.underline} （填"大于"、"等于"或"小于"）；其原因是 [ ]{.underline}
[ ]{.underline} 。
（3）将1-溴丁烷粗产品置于分液漏斗中加水，振荡后静置，产物在 [ ]{.underline} （填"上层"、"下层"或"不分层"）。
（4）制备操作中，加入的浓硫酸必需进行稀释，起目的是 [ ]{.underline} 。（填字母）
a．减少副产物烯和醚的生成 b．减少Br~2~的生成
c．减少HBr的挥发 d．水是反应的催化剂
（5）欲除去溴代烷中的少量杂质Br~2~，下列物质中最适合的是 [ ]{.underline} 。（填字母）
a．NaI b．NaOH c．NaHSO~3~ d．KCl
（6）在制备溴乙烷时，采用边反应边蒸出产物的方法，其有利于 [ ]{.underline} ；但在制备1-溴丁烷时却不能边反应边蒸出产物，其原因是 [ ]{.underline} 。
**2008年全国高等院校招生统一考试**
**江苏化学试题答案**
单项选择题：1、B 2、 D 3、C 4、D 5、A 6、C 7、B 8、C
不定项选择题：9、BC 10、BD 11、D 12、AC 13、B 14、AD
15．⑴将含氰化合物全部转化为CN ^-^ ⑵完全吸收HCN，防止气体放空
⑶防止倒吸 ⑷偏高 ⑸109.2
16．⑴Cu + H~2~O~2~ + H~2~SO~4~ == CuSO~4~ + 2H~2~O
⑵4Fe^2+^ + O~2~ + 4H^+^ == 4Fe^3+^ + 2H~2~O 2Fe^3+^ + 2I^---^ == 2Fe^2+^ + I~2~
⑶10KOH + 3Cl~2~ + 2Fe(OH)~3~ == 2K~2~FeO~4~ + 6KCl + 8H~2~O
⑷1 3
17．⑴S^2-^ + H~2~OHS^-^ +OH^-^ HS^-^ + H~2~OH~2~S +OH^-^（可不写）
⑵2.7×10^-3^ ⑶172.5
⑷使BaSO~4~得到充分的还原（或提高BaS的产量）
①②为吸热反应，炭和氧气反应放热维持反应所需高温
18．⑴abcd ⑵a c
⑶①3Fe+4H~2~OFe~3~O~4~+2H~2~ ②c ③e
19．⑴酚类化合物易被空气中的O~2~氧化 ⑵a ⑶ac
⑷
⑸ 或
20．（10分）
（1）bc （2）b
（3）消耗的O~2~物质的量：
生成的SO~3~物质的量：
SO~2~和SO~3~的物质的量和：
反应前的SO~2~物质的量：
SO~2~的转化率：
（4）在给定的条件下，溶液呈强酸性，BaSO~3~不会沉淀。因此BaSO~4~的质量
21． A．（12分）
（1）C＜O＜N （2）三角锥形 sp^3^
（3） N~2~O
（4）1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^6^3d^5^4s^1^（或\[Ar\] 3d^5^4s^1^） \[Cr(NH~3~)~4~(H~2~O)~2~\]Cl~3~
（5）4Mg+10HNO~3~=4Mg(NO~3~)~2~+NH~4~NO~3~+3H~2~O
B．（12分）
（1）d
（2）小于；醇分子可与水分子形成氢键，溴代烃分子不能与水分子形成氢键。
（3）下层
（4）abc
（5）c
（6）平衡向生成溴乙烷的方向移动（或反应②向右移动）
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**高考数学选择题专项训练（六）**
1、设a, b是满足ab\<0的实数，那么（ ）。
（A）\|a＋b\|\>\|a－b\|（B）\|a＋b\|\<\|a－b\|
（C）\|a－b\|\<\|a\|－\|b\|（D）\|a－b\|\>\|a\|＋\|b\|
2、设a, b, c∈R^＋^，则三个数a＋, b＋, c＋（ ）。
（A）都不大于2 （B）都不小于2
（C）至少有一个不大于2 （D）至少有一个不小于2
3、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ）。
（A）a~n~= 1－(－1)^n^ （B）a~n~=1＋(－1)^n＋1^
（C）a~n~=2sin^2^ （D）a~n~=(1－cosnπ)＋(n－1)(n－2)
4、平行六面体ABCD－A~1~B~1~C~1~D~1~的体积为30，则四面体AB~1~CD~1~的体积是（ ）。
（A）15 （B）7.5 （C）10 （D）6
5、不论k为何实数，直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)=0恒通过一
个定点，这个定点的坐标是（ ）。
（A）(5, 2) （B）(2, 3) （C）(5, 9) （D）(－,3)
6、方程ax＋by＋c=0与方程2ax＋2by＋c＋1=0表示两条平行直线的充要条件是（ ）。
（A）ab\>0, c≠1 （B）ab\<0, c≠1
（C）a2＋b2≠0, c≠1 （D）a=b=c=2
7、焦距是10，虚轴长是8，过点(3, 4)的双曲线的标准方程是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
8、函数y=sin(ωx)cos(ωx) (ω\>0)的最小正周期是4π，则常数ω为（ ）。
（A）4 （B）2 （C） （D）
9、若(1－2x)^7^=a~0~＋a~1~x＋a~2~x^2^＋a~3~x^3^＋......＋a~7~x^7^，那么a~1~＋a~2~＋a~3~＋......＋a~7~的值等于（ ）。
（A）－2 （B）－1 （C）0 （D）2
10、当A=20°,B=25°时，(1＋tanA)(1＋tanB)的值是（ ）。
（A） （B）2 （C）1＋ （D）2＋
11、函数y=cos(－2x)的单调递减区间是（ ）。
（A）\[2kπ－, 2kπ＋\], k∈Z （B）\[kπ＋, kπ＋\], k∈Z
（C）\[2kπ＋, 2kπ＋\], k∈Z （D）\[kπ－, kπ＋\], k∈Z
12、关于x的方程=kx＋2有唯一解，则实数k的取值范围是（ ）。
（A）k=± （B）k\<－2或k\>2
（C）－2\<k\<2 （D）k\<－2或k\>2或k=±
---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------- -------- --------
**题号** **1** **2** **3** **4** **5** **6** **7** **8** **9** **10** **11** **12**
**答案** **B** **D** **D** **C** **B** **C** **A** **D** **A** **B** **B** **D**
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**2019年海南省中考数学试卷**
**一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑**
1．（3分）（2019•海南）如果收入100元记作+100元，那么支出100元记作（ ）
A．﹣100元 B．+100元 C．﹣200元 D．+200元
2．（3分）（2019•海南）当*m*＝﹣1时，代数式2*m*+3的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．（3分）（2019•海南）下列运算正确的是（ ）
A．*a*•*a*^2^＝*a*^3^ B．*a*^6^÷*a*^2^＝*a*^3^ C．2*a*^2^﹣*a*^2^＝2 D．（3*a*^2^）^2^＝6*a*^4^
4．（3分）（2019•海南）分式方程＝1的解是（ ）
A．*x*＝1 B．*x*＝﹣1 C．*x*＝2 D．*x*＝﹣2
5．（3分）（2019•海南）海口市首条越江隧道﹣﹣文明东越江通道项目将于2020年4月份完工，该项目总投资3710000000元．数据3710000000用科学记数法表示为（ ）
A．371×10^7^ B．37.1×10^8^ C．3.71×10^8^ D．3.71×10^9^
6．（3分）（2019•海南）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的俯视图是（ ）
> 
A． B．
C． D．
7．（3分）（2019•海南）如果反比例函数*y*＝（*a*是常数）的图象在第一、三象限，那么*a*的取值范围是（ ）
A．*a*＜0 B．*a*＞0 C．*a*＜2 D．*a*＞2
8．（3分）（2019•海南）如图，在平面直角坐标系中，已知点*A*（2，1），点*B*（3，﹣1），平移线段*AB*，使点*A*落在点*A*~1~（﹣2，2）处，则点*B*的对应点*B*~1~的坐标为（ ）
> 
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
9．（3分）（2019•海南）如图，直线*l*~1~∥*l*~2~，点*A*在直线*l*~1~上，以点*A*为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线*l*~1~、*l*~2~于*B*、*C*两点，连结*AC*、*BC*．若∠*ABC*＝70°，则∠1的大小为（ ）
> 
A．20° B．35° C．40° D．70°
10．（3分）（2019•海南）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）（2019•海南）如图，在▱*ABCD*中，将△*ADC*沿*AC*折叠后，点*D*恰好落在*DC*的延长线上的点*E*处．若∠*B*＝60°，*AB*＝3，则△*ADE*的周长为（ ）
> 
A．12 B．15 C．18 D．21
12．（3分）（2019•海南）如图，在Rt△*ABC*中，∠*C*＝90°，*AB*＝5，*BC*＝4．点*P*是边*AC*上一动点，过点*P*作*PQ*∥*AB*交*BC*于点*Q*，*D*为线段*PQ*的中点，当*BD*平分∠*ABC*时，*AP*的长度为（ ）
> 
A． B． C． D．
**二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）**
13．（4分）（2019•海南）因式分解：*ab*﹣*a*＝[ ]{.underline}．
14．（4分）（2019•海南）如图，⊙*O*与正五边形*ABCDE*的边*AB*、*DE*分别相切于点*B*、*D*，则劣弧所对的圆心角∠*BOD*的大小为[ ]{.underline}度．
> 
15．（4分）（2019•海南）如图，将Rt△*ABC*的斜边*AB*绕点*A*顺时针旋转α（0°＜α＜
90°）得到*AE*，直角边*AC*绕点*A*逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到*AF*，连结*EF*．若*AB*＝3，*AC*＝2，且α+β＝∠*B*，则*EF*＝[ ]{.underline}．
> 
16．（4分）（2019•海南）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是[ ]{.underline}，这2019个数的和是[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题满分68分）**
17．（12分）（2019•海南）（1）计算：9×3^﹣2^+（﹣1）^3^﹣；
> （2）解不等式组，并求出它的整数解．
18．（10分）（2019•海南）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到"海南爱心扶贫网"上选购百香果，若购买2千克"红土"百香果和1千克"黄金"百香果需付80元，若购买1千克"红土"百香果和3千克"黄金"百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？
19．（8分）（2019•海南）为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为"珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性"的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：
> （1）本次调查一共随机抽取了[ ]{.underline}个参赛学生的成绩；
>
> （2）表1中*a*＝[ ]{.underline}；
>
> （3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的"组别"是[ ]{.underline}；
>
> （4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有[ ]{.underline}人．
>
> 表1 知识竞赛成绩分组统计表
------ ------------- ------
组别 分数/分 频数
*A* 60≤*x*＜70 *a*
*B* 70≤*x*＜80 10
*C* 80≤*x*＜90 14
*D* 90≤*x*＜100 18
------ ------------- ------
> 
20．（10分）（2019•海南）如图是某区域的平面示意图，码头*A*在观测站*B*的正东方向，码头*A*的
> 北偏西60°方向上有一小岛*C*，小岛*C*在观测站*B*的北偏西15°方向上，码头*A*到小岛*C*的距离*AC*为10海里．
>
> （1）填空：∠*BAC*＝[ ]{.underline}度，∠*C*＝[ ]{.underline}度；
>
> （2）求观测站*B*到*AC*的距离*BP*（结果保留根号）．
>
> 
21．（13分）（2019•海南）如图，在边长为1的正方形*ABCD*中，*E*是边*CD*的中点，点*P*是边*AD*上一点（与点*A*、*D*不重合），射线*PE*与*BC*的延长线交于点*Q*．
> （1）求证：△*PDE*≌△*QCE*；
>
> （2）过点*E*作*EF*∥*BC*交*PB*于点*F*，连结*AF*，当*PB*＝*PQ*时，
>
> ①求证：四边形*AFEP*是平行四边形；
>
> ②请判断四边形*AFEP*是否为菱形，并说明理由．
>
> 
22．（15分）（2019•海南）如图，已知抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+5经过*A*（﹣5，0），*B*（﹣4，﹣3）两点，与*x*轴的另一个交点为*C*，顶点为*D*，连结*CD*．
> （1）求该抛物线的表达式；
>
> （2）点*P*为该抛物线上一动点（与点*B*、*C*不重合），设点*P*的横坐标为*t*．
>
> ①当点*P*在直线*BC*的下方运动时，求△*PBC*的面积的最大值；
>
> ②该抛物线上是否存在点*P*，使得∠*PBC*＝∠*BCD*？若存在，求出所有点*P*的坐标；若不存在，请说明理由．
>
> 
**2019年海南省中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑**
1．（3分）（2019•海南）如果收入100元记作+100元，那么支出100元记作（ ）
A．﹣100元 B．+100元 C．﹣200元 D．+200元
> 【考点】正数和负数．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据正数与负数的意义，支出即为负数；
>
> 【解答】解：收入100元+100元，支出100元为﹣100元，
>
> 故选：*A*．
2．（3分）（2019•海南）当*m*＝﹣1时，代数式2*m*+3的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
> 【考点】代数式求值．菁优网版权所有
>
> 【分析】将*m*＝﹣1代入代数式即可求值；
>
> 【解答】解：将*m*＝﹣1代入2*m*+3＝2×（﹣1）+3＝1；
>
> 故选：*C*．
3．（3分）（2019•海南）下列运算正确的是（ ）
A．*a*•*a*^2^＝*a*^3^ B．*a*^6^÷*a*^2^＝*a*^3^ C．2*a*^2^﹣*a*^2^＝2 D．（3*a*^2^）^2^＝6*a*^4^
> 【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则即可求解；
>
> 【解答】解：*a*•*a*^2^＝*a*^1+2^＝*a*^3^，*A*准确；
>
> *a*^6^÷*a*^2^＝*a*^6﹣2^＝*a*^4^，*B*错误；
>
> 2*a*^2^﹣*a*^2^＝*a*^2^，*C*错误；
>
> （3*a*^2^）^2^＝9*a*^4^，*D*错误；
>
> 故选：*A*．
4．（3分）（2019•海南）分式方程＝1的解是（ ）
A．*x*＝1 B．*x*＝﹣1 C．*x*＝2 D．*x*＝﹣2
> 【考点】解分式方程．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据分式方程的求解方法解题，注意检验根的情况；
>
> 【解答】解：＝1，
>
> 两侧同时乘以（*x*+2），可得
>
> *x*+2＝1，
>
> 解得*x*＝﹣1；
>
> 经检验*x*＝﹣1是原方程的根；
>
> 故选：*B*．
5．（3分）（2019•海南）海口市首条越江隧道﹣﹣文明东越江通道项目将于2020年4月份完工，该项目总投资3710000000元．数据3710000000用科学记数法表示为（ ）
A．371×10^7^ B．37.1×10^8^ C．3.71×10^8^ D．3.71×10^9^
> 【考点】科学记数法---表示较大的数．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据科学记数法的表示方法*a*×10*^n^*（1≤*a*＜9）即可求解；
>
> 【解答】解：由科学记数法可得3710000000＝3.17×10^9^，
>
> 故选：*D*．
6．（3分）（2019•海南）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的俯视图是（ ）
> 
A． B．
C． D．
> 【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据俯视图是从上面看到的图象判定则可．
>
> 【解答】解：从上面看下来，上面一行是横放3个正方体，左下角一个正方体．
>
> 故选：*D*．
7．（3分）（2019•海南）如果反比例函数*y*＝（*a*是常数）的图象在第一、三象限，那么*a*的取值范围是（ ）
A．*a*＜0 B．*a*＞0 C．*a*＜2 D．*a*＞2
> 【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】反比例函数*y*＝图象在一、三象限，可得*k*＞0．
>
> 【解答】解：∵反比例函数*y*＝（*a*是常数）的图象在第一、三象限，
>
> ∴*a*﹣2＞0，
>
> ∴*a*＞2．
>
> 故选：*D*．
8．（3分）（2019•海南）如图，在平面直角坐标系中，已知点*A*（2，1），点*B*（3，﹣1），平移线段*AB*，使点*A*落在点*A*~1~（﹣2，2）处，则点*B*的对应点*B*~1~的坐标为（ ）
> 
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
> 【考点】坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
>
> 【分析】由点*A*（2，1）平移后*A*~1~（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点*B*的对应点*B*~1~的坐标．
>
> 【解答】解：由点*A*（2，1）平移后*A*~1~（﹣2，2）可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，
>
> ∴点*B*的对应点*B*~1~的坐标（﹣1，0）．
>
> 故选：*C*．
9．（3分）（2019•海南）如图，直线*l*~1~∥*l*~2~，点*A*在直线*l*~1~上，以点*A*为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线*l*~1~、*l*~2~于*B*、*C*两点，连结*AC*、*BC*．若∠*ABC*＝70°，则∠1的大小为（ ）
> 
A．20° B．35° C．40° D．70°
> 【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据平行线的性质解答即可．
>
> 【解答】解：∵点*A*为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线*l*1、*l*2于*B*、*C*，
>
> ∴*AC*＝*AB*，
>
> ∴∠*CBA*＝∠*BCA*＝70°，
>
> ∵*l*~1~∥*l*~2~，
>
> ∴∠*CBA*+∠*BCA*+∠1＝180°，
>
> ∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
>
> 故选：*C*．
10．（3分）（2019•海南）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
> 【考点】概率公式．菁优网版权所有
>
> 【分析】随机事件*A*的概率*P*（*A*）＝事件*A*可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
>
> 【解答】解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
>
> ∴当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率*P*＝＝，
>
> 故选：*D*．
11．（3分）（2019•海南）如图，在▱*ABCD*中，将△*ADC*沿*AC*折叠后，点*D*恰好落在*DC*的延长线上的点*E*处．若∠*B*＝60°，*AB*＝3，则△*ADE*的周长为（ ）
> 
A．12 B．15 C．18 D．21
> 【考点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
>
> 【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到*BC*＝2*AB*＝6，*AD*＝6，再根据△*ADE*是等边三角形，即可得到△*ADE*的周长为6×3＝18．
>
> 【解答】解：由折叠可得，∠*ACD*＝∠*ACE*＝90°，
>
> ∴∠*BAC*＝90°，
>
> 又∵∠*B*＝60°，
>
> ∴∠*ACB*＝30°，
>
> ∴*BC*＝2*AB*＝6，
>
> ∴*AD*＝6，
>
> 由折叠可得，∠*E*＝∠*D*＝∠*B*＝60°，
>
> ∴∠*DAE*＝60°，
>
> ∴△*ADE*是等边三角形，
>
> ∴△*ADE*的周长为6×3＝18，
>
> 故选：*C*．
12．（3分）（2019•海南）如图，在Rt△*ABC*中，∠*C*＝90°，*AB*＝5，*BC*＝4．点*P*是边*AC*上一动点，过点*P*作*PQ*∥*AB*交*BC*于点*Q*，*D*为线段*PQ*的中点，当*BD*平分∠*ABC*时，*AP*的长度为（ ）
> 
A． B． C． D．
> 【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据勾股定理求出*AC*，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠*QBD*＝∠*BDQ*，得到*QB*＝*QD*，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
>
> 【解答】解：∵∠*C*＝90°，*AB*＝5，*BC*＝4，
>
> ∴*AC*＝＝3，
>
> ∵*PQ*∥*AB*，
>
> ∴∠*ABD*＝∠*BDQ*，又∠*ABD*＝∠*QBD*，
>
> ∴∠*QBD*＝∠*BDQ*，
>
> ∴*QB*＝*QD*，
>
> ∴*QP*＝2*QB*，
>
> ∵*PQ*∥*AB*，
>
> ∴△*CPQ*∽△*CAB*，
>
> ∴＝＝，即＝＝，
>
> 解得，*CP*＝，
>
> ∴*AP*＝*CA*﹣*CP*＝，
>
> 故选：*B*．
**二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）**
13．（4分）（2019•海南）因式分解：*ab*﹣*a*＝[ *a*（*b*﹣1） ]{.underline}．
> 【考点】因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
>
> 【分析】提公因式*a*即可．
>
> 【解答】解：*ab*﹣*a*＝*a*（*b*﹣1）．
>
> 故答案为：*a*（*b*﹣1）．
14．（4分）（2019•海南）如图，⊙*O*与正五边形*ABCDE*的边*AB*、*DE*分别相切于点*B*、*D*，则劣弧所对的圆心角∠*BOD*的大小为[ 144 ]{.underline}度．
> 
>
> 【考点】切线的性质；正多边形和圆．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠*E*、∠*D*，根据切线的性质可求出∠*OAE*、∠*OCD*，从而可求出∠*AOC*，然后根据圆弧长公式即可解决问题．
>
> 【解答】解：∵五边形*ABCDE*是正五边形，
>
> ∴∠*E*＝∠*A*＝＝108°．
>
> ∵*AB*、*DE*与⊙*O*相切，
>
> ∴∠*OBA*＝∠*ODE*＝90°，
>
> ∴∠*BOD*＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
>
> 故答案为：144．
15．（4分）（2019•海南）如图，将Rt△*ABC*的斜边*AB*绕点*A*顺时针旋转α（0°＜α＜
90°）得到*AE*，直角边*AC*绕点*A*逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到*AF*，连结*EF*．若*AB*＝3，*AC*＝2，且α+β＝∠*B*，则*EF*＝[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】由旋转的性质可得*AE*＝*AB*＝3，*AC*＝*AF*＝2，由勾股定理可求*EF*的长．
>
> 【解答】解：由旋转的性质可得*AE*＝*AB*＝3，*AC*＝*AF*＝2，
>
> ∵∠*B*+∠*BAC*＝90°，且α+β＝∠*B*，
>
> ∴∠*BAC*+α+β＝90°
>
> ∴∠*EAF*＝90°
>
> ∴*EF*＝＝
>
> 故答案为：
16．（4分）（2019•海南）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是[ 0 ]{.underline}，这2019个数的和是[ 2 ]{.underline}．
> 【考点】规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决．
>
> 【解答】解：由题意可得，
>
> 这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，...，
>
> ∴前6个数的和是：0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）＝0，
>
> ∵2019÷6＝336...3，
>
> ∴这2019个数的和是：0×336+（0+1+1）＝2，
>
> 故答案为：0，2．
**三、解答题（本大题满分68分）**
17．（12分）（2019•海南）（1）计算：9×3^﹣2^+（﹣1）^3^﹣；
> （2）解不等式组，并求出它的整数解．
>
> 【考点】实数的运算；负整数指数幂；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）先计算负整数指数幂、乘方及算术平方根，再计算乘法，最后计算加减可得；
>
> （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
>
> 【解答】解：（1）原式＝9×﹣1﹣2
>
> ＝3﹣1﹣2
>
> ＝0；
>
> （2）解不等式*x*+1＞0，得：*x*＞﹣1，
>
> 解不等式*x*+4＞3*x*，得：*x*＜2，
>
> 则不等式组的解集为﹣1＜*x*＜2，
>
> 所以不等式组的整数解为0、1．
18．（10分）（2019•海南）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到"海南爱心扶贫网"上选购百香果，若购买2千克"红土"百香果和1千克"黄金"百香果需付80元，若购买1千克"红土"百香果和3千克"黄金"百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？
> 【考点】二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】设"红土"百香果每千克*x*元，"黄金"百香果每千克*y*元，由题意列出方程组，解方程组即可．
>
> 【解答】解：设"红土"百香果每千克*x*元，"黄金"百香果每千克*y*元，
>
> 由题意得：，
>
> 解得：；
>
> 答："红土"百香果每千克25元，"黄金"百香果每千克30元．
19．（8分）（2019•海南）为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为"珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性"的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：
> （1）本次调查一共随机抽取了[ 50 ]{.underline}个参赛学生的成绩；
>
> （2）表1中*a*＝[ 8 ]{.underline}；
>
> （3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的"组别"是[ *C* ]{.underline}；
>
> （4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有[ 320 ]{.underline}人．
>
> 表1 知识竞赛成绩分组统计表
------ ------------- ------
组别 分数/分 频数
*A* 60≤*x*＜70 *a*
*B* 70≤*x*＜80 10
*C* 80≤*x*＜90 14
*D* 90≤*x*＜100 18
------ ------------- ------
> 
>
> 【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%＝50（人）；
>
> （2）*a*＝50﹣18﹣14﹣10＝8；
>
> （3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在*C*组；
>
> （4）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有500×＝320（人）．
>
> 【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%＝50（人），
>
> 故答案为50；
>
> （2）*a*＝50﹣18﹣14﹣10＝8，
>
> 故答案为8；
>
> （3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在*C*组，
>
> 故答案为*C*；
>
> （4）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有500×＝320（人），
>
> 故答案为320．
20．（10分）（2019•海南）如图是某区域的平面示意图，码头*A*在观测站*B*的正东方向，码头*A*的
> 北偏西60°方向上有一小岛*C*，小岛*C*在观测站*B*的北偏西15°方向上，码头*A*到小岛*C*的距离*AC*为10海里．
>
> （1）填空：∠*BAC*＝[ 30 ]{.underline}度，∠*C*＝[ 45 ]{.underline}度；
>
> （2）求观测站*B*到*AC*的距离*BP*（结果保留根号）．
>
> 
>
> 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）由题意得：∠*BAC*＝90°﹣60°＝30°，∠*ABC*＝90°+15°＝105°，由三角形内角和定理即可得出∠*C*的度数；
>
> （2）证出△*BCP*是等腰直角三角形，得出*BP*＝*PC*，求出*PA*＝*BP*，由题意得出*BP*+*BP*＝10，解得*BP*＝5﹣5即可．
>
> 【解答】解：（1）由题意得：∠*BAC*＝90°﹣60°＝30°，∠*ABC*＝90°+15°＝105°，
>
> ∴∠*C*＝180°﹣∠*BAC*﹣∠*ABC*＝45°；
>
> 故答案为：30，45；
>
> （2）∵*BP*⊥*AC*，
>
> ∴∠*BPA*＝∠*BPC*＝90°，
>
> ∵∠*C*＝45°，
>
> ∴△*BCP*是等腰直角三角形，
>
> ∴*BP*＝*PC*，
>
> ∵∠*BAC*＝30°，
>
> ∴*PA*＝*BP*，
>
> ∵*PA*+*PC*＝*AC*，
>
> ∴*BP*+*BP*＝10，
>
> 解得：*BP*＝5﹣5，
>
> 答：观测站*B*到*AC*的距离*BP*为（5﹣5）海里．
21．（13分）（2019•海南）如图，在边长为1的正方形*ABCD*中，*E*是边*CD*的中点，点*P*是边*AD*上一点（与点*A*、*D*不重合），射线*PE*与*BC*的延长线交于点*Q*．
> （1）求证：△*PDE*≌△*QCE*；
>
> （2）过点*E*作*EF*∥*BC*交*PB*于点*F*，连结*AF*，当*PB*＝*PQ*时，
>
> ①求证：四边形*AFEP*是平行四边形；
>
> ②请判断四边形*AFEP*是否为菱形，并说明理由．
>
> 
>
> 【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）由四边形*ABCD*是正方形知∠*D*＝∠*ECQ*＝90°，由*E*是*CD*的中点知*DE*＝*CE*，结合∠*DEP*＝∠*CEQ*即可得证；
>
> （2）①由*PB*＝*PQ*知∠*PBQ*＝∠*Q*，结合*AD*∥*BC*得∠*APB*＝∠*PBQ*＝∠*Q*＝∠*EPD*，由△*PDE*≌△*QCE*知*PE*＝*QE*，再由*EF*∥*BQ*知*PF*＝*BF*，根据Rt△*PAB*中*AF*＝*PF*＝*BF*知∠*APF*＝∠*PAF*，从而得∠*PAF*＝∠*EPD*，据此即可证得*PE*∥*AF*，从而得证；
>
> ②设*AP*＝*x*，则*PD*＝1﹣*x*，若四边形*AFEP*是菱形，则*PE*＝*PA*＝*x*，由*PD*^2^+*DE*^2^＝*PE*^2^得关于*x*的方程，解之求得*x*的值，从而得出四边形*AFEP*为菱形的情况．
>
> 【解答】解：（1）∵四边形*ABCD*是正方形，
>
> ∴∠*D*＝∠*ECQ*＝90°，
>
> ∵*E*是*CD*的中点，
>
> ∴*DE*＝*CE*，
>
> 又∵∠*DEP*＝∠*CEQ*，
>
> ∴△*PDE*≌△*QCE*（*ASA*）；
>
> （2）①∵*PB*＝*PQ*，
>
> ∴∠*PBQ*＝∠*Q*，
>
> ∵*AD*∥*BC*，
>
> ∴∠*APB*＝∠*PBQ*＝∠*Q*＝∠*EPD*，
>
> ∵△*PDE*≌△*QCE*，
>
> ∴*PE*＝*QE*，
>
> ∵*EF*∥*BQ*，
>
> ∴*PF*＝*BF*，
>
> ∴在Rt△*PAB*中，*AF*＝*PF*＝*BF*，
>
> ∴∠*APF*＝∠*PAF*，
>
> ∴∠*PAF*＝∠*EPD*，
>
> ∴*PE*∥*AF*，
>
> ∵*EF*∥*BQ*∥*AD*，
>
> ∴四边形*AFEP*是平行四边形；
>
> ②当*AP*＝时，四边形*AFEP*是菱形．
>
> 设*AP*＝*x*，则*PD*＝1﹣*x*，
>
> 若四边形*AFEP*是菱形，则*PE*＝*PA*＝*x*，
>
> ∵*CD*＝1，*E*是*CD*中点，
>
> ∴*DE*＝，
>
> 在Rt△*PDE*中，由*PD*^2^+*DE*^2^＝*PE*^2^得（1﹣*x*）^2^+（）^2^＝*x*^2^，
>
> 解得*x*＝，
>
> 即当*AP*＝时，四边形*AFEP*是菱形．
22．（15分）（2019•海南）如图，已知抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+5经过*A*（﹣5，0），*B*（﹣4，﹣3）两点，与*x*轴的另一个交点为*C*，顶点为*D*，连结*CD*．
> （1）求该抛物线的表达式；
>
> （2）点*P*为该抛物线上一动点（与点*B*、*C*不重合），设点*P*的横坐标为*t*．
>
> ①当点*P*在直线*BC*的下方运动时，求△*PBC*的面积的最大值；
>
> ②该抛物线上是否存在点*P*，使得∠*PBC*＝∠*BCD*？若存在，求出所有点*P*的坐标；若不存在，请说明理由．
>
> 
>
> 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）将点*A*、*B*坐标代入二次函数表达式，即可求解；
>
> （2）①*S*~△*PBC*~＝*PG*（*x~C~*﹣*x~B~*），即可求解；②分点*P*在直线*BC*下方、上方两种情况，分别求解即可．
>
> 【解答】解：（1）将点*A*、*B*坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
>
> 故抛物线的表达式为：*y*＝*x*^2^+6*x*+5...①，
>
> 令*y*＝0，则*x*＝﹣1或﹣5，
>
> 即点*C*（﹣1，0）；
>
> （2）①如图1，过点*P*作*y*轴的平行线交*BC*于点*G*，
>
> 
>
> 将点*B*、*C*的坐标代入一次函数表达式并解得：
>
> 直线*BC*的表达式为：*y*＝*x*+1...②，
>
> 设点*G*（*t*，*t*+1），则点*P*（*t*，*t*^2^+6*t*+5），
>
> *S*~△*PBC*~＝*PG*（*x~C~*﹣*x~B~*）＝（*t*+1﹣*t*^2^﹣6*t*﹣5）＝﹣*t*^2^﹣*t*﹣6，
>
> ∵＜0，∴*S*~△*PBC*~有最大值，当*t*＝﹣时，其最大值为；
>
> ②设直线*BP*与*CD*交于点*H*，
>
> 
>
> 当点*P*在直线*BC*下方时，
>
> ∵∠*PBC*＝∠*BCD*，∴点*H*在*BC*的中垂线上，
>
> 线段*BC*的中点坐标为（﹣，﹣），
>
> 过该点与*BC*垂直的直线的*k*值为﹣1，
>
> 设*BC*中垂线的表达式为：*y*＝﹣*x*+*m*，将点（﹣，﹣）代入上式并解得：
>
> 直线*BC*中垂线的表达式为：*y*＝﹣*x*﹣4...③，
>
> 同理直线*CD*的表达式为：*y*＝2*x*+2...④，
>
> 联立③④并解得：*x*＝﹣2，即点*H*（﹣2，﹣2），
>
> 同理可得直线*BH*的表达式为：*y*＝*x*﹣1...⑤，
>
> 联立①⑤并解得：*x*＝﹣或﹣4（舍去﹣4），
>
> 故点*P*（﹣，﹣）；
>
> 当点*P*（*P*′）在直线*BC*上方时，
>
> ∵∠*PBC*＝∠*BCD*，∴*BP*′∥*CD*，
>
> 则直线*BP*′的表达式为：*y*＝2*x*+*s*，将点*B*坐标代入上式并解得：*s*＝5，
>
> 即直线*BP*′的表达式为：*y*＝2*x*+5...⑥，
>
> 联立①⑥并解得：*x*＝0或﹣4（舍去﹣4），
>
> 故点*P*（0，5）；
>
> 故点*P*的坐标为*P*（﹣，﹣）或（0，5）．
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**新北师大版数学三年级下第2单元-图形的运动测试卷（带解析）**
1．下列图形中，对称轴最多的是（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．圆 D．长方形
2．下面不是轴对称图形的是（ ）
A．长方形 B．平行四边形 C．圆 D．半圆
3．下列阿拉伯数字是轴对称的是（ ）
A．2 B．4 C．8
4．下列字母是轴对称的是（ ）
A．C B．R C．N
5．下列图案不是轴对称的是（ ）
A． B． C．
6．要使大小两个圆有无数条对称轴，应采用第（ ）种画法．
A． B． C．
7．下列图案中，对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
8．将图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
9．如图△ABC经过怎样的平移得到△DEF（ ）
A．把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B．把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C．把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D．把△ABC向左平移4个单位，再向上平移两个单位
10．如图点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而成，则旋转的角度为（ ）
A．30° B．45° C．90° D．135°
11．如图四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若△AFB经过逆时针旋转后，与△AED重合，则旋转角可能为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
12．在算盘上拨珠子是（ ）
A．旋转 B．平移 C．既不是平移，也不是旋转
13．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是 [ ]{.underline} ，折痕所在的直线叫做 [ ]{.underline} ．
14．圆的对称轴有 [ ]{.underline} 条，
15．在对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的 [ ]{.underline} ．
16． [ ]{.underline} 三角形有三条对称轴， [ ]{.underline} 三角形有一条对称轴．
17．①号三角形绕A点按 [ ]{.underline} 时针方向旋转了 [ ]{.underline} 度．
18．钟表分针的运动可看做一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过15分钟旋转了 [ ]{.underline} 度．
19．在横线上填上"平移"或"旋转"
⑴火车在行使的运动是 [ ]{.underline} ．
⑵风车运动的现象是 [ ]{.underline} ．
⑶运动员举重是 [ ]{.underline} ．
⑷电风扇的运动是 [ ]{.underline} ．
20．填表：
+------------+--------+------+--------+--------+--------+----+------+
| 图形名称 | 等腰 | 等腰 | 长方形 | 等边 | 正方形 | 圆 | 圆环 |
| | | | | | | | |
| | 三角形 | 梯形 | | 三角形 | | | |
+------------+--------+------+--------+--------+--------+----+------+
| 对称轴条数 | | | | | | | |
+------------+--------+------+--------+--------+--------+----+------+
21．画出每个图的所有对称轴：
22．画出下列是轴对称图形的所有对称轴：
23．明明说如图所示的图形隐藏着他家的电话号码，你能找出来吗？写在下面吧
明明家的电话号码是 [ ]{.underline} ．
24．根据要求画一画
25．按要求画出平移后的各个图形
⑴▲向右平移8格．
⑵☆向左平移10格．
⑶●向下平移3格．
⑷■向上平移2格．
⑸先向右平移5格，再向上平移3格．
26．按要求画图
（1）画出左图的右一半，使它成为一个轴对称图形．
（2）将右图绕点O顺时针旋转90度，再向左平移3格．
27．下面是平移运动的在括号里画"﹣"，是旋转运动的画"○"．
{width="6.104166666666667in" height="9.217361111111112in"}8．A
【解析】
考点：作平移后的图形．
分析：根据平移的特征分析各图特点，只有符合"图形的形状、大小和方向都不改变"即为答案．
解答：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，将题图所示的图案通过平移后可以得到的图案是A，其它三项皆改变了方向，故错误．
9．C
【解析】
考点：作平移后的图形，平移。
分析：根据平移的性质可知，图中DE与AB是对应线段，DE是AB向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到的。
解答：由题意可知把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△DEF.
10．C
【解析】
考点：旋转．
分析：由△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案．
解答：因为△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，所以OB=OD，因为旋转的角度是∠BOD的大小，
且∠BOD=90°，所以旋转的角度为90°
11．A
【解析】
考点：作旋转一定角度后的图形．
分析：根据正方形的性质可得∠BAD=90°，再根据旋转的性质，旋转角等于对应边的夹角解答．
解答：解因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAD=90°，且旋转角=∠BAD=90°
12．B
【解析】
考点：平移．
分析：将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动；把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转；据此解答即可．
解答：在算盘上拨珠子是平移。
13．轴对称图形、对称轴
【解析】
考点：轴对称．
分析：依据轴对称图形的定义即可作答．
解答：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，折痕所在的直线叫做对称轴．
14．无数
【解析】
考点：确定轴对称图形的对称轴条数及位置．
分析：依据轴对称图形的定义即可作答．
解答：因为圆是轴对称图形，且它的直径所在的直线就是其对称轴，而圆有无数条直径，所以圆就有无数条对称轴；
15．距离相等
【解析】
考点：轴对称．
分析：因为在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等，所以应填"距离相等"．
解答：在对称轴中，对称轴两侧相对的点到对称轴的距离相等．
16．等边，等腰
【解析】
考点：确定轴对称图形的对称轴条数及位置．
分析：依据轴对称图形的定义即可作答．
解答：据轴对称图形的特点和定义可知：等边三角形有三条对称轴，等腰三角形有一条对称轴．
17．顺，90
【解析】
考点：旋转
分析：根据图形旋转的特征，一个图形绕某点顺时针（或逆时针）旋转一定的度数，某点的位置不动，其余各点（边）均绕某点按相同的方向旋转相同的度数．
解答：①号三角形绕A点按顺时针方向旋转了90度．
18．90
【解析】
考点：旋转.
分析：根据钟表面的知识，钟表上分针走过一个小格转过的度数是6°，走过15分钟，乘以15，计算即可得解．
解答：因为钟表上分针走过一个小格转过的度数是6°，所以经过14分钟旋转了6°×15=90°
19．⑴平移；⑵旋转；⑶平移；⑷旋转
【解析】
考点：平移；旋转．
分析：掌握好平移的特点，和旋转的特点来解答。
解答：火车在行使的运动是平移；风车运动的现象是旋转；运动员举重是平移；电风扇的运动是旋转；
20．1；1；2；3；4；无数；无数
【解析】
考点：确定轴对称图形的对称轴条数及位置．
分析：根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可．
解答：等腰三角形对称轴条数1；等腰梯形对称轴条数1；长方形对称轴条数2；等边三角形对称轴条数3；正方形对称轴条数4；圆对称轴条数为无数条；圆环对称轴条数为无数条。
21．
【解析】
考点：画轴对称图形的对称轴．
分析：根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可．
解答：画图如上。
22．
【解析】
考点：画轴对称图形的对称轴．
分析：根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可．
解答：画图如上。
23．5163247
【解析】
考点：整数的认识．图形的对称
分析：通过观察，发现每个图形是左右对称图形，好像在镜子上面放置数字一样，右半部分是一个数字，据此得解．
解答：通过观察，得到明明家的电话号码是5163247；
24．
【解析】
考点：作平移后的图形．
分析：根据平移的特征，把每个图形的各顶点分别向要求的方向平移相应的格数，分别连结，画斜线（阴影）即可．
解答：画图如上。
25．
【解析】
考点：作平移后的图形．
分析：根据平移的特征，把各图形的各顶点分别按要求向某个方向平移相应的格数连结、涂色即可．
解答：▲向右平移8格．☆向左平移10格．●向下平移3格．■向上平移2格．先向右平移5格，再向上平移3格．如上图。
26．
【解析】
考点：作轴对称图形以及旋转一定角度后的图形
分析：⑴根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出原图的关键对称点，连接即可。⑵把右边三角形的另外两个顶点分别绕点O顺时针旋转90度，画出旋转后的三角形，再把得到的三角形的三个顶点分别向左平移3格，依次连接起来即可解答问题。
解答：如上图
27．
【解析】
考点：平移；旋转．
分析：平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；
旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的． 根据平移与旋转定义判断即可．
解答：（1）抽拉抽屉属于平移运动；（2）旋转门作旋转运动；（3）小朋友玩滑梯作平移运动；（4）升降电梯作平移运动；（5）方向盘通过旋转调整车前进的方向，所以方向盘作旋转运动；（6）算盘的珠子通过上、下移动进行计算，所以珠子作的是平移运动．
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**大渡口区2020－2021学年上期**
**小学三年级数学期末测试题**
**（时间：70分钟 总分：100分）**
**一、我会填。（1题2分，其余每题每空1分，共26分）**
1\. 把1分米长彩带平均分成9份，每份是它的，4份是它的。
2\. 630比380多（ ），比250多170的数是（ ）。
3\. 15是3的（ ）倍，15的3倍是（ ）。
4\. 在括号里填上合适的单位。
（1）黄河全长5464（ ）；
（2）银行卡厚度大约为1（ ）；
（3）飞机每小时飞行1000（ ）；
（4）脉搏跳动10次大约用了10（ ）。
5\. 一个长方形相邻的两条边的和是15厘米，这个长方形的周长是（ ）厘米。
6\. 一个正方形的边长是（ ），它的周长是20分米．
7\. 刘老师的身份证号码是210102198306117153，刘老师的性别是（ ）（填男或女），出生年月日是（ ）。
8\. 三年级（1）班获得"聪慧少年"称号有31人，获得"尚美少年"称号的有28人，其中有10人既是"聪慧少年"，又是"尚美少年"。全班所有人都至少获得了这两个称号中的一个。三（1）班一共有（ ）人。
9\. 一列火车本应9：15到达，现在要晚点15分钟，这列火车（\_\_\_\_：\_\_\_\_）能到达。
10\. 用分数表示下面各图中的阴影部分。
（ ） （ ）
 （ ）  （ ）
11\. 在括号里填上"＞""＜"或"＝"。
6分（ ）600秒 208×4（ ）800 3500千克（ ）5吨
（ ） （ ） 3×305×6（ ）305×18
**二、我会选，把正确答案的字母填在括号里。（每题1分，共5分）**
12\. 如图中①的周长（ ）②的周长。
A. ＞ B. ＜ C. ＝
13\. 李叔叔用篱笆围了一块长方形菜地，其中一边靠墙，这块地长10米，宽8米，篱笆至少长多少米？（ ）。
A 28 B. 36 C. 26
14\. 下面算式结果大于600而小于700的是（ ）。
A. 309＋216 B. 489＋57 C. 900－214
15\. 要使□32×4的积是四位数，□里最小应填（ ）。
A. 2 B. 3 C. 4
16\. 两杯同样多的果汁，小红喝了一杯的，小丽喝了另一杯的，（ ）剩下的果汁多。
A. 小红 B. 小丽 C. 无法比较
**三、我会算。（38分）**
17\. 口算。
137＋68＝ 80－36＝ 120×5＝ 290＋230＝
5×800＝ 160×6＝ 286＋198＝ 
18\. 竖式计算，带\*的题目要验算。
531×8＝ 907×9＝ 1500×4＝
\*126＋347＝ \*435－237＝
19\. 计算下面各题。
（412－340）÷8 138＋39－62 637－（234＋189）
**四、我会操作。（共7分）**
20\. 在每幅图里涂上颜色，分别表示出它的。
21\. 用两个长4厘米，宽2厘米的长方形，拼成一个周长最短的图形。请在下面的方格里画出拼成后的这个图形。
**五、我会解决问题。（共24分）**
22\. 一块菜地的种白菜，种萝卜，剩下的种芹菜。种芹菜的地占整块地的几分之几？
23\. 图书角有45本图书。其中是故事书，故事书有多少本？
24\. 王师傅5小时加工了40个零件，照这样计算，加工72个零件需要几小时？
25\. 300名学生乘6辆汽车去郊游。前5辆车各坐52名学生，第6辆车要坐多少名学生？
26\. 用一辆三轮车运3吨大米，上午运了400千克，下午运的是上午的5倍，还剩多少千克没运完？
27\. 工地上有一辆载重6吨和一辆载重4吨的货车。如果要用它们来运水泥，每次每辆车都装满，怎样安排能恰好运完18吨水泥？
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北师大版小学六年级下册数学第一单元《圆柱和圆锥》单元测试1（附答案）
一、认真审题，准确填空。
1．圆柱有( )条高，圆锥有( )条高。
2．一个圆柱形铁桶，底面半径是4厘米，高l0厘米，它的侧面积是( )平方厘米，来源：www.bcjy123.com/tiku/
表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
3．一个圆柱体的底面积足12.56平方分米，高是3分米，和这个圆柱体等底等高
的圆锥体的体积是( )立方分米。
4．一个圆锥形容器，高l8厘米，里面装满了水，然后把水全部倒入和它等底的圆柱形容器里，水面高( )厘米。
5．一种压路机滚筒是一个圆柱体．它的底面直径是l米，长是1.5米。如果它转5圈，一共压路( )平方米。
6．一个圆柱削去6立方分米，正好削成一个与它等底等高的圆锥，这个圆柱的体积是( )立方分米。
7．一个圆柱与一个圆锥等底等高，已知圆柱的体积比圆锥的体积多48立方厘米。圆
柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。
8．将一个圆柱切开，拼成一个长20厘米，宽l0厘米，高l5厘米的近似长方体。原圆柱的体积是( )立方厘米。
二、仔细推敲，正确判断。来源：www.bcjy123.com/tiku/
1．圆锥体积小于圆柱体积。 ( )
2．底面积相等的两个圆锥体的体积相等。 ( )
3．长方体、正方体和圆柱体的体积都可以用底面积乘高。 ( )
4．圆柱的侧面展开后不是长方形，就是正方形。 ( )
5．圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积大3倍。 ( )
三、反复比较，择优录取。
1．一根圆柱形水管，内直径是20厘米，水在管内流速是40厘米/秒，每秒流过的水是( )立方厘米。
A．62．8 B．2512 C．12560
2．有一个圆柱体，底面直径是l0厘米，若高增加2厘米，则侧面积增加( )平方
厘米。来源：www.bcjy123.com/tiku/
A．31.4 B．62.8 C．157
3．小明做了一个圆柱形状的容器和三个圆锥形状的容器(如下图)，正好可以将圆柱
形状容器中的水倒满圆锥形状容器的是( )。
4．直径和高相等的圆柱体，侧面展开后是一个( )。
A．长方形 B．正方形 C．圆形
5．下面圆柱与圆锥，体积相比( )。
A．圆柱\>圆锥 B．圆柱=圆锥 C．圆柱\<闭锥
6．一个网柱的体积扩大到原来的9倍，高不变，则它的底面半径扩大到原来的( )倍。
A．3 B．6 C．9
7．一个圆柱的体积是80立方分米，底面积是16平方分米，它的高是( )分米。
A．5 B．1 5 C．30 D．60
8．一个圆柱形和一个圆锥等底等高，已知它们的体积差是54立方厘米，那么它们的
体积和是( )立方厘米。
A．8 B．98 C.108 D．9
四、认真看图，细心计算。
1．求下面图形的体积。
2．填空。
+--------+-------------+--------------+------------+
| 图形 | 已知条件/米 | 表面积/米^2^ | 体积/米^3^ |
+--------+-------------+--------------+------------+
| 长方体 | a=2.5,b=6， | | |
| | | | |
| | h=3 | | |
+--------+-------------+--------------+------------+
| 正方体 | a=5 | | |
+--------+-------------+--------------+------------+
| 圆柱 | r=2，h=2.5 | | |
+--------+-------------+--------------+------------+
| 圆锥 | r=3,h=4 | \-\-\-- | |
+--------+-------------+--------------+------------+
五、动手操作，展示技能。
1．下面是一个长方形，长8cm，宽5cm。
2．你知道它的体积吗?
小明要想知道一块不规则石头的体积，他想：这块石头既不是长方体、正方体，也不是圆柱、圆锥，怎样知道它的体积呢?小芳帮小明拿来了一个圆柱盒，一把直尺和一些水，两人做起了实验。
3．用纸片和小棒做成下面的小旗，快速旋转小棒，想象纸片旋转所形成的图形。再连一连。
六、灵活运用，解决问题。
1．一个圆柱形水池，底面周长是31.4米，深是2米。
(1)这个水池占地面积是多少平方米?
(2)在池底及池壁抹上一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米?
(3)挖成这个水池，一共需要挖土多少立方米?
2．做l0节长3米，底面周长是9.42分米的圆柱形烟囱，至少需要多少铁皮?
3．一个圆柱形铁皮油桶，从里面量底面直径是20分米，高是75分米，这个油桶里装满了汽油，将这些汽油加入摩托车，可以加满多少辆摩托车?
4．一个圆柱水桶的容积是12560立方厘米，底面直径是40厘米，距桶口0．6厘米处出现了漏洞，现在这个水桶最多能装水多少克?(每立方厘米水的质量为l克)
5.把一个底面周长18.84分米．高15分米的圆锥形金属零件，熔化后煅造成一个和它等底的圆柱体，这个圆柱体的表面积是多少平方分米?
6．如图，一个装满小麦的粮囤，已知圆柱的底面直径是4米，高4.5米，圆锥高是圆柱高的。如果每立方米小麦约重750千克，这个粮囤的小麦大约重多少千克?
**答案**
一．1、无数 1
2、 251.2 351.68 502.4
3、12.56 4、6 5、23.55 6、9 7、72 24 8、3000
二、1、× 2、× 3、√ 4、√ 5、√
三、1、C 2、B 3、C 4、A 5、C 6、A 7、A 8、C
六、1、（1）78.5m^3^ (2)141.3 m^3^ (3)157 m^3^
2、9.42×30×10=2826（dm^2^）
3、3.14×(20÷2)^2^×75÷10=2355(辆)
4、12560÷\[3.14×(40÷2)^2^ \]=10(cm)
3.14×(40÷2)^2^×(10-0.6) ×1=11806.4（克）
5、18.84÷3.14÷2=3（dm）
18.84×（15÷3）+3.14×3^2^×2=150.72（dm^2^）
6、\[3.14×（4÷2）^2^ ×4.5+×3.14×（4÷2）^2^×（4.5×）\] ×750=48042(千克)
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2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
**一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．)**
\(1\) 已知当时，与是等价无穷小，则( )
\(A\) ． (B) ． (C) ． (D) ．
\(2\) 已知在处可导，且，则=( )
\(A\) ． (B) ． (C) ． (D) 0．
\(3\) 函数的驻点个数为( )
\(A\) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3．
\(4\) 微分方程的特解形式为( )
\(A\) ． (B) ．
\(C\) ． (D) ．
\(5\) 设函数均有二阶连续导数，满足且，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是( )
\(A\) (B)
\(C\) (D)
\(6\) 设，，，则的大小关系是( )
\(A\) ． (B) ． (C) ． (D) ．
\(7\) 设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵，记，，则( )
\(A\) ． (B) ． (C) ． (D) ．
\(8\) 设是4阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则的基础解系可为( )
\(A\) ． (B) ． (C) ． (D) ．
**二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．)**
\(9\) ．
\(10\) 微分方程满足条件的解为．
\(11\) 曲线的弧长．
\(12\) 设函数则．
\(13\) 设平面区域由直线圆及轴围成，则二重积分．
\(14\) 二次型，则的正惯性指数为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)**
\(15\) (本题满分10分)
已知函数，设试求的取值范围．
\(16\) (本题满分11分)
设函数由参数方程确定，求的极值和曲线的凹凸区间及拐点．
\(17\) (本题满分9分)
设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求．
\(18\) (本题满分10分)
设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为曲线在点处切线的倾角，若求的表达式．
\(19\) (本题满分10分)
(I)证明：对任意的正整数*n*，都有 成立．
(II)设，证明数列收敛．
\(20\) (本题满分11分)
一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面，该曲线由与连接而成的．
\(I\) 求容器的容积；
\(II\) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：，重力加速度为，水的密度为)．
图１
\(21\) (本题满分11分)
已知函数具有二阶连续偏导数，且，，，其中，计算二重积分．
\(22\) (本题满分11分)
设向量组，不能由向量组，，线性表示．
\(I\) 求的值；
\(II\) 将由线性表示．
\(23\) (本题满分11分)
为三阶实对称矩阵，的秩为2，即，且．
\(I\) 求的特征值与特征向量；
\(II\) 求矩阵．
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
**一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．)**
(1)【答案】(C)．
【解析】因为
．
所以，故答案选(C)．
(2)【答案】(B)．
【解析】
．
故答案选(B)．
(3)【答案】(C)．
【解析】
令，得，故有两个不同的驻点．
(4)【答案】(C)．
【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为，解得特征根．
所以非齐次方程有特解,
非齐次方程有特解，
故由微分方程解的结构可知非齐次方程可设特解
(5)【答案】(A)．
【解析】由题意有，
所以，，，即点是可能的极值点．
又因为，，，
所以，，，，
根据题意由为极小值点，可得且，所以有由题意，所以，故选(A)．
(6)【答案】(B)．
【解析】因为时， ，
又因是单调递增的函数，所以．
故正确答案为(B)．
(7)【答案】 (D)．
【解析】由于将的第2列加到第1列得矩阵，故
，
即，．
由于交换的第2行和第3行得单位矩阵，故
，
即故．因此，，故选(D)．
(8)【答案】(D)．
【解析】由于是方程组的一个基础解系，所以，且，即，且．由此可得，即，这说明是的解．
由于，，所以线性无关．又由于，所以，因此的基础解系中含有个线性无关的解向量．而线性无关，且为的解，所以可作为的基础解系，故选(D)．
**二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．)**
(9)【答案】．
【解析】原式=．
(10)【答案】．
【解析】由通解公式得
．
由于故=0．所以．
(11)【解析】选取为参数，则弧微元
所以．
(12)【答案】．
【解析】原式
．
(13)【答案】．
【解析】原式
．
(14)【答案】2．
【解析】方法1：的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数．
二次型对应矩阵为．
，
故．因此的正惯性指数为2．
方法2：的正惯性指数为标准形中正的平方项个数．
，
令则，故的正惯性指数为2．
**三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)**
\(15\) (本题满分10分)
【解析】如果时，，
显然与已知矛盾，故．
当时，又因为．
> 所以即．
>
> 又因为
所以，即，综合得．
\(16\) (本题满分11分)
【解析】因为，
令得，
当时，，，此时，所以为极小值．
当时，，，此时，所以为极大值．
令得，．
当时，，此时；当时，，此时．
所以曲线的凸区间为，凹区间为，拐点为．
\(17\) (本题满分9分)
【解析】
．
因为在可导，且为极值,所以，则
．
\(18\) (本题满分10分)
【解析】由题意可知当时，，，由导数的几何意义得,即，由题意，即 ．
令，，则，，即
，，即．
当，，代入得，所以 ，
则
．
又因为，所以．
\(19\) (本题满分10分)
【解析】(Ⅰ)设
显然在上满足拉格朗日的条件，
所以时，
，即：，
亦即：．
结论得证．
（II）设．
先证数列单调递减．
，
利用（I）的结论可以得到，所以得到，即数列单调递减．
再证数列有下界．
，
，
．
得到数列有下界．利用单调递减数列且有下界得到收敛．
\(20\) (本题满分11分)
【解析】(I)容器的容积即旋转体体积分为两部分
+==．
\(II\) 所做的功为
．
\(21\) (本题满分11分)
【解析】因为，，所以．
．
\(22\) (本题满分11分)
【解析】(I)由于不能由线性表示，对进行初等行变换：
．
当时，，此时，不能由线性表示，故不能由线性表示．
(II)对进行初等行变换：
，
故，，．
\(23\) (本题满分11分)
【解析】(I)由于，设，则
，即，而，知的特征值为，对应的特征向量分别为，．
由于，故，所以．
由于是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设对应的特征向量为，则
即
解此方程组，得，故对应的特征向量为．
\(II\) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：
．
令，则，
．
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2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
理科综合能力测试（物理部分）全解全析
二、选择题（本题共8 小题，在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得6 分，选对但不全的得3 分，有选错的得O 分）
14.下列说法正确的是[易考网络](http://www.ekaonet.com/)(www.2008gk.cn)高考试题免费下载
A.物体吸收热量，其温度一定升高
B.热量只能从高温物体向低温物体传递
C.遵守热力学第一定律的过程一定能实现
D.做功和热传递是改变物体内能的两种方式
【答案】D
15.下列说法正确的是
A.*γ*射线在电场和磁场中都不会发生偏转
B.*β*射线比*α*射线更容易使气体电离
C.太阳辐射的能量主要来源于重核裂变
D.核反应堆产生的能量来自轻核聚变
【答案】A
16.如图，一理想变压器原线圈接入一交流电源，副线圈电路中*R*~l~、*R*~2~、*R*~3~和*R*~4~均为固定电阻，开关S是闭合的。和为理想电压表，读数分别为*U~1~*和*U~2~*；、和为理想电流表，读数分别为*I*~1~、*I*~2~和*I*~3~。现断开S，*U~1~*数值不变，下列推断中正确的是
A.*U~2~*变小，*I*~3~变小 B.*U~2~*不变，*I*~3~变大
C. *I*~1~变小、*I*~2~变小 D. *I*~1~变大、*I*~2~变大
【答案】BC
17 ．在沿水平方向的匀强磁场中．有一圆形金属线圈可绕沿其直径的竖直轴自由转动。开始时线圈静止，线圈平面与磁场方向既不平行也不垂直，所成的锐角为*a*。在磁场开始增强后的一个极短时间内，线圈平面
A.维持不动
B.将向使*a* 减小的方向转动
C.将向使*a* 增大的方向转动
D.将转动，因不知磁场方向，不能确定*a* 会增大还是会减小
【答案】B
18.一物体沿固定斜面从静止开始向下运动，经过时间*t*~0~滑至斜面底端。己知在物体运动过程中物体所受的摩擦力恒定。若用*F*、*v*、*s* 和*E*分别表示该物体所受的合力、物体的速度、位移和机械能，则下列图象中可能正确的是
【答案】AD
19.一列简谐横波沿直线传播，该直线上的*a*、*b* 两点相距4.42 *m*。图中实、虚两条曲线分别表示平街位置在*a*、*b* 两点处质点的振动曲线。从图示可知
A.此列波的频率一定是10Hz
B.此列波的波长一定是0.l*m*
C.此列波的传播速度可能是34*m/s*
D. *a*点一定比*b*点距波源近
【答案】AC
20.1990年4月25 日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展。假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。己知地球半径为6.4 xl0^6^m ，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6 xl0^7^m 这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。以下数据中最接近其运行周期的是
A.0.6小时 B.1.6小时 C.4.0小时 D.24小时
【答案】B
21.如图，一束单色光射入一玻璃球体，入射角为60^o^。己知光线在玻璃球内经一次反射后，再次折射回到空气中时与入射光线平行。此玻璃的折射率为
A. B.1.5 C. D.2
【答案】C
22 . ( 17 分）
Ⅰ.（9分）一水平放置的圆盘绕过其圆心的竖直轴匀速转动。盘边缘上固定一竖直的挡光片。盘转动时挡光片从一光电数字计时器的光电门的狭缝中经过，如图1所示。图2为光电数字计时器的示意图。光源*A*中射出的光可照到*B*中的接收器上。若*A*、*B*间的光路被遮断，显示器*C*上可显示出光线被遮住的时间。
 
挡光片的宽度用螺旋测微器测得,结果如图3 所示。阅盘直径用游标卡尺测得，结果如图4 所示。由图可知，[易考网络](http://www.ekaonet.com/)(www.2008gk.cn)高考试题免费下载
(1)挡光片的宽度为 [ ]{.underline} mm；
(2)圈盘的直径为 [ ]{.underline} cm
(3)若光电数字计时器所显示的时间为50.0ms，则圆盘转动的角速度为 [ ]{.underline} 弧度/秒（保留3 位有效数字）。
【答案】(1)10.243 (2)24.220 (3)1.69
Ⅱ.（8分）图为用伏安法测量电阻的原理图。图中，为电压表，内阻为4000Ω；为电流表,内限为50Ω；*E*为电源，*R*为电阻箱，*R~x~*为待测电限,S为开关。
(1)当开关闭合后电压表读数*U*=1.6V,电流表读数*I*=2.0mA。若将作为测量值，所得结果的百分误差是 [ ]{.underline} 。
（2）若将电流表改为内接。开关闭合后，重新测得电压表读数和电流表读数，仍将电压表读数与电流表读数之比作为测量值，这时结果的百分误差是 [ ]{.underline} 。
（）
【答案】20﹪ 5﹪
23.（16分）
*A*、*B*两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当*B*车在*A*车前84m 处时，*B*车速度为4m/s,且正以2m/s^2^的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，*B*车加速度突然变为零。*A*车一直以20m/s的速度做匀速运动。经过12s后两车相遇。问*B*车加速行驶的时间是多少？
【答案】6s易考网络(www.2008gk.cn)高考试题免费下载
【解析】设*A*车的速度为*v~A~*，*B*车加速行驶时间为*t*，两车在*t*~0~时相遇。则有
①
②
式中，*t*~0~=12s，*s~A~*、*s~B~*分别为*A*、*B*两车相遇前行驶的路程，依题意有③
式中s=84m。由①②③式得 ④
代入题给数据*v~A~*=20m/s，*v~B~*=4m/s，*a*=2m/s^2^
有 ⑤
式中*t*的单位为s，解得*t*~1~=6s，*t*~2~=18s ⑥
*t*~2~=18s不合题意，舍去。因此，*B*车加速行驶的时间为6s。
24.（19分）
如图，一半径为*R*的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为*q* ( *q* \> 0）、质最为*m*的小球*P*在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为。球心*O*到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为*θ*（）。为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球*P*相应的速率。重力加速度为g。
【答案】
【解析】据题意，小球*P*在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为。*P*受到向下的重力mg、球面对它沿*OP*方向的支持力*N*和磁场的洛伦兹力
*f*=*qvB* ①
式中*v*为小球运动的速率。洛伦兹力*f*的方向指向。根据牛顿第二定律
②
③
由①②③得
④
由于*v*是实数，必须满足≥0 ⑤
由此得*B*≥ ⑥
可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为
⑦
此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为 ⑧
由⑦⑧式得 ⑨
25.(20分)
一倾角为*θ*＝45^o^的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度*h*~0~=1m，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量为*m*＝0.09 kg 的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数声*μ*=0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g=10 m/s^2^。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲童是多少？
【解析】设小物体从高为*h*处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端是速度为*v*。
由功能关系得 ①
以沿斜面向上为动量的正方向。
按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量 ②
设碰撞后小物块所能达到的最大高度为，则
③
同理，有 ④
⑤
式中，为小物块再次到达斜面底端时的速度，为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。
由①②③④⑤式得， ⑥
式中 ⑦
由此可知，小物块前4次与挡板碰撞前所获得的冲量成等比数列，首项为
⑧
总冲量为 ⑨
由 ⑩
得
代入数据得
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**2020-2021学年安徽省六安市霍邱县六年级（上）期末数学试卷**
**一、我有真才学，填空都会写。（22分，第10题2分，其余每空1分）**
1．（2分）笑笑家今年新买了一辆小汽车，她用自己学过的数学知识测量出车轮的半径为30*cm*，请你帮忙算一下，这车轮转一圈汽车前进[ ]{.underline}*m*；若该车每分钟车轮旋转500圈，那么20分钟后，该车前进[ ]{.underline}*km*。
2．（2分）兔妈妈有一块圆形的菜园地，爱动脑筋的小兔测量出这块菜园地的周长是50.24*m*，那么这块菜园地的占地面积是[ ]{.underline}；兔妈妈在这块菜园地里种植胡萝卜的面积为70.336*m*^2^，占总面积的[ ]{.underline}。
3．（2分）甲数的80%等于乙数的，则甲乙两数的比是[ ]{.underline}，乙数与甲乙两数和的比是[ ]{.underline}．
4．（2分）2020年10月开始，霍邱县举办了校园足球比赛，最后进行角逐的共有8支球队，如果每两支球队之间都要进行一场比赛，一共要比赛[ ]{.underline}场；如果采用单淘汰赛制（通过抽签，每两队分一组，负的一队直接淘汰，不再参加下一轮比赛，胜的一队继续下一轮分组比赛，直到决出冠军）决出冠军，需要比赛[ ]{.underline}场。
5．（1分）新开超市1月16日上午营业额是2500元，下午营业额比上午多，下午营业额是[ ]{.underline}元。
6．（2分）一件商品，按成本价提高30%后出售。后因季节原因，又打八折出售，每件卖104元。打折后这种商品卖出一件是[ ]{.underline}（填"亏"或"赚"）了[ ]{.underline}元。
7．（3分）一个长方形周长是132*cm*，长与宽的比是7：4。长方形的长是[ ]{.underline}*cm*，宽是[ ]{.underline}*cm*，面积是[ ]{.underline}*cm*^2^。
8．（2分）下面是水门塘2021年计划放养鱼的种类与数量统计表，请把下表填写完整。
---------- --------------------- ---------------------
鱼的种类 放养尾数（尾） 占总数的百分比
鲤鱼 18000 20%
草鱼 27000 [ ]{.underline}
链鱼 [ ]{.underline} 50%
---------- --------------------- ---------------------
9．（4分）[ ]{.underline}÷120＝＝0.45＝18：[ ]{.underline}＝[ ]{.underline}%。
10．（2分）"太阳已近西山坡，鹅儿嘎嘎将进窝；一半的一半岸上走，三分之一荡水波；玲玲认真数了数，咋还少了十只鹅？"根据上述内容，请问玲玲家共有[ ]{.underline}只鹅。
**二、我当小法官，判断对与错。（5分）**
11．（1分）经过圆心且大于半径的线段是直径。[ ]{.underline}（判断对错）
12．（1分）两个数的比值是，这两个数都缩小2倍，比值不变。[ ]{.underline}（判断对错）
13．（1分）如果甲比乙少30%，那么乙比甲一定多30%．[ ]{.underline}． （判断对错）
14．（1分）圆的周长与直径的比值和圆的面积与直径的比值相等。[ ]{.underline}（判断对错）
15．（1分）成年人每天体内47%的水靠喝水获得，39%来自食物含的水，14%来自体内氧化时释放出的水。要表示各种情况所占的百分比，选用扇形统计图表示比较合适。[ ]{.underline}（判断对错）
**三、我是细心人，选择最准确。（5分）**
16．（1分）一杯糖水有60克。含糖率是12.5%，如果再放进40克糖，含糖率变成（ ）
A．40% B．47.5% C．52.5%
17．（1分）如果你们学校六年级统计最喜欢的课外活动情况，如下表：
---------- -------- -------- ------ -------- ------
课外活动 看电视 看手机 运动 听音乐 其他
人数 40 38 22 27 13
---------- -------- -------- ------ -------- ------
> 想要表示各种课外活动最喜欢的人数，选用（ ）比较合适。
A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图
18．（1分）成年人的脚长与身高的比﹣一般是1：7，小头爸爸的脚长是25*cm*，他的身高大约是（ ）
A．2*m* B．175*cm* C．1.75*cm*
19．（1分）淘气在2020年12月1日，把自己攒的零花钱共800元存入银行，定期三年，年利率是3.25%，到期后淘气应得的利息是（ ）元。
A．878 B．78 C．87
20．（1分）为了增强体质，淘气沿长为90*m*，宽为40*m*的长方形跑道跑步，笑笑沿直径为80*m*的圆形跑道跑步，两人同时开始，也同时跑完一周，请问他们谁的速度快（ ）
A．淘气 B．笑笑 C．一样快
**四、我是小能手，计算分不丢。（28分）**
21．（8分）直接写得数。
------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------ -------------------------------------------
+＝ 6﹣＝ 2.7÷＝ 40×10.5%＝
2÷＝ ×＝ 135÷30%＝ ×4.8＝
------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------ -------------------------------------------
22．（8分）解方程。
------------------------------------- -------------------------------------
 （2.6+*x*）÷3＝2.6
21%*x*+4＝88 
------------------------------------- -------------------------------------
23．（12分）能简算的简算。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
++ ×× ×+×
99++ 1000×（++） ×8×1.25%
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
**五、拿出我文具，操作没问题。（10分）**
24．（6分）画一个直径是3*cm*的圆，并求出它的周长和面积．
25．（4分）下面是某地12月份一周内的最低气温统计表。
----------- ----- ----- ----- ------ ------ ------ ------
日期 7日 8日 9日 10日 11日 12日 13日
气温（℃） +1 +2 ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 +8
----------- ----- ----- ----- ------ ------ ------ ------
> （1）根据表中的数据，绘制出折线统计图。
>
> （2）[ ]{.underline}日的气温最低；[ ]{.underline}日的气温最高。
>
> （3）从[ ]{.underline}日到[ ]{.underline}日一天内的气温下降最快。
>
> （4）从[ ]{.underline}日到[ ]{.underline}日一天内的气温上升最快。
>
> 
**六.学会勤思考，问题解决掉。（27分）**
26．（5分）"发展龙虾养殖，助力扶贫攻坚"，某物流公司安排车辆帮助我县一龙虾养殖合作社运送一批龙虾，在运走总数的40%后，发现剩下的比运走的还多1600千克。请问原来这一批龙虾有多少千克？
27．（5分）奶粉冲调适宜的浓度，取决于配方奶粉中各种营养成分的比例和宝宝不同生长阶段的消化吸收能力，一周后的宝宝，奶粉和水的调配比例一般是1：4，若调制300克牛奶，需要奶粉多少克？水多少克？
28．（6分）《*A*计划》是成龙主演的一部经典电影，影片中有一个片段是在大钟楼的内部，其中有许多大大小小的齿轮。你知道吗，这里的大齿轮有120个齿，每分钟转30转；小齿轮有30个齿，每分钟转120转。
> （1）请写出大齿轮与小齿轮齿数的比，并求出比值？
>
> （2）请写出大齿轮和小齿轮每分钟转数的比，并求出比值？
29．（6分）"地球资源日日少，节约用电要记牢"，某学校倡议全体师生节约用电。该校10月用电480度，11月用电420度。
> （1）11月比10月节约用电百分之几？
>
> （2）如果12月比11月节约用电5%，每度电费为1.5元，12月应付电费多少元？
30．（5分）"这一直是我牵挂的事。"2020年8月18日下午，习近平总书记到阜阳市阜南县蒙洼蓄洪区利民村西田坡庄台看望慰问受灾群众。淘气和笑笑看到新闻后，决定向灾区捐出自己的零花钱。已知淘气积攒的零花钱比笑笑的多百分之七十。淘气捐了63元，笑笑捐了35元，结果他们还剩下的零花钱相等。问淘气原有多少钱？
**2020-2021学年安徽省六安市霍邱县六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、我有真才学，填空都会写。（22分，第10题2分，其余每空1分）**
1．【分析】根据圆的周长公式：*C*＝2π*r*，把数据代入公式求出车轮的周长，用车轮的周长乘车轮每分钟转的圈数，求出汽车每分钟行驶的速度，然后根据路程＝速度×时间，列式解答。
> 【解答】解：30厘米＝0.3米
>
> 2×3.14×0.3＝1.884（米）
>
> 1.884×500×20
>
> ＝942×20
>
> ＝18840（米）
>
> 18840米＝18.84千米
>
> 答：这车轮转一圈汽车前进1.884米，20分钟后，该车前进18.84千米。
>
> 故答案为：1.884、18.84。
>
> 【点评】此题主要考查圆周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
2．【分析】根据圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，把数据代入公式求出这块菜地的面积是多少平方米，把这块菜地的面积看作单位"1"，根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法解答。
> 【解答】解：3.14×（50.24÷3.14÷2）^2^
>
> ＝3.14×8^2^
>
> ＝3.14×64
>
> ＝200.96（平方米）
>
> 70.336÷200.96
>
> ＝0.35
>
> ＝35%
>
> 答：这块菜地的面积是200.96平方米，种植胡萝卜的面积总面积的35%。
>
> 故答案为：200.96、35%。
>
> 【点评】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，以及百分数意义的应用，关键是熟记公式。
3．【分析】根据"甲数的80%等于乙数的"，知道甲数×80%＝乙数×，再逆用比例的基本性质，即可得出甲数与乙数的比；求乙数与甲乙两数和的比，也就是乙数与甲乙和比是多少，列式计算得解．
> 【解答】解：甲数的80%等于乙数的，
>
> 甲数×80%＝乙数×
>
> 甲数：乙数＝：80%
>
> ＝×
>
> ＝5：6
>
> 6：（5+6）＝6：11
>
> 答：甲乙两数的比是5：6，乙数与甲乙两数和的比是6：11．
>
> 故答案为：5：6，6：11．
>
> 【点评】此题主要运用比例的基本性质解决问题，考查了比的意义．
4．【分析】（1）单循环制：每支队都要和其他7个队赛一场，共赛8×7＝56（场），由于两个队只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：56÷2＝28（场），据此解答。（2）采用单淘汰赛制用枚举法解答即可。
> 【解答】解：（8﹣1）×8÷2
>
> ＝56÷2
>
> ＝28（场）
>
> 8÷2＝4（场）
>
> 4÷2＝2（场）
>
> 2÷2＝1（场）
>
> 4+2+1＝7（场）
>
> 单循环一共要比赛28场，单淘汰赛需要比赛7场。
>
> 故答案为：28；7。
>
> 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果选手比较少可以用枚举法解答，如果个选手比较多可以用公式：单循环制：比赛场数＝*n*（*n*﹣1）÷2。
5．【分析】本题单位"1"上午营业额，下午营业额比上午多，用上午营业额乘分率（1+），即是下午营业额，据此解答即可。
> 【解答】解：2500×（1+）
>
> ＝2500×
>
> ＝3000（元）
>
> 答：下午营业额是3000元。
>
> 故答案为：3000。
>
> 【点评】本题主要考查了分数乘法应用题，解题的关键是正确找出单位"1"。
6．【分析】先把原价看成单位"1"，它的80%对应的数量是104元，由此用除法求出原价；然后再把成本价看成单位"1"，它的（1+30%）对应的数量是原价，再用除法求出成本价，然后用现在的售价与成本价比较，作差即可求解。
> 【解答】解：（104÷80%）÷（1+30%）
>
> ＝130÷130%
>
> ＝100（元）
>
> 100＜104
>
> 104﹣100＝4（元）
>
> 所以现在这种商品卖出一件是赚了，赚了4元。
>
> 故答案为：赚；4。
>
> 【点评】找清楚不同的单位"1"，求出成本价，然后比较作差求解即可。
7．【分析】根据题意，长与宽的和为132÷2＝66（厘米），然后运用按比例分配的方法，求出长方形的长、宽各是多少厘米，再根据长方形面积公式*S*＝*ab*，求出面积，解决问题。
> 【解答】解：132÷2＝66（厘米）
>
> 66÷（7+4）＝6（厘米）
>
> 6×7＝42（厘米）
>
> 6×4＝24（厘米）
>
> 42×24＝1008（平方厘米）
>
> 答：长方形的长是42*cm*，宽是多少24*cm*，面积是1008*cm*^2^。
>
> 故答案为：42，24，1008。
>
> 【点评】本题的关键是要把周长先除以2，求出一条长和一条宽的和是多少，学生容易忘记。
8．【分析】先算出鱼的总尾数，用18000÷20%解答；然后再乘50%，算出鲢鱼的尾数，再求出草鱼占的百分比即可。
> 【解答】解：18000÷20%＝90000（尾）
>
> 90000×50%＝45000（尾）
>
> 1﹣20%﹣50%＝30%
>
> 故答案为：45000；30%。
>
> 【点评】求一个数的百分之几是多少，用乘法计算即可。
9．【分析】把0.45化成分数并化简是；根据分数与除法的关系，＝9÷20，再根据商不变的性质被除数、除数都乘6就是54÷120；根据比与分数的关系，＝9：20，再根据比的基本性质比的前、后项都乘2就是18：40；把0.45的小数点向右移动两位添上百分号就是45%。
> 【解答】解：54÷120＝＝0.45＝18：40＝45%。
>
> 故答案为：54，9，40，45。
>
> 【点评】此题主要是考查除法、小数、分数、百分数、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。
10．【分析】把这群鹅的总数看作是单位"1"，一半的一半岸上走，也就是的在岸上走，三分之一荡水波，表示在水里。咋还少了十只鹅，由此可以求出10只占总数的几分之几，然后根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。
> 【解答】解：10÷（1﹣）
>
> ＝10
>
> ＝10
>
> ＝10
>
> ＝10×
>
> ＝24（只）
>
> 答：玲玲家共有24只鹅。
>
> 故答案为：24。
>
> 【点评】此题属于基本的分数除法应用题，只要找清单位"1"，利用基本数量关系解决问题。
**二、我当小法官，判断对与错。（5分）**
11．【分析】通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径；根据直径的定义，经过圆心且大于半径的线段是直径的说法是错误的，如果线段两端不在圆上，只是经过圆心且大于半径也不是直径。
> 【解答】解：根据直径的定义，经过圆心且大于半径的线段是直径的说法是错误的。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】完成考查定义的题目一定要细心审题，明确题干是否有缺少的条件。
12．【分析】根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外）比值不变。
> 【解答】解：根据比的基本性质知道：两数的比值是，这两个数都缩小2倍，比值仍是，所以原题说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】本题主要是利用比的基本性质解决问题。
13．【分析】先把乙数看成单位"1"，甲数就是（1﹣30%），用两数的差除以甲数，就是乙数比甲数多百分之几，然后与30%比较即可判断．
> 【解答】解：30%÷（1﹣30%）
>
> ＝30%÷70%
>
> ≈43%
>
> 43%≠30%
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】先找出单位"1"，用单位"1"的量表示出其它量，再根据求一个数是另一个数百分之几的方法求解．
14．【分析】根据圆周率的意义，任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率；根据圆的周长公式：*C*＝π*d*，圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，分析解答即可。
> 【解答】解：圆的周长公式：*C*＝π*d*
>
> 那么圆的周长与直径的比值为：π*d*：*d*＝π：1＝3.14
>
> 圆的面积公式：
>
> *S*＝π*r*^2^＝π＝π*d*^2^
>
> 那么圆的面积与直径的比值为：
>
> π*d*^2^：*d*
>
> ＝π*d*^2^：4*d*
>
> ＝π*d*：4
>
> ＝0.785*d*
>
> 因为0.785*d*的值不确定，不一定与3.14相等，
>
> 所以原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】此题主要考查圆的认识和圆周率，熟记圆的周长和圆的面积公式是关键。
15．【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可。
> 【解答】解：根据统计图的特点可知：人离不开水，成年人每天体内47%的水靠喝水获得，39%来自食物含的水，14%来自体内氧化时释放出的水。要表示各种情况所占的百分比，制成扇形统计图比较合适。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答。
**三、我是细心人，选择最准确。（5分）**
16．【分析】先用"60×12.5%"求出原来有糖多少克，然后再求出现在糖水和糖的质量，进而根据：含糖率＝糖的质量÷糖水的质量×100%，解答即可。
> 【解答】解：（40+60×12.5%）÷（40+60）×100%
>
> ＝47.5÷100×100%
>
> ＝47.5%
>
> 此时含糖率为47.5%。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百。
17．【分析】首先要清楚每一种统计图的特点：条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；据此解答即可。
> 【解答】解：想要表示各种课外活动最喜欢的人数，选用条形统计图比较合适。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答。
18．【分析】设小头爸爸的身高为*x*厘米，根据人的脚长和身高的比1：7，可得比例1：7＝25：*x*，解比例即可。
> 【解答】解：设小头爸爸的身高为*x*厘米
>
> 1：7＝25：*x*
>
> *x*＝7×25
>
> *x*＝175
>
> 他的身高大约是175厘米
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题的关键是分析题干中的数量关系，判断出脚长和身高成比例，设出未知数并组成比例，解比例求解即可。
19．【分析】根据关系式：利息＝本金×利率×存期，代入数据计算出利息，。
> 【解答】解：800×3.25%×3
>
> ＝2400×3.25%
>
> ＝78（元）
>
> 答：到期后淘气应得的利息是78元。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题根据求利息的计算公式解决问题，利息＝本金×利率×存期，学生需熟记公式。
20．【分析】根据长方形的周长公式：*C*＝（*a*+*b*）×2，圆的周长公式：*C*＝π*d*，把数据代入公式求出长方形的周长、圆的周长，然后进行比较，周长长的跑的快。
> 【解答】解：（90+40）×2
>
> ＝130×2
>
> ＝260（米）
>
> 3.14×80＝251.2（米）
>
> 260＞251.2
>
> 答：淘气跑的速度快。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题主要考查长方形、圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
**四、我是小能手，计算分不丢。（28分）**
21．【分析】根据分数、小数、百分数加减乘除法的计算方法进行计算。
> 【解答】解：
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------- --------------------------------------------
+＝ 6﹣＝5 2.7÷＝3.6 40×10.5%＝4.2
2÷＝3 ×＝ 135÷30%＝450 ×4.8＝2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------- --------------------------------------------
> 【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算。
22．【分析】（1）根据比例的基本性质，原式化成7*x*＝×35，再根据等式的性质，方程两边同时除以7求解；
> （2）根据等式的性质，方程两边同时乘上3，再两边同时减去2.6求解；
>
> （3）根据等式的性质，方程两边同时减去4，再两边同时除以21%求解；
>
> （4）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以求解。
>
> 【解答】解：（1）*x*：＝35：7
>
> 7*x*＝×35
>
> 7*x*÷7＝14÷7
>
> *x*＝2
>
> （2）（2.6+*x*）÷3＝2.6
>
> （2.6+*x*）÷3×3＝2.6×3
>
> 2.6+*x*＝7.8
>
> 2.6+*x*﹣2.6＝7.8﹣2.6
>
> *x*＝5.2
>
> （3）21%*x*+4＝88
>
> 21%*x*+4﹣4＝88﹣4
>
> 21%*x*＝84
>
> 21%*x*÷21%＝84÷21%
>
> *x*＝400
>
> （4）3*x*﹣*x*＝90
>
> *x*＝90
>
> *x*÷＝90÷
>
> *x*＝32
>
> 【点评】本题考查了根据等式的性质以及比例基本性质解方程，解答时注意等号对齐。
23．【分析】（1）按照加法交换律计算；
> （2）按照乘法结合律计算；
>
> （3）按照乘法分配律计算；
>
> （4）按照加法结合律计算；
>
> （5）按照乘法分配律计算；
>
> （6）按照乘法结合律计算。
>
> 【解答】解：（1）++
>
> ＝++
>
> ＝+
>
> ＝
>
> （2）××
>
> ＝×（×）
>
> ＝×
>
> ＝
>
> （3）×+×
>
> ＝×（+）
>
> ＝×1
>
> ＝
>
> （4）99++
>
> ＝99+（+）
>
> ＝99+1
>
> ＝100
>
> （5）1000×（++）
>
> ＝1000×+1000×+1000×
>
> ＝125+50+120
>
> ＝295
>
> （6）×8×1.25%
>
> ＝×（8×1.25%）
>
> ＝×
>
> ＝
>
> 【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
**五、拿出我文具，操作没问题。（10分）**
24．【分析】先画出半径为1.5*cm*的圆，再利用圆的周长和面积公式即可解决问题．
> 【解答】解：画出符合题意的圆如下图所示：
>
> 
>
> 3÷2＝1.5（厘米），
>
> 3.14×3＝9.42（厘米），
>
> 3.14×1.5^2^，
>
> ＝3.14×2.25，
>
> ＝7.065（平方厘米），
>
> 答：它的周长是9.42厘米，面积是7.065平方厘米．
>
> 【点评】此考察了圆的画法即圆的公式的应用．
25．【分析】（1）根据表格绘制折线统计图。
> （2）根据折线统计图的最高点和最低点可以得出最低气温和最高气温分别是哪天。
>
> （3）根据折线统计图的变化程度可以得出气温下降最快的时间。
>
> （4）根据折线统计图可知上升最快的时间。
>
> 【解答】解：（1）根据表格绘制折线统计图如下：
>
> 
>
> （2）9日的气温最低；13日的气温最高。
>
> （3）从8日到9日一天内的气温下降最快。
>
> （4）从12日到13日一天内的气温上升最快。
>
> 故答案为：9，13，8，9，12，13。
>
> 【点评】本题考查学生绘制折线统计图的能力和对折线统计图的运用。
**六.学会勤思考，问题解决掉。（27分）**
26．【分析】把总质量看成单位"1"，那么剩下的质量就是总质量的（1﹣40%），剩下的质量就比运走的质量多总质量的（1﹣40%﹣40%），它对应的数量是1600千克，由此用除法求出总质量。
> 【解答】解：1600÷（1﹣40%﹣40%）
>
> ＝1600÷20%
>
> ＝8000（千克）
>
> 答：原来这一批龙虾有8000千克。
>
> 【点评】本题的关键是找出单位"1"，并找出单位"1"的百分之几对应的数量，用除法就可以求出单位"1"的量。
27．【分析】把300克平均分成（1+4）份，先用除法求出1份是多少克，再求出需要奶粉多少克，水多少克即可。
> 【解答】解：300÷（1+4）
>
> ＝300÷5
>
> ＝60（克）
>
> 60×4＝240（克）
>
> 答：需要奶粉60克，水240克。
>
> 【点评】此题属于按比例分配问题，也可分别求出奶粉、水各占调制牛奶的几分之几，再根据分数乘法的意义解答。
28．【分析】（1）用大齿轮齿数比上小齿轮齿数，然后化简比即可；
> （2）大齿轮每分钟转数比小齿轮每分钟转数即可，用比的前项除以后项求出比值。
>
> 【解答】解：（1）120：30＝4：1
>
> 4：1＝4÷1＝4
>
> 答：大齿轮和小齿轮齿数的比是4：1，比值是4。
>
> （2）30：120＝1：4
>
> 1：4＝1÷4＝
>
> 答：大齿轮和小齿轮每分钟转数的比是1：4，比值是。
>
> 【点评】此题考查了比的意义，明确比的意义是解答此题的关键。
29．【分析】（1）把10月用电480度看作单位"1"，根据（大数﹣小数）÷单位"1"的量×100%，即可求出11月比10月节约用电百分之几；
> （2）把11月用电420度看作单位"1"，12月比11月节约用电5%，则12月用电量是11月的1﹣5%＝95%，用乘法把12月用电量求出，在根据总价＝数量×单价，求出12月应付电费。
>
> 【解答】解：（1）（480﹣420）÷480×100%
>
> ＝60÷480×100%
>
> ＝12.5%
>
> 答：11月比10月节约用电12.5%。
>
> （2）420×（1﹣5%）
>
> ＝420×95%
>
> ＝399（度）
>
> 399×1.5＝598.5（元）
>
> 答：12月应付电费多598.5元。
>
> 【点评】解答此类问题，首先找清单位"1"，进一步理清解答思路，列式的顺序，从而较好的解答问题。
30．【分析】淘气捐了63元，笑笑捐了35元，则淘气比笑笑多捐了63﹣35＝28（元），因为已知淘气积攒的零花钱比笑笑的多百分之七十，而且他们还剩下的零花钱相等，所以淘气比笑笑多捐的28元，对应的是笑笑的70%，根据对应量÷对应分率＝单位"1"的量，可求出笑笑原来有多少钱，进而求出淘气原有多少钱。
> 【解答】解：63﹣35＝28（元）
>
> 28÷70%＝40（元）
>
> 40×（1+70%）
>
> ＝40×1.7
>
> ＝68（元）
>
> 答：淘气原有68元。
>
> 【点评】本题的关键在于求出70%所对的量是多少。
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日期：2021/4/27 16:00:40；用户：18538596816；邮箱：18538596816；学号：27024833
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**绝密★启用前**
**2021年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科数学**
**注意事项：**
**1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.**
**2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.**
**3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：B.
2\. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【解析】
【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.
【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.
【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于.
3\. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】，
.
故选：B.
4\. 下列函数中是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
5\. 点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线距离：.
故选：A.
6\. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据*L*和小数记录表的数据*V*的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
【答案】C
【解析】
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.
7\. 在一个正方体中，过顶点*A*的三条棱的中点分别为*E*，*F*，*G*．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.
【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，
所以其侧视图为
故选：D
8\. 在中，已知，，，则（ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理得到关于*BC*长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
9\. 记为等比数列的前*n*项和.若，，则（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】∵为等比数列的前*n*项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
10\. 将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
【答案】C
【解析】
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
11\. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
12\. 设是定义域为***R***的奇函数，且.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
**二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13\. 若向量满足，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴.
故答案为：.
14\. 已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.
【详解】∵
∴
∴
∴.
故答案为：.
15\. 已知函数的部分图像如图所示，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.
【详解】由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
【点睛】已知*f*(*x*)＝*Acos*(*ωx*＋*φ*)(*A*＞0，*ω*＞0)的部分图象求其解析式时，*A*比较容易看图得出，困难的是求待定系数*ω*和*φ*，常用如下两种方法：
(1)由*ω*＝即可求出*ω*；确定*φ*时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的"零点"横坐标*x*~0~，则令*ωx*~0~＋*φ*＝0(或*ωx*~0~＋*φ*＝*π*)，即可求出*φ*.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或"零点")坐标代入解析式，再结合图形解出*ω*和*φ*，若对*A*，*ω*的符号或对*φ*的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
16\. 已知为椭圆*C*：的两个焦点，*P*，*Q*为*C*上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.
【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
**三､解答题：共70分.解答应写出交字说明､证明过程程或演算步骤，第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.**
**(一)必考题：共60分.**
17\. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
-------- -------- -------- ------
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
-------- -------- -------- ------
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
----- ------- ------- --------
0.050 0.010 0.001
*k* 3.841 6.635 10.828
----- ------- ------- --------
【答案】（1）75%；60%；
（2）能.
【解析】
【分析】根据给出公式计算即可
【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为.
（2）,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
18\. 记为数列的前*n*项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证.
【详解】∵数列等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列.
【点睛】在利用求通项公式时一定要讨论的特殊情况.
19\. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，*E*，*F*分别为和的中点，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知*D*为棱上的点，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)首先求得*AC*的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；
(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.
【详解】(1)如图所示，连结*AF*，
由题意可得：，
由于*AB*⊥*BB*~1~，*BC*⊥*AB*，，故平面，
而平面，故，
从而有，
从而，
则，为等腰直角三角形，
，.
(2)由(1)结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，
正方形中，为中点，则，
又，
故平面，而平面，
从而.
【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.
20\. 设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求*a*的取值范围.
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求*a*的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
（2）因为且的图与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得，
故即.
【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
21\. 抛物线*C*的顶点为坐标原点*O*．焦点在*x*轴上，直线*l*：交*C*于*P*，*Q*两点，且．已知点，且与*l*相切．
（1）求*C*，的方程；
（2）设是*C*上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；
（2）先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.
【详解】（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切
【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示.
**(二)选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.**
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22\. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线*C*的极坐标方程为．
（1）将*C*的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点*A*的直角坐标为，*M*为*C*上的动点，点*P*满足，写出*Р*的轨迹的参数方程，并判断*C*与是否有公共点．
【答案】（1）；（2）*P*的轨迹的参数方程为（为参数），*C*与没有公共点.
【解析】
【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；
（2）设，设，根据向量关系即可求得*P*的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.
【详解】（1）由曲线C的极坐标方程可得，
将代入可得，即，
即曲线*C*的直角坐标方程为；
（2）设，设
，
，
则，即，
故*P*的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线*C*的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，
则圆心距为，，两圆内含，
故曲线*C*与没有公共点.
【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出的参数坐标，利用向量关系求解.
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
23\. 已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求*a*的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.
【详解】（1）可得，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2），
如图，同一个坐标系里画出图像，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或（舍去），
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.
【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
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**2019年湖北省咸宁市中考数学试卷**
**一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。）**
1．（3分）（2019•咸宁）下列关于0的说法正确的是（ ）
A．0是正数 B．0是负数 C．0是有理数 D．0是无理数
2．（3分）（2019•咸宁）勾股定理是"人类最伟大的十个科学发现之一"．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为"赵爽弦图".2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是"赵爽弦图"的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•咸宁）下列计算正确的是（ ）
A．﹣＝ B． C．*a*^5^÷*a*^2^＝*a*^3^ D．（*ab*^2^）^3^＝*ab*^6^
4．（3分）（2019•咸宁）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
5．（3分）（2019•咸宁）如图是由5个完全相同的小正方形搭成的几何体，如果将小正方体*A*放到小正方体*B*的正上方，则它的（ ）
> 
A．主视图会发生改变 B．俯视图会发生改变
C．左视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变
6．（3分）（2019•咸宁）若关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣2*x*+*m*＝0有实数根，则实数*m*的取值范围是（ ）
A．*m*＜1 B．*m*≤1 C．*m*＞1 D．*m*≥1
7．（3分）（2019•咸宁）已知点*A*（﹣1，*m*），*B*（1，*m*），*C*（2，*m*﹣*n*）（*n*＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A．*y*＝*x* B．*y*＝﹣ C．*y*＝*x*^2^ D．*y*＝﹣*x*^2^
8．（3分）（2019•咸宁）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点*O*重合，顶点*A*，*B*恰好分别落在函数*y*＝﹣（*x*＜0），*y*＝（*x*＞0）的图象上，则sin∠*ABO*的值为（ ）
> 
A． B． C． D．
**二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，共24分）**
9．（3分）（2019•咸宁）计算：（）^0^﹣1＝[ ]{.underline}．
10．（3分）（2019•咸宁）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字"1""1""2""4""5""5"，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是[ ]{.underline}．
11．（3分）（2019•咸宁）若整式*x*^2^+*my*^2^（*m*为常数，且*m*≠0）能在有理数范围内分解因式，则*m*的值可以是[ ]{.underline}（写一个即可）．
12．（3分）（2019•咸宁）《孙子算经》中有一道题："今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？"译文大致是："用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？"如果设木条长*x*尺，绳子长*y*尺，可列方程组为[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•咸宁）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽*AB*（这段河流的两岸平行），他们在点*C*测得∠*ACB*＝30°，点*D*处测得∠*ADB*＝60°，*CD*＝80*m*，则河宽*AB*约为[ ]{.underline}*m*（结果保留整数，≈1.73）．
> 
14．（3分）（2019•咸宁）如图，半圆的直径*AB*＝6，点*C*在半圆上，∠*BAC*＝30°，则阴影部分的面积为[ ]{.underline}（结果保留π）．
> 
15．（3分）（2019•咸宁）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，...，其中某三个相邻数的积是4^12^，则这三个数的和是[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•咸宁）如图，先有一张矩形纸片*ABCD*，*AB*＝4，*BC*＝8，点*M*，*N*分别在矩形的边*AD*，*BC*上，将矩形纸片沿直线*MN*折叠，使点*C*落在矩形的边*AD*上，记为点*P*，点*D*落在*G*处，连接*PC*，交*MN*于点*Q*，连接*CM*．下列结论：
> ①*CQ*＝*CD*；
>
> ②四边形*CMPN*是菱形；
>
> ③*P*，*A*重合时，*MN*＝2；
>
> ④△*PQM*的面积*S*的取值范围是3≤*S*≤5．
>
> 其中正确的是[ ]{.underline}（把正确结论的序号都填上）．
>
> 
**三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分）**
17．（8分）（2019•咸宁）（1）化简：÷；
> （2）解不等式组：
18．（7分）（2019•咸宁）在Rt△*ABC*中，∠*C*＝90°，∠*A*＝30°，*D*，*E*，*F*分别是*AC*，*AB*，*BC*的中点，连接*ED*，*EF*．
> （1）求证：四边形*DEFC*是矩形；
>
> （2）请用无刻度的直尺在图中作出∠*ABC*的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
>
> 
19．（8分）（2019•咸宁）小慧家与文具店相距960*m*，小慧从家出发，沿笔直的公路匀速步行12*min*来到文具店买笔记本，停留3*min*，因家中有事，便沿着原路匀速跑步6*min*返回家中．
> （1）小慧返回家中的速度比去文具店的速度快多少？
>
> （2）请你画出这个过程中，小慧离家的距离*y*与时间*x*的函数图象；
>
> （3）根据图象回答，小慧从家出发后多少分钟离家距离为720*m*？
>
> 
20．（8分）（2019•咸宁）某校为了解七、八年级学生一分钟跳绳情况，从这两个年级随机抽取50名学生进行测试，并对测试成绩（一分钟跳绳次数）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
> 
>
> 七、八年级学生一分钟跳绳成绩分析表
------ -------- -------- ------
年级 平均数 中位数 众数
七 116 *a* 115
八 119 126 117
------ -------- -------- ------
> 七年级学生一分钟跳绳成绩（数据分7组：60≤*x*＜80，80≤*x*＜100，...，180≤*x*＜200）在100≤*x*＜120这一组的是：
>
> 100 101 102 103 105 106 108 109 109 110 110 111 112 113 115 115 115 116 117 119
>
> 根据以上信息，回答下列问题：
>
> （1）表中*a*＝[ ]{.underline}；
>
> （2）在这次测试中，七年级甲同学的成绩122次，八年级乙同学的成绩125次，他们的测试成绩，在各自年级所抽取的50名同学中，排名更靠前的是[ ]{.underline}（填"甲"或"乙"），理由是[ ]{.underline}．
>
> （3）该校七年级共有500名学生，估计一分钟跳绳不低于116次的有多少人？
21．（9分）（2019•咸宁）如图，在Rt△*ABC*中，∠*ACB*＝90°，*D*为*AB*的中点，以*CD*为直径的⊙*O*分别交*AC*，*BC*于点*E*，*F*两点，过点*F*作*FG*⊥*AB*于点*G*．
> （1）试判断*FG*与⊙*O*的位置关系，并说明理由．
>
> （2）若*AC*＝3，*CD*＝2.5，求*FG*的长．
>
> 
22．（10分）（2019•咸宁）某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第*x*天的生产成本*y*（元/件）与*x*（天）之间的关系如图所示，第*x*天该产品的生产量*z*（件）与*x*（天）满足关系式*z*＝﹣2*x*+120．
> （1）第40天，该厂生产该产品的利润是[ ]{.underline}元；
>
> （2）设第*x*天该厂生产该产品的利润为*w*元．
>
> ①求*w*与*x*之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
>
> ②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？
>
> 
23．（10分）（2019•咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
> 理解：
>
> （1）如图1，点*A*，*B*，*C*在⊙*O*上，∠*ABC*的平分线交⊙*O*于点*D*，连接*AD*，*CD*．
>
> 求证：四边形*ABCD*是等补四边形；
>
> 探究：
>
> （2）如图2，在等补四边形*ABCD*中，*AB*＝*AD*，连接*AC*，*AC*是否平分∠*BCD*？请说明理由．
>
> 运用：
>
> （3）如图3，在等补四边形*ABCD*中，*AB*＝*AD*，其外角∠*EAD*的平分线交*CD*的延长线于点*F*，*CD*＝10，*AF*＝5，求*DF*的长．
>
> 
24．（12分）（2019•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线*y*＝﹣*x*+2与*x*轴交于点*A*，与*y*轴交于点*B*，抛物线*y*＝﹣*x*^2^+*bx*+*c*经过*A*，*B*两点且与*x*轴的负半轴交于点*C*．
> （1）求该抛物线的解析式；
>
> （2）若点*D*为直线*AB*上方抛物线上的一个动点，当∠*ABD*＝2∠*BAC*时，求点*D*的坐标；
>
> （3）已知*E*，*F*分别是直线*AB*和抛物线上的动点，当*B*，*O*，*E*，*F*为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的*E*点的坐标．
>
> 
**2019年湖北省咸宁市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。）**
1．（3分）（2019•咸宁）下列关于0的说法正确的是（ ）
A．0是正数 B．0是负数 C．0是有理数 D．0是无理数
> 【考点】实数．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用有理数、无理数、正负数的定义分析得出答案．
>
> 【解答】解：0既不是正数也不是负数，0是有理数．
>
> 故选：*C*．
2．（3分）（2019•咸宁）勾股定理是"人类最伟大的十个科学发现之一"．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为"赵爽弦图".2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是"赵爽弦图"的是（ ）
A． B． C． D．
> 【考点】勾股定理的证明．菁优网版权所有
>
> 【分析】"赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．
>
> 【解答】解："赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：
>
> 
>
> 故选：*B*．
3．（3分）（2019•咸宁）下列计算正确的是（ ）
A．﹣＝ B． C．*a*^5^÷*a*^2^＝*a*^3^ D．（*ab*^2^）^3^＝*ab*^6^
> 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；二次根式的加减法．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用合并同类项法则以及二次根式的加减运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
>
> 【解答】解：*A*、﹣，无法计算，故此选项错误；
>
> *B*、＝2，故此选项错误；
>
> *C*、*a*^5^÷*a*^2^＝*a*^3^，正确；
>
> *D*、（*ab*^2^）^3^＝*a*^3^*b*^6^，故此选项错误．
>
> 故选：*C*．
4．（3分）（2019•咸宁）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
> 【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据多边形的内角和公式（*n*﹣2）•180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的一个外角．
>
> 【解答】解：∵正多边形的内角和是540°，
>
> ∴多边形的边数为540°÷180°+2＝5，
>
> ∵多边形的外角和都是360°，
>
> ∴多边形的每个外角＝360÷5＝72°．
>
> 故选：*C*．
5．（3分）（2019•咸宁）如图是由5个完全相同的小正方形搭成的几何体，如果将小正方体*A*放到小正方体*B*的正上方，则它的（ ）
> 
A．主视图会发生改变 B．俯视图会发生改变
C．左视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变
> 【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
>
> 【解答】解：如果将小正方体*A*放到小正方体*B*的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．
>
> 故选：*A*．
6．（3分）（2019•咸宁）若关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣2*x*+*m*＝0有实数根，则实数*m*的取值范围是（ ）
A．*m*＜1 B．*m*≤1 C．*m*＞1 D．*m*≥1
> 【考点】根的判别式．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于*m*的一元一次不等式，解之即可得出实数*m*的取值范围．
>
> 【解答】解：∵关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣2*x*+*m*＝0有实数根，
>
> ∴△＝（﹣2）^2^﹣4*m*≥0，
>
> 解得：*m*≤1．
>
> 故选：*B*．
7．（3分）（2019•咸宁）已知点*A*（﹣1，*m*），*B*（1，*m*），*C*（2，*m*﹣*n*）（*n*＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A．*y*＝*x* B．*y*＝﹣ C．*y*＝*x*^2^ D．*y*＝﹣*x*^2^
> 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；H5：二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
>
> 【分析】由点*A*（﹣1，*m*），*B*（1，*m*）的坐标特点，可知函数图象关于*y*轴对称，于是排除选项*A*、*B*；再根据*B*（1，*m*），*C*（2，*m*﹣*n*）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即*a*＜0，故*D*选项正确．
>
> 【解答】解：∵*A*（﹣1，*m*），*B*（1，*m*），
>
> ∴点*A*与点*B*关于*y*轴对称；
>
> 由于*y*＝*x*，*y*＝的图象关于原点对称，因此选项*A*、*B*错误；
>
> ∵*n*＞0，
>
> ∴*m*﹣*n*＜*m*；
>
> 由*B*（1，*m*），*C*（2，*m*﹣*n*）可知，在对称轴的右侧，*y*随*x*的增大而减小，
>
> 对于二次函数只有*a*＜0时，在对称轴的右侧，*y*随*x*的增大而减小，
>
> ∴*D*选项正确
>
> 故选：*D*．
8．（3分）（2019•咸宁）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点*O*重合，顶点*A*，*B*恰好分别落在函数*y*＝﹣（*x*＜0），*y*＝（*x*＞0）的图象上，则sin∠*ABO*的值为（ ）
> 
A． B． C． D．
> 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形．菁优网版权所有
>
> 【分析】点*A*，*B*落在函数*y*＝﹣（*x*＜0），*y*＝（*x*＞0）的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形*AOB*的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．
>
> 【解答】解：过点*A*、*B*分别作*AD*⊥*x*轴，*BE*⊥*x*轴，垂足为*D*、*E*，
>
> ∵点*A*在反比例函数*y*＝﹣（*x*＜0）上，点*B*在*y*＝（*x*＞0）上，
>
> ∴*S*~△*AOD*~＝1，*S*~△*BOE*~＝4，
>
> 又∵∠*AOB*＝90°
>
> ∴∠*AOD*＝∠*OBE*，
>
> ∴△*AOD*∽△*OBE*，
>
> ∴（）^2^＝，
>
> ∴
>
> 设*OA*＝*m*，则*OB*＝2*m*，*AB*＝，
>
> 在*RtAOB*中，sin∠*ABO*＝
>
> 故选：*D*．
>
> 
**二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，共24分）**
9．（3分）（2019•咸宁）计算：（）^0^﹣1＝[ 0 ]{.underline}．
> 【考点】实数的运算；零指数幂．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用零指数幂的性质化简得出答案．
>
> 【解答】解：原式＝1﹣1＝0．
>
> 故答案为：0．
10．（3分）（2019•咸宁）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字"1""1""2""4""5""5"，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
> 【考点】概率公式．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用概率求法进而得出答案．
>
> 【解答】解：∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字"1""1""2""4""5""5"，
>
> ∴随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是：＝．
>
> 故答案为：．
11．（3分）（2019•咸宁）若整式*x*^2^+*my*^2^（*m*为常数，且*m*≠0）能在有理数范围内分解因式，则*m*的值可以是[ ﹣1 ]{.underline}（写一个即可）．
> 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
>
> 【分析】令*m*＝﹣1，使其能利用平方差公式分解即可．
>
> 【解答】解：令*m*＝﹣1，整式为*x*^2^﹣*y*^2^＝（*x*+*y*）（*x*﹣*y*）．
>
> 故答案为：﹣1（答案不唯一）．
12．（3分）（2019•咸宁）《孙子算经》中有一道题："今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？"译文大致是："用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？"如果设木条长*x*尺，绳子长*y*尺，可列方程组为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
> 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有
>
> 【分析】设木条长*x*尺，绳子长*y*尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于*x*，*y*的二元一次方程组，此题得解．
>
> 【解答】解：设木条长*x*尺，绳子长*y*尺，
>
> 依题意，得：．
>
> 故答案为：．
13．（3分）（2019•咸宁）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽*AB*（这段河流的两岸平行），他们在点*C*测得∠*ACB*＝30°，点*D*处测得∠*ADB*＝60°，*CD*＝80*m*，则河宽*AB*约为[ 69 ]{.underline}*m*（结果保留整数，≈1.73）．
> 
>
> 【考点】勾股定理的应用；：直角三角形的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】在Rt△*ABC*中，∠*ACB*＝30°，∠*ADB*＝60°，则∠*DAC*＝30°，所以*DA*＝*DC*＝80，在Rt△*ABD*中，通过三角函数关系求得*AB*的长．
>
> 【解答】解：在Rt△*ABC*中，∠*ACB*＝30°，∠*ADB*＝60°，
>
> ∴∠*DAC*＝30°，
>
> ∴*DA*＝*DC*＝80，
>
> 在Rt△*ABD*中，
>
> ，
>
> ∴＝＝40≈69（米），
>
> 故答案为69．
14．（3分）（2019•咸宁）如图，半圆的直径*AB*＝6，点*C*在半圆上，∠*BAC*＝30°，则阴影部分的面积为[ 3]{.underline}[ ]{.underline}（结果保留π）．
> 
>
> 【考点】圆周角定理；扇形面积的计算．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得*CD*和∠*COB*的度数，即可得到阴影部分的面积是半圆的面积减去△*AOC*和扇形*BOC*的面积．
>
> 【解答】解：连接*OC*、*BC*，作*CD*⊥*AB*于点*D*，
>
> ∵直径*AB*＝6，点*C*在半圆上，∠*BAC*＝30°，
>
> ∴∠*ACB*＝90°，∠*COB*＝60°，
>
> ∴*AC*＝3，
>
> ∵∠*CDA*＝90°，
>
> ∴*CD*＝，
>
> ∴阴影部分的面积是：＝3π﹣，
>
> 故答案为：3π﹣．
>
> 
15．（3分）（2019•咸宁）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，...，其中某三个相邻数的积是4^12^，则这三个数的和是[ ﹣384 ]{.underline}．
> 【考点】规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是4^12^，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．
>
> 【解答】解：∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，...，
>
> ∴这列数的第*n*个数可以表示为（﹣2）^*n*﹣1^，
>
> ∵其中某三个相邻数的积是4^12^，
>
> ∴设这三个相邻的数为（﹣2）^*n*﹣1^、（﹣2）*^n^*、（﹣2）^*n*+1^，
>
> 则（﹣2）^*n*﹣1^•（﹣2）*^n^*•（﹣2）^*n*+1^＝4^12^，
>
> 即（﹣2）^3*n*^＝（2^2^）^12^，
>
> ∴（﹣2）^3*n*^＝2^24^，
>
> ∴3*n*＝24，
>
> 解得，*n*＝8，
>
> ∴这三个数的和是：（﹣2）^7^+（﹣2）^8^+（﹣2）^9^＝（﹣2）^7^×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384，
>
> 故答案为：﹣384．
16．（3分）（2019•咸宁）如图，先有一张矩形纸片*ABCD*，*AB*＝4，*BC*＝8，点*M*，*N*分别在矩形的边*AD*，*BC*上，将矩形纸片沿直线*MN*折叠，使点*C*落在矩形的边*AD*上，记为点*P*，点*D*落在*G*处，连接*PC*，交*MN*于点*Q*，连接*CM*．下列结论：
> ①*CQ*＝*CD*；
>
> ②四边形*CMPN*是菱形；
>
> ③*P*，*A*重合时，*MN*＝2；
>
> ④△*PQM*的面积*S*的取值范围是3≤*S*≤5．
>
> 其中正确的是[ ②③ ]{.underline}（把正确结论的序号都填上）．
>
> 
>
> 【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
>
> 【分析】先判断出四边形*CFHE*是平行四边形，再根据翻折的性质可得*CN*＝*NP*，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设*CQ*＝*CD*，得Rt△*CMQ*≌△*CMD*，进而得∠*DCM*＝∠*QCM*＝∠*BCP*＝30°，这个不一定成立，判断①错误；点*P*与点*A*重合时，设*BN*＝*x*，表示出*AN*＝*NC*＝8﹣*x*，利用勾股定理列出方程求解得*x*的值，进而用勾股定理求得*MN*，判断出③正确；当*MN*过*D*点时，求得四边形*CMPN*的最小面积，进而得*S*的最小值，当*P*与*A*重合时，*S*的值最大，求得最大值便可．
>
> 【解答】解：如图1，
>
> 
>
> ∵*PM*∥*CN*，
>
> ∴∠*PMN*＝∠*MNC*，
>
> ∵∠*MNC*＝∠*PNM*，
>
> ∴∠*PMN*＝∠*PNM*，
>
> ∴*PM*＝*PN*，
>
> ∵*NC*＝*NP*，
>
> ∴*PM*＝*CN*，
>
> ∵*MP*∥*CN*，
>
> ∴四边形*CNPM*是平行四边形，
>
> ∵*CN*＝*NP*，
>
> ∴四边形*CNPM*是菱形，故②正确；
>
> ∴*CP*⊥*MN*，∠*BCP*＝∠*MCP*，
>
> ∴∠*MQC*＝∠*D*＝90°，
>
> ∵*CP*＝*CP*，
>
> 若*CQ*＝*CD*，则Rt△*CMQ*≌△*CMD*，
>
> ∴∠*DCM*＝∠*QCM*＝∠*BCP*＝30°，这个不一定成立，
>
> 故①错误；
>
> 点*P*与点*A*重合时，如图2，
>
> 
>
> 设*BN*＝*x*，则*AN*＝*NC*＝8﹣*x*，
>
> 在Rt△*ABN*中，*AB*^2^+*BN*^2^＝*AN*^2^，
>
> 即4^2^+*x*^2^＝（8﹣*x*）^2^，
>
> 解得*x*＝3，
>
> ∴*CN*＝8﹣3＝5，*AC*＝，
>
> ∴，
>
> ∴，
>
> ∴*MN*＝2*QN*＝2．
>
> 故③正确；
>
> 当*MN*过点*D*时，如图3，
>
> 
>
> 此时，*CN*最短，四边形*CMPN*的面积最小，则*S*最小为*S*＝，
>
> 当*P*点与*A*点重合时，*CN*最长，四边形*CMPN*的面积最大，则*S*最大为*S*＝，
>
> ∴4≤*S*≤5，
>
> 故④错误．
>
> 故答案为：②③．
**三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分）**
17．（8分）（2019•咸宁）（1）化简：÷；
> （2）解不等式组：
>
> 【考点】分式的乘除法；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案；
>
> （2）分别解不等式进而得出不等式组的解．
>
> 【解答】解：（1）原式＝×（*m*﹣1）
>
> ＝；
>
> （2），
>
> 解①得：*x*＞﹣2，
>
> 解②得：*x*≤3，
>
> 所以这个不等式组的解集为：
>
> ﹣2＜*x*≤3．
18．（7分）（2019•咸宁）在Rt△*ABC*中，∠*C*＝90°，∠*A*＝30°，*D*，*E*，*F*分别是*AC*，*AB*，*BC*的中点，连接*ED*，*EF*．
> （1）求证：四边形*DEFC*是矩形；
>
> （2）请用无刻度的直尺在图中作出∠*ABC*的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
>
> 
>
> 【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；矩形的判定与性质；作图---复杂作图．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）首先证明四边形*DEFC*是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
>
> （2）连接*EC*，*DF*交于点*O*，作射线*BO*即可．
>
> 【解答】（1）证明：∵*D*，*E*，*F*分别是*AC*，*AB*，*BC*的中点，
>
> ∴*DE*∥*FC*，*EF*∥*CD*，
>
> ∴四边形*DEFC*是平行四边形，
>
> ∵∠*DCF*＝90°，
>
> ∴四边形*DEFC*是矩形．
>
> （2）连接*EC*，*DF*交于点*O*，作射线*BO*，射线*BO*即为所求．
>
> 
19．（8分）（2019•咸宁）小慧家与文具店相距960*m*，小慧从家出发，沿笔直的公路匀速步行12*min*来到文具店买笔记本，停留3*min*，因家中有事，便沿着原路匀速跑步6*min*返回家中．
> （1）小慧返回家中的速度比去文具店的速度快多少？
>
> （2）请你画出这个过程中，小慧离家的距离*y*与时间*x*的函数图象；
>
> （3）根据图象回答，小慧从家出发后多少分钟离家距离为720*m*？
>
> 
>
> 【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据速度＝路程/时间的关系，列出等式即可求解；
>
> （2）根据题中已知，描点画出函数图象；
>
> （3）根据图象可得小慧从家出发后9分钟或16.5分钟分钟离家距离为720*m*；
>
> 【解答】解：（1）由题意可得，（*m*/*min*）
>
> 答：小慧返回家中的速度比去文具店的速度快80*m*/*min*；
>
> （2）如图所示：
>
> （3）根据图象可得，小慧从家出发后9分钟或16.5分钟分钟离家距离为720*m*；
>
> 
20．（8分）（2019•咸宁）某校为了解七、八年级学生一分钟跳绳情况，从这两个年级随机抽取50名学生进行测试，并对测试成绩（一分钟跳绳次数）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
> 
>
> 七、八年级学生一分钟跳绳成绩分析表
------ -------- -------- ------
年级 平均数 中位数 众数
七 116 *a* 115
八 119 126 117
------ -------- -------- ------
> 七年级学生一分钟跳绳成绩（数据分7组：60≤*x*＜80，80≤*x*＜100，...，180≤*x*＜200）在100≤*x*＜120这一组的是：
>
> 100 101 102 103 105 106 108 109 109 110 110 111 112 113 115 115 115 116 117 119
>
> 根据以上信息，回答下列问题：
>
> （1）表中*a*＝[ 118 ]{.underline}；
>
> （2）在这次测试中，七年级甲同学的成绩122次，八年级乙同学的成绩125次，他们的测试成绩，在各自年级所抽取的50名同学中，排名更靠前的是[ 甲 ]{.underline}（填"甲"或"乙"），理由是[ 甲的成绩122超过中位数118，乙的成绩125低于其中位数126 ]{.underline}．
>
> （3）该校七年级共有500名学生，估计一分钟跳绳不低于116次的有多少人？
>
> 【考点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；算术平均数；中位数；众数．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据中位数，结合条形统计图及所给数据求解可得；
>
> （2）将甲、乙成绩与对应的中位数对比，从俄日得出答案；
>
> （3）利用样本估计总体思想求解可得．
>
> 【解答】解：（1）∵七年级50名学生成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别是117、119，
>
> ∴中位数*a*＝＝118，
>
> 故答案为：118；
>
> （2）∴在各自年级所抽取的50名同学中，排名更靠前的是甲，
>
> 理由是甲的成绩122超过中位数118，乙的成绩125低于其中位数126，
>
> 故答案为：甲，甲的成绩122超过中位数118，乙的成绩125低于其中位数126．
>
> （3）估计一分钟跳绳不低于116次的有500×＝270（人）．
21．（9分）（2019•咸宁）如图，在Rt△*ABC*中，∠*ACB*＝90°，*D*为*AB*的中点，以*CD*为直径的⊙*O*分别交*AC*，*BC*于点*E*，*F*两点，过点*F*作*FG*⊥*AB*于点*G*．
> （1）试判断*FG*与⊙*O*的位置关系，并说明理由．
>
> （2）若*AC*＝3，*CD*＝2.5，求*FG*的长．
>
> 
>
> 【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；垂径定理；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）如图，连接*OF*，根据直角三角形的性质得到*CD*＝*BD*，得到∠*DBC*＝∠*DCB*，根据等腰三角形的性质得到∠*OFC*＝∠*OCF*，得到∠*OFC*＝∠*DBC*，推出∠*OFG*＝90°，于是得到结论；
>
> （2）连接*DF*，根据勾股定理得到*BC*＝＝4，根据圆周角定理得到∠*DFC*＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．
>
> 【解答】解：（1）*FG*与⊙*O*相切，
>
> 理由：如图，连接*OF*，
>
> ∵∠*ACB*＝90°，*D*为*AB*的中点，
>
> ∴*CD*＝*BD*，
>
> ∴∠*DBC*＝∠*DCB*，
>
> ∵*OF*＝*OC*，
>
> ∴∠*OFC*＝∠*OCF*，
>
> ∴∠*OFC*＝∠*DBC*，
>
> ∴*OF*∥*DB*，
>
> ∴∠*OFG*+∠*DGF*＝180°，
>
> ∵*FG*⊥*AB*，
>
> ∴∠*DGF*＝90°，
>
> ∴∠*OFG*＝90°，
>
> ∴*FG*与⊙*O*相切；
>
> （2）连接*DF*，
>
> ∵*CD*＝2.5，
>
> ∴*AB*＝2*CD*＝5，
>
> ∴*BC*＝＝4，
>
> ∵*CD*为⊙*O*的直径，
>
> ∴∠*DFC*＝90°，
>
> ∴*FD*⊥*BC*，
>
> ∵*DB*＝*DC*，
>
> ∴*BF*＝*BC*＝2，
>
> ∵sin∠*ABC*＝，
>
> 即＝，
>
> ∴*FG*＝．
>
> 
22．（10分）（2019•咸宁）某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第*x*天的生产成本*y*（元/件）与*x*（天）之间的关系如图所示，第*x*天该产品的生产量*z*（件）与*x*（天）满足关系式*z*＝﹣2*x*+120．
> （1）第40天，该厂生产该产品的利润是[ 1600 ]{.underline}元；
>
> （2）设第*x*天该厂生产该产品的利润为*w*元．
>
> ①求*w*与*x*之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
>
> ②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？
>
> 
>
> 【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为*z*＝﹣2×40+120＝40，则可求得第40天的利润．
>
> （2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．
>
> 【解答】解：
>
> （1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为*z*＝﹣2×40+120＝40
>
> 则第40天的利润为：（80﹣40）×40＝1600元
>
> 故答案为1600
>
> （2）①
>
> 设直线*AB*的解析式为*y*＝*kx*+*b*（*k*≠0），把（0，70）（30，40）代入得
>
> ，解得
>
> ∴直线*AB*的解析式为*y*＝﹣*x*+70
>
> （Ⅰ）当0＜*x*≤30时
>
> *w*＝\[80﹣（﹣*x*+70）\]（﹣2*x*+120）
>
> ＝﹣2*x*^2^+100*x*+1200
>
> ＝﹣2（*x*﹣25）^2^+2450
>
> ∴当*x*＝25时，*w*~最大值~＝2450
>
> （Ⅱ）当30＜*x*≤50时，
>
> *w*＝（80﹣40）×（﹣2*x*+120）＝﹣80*x*+4800
>
> ∵*w*随*x*的增大而减小
>
> ∴当*x*＝31时，*w*~最大值~＝2320
>
> ∴
>
> 第25天的利润最大，最大利润为2450元
>
> ②（Ⅰ）当0＜*x*≤30时，令﹣2（*x*﹣25）^2^+2450＝2400元
>
> 解得*x*~1~＝20，*x*~2~＝30
>
> ∵抛物线*w*＝﹣2（*x*﹣25）^2^+2450开口向下
>
> 由其图象可知，当20≤*x*≤30时，*w*≥2400
>
> 此时，当天利润不低于2400元的天数为：30﹣20+1＝11天
>
> （Ⅱ）当30＜*x*≤50时，
>
> 由①可知当天利润均低于2400元
>
> 综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天．
23．（10分）（2019•咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
> 理解：
>
> （1）如图1，点*A*，*B*，*C*在⊙*O*上，∠*ABC*的平分线交⊙*O*于点*D*，连接*AD*，*CD*．
>
> 求证：四边形*ABCD*是等补四边形；
>
> 探究：
>
> （2）如图2，在等补四边形*ABCD*中，*AB*＝*AD*，连接*AC*，*AC*是否平分∠*BCD*？请说明理由．
>
> 运用：
>
> （3）如图3，在等补四边形*ABCD*中，*AB*＝*AD*，其外角∠*EAD*的平分线交*CD*的延长线于点*F*，*CD*＝10，*AF*＝5，求*DF*的长．
>
> 
>
> 【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）由圆内接四边形互补可知∠*A*+∠*C*＝180°，∠*ABC*+∠*ADC*＝180°，再证*AD*＝*CD*，即可根据等补四边形的定义得出结论；
>
> （2）过点*A*分别作*AE*⊥*BC*于点*E*，*AF*垂直*CD*的延长线于点*F*，证△*ABE*≌△*ADF*，得到*AE*＝*AF*，根据角平分线的判定可得出结论；
>
> （3）连接*AC*，先证∠*EAD*＝∠*BCD*，推出∠*FCA*＝∠*FAD*，再证△*ACF*∽△*DAF*，利用相似三角形对应边的比相等可求出*DF*的长．
>
> 【解答】解：（1）证明：∵四边形*ABCD*为圆内接四边形，
>
> ∴∠*A*+∠*C*＝180°，∠*ABC*+∠*ADC*＝180°，
>
> ∵*BD*平分∠*ABC*，
>
> ∴∠*ABD*＝∠*CBD*，
>
> ∴，
>
> ∴*AD*＝*CD*，
>
> ∴四边形*ABCD*是等补四边形；
>
> （2）*AD*平分∠*BCD*，理由如下：
>
> 如图2，过点*A*分别作*AE*⊥*BC*于点*E*，*AF*垂直*CD*的延长线于点*F*，
>
> 则∠*AEB*＝∠*AFD*＝90°，
>
> ∵四边形*ABCD*是等补四边形，
>
> ∴∠*B*+∠*ADC*＝180°，
>
> 又∠*ADC*+∠*ADF*＝180°，
>
> ∴∠*B*＝∠*ADF*，
>
> ∵*AB*＝*AD*，
>
> ∴△*ABE*≌△*ADF*（*AAS*），
>
> ∴*AE*＝*AF*，
>
> ∴*AC*是∠*BCF*的平分线，即*AC*平分∠*BCD*；
>
> （3）如图3，连接*AC*，
>
> ∵四边形*ABCD*是等补四边形，
>
> ∴∠*BAD*+∠*BCD*＝180°，
>
> 又∠*BAD*+∠*EAD*＝180°，
>
> ∴∠*EAD*＝∠*BCD*，
>
> ∵*AF*平分∠*EAD*，
>
> ∴∠*FAD*＝∠*EAD*，
>
> 由（2）知，*AC*平分∠*BCD*，
>
> ∴∠*FCA*＝∠*BCD*，
>
> ∴∠*FCA*＝∠*FAD*，
>
> 又∠*AFC*＝∠*DFA*，
>
> ∴△*ACF*∽△*DAF*，
>
> ∴，
>
> 即，
>
> ∴*DF*＝5﹣5．
>
> 
>
> 
>
> 
24．（12分）（2019•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线*y*＝﹣*x*+2与*x*轴交于点*A*，与*y*轴交于点*B*，抛物线*y*＝﹣*x*^2^+*bx*+*c*经过*A*，*B*两点且与*x*轴的负半轴交于点*C*．
> （1）求该抛物线的解析式；
>
> （2）若点*D*为直线*AB*上方抛物线上的一个动点，当∠*ABD*＝2∠*BAC*时，求点*D*的坐标；
>
> （3）已知*E*，*F*分别是直线*AB*和抛物线上的动点，当*B*，*O*，*E*，*F*为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的*E*点的坐标．
>
> 
>
> 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）求得*A*、*B*两点坐标，代入抛物线解析式，获得*b*、*c*的值，获得抛物线的解析式．
>
> （2）通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标．
>
> （3）*B*、*O*、*E*、*F*四点作平行四边形，以已知线段*OB*为边和对角线分类讨论，当*OB*为边时，以*EF*＝*OB*的关系建立方程求解，当*OB*为对角线时，*OB*与*EF*互相平分，利用直线相交获得点*E*坐标．
>
> 【解答】解：（1）在中，令*y*＝0，得*x*＝4，令*x*＝0，得*y*＝2
>
> ∴*A*（4，0），*B*（0，2）
>
> 把*A*（4，0），*B*（0，2），代入，得
>
> ，解得
>
> ∴抛物线得解析式为
>
> （2）如图，过点*B*作*x*轴得平行线交抛物线于点*E*，过点*D*作*BE*得垂线，垂足为*F*
>
> 
>
> ∵*BE*∥*x*轴，∴∠*BAC*＝∠*ABE*
>
> ∵∠*ABD*＝2∠*BAC*，∴∠*ABD*＝2∠*ABE*
>
> 即∠*DBE*+∠*ABE*＝2∠*ABE*
>
> ∴∠*DBE*＝∠*ABE*
>
> ∴∠*DBE*＝∠*BAC*
>
> 设*D*点的坐标为（*x*，），则*BF*＝*x*，*DF*＝
>
> ∵tan∠*DBE*＝，tan∠*BAC*＝
>
> ∴＝，即
>
> 解得*x*~1~＝0（舍去），*x*~2~＝2
>
> 当*x*＝2时，＝3
>
> ∴点*D*的坐标为（2，3）
>
> （3）
>
> 
>
> 当*BO*为边时，*OB*∥*EF*，*OB*＝*EF*
>
> 设*E*（*m*，），*F*（*m*，）
>
> *EF*＝\|（）﹣（）\|＝2
>
> 解得*m*~1~＝2，，
>
> 当*BO*为对角线时，*OB*与*EF*互相平分
>
> 
>
> 过点*O*作*OF*∥*AB*，直线*OF*交抛物线于点*F*（）和（）
>
> 求得直线*EF*解析式为或
>
> 直线*EF*与*AB*的交点为*E*，点*E*的横坐标为或
>
> ∴*E*点的坐标为（2，1）或（，）或（）或（）或（）
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**小学六年级上册数学奥数知识点讲解第8课《应用同余解题》试题附答案**
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**答案**
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六年级奥数上册：第八讲 应用同余解题 习题
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**绝密★启用前**
2007年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．
第Ⅰ卷
**考生注意：**
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上
粘贴的条形码的"准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作
答．若在试题卷上作答，答案无效．
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
**参考公式**：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
*P*（A＋B）＝*P（*A）＋*P（*B） S＝4πR^2^
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
*P*（A·B）＝*P*（A）·*P*（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是*P*，那么 V＝πR^3^
*n*次独立重复试验中恰好发生*k*次的概率 其中R表示球的半径
*P*~n~(*k*)＝*CP* (1一*P*)
**一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．化简的结果是
A．2＋*i* B．－2＋*i* C．2－i D．－2－*i*
2．
A．等于0 B．等于l C．等于3 D．不存在
3．若，则cot α等于
A．－2 B． C． D．2
4．已知(＋)*^n^*展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于
A．4 B．5 C．6 D．7
5．若0＜*x*＜，则下列命题中正确的是
A．sin *x*＜ B．sin *x*＞ C．sin *x*＜ D．sin *x*＞
6．若集合且}，则*N*中元素的个数为
A．9 B．6 C．4 D．2
7．如图，正方体*AC*~1~的棱长为1，过点*A*作平面*A*~1~*BD*的垂线，垂
 足为点*H*．则以下命题中，错误的命题是
A．点*H*是△*A*~1~*BD*的垂心
B．*AH*垂直平面*CB*~1~*D*~1~
C．*AH*的延长线经过点*C*~1~
D．直线*AH*和*BB*~1~所成角为45°
8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为*h*~1~，*h*~2~，*h*~3~，*h*~4~，则它们的大小关系正确的是
A．*h*~2~＞*h*~1~＞*h*~4~ B．*h*~1~＞*h*~2~＞*h*~3~ C．*h*~3~＞*h*~2~＞*h*~4~ D．*h*~2~＞*h*~4~＞*h*~1~
9．设椭圆的离心率为*e*＝,右焦点为*F*(*c*,0)，方程*ax*^2^＋*bx*－*c*＝0的两个实根分别为*x*~1~和*x*~2~，则点*P*(*x*~1~,*x*~2~)
A．必在圆*x*^2^＋*y*^2^＝2内 B．必在圆*x*^2^＋*y*^2^＝2上
C．必在圆*x*^2^＋*y*^2^＝2外 D．以上三种情形都有可能
10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为
A． B． C． D．
11．设函数*f*(*x*)是**R**上以5为周期的可导偶函数，则曲线*y*＝*f*(*x*)在*x*＝5处的切线的斜率为
A．－ B．0 C． D．5
12．设在(0，＋∞)内单调递增，，则*p*是*q*的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
**绝密★启用前**
2007年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
理科数学
第Ⅱ卷
**注意事项：**
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
**二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．**
13.设函数*y*＝4＋log~2~(*x*－1)(*x*≥3)，则其反函数的定义域为 [ ]{.underline} ．
14.已知数列{*a~n~*}对于任意*p*，*q* ∈*N*^\*^，有*a~p~*+*a~q~*=*a~p~*~+*q*~，若*a*~1~=，则*a*~36~＝ [ ]{.underline} ．
15.如图，在△*ABC*中，点*O*是*BC*的中点，过点*O*的直线分别交直线
*AB*、*AC*于不同的两点*M*、*N*,若,则*m*+*n*的值
为 [ ]{.underline} ．
16.设有一组圆．下列四个
命题：
A．存在一条定直线与所有的圆均相切
B．存在一条定直线与所有的圆均相交
C．存在一条定直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是 [ ]{.underline} ．（写出所有真命题的代号）
三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数在区间(0，1)内连续,且．
 （1）求实数k和c的值；
（2）解不等式
18．（本小题满分12分）
如图,函数的
图象与y轴交于点(0，)，且在该点处切线的斜
率为一2．
（1）求*θ*和ω的值；
（2）已知点*A*(，0)，点*P*是该函数图象上一点，点*Q*(*x*~0~，*y*~0~)是*PA*的中点，当*y*~0~＝，*x*~0~∈\[，π\]时，求*x*~0~的值．
19．（本小题满分12分）
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5， 0.6， 0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．
20．（本小题满分12分）
右图是一个直三棱柱（以*A*~1~*B*~1~*C*~1~为底面）被一平面所截得到
的几何体，截面为*ABC*．已知*A*~1~*B*~1~＝*B*~1~*C*~1~＝l，∠*A*~l~*B*~l~*C*~1~＝90°，
*AA*~l~＝4，*BB*~l~＝2，*CC*~l~＝3．
（1）设点*O*是*AB*的中点，证明：*OC*∥平面*A*~1~*B*~1~*C*~1~；
（2）求二面角*B*---*AC*---*A*~1~的大小；
（3）求此几何体的体积．
21．（本小题满分12分）
设动点*P*到点*A*(－l，0)和*B*(1，0)的距离分别为*d*~1~和*d*~2~，
∠*APB*＝2*θ*,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得*d*~1~*d*~2~ sin^2^*θ*＝λ．
 （1）证明：动点*P*的轨迹*C*为双曲线，并求出*C*的方程；
（2）过点*B*作直线交双曲线*C*的右支于*M*、*N*两
点,试确定λ的范围,使·＝0,其中点
O为坐标原点．
22．（本小题满分14分）
设正整数数列{*a~n~*}满足：*a*~2~＝4，且对于任何
*n*∈*N*^\*^，有．
（1）求*a*~1~，*a*~3~；
（2）求数列{ *a~n~* }的通项*a~n~* ．
**参考答案**
**一、选择题**
1．C 2．B 3．A 4．C 5．D
6．C 7．D 8．A 9．A 10．B
11．B 12．B
**二、填空题**
13． 14． 15． 16．
**三、解答题**
17．解：（1）因为，所以，
由，即，．
又因为在处连续，
所以，即．
（2）由（1）得：
由得，当时，解得．
当时，解得，
所以的解集为．
18．解：（1）将，代入函数得，
因为，所以．
又因为，，，所以，
因此．
（2）因为点，是的中点，，
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，所以．
因为，所以，
从而得或．
即或．
19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，
（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
．
（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，
所以，
故．
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则
，
所以，
，
，
．
于是，．
20．解法一：
（1）证明：作交于，连．
则．
因为是的中点，
所以．
则是平行四边形，因此有．
平面且平面，
则面．
（2）如图，过作截面面，分别交，于，．
作于，连．
因为面，所以，则平面．
又因为，，．
所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．
因为，所以，故，
即：所求二面角的大小为．
（3）因为，所以
所求几何体体积为
．
解法二：
（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，因为是的中点，所以，
．
易知，是平面的一个法向量．
因为，平面，所以平面．
（2），，
设是平面的一个法向量，则
则得：
取，．
显然，为平面的一个法向量．
则,
结合图形可知所求二面角为锐角．
所以二面角的大小是．
（3）同解法一．
21．解法一：（1）在中，，即，
，即（常数），
点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．
方程为：．
（2）设，
①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．
即，因为，所以．
②当不垂直于轴时，设的方程为．
由得：，
由题意知：，
所以，．
于是：．
因为，且在双曲线右支上，所以
．
由①②知，．
解法二：（1）同解法一
（2）设，，的中点为．
①当时，，
因为，所以；
②当时，．
又．所以；
由得，由第二定义得
．
所以．
于是由得
因为，所以，又，
解得：．由①②知．
22．解：（1）据条件得 ①
当时，由，即有，
解得．因为为正整数，故．
当时，由，
解得，所以．
（2）方法一：由，，，猜想：．
下面用数学归纳法证明．
1当，时，由（1）知均成立；
2假设成立，则，则时
由①得
因为时，，所以．
，所以．
又，所以．
故，即时，成立．
由1，2知，对任意，．
（2）方法二：
由，，，猜想：．
下面用数学归纳法证明．
1当，时，由（1）知均成立；
2假设成立，则，则时
由①得
即 ②
由②左式，得，即，因为两端为整数，
则．于是 ③
又由②右式，．
则．
因为两端为正整数，则，
所以．
又因时，为正整数，则 ④
据③④，即时，成立．
由1，2知，对任意，．
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**北师大版小学四年级下册数学第五单元《认识方程------字母表示数》同步检测1（附答案）**
一、用*a*、*b*、*c*分别表示三个数，乘法结合律可以写成 [ ]{.underline} ，乘法分配律可以写成 [ ]{.underline} 。来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、摆一个正方形需要4根小棒，摆2个这样的正方形需要多少根小棒？摆3个呢？摆4个呢？摆5个呢？再摆下去，你会算吗？你发现了什么？
三、看图填算式。
正方形的周长是 [ ]{.underline} 。
四、汽车每小时行驶60千米，*t*小时行驶了（ ）千米，请填写下表：
五、省略乘号简写下列各式。来源：www.bcjy123.com/tiku/
4×*x* 1.5×*x* *a*×*t* *b*×0.25
5×*a*＋*b*×3 *x*×6－4×*y* *a*×3.2 *m*×*n*
六、在横线上填上适当的式子。
1、1千克大米的价钱是3.2元，买*x*千克应付 [ ]{.underline} 元。
2、一件上衣用布*a*米，*x*件同样的上衣用布 [ ]{.underline} 米。
3、小明今年12岁，比小平大*a*岁，小平今年 [ ]{.underline} 岁。
4、某工厂存煤有200吨，每天用去*a*吨，3天用了 [ ]{.underline} 吨，4天后还剩 [ ]{.underline} 吨。
5、从50中减去5个6是 [ ]{.underline} 。来源：www.bcjy123.com/tiku/
6、比*a*的3倍多7的数是 [ ]{.underline} 。
7、一辆汽车8小时行*s*千米，平均每小时行驶 [ ]{.underline} 千米。
8、*a*除*b*的商 [ ]{.underline} 。
9、8个*x*与8个4的和 [ ]{.underline} 。
七、写出每个式子所表示的意义。
每枝铅笔*a*元，比每枝钢笔便宜*b*元。
*a*＋*b*表示 （ ）。
10*a*表示 （ ）。
3（*a*＋*b*）表示 （ ）。
八、判断题。（对的在括号里画"√"，错的画"×"。）
1、2*a* = *a*×*a* （ ）
2、比*x*少3的数表示3－*x*。 （ ）
3、*x*×5 = x5 （ ）
4、3＋*x* = 3*x* （ ）
5、*b*×1可以记作*b*。 （ ）
九、一个两位数，个位上的数字是*a*，十位上的数字是*b*，这个两位数是多少？（用式子表示。）
十、有三个连续的自然数。
1、如果中间一个数是*m*，那么其他两个数是多少？（用式子表示。）
2、如果第一个数是*m*，那么其他两个数是多少？（用式子表示。）
十一、根据运算定律，在下面的□里填上数或字母。
1、*a*＋18 = ＋
2、（*x*＋85）×4 = ×＋×
3、（*a*·*b*）·*b* = ·（·）
4、6.5*b*＋3.5*b* =（＋）×
**部分答案：**
三、4*a*
五、4*x* 1.5*x* *at* 0.25*b* 5*a*＋3 6*x*－4*y* 3.2*a* *mn*
六、1、3.2*x*
2、*ax*
3、12－*a*
4、3*a* 200－4*a*
5、50－5×6
6、3*a*＋7
7、*s*÷8
8、*b*÷*a*
9、8*x*＋8×4
七、表示一枝钢笔的价钱 表示买10枝铅笔多少元 表示买3枝钢笔多少元
八、× × × × √
九、10*b*＋*a*
十、1、*m*－1 *m*＋1
2、*m*＋1 *m*＋2
十一、1、18＋*a*
2、*x*×4＋85×4
3、*a*·（*b*·*b*）
4、（6.5＋3.5）×*b*
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2008年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
**考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.**
**2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟.**
**一. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接**
**填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.**
1．已知集合或，，则 [ ]{.underline} .
2．计算： [ ]{.underline} .
3．函数的定义域是 [ ]{.underline} .
4．方程在区间内的解是 [ ]{.underline} .
5．已知数列是公差不为零的等差数列，. 若成等比数列，则
[ ]{.underline} .
6．化简： [ ]{.underline} .
7．已知是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为. 设
 分别为双曲线的左、右焦点. 若，则 [ ]{.underline} .
8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图
如右图所示，则该凸多面体的体积 [ ]{.underline} .
9．已知无穷数列前项和，则数列的各项和为 [ ]{.underline} .
10．古代"五行"学说认为："物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土
克水，水克火，火克金."将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件表示"排列
中属性相克的两种物质不相邻"，则事件出现的概率是 [ ]{.underline} （结果用数值表示）.
11．已知；（是正整数），令，
，. 某人用右图分析得到恒等式：
，则 [ ]{.underline} .
12．已知，直线：
和. 设是上与
两点距离平方和最小的点，则△的面积是 [ ]{.underline} .
**二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出**
**四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的**
**代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.**
13．已知向量，若，则等于 \[答\] ( )
（A）. （B）. （C）. （D）.
14．已知椭圆，长轴在轴上. 若焦距为，则等于 \[答\]（ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
15．已知函数定义在上，，则"均为奇函
数"是"为偶函数"的 \[答\] ( )
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.
16．已知，且为虚数单位，则的最小值是 \[答\] ( )
（A）. （B）. （C）. （D）.
**三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.**
**17. (本题满分12分)**
已知，求的值.
\[解\]
**18. (本题满分12分)**
在平面直角坐标系中，分别为直线与轴的交点，为的中点. 若抛物线过点，求焦点到直线的距离.
\[解\]
**19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，**
**第2小题满分8分.**
已知函数.
（1）求证：函数在内单调递增；
（2）记为函数的反函数. 若关于的方程在上有解，求的取值范围.
\[证明\]（1）
\[解\]（2）
**20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，**
**第2小题满分8分.**
 某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为，② 三根细钢管相交处的节点与凳面三角形重心的连线垂直于凳面和地面.
（1）若凳面是边长为的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为，确定节点分细钢管上下两段的比值（精确到）；
（2）若凳面是顶角为的等腰三角形，腰长为，节点分细钢管上下两段之比为. 确定三根细钢管的长度（精确到）.
\[解\]（1）
（2）
**21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，**
**第2小题满分5分，第3小题满分8分.**
在直角坐标平面上的一列点，简记为. 若由构成的数列满足，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列.
（1） 判断，是否为点列，并说明理由；
（2）若为点列，且点在点的右上方. 任取其中连续三点，
判断△的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若为点列，正整数满足，求证：
.
\[解\]（1）
（2）
\[证明\]（3）
**22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，**
**第2小题满分6分，第3小题满分8分.**
已知是实系数方程的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为.
（1）若在直线上，求证：在圆：上；
（2）给定圆：（，），则存在唯一的线段满足：①若在圆上，则在线段上；② 若是线段上一点（非端点），则在圆上. 写出线段的表达式，并说明理由；
（3）由（2）知线段与圆之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中是（1）中圆的对应线段）.
\[证明\]（1）
\[解\]（2）
（3）表一
------------------------ --------------------
**线段与线段的关系** **的取值或表达式**
所在直线平行于所在直线
所在直线平分线段
线段与线段长度相等
------------------------ --------------------
2008年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
参考答案及评分标准
**说明**
**1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.**
**2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.**
**3. 第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.**
**4. 给分或扣分均以1分为单位.**
**答案及评分标准**
**一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.**
1\. . 2. . 3. . 4. .
5\. . 6. . 7. 5. 8. .
9\. . 10. . 11. . 12. .
**二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.**
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题 号 13 14 15 16
代 号 C D A B
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**三．（第17至22题）**
17\. \[解\] 原式 ...... 2分
. ...... 5分
又 ，， ...... 9分
. ...... 12分
18\. \[解\] 由已知可得 ， ...... 3分
解得抛物线方程为 . ...... 6分
于是焦点 . ...... 9分
点到直线的距离为 . ...... 12分
19\. \[证明\]（1）任取，则
，
，
，
，即函数在内单调递增. ...... 6分
\[解\]（2）， ...... 9分
\[解法一\]
， ...... 11分
当时，，
的取值范围是. ...... 14分
\[解法二\] 解方程，得
， ...... 11分
，
解得 .
的取值范围是. ...... 14分
20. \[解\]（1）设△的重心为，连结.
由题意可得，.
设细钢管上下两段之比为.
已知凳子高度为. 则. ...... 3分
节点与凳面三角形重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.
就是与平面所成的角，亦即
.
，
解得，. ...... 6分
即节点分细钢管上下两段的比值约为.
（2）设，.
设△的重心为，则， ...... 10分
由节点分细钢管上下两段之比为，可知.
设过点的细钢管分别为，
则 ，
，
对应于三点的三根细钢管长度分别为， 和. ...... 14分
21\. \[解\]（1） ， ，显然有，
是点列. ...... 3分
（2）在△中，，
. ...... 5分
点在点的右上方，，
为点列，，
，则.
为钝角， △为钝角三角形. ...... 8分
（3）\[证明\] ，
. ①
. ②
同理. ③ ...... 12分
由于为点列，于是， ④
由①、②、③、④可推得， ...... 15分
，
即 . ...... 16分
22\. \[证明\]（1）由题意可得 ，解方程，得
， ...... 2分
点或，
将点代入圆的方程，等号成立，
在圆：上. ...... 4分
（2）\[解法一\] 当，即时，解得，
点或，
由题意可得，整理后得 ， ...... 6分
，，
.
线段为： ，.
若是线段上一点（非端点），则实系数方程为
.
此时，且点、在圆上.
...... 10分
\[解法二\] 设是原方程的虚根，则，
解得
由题意可得，. ③
解①、②、③ 得 . ...... 6分
以下同解法一.
\[解\]（3）表一
------------------------ -------------------- ----------
**线段与线段的关系** **的取值或表达式** **得分**
所在直线平行于所在直线 ， 12分
所在直线平分线段 ， 15分
线段与线段长度相等 18分
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第5单元 第二节：采松果**
一、填空。
1、看图写数。
（ ） （ ） （ ）
2、1个十和5个一组成（ ）。 2个十是（ ）
3、19是由（ ）个十和（ ）个一组成的。
4、从右边起，第一位是（ ）位，第二位是（ ）。\[来源:学,科,网Z,X,X,K\]
5、16、 、 、13、 、 、10、 。
14、 、16、 、 、 、 。
6、十位上是1，个位上是7，这个数是（ ）。
7、19后面的一个数是（ ）。 18前面的一个数是（ ）。
8、10和12中间的数是（ ）。
9、在 里填上"＞"、"＜"或"＝"。
10＋3 14 15－3 10 20 10＋10
18－8 14 7＋2 6   13 12＋1
二、写出下面各数。
\[来源:学科网ZXXK\]
（ ） （ ）  （ ） （ ）
三、算一算。
32+5= 4+65= 72+5=
5+74= 66-3= 44-4=
78-6= 26+3= 88-5=
四、填空。
1、25+2，这道题，先算（ ），再算（ ）。
2、48-6，这道题，先算（ ），再算（ ）。
3、46里面有（ ）个十和（ ）个一。
4、和89相邻的数是（ ）和（ ）。
\[来源:学科网ZXXK\]
\[来源:学科网ZXXK\]
答案
一、填空。\[来源:学科网ZXXK\]
1、看图写数。
（ 12 ） （ 18 ） （ 15 ）
2、15 20
3、1 9
4、个 十
5、16、15 、14、13、12 、11 、10、9 。
14、15 、16、17 、18 、19、20。
6、17
7、20 17
8、11
9、在 里填上"＞"、"＜"或"＝"。
10＋3 ＜14 15－3＞10 20＝10＋10
18－8＝14 7＋2＞6 13＝12＋1
二、写出下面各数。
（ 15 ） （ 20 ） （ 16 ） （ 11 ）
三、
32+5=37 4+65=69  72+5=77
5+74=79 66-3=63 44-4=40
78-6=72 26+3=29 88-5=83
四、填空。
1、5+2=7 20+7=27
2、8-6=2 40+2=42
3、4 6
4、88 90
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**《分草莓》同步练习**
一、（ ）里最大能填几？
（ ）×6＜35 （ ）×6＜32
（ ）×8＜ 70 32＞（ ）×5
22 ＞（ ）×3 60＞ 9×（ ）
3×（ ）＜16 （ ）×5＜41
6×（ ）＜33 4×（ ）＜25
（ ）×7＜67 8×（ ）＜50
（ ）×8＜35 （ ）×7＜34
（ ）×9＜ 70 50＞（ ）×7
20 ＞（ ）×6 27＞ 5×（ ）
二、40个草莓
（1）平均分给5个小朋友，每个小朋友分到（ ）个苹果。\
（2）如果平均分给6个朋友，每个小朋友分到（ ）个苹果，还剩（ ）个。\
（3）如果每3个苹果放一盘，至少需要（ ）个盘子。
三、竖式计算
24÷6= 35÷7= 49÷8= 70÷9=
四、小红买来14个草莓，平均分给奶奶、爸爸、妈妈，余下的给自己，小红自己还有多少个草莓？
五、64÷7= ......
51÷6= ......
六、判断对错。
（1）28÷5=5......3 （ ）
如果△÷6=○......□，那么□最大应是5。 （ ）
（3） 9÷2=4\.....2 ( )
（4） 28÷5=5\...\...3 ( )
（5） 33÷7=5\.....2 ( )
七、（1）我们班一共有50人，平均分成8组，每组几人？还多几人？
（2）一群小朋友们过河，一共有32个小朋友，一艘船能装下5个，请问需要多少艘船？
（3）46个同学去春游，每辆车可坐8人，一共要用多少辆车？
（4）在一道有余数的处罚中，除数是一个一位，商是9，余数是8，求被除数是多少？
参考答案：
一、（ ）里最大能填几？
（ 5 ）×6＜35 （ 5 ）×6＜32
（ 8 ）×8＜ 70 32＞（ 6 ）×5
22 ＞（ 7 ）×3 60＞ 9×（ 6 ）\[来源:Zxxk.Com\]
3×（ 5 ）＜16 （ 8 ）×5＜41
6×（ 5 ）＜33 4×（ 6 ）＜25
（ 9 ）×7＜67 8×（ 6 ）＜50
（ 4 ）×8＜35 （ 4 ）×7＜34
（ 7 ）×9＜ 70 50＞（ 7 ）×7
20 ＞（ 3 ）×6 27＞ 5×（ 5 ）\[来源:学,科,网\]\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
二、40个草莓
（1）平均分给5个小朋友，每个小朋友分到（ 8 ）个苹果。\
（2）如果平均分给6个朋友，每个小朋友分到（ 6 ）个苹果，还剩（ 4 ）个。\
（3）如果每3个苹果放一盘，至少需要（ 13 ）个盘子。
三、竖式计算
24÷6=4
35÷7=5
49÷8=6······1
70÷9=7······7
四、2
五、64÷7= 9 ...... 1
51÷6= 8 ...... 3
六、判断对错。
（1） （ √ ）
（ × ）
（3） ( × )
（4） ( √ )
（5） ( × )
七、（1 ）每组6人 还多2人
（2）7\[来源:学,科,网\]
（3）6\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
（4）89
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2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）含答案
文科综合能力测试
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.本试卷共16页。如遇缺页、漏印、自己不清等情况，考试须及时报告监考老师。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共35小题，每小题4分，共140分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
地名常和所在地特定时期的地理环境有关。图1所示区域有1700多个行政村，其中85%以上村名与自然要素或地理方位等有关。该区域处于毛乌素沙地与黄土高原的过渡地带。据此完成1～2题。
图1
1．与图示区域中地名"河""梁""柳"相关的自然要素依次是
A．水文、地貌、植被 B．地貌、水文、植被
C．植被、地貌、水文 D．水文、植被、地貌
2．图示甲、乙两地区地名中"河""沟""湾"等出现的比例很高，表明乙
A．风俗习惯改变 B．土地利用结构稳定
C．人口迁徙频繁 D．自然环境变化较大
巢湖平原某地人多地少，原来种植双季稻，越冬作物以油菜为主，近年来随着城镇化的发展、机械化的普及和青壮年劳动力外出务工，这里多种植单季稻，收割后多不经翻耕播种收益较低的越冬作物小麦。图2为该地收割水稻后播种了小麦的农田景观，其中浅色的为稻茬。据此完成3～5题。
3．在收割水稻后的农田中播种小麦，需在田地中打沟（图2）。打沟主要是为了
A．灌溉 B．排水 C．防虫害 D．通风
4．推测这里不经翻耕播种小麦的主要目的是
A．提高产量 B．减少水土流失 C．降低生产成本 D．减少蒸发
5．近年来，该地
A．种植结构复杂化 B．复种指数提高 C．田间管理精细化 D．种田大户增多
对我国甘肃某绿洲观测发现，在天气稳定的状态下，会季节性出现绿洲地表温度全天低于周边沙漠的现象。图3呈现该绿洲和附近沙漠某时段内地表温度的变化。据此完成6\~8题。
图3
6．图示观测时段内
A．正午绿洲和沙漠长波辐射差值最大 B．傍晚绿洲降温速率大于沙漠
C．凌晨绿洲和沙漠降温速率接近 D．上午绿洲长波辐射强于沙漠
7．导致绿洲夜间地表温度仍低于沙漠的主要原因是绿洲
①白天温度低 ②蒸发(腾)多 ③空气湿度大 ④大气逆辐射强
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8．这种现象最可能发生在
A．1\~2月 B．4\~5月 C．7\~8月 D．10\~11月
如图4所示，乌拉尔山脉绵延于西西伯利亚平原与东欧平原之间。西西伯利亚平原的大部分比东欧平原降水少。乌拉尔山脉两侧自北向南都依次分布着苔原、森林、森林草原和草原等自然带，但在同一自然带内乌拉尔山脉两侧的景观、物种组成等存在差异。据此完成9\~11题。
9．西西伯利亚平原的大部分比东欧平原降水少，是由于其
①距水汽源地远 ②受北冰洋沿岸洋流影响小 ③地势南高北低 ④水汽受乌拉尔山脉的阻挡
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
10．推断乌拉尔山脉东西两侧的景观、物种组成差异最小的自然带是
A．苔原带 B．森林带 C．森林草原带 D．草原带
11．西西伯利亚平原年降水量南北差异较小，但南部较干，主要原因是南部
A．沼泽分布少 B．太阳辐射强 C．河流向北流 D．远离北冰洋
12．一双限量版运动鞋，官网标价千余元，线上倒手几次价格就能翻到几万；有人甚至声称自己靠炒鞋月入十几万......一段时间以来，炒鞋不断升温，印发媒体关注，并纷纷提示风险。炒鞋行为存在风险的原因在于
①鞋已不具有使用价值，其交易不是商品交换
②鞋的价格远远高于鞋的价值，背离了价值规律
③借助网络交易平台炒鞋，货币难以充当流通媒介
④资本追逐不断推高价格，鞋的价值越来越难以实现
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
13．近年来，中国铁路上海局集团、南昌局集团、成都局集团等发布消息，对所属高铁列车执行票价调整：以公布票价为最高限价，分季节、分时段、分席别、分区段在限价内实行多档次票价，最大折扣幅度5．5折。对高铁车票实行差异化定价，意在
①增加高铁供给，提高市场占有率
②发挥价值规律作用，让市场供求决定价格
③运用价格机制，提高高铁运营效率
④形成合理比价，正确反映市场供求关系
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
14．2016～2019年某国工业企业的成本和利润率指标变化如图5所示。
图5 2016～2019年某国工业企业的成本和利润率指标变化
下列政策措施中，有利于保持图中指标变化趋势的是
①健全知识产权市场，加速科技成果转化
②允许企业将研发费用进行税前抵扣
③鼓励与引导企业承担更多的社会责任
④制定严格的废水、废渣、废气处理标准
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
15．自2013年以来，我国已累计设立18个自由贸易试验区（简称自贸区），区内试行贸易和投资便利化制度，进一步放宽金融和制造业领域的市场准入，完善知识产权保护制度，自贸区成为制度创新的"高地"。设立自贸区的意义在于
①发挥自贸区在国民经济中的主导作用
②优化营商环境，发展更高层次的开放型经济
③探索完善新时代社会主义市场经济体制的新途径
④全面开放市场，强化竞争机制，培育中国经济新优势
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
16．某市根据中央有关文件精神，推进行政执法权限和力量向基层延伸和下沉，强化乡镇和街道的统一指挥和统筹协调职责，整合原有站所、分局执法力量和资源，组建统一的综合行政执法机构，依法相对集中行使行政处罚权，以乡镇和街道名义开展执法工作。这一改革旨在
①转变基层政府职能 ②强化基层司法机关权威
③完善行政执法体制机制 ④提高基层政府执法效能
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
17．为打通精准扶贫"最后一公里"，数百万驻村干部、第一书记日夜奋战在脱贫攻坚主战场，他们和贫困群众想在一起、干在一起，拧成股绳、攒足一股劲，以行动兑现对人民的承诺。党员干部奋战脱贫攻坚主战场
①体现了中国共产党人为人民谋幸福的初心
②完善了打赢脱贫攻坚战实现共同富裕的行政体制
③旨在推进乡村治理体系的完善和治理能力现代化
④是坚持党的执政理念贯彻群众路线的内在要求
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
18．2019年8月7日，包括中国在内的46个国家和地区作为首批签约方签署了《联合国关于调解所产生的国际和解协议公约》。该公约旨在解决国际商事调解达成的和解协议的跨境执行问题，允许在国际商业纠纷中执行和解协议的方直接诉诸缔约一方的法院以获得司法救济。该公约的签订
①是健全国际商事争端解决机制的重要举措
②是对缔约方司法主权的进步限制和约束
③体现了联合国协调国际经济关系的重要作用
④表明多边主义成为各国处理利益冲突的公认原则
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
19．某居民委员会并把家风家训教育有作为道德建设的切入点，组织居民讲家训、晒家风、评家教，把尊老爱动、守望相助、勤俭持家等传统家庭美德融入居民生活、院落文化、社区治理、主题活动，受居民喜爱，取得良好的社会效果。这启示我们新时代公民道德建设应该道德规范应该
①全面传承和弘扬传统道德规范
②善于监管人们日益多样的文化生活
③广泛开展群众性道德实践活动
④既坚守中华文化立场又立足现实生活
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
20．《中共中央 国务院关于促进中医药传承创新发展的意见》指出："中医药学是中华民族创造的伟大创迹，是中国古代科学的现宝，也是打开中华文明宝库的钥匙，为中华民族繁衍生息作出了巨大贡献，对世界文明进步产生了积极影响。"其中蕴含的文化道理是
①中华优秀传统文化既是民族的又是世界的
②中华优秀传统文化在发挥积极作用中传承发展
③中华文化发展的实质在于继承中华优秀传统文化
④中华优秀传统文化只有通过交流传播才具有价值义
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
21．习近平指出：黄河流域生态保护和高质量发展，要尊重规律，摒弃征服水、征服自然的冲动思想。"禹之决渎也，因水以为师。"大禹之所以能成功治理水患，原因在于尊重规律。这说明
①认识规律就能达到改造世界的目的
②掌握和尊重规律才能避免主观盲动
③根据规律特点利用规律才能造福人类
④按规律办事就不能改变其发生作用的条件和形式
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
22．图6是2020年联合国生物多样性大会（COP15）会标，会标的设计理念来源于中国的剪纸艺术和印章文化，反映人与自然和谐共生，与大会主题相呼应，具有鲜明的中国特色，深受好评。这表明
图6
①优秀艺术作品总是要反映时代要求和实践需要
②主体的知识和审美观对艺术创作有深刻影响
③艺术作品表达的是创作主体的理想与情感，不具有客观内容
④审美标准具有客现性，艺术作品的价值不因时代变化而改变
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
23．2020年是恩格斯诞辰200周年。作为马克思主义的创始人之一，恩格斯在谈到马克思主义产生时说："同任何新的学说样，它必须首先从已有的思想材料出发，虽然它的根子深深扎在经济的事实中。"上述论断蕴含的哲学道理是
①理论发展具有相对独立性
②理论只能反映当前经济事实人
③理论总是受到客观现实的制约
④来源于现实的理论就具有真理性
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
24．据史书记载，角抵（摔跤）"盖杂技乐也，巴俞（渝）戏、鱼龙蔓延（百戏节目）之属也"。秦二世曾在宫中欣赏。汉武帝在长安举行了两次大规模的角抵表演，长安百姓"三百里内皆观"，他也曾用角抵表演欢迎来长安的西域人。据此可知，当时角抵
> A．促进了川剧艺术的发展 B．拥有广泛的社会影响
>
> C．推动了丝路文化的交流 D．源于民间的劳作技能
25．敦煌莫高窟61号洞中的唐代壁画"五台山图"中有一座"大佛光之寺"，梁思成、林徽因按图索骥，在山西五台山地区发现了其实物------佛光寺。这一事例说明此类壁画
 
图7 敦煌壁画中的"大佛光之寺" 图8 五台山佛光寺
> A．创作源于艺术想象 B．能完整还原历史真实
>
> C．可与文化遗存互证 D．价值来自学者的发掘
26．宋太祖开宝六年（973年）省试后，主考官李昉徇私录取"材质最陋"的同乡武济川一事被告发，太祖在讲武殿出题重试，殿试遂成常制。经此事后，宋代科举
> A．否定了世家大族特权 B．确立了省试考试权威
>
> C．完善了考试录取程序 D．提高了人才选拔标准
27．明代官营手工业实行工匠制度，生产官府所需物资。明中叶后，官府往往直接向匠户征收银两而不征用其生产的产品，此现象持续增多。这反映了
> A．白银已取代其他货币 B．雇佣劳动成为主要用工方式
>
> C．民营手工业发展受挫 D．官营手工业的地位遭到削弱
28．1894\~1914年，外国在华企业投资总额有所增加，各行业所占比例如图9所示。
图9 外国在华企业投资总额中各行业所占比例
> 据图9可知，当时
>
> A．运输业成为列强扩大权益的重要途径 B．中国的对外贸易已由逆差转向了顺差
>
> C．国际资本垄断日益趋于和缓 D．民族企业的市场竞争力提高
29．中国共产党的一份告全党党员书指出："国民党中央驱逐军队中的共产党党员，我们的党不得不秘密起来......这所谓国民政府是什么?他从革命的政权机关变成了资产阶级之反动的执行机关，变成了军阀的工具。"由此，中国共产党
> A．阐明工农武装割据的必要性 B．确定武装反抗国民党统治的方针
>
> C．批判"左"倾错误的危害性 D．动员工农红军进行战略性的转移
30．1937年，陕甘宁边区组织民主普选，参选率达70%，其中延长等4个县当选县参议员中各阶层所占比例如表1所示。
表1 延长等4县县参议员各阶层所占比例 单位：%
------ ------ ------ ------ ------ ---------- ------
工人 贫农 中农 富农 商人 知识分子 地主
4 65 25 1 1 2 2
------ ------ ------ ------ ------ ---------- ------
表1反映出当时边区
A．新民主主义理论在实践中推广 B．抗日民主政权的性质根本改变
C．各阶层参加的联合政府的建立 D．抗日民族统一战线得到了落实
31．1978年底，中央工作会议上印发了《战后日本、西德、法国经济是怎样迅速发展起来的》以及新加坡、韩国等经济发展情况的材料，主要是为了讨论
A．增强国营企业活力 B．积极利用外资和先进技术
C．建立市场经济体制 D．调整优先发展重工业战略
32．有学者认为："在政体形式这个关键问题上，只有完全的一致，或者多数派强大到近乎全体一致的程度，即使那些不完全赞同的人也必须尊重这种政体，才能让政治激情不至于造成流血，同时让国家所有权威部门受到人们充分而自如地平和批评。"这一论述可以用于说明
A．雅典民主政治 B．僭主政治
C．罗马共和政体 D．寡头政治
33．15世纪中叶，西尔维乌斯在《论自由教育》一文中，强调培养身心俱健的人，要求通过体育、军事训练与合理饮食来强健身体，通过文学、哲学和文艺的学习来丰富精神世界，使人拥有信仰、美德、知识和智慧。这一主张
> A．丰富了人文主义的教育思想 B．重申了启蒙运动的思想内容
>
> C．强调信仰对教育的决定作用 D．奠定了宗教改革的理论基础
34．19世纪末，德皇威廉一世去世，威廉二世继任，支持俾斯麦的政党联盟在帝国议会选举中失败，与威廉二世意见相左的俾斯麦辞职。这一系列事件表明德国
> A．议会加强对政府的监督 B．皇帝个人权力强大
>
> C．对外政策发生根本变化 D．分权制衡体制成熟
35．1958年，美苏签订"文化、技术和教育领域的交流协议"。两国展开了一系列文化往来，赴美的苏联学者90%为科学家、工程师，而赴苏联的美国学者90%是人文社会科学领域的专家。这表明
> A．美国旨在缓和与苏联的紧张关系 B．经济全球化的进程进一步加快
>
> C．冷战格局下美苏交流与对抗并存 D．苏联旨在对美国输出先进科技
二、非选择题：共160分。第36\~42题为必考题，每个试题考生都必须作答。第43\~47题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共135分。
36．阅读图文材料，完成下列要求。（22 分）
> 玉米油是利用玉米胚芽生产的一种谷物油脂，营养丰富，口味清香。玉米油生产流程由毛油提取和毛油精炼等环节构成，胚芽的毛油提取率为40%，由毛油到精炼油的转化率为90%。山东邹平某公司是我国建设最早、目前规模最大的玉米油产品研发和生产企业，其玉米油销售量占国内市场的50%。该公司在山东惠民、辽宁铁岭、内蒙古通辽和鄂尔多斯建有毛油压榨工厂，在公司本部、浙江杭州、广东广州建有精炼油和小包装产品生产基地（图10），将毛油运输至精炼油生产基地多使用集装箱液袋（一次性使用的储存和运输各种非危险液体货物的软体包装容器），使用罐箱或铁桶运输则越来越少。
>
> 
>
> （1）简述惠民、铁岭、通辽、鄂尔多斯等地吸引该公司建设毛油压榨工厂的优势条件。（6分）
>
> （2）分析该公司在杭州、广州建设精炼油和小包装产品生产基地的主要原因。（8 分）
>
> （3）推测并解释将毛油由铁岭运输到广州精炼油生产基地的合理交通方式，指出使用集装箱液袋运输相对于使用铁桶运输的优势。（8分）
37．阅读图文材料，完成下列要求。（24分）
> 研究表明，金沙江流域金矿较多，多呈带状分布并与断裂的空间分布一致。金沙江因河中有大量沙金（河床沉积物中的金）而得名。图11示意金沙江云南段。
>
> 
>
> （1）从板块运动的角度解释图示区域断裂发育的原因。（6分）
>
> （2）简述图示区域河流多沿断裂分布的原因。（4分）
>
> （3）说明图示区域金矿石出露较多的原因。（6分）
>
> （4）说明出露的金矿石转变成金沙江中沙金的地质作用过程。（8分）
38．阅读材料，完成下列要求。（14分）
> 数据显示，受新冠肺炎疫情的冲击和影响，2020年一季度我国国内生产总值同比下降6.8%，但3月份主要经济指标降幅明显收窄。这表明我国复工复产成效逐步显现，经济复苏步伐正在加快。但是，随着海外疫情的扩散，我国经济发展的内外部环境依然严峻，面临的挑战前所未有。
>
> 2020年4月17日，中央政治局召开会议，统筹推进疫情防控和经济社会发展工作。会议强调加大"六稳"工作力度，坚定实施扩大内需战略，维护经济发展和社会稳定大局；明确提出保居民就业、保基本民生、保市场主体、保粮食能源安全、保产业链供应在稳定、保基层运转"六保"任务，并把保居民就业置于"六保"任务之首。
>
> 当前保居民就业对稳定经济发展具有重要作用。结合材料并运用经济知识，说明这一作用的传导过程。
39．阅读材料，完成下列要求。（12分）
> 2020年5月召开的十三届全国人大三次会议和全国政协十三届三次会议是我国政治生活中的大事。两会审议、讨论《中华人民共和国民法典》草案，备受国内外关注。
>
> 参加会议的全国政协委员在各界别小组讨论民法典草案，委员们认为，民法典草案充分体现了人民至上的理念，贴近百姓生活，涉及方方面面，反映新时代需求，是维护公民各项权利的一部百科全书。
>
> 经过人大代表的认真审议和热烈讨论，根据各方面意见，民法典草案最终修改100余处，其中实质性修改40余处。5月28日，民法典在十三届全国人大三次会议表决通过，成为推进全面依法治国、中国法治建设的里程碑。
>
> 结合民法典的通过，阐述两会所彰显的我国社会主义民主政治的优势。
40．阅读材料，完成下列要求。（26分）
> 脱贫攻坚是历史给出的时代考题，广大青年成为解答时代考题的生力军。
>
> 乡村网红青年小甘搭乘"短视频+电商"的快车，开辟山区农产品销售新渠道，2018年，其团队共推介销售你农副产品400多万公斤，产值超过2300万元，实现了和大山里的乡亲们"一起走上致富路"的理想。
>
> 青年教师胡博士，"一门心思帮助村民脱贫"，运用大数据，精准解决农村贫困户就业和培训难题。他与当地的就业部门合作，打造智能就业平台，实现劳动力与岗位智能化匹配，3年推荐就业岗位超12万次；开发培训人员智能化管理体系，有针对性地为贫困户提供订单式岗位培训。
>
> 青年学子小锋休学创业，投身高效晶硅太阳能材料的批量制造，致力于光伏扶贫。他使用公司自产太阳能电池板，帮助居民在自家屋顶建光伏电站，将太阳能资源转化为电能，居民从售电款中获得分红，目前已有陕西、河北、广西等地千户居民成功脱贫。
>
> 立志"帮老百姓脱贫"的海归青年小静辞掉北京的工作，返回"中国山楂之乡"创业。她组建山楂研发团队，用科技提升山楂的附加值，促进山楂产业转型升级；通过吸纳1400余户贫困户入股、建立扶贫工厂、带动就业等，帮助当地农民增收。
>
> 在脱贫攻坚的主战场，一代青年正用青春演绎着一个个精彩的扶贫故事，涓涓细流正汇聚成乡村振兴的时代洪流。
>
> （1）运用创新意识的知识，说明四位青年为什么能够在脱贫攻坚的主战场作出贡献。（12分）
>
> （2）运用文化生活知识，说明上述扶贫故事给新时代青年担当使命的启示。（10分）
>
> （3）就"青年学生如何助力乡村振兴"提出两条思路。（4分）
41．阅读材料，完成下列要求。（25分）
> 材料一
>
> 永定河属海河水系，清初"水患频仍"。康照三十七年（1698年），直隶巡抚主持冶河，改行河道，并在两岸筑堤防系统。竣工后，康熙皇帝赐名"永定河"，下旨："永定河工，照黄河岁修、抢修之例办理。"清廷设立永定河道，总理永定河事务，有近2 000名河兵常年修守。改名永定河后的40年内，下游漫溢、决口达20次。清中期以后，在永定河修建17处减水坝，各减水坝下均开挖有减水引河。一段时期内不再洪水泛滥，但河道淤积严重，到清末已成"墙上筑夹墙行水"的形势。
------据（清）《永定河续志》等
> 材料二
>
> 新中国成立后，中央在大江大河治理中把保证人民生命财产安全放在首位。1951年，开始在永定河上修建官厅水库，这是海河流域第一座大型水库。1957年，《海河流域规划》编制完成，其方针任务是：防止华北洪涝灾害，发展灌溉、航运、发电、工业城市给水。1963年11月，毛泽东发出"一定要根治海河"的号召。海河流域各地分别成立"根治海河"指挥部，在工程实施中采取了"集中力量打歼灭战"的方针。"根治海河"前期，每年用在水利建设上的劳动力达百万以上。骨干工程在用工与治理顺序上实现了各省市的团结协作。经不懈治理，海河流域的洪涝等自然灾害得到有效控制，"十年九荒"的历史彻底改变。
>
> ------据《海河志》等
>
> （1）根据材料一并结合所学知识，概括清代治理永定河的措施及其效果。（10分）
>
> （2）根据材料并结合所学知识，分析新中国成立后治理海河的特点及其意义。（15分）
42．阅读材料，完成下列要求。（12分）
材料
有学者将欧洲联盟的结构列为三大支柱，如图12所示：
图12 欧洲联盟的神殿式结构
------摘自(法)法布里斯•拉哈《欧洲一体化史（1945---2004）》
> 根据材料并结合所学知识，从三列支柱中各选取一点，三点之间要有相互联系，展开论述。（要求：明确列出三点，联系符合逻辑，史实准确，论述充分，表达清晰。）
（二）选考题：共25分。请考生从2道地理题、3道历史题中每科任选一题作答。并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按每科所答第一题评分；多答按每科所答第一题评分。
43．\[地理------选修3：旅游地理\]（10分）
> 奥地利的哈尔斯塔特小镇以湖光山色、错落有致的特色建筑、古老的盐矿遗址等而闻名，被联合国教科文组织列入世界文化遗产名录。每年有数十万游客来到这个仅有千余居民的小镇观光。我国某企业选择国内自然景观相似的地点，按照哈尔斯塔特的原型建造了一座翻版小镇。建成开放后一度成为当地热门旅游景点。
>
> 评价仿建国外著名旅游景点的做法对当地旅游开发的影响。
44．\[地理------选修6：环境保护\]（10分）
> 竹排江是南宁市主要的内河之一，由北向南贯穿市区，其上游河段叫那考河。20世纪90年代开始，沿河养殖业兴起，大量污水和垃圾进入那考河，那考河一度变成"纳污河"。从2015年起，当地政府按照海绵城市建设理念，实施了河道截污、河道生态、沿岸景观工程以及污水厂建设等，由"点源治理"转变为"适度集中、就地处理、就地回用"的流域综合治理。如今那考河沿岸成为水清岸绿的滨江公园。
>
> 简述采用"适度集中、就地处理、就地回用"模式治理那考河污染的意义。
45．\[历史------选修1：历史上重大改革回眸\]（15分）
> 材料
>
> 熙宁二年(1069年)，宋廷开始精简军队，压缩编制，到元丰八年(1085年)禁、厢军总数减为80万左右，比原先减少30多万。熙宁七年，开始实行"将兵法"，把当地各部分禁军以及有战斗力的厢兵、蕃兵、乡兵等，混合编组为"将"，下设"指挥"。每"将"自2000多人至1万多人不等，通常为5000人左右，设正、副将为长官，选择有作战经验和才能的人担任。诸将长官统领并训练本将士兵，以达到将知兵、兵知将的目的。将兵多数戍守本路，在本路辖区内更戍，但也有一部分将兵到指定的别路更戍。
------摘编自白寿彝总主编《中国通史》
（1）根据材料并结合所学知识，概括王安石实行将兵法的历史背景。（6分）
（2）根据材料并结合所学知识，评价王安石将兵法改革。（9分）
46．\[历史------选修3：20世纪的战争与和平\]（15分）
> 材料
>
> 反战和平运动兴起于19世纪，在美国、英国、法国相继成立了反战组织。第一次世界大战后，反战和平运动进一步发展，20世纪二三十年代掀起高潮。参加反战和平运动的有共产党人在内的政界人士、工人、农民、知识分子等不同社会阶层的人们，如"国际妇女争取和平与自由联盟"的成员遍布数十个国家和地区。1927年，反帝大同盟成立，致力于领导反对帝国主义统治的斗争，支持民族自决和人民独立，爱因斯坦、宋庆龄等被选为名誉主席团成员。1933年，该组织与国际反法西斯同盟联合组成国际反战反法西斯联盟。1936年召开的世界和平大会呼吁反对日、意、德法西斯的侵略，支援中国、埃塞俄比亚、西班牙人民的抗战。
>
> ------摘编自熊伟民《和平之声------20世纪反战反核运动》
>
> （1）根据材料，概述反战和平运动在20世纪二三十年代掀起高潮的主要表现。（8分）
>
> （2）根据材料并结合所学知识，简析20世纪二三十年代反战和平运动掀起高潮的原因及作用。（7分）
47．\[历史------选修4：中外历史人物评说\]（15分）
> 材料
>
> 竺可桢（1890～1974），中国杰出的科学家和教育家。1918年，他怀抱"科学救国"理想从美国回到中国。1920年，他与柳诒徽共同主持南京高等师范学校史地学部，培养了胡焕庸等一批地理学家和气象学家。1927年，筹建中央气象研究所，后出任所长。抗战前夕，中央气象研究所在各省设置40多个气象站和100多个雨量站，出版了中国气象资料，为我国的气象学奠定了基础。他认为"学理之研究重于物质之享受"，于艰难环境中苦心创业。新中国成立后，竺可桢亲自主持和筹建中国科学院地理研究所，领导或指导了我国地理的综合考察、自然区划、历次地理学规划等工作。根据国家需要，他又组织了西北沙漠、西南南水北调地区以及黑龙江等省、区的考察，为国家建设提供了参考数据。
>
> ------据《竺可桢全集》等
>
> （1）根据材料，概括竺可桢对中国科学发展的贡献。（8分）
>
> （2）根据材料并结合所学知识，简析竺可桢取得成就的原因。（7分）
参考答案
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D B C D C A C D A B C
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
D A C D B B D A C A B B
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
C C D A B D B A A B C
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
36.【答案】（1）为玉米主产区，原料丰富；皆为欠发达中小城市，地价便宜，劳动力丰富且价格低。
（2）接近市场，辐射人口多，市场规模大，适合当地消费者需求；运输毛油与运输精炼油成本相近，由精炼油生产到小包装的工艺衔接紧密，产品可快速投放市场，有利于保证产品的新鲜度。
（3）合理交通方式为陆海联运；因为长距离海运费用较低，节约运输成本。相比铁桶运输，使用集装箱液袋运输转运方便，只需单程运输，节约运输费用；液袋可充分利用集装箱的空间，装载量大（具有规模运输优势）。
37．（1）受到印度洋板块向亚欧板块挤压的影响。图示区域处于从青藏高原 （我国地势第一级阶梯）向云贵高原、四川盆地（第二级阶梯）的过渡地带，构造运动活跃。板块（地壳）运动的压力超过这里岩石的承受能力，断裂发育。
（2）断裂沿线岩石破碎，易受流水侵蚀，发育河流。
（3）金矿与断裂空间分布一致。图示区域山高谷深（地壳抬升，河流深切），河谷出露的岩层较多，金矿石出露的概率增大，河流较多，金矿石出露的空间范围增大。
（4）金沙江及其支流两岸出露的金矿石，在外力作用下风化，或崩塌、破碎，随流水进入金沙江。金沙江比降大，水流急，搬运能力强，磨蚀矿石，使矿石进一步破碎。当河流流速减小时，河水挟带的金在河床不断沉积、富集，形成沙金。
38．答：就业是民生之本，保居民就业，居民能取得劳动收入；居民有了收入，能增强消费信心、稳定消费支出，推动生活消费品生产的复工复产；生活消费品生产的复工复产，能促进生产资料生产的复苏；生活消费品生产和生产资料生产的复苏，能促使产业链供应链畅通，进而稳定和扩大需求、促进经济发展。39．答：人民代表大会制度是我国的根本政治制度，中国共产党领导的多党合作和政治协商
制度是我国的一项基本政治制度。一年一度的全国两会是符合我国国情的社会主义民主政治的实现形式。人大代表参加行使国家权力，人大会议按照民主集中制原则，审议通过民法典，保障人民当家作主。在民法典草案讨论中，政协委员共商国是，反映社情民意，建言资政，彰显协商民主独特优势。
40．（1）答：创新意识要求人们关注变化发展着的实际，注意研究新情况，善于提出新问题，敢于寻找新思路，开拓新境界。关注脱贫攻坚的社会需要，坚持创新引领发展；开拓农产品产销新模式，运用新技术开发闲置资源，科技创新促进产业转型升级，打造智能就业与培训平台，为脱贫攻坚作出贡献。
（2）答：理想指引人生，奋斗成就事业。新时代青年要志存高远，确立为国家富强、民族复兴、人民幸福而奋斗的伟大理想；要解放思想、开拓创新，勇做时代的弄潮儿；要脚踏实地、锤炼本领，为推动经济社会发展贡献智慧和力量。
（3）答：开展调查研究，为有关部门乡村振兴决策提供咨询报告。组建宣讲团队，向广大农民宣传乡村振兴战略和政策。发挥知识和技术优势，为乡村经济发展提供智力支持。
41．（1）措施：设立专门机构；建立岁修、抢修制度；改修河道，筑堤束水；修减水坝和减水引河。
效果：取得了一定成就，但未根治水患。
（2）特点：将保证人民生命财产安全放在首位；群众广泛支持、参与；统一领导、统筹规划，地区间的团结合作；水利工程功能更广泛；制定了正确的方针政策。
意义：有效治理了水患；推动了国民经济恢复发展，为现代化建没创造了有利条件；体现了制度优势。
42．答案略
43.降低开发设计难度，利用被仿景点的知名度吸引游客，并配套开发其他旅游项目，创造经济效益，提高投资回报率；风景能够复制，而历史和文化却不能够复制，翻版景点没有"灵魂"，难以实现长期效益；仿建景点耗资较大、引入外来文化等也会对当地旅游资源和原生文化的保护构成损害。\
44.节约治污成本；提高水的循环利用率；实现垃圾的无害化处理和资源化利用；有效减少污染物入河；降低污染物的影响范围和强度（对下游的影响）；改善全流域的环境和城市人居环境。
45．（1）冗兵众多，老弱士兵多；兵不知将，将不知兵；战斗力下降，积贫积弱。
（2）改变了宋军的编制，提高了军队战斗力；减少军费开支，一定程度上缓解了财政压力；未从根本上解决北宋的社会危机。
46．（1）扩展到全球，成立众多反战组织；与反帝、支持民族独立结合；转向反法西斯；采取直接反战行动。
（2）原因：一战的惨痛教训，法西斯对外侵略的威胁，反战和平组织的推动。
作用：广泛传播和平反战呼声；动员人们与法西斯势力进行斗争。
47．（1）培养科学人才；推动中国气象学、地理学的发展；筹建和主持多个科研机构和科学研究项目；将科学成就应用于国家建设。
（2）献身于科学的精神，爱国精神；治学严谨，强调科学实践；国家的支持和建设的需要。
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试**
**（山东卷）文科数学**
**第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，**
**选择一个符合题目要求的选项．**
1．复数的实部是（ ）
A． B． C．3 D．
**【答案】:B【分析】**：将原式，所以复数的实部为2。
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
**【答案】:C【分析】**：求。
3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
**【答案】D【分析】**： 正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D。
4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
**【答案】A【分析】**： 本题看似简单，必须注意到余弦函数是偶函数。注意题中给出的函数不同名，而，故应选A。
5．已知向量，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．4
**【答案】:C【分析】**：，由与垂直可得：
， 。
6．给出下列三个等式：，
．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A． B． C． D．
**【答案】:B【分析】**：依据指、对数函数的性质可以发现A满足，
C满足，而D满足，
B不满足其中任何一个等式.
7．命题"对任意的"的否定是（ ）
A．不存在 B．存在
C．存在 D．对任意的
**【答案】C【分析】**注意两点：（1）全称命题变为特称命题；（2）只对结论进行否定。
8．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介
于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六
组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二
组，成绩大于等于14秒且小于15秒；......第六组，
成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述
分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒
的学生人数占全班人数的百分比为，成绩大于等于
15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方
图中可以分析出和分别为（ ）
A． B．
C． D．
**【答案】 A【分析】**：从频率分布直方图上可以看出，.
9．设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，
与轴正向的夹角为，则为（ ）
A． B． C． D．
**【答案】B【分析】**：**（利用圆锥曲线的第二定义）**
过A 作轴于D，令，
则，，。
10．阅读右边的程序框图，若输入的是100，则输出的
变量和的值依次是（ ）
A．2550，2500
B．2550，2550
C．2500，2500
D．2500，2550
**【答案】A*.*【试题分析】**：依据框图可得，。
11．设函数与的图象的交点为，
则所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
**【答案】B*.*【试题分析】**令，可求得：
。易知函数的零点所在区间为。
12．设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定
> 平面上的一个点，记"点落在直线上"为事件
>
> ，若事件的概率最大，则的所有可能值为（ ）
A．3 B．4 C．2和5 D．3和4
**【答案】D【试题分析】**事件的总事件数为6。只要求出当n=2,3,4,5时
的基本事件个数即可。
当n=2时，落在直线上的点为（1，1）；
当n=3时，落在直线上的点为（1,2）、（2,1）；
当n=4时，落在直线上的点为（1,3）、（2,2）；
当n=5时，落在直线上的点为（2,3）；
显然当n=3,4时，事件的概率最大为。
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上．**
13．设函数则 [ ]{.underline} ．
**【答案】【分析】**：
。
14．函数的图象恒过定点，若点在直线
上，则的最小值为 [ ]{.underline} ．
**【答案】:**4**【分析】**：函数的图象恒过定点，
，，，
**（方法一）**：， .
**（方法二）**：
15．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 [ ]{.underline} ．
**【答案】【分析】**：构造函数：。由于当时，
不等式恒成立。则，即
。解得：。
16．与直线和曲线都相切的
半径最小的圆的标准方程是 [ ]{.underline} ．
**【答案】:.**
**【分析】**：曲线化为，其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为。
**三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，且，求．
解：（1）
又
解得．
，是锐角．
．
（2），，．
又
．
．
．
．
18．（本小题满分12分）
设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，
且构成等差数列．
（1）求数列的等差数列．
（2）令求数列的前项和．
解：（1）由已知得
解得．
设数列的公比为，由，可得．
又，可知，
即，
解得．
由题意得．
．
故数列的通项为．
（2）由于
由（1）得
又
是等差数列．
故．
19．（本小题满分12分）
本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，
由题意得
目标函数为．
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
如图：
作直线，
即．
平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．
联立解得．
点的坐标为．
（元）
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，
最大收益是70万元．
20．（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱中，已知
，．
（1）求证：；
（2）设是上一点，试确定的位置，
使平面，并说明理由．
（1）证明：在直四棱柱中，
连结， ，
四边形是正方形．
．
又，，
平面，
平面，
．
平面，
且，
平面，
又平面，
．
（2）连结，连结，
设，
，连结，
平面平面，
要使平面，
须使，
又是的中点．
是的中点．
又易知，
．
即是的中点．
综上所述，当是的中点时，可使平面．
21．（本小题满分12分）
设函数，其中．
证明：当时，函数没有极值点；当时，
函数有且只有一个极值点，并求出极值．
证明：因为，所以的定义域为．
．
当时，如果在上单调递增；
如果在上单调递减．
所以当，函数没有极值点．
当时，
令，
得（舍去），，
当时，随的变化情况如下表：
-- -- -------- --
0
极小值
-- -- -------- --
从上表可看出，
函数有且只有一个极小值点，极小值为．
当时，随的变化情况如下表：
-- -- -------- --
0
极大值
-- -- -------- --
从上表可看出，
函数有且只有一个极大值点，极大值为．
综上所述，
当时，函数没有极值点；
当时，
若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．
若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．
22．（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以 为直径的图过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
**解：（I）**由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：，，
，，
 椭圆的标准方程为
（Ⅱ）设，，
联立 得，
又，
因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，
，即，
，
，
解得：，，且均满足，
当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点
所以，直线过定点，定点坐标为
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**第七单元测试卷**
一、画一画。绿色圃中小学教育http://www.LSPJY.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com
二、填一填。
1\. 13的个位上是( ),十位上是( )。
2\. 19里面有( )个十和( )个一。1个十和5个一合起来是( )。
3\. 比14多1的数是( ),比14少1的数是( )。
三、算一算。
14+4= 16-5= 9+6= 7+9= 8+3=
4+8= 7+7= 9+8= 15-3= 6+6=
四、在里填上"\>""\<"或"="。 绿色圃中小学教育http://www.LSPJY.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com
1019 4+1115 11-411-5 14-615-6
1920 16-716 15+28+9 8+818
五、在里填上"+"或"-"。
166=10 78=15 1010=20 142=16
95=14 171=16 186=12 183=15
六、想一想,填一填。
七、看图填一填。
1\.
2.一共有几个?
=
八、解决问题。
1\.
 =
2\.
=
3.苹果树和梨树一共有多少棵?
 =
第七单元测试卷
一、
二、1. 3 1 2. 1 9 15 3. 15 13
三、18 11 15 16 11 12 14 17 12 12
四、\< = \> \< \< \< = \<
五、- + + + + - - -
六、 6+6 7+5 8+4 9+3(答案不唯一)
七、1.
2\. 4+7=11或7+4=11
八、1. 8+8=16 2. 6+8=14 3. 7+9=16
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**北师大版小学数学总复习《数与代数》检测试题八（附答案）**
一、小小探索家。（填一填）
1．950084000用"亿"作单位写作( )；用"亿"作单位保留两位小数是( )。
2．3= =（ ）
3．=（ ）= ( )％来源：www.bcjy123.com/tiku/
4．1=( )=( )％
5．把一根长5米的铁丝平均分成8段，每段长是这段铁丝的( )，每段长( )米。
6．一个数是由5个1和3个组成，这个数是( )，它的倒数是( )。
二、慧眼识真伪。(对的打"√"，错的打"×")
1．所有的自然数都有倒数。( )
2．1个0.1和9个的和是1。( )
3．米表示1米的，又表示2米的。( )
4．小数的读法和整数的读法相同。( )
5．0.2和0.200大小相等，表示的意义完全相同。( )
三、连一连。
× 2.1
36×25％
6.3÷3 13
910÷70 9
四、练功房。
1．口算。
×3= 4-=来源：www.bcjy123.com/tiku/
+= 7-0.2=
2．用简便方法计算。
35×99 207×99+207
16÷0.25 69×
五、有问题，我来答。
王师傅要为我国西南干旱地区捐款150元，张师傅捐的钱数是王师傅的1倍，张、王两位师傅共捐款多少元？
六、数学游戏。
把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数分别填入图中的九个圆圈里，使图中形成的5个三角形顶点上的三个数之和都相等。
**参考答案**
一、1.9.50084亿 9.05亿 2.17 4 3.0.75 75
4.1.5 150 5. 6.5
二、1．× 2．√ 3．√ 4．× 5．×
三．· ·
· ·
· ·
· ·
四、1．2 3 1 6.8
2．3465 20700 64 21
五、350元
六、自己填一填。
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第二单元演练
1．轻松填一填。(15分)
(1)如果4*a*＝5*b*(*a*、*b*均不为0)，那么＝。
(2)自然数(0除外)和它的倒数成( )比例。
(3)如果*x*＝*y*，那么*x*和*y*成( )比例。
(4)甲、乙两地相距960千米，在比例尺是1∶6000000的地图上，两地相距( )厘米。
(5)在一张地图上1厘米代表实际距离300千米，这张地图的比例尺是( )。
2．判断题。(15分)
(1)用一定数量的钱买奖品，奖品的单价与数量成反比例。( )
(2)将一个长2毫米的零件画在图纸上长10厘米，这幅图纸的比例尺是1∶50。( )
(3)修一条水渠，每天修的长度和修的天数成反比例。( )
(4)食堂购进煤的总量一定，使用的数量和剩下的数量成反比例。( )
(5)长方形的周长一定，它的长和宽成反比例。( )
3．选择题。(12分)
(1)每块砖的面积一定，用砖的块数和铺地的面积( )。
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
(2)在比例尺是的地图上，2厘米表示实际距离( )。
A．0.2千米 B．2千米 C．20米
(3)把24升水倒入长方体容器里，水的高度和容器底面积( )。
A．成反比例 B．成正比例 C不成比例
(4)将一幅地图上的线段比例尺改成数值比例尺是( )。
A. B. C. D.
4．化简比。(12分)
14∶2.1＝ ∶＝
1．25∶＝ 250克∶千克＝
5．画一画。(8分)
(1)把长方形*ABCD*按比例尺1∶2画在网格里。
(2)把长方形*ABCD*按比例尺2∶1画在网格里。
6．看图回答问题。(21分)
(1)已知*x*和*y*成正比例关系，可以用*y*＝3*x*表示，请填写下表。(5分)
----- --- --- --- --- --- ---- ---- --------
*x* 0 2 4 6 8 10 12 ......
*y* 0 6
----- --- --- --- --- --- ---- ---- --------
(2)把上表中的*x*和*y*所对应的点描在下图中，再顺次连接。(6分)
从图中观察，当*x*＝9时，*y*＝( )。
(3)看图回答问题。(10分)
①小明家到学校的实际距离是750米，图上距离是( )厘米，那么图上1厘米表示实际距离( )米，这个示意图的比例尺是( )。
②小明从学校到商店的图上距离是( )厘米，实际距离是( )米。
7．解决问题。(17分)
(1)妈妈去水果超市买苹果，如果每千克苹果4.5元，可以买4千克，如果每千克苹果5元，妈妈可以买多少千克？(用两种方法解答)(6分)
(2)小红在比例尺是1∶5000000的地图上，量得*A*、*B*两地的距离是3.4厘米，*A*、*B*两地的实际距离是多少千米？(5分)
(3)育才学校足球场的平面示意图如下，它的实际面积是多少平方米？(比例尺：1∶2000)(6分)
8.下图的比例尺是1∶5000，先测量，再求阴影部分的实际面积。(5分)
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**2016年天津市高考数学试卷（文科）**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的**
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={y\|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}
2．（5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣y^2^=1 B．x^2^﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
5．（5分）设x＞0，y∈R，则"x＞y"是"x＞\|y\|"的 （ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2^\|a﹣1\|^）＞f（﹣），则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（，） D．（，+∞）
7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
8．（5分）已知函数f（x）=sin^2^+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（ ）
A．（0，\] B．（0，\]∪\[，1） C．（0，\] D．（0，\]∪\[，\]
**二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分**
9．（5分）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为[ ]{.underline}．
10．（5分）已知函数f（x）=（2x+1）e^x^，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为[ ]{.underline}．
11．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为[ ]{.underline}．
12．（5分）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0，）圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为，则圆C的方程为[ ]{.underline}．
13．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为[ ]{.underline}．
14．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程\|f（x）\|=2﹣恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，80分**
15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA=，求sinC的值．
16．（13分）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
----------- --- --- ----
肥料 原料 A B C
甲 4 8 3
乙 5 5 10
----------- --- --- ----
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
17．（13分）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=，∠BAD=60°，G为BC的中点．
（1）求证：FG∥平面BED；
（2）求证：平面BED⊥平面AED；
（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．
18．（13分）已知{a~n~}是等比数列，前n项和为S~n~（n∈N^\*^），且﹣=，S~6~=63．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N^\*^，b~n~是log~2~a~n~和log~2~a~n+1~的等差中项，求数列{（﹣1）^n^b}的前2n项和．
19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．
20．（14分）设函数f（x）=x^3^﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x~0~，且f（x~1~）=f（x~0~），其中x~1~≠x~0~，求证：x~1~+2x~0~=0；
（3）设a＞0，函数g（x）=\|f（x）\|，求证：g（x）在区间\[﹣1，1\]上的最大值不小于．
**2016年天津市高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的**
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={y\|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}
【分析】根据题意，将集合B用列举法表示出来，可得B={1，3，5}，由交集的定义计算可得答案．
【解答】解：根据题意，集合A={1，2，3}，而B={y\|y=2x﹣1，x∈A}，
则B={1，3，5}，
则A∩B={1，3}，
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，注意集合B的表示方法．
2．（5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．
【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．
∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P=+=．
故选：A．
【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题．
3．（5分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案．
【解答】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为D﹣AD~1~C，
棱CD~1~在左侧面的投影为BA~1~，
故选：B．
【点评】本题考查了棱锥，棱柱的结构特征，三视图，考查空间想象能力，属于基础题．
4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣y^2^=1 B．x^2^﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，求出几何量a，b，c，即可求出双曲线的方程．
【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，
∴c=，
∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，
∴=，
∴a=2b，
∵c^2^=a^2^+b^2^，
∴a=2，b=1，
∴双曲线的方程为=1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键．
5．（5分）设x＞0，y∈R，则"x＞y"是"x＞\|y\|"的 （ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】直接根据必要性和充分判断即可．
【解答】解：设x＞0，y∈R，当x＞0，y=﹣1时，满足x＞y但不满足x＞\|y\|，故由x＞0，y∈R，则"x＞y"推不出"x＞\|y\|"，
而"x＞\|y\|"⇒"x＞y"，
故"x＞y"是"x＞\|y\|"的必要不充分条件，
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2^\|a﹣1\|^）＞f（﹣），则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（，） D．（，+∞）
【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令2^\|a﹣1\|^＜即可．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．
∵2^\|a﹣1\|^＞0，f（﹣）=f（），
∴2^\|a﹣1\|^＜=2．
∴\|a﹣1\|，
解得．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题．
7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．
【解答】解：如图，
∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，
∴•==
==
===
=．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．
8．（5分）已知函数f（x）=sin^2^+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（ ）
A．（0，\] B．（0，\]∪\[，1） C．（0，\] D．（0，\]∪\[，\]
【分析】函数f（x）=，由f（x）=0，可得=0，解得x=∉（π，2π），因此ω∉∪∪∪...=∪，即可得出．
【解答】解：函数f（x）=+sinωx﹣=+sinωx=，
由f（x）=0，可得=0，
解得x=∉（π，2π），
∴ω∉∪∪∪...=∪，
∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，
∴ω∈∪．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
**二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分**
9．（5分）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为[ 1 ]{.underline}．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由（1+i）z=2，
得，
∴z的实部为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
10．（5分）已知函数f（x）=（2x+1）e^x^，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为[ 3 ]{.underline}．
【分析】先求导，再带值计算．
【解答】解：∵f（x）=（2x+1）e^x^，
∴f′（x）=2e^x^+（2x+1）e^x^，
∴f′（0）=2e^0^+（2×0+1）e^0^=2+1=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．
11．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为[ 4 ]{.underline}．
【分析】根据循环结构，结合循环的条件，求出最后输出S的值．
【解答】解：第一次循环：S=8，n=2；
第二次循环：S=2，n=3；
第三次循环：S=4，n=4，
结束循环，输出S=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查程序框图，循环结构，注意循环的条件，属于基础题．
12．（5分）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0，）圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为，则圆C的方程为[ （x﹣2）^2^+y^2^=9 ]{.underline}．
【分析】由题意设出圆的方程，把点M的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解．
【解答】解：由题意设圆的方程为（x﹣a）^2^+y^2^=r^2^（a＞0），
由点M（0，）在圆上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为，
得，解得a=2，r=3．
∴圆C的方程为：（x﹣2）^2^+y^2^=9．
故答案为：（x﹣2）^2^+y^2^=9．
【点评】本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．
13．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由BD=ED，可得△BDE为等腰三角形，过D作DH⊥AB于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE．
【解答】解：如图，
过D作DH⊥AB于H，
∵BE=2AE=2，BD=ED，
∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1，
∴DH^2^=AH•BH=2，则DH=，
在Rt△DHE中，则，
由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题．
14．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程\|f（x）\|=2﹣恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是[ \[]{.underline}[，]{.underline}[） ]{.underline}．
【分析】由减函数可知f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出\|f（x）\|和y=2﹣的图象，根据交点个数判断3a与2的大小关系，列出不等式组解出．
【解答】解：∵f（x）是R上的单调递减函数，
∴y=x^2^+（4a﹣3）x+3a在（﹣∞．，0）上单调递减，y=log~a~（x+1）+1在（0，+∞）上单调递减，
且f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．
∴，解得≤a≤．
作出y=\|f（x）\|和y=2﹣的函数草图如图所示：
由图象可知\|f（x）\|=2﹣在\[0，+∞）上有且只有一解，
∵\|f（x）\|=2﹣恰有两个不相等的实数解，
∴x^2^+（4a﹣3）x+3a=2﹣在（﹣∞，0）上只有1解，
即x^2^+（4a﹣）x+3a﹣2=0在（﹣∞，0）上只有1解，
∴或，
解得a=或a＜，
又≤a≤，∴．
故答案为\[，）．
【点评】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．
**三、解答题：本大题共6小题，80分**
15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA=，求sinC的值．
【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；
（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算．
【解答】解：（1）∵asin2B=bsinA，
∴2sinAsinBcosB=sinBsinA，
∴cosB=，∴B=．
（2）∵cosA=，∴sinA=，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．
【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题．
16．（13分）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
----------- --- --- ----
肥料 原料 A B C
甲 4 8 3
乙 5 5 10
----------- --- --- ----
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
【分析】（Ⅰ）设出变量，建立不等式关系，即可作出可行域．
（Ⅱ）设出目标函数，利用平移直线法进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由已知x，y满足不等式，则不等式对应的平面区域为，
（Ⅱ）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y，即y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象得当直线经过点M时，直线的截距最大，此时z最大，
由得，即M（20，24），
此时z=40+72=112，
即分别生产甲肥料20车皮，乙肥料24车皮，能够产生最大的利润，最大利润为112万元．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件建立约束条件，作出可行域，利用平移法是解决本题的关键．
17．（13分）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=，∠BAD=60°，G为BC的中点．
（1）求证：FG∥平面BED；
（2）求证：平面BED⊥平面AED；
（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．
【分析】（1）利用中位线定理，和平行公理得到四边形OGEF是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）根据余弦定理求出BD=，继而得到BD⊥AD，再根据面面垂直的判定定理即可证明；
（3）先判断出直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案．
【解答】证明：（1）BD的中点为O，连接OE，OG，在△BCD中，
∵G是BC的中点，
∴OG∥DC，且OG=DC=1，
又∵EF∥AB，AB∥DC，
∴EF∥OG，且EF=OG，
即四边形OGEF是平行四边形，
∴FG∥OE，
∵FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，
∴FG∥平面BED；
（2）证明：在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，
由余弦定理可得BD=，仅而∠ADB=90°，
即BD⊥AD，
又∵平面AED⊥平面ABCD，
BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，
∴BD⊥平面AED，
∵BD⊂平面BED，
∴平面BED⊥平面AED．
（Ⅲ）∵EF∥AB，
∴直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，
过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，
又平面BED∩平面AED=ED，
由（2）知AH⊥平面BED，
∴直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，
在△ADE，AD=1，DE=3，AE=，由余弦定理得cos∠ADE=，
∴sin∠ADE=，
∴AH=AD•，
在Rt△AHB中，sin∠ABH==，
∴直线EF与平面BED所成角的正弦值
【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直，平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．
18．（13分）已知{a~n~}是等比数列，前n项和为S~n~（n∈N^\*^），且﹣=，S~6~=63．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N^\*^，b~n~是log~2~a~n~和log~2~a~n+1~的等差中项，求数列{（﹣1）^n^b}的前2n项和．
【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a~1~，得出通项公式；
（2）利用对数的运算性质求出b~n~，使用分项求和法和平方差公式计算．
【解答】解：（1）设{a~n~}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，
解得q=2或q=﹣1．
若q=﹣1，则S~6~=0，与S~6~=63矛盾，不符合题意．∴q=2，
∴S~6~==63，∴a~1~=1．
∴a~n~=2^n﹣1^．
（2）∵b~n~是log~2~a~n~和log~2~a~n+1~的等差中项，
∴b~n~=（log~2~a~n~+log~2~a~n+1~）=（log~2~2^n﹣1^+log~2~2^n^）=n﹣．
∴b~n+1~﹣b~n~=1．
∴{b~n~}是以为首项，以1为公差的等差数列．
设{（﹣1）^n^b~n~^2^}的前2n项和为T~n~，则
T~n~=（﹣b~1~^2^+b~2~^2^）+（﹣b~3~^2^+b~4~^2^）+...+（﹣b~2n﹣1~^2^+b~2n~^2^）
=b~1~+b~2~+b~3~+b~4~...+b~2n﹣1~+b~2n~
==
=2n^2^．
【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题．
19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．
【分析】（1）由题意画出图形，把\|OF\|、\|OA\|、\|FA\|代入+=，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；
（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA=∠MAO，得到x~0~=1，转化为关于k的等式求得k的值．
【解答】解：（1）由+=，
得+=，
即=，
∴a\[a^2^﹣（a^2^﹣3）\]=3a（a^2^﹣3），解得a=2．
∴椭圆方程为；
（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），
设B（x~1~，y~1~），M（x~0~，k（x~0~﹣2）），
∵∠MOA=∠MAO，
∴x~0~=1，
再设H（0，y~H~），
联立，得（3+4k^2^）x^2^﹣16k^2^x+16k^2^﹣12=0．
△=（﹣16k^2^）^2^﹣4（3+4k^2^）（16k^2^﹣12）=144＞0．
由根与系数的关系得，
∴，，
MH所在直线方程为y﹣k（x~0~﹣2）=﹣（x﹣x~0~），
令x=0，得y~H~=（k+）x~0~﹣2k，
∵BF⊥HF，
∴，
即1﹣x~1~+y~1~y~H~=1﹣\[（k+）x~0~﹣2k\]=0，
整理得：=1，即8k^2^=3．
∴k=﹣或k=．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了"整体运算"思想方法和"设而不求"的解题思想方法，考查运算能力，是难题．
20．（14分）设函数f（x）=x^3^﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x~0~，且f（x~1~）=f（x~0~），其中x~1~≠x~0~，求证：x~1~+2x~0~=0；
（3）设a＞0，函数g（x）=\|f（x）\|，求证：g（x）在区间\[﹣1，1\]上的最大值不小于．
【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）由条件判断出a＞0，且x~0~≠0，由f′（x~0~）=0求出x~0~，分别代入解析式化简f（x~0~），f（﹣2x~0~），化简整理后可得证；
（3）设g（x）在区间\[﹣1，1\]上的最大值M，根据极值点与区间的关系对a分三种情况讨论，运用f（x）单调性和前两问的结论，求出g（x）在区间上的取值范围，利用a的范围化简整理后求出M，再利用不等式的性质证明结论成立．
【解答】解：（1）若f（x）=x^3^﹣ax﹣b，则f′（x）=3x^2^﹣a，
分两种情况讨论：
①、当a≤0时，有f′（x）=3x^2^﹣a≥0恒成立，
此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），
②、当a＞0时，令f′（x）=3x^2^﹣a=0，解得x=或x=，
当x＞或x＜﹣时，f′（x）=3x^2^﹣a＞0，f（x）为增函数，
当﹣＜x＜时，f′（x）=3x^2^﹣a＜0，f（x）为减函数，
故f（x）的增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），减区间为（﹣，）；
（2）若f（x）存在极值点x~0~，则必有a＞0，且x~0~≠0，
由题意可得，f′（x）=3x^2^﹣a，则x~0~^2^=，
进而f（x~0~）=x~0~^3^﹣ax~0~﹣b=﹣x~0~﹣b，
又f（﹣2x~0~）=﹣8x~0~^3^+2ax~0~﹣b=﹣x~0~+2ax~0~﹣b=f（x~0~），
由题意及（Ⅰ）可得：存在唯一的实数x~1~，满足f（x~1~）=f（x~0~），其中x~1~≠x~0~，
则有x~1~=﹣2x~0~，故有x~1~+2x~0~=0；
（Ⅲ）设g（x）在区间\[﹣1，1\]上的最大值M，max{x，y}表示x、y两个数的最大值，
下面分三种情况讨论：
①当a≥3时，﹣≤﹣1＜1≤，
由（I）知f（x）在区间\[﹣1，1\]上单调递减，
所以f（x）在区间\[﹣1，1\]上的取值范围是\[f（1），f（﹣1）\]，
因此M=max{\|f（1）\|，\|f（﹣1）\|}=max{\|1﹣a﹣b\|，\|﹣1+a﹣b\|}
=max{\|a﹣1+b\|，\|a﹣1﹣b\|}=，
所以M=a﹣1+\|b\|≥2
②当a＜3时，，
由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）≥=f（），f（1）≤=，
所以f（x）在区间\[﹣1，1\]上的取值范围是\[f（），f（﹣）\]，
因此M=max{\|f（）\|，\|f（﹣）\|}=max{\|\|，\|\|}
=max{\|\|，\|\|}=，
③当0＜a＜时，，
由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）＜=f（），f（1）＞=，
所以f（x）在区间\[﹣1，1\]上的取值范围是\[f（﹣1），f（1）\]，
因此M=max{\|f（﹣1）\|，\|f（1）\|}=max{\|﹣1+a﹣b\|，\|1﹣a﹣b\|}
=max{\|1﹣a+b\|，\|1﹣a﹣b\|}=1﹣a+\|b\|＞，
综上所述，当a＞0时，g（x）在区间\[﹣1，1\]上的最大值不小于．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法在证明中的应用，以及化简整理、运算能力，属于难题．
| 1 | |
**求余问题**
1、78927408被11除的余数是多少？
2、192098被9除的余数是多少？
3、14的25次方倍11除的余数是多
4、493093被25除的余数是多少？
5、8380938被14除的余数是多少？
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**2015年江苏省高考数学试卷**
**一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）**
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为[ ]{.underline}．
2．（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为[ ]{.underline}．
3．（5分）设复数z满足z^2^=3+4i（i是虚数单位），则z的模为[ ]{.underline}．
4．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为[ ]{.underline}．
5．（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为[ ]{.underline}．
6．（5分）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为[ ]{.underline}．
7．（5分）不等式2＜4的解集为[ ]{.underline}．
8．（5分）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为[ ]{.underline}．
9．（5分）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为[ ]{.underline}．
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为[ ]{.underline}．
11．（5分）设数列{a~n~}满足a~1~=1，且a~n+1~﹣a~n~=n+1（n∈N^\*^），则数列{}的前10项的和为[ ]{.underline}．
12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x^2^﹣y^2^=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为[ ]{.underline}．
13．（5分）已知函数f（x）=\|lnx\|，g（x）=，则方程\|f（x）+g（x）\|=1实根的个数为[ ]{.underline}．
14．（5分）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，...，12），则（a~k~•a~k+1~）的值为[ ]{.underline}．
**二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
15．（14分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．
16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，已知AC⊥BC，BC=CC~1~，设AB~1~的中点为D，B~1~C∩BC~1~=E．
求证：
（1）DE∥平面AA~1~C~1~C；
（2）BC~1~⊥AB~1~．
17．（14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l~1~，l~2~，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l~1~，l~2~的距离分别为5千米和40千米，点N到l~1~，l~2~的距离分别为20千米和2.5千米，以l~2~，l~1~在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．
（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．
①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．
19．（16分）已知函数f（x）=x^3^+ax^2^+b（a，b∈R）．
（1）试讨论f（x）的单调性；
（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．
20．（16分）设a~1~，a~2~，a~3~．a~4~是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．
（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；
（2）是否存在a~1~，d，使得a~1~，a~2~^2^，a~3~^3^，a~4~^4^依次构成等比数列？并说明理由；
（3）是否存在a~1~，d及正整数n，k，使得a~1~^n^，a~2~^n+k^，a~3~^n+2k^，a~4~^n+3k^依次构成等比数列？并说明理由．
**三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】**
21．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．
求证：△ABD∽△AEB．
**【选修4-2：矩阵与变换】**
22．（10分）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．
**【选修4-4：坐标系与参数方程】**
23．已知圆C的极坐标方程为ρ^2^+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．
**\[选修4-5：不等式选讲】**
24．解不等式x+\|2x+3\|≥2．
**【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤**
25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．
（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．
26．（10分）已知集合X={1，2，3}，Y~n~={1，2，3，...，n）（n∈N^\*^），设S~n~={（a，b）\|a整除b或b整除a，a∈X，B∈Y~n~}，令f（n）表示集合S~n~所含元素的个数．
（1）写出f（6）的值；
（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．
**2015年江苏省高考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）**
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为[ 5 ]{.underline}．
【分析】求出A∪B，再明确元素个数
【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；
所以A∪B中元素的个数为5；
故答案为：5
【点评】题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题
2．（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为[ 6 ]{.underline}．
【分析】直接求解数据的平均数即可．
【解答】解：数据4，6，5，8，7，6，
那么这组数据的平均数为：=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．
3．（5分）设复数z满足z^2^=3+4i（i是虚数单位），则z的模为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．
【解答】解：复数z满足z^2^=3+4i，
可得\|z\|\|z\|=\|3+4i\|==5，
∴\|z\|=．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．
4．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为[ 7 ]{.underline}．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．
【解答】解：模拟执行程序，可得
S=1，I=1
满足条件I＜8，S=3，I=4
满足条件I＜8，S=5，I=7
满足条件I＜8，S=7，I=10
不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．
5．（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．
【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C~1~、C~2~，则
一次取出2只球，基本事件为AB、AC~1~、AC~2~、BC~1~、BC~2~、C~1~C~2~共6种，
其中2只球的颜色不同的是AB、AC~1~、AC~2~、BC~1~、BC~2~共5种；
所以所求的概率是P=，
故答案为：．
【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．
6．（5分）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为[ ﹣3 ]{.underline}．
【分析】直接利用向量的坐标运算，求解即可．
【解答】解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）
可得，解得m=2，n=5，
∴m﹣n=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．
7．（5分）不等式2＜4的解集为[ （﹣1，2） ]{.underline}．
【分析】利用指数函数的单调性转化为x^2^﹣x＜2，求解即可．
【解答】解；∵2＜4，
∴x^2^﹣x＜2，
即x^2^﹣x﹣2＜0，
解得：﹣1＜x＜2
故答案为：（﹣1，2）
【点评】本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．
8．（5分）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为[ 3 ]{.underline}．
【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可．
【解答】解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，
可知tan（α+β）==，
即=，
解得tanβ=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．
9．（5分）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．
【解答】解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．
设新圆锥和圆柱的底面半径为r，
则新圆锥和圆柱的体积和为：．
∴，解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为[ （x﹣1）^2^+y^2^=2 ]{.underline}．
【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．
【解答】解：圆心到直线的距离d==≤，
∴m=1时，圆的半径最大为，
∴所求圆的标准方程为（x﹣1）^2^+y^2^=2．
故答案为：（x﹣1）^2^+y^2^=2．
【点评】本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．
11．（5分）设数列{a~n~}满足a~1~=1，且a~n+1~﹣a~n~=n+1（n∈N^\*^），则数列{}的前10项的和为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】数列{a~n~}满足a~1~=1，且a~n+1~﹣a~n~=n+1（n∈N^\*^），利用"累加求和"可得a~n~=．再利用"裂项求和"即可得出．
【解答】解：∵数列{a~n~}满足a~1~=1，且a~n+1~﹣a~n~=n+1（n∈N^\*^），
∴当n≥2时，a~n~=（a~n~﹣a~n﹣1~）+...+（a~2~﹣a~1~）+a~1~=n+...+2+1=．
当n=1时，上式也成立，
∴a~n~=．
∴=2．
∴数列{}的前n项的和S~n~=
=
=．
∴数列{}的前10项的和为．
故答案为：．
【点评】本题考查了数列的"累加求和"方法、"裂项求和"方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x^2^﹣y^2^=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】双曲线x^2^﹣y^2^=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．
【解答】解：由题意，双曲线x^2^﹣y^2^=1的渐近线方程为x±y=0，
因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，
所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
13．（5分）已知函数f（x）=\|lnx\|，g（x）=，则方程\|f（x）+g（x）\|=1实根的个数为[ 4 ]{.underline}．
【分析】：由\|f（x）+g（x）\|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．
【解答】解：由\|f（x）+g（x）\|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．
g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有2个交点
g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；
所以方程\|f（x）+g（x）\|=1实根的个数为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查求方程\|f（x）+g（x）\|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
14．（5分）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，...，12），则（a~k~•a~k+1~）的值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．
【解答】解：=+
=++++
=++
=++，
∴（a~k~•a~k+1~）=+++++++...+++++++...+
=+0+0
=．
故答案为：9．
【点评】本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
**二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
15．（14分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．
【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可．
（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．
【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC^2^=AB^2^+AC^2^﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，
所以BC=．
（2）由正弦定理可得：，则sinC===，
∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，
∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC===．
因此sin2C=2sinCcosC=2×=．
【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．
16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，已知AC⊥BC，BC=CC~1~，设AB~1~的中点为D，B~1~C∩BC~1~=E．
求证：
（1）DE∥平面AA~1~C~1~C；
（2）BC~1~⊥AB~1~．
【分析】（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA~1~C~1~C；
（2）【方法一】先由直三棱柱得出CC~1~⊥平面ABC，即证AC⊥CC~1~；
再证明AC⊥平面BCC~1~B~1~，即证BC~1~⊥AC；
最后证明BC~1~⊥平面B~1~AC，即可证出BC~1~⊥AB~1~．
【方法二】建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明异面直线垂直．
【解答】证明：（1）如图所示，
由据题意得，
E为B~1~C的中点，D为AB~1~的中点，所以DE∥AC；
又因为DE⊄平面AA~1~C~1~C，AC⊂平面AA~1~C~1~C，
所以DE∥平面AA~1~C~1~C；
（2）【方法一】因为棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~是直三棱柱，
所以CC~1~⊥平面ABC，
因为AC⊂平面ABC，
所以AC⊥CC~1~；
又因为AC⊥BC，
CC~1~⊂平面BCC~1~B~1~，
BC⊂平面BCC~1~B~1~，
BC∩CC~1~=C，
所以AC⊥平面BCC~1~B~1~；
又因为BC~1~⊂平面BCC~1~B~1~，
所以BC~1~⊥AC；
因为BC=CC~1~，所以矩形BCC~1~B~1~是正方形，
所以BC~1~⊥平面B~1~AC；
又因为AB~1~⊂平面B~1~AC，
所以BC~1~⊥AB~1~．
【方法二】根据题意，A~1~C~1~⊥B~1~C~1~，CC~1~⊥平面A~1~B~1~C~1~，
以C~1~为原点建立空间直角座标系，
C~1~A~1~为x轴，C~1~B~1~为y轴，C~1~C为z轴，如图所示；
设BC=CC~1~=a，AC=b，
则A（b，0，a），B~1~（0，a，0），B（0，a，a），C~1~（0，0，0）；
∴=（﹣b，a，﹣a），=（0，﹣a，﹣a），
∴•=﹣b×0+a×（﹣a）﹣a×（﹣a）=0，
∴⊥，
即AB~1~⊥BC~1~．
【点评】本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题．
17．（14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l~1~，l~2~，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l~1~，l~2~的距离分别为5千米和40千米，点N到l~1~，l~2~的距离分别为20千米和2.5千米，以l~2~，l~1~在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．
（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．
①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
【分析】（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；
（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．
【解答】解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），
将其分别代入y=，得，
解得，
（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），
∴y′=﹣，
∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）
设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），
∴f（t）==，t∈\[5，20\]；
②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，
t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，
从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，
∴g（t）~min~=300，
∴f（t）~min~=15，
答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．
18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．
【分析】（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．
【解答】解：（1）由题意可得，e==，
且c+=3，解得c=1，a=，
则b=1，即有椭圆方程为+y^2^=1；
（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；
当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k^2^）x^2^﹣4k^2^x+2（k^2^﹣1）=0，
则x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=，
则C（，），且\|AB\|=•=，
若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；
则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），
从而\|PC\|=，
由\|PC\|=2\|AB\|，可得=，解得k=±1，
此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．
19．（16分）已知函数f（x）=x^3^+ax^2^+b（a，b∈R）．
（1）试讨论f（x）的单调性；
（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．
【分析】（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；
（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．
【解答】解：（1）∵f（x）=x^3^+ax^2^+b，
∴f′（x）=3x^2^+2ax，
令f′（x）=0，可得x=0或﹣．
a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；
a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；
（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，
则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）＞0，且f（﹣）＜0，
∴b＞0且+b＜0，
∵b=c﹣a，
∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．
设g（a）=﹣a+c，
∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），
∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，
∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，
∴c=1，
此时f（x）=x^3^+ax^2^+1﹣a=（x+1）\[x^2^+（a﹣1）x+1﹣a\]，
∵函数有三个零点，
∴x^2^+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，
∴△=（a﹣1）^2^﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）^2^﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，
解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），
综上c=1．
【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．
20．（16分）设a~1~，a~2~，a~3~．a~4~是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．
（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；
（2）是否存在a~1~，d，使得a~1~，a~2~^2^，a~3~^3^，a~4~^4^依次构成等比数列？并说明理由；
（3）是否存在a~1~，d及正整数n，k，使得a~1~^n^，a~2~^n+k^，a~3~^n+2k^，a~4~^n+3k^依次构成等比数列？并说明理由．
【分析】（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；
（2）利用反证法，假设存在a~1~，d使得a~1~，a~2~^2^，a~3~^3^，a~4~^4^依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；
（3）利用反证法，假设存在a~1~，d及正整数n，k，使得a~1~^n^，a~2~^n+k^，a~3~^n+2k^，a~4~^n+3k^依次构成等比数列，得到a~1~^n^（a~1~+2d）^n+2k^=（a~1~+d）^2（n+k）^，且（a~1~+d）^n+k^（a~1~+3d）^n+3k^=（a~1~+2d）^2（n+2k）^，利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（\*\*），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．
【解答】解：（1）证明：∵==2^d^，（n=1，2，3，）是同一个常数，
∴2，2，2，2依次构成等比数列；
（2）令a~1~+d=a，则a~1~，a~2~，a~3~，a~4~分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）
假设存在a~1~，d使得a~1~，a~2~^2^，a~3~^3^，a~4~^4^依次构成等比数列，
则a^4^=（a﹣d）（a+d）^3^，且（a+d）^6^=a^2^（a+2d）^4^，
令t=，则1=（1﹣t）（1+t）^3^，且（1+t）^6^=（1+2t）^4^，（﹣＜t＜1，t≠0），
化简得t^3^+2t^2^﹣2=0（\*），且t^2^=t+1，将t^2^=t+1代入（\*）式，
t（t+1）+2（t+1）﹣2=t^2^+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，
显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在a~1~，d，使得a~1~，a~2~^2^，a~3~^3^，a~4~^4^依次构成等比数列．
（3）假设存在a~1~，d及正整数n，k，使得a~1~^n^，a~2~^n+k^，a~3~^n+2k^，a~4~^n+3k^依次构成等比数列，
则a~1~^n^（a~1~+2d）^n+2k^=（a~1~+d）^2（n+k）^，且（a~1~+d）^n+k^（a~1~+3d）^n+3k^=（a~1~+2d）^2（n+2k）^，
分别在两个等式的两边同除以a~1~^2（n+k）^，a~1~^2（n+2k）^，并令t=，（t＞，t≠0），
则（1+2t）^n+2k^=（1+t）^2（n+k）^，且（1+t）^n+k^（1+3t）^n+3k^=（1+2t）^2（n+2k）^，
将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），
且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），
化简得，2k\[ln（1+2t）﹣ln（1+t）\]=n\[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）\]，
且3k\[ln（1+3t）﹣ln（1+t）\]=n\[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）\]，
再将这两式相除，化简得，
ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（\*\*）
令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），
则g′（t）=\[（1+3t）^2^ln（1+3t）﹣3（1+2t）^2^ln（1+2t）+3（1+t）^2^ln（1+t）\]，
令φ（t）=（1+3t）^2^ln（1+3t）﹣3（1+2t）^2^ln（1+2t）+3（1+t）^2^ln（1+t），
则φ′（t）=6\[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）\]，
令φ~1~（t）=φ′（t），则φ~1~′（t）=6\[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）\]，
令φ~2~（t）=φ~1~′（t），则φ~2~′（t）=＞0，
由g（0）=φ（0）=φ~1~（0）=φ~2~（0）=0，φ~2~′（t）＞0，
知g（t），φ（t），φ~1~（t），φ~2~（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，
故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（\*\*）只有唯一解t=0，故假设不成立，
所以不存在a~1~，d及正整数n，k，使得a~1~^n^，a~2~^n+k^，a~3~^n+2k^，a~4~^n+3k^依次构成等比数列．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．
**三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】**
21．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．
求证：△ABD∽△AEB．
【分析】直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．
【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，
可知：△ABD∽△AEB．
【点评】本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．
**【选修4-2：矩阵与变换】**
22．（10分）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．
【分析】利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．
【解答】解：由已知，可得A=﹣2，即 ==，
则，即，
∴矩阵A=，
从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），
∴矩阵A的另一个特征值为1．
【点评】本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．
**【选修4-4：坐标系与参数方程】**
23．已知圆C的极坐标方程为ρ^2^+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．
【分析】先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．
【解答】解：圆的极坐标方程为ρ^2^+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ^2^﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，
化为直角坐标方程为x^2^+y^2^﹣2x+2y﹣4=0，
化为标准方程为（x﹣1）^2^+（y+1）^2^=6，
圆的半径r=．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，
**\[选修4-5：不等式选讲】**
24．解不等式x+\|2x+3\|≥2．
【分析】思路1（公式法）：利用\|f（x）\|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；
思路2（零点分段法）：对x的值分"x≥""x＜"进行讨论求解．
【解答】解法1：x+\|2x+3\|≥2变形为\|2x+3\|≥2﹣x，
得2x+3≥2﹣x，或2x+3≤﹣（2﹣x），
即x≥，或x≤﹣5，
即原不等式的解集为{x\|x≥，或x≤﹣5}．
解法2：令\|2x+3\|=0，得x=．
①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，
所以x≥；
②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，
所以x≤﹣5．
综上，原不等式的解集为{x\|x≥，或x≤﹣5}．
【点评】本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：\|f（x）\|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；\|f（x）\|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．
**【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤**
25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．
（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．
【分析】以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．
（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；
（2）利用换元法可得cos^2^＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．
【解答】解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，
由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，
∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），
设平面PCD的法向量为=（x，y，z），
由，得，
取y=1，得=（1，1，1），
∴cos＜，＞==，
∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；
（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），
又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），
又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，
设1+2λ=t，t∈\[1，3\]，
则cos^2^＜，＞==≤，
当且仅当t=，即λ=时，\|cos＜，＞\|的最大值为，
因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．
又∵BP==，∴BQ=BP=．
【点评】本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
26．（10分）已知集合X={1，2，3}，Y~n~={1，2，3，...，n）（n∈N^\*^），设S~n~={（a，b）\|a整除b或b整除a，a∈X，B∈Y~n~}，令f（n）表示集合S~n~所含元素的个数．
（1）写出f（6）的值；
（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．
【分析】（1）f（6）=6+2++=13；
（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．
【解答】解：（1）f（6）=6+2++=13；
（2）当n≥6时，f（n）=．
下面用数学归纳法证明：
①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；
②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S~k+1~在S~k~的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：
1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；
2）若k+1=6t+1，则k=6t，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；
3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；
4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；
5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；
6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．
综上所述，结论f（n）=n+\[\]+\[\]+2，对满足n≥6的自然数n均成立．
【点评】本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．
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**小学五年级上册数学奥数知识点讲解第5课《奇数与偶数及奇偶性的应用》试题附答案**
**答案**
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五年级奥数上册：第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用 习题解答
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2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科综合能力测试 化学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Mg 24 S 32 Fe 56 Cu 64
一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。共78分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
> 7．宋代《千里江山图》描绘了山清水秀的美丽景色，历经千年色彩依然，其中绿色来自孔雀石颜料（主要成分为Cu(OH)~2~·CuCO~3~），青色来自蓝铜矿颜料（主要成分为Cu(OH)~2~·2CuCO~3~）。下列说法错误的是
>
> A．保存《千里江山图》需控制温度和湿度
>
> B．孔雀石、蓝铜矿颜料不易被空气氧化
>
> C．孔雀石、蓝铜矿颜料耐酸耐碱
>
> D．Cu(OH)~2~·CuCO~3~中铜的质量分数高于Cu(OH)~2~·2CuCO~3~
8．金丝桃苷是从中药材中提取的一种具有抗病毒作用的黄酮类化合物，结构式如下：
> 下列关于金丝桃苷的叙述，错误的是
>
> A．可与氢气发生加成反应 B．分子含21个碳原子
>
> C．能与乙酸发生酯化反应 D．不能与金属钠反应
9．*N*~A~是阿伏加德罗常数的值。下列说法正确的是
> A．22.4 L（标准状况）氮气中含有7*N*~A~个中子
>
> B．1 mol重水比1 mol水多*N*~A~个质子
>
> C．12 g石墨烯和12 g金刚石均含有*N*~A~个碳原子
>
> D．1 L 1 mol·L^−1^ NaCl溶液含有28*N*~A~个电子
10．喷泉实验装置如图所示。应用下列各组气体---溶液，能出现喷泉现象的是
----- ------- ------------------
气体 溶液
A． H~2~S 稀盐酸
B． HCl 稀氨水
C． NO 稀H~2~SO~4~
D． CO~2~ 饱和NaHCO~3~溶液
----- ------- ------------------
11．对于下列实验，能正确描述其反应的离子方程式是
> A．用Na~2~SO~3~溶液吸收少量Cl~2~：3+Cl~2~+H~2~O = 2+2+
>
> B．向CaCl~2~溶液中通入CO~2~：Ca^2+^+H~2~O+CO~2~=CaCO~3~↓+2H^+^
>
> C．向H~2~O~2~溶液中滴加少量FeCl~3~：2Fe^3+^ +H~2~O~2~=O~2~↑+2H^+^+2Fe^2+^
>
> D．同浓度同体积NH~4~HSO~4~溶液与NaOH溶液混合：+OH^－^=NH~3~·H~2~O
12．一种高性能的碱性硼化钒（VB~2~）---空气电池如下图所示，其中在VB~2~电极发生反应：
> 该电池工作时，下列说法错误的是
>
> 
>
> A．负载通过0.04 mol电子时，有0.224 L（标准状况）O~2~参与反应
>
> B．正极区溶液的pH降低、负极区溶液的pH升高
>
> C．电池总反应为
>
> D．电流由复合碳电极经负载、VB~2~电极、KOH溶液回到复合碳电极
13．W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期元素，四种元素的核外电子总数满足X+Y=W+Z；化合物XW~3~与WZ相遇会产生白烟。下列叙述正确的是
> A．非金属性：W\> X\>Y\> Z B．原子半径：Z\>Y\>X\>W
>
> C．元素X的含氧酸均为强酸 D．Y的氧化物水化物为强碱
三、非选择题：共174分，第22\~32题为必考题，每个试题考生都必须作答。第33\~38题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共129分。
26．（14分）
氯可形成多种含氧酸盐，广泛应用于杀菌、消毒及化工领域。实验室中利用下图装置（部分装置省略）制备KClO~3~和NaClO，探究其氧化还原性质。
回答下列问题：
（1）盛放MnO~2~粉末的仪器名称是 [ ]{.underline} ，a中的试剂为 [ ]{.underline} 。
（2）b中采用的加热方式是 [ ]{.underline} ，c中化学反应的离子方程式是 [ ]{.underline} ，采用冰水浴冷却的目的是 [ ]{.underline} 。
（3）d的作用是 [ ]{.underline} ，可选用试剂 [ ]{.underline} （填标号）。
A．Na~2~S B．NaCl C．Ca(OH)~2~ D．H~2~SO~4~
（4）反应结束后，取出b中试管，经冷却结晶， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ，干燥，得到KClO~3~晶体。
（5）取少量KClO~3~和NaClO溶液分别置于1号和2号试管中，滴加中性KI溶液。1号试管溶液颜色不变。2号试管溶液变为棕色，加入CCl~4~振荡，静置后CCl~4~层显\_\_\_\_色。可知该条件下KClO~3~的氧化能力\_\_\_\_NaClO(填"大于"或"小于\")。
27．（15分）
某油脂厂废弃的油脂加氢镍催化剂主要含金属Ni、Al、Fe及其氧化物，还有少量其他不溶性物质。采用如下工艺流程回收其中的镍制备硫酸镍晶体（NiSO~4~·7H~2~O）：
溶液中金属离子开始沉淀和完全沉淀的pH如下表所示：
+--------------------------------------------+--------+--------+--------+--------+
| 金属离子 | Ni^2+^ | Al^3+^ | Fe^3+^ | Fe^2+^ |
+--------------------------------------------+--------+--------+--------+--------+
| 开始沉淀时（*c*=0.01 mol·L^−1^）的pH | 7.2 | 3.7 | 2.2 | 7.5 |
| | | | | |
| 沉淀完全时（*c*=1.0×10^−5^ mol·L^−1^）的pH | 8.7 | 4.7 | 3.2 | 9.0 |
+--------------------------------------------+--------+--------+--------+--------+
回答下列问题：
（1）"碱浸"中NaOH的两个作用分别是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。为回收金属，用稀硫酸将"滤液①"调为中性，生成沉淀。写出该反应的离子方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）"滤液②"中含有的金属离子是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）"转化"中可替代H~2~O~2~的物质是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。若工艺流程改为先"调pH"后"转化"，即，"滤液③"中可能含有的杂质离子为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）利用上述表格数据，计算Ni(OH)~2~的*K*~sp~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（列出计算式）。如果"转化"后的溶液中Ni^2+^浓度为1.0 mol·L^−1^，则"调pH"应控制的pH范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（5）硫酸镍在强碱溶液中用NaClO氧化，可沉淀出能用作镍镉电池正极材料的NiOOH。写出该反应的离子方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（6）将分离出硫酸镍晶体后的母液收集、循环使用，其意义是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
28．（14分）
二氧化碳催化加氢合成乙烯是综合利用CO~2~的热点研究领域。回答下列问题：
（1）CO~2~催化加氢生成乙烯和水的反应中，产物的物质的量之比*n*(C~2~H~4~)∶*n*(H~2~O)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。当反应达到平衡时，若增大压强，则*n*(C~2~H~4~)\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填"变大""变小"或"不变")。
（2）理论计算表明，原料初始组成*n*(CO~2~)∶*n*(H~2~)=1∶3，在体系压强为0.1MPa，反应达到平衡时，四种组分的物质的量分数*x*随温度*T*的变化如图所示。
图中，表示C~2~H~4~、CO~2~变化的曲线分别是\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_。CO~2~催化加氢合成C~2~H~4~反应的Δ*H*\_\_\_\_\_\_0(填"大于"或"小于")。
（3）根据图中点A(440K，0.39)，计算该温度时反应的平衡常数*K*~p~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_(MPa)^−3^(列出计算式。以分压表示，分压=总压×物质的量分数)。
（4）二氧化碳催化加氢合成乙烯反应往往伴随副反应，生成C~3~H~6~、C~3~H~8~、C~4~H~8~等低碳烃。一定温度和压强条件下，为了提高反应速率和乙烯选择性，应当\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
**（二）选考题：共45分。请考生从2道物理题、2道化学题、2道生物题中每科任选一题作答。如果多做，则每科按所做的第一题计分。**
35．［化学------选修3：物质结构与性质］（15分）
氨硼烷（NH~3~BH~3~）含氢量高、热稳定性好，是一种具有潜力的固体储氢材料。回答下列问题：
（1）H、B、N中，原子半径最大的是\_\_\_\_\_\_。根据对角线规则，B的一些化学性质与元素\_\_\_\_\_\_的相似。
（2）NH~3~BH~3~分子中，N---B化学键称为\_\_\_\_键，其电子对由\_\_\_\_提供。氨硼烷在催化剂作用下水解释放氢气：
3NH~3~BH~3~+6H~2~O=3NH~3~++9H~2~
的结构为。在该反应中，B原子的杂化轨道类型由\_\_\_\_\_\_变为\_\_\_\_\_\_。
（3）NH~3~BH~3~分子中，与N原子相连的H呈正电性（H^δ+^），与B原子相连的H呈负电性（H^δ-^），电负性大小顺序是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。与NH~3~BH~3~原子总数相等的等电子体是\_\_\_\_\_\_\_\_\_（写分子式），其熔点比NH~3~BH~3~\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填"高"或"低"），原因是在NH~3~BH~3~分子之间，存在\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，也称"双氢键"。
（4）研究发现，氦硼烷在低温高压条件下为正交晶系结构，晶胞参数分别为*a* pm、*b* pm、*c* pm，*α*=*β*=*γ*=90°。氨硼烷的2×2×2超晶胞结构如图所示。
氨硼烷晶体的密度*ρ*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ g·cm^−3^（列出计算式，设*N*~A~为阿伏加德罗常数的值）。
36．\[化学------选修5：有机化学基础\]（15分）
苯基环丁烯酮（ PCBO）是一种十分活泼的反应物，可利用它的开环反应合成一系列多官能团化合物。近期我国科学家报道用PCBO与醛或酮发生\[4+2\]环加成反应，合成了具有生物活性的多官能团化合物（E），部分合成路线如下：
已知如下信息：
回答下列问题：
（1）A的化学名称是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）B的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）由C生成D所用的试别和反应条件为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；该步反应中，若反应温度过高，C易发生脱羧反应，生成分子式为C~8~H~8~O~2~的副产物，该副产物的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）写出化合物E中含氧官能团的名称\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；E中手性碳（注：连有四个不同的原子或基团的碳）的个数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（5）M为C的一种同分异构体。已知：1 mol M与饱和碳酸氢钠溶液充分反应能放出2 mol二氧化碳；M与酸性高锰酸钾溶液反应生成对苯二甲酸。M的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（6）对于，选用不同的取代基R\'，在催化剂作用下与PCBO发生的\[4+2\]反应进行深入研究，R\'对产率的影响见下表：
-------- ---------- ------------- -----------------------
R\' ---CH~3~ ---C~2~H~5~ ---CH~2~CH~2~C~6~H~5~
产率/% 91 80 63
-------- ---------- ------------- -----------------------
请找出规律，并解释原因\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科综合 化学参考答案
7．C 8．D 9．C 10．B 11．A 12．B 13．D
26．（14分）（1）圆底烧瓶 饱和食盐水
（2）水浴加热 Cl~2~+2OH^−^=ClO^−^+Cl^−^+H~2~O 避免生成NaClO~3~
（3）吸收尾气（Cl~2~） AC
（4）过滤 少量（冷）水洗涤
（5）紫 小于
27．（15分）
> （1）除去油脂，溶解铝及其氧化物 +H^+^=Al(OH)~3~↓+H~2~O
>
> （2）Ni^2+^、Fe^2+^、Fe^3+^
>
> （3）O~2~或空气 Fe^3+^
>
> （4）0.01×(10^7.2−14^)^2^\[或10^−5^×(10^8.7−14^)^2^\] 3.2\~6.2
>
> （5）2Ni^2+^+ClO^−^+4OH^−^=2NiOOH↓+ Cl^−^+H~2~O
>
> （6）提高镍回收率
28．（14分）
> （1）1∶4 变大
>
> （2）d c 小于
>
> （3）或等
>
> （4）选择合适催化剂等
35．（15分）
> （1）B Si（硅）
>
> （2）配位 N sp^3^ sp^2^
>
> （3）N＞H＞B CH~3~CH~3~ 低 H^δ+^与H^δ−^的静电引力
>
> （4）
36．（15分）
> （1）2−羟基苯甲醛（水杨醛）
>
> （2）
>
> （3）乙醇、浓硫酸/加热 
>
> （4）羟基、酯基 2
>
> （5）
>
> （6）随着R\'体积增大，产率降低；原因是R\'体积增大，位阻增大
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参考答案
1. 选择题
1．B 2．D 3．C 4．A 5．D 6．B 7．C 8．A 9．C 10．C
2. 填空题
11．（1）1 （2） （3） -1 12．（1）3（2）1（3）1.6 13．126°42′32″ 14．2n+1 15．12 16．PA^2^+PB^2^=2PC^2^ 17．7
三、解答题
18．*x* =6
19．270m
20．（1）
（2）m≥-2 数轴略
21．（1）P=
（2）P=
22．证明：连接AD、BC，∠A=∠C,∠B=∠D,∴△APD∽△CPB, ∴PA·PB=PC·PD,又∵PC^2^=PB·PA, ∴PC^2=^ PC·PD, ∴PC=PD, 又∵⊙*O*的直径AB交弦（不是直径）CD于点P, ∴AB⊥CD
23．（1）100人
（2）阅读30人，上网10人
（3）2000人
24．（1）A、B型服装的单价分别是800元、1000元；
（2）该专卖店至少需要准备47000元货款
25．（1）证明:略
（2）2:3
26．（1）*y= -x^2^+5x+6*
（2）点P的坐标（2，12）（2，-4）
（3）点Q的坐标（0，12）（0，-4）（0，）（0，）
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）**
**理综试卷**
**第Ⅰ卷**
本卷共21小题，每小题6分，共126分。
可能用到的相对原子质量（原子量）：H 1 C 12 N 14 O 16 Fe 56 Cu 64
**一、选择题（本题包括13小题。每小题只有一个选项符合题意）．**
1．下列关于人和高等动物机体代谢及调节的相关叙述，正确的是
A．多余的糖可以转化为非必需氨基酸，而多余的氨基酸可以贮存
B．脂肪和蛋白质的分解代谢强度受糖类分解代谢强度的制约
C．肾上腺素的分泌受下丘脑直接控制，与血糖浓度无关
D．胰高血糖素促进肝脏和肌肉细胞的糖原分解为葡萄糖
2．下列关于生物膜的叙述，不正确的是
A．细胞完成分化以后，其细胞膜的通透性稳定不变
B．膜的流动性是细胞生物膜相互转化的基础
C．特异性免疫系统通过细胞膜表面的分子识别"自己"和"非己"
D．分泌蛋白合成越旺盛的细胞，其高尔基体膜成分的更新速度越快
3．在社会主义新农村建设中，四川某地通过新建沼气池和植树造林，构建了新型农业生态系统（如图所示）。下列有关叙述不正确的是
A．该生态系统中，处于第二营养级的生物有人和家禽家畜
B．该生态系统中，人的作用非常关键，植物是主要成分
C．该生态系统的建立，提高了各营养级间的能量传递效率
D．沼气池的建造和植树造林，提高了该生态系统的稳定性
4．水稻是我国主要的粮食作物之一。下列有关水稻生命活动的叙述，正确的是
A．对水稻进行根瘤菌拌种，有利于水稻对N2的利用
B．水稻叶片的维管束鞘细胞中含有叶绿体，能固定二氧化碳并形成淀粉
C．硅元素能在水稻体内大量积累，该事实说明硅是水稻必需的大量元素
D．尽管水稻生长在水生环境中，其吸水的主要动力仍是蒸腾拉力
5．在细菌的连续培养过程中，要以一定速度不断添加新的培养基，同时以同样速度放出老的培养基。下图表示培养基的稀释率（培养基的更新速率）与培养容器中营养物质浓度、细菌代时（细菌数目增加一倍所需的时间）、细菌密度的关系。下列相关叙述不正确的是
A．在稀释率很低的情况下，稀释率的增加会导致细菌密度增加
B．稀释率从a到b的变化过程中，细菌生长速率不断提高
C．稀释率超过b点后，营养物质浓度过高导致细菌死亡率增大，细菌密度降低
D．为持续高效地获得发酵产品，应将稀释率控制在b点附近
6．下列家庭验中不涉及化学变化的是
A．用熟苹果催熟青香蕉 B．用少量食醋除去水壶中的水垢
C．用糯米、酒曲和水制甜酒酿
D．用鸡蛋壳膜和蒸馏水除去淀粉胶体中的食盐
7．N~A~代表阿伏加德罗常数，下列说法正确的是
A．标准状况下，22.4LCHCl~3~中含有氯原子数目为3N~A~
B．7gC~n~H~2n~中含有的氢原子数目为N~A~
C．18 g D~2~O中含有的质子数目为10N~A~
D．1 L0.5mol/LNa~2~CO~3~ 溶液中含有的CO~3~^2－^数目为0.5N~A~
8．下列反应的离子方程式书写正确的是
A．浓烧减溶液中加入铝片：Al + 2OH^－^＝AlO~2~^－^+H~2~↑
B．以石墨作电极电解氯化铝溶液：2Cl^－^+2H~2~O 2OH^－^+H2↑+Cl~2~↑
C．硫酸亚铁溶液与稀硫酸、双氧水混合：2Fe^2+^+H~2~O~2~ +2H^+^＝2Fe^3+^+2H~2~O
D．硫酸氢钠溶液与足量氢氧化钡溶液混合：2H^+^+SO~4~^2－^+Ba^2+^+2OH^－^＝BaSO~4~↓+2H~2~O
9．短周期元素W、X、Y、Z 的原子序数依次增大，W与Y、X与Z 位于同一主族．W 与X 可形成共价化合物WX~2~．Y原子的内层电子总数是其最外层电子数的2.5倍。下列叙述中不正确的是
A．WX~2~分子中所有原子最外层都为8 电子结构
B．WX~2~、ZX~2~的化学键类型和晶体类型都相同
C．WX~2~是以极性键结合成的非极性分子
D．原子半径大小顺序为X \<W＜Y＜Z
10．足量铜与一定量浓硝酸反应，得到硝酸铜溶液和NO~2~、N~2~O~4~、NO 的混合气体，这些气体与1.68LO~2~（标准状况）混合后通入水中，所有气体完全被水吸收生成硝酸。若向所得硝酸铜溶液中加入5mol/LNaOH溶液至Cu^2+^恰好完全沉淀，则消耗NaOH溶液的体积是
A．60mL B．45mL C．30mL D．15mL
11．在25℃时将pH＝11的NaOH 溶液与pH＝3的CH~3~COOH溶掖等体积混合后，下列关系式中正确的是
A．c（Na^+^）==c（CH~3~COO^－^）+c（CH~3~COOH）
B．c（H^+^）==c（CH~3~COO^－^）+c（OH^一^）
C．c（Na^+^） \> c（CH~3~COO^－^）\>c（OH^－^）\>c（H^+^）
D．c（CH~3~COO^－^）\>c（Na^+^）\>c（H^+^）\>c（OH^－^）
12．咖啡鞣酸具有较广泛的抗菌作用，其结构简式如下所示：
关于咖啡鞣酸的下列说法不正确的是
A．分子式为C~16~H~18~O~9~
B．与苯环直接相连的原子都在同一平面上
C．1mol咖啡鞣酸水解时可消耗8molNaOH
D．与浓溴水既能发生取代反应又能发生加成反应
13．向某密闭容器中充入1molCO和2molH~2~O（g），发生反应：CO+H~2~O （g） CO~2~ +H~2~。
当反应达到平衡时，CO的体积分数为x。若维持容器的体积和温度不变，起始物质按下列四种配比充入该容器中，达到平衡时CO的体积分数大于x的是
A．0.5molCO+2molH~2~O（g）+1molCO~2~+1molH~2~
B．1molCO+1molH~2~O（g）+1molCO~2~+1molH~2~
C．0.5molCO+1.5molH~2~O（g）+0.4molCO~2~+0.4molH~2~
D．0.5molCO+1.5molH~2~O（g）+0.5molCO~2~+0.5molH~2~
二、选择题（本题包括8小题。每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
14．如图所示，厚壁容器的一端通过胶塞插进一支灵敏温度计和一根气针，另一端有个用卡子卡住的可移动胶塞。用打气筒慢慢向容器内打气，使容器内的压强增大到一定程度，这时读出温度计示数。打开卡子，胶塞冲出容器口后
A．温度计示数变大，实验表明气体对外界做功，内能减少
B．温度计示数变大，实验表明外界对气体做功，内能增加
C．温度计示数变小，实验表明气体对外界做功，内能减少
D．温度计示数变小，实验表明外界对气体做功，内能增加
15．如图所示，矩形线圈abcd在匀强磁场中可以分别绕垂直于磁场方向的轴P~1~和P~2~以相同的角速度匀速转动，当线圈平面转到与磁场方向平行时
A．线圈绕P~1~转动时的电流等于绕P~2~转动时的电流
B．线圈绕P~1~转动时的电动势小于绕P~2~转动时的电动势
C．线圈绕P~1~和P~2~转动时电流的方向相同，都是 a→b→c→d
D．线圈绕P~1~转动时 dc边受到的安培力大于绕P~2~转动时dc边受到的安培力
16．关于天然放射现象，下列说法正确的是
A．放射性元素的原子核内的核子有半数发生变化所需的时间就是半衰期
B．放射性物质放出的射线中，a粒子动能很大，因此贯穿物质的本领很强
C．当放射性元素的原子的核外电子具有较高能量时，将发生β衰变
D．放射性的原子核发生衰变后产生的新核从高能级向低能级跃迁时，辐射出γ射线
17．我国探月的"嫦娥工程"已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球。假如宇航员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T，将月球视为密度均匀、半径为r的球体，则月球的密度为
18．如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为 m 的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为 m 的小球从槽高h处开始自由下滑
A．在以后的运动过程中，小球和槽的动量始终守恒
B．在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功
C．被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动
D．被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽高h处
19．两种单色光a和b，a光照射某金属时有光电子逸出，b光照射该金属时没有光电子逸出，则
A．在真空中，a光的传播速度较大 B．在水中，a光的波长较小
C．在真空中，b光光子的能量较大 D．在水中，b光的折射率较小
20．图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为质点P以此时刻为计时起点的振动图象。从该时刻起
A．经过0.35 s时，质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离
B．经过0.25s时，质点Q的加速度大于质点P的加速度
C．经过0.15s，波沿 x 轴的正方向传播了3m
D．经过0.1s时，质点Q的运动方向沿y轴正方向
21．如图所示，长方形abcd长ad = 0.6m，宽ab = 0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以 ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度B＝0.25T。一群不计重力、质量m＝3×10^7^ kg 、电荷量q＝＋2×10^－3^C的带电粒子以速度v＝5×l0^2^m/s 沿垂直 ad 方向且垂直于磁场射人磁场区域
A．从Od 边射人的粒子，出射点全部分布在Oa边
B．从aO边射人的粒子，出射点全部分布在ab边
C．从Od 边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边
D．从aO边射人的粒子，出射点分布在ab边和bc边
**第Ⅱ卷**
本卷共10题，共174分。
22．（17分）
（l）在做"研究平抛物体的运动"实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，下列器材中还需要的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
A．游标卡尺 B．秒表 C．坐标纸 D．天平 E．弹簧秤 F．重垂线
实验中，下列说法正确的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
A．应使小球每次从斜槽上相同的位置自由滑下
B．斜槽轨道必须光滑
C．斜槽轨道末端可以不水平
D．要使描出的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应适当多一些
E．为了比较准确地描出小球运动的轨迹，应该用一条曲线把所有的点连接起来
（2）甲同学设计了如图所示的电路测电源电动势E及电阻R~1~和 R~2~的阻值。实验器材有：待测电源E（不计内阻），待测电阻R~1~，待测电阻R~2~，电压表V（量程为1.5V，内阻很大），电阻箱R（0一99.99Ω）；单刀单掷开关S~1~，单刀双掷开关S~2~，导线若干。
① 先测电阻R~1~的阻值。请将甲同学的操作补充完整：闭合S~1~，将S~2~切换到a，调节电阻箱，读出其示数r和对应的电压表示数U~l~ ，保持电阻箱示数不变，读出电压表的示数。则电阻R~1~的表达式为R~1~＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
② 甲同学已经测得电阻R~l~＝4.8Ω，继续测电源电动势E和电阻R~2~的阻值。该同学的做法是：闭合S~1~，将S~2~切换到a，多次调节电阻箱，读出多组电阻箱示数R和对应的电压表示数U，由测得的数据，绘出了如图所示的－ 图线，则电源电动势E＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_V，电阻R~2~ = \_\_\_\_\_\_\_\_\_Ω。
③ 利用甲同学设计的电路和测得的电阻R~l~ ，乙同学测电源电动势E和电阻R~2~的阻值的做法是：闭合S~1~，将S~2~切换到b，多次调节电阻箱，读出多组电阻箱示数R和对应的电压表示数U，由测得的数据，绘出于相应的－图线，根据图线得到电源电动势E 和电阻R~2~。这种做法与甲同学的做法比较，由于电压表测得的数据范围\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（选填"较大"、"较小"或"相同"），所以\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_同学的做法更恰当些。
23．（16分）
如图所示，P、Q为水平面内平行放置的光滑金属长直导轨，间距为L~1~，处在竖直向下、磁感应强度大小为B~1~的匀强磁场中。一导体杆ef垂直于P、Q 放在导轨上，在外力作用下向左做匀速直线运动。质量为 m、每边电阻均为r、边长为L~2~的正方形金属框 abcd 置于竖直平面内，两顶点 a、b通过细导线与导轨相连，磁感应强度大小为 B~2~的匀强磁场垂直金属框向里，金属框恰好处于静止状态。不计其余电阻和细导线对 a、b 点的作用力。
（1）通过 ab 边的电流I~ab~是多大？
（2）导体杆 ef 的运动速度v是多大？
24．（19分）如图所示，一根长L = 1.5m 的光滑绝缘细直杆MN ，竖直固定在场强为 E ==1.0 ×105N / C、与水平方向成θ＝300角的倾斜向上的匀强电场中。杆的下端M固定一个带电小球A ，电荷量Q＝+4.5×10－6C；另一带电小球 B 穿在杆上可自由滑动， 电荷量q＝+1.0 ×10一6 C，质量m＝1.0×10一2 kg 。现将小球B从杆的上端N静止释放，小球B开始运动。（静电力常量k＝9.0×10 9N·m2／C2，取g =l0m / s2）
（l）小球B开始运动时的加速度为多大？
（2）小球B的速度最大时，距M端的高度h~1~为多大？
（3）小球B从N端运动到距M端的高度h~2~＝0.6l m时，速度为v＝1.0m / s，求此过程中小球B的电势能改变了多少？
25．（20 分）
目前，滑板运动受到青少年的追捧。如图是某滑板运动员在一次表演时的一部分赛道在竖直平面内的示意图，赛道光滑，FGI为圆弧赛道，半径R＝6.5m，G为最低点并与水平赛道BC位于同一水平面，KA、DE 平台的高度都为h = 18m。B、C、F处平滑连接。滑板a和b的质量均为m，m＝5kg ，运动员质量为M，M＝45kg。
表演开始，运动员站在滑板b上，先让滑板a从A点静止下滑，t~1~＝0.1s后再与b板一起从A点静止下滑。滑上BC赛道后，运动员从b板跳到同方向运动的a板上，在空中运动的时间t~2~＝0.6s。（水平方向是匀速运动）。运动员与a板一起沿CD赛道上滑后冲出赛道，落在EF赛道的P点，沿赛道滑行，经过G点时，运动员受到的支持力N=742.5N。（滑板和运动员的所有运动都在同一竖直平面内，计算时滑板和运动员都看作质点，取g＝10m/s）
（1）滑到G点时，运动员的速度是多大？
（2）运动员跳上滑板a后，在BC赛道上与滑板a共同运动的速度是多大？
（3）从表演开始到运动员滑至I的过程中，系统的机械能改变了多少？
26．（18分）
在实验室堕可用下图所示装置制取氯酸钾、次氯酸钠和探究氯水的性质。
图中：① 为氯气发生装置；②的试管里盛有15mL30％KOH 溶液，并置于水浴中； ③ 的试管里盛有15mL 8 % NaOH溶液，并置于冰水浴中； ④ 的试管里加有紫色石蕊试液； ⑤ 为尾气吸收装置。
请填写下列空白：
（l）制取氯气时，在烧瓶里加人一定量的二氧化锰，通过\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填写仪器名称）向烧瓶中加人适量的浓盐酸。实验时为了除去氯气中的氯化氢气体，可在①与② 之间安装盛有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填写下列编号字母）的净化装置。
> A．碱石灰 B．饱和食盐水 C．浓硫酸 D．饱和碳酸氢钠溶液
（2）比较制取氯酸钾和次氯酸钠的条件，二者的差异是：
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
反应完毕经冷却后，②的试管中有大量晶体析出。下图中符合该晶体溶解度曲线的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填写编号字母）；从②的试管中分离出该晶体的方法是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填写实验操作名称）
（3）本实验中制取次氯酸钠的离子方程式是：
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
（4）实验中可观察到④的试管里溶液的颜色发生了如下变化，请填写下表中的空白：
---------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------
实验现象 原因
溶液最初从紫色逐渐变为\_\_\_\_色 氯气与水反应生成的H^+^使石蕊变色
随后溶液逐渐变为无色 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
然后溶液从无色逐渐变为\_\_\_\_色 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
---------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------
27．（15分）
下图是无机物A～M在一定条件下的转化关系（部分产物及反应条件未列出）。其中，I是由第三周期元素组成的单质中熔点最高的金属，K是一种红棕色气体。
请填写下列空白：
（1）在周期表中，组成单质G的元素位于第\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_周期\_\_\_\_\_\_\_\_\_族。
（2）在反应⑦中氧化剂与还原剂的物质的量之比为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）在反应②、③、⑥、⑨中，既属于化合反应又属于非氧化还原反应的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填写序号）。
（4）反应④ 的离子方程式是：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（5）将化合物D与KNO~3~、KOH共融，可制得一种"绿色"环保高效净水剂K~2~FeO~4~ （高铁酸钾），同时还生成KNO~2~和H~2~O。该反应的化学方程式是：
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
28．（12 分）
有机化合物A的分子式是C~13~ H~20~O~8~（相对分子质量为304）， 1molA 在酸性条件下水解得到4 molCH~3~COOH 和1mol B。B分子结构中每一个连有经基的碳原子上还连有两个氢原子。
请回答下列问题：
（l）A与B的相对分子质量之差是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）B的结构简式是：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）B不能发生的反应是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填写序号）
① 氧化反应 ②取代反应 ③ 消去反应 ④加聚反应
（4）己知：
以两种一元醛（其物质的量之比为1：4）和必要的无机试剂为原料合成B，写出合成B的各步反应的化学方程式。
29．（15 分）
二甲醚（CH~3~OCH~3~）被称为21世纪的新型燃料，它清洁、高效、具有优良的环保性能。四川是利用天然气生产二甲醚的重要基地之一。
请填写下列空白：
（l）与二甲醚相对分子质量相等且元素种类相同的有机物的结构简式是：
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）二甲醚可由合成气（CO+H~2~）在一定条件下制得。用合成气制二甲醚时，还产生了一种可参与大气循环的无机化合物，该反应的化学方程式可能是：
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）以二甲醚、空气、氢氧化钾溶液为原料，石墨为电极可构成然料电池。该电池中负极上的电极反应式是：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）制备二甲醚的合成气可由甲烷与水蒸气或二氧化碳经高温催化反应制得。合成气除制二甲醚外，还可用于冶炼金属，用它冶炼铁的生产过程可示意如下：
① 在催化反应室中进行的反应均为可逆反应，增大体系的压强对甲烷转化率的影响是 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填"增大"、"减小"或"不变"）。
② 在上述炼铁过程的某时间段内，若有x m^3^（标准状况）的甲烷进入燃烧室中充分燃烧，还原反应室有5y kg（×10^3^mol）铁生成，假设燃烧室与还原反应室产生的高温尾气全部进入催化反应室，则这些高温尾气在理论上可产生合成气\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_m^3^（标准状况）。
30．（20分）
（1）萝卜的生长发育过程受多种激素的共同调节，其中细胞分裂素起着重要作用。
① 细胞分裂素主要存在于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_的部位，其主要生理功能是促进\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_和\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
② 研究还发现，氨基酸等营养物质可以向细胞分裂素浓度高的部位移动。为验证这一结论，有人设计了下列实验方案。请根据提供的实验材料和用具，写出第二步及以后的实验步骤，并预测实验结果。
材料用具：生长状况相同的萝卜成熟叶片若干，适宜浓度的细胞分裂素溶液，含^14^C 标记氨基酸的溶液（氨基酸可被叶片吸收并在叶片内移动），蒸馏水，棉签，检测放射性强度的设备等。
实验步骤：
第一步：取生长状况相同的萝卜成熟叶片若干，在叶片左半叶某一部位涂抹含^14^C 标记氨基酸的溶液（如图所示）。
第二步：
实验结果：
（2）萝卜是 C~3~ 植物，图 1 为萝卜光合作用的部分过程图解。
① 该过程发生的场所是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，在该过程中能使光能转换为电能的色素是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
② 进行正常光合作用的叶片，如果在叶绿体中的NADPH与NADP^+^含量相等的情况下，突然分停止供给CO~2~，请在图2中绘出叶绿体中NADPH含量的变化曲线。
31．（22分）
（l）下面是某基因的部分碱基序列，序列I为内含子的一部分，序列II为外显子的一部分。
上列片段所编码蛋白质的氨基酸序列为"...甲硫氨酸一精氨酸一谷氨酸一丙氨酸一天冬氨酸一撷氨酸 ... "（甲硫氨酸的密码子是AUG）。
① 该基因表达过程中，RNA的合成在\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_中完成，此过程称为\_\_\_\_\_\_\_。
② 请写出编码上述氨基酸序列的mRNA序列\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
③ 如果序列I中箭头所指碱基对被替换为，该基因上列片段编码的氨基酸序列为：
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
④如果序列II中箭头所指碱基对缺失，该基因上列片段编码的氨基酸序列为：
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）人的耳垢有油性和干性两种，是受单基因（A、a）控制的。有人对某一社区的家庭进行了调查，结果如下表： （单位：个）
+----------+-----------+----------+----------+----------+----------+----------+
| 组合序号 | 双亲性状 | 家庭数目 | 油耳男孩 | 油耳女孩 | 干耳男孩 | 干耳女孩 |
| | | | | | | |
| | 父 母 | | | | | |
+----------+-----------+----------+----------+----------+----------+----------+
| 一 | 油耳×油耳 | 195 | 90 | 80 | 10 | 15 |
+----------+-----------+----------+----------+----------+----------+----------+
| 二 | 油耳×干耳 | 80 | 25 | 30 | 15 | 10 |
+----------+-----------+----------+----------+----------+----------+----------+
| 三 | 干耳×油耳 | 60 | 26 | 24 | 6 | 4 |
+----------+-----------+----------+----------+----------+----------+----------+
| 四 | 干耳×干耳 | 335 | 0 | 0 | 160 | 175 |
+----------+-----------+----------+----------+----------+----------+----------+
| 合计 | 670 | 141 | 134 | 191 | 204 | |
+----------+-----------+----------+----------+----------+----------+----------+
① 控制该相对性状的基因位于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_染色体上，判断的依据是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
② 一对油耳夫妇生了一个干耳儿子，推测母亲的基因型是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_这对夫妇生一个油耳女儿的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
③ 从组合一的数据看，子代性状没有呈典型的孟德尔分离比（3 : 1） ，其原因是\_\_\_\_
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
④ 若一对干耳夫妇生了一个左耳是干性的、右耳是油性的男孩，出现这种情况的原因可能是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
| 1 | |
**2019年江苏省扬州市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）**
1．（3分）（2019•扬州）下列图案中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
2．（3分）（2019•扬州）下列各数中，小于的数是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•扬州）分式可变形为
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•扬州）一组数据3、2、4、5、2，则这组数据的众数是
A．2 B．3 C．3.2 D．4
5．（3分）（2019•扬州）如图所示物体的左视图是
A． B．
C． D．
6．（3分）（2019•扬州）若点在一次函数的图象上，则点一定不在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）（2019•扬州）已知是正整数，若一个三角形的3边长分别是、、，则满足条件的的值有
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
8．（3分）（2019•扬州）若反比例函数的图象上有两个不同的点关于轴的对称点都在一次函数的图象上，则的取值范围是
A． B． C．或 D．
**二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程请把答案直接填写在答题卡相应位置上）**
9．（3分）（2019•扬州）2019年5月首届大运河文化旅游博览会在扬州成功举办，京杭大运河全长约1790000米，数据1790000米用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
10．（3分）（2019•扬州）分解因式：[ ]{.underline}．
11．（3分）（2019•扬州）扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质鼠抽检的结果如下：
------------------ ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
抽取的毛绒玩具数 20 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数 19 17 91 184 462 921 1379 1846
优等品的频率 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923
------------------ ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是[ ]{.underline}．（精确到
12．（3分）（2019•扬州）一元二次方程的根是[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•扬州）计算[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•扬州）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若，则[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•扬州）如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•扬州）如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接．若，，则[ ]{.underline}．
17．（3分）（2019•扬州）如图，将四边形绕顶点顺时针旋转至四边形的位置，若，则图中阴影部分的面积为[ ]{.underline}．
18．（3分）（2019•扬州）如图，在中，，，若进行以下操作，在边上从左到右依次取点、、、、；过点作、的平行线分别交、于点、；过点作、的平行线分别交、于点、；过点作、的平行线分别交、于点、，则[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）**
19．（8分）（2019•扬州）计算或化简：
（1）；
（2）．
20．（8分）（2019•扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．
21．（8分）（2019•扬州）扬州市"五个一百工程"在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图．
------------------ ------ ------
每天课外阅读时间 频数 频率
24
36 0.3
0.4
12
合计 1
------------------ ------ ------
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中[ ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）请补全频数分布直力图；
（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．
22．（8分）（2019•扬州）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是："每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和"．如．
（1）若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是[ ]{.underline}；
（2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率．
23．（10分）（2019•扬州）"绿水青山就是金山银山"为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等．求甲工程队每天修多少米？
24．（10分）（2019•扬州）如图，在平行四边形中，平分，已知，，．
（1）求证：；
（2）求．
25．（10分）（2019•扬州）如图，是的弦，过点作，交于，．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，点是上的一点．
①求的度数；
②若，求的长．
26．（10分）（2019•扬州）如图，平面内的两条直线、，点，在直线上，点、在直线上，过、两点分别作直线的垂线，垂足分別为，，我们把线段叫做线段在直线上的正投影，其长度可记作或，特别地线段在直线上的正投影就是线段．
请依据上述定义解决如下问题：
（1）如图1，在锐角中，，，则[ ]{.underline}；
（2）如图2，在中，，，，求的面积；
（3）如图3，在钝角中，，点在边上，，，，求，
27．（12分）（2019•扬州）如图，四边形是矩形，，，以为一边向矩形外部作等腰直角，．点在线段上，且，点沿折线运动，点沿折线运动（与点不重合），在运动过程中始终保持线段．设与之间的距离为．
（1）若．
①如图1，当点在线段上时，若四边形的面积为48，则的值为[ ]{.underline}；
②在运动过程中，求四边形的最大面积；
（2）如图2，若点在线段上时，要使四边形的面积始终不小于50，求的取值范围．
28．（12分）（2019•扬州）如图，已知等边的边长为8，点是边上的一个动点（与点、不重合）．直线1是经过点的一条直线，把沿直线1折叠，点的对应点是点．
（1）如图1，当时，若点恰好在边上，则的长度为[ ]{.underline}；
（2）如图2，当时，若直线，则的长度为[ ]{.underline}；
（3）如图3，点在边上运动过程中，若直线1始终垂直于，的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当时，在直线1变化过程中，求面积的最大值．
**2019年江苏省扬州市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）**
1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【解答】解：、不是中心对称图形，故此选项错误；
、不是中心对称图形，故此选项错误；
、不是中心对称图形，故此选项错误；
、是中心对称图形，正确．
故选：．
2．（3分）下列各数中，小于的数是
A． B． C． D．
【分析】根据题意，结合实数大小比较的法则，从符号和绝对值两个方面分析可得答案．
【解答】解：比小的数是应该是负数，且绝对值大于2的数，
分析选项可得，，只有符合．
故选：．
3．（3分）分式可变形为
A． B． C． D．
【分析】直接利用分式的基本性质分析得出答案．
【解答】解：分式可变形为：．
故选：．
4．（3分）一组数据3、2、4、5、2，则这组数据的众数是
A．2 B．3 C．3.2 D．4
【分析】根据众数的定义即可求出这组数据的众数．
【解答】解：在这组数据中2出现了2次，出现的次数最多，则这组数据的众数是2；
故选：．
5．（3分）如图所示物体的左视图是
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是矩形，左视图中间有横着的实线进行选择即可．
【解答】解：左视图为：，
故选：．
6．（3分）若点在一次函数的图象上，则点一定不在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，此题得解．
【解答】解：，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限．
点在一次函数的图象上，
点一定不在第三象限．
故选：．
7．（3分）已知是正整数，若一个三角形的3边长分别是、、，则满足条件的的值有
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】分两种情况讨论：：①若，②若，分别依据三角形三边关系进行求解即可．
【解答】解：①若，则
，
解得，即，
正整数有6个：4，5，6，7，8，9；
②若，则
，
解得，即，
正整数有2个：3和4；
综上所述，满足条件的的值有7个，
故选：．
8．（3分）若反比例函数的图象上有两个不同的点关于轴的对称点都在一次函数的图象上，则的取值范围是
A． B． C．或 D．
【分析】根据反比例函数图形上点的坐标特征得到反比例函数的图象上有两个不同的点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，解方程组得，根据的图象与一次函数的图象有两个不同的交点，得到方程有两个不同的实数根，于是得到结论．
【解答】解：反比例函数的图象上有两个不同的点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，
解方程组得，
的图象与一次函数有两个不同的交点，
方程有两个不同的实数根，
△，
或，
故选：．
**二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程请把答案直接填写在答题卡相应位置上）**
9．（3分）2019年5月首届大运河文化旅游博览会在扬州成功举办，京杭大运河全长约1790000米，数据1790000米用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：数据1790000米用科学记数法表示为，
故答案为：．
10．（3分）分解因式：[ ]{.underline}．
【分析】首先提取公因式，然后再利用平方差公式继续分解，即可求得答案．
【解答】解：．
故答案为：．
11．（3分）扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质鼠抽检的结果如下：
------------------ ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
抽取的毛绒玩具数 20 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数 19 17 91 184 462 921 1379 1846
优等品的频率 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923
------------------ ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是[ 0.92 ]{.underline}．（精确到
【分析】由表中数据可判断频率在0.92左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率为0.92．
【解答】解：从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92，
故答案为0.92．
12．（3分）一元二次方程的根是[ 1或2 ]{.underline}．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：，
，
，
，，
，，
故答案为：1或2．
13．（3分）计算[ ]{.underline}．
【分析】先根据积的乘方得到原式，然后利用平方差公式计算．
【解答】解：原式
，
故答案为．
14．（3分）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若，则[ ]{.underline}．
【分析】直接利用翻折变换的性质以及平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：延长，
由题意可得：，
则．
故答案为：．
15．（3分）如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则[ 15 ]{.underline}．
【分析】根据中心角的度数边数，列式计算分别求出，的度数，则，则边数中心角．
【解答】解：连接，
是内接正六边形的一边，
，
是内接正十边形的一边，
，
，
；
故答案为：15．
16．（3分）如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接．若，，则[ ]{.underline}．
【分析】连接，则为的中位线，根据勾股定理求出长即可求出的长．
【解答】解：连接，
正方形和正方形中，，，
，，
，
．
、分别是、的中点，
．
故答案为：．
17．（3分）如图，将四边形绕顶点顺时针旋转至四边形的位置，若，则图中阴影部分的面积为[ ]{.underline}．
【分析】由旋转的性质得：，四边形四边形，图中阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积四边形的面积扇形的面积，代入扇形面积公式计算即可．
【解答】解：由旋转的性质得：，四边形四边形，
则图中阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积四边形的面积扇形的面积；
故答案为：．
18．（3分）如图，在中，，，若进行以下操作，在边上从左到右依次取点、、、、；过点作、的平行线分别交、于点、；过点作、的平行线分别交、于点、；过点作、的平行线分别交、于点、，则[ 40380 ]{.underline}．
【分析】，，可得，因为，，则有；同理有如下规律，，；
【解答】解：，，
，即，
，，
，
同理，，，
；
故答案为40380．
**三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）**
19．（8分）计算或化简：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简二次根式、计算零指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得；
（2）先变形为同分母分式相减，再依据法则计算，继而约分即可得．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
20．（8分）解不等式组，并写出它的所有负整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的所有负整数解为、、．
21．（8分）扬州市"五个一百工程"在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图．
------------------ ------ ------
每天课外阅读时间 频数 频率
24
36 0.3
0.4
12
合计 1
------------------ ------ ------
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中[ 120 ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）请补全频数分布直力图；
（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．
【分析】（1）由的频数与频率可得总人数，再用12除以总人数可得的值；
（2）总人数乘以0.4得出第3组频数，从而补全图形；
（3）利用样本估计总体思想可得．
【解答】解：（1），，
故答案为：120，0.1；
（2）的人数为，
补全图形如下：
（3）估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数为（人．
22．（8分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是："每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和"．如．
（1）若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是[ ]{.underline}；
（2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是．
故答案为．
（2）树状图如图所示：
共有12种可能，满足条件的有4种可能，
所以抽到的两个素数之和等于30的概率
23．（10分）"绿水青山就是金山银山"为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等．求甲工程队每天修多少米？
【分析】直接利用甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等，得出等式求出答案．
【解答】解：设甲工程队每天修米，则乙工程队每天修米，根据题意可得：
，
解得：，
经检验得：是原方程的根，
故，
答：甲工程队每天修900米，乙工程队每天修600米．
24．（10分）如图，在平行四边形中，平分，已知，，．
（1）求证：；
（2）求．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，，推出，再根据角平分线性质得出，推出，得出，由勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）由平行线得出，由勾股定理求出，得出，即可得出结果．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，，
，
是直角三角形，；
（2）解：，
，
，
．
25．（10分）如图，是的弦，过点作，交于，．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，点是上的一点．
①求的度数；
②若，求的长．
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，，等量代换得到，根据三角形的内角和得到，于是得到结论；
（2）①根据等腰三角形和直角三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论；
②根据弧长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：①，
，，
，
；
②，，
的长．
26．（10分）如图，平面内的两条直线、，点，在直线上，点、在直线上，过、两点分别作直线的垂线，垂足分別为，，我们把线段叫做线段在直线上的正投影，其长度可记作或，特别地线段在直线上的正投影就是线段．
请依据上述定义解决如下问题：
（1）如图1，在锐角中，，，则[ 2 ]{.underline}；
（2）如图2，在中，，，，求的面积；
（3）如图3，在钝角中，，点在边上，，，，求，
【分析】（1）如图1中，作．根据正投影的定义求出即可．
（2）如图2中，作于．由正投影的定义可知，，利用相似三角形的性质求解即可解决问题．
（3）如图3中，作于，于．根据正投影的定义，求出，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，作．
，
，
，
，
，
故答案为2．
（2）如图2中，作于．
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
（3）如图3中，作于，于．
，，
，
，
，
，，，，
，，
，
，
在中，，，，
，
，
．
27．（12分）如图，四边形是矩形，，，以为一边向矩形外部作等腰直角，．点在线段上，且，点沿折线运动，点沿折线运动（与点不重合），在运动过程中始终保持线段．设与之间的距离为．
（1）若．
①如图1，当点在线段上时，若四边形的面积为48，则的值为[ 3 ]{.underline}；
②在运动过程中，求四边形的最大面积；
（2）如图2，若点在线段上时，要使四边形的面积始终不小于50，求的取值范围．
【分析】（1）①在线段上，，，，由梯形面积公式得出方程，解方程即可；
②当，在上运动时，到点时四边形面积最大，为直角梯形，得出时，四边形面积的最大值，
当在上运动，，四边形为不规则梯形，作于，交于，作于，交于，则，，
，由等腰直角三角形的性质得出，得出，，证明，得出比例式，得出，求出梯形的面积，由二次函数的性质即可得出结果；
（2）在上，则，，，梯形的面积，对称轴，得出，对称轴在10和15之间，得出，二次函数图象开口向下，当时，最小，得出，；即可得出答案．
【解答】（1）解：①在线段上，，，，
四边形的面积，
解得：；
故答案为：3；
②当，在上运动时，到点时四边形面积最大，为直角梯形，
时，四边形面积的最大值，
当在上运动，，四边形为不规则梯形，
作于，交于，作于，交于，如图2所示：
则，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
由题意得：，
，
，
即，
解得：，
梯形的面积，
当时，四边形的面积最大；
（2）解：在上，则，，，
梯形的面积，对称轴为：，
，
，对称轴在10和15之间，
，二次函数图象开口向下，
当时，最小，
，
；
综上所述，的取值范围为．
28．（12分）如图，已知等边的边长为8，点是边上的一个动点（与点、不重合）．直线1是经过点的一条直线，把沿直线1折叠，点的对应点是点．
（1）如图1，当时，若点恰好在边上，则的长度为[ 4 ]{.underline}；
（2）如图2，当时，若直线，则的长度为[ ]{.underline}；
（3）如图3，点在边上运动过程中，若直线1始终垂直于，的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当时，在直线1变化过程中，求面积的最大值．
【分析】（1）证明是等边三角形即可解决问题．
（2）如图2中，设直线交于点．连接交于．证明是等边三角形，求出即可解决问题．
（3）如图3中，结论：面积不变．证明即可．
（4）如图4中，当时，的面积最大，设直线交于，求出即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
．
故答案为4．
（2）如图2中，设直线交于点．连接交于．
，
，，
是等边三角形，
，
，关于对称，
，
，
．
故答案为．
（3）如图3中，结论：面积不变．
，关于直线对称，
直线，
直线，
，
．
（4）如图4中，当时，的面积最大，
设直线交于，
在中，，，
，
，
．
| 1 | |
**《淘气的作息时间》同步练习2**
> 一、算一算，填一填
>
> 1时＝（ ）分 1 分＝（ ）秒
>
> 60秒＝（ ）分 60分＝（ ）时
>
> 118秒=（ ）分（ ）秒 1分70秒=( )秒
>
> 1分12秒=（ ）秒 90分=（ ）时（ ）分
>
> 100分=（ ）时（）分 2小时=（ ）分
>
> 1时5分=（ ）分 1时35分=( )分
>
> 65秒=（ ）分（ ）秒 75秒=（ ）分（ ）秒
>
> 80分=（ ）时（ ）分 1分21秒=（ ）秒
>
> 二、从北京------兰州的列车经过A城市的准点时间是早晨6 ： 30 ，现在要晚点15分，这列火车什么时候到达A市？
>
> 三、榕华超市每天营业时间是上午9 ： 00～晚上8 ：00，每天营业几小时？
>
> \[来源:学科网ZXXK\]
>
> 四、下面是一段"停电预告"。
>
> 7月15日 上午 8:00－10:30 紫阳路一带
>
> 8:30－11:00 台北路一带\[来源:Z,xx,k.Com\]
>
> 10:00－12:20 万松园小区
>
> 下午 1:00－4:10 武珞路一带
>
> 3:00－5:00 雄楚大道一带\[来源:学科网ZXXK\]
>
> 回答问题：
>
> （1）哪个地区停电时间最长？有多长时间？
>
> （2）蓓蓓下午4:20放学回到家，发现家里停电，你能判断出她家住哪儿？还需要多长时间才会来电？
>
> 五、宁宁每天上午8：00到校上课，她从家走到学校需要15分钟。宁宁每天最迟必须在什么时刻以前出门，才能保证不迟到？
>
> **参考答案：\[来源:学+科+网\]**
1.
> 1时＝（ 60 ）分 1 分＝（ 60 ）秒 \[来源:学科网\]
>
> 60秒＝（ 1 ）分 60分＝（ 1 ）时
>
> 118秒=（ 1 ）分（ 58 ）秒 1分70秒=( 130 )秒
>
> 1分12秒=（ 72 ）秒 90分=（ 1 ）时（ 30 ）分
>
> 100分=（ 1 ）时（40）分 2小时=（ 120 ）分
>
> 1时5分=（ 65 ）分 1时35分=( 95 )分
>
> 65秒=（ 1 ）分（ 5 ）秒 75秒=（ 1 ）分（ 15 ）秒
>
> 80分=（ 1 ）时（ 20 ）分 1分21秒=（ 81 ）秒
二、6：45
三、11
四、
> （1）武珞路一带3时10分
>
> （2）雄楚大道一带 40分钟
五、7：45
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**小学五年级上册数学奥数知识点讲解第11课《抽屉原理的一般表达》试题附答案**
**答案**
\
\
五年级奥数上册：第十二讲 抽屉原理的一般表达习题解答
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**小学三年级下册数学奥数知识点讲解第10****课《年龄问题》****试题附****答案**
\[来源:学+科+网Z+X+X+K\]
\[来源:Z。xx。k.Com\]
\[来源:Zxxk.Com\]
**答案**
\[来源:学+科+网Z+X+X+K\]
三年级奥数下册：第十讲 年龄问题 习题解答
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**《拨一拨》同步练习**
> **一、写一写。**
>
> 
>
>
>
>
（ ） （ ）
> 
>
> （ ） （ ）
>
> 
>
> （ ） （ ）
>
> 二、各有多少块糖？
>
> 
>
> （ ）
>
> 
>
> （ ）
>
> 三、拨出一千零二，一个一个地倒着数，数到九百九十七，并把他们写出来。
>
> **（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。**
>
> 四、填空。
>
> （1）一万里有（ ）个千，一千里有（ ）个百。
>
> （2）3个千，4个十组成的数是（ ），6028是由（ ）个千，（ ）个十，（ ）个一组成的。
>
> （3）千位右边是（ ）位，左边是（ ）位。
>
> （4）3805是（ ）位数，最高位是（ ）位；806是（ ）位数，最高位是（ ）位。\[来源:学,科,网Z,X,X,K\]\[来源:学\_科\_网\]
>
> （5）一个数千位上的数字是4，十位上的数是8，其余各个数位上的数是0，这个数是（ ）。
>
> （6）2460＝□＋□＋□ 4526＝□＋□＋□＋□
>
> 6003＝□＋□
>
> 五、选择正确答案的序号在括号里。
>
> （1）3685中的6表示（ ）
>
> ①6个千 ②6个一 ③6个百 ④6个十
>
> （2）由5个千和5个十组成的数是（ ）
>
> ①5005 ②5050 ③5500 ④50005\[来源:Zxxk.Com\]
>
> （3）九千零九接着数下去的一个数是（ ）
>
> ①9019 ②9010 ③1 ④9011
>
> （4）6在百位上的数是（ ）
>
> ①6827 ②6466 ③6915 ④7683
**参考答案**：
**一、**
（ 5006 ） （ 1420 ）
> （ 298 ） （ 3800 ）
>
> （ 5006 ） （ 400 ）
>
> 二、各有多少块糖？
（ 252 ）（ 1103 ）
> 三、拨出一千零二，一个一个地倒着数，数到九百九十七，并把他们写出来。
>
> **（ 1002 ）、（ 1001 ）、（ 1000 ）、（ 999 ）、（ 998 ）、（ 997 ）。**四、填空。
>
> （1） （ 10 ） （ 10 ）
>
> （2） （ 3040 ） （ 6 ） （ 2 ） （ 8 ）
>
> （3） （ 百 ） （ 万 ） \[来源:学&科&网\]
>
> （4） （4 ） （千 ） （3 ） （百 ）
>
> （5） （ 4080）
>
> （6）2460＝2000+400+60
>
> 4526＝4000+500+20+6
>
> 6003＝6000+3
>
> 五、选择正确答案的序号在括号里。
>
> （1）③
>
> （2）②
>
> （3）② \[来源:学科网ZXXK\]
>
> （4）④
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**2020-2021学年天津市河东区五年级（上）期末数学试卷**
**一、填空（20%）**
1．（2分）一本书有200页，小明每天看*a*页，看了5天后还剩[ ]{.underline}页没有看。
2．（2分）如果4*x*+3＝25，那么2*x*+4＝[ ]{.underline}.
3．（2分）小兰坐在教室第4列第6行，可以用数对（4，6）表示。照这样，小莹坐在第5列第3行，可以用数对（[ ]{.underline}）表示。
4．（2分）一个三角形的面积是176*cm*，它的高是22*cm*，对应的底是[ ]{.underline}*cm*。
5．（2分）2.5959...保留一位小数约是[ ]{.underline}，保留两位小数约是[ ]{.underline}。
6．（2分）两个工程队同时从两端修一条675*m*长的路，25天修完。如果甲队每天修12.6*m*，那么乙队每天修[ ]{.underline}*m*。
7．（2分）在长120*m*的公路一侧栽树，每隔6*m*栽一棵（两端都不栽），一共要栽[ ]{.underline}棵树。
8．（2分）小敏的妈妈要将3.5*kg*香油分装在一些玻璃瓶里，每个瓶子最多可盛0.6*kg*，至少需要准备[ ]{.underline}个这样的瓶子。
9．（2分）一个三角形的底是6*dm*，如果将它延长1*dm*，那么三角形的面积就增加2*dm*^2^。原三角形的面积是[ ]{.underline}*dm*^2^。
10．（2分）如图，梯形*ABCD*的面积是45*cm*^2^，高是6*cm*，*BC*长10*cm*，三角形*ADE*的面积是5*cm*^2^。阴影部分的面积是[ ]{.underline}*cm*^2^。
> 
**二、选择（将正确答案的序号填在括号里）（10%）**
11．（2分）在，，2.6，四个数中，最小的数是（ ）
A． B．2.6 C． D．
12．（2分）下面各式中，是方程的是（ ）
A．3*x*﹣*x*＝0 B．0.6*x*﹣0.1*x*
C．2*x*+3＜20 D．5.6﹣0.1＝5.5
13．（2分）一个不透明的口袋里有同样大小的5个红球和5个蓝球，从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性增大，可以（ ）
A．拿出2个红球 B．放入2个蓝球
C．放入2个黄球 D．拿出2个蓝球
14．（2分）用两个边长都是*xcm*的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是（ ）*cm*。
A．4*x* B．6*x* C．8*x* D．16*x*
15．（2分）一个三角形与一个平行四边形等底，平行四边形的高是三角形高的3倍，则平行四边形的面积是三角形面积的（ ）倍。
A．9 B．6 C．3 D．2
**三、判断（对的在括号内打"√"，错的打"×"）（8%）**
16．（2分）6÷11的商用循环小数表示是0.54。[ ]{.underline}（判断对错）
17．（2分）把长方形拉成平行四边形，面积不变．[ ]{.underline}．（判断对错）
18．（2分）6*x*+6＝6（*x*+1）...[ ]{.underline}．（判断对错）
19．（2分）两个小数相除的商一定是小数．[ ]{.underline}（判断对错）
**四、直接写结果（8%）**
20．（8分）直接写结果。
---------------- --------------- ----------------- -----------------
（1）3.4×2＝ （2）0.24+6＝ （3）5.8÷0.58＝ （4）1.5×0.2＝
（5）3.5+0.5＝ （6）1.25×8＝ （7）4.5﹣1.5＝ （8）0.25×9×4＝
---------------- --------------- ----------------- -----------------
**五、用竖式计算（9%）**
21．（9分）用竖式计算。
----------------- ------------------- -----------------
（1）2.26×2.5＝ （2）4.16﹣0.25＝ （3）13.2÷4.8＝
----------------- ------------------- -----------------
**六、解方程（9%）**
22．（9分）解方程。
-------------------- ------------------------ -----------------------
（1）7*x*+2.5＝8.8 （2）7.4*x*﹣*x*＝12.8 （3）4（*x*+2.5）＝15
-------------------- ------------------------ -----------------------
**七、计算下面各题（能简算的要简算）（12%）**
23．（12分）计算下面各题。
--------------------- -------------------------
（1）2.07÷0.23×0.45 （2）3.2×（7﹣1.5）÷2.5
（3）32×0.25×1.25 （4）0.71×202
--------------------- -------------------------
**八、解决问题（24%）**
24．（4分）求下面图形阴影部分的面积（单位：厘米）
> 
25．（4分）每千克香蕉售价3.4元，每千克桔子售价6.6元，香蕉和桔子各买4.5千克，一共应付多少钱？
26．（4分）一条高速公路长420*km*，一辆客车3.5小时行完全程，一辆货车5.6小时行完全程。货车每小时比客车每小时慢多少千米？
27．（4分）12月份参观科技馆的观众人数有7.2万人，比11月份参观人数的2倍少1.8万人，11月份有多少万人参观科技馆？（用方程解答）
28．（4分）某地居民生活用电实行阶梯电价，将居民每月用电量划分为三档，电价实行分档递增。
> 第一档：每月不超过220度（含220度）的电量，每度电0.49元；
>
> 第二档：每月221度至400度（含400度）的电量，每度电0.54元；
>
> 第三档：每月超过400度的电量，每度电0.79元。
>
> 小丽家上个月的用电量是450度，上个月小丽家的电费是多少元？
29．（4分）如图所示，将一个长35*cm*、宽16*cm*的长方形分成一个梯形和一个三角形，三角形的面积比梯形的面积少160*cm*^2^。梯形的面积是多少平方厘米？
> 
**2020-2021学年天津市河东区五年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空（20%）**
1．【分析】小明每天看*a*页，看了5天一共看了5×*a*＝5*a*页，还剩（200﹣5*a*）页没有看。
> 【解答】解：200﹣5×*a*＝（200﹣5*a*）页
>
> 答：看了5天后还剩（200﹣5*a*）页没有看。
>
> 故答案为：（200﹣5*a*）。
>
> 【点评】此题的关键是先求出5天一共看了的页数，然后再进一步解答。
2．【分析】根据等式的性质，方程两边同时减去3，再两边同时除以4求出*x*的值；再把求出的值代入2*x*+4即可解答。
> 【解答】解：4*x*+3＝25
>
> 4*x*+3﹣3＝25﹣3
>
> 4*x*＝22
>
> 4*x*÷4＝22÷4
>
> *x*＝5.5
>
> 把*x*＝5.5代入2*x*+4得：
>
> 2*x*+4
>
> ＝2×5.5+4
>
> ＝11+4
>
> ＝15
>
> 答：2*x*+4得15。
>
> 故答案为：15。
>
> 【点评】本题主要考查了学生根据等式的性质解方程的能力，以及根据方程的解来求代数式的值的方法。
3．【分析】数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此即可解答问题。
> 【解答】解：小兰坐在教室第4列第6行，可以用数对（4，6）表示。照这样，小莹坐在第5列第3行，可以用数对（5，3）表示。
>
> 故答案为：（5，3）。
>
> 【点评】此题考查了数对表示位置的方法的灵活应用，即数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行。
4．【分析】由三角形的面积*S*＝*ah*÷2，根据乘法除法各部分之间的关系推出：*a*＝2*S*÷*h*，据此代入数据即可求解。
> 【解答】解：176×2÷22
>
> ＝352÷22
>
> ＝16（*cm*）
>
> 答：三角形高对应的底是16*cm*。
>
> 故答案为：16。
>
> 【点评】此题主要考查三角形的面积的计算方法的灵活应用。
5．【分析】运用"四舍五入"法取近似值：要看精确到哪一位，从它的下一位运用"四舍五入"取值。
> 2.5959...保留一位小数看百分位，是9，要"五入"；
>
> 保留两位小数看千分位，是5，要"五入"。
>
> 【解答】解：2.5959...保留一位小数约是2.6，保留两位小数约是2.60。
>
> 故答案为：2.6，2.60。
>
> 【点评】此题主要考查小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数。
6．【分析】利用路程÷相遇时间＝速度之和，据此可解。
> 【解答】解：675÷25＝27（米）
>
> 27﹣12.6＝14.4（米）
>
> 故答案为：14.4。
>
> 【点评】解答此题的关键是确定两队合作每天修的速度，再利用公式进行计算即可。
7．【分析】根据植树问题公式：如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数＝间隔数﹣1，把数代入计算即可。
> 【解答】解：120÷6﹣1
>
> ＝20﹣1
>
> ＝19（棵）
>
> 答：一共要栽19棵树。
>
> 故答案为：19。
>
> 【点评】本题主要考查植树问题，关键是分清植树棵数和间隔的关系做题。
8．【分析】求至少需要准备几个这样的瓶子，用除法解答即可，是3.5÷0.6。根据题意，此题应使用去尾法保留整数。
> 【解答】解：3.5÷0.6≈6（个）
>
> 答：至少需要准备6个这样的瓶子。
>
> 故答案为：6。
>
> 【点评】此题应用除法解答。应结合实际，看用"进一法"还是"去尾法"求近似值。
9．【分析】由"如果底边延长1米，那么面积就增加2平方米"可以根据三角形的面积公式*S*＝*ah*÷2，得出*h*＝2*S*÷*a*，由此求出三角形的高，原三角形的底已知，根据三角形的面积公式*S*＝*ah*÷2进而可以求其面积。
> 【解答】解：原三角形的高：2×2÷1
>
> ＝4÷1
>
> ＝4（分米）
>
> 原三角形的面积：6×4÷2
>
> ＝24÷2
>
> ＝12（平方分米）
>
> 答：原来三角形的面积是12平方分米。
>
> 故答案为：12。
>
> 【点评】解答此题的关键是先求出三角形的高，再利用三角形的面积公式解答。
10．【分析】先求出梯形的上底*AD*的长度，再利用三角形的面积公式求出三角形*ABD*的面积以及三角形*ABC*的面积；三角形*ABD*的面积﹣三角形*ADE*的面积＝三角形*ABE*的面积，阴影部分的面积＝三角形*ABC*的面积﹣三角形*ABE*的面积，据此解答即可。
> 【解答】解：45×2÷6﹣10
>
> ＝15﹣10
>
> ＝5（厘米）
>
> 5×6÷2＝15（平方厘米）
>
> 15﹣5＝10（平方厘米）
>
> 10×6÷2＝30（平方厘米）
>
> 30﹣10＝20（平方厘米）
>
> 答：阴影部分的面积是 20平方厘米。
>
> 故答案为：20。
>
> 【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。
**二、选择（将正确答案的序号填在括号里）（10%）**
11．【分析】比较小数的大小，先看它们的整数部分，整数大的那个数就大；如果整数部分相同，十分位大的那个数就大．如果十分位上的那个数也相同，百分位上的数大的那个数就大，依此类推。
> 【解答】解：＞＞＞2.6
>
> 所以最小的是2.6。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】掌握小数大小的比较方法是解题的关键，属于基础题。
12．【分析】方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。由此进行选择。
> 【解答】解：3*x*﹣*x*＝0，含有未知数，是等式，是方程；
>
> 0.6*x*﹣0.1*x*，含有未知数，是等式，不是方程；
>
> 2*x*+3＜20，含有未知数，不是等式，不是方程；
>
> 5.6﹣0.1＝5.5，不含有未知数，是等式，不是方程。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。
13．【分析】要使摸出红球的可能性增大，红球的个数应该多于蓝球的个数，据此即可解答。
> 【解答】解：如果要使摸出红球的可能性增大，红球应多于蓝球，所以可以增加红球的数量或减少蓝球的数量。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】解答此题的关键：应明确可能性的计算方法，并能根据实际情况进行灵活运用。
14．【分析】用两个边长都是*xcm*的正方形拼成一个长方形，可知长方形的长是2*xcm*，宽是*xcm*，根据长方形周长＝（长+宽）×2，即可求出周长。
> 【解答】解：*x*+*x*＝2*x*（*cm*）
>
> （2*x*+*x*）×2
>
> ＝3*x*×2
>
> ＝6*x*（*cm*）
>
> 答：这个长方形的周长是6*xcm*。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题主要考查长方形周长公式的应用，解答此类的题要特别注意单位。
15．【分析】因为等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，所以当三角形与平行四边形的底相等，平行四边形的高是三角形高的3倍时，那么平行四边形的面积是三角形的（2×3）倍，据此解答。
> 【解答】解：2×3＝6
>
> 答：平行四边形的面积是三角形面积的6倍。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的平行四边形与三角形面积之间的关系及应用。
**三、判断（对的在括号内打"√"，错的打"&\#215;"）（8%）**
16．【分析】依据循环小数的简便记法进行判断即可，写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。
> 【解答】解：6÷11＝0.545454...＝0.
>
> 所以原题的说法是错误的。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】本题主要考查了循环小数的简便记法，熟练掌握循环小数的简便记法是解答此题的关键。
17．【分析】把长方形拉成平行四边形后，长方形的长等于平行四边形的底，平行四边形的高小于长方形的高，据此解答．
> 【解答】解：长方形拉成平行四边形后，长方形的长等于平行四边形的底，平行四边形的高小于长方形的高，根据一个因数相同，另一个因数小的积就小，可知拉成的平行四边形的面积小于长方形的面积．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】本题重点考查了学生根据长方形和平行四边形面积公式及积的变化来解答问题的能力．
18．【分析】根据乘法分配律的意义，两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加结果不变，这叫做乘法分配律．由此解答．
> 【解答】解：根据乘法分配律的意义，（*a*+*b*）×*c*＝*a*×*c*+*b*×*c*，
>
> 因此6*x*+6＝6（*x*+1），正确．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】此题考查的目的是理解乘法分配律的意义，并能用字母表示乘法分配律．
19．【分析】根据小数除法的计算法则，先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数，然后按照除数是整数的除法进行计算．可以通过举例证明．
> 【解答】解：如：2.4÷1.2＝2；
>
> 答：两个小数相除的商不一定是小数．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握小数除法的计算法则．
**四、直接写结果（8%）**
20．【分析】根据小数加减乘除法的计算法则、以及四则混合运算的运算顺序计算即可。
> 【解答】解：
----------------- ------------------- ------------------- -------------------
（1）3.4×2＝6.8 （2）0.24+6＝6.24 （3）5.8÷0.58＝10 （4）1.5×0.2＝0.3
（5）3.5+0.5＝4 （6）1.25×8＝10 （7）4.5﹣1.5＝3 （8）0.25×9×4＝9
----------------- ------------------- ------------------- -------------------
> 【点评】解答本题关键是熟练掌握计算法则正确进行计算。
**五、用竖式计算（9%）**
21．【分析】根据小数减法和乘除法的计算方法求解。
> 【解答】解：（1）2.26×2.5＝5.65
>
> 
>
> （2）4.16﹣0.25＝3.91
>
> 
>
> （3）13.2÷4.8＝2.7
>
> 
>
> 【点评】本题考查了小数减法和乘除法竖式计算的方法，计算时要细心，注意数位对齐的方法。
**六、解方程（9%）**
22．【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时减去2.5，再两边同时除以7求解；
> （2）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以6.4求解；
>
> （3）根据等式的性质，方程两边同时除以4，再两边同时减去2.5求解。
>
> 【解答】解：（1）7*x*+2.5＝8.8
>
> 7*x*+2.5﹣2.5＝8.8﹣2.5
>
> 7*x*＝6.3
>
> 7*x*÷7＝6.3÷7
>
> *x*＝0.9
>
> （2）7.4*x*﹣*x*＝12.8
>
> 6.4*x*＝12.8
>
> 6.4*x*÷6.4＝12.8÷6.4
>
> *x*＝2
>
> （3）4（*x*+2.5）＝15
>
> 4（*x*+2.5）÷4＝15÷4
>
> *x*+2.5＝3.75
>
> *x*+2.5﹣2.5＝3.75﹣2.5
>
> *x*＝1.25
>
> 【点评】此题考查了学生根据等式的性质解方程的能力，注意等号对齐。
**七、计算下面各题（能简算的要简算）（12%）**
23．【分析】（1）按照从左到右的顺序计算；
> （2）先算小括号里面的减法，再算括号外的乘法，最后算括号外的除法；
>
> （3）先把32分解成（8×4），再根据乘法交换律和结合律简算；
>
> （4）先把202分解成（200+2），再根据乘法分配律简算。
>
> 【解答】解：（1）2.07÷0.23×0.45
>
> ＝9×0.45
>
> ＝4.05
>
> （2）3.2×（7﹣1.5）÷2.5
>
> ＝3.2×5.5÷2.5
>
> ＝17.6÷2.5
>
> ＝7.04
>
> （3）32×0.25×1.25
>
> ＝8×4×0.25×1.25
>
> ＝（8×1.25）×（4×0.25）
>
> ＝10×1
>
> ＝10
>
> （4）0.71×202
>
> ＝0.71×（200+2）
>
> ＝0.71×200+0.71×2
>
> ＝142+1.42
>
> ＝143.42
>
> 【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
**八、解决问题（24%）**
24．【分析】阴影面积＝长方形的面积﹣梯形面积（上底9*cm*，下底15*cm*，高4*cm*）。
> 【解答】解：20×12＝240（平方厘米）
>
> （9+15）×4÷2
>
> ＝24×4÷2
>
> ＝96÷2
>
> ＝48（平方厘米）
>
> 240﹣48＝192（平方厘米）
>
> 答：阴影部分的面积是192平方厘米。
>
> 【点评】此题主要考查长方形、梯形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
25．【分析】根据总价＝单价×数量，分别求出香蕉和桔子的总价，然后再相加即可求解。
> 【解答】解：3.4×4.5+6.6×4.5
>
> ＝（3.4+6.6）×4.5
>
> ＝10×4.5
>
> ＝45（元）
>
> 答：一共应付45元钱。
>
> 【点评】本题主要考查了学生对总价、单价和数量三者之间关系的灵活掌握情况。
26．【分析】首先根据路程÷时间＝速度，分别用这条高速公路长度除以两车行完全程用的时间，求出两车的速度各是多少；然后用客车的速度减去货车的速度，即可求出货车每小时比客车每小时慢多少千米。
> 【解答】解：420÷3.5﹣420÷5.6
>
> ＝120﹣75
>
> ＝45（千米）
>
> 答：货车每小时比客车每小时慢45千米。
>
> 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出两车的速度各是多少。
27．【分析】根据题意可得等量关系式：11月份参观人数×2倍﹣1.8万人＝12月份参观科技馆的观众人数，设11月份有*x*万人参观科技馆，然后列方程解答即可。
> 【解答】解：设11月份有*x*万人参观科技馆，
>
> 2*x*﹣1.8＝7.2
>
> 2*x*＝9
>
> *x*＝4.5
>
> 答：11月份有4.5万人参观科技馆。
>
> 【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为*x*，由此列方程解决问题。
28．【分析】小丽家上个月的用电量是450度，超过第三档电价，所以要按照三个档位分别进行计算。
> 【解答】解：220×0.49+（400﹣221）×0.54+（450﹣400）×0.79
>
> ＝107.8+96.66+39.5
>
> ＝243.96（元）
>
> 答：上个月小丽家的电费是243.96元。
>
> 【点评】本题考查学生对三挡电价的计算，能根据不同档位的电价分别进行计算。
29．【分析】先依据长方形的面积公式求出长方形的面积，再根据三角形的面积比梯形少160平方厘米，由和差公式：（和﹣差）÷2＝较小数，列式为：（30×20﹣160）÷2，据此即可求出三角形的面积，用三角形的面积加上160平方厘米即可求出梯形的面积，据此解答。
> 【解答】解：三角形的面积：
>
> （35×16﹣160）÷2
>
> ＝（560﹣160）÷2
>
> ＝400÷2
>
> ＝200（平方厘米）
>
> 梯形的面积：
>
> 200+160＝360（平方厘米）
>
> 答：梯形的面积是360平方厘米。
>
> 【点评】此题解答的关键在于求出长方形的面积，再根据和差公式：（和﹣差）÷2＝较小数，据此解答即可。
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日期：2021/4/27 15:27:52；用户：18538596816；邮箱：18538596816；学号：27024833
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**小学四年级上册数学奥数知识点讲解第2课《速算与巧算2》试题附答案**
**答案**
四年级奥数上册：第二讲 速算与巧算（四）习题解答
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**《认识直角》同步练习**
> **一、填一填。**
>
> 1、一个角有 （ ） 个顶点，（ ） 条边。
>
> 2、一块三角板中，有 （ ） 个角，其中有 （ ） 个直角。
>
> 3、一个长方形有 （ ） 个角，有 （ ） 个角是直角。
>
> 4、拿一张纸，先上下对折，再 （ ） 对折可以得到直角。
>
> **二、辨一辨。**
>
> 1、下面的图形中,是角的在( )里打"√"，不是的打"×"。
>
> （ ） （ ） （ ） （ ）
>
>   
>
> （ ） （ ） （ ） （ ）
>
> 2、下面的图形中，是直角的在（ ）里打"√"，不是的打"×"，是直角并标上直角符号。
>
> ( ) ( ) ( ) ( )
>
> 3、找出比直角小的角，在它下面的（ ）里画"√ "。
>
> （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
>
> 4、找出比直角大的角，在它下面的（ ）里画"√ "。
>
> （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
>
> **三、选一选（把序号填在蘑菇瓶中）**
>
> 
>
> **四、数一数。**
>
> 1、下面图形中各有几个角。
>
> 
>
> 2、下面图形中各有几个直角。
>
> **\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]**
**参考答案：**
> **一、填一填。**
>
> 1、一个角有 （ 1 ） 个顶点，（ 2 ） 条边。
>
> 2、一块三角板中，有 （ 3 ） 个角，其中有 （1 ） 个直角。
>
> 3、一个长方形有 （ 4 ） 个角，有 （ 4 ） 个角是直角。
>
> 4、拿一张纸，先上下对折，再 （ 左右 ） 对折可以得到直角。
>
> **二、辨一辨。**
>
> 1、下面的图形中,是角的在( )里打"√"，不是的打"×"。
>
> \[来源:Z§xx§k.Com\]
>
> （ × ） （ √ ） （ × ） （ √ ）
>
>   
>
> （ √ ） （ √ ） （√ ） （ √ ）
>
> 2、下面的图形中，是直角的在（ ）里打"√"，不是的打"×"，是直角并标上直角符号。
>
> (× ) (× ) (√ ) ( ×)
>
> 3、找出比直角小的角，在它下面的（ ）里画"√ "。
>
> （ ） （ √ ） （ ） （ √ ） （√ ） \[来源:Zxxk.Com\]
>
> 4、找出比直角大的角，在它下面的（ ）里画"√ "。
>
> （ ） （ √ ） （ ） （ ） （ √ ）
>
> 三、选一选（把序号填在蘑菇瓶中）
>
> 比直角小的角 ②③⑤
>
> 直角 ①⑦
>
> 比直角大的角 ④⑥\[来源:Z&xx&k.Com\]
>
> **四、数一数。**
>
> 1、下面图形中各有几个角。
>
> \(4\) (3) (4) (7)
>
> 2、下面图形中各有几个直角。
>
> (4)(2)(1)
>
> (8)(2)(1)\[来源:学\*科\*网\]
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第6单元 第二节：摘苹果**
一、算一算。
43+18= 37+17= 12+29= 68+15=
56+34= 28+13= 42+37=  38+52=
15+19= 27+58= 26+44= 67+16=
\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
二、 比大小。\
68○86 47○37 30＋25○25＋30\
100○88 40＋9○49 80－45○83－45
三、 妈妈买来8个苹果，草莓的个数比苹果多得多。草莓可能有多少个？\
四、 一个数从右边起，第一位是（ ）位，第二位是（ ）位，第三位是（  ）位；56的个位上是（ ），十位上是（ ）。6、 100里面有（ ）个十，100里面有（ ）个一；78里面有（ ）个十和（ ）个一。
五、 你认识这些图形吗？数一数每种图形各有几个？\
\
六、 想一想，连一连
七、直接写得数\
40＋28＝ 57－6＝ 91＋8＝ 72－5＝
8＋45＝ 90－20＝ 18－9＝ 13＋60＝
30＋50＝ 3＋35＝ 46－40＝ 52－4＝
\[来源:学+科+网\]
\[来源:Zxxk.Com\]
答案\[来源:学\_科\_网\]\[来源:学+科+网\]
一、算一算。
43+18=61 37+17=54 12+29=41 68+15=83
56+34=90 28+13= 41 42+37=79 38+52=90
15+19=34 27+58=85 26+44=70 67+16=83
二、\
68＜86 47＞37 30＋25＝25＋30\
100＞88 40＋9＝49  80－45＜83－45 \
三、 个 四、 \
十 百 6 5 10 100 7 8
五、 5 3 1 3 1
六、
六、直接写得数\
40＋28＝68 57－6＝51 91＋8＝99  72－5＝ 67
8＋45＝ 53 90－20＝70 18－9＝9 13＋60＝73
30＋50＝80 3＋35＝38 46－40＝6 52－4＝48
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2020～2021学年上学期期末检测二年级数学评分意见
及部分参考答案
1. 我会填。（21分)
> 每空1分，共21分。
二、我会辨。（5分） 每题1分，共5分。
参考答案：1.× 2.√ 3.√ 4.× 5. ×
三、我会选。（5分）每题1分，共5分。
参考答案：1. A 2. C 3. B 4. B 5. A
四、按要求，做一做。（10分）
1．在方格纸上按照要求画角（从给出的点画起）。（3分）
画对一个角1分
2．画图表示下面算式的含义。（3分）
画图要点：（1）图形形状不限
（2）只要学生画出的图形数量是6个3少1，3个6少1均可）
3．连一连。（4分）连对1条线，得1分。
五、我会算。（28分）
1\. 直接写出得数。（13分）
> 每题1分，共13分。
2\. 竖式计算。（15分）
一步计算的每题2分（竖式1分，得数1分），共6分。
两步计算的每题3分（竖式2分，得数1分），共9分（竖式写成一个或两个均可）。
六、我会解决问题。（共计31分）
1．看图列式计算。每题3分，其中列式2分，得数1分，共6分。
参考答案：（1）12+3=15
（2）8×3+ 9 = 33 或4×6 + 9 = 33
2．列式2.5分，得数1分，口答0.5分，共4分。
3．每问3分，其中列式2分，得数1分，口答不计分，共6分
4．（1）填空2分。
（2）列式2分，得数1分，口答不计分，共3分。
（3）列式3分，得数1分，口答不计分，共4分。
（4）每问3分，其中列式2分，得数1分，口答不计分，共6分。
**※解决问题，分步列式计算或综合列式计算均可**。
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**北师大版小学四年级下册数学第一单元《小数的意义和加减法------小数的意义》同步检测1（附答案）**
一、仔细想，认真填。
1.把"1"平均分成10份，每份是它的( )，写成小数是( )；
把"l"平均分成100份，每份是它的( )，写成小数是( )。
2.0.6里面有( )个0.1，0.08里面有( )个0.0l。
3.( )个0.01是0.03，0.28里面有2个( )，8个( )。
4.3.2中的"3"在( )位上，表示( )个( )；2在( )位上，表示( )个( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、填一填。
1\. 
分数( ) 小数( )
2\. 
分数( ) 小数( )
3\.  
( )+( )=( )
4\. 
（ ） （ ） （ ）
（ ） （ ） （ ）
三、火眼金睛。
1.整数都比小数大。( )
2.5.02读作五点零二。( )
3.4.021是四位小数。( )
4.10个0.Ol是1。( )
5.0.89加上l1个0.01是1。( )
四、选一选。
1.百分位在小数点右边的第( )位。
A.一 B.二 C.三
2.由4个十，2个一和8个百分之一组成的数是( )。
A.42.08 B.42.8 C.4.28
3.把"1"平均分成10份，其中的6份是( )。
A. B. C.
4.小数0.217 中的"7"表示( )。
A.7个百分之一
B.7个十分之一
C.7个千分之一来源：www.bcjy123.com/tiku/
五、读出或写出下面横线上的数。
1.举世瞩目的港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，全长[49.968]{.underline}千米；
深圳湾公路大桥全长[5.545]{.underline}千米。
49.968读作： [ ]{.underline}
5.545读作： [ ]{.underline}
> 2.西安市地下水的持续回灌，地下水位回升明显。矗立千年的唐代建筑大雁塔由1996年时的[一千零一十点五]{.underline}毫米的西北方向倾斜量，逐渐回弹至[九百九十八点九]{.underline}毫米。
一千零一十点五 写作： [ ]{.underline}
九百九十八点九 写作： [ ]{.underline}
六、把下列分数写成小数。
= = =来源：www.bcjy123.com/tiku/
= = =
七、把下列小数写成分数。
0.5= 0.13= 0.58=
0.09= 0.027= 0.345=
八、找出生活中的小数。
例：拉萨的全年下雨日有八十七点八天。
1\.
2\.
3\.
**参考答案**
一、
1\. 0.1 0.01
2\. 6 8
3\. 3 0.1 0.01
4\. 个 3 1 十分 2 0.1
二、
1\. 0.3
2\. 0.32
3\. 2 0.7 2.7
4\. 0.6 1.5 2.8 0.04 0.16 0.23
三、1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√
四、1.B 2.A 3.C 4.C
五、
1\. 四十九点九六八 五点五四五
2\. 1010.5 998.9
六、0.9 0.17 0.201 0.04 0.003 0.021
七、
八、答案不唯一。
1.全球第二长的斜拉索桥------昂船洲大桥距离海面73.5米高。
2.国王胡夫的金字塔原高146.5米，现高136.5米。
3.我的身高是1.45米。
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**椭圆二级结论大全**
1\. 2.标准方程 3.
4．点P处的切线PT平分△PF~1~F~2~在点P处的外角.
5．PT平分△PF~1~F~2~在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF~1~为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
8．设A~1~、A~2~为椭圆的左、右顶点，则△PF~1~F~2~在边PF~2~（或PF~1~）上的旁切圆，必与A~1~A~2~所在的直线切于A~2~（或A~1~）.
9．椭圆（a＞b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P~1、~P~2~时A~1~P~1~与A~2~P~2~交点的轨迹方程是.
10．若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
11．若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P~1~、P~2~，则切点弦P~1~P~2~的直线方程是.
12．AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.
13．若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
14．若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
15．若PQ是椭圆（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则.
16．若椭圆（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) .
17．给定椭圆：（a＞b＞0）, ：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M.
(ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点.
18．设为椭圆（或圆）C: (a＞0,. b＞0)上一点，P~1~P~2~为曲线C的动弦,且弦PP~1~, PP~2~斜率存在，记为k~1~, k ~2~, 则直线P~1~P~2~通过定点的充要条件是.
19．过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
20．椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F~1~，F ~2~，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点三角形的面积为， .
21．若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F~1~, F ~2~是焦点, , ，则.
22．椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,( , ，).
23．若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，左准线为L，则当
时，可在椭圆上求一点P，使得PF~1~是P到对应准线距离d与PF~2~的比例中项.
24．P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F~1~,F~2~为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.
25．椭圆（a＞b＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条件是.
26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
28．P是椭圆（a＞b＞0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是.
29．设A,B为椭圆上两点，其直线AB与椭圆相交于,则.
30．在椭圆中，定长为2m（o＜m≤a）的弦中点轨迹方程为,其中,当时, .
31．设S为椭圆（a＞b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记\|AB\|=，是AB中点，则当时，有,);当时，有,.
32．椭圆与直线有公共点的充要条件是.
33．椭圆与直线有公共点的充要条件是.
34．设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F~1~、F~2~,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF~1~F~2~中，记, ,，则有.
35．经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A~1~和A~2~的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P~1~和P~2~，则.
36．已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）\|OP\|^2^+\|OQ\|^2^的最小值为;（3）的最小值是.
37．MN是经过椭圆（a＞b＞0）焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则.
38．MN是经过椭圆（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦，则.
39．设椭圆（a＞b＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A~1~P、A~2~Q(A~1\ ,~A~2~为对称轴上的两顶点)的交点N在直线：(或)上.
40．设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
41．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A~1~、A~2~为椭圆长轴上的顶点，A~1~P和A~2~Q交于点M，A~2~P和A~1~Q交于点N，则MF⊥NF.
42．设椭圆方程,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线：的共轭直线上,而且.
43．设A、B、C、D为椭圆上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则.
44．已知椭圆（a＞b＞0）,点P为其上一点F~1~, F ~2~为椭圆的焦点，的外（内）角平分线为，作F~1~、F~2~分别垂直于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是().
45．设△ABC内接于椭圆，且AB为的直径，为AB的共轭直径所在的直线，分别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.
46．过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
47．设A（x~1~ ,y~1~）是椭圆（a＞b＞0）上任一点，过A作一条斜率为的直线L，又设d是原点到直线 L的距离, 分别是A到椭圆两焦点的距离，则.
48．已知椭圆（ a＞b＞0）和（ ），一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=\|CD│.
49．已知椭圆（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.
50．设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F~1~、F~2~为其焦点记，则(1).(2) .
51．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN：于M，N两点,则.
52．L是经过椭圆（ a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点，若，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.
53．L是椭圆（ a＞b＞0）的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点，e是离心率，，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.
54．L是椭圆（ a＞b＞0）的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（当且仅当时取等号）.
55．已知椭圆（ a＞b＞0），直线L通过其右焦点F~2~,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F~1~连结起来，则（当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F~1~、B三点共线时左边不等式取等号）.
56．设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .
57．设A、B是椭圆（ a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则.
58．设A、B是椭圆（ a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若B P交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且，则点A、B的横坐标、满足；（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且,则点A、B的横坐标满足.
59．设是椭圆的长轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线与的交点P的轨迹是双曲线.
60．过椭圆（ a＞b＞0）的左焦点作互相垂直的两条弦AB、CD则.
61．到椭圆（ a＞b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.
62．到椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.
63．到椭圆（ a＞b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）.
64．已知P是椭圆（ a＞b＞0）上一个动点，是它长轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是.
65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.
66．设椭圆（ a＞b＞0）长轴的端点为,是椭圆上的点过P作斜率为的直线，过分别作垂直于长轴的直线交于,则（1）.（2）四边形面积的最小值是.
67．已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
68．OA、OB是椭圆（ a＞0,b＞0）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点.(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是.
69．是椭圆（a＞b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过一个定点.（2）以P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是
(且).
70．如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F~1~、F~2~到直线的距离分别为d~1~、d~2~，那么（1），且F~1~、F ~2~在 同侧直线L和椭圆相切.（2），且F~1~、F~2~在L同侧直线 和椭圆相离，（3），或F~1~、F~2~在L异侧直线L和椭圆相交.
71．AB是椭圆（a＞b＞0）的长轴，是椭圆上的动点，过的切线与过A、B的切线交于、两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是.
72．设点为椭圆（ a＞b＞0）的内部一定点，AB是椭圆过定点的任一弦，当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时.当弦AB垂直于长轴所在直线时, .
73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.
74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.
75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.
76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.
77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.
81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.
82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.
83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.
84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.
85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.
86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.
87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.
88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.
89\. 已知椭圆(包括圆在内)上有一点,过点分别作直线及的平行线，与轴于，与轴交于.,为原点，则：（1）；（2）.
90\. 过平面上的点作直线及的平行线，分别交轴于，交轴于.（1）若，则的轨迹方程是.(2)若，则的轨迹方程是.
91\. 点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，则：.
92\. 点为第一象限内一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，已知，则的轨迹方程是.
**\
椭圆性质92条证明**
1.椭圆第一定义。2.由定义即可得椭圆标准方程。3.椭圆第二定义。
4\. 如图，设，切线PT（即）的斜率为k，所在直线斜率为，所在直线斜率为。
4图 5图
由两直线夹角公式得：
同理可证其它情况。故切线PT平分点P处的外角。
5.如图，延长F~1~P至A，使PA=PF~2~，则是等腰三角形，AF~2~中点即为射影H~2~。则，同理可得，所以射影H~1~，H~2~的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。
6.设P，Q两点到与焦点对应的准线的距离分别为，以PQ中点到准线的距离为，以PQ为直径的圆的半径为r，则，故以PQ为直径的圆与对应准线相离。
7图 8图
7.如图，两圆圆心距为，故两圆内切。
8.如图，由切线长定理：，
而，与重合，故旁切圆与x轴切于右顶点，同理可证P在其他位置情况。
9\.
10\. 在椭圆上，对求导得：
切线方程为即
11.设，由10得：，因为点在直线上，且同时满足方程，所以
12.作差得：
13.由12可得：
14\. .由12可得：
15.设，则
16.将直线AB代入椭圆方程中得：
，
设则，，
17.设椭圆内直角弦AB的方程为：即。
当斜率k存在时，代入椭圆C~1~方程中得：
设得，
则
即直线AB过定点，此点在C~2~上。当直线斜率不存在时，直线AB也过C~2~上的定点。
由上可知C~1~和C~2~上点由此建立起一种一一对应的关系，即证。
18.必要性：设P~1~P~2~：。k存在时，代入椭圆方程中得：
设得，
k不存在时，P~1~P~2~：x=mx~0~则，
必要性得证。
充分性：设P~1~P~2~过定点，则P~1~P~2~：。代入椭圆方程得：
设得，
则
注意到m≠1，解（1）（3）得，代入（2）式，成立。
验证k不存在的情况，也得到此结论。故过定点，充分性得证。
19\. 设AB：即
20.由余弦定理：
21.由34：
22.由第二定义得：
23\.
24\.
25.设椭圆上的点关于对称，。
由12得：
又在椭圆内，若，则
26.由5即可得证。
27.设P，则切线，A
27图 30图
28\.
29.设。联立得：
，由韦达定理：
同理。则APBQ=
而的符号一定相反，故==0。所以AP=BQ
30.设，为AB中点。
则
而
设，则
解得，代入m^2^得：
令得：
所以定长为2m（0＜m≤a）的弦中点轨迹方程为。
其中,当时, 。
31\. 设，为AB中点。则：
二次函数y=e^2^x^2^-mx+a^2^与在内的交点即为x~0~的值。由图易知y=e^2^x^2^-mx+a^2^与的左交点为x~0~的值。当m增大时，x~0~减小。要使x~0~最大，则要使m最小。
，此时等号成立时
31图 35图
当此式成立时
当时：
当时：当时，。
当时，当，即AB垂直于x轴时x~0~最大。
考虑到对称性对任意情况均成立。
，
32\.
33\.
当时，即为32：
34.由正弦定理得，所以。
35\. 设，则P点处的切线为，
由此可得：
36.（1）同15.
（2）由15,36（3）：
（3）设，
37.设，椭圆
 37图 38图
则
将AB的方程代入椭圆的标准方程中得：，由参数t的几何意义可知：
38.作半弦OQ⊥OP，由37得：，由15：
39.设，将的方程代入椭圆得：
由韦达定理得：，直线A~1~P的方程为，直线A~2~Q的方程为，联立A~1~P和A~2~Q得交点N的横坐标，代入化简：
所以交点一定在直线上。同理可证M在y轴上的情况。
引理（张角定理）：A,C,B三点按顺序排列在一条直线上。直线外一点P对AC的张角为α，对CB的张角为β。
则：
40图 41图
40.如图，A为左顶点时，设，则
。 对F-APM由张角定理：
即FM平分，同理FN平分。即MF⊥NF
当A为右顶点时，由39可知左顶点A'与P、M；Q、N分别共线，于是回到上一种情况。
41.如图，设，则
对F-QA~2~M和F-A~1~PM由张角定理：
两式相减并化简得：
即FM平分，同理FN平分。即MF⊥NF
42.由12即可证得。
43.设，AB：，CD：，将AB的方程代入椭圆得：
由参数t的几何意义可知：，同理
44\. 对于外角平分线的情况由5即可证得，下仅证为内角平分线的情况。
设P，则
则，
。分别联立、和、得：
，
则， 对点：
，代回式得：
同理对点得。故点、点的轨迹方程为
45.由伸缩变换将椭圆（左图）变为圆（右图），椭圆中的共轭直径变为圆中相互垂直的直径。所证命题变为证CD与圆O相切的充要条件是D为EF中点。
 
充分性：若D为EF中点 ∵C在圆上，AB⊥OE ∴FC⊥CE，OF⊥OB ∴CD=DE=DF ∴∠DCF=∠OFB=∠OAC=∠OCA
∴∠OCD=∠OCA+∠ECD=∠ECD+∠DCF=∠ECF=90°∴OC⊥CD ∴CD与圆相切。
必要性：若CD与圆相切，则∠OCD=∠ACB=∠FOB=90°∴∠DCF=∠OCA=∠OAC=∠CFD ∴DF=DC ∵∠ECF=90°
∴∠DEC=90°－∠CFD=90°－∠DCF=∠DCE ∴CD=DE=DF 即D为EF中点。
46.设，由椭圆极坐标方程：
，
47.由10可知为切线 由22:
48.同29。
49\.
50.同20。
51.设，代入椭圆方程得：
由韦达定理得：
由A、P、M三点共线得，同理
52,53,54为同一类题（最佳观画位置问题），现给出公式：若有两定点A，B，点P在直线x=m上（m\>k），则当时，∠APB最大，其正弦值为。
52.k=c,m=a ∴sinα≤e,当且仅当PH=b时取等号。 53. k=a,m= ∴sinα≤e,当且仅当PH=时取等号。
54\. k=c,m= ∴sinα≤e^2^,当且仅当PH=时取等号。
55.设∠AF~2~x=，
∴当=0°时，；当=90°时， ∴
56.（1）设，代入椭圆方程得： ∵AP=≠0
∴AP=
（2）设则
（3）
由（2）：
57.由58可证。
58.（1）易知PQ的斜率为0和斜率不存在时，对任意x轴上的点A都成立。设，A（m，0）
代入椭圆方程得：，则
若，则
（2）作P关于x轴的对称点，由（1）即证。
59.同9。
60.设椭圆，。
则
当时，有最小值；当或时，有最大值
61,62,63为同一类问题，现给出公式：若点P到两定点A，B的距离之比，则P点的轨迹为一个圆，圆心坐标为，圆的半径为。
下三个题的比值均为，代入上述公式得：圆心坐标为，圆的半径为。
61.m=c，圆心坐标为，圆的半径为。轨迹方程是姊妹圆。
62.m=a，圆心坐标为，圆的半径为。轨迹方程是姊妹圆。
63.m=，圆心坐标为，圆的半径为。轨迹方程是姊妹圆。
64.设，由得
消去参数得Q点的轨迹方程：
65.同37。 66.（1）同35（2）由基本不等式，则梯形面积的最小值为。
67.设AC交x轴于M，AD⊥于D。由椭圆第二定义：
∴AC过EF的中点。
68.（1）由17可知当椭圆方程为时，AB过定点。当椭圆方程变为
时，椭圆向右平移了个单位，定点也应向右平移了个单位，故此时AB过定点即
（2）由69（2）P为原点，即m=n=0时Q点的轨迹方程是。
69.（1）由17可知当椭圆方程为时，AB过定点。当椭圆方程变为
时，椭圆向右平移了个单位，定点也应向右平移了个单位，故此时AB过定点即。
（2）先证椭圆中心在原点的情况。椭圆方程为：，，AB的斜率为。
由17（1）：AB过定点，设AB：，PQ：
两者联立得，
则
当椭圆方程变为时，椭圆向右平移了个单位，圆心也应向右平移了个单位，而半径不变。故此时圆心的坐标为即，半径的平方仍为。
∴Q点的轨迹方程为。
70.设L:Ax+By+C=0,则
将L代入椭圆方程得：，
直线 和椭圆相离，且F~1~、F~2~在L同侧。 直线L和椭圆相切，且F~1~、F ~2~在 同侧。
直线L和椭圆相交，或F~1~、F~2~在L异侧。
71.由35：
由得，消去参数得M点的轨迹方程为：
72.由43：。当即AB与椭圆长轴平行时，
；当即AB与椭圆短轴平行时，
73.同7。 74.同8。 75.由8可知，处的切线长，同理可证P在其他位置情况。
76\. 如图，由切线长定理PS=PT，PS+PT=PF~1~+PF~2~-F~1~S-F~2~T= PF~1~+PF~2~-F~1~Q-F~2~Q= 2a-2c，所以PS=PT=a-c
76图 77图
77\. 设P，由79中得到的内点坐标和22中的焦半径公式：，
78\.
79\. 设P，则外角平分线（即切线），由此得外点
同理内角平分线（即法线），由此得内点
80.由79中得到的内外点坐标可得：，即证。
81.由79中得到的内外点坐标可得：，即证。
82.同5。 83.同5。 84.由5,7即证。
85\. 设P，则外角平分线（即切线），
由50得：，则
86.由4即证。 87.同4。
88.由71：，
同理：
，即两焦点在以两交点为直径的圆上。
89\. 设P，则
同理 ∴
同理
同理
90.设P，则
同理：
均推出P点的轨迹方程为。
91\.
92\. 设P，则 由此得P点的轨迹方程为。
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**2015-2016学年九年级（下）入学数学试卷**
**一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案．其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑．**
1．在，﹣1，0，2这四个数中，属于负数的是（ ）
A． B．﹣1 C．0 D．2
2．计算2a^3^•（﹣a^5^）的结果是（ ）
A．2a^8^ B．﹣2a^8^ C．2a^15^ D．﹣2a^15^
3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
5．下列调查中，调查方式选择正确的是（ ）
A．为了了解某品牌手机的屏幕是否耐摔，选择全面调查
B．为了了解玉兔号月球车的零部件质量，选择抽样调查
C．为了了解南开步行街平均每天的人流量，选择抽样调查
D．为了了解中秋节期间重庆市场上的月饼质量，选择全面调查
6．如图，AB∥CD，AF与CD交于点E，BE⊥AF，∠B=60°，则∠DEF的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
7．期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说："我们组成绩是86分的同学最多"，小英说："我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分"，上面两位同学的话能反映出的统计量是（ ）
A．众数和平均数 B．平均数和中位数
C．众数和方差 D．众数和中位数
8．在寻找马航MH370航班过程中，某搜寻飞机在空中A处发现海面上一块疑似漂浮目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=1500米，，则飞机距疑似目标B的水平距离BC为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．如图，AB是⊙O的直径，点C、点D在⊙O上，连结AC、BC、AD、CD，若∠BAC=50°，则∠ADC的度数等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
10．张老师带育才艺术团去北京参加文艺汇演，他们乘坐校车从南开大校门口出发到机场赶飞机．车开了一段时间后，张老师发现有一包演出服落在了校门口门卫处，于是马上打出租车返回去取，拿到服装后，他立即乘同一辆出租车追赶校车（下车取服装的时间忽略不计），结果，张老师在机场附近追上校车．设张老师与校车之间的距离为S，校车出发的时间为t，则下面能反映S与t的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
11．观察下面一组数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，...．，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去，则第11行中从左边数第10个数是（ ）
A．﹣110 B．110 C．﹣111 D．111
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点O在坐标原点，点B的坐标为（1，4），点A在第二象限，反比例函数y=的图象经过点A，则k的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣ D．
**二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共24分），请将答案直接填在题后的横线上．**
13．中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，这个数据用科学记数法可表示为[ ]{.underline}．
14．计算：2×（﹣π）^0^﹣1^2016^+的值为[ ]{.underline}．
15．若△ABC∽△DEF，且周长比为2：3，则相似比为[ ]{.underline}．
16．如图，扇形OAB的圆心角为90°、半径为2cm，半圆O~1~和半圆O~2~的直径分别为OA和OB，则图中阴影部分的面积为[ ]{.underline}cm^2^．
17．从﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3六个数中任选一个数记为k，则使得关于x的分式方程=k﹣2有解，且关于x的一次函数y=（k+）x+2不经过第四象限的概率为[ ]{.underline}．
18．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=6，E为BC延长线上一点，且EC=，过点E作EF⊥AB交AB于F，将△ABC沿AB翻折，得到△ABD，将△ABD绕点B旋转，在旋转过程中，记旋转中△ABD为△A′B′D′．设直线A′D′与射线EF交于点M，与射线EB交于点N，当△EMN是以∠MEN为底角的等腰三角形时，EN=[ ]{.underline}．
**三、解答题：（本大题2个小题，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.**
19．（1）解方程：
（2）解方程组：．
20．如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，AB=DE．求证：AC∥DF．
**四、解答题：（本大题4个小题，每小题0分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.**
21．（2014•万州区校级模拟）先化简，再求值：，其中a是不等式组的整数解．
22．（2016春•重庆校级月考）创造节期间，重庆育才中学向学生征集校服自主设计作品．初三年级信息技术张老师从全年级32个班中随机抽取了A、B、C、D共四个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）张老师所调查的4个班征集到作品共[ ]{.underline}件，其中B班征集到作品[ ]{.underline}件，请把图2补充完整．
（2）如果全年级参赛作品中有4件获全校一等奖，其中有2名作者是男生，2名作者是女生．现在要在获一等奖的四个人中抽两人去参加全校自主校服设计的走秀活动，求恰好抽中一男一女的概率（要求用树状图或列表法写出分析过程）．
23．（2016春•重庆校级月考）某公司研发一款新型的测角仪，这种测角仪能更精确的测量角度，减少误差．
（1）如图，小明为了得到教学楼BC上旗杆AB的高度，用新型测角仪在与BC相距12m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，请你帮小明求出旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：∠AGB=90°≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）
（2）目前公司有100台机器，平均每台能生产400套，由于该仪器大受欢迎，工厂计划增加产量；但是由于机器故障，每台平均生产套数将减少1.25a%（20＜a＜30），要使生产总量增加10%，则机器台数需增加2.4a%，求a的值．
24．（2016春•重庆校级月考）若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n，使得，即a=bn．例如若整数a能被整数3整除，则一定存在整数n，使得，即a=3n．
（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除．例如：将数字306371分解为306和371，因为371﹣306=65，65是13的倍数，所以306371能被13整除．请你证明任意一个四位数都满足上述规律．
（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做"摆动数"，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是"摆动数"，再如：656，9898，37373，171717，...，都是"摆动数"，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除．
**五、解答题（本大题2个小题，每小题l2分，共24分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上．**
25．（2015•重庆校级二模）如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．
（1）若AD=3，BE=4，求EF的长；
（2）求证：CE=EF；
（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
26．（2014•山西）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．
（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；
（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N是抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
**2015-2016学年九年级（下）入学数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案．其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑．**
1．在，﹣1，0，2这四个数中，属于负数的是（ ）
A． B．﹣1 C．0 D．2
【分析】根据负数是小于0的数，可得答案．
【解答】解：A、不是负数，故A错误；
B、﹣1是负数，故B正确；
C、0不是负数，故C错误；
D、是正数，故D错误；
故选：B
2．计算2a^3^•（﹣a^5^）的结果是（ ）
A．2a^8^ B．﹣2a^8^ C．2a^15^ D．﹣2a^15^
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【解答】解：2a^3^•（﹣a^5^）=﹣2a^8^．
故选：B．
3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．
故选：C．
4．函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
【分析】根据二次根式的性质的意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：依题意，得3﹣x≥0，
解得x≤3，
故选D．
5．下列调查中，调查方式选择正确的是（ ）
A．为了了解某品牌手机的屏幕是否耐摔，选择全面调查
B．为了了解玉兔号月球车的零部件质量，选择抽样调查
C．为了了解南开步行街平均每天的人流量，选择抽样调查
D．为了了解中秋节期间重庆市场上的月饼质量，选择全面调查
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、为了了解某品牌手机的屏幕是否耐摔，宜选择抽样调查，故A错误；
B、为了了解玉兔号月球车的零部件质量，精确度要求高，故已选择全面调查，故B错误；
C、为了了解南开步行街平均每天的人流量，选择抽样调查，故C正确；
D、为了了解中秋节期间重庆市场上的月饼质量，宜选择抽样调查，故D错误；
故选：C．
6．如图，AB∥CD，AF与CD交于点E，BE⊥AF，∠B=60°，则∠DEF的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠B，根据垂直的定义可得∠AEB=90°，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠B=60°，
∵BE⊥AF，
∴∠AEB=90°，
∴∠DEF=180°﹣∠1﹣∠AEB=180°﹣60°﹣90°=30°．
故选C．
7．期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说："我们组成绩是86分的同学最多"，小英说："我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分"，上面两位同学的话能反映出的统计量是（ ）
A．众数和平均数 B．平均数和中位数
C．众数和方差 D．众数和中位数
【分析】根据中位数和众数的定义回答即可．
【解答】解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排在中间位置的数是中位数，
故选：D．
8．在寻找马航MH370航班过程中，某搜寻飞机在空中A处发现海面上一块疑似漂浮目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=1500米，，则飞机距疑似目标B的水平距离BC为（ ）\[来源:Zxxk.Com\]
A．米 B．米 C．米 D．米
【分析】利用所给角的正切函数求得线段BC的长即可．
【解答】解：由题意得：AC=1500米，tan∠B=，
∴在Rt△ACB中，BC===2500米，
故选D．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C、点D在⊙O上，连结AC、BC、AD、CD，若∠BAC=50°，则∠ADC的度数等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】先由直径所对的圆周角为90°，可得：∠ACB=90°，然后由∠BAC=50°，根据三角形内角和定理可得：∠B=40°，然后根据同弧所对的圆周角相等，即可求出∠ADC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=50°，
∴∠B=40°，
∴∠ADC=∠B=40°．
故选C．
10．张老师带育才艺术团去北京参加文艺汇演，他们乘坐校车从南开大校门口出发到机场赶飞机．车开了一段时间后，张老师发现有一包演出服落在了校门口门卫处，于是马上打出租车返回去取，拿到服装后，他立即乘同一辆出租车追赶校车（下车取服装的时间忽略不计），结果，张老师在机场附近追上校车．设张老师与校车之间的距离为S，校车出发的时间为t，则下面能反映S与t的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据老师在校车上时S为零，打出租车返回路程变化快，乘车追赶时路程变化慢，可得答案．
【解答】解：老师乘校车时路程为零，打车返回学校时两车行驶方向相反路程变化快，乘车追赶路程变化慢，故B符合题意．
故选：B．
11．观察下面一组数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，...．，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去，则第11行中从左边数第10个数是（ ）
A．﹣110 B．110 C．﹣111 D．111
【分析】首先观察已知数列中，绝对值为奇数的符号为"﹣"，绝对值为偶数的符号为"+"，其次观察数列排列中，每一行的第一个数的绝对值，与所在行数的关系：第n行的第一个数的绝对值为：（n﹣1）^2^+1，由此即可进行判断．
【解答】解：观察数列排列中，第n行的第一个数的绝对值为：（n﹣1）^2^+1，
所以第11行的第一个数的绝对值为：（11﹣1）^2^+1=101，
第11行中从左边数第10个数的绝对值是：101+（10﹣1）=110，
观察已知数列中，绝对值为奇数的符号为"﹣"，绝对值为偶数的符号为"+"，
所以：第11行中从左边数第10个数是：110．
故选B．\[来源:Zxxk.Com\]
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点O在坐标原点，点B的坐标为（1，4），点A在第二象限，反比例函数y=的图象经过点A，则k的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣ D．
【分析】作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，先通过证得△AOD≌△OCE得出AD=OE，OD=CE，设A（x，），则C（，﹣x），根据正方形的性质求得对角线解得F的坐标，根据直线OB的解析式设出直线AC的解析式为：y=﹣x+b，代入交点坐标求得解析式，然后把A，C的坐标代入即可求得k的值．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
∵∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠OAD=∠COE，
在△AOD和△OCE中，
，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴AD=OE，OD=CE，
设A（x，），则C（，﹣x），
∵点B的坐标为（1，4），
∴OB==，
直线OB为：y=4x，
∵AC和OB互相垂直平分，
∴它们的交点F的坐标为（，2），
设直线AC的解析式为：y=﹣x+b，
代入（，2）得，2=﹣×+b，解得b=，
直线AC的解析式为：y=﹣x+，
把A（x，），C（，﹣x）代入得
，解得k=﹣．
故选C．
**二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共24分），请将答案直接填在题后的横线上．**
13．中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，这个数据用科学记数法可表示为[ 6.75×10^4^ ]{.underline}．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于67500有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．
【解答】解：67 500=6.75×10^4^．
故答案为：6.75×10^4^．
14．计算：2×（﹣π）^0^﹣1^2016^+的值为[ 2 ]{.underline}．
【分析】原式利用零指数幂法则，乘方的意义，以及算术平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2﹣1+3=4﹣2=2，
故答案为：2
15．若△ABC∽△DEF，且周长比为2：3，则相似比为[ 2：3 ]{.underline}．
【分析】由△ABC∽△DEF，且周长比为2：3，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且周长比为2：3，
∴相似比为：2：3．
故答案为：2：3．
16．如图，扇形OAB的圆心角为90°、半径为2cm，半圆O~1~和半圆O~2~的直径分别为OA和OB，则图中阴影部分的面积为[ 1 ]{.underline}cm^2^．
【分析】连接AB，OD，根据两半圆的直径相等可知∠AOD=∠BOD=45°，故可得出阴影部分的面积=S~△AOD~，故可得出结论．
【解答】解：连接AB，OD，
∵两半圆的直径相等，
∴∠AOD=∠BOD=45°，
∴S~阴影~=S~△AOD~=×2×1=1．
故答案为：1．
17．从﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3六个数中任选一个数记为k，则使得关于x的分式方程=k﹣2有解，且关于x的一次函数y=（k+）x+2不经过第四象限的概率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】首先利用分式方程的知识求得当k=﹣3，﹣2，﹣1，3，使得关于x的分式方程=k﹣2有解，再利用一次函数的性质，求得当k=﹣1，1，2，3时，关于x的一次函数y=（k+）x+2不经过第四象限，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：∵方程两边同乘以（x+1），
∴k﹣1=（k﹣2）（x+1），
∴当k=2或k=1时，关于x的分式方程=k﹣2无解，
∴当k=﹣3，﹣2，﹣1，3，使得关于x的分式方程=k﹣2有解；
∵关于x的一次函数y=（k+）x+2不经过第四象限，
∴k+＞0，
∴k＞﹣，
∴当k=﹣1，1，2，3时，关于x的一次函数y=（k+）x+2不经过第四象限，
∴得关于x的分式方程=k﹣2有解，且关于x的一次函数y=（k+）x+2不经过第四象限的有﹣1，3；
∴使得关于x的分式方程=k﹣2有解，且关于x的一次函数y=（k+）x+2不经过第四象限的概率为： =．
故答案为：．
18．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=6，E为BC延长线上一点，且EC=，过点E作EF⊥AB交AB于F，将△ABC沿AB翻折，得到△ABD，将△ABD绕点B旋转，在旋转过程中，记旋转中△ABD为△A′B′D′．设直线A′D′与射线EF交于点M，与射线EB交于点N，当△EMN是以∠MEN为底角的等腰三角形时，EN=[ 13或]{.underline}[+3]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】情形1：如图1中，当∠BEF=∠NME时，易证BN=NA′，设BN=NA′=x，在RT△BND′利用勾股定理即可解决问题．情形2：如图2中，当∠MEN=∠MNE时，证明BN=BA′即可解决问题．
【解答】解：如图1中，当∠BEF=∠NME时，
∵∠BEF+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°，
∴∠BEF=∠A=∠BA′D′=∠NME，
∴BA′∥EM，
∴∠NBA′=∠BEF=∠BA′N，
∴NB=NA′，设BN=NA′=x，
在RT△BND′中，∵BD′^2^+ND′^2^=BN^2^，
∴3^2^+（6﹣x）^2^=x^2^，
x=，
∴EN=EB+BN=EC+BC+BN=+3+=13，
如图2中，当∠MEN=∠MNE时，
∵∠MEN=∠BAC=∠BA′N=∠A′NE，
∴BA′=BN=AB===3，
∴EN=EC+BC+BN=+3=3=+3．
故答案为13或+3．
**三、解答题：（本大题2个小题，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程****或推理步骤.**
19．（1）解方程：
（2）解方程组：．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：（1）去分母得：x^2^+2x﹣x^2^+4=1，
解得：x=﹣1.5，
经检验x=﹣1.5是分式方程的解；
（2），
把①代入②得：3x+2x﹣4=1，
解得：x=1，
把x=1代入①得：y=﹣2，
则方程组的解为．
20．如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，AB=DE．求证：AC∥DF．
【分析】首先由BE=CF可以得到BC=EF，然后利用边边边证明△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题．
【解答】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC即BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴∠ACB=∠F，
∴AC∥DF．
**四、解答题：（本大题4个小题，每小题0分，共40分）解答时每小题必须给出必****要的演算过程或推理步骤.**
21．（2014•万州区校级模拟）先化简，再求值：，其中a是不等式组的整数解．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，计算即可得到结果，求出不等式组解集确定出a的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=+•﹣3=+﹣3==﹣，
由不等式组得到＜a＜3，
∵a为整数，
∴a=1或2，
又∵a≠1，
∴a=2，
当a=2时，原式=﹣2．
22．（2016春•重庆校级月考）创造节期间，重庆育才中学向学生征集校服自主设计作品．初三年级信息技术张老师从全年级32个班中随机抽取了A、B、C、D共四个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）张老师所调查的4个班征集到作品共[ 12 ]{.underline}件，其中B班征集到作品[ 3 ]{.underline}件，请把图2补充完整．
（2）如果全年级参赛作品中有4件获全校一等奖，其中有2名作者是男生，2名作者是女生．现在要在获一等奖的四个人中抽两人去参加全校自主校服设计的走秀活动，求恰好抽中一男一女的概率（要求用树状图或列表法写出分析过程）．
【分析】（1）用C的度数除以360度求出所占的百分比，由C的件数除以所占的百分比即可得到调查的总件数；进而求出B的件数；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）张老师所调查的4个班征集到作品有： =12（件），
其中B班征集到作品数为：12﹣2﹣5﹣2=3（件），
补全图形如下：
（2）画树状图如下：
所有等可能的情况有12种，其中一男一女有8种，
则P==；
故答案为：（1）12，3．
23．（2016春•重庆校级月考）某公司研发一款新型的测角仪，这种测角仪能更精确的测量角度，减少误差．
（1）如图，小明为了得到教学楼BC上旗杆AB的高度，用新型测角仪在与BC相距12m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，请你帮小明求出旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：∠AGB=90°≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）
（2）目前公司有100台机器，平均每台能生产400套，由于该仪器大受欢迎，工厂计划增加产量；但是由于机器故障，每台平均生产套数将减少1.25a%（20＜a＜30），要使生产总量增加10%，则机器台数需增加2.4a%，求a的值．
【分析】（1）过E点作EH⊥BC于H点，在RT△BEH中利用三角函数求得BH的长，然后在直角△EAH中，利用三角函数求得AH的长，根据AB=AH﹣BH即可求解；
（2）根据机器的总生产量等于机器数与每台生产的产品数即可列方程求解．
【解答】解：（1）过E点作EH⊥BC于H点，
由题：∠AEH=52°，∠BEH=45°，EH=12m，
在RT△BEH中，∵∠BEH=45°
∴BH=EH=12m
在Rt△EAH中，AH=EH•tan52°=15.36m
∴AB=AH﹣BH≈3.4m
（2）由题意得：40000（1+10%）=400（1﹣1.25a%）•100（1+2.4a%），
解得：a~1~=25，a~2~=．
∵20＜a＜30，
∴a=25．
答：a的值为25．
24．（2016春•重庆校级月考）若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n，使得，即a=bn．例如若整数a能被整数3整除，则一定存在整数n，使得，即a=3n．
（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除．例如：将数字306371分解为306和371，因为371﹣306=65，65是13的倍数，所以306371能被13整除．请你证明任意一个四位数都满足上述规律．
（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做"摆动数"，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是"摆动数"，再如：656，9898，37373，171717，...，都是"摆动数"，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除．
【分析】（1）设一个四位数的末三位数为B，末三位数以前的数为A，根据题意可得A=13n+B，即这个四位数是1000（13n+B）+B=13（1000n+77B），可得；
（2）设任意一个6位摆动数的十位数字为a、个位数字为b，表示出末三位数为100b+10a+b，末三位数以前的数为100a+10b+a，将二者相减分解出因数13可得．
【解答】解：（1）设一个四位数的末三位数为B，末三位数以前的数为A，
则这个四位数为：1000A+B，
由题意：A﹣B=13n（n为整数），
∴A=13n+B，
从而1000A+B=1000（13n+B）+B
=13000n+1001B
=13（1000n+77B），
∴这个四位数能被13整除
∴任意一个四位数都满足上述规律；
（2）设任意一个6位摆动数的十位数字为a，个位数字为b，
所以这个6位摆动数的末三位数为：100b+10a+b，
末三位数以前的数为：100a+10b+a，
∵100a+10b+a﹣（100b+10a+b）=91a﹣91b=13（7a﹣7b）
∴这个6位摆动数的末三位数以前的数与末三位数之差能被13整除，
∴任意一个6位摆动数能被13整除．
**五、解答题（本大题2个小题，每小题l2分，共24分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上．**
25．（2015•重庆校级二模）如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．
（1）若AD=3，BE=4，求EF的长；
（2）求证：CE=EF；
（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
【分析】（1）由AE=DE，∠AED=90°，AD=3，可求得AE=DE=3，在Rt△BDE中，由DE=3，BE=4，可知BD=5，又F是线段BD的中点，所以EF=BD=2.5；
（2）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=EF；\[来源:学科网\]
（3）思路同（1）．连接CF，延长EF交CB于点G，先证△EFC是等腰三角形，要证明EF=FG，需要证明△DEF和△FGB全等．由全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此得出结论．
【解答】解：（1）∵∠AED=90°，AE=DE，AD=3，
∴AE=DE=3，
在Rt△BDE中，
∵DE=3，BE=4，
∴BD=5，
又∵F是线段BD的中点，
∴EF=BD=2.5；
（2）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE=FE；
解法1：∵∠AED=∠ACB=90°
∴B、C、D、E四点共圆
且BD是该圆的直径，
∵点F是BD的中点，
∴点F是圆心，
∴EF=CF=FD=FB，
∴∠FCB=∠FBC，∠ECF=∠CEF，
由圆周角定理得：∠DCE=∠DBE，
∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°
∴∠ECF=45°=∠CEF，\[来源:Z,xx,k.Com\]
∴△CEF是等腰直角三角形，\[来源:学科网\]
∴CE=EF．
解法2：∵∠BED=∠AED=∠ACB=90°，
∵点F是BD的中点，
∴CF=EF=FB=FD，
∵∠DFE=∠ABD+∠BEF，∠ABD=∠BEF，
∴∠DFE=2∠ABD，
同理∠CFD=2∠CBD，
∴∠DFE+∠CFD=2（∠ABD+∠CBD）=90°，
即∠CFE=90°，
∴CE=EF．
（2）（1）中的结论仍然成立．
解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，
∵∠ACB=∠AED=90°，
∴DE∥BC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EDF和△GBF中，
，
∴△EDF≌△GBF，
∴EF=GF，BG=DE=AE，
∵AC=BC，
∴CE=CG，
∴∠EFC=90°，CF=EF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∴CE=FE；
解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAE=45°+45°=90°，
又∵点F是BD的中点，
∴FA=FB=FD，
在△ACF和△BCF中，
，
∴△ACF≌△BCF，
∴∠ACF=∠BCF=∠ACB=45°，
∵FA=FB，CA=CB，
∴CF所在的直线垂直平分线段AB，
同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，
又∵DA⊥BA，
∴EF⊥CF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CE=EF．
26．（2014•山西）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．
（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；
（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N是抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出顶点D的坐标；
（2）由平移性质，可知重叠部分为一平行四边形．如答图2，作辅助线，利用相似比例式求出平行四边形的边长和高，从而求得其面积的表达式；然后利用二次函数的性质求出最值；
（3）本问涉及两个动点，解题关键是利用平行四边形的判定与性质，区分点N在x轴上方、下方两种情况，分类讨论，避免漏解．设M（t，0），利用全等三角形求出点N的坐标，代入抛物线W′的解析式求出t的值，从而求得点M的坐标．
【解答】方法一：
解：（1）设抛物线W的解析式为W=ax^2^+bx+c，
∵抛物线W经过O（0，0）、A（4，0）、C（﹣2，3）三点，
∴，
解得：
∴抛物线W的解析式为W=x^2^﹣x．
∵W=x^2^﹣x=（x﹣2）^2^﹣1，
∴顶点D的坐标为（2，﹣1）．
（2）由▱OABC得，CB∥OA，CB=OA=4．
又∵C点坐标为（﹣2，3），
∴B点的坐标为（2，3）．
如答图2，过点B作BE⊥x轴于点E，由平移可知，点C′在BE上，且BC′=m．
∴BE=3，OE=2，∴EA=OA﹣OE=2．
∵C′B′∥x轴，
∴△BC′G∽△BEA，
∴，即，
∴C′G=m．
由平移知，▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分四边形C′HAG是平行四边形．
∴S=C′G•C′E=m（3﹣m）=﹣（m﹣）^2^+，
∴当m=时，S有最大值为．
（3）答：存在．
在（2）的条件下，抛物线W向右平移4个单位，再向下平移个单位，得到抛物线W′，
∵D（2，﹣1），∴F（6，﹣）；
∴抛物线W′的解析式为：y=（x﹣6）^2^﹣．
设M（t，0），
以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
①若点N在x轴下方，如答图3所示：
过点D作DP∥y轴，过点F作FP⊥DP于点P，
∵D（2，﹣1），F（6，﹣），∴DP=，FP=4；
过点N作NQ⊥x轴于点Q，
由四边形FDMN为平行四边形，易证△DFP≌△NMQ，
∴MQ=FP=4，NQ=DP=，
∴N（4+t，﹣），
将点N坐标代入抛物线W′的解析式y=（x﹣6）^2^﹣，得：（t﹣2）^2^﹣=﹣，
解得：t=0或t=4，
∴点M的坐标为（0，0）或（4，0）；
②若点N在x轴上方，（请自行作图）
与①同理，得N（t﹣4，）
将点N坐标代入抛物线W′的解析式y=（x﹣6）^2^﹣，得：（t﹣10）^2^﹣=，
解得：t=6或t=14，
∴点M的坐标为（6，0）或（14，0）．
综上所述，存在这样的点M和点N，点M的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．
方法二：
（1）略．
（2）∵抛物线W和▱OABC一起向右平移4个单位后，再向下平移m个单位．
∴O′（4，﹣m），C′（2，3﹣m），
设l~O′C′~：y=kx+b，
∴⇒，
∴l~O′C′~：y=﹣x+6﹣m，
∴当y=0时，x=，
∴H（，0），
∵A（4，0），C′（2，3﹣m），
∴S=C′~y~×（A~x~﹣H~x~）=（3﹣m）（4﹣）=﹣m^2^+2m，
∴当m=时，S最大值为．
（3）∵D（2，﹣1），当m=时，F（6，﹣），
∵D、M、F、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴N~1~（t+4，﹣），同理N~2~（t﹣4，），N~3~（8﹣t，﹣）．
∴①（t+4﹣6）^2^﹣=﹣，∴t~1~=0，t~2~=4，
②（t﹣4﹣6）^2^﹣=，∴t~1~=6，t~2~=14，
③（8﹣t﹣6）^2^﹣=﹣，∴无解，
综上所述，存在这样的点M和点N，点M的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．
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**机密★启用前**
**2020年湖北省宜昌市初中学业水平考试**
**数学试题**
**(本试卷共24小题，满分120分，考试时间120分钟)**
注意事项:
本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效.
考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交.
参考公式:抛物线的顶点坐标是
**一、选择题：本大题共11个小题，每小题3分，共33分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片.从对称美的角度看，拍得最成功的是（ ）
A． B．
C． D．
2\. 我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨用科学记数法表示铝、锰元素总量的和，接近值是（ ）
A． B． C． D．
3\. 对于无理数添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
4\. 如图，点在一条直线上，且我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线.下列说法正确的是（ ）
A．是线段的垂直平分线 B．是线段的垂直平分线
C．是线段的垂直平分线 D．是的垂直平分线
5\. 小李、小王、小张、小谢原有位置如图(横为排、竖为列)，小李在第排第列，小王在第排第列，小张在第排第列，小谢在第排第列.撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）
A．小李现在位置为第排第列 B．小张现在位置为第排第列
C．小王现在位置为第排第列 D．小谢现在位置为第排第列
6\. 能说明"锐角锐角的和是锐角"是假命题的例证图是 （ ）
A． B．
C． D．
7\. 诗句"横看成岭侧成峰，远近高低各不同"，意思是说要认清事物的本质，就必须从不同角度去观察，下图是对某物体从不同角度观察的记录情况，对该物体判断最接近本质的是（ ）
A．是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个垂直的空心管
B．是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个平行的空心管
C．是圆柱形物体，里面有两个垂直的空心管
D．是圆柱形物体，里面有两个平行的空心管
8\. 某车间工人在某一天的加工零件数只有件，件，件，件四种情况.图中描述了这天相关的情况，现在知道是这一天加工零件 数的唯一众数.设加工零件数是件的工人有人，则（ ）
A． B． C． D．
9\. 游戏中有数学智慧.找起点游戏规定:从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）
A．每走完一段直路后沿向右偏方向行走 B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏方向行走 D．每段直路要长
10\. 如图，为圆上的三点，点可能是圆心的是（ ）
A． B．
C． D．
11\. 已知电压电流、电阻三者之间的关系式为:(或者)，实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
**二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）**
12.向指定方向变化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负数表示，"体重减少"换一种说法可以叙述为"体重增加\_\_\_\_ [ ]{.underline} \_\_"
13\. 数学讲究记忆方法.如计算时若忘记了法则，可以借助，得到正确答案.你计算的结果是\_\_\_ [ ]{.underline} ．
14\. 技术变革带来产品质量的提升.某企业技术变革后，抽检某一产品件，欣喜发现产品合格的频率已达到依此我们可以估计该产品合格的概率为 [ ]{.underline} (结果要求保留两位小数)．
15\. 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(为小路端点)和一棵小树(为小树位置) .测得的相关数据为:米，则\_\_\_ [ ]{.underline} 米.
**三、解答题 （本大题共9小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
16.在""""两个符号中选一个自己想要的符号，填入中的，并计算.
17\. 先化简，再求值:，其中.
18.光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射.如图，水面与水杯下沿平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成点在射线上，已知，求的度数.
19.红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地，以千米/小时的平均速度，用时小时到达，由于天气原因，原路返回时汽车平均速度控制在不低于千米/小时且不高于千米/小时的范围内，这样需要用小时到达，求的取值范围.
20.宜昌景色宜人，其中三峡大坝、清江画廊、三峡人家景点的景色更是美不胜收.某民营单位为兼顾生产和业余生活，决定在下设的三部门利用转盘游戏确定参观的景点，两转盘各部分圆心角大小以及选派部门、旅游景点等信息如图.
若规定老同志相对偏多的部门选中的可能性大，试判断这个部门是哪个部门？请说明理由；
设选中部门游三峡大坝的概率为选中部门游清江画廊或者三峡人家的概率为请判断大小关系，并说明理由.
21.如图，在四边形中，，过点的与边分别交于两点.垂足为.连接.
若试判断的形状，并说明理由:
若求证:与相切于点.
22\. 资料:公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积.
材料:某地有两家商贸公司(以下简称公司).去年下半年公司营销区域面积分别为平方千米，平方千米，其中公共营销区域面积与公司营销区域面积的比为:今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，公司营销区域面积比去年下半年增长了公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是公司的倍，公共营销区域面积与公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了个百分点.
问题:根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题(如求去年下半年公共营销区域面积与公司营销区域面积的比)，并解答:
若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且公司每半年每平方千米产生的经济收益均为公司的倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比.
23.菱形的对角线相交于点，点是射线上一个动点，过点作交射线于点以为邻边作矩形.
如图1，当点在线段上时，求证:；
若延长与边交于点将沿直线翻折得到.
如图2，当点在上时，求证:四边形为正方形；
如图3，当为定值时，设为大于的常数，
当且仅当时，点在矩形的外部，求的值.
24.已知函数均为-次函数，为常数.
如图1，将直线绕点逆时针旋转得到直线，直线交轴于点.若直线恰好是中某个函数的图象，请直接写出点坐标以及可能的值；
若存在实数使得成立，求函数图象间的距离；
当时，函数图象分别交轴，轴于两点，图象交轴于点，将函数的图象最低点向上平移个单位后刚好落在一次函数图象上.设的图象，线段线段围成的图形面积为，试利用初中知识，探究的一个近似取值范围. (要求:说出一种得到的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过.)
**2020年湖北省宜昌市初中学业水平考试**
**数学试题参考答案与评分说明**
**一、选择题**
------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ----
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ----
**二、填空题**
------ ---- ---- ---- ----
题号 12 13 14 15
答案
------ ---- ---- ---- ----
**三、解答题**
16\. 解:选择""
选择""
17\. 解:原式
当时，
原式
18\. 解:
19\. 解:方法一:
的取值范围
方法二:
解得
解得
的取值范围
20\. 解:部门
理由:
理由:
---------- -- -- -- --
三峡大坝
清江画廊
三峡人家
---------- -- -- -- --
备注:部门转盘平均分成了等份，部门占两份分别用表示
由表可得，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等，
其中选中三峡大坝的结果有种，选中清江画廊或者三峡人家的结果有种
其它方法参照得分
21\. 解:是等腰直角三角形.
理由如下:
都是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
点与点重合
以下有多种方法:
方法一:
是的半径
与相切于点.
方法二:
又
三点共线
与相切于点.
方法三:如图2
与之间距离:
延长交的延长线交于点
与相切于点
又
点与点重合
与相切于点
22.解问题1:求去年下半年公共营销区域面积与公司营销区域面积的比. .
解答:，
问题2:公司营销区域面积比公司营销区域的面积多多少？
解答:.
问题3:求去年下半年公共营销区域面积与两个公司总营销区域面积的比
解答:，
其它提出问题2分，解答2分
方法一:
方法二:
方法三:
解得(舍去)
设公司每半年每平方千米产生的经济收益为
则公司每半年每平方千米产生的经济收益为
今年上半年公司产生的总经济收益为
去年下半年公司产生的总经济收益为
去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为
23.证明:如图1，四边形为矩形.
四边形是平行四边形
方法一:
方法二:
四边形是平行四边形
方法三:
如图2
证明:
四边形为菱形
方法一:
点在上
四边形为矩形
矩形为正方形
方法二:如图3
连接
点在上
同理可得:
四边形为矩形
矩形为正方形
如图4
四边形为菱形
为定值)
点始终在固定射线上并随的增大向上运动
当且仅当时，点在矩形的外部
时，点在矩形上，
即点在上
设用三角函数可以表示或者利用三角形相似可得
方法一:
过点作于点
又
是直角三角形
(负值舍去)
方法二:
是直角三角形
24\. 解:或者
如图1，
.
方法一:
设与轴、轴交于分别与轴、轴交于，连接
四边形是正方形
即
方法二:
分别交轴，轴于两点
图象交轴于点
二次函数开口向上，它的图象最低点在顶点
顶点
抛物线顶点向上平移刚好在一次函数图象上
且
由得到
由得到与轴，轴交点是
抛物线经过两点
的图象，线段线段围成的图形是封闭图形，
则即为该封闭图形的面积
探究办法:利用规则图形面积来估算不规则图形的面积.
探究过程:
观察大于的情况.
很容易发现
(若有小于其他值情况，只要合理，参照赋分.)
观察小于的情况.
选取小于的几个特殊值来估计更精确的的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种方法，选取以下三种特殊位置:
位置一:如图2
当直线与平行且与抛物线有唯一交点时，
设直线与轴分别交于
直线
设直线
直线
点
位置二:如图3
当直线与抛物线有唯一交点时，直线与轴交于点
设直线
直线
直线
点
位置三:如图4
当直线与抛物线有唯一交点时，直线与轴交于点
设直线
直线
点
我们发现:在曲线两端位置时的三角形的面积远离的值，
由此估计在曲线靠近中间部分时取值越接近的值
探究的结论:按上述方法可得一个取值范围
(备注:不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案.只要来龙去脉清晰、合理，即可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在之间不得分.)
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**2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁~U~A=（ ）
A．{1，2} B．{3，4，5} C．{1，2，3，4，5} D．∅
2．（5分）若α为第二象限角，sinα=，则cosα=（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．（5分）不等式\|x^2^﹣2\|＜2的解集是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣2，0）∪（0，2）
5．（5分）（x+2）^8^的展开式中x^6^的系数是（ ）
A．28 B．56 C．112 D．224
6．（5分）函数f（x）=log~2~（1+）（x＞0）的反函数f^﹣1^（x）=（ ）
A． B． C．2^x^﹣1（x∈R） D．2^x^﹣1（x＞0）
7．（5分）已知数列{a~n~}满足3a~n+1~+a~n~=0，a~2~=﹣，则{a~n~}的前10项和等于（ ）
A．﹣6（1﹣3^﹣10^） B． C．3（1﹣3^﹣10^） D．3（1+3^﹣10^）
8．（5分）已知F~1~（﹣1，0），F~2~（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F~2~且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且\|AB\|=3，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（5分）已知曲线y=x^4^+ax^2^+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（ ）
A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6
11．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~=2AB，则CD与平面BDC~1~所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知抛物线C：y^2^=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（ ）
A． B． C． D．2
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.**
13．（5分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈\[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）=[ ]{.underline}．
14．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有[ ]{.underline}种．（用数字作答）
15．（5分）若x、y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为[ ]{.underline}．
16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17．（10分）等差数列{a~n~}中，a~7~=4，a~19~=2a~9~，
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设b~n~=，求数列{b~n~}的前n项和S~n~．
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．
20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．
21．（12分）已知函数f（x）=x^3^+3ax^2^+3x+1．
（Ⅰ）求a=时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x∈\[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．
22．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．
（I）求a，b；
（II）设过F~2~的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且\|AF~1~\|=\|BF~1~\|，证明：\|AF~2~\|、\|AB\|、\|BF~2~\|成等比数列．
**2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁~U~A=（ ）
A．{1，2} B．{3，4，5} C．{1，2，3，4，5} D．∅
【分析】由题意，直接根据补集的定义求出∁~U~A，即可选出正确选项
【解答】解：因为U={1，2，3，4，5，}，集合A={1，2}
所以∁~U~A={3，4，5}
故选：B．
【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键
2．（5分）若α为第二象限角，sinα=，则cosα=（ ）
A． B． C． D．
【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．
【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=，
∴cosα=﹣=﹣．
故选：A．
【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵，．
∴=（2λ+3，3），．
∵，
∴=0，
∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．
故选：B．
【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．
4．（5分）不等式\|x^2^﹣2\|＜2的解集是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣2，0）∪（0，2）
【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可．
【解答】解：不等式\|x^2^﹣2\|＜2的解集等价于，不等式﹣2＜x^2^﹣2＜2的解集，即0＜x^2^＜4，
解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．
故选：D．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力．
5．（5分）（x+2）^8^的展开式中x^6^的系数是（ ）
A．28 B．56 C．112 D．224
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x^6^的系数．
【解答】解：（x+2）^8^展开式的通项为T ~r+1~=Cx ^8﹣r^2 ^r^
令8﹣r=6得r=2，
∴展开式中x^6^的系数是2 ^2^C~8~^2^=112．
故选：C．
【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
6．（5分）函数f（x）=log~2~（1+）（x＞0）的反函数f^﹣1^（x）=（ ）
A． B． C．2^x^﹣1（x∈R） D．2^x^﹣1（x＞0）
【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log~2~（1+）的反函数．注意反函数的定义域．
【解答】解：设y=log~2~（1+），
把y看作常数，求出x：
1+=2^y^，x=，其中y＞0，
x，y互换，得到y=log~2~（1+）的反函数：y=，
故选：A．
【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．
7．（5分）已知数列{a~n~}满足3a~n+1~+a~n~=0，a~2~=﹣，则{a~n~}的前10项和等于（ ）
A．﹣6（1﹣3^﹣10^） B． C．3（1﹣3^﹣10^） D．3（1+3^﹣10^）
【分析】由已知可知，数列{a~n~}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a~1~，然后代入等比数列的求和公式可求
【解答】解：∵3a~n+1~+a~n~=0
∴
∴数列{a~n~}是以﹣为公比的等比数列
∵
∴a~1~=4
由等比数列的求和公式可得，S~10~==3（1﹣3^﹣10^）
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
8．（5分）已知F~1~（﹣1，0），F~2~（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F~2~且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且\|AB\|=3，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设椭圆的方程为，根据题意可得=1．再由AB经过右焦点F~2~且垂直于x轴且\|AB\|=3算出A、B的坐标，代入椭圆方程得，两式联解即可算出a^2^=4，b^2^=3，从而得到椭圆C的方程．
【解答】解：设椭圆的方程为，
可得c==1，所以a^2^﹣b^2^=1...①
∵AB经过右焦点F~2~且垂直于x轴，且\|AB\|=3
∴可得A（1，），B（1，﹣），代入椭圆方程得，...②
联解①②，可得a^2^=4，b^2^=3
∴椭圆C的方程为 
故选：C．
【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．
9．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．
【解答】解：由函数的图象可知，（x~0~，y~0~）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，
所以函数的周期T=2（）=，
所以T==，所以ω==4．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力．
10．（5分）已知曲线y=x^4^+ax^2^+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（ ）
A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6
【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得a的值．
【解答】解：∵y=x^4^+ax^2^+1，
∴y′=4x^3^+2ax，
∵曲线y=x^4^+ax^2^+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，
∴﹣4﹣2a=8
∴a=﹣6
故选：D．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
11．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~=2AB，则CD与平面BDC~1~所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】设AB=1，则AA~1~=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC~1~的一个法向量，CD与平面BDC~1~所成角为θ，
则sinθ=\|\|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．
【解答】解：设AB=1，则AA~1~=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则D（0，0，2），C~1~（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），
=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），
设=（x，y，z）为平面BDC~1~的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），
设CD与平面BDC~1~所成角为θ，则sinθ=\|\|=，
故选：A．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．
12．（5分）已知抛物线C：y^2^=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（ ）
A． B． C． D．2
【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x~1~+2，y~1~﹣2）•（x~2~+2，y~2~﹣2）=0，即可求出k的值．
【解答】解：由抛物线C：y^2^=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），
代入抛物线方程，得到k^2^x^2^﹣（4k^2^+8）x+4k^2^=0，△＞0，
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）．
∴x~1~+x~2~=4+，x~1~x~2~=4．
∴y~1~+y~2~=，y~1~y~2~=﹣16，
又=0，
∴=（x~1~+2，y~1~﹣2）•（x~2~+2，y~2~﹣2）==0
∴k=2．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.**
13．（5分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈\[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）=[ ﹣1 ]{.underline}．
【分析】利用函数的周期，求出f（﹣1）=f（1），代入函数的解析式求解即可．
【解答】解：因设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈\[1，3）时，f（x）=x﹣2，
则f（﹣1）=f（1）=1﹣2=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查函数的周期的应用，函数值的求法，值域函数的定义域是解题的关键，考查计算能力．
14．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有[ 60 ]{.underline}种．（用数字作答）
【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法，2名二等奖，种方法，利用分步计数原理即可得答案．
【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法，
第二步，再决出2名二等奖，有种方法，
第三步，剩余三人为三等奖，
根据分步乘法计数原理得：共有•=60种方法．
故答案为：60．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题．
15．（5分）若x、y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为[ 0 ]{.underline}．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=﹣x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时，目标函数z取得最小值，从而得到本题答案．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（0，），C（0，4）
设z=F（x，y）═﹣x+y，将直线l：z=﹣x+y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最小值
∴z~最小值~=F（1，1）=﹣1+1=0
故答案为：0
【点评】题给出二元一次不等式组，求目标函数z=﹣x+y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于[ 16π ]{.underline}．
【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．
【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角
根据题意得OC=，CK=
在△OCK中，OC^2^=OK^2^+CK^2^，即
∴r^2^=4
∴球O的表面积等于4πr^2^=16π
故答案为16π
【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17．（10分）等差数列{a~n~}中，a~7~=4，a~19~=2a~9~，
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设b~n~=，求数列{b~n~}的前n项和S~n~．
【分析】（I）由a~7~=4，a~19~=2a~9~，结合等差数列的通项公式可求a~1~，d，进而可求a~n~
（II）由==，利用裂项求和即可求解
【解答】解：（I）设等差数列{a~n~}的公差为d
∵a~7~=4，a~19~=2a~9~，
∴
解得，a~1~=1，d=
∴=
（II）∵==
∴s~n~=
==
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．
【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．
【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）^2^﹣b^2^=ac，
∴a^2^+c^2^﹣b^2^=﹣ac，
∴cosB==﹣，
又B为三角形的内角，
则B=120°；
（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，
∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，
∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，
则C=15°或C=45°．
【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．
【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE，证明PB⊥OE，OE∥CD，即可证明PB⊥CD；
（II）取PD的中点F，连接OF，证明O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，即可求得点A到平面PCD的距离．
【解答】（I）证明：取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE
由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD
∴OA=OB=OD，即O为正方形ABED对角线的交点
∴OE⊥BD，∴PB⊥OE
∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE∥CD
∴PB⊥CD；
（II）取PD的中点F，连接OF，则OF∥PB
由（I）知PB⊥CD，∴OF⊥CD，
∵，=
∴△POD为等腰三角形，∴OF⊥PD
∵PD∩CD=D，∴OF⊥平面PCD
∵AE∥CD，CD⊂平面PCD，AE⊈平面PCD，∴AE∥平面PCD
∴O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离
∵OF=
∴点A到平面PCD的距离为1．
【点评】本题考查线线垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生转化的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．
【分析】（I）设A~1~表示事件"第二局结果为甲胜"，A~2~表示事件"第三局甲参加比赛结果为甲负"，A表示事件"第四局甲当裁判"，可得A=A~1~•A~2~．利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；
（II）设B~1~表示事件"第一局比赛结果为乙胜"，B~2~表示事件"第二局乙参加比赛结果为乙胜"，B~3~表示事件"第三局乙参加比赛结果为乙胜"，B表示事件"前4局中乙恰好当1次裁判"．可得B=，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可得出．
【解答】解：（I）设A~1~表示事件"第二局结果为甲胜"，A~2~表示事件"第三局甲参加比赛结果为甲负"，A表示事件"第四局甲当裁判"．
则A=A~1~•A~2~．
P（A）=P（A~1~•A~2~）=．
（II）设B~1~表示事件"第一局比赛结果为乙胜"，B~2~表示事件"第二局乙参加比赛结果为乙胜"，
B~3~表示事件"第三局乙参加比赛结果为乙胜"，B表示事件"前4局中乙恰好当1次裁判"．
则B=，
则P（B）=P（）
=+
=+
=．
【点评】正确理解题意和熟练掌握相互独立事件和互斥事件的概率计算公式是解题的关键．
21．（12分）已知函数f（x）=x^3^+3ax^2^+3x+1．
（Ⅰ）求a=时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x∈\[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．
【分析】（I）把a=代入可得函数f（x）的解析式，求导数令其为0可得x=﹣，或x=﹣，判断函数在区间（﹣∞，﹣），（﹣，﹣），（﹣，+∞）的正负可得单调性；（II）由f（2）≥0，可得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，由不等式的证明方法可得f′（x）＞0，可得单调性，进而可得当x∈\[2，+∞）时，有f（x）≥f（2）≥0成立，进而可得a的范围．
【解答】解：（I）当a=时，f（x）=x^3^+3x^2^+3x+1，
f′（x）=3x^2^+6x+3，令f′（x）=0，可得x=﹣，或x=﹣，
当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（﹣，﹣）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
（II）由f（2）≥0，可解得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，
f′（x）=3（x^2^+2ax+1）≥3（）=3（x﹣）（x﹣2）＞0，
所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈\[2，+∞）时，f（x）≥f（2）≥0，
综上可得，a的取值范围是\[，+∞）
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的最值问题，属中档题．
22．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．
（I）求a，b；
（II）设过F~2~的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且\|AF~1~\|=\|BF~1~\|，证明：\|AF~2~\|、\|AB\|、\|BF~2~\|成等比数列．
【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；
（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），将其与双曲线C的方程联立，得出x~1~+x~2~=，，再利用\|AF~1~\|=\|BF~1~\|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：\|AF~2~\|、\|AB\|、\|BF~2~\|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．
【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b^2^=8a^2^
所以C的方程为8x^2^﹣y^2^=8a^2^
将y=2代入上式，并求得x=±，
由题设知，2=，解得a^2^=1
所以a=1，b=2
（II）由（I）知，F~1~（﹣3，0），F~2~（3，0），C的方程为8x^2^﹣y^2^=8 ①
由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），\|k\|＜2代入①并化简得（k^2^﹣8）x^2^﹣6k^2^x+9k^2^+8=0
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
则x~1~≤﹣1，x~2~≥1，x~1~+x~2~=，，于是
\|AF~1~\|==﹣（3x~1~+1），
\|BF~1~\|==3x~2~+1，
\|AF~1~\|=\|BF~1~\|得﹣（3x~1~+1）=3x~2~+1，即
故=，解得，从而=﹣
由于\|AF~2~\|==1﹣3x~1~，
\|BF~2~\|==3x~2~﹣1，
故\|AB\|=\|AF~2~\|﹣\|BF~2~\|=2﹣3（x~1~+x~2~）=4，\|AF~2~\|\|BF~2~\|=3（x~1~+x~2~）﹣9x~1~x~2~﹣1=16
因而\|AF~2~\|\|BF~2~\|=\|AB\|^2^，所以\|AF~2~\|、\|AB\|、\|BF~2~\|成等比数列
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．
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**2015年天津市高考数学试卷（理科）**
**一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁~U~B=（ ）
A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}
2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．18 D．40
3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
A．﹣10 B．6 C．14 D．18
4．（5分）设x∈R，则"\|x﹣2\|＜1"是"x^2^+x﹣2＞0"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
6．（5分）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y^2^=4x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2^\|x﹣m\|^﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log~0.5~3），b=f（log~2~5），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）
A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（0，） D．（，2）
**二.填空题（每小题5分，共30分）**
9．（5分）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为[ ]{.underline}．
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为[ ]{.underline}m^3^．
11．（5分）曲线y=x^2^与y=x所围成的封闭图形的面积为[ ]{.underline}．
12．（5分）在（x﹣）^6^的展开式中，x^2^的系数为[ ]{.underline}．
13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为[ ]{.underline}．
14．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为[ ]{.underline}．
**三.解答题（本大题共6小题，共80分）**
15．（13分）已知函数f（x）=sin^2^x﹣sin^2^（x﹣），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间\[﹣，\]内的最大值和最小值．
16．（13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（Ⅰ）设A为事件"选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会"，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，侧棱AA~1~⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA~1~=2，AD=CD=，且点M和N分别为B~1~C和D~1~D的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD
（Ⅱ）求二面角D~1~﹣AC﹣B~1~的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱A~1~B~1~上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A~1~E的长．
18．（13分）已知数列{a~n~}满足a~n+2~=qa~n~（q为实数，且q≠1），n∈N^\*^，a~1~=1，a~2~=2，且a~2~+a~3~，a~3~+a~4~，a~4~+a~5~成等差数列
（1）求q的值和{a~n~}的通项公式；
（2）设b~n~=，n∈N^\*^，求数列{b~n~}的前n项和．
19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x^2^+y^2^=截得的线段的长为c，\|FM\|=．
（Ⅰ）求直线FM的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．
20．（14分）已知函数f（x）=nx﹣x^n^，x∈R，其中n∈N^•^，且n≥2．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x~1~，x~2~，求证：\|x~2~﹣x~1~\|＜+2．
**2015年天津市高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁~U~B=（ ）
A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}
【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；
【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，
∴∁~U~B={2，5，8}，
则A∩∁~U~B={2，5}．
故选：A．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．18 D．40
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+6y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（0，3）
将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，
得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
A．﹣10 B．6 C．14 D．18
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
S=20，i=1
i=2，S=18
不满足条件i＞5，i=4，S=14
不满足条件i＞5，i=8，S=6
满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．
4．（5分）设x∈R，则"\|x﹣2\|＜1"是"x^2^+x﹣2＞0"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由"\|x﹣2\|＜1"得1＜x＜3，
由x^2^+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即"\|x﹣2\|＜1"是"x^2^+x﹣2＞0"的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
5．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．
【解答】解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，
∴2×4=AM•2AM，
∴AM=2，
∴MN=NB=2，
又CN•NE=AN•NB，
∴3×NE=4×2，
∴NE=．
故选：A．
【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
6．（5分）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y^2^=4x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．
【解答】解：由题意，=，
∵抛物线y^2^=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y^2^=4x的准线上，
∴c=，
∴a^2^+b^2^=c^2^=7，
∴a=2，b=，
∴双曲线的方程为．
故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2^\|x﹣m\|^﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log~0.5~3），b=f（log~2~5），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2^\|x\|^﹣1，这样便知道f（x）在\[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间\[0，+∞）上：a=f（\|log~0.5~3\|），b=f（log~2~5），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在\[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．
【解答】解：∵f（x）为偶函数；
∴f（﹣x）=f（x）；
∴2^\|﹣x﹣m\|^﹣1=2^\|x﹣m\|^﹣1；
∴\|﹣x﹣m\|=\|x﹣m\|；
（﹣x﹣m）^2^=（x﹣m）^2^；
∴mx=0；
∴m=0；
∴f（x）=2^\|x\|^﹣1；
∴f（x）在\[0，+∞）上单调递增，并且a=f（\|log~0.5~3\|）=f（log~2~3），b=f（log~2~5），c=f（0）；
∵0＜log~2~3＜log~2~5；
∴c＜a＜b．
故选：C．
【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间\[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．
8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）
A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（0，） D．（，2）
【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），
∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），
由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，
设h（x）=f（x）+f（2﹣x），
若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x^2^，
若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣\|2﹣x\|=2﹣x+2﹣2+x=2，
若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）^2^+2﹣\|2﹣x\|=x^2^﹣5x+8．
即h（x）=，
作出函数h（x）的图象如图：
当x≤0时，h（x）=2+x+x^2^=（x+）^2^+≥，
当x＞2时，h（x）=x^2^﹣5x+8=（x﹣）^2^+≥，
故当b=时，h（x）=b，有两个交点，
当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，
由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，
即h（x）=b恰有4个根，
则满足＜b＜2，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
**二.填空题（每小题5分，共30分）**
9．（5分）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为[ ﹣2 ]{.underline}．
【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．
【解答】解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，
得，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题．
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为[ ]{.underline}[ ]{.underline}m^3^．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，
且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；
∴该几何体的体积为
V~几何体~=2×π•1^2^×1+π•1^2^•2
=π．
故答案为：π．
【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．
11．（5分）曲线y=x^2^与y=x所围成的封闭图形的面积为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0
直线y=x与曲线y=x^2^所围图形的面积S=∫~0~^1^（x﹣x^2^）dx
而∫~0~^1^（x﹣x^2^）dx=（）\|~0~^1^=﹣=
∴曲边梯形的面积是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．
12．（5分）在（x﹣）^6^的展开式中，x^2^的系数为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x^2^的系数．
【解答】解：（x﹣）^6^的展开式的通项公式为T~r+1~=•（x）^6﹣r^•（﹣）^r^=（﹣）^r^••x^6﹣2r^，
令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x^2^的系数为×=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为[ 8 ]{.underline}．
【分析】由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=．利用S~△ABC~==，化为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA即可得出．
【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．
∵S~△ABC~==bc=，化为bc=24，
又b﹣c=2，解得b=6，c=4．
由余弦定理可得：a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．
解得a=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的形式求最值．
【解答】解：由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•=（）•（）=（）•（）
==2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120°
=1++﹣≥+=（当且仅当时等号成立）；
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．
**三.解答题（本大题共6小题，共80分）**
15．（13分）已知函数f（x）=sin^2^x﹣sin^2^（x﹣），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间\[﹣，\]内的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=﹣sin（2x﹣），由周期公式可得；
（Ⅱ）由x∈\[﹣，\]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．
【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin^2^x﹣sin^2^（x﹣）
=（1﹣cos2x）﹣\[1﹣cos（2x﹣）\]
=（1﹣cos2x﹣1+cos2x+sin2x）
=（﹣cos2x+sin2x）
=sin（2x﹣）
∴f（x）的最小正周期T==π；
（Ⅱ）∵x∈\[﹣，\]，∴2x﹣∈\[﹣，\]，
∴sin（2x﹣）∈\[﹣1，\]，∴sin（2x﹣）∈\[﹣，\]，
∴f（x）在区间\[﹣，\]内的最大值和最小值分别为，﹣
【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．
16．（13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（Ⅰ）设A为事件"选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会"，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
【分析】（Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，有P（A）=，
∴事件A发生的概率为；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．
P（X=k）=（k=1，2，3，4）．
∴随机变量X的分布列为：
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X 1 2 3 4
P    
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
随机变量X的数学期望E（X）=．
【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题．
17．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，侧棱AA~1~⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA~1~=2，AD=CD=，且点M和N分别为B~1~C和D~1~D的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD
（Ⅱ）求二面角D~1~﹣AC﹣B~1~的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱A~1~B~1~上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A~1~E的长．
【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点，以AC、AB、AA~1~所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平面ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论；
（Ⅱ）通过计算平面ACD~1~的法向量与平面ACB~1~的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；
（Ⅲ）通过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA~1~所在直线分别为x、y、z轴建系，
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），
A~1~（0，0，2），B~1~（0，1，2），C~1~（2，0，2），D~1~（1，﹣2，2），
又∵M、N分别为B~1~C、D~1~D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．
由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），
∵•=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），
设=（x，y，z）是平面ACD~1~的法向量，
由，得，
取z=1，得=（0，1，1），
设=（x，y，z）是平面ACB~1~的法向量，
由，得，
取z=1，得=（0，﹣2，1），
∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，
∴二面角D~1~﹣AC﹣B~1~的正弦值为；
（Ⅲ）解：由题意可设=λ，其中λ∈\[0，1\]，
∴E=（0，λ，2），=（﹣1，λ+2，1），
又∵=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，
∴cos＜，＞===，
整理，得λ^2^+4λ﹣3=0，解得λ=﹣2或﹣2﹣（舍），
∴线段A~1~E的长为﹣2．
【点评】本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
18．（13分）已知数列{a~n~}满足a~n+2~=qa~n~（q为实数，且q≠1），n∈N^\*^，a~1~=1，a~2~=2，且a~2~+a~3~，a~3~+a~4~，a~4~+a~5~成等差数列
（1）求q的值和{a~n~}的通项公式；
（2）设b~n~=，n∈N^\*^，求数列{b~n~}的前n项和．
【分析】（1）通过a~n+2~=qa~n~、a~1~、a~2~，可得a~3~、a~5~、a~4~，利用a~2~+a~3~，a~3~+a~4~，a~4~+a~5~成等差数列，计算即可；
（2）通过（1）知b~n~=，n∈N^\*^，写出数列{b~n~}的前n项和T~n~、2T~n~的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．
【解答】解：（1）∵a~n+2~=qa~n~（q为实数，且q≠1），n∈N^\*^，a~1~=1，a~2~=2，
∴a~3~=q，a~5~=q^2^，a~4~=2q，
又∵a~2~+a~3~，a~3~+a~4~，a~4~+a~5~成等差数列，
∴2×3q=2+3q+q^2^，
即q^2^﹣3q+2=0，
解得q=2或q=1（舍），
∴a~n~=；
（2）由（1）知b~n~===，n∈N^\*^，
记数列{b~n~}的前n项和为T~n~，
则T~n~=1+2•+3•+4•+...+（n﹣1）•+n•，
∴2T~n~=2+2+3•+4•+5•+...+（n﹣1）•+n•，
两式相减，得T~n~=3++++...+﹣n•
=3+﹣n•
=3+1﹣﹣n•
=4﹣．
【点评】本题考查求数列的通项与前n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x^2^+y^2^=截得的线段的长为c，\|FM\|=．
（Ⅰ）求直线FM的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．
【分析】（Ⅰ）通过离心率为，计算可得a^2^=3c^2^、b^2^=2c^2^，设直线FM的方程为y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；
（Ⅱ）通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M（c，c），利用\|FM\|=计算即可；
（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x∈（﹣，﹣1）与x∈（﹣1，0）两种情况讨论即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵离心率为，∴==，
∴2a^2^=3b^2^，∴a^2^=3c^2^，b^2^=2c^2^，
设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），
∵直线FM被圆x^2^+y^2^=截得的线段的长为c，
∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，
∴d^2^+=，即（）^2^+=，
解得k=，即直线FM的斜率为；
（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为：+=1，直线FM的方程为y=（x+c），
联立两个方程，消去y，整理得3x^2^+2cx﹣5c^2^=0，解得x=﹣c，或x=c，
∵点M在第一象限，∴M（c，c），
∵\|FM\|=，∴=，
解得c=1，∴a^2^=3c^2^=3，b^2^=2c^2^=2，
即椭圆的方程为+=1；
（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，
∵F（﹣1，0），∴t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），
联立方程组，消去y并整理，得2x^2^+3t^2^（x+1）^2^=6，
又∵直线FP的斜率大于，
∴＞，6﹣2x^2^＞6（x+1）^2^，
整理得：x（2x+3）＜0且x≠﹣1，
解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，
设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），
联立方程组，消去y并整理，得m^2^=﹣．
①当x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，
∴m=，∴m∈（，）；
②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，
∴m=﹣，∴m∈（﹣∞，﹣）；
综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．
【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题．
20．（14分）已知函数f（x）=nx﹣x^n^，x∈R，其中n∈N^•^，且n≥2．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x~1~，x~2~，求证：\|x~2~﹣x~1~\|＜+2．
【分析】（Ⅰ）由f（x）=nx﹣x^n^，可得f′（x），分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x~0~，0），则可求x~0~=n，f′（x~0~）=n﹣n^2^，可求g（x）=f′（x~0~）（x﹣x~0~），F′（x）=f′（x）﹣f′（x~0~）．由f′（x）=﹣nx^n﹣1^+n在（0，+∞）上单调递减，可求F（x）在∈（0，x~0~）内单调递增，在（x~0~，+∞）上单调递减，即可得证．
（Ⅲ）设x~1~≤x~2~，设方程g（x）=a的根为，由（Ⅱ）可得x~2~≤．设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，设方程h（x）=a的根为，可得＜x~1~，从而可得：x~2~﹣x~1~＜﹣=，由n≥2，即2^n﹣1^=（1+1）^n﹣1^≥1+=1+n﹣1=n，推得：2=x~0~，即可得证．
【解答】（本题满分为14分）
解：（Ⅰ）由f（x）=nx﹣x^n^，可得f′（x）=n﹣nx^n﹣1^=n（1﹣x^n﹣1^），其中n∈N^•^，且n≥2．
下面分两种情况讨论：
（1）当n为奇数时，令f′（x）=0，解得x=1，或x=﹣1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
--------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
x （﹣∞，﹣1） （﹣1，1） （1，+∞）
f′（x） ﹣ \+ ﹣
f（x）   
--------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
所以，f（x）在 （﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）单调递增．
（2）当n为偶数时，
当 f′（x）＞0，即x＜1时，函数 f（x）单调递增；
当 f′（x）＜0，即x＞1时，函数 f（x）单调递减；
所以，f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
（Ⅱ）证明：设点P的坐标为（x~0~，0），则x~0~=n，f′（x~0~）=n﹣n^2^，
曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x~0~）（x﹣x~0~），即g（x）=f′（x~0~）（x﹣x~0~），
令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x~0~）（x﹣x~0~），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x~0~）．
由于f′（x）=﹣nx^n﹣1^+n在（0，+∞）上单调递减，故F′（x）在（0，+∞）上单调递减，
又因为F′（x~0~）=0，所以当x∈（0，x~0~）时，F′（x）＞0，当x∈（x~0~，+∞）时，F′（x）＜0，
所以F（x）在∈（0，x~0~）内单调递增，在（x~0~，+∞）上单调递减，
所以对应任意的正实数x，都有F（x）≤F（x~0~）=0，
即对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）．
（Ⅲ）证明：不妨设x~1~≤x~2~，
由（Ⅱ）知g（x）=（n﹣n^2^）（x﹣x~0~），
设方程g（x）=a的根为，可得=，
由（Ⅱ）知g（x~2~）≥f（x~2~）=a=g（），可得x~2~≤．
类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），
可得h（x）=nx，当x∈（0，+∞），f（x）﹣h（x）=﹣x^n^＜0，
即对于任意的x∈（0，+∞），f（x）＜h（x），
设方程h（x）=a的根为，可得=，
因为h（x）=nx在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（）=a=f（x~1~）＜h（x~1~），
因此＜x~1~，
由此可得：x~2~﹣x~1~＜﹣=，
因为n≥2，所以2^n﹣1^=（1+1）^n﹣1^≥1+=1+n﹣1=n，
故：2=x~0~．
所以：\|x~2~﹣x~1~\|＜+2．
【点评】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力．
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**2016年浙江省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题**
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁~U~P）∪Q=（ ）
A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}
2．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
3．（5分）函数y=sinx^2^的图象是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log~a~b＞1，则（ ）
A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b﹣1）（b﹣a）＞0
6．（5分）已知函数f（x）=x^2^+bx，则"b＜0"是"f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知函数f（x）满足：f（x）≥\|x\|且f（x）≥2^x^，x∈R．（ ）
A．若f（a）≤\|b\|，则a≤b B．若f（a）≤2^b^，则a≤b
C．若f（a）≥\|b\|，则a≥b D．若f（a）≥2^b^，则a≥b
8．（5分）如图，点列{A~n~}、{B~n~}分别在某锐角的两边上，且\|A~n~A~n+1~\|=\|A~n+1~A~n+2~\|，A~n~≠A~n+1~，n∈N^\*^，\|B~n~B~n+1~\|=\|B~n+1~B~n+2~\|，B~n~≠B~n+1~，n∈N^\*^，（P≠Q表示点P与Q不重合）若d~n~=\|A~n~B~n~\|，S~n~为△A~n~B~n~B~n+1~的面积，则（ ）
A．{S~n~}是等差数列 B．{S~n~^2^}是等差数列
C．{d~n~}是等差数列 D．{d~n~^2^}是等差数列
**二、填空题**
9．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是[ ]{.underline}cm^2^，体积是[ ]{.underline}cm^3^．
10．（6分）已知a∈R，方程a^2^x^2^+（a+2）y^2^+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是[ ]{.underline}，半径是[ ]{.underline}．
11．（6分）已知2cos^2^x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=[ ]{.underline}，b=[ ]{.underline}．
12．（6分）设函数f（x）=x^3^+3x^2^+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）^2^，x∈R，则实数a=[ ]{.underline}，b=[ ]{.underline}．
13．（4分）设双曲线x^2^﹣=1的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，若点P在双曲线上，且△F~1~PF~2~为锐角三角形，则\|PF~1~\|+\|PF~2~\|的取值范围是[ ]{.underline}．
14．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是[ ]{.underline}．
15．（4分）已知平面向量，，\|\|=1，\|\|=2，=1，若为平面单位向量，则\|\|+\|\|的最大值是[ ]{.underline}．
**三、解答题**
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（1）证明：A=2B；
（2）若cosB=，求cosC的值．
17．（15分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，已知S~2~=4，a~n+1~=2S~n~+1，n∈N^\*^．
（Ⅰ）求通项公式a~n~；
（Ⅱ）求数列{\|a~n~﹣n﹣2\|}的前n项和．
18．（15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
19．（15分）如图，设抛物线y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于\|AF\|﹣1，
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
20．（15分）设函数f（x）=x^3^+，x∈\[0，1\]，证明：
（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x^2^
（Ⅱ）＜f（x）≤．
**2016年浙江省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题**
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁~U~P）∪Q=（ ）
A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}
【分析】先求出∁~U~P，再得出（∁~U~P）∪Q．
【解答】解：∁~U~P={2，4，6}，
（∁~U~P）∪Q={2，4，6}∪{1，2，4}={1，2，4，6}．
故选：C．
【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．
2．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l．
【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，
∴m∥β或m⊂β或m与β相交，l⊂β，
∵n⊥β，
∴n⊥l．
故选：C．
【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
3．（5分）函数y=sinx^2^的图象是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可．
【解答】解：∵sin（﹣x）^2^=sinx^2^，
∴函数y=sinx^2^是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C；
由y=sinx^2^=0，
则x^2^=kπ，k≥0，
则x=±，k≥0，
故函数有无穷多个零点，排除B，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键．比较基础．
4．（5分）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．
【解答】解：作出平面区域如图所示：
∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．
联立方程组，解得A（2，1），
联立方程组，解得B（1，2）．
两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0．
∴平行线间的距离为d==，
故选：B．
【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题．
5．（5分）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log~a~b＞1，则（ ）
A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b﹣1）（b﹣a）＞0
【分析】根据对数的运算性质，结合a＞1或0＜a＜1进行判断即可．
【解答】解：若a＞1，则由log~a~b＞1得log~a~b＞log~a~a，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，
若0＜a＜1，则由log~a~b＞1得log~a~b＞log~a~a，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，
综上（b﹣1）（b﹣a）＞0，
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础．
6．（5分）已知函数f（x）=x^2^+bx，则"b＜0"是"f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】求出f（x）的最小值及极小值点，分别把"b＜0"和"f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等"当做条件，看能否推出另一结论即可判断．
【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣，f~min~（x）=﹣．
（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f（﹣）=﹣，
即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．
∴"b＜0"是"f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等"的充分条件．
（2）设f（x）=t，则f（f（x））=f（t），
∴f（t）在（﹣，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，
若f（f（x））=f（t）的最小值与f（x）的最小值相等，
则﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．
∴"b＜0"不是"f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等"的必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题．
7．（5分）已知函数f（x）满足：f（x）≥\|x\|且f（x）≥2^x^，x∈R．（ ）
A．若f（a）≤\|b\|，则a≤b B．若f（a）≤2^b^，则a≤b
C．若f（a）≥\|b\|，则a≥b D．若f（a）≥2^b^，则a≥b
【分析】根据不等式的性质，分别进行递推判断即可．
【解答】解：A．若f（a）≤\|b\|，则由条件f（x）≥\|x\|得f（a）≥\|a\|，
即\|a\|≤\|b\|，则a≤b不一定成立，故A错误，
B．若f（a）≤2^b^，
则由条件知f（x）≥2^x^，
即f（a）≥2^a^，则2^a^≤f（a）≤2^b^，
则a≤b，故B正确，
C．若f（a）≥\|b\|，则由条件f（x）≥\|x\|得f（a）≥\|a\|，则\|a\|≥\|b\|不一定成立，故C错误，
D．若f（a）≥2^b^，则由条件f（x）≥2^x^，得f（a）≥2^a^，则2^a^≥2^b^，不一定成立，即a≥b不一定成立，故D错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
8．（5分）如图，点列{A~n~}、{B~n~}分别在某锐角的两边上，且\|A~n~A~n+1~\|=\|A~n+1~A~n+2~\|，A~n~≠A~n+1~，n∈N^\*^，\|B~n~B~n+1~\|=\|B~n+1~B~n+2~\|，B~n~≠B~n+1~，n∈N^\*^，（P≠Q表示点P与Q不重合）若d~n~=\|A~n~B~n~\|，S~n~为△A~n~B~n~B~n+1~的面积，则（ ）
A．{S~n~}是等差数列 B．{S~n~^2^}是等差数列
C．{d~n~}是等差数列 D．{d~n~^2^}是等差数列
【分析】设锐角的顶点为O，再设\|OA~1~\|=a，\|OB~1~\|=c，\|A~n~A~n+1~\|=\|A~n+1~A~n+2~\|=b，\|B~n~B~n+1~\|=\|B~n+1~B~n+2~\|=d，由于a，c不确定，判断C，D不正确，设△A~n~B~n~B~n+1~的底边B~n~B~n+1~上的高为h~n~，运用三角形相似知识，h~n~+h~n+2~=2h~n+1~，由S~n~=d•h~n~，可得S~n~+S~n+2~=2S~n+1~，进而得到数列{S~n~}为等差数列．
【解答】解：设锐角的顶点为O，\|OA~1~\|=a，\|OB~1~\|=c，
\|A~n~A~n+1~\|=\|A~n+1~A~n+2~\|=b，\|B~n~B~n+1~\|=\|B~n+1~B~n+2~\|=d，
由于a，c不确定，则{d~n~}不一定是等差数列，
{d~n~^2^}不一定是等差数列，
设△A~n~B~n~B~n+1~的底边B~n~B~n+1~上的高为h~n~，
由三角形的相似可得==，
==，
两式相加可得，==2，
即有h~n~+h~n+2~=2h~n+1~，
由S~n~=d•h~n~，可得S~n~+S~n+2~=2S~n+1~，
即为S~n+2~﹣S~n+1~=S~n+1~﹣S~n~，
则数列{S~n~}为等差数列．
另解：可设△A~1~B~1~B~2~，△A~2~B~2~B~3~，...，A~n~B~n~B~n+1~为直角三角形，
且A~1~B~1~，A~2~B~2~，...，A~n~B~n~为直角边，
即有h~n~+h~n+2~=2h~n+1~，
由S~n~=d•h~n~，可得S~n~+S~n+2~=2S~n+1~，
即为S~n+2~﹣S~n+1~=S~n+1~﹣S~n~，
则数列{S~n~}为等差数列．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．
**二、填空题**
9．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是[ 80 ]{.underline}cm^2^，体积是[ 40 ]{.underline}cm^3^．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体下部为长方体，上部为正方体的组合体，结合图中数据求出它的表面积和体积即可．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，
表面积为2×4×4+2×4^2^=64cm^2^，体积为2×4^2^=32cm^3^；
上部为正方体，其棱长为2，
表面积是6×2^2^=24 cm^2^，体积为2^3^=8cm^3^；
所以几何体的表面积为64+24﹣2×2^2^=80cm^2^，
体积为32+8=40cm^3^．
故答案为：80；40．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空间想象和计算能力，是基础题．
10．（6分）已知a∈R，方程a^2^x^2^+（a+2）y^2^+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是[ （﹣2，﹣4） ]{.underline}，半径是[ 5 ]{.underline}．
【分析】由已知可得a^2^=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2，把a=﹣1代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把a=2代入原方程，由D^2^+E^2^﹣4F＜0说明方程不表示圆，则答案可求．
【解答】解：∵方程a^2^x^2^+（a+2）y^2^+4x+8y+5a=0表示圆，
∴a^2^=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2．
当a=﹣1时，方程化为x^2^+y^2^+4x+8y﹣5=0，
配方得（x+2）^2^+（y+4）^2^=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5；
当a=2时，方程化为，
此时，方程不表示圆，
故答案为：（﹣2，﹣4），5．
【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．
11．（6分）已知2cos^2^x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=[ ]{.underline}[ ]{.underline}，b=[ 1 ]{.underline}．
【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．
【解答】解：∵2cos^2^x+sin2x=1+cos2x+sin2x
=1+（cos2x+sin2x）
=sin（2x+）+1，
∴A=，b=1，
故答案为：；1．
【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
12．（6分）设函数f（x）=x^3^+3x^2^+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）^2^，x∈R，则实数a=[ ﹣2 ]{.underline}，b=[ 1 ]{.underline}．
【分析】根据函数解析式化简f（x）﹣f（a），再化简（x﹣b）（x﹣a）^2^，根据等式两边对应项的系数相等列出方程组，求出a、b的值．
【解答】解：∵f（x）=x^3^+3x^2^+1，
∴f（x）﹣f（a）=x^3^+3x^2^+1﹣（a^3^+3a^2^+1）
=x^3^+3x^2^﹣（a^3^+3a^2^）
∵（x﹣b）（x﹣a）^2^=（x﹣b）（x^2^﹣2ax+a^2^）=x^3^﹣（2a+b）x^2^+（a^2^+2ab）x﹣a^2^b，
且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）^2^，
∴，解得或（舍去），
故答案为：﹣2；1．
【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题．
13．（4分）设双曲线x^2^﹣=1的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，若点P在双曲线上，且△F~1~PF~2~为锐角三角形，则\|PF~1~\|+\|PF~2~\|的取值范围是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出∠PF~2~F~1~和∠F~1~PF~2~为直角时\|PF~1~\|+\|PF~2~\|的值，可得△F~1~PF~2~为锐角三角形时\|PF~1~\|+\|PF~2~\|的取值范围．
【解答】解：如图，
由双曲线x^2^﹣=1，得a^2^=1，b^2^=3，
∴．
不妨以P在双曲线右支为例，当PF~2~⊥x轴时，
把x=2代入x^2^﹣=1，得y=±3，即\|PF~2~\|=3，
此时\|PF~1~\|=\|PF~2~\|+2=5，则\|PF~1~\|+\|PF~2~\|=8；
由PF~1~⊥PF~2~，得，
又\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|=2，①
两边平方得：，
∴\|PF~1~\|\|PF~2~\|=6，②
联立①②解得：，
此时\|PF~1~\|+\|PF~2~\|=．
∴使△F~1~PF~2~为锐角三角形的\|PF~1~\|+\|PF~2~\|的取值范围是（）．
故答案为：（）．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．
14．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】如图所示，取AC的中点O，AB=BC=3，可得BO⊥AC，在Rt△ACD′中，AC=．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E=．CO=，CE==，EO=CO﹣CE=．过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形，BF=EO=．EF=BO=．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．利用余弦定理求出D′F^2^的最小值即可得出．
【解答】解：如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，
在Rt△ACD′中，=．
作D′E⊥AC，垂足为E，D′E==．
CO=，CE===，
∴EO=CO﹣CE=．
过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．
则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO=．
EF=BO==．
则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．
则D′F^2^=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥，cosθ=1时取等号．
∴D′B的最小值==2．
∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===．
也可以考虑利用向量法求解．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．
15．（4分）已知平面向量，，\|\|=1，\|\|=2，=1，若为平面单位向量，则\|\|+\|\|的最大值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由题意可知，\|\|+\|\|为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与共线时，\|\|+\|\|取得最大值，即．
【解答】解：\|\|+\|\|=，
其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，
当与共线时，取得最大值．
∴=．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．
**三、解答题**
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（1）证明：A=2B；
（2）若cosB=，求cosC的值．
【分析】（1）由b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得：sinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），可得0＜A﹣B＜π，即可证明．
（II）cosB=，可得sinB=．cosA=cos2B=2cos^2^B﹣1，sinA=．利用cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出．
【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，
∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），
∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．
∴A=2B．
（II）解：cosB=，∴sinB==．
cosA=cos2B=2cos^2^B﹣1=，sinA==．
∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．
【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（15分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，已知S~2~=4，a~n+1~=2S~n~+1，n∈N^\*^．
（Ⅰ）求通项公式a~n~；
（Ⅱ）求数列{\|a~n~﹣n﹣2\|}的前n项和．
【分析】（Ⅰ）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列{a~n~}是公比q=3的等比数列，即可求通项公式a~n~；
（Ⅱ）讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{\|a~n~﹣n﹣2\|}的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）∵S~2~=4，a~n+1~=2S~n~+1，n∈N^\*^．
∴a~1~+a~2~=4，a~2~=2S~1~+1=2a~1~+1，
解得a~1~=1，a~2~=3，
当n≥2时，a~n+1~=2S~n~+1，a~n~=2S~n﹣1~+1，
两式相减得a~n+1~﹣a~n~=2（S~n~﹣S~n﹣1~）=2a~n~，
即a~n+1~=3a~n~，当n=1时，a~1~=1，a~2~=3，
满足a~n+1~=3a~n~，
∴=3，则数列{a~n~}是公比q=3的等比数列，
则通项公式a~n~=3^n﹣1^．
（Ⅱ）a~n~﹣n﹣2=3^n﹣1^﹣n﹣2，
设b~n~=\|a~n~﹣n﹣2\|=\|3^n﹣1^﹣n﹣2\|，
则b~1~=\|3^0^﹣1﹣2\|=2，b~2~=\|3﹣2﹣2\|=1，
当n≥3时，3^n﹣1^﹣n﹣2＞0，
则b~n~=\|a~n~﹣n﹣2\|=3^n﹣1^﹣n﹣2，
此时数列{\|a~n~﹣n﹣2\|}的前n项和T~n~=3+﹣=，
则T~n~==．
【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a~n~}是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和．
18．（15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）根据三棱台的定义，可知分别延长AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为K，并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK，进而得出BF⊥AC．而根据条件可以判断出点E，F分别为边BK，CK的中点，从而得出△BCK为等边三角形，进而得出BF⊥CK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角，根据条件可以求出BF=，DF=，从而在Rt△BDF中可以求出BD的值，从而得出cos∠BDF的值，即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；
∴AC⊥平面BCK，BF⊂平面BCK；
∴BF⊥AC；
又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；
∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；
∴BF⊥CK，且AC∩CK=C；
∴BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；
∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；
∵F为CK中点，且DF∥AC；
∴DF为△ACK的中位线，且AC=3；
∴；
又；
∴在Rt△BFD中，，cos；
即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为
【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义．
19．（15分）如图，设抛物线y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于\|AF\|﹣1，
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p值；
（Ⅱ）设出直线AF的方程，与抛物线联立，求出B的坐标，求出直线AB，FN的斜率，从而求出直线BN的方程，根据A、M、N三点共线，可求出M的横坐标的表达式，从而求出m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离，
由抛物线定义得，，即p=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y^2^=4x，F（1，0），可设（t^2^，2t），t≠0，t≠±1，
∵AF不垂直y轴，
∴设直线AF：x=sy+1（s≠0），
联立，得y^2^﹣4sy﹣4=0．
y~1~y~2~=﹣4，
∴B（），
又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，
从而得FN：，直线BN：y=﹣，
则N（），
设M（m，0），由A、M、N三点共线，得，
于是m==，得m＜0或m＞2．
经检验，m＜0或m＞2满足题意．
∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．
20．（15分）设函数f（x）=x^3^+，x∈\[0，1\]，证明：
（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x^2^
（Ⅱ）＜f（x）≤．
【分析】（Ⅰ）根据题意，1﹣x+x^2^﹣x^3^=，利用放缩法得≤，即可证明结论成立；
（Ⅱ）利用0≤x≤1时x^3^≤x，证明f（x）≤，再利用配方法证明f（x）≥，结合函数的最小值得出f（x）＞，即证结论成立．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为f（x）=x^3^+，x∈\[0，1\]，
且1﹣x+x^2^﹣x^3^==，
所以≤，
所以1﹣x+x^2^﹣x^3^≤，
即f（x）≥1﹣x+x^2^；
（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x^3^≤x，
所以f（x）=x^3^+≤x+=x+﹣+=+≤；
由（Ⅰ）得，f（x）≥1﹣x+x^2^=+≥，
且f（）=+=＞，
所以f（x）＞；
综上，＜f（x）≤．
【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．
| 1 | |
**-北师大版四年级（下）期末数学试卷（21）**
**一、计算题．（共40分**
1．直接写出得数．
------------ ---------- ----------- -----------
0.36+0.64= 1.1×0.4= 0.15×3= 11.5×100=
0.96﹣0.7= 0.6×0.7= 0.36÷0.4= 0.54÷100=
------------ ---------- ----------- -----------
2．用竖式计算下面各题．
38.59+9.48=
11.65﹣7.39=
2.1÷0.56=
1.8×5.5=
3．脱式计算，能简算就简算．
--------------------- --------------------------- -----------------------
2.6×2.5+2.5×7.4 7.56+13.8+2.44+5.2 （0.08+2.4）×12.5
37.85﹣（7.85+6.4） 0.36÷\[（6.1﹣4.6）×0.8\] 1.6×（2.25+10.5÷1.5）
--------------------- --------------------------- -----------------------
4．解方程：
6y﹣3y=4.8
x÷0.6=4.5
0.5x+2=2．
**二、选择题．（请将符合要求的选项前面的字母代号填在括号里）（每小题1分，共10分）**
5．10000个0.01是（ ）
A．1 B．10 C．100 D．1000
6．下面各数中最大的数是（ ）
A．0.0505 B．0.5005 C．5.005 D．5000
7．下面数量中，与1.3分米不相等的是（ ）
A．0.13米 B．1.30分米 C．1.03分米 D．13厘米
8．下面每组三个角，不可能在同一个三角形内的是（ ）
A．15°、87°、78° B．120°、55°、5° C．80°、50°、50° D．90°、16°104°
9．下面每组中的三条线段，不能围成三角形的是（ ）
A．0.07米、5厘米、l分米 B．2厘米、16厘米、17厘米
C．3厘米、8厘米、5厘米 D．5米、7米、9米
10．大于0.6而小于0.7的小数有（ ）个．
A．9 B．0 C．无数
11．下面各数，把0去掉大小不变的是（ ）
A．650 B．6.50 C．0.625 D．6.05
12．下面图形中最稳定的是（ ）
A．正方形 B．梯形 C．三角形 D．平行四边形
13．把34.3952保留两位小数是（ ）
A．34.39 B．34.4 C．34.40 D．35.00
14．下面（ ）是循环小数．
A．3.838383... B．0.66666 C．3.1415926... D．304.304304
**三、填空题．（每空1分，合计10分）**
15．由4个一、8个十分之一和6个千分之一组成的数是[ ]{.underline}，读作[ ]{.underline}．
16．11元5角7分=[ ]{.underline}元
6.03吨=[ ]{.underline}吨[ ]{.underline}千克．
17．两个数的积是3.8，其中一个因数扩大10倍，另一个因数不变，积是[ ]{.underline}．
18．某日人民币对美元的汇价是100美元可兑换人民币651.97元．这样要兑换1万美元需要人民币[ ]{.underline}元．
19．与整数a（a＞1）相邻的两个整数分别是[ ]{.underline}、[ ]{.underline}．
20．小丽用瓶盖设计了一个游戏，任意掷一次瓶盖，如果盖面着地甲胜，如果盖口着地乙胜，你认为这个游戏[ ]{.underline}．（填"公平"或"不公平"）
**四、探索题．（合计10分）**
21．如图．请你根据图形和提示，按要求做题．
-------- ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
图形     
边数 3 4 5 [ ]{.underline} [ ]{.underline}
内角和 180 180×2 180×3 [ ]{.underline} [ ]{.underline}
-------- ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
（1）完成表格中未填部分．
（2）把你填空的想法写出来（至少两条）：
（3）根据表中规律，八边形的内角和是[ ]{.underline}度．
（4）假设图形的边数为n，内角和为s，请你用一个含有字母n的关系式表示图形边数与内角和的关系．S=[ ]{.underline}．
22．小明和小兰做摸球游戏，每次任意摸一个球，然后放回，每人摸10次．摸到白球小明得1分，摸到黄球小兰得1分，摸到其它颜色的球小明和小兰都不得分．你认为在第[ ]{.underline}个口袋里摸球是公平的？每个口袋装球情况如下：
第一个口袋：3个白球 3个黄球 1个红球
第二个口袋：2个蓝球 3个白球 2个黄球
第三个口袋：1个白球 1个黄球 3个红球
第四个口袋：2个白球 1个黄球 2个蓝球．
**五、解决问题．（合计30分）**
23．小东用会员卡买书，她买了一套《上下五千年》，每套4本，每本39.6元．只花了142.58元，她使用会员卡能节约多少钱？
24．四年级一班和二班都是68名同学，一班平均每人为残疾人捐款12.2元，二班平均每人为残疾人捐款9.8元，这两个班一共捐款多少元？
25．小明的客厅长4.5米，宽2.8米，用边长5分米的正方形地砖铺地，准备45块够吗？
26．同学们玩猜数游戏．小玲说："用我想的数乘9再加上6.15等于15.87．"你知道小玲心里想的数是多少吗？（用方程方法解）
27．每个油桶最多可装油2.5千克，要把26千克的油装进这样的油桶里，需要多少个油桶？
28．2006年7月11日，我国选手刘翔在"洛桑国际田径大奖赛"男子110米跨栏比赛中，以12秒88的成绩夺得世界冠军，并打破英国名将科林．杰克逊1993年8月创造的12秒91的世界记录．下面是"洛桑国际田径大奖赛"决赛前四名的成绩．
------ ---------- ---------
名次 姓名 成绩
1 刘翔 12.88秒
2 阿诺德 12.90秒
3 特拉梅尔 13.02秒
4 罗伯斯 13.04秒
------ ---------- ---------
（1）请同学们帮这四位"飞人"算一算平均成绩，看看他们的平均成绩是多少？
（2）当时阿诺德以12秒90的好成绩第二个冲过了终点线，他"打破"了当时的前世界记录吗？如果"打破"了，比前世界记录快了多少秒？比当时的冠军刘翔又慢了多少秒？
**-北师大版四年级（下）期末数学试卷（21）**
**参考答案与试题解析**
**一、计算题．（共40分**
1．直接写出得数．
------------ ---------- ----------- -----------
0.36+0.64= 1.1×0.4= 0.15×3= 11.5×100=
0.96﹣0.7= 0.6×0.7= 0.36÷0.4= 0.54÷100=
------------ ---------- ----------- -----------
【考点】小数的加法和减法；小数乘法；小数除法．
【分析】根据小数加减乘除法的计算法则计算即可求解．
【解答】解：
---------------- -------------- -------------- -----------------
0.36+0.64=1 1.1×0.4=0.44 0.15×3=0.45 11.5×100=1150
0.96﹣0.7=0.26 0.6×0.7=0.42 0.36÷0.4=0.9 0.54÷100=0.0054
---------------- -------------- -------------- -----------------
2．用竖式计算下面各题．
38.59+9.48=
11.65﹣7.39=
2.1÷0.56=
1.8×5.5=
【考点】小数的加法和减法；小数乘法；小数除法．
【分析】根据小数加减乘除法的计算法则计算即可求解．
【解答】解：38.59+9.48=48.07
11.65﹣7.39=4.26
2.1÷0.56=3.75
1.8×5.5=9.9
3．脱式计算，能简算就简算．
--------------------- --------------------------- -----------------------
2.6×2.5+2.5×7.4 7.56+13.8+2.44+5.2 （0.08+2.4）×12.5
37.85﹣（7.85+6.4） 0.36÷\[（6.1﹣4.6）×0.8\] 1.6×（2.25+10.5÷1.5）
--------------------- --------------------------- -----------------------
【考点】小数四则混合运算；运算定律与简便运算．
【分析】（1）（3）根据乘法分配律简算即可；
（2）根据加法交换律和结合律简算即可；
（4）根据减法的性质简算即可；
（4）首先计算小括号里面的，然后计算中括号里面的，最后计算中括号外面的即可．
（5）首先计算小括号里面的除法和加法，然后计算小括号外面的即可．
【解答】解：（1）2.6×2.5+2.5×7.4
=（2.6+7.4）×2.5
=10×2.5
=25
（2）7.56+13.8+2.44+5.2
=（7.56+2.44）+（13.8+5.2）
=10+19
=29
（3）（0.08+2.4）×12.5
=0.08×12.5+3×0.8×12.5
=1+3×（0.8×12.5）
=1+3×10
=1+30
=31
（4）37.85﹣（7.85+6.4）
=37.85﹣7.85﹣6.4
=30﹣6.4
=23.6
（5）0.36÷\[（6.1﹣4.6）×0.8\]
=0.36÷\[1.5×0.8\]
=0.36÷1.2
=0.3
（6）1.6×（2.25+10.5÷1.5）
=1.6×（2.25+7）
=1.6×9.25
=4×0.4×9.25
=4×（0.4×9.25）
=4×3.7
=14.8
4．解方程：
6y﹣3y=4.8
x÷0.6=4.5
0.5x+2=2．
【考点】方程的解和解方程．
【分析】（1）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以3求解；
（2）根据等式的性质，方程两边同时乘以0.6求解；
（3）根据等式的性质，方程两边同时减去2，再两边同时除以0.5求解．
【解答】解：（1）6y﹣3y=4.8
3y=4.8
3y÷3=4.8÷3
y=1.6；
（2）x÷0.6=4.5
x÷0.6×0.6=4.5×0.6
x=2.7；
（3）0.5x+2=2
0.5x+2﹣2=2﹣2
0.5x=0
0.5x÷0.5=0÷0.5
x=0．
**二、选择题．（请将符合要求的选项前面的字母代号填在括号里）（每小题1分，共10分）**
5．10000个0.01是（ ）
A．1 B．10 C．100 D．1000
【考点】小数乘法．
【分析】求10000个0.01，就用0.01乘上10000即可；据此解答即可．
【解答】解：10000×0.01=100
故选：C．
6．下面各数中最大的数是（ ）
A．0.0505 B．0.5005 C．5.005 D．5000
【考点】小数大小的比较．
【分析】小数大小的比较，先看小数的整数部分，整数部分大的这个数就大，整数部分相同的就看十分位，十分位大的这个数就大，十分位相同的，再看百分位，百分位大的这个数就大...，据此判断即可．
【解答】解：根据小数比较大小的方法，可得
5000＞5.005＞0.5005＞0.0505，
所以各数中最大的数是5000．
故选：D．
7．下面数量中，与1.3分米不相等的是（ ）
A．0.13米 B．1.30分米 C．1.03分米 D．13厘米
【考点】长度的单位换算．
【分析】统一计量单位即可比较．把0.13米乘进率10化成1.3分米；1.30分米，根据小数的性质，去掉十位上的0与原数大小不变，13厘米除以进率10化成1.3分米．
【解答】解：0.13米=1.3分米；
1.30分米=1.3分米；
1.03分米≠1.3分米；
13厘米=1.3分米；
故选：C．
8．下面每组三个角，不可能在同一个三角形内的是（ ）
A．15°、87°、78° B．120°、55°、5° C．80°、50°、50° D．90°、16°104°
【考点】三角形的内角和．
【分析】根据三角形的内角和定理，每个三角形的内角和都是180度，由此只要不满足这个条件的就不可能在同一个三角形中．
【解答】解：A.15+87+78=180（度），
B.120+55+5=180（度）；
C.80+50+50=180（度）；
D.90+16+104=210（度），不符合三角形内角和定理，
故选：D．
9．下面每组中的三条线段，不能围成三角形的是（ ）
A．0.07米、5厘米、l分米 B．2厘米、16厘米、17厘米
C．3厘米、8厘米、5厘米 D．5米、7米、9米
【考点】三角形的特性．
【分析】判断三角形能否构成，关键是看三条线段是否满足：任意两边之和是否大于第三边．但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较．
【解答】解：A、0.07米=7厘米，1分米=10厘米，5+7＞10，所以三条线段能围成三角形；
B、2+16＞17，所以三条线段能围成三角形；
C、3+5=8，所以三条线段不能围成三角形；
D、5+7＞9，所以三条线段能围成三角形；
故选：C．
10．大于0.6而小于0.7的小数有（ ）个．
A．9 B．0 C．无数
【考点】小数大小的比较；小数的读写、意义及分类．
【分析】不要仅看到只有一位小数的情况，根据小数基本性质，小数末尾添上0或去掉0小数大小不变解答．
【解答】解：大于0.6而小于0.7的小数有无数个，
故选：C．
11．下面各数，把0去掉大小不变的是（ ）
A．650 B．6.50 C．0.625 D．6.05
【考点】小数的性质及改写．
【分析】根据小数的性质：小数的末尾添上"0"或去掉"0"小数的大小不变；据此解答．
【解答】解：在650、6.50、0.625、6.05中，
只有6.50中的0是在小数的末尾，所以去掉0大小不变；
故选：B．
12．下面图形中最稳定的是（ ）
A．正方形 B．梯形 C．三角形 D．平行四边形
【考点】三角形的特性．
【分析】因为三角形具有稳定性，四边形具有易变性（不稳定性）；进而解答即可．
【解答】解：下面图形中最稳定的是三角形；
故选：C．
13．把34.3952保留两位小数是（ ）
A．34.39 B．34.4 C．34.40 D．35.00
【考点】近似数及其求法．
【分析】保留两位小数要看千分位上的数进行四舍五入，34.3952千分位上是5，据此求出，然后选择．
【解答】解：34.3952≈34.40；
故选：C．
14．下面（ ）是循环小数．
A．3.838383... B．0.66666 C．3.1415926... D．304.304304
【考点】循环小数及其分类．
【分析】循环小数：一个无限小数的小数部分有一个或几个依次不断重复出现的数字，这样的小数就叫做循环小数，据此分析判断．
【解答】解：3.838383...是循环小数，0.66666和304.304304是有限小数，3.1415926...是无限小数；
故选：A．
**三、填空题．（每空1分，合计10分）**
15．由4个一、8个十分之一和6个千分之一组成的数是[ 4.806 ]{.underline}，读作[ 四点八零六 ]{.underline}．
【考点】小数的读写、意义及分类．
【分析】（1）4个一等于4，8个十分之一是0.8，6个千分之一是0.006，在组合数的时候，百分位上没有数，用0占位，据此写出；
（2）读数的时候从高位读起，整数部分按照整数的读法去读，小数部分从高位按照顺序读出即可．
【解答】解：（1）因为4个一等于4，8个十分之一是0.8，6个千分之一是0.006，百分位上没有数，用0占位，
所以组成的数是：4.806，
（2）4.806读作：四点八零六，
故答案为：4.806，四点八零六．
16．11元5角7分=[ 11.57 ]{.underline}元
6.03吨=[ 6 ]{.underline}吨[ 30 ]{.underline}千克．
【考点】货币、人民币及其常用单位；质量的单位换算．
【分析】吧11元5角7分化成元数，是一个小数，元数是整数部分，角数在十分位，分数在百分位；
把6.03吨化成复名数，整数部分6是吨数，0.03乘进率1000就是千克数；据此得解．
【解答】解：11元5角7分=11.57元
6.03吨=6吨 30千克；
故答案为：11.57，6，30．
17．两个数的积是3.8，其中一个因数扩大10倍，另一个因数不变，积是[ 38 ]{.underline}．
【考点】积的变化规律．
【分析】根据因数与积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积也就扩大（或缩小）相同的倍数．由此解答．
【解答】解：3.8×10=38；
答：积是38．
故答案为：38．
18．某日人民币对美元的汇价是100美元可兑换人民币651.97元．这样要兑换1万美元需要人民币[ 95197 ]{.underline}元．
【考点】货币、人民币及其常用单位．
【分析】100美元可兑换人民币651.97元．根据除法的意义可知，1美元可兑换人民币651.97÷100=6.5197元．根据乘法的意义可 知，兑换1万美元需要人民币需要6.5197×10000=65197元人民币．
【解答】解：1万美元=10000美元，
651.97÷100×10000，
=6.5197×10000，
=65197（元）；
故答案为：65197．
19．与整数a（a＞1）相邻的两个整数分别是[ a+1 ]{.underline}、[ a﹣1 ]{.underline}．
【考点】用字母表示数．
【分析】根据相邻两个整数相差1，可知与整数a相邻的两个整数，前一个是"a﹣1"，后一个是"a+1"；据此即可得解．
【解答】解：因为相邻两个整数相差1，
所以与整数a相邻的两个整数分别是"a+1"和"a﹣1"．
故答案为：a+1；a﹣1．
20．小丽用瓶盖设计了一个游戏，任意掷一次瓶盖，如果盖面着地甲胜，如果盖口着地乙胜，你认为这个游戏[ 不公平 ]{.underline}．（填"公平"或"不公平"）
【考点】游戏规则的公平性．
【分析】每面朝上的可能性相等时，游戏公平．而瓶盖本身是不均匀的，所以将会造成游戏失去公平性．
【解答】解：因为瓶盖不是均匀的，故盖面着地和盖口着地的机会不是均等的；故这个游戏不公平．
故答案为：不公平．
**四、探索题．（合计10分）**
21．如图．请你根据图形和提示，按要求做题．
-------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
图形     
边数 3 4 5 [ 6 ]{.underline} [ 7 ]{.underline}
内角和 180 180×2 180×3 [ 180×4 ]{.underline} [ 180×5 ]{.underline}
-------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
（1）完成表格中未填部分．
（2）把你填空的想法写出来（至少两条）：
（3）根据表中规律，八边形的内角和是[ 1080 ]{.underline}度．
（4）假设图形的边数为n，内角和为s，请你用一个含有字母n的关系式表示图形边数与内角和的关系．S=[ 180（n﹣2）度 ]{.underline}．
【考点】数与形结合的规律．
【分析】先从多边形的一个顶点开始把它分成三角形，然后数数一共是几个三角形，就用几乘180度就是该多边形的内角和；
当边数是三时，内角和180度
当边数是四时，内角和180×2度
当边数是五时，内角和是180×3度
当边数是六时，内角和是180×4度
以此类推：当边数是n时，内角和是180（n﹣2）度
据此解答即可．
【解答】解：由分析可得：
（1）
-------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
图形     
边数 3 4 5 6 7
内角和 180 180×2 180×3 180×4 180×5
-------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
（2）想法
①把一个多边形分成几个三角形，其内角和就是几乘180度；
②推导出：
当边数是三时，内角和180度
当边数是四时，内角和180×2度
当边数是五时，内角和是180×3度
当边数是六时，内角和是180×4度
以此类推：当边数是n时，内角和是180（n﹣2）度
（3）当n=8时
180×（8﹣2）
=180×6
=1080（度）
答：八边形的内角和是1080度．
（4）假设图形的边数为n，内角和为s，则：
S=180（n﹣2）（度）
故答案为：6，180×4；5，180×5；1080；180（n﹣2）．
22．小明和小兰做摸球游戏，每次任意摸一个球，然后放回，每人摸10次．摸到白球小明得1分，摸到黄球小兰得1分，摸到其它颜色的球小明和小兰都不得分．你认为在第[ 一、三 ]{.underline}个口袋里摸球是公平的？每个口袋装球情况如下：
第一个口袋：3个白球 3个黄球 1个红球
第二个口袋：2个蓝球 3个白球 2个黄球
第三个口袋：1个白球 1个黄球 3个红球
第四个口袋：2个白球 1个黄球 2个蓝球．
【考点】游戏规则的公平性．
【分析】游戏是否公平，需要看两人得分的可能性是否一样大，也就是摸到白球和摸到黄球的可能性是否一样大，具体的说，就是看白球的个数和黄球的个数是否一样多，若一样多，摸到两种颜色的球的可能性就一样大，游戏就公平，否则就不公平，据此解答．
【解答】解：第一个口袋：白球与黄球都是3个，公平；
第二个口袋：白球比黄球多，不公平，对小明有利；
第三个口袋：白球与黄球都是1个，公平；
第四个口袋：白球比黄球多，不公平，对小明有利．
所以在第一、三口袋里摸球是公平的．
故答案为：一、三．
**五、解决问题．（合计30分）**
23．小东用会员卡买书，她买了一套《上下五千年》，每套4本，每本39.6元．只花了142.58元，她使用会员卡能节约多少钱？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】根据题意，可用单价×数量=总价计算出需要花的钱数，然后再减去实际花的钱数即可得到节约的钱数．
【解答】解：39.6×4﹣142.58
=158.4﹣142.58
=15.82（元）
答：她使用会员卡能节约15.82元．
24．四年级一班和二班都是68名同学，一班平均每人为残疾人捐款12.2元，二班平均每人为残疾人捐款9.8元，这两个班一共捐款多少元？
【考点】平均数的含义及求平均数的方法．
【分析】用"12.2×68"求出一班捐款多少元，用"9.8×68"求出二班捐款多少元，然后用一班捐的钱数加上二班捐的钱数即可求出这两个班一共捐款多少元．
【解答】解：12.2×68+9.8×68
=829.6+666.4
=1496（元）
答：这两个班一共捐款1496元．
25．小明的客厅长4.5米，宽2.8米，用边长5分米的正方形地砖铺地，准备45块够吗？
【考点】长方形、正方形的面积．
【分析】先依据长方形的面积公式：S=ab，求出客厅的面积，再除以方砖的面积，即可得出需要的方砖的块数，再与45比较即可得解．
【解答】解：0.5分米=0.5米，
4.5×2.8÷（0.5×0.5）
=12.6÷0.25
≈51（块）
51＞45
所以不够．
答：准备45块不够．
26．同学们玩猜数游戏．小玲说："用我想的数乘9再加上6.15等于15.87．"你知道小玲心里想的数是多少吗？（用方程方法解）
【考点】方程的解和解方程；小数四则混合运算．
【分析】设小玲心里想的数是x，依据题意列方程9x+6.15=15.87，再依据等式的性质求解．
【解答】解：设小玲心里想的数是x，
9x+6.15=15.87，
9x+6.15﹣6.15=15.87﹣6.15，
9x=9.72，
9x÷9=9.72÷9，
x=1.08．
答：小玲心里想的数是1.08．
27．每个油桶最多可装油2.5千克，要把26千克的油装进这样的油桶里，需要多少个油桶？
【考点】有余数的除法应用题．
【分析】根据题意，每个油桶最多可装油2.5千克，10个这样的油桶可以装25千克，剩下的1千克还需要1个油桶，因此应该用"进一法"又称"收尾法"取近似值．由此解答．
【解答】解：26÷2.5≈11（个）；
答：需要11个油桶．
28．2006年7月11日，我国选手刘翔在"洛桑国际田径大奖赛"男子110米跨栏比赛中，以12秒88的成绩夺得世界冠军，并打破英国名将科林．杰克逊1993年8月创造的12秒91的世界记录．下面是"洛桑国际田径大奖赛"决赛前四名的成绩．
------ ---------- ---------
名次 姓名 成绩
1 刘翔 12.88秒
2 阿诺德 12.90秒
3 特拉梅尔 13.02秒
4 罗伯斯 13.04秒
------ ---------- ---------
（1）请同学们帮这四位"飞人"算一算平均成绩，看看他们的平均成绩是多少？
（2）当时阿诺德以12秒90的好成绩第二个冲过了终点线，他"打破"了当时的前世界记录吗？如果"打破"了，比前世界记录快了多少秒？比当时的冠军刘翔又慢了多少秒？
【考点】从统计图表中获取信息．
【分析】（1）根据题意，可把这四位"飞人"的成绩相加的和除以4进行计算即可得到答案；
（2）用阿诺德的成绩和杰克逊1993年8月创造的12秒91的世界记录进行比较，再根据减法的意义解答即可．
【解答】解：（12.88+12.90+13.02+13.04）÷4
=51.84÷4
=12.96（秒）；
答：他们的平均成绩是12.96秒．
（2）12.90秒＜12.91秒，
12.91﹣12.90=0.01（秒）；
12.90﹣12.88=0.12（秒）
答：他"打破"了当时的前世界记录；比前世界记录快了0.01秒；比当时的冠军刘翔又慢了0.12秒．
**2016年8月20日**
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**2017---2018学年度上学期高三年级二调考试**
**数学（理科）**
**第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知为虚数单位，为复数的共轭复数，若，则（ ）
A． B． C． D．
3.设正项等比数列的前项和为，且，若，，则（ ）
A．63或120 B．256 C．120 D．63
4.的展开式中的系数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．12
5.已知中，，则为（ ）
A．等腰三角形 B．的三角形
C．等腰三角形或的三角形 D．等腰直角三角形
6.已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数（为常数，）的图像关于直线对称，则函数的图像（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．关于点 对称 D．关于直线对称
9.设，若关于，的不等式组表示的可行域与圆存在公共点，则的最大值的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，满足，则在上的零点个数为（ ）
A．5 B．3 C．1或3 D．1
12.已知函数 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.已知，则 [ ]{.underline} ．
14.已知锐角的外接圆的半径为1，，则的取值范围为 [ ]{.underline} ．
15.数列满足，则数列的前100项和为 [ ]{.underline} ．
16.函数图象上不同两点，处切线的斜率分别是，，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与之间的"弯曲度"，给出以下命题：
①函数图象上两点与的横坐标分别为1和2，则；
②存在这样的函数，图象上任意两点之间的"弯曲度"为常数；
③设点，是抛物线上不同的两点，则；
④设曲线（是自然对数的底数）上不同两点，，且，若恒成立，则实数的取值范围是．
其中真命题的序号为 [ ]{.underline} ．（将所有真命题的序号都填上）
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，．
（1）求的长；
（2）若，求的值．
18.如图所示，，分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，（），点坐标为，平行四边形的面积为．
（1）求的最大值；
（2）若，求的值．
19.已知数列满足对任意的都有，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
20.已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
21.已知函数（其中，为自然对数的底数，...）．
（1）若函数仅有一个极值点，求的取值范围；
（2）证明：当时，函数有两个零点，，且．
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.选修4-4：坐标系与参数方程
将圆（为参数）上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到曲线．
（1）求曲线的普通方程；
（2）设，是曲线上的任意两点，且，求的值．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
（1）当时，解不等式；
（2）若存在满足，求的取值范围．
**2017---2018学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）试卷答案**
**一、选择题**
1-5: 6-10: 11、12：
**二、填空题**
13\. 14. 15.5100 16.②③
**三、解答题**
17.解：（1）因为，在中，由余弦定理得，
所以，
所以，
所以．
（2）在中，由正弦定理得，
所以，
所以．
因为点在边上，所以，
而，
所以只能为钝角，
所以，
所以
．
18.解：（1）由已知得，，的坐标分别为，，，因为四边形是平行四边形，
所以，
所以，
又因为平行四边形的面积为，
所以．
又因为，
所以当时，的最大值为．
（2）由题意知，，，
因为，所以，
因为，所以．
由，，
得，，
所以，，
所以．
19.解：（1）由于，①
则有，②
②---①，得，
由于，所以，③
同样有，④
③---④，得，
所以（）．
由，，得，．
由于，即当时都有，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故．
（2）由（1）知，
则，
所以
．
因为，
所以数列单调递增，所以．
要使不等式对任意正整数恒成立，只要．
因为，所以，
所以，即．
所以，实数的取值范围是．
20.解：（1），
函数的定义域为．
当时，，则在区间内单调递增；
当时，令，则或（舍去负值），
当时，，为增函数，
当时，，为减函数．
所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由，得，
因为，所以原命题等价于在区间内恒成立．
令，则，
令，则在区间内单调递增，
由，，
所以存在唯一，使，即，
所以当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以时，，所以，
又，则,
因为，所以，
故整数的最小值为2．
21.解：（1），
由，得或（\*）．
由于仅有一个极值点，
所以关于的方程（\*）必无解．
①当时，（\*）无解，符合题意；
②当时，由（\*）得，
故由，得．
由于这两种情况都有当时，，于是为减函数，当时，，于是为增函数，所以仅为的极值点．
综上可得的取值范围是．
（2）证明：由（1）得，当时，为的极小值点，
又因为对于恒成立，
对于恒成立，
对于恒成立，
所以当时，有一个零点，
当时，有另一个零点，
即，且，
（\*\*），
所以．
下面再证明，即证，
由，得，
由于时，为减函数，
于是只需证明，也就是证明，
，
借助（\*\*）式代换可得，
令，
则，
因为在区间内为减函数，且，
所以在区间内恒成立，于是在区间内为减函数，
即，
所以，这就证明了．
综上所述，．
22.解：（1）设为圆上的任意一点，在已知的变换下变为上的点，则有
因为（为参数），所以（为参数），所以．
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的普通方程化为极坐标方程得．
设，，则，，
则．
23.解：（1）当时，．
由，得．
当时，不等式等价于，解得，所以；
当时，不等式等价于，解得，所以；
当时，不等式等价于，解得，所以．
故原不等式的解集为．
（2），
因为原命题等价于，
所以，所以．
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**徐州市2020年初中学业水平考试**
**数学试题**
**注意事项**
**1．本试卷共6页，满分140分，考试时间120分钟．**
**2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0．5毫米黑色字迹签字笔填写在本卷和答题卡的指定位置．**
**3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回．**
**一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）**
1.3的相反数是（ ）．
A. B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义即可得．
【详解】3的相反数是-3
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记定义是解题关键．
2.下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．
3.三角形的两边长分别为和，则第三边长可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系判断即可.
【详解】6-3=3＜第三边长＜6+3=9,只有6cm满足题意,
故选C.
【点睛】本题考查三角形的三边范围计算,关键牢记三边关系.
4.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案．
【详解】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：
解得
答：袋子中红球有5个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5.小红连续天的体温数据如下（单位相）：，，，，．关于这组数据下列说法正确的是（ ）
A. 中位数是 B. 众数是 C. 平均数是 D. 极差是
【答案】B
【解析】
【分析】
根据众数、中位数的概念求得众数和中位数，根据平均数和方差、极差公式计算平均数和极差即可得出答案．
【详解】A．将这组数据从小到大的顺序排列：36.2，36.2，36.3，36.5，36.6，
则中位数为36.3，故此选项错误
B．36.2出现了两次，故众数是36.2，故此选项正确；
C．平均数为()，故此选项错误；
D．极差为36.6-36.2=0.4()，故此选项错误，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中位数、众数、平均数和极差，熟练掌握它们的计算方法是解答的关键．
6.下列计算正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由合并同类项、同底数幂除法，完全平方公式、积的乘方，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂除法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
7.如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可求出∠*APO*、∠*A*的度数，进一步可得∠*ABO*度数，从而推出答案.
【详解】∵，
∴∠*APO*=70°，
∵，
∴∠*AOP*=90°，∴∠*A*=20°，
又∵*OA*=*OB*，
∴∠*ABO*=20°，
又∵点*C*在过点*B*的切线上，
∴∠*OBC*=90°，
∴∠*ABC*=∠*OBC*−∠*ABO*=90°−20°=70°，
故答案为：*B*.
【点睛】本题考查的是圆切线的运用，熟练掌握运算方法是关键.
8.如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
把P(，)代入两解析式得出和的值，整体代入即可求解C
【详解】∵函数与的图像交于点P(，)，
∴，，即，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．
**二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）**
9.7的平方根是\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
∵，∴7的平方根是，
故答案为.
10.分解因式：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟记公式是解题关键．
11.式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_ ．
【答案】x≥3
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案.
详解】由题意可得：x﹣3≥0，
解得：x≥3，
故答案为x≥3．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
12.原子很小，个氧原子的直径大约为，将用科学记数法表示为\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】1.48×10^−10^
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10^−n^，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】＝1.48×10^−10^．
故答案为：1.48×10^−10^．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10^−n^，其中1≤\|a\|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13.如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AC的长度，再根据题意判断DE为中位线，根据中位线的性质即可求出DE的长度．
【详解】∵在中，，、、分别为、、的中点，，则根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AC＝10．根据题意判断DE为中位线，根据三角形中位线的性质，得DE∥AC且DE=AC，可得DE=5．
故答案为DE=5
【点睛】本题掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半及中位线的性质是解答本题的关键．
14.如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
运用公式（其中勾股定理求解得到的母线长为5）求解．
【详解】由已知得，母线长==5，半径为3，\
∴圆锥的侧面积是．\
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥计算，要学会灵活的运用公式求解．
15.方程的解为\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，并检验即可得到答案．
【详解】解：
经检验：是原方程的根，
所以原方程的根是：
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握去分母解分式方程是解题的关键．
16.如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】10
【解析】
【分析】
连接AO,BO，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解．
【详解】如图，连接AO,BO，
∴∠AOB=2∠ADB=36°
∴这个正多边形的边数为=10
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
> 17.如图，，在上截取．过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；按此规律，所得线段的长等于\_\_\_\_\_\_\_．
>
> 
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件先求出的长，再根据外角，直角算出△是等边三角形，同理可得出其他等边三角形，即可求出答案．
【详解】∵，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴△是等边三角形
∴
∴是等边三角形
∴
同理可得 是等边三角形
∴
【点睛】本题考查了直角三角形计算，等腰三角形性质等知识点，发现线段之间的规律是解题关键．
18.在中，若，，则的面积的最大值为\_\_\_\_\_\_．
【答案】9+9
【解析】
【分析】
首先过C作CM⊥AB于M，由弦AB已确定，可得要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，即可得当CM过圆心O时，CM最大，然后由圆周角定理，证得△AOB是等腰直角三角形，则可求得CM的长，继而求得答案．
【详解】作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM＝BM（垂径定理），
∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴OM＝AM＝AB＝×6＝3，
∴OA＝，
∴CM＝OC＋OM＝＋3，
∴S~△ABC~＝AB•CM＝×6×（＋3）＝9+9．
故答案为：9+9．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．注意得到当CM过圆心O时，CM最大是关键．
**三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
19.计算：（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用乘方运算法则、绝对值运算、负整数指数幂的定义进行运算，再合并计算即可；
（2）利用分式的混合运算法则求解即可．
【详解】（1）原式=；
（2）原式=．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、绝对值的意义、负整数指数幂、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答的关键．
20.（1）解方程：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）x~1~=,x~2~=3（2）-4＜x＜3
【解析】
【分析】
（1）根据因式分解法即可求解；
（2）分别求出各不等式的解集，即可求出其公共解集．
【详解】（1）解方程：
∴2x-3=0或x-1=0
解得x~1~=,x~2~=1;
（2）解
解不等式①得x＜3
解不等式②得x＞-4
∴不等式组的解集为-4＜x＜3．
【点睛】此题主要考查方程与不等式的求解，解题的关键是熟知其解法．
21.小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排志愿者被随机分到组（体温检测）、组（便民代购）、组（环境消杀）．
（1）小红的爸爸被分到组的概率是\_\_\_\_\_\_；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）共有3种可能出现的结果，被分到"B组"的有1中，可求出概率．\
（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算"他与小红的爸爸"分到同一组的概率．
【详解】（1）共有3种可能出现的结果，被分到"B组"的有1种，
因此被分到"B组"的概率为，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
+----------+----+----+----+
| 小红爸爸 | A | B | C |
| | | | |
| 王老师 | | | |
+----------+----+----+----+
| A | AA | AB | AC |
+----------+----+----+----+
| B | BA | BB | BC |
+----------+----+----+----+
| C | CA | CB | CC |
+----------+----+----+----+
共有9种可能出现的结果，其中"他与小红的爸爸"在同一组的有3种，\
∴P~（他与小红爸爸在同一组）~=．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确求解的前提．
22.某市为了解市民每天的阅读时间，随机抽取部分市民进行调查．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图表：
市民每天的阅读时间统计表
---------- -- -- -- --
类别
阅读时间
频数
---------- -- -- -- --
市民每天的类别阅读时间扇形统计图
根据以上信息解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_；
（2）在扇形统计图中，""对应扇形的圆心角等于\_\_\_\_\_\_；
（3）将每天阅读时间不低于的市民称为"阅读爱好者"．若该市约有万人，请估计该市能称为"阅读爱好者"的市民有多少万人．
【答案】（1）1000；100；（2）=144°（3）90（万人）
【解析】
【分析】
（1）根据A类别的频数与占比即可求出调查的样本容量，再求出C类别的频数即可；
（2）求出B类别的占比即可得到对应扇形的圆心角；
（3）利用样本的频率即可估计全体"阅读爱好者"的市民人数．
【详解】（1）该调查的样本容量为450÷45%=1000；
C类别的频数为1000-450-400-50=100；
故答案为：1000；100；
（2）""对应扇形圆心角等于400÷1000×360°=144°；
（3）估计该市能称为"阅读爱好者"的市民有600×=90（万人）．
【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出调查的总人数．
23.如图，，，．，与交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析（2）90°
【解析】
【分析】
（1）根据题意证明△ACE≌△BCD即可求解；
（2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到的度数．
【详解】（1）∵，，
∴∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE
即∠ACE=∠BCD
又．
∴△ACE≌△BCD
∴
（2）∵△ACE≌△BCD
∴∠A=∠B
设AE与BC交于O点,
∴∠AOC=∠BOF
∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°
∴∠BFO=∠ACO=90°
故=180°-∠BFO=90°．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
24.本地某快递公司规定：寄件不超过千克的部分按起步价计费；寄件超过千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
+--------+--------------+----------------+
| 目的地 | 起步价（元） | 超过千克的部分 |
| | | |
| | | （元千克） |
+--------+--------------+----------------+
| 上海 | | |
+--------+--------------+----------------+
| 北京 | | |
+--------+--------------+----------------+
实际收费
-------- ------ ------------
目的地 质量 费用（元）
上海
北京
-------- ------ ------------
求，的值．
【答案】，
【解析】
【分析】
根据题意"寄件不超过千克的部分按起步价计费；寄件超过千克的部分按千克计费"列出方程组求解即可得到结果．
【详解】根据题意得：，
解得：，
∴，．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
25.小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图在矩形广场边的中点处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点处，爸爸到达点处，此时雕塑在小红的南偏东方向，爸爸在小红的北偏东方向，若小红到雕塑的距离，求小红与爸爸的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】．
【解析】
【分析】
过点P作PE⊥BC，则四边形ABEP是矩形，由解直角三角形求出，则，然后求出PQ即可．
【详解】解：过点P作PE⊥BC，如图：
根据题意，则四边形ABEP是矩形，
∴，
在Rt△APM中，PM=30，∠APM=45°，
∴，
∵点M是AB的中点，
∴，
∴，
在Rt△PEQ中，∠PQE=60°，，
∴；
∴小红与爸爸的距离．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，方位角问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用解直角三角形正确求出各边的长度．
26.如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用点、求解一次函数的解析式，再求的坐标，再求反比例函数解析式；
（2）设 则再表示的长度，列出三角形面积与的函数关系式，利用函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）设直线AB为
把点、代入解析式得：
解得：
直线为
把代入得：
把代入：
，
（2）设 轴，
则 由＜＜，
即当时，
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．
27.我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果．那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若，则的长为\_\_\_\_\_；
（2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）当PB=BC时，、恰好分别是、的黄金分割点，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由黄金比值直接计算即可；
（2）如图，连接GE，设BG=x，则AG=20-x，易证得四边形EFCD是矩形，可求得CE，由折叠知GH=BG=x，CH=BC=20，进而EH=CE-CH，在Rt△GAE和Rt△GHE中由勾股定理得关于x方程，解之即可证得结论；
（3）当PB=BC时，证得Rt△PBF≌Rt△CBF≌Rt△BAE,则有BF=AE，设BF=x，则AF=a-x，由AE∥PB得AE:PB=AF:BF，解得x，即可证得结论．
【详解】（1）AB=×20=（）(cm)，
故答案为：；
（2）如图，连接GE，设BG=x，则GA=20-x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠D=90º，
由折叠性质得：CH=BC=20，GE=BG=x，∠GHC=∠B=90º，AE=ED=10，
在Rt△CDE中，CE=，
∴EH=，
在Rt△GHE中，
在Rt△GAE中，,
∴，
解得：x=，
即，
∴是的黄金分割点；
（3）当PB=BC时，、恰好分别是、的黄金分割点．
理由：∵，
∴∠BCF+∠CBE=90º，又∠CBE+∠ABE=90º，
∴∠ABE=∠BCF，
∵∠A=∠ABC=90º，AB=BC，
∴△BAE≌△CBF（ASA），
∴AE=BF，
设AE=BF=x，则AF=a-x，
∵AD∥BC即AE∥PB，
∴即，
∴，
解得：或(舍去)，
即BF=AE=，
∴，
∴、分别是、的黄金分割点．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息的关联点，确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
28.如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交轴于点、，交轴于点，它的对称轴交轴于点．过点作轴交抛物线于点，连接并延长交轴于点，交抛物线于点．直线交于点，交抛物线于点，连接、．
 
备用图
（1）点的坐标为：\_\_\_\_\_\_；
（2）当是直角三角形时，求的值；
（3）与有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】(1)(1,0)；(2) 或；(3)平行，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据二次函数的对称轴为，代入即可求出E点坐标；
(2)将ED、AF的解析式用的代数式表示，然后由DE解析式令y=0求出F点坐标，由AF解析式令y=求出H点坐标，再根据△HEF是直角三角形分哪个顶点为直角顶点进行讨论，由勾股定理求解即可；
(3)直线DE和抛物线联立方程组求出G点坐标，直线AF和抛物线联立方程组求出K点坐标，最后计算直线GK的和直线HE的相等即可求解．
【详解】解：(1)由题意可知，抛物线的对称轴为，
∴E点的坐标为(1,0)，
故答案为(1,0)．
(2)由题意知，C点坐标为(0,3*a*)，C和D点关于对称轴对称，∴D坐标为(2,3*a*)，
设直线DE的解析式为y=*kx*+*m*，代入E(1,0)和D(2,3*a*)，
即，解得，
∴直线DE的解析式为y=3*ax*-3*a*，
令y=0，∴F(0,-3*a*)，
令中，即：，
解得，∴A(-1，0)，
设直线AF的解析式为y=*bx*+*t*，代入A(-1,0)，F(0,-3*a*),
即，解得，
∴直线AF的解析式为y=-3*ax*-3*a*，
令y=-3*ax*-3*a*中y=3*a*，解得H点坐标(-2，3*a*)，
∴H(-2，3*a*)，E(1，0)，F(0,-3*a*)
故EF²=(1-0)²+(0+3*a*)²=1+9*a*²，
EH²=(1+2)²+(0-3*a*)²=9+9*a*²，
FH²=(0+2)²+(-3*a*-3*a*)²=36*a*²+4，
∵△EFH为直角三角形，∴分类讨论谁是直角顶角，
情况一：∠E为直角顶角时，则EF²+EH²=FH²，
即：1+9*a*²+9+9*a*²=36*a*²+4，解得：*a*=，又*a*\>0，故*a*=；
情况二：∠F为直角顶角时，则EF²+FH²=EH²，
即：1+9*a*²+36*a*²+4=9+9*a*²，解得：*a*=，又*a*\>0，故*a*=；
情况三：∠H为直角顶角时，则FH²+EH²=EF²，
即：36*a*²+4+9+9*a*²=1+9*a*²，此时无解；
∴综上所述，*a*的值为或；
故答案为：或；
(3)联立直线DF与抛物线的解析式：
，整理得：，
解得，，∴G点坐标为(-3,-12*a*)，
同理，联立直线AF与抛物线的解析式：
，整理得：，
解得，，∴K点坐标为(6,-21*a*)，
∴直线GK的，
直线HE的，
即直线GK的*k*值与直线HE的*k*值相同，
∴GK与HE平行．
故答案为：与有怎样的位置关系是平行．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，二次函数与一次函数的交点坐标的求法，一次函数的解析式，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质，学会联立方程组求函数的交点坐标是解决本题的关键．
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**北师大版小学三年级下册数学第三单元《乘法------找规律》同步检测2（附答案）**
一、算一算，想一想你是怎样算的？来源：www.bcjy123.com/tiku/
70×4 = 30×6 = 600×8 = 8×6 =
4×60 = 300×6 = 700×9 = 80×6 =
二、13×3 =（ ），13×30 =（ ），你能不能用算第2题的方法来计算130×30呢？
三、根据18×5 = 90，来填一填。
18×50 =（ ） 1800×5 =（ ） 180×5 =（ ）
180×50 =（ ） 180×500 =（ ） 18×500 =（ ）
四、根据每筐的重量填一填。
五、算一算，比一比，能发现什么？
18＋12×20 （35＋15）×10 33＋27×30
（18＋12）×20 35＋15×10 （33＋27）×30
六、
来源：www.bcjy123.com/tiku/
小兔去河边要走4千米的路。一天小兔去河边，每分钟大约走70米，走了14分钟正好经过小狗家。
（1）你能标出上狗家大概的位置吗？
（2）小狗家离河边有多远？
七、计算题。
40×22－200 1100－20×50 30×（17＋23）
八、列式计算。
1、30个24是多少？
2、两个乘数都是50，积是多少？
九、解决实际问题。
1、根据下面的价格来计算。
（1）买20个足球，要付多少钱？
（2）王老师要买35个书包，带上1000元够不够？
（3）李明带上200元，可以买哪些东西？
2、王丽从家去学校，每分钟走60米，走了12分钟后，离学校还有480米。王丽家到学校的路是多少米？（提示：可以先画线段图再解决。）
**部分答案：**
一、280 180 4800 48 1240 1800 6300 480
二、39 390 能
三、900 9000 900 9000 90000 9000
四、32 320 960 1600
五、258 500 843 600 185 1800
六、（1）980米 标略
（2）3020米
七、680 100 1200
八、1、720
2、2500
九、1、（1）700元 （2）1050元 1050﹥1000 不够 （3）略
2、1200米
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**2020-2021学年山东省济南市五年级（上）期末数学试卷（二）**
**一、选择题（每小题2分，共16分）**
1．12.5乘一个小数，积（ ）
A．小于12.5 B．大于12.5 C．不能确定
2．数对（5，4）和（5，2）表示的位置在（ ）
A．同一行 B．同一列 C．无法确定
3．4.09÷5的商（ ）1．
A．等于 B．小于 C．大于
4．下面是从纸袋中摸31次跳棋的结果（摸出一个棋子后再放回去接匀），纸袋中（ ）
记录 次数
------ -------------- ------
白棋 正一 6
黄棋 正正正正正正 25
A．白机数量多 B．黄棋数量多
C．白棋和黄棋数量一样多
5．下列各式中，（ ）是方程。
A．2*x*＞8 B．4*x*﹣18 C．3*x*＝0
6．如图梯形*ABCD*中，甲乙两块阴影的面积（ ）
A．甲大 B．乙大
C．一样大 D．无法比较大小
7．晶晶从一楼上到三楼走了36个台阶．且每层楼的台阶数相同，她家住五楼，她到家一共要走（ ）级台阶．
A．48 B．60 C．72
8．平行四边形的高有（ ）条。
A．无数 B．2 C．4
**二、填空题（每小题2分，共16分）**
9．一个等腰三角形，底长4.8厘米，比腰的长度多1.2厘米，这个等腰三角形的周长是[ ]{.underline}厘米。
10．0.078中的"7"表示[ ]{.underline}，"8"表示[ ]{.underline}。
11．计算1.92÷0.31，当商是6时，余数是[ ]{.underline}．
12．在一个正方体的六个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色．任意掷一次，红色朝上的次数最多，黄色和蓝色朝上的次数同样多，可能有[ ]{.underline}个面涂了红色．
13．丁丁今年12岁，妈妈今年36岁，妈妈比丁丁大[ ]{.underline}岁．如果用*A*表示丁丁的年龄，用[ ]{.underline}表示妈妈的年龄比较合适．
14．一个直角三角形，它的三条边的长分别为6*cm*、8*cm*、10*cm*．这个三角形的面积是[ ]{.underline}*cm*^2^，斜边上的高是[ ]{.underline}*cm*．
15．一个梯形上底是8*cm*，下底是14*cm*，高是5*cm*，它的面积是[ ]{.underline}*cm*^2^。
16．一个湖泊周围长1800米，沿湖泊周围每隔3米栽一棵柳树，每两棵柳树中间栽一棵桃树，沿湖周围栽了[ ]{.underline}棵柳树和桃树[ ]{.underline}棵．
**三、判断题（每小题2分，共8分）**
17．2.45÷0.28＝245÷28＝8......21。[ ]{.underline}（判断对错）
18．抛硬币，无论抛多少次，都没办法分胜负。[ ]{.underline}（判断对错）
19．一个梯形的面积是6.3平方米．高是1.5米，上、下底的和是4.2米．[ ]{.underline}（判断对错）
20．在一条笔直的小道旁插了21面红旗（两端都插），每两面红旗的间隔是2*m*，这条小道全长为42*m*。[ ]{.underline}（判断对错）
**四、解答题(每小题6分，共36分)**
21．妈妈带50元钱去水果超市买水果，苹果每千克4.5元，香蕉每千克3.6元，妈妈买了2千克苹果，3千克香蕉，剩下的钱还够买一盒23.2元的草莓？
22．王老师以16千米/时的速度骑车，从家到学校要用0.35小时，如果她改为步行，在1.4小时内回到家，那么她平均每小时至少要行多少千米？
23．一个盒子里放有3个红球、4个黄球、2个绿球，球的大小完全相同．如果任意摸出1个球，可能出现几种结果？请列举出来．
24．有一群狗追一群鸭子，狗比鸭子的2倍多1只，总共124条腿。求狗和鸭子各有几只？
25．要在一块梯形地里种草坪，中间有一条宽1*m*的小路（如图），草坪22.5元/*m*^2^，这块地种满草坪需要多少元？
26．小芳家附近有一条小河，在河的左侧每隔45米种一棵树，加上两端共种53棵树；现在改成每隔60米种一棵树。可种多少棵树？
**五、连线题（共12分）**
27．蜜蜂采蜜。（连一连）
28．算一算，连一连。
**六、作图题（每小题6分，共12分）**
29．如图是大卫家所住"利民"小区18号楼的平面示意图。图上"列"表示楼房的单元，"行"表示楼房的层数。按下面条件，标出各家所在的位置。
> （1）大卫家住在（3，4），王华家和大卫家住在同一楼层，从左往右数第二单元里。
>
> （2）李奶奶家住在起始单元，起始层；陈奶奶家和李奶奶家住同一单元，比李奶奶家高2层。
>
> （3）张叔叔家住在（5，2），和刘阿姨家住同一楼层，刘阿姨家和大卫家住同一单元。
30．已知三角形的面积是24平方厘米，画一个与它面积相同的平行四边形和直角梯形．（每小格的边长是1*cm*）
**2020-2021学年山东省济南市五年级（上）期末数学试卷（二）**
**参考答案**
**一、选择题（每小题2分，共16分）**
1．C； 2．B； 3．B； 4．A； 5．C； 6．C； 7．C； 8．A；
**二、填空题（每小题2分，共16分）**
9．； 10．； ； 11．[0.06]{.underline}； 12．[4]{.underline}； 13．[24]{.underline}； [（A+24）]{.underline}； 14．[24]{.underline}； [4.8]{.underline}； 15．； 16．； ；
**三、判断题（每小题2分，共8分）**
17．； 18．； 19．[×]{.underline}； 20．；
**四、解答题(每小题6分，共36分)**
21．[ ]{.underline}； 22．[ ]{.underline}； 23．[ ]{.underline}； 24．[ ]{.underline}； 25．[ ]{.underline}； 26．[ ]{.underline}；
**五、连线题（共12分）**
27．[ ]{.underline}； 28．[ ]{.underline}；
**六、作图题（每小题6分，共12分）**
29．[ ]{.underline}； 30．[ ]{.underline}；
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**小学二年级上册数学奥数知识点讲解第8课《考虑所有可能的情况二》试题附答案**
来源：www.bcjy123.com/tiku/
**答案**
二年级奥数上册：第十一讲 考虑所有可能的情况（二）习题解答
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**质数与合数**
自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类：
第一类：只能被一个自然数整除的自然数，这类数只有一个，就是1。
第二类：只能被两个不同的自然数整除的自然数。因为任何自然数都能被1和它本身整除，所以这类自然数的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。这类自然数叫**质数**（或素数）。例如，2，3，5，7，...
第三类：能被两个以上的自然数整除的自然数。这类自然数的特征是大于1，除了能被1和它本身整除外，还能被其它一些自然数整除。这类自然数叫**合数**。例如，4，6，8，9，15，...
上面的分类方法将自然数分为质数、合数和1，1既不是质数也不是合数。
** 例1** 1～100这100个自然数中有哪些是质数？
** 分析与解**：先把前100个自然数写出来，得下表：
1既不是质数也不是合数。
2是质数，留下来，后面凡能被2整除的数都是合数，都划去；
3是质数，留下来，后面凡能被3整除的数都是合数，都划去；
类似地，把5留下来，后面凡是5的倍数的数都划去；
把7留下来，后面凡是7的倍数的数都划去。
经过以上的筛选，划去的都是合数，余下26个数，除1外，剩下的25个都是质数。这样，我们便得到了100以内的质数表：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，
43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
这些质数同学们应当熟记！
细心的同学可能会注意到，以上只划到7的倍数，为什么不继续划去11，13，...的倍数呢？事实上，这些倍数已包含在已划去的倍数中。例如，100以内11的倍数应该是
11×A≤100（其中A为整数），
显然，A只能取2，3，4，5，6，7，8，9。因为4=2^2^，6=2×3，8=23，9=3^2^，所以A必是2，3，5，7之一的倍数。由此推知，11的倍数已全部包含在2，3，5，7的倍数中，已在前面划去了。
要判断一个数N是质数还是合数，根据合数的定义，只要用从小到大的自然数2，3，4，5，6，7，8，...，N-1去除N，其中只要有一个自然数能整除N，N就是合数，否则就是质数。但这样太麻烦，因为除数太多。能不能使试除的数少一点呢？由例1知，只要用从小到大的质数去除N就可以了。例2给出的判别方法，可以使试除的数进一步减少。
** 例2** 判断269，437两个数是合数还是质数。
** 分析与解**：对于一个不太大的数N，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于N且最接近N的平方数K^2^，再写出K以内的所有质数。如果这些质数都不能整除N，那么N是质数；如果这些质数中有一个能整除N，那么N是合数。
因为269＜17^2^=289。17以内质数有2，3，5，7，11，13。根据能被某些数整除的数的特征，个位数是9，所以269不能被2，5整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269，所以269是质数。
因为437＜21^2^=441。21以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。容易判断437不能被2，3，5，7，11整除，用13，17，19试除437，得到437÷19=23，所以437是合数。
对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例2的方法的优越性。判别269，用2～268中所有的数试除，要除267个数；用2～268中的质数试除，要除41个数；而用例2的方法，只要除6个数。
** 例3** 判断数1111112111111是质数还是合数？
** 分析与解**：按照例2的方法判别这个13位数是质数还是合数，当然是很麻烦的事，能不能想出别的办法呢？根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。
根据整数的意义，这个13位数可以写成：
1111112111111
=1111111000000+1111111
=1111111×（1000000+1）
=1111111×1000001。
由上式知，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111是合数。
这道例题又给我们提供了一种判别一个数是质数还是合数的方法。
** 例4** 判定2^98^+1和2^98^+3是质数还是合数？
** 分析与解**：这道题要判别的数很大，不能直接用例1、例2的方法。我们在四年级学过a^n^的个位数的变化规律，以及a^n^除以某自然数的余数的变化规律。2^n^的个位数随着n的从小到大，按照2，4，8，6每4个一组循环出现，98÷4=24......2，所以2^98^的个位数是4，（2^98^+1）的个位数是5，能被5整除，说明（2^98^+1）是合数。
（2^98^+3）是奇数，不能被2整除； 2^98^不能被3整除，所以（2^98^+3）也不能被3整除；（2^98^+1）能被5整除，（2^98^+3）比（2^98^+1）大2，所以（2^98^+3）不能被5整除。再判断（2^98^+3）能否被7整除。首先看看2^n^÷7的余数的变化规律：
因为98÷3的余数是2，从上表可知2^98^除以7的余数是4，（2^98^+3）除以7的余数是4+3=7，7能被7整除，即（2^98^+3）能被7整除，所以（2^98^+3）是合数。
** 例5** 已知A是质数，（A+10）和（A+14）也是质数，求质数A。
** 分析与解**：从最小的质数开始试算。
A=2时，A+10=12，12是合数不是质数，所以A≠2。
A=3时，A+10=13，是质数；A+14=17也是质数，所以A等于3是所求的质数。
A除了等于3外，还可以是别的质数吗？因为质数有无穷多个，所以不可能一一去试，必须采用其它方法。
A，（A+1），（A+2）除以3的余数各不相同，而（A+1）与（A+10）除以3的余数相同，（A+2）与（A+14）除以3的余数相同，所以A，（A+10），（A+14）除以3的余数各不相同。因为任何自然数除以3只有整除、余1、余2三种情况，所以在A，（A+10），（A+14）中必有一个能被3整除。能被3整除的质数只有3，因为（A+10），（A+14）都大于3，所以A=3。也就是说，本题唯一的解是A=3。
**练习10**
1.现有1，3，5，7四个数字。
（1）用它们可以组成哪些两位数的质数（数字可以重复使用）？
（2）用它们可以组成哪些各位数字不相同的三位质数？
2.a，b，c都是质数，a＞b＞c，且a×b+c=88，求a，b，c。
3.A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数。试求出所有满足要求的质数A。
5.试说明：两个以上的连续自然数之和必是合数。
6.判断2^66^+3^88^是不是质数。
7.把一个一位数的质数a写在另一个两位数的质数b后边，得到一个三位数，这个三位数是a的87倍，求a和b。
**练习10**
1.（1）11，13，17，31，37，53，71，73；
（2）137，173，317，157，571，751。
2.17，5，3。
提示：c小于9，否则a×b+c＞88。对c=2，3，5，7四种情况逐一试算。
3.5。
提示：与例5类似。A+6，A+8，A+12，A+14分别与A+1，A+3，A+2，A+4除以5的余数相同。因为自然数除以5只有整除、余1、余2、余3、余4五种情况，原来的四个数都是大于5的质数，不应被5整除，只能是余1、余2、余3、余4，所以A=5。
4.2，7，13。
 5.在高斯求和公式"和=（首项+末项）×项数÷2"中，因为"项数"＞2，所以"首项+末项"＞2。因为"和"是整数，所以"首项+末项"与"项数"中必有一个能被2整除，且商不等于1。这就把"和"分解成了两个大于1的整数的乘积，说明"和"是合数。
6.不是。
提示：2^66^的个位数是4，3^88^的个位数是1，（2^66^+3^88^）的个位数是5，能被5整除。
7.5和43。
** 解：**由题意有，10b+a=87a，
10b=86a，
5b=43a。
因为5与43都是质数，所以a=5，b=43。
| 1 | |
**2017-2018学年3月开学测四年级**
**外研版 英语（B卷）**
班级：\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 姓名：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 学号：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
1. **根据句意和首字母补全单词。**
1\. Be quiet please. The boy is s\_\_\_\_\_\_.
2\. Sue's father is a policeman. How a\_\_\_\_\_ her mother?
3\. We are m\_\_\_\_ a model plane.
4\. We're going to v\_\_\_\_ Hainan.
5\. How m\_\_\_\_ are the trousers?
6\. He is w\_\_\_\_\_ TV.
**二、选出能表达该图片意义的单词或短语。**
+--------------------------------------------------+
| A door B cake C. sleep D under the tree E bird |
| |
| F.lunch box G crayon H window I high jump J book |
+--------------------------------------------------+
    
1.( ) 2.( ) 3.( ) 4.( ) 5.( )
    
6.( ) 7.( ) 8.( ) 9.( ) 10.( )
**三、读句子，写出与划线单词属同一类的单词。**
1\~5. The bird is [in]{.underline} the tree.
[ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
6\~10. He's reading a book about [China]{.underline}!
[ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
11\~15. I'm talking to [my]{.underline} friend!
[ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
4. **单项选择。**
1.Excuse \_\_\_\_. Where is the supermarket, please?
A. me B.I C.her
2.She [ ]{.underline} books in the classroom now.
A.is reading B.are reading C.read
3.There are many apples \_\_\_\_ the tree.
A.in B.on C.under
4.Look [ ]{.underline} these girls. What are they drinking?
A.up B.in C.at
5.I \_\_\_\_\_ football every day.
A.play B.plays C.playing
6.What \_\_\_\_\_ your borther going to do?
A.am B.is C.are
7.I'm going to \_\_\_\_ some books.
A.buy B.buys C.buying
8.---May I\_\_\_\_\_ your bike? \--Sorry.
A.ride B.rides C.riding
9.I want to find a good book. I'm going to the \_\_\_\_.
A. cinema B. library C. museum
10.---\_\_\_\_\_\_ is the coat? \-\--Thirty-five yuan, please.
A.How B.How old C.How much
**五、用所给词的适当形式填空。**
1. How many\_\_\_\_\_\_\_\_ (monkey) in the zoo?
2.What \_\_\_\_\_(be) your teacher doing?
3. Mike often\_\_\_\_\_\_\_(get) up at 6:30.
4. She \_\_\_\_ (do) not play chess every day.
5. The girl \_\_\_\_\_\_(read) a book now.
6. Look. They \_\_\_\_\_(play) football in the park.
7. Ken \_\_\_\_\_(write) an e-mail in the study.
8. Many children are \_\_\_\_\_(fly) kites in the park.
9.He \_\_\_\_\_\_(be) a middle school student.
10. We often \_\_\_\_\_\_\_ (have) art class on Tuesday.
**六、补全对话。**
A：This is my family photo.
B：1. [ \[来源:学+科+网Z+X+X+K\]]{.underline}
A：Nine
B：2. [ ]{.underline}
A：He is my father.\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
B：What is your father?
A：3.\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
B：4. [ ]{.underline}
A：Yes, she is. She is a teacher.
B：5.\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
A: They are my grandpa and grandma.
B: They look young.
+-----------------------------------------------+
| A. Who is this man? |
| |
| B. Who are they? |
| |
| C. Is this your mother?\[来源:学科网\] |
| |
| D. How many people are there in your family? |
| |
| E. He is a doctor. |
+-----------------------------------------------+
**七、找出下列各句中的错误，将序号填在括号内并在横线上改正。**
（ ）1. --[Is]{.underline} Tom [clean]{.underline} the windows? \--No, he [isn't]{.underline}. [ ]{.underline}
A B C
（ ）2. [They]{.underline} [has]{.underline} a map, and he [has]{.underline} a picture. [ ]{.underline}
A B C
（ ）3.[He]{.underline}r friend [drawing]{.underline} a horse in that [house]{.underline} now. [ ]{.underline}
A B C
（ ）4.[All]{.underline} the students [is]{.underline} playing games [under]{.underline} the tree. [ ]{.underline}
A B C
（ ）5. [Can]{.underline} he ride a bike? [Yes]{.underline}, he [can't]{.underline}. \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
A B C
**八、句型转换。**
1.We're making a model plane.(改为一般疑问句)
Are [ ]{.underline} making a model plane?
2.The boys are sitting [under the tree]{.underline}.(对划线部分提问)
[ ]{.underline} [ ]{.underline} the boys [ ]{.underline} ?
3.We can see [some birds]{.underline} over there. (对划线部分提问)
[ ]{.underline} can [ ]{.underline} see over there?
4.Look out of the window. (改为否定句)
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
5.There are [seven]{.underline} people in my family. (对划线部分提问)
[ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} are there in \_\_\_\_\_ family?
6.The children have some apples.(改为单数句)
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
**九、完形填空。**
My name is Jim. My father, Mr Read, works 1\_\_ a farm and my mother is in a factory. My father and my mother work five 2\_\_ a week and I also go to school3\_\_ Monday to Friday. 4\_\_Saturday we all stay 5\_\_\_home. We often go to the rivers or lakes on Sundays. My father likes 6\_\_\_\_. I like swimming. My mother sits there and watch 7\_\_\_. My father is good 8\_\_\_ fishing. He often catches 9\_\_ fish. We take them 10\_\_supper.
（ ）1.A.in B.on C.at
（ ）2.A.day B.days C.month
（ ）3.A.on B.from C.in
（ ）4.A.in B.on C.at
（ ）5.A.in B.at C./
（ ）6.A.fish B.fishing C.fished
（ ）7.A.we B.them C.us
（ ）8.A.at B.in C.to
（ ）9.A.lot of B.a lot C.a lot of
（ ）10.A.for B.to C.have
**十、阅读短文并判断正（T）误（F）。\[来源:学\#科\#网\]**
It's Sunday morning. The students of Class 3 are giving their classroom a good cleaning. Miss Huang, their teacher, is working with them. The children are busy. Some are carrying water, some are cleaning the windows, others are sweeping the floor. Zhang Hua is putting up a map on the wall. It is a map of China. Wang Fei and Wei Qing are mending some broken chairs. The children are listening to the radio while they are working. The classroom looks nice and bright after the cleaning. The children are very happy. They go home for lunch at noon.
( ) 1. The children are playing in their classroom on Sunday morning.
( ) 2. Miss Huang, their mother, is working with them.
( ) 3. There is a map of China on the wall.
( ) 4. Two of them are repairing the broken chairs.
( ) 5. They are singing while they are working.
**十一、阅读理解，根据短文的意思，选择最合适的答案。**\
Mr Brown lives in a nice house in a small town with his wife(妻子), Mrs Brown. From Monday to Friday he works in an office near his house. He is free on Saturdays and Sundays. He has a nice garden beside his house. He likes growing flowers and he often works in the garden on Saturdays and Sundays. The flowers are very beautiful and Mrs Brown likes them very much. She often helps Mr Brown.
( ) 1.Mr Brown lives in\_\_\_\_\_\_with his wife. \
A. a city B. a small town C. a big town
( ) 2. He works \_\_\_\_\_\_ days a week in his office. \
A. four B. five C.six
( ) 3. He isn't \_\_\_\_\_\_ On Saturdays and Sundays. \
A. free B. busy C. happy
( ) 4. He likes \_\_\_\_\_ on Saturdays and Sundays. \
A. working in his garden B. walking in his garden C. looking at his garden\
( ) 5. Mr Brown \_\_\_\_\_ Mr Brown.\[来源:Zxxk.Com\]
A. like B. doesn't like C. often helps
**十二、请介绍一种文具，50词左右。**
[ ]{.underline}
[ ]{.underline}
[ ]{.underline}
[ ]{.underline}
[ ]{.underline}
[ ]{.underline}
[ ]{.underline}
[ ]{.underline}
[ ]{.underline}
[ ]{.underline}
[ ]{.underline}
| 1 | |
**2017\~2018学年度上学期高三年级三调考试**
**数学（理科）试卷**
**一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）**
1．已知集合，则（ ）
------- ------- ------- -------
*A*． *B*． *C*． *D*．
------- ------- ------- -------
1．答案：C
解析：
2．已知复数满足（其中是虚数单位），则复数的虚部等于（ ）
------- ------- ------- -------
*A*． *B*． *C*． *D*．
------- ------- ------- -------
2．答案：C
解析：，
故的虚部为
3．阅读如图所示的程序框图，若输入的，则输出的值是（ ）
-------- --------- --------- ---------
*A*．9 *B*．10 *C*．11 *D*．12
-------- --------- --------- ---------
3．答案：C
解析：，
所以，
令，解得，所以取，再执行一步，则输出
4．若数列满足，且，则数列 的第100项为（ ）
------- ------- ------- -------
*A*． *B*． *C*． *D*．
------- ------- ------- -------
4．答案：D
解析：由，两边取倒数，得，故数列是等差数列，其首项为，公差为，所以
5．已知满足约束条件 ，则的最小值为（ ）
-------- --------- -------- --------
*A*．5 *B*．12 *C*．6 *D*．4
-------- --------- -------- --------
5．答案：A
解析：作可行域如图所示，则可行域内的任一点到直线的距离
，所以，由图可知，点到直线的距离最小，所以
6．放在水平桌面上的某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
------- ------- ------- -------
*A*． *B*． *C*． *D*．
------- ------- ------- -------
6．答案：C
解析：该几何体可以看成是一个底面是扇形的柱体，其表面积
7．在中，分别是角的对边，若，则
的值为（ ）
-------- -------- ----------- -----------
*A*．0 *B*．1 *C*．2013 *D*．2014
-------- -------- ----------- -----------
7．答案：C
解析：，由正弦定理，得：
，所以，
8．若对于数列，有任意，满足，则的值为（ ）
------- ------- ------- -------
*A*． *B*． *C*． *D*．
------- ------- ------- -------
8．答案：D
解析：由，当时，；当时，
，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故，
所以
9．在中，角所对的边分别为，若，
，，则等于（ ）
------- -------- ------- -------
*A*． *B*．2 *C*． *D*．
------- -------- ------- -------
9．答案：A
解析：由及正弦定理可得，
即，
又，，故或，又因为，若，则，故舍去，所以，又因为，所以，
所以，由可得，由余弦定理可得
，故
10．如图所示，，圆与分别相切于，若点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是（ ）
------- ------- ------- -------
*A*． *B*． *C*． *D*．
------- ------- ------- -------
10．答案：B
解析：连接，则当点在线段上运动时，，连接并延长，交圆于两点，交线段于点，则圆的半径，
，当点位于点时，取得最大值，最大值为，当点位于点时，取得最小值，最小值为．
另一种解释，考虑以方向为轴、轴，为单位长度建立菱形坐标系，则直线的方程为，设，作直线并平移，当直线过点时，取得最小值，当直线过点时，取得最大值．
11．已知向量满足，若的最大值和最小值分别为，则等于（ ）
------- -------- ------- -------
*A*． *B*．2 *C*． *D*．
------- -------- ------- -------
11．答案：C
解析：，
，
如图，设，则，所以，即点在以为直径的圆上，设为中点，连接并延长，与圆交于两点，则
12．已知定义在内的函数的导函数为，且满足，则（ ）
------- -------
*A*． *B*．
*C．* *D*．
------- -------
12．答案：B
解析：由可得，设，则
，故在上单调递增，
所以，即，即
**二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）**
13．展开式中的常数项为 [ ]{.underline} ．
13．答案：160
解析：，故
，展开式中的常数项为
14．已知数列的前项和为，若函数的最大值为，且满足，则数列的前2 017项之积 [ ]{.underline} ．
14．答案：4
解析：的最大值为4，故，
由，得，即，，
由，可得，故数列的周期为3，且，
又，所以
15．已知为的外接圆圆心，，若，且
，则 [ ]{.underline} ．
15．答案：10
解析：以点为坐标原点，方向为轴正方向建立直角坐标系，设直线与圆的另一个交点为，设，
则，在中，，
在中，，所以，根据数字特征，不妨假设，然后再进行验证，此时
由，得，故，
解得：，满足，符合题意，故
16．已知函数，若在区间内有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 [ ]{.underline} ．
16．答案：
解析：，有1个零点，，显然必须，令，得的对称中心为，要想满足题意，只需，即，解得：，故实数的取值范围是
**三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17\~21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考试根据要求作答）**
**（一）必考题：共60分．**
17．（本小题满分12分）
在中，内角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，且，求．
17．解：（1）由及正弦定理可得，
因为，所以，因为，所以，又因为，所以． （5分）
（2） （\*）
又由余弦定理得，代入（\*）式得．
，
由余弦定理得，
所以，解得 （12分）
18．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，，且
（1）求的值，并证明数列是等比数列；
（2）设，求．
18．解：（1）令，得，将代入并整理得：，因为，所以．
由题意得，整理得
，因为，所以，所以数列收首项为1，公比为4的等比数列． （7分）
（2）由（1）可知，所以
所以 （12分）
19．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且满足．
（1）求；
（2）设，数列的前项和为，求证：．
19．解：（1）由题意得 ① ②
①－②，得：，所以，
所以数列是一个常数列，所以 （6分）
（2）由（1）得，所以 当时，
综上可得 （12分）
20．（本小题满分12分）已知函数，其中．
（1）当时，求证：；
（2）对任意，存在，使成立，求的取值范围．（其中是自然对数的底数，）
20．解：（1）当时，，则，
令，得．当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值，也是最大值，所以，所以，得证． （4分）
（2）不等式，
即为，
而
令，原命题即故对任意，存在，使恒成立，所以，
设，则，设，则对于恒成立，则为区间上的增函数，于是，
所以对于恒成立，所以为区间上的增函数，
所以．
设，
①当时，函数为区间上的单调递减函数，其值域为，可知符合题意；
②当时，，令，得，由得
，则函数在区间内为增函数；由，得，则函数在区间内为减函数，所以，
从而，解得．
综上所述，的取值范围是． （12分）
21．（本小题满分12分）设函数．
（1）若函数在区间内是单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，且，求证：．
21．解：（1）由题意知在区间内恒成立（1分）
即在区间内恒成立，解得 （3分）
当时，，当时，，且仅当时，，所以函数单调递增，
所以的取值范围是 （4分）
（2）函数的定义域为，，即，
则有，解得
**证法一**：因为，
所以，
令 （8分）
则，因为，所以存在，使得，列表如下：
-- ---- --- ----
－ 0 ＋
-- ---- --- ----
又，所以，
所以函数在内为减函数， （11分）
所以，即． （12分）
**证法二：**因为是方程的解，所以．
因为，所以．
先证，因为，即证，
在区间内，，在区间内，，
所以为极小值，，即，所以成立． （8分）
再证，即证．
令 （10分）
则，因为，
所以，函数在区间内为增函数，
所以， （11分）
所以成立．
综上可得成立． （12分）
**（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．**
22．（本小题满分10分）选修4---4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若射线与曲线的交点分别为（异于原点），当斜率时，求的取值范围．
22．解：（1）曲线的直角坐标方程为，即，将代入并化简得曲线的极坐标方程为，
由，两边同时乘以，得，将代入得曲线的直角坐标方程为． （5分）
（2）设射线的倾斜角为，则射线的极坐标方程为，
且．
联立，得， （7分）
联立，得 （8分）
所以，
即的取值范围是 （10分）
23．（本小题满分10分）选修4---5：不等式选讲
已知函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）若正实数满足，求的最小值．
23．解：（1）因为，所以． （4分）
（2）因为，所以，即
所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值的最小值为4 （10分）
| 1 | |
**2020-2021学年黑龙江省齐齐哈尔市富裕县等五县联考五年级（上）期末数学试卷**
**一、填空题（每空1分，共20分。）**
1．（2分）一个两位小数，保留一位小数后是3.5，这个两位小数最大是[ ]{.underline}，最小是[ ]{.underline}，他们相差[ ]{.underline}．
2．（2分）计算0.756÷0.18，先把被除数和除数同时扩大相同倍数，将除数转化为整数，变成[ ]{.underline}÷[ ]{.underline}再计算．
3．（2分）一条裤子*n*元，一件上衣的价格是一条裤子的6倍，则一件上衣需要[ ]{.underline}元，买一套服装共需[ ]{.underline}元．
4．（1分）一个三角形的面积是12平方厘米，底是8厘米，它的高是[ ]{.underline}厘米．
5．（3分）计算82.4+2.5×4时，应先算[ ]{.underline}法，再算[ ]{.underline}法，得数是[ ]{.underline}。
6．（3分）在确定位置时，竖排叫做[ ]{.underline}，横排叫做[ ]{.underline}；小明坐在教室里的第6列第2行，可以用数对[ ]{.underline}来表示。
7．（2分）盒子里有了6个黄球、18个白球和25个红球（球的质地、大小相同），任意摸一个，摸到[ ]{.underline}球可能性最大，摸到[ ]{.underline}球可能性最小。
8．（2分）一个木头锯成了6段，锯了[ ]{.underline}次，如果每锯一次需要8分钟，锯完一共需要[ ]{.underline}分钟。
9．（3分）当*x*＝0.6时，*x*^2^＝[ ]{.underline}，2*x*＝[ ]{.underline}，2+*x*＝[ ]{.underline}。
**二、单项选择题（每小题1分，共10分。）**
10．（1分）已知0.35×170＝59.5，那么3.5×1.7的积是（ ）
A．0.595 B．5.95 C．59.5
11．（1分）一个三角形与一个平行四边形的面积相等，底也相等．三角形的高是2分米，平行四边形的高是（ ）分米．
A．1 B．2 C．4
12．（1分）下面各式中，是方程的是（ ）
A．5×3＝15 B．*x*+5 C．3×2+*x*＝22
13．（1分）循环小数0.898989......保留三位小数约是（ ）
A．0.898 B．0.899 C．0.900
14．（1分）小明今年*a*岁，他妈妈今年（*a*+30）岁，再过*n*年后他们相差（ ）岁。
A．*a* B．30 C．无法确定
15．（1分）一个舞台长20米，在一侧每隔5米安装一盏灯，一共安装了3盏灯，安装的方式是（ ）
A．两端都安装 B．只安装一端
C．两端都不安装
16．（1分）下面各式中商大于1的是（ ）
A．3.28÷0.8 B．5.4÷6.5 C．0.3÷0.9
17．（1分）卡片*A*和*B*在同一列上，*A*的位置是（5，6），*B*的位置不可能是（ ）
A．（5，7） B．（6，7） C．（5，4）
18．（1分）每个空瓶可装1.5*kg*色拉油，王老师要把15.5*kg*的色拉油装在这样的瓶子里，至少需要（ ）个这样的瓶子。
A．11 B．12 C．10
19．（1分）*a*的一半与4.3的和用式子表示是（ ）
A．2*a*+4.3 B．2÷*a*+4.3 C．*a*÷2+4.3
**三、判断题（每空1分，共10分）**
20．（1分）*a*^2^与2*a*表示的意义相同．[ ]{.underline}．（判断对错）
21．（1分）用石头、剪刀、布来确定谁先开始走跳棋的方法是公平的。[ ]{.underline}（判断对错）
22．（1分）一个不为0的自然数除以小数，商一定小于被除数。[ ]{.underline}（判断对错）
23．（1分）梯形的面积一定比三角形的面积大。[ ]{.underline}（判断对错）
24．（1分）姐姐的年龄一定比弟弟大。[ ]{.underline}（判断对错）
25．（1分）7.8和7.800的大小相等，精确度不同。[ ]{.underline}（判断对错）
26．（1分）0.62×500的积是两位小数。[ ]{.underline}（判断对错）
27．（1分）1箱橘子24.5元，买4箱橘子的总价估计会超过90元，但不到100元。[ ]{.underline}（判断对错）
28．（1分）无限小数大于有限小数．[ ]{.underline}（判断对错）
29．（1分）一个数对只能确定一个位置．[ ]{.underline}（判断对错）
**四、计算题（共34分。）**
30．（10分）直接写得数。
---------- ------------ ----------- ------------------- -------------------
2.5×4＝ 0.49÷0.7＝ 42÷0.6＝ 1.5÷30＝ 0÷3.7＝
0.8×60＝ 0.25×8＝ 0.9×0.1＝ 0.1×0.1÷0.1×0.1＝ 6.4×0.2+3.6×0.2＝
---------- ------------ ----------- ------------------- -------------------
31．（6分）解方程。
---------------- ------------------ -------------------
6*x*﹣0.9＝4.5 13（*x*+5）＝169 （*x*﹣3）÷2＝7.5
---------------- ------------------ -------------------
32．（18分）计算下面各题，能简算的要用简便方法计算。
--------------- ---------------------------- -----------------------
99×2.45 0.8×\[13﹣（3.12+5.28）\] 10.48+22.56÷4.7×5.4×0
20.5÷1.25÷0.8 7.34×2.1+7.34×6.8+7.34×1.1 50×（0.8+0.4）
--------------- ---------------------------- -----------------------
**五、分析与交流题（共4分）**
33．（4分）求出下面图形的面积。
> 
**六、综合与应用题（共22分）**
34．（4分）一辆汽车1.5小时行驶114千米，照这样计算，这辆汽车4.5小时能行驶多少千米？
35．（4分）在一条全长2千米的街道两旁安装路灯（两端都安装），每隔50米安一盏．一共要安装多少盏？
36．（4分）果园里有一块平行四边形的地，底是120米，高是60米，如果每棵苹果树占地24平方米，这块地可栽多少棵苹果树？
37．（5分）一条公路长360米，甲、乙两支施工队同时从公路的两端往中间铺柏油．甲队的施工速度是乙队的1.25倍，4天后这条公路全部铺完．甲、乙两队每天分别铺柏油路多少米？
38．（5分）自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。12吨以内的每吨2.6元；超过12吨的部分，每吨3.8元。小明家上个月的用水量为17吨，应缴水费多少元？
**2020-2021学年黑龙江省齐齐哈尔市富裕县等五县联考五年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（每空1分，共20分。）**
1．【分析】要考虑3.5是一个两位数的近似数，有两种情况："五入"得到的3.5最小是3.45，"四舍"得到的3.5最大是3.54，然后相减，由此解答问题即可．
> 【解答】解："五入"得到的3.5最小是3.45，"四舍"得到的3.5最大是3.54，
>
> 3.54﹣3.45＝0.09，
>
> 所以这个数最小是3.45，最大是3.54，他们相差0.09；
>
> 故答案为：3.54，3.45，0.09．
>
> 【点评】取一个数的近似数，有两种情况："四舍"得到的近似数比原数小，"五入"得到的近似数比原数大，根据题的要求灵活掌握解答方法．
2．【分析】根据除数是小数除法运算法则可知，计算0.756÷0.18，先把被除数和除数同时扩大相同倍100倍，将除数转化为整数18，被除数变为75.6，然后按75.6÷18进行计算．
> 【解答】解：计算0.756÷0.18，先把被除数和除数同时扩大相同倍数，将除数转化为整数，变成 75.6÷18再计算．
>
> 故答案为：75.6，18．
>
> 【点评】除数是小数的小数除法法则：先看除数中有几位小数，就把被除数的小数点向右移动几位，数位不够的用零补足；然后按照除数是整数的小数除法来除．
3．【分析】先根据倍数关系求出一件上衣的价格，再把一件上衣的价格和一条裤子的价格相加即可．
> 【解答】解：上衣：*n*×6＝6*n*（元）；
>
> 6*n*+*n*＝7*n*（元）；
>
> 答：一件上衣需要6*n*元，买一套服装共需7*n*元；
>
> 故答案为：6*n*，7*n*．
>
> 【点评】本题主要考查了两个数的倍数关系：已知一个数，求它的几倍是多少用乘法．
4．【分析】由"三角形的面积＝底×高÷2"可得"三角形的高＝三角形的面积×2÷底"，三角形的面积和底已知，代入关系式即可求解．
> 【解答】解：12×2÷8
>
> ＝24÷8
>
> ＝3（厘米）；
>
> 答：这个三角形的高是3厘米．
>
> 故答案为：3．
>
> 【点评】此题主要考查三角形的面积的计算方法的灵活应用．
5．【分析】计算82.4+2.5×4时，先算乘法，再算加法，据此计算。
> 【解答】解：计算82.4+2.5×4时，先算乘法，再算加法；
>
> 82.4+2.5×4
>
> ＝82.4+10
>
> ＝92.4
>
> 故答案为：乘；加；92.4。
>
> 【点评】考查了小数四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，然后再进一步计算。
6．【分析】在确定位置时，竖排叫做列，横排叫做行；用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数（第一个数字与第二个数字之间用"，"隔开，数字两边加小括号）。
> 【解答】解：在确定位置时，竖排叫做列，横排叫做行；小明坐在教室里的第6列第2行，可以用数对（6，2）来表示。
>
> 故答案为：列，行，（6，2）。
>
> 【点评】此题是考查列、行的意义及用数对表求位置的方法，属于基础知，要掌握。
7．【分析】因为盒子里红球的个数最多所以摸出红球的可能性最大，黄球的个数最少，所以摸出黄球的可能性最小，据此解答即可。
> 【解答】解：因为25＞18＞6，
>
> 红球的个数最多所以摸出红球的可能性最大，
>
> 黄球的个数最少，所以摸出黄球的可能性最小。
>
> 故答案为：红，黄。
>
> 【点评】解决此类问题的关键是分两种情况：（1）需要计算可能性的大小的准确值时，根据求可能性的方法：求一个数是另一个数的几分之几，用除法列式解答即可；（2）不需要计算可能性的大小的准确值时，可以根据各种球数量的多少，直接判断可能性的大小。
8．【分析】根据题干，锯1次需要8分钟，锯成6段，需要锯6﹣1＝5次，由此利用乘法的意义，即可解答。
> 【解答】解：6﹣1＝5（次）
>
> 5×8＝40（分钟）
>
> 答：锯了5次，如果每锯一次需要8分钟，锯完一共需要40分钟。
>
> 故答案为：5；40。
>
> 【点评】抓住"锯的次数＝锯出的段数﹣1"即可解答此类问题。
9．【分析】把*x*＝0.6分别代入*x*^2^、2*x*、2+*x*，求出算式的值各是多少即可。
> 【解答】解：当*x*＝0.6时，
>
> *x*^2^＝（0.6）^2^＝0.36，
>
> 2*x*＝2×0.6＝1.2，
>
> 2+*x*＝2+0.6＝2.6。
>
> 故答案为：0.36、1.2、2.6。
>
> 【点评】此题主要考查了含字母式子的求值方法，要熟练掌握，注意代入法的应用。
**二、单项选择题（每小题1分，共10分。）**
10．【分析】根据积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数扩大或缩小几倍（0除外），积也会随之扩大或缩小相同的倍数，据此解答即可得到答案．
> 【解答】解：根据积的变化规律可知，
>
> 已知0.35×170＝59.5，那么3.5×1.7＝59.5×10÷100＝5.95．
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】此题主要考查的是积的变化规律的灵活应用．
11．【分析】由题意可知：一个三角形和一个平行四边形的底相等，面积也相等，三角形的高是2分米，由两种图形的面积公式可得，三角形的高应是平行四边形高的二倍，所以问题得解．
> 【解答】解：设它们的底都为*S*，平行四边形的高为*h*；
>
> 由于三角形的面积＝平行四边形的面积；
>
> 即：*Sh*＝*S*×2÷2；
>
> 得：*h*＝1；
>
> 即平行四边形的高为1分米．
>
> 故选：*A*．
>
> 【点评】此题主要考查三角形和平行四边形的面积公式，找出等量关系解答即可．
12．【分析】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行选择．
> 【解答】解：*A*、5×3＝15，只是等式，不含有未知数，不是方程；
>
> *B*、*x*+5，只是含有未知数的式子，不是等式，不是方程；
>
> *C*、3×2+*x*＝22，既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程；
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程．
13．【分析】保留三位小数，即精确到千分位，看小数点后面第四位，利用"四舍五入"法解答即可。
> 【解答】解：循环小数0.898989......保留三位小数约是0.899。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题主要考查小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数。
14．【分析】根据年龄差不会随着时间的变化而改变，由此即可确定再过*n*年后，小明和妈妈的年龄差仍然不变。
> 【解答】解：由"小明今年*a*岁，他妈妈今年（*a*+30）岁"可知：
>
> 小明与妈妈年龄相差30岁，且这个数值是不变的，
>
> 所以说再过*n*年后，他俩仍然相差30岁。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题主要考查年龄差是永远不变的。
15．【分析】先用总长度除以间距求出间隔数，再根据间隔数与路灯盏数之间的关系选择即可。
> 【解答】解：20÷5＝4（个）
>
> 4﹣3＝1（盏）
>
> 所以安装的方式是两端都不安装。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】抓住间隔数和路灯盏数之间的关系，即可解答问题。
16．【分析】根据题意，不用计算出各个算式中商，只要比较被除数与除数的大小即可判断商是否大于1，据此解答。
> 【解答】解：*A*、3.28＞0.8；
>
> 所以，3.28÷0.8的商大于1；
>
> *B*、5.4＜6.5；
>
> 5.4÷6.5是商小于1；
>
> *C*、0.3＜0.9；
>
> 所以，0.3÷0.9的商小于1。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】在没有0的除法算式中，被除数大于除数，商大于1，被除数小于除数，商小于1。
17．【分析】根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，用数对表示点的位置时，第一个数字相同，表示在同一列，第二个数字相同表示在同一行。与*A*的位置是（5，6）同一列的卡片*B*在第5列，即数对中第一个数字是5。
> 【解答】解：卡片*A*和*B*在同一列上，*A*的位置是（5，6），*B*的位置可能是（5，7）或（5，4），不可能是（6，7）。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】数对中每个数字所代表的意义，在不同的题目中会有所不同，但在无特殊说明的情况下，数对中第一个数字表示列，第二个数字表示行。
18．【分析】每个空瓶可装1.5*kg*色拉油，15.5*kg*里面有几个1.5*kg*，就需要几个这样的瓶子，即15.5÷1.5，注意用进一法求近似数。
> 【解答】解：15.5÷1.5≈11（个）
>
> 答：至少需要11个这样的瓶子。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】本题考查了运用小数除法解决实际问题的能力，注意用进一法求近似数。
19．【分析】*a*的一半用*a*÷2表示，再用*a*÷2加上4.3，表示出*a*的一半与4.3的和即可。
> 【解答】解：*a*的一半与4.3的和用式子表示是：
>
> *a*÷2+4.3。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题主要考查了用字母表示数的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：求一个数的一半是多少，用这个数除以2即可。
**三、判断题（每空1分，共10分）**
20．【分析】根据平方的定义，乘法的定义即可作出判断．
> 【解答】解：*a*^2^表示两个*a*相乘；2*a*表示*a*的2倍，故*a*^2^与2*a*表示的意义不相同．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】本题考查了用字母表示数中平方的意义，乘法的意义，是基础题型，比较简单．
21．【分析】看游戏是否公平，主要看双方是否具有均等的机会，如果机会是均等的，那就公平，否则，则不公平；据此进行分析判断即可。
> 【解答】解：用"剪刀、石头、布"的方法来确定谁先下棋，可能性相同，比较公平。
>
> 故原题表述正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】此题考查游戏公平性的判断，判断游戏规则是否公平，可能性相等就公平，否则就不公平。
22．【分析】假设这个不为0的自然数是3，小数分别是0.1与1.5，分别求出它们的商，然后再比较解答。
> 【解答】解：假设这个不为0的自然数是3，小数分别是0.1与1.5；
>
> 3÷0.1＝30，30＞3；
>
> 3÷1.5＝2，2＜3；
>
> 所以，一个不为0的自然数除以小数，商不一定小于被除数；
>
> 因此原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】根据题意，用赋值法能比较容易解决此类问题。
23．【分析】在没有确定三角形和梯形是否等底等高时，梯形的面积也可能小于三角形的面积。据此判断。
> 【解答】解：在没有确定三角形的底与梯形的上底（或下底）是否相等，高是否相等时，无法确定梯形的面积是否大于三角形的面积。
>
> 因此，梯形的面积一定比三角形的面积大。这种说法是错误的。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握梯形的面积公式、三角形的面积公式及应用。
24．【分析】姐姐的年龄一定比弟弟大，表示确定事件中的一定事件。
> 【解答】解：姐姐的年龄一定比弟弟大，说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】此题考查了事件发生的确定性和不确定性，应注意灵活应用。
25．【分析】根据小数的基本性质可知，7.8＝7.800，根据小数的意义可知：7.8的计数单位是0.1，7.800的计数单位是0.001，据此即可判断。
> 【解答】解：7.8＝7.800，
>
> 7.8的计数单位是0.1，7.800的计数单位是0.001，所以精确度不同，即本题说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】本题主要考查小数的基本性质和小数的意义，注意小数的位数不同，计数单位就不同。
26．【分析】根据整数乘法的计算方法，求出0.62×500的积，然后再进一步解答。
> 【解答】解：0.62×500＝310
>
> 310是整数；
>
> 所以，0.62×500的积是两位小数，说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】求两个数的乘积的小数位数，可以先求出它们的乘积，然后再进一步解答。
27．【分析】根据总价＝单价×数量，由此求出买4箱橘子的总钱数，然后再进行判断即可。
> 【解答】解：24.5×4＝98（元）
>
> 90＜98＜100，所以超过90元，但不到100元，原题说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】本题主要考查了学生对总价、单价和数量三者之间关系的灵活掌握情况。
28．【分析】有限小数有的比无限小数大，有的比无限小数小．可以举出反例加以解答即可．
> 【解答】解：例如，1.2是有限小数，1.111...是无限小数，
>
> 1.2＞1.111...；
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】本题考查了学生对小数大小比较的方法的掌握情况．小数位数多的小数不一定大．
29．【分析】在平面内点与数对有一一对应的关系，即一个点可以用这个点所在的列数和行数表示；据此解答．
> 【解答】解：在平面内一个点可以用两个数表示出来，即用这个点所在的列与行，如一个点在第二列，第三行，可用（2，3）表示；所以一个数对就可以确定一个位置．
>
> 原题说法正确．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】在平面内一个点可以用一个数对表示，顾名思义，数对就是两个数．
**四、计算题（共34分。）**
30．【分析】根据小数乘除法的计算方法进行计算。
> 0.1×0.1÷0.1×0.1，按照从左向右的顺序进行计算；
>
> 6.4×0.2+3.6×0.2，根据乘法分配律进行简算。
>
> 【解答】解：
------------ --------------- --------------- ----------------------- --------------------
2.5×4＝10 0.49÷0.7＝0.7 42÷0.6＝70 1.5÷30＝0.05 0÷3.7＝0
0.8×60＝48 0.25×8＝2 0.9×0.1＝0.09 0.1×0.1÷0.1×0.1＝0.01 6.4×0.2+3.6×0.2＝2
------------ --------------- --------------- ----------------------- --------------------
> 【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算。
31．【分析】（1）首先根据等式的性质，两边同时加上0.9，然后两边同时除以6即可。
> （2）首先根据等式的性质，两边同时除以13，然后两边再同时减去5即可。
>
> （3）首先根据等式的性质，两边同时乘2，然后两边再同时加上3即可。
>
> 【解答】解：（1）6*x*﹣0.9＝4.5
>
> 6*x*﹣0.9+0.9＝4.5+0.9
>
> 6*x*＝5.4
>
> 6*x*÷6＝5.4÷6
>
> *x*＝0.9
>
> （2）13（*x*+5）＝169
>
> 13（*x*+5）÷13＝169÷13
>
> *x*+5＝13
>
> *x*+5﹣5＝13﹣5
>
> *x*＝8
>
> （3）（*x*﹣3）÷2＝7.5
>
> （*x*﹣3）÷2×2＝7.5×2
>
> *x*﹣3＝15
>
> *x*﹣3+3＝15+3
>
> *x*＝18
>
> 【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。
32．【分析】算式①把99写成（100﹣1）再利用乘法分配律即可；
> 算式②③按照四则混合运算的顺序计算即可；
>
> 算式④原式变为20.5÷（1.25×0.8）即可简算；
>
> 算式⑤利用乘法分配律的逆运算即可简算；
>
> 算式⑥利用乘法分配律即可简算。
>
> 【解答】解：①99×2.45
>
> ＝（100﹣1）×2.45
>
> ＝100×2.45﹣2.45
>
> ＝245﹣2.45
>
> ＝242.55
>
> ②0.8×\[13﹣（3.12+5.28）\]
>
> ＝0.8×（13﹣8.4）
>
> ＝0.8×4.6
>
> ＝3.68
>
> ③10.48+22.56÷4.7×5.4×0
>
> ＝10.48+4.8×5.4×0
>
> ＝10.48+0
>
> ＝10.48
>
> ④20.5÷1.25÷0.8
>
> ＝20.5÷（1.25×0.8）
>
> ＝20.5÷1
>
> ＝1.25
>
> ⑤7.34×2.1+7.34×6.8+7.34×1.1
>
> ＝7.34×（2.1+6.8+1.1）
>
> ＝7.34×10
>
> ＝73.4
>
> ⑥50×（0.8+0.4）
>
> ＝50×0.8+50×0.4
>
> ＝40+20
>
> ＝60
>
> 【点评】本题考查的是小数的四则混合运算，关键是能灵活运用不同的方法，尽量使计算简便。
**五、分析与交流题（共4分）**
33．【分析】根据图示可知，该图形的面积可以看作是一个梯形的面积加上一个长方形的面积。利用梯形面积公式：*S*＝（*a*+*b*）*h*÷2，长方形面积公式：*S*＝*ab*，计算即可。
> 【解答】解：（5+10）×（12﹣6）÷2+5×6
>
> ＝45+30
>
> ＝75（平方厘米）
>
> 答：该图形的面积是75平方厘米。
>
> 【点评】解答求组合图形的面积，关键是观察分析图形是由那几部分组成的，是求各部分的面积和、还是求各部分的面积差，再根据相应的面积公式解答。
**六、综合与应用题（共22分）**
34．【分析】首先根据速度＝路程÷时间，求出汽车每小时行驶多少千米，再根据路程＝速度×时间，列式解答。
> 【解答】解：114÷1.5×4.5
>
> ＝76×4.5
>
> ＝342（千米）
>
> 答：这辆汽车4.5小时能行驶342千米。
>
> 【点评】此题属于简单的正归一问题，先根据"等分"除法的意义，求出单一量，再根据乘法的意义，用乘法求出总量。
35．【分析】先求出2千米里面有几个50米，即有几个间隔，最后一端还要安装一盏，由此得出一侧安装路灯的盏数，进而求出两侧安装路灯的盏数．
> 【解答】解：2千米＝2000米，
>
> 2000÷50＝40（个），
>
> （40+1）×2＝82（盏），
>
> 答：一共需要准备82盏路灯．
>
> 【点评】此题属于典型的植树问题，先求出间隔数，再用间隔数加1，就是一侧植树的棵数，由此解决问题．
36．【分析】根据平行四边形的面积公式：*S*＝*ah*，把数据代入公式求出这个果园的面积，然后根据"包含"除法的意义，用这个果园的面积除以每棵苹果树的占地面积即可。
> 【解答】解：120×60÷24
>
> ＝7200÷24
>
> ＝300（棵）
>
> 答：这块地可栽300棵苹果树。
>
> 【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
37．【分析】首先根据：工作效率＝工作量÷工作时间，用这条公路的长度除以4，求出甲、乙两队每天一共铺柏油路多少米；然后用它除以2.25（1.25+1＝2.25），求出乙队每天铺柏油路多少米，再用乙队每天铺的长度乘1.25，求出甲队每天铺多少米即可．
> 【解答】解：360÷4÷（1.25+1）
>
> ＝90÷2.25
>
> ＝40（米）
>
> 40×1.25＝50（米）
>
> 答：甲队每天铺50米，乙队每天铺40米．
>
> 【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率．
38．【分析】根据分段付费原则，先计算超过12吨的部分：17﹣12＝5（吨），然后分两部分计算所需钱数，求和即可。
> 【解答】解：（17﹣12）×3.8+12×2.6
>
> ＝19+31.2
>
> ＝50.2（元）
>
> 答：应缴水费50.2元。
>
> 【点评】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式计算。
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日期：2021/4/27 11:06:07；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**北师大版五年级数学上册全套试卷**
特别说明：本试卷为最新北师大版教材（新版）配套试卷。
全套试卷共22份（含答案）。
试卷内容如下：
1\. 第一单元测评卷 12.分类测评卷（一）
2\. 第二单元测评卷 13.分类测评卷（二）
3\. 阶段测评卷（一） 14.分类测评卷（三）
4\. 第三单元测评卷 15.分类测评卷（四）
5\. 第四单元测评卷 16.分类测评卷（五）
6\. 期中测评卷（一） 17.期末测评卷（一）
7\. 期中测评卷（二） 18.期末测评卷（二）
8\. 第五单元测评卷 19.期末测评卷（三）
9\. 第六单元测评卷 20.期末测评卷（四）
10.阶段测评卷（二） 21.期末测评卷（五）
11.第七单元测评卷 22.期末测评卷（六）
附：参考答案
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**2020-2021学年甘肃省白银市会宁县三年级（上）期末数学试卷**
**一、智力拼盘（共1×22分）**
1．（2分）120的3倍是[ ]{.underline}，120是[ ]{.underline}的3倍．
2．（2分）595÷5的商是[ ]{.underline}位数；要使□37÷2的商是两位数，□里可以填[ ]{.underline}．
3．（4分）在〇里填上"＞"、"＜"或"＝".
------------ ------------ ----------------- ----------------
0+20〇0×20 0.6元〇6角 10.1元〇10.01元 3.13元〇3.31元
------------ ------------ ----------------- ----------------
4．（6分）24个月＝[ ]{.underline}年，平年＝[ ]{.underline}天，闰年＝[ ]{.underline}天。一年中有[ ]{.underline}个月，其中大月有[ ]{.underline}个，小月有[ ]{.underline}个。
5．（1分）小学生要睡足10时，才能保证睡眠质量。如果早晨7：30起床，那么应在晚上[ ]{.underline}前睡觉。
6．（1分）2010年世博会在我国上海举行，这一年的2月有[ ]{.underline}天．
7．（1分）要配成一套衣服，有[ ]{.underline}种不同的搭配方法．
8．（1分）一个正方形的广场，边长50米，小林每天沿广场跑4周，小林每天大约跑[ ]{.underline}米．
9．（4分）小林、小亮、小刚、小强四人进行跑步比赛．四人中，小林不是最慢的，但比小亮、小刚慢，小亮又比小刚快．如果按由快到慢的顺序把他们的名字记下来，应该是[ ]{.underline}、[ ]{.underline}、[ ]{.underline}、[ ]{.underline}．
**二、精挑细选。（共6分）**
10．（1分）口袋里有12个红球，2个黄球，6个花球，任意摸出一个球，有（ ）种可能．
A．2 B．6 C．3
11．（1分）有6盒饼干，每盒30块，平均分给9个小朋友，每人可分（ ）
A．20块 B．30块 C．60块
12．（1分）下列年份是闰年的是（ ）
A．1985年 B．1992年 C．2010年
13．（1分）哪道题的商中间有一个零？（ ）
A．426÷2 B．969÷3 C．816÷4
14．（1分）下面由5个边长为1厘米的正方形摆成的图形中，（ ）的周长最短。
A． B．
C． D．
15．（1分）汽水买4送1瓶，20名学生要每人1瓶，共需买（ ）瓶汽水．
A．20瓶 B．16瓶 C．19瓶
**三、包公在线。（共7分）**
16．（1分）0乘任何数都得0，0除以任何数都得0．[ ]{.underline}．（判断对错）
17．（1分）周长相等的两个长方形，形状和大小也完全相同．[ ]{.underline}．（判断对错）
18．（1分）把一根铁丝无论围成什么形状它的周长不变．[ ]{.underline}．（判断对错）
19．（1分）晚上10时30分就是20时30分．[ ]{.underline}．（判断对错）
20．（1分）在有余数除法中余数一定要比除数小．[ ]{.underline}．（判断对错）
21．（1分）看2月份的天数，可以判断这年是平年还是闰年．[ ]{.underline}．（判断对错）
22．（1分）甲图的周长比乙图长．[ ]{.underline}．（判断对错）
**四、神机妙算（共27分）**
23．（5分）口算下面各题．
400×5＝ 2700÷3＝ 15×3＝ 603÷3＝ 102×4＝
--------- ---------- -------- --------- -----------
30×8＝ 60÷3＝ 84÷4＝ 400÷8＝ 15﹣5÷5＝
24．（10分）笔算下面各题。
--------- ---------- -------- ----------
439×7＝ △104×6＝ 22÷4＝ △560÷5＝
--------- ---------- -------- ----------
25．（12分）脱式计算。
--------- ------------ ---------------- ----------
368÷4×7 913﹣130×6 7×（270﹣180） 72÷9×125
--------- ------------ ---------------- ----------
**五、操作平台（3分）**
26．（3分）在下面的方格纸上画出周长是16厘米的长方形和正方形．
**六、解决问题。（共30分）**
27．（4分）图书室新购进840本图书，放在3个书架上，每个书架有7层。你知道平均每层放多少本吗？
28．（4分）一块一面靠墙的长方形的菜地（如图），长8米，宽4米，现在要给其它三面围上篱笆，至少要围多少米的篱笆？
29．（4分）有两根绳子，白绳的长度比红绳的4倍少2米，白绳的长22米，红绳有多长？
30．（4分）一瓶墨水的价格是4.6元，一支钢笔的价格比一瓶墨水贵8.9元，买一瓶墨水和一支钢笔一共需要多少钱？
31．（4分）北京与承德相距约210千米。小明一家打算从北京开车去承德度假。如果他们早上11：00出发，计划下午2：00前到达。每时至少要行驶多少千米？
32．（4分）有一段木料打算把它锯成7段，每锯开一处需要3分钟，全部锯完需要多少时间？
33．（6分）看2005年1月的日历表：将遮盖的日期填上，并填空：
> 1月17日是星期[ ]{.underline}
>
> 1月27日是星期[ ]{.underline}
>
> 1月30日是星期[ ]{.underline}．
**2020-2021学年甘肃省白银市会宁县三年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、智力拼盘（共1&\#215;22分）**
1．【分析】根据乘法的意义，用120乘3即得120的3倍是多少．根据除法的意义，用120除以3，即得120是多少的3倍．
> 【解答】解：120×3＝360
>
> 120÷3＝40
>
> 即120的3倍是 360，120是 40的3倍．
>
> 故答案为：360，40．
>
> 【点评】求一个数的几倍是多少，用乘法．求一个数是另一个数的几倍用除法．
2．【分析】（1）比较被除数的最高位和除数的关系，如果被除数的百位上的数字比除数大或相等，那么商就是三位数，否则就是两位数；
> （2）要使商是两位数，那么被除数的最高位就要比除数小，由此求解．
>
> 【解答】解：（1）595的最高位上的数字是5，这与除数相等，商的最高位就在百位上，是三位数；
>
> （2）除数是2，要使商是两位数，那么被除数的百位数字就要比除数小；
>
> 1＜2，所以□里可以填1；
>
> 故答案为：三，1．
>
> 【点评】本题考查的是除法的计算方法，需要从高位开始除，所以只要从最高位开始判断与除数的大小关系就可以求出商的最高位在哪一位上．
3．【分析】0+20＝20，0×20＝0，20＞0，所以0+20＞0×20；
> 根据1元＝10角，0.6元＝6角；
>
> 根据小数大小比较的方法可知：10.1元＞10.01元；3.13元＜3.31元。
>
> 【解答】解：
------------ ------------ ----------------- ----------------
0+20＞0×20 0.6元＝6角 10.1元＞10.01元 3.13元＜3.31元
------------ ------------ ----------------- ----------------
> 【点评】本题主要考查了整数、小数大小比较的方法，注意单位不同的要化成相同单位再进行比较即可。
4．【分析】不论那一年，一年都有12个月；平年全年365天，闰年全年366天；1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月这7个月，都有31天，属于大月；4月、6月、9月、11月这4个月30天，属于小月；2月平年28天，闰年29天，由此填空即可。
> 【解答】解：24个月＝2年，平年＝365天，闰年＝366天。一年中有12个月，其中大月有7个，小月有4个。
>
> 故答案为：2，365，366，12，7，4。
>
> 【点评】本题主要考查年月日的知识，属于基础题，注意二月是个特殊月。
5．【分析】根据开始时刻＝结束时刻﹣经过时间，代入数据解答即可。
> 【解答】解：7时30分﹣10小时＝9时30分
>
> 答：应在晚上9时30分前睡觉。
>
> 故答案为：9时30分。
>
> 【点评】解答此题的关键是掌握经过时间＝结束时刻﹣开始时刻这个公式及其变形。
6．【分析】用2010除以4看是否有余数，有余数2010年就是平年，二月份有28天，没有余数2010年就是闰年，二月份有29天．
> 【解答】解：2010÷4＝502...2；
>
> 有余数，2010年是平年，二月份是28天．
>
> 答：这一年的2月有28天．
>
> 故答案为：28．
>
> 【点评】本题主要考查了平年和闰年的判断方法：年份除以4（整百的年份除以400），如果有余数就是平年，没有余数就是闰年．
7．【分析】从3件上衣选中一件有3种选法；从2条下衣中选一件有2种选法；根据乘法原理，可得共有：2×3＝6（种）；据此解答．
> 【解答】解：根据分析可得，
>
> 2×3＝6（种）；
>
> 答：有6种不同的搭配方法．
>
> 故答案为：6．
>
> 【点评】本题考查了乘法原理即做一件事情，完成它需要分成*n*个步骤，做第一步有*M*1种不同的方法，做第二步有*M*2种不同的方法，...，做第*n*步有*Mn*种不同的方法，那么完成这件事就有*M*1×*M*2×...×*Mn*种不同的方法．
8．【分析】先依据正方形的周长公式求出每圈的长度，再乘4，就是每天跑的长度．
> 【解答】解：50×4×4，
>
> ＝200×4，
>
> ＝800（米）；
>
> 答：小林每天大约跑800米．
>
> 故答案为：800．
>
> 【点评】此题主要考查正方形的周长的计算方法在实际生活中的应用．
9．【分析】根据"小林不是最慢的，但比小亮、小刚慢，"说明最慢的是小强；又因为"小亮又比小刚快"，所以最快的是小亮；据此推理即可解答．
> 【解答】解：根据"小林不是最慢的，但比小亮、小刚慢，"说明最慢的是小强；
>
> 又因为"小亮又比小刚快"，所以最快的是小亮；
>
> 则其次是小刚，第三是小林，
>
> 答：由快到慢的顺序是：小亮、小刚、小林、小强．
>
> 故答案为：小亮、小刚、小林、小强．
>
> 【点评】根据题干，先得出最慢的和最快的分别是小强和小亮，是解决本题的关键．
**二、精挑细选。（共6分）**
10．【分析】根据口袋里球的颜色种类确定任意摸出一个球的可能，据此解答．
> 【解答】解：口袋里有12个红球，2个黄球，6个花球，
>
> 共有3种颜色的球，任意摸出一个球，有可能是红球、黄球或花球，既有3种可能；
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】此题考查了可能性的大小，根据颜色的种类来确定．
11．【分析】先根据饼干块数＝盒数×每盒块数，求出饼干块数，再依据每人分得块数＝饼干块数÷人数即可解答．
> 【解答】解：6×30÷9，
>
> ＝180÷9，
>
> ＝20（块），
>
> 答：每人可分20块．
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】本题属于比较简单应用题，明确数量间的等量关系，再依据它们之间的关系，代入数据即可解答．
12．【分析】判定闰年的方法：年份是4的倍数的就是闰年，不是4的倍数的就不是闰年，整百年必须是400的倍数，据此解答．
> 【解答】解：1985÷4＝496.25
>
> 1992÷4＝498
>
> 2010÷4＝502.5
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】本题根据平年、闰年的判断方法进行解答．
13．【分析】我们运用整数的除法，把每一个算式进行解答，然后再进行选择即可．
> 【解答】解：*A*.426÷2＝213；
>
> *B*.969÷3＝323；
>
> *C*.816÷4＝204；
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】本题运用整数的除法的计算法则进行解答即可．
14．【分析】根据图示的特点，利用平移转化的思想，把图形转化为长方形或正方形，利用长方形的周长公式：长方形的周长＝（长+宽）×2，正方形的周长＝边长×4，计算即可。
> 【解答】解；*A*：（5+1）×2
>
> ＝6×2
>
> ＝12（厘米）
>
> *B*：（2+3）×2
>
> ＝5×2
>
> ＝10（厘米）
>
> *C*：3×4＝12（厘米）
>
> *D*：5×4＝20（厘米）
>
> 10＜12＝12＜20
>
> 答：的周长最短。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题主要考查计算图形的周长，关键是利用转化思想解题。
15．【分析】设需要买*x*瓶汽水，则根据"汽水买4送1"，知道送*x*÷4瓶汽水，则根据"20名学生要每人1瓶"，即买的汽水瓶数+送的汽水瓶数＝20，列出方程解答即可．
> 【解答】解：设需要买*x*瓶汽水，
>
> *x*+*x*÷4＝20，
>
> *xx*＝20，
>
> *x*＝20，
>
> *x*＝16，
>
> 答：共需要买16瓶汽水，
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】关键是根据题意，设出未知数，找出数量关系：买的汽水瓶数+送的汽水瓶数＝20，列出方程解答即可．
**三、包公在线。（共7分）**
16．【分析】前半句0乘任何数都得0，这是正确的；后半句可以改为：0除以任何不为0的数都得0就正确了，由此判定即可．
> 【解答】解：0除以任何数都得0，考虑到0不能做除数，所以这是错误的；
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】本题需要考虑除数不能为0这一情况．
17．【分析】由题意可知：若两个长方形的周长相等，则长与宽的和一定，反过来讲，若长与宽的和一定，则长与宽的值是不唯一的，可以举例证明．
> 【解答】解：若两个长方形的长与宽的和都为10，
>
> 则这两个长方形的长与宽可以分别为8和2、6和4...，
>
> 这两个长方形的形状是不一样，大小也不一样的；
>
> 所以说"周长相等的两个长方形它们的形状、大小都一样"是错误的．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】解答此题的关键是：依据长方形的周长公式，举实例证明即可推翻题干的论断．
18．【分析】由题意可知：围成的图形的周长是一样的，都是这根铁丝的长度，据此即可进行判断．
> 【解答】解：因为是用同一根铁丝围成的长图形，
>
> 所以它们的周长是相等的，都等于这根铁丝的长度．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】解答此题的关键是：铁丝的长度一定，则围成的图形的周长是一样的．
19．【分析】把普通计时法换算成24时计时法的方法：用普通计时法表示的上午的时刻，只要去掉"上午、早晨、早上、凌晨"等字，是多少时也就是24时计时法的多少时；用普通计时法表示的下午的时刻，只要去掉"下午、黄昏、晚上、深夜"等字，再在原来的时刻上加上12即为24时计时法表示的时刻．
> 【解答】解：晚上10时30分就是22时30分，故原来的说法是错误的．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题考查普通计时法与24时计时法的互化，按照互化方法互化即可．
20．【分析】根据在有余数的除法中，余数一定比除数小；进行判断即可．
> 【解答】解：在有余数除法中余数一定要比除数小，说法正确；
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】解答此题应明确：在有余数的除法中，余数一定比除数小．
21．【分析】根据年月日的知识可知：闰年的二月有29天，平年的二月有28天，据此解答．
> 【解答】解：二月有29天的是闰年，二月有28天的是平年，
>
> 所以看2月份的天数，可以判断这年是平年还是闰年这是正确的；
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】本题主要考查年月日的知识，注意闰年的二月有29天，平年的二月有28天．
22．【分析】观察图形可知，图形甲的周长是长方形的周长的一半与中间曲折线的和；图形乙的周长也是长方形的周长的一半与中间曲折线的和；由此即可判断．
> 【解答】解：根据题干分析可得：图形甲的周长＝图形乙的周长＝长方形的周长的一半与中间曲折线的和；
>
> 所以原题说法错误．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】解决问题关键是根据图形的周长的定义，找出它们的周长各是由哪几部分构成的，从而即可判断．
**四、神机妙算（共27分）**
23．【分析】根据整数乘除法的计算方法进行解答．
> 【解答】解：
400×5＝2000 2700÷3＝900 15×3＝45 603÷3＝201 102×4＝408
------------- ------------- ---------- ------------ -------------
30×8＝240 60÷3＝20 84÷4＝21 400÷8＝50 15﹣5÷5＝14
> 【点评】考查了整数乘除法的口算能力．
24．【分析】根据整数乘除法的计算方法进行计算，注意验算。
> 【解答】解：439×7＝3073
>
> 104×6＝624
>
> 22÷4＝5......2
>
> 560÷5＝112
>
> 【点评】考查了整数乘除法的笔算，根据各自的计算方法进行计算。
25．【分析】（1）从左向右进行计算；
> （2）先算乘法，再算减法；
>
> （3）先算小括号里的减法，再算括号外的乘法；
>
> （4）从左向右进行计算，
>
> 【解答】解：（1）368÷4×7，
>
> ＝92×7，
>
> ＝644；
>
> （2）913﹣130×6，
>
> ＝913﹣780，
>
> ＝133；
>
> （3）7×（270﹣180），
>
> ＝7×90，
>
> ＝630；
>
> （4）72÷9×125，
>
> ＝8×125，
>
> ＝1000．
>
> 【点评】本题考查了整数四则混合运算的顺序．
**五、操作平台（3分）**
26．【分析】画周长是16厘米的正方形，它的边长就是16÷4＝4厘米；
> 画周长是16厘米的长方形，那么长与宽的和就是8厘米，8＝5+3，所以长方形的长可以是5厘米，宽就是3厘米；（答案不唯一）；据此画出即可．
>
> 【解答】解：16÷4＝4（厘米）；
>
> 正方形的边长是4厘米．
>
> 16÷2＝8（厘米）；
>
> 8＝5+3，长方形的长是5厘米宽是3厘米；（答案不唯一）；
>
> 图如下：
>
> 【点评】解决本题先根据周长分别求出长方形的长和宽，以及正方形的边长．
**六、解决问题。（共30分）**
27．【分析】根据平均分除法的意义先用840除以3求出每个书架上的本数，然后再除以每个书架的层数即可。
> 【解答】解：840÷3÷7
>
> ＝280÷7
>
> ＝40（本）
>
> 答：平均每层放40本。
>
> 【点评】本题解答依据是平均分除法的意义：把一个数平均分成若干份，求一份是多少，用除法计算。
28．【分析】当长方形的菜地的长边靠墙，所需篱笆较少，可得篱笆的长为：2个宽+1个长．
> 【解答】解：8+4×2，
>
> ＝8+8，
>
> ＝16（米）；
>
> 答：至少要围16米的篱笆．
>
> 【点评】考查了长方形的周长，本题由于长方形的菜地一面靠墙，可以选择长边靠墙，所需篱笆较少．
29．【分析】先用22加上2求出红绳长度的4倍，然后再除以4即可。
> 【解答】解：（22+2）÷4
>
> ＝24÷4
>
> ＝6（米）
>
> 答：红绳有6米。
>
> 【点评】本题解答依据是：已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法计算。
30．【分析】根据题意可知，一支钢笔的价格比一瓶墨水贵8.9元，根据加法的意义，用一瓶墨水的价钱加上8.9，求出一支钢笔的价钱，再把这两个价钱相加即可解答。
> 【解答】解：4.6+（4.6+8.9）
>
> ＝4.6+13.5
>
> ＝18.1（元）
>
> 答：买一瓶墨水和一支钢笔一共需要18.1元。
>
> 【点评】本题考查了小数加减法的意义和计算方法的应用。
31．【分析】早上11：00到下午2：00一共是3个小时，小明一家用3小时行驶了210千米，求每时至少要行驶多少千米，根据除法的意义，用210除以3解答。
> 【解答】解：早上11：00到下午2：00一共是3个小时，
>
> 210÷3＝70（千米）
>
> 答：每时至少要行驶70千米。
>
> 【点评】本题考查了乘法的意义和时间的推算，关键是求出早上11：00到下午2：00一共是3个小时。
32．【分析】根据题意可知，锯的次数比段数少1，那么要把它锯成7段，锯的次数是：7﹣1＝6（次），而每锯开一处需要3分钟，所以用锯木料的次数乘锯一次所需要的时间求出全部锯完需要的时间。
> 【解答】解：（7﹣1）×3
>
> ＝6×3
>
> ＝18（分钟）
>
> 答：全部锯完需要18分钟。
>
> 【点评】根据锯木头问题，可知锯一根木料的次数比锯的段数少1，再根据题意求解即可。
33．【分析】按照日期的顺序，依次排在后面，对应的星期几可以在第一行查出．
> 【解答】解：
>
> 所以1月17日是星期 一
>
> 1月27日是星期 四
>
> 1月30日是星期 日
>
> 故答案为：一，四，日．
>
> 【点评】此题考查了日期的推算，星期几在第一行，下面日期依次排列，已知日期可以对应找到星期几．
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日期：2021/4/27 14:44:12；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**永川区2020－2021学年度上期期末质量检测题**
**小学三年级数学**
**满分：100分，考试时间：60分钟**
**一、认真思考，谨慎填空。（34分，除9小题4分外，其余每空1分）**
1\. 用分数表示下面各图的涂色部分。
（ ） （ ） （ ） （ ）
2\. 在（ ）里填上合适的单位名称。
张老师体重是58（ ） 脉搏跳10次大约用了8（ ）
一部手机的厚度约是7（ ） 标准运动场跑道一周长是400（ ）
一头犀牛约重6（ ） 永川到重庆的高铁每小时约行300（ ）
3\. 5000米＝（ ）千米 70厘米＝（ ）分米
9吨＝（ ）千克 1分40秒＝（ ）秒
4\. 7个（ ）是，里面有（ ）个，5个减去2个是（ ）。
5\. 看钟面的变化，认时间填空。
6\. 篮子里桃子有40个，苹果有8个，桃子的个数是苹果的（ ）倍。
7\. 用一根铁丝围成一个边长是20分米正方形，这根铁丝长（ ）分米。
8\. 一天24小时，人正常睡眠时间大约占其中的，大约是（ ）小时。
9\. 想：先用（ ）乘个位上的（ ）得（ ）个一，个位上写（ ），向十位进（ ）；再用（ ）乘十位上的（ ）得（ ）个十，十位上写（ ），向百位进（ ）；最后结果是（ ）。
10\. 同学们去游乐场，喜欢玩过山车的有32人，喜欢玩旋转木马的有28人，两项都喜欢的有16人，喜欢玩过山车和旋转木马的一共有（ ）人。
11\. 小明9：30到电影院时，电影已经开始了半小时，电影是（ ）开始的。
12\. 在一个长8厘米、宽3厘米的长方形中剪去一个最大的正方形，这个正方形的边长是（ ）厘米，剩下的图形周长是（ ）厘米。
13\. 两个相同的长方形，长都是8厘米，宽都是3厘米，如果把它们像如图一样叠放起来，这个叠放后图形的周长是（ ）厘米。
**二、仔细辨析，正确判断。（5分）**
14\. 把一条彩带分成10份，每份是这条彩带的。（ ）
15\. 50米赛跑，小明用了8秒，小林用了10秒，小林跑得快些。（ ）
16\. 120×5的积末尾有两个0 。（ ）
17\. 一个长方形长是15厘米，宽比长少5厘米，周长是50厘米。（ ）
18\. 两个周长相等长方形一定可以拼成一个大长方形．（ ）
**三、选择，将正确答案的序号填在括号里。（5分）**
19\. 三位数乘一位数的积可能是（ ）。
A. 三位数 B. 四位数 C. 三位数或四位数
20\. 下图三个信封中分别装有一张四边形的硬纸板，从（ ）号信封中抽出的硬纸板一定是长方形。
21\. 1□8×7的积最接近1400，□里数字应该填（ ）。
A. 7 B. 8 C. 9
22\. 熊大有8根玉米，熊二的根数比熊大的2倍还多4根，熊二有（ ）根玉米。
A. 20 B. 12 C. 8
23\. 甲队6天修路48千米，乙队4天修路24千米。甲队6天修的路乙队需要多少天？下面列式正确的是（ ）。
A. 24÷4×6 B. 48÷6×4 C. 48÷（24÷4）
**四、我会计算。（32分）**
24\. 直接写出得数。
32×3＝ 70－17＝ 220×4＝ 26＋55＝
78－29＝ 45＋38＝ 7200－7000＝ 4040－40＝
25\. 我会估算。
26\. 我会笔算。（带\*号的要验算）
708×9＝ \*486＋357＝ 586×4＝
\*802－475＝ 325×8＝ 380×6＝
27\. 我会方格中画图。
（1）画一个长是3厘米，宽是2厘米的长方形。
（2）画一个周长是12厘米的正方形。
**六、解决问题。（20分，每小题4分）**
28\. 一条绳子，第一次用了 ，第二次用了 ，两次一共用了几分之几？
29\. 书架上，第一层放了360本书，第二层比第一层少放152本，两层一共放了多少本？
30\. 一批电脑捐给实验小学。如果每班4台，正好可以分给16个班，如果每班8台，可以分给几个班？
31\. 这一天来参观的学生一共有多少人？
32\. 篱笆总长为48米，如果用它来围一面靠墙的长方形菜地（如下图），能围多少块这样独立的菜地？
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绝密★使用完毕前
**2008年普通高等学校招生全国统一考试语文（北京卷）**
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。第I卷1至4页，第Ⅱ卷5至9页，共150分。考试时间150分钟，考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1. 考生作答第I卷和第Ⅱ卷时，务必将答案答在答题卡上。在试卷上答题均无效。
2. 答题前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。
3. 答第I卷时，每小题选定答案后，用2B铅笔把对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准。如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它答案项。
> 答第Ⅱ卷时，必须用黑色字迹的签字笔按题号顺序答在红色框答题区域相应位置内，未在对应的答题区域作答或者超出答题区域作答均不得分。
第I卷（选择题 共30分）
1. 本大题共5小题，每小题3分，共15分。
1. 下列词语中，字形和加点的字的读音全都正确的一项是
A. 传媒 难以起齿 自诩（yǔ） 闭目塞（sè）听
B. 芯片 钩玄题要 豢（juàn）养 车载（zài）斗量
C. 转轨 众口铄金 执拗（niù） 半嗔（chēn）半喜
D. 幅射 赋于重任 补给（jǐ） 便（biàn）宜行事
2. 将下列词语依次填入下面这段话的横线处，最恰当的一组是
> 位于日本藤川市海滨的聂耳纪念碑，用素净的大理石 [ ]{.underline} 成，稍稍倾斜地平置于长方形基座上。四周的石砌边缘内， [ ]{.underline} 着匀称的海滨卵石。碑石 [ ]{.underline} "耳"字形，有如 [ ]{.underline} 在地上的一只巨大的耳朵，日日夜夜倾听着大海的呼啸和浪涛之声。
A. 雕 铺 呈 贴
B. 塑 铺 像 画
C. 塑 摆 像 贴
D. 雕 摆 呈 画
```{=html}
<!-- -->
```
3. 下列句子中，加点的成语使用不恰当的一句是
A. 许多分析人士认为，微软收购雅虎这场角逐，可谓两败俱伤，而让他们强大的对手谷歌渔翁得利。
B. 环境专家试图用向湖里放鱼的方法治理湖水污染，因为这里的渔业资源已经到了竭泽而渔的地步。
C. 一些老师担心，如果学生满足于网上搜索素材，很容易使写作流于复制和拼贴，这并非杞人忧天。
D. 上山路上，我们常找开等高线图察看，有的同学还用军事望远镜煞有介事地东张西望，引来不少人围观。
4. 下列句子中，没有语病的一句是
A. 我国水墨画的主要万分是墨，加以清水，在宣纸上浸染，互渗，通过不同浓淡反映不同审美趣味，被国人称为"墨宝"。
B. 一名韩国官员透露，有关成员国已达成一致意见，同意建立该项基金，以防止1997年那样的金融危机不要再次发生。
C. 由于环境污染，常继发厌氧细菌的严重感染，极易发生破伤风，致使在当地或运送外地途中救治不及而死亡。
D. 世界卫生组织这份一年一度的报告，提供了儿童与成人的死亡率、疾病谱以及吸烟饮酒等健康风险因素啬的最新资料。
5. 下列语句画线处所指的文学家，依次是
> 淋漓襟袖啼红泪，比[司马]{.underline}青衫更湿
[陈王]{.underline}昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑
铁板铜琶，[继东坡，高唱大江东去]{.underline}
[幽愁发愤]{.underline}，著成信史照人寰
A. 李清照 李 白 苏 轼 欧阳修
B. 白居易 曹 植 辛弃疾 司马迁
C. 白居易 李 白 辛弃疾 欧阳修
D. 李清照 曹 植 苏 轼 司马迁
```{=html}
<!-- -->
```
2. 本大题共5小题，每小题3分，共15分。阅读下面文言文，完成6---10题。
延寿字长公，燕人也。霍光擢延寿为谏大夫，徙颍川。颍川多豪强，难治。先是，赵广汉为太守，患其俗多朋党，故构会吏民，令相告讦，[颍川由是以为俗，民多怨仇]{.underline}。延寿欲更改之，教之礼让。恐百姓不从，乃历召郡中长老为乡里所信向者数十人，设酒具食，亲与相对，接以礼意，问以谣俗、民所疾苦，为陈和睦亲爱销除怨咎之路。长老皆双为便，可施行，因与议定嫁娶丧祭仪品，略依古礼，不得过法，百姓遵用其教。数年，徙为东郡太守，黄霸代延寿居颍川，霸因其迹而大治。
延寿为吏，上礼义，好古教化，所至必聘其贤士，以礼待用，广谋议，纳谏争；修治学官，春秋乡射，陈钟鼓管统弦，盛升降揖让，及都试讲开武，设斧铖旌旗，习射御之事。治城郭，收赋租，先明布告其日，以期会为大事，吏民敬畏趋向之。又置正、五长，相率以孝弟，不得舍奸人。[闾里仟佰有非常，吏辄闻知]{.underline}，奸人莫敢入界。其始若烦，后皆便安之。接待下吏，恩施甚厚而约誓明。或欺负之者，延寿痛自刻责："吾岂其负之，何以至此？"吏闻者自伤悔，门下掾自刭，人救不殊，因瘖不能言。延寿闻之，对掾史涕泣，遣吏医治视，厚复其家。
延寿尝出，临上车，[骑吏一人后至，敕功曹议罚白]{.underline}。还至府门，门卒当车，愿有所言。延寿止车问之，卒问："今旦明府早驾，久驻未出，骑吏父来至府门，不敢入。骑吏闻之，趋走出谒，适会明府登车。[以敬父而见罚，得无亏大化乎]{.underline}？"延寿举手舆中曰："微子，太守不自知过。归舍，召见门卒。卒本诸生，闻延寿贤，无因自达，故代卒，延寿遂待用之。在东郡三岁，令行禁止，断狱大减，为天下最。
（取材于《汉书·韩延寿传》）
注释：历召：一一召请。 学言：学校。 不殊：没死。 掾史：下级官吏的通称/
6．下列语句中加点的词语的解释，不正确的一项是
A．或欺负之者，延寿痛自刻责 欺负：压迫、侮辱
B．略依古礼，不得过法 过法：逾越法规
C．霍光擢延寿为谏大夫 擢：提拔
D．门卒当车，愿有所言 愿：希望
7．下列各组语句中加点的词语，意义用法都相同的一组是
A. 问以谣俗、民所疾苦 其后楚日以削，竟为秦所灭
B. 微子，太守不自知过 微斯人，吾谁与归
C. 高酒具食，亲与相对 不久当归还，还必相迎娶
D. 因与议定嫁娶丧祭仪品 不如因而厚遇之，使归赵
8．下列对文中语句的理解，不符合文意的一项是
A. 颍川由是以为俗，民多怨仇
> 理解：颍川人从此相互告发成风，百姓间多仇恨
B. 闾里仟佰有非常，吏辄闻知
> 理解：里弄等道出了事，官吏就会接到报告
C. 骑吏一人至后，敕功曹议罚白
> 理解：骑吏不守时，延寿命功曹拟定处罚并且公布
D. 以敬父而见罚，得无亏大化乎
> 理解：因敬爱父亲而受罚，这样该不会吃亏太大了吧
9．下列语句编为四组，全部直接反映韩延寿理政特点的一组是
延寿欲更改之，教以礼让
因与议定嫁娶丧祭仪品，略依古礼，不得过法
其始若烦，后皆便安之
又置正、五长，相率以孝弟，不得舍奸人
闻延寿贤，无因自达，故代卒
骑吏父来至府门，不敢入
A． B. C. D.
10．下列的理解和分析，不符合文意的一项是
A. 韩延寿不喜欢百姓互相告发的民俗，主张和睦、礼让、宽容。
B. 韩延寿以律己，属下犯了错误，常深刻责己，感动了官吏。
C. 黄霸借助韩延寿打下的基础，继续倡导亲爱和睦，颍川大治。
D. 韩延寿善于审案，严格约束下属，因此令行禁止，诉讼锐减。
**第Ⅱ卷 （共120分）**
三．本大题共3小题，共22分。
11．用斜线（/）给下面短文画横线的部分断句。（5分）
杨 朱 过 于 宋 东 之 逆 旅有妾二人其恶者资美者贱杨子问其故逆旅之父答曰美者自羡吾不知其美也恶者自恶吾不知其恶也杨子谓弟子曰："行贤而去自贤之心，焉往而不羡。"
（取材于《韩非子·说林上》）
12．读下面这首诗，完成①---③题。（10分）
酬王处士九日见怀之作
顾炎武
是日惊秋老，相望各一涯。 离怀消浊酒，愁眼见黄花。
天地存肝胆，江山阅鬓华。 多蒙千里讯，逐客已无家。
注释：顾炎武，明清之际著名学者、诗人。明末投身反宦官、权贵斗争。清兵南下，参加人民抗清起义。入清后，多次拒绝清廷征召，流亡北方，考察山川形势，志存恢复。
1. 下列对诗句的理解，不正确的一项是（2分）
A．是日惊秋老：是无情的日月送来秋天，催人衰老，令人震惊。
> B．相望各一涯：天各一方，遥相瞩望。
>
> C．离怀销浊酒：离别的情怀只能借浊排遣。
D．逐客已无家：亡国之人，已无家可言。
2. 天地存肝胆，江山阅鬓华"中的"肝胆"和"阅"在这里各是什么意思？这两句诗表达了作者怎样的思想情感？（4分）
3. 一般认为顾炎武的诗风接近杜甫。请指出顾炎武这首诗的风格特征，并作简要分析。（4分）
> 13．在横线上填写作品的原文。（7分）
>
> ①寄蜉蝣于天地， [ ]{.underline} 。哀吾生之须臾， [ ]{.underline} 。
>
> （苏试《前赤壁赋》）
>
> ②河汉清且浅，相去复几许？ [ ]{.underline} ， [。]{.underline}
>
> （《古诗十九首·迢迢牵牛星》）
>
> ③二十四桥仍在， [， 。]{.underline}念桥边红药，年年知为谁生！
>
> （姜夔《扬州慢》）
>
> ④天地也！[ ]{.underline}，可怎生糊突了盗跖、颜渊？（关汉卿《窦娥冤》）
四、本大题共3小题，共10分。阅读下面文章，完成14---16题。
人类利用聚乙烯材料指称塑料袋使用的历史不过50年，但近年对塑料袋的职责却不绝于耳。全世界每年要消耗5000亿到1万亿个塑料袋。废气的塑料袋造成了很大的环境污染问题，掩埋他们会影响农作物吸收营养和水分，污染地下水；如果焚烧塑料袋则会产生有毒气体，影响人体健康。所以，科学家十分关注如何处理那些垃圾塑料袋的问题。
一般来说，将垃圾生物降解是解决其污染问题的有效方法。科学家用"呼吸运动计量法"来测量垃圾的降解率。他们在一个富含微生物的容器中防如作为测试样本的垃圾，例如报纸或香蕉皮，使他们包楼在空气中，微生物会一点点地吸收着下样本，并释放二氧化碳，单位时间内生成二氧化碳的水平是衡量降解率的一个重要指标。测试结果发现，报纸需要2到5个月完成生物降解，香蕉皮则只需要几天就足够了。然而当科学家用同样的方法对塑料袋进行测试时，却发现它毫无变化，根本没有二氧化碳生成，科学家们还提出，在阳光下聚乙烯内部的聚合链将发生破裂，因此，聚乙烯可以见光分解，但这个过程可能漫长得无法确定。
人们想了很多办法寻求塑料袋的替代品。纸袋很容易降解，自然成为首选。然而，制作纸袋需要耗费木材，一旦舍弃塑料袋而选择纸袋，大量的树木将被砍伐。生产一个纸袋所需的能量，相当于生产一个饲料带的4倍。纸袋比同样大小的塑料袋重4倍，这意味着运输过程中纸袋还能更高。另外，制造同等用途的纸袋要比塑料袋多生产70*%*的空气污染和50倍的水污染。同时，处理垃圾纸所需要的空间也更大。目前处理垃圾的 方式是将垃圾掩埋并利用水泥隔绝，接触不到空气、水和阳光，纸袋的生物降解过程会极为缓慢。看来，不论是使用纸袋还是塑料袋，要保护环境，恐怕都得注意不要随意丢弃，而要循环、重复利用。统计材料表明，饲料带的回收和再生产比纸袋的回收和再生产所需要的能两要少91*%*。
目前，科学家们也在抓紧研制廉价易得且能够降解的塑料。我们期望，不远的将来垃圾塑料袋的处理就不再是问题了。
（取材于《塑料袋的科学迷思》）
14．下列说法符合文艺的一项是（3分）
A. "呼吸运用计量法"是测试垃圾降解率的唯一有效方法。
B. 在太阳光照射下，微生物的参与能加速塑料袋的分解。
C. 可降解垃圾在空气中与无微生物作用，产生化学变化实现生物降解。
D. 同样大小的纸袋与塑料袋相比，前者的运输成本比后者低很多。
> 15．下列推断不符合文意的一项是（3分）
A. 塑料袋污染环境的主要原因是它的难以降解性。
B. 使用纸袋比使用塑料袋要有利于保护环境。
C. 未来的可降解的塑料袋的成分不大可能是聚乙烯。
D. 现在看来，使用塑料袋比使用纸袋节约能源。
> 16．根据文意回答问题：在可降解的塑料袋发明之前，解决塑料袋污染环境问题最有效的方式是什么？为什么？（4分）
五、本大题共4小题，共18分。阅读下面的作品，完成17－20题。
碧云寺的秋色
北京西山碧云寺是一个大寺院，又是一个大林子。在那些大小不等的院子里，都有树木或花草。那些树木，种类繁多，其中不少还是活上了几百岁参天老干。寺的附近，那些高土和山岭上，树木也相当繁密。
我是中秋节那天搬到寺里来的，在那些繁茂的树丛中，还很少看到黄色的或红色的叶子。
半个月过去了。寺里有些树木渐渐开始在变换着颜色。石塔前的柿子树，院子里那些攀着石桥和假山的爬山虎，好像先得秋意似的，叶子慢慢地黄的黄、赤的赤了。可是，绿色的统治基本上还没有动摇。近日，情景突变。黄的、红的、赤的颜色触目都是。[它来得是那么神速，将我那模糊的季节感惊醒了。]{.underline}
不论这里那里的爬山虎，都急速地换上新装。它们大都由绿变黄、变红、变丹、变赤.........我们要找出整片的绿叶已经不很容易的了。罗汉堂前院子里靠北墙有株缠绕着大槐树的爬山虎，平日，我们没有注意到它跟槐树叶子的差别。几天来，可大不同了。槐树有一些叶子渐渐变黄，可全树还是绿沉沉的。而爬山虎的无数叶子，却由绿变黄、变赤，在树干上、树枝上鲜明地显出自己的艳丽。特别是在阳光的照射下，那些深红的、浅红的、金黄的、柑黄的叶子都闪着亮光，把大槐树反衬得美丽可爱了。
释迦牟尼佛殿前的两株梧桐，弥勒佛殿前的那些高耸的白果树，泉水院石桥边的那株黑枣树......它们全都披上黄袍了。中山纪念堂一株娑罗树的大部分叶子镶了黄边，堂阶下那株沿着老柏上升到高处的凌霄花树的叶子也大都变成咖啡色的了。
自然，那些高耸的老柏和松树还是比较保守的，尽管有很少的叶子已经变成了刀锈色，可是，它们身上那件墨绿袍子是不肯轻易褪下的。槐树的叶子，也改变得不踊跃。但是，不管怎样，现在，碧云寺的景色却成为多彩的了。多彩的秋林有它自己特别的情调和风格。夏日花园的美不代替它，也不概括它。
古代的诗人，多喜欢把秋天看作悲伤的季节。过去许多"悲秋"的诗篇或诗句，多半是提到"草木黄落"的景象的。其实，引起人们的伤感，并不一定是秋天固有的特性。从许多方面看，它倒是一个叫人感到愉快的时辰。所谓"春秋佳日"，决不是没有根据的一句赞语。
在夏天，草木的叶子绿油油的，这固然象征着生长、繁荣。但是，它到底不免单调些。到了秋天，尤其是到深秋，许多树木的叶子变色了，柿红的、朱红的、金黄的、古铜色的、赭色的，还有那半黄半绿或半黄半赤的......五颜十色，把山野打扮得像个盛装的姑娘。加以这时节天色是澄明的，气候是清爽的。你想想，这丰富的秋色将唤起人们怎样一种欢快的感情啊。
我们晓得古代诗人所以对秋风感喟，见黄叶伤情，是有一定的社会生活的原因的。诗人或因为同情人民的苦难，或因为伤掉个人遭逢的不幸......那种悲哀的心情，往往容易由某些自然现象的感触而发泄出来。即便如此，也并不是所有的诗人面对那些变了色的叶子都唉声叹气。"停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花"，明白地颂扬红叶的生机与美丽；"扁舟一棹归何处？家在江南黄叶村"，诗人对于江南秋色分明艳羡不已。此外，如像"红树青山好放船"、"半江红树鲈鱼"......这此美丽的诗句也都远离"满山红叶，尽是离人眼中血"那种饱含着哀伤的情调。大家知道，"现在"跟"过去"是对立的；但是，在历史的长河中，它们又有着一脉相联的源流。因此，即使是生活在旧进代里的诗人，对于某些事物也可以具有一定的正常感情。我们没有权力判定，过去一切诗人对于红叶和黄叶的美，都必然是色盲的。
（取材于钟敬文的同名散文）
17．下列对文章内容的理解，正确的两项是（4分）
> A．本文对秋叶的描写采取了有详有略的技巧，着重描绘了得秋意之先的爬山虎，而对其它树种的叶子则点到即止。
>
> B．作者对急速换上新装的爬山虎倾注了热烈的赞美之情，意在对老柏和松树和"保守"表达自己的不满和批评。
>
> C．作者在行文过程中用对比的手法具体描述了夏日花园之美，借此突出多彩的秋林有它自己特别的情调与风格。
>
> D．古代诗人写下了许多"悲秋"之作，从"满山红叶"中见出"离人眼中血"，这与诗人的生活背景有一定关联。
>
> E．在结尾一段，作者援引了一系列描写秋色的诗句，是为了证明中国古代诗人见秋叶而伤情是完全不足取的。
18．请仔细体会第三段结属画线的一句话："它来得是那么神速，将我那模糊的季节感惊醒了。"回答下面问题。（5分）
> ①这句话在文章结构上的作用是什么？（3分）
>
> ②作者使用了"惊醒"一词，好在哪里？（2分）
19．本文大量运用描写色彩的词语，这与文章主旨有什么关系？产生了怎样的艺术效果？（5分）
20．文章结属说："'现在'跟'过去'是对立的：但是，在历史的长河中，它们又有着一脉相联的源流。"结合上下文，谈谈你的理解。（4分）
六、本大共2小题，共10分
21．公元2008年5月12日，我国四川省汶川一带发生里氏8级强烈地震，举世震惊。全国上下众志成城，抗震救灾。请为下面一幅图片配写几句话，抒写你的真挚感情。
> 【要求】紧扣画面，鲜明生动，连贯顺畅，不超过45个字。（4分）
>
> 
22．为迎接北京奥运会，学校拟制作"奥运史话系列展板"。请依据下面资料写一段话，并拟一个恰当的标题，作为其中关于中华人民共和国参加第23届奥运会这块展板的文字说明。（6分）
第23届奥运会于1984年7月28日－8月12日在美国洛杉矶举办。7月29日首枚金牌诞生------中国射击运动员许海峰在男子手枪60发慢射决赛中以566环的成绩获得冠军，成为中国首位奥运会金牌得主。140个国家和地区派团参加本届比赛。参加的单位、运动员人数和比赛单项数目，均超过以往各届。中华人民共和国体育代表团共有225名运动员参加了16个大项的比赛。本届奥运会破11项世界纪录。获得金牌10枚以上的国家，依次是美国（83枚）、罗马尼亚（20枚）、联邦德国（17枚）、中国（15枚）、意大利（14枚）、加拿大（10枚）、日本（10枚）。就参加夏季奥运会而言，此前，中华人民共和国只在1952年派团参加芬兰赫尔辛基第15届奥运会，未获奖牌。
> 【要求】根据需要提信息，语言简明准确，不超过80字。
七、本大题共1小题，共60分
> 23．作文（60分）
课堂上，老师说："今天我们来做个小实验。"随后，他拿出一个装满石块的玻璃广口瓶，放在讲台上，问道："瓶子满了吗？"所有学生答："满了！""真的？"老师从桌下拿出一小桶沙子，慢慢倒进去，填满石块的间隙，"满子吗？"学生们若有所思。老师又拿来一壶水倒了进去，直到水面与瓶口持平。"这个实验说明了什么？"老师问道。课堂活跃起来。
一个学生说："很多事情看起来到达到了极限，实际上还存在很大空间。"
一个学生说："顺序很重要。先放这桶沙子，有此石块肯定就放不进去了。"
一个学生说："对，得先放石块。有些分量重的东西就得优先安排。"
一个学生说："也不一定，先沙子和水就一定不行么？"
......
请就以上材料，展开联想，自定角度，写一篇文章。题目自拟，文体自选（除诗歌外），不少于800字。
绝密★考试结束前
2008年普通高等校校招生全国统一考试
语文（北京卷）参考答案
一、（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．C 2．A 3．B 4．D 5．B
二、（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6．A 7．B 8．D 9．C 10．D
三、（本大题共3小题，共22分）
11．（5分）
> 杨朱过于宋东之逆旅/有妾一人/其恶者贵/美者贱/杨子问其故/逆旅之父答曰/美者自美/吾不知其美也/恶者自恶/吾不知其恶也/杨子谓弟子曰
12．（10分）
①（2分）A
②（4分）
肝胆：指自己的爱国之志，或对于故国的赤胆忠心。
阅：见证。
表出了作者虽已衰老，且明知复国无望，仍然矢志不渝、坚持到底的决心。
意思接近即可。
③（4分）
（1）风格特征：沉郁悲怆或深沉凝重。
> （2）简要分析：这首诗是把深沉的爱国情怀与自己的人生遭际、眼前的具体情境紧密结合在一起，融铸为凝练精纯的诗句，形成了沉郁、凝重的风格。
13．（7分）
①渺沧海之一粟 羡长江之无穷
②盈盈一水间 脉脉不得语
③波心荡 冷月无声
④只合把清浊分辨
四、（本大题共3小题，共10分）
14．（3分）C
15．（3分）B
16．（4分）
第一问：循环、重复利用塑料袋
第二问：
（1）用纸袋替代塑料袋不可取，因经济、环保成本过高。
（2）循环、重复利用塑料袋，可减少"白色污染"。
（3）塑料袋回收再生产成本较低。
五、（本大题共4小题，共18分）
17．（4分）A、D
18．（5分）
①直接触发了作者对秋色的集中描写，起到了承上启下的结构作用。
②彰显了秋色的突如其来，表达了作者对秋色之美的惊叹。
19．（5分）
第一问：
> 文章表达了作者对秋色之美的发现与赞叹，并结合古人的创作，传达了作者对审美体验和社会生活关系的理解。描写色彩的词语的大量运用，凸显了文章主旨。
>
> 第二问：
>
> 在艺术效果上，则写出了秋叶的绚烂多彩，展现了秋色的丰富性：给人以一种视觉的享受，富于艺术感染力。
20．（4分）
> 作者通过对古代诗人赞美秋色的诗句的引用，说明了古人与今人的感受也是有相通之处的。因此，"过去"与"现在"并不是割裂的，两者之间是一种辨证统一的关系。
六、（本大题共2小题，共10分）
21．（4分）（略）
22．（6分）（略）
七、（本大题共1小题，共60分）
23．（60分）（略）
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**往年自主招生试题分类汇编及答案13：初等数论**
1.（北约）
最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数．
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2.（北约）在 1，2，...，2012 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，
> 问最多能取多少个数？
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**1、高考的指导思想和目标**
注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法。重视考生的"终身学习和发展"，即考查学生在中学所受到的数学教育，考查学生在大学需要的数学基础能力。
**2、考查能力体系**
重点考查的能力体系包括：考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力（实践能力和创新意识）。
重视知识发生发展的过程考察，强化运算结果的重要性。
**3、 对于今年毕业班的学生复习，在知识和内容的建议**
数学一般遭遇的困难是对基础知识的理解不扎实，不能形成应用。其根本是欠缺数学思想和做题思维。在基础知识方面，同学们大多都停留在对公式、定理及推理的表面了解和熟悉上；特别对于靠题海战术复习的考生，在解题的时候，大部分同学多是以简单的套用为手段。因此遇到新题型、陌生题或对一些公式变换较为复杂的题型（如解析几何题，利用导数求复合函数的单调性、极最值、分类讨论等式子稍微多一些的题），很多学生不会做。在复习方向上，应以理解课本重要知识点为主，即首先弄清每一个公式、定理及推论是研究什么数学问题、用以描述数学什么现象，着重注意其切入点、推导过程和形成的结论是什么。在解题上训练自己的思维。用以加强抽象概括、空间想象、数形结合等能力。并加强归纳总结意识。高中数学大部分解答题都能形成较为固定的解题思维和相对基本相同的解题步骤，数学讲究严谨和规律，因此要逐渐形成一定的数学思想，才能在数学高考上获取好的成绩。
在平时训练题型的解答上，选择题要打破常规，充分利用题目和选项，本着多思考、少计算、特殊化的原则进行解答。在填空题要多角度的思考，要利用数学中的一些特殊现象进行先行试探，得出的结论一般具有普遍性，起到事半功倍的效果。在解答题上，一定要进行归纳、总结，归纳总结的重点放在整个解题的思维上。重点是如何思考、如何利用题目的条件、通往结论的过程要目的明确，准确落实。强调挖掘其中的思维步骤的共性，形成一套"以不变应万变"的"一解多题"模式。
**高考不是竞赛，是选拔性考试，所有具备了后继学习知识基础和能力的学生，进一步到大学深造，而且北京录取率超过70%。会有约70%左右的基础题，但基础不等于简单，容易，这里基础是强化通性通法的考察，可仍需较高的思维品质。高考命题一定有一些"味道"，不可能象"白开水"那样无滋味。一定在基础题的考察中，设置一些小障碍和小陷阱。**
（1）三角函数：以中、低档题为主，强化双基训练，通性通法的考查。注重三角函数的工具作用和灵活变形的特点。
（2）概率统计问题：文科重点是古典概型与几何概型，理科在此基础上，增加二项分布，适当强化建构在排列组合基础知识上的其它概率的求法及分布列、数学期望等。 至于条件概率是为了深刻理解互斥事件、独立事件的概率。
（3）立体几何：从解决"平行与垂直"的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律------充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高推理论证能力和空间想象能力．理科应注重利用空间向量在解题上的运用，特别是异面直线所成角、线面所成角和二面角的求法，还有点到面的距离的求法。\
（4）函数与导数：从函数的定义域切入，关注函数的基本性质和数学方法。请注意在知识点交汇上予以适当训练。这部分内容包括所有数学方法与全部数学思想。
（5）解析几何：从曲线方程与轨迹切入关注参数取值范围。继续作为较综合的问题。
（6）数列：数列本身并不难，数列知识一般只是作为一个载体，综合运用函数的思想、方程和不等式的思想研究数列问题；强化双基训练与化归与转化的思想。
**4、能力考查与重点题型复习举例**
（1）（）（ 加强抽象概括能力的考查。
 **例1.**点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为"*A*点"，那么下列结论中正确的是（ ）
A．直线上的所有点都是"*A*点"
B．直线上仅有有限个点是"*A*点"
C．直线上的所有点都不是"*A*点"
D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是"*A*点"
**解析：**如图，如果P点在点时，当轴，，当PAB与抛物线相切时，，直线的斜率是运动、连续、变化的，，P点是"*A*点"，一般地如果直线上的P任意时，同理上述。直线上的所有点都是"*A*点"，选A。
**例2.**已知函数满足，且在上的导数满足，则不等式的解为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**解析：**由得在R是减函数，结合，得及可化为， 即得，解为
(2).切实提高运算能力。
运算能力是高考四大能力（思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力）要求之一，是数学及相关学科的基本功，它与记忆、想象互相支撑和渗透。
**例3．** 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，a=8,b = 10,ΔABC的面积为，则△ABC中最大角的正切值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**解析：注意到同三角形中，大边对大角，两个解或。**
**例4．**某工厂生产某种产品，每日的成本*C(*单位：元）与日产里*x(*单位:吨）满足函数关系式C=10000+20x，每日的销售额R(单位:元）与日产量x满足函数关系式
已知每日的利润y = R－C，且当x=30时y =-100.
(I)求a的值；
(II)当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大,并求出最大值
**解：**（Ⅰ）由题意可得：
因为*x*=30时，*y*=－100，
所以
所以a=3。
（Ⅱ）当0＜x＜120时，
由可得：，（舍）。
所以当时，原函数是增函数，当时，原函数是减函数。
所以当x=90时，y取得最大值14300。
当x≥120时，y=10400－20x≤8000。
所以当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大值14300元。
(3).空间想象能力
直观感知,强化运算。
**例5.**如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，了若EF=1，E=x，DQ=y，DP＝Z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（ ）
（A）与x，y，z都有关
（B）与x有关，与y，z无关
（C）与y有关，与x，z无关
（D）与z有关，与x，y无关
答案：D
四面体PEFQ的体积，是等底1，等高，与x，y无关，P点到底面EFQ的距离，即高与P点位置有关，与z有关。
(4).实践能力和创新意识
> **例6.**汉诺塔问题是指有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等的碟片。按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上：
>
> （1）每次只能移动l个碟片；
>
> （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面。
>
> 如图所示，将B杆上所有碟片移到A杆上，C杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将B杆子上的个碟片移动到A杆上最少需要移动次．
>
> （1）写出的值；
>
> （2）求数列的通项公式；
>
> （3）设,数列的前项和为，证明
解：（Ⅰ），，，．
> （Ⅱ）由（Ⅰ）推测数列的通项公式为．
下面用数学归纳法证明如下：
①当时，从B杆移到A杆上只有一种方法,即，这时成立；
②假设当时，成立．
则当时，将B杆上的个碟片看做由个碟片和最底层1张碟片组成的，由假设可知，将B杆上的个碟片移到C杆上有种方法，再将最底层1张碟片移到A杆上有1种移法，最后将C杆上的个碟片移到A杆上（此时底层有一张最大的碟片）又有种移动方法，故从B杆上的个碟片移到A杆上共有种移动方法．
所以当时成立．
由①②可知数列的通项公式是．
> （说明：也可由递推式，构造等比数列求解）
>
> （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，
所以
=．
=
> =++...+
=．
因为函数在区间上是增函数，
．
又当时，．
所以．
(5).树立信心，狠抓落实，非智力因素是学好数学的重要保证。
本质上讲：理解是数学学习的核心。理解对数学学习具有极端重要性。真正意义上的数学学习一定要把理解放在第一位，一定要千方百计地去提高理解层次。
**例7．**设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60^o^,.
(1)求椭圆C的离心率；(2)如果\|AB\|=，求椭圆C的方程.
设，，由题意知，。
(Ⅰ)直线的方程为，其中。
> 联立得。
>
> 解得，。
>
> 因为，所以。
>
> 即。
>
> 得离心率。
>
> （Ⅱ）因为，所以。
>
> 由得。所以，得a=3，。
>
> 椭圆C的方程为。
(6).**少错=多对(数学基础的两个体系――知识体系与易错体系)**
**例8．填空题：**
**（1）如果函数在(-2,+∞)是增函数，那么实数a的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_。**
解析1：∵ 可化为
，即，
又在(-2,+∞)是增函数，故-2a-1\<0
得 .
解析2：
令y\'~x~＞0，由于x∈(-2，+∞)时，(x+2)^2^＞0
得2a+1＞0
解析3：∵ y=f(x)在(-2,+∞)是增函数，
∴ f(0)＜f(1) 即：， ∴。
评注：
①函数的单调性是函数的最重要性质之一，解答题有：定义法和导数法；填空和选择题还有：图像法、复合函数、单调性运算及特殊值法等。
②特殊值法在解填空题与选择题时，常常可收到事半功倍之效。
**（2）已知2^2-a^-2＜x＜2^a-2^, 函数y=3^x^-3^-x^ 是奇函数，则实数a=\_\_\_\_\_\_。**
**解析：**∵ f(x) 是奇函数，而函数具备奇偶性的必要条件是定义域关于原点对称，
得：2^2-a^-2=-2^a-2^ 解得a=2.
**评注：**
①函数的奇偶性首先应关注它的定义域。判定时要灵活运用定义的等价式；等
②任何定义在对称区间上的函数f(x)一定可以写成一个奇函数与一个偶函数 之和的形式。
**（3）已知函数的定义域为R，且满足等式，则 [ ]{.underline} （填：是或不是）周期函数；**
**解析：**
∴f(x)是周期T=8的周期函数。
**评注：**
①函数的周期性是函数的整体性质。所以它的定义域至少一端趋近于∞。
②函数周期性与奇偶性在高考中是A层次(了解：对所学知识有初步的认识，会在有关问题中运行识别和直接应用)，所以不会出现难度较大的题。而函数的单调性是C层次(掌握：深刻的理性集训知识，形成技能，并能解决有关问题。)
**（4）若曲线y=a\|x\|与曲线y=x+a有两个不同的公共点，则a的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_。**
**解析1：**联立得a\|x\|=x+a有两个根，
∴ 且
即，**且**，
解得：a\>1或a\<-1.
**解析2：**数形结合，由函数y=\|x\|与y=x分别作伸缩、对称与平移变换，
如图可知：或 ，即a\>1或a\<-1，
**评注：**
①本题考查等价变换的逻辑运算或者数形结合之图象变换，解题时运用要准确熟练。
②去年开始高考能力要求由过去的"逻辑思维能力"改为"思维能力"，它包括"逻辑思维和形象思维能力"。
**例9. 选择题：**
**（1）设实数a∈\[-1,3\], 函数f(x)=x^2^-(a+3)x+2a，当f(x)\>1时，实数x的取值范围是（ ）**
**A、\[-1,3\] B、(-5,+∞) C、(-∞,-1)∪(5,+∞) D、(-∞,1)∪(5,+∞)**
解析：反客为主，视a为变量，函数表达式为y=(2-x)a+x^2^-3x, 由一次函数（或常数函数）的图象知，只需端点a=-1 及a=3时 y\>1即可。
由**,**
**∴ x\>5或x\<-1, 选C。**
**(2)等差数列中，若其前n项的和，前m项的和，则：( )**
解析：用特殊值法。取m=2,n=1，则 ，
此时 否A,C,D,选B
**(3)已知：是正实数，则下列各式中成立的是（ ）**
**A、 B、**
**C、 D、**
**解析：**逻辑分析，知C、D等价全错，都是变量，相等的可能性不大。
猜A，用放缩法
选A。
> **例10.**已知。
>
> （1）若向量，且 ，求的值；
>
> （2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围。
>
> 解：（1），
即，所以。
> （2）因为，则，即
则，
因此，于是，
由，则，
则的取值范围为。
> **例11．**如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）
（1）求证：AE//平面DCF；
（2）当AB的长为，时，求二面角A---EF---C的大小．
解：在则，
（1）如图，以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系
设
则
于是
（2）结合（1），，进而求的
**例12．**甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数．并说明它在乙组数据中的含义；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适?请说明理由；
（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望.
解：（1）茎叶图如下：
> 学生乙成绩中位数为84，它是这组数据最中位位置的一个数或最中间位置的两个数的平均数，中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中。
（2）派甲参加比较合适，理由如下：
=85
=35.5
=41
∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适
（3）记"甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分"为事件A，
则
随机变量的可能取值为0，1，2，3，
且服从B（）
k=0，1，2，3
的分布列为
（或）
**例13．**已知函数
（Ⅰ）若为的极值点，求实数的值；
（Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若使，方程有实根，求实数的取值
解：（I） 
的极值点，
又当时，， 从而的极值点成立．
（II）因为上为增函数，
所以上恒成立．
若，则，上为增函数不成产'
> 若
所以上恒成立．
令， 其对称轴为
因为从而上为增函数．
所以只要即可，即
所以又因为
III）若时，方程
可得
即上有解
即求函数的值域．
法一：令
由
，
从而上为增函数；当，从而上为减函数．
可以无穷小．
法二：
当，所以上递增；
当所以上递减；
又
所以上递减；当，
所以上递增；当上递减；
又当，
当则所以
**例14．**设椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：
--- -------------------------------------- ------ ------ -------------------------------------- ----------------------------------------
x 3 ---2 4  
y  0 ---4  \-
--- -------------------------------------- ------ ------ -------------------------------------- ----------------------------------------
（1）求的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于不同两点且，请问是否存在这样的
直线过抛物线的焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
**解：**（1）设抛物线，则有，据此验证5个点知只有（3，）、（4，-4）在统一抛物线上，易求 2分
设，把点（-2，0）（，）代入得  解得 ∴方程为
（2）假设存在这样的直线过抛物线焦点（1，0）
设其方程为设，
由。得
由消去，得△
∴ ①
 ②
将①②代入（\*）式，得
 解得
- 假设成立，即存在直线过抛物线焦点F的方程为：
**2012高考英语高频答案词 高频考点 必考点**
**吴军高频答案词一本通**
**目录：**
**一、单选完形高频答案词**
**二、高频句型核心词**
**三、高频核心短语（以介词和副词为中心）**
**四、语法考点高频答案词**
**五、阅读词汇题及完形熟词僻义高频考点**
**六、吴军2012高考英语必考点解密**
**七、吴军阅读高频答案词及其核心特征**
**一、2012高考英语单选、完形高频答案词**
A
**adapt adjust adopt attract** apply adopt appeal
**adapt**：指修改或改变以适应新条件adapt to sth/sb：适应某物/某人。
You should **adapt** yourself **to** the new environment.
**adjust**：是指"调整、调节"使之适应。
You can't see through the telescope until it is **adjusted to** your eyes
**fit：** 多指"大小适合"，引申为"吻合"。
The shoes fitted me well.
**suit：**多指"合乎要求、口味、性格、情况"等。
No dish suits all taste.
**match**：指"大小、色调、形状、性质等"相配或相称 与**...**匹敌 =**go with**
A red jacket doesn't match green trousers.
**adopt sb：收养 appeal to = attract 吸引 apply for申请**
**sth：采用 hold /draw one's attention to应用**
〖**2010安徽**〗\-\-\--How did you like Nick's performance last night?
\-\-\--To be honest, his singing didn't \_\_\_\_\_\_\_to me much
A. appeal B . belong C refer D. occur
appeal to 意为 "吸引"；belong to意为 "属于"；refer to意为 "提到；涉及"；occur to意为 "突然想到"。 句意为 "她的演唱并不怎么吸引我。"〖答案〗A
〖**2010江苏**〗Thousands of foreigners were\_\_\_\_\_\_ to the Shanghai World Expo the day it opened.
A. attended B. attained C. attracted D. attached
表示成千上万的外宾被吸引来参加上海的世博会。〖答案〗C
〖**2009浙江**〗The good thing about children is that they \_\_\_\_\_\_\_ very easily to new environments.
A. adapt B. appeal C. attach D. apply
根据句意, "关于孩子们美好的事情就是孩子们能很容易适应新的环境"。adapt to"适应"; appeal to"有吸引力, 有感染力；呼吁；求助于；上诉"等; attach to"粘上, 附上"; apply to"应用于, 适应于"。 〖答案〗A
〖**2008辽宁**〗You have to be a fairly good speaker to [ ]{.underline} listeners' interest for over an hour.
A.hold B.make C.improve D.receive
hold one's interest使某人保持兴趣。make制造；做；improve改善, 提升；receive接收。〖答案〗A
〖**2008天津**〗Her shoes [ ]{.underline} her dress;they look very well together.
A.suit B.fit C.compare D.match
句意为：她的鞋和衣服很搭配, 二者搭配看起来很不错。suit指时间、口味等合乎需要；fit指大小、尺寸合适；compare比较, 对照；match指颜色、款式等的搭配。〖答案〗D
〖**2004全国Ⅰ**〗---How about eight o'clock outside the cinema?
> ---That [ ]{.underline} me fine.
A.fits B.meets C.satisfies D.suits
这四个词在汉语意思上很接近, fit一般指衣服等的尺寸对某人很合适；meet有 "满足......的要求"之意；satisfy的意思是 "使......满意"；suit指样式、场合、方便等, 意思是 "适合......的要求"。答语的句意为：这约定正适合我。〖答案〗D
〖**2005上海**〗The company is starting a new advertising campaign to [ ]{.underline} new customers to its stores.
A.join B.attract C.stick D.transfer
句意为：为了把新的顾客吸引到店内, 公司开始了一场新的广告战。join参加；stick粘, 贴；固定在某处；transfer转移；传给。〖答案〗B
〖**2012高考模拟**〗My camera can be \_\_\_\_\_ to take pictures in cloudy or sunny conditions.
A. treated B. adopted C. adjusted D. adapted
adjust强调, 调节, 使适应; The body adjusts itself to change of temperature. (身体能自行调节以适应温度的变化。) 本句中adjust是不及物动词。I must adjust my watch. It\'s slow. (我必须调一下我的表。它走得慢了。) \[答案\] C. adjusted.
〖**2010陕西工大附中模拟**〗Though the necklace is not made of real crystal, it still\_\_[\_]{.underline} young people.
A. appeals to B. attracts to C. accounts for D. apply for
考查动词短语的含义及语境。Appeal to投合所好；attract to吸引； account for说明；apply for 应用。\[答案\] A\
〖**2012高考押题**〗The people who are out of work should \_\_\_\_\_\_ themselves to the new situation quickly.
A. fit B. match C. suit D. adapt **D**
〖**2012高考押题**〗---Mummy, can I put the peaches in the cupboard?
> ---No, dear. They don't \_\_\_\_\_\_\_\_ well. Put them in the fridge instead.\
> A. keep B. fit C. get D. last **A**
〖**2012高考押题**〗Nick is looking for another job because he feels that nothing he does\_\_\_his boss.\
A. serves B. satisfies C. promises D. supports **B**
〖**2012高考押题**〗---Will \$200 \_\_\_\_\_\_\_\_ ?
---I'm afraid not. We need at least 50 more dollars.
A. count B. satisfy C. fit D. do **D**\
〖**2012高考押题**〗Ladies and gentlemen, may I \_\_\_ your attention to me？I have an important announcement to make.
A. draw B. attract C. pull D. drag **A**
**a/an**
**a** variety **of... 多种多样的**
**an** average **of ...平均**
**a** distance **of距离**
**a** lack **of缺乏**
**in the** absence **of 缺少**
**a** waste **of 浪费**
**a wide** range **of 各种各样的= a** variety **of =** different **=various**
**a** gang **of一伙**
**a** matter **of ....的问题**
**affair** 意为"事情、事件", 含义较广，泛指已做或待做的事；复数affairs一般指商业事务及政府的日常事务，如财政管理、外交事务等。
**business**作"事务、事情"解时，一般不能用复数，常常指所指派的任务、责任；有时说的是指派的工作或商业上的买卖活动。It's none of your business.与你无关!
〖**2010湖北**〗This restaurant has become popular for its wide [ ]{.underline} of foods that suit all tastes and pockets.
A. division B. area C. range D. circle
"这家餐馆越来越出名 是由于它做的各种各样的食物适应各种类型人群。" "a range of "强调一个系列, 而 "a wide range of"意为 ""。正好符合题意。从句子结构来讲, 这个句子属于典型的 "从句套从句"。 "for"引导原因状语从句, "that"引导定语从句。答案C
〖**2010江西**〗Last year the number of students who graduated with a driving license reached 200,000, a (n) \_\_\_\_\_\_ of 40,000 per year.
A average B number C amount D quantity
a number of 许多 amount of 一般加不可数名词表金额, a quantity of 既可以加可数也可以加不可数, 但没有平均每年增加的意思。〖答案〗A
〖**2003上海春**〗More and more people choose to shop in a supermarket as it offers a great [ ]{.underline}of goods.
A.variety B.mixture C.extension D.combination
"a great variety of"意为 "品种繁多的"。 〖答案〗A
〖**2001上海**〗In the botanic garden we can find a(n)\_\_\_\_\_\_of plants that range from tall trees to small flowers.
A.species B.group C.amount D.variety
a variety of "多种多样的"。 〖答案〗D
〖**2004全国Ⅲ**〗The faces of four famous American presidents on Mount Rushmore can be seen from a[ ]{.underline} of **[60 miles]{.underline}**.
A.length B.distance C.way D.space
length长度；distance距离；way道路；space空间, 太空。根据句子的意思, 答案选B项, 指离那儿60英里远的地方。〖答案〗B
〖**2007辽宁**〗Health problems are closely connected with bad eating habits and a\_\_\_\_of exercise.
A. limit B. lack C. need D. demand
a lack of缺乏。句意为：健康问题与不良的饮食习惯和缺少锻炼密切相关。〖答案〗B
〖**2012高考押题**〗In the [ ]{.underline} of proof , the police could not take action against the man .
A．lack B．shortage C．absence D．failure
shortage 缺乏, 无此搭配。\"In the developed countries, there\'s a great shortage of labour / work force.\" 发达国家劳动力非常缺乏。〖答案〗C. in the absence of 缺少
〖**2009山东**〗\-\-\-\-\-\--He says that my new car is a \_\_\_\_\_\_ of money.
 \-\-\-\-\-\--Don't you think those words are just sour grapes?
 A. lack B. load C. question D. waste
lack缺乏；load负担；question疑问；waste 浪费；根据句意, 尤其是下句的sour grapes(酸葡萄)可知答案选D。
〖**2012高考押题**〗My knowledge of Hong Kong came only from some movies: a\_\_\_\_\_\_ of criminals are pursued by the police in the narrow streets and then they have a fight.
A. group B. team C. class D. gang
A"组"；B"队"；C"种类，等级"。 〖答案〗 D"一伙"。
〖**2007山东**〗I can't say which wine is best -- it's a(n) \_\_\_\_\_ of personal taste.
A. affair B. event C. matter D. variety
a matter of意为 "关于......的问题", a matter of principle原则问题；a matter of opinion仁者见仁, 智者见智。A项意为 "政治事务, 私人业务"；B项意为 "重要事情、大事"；D项意为 "不同种类"。a matter of ....是固定搭配。〖答案〗C
**be able to do 能够......、有能力......= be [capable]{.underline} of / have the [ability]{.underline}(能力)to do sth.有能力做某事**
**be about to do \...when 就要做某事时，突然...... / be about to do\...when 时态问题及如何解题when在这里的用法很特别，它是并列连词=and then------这一点很重要！记住规律：was/were about to do\...when sth. did\...= \...was//were on the point of doing\...when sth. did\...**
**be absent from 不在、缺席 / [拓展]{.underline}:absent是形容词, 反义词组be [present]{.underline} at**
**be absorbed in 沉迷于......、迷恋于......**
**be active in 在......活跃 / be active in sth/doing sth**
**be admitted into 被\...\...录取 / [拓展]{.underline}: be admitted to加入，被接纳，admitted into v. 许可进入(进入)，be admitted in audience被接见**
**be afraid of doing 担心某事会发生 / [拓展]{.underline}:be afraid of sth./sb. 害怕某人(物)，be afraid that... 恐怕......， be afraid to do 不敢去做,I\'m afraid not.(=I don\'t think so.)口语中常用。**
**be after sth./sb. 找，追赶...... / go after设法得到, take after长得像。**
**be along with 和......一起 / get along with①进展, 走开, 别胡扯②.在\...方面有进展,进行③友好相处,和睦相处,取得进展;get on well with 与\...相处的好 .**
**be an expert on/in/at sth. 在......是专家**
**be angry at sth. 因某事而生气 / be angry with sb. 生某人的气**
**be anxious about为\...而焦虑= be worried about / be anxious for =be eager for渴望**
**be ashamed of / to do sth感到羞耻、惭愧 =be shy**
**be (un) aware of (to do) sth. 意识到 =realize, notice倾向于主动去注意**
**be away from 离......远 / be out of 是没有,在\...之外的意思 / be far from:除了表示距离的远离之外，还有远远不，完全不；决非之意，后接名词，动名词或形容词。如，He is far from a fool.他一点也不傻，这里的be far from为第二种意思。**
〖**2012高考押题**〗Judith lay on the small sofa, \_\_\_\_\_\_\_\_in her book.
A. being absorbed B. absorbed C. to absorb D. absorb
朱迪思网在沙发上专心致志地看书.上面的句子absorbed前面省略了主语Judith，可以把它分为2个分句：Judith lay on the small sofa and Judith was absorbed in her book. 这样就看明白。答案：B
〖**2012高考押题**〗You should be \_\_\_\_\_\_ what you have done.
A. ashamed of B. ashamed to C.ashamed D. ashamed at
你应为自己所做的事感到羞愧。be ashamed of 固定搭配，be ashamed to do；C，D选项没有此搭配。答案：A
〖**2009全国卷II**〗If you leave the club, you will not be [ ]{.underline} back in .
A. received B. admitted C. turned D. moved
如果你离开俱乐部，你将不被允许返回。考查实义动词之间的区别(receive收到, admit允许, turn使转动以及move移动。) ,答案:B.
〖**2012高考押题**〗What they be\_\_\_\_\_\_\_\_\_ is profit
A.for B. at C. after D. against
他们所追求的是利润。be for 支持，赞同，be after 追求，be against反对。be at忙于，专注于, 答案：C.
〖**2012高考押题**〗I wish to \_\_\_\_\_\_\_\_\_ you all night.
A.[be](http://www.iciba.com/be/) [along](http://www.iciba.com/along/) [with](http://www.iciba.com/with/) B. get on well with C. get along with D. along with
我希望整夜都[与](http://www.iciba.com/与/)你在一起. be along with 和......一起，get on well with 和 get along with 与\...相处；along with 是介词短语，不能直接放在不定式"to"的后面。答案：A.
〖**2007全国卷**〗The fire spread through the hotel very quickly but everyone [ ]{.underline} get out.
A. had to B. would C. could D. was able to
尽管大火蔓延的很快，但是所有人都逃出来了.示成功地做了某事时，只能用was/were able to， 不能用could。答案: D.
〖**2012高考押题**〗He\'s very\_\_\_\_\_\_\_\_ about the results of the examinations.
A.anger B. eager C. anxious D. worry
他很担心考试的结果。be angry about:因什么事情感到生气,而没有be anger about 搭配， be eager for盼望，渴求；be worried about为......担心;e anxious about /for为\...而焦虑, 答案：C.
〖**2012高考押题**〗I was about to do my homework \_\_\_\_\_\_\_\_my father came in.
A. as B. while C. when D. Once
我刚要做我的家庭作业，我爸爸进来了。be about to do \...when 就要做某事时，突然......，是固定搭配。答案：C.
〖**2012高考押题**〗He\_\_\_\_\_\_\_\_ turn on the light .
A. will B. is about to C. is to do D. is going to
他就要把灯打开。此题无时间状语，只有be about to后可不跟时间状语。.答案：B.
〖**2012高考押题**〗I do not profess to [be](http://www.iciba.com/be/)\_\_\_\_\_\_\_\_\_ on that subject .
A. professional B. [an](http://www.iciba.com/an/) [expert](http://www.iciba.com/expert/) C. specialist D. master
professional 另有职业的意思，是指专业人员，专门从事某行业的人，而这个人在这个行业里，并不一定是专家高手。master 比expert更 专业，更专。总的来说，professional有些区别，specialist和Expert没有很大的区别。 A.C.D.前应加不定冠词。答案：B
**唤起迅捷激情 震撼学子心灵**
**2012高考英语完形圣经秘诀教案**
**透过已知信息 推断未知信息**
**不易策略**，扫描选项，在万变中找到不变的规律！
**简易策略**，瞻前顾后，化繁为简，化难为易！
**变易策略**，左顾右盼，以变制变，熟能生巧！
首尾段首尾句,边做边看选项中与中心同现词或复现词!
**扫描选项** 同义词 / 同类词排除
高频答案词
相反项有解
同现
**思路** **瞻前顾后** 复现
逻辑结构
**左顾右盼** P原则
关联结构
**技巧归纳**: 感情色彩 时态暗示法 动词综合法(主语/宾语是人是物? 及不及物?过程还是结果?\...\...), \...\... (略) 共20多项法则,交叉都指向同一个答案才最准确!
**满分策略**: 五四运动法 串线交叉法 主线贯穿法, \...\...(略)
**节选教案试看!**
**瞻前顾后 同现 复现 逻辑结构**
**同现**
中心同现是指段落的首段的中心词或段落中反复出现的名词或名词词组,在被选空格内的句子中也重复出现或与其意思倾斜向;词汇同现是指属于同一词汇搭配范畴或者某一领域的词汇在文章中共同出现，达到语义衔接的目的。一般来说，上下文中词汇的范畴越小，上下文的衔接关系越紧密。
**首段首句一般都是中心句,名词是核对重点!**
**◆**Then , mountain \-\-- **[climb]{.underline}**ing began to grow **[popular]{.underline}** as a sport. To some people, there is something greatly \_\_\_**28**\_\_\_\_ about getting to the \_\_\_29\_\_\_\_ of a high mountain: a struggle against nature is finer than a battle \_\_\_30\_\_\_\_other human begins. And then , when you are at the mountain top after a long and difficult \_\_\_\_31\_\_\_\_, what a \_\_\_**32**\_\_\_\_ reward ( 奖品 ) it is to be able to look \_\_\_33\_\_\_ on everything within \_\_\_34\_\_\_\_! At such time , you feel **happier** and **[prouder]{.underline}** than you can ever feel down \_\_\_35\_\_\_. **[与首尾句名词 动词 形容词 副词倾向]{.underline}**!
28.A.**[excited]{.underline}** B. interested C.dangerous D.terrible
32.A.surprising B.**[excited]{.underline}** C.disappointing D.astonishing
**◆**Dorothy Brown was very happy as she sat in the theatre listening to the **[music]{.underline}**. Today her little daughter Lauren was giving her \_\_\_1\_\_\_ concert. She had been waiting for this \_\_2\_\_ for years and years. "Now it is here at last," she thought. "How beautiful her \_\_**\_3\_**\_\_ is."
The song made her \_\_\_4\_\_\_ to the days when she was Lauren's \_\_\_5\_\_\_. As a young \_\_\_6\_\_\_, Dorothy wanted to be a concert singer. She studied \_\_**\_7\_**\_\_ in France, Italy and in the United States. "You can become a fine \_\_**[\_8\_]{.underline}**\_\_ in the future," her teachers told her. "But you must be \_\_\_9\_\_\_ to study hard and work for many years.
3\. A. **[voice]{.underline}** B. face C. dress D. life
7\. A. French B. **[music]{.underline}** C. piano D. dance
8\. A. actress B. student C. **[singer]{.underline}** D. dancer
K
**抓住中心意思\-\-\-\--围绕什么话题 (在文章中出现频率最多的词)**
**◆**Every Thursday afternoon, my art history class meets not in our usual lecture hall ( 演讲厅 ) but in our university **[Art]{.underline}** Museum. We spend our one-hour class discussing two or there of the \_\_**\_1\_**\_\_, many of which are by **[artists]{.underline}** that we have already studied in class. The professor begins by selecting one \_\_\_2\_\_\_ of **[art]{.underline}**. After giving us a quick background on the **[artist]{.underline}** , he will open up for class \_\_\_3\_\_\_.
1\. A. subjects B. **[paintings]{.underline}** C. speeches D. lectures
**仅有技巧和词汇是不够的,高频答案词及短语,是突破的关键!但相当多的具体情况和难以处理的选项,做起来还是有些吃力,怎么办?**
**吴军老师刚刚出炉的2012高考英语完形暗示点全归纳将使您傲视群雄!**
宾语从句是特殊疑问句WH-或whether/if**时,要选下列动词:**
ask, doubt, wonder, want to know, know, guess
**答题选动词:**
〖**2011·全国新课标卷**〗The professor [37]{.underline} the lecture hall, placed upon his desk a large jar filled with dried beans(豆), and invited the students to [** 38**]{.underline} **how many** beans the jar contained. After [39]{.underline} shouts of wildly wrong guesses the professor smiled a thin, dry smile, announced the [40]{.underline} answer, and went on saying, "You have just [41]{.underline} an important lesson about science.
38\. A．count B. guess C. report D. watch
考察动词，或根据后文wildly wrong **[guesses]{.underline}**的提示，考虑复现选B。
**反过来选**WH-或whether/if:
〖**2011·安徽卷**〗One afternoon. I walked into a building to **ask** [** 41**]{.underline} there were any job opportunities(机会)，The people there advised me not to continue my job search in that [42]{.underline} .
41\. A. why B. wherever C. whether D. whenever
一天，作者走进一座大楼去问"是否"(whether)有自己能做的工作。选C。A项为"为什么"；B项为"无论在那"；D项为"无论何时"
**怎么样?这样做题快吗**?
为了让您更加深信不疑,我们再免费发布一个法则,你可以马上用下列真题或你学校的模拟练习题来验证一下,好使,就要赶紧预定呦!每省仅限定10套,额满即!止
**正面的,积极的,肯定的, 还是负面的,消极的,否定的?**
**◆**"**I'm sorry**, but we have enough [27]{.underline} for the newspaper already. Come back next year and we'll talk then." Jenna smiled [** 28**]{.underline} and left. "Why is high school so [29]{.underline} ?" she **[sighed]{.underline}**.
**叹气sighed说明是勉强的,选消极的weakly**
28\. A. widely B. **weakly** C. excitedly D. brightly
**◆[Tired and sad]{.underline}**,she told her story [** 38**]{.underline} ,not to anyone in particular.
38.A.**tearfully** B.seriously C.carefully D.calmly
**◆**It seems funny that we are \_[40]{.underline}\_ for things, with which we are **unfamiliar** or about which we are \_**[41]{.underline}**\_, but we all, my friends as well as I, consider this one of life's \_[42]{.underline}\_ .
41\. A. **uncertain** B. unhappy C. not pleased D. careful
〖**2011·四川卷**〗I truly feel that my mother led me here, to Morzaine, and to my future as a happy wife and businesswoman. When Mum [21]{.underline} in October 2007, I was a cook.. In December that year. while I was working for a wedding, a pearl necklace Mum had left me [** 22**]{.underline} . I was **distraught（忧心如焚的）**.Some days later, I was [23]{.underline} that a guy who was working with us that day. "could probably have made a fortune [\\24]{.underline} he necklace he found." [25]{.underline} , he returned it.
22.A. burned B. **disappeared** C . broke D. dropped
22空就近distraught（忧心如焚的）是负的,只有disappear是负的；burn燃烧；break打破；drop降低，落下。有后文的我感到"忧心如焚"及"归还"（return）可知此处是指项链丢失了。B
〖**2011·安徽卷**〗Nearly ten minutes later, he [45]{.underline}, He asked me about my plans and **[encouraged]{.underline}** me to stay [** 46**]{.underline} . Then he offered to take me to Royal Oak to [47]{.underline} a job. **积极的!**
I was a little surprised. but had a [** 48**]{.underline} feeling about him. Along the way ,I realized that I had [49]{.underline} resumes(简历). Seeing this, the man [50]{.underline} at his business partner's office to make me fifteen [51]{.underline} copies. He also gave me some [52]{.underline} on dressing and speaking. I handed out my resumes and went home feeling very [** 53**]{.underline} . The following day, I received a [54]{.underline} from a store in Royal Oak **offering me a job**.
46\. A. silent B. busy C. **positive** D. comfortable
他问了问我的打算，鼓励我要振作起来，不要灰心。选C。A项为"沉默不语的"；B项为"忙绿的"；C项为"积极乐观的，有信心的"；D项为"舒适的，舒服的"。
48\. A. dull B. **good** C. guilty D. general
作者对他的主动帮助感到有点惊奇，但是对他充满了"好感" (good feeling)。选B。A项为"阴暗的，无趣的"；C项为"内疚的"；D项为"一般的，普通的"。
53\. A. lonely B. funny C. disappointed D. **satisfied**
我分发完简历回到家感到非常"满意"(satisfied)。选D。A项为"寂寞的，孤独的"；B项为"滑稽的，可笑的"；C项为"失望的，沮丧的"。
〖**2011·四川卷**〗Some days later, I was [23]{.underline} that a guy who was working with us that day. "could probably have made a fortune [24]{.underline} the necklace he found." [25]{.underline} , he returned it. Hearing how I'd [26]{.underline} Mum for six months before her **death**, he said, "Christmas is going to be [** 27**]{.underline} ---why not go out to the Alps for a couple of weeks?
> 27.A.long B. **hard** C. merry D. free
death.在27空附近是负的,B项对应。在万家团圆的圣诞节，母亲刚去世，对我来说一定很难熬。B
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**情人的眼：十本金牌教案 =火箭式提分！(好喜欢!)**
冬天的梅花，非常耀眼.其实，梅花开的并不艳丽，只是因为你喜欢她，所以才心明眼亮.如果到了百花盛开的春天，你能身在花丛眼不花，还能看到淡淡素素的梅花吗？
高考英语也经常遇到这种情景，有时已知条件非常之多，提供的信息诱惑也非常之泛.此时，你能"情有独钟"地筛选出你需要的她吗？
**诗人的心：洞穿作者、命题人思维轨迹！(高考漏题啦?!)**
七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用"芝麻开门"，讲的是"以小见大". 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给"点"开了. 以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，足以说明"点"的重要性. 要有诗人般的细心和灵感,发现这些隐藏起来的点!
**英雄的胆：敢于呐喊，考试有捷径！(为时不晚!)**
西餐宴上，摆着漂亮的什锦比萨. 众人虽然都在称好，但没有一人动手. 原来这东西罩在一个透明的"玻璃盒"里，不知从哪儿打开，大家只好故作谦让，互相叫"请".
一小孩不顾礼节，拿着餐刀往"盒"上直戳，七戳，八戳，戳到了"玻璃盒"的花纹处，此时盒子竟像莲花一样自动地启开了. 大家惊喜，夸这孩子有见识. 其实，这孩子的成功在他的"敢于一试"，在试试中碰到了盒子的入口.
高考英语何尝没遇上这种情境？我们有时苦心焦虑地寻找破题的入口，其实，自己此时正站在入题的大门口前，只是不敢动手一试.吴军和张勇强老师不过是在日以继夜的研究教学过程中,发现了迅捷提分和满分密码的入口,进入后,不断的深入而已!
**侠客的剑: 推助满分的力量! (棒极了!)**
关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀. "过关斩将"用这大刀，"水淹七军"用这大刀. 关羽的"切瓜分片"是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再难的高考英语完形和阅读题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！强军高考英语暗示点全归纳,高频答案词一本通,阅读矩阵法则，完型胜经等7刀8剑将助您"过关斩将"！
**速度比完美更重要 思路比题海要有效**
**2012高考英语阅读思维重现法则**
**强军英语满分体系主编:张勇强**
无线索
1、题干无线索的推理 2、判断题
题干
答案 选项
主旨靠 定位
有线索
精确线索 模糊线索 用不同的词、不同的结构表达但和原文一样的内容
（数字、大写、专名、显性逻辑关系） 1全文反复重复的内容
2题干与原文貌离神合
题干定位原则 与主旨靠 3使用原文的近义结构
1数字、大写、专名 原文找意思一样的内容 主\-- -被 人\-\--物
2逻辑关系 因 果 选项定位 真\-\--虚 陈述\-\--倒装
手段 目的 4使用原文、原词、原结构
条件 事实 5使用原文的反说
> 3成分定位 6使用原文的上义词、下义词、同一范畴词
4主旨靠 7使用原文的总结归纳
5找意思一致内容 8使用原文的分说例证
**[大忌]{.underline}**：（只定位个别词、忽视题干、逻辑、成分）
**张勇强阅读选项对比*36*计(部分节选)**
**1 内容相似 都排除**
**目前，高考英语选择题只能选取一个正确答案！**
54\. It can be inferred from the passage that\_\_\_.
**A**. no drugs have been found to treat the disease
**B**. the alternative treatment is not easily available to most people **A=B**
C. malaria has developed its ability to resist parasites
D. nobody knows what will be the drug to treat the disease
**2 内容相反 取其一**
**有一大汉，想进某屋. 门上并未加锁，但他久推不开，弄得满头大汗.**
**后面传来一位小姐轻轻的声音："先生别推，请向后拉！"**
**大汉真的向后一拉，果然门就轻轻地开了. 大汉奇怪地问："这门上并没有写拉字，你怎么知道是拉门的呢？"**
**小姐答："因为我看到你推了半天，门还不动，那就只有拉了！"**
41.We can learn from the text that\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
A. email is less popular than the fax service
B. the postal service has over the years become [faster]{.underline} **B\> \<C**
C. the postal service has over the years become [slower]{.underline}
D. the fax service has a history as long as the postal service does
74\. We can learn from the text that the driver needs to stop for a break when his response time
is \_\_\_\_\_.
A. about 400 milliseconds B. [below]{.underline} 500 milliseconds **B\> \<C**
C. over 500 milliseconds D. about 4 minutes
73\. The underlined phrase ["the most vocal"]{.underline} in Paragraph 3 means \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
A. those who try their best to win
B. those who value competition most highly
C. those who are against competition most strongly **B\> \<C**
D. those who rely on others most for success
80．The last paragraph implies that RFID technology [ ]{.underline} .
A．will not be used for such matters as buying milk
B．will be widely used, including for buying milk **A\> \<B**
C．will be limited to communication uses
D．will probably be used for pop music
63.According to the passage, listening only with ears may happen to us when\_\_\_\_
A\) we are emotionally tired
B\) we are physically disabled **A\> \<C**
C\) we are so interested in the topic
D\) we are asked many questions
72.Q: There is unlikely any life on Venus because\_\_\_\_\_\_.
A．it has very thin atmosphere
B．the surface temperature is too hot **B\> \<C**
C．the weather is too cold
D．it is extremely short of water
**3 结构相似 取其一（有众多相同的词）**
**一时装模特，在表演时，自己笑了，台下一片喝彩声. 她自感成功，下去向老板索奖. 谁知老板不仅没奖，反而把她炒了. 冤枉不？不冤枉！模特二字，特是幌子，模是目的. 模特表演是不能笑的. 试想，模特一笑，只能显示模特本人的特色，谁还去看她身上的服装呢？所以，模特一笑，特在模掉！**
70\. According to the study of Brown Medical School, \_\_\_\_\_\_.
A. more than 6 million Americans distrust doctors
B. only 1/10 of medical websites aim to make a profit
C. about 1/10 of the websites surveyed are of high quality B≈C
D. 72% of health websites offer incomplete and faulty facts
E.
72\. According to the text, Driver Alert \_\_\_\_\_.
A. aims to reduce tiredness-related accidents
B. has gone through testing at laboratories
C. aims to prevent drivers from sleeping **A≈C**
D. has been on sale for 12 months
69\. When people suffer from Alzheimer"s disease, \_\_\_\_\_\_\_.
A. their families and friends will suffer from the same disease
B. their families and friends will experience mental sufferings **A≈B**
C. they will certainly die in 8 to 10 years
D. they will forget everybody but their spouses
16\. The rapid-transit rail lines should \_\_\_\_\_\_.
A. develop as quickly as possible B. develop **[with]{.underline}** local economic development
C. develop **[after]{.underline}** local economic development D. develop with the construction industry
**B≈C**
**4 相对、绝对项 取其一**
**一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.**
**上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来"问"这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？**
**其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是藏小孩的好地方.**
74．According to the passage, which of the following statements is TRUE?
A．Mountaineering is a match between climbers.
B．Mountaineering is similar to other sports in many ways. **C相对D绝对**
C．Climbers work like a team when their lives may depend on a rope.
D．Climbers help each other in time of difficulty.
52．According to the passage, the new treatment\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
A．can kill all the H1V viruses **A相对B绝对**
B．cannot get rid of the viruses completely
C．can double the number of disease - fighting cells
D．can reconstruct the patient\'s immune system
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**比如我给你三个矩阵法则序列，来选择下列无法定位的2007辽宁卷58题：**
**出题大概是按照顺序出的；**
**选项中被动结构的容易是答案；**
**找不到或找不全关键字无法确定出题点时,可按出题顺序,大致找到未出题的段落,然后看段首尾有没有段落中心句,没有就看该段反复出现了哪个名词,含有它或与其意思倾向就是答案了.**
What will people die of 100 years from now? If you think that is a simple question, you have not been paying attention to the revolution that is taking place in bio-technology(生物技术). With the help of new medicine, the human body will last a very long time. Death will come mainly from accidents, murder and war. Today\'s leading killers, such as heart diseases, cancer, and aging itself, will become distant memory.
In discussion of technological changes, the Internet gets most of the attention these days. But the change in **[medicine]{.underline}** can be the real technological event of our times. How long can humans live? Human brains were known to decide the final death. Cells(细胞) are the basic units of all living things, and until recently, scientists were sure that the life of cells could not go much beyond 120 years because the basic materials of cells, such as those of brain cells, would not last forever. But the upper limits will be broken by new **[medicine]{.underline}**. Sometime between 2050 and 2100, medicine will have advanced to the point at which every 10 years or so, people will be able to take **[medicine]{.underline}** to repair their organs(器官). The **[medicine]{.underline}**, made up of the basic building materials of life, will build new brain cells, heart cells, and so on\-\--in much the same way our bodies make new skin cells to take the place of old ones.
It is exciting to imagine that the advance in technology may be changing the most basic conditional human existence, but many technical problems still must be cleared up on the way to this wonderful future.
56．According to the passage, human death IS now mainly caused by\_\_\_\_.
A．diseases and aging B．accidents and war
C．accidents and aging D．heart disease and war
57．In the author' s opinion, today's most important advance in technology lies in\_\_\_\_.
**细节题可根据提干关键字到原文中定位**！
A．medicine B. the Internet C．brain cells D. human organ
**58．**Humans may **live** longer **in the future** because\_\_\_\_\_.
A．heart disease will be far away from us
B．human brains can decide the final death
C．the basic materials of cells will last forever
D．human **[organs]{.underline}** can **be repaired** by new **[medicine]{.underline}**
59．We can learn from the passage that \_\_\_\_.
**推论在尾段，找不到就向中心靠拢，或找but句**。
A．human life will not last more than 120 years in the future
B．humans have to take medicine to build new skin cells now
C．much needs to be done before humans can have a longer life
D．we have already solved the technical problems in building new cells
**发现此细节题通过关键字无法定位，但57和59题都解决了，发现第二大段没出题或只出了一个题，按出题顺序，本问题58题应该定位在第二段。**
**通过选项中被动结构的容易是答案原则，可定位58题D选项容易是答案！然后划D项中的名词medicine和organs，到第二大段中去找。**
**发现medicine在第二大段中反复出现，即为中心词。当然就可以确定D是答案了！**
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首尾段首尾句,边做边看选项中与中心同现词或复现词!
**扫描选项** 同义词 / 同类词排除
高频答案词
相反项有解
同现
**思路** **瞻前顾后** 复现
逻辑结构
**左顾右盼** P原则
关联结构
**技巧归纳**: 感情色彩 时态暗示法 动词综合法(主语/宾语是人是物? 及不及物?过程还是结果?\...\...), \...\... (略) 共20多项法则,交叉都指向同一个答案才最准确!
**满分策略**: 五四运动法 串线交叉法 主线贯穿法, \...\...(略)
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**瞻前顾后 同现 复现 逻辑结构**
**同现**
中心同现是指段落的首段的中心词或段落中反复出现的名词或名词词组,在被选空格内的句子中也重复出现或与其意思倾斜向;词汇同现是指属于同一词汇搭配范畴或者某一领域的词汇在文章中共同出现，达到语义衔接的目的。一般来说，上下文中词汇的范畴越小，上下文的衔接关系越紧密。
**首段首句一般都是中心句,名词是核对重点!**
**◆**Then , mountain \-\-- **[climb]{.underline}**ing began to grow **[popular]{.underline}** as a sport. To some people, there is something greatly \_\_\_**28**\_\_\_\_ about getting to the \_\_\_29\_\_\_\_ of a high mountain: a struggle against nature is finer than a battle \_\_\_30\_\_\_\_other human begins. And then , when you are at the mountain top after a long and difficult \_\_\_\_31\_\_\_\_, what a \_\_\_**32**\_\_\_\_ reward ( 奖品 ) it is to be able to look \_\_\_33\_\_\_ on everything within \_\_\_34\_\_\_\_! At such time , you feel **happier** and **[prouder]{.underline}** than you can ever feel down \_\_\_35\_\_\_. **[与首尾句名词 动词 形容词 副词倾向]{.underline}**!
28.A.**[excited]{.underline}** B. interested C.dangerous D.terrible
32.A.surprising B.**[excited]{.underline}** C.disappointing D.astonishing
**◆**Dorothy Brown was very happy as she sat in the theatre listening to the **[music]{.underline}**. Today her little daughter Lauren was giving her \_\_\_1\_\_\_ concert. She had been waiting for this \_\_2\_\_ for years and years. "Now it is here at last," she thought. "How beautiful her \_\_**\_3\_**\_\_ is."
The song made her \_\_\_4\_\_\_ to the days when she was Lauren's \_\_\_5\_\_\_. As a young \_\_\_6\_\_\_, Dorothy wanted to be a concert singer. She studied \_\_**\_7\_**\_\_ in France, Italy and in the United States. "You can become a fine \_\_**[\_8\_]{.underline}**\_\_ in the future," her teachers told her. "But you must be \_\_\_9\_\_\_ to study hard and work for many years.
3\. A. **[voice]{.underline}** B. face C. dress D. life
7\. A. French B. **[music]{.underline}** C. piano D. dance
8\. A. actress B. student C. **[singer]{.underline}** D. dancer
K
**抓住中心意思\-\-\-\--围绕什么话题 (在文章中出现频率最多的词)**
**◆**Every Thursday afternoon, my art history class meets not in our usual lecture hall ( 演讲厅 ) but in our university **[Art]{.underline}** Museum. We spend our one-hour class discussing two or there of the \_\_**\_1\_**\_\_, many of which are by **[artists]{.underline}** that we have already studied in class. The professor begins by selecting one \_\_\_2\_\_\_ of **[art]{.underline}**. After giving us a quick background on the **[artist]{.underline}** , he will open up for class \_\_\_3\_\_\_.
1\. A. subjects B. **[paintings]{.underline}** C. speeches D. lectures
**仅有技巧和词汇是不够的,高频答案词及短语,是突破的关键!但相当多的具体情况和难以处理的选项,做起来还是有些吃力,怎么办?**
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宾语从句是特殊疑问句WH-或whether/if**时,要选下列动词:**
ask, doubt, wonder, want to know, know, guess
**答题选动词:**
〖**2011·全国新课标卷**〗The professor [37]{.underline} the lecture hall, placed upon his desk a large jar filled with dried beans(豆), and invited the students to [** 38**]{.underline} **how many** beans the jar contained. After [39]{.underline} shouts of wildly wrong guesses the professor smiled a thin, dry smile, announced the [40]{.underline} answer, and went on saying, "You have just [41]{.underline} an important lesson about science.
38\. A．count B. guess C. report D. watch
考察动词，或根据后文wildly wrong **[guesses]{.underline}**的提示，考虑复现选B。
**反过来选**WH-或whether/if:
〖**2011·安徽卷**〗One afternoon. I walked into a building to **ask** [** 41**]{.underline} there were any job opportunities(机会)，The people there advised me not to continue my job search in that [42]{.underline} .
41\. A. why B. wherever C. whether D. whenever
一天，作者走进一座大楼去问"是否"(whether)有自己能做的工作。选C。A项为"为什么"；B项为"无论在那"；D项为"无论何时"
**怎么样?这样做题快吗**?
为了让您更加深信不疑,我们再免费发布一个法则,你可以马上用下列真题或你学校的模拟练习题来验证一下,好使,就要赶紧预定呦!每省仅限定10套,额满即!止
**正面的,积极的,肯定的, 还是负面的,消极的,否定的?**
**◆**"**I'm sorry**, but we have enough [27]{.underline} for the newspaper already. Come back next year and we'll talk then." Jenna smiled [** 28**]{.underline} and left. "Why is high school so [29]{.underline} ?" she **[sighed]{.underline}**.
**叹气sighed说明是勉强的,选消极的weakly**
28\. A. widely B. **weakly** C. excitedly D. brightly
**◆[Tired and sad]{.underline}**,she told her story [** 38**]{.underline} ,not to anyone in particular.
38.A.**tearfully** B.seriously C.carefully D.calmly
**◆**It seems funny that we are \_[40]{.underline}\_ for things, with which we are **unfamiliar** or about which we are \_**[41]{.underline}**\_, but we all, my friends as well as I, consider this one of life's \_[42]{.underline}\_ .
41\. A. **uncertain** B. unhappy C. not pleased D. careful
〖**2011·四川卷**〗I truly feel that my mother led me here, to Morzaine, and to my future as a happy wife and businesswoman. When Mum [21]{.underline} in October 2007, I was a cook.. In December that year. while I was working for a wedding, a pearl necklace Mum had left me [** 22**]{.underline} . I was **distraught（忧心如焚的）**.Some days later, I was [23]{.underline} that a guy who was working with us that day. "could probably have made a fortune [\\24]{.underline} he necklace he found." [25]{.underline} , he returned it.
22.A. burned B. **disappeared** C . broke D. dropped
22空就近distraught（忧心如焚的）是负的,只有disappear是负的；burn燃烧；break打破；drop降低，落下。有后文的我感到"忧心如焚"及"归还"（return）可知此处是指项链丢失了。B
〖**2011·安徽卷**〗Nearly ten minutes later, he [45]{.underline}, He asked me about my plans and **[encouraged]{.underline}** me to stay [** 46**]{.underline} . Then he offered to take me to Royal Oak to [47]{.underline} a job. **积极的!**
I was a little surprised. but had a [** 48**]{.underline} feeling about him. Along the way ,I realized that I had [49]{.underline} resumes(简历). Seeing this, the man [50]{.underline} at his business partner's office to make me fifteen [51]{.underline} copies. He also gave me some [52]{.underline} on dressing and speaking. I handed out my resumes and went home feeling very [** 53**]{.underline} . The following day, I received a [54]{.underline} from a store in Royal Oak **offering me a job**.
46\. A. silent B. busy C. **positive** D. comfortable
他问了问我的打算，鼓励我要振作起来，不要灰心。选C。A项为"沉默不语的"；B项为"忙绿的"；C项为"积极乐观的，有信心的"；D项为"舒适的，舒服的"。
48\. A. dull B. **good** C. guilty D. general
作者对他的主动帮助感到有点惊奇，但是对他充满了"好感" (good feeling)。选B。A项为"阴暗的，无趣的"；C项为"内疚的"；D项为"一般的，普通的"。
53\. A. lonely B. funny C. disappointed D. **satisfied**
我分发完简历回到家感到非常"满意"(satisfied)。选D。A项为"寂寞的，孤独的"；B项为"滑稽的，可笑的"；C项为"失望的，沮丧的"。
〖**2011·四川卷**〗Some days later, I was [23]{.underline} that a guy who was working with us that day. "could probably have made a fortune [24]{.underline} the necklace he found." [25]{.underline} , he returned it. Hearing how I'd [26]{.underline} Mum for six months before her **death**, he said, "Christmas is going to be [** 27**]{.underline} ---why not go out to the Alps for a couple of weeks?
> 27.A.long B. **hard** C. merry D. free
death.在27空附近是负的,B项对应。在万家团圆的圣诞节，母亲刚去世，对我来说一定很难熬。B
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号外！想揭秘高考出题者的答案最爱吗？想毫无顾忌地秒杀正确答案吗？梦想今天就可以成真！联想记忆法,词根记忆法,记忆树学词汇和右脑记忆法是挺好的,但就是学起来太累!而且还与答题语境和正确选项无关！好不容易记住了,考试却选错了!付出了100%却得不到5%的回报!另外，有些知名的英语考试专家，虽然发现了很多规律，但相当部分都是太复杂，好比又多学了一科哲学课程。那么，有没有既简单又易理解,还能在考试中立竿见影的学习秘诀呢？
继沈阳吴军老师2011-2012年推出的高分密码后，2012年他又创意出高考英语高频答案词一本通教案。这套系统教案在发布高频答案词的同时，又大量加入了11年来高考真题和模拟题做为考例并做出详尽的辨析和解析，另外还设计了过关试题并配备了答案。可以说，它是目前最简单,最迅捷的正确答案确认方式!学习不到考纲1/6词汇（还没有中考的词汇多），就使60-110分的同学和艺考生再也不会有"背得慢"、"背了老忘"和"老背不完"等老难题。不读文章直接做题，准确率80%以上；只读一遍，准确率达到95%！再配合语境答题技巧，准确率达到100%也不再是梦！解决了同学们"做题慢、浪费时间"和"准确率低"等困难。
**2011年末吴军高分英语巨献，2012高考提分最快、最in**
**2012高考英语高频答案词 高频考点 必考点**
**高频答案词一本通**
**目录：**
**一、单选、完形高频答案词**
**二、高频句型核心词**
**三、高频核心短语（以介词和副词为中心）**
**四、语法考点高频答案词**
**五、阅读词汇题及完形熟词僻义高频考点**
**六、吴军2012高考英语必考点解密**
**七、阅读高频答案词及其核心特征**
**完形高频答案词 可快速向标准答案靠拢!解决"发挥不稳定"及"看不懂短文或看懂了还错"的两大难题。**知道了第一类高频答案词就可以马上秒杀答案, 知道了第二类高频答案词,可快速缩小范围,在剩余两项中结合2012吴军高考英语高分密码快速对比,迅速做答!
drop**落下,掉下; 丢下,扔下**
(**2011·全国新课标卷**) "I remember feeling small and [54]{.underline} ，" the woman says，"and I did the only thing I could do．I [55]{.underline} the course that afternoon，and I haven't gone near science since．"
55\. A. **[dropped]{.underline}** B. started C. passed D. missed
（**2011·湖南卷**）My [37]{.underline} came one morning when I was in the community library. I passed by a girl who [38]{.underline} her books out of her locker .Thinking like most that someone else would help her pick them up, I continued my way.
38\. A. took B. **[dropped]{.underline}** C. got D. pulled
不管备选项是什么词,最终的答案始终是dropped, 您可以再试试更早的高考真题,领悟会更深!当然也可以多试一些正规的市级以上的模拟试题,可能意想不到的惊喜在等着您!
eventually =finally =at last**最后**
（**2011·湖北卷**）Then after receiving a [41]{.underline} from Saint Francis University, she got a job at an insurance firm and [** 42**]{.underline} started her own company.
42\. A. gradually B. actually C. **[eventually]{.underline}** D. naturally
**(2009·北京)**The day \_\_**50**\_ came when James counted his money and found ＄ 94. 32. He \_51\_\_ no time and went down to the shop to pick up the bicycle he wanted.
50\. A. **[finally]{.underline}** B. instantly C. normally D. regularly
**(2008·山东)**I would like to thank all of you who made the effort and [** 50**]{.underline} reported to work.It is always reassuring (令人欣慰),at times like these,when employees so clearly show their [51]{.underline} to their jobs.Thank you.
50.A.hardly B.casually C.absolutely D.**[eventually]{.underline}**
再试了这个后,你同样可以发现红花词还是我们总结的eventually 或finally,其他的都是绿叶词,欲想知道更多的一类秒杀高频答案词当然要预定2012吴军高频答案词一本通喽!
现在再看一下第二类高频答案词:realize 97%是完形答案,recognize是三类高频词,同时出现时要小心,应适当对比一下:
**(2010·全国Ⅰ)**Now I **[51]{.underline}** that in marriages, true love is [52]{.underline} of all that, The happiest people don't [53]{.underline} have the best of everything; they just [54]{.underline} the best of everything they have [.55]{.underline} isn't about how to live through the storm, but how to dance in the rain.
51\. A. **[realize]{.underline}** B. suggest C. hope D. prove
**(2008·四川)**When I was a child,my desire to win [34]{.underline} me well.As a parent,I [35]{.underline} that it got in my way.So I had to change.
35.A.**[realized]{.underline}** B.apologized C.imagined D.explained
**(2010·北京)**The shy, quiet freshman achieved success that year. I was [** 48**]{.underline} in the program as \"Student Art Assistant\" because of the time and effort I\'d put in. It was that year that I [** 49**]{.underline} I wanted to spend the rest of my life doing stage design.
48\. A. introduced B. **[recognized]{.underline}** C. identified D. considered
49\. A. confirmed B. decided C. **[realized]{.underline}** D. acknowledged
**2010**·北京高考英语卷中**recognized** 和**realized**分别在不同的选项,当然各选各的啦!关键是他们有时会同时出现,比如下面的**2009**年高考英语辽宁卷,那该怎么办?
**(2009·辽宁)** He did not contact(联系)his father for a whole year [45]{.underline} one day he saw in the street an old man who looked like his father. He [**46**]{.underline} he bad to go back home and see his father.
46\. A learned B **[realized]{.underline}接事** C **recognized接人** D admitted
**2009**年高考英语辽宁卷就出现了这种情况,不过没关系,我们在一本通教案中都做了相关词汇的辩析,就如同上面的一样,很容易就知道答案是B啦!
为了让您深信不疑,我们再举个例子, decide 95%是完形答案, know是三类高频词, 2011年福建卷和2010年辽宁卷毫无疑问选了**decided.** 关键是**2009**年辽宁卷**decide**和**know**两个词都出现了,该怎么办?
（**2011·福建卷**）When arriving in Canada in 2008,she had one [37]{.underline} ;to have what she had back Home in Colombia."I didn't want to [38]{.underline} what I do ,like so many who come to a new Country," she said ."I [** 39**]{.underline} to open a store here in Canada but knew I had to [40]{.underline} myself properly."
39\. A. demanded B. **[decided]{.underline}** C. agreed D. hesitated
**(2010·辽宁)**I really wondered why my aunt \_\_**43**\_ to make things so difficult for me. Now, after studying English at university for three years, I \_44\_\_ that monolingual dictionaries are \_\_45\_ in learning a foreign language
43.A．offered B．agreed C．**[decided]{.underline}** D．happened
**(2009·辽宁)**A young man was getting ready to graduate from college. For many months he had [36]{.underline} a beautiful sports car in a dealer's showroom, and [**37**]{.underline} his father could well [38]{.underline} it, he told him that was all he wanted.
37\. A finding B proving C **deciding** D **[knowing]{.underline}**
此题找到主语即动作发出者he时,代入两个词,He [ ]{.underline} his father......,他决定他父亲还是他知道他父亲?当然**[知道]{.underline}**通顺了,很快突破,选了D.
**词汇单选高频答案词 主要考词汇辩析,吴老师教你另类答题方法!**
actually **= in fact =as a matter of fact 事实上 强调时或看到插入语I think, I believe, there is时,选in fact或actually**.
◆As I found out, there is, **[46]{.underline}** , **[often]{.underline}** no perfect equivalence(对应)between two [47]{.underline} in two languages. **强调!**
46\. A. at least B. in fact C. at times D. in case
suddenly**突然**, **只要选项里出现,一般都是答案**!
◆What laughing [42]{.underline} we had about the [43]{.underline} respectable method for moving spaghetti from plate to mouth. [ ]{.underline} **44** [ ]{.underline} , I wanted to write about that, but I wanted to [45]{.underline} it down simply for my own [46]{.underline} , not for Mr. Fleagle, my composition teacher. [47]{.underline} , I would write something else.
44\. A. Especially B. Probably C. **[Suddenly]{.underline}** D. Fortunately
◆And so we [27]{.underline} for another ten minutes,until [** 28**]{.underline} my daughter burst into tears,and [29]{.underline} that she was beaten.
28.A.nervously B.immediately C.strangely D**[.suddenly]{.underline}**
**(2008·四川)**"If you're going to play it [26]{.underline} ,you're going to play it slowly."And so we [27]{.underline} for another ten minutes,until [** 28**]{.underline} my daughter burst into tears,and [29]{.underline} that she was beaten.
28.A.nervously B.immediately C.strangely D.**[suddenly]{.underline}**
gradually**逐渐地, [come to]{.underline} realize gradually [recover]{.underline} gradually ,即看到come to 或recover就选gradually.**
◆ [50]{.underline} , she insisted that I read the definition(定义)of a word in a monolingual dictionary [51]{.underline} I wanted to get a better understanding of its meaning. **[52]{.underline}** , I have **[come to]{.underline} see** what she meant.
52\. A. Largely B. Generally C. **[Gradually]{.underline}** D. Probably
**高频核心短语（以介词和副词为中心及连词搭配）**
**请看2011年福建卷中**after all 和above all都是高频短语答案词! 转折时用**after all**,并列或**[above all]{.underline} if......**时,用**above all**!
（**2011·福建卷**）Looking back, Diana, a fashion（时装）designer, [54]{.underline} her achievements to the goal she set, the education she received from the college, **and** [** 55**]{.underline} the efforts she made. Now Diana is very happy doing what she is doing.
55\. A. after all B. **[above all]{.underline}** C. at least D. at first
**And**时选**above all ,but**时选**after all.**方法很具体,很实在!是对2012吴军高考英语高分密码的细节补充!
**高频短语**either...or..., from...to..., between...and..., not...but..., would rather...than...**等是解决看不懂长句的法宝!**
（**2011·天津卷**）Your words became my motto. I [31]{.underline} found myself in the unique position of being **[either]{.underline}** the first (woman doctor in Maryland Rotary) [** 32**]{.underline} one of the few women (chief medical reporters) in my field. I gained strength every time I said , "Yes, I'll try that."
32\. A. and B. but C. or D. for
**通过搭配either......or......,很快作出2011年天津卷32题的答案是C.or.**
（**2011·北京卷**）With my [52]{.underline} self-confidence comes more praise from teachers and classmates. I have gone **[from]{.underline}** ["53"]{.underline} in the back of the classroom and not wanting to call attention to myself, [** 54**]{.underline} raising my hand--- even when I sometimes wasn't and not 100 percent [55]{.underline} I had the right answer. Now I have more self-confidence in myself.
54\. A. by B. for C. with D. to
**通过搭配from......to......,很快作出2011年天津卷32题的答案是D.to.**
**语法考点高频答案词** **避开语法的干扰，平均轻松多得3-7分！**
**Where是高频答案词!**
1.从属连词，引导地点状语从句。
The famous scientist grew up where he was born and in 1930 he came to Shanghai.
2.关系副词。用于定从。
There were dirty marks on her trousers where she had wiped her bands.
3.连接副词，用于名词性从句。
You are saying that everyone should be equal and this is where I disagree.
〖**2011陕西卷**〗I walked up to the top of the hill with my friends, [ ]{.underline} we enjoyed a splendid view of the lake.
A.which B. **[where]{.underline}** C. who D.that
〖**2010全国Ⅰ**〗We haven't discussed yet \_\_\_\_\_\_ we are going to place our new furniture.
A. that B. which C. what D. **[where]{.underline}**
〖**2010全国Ⅱ**〗---Have you finished the book?
\-\--No,I've read up to\_\_\_\_\_\_\_\_\_the children discover the secret cave.
A.which B.what C.that D.**[where]{.underline}**
〖**2010江苏**〗---I prefer shutting myself in and listening to music all day on Sundays.
---That's\_\_\_\_\_\_\_I don't agree. You should have a more active life.
A.**[where]{.underline}** B.how C.when D.what
〖**2010重庆**〗Today, we will begin \_\_\_\_\_we stopped yesterday so that no point will be left out.
A. when B. **[where]{.underline}** C. how D. what
〖**2009江苏**〗 [ ]{.underline} \_\_ unemployment and crime are high, it can be assumed that the latter is due to the former.
A. Before B. **[Where]{.underline}** C. Unless D. Until
**高频句型核心词 对完形和单选有快速突破作用,同时对作文造句起到立竿见影的功效!**
It's (There's ) no [use]{.underline} / [good]{.underline} doing.........
It's (There's) no [sense]{.underline} / [point]{.underline} (in) doing......
no wonder**难怪**
hurry**不着急**
doubt**毫无疑问**
excuse**没有理由(借口)**
way**决不**
delay**毫不犹豫**
〖**2008江苏**〗---I can't repair these until tomorrow, I'm afraid.
> ---That's OK, there's \_\_\_\_\_\_.
A. no problem B. no wonder C. no doubt D. no hurry
**no problem意思是 "没问题", 通常单独使用或用That's no problem；(It's) no wonder...意思是 "难怪"；There is no doubt...意思是 "毫无疑问"。**〖答案〗D
〖**2003北京**〗---\_\_\_\_\_I'm sorry I stepped outside for a smoke.I was very tired.
---There is no\_\_\_\_\_\_ for this while you are on duty.
A.reason B.excuse C.cause D.explanation
excuse理由、借口。说话人意为：你在值班的时候是没有任何理由出去的。reason原因；cause事情起因；explanation解释, 与句意不符。〖答案〗B
〖**2006全国Ⅱ**〗It is no [ ]{.underline} arguing with Bill because he will never change his mind.
A. use B. help C.time D.way
it is no use后接动词+ing形式或动词+ing形式短语表示做某事没有用。help意为 "帮助"。time意为 "时间"。way意为 "方法"。〖答案〗A
〖**2009福建**〗The World Health Organization gave a warning to the public **without any** \_\_\_\_\_\_ when the virus of H1N1 hit Mexico in April, 2009. **=with no [ ]{.underline}**
 A. delay B. effort C. schedule D. consideration
delay：耽搁, 延误；effort：努力；schedule：时间表；consideration：考虑, 体谅；关心。当H1N1型2009年4月袭击墨西哥时, 世界卫生组织毫不犹豫地向人们提出了警告。选A。
**阅读词汇题及完形熟词僻义高频考点**
**您知道的sense是\[感官\]的意思,point是\[小数点\]的意思,如果你不知道他们的僻义是\[意义\]的话,下面的高考完形真题,您能答对吗?**
（**2008·安徽卷**）What is the **[52]{.underline}** of studying towns in the way? For me, it is simply that one gets a greater depth of pleasure by visiting and seeing a town with one's own eyes. A personal visit to a town may help one better understand why it is attractive than just reading about it in a guide-book.
52\. A. **[point]{.underline}** B. view C. problem D. difficulty
（**2004·重庆卷**）"This scar will be lasting,but to this day, I have never regretted what I did."At this point, the little boy came out running toward his mother with tears in his eyes. He held her mother in his arms and felt a great [\_\_**54**\_\_\_\_]{.underline} of the sacrifice that his mother had made for him. He held her hand tightly for the tightly of the day.
54.A honor B.**[sense]{.underline}** C.happiness D.pride
**再举个例子serve是\[服务\]的意思, 如果你不知道他们的僻义是\[端饭, 端菜端酒等及 对......起作用\]的话, 下面的高考完形真题,您可能同样会选错的! 若想知道更多详尽的高频归纳请立即购买2012吴军高考英语高频答案词一本通教案!**
（**2008·四川卷**）\...Clearly I had made mistakes. I had started the evening wanting to have a happy time with my daughter but had allowed my desire to win to become more important than my relationship with my daughter. When I was a child, my desire to win [**34**]{.underline} me well. As a parent, I realized that it got in my way. So I had to change.
34 A offered B **[served]{.underline}** C controlled D taught
（**2006·全国卷I**）...A waiter appeared. He paused for just a second, walked into the water to set the table and take their order,and then walked back to the loud [ ]{.underline} cheers of the rest of his customers. Minutes later he returned carrying a bottle of wine and two glasses. Without pausing, he went once more into the water to [** 50**]{.underline} the wine.The couple toasted each other ,the waiter and the crowd...
50\. A. change B. drink C. sell D. **[serve]{.underline}**
（**2004·全国卷I**）It was the night before the composition was due. As I looked at the list of topics (题目) , \"The Art of Eating Spaghetti (意大利面条) \" caught my eye. The word \"spaghetti\" brought back the memory of an evening at Uncle Alien\' s in Belleville when all of us were seated around the table and Aunt Pat **[38]{.underline}** spaghetti for supper. Spaghetti was an exotic (外来的) treat in those days.
38 A cooked B **[served]{.underline}** C got D made
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**相似句型的对比!(详解略)**
**1.强调句与定语从句的对比**
\[1\] It was in this city \_\_\_\_\_\_ he was born.
\[2\] It was this city \_\_\_\_\_\_ he was born.
\[3\] It was in 1989 \_\_\_\_\_\_ he was born.
\[4\] It was 1989 \_\_\_\_\_ he was born.
A. where B. which C. that D. when
**CACD**
**2.与其他从句的对比**
\[1\] In my eyes, \_\_\_\_\_\_\_ is known to all \_\_\_\_\_ Chinese economy has taken off.
\[2\] \_\_\_\_\_\_ is known to all, Chinese economy has taken off.
\[3\] I took some medicine for the bad cold, but \_\_\_\_\_ didn't help.
\[4\] I took some medicine for the bad cold, \_\_\_\_\_\_ didn't help.
\[5\] I find \_\_\_\_\_\_ is a pity that he failed in the driving test.
A. which B. that C. it D. As
**\[1\] CB \[2\] D \[3\] C \[4\] A \[5\] C**
**3.与there be句型的对比**
\[1\] \_\_\_\_\_\_ is no doubt that China plays an important role in the world affairs.
\[2\] \_\_\_\_\_\_ is no/little wonder that Liu Xiang is a flying man in the world.
\[3\] \_\_\_\_\_\_ is no point in working on his PhD.
\[4\] \_\_\_\_\_\_ is no knowing where she is now.
A. There B. That C. It D. This
**ACAA**
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**表示可能的may和是might阅读高频答案词!**
(**2011湖北卷**)54.What lesson has the author learnt from his experience?
A. Learning form parents is necessary.
B. Jumping to a conclusion is dangerous.
C. Telling the truth **[may]{.underline}** not always be the best solution.
D. Selecting pleasant words **may** not be the perfect policy.
(**2010广东卷**)45. We can inter from the passage that Chinese English [ ]{.underline} . 
A. is clear and natural to non-native speakers
B. is vivid and direct to non-native speakers
C. has a verv bad reputation in America
D. **[may]{.underline}** bring inconvenience in America
W\_w w. k\*s\*5 u. c\@o m
(**2010江苏卷**)
62.According to those against killing wolves，when wolves eat other animals， [ ]{.underline} ．
A．they never eat strong and healthy ones
B．they always go against the law of nature
C．they **[might]{.underline}** help this kind of animals survive in nature
D．they disturb the ecological balance in the wilderness
**表示范围大的different和various是 阅读高频答案词!**
（**2011·重庆卷**）74. The author mentioned the review in Nature in order to\_\_\_\_.
A. voice a **[different]{.underline}** opinion
B. find fault with Lomborg's book
C. challenge the authority of the media
D. point out the value of scientific views.
（**2010·重庆卷**）What is surprising about the standard of the clothing industry?
A. It has been followed by the industry for over 400 years.
B. It is **[different]{.underline}** for men's clothing and women's.
C. It woks better with men than with women.
D. It fails to consider right-handed people.
（**2010江苏**）China's new high-speed railway plan will be a win-win project because [ ]{.underline}．
A．China will get much-needed resources and develop its western regions
B．China and the countries involved will benefit from the project in **[various]{.underline}** ways
C．China will develop its railway system and communication with other countries
D．the foreign countries involved will develop their railway transportation，business and tourism
（**2010广东卷**）From Paragraph 5,we can learn that [ ]{.underline}.
A. mushrooms should not be eaten
B. vegetables are safer than meat and seafood
C. natural poisons are more dangerous than chemicals
D. **[different]{.underline}** types of food should be handled **[differently]{.underline}**
（**2010江西卷**）What can be inferred from Paragraph 3?
A. Body language is unique to humans.
B. Animals express emotions just as humans do.
C. Humans have other powers of communication.
D. Humans are no **[different]{.underline}** from animals to some degree.
**表示难的difficult, hard (**trouble = difficulty)**是阅读高频答案词!**
（**2011·辽宁卷**）60. What is a problem with cyberschools?
A. Their equipment costs a lot of money.
B. They get little support from the state government.
C. It is **[hard]{.underline}** to know students\' progress in learning.
D. The students find it hard to make friends.
（**2010·重庆卷**）Women's clothes still button from the left today because [ ]{.underline} .
A. adopting men's style is improper for women
B. manufacturers should follow standards
C. modern women dress themselves
D. customs are **[hard]{.underline}** to change
（**2010·辽宁卷**）What is the researchers\' understanding of the New Zealand study results?
A. Poorly motivated 26-year-olds watch more TV.
B. Habits of TV watching reduce learning interest.
C. TV watching leads to lower education levels of the 15-year-olds.
D. The connection between TV and education levels is **[difficult]{.underline}** to explain
（**2010·四川卷**）Which is true about the warship patrols according to the text?
A．The patrols are of little effect.
B．The patrols are more **[difficult]{.underline}**.
C．More patrols are quite necessary even in Asia.
D．The patrols only drive the pirates to other areas.
（**2010·山东卷**）What can we learn from the last paragraph?
A. Fighting wastefulness is **[difficult]{.underline}**.
B. Needless material is mostly recycled.
C. People like collecting recyclable waste.
D. The author is proud of their consumer culture.
（**2010·浙江卷**）In his mother's eyes, the writer\_\_\_\_\_\_\_.
A. was a born artist
B. always caused **[trouble]{.underline}**
C. was a problem solver
D. worked very hard
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**诸葛亮既不会舞刀，也不会射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子. 草船借箭用扇子，借东风也是用扇子. 有人把"借东风"的意思弄肤浅了，以为东风就是东边来的风，其实，这里真正所指是"东吴"的风. 在赤壁大战中，刘备哪是曹操的对手，后来能把曹兵打败，借的就是东吴的力量.**
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**2020-2021学年辽宁省大连市甘井子区六年级（上）期末数学试卷**
**一、选择题（每题只有一个正确选项，共8小题，每题2分，共16分）**
1．（2分）一件商品八折出售比原来少获利200元，那么原来的售价为（ ）
A．400元 B．600元 C．800元 D．1000 元
2．（2分）要统计分析淘气和笑笑一到六年级每年身高变化情况，应选择（ ）
A．条形统计图 B．折线统计图
C．扇形统计图 D．复式折线统计图
3．（2分）在银行存了3年定期1000元，年利率为4.25%，到期后本息和为（ ）元。
A．1042.5 B．11375 C．1004.25 D．1127.5
4．（2分）两个同心圆，内圆半径2厘米，外圆半径4厘米，这两个圆间的环形面积是（ ）
A．4π*cm*^2^ B．8π*cm*^2^ C．12π*cm*^2^ D．16π*cm*^2^
5．（2分）一个立体图形，从正面看是，从上面看是，搭成这个立体图形最少需要（ ）个小正方体。
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2分）篮球的个数比足球的个数多，那么篮球与足球的比是（ ）
A．2：5 B．5：2 C．5：7 D．7：5
7．（2分）下列关于圆的说法正确的是（ ）
A．半径确定圆的位置
B．圆是轴对称图形
C．圆周率是周长与半径的比值
D．圆的对称轴是直径
8．（2分）一等腰三角形底角与顶角度数之比是2：1，这个三角形各内角度数是（ ）
A．36° 36° 72° B．45° 45° 90°
C．60° 60° 60° D．72° 72° 36°
**二、填空题（共8小题，每题2分，共16分）**
9．（2分）0.8＝[ ]{.underline}：[ ]{.underline}＝[ ]{.underline}%＝[ ]{.underline}（填最简分数）
10．（2分）求比值：
> ①0.12：6＝
>
> ②3：＝
11．（2分）一个细胞一分钟分裂为2个（原细胞不复存在），再过一分钟，每个细胞又分别分裂为2个，照这样规律分裂，5分钟后分裂成了[ ]{.underline}个细胞。
12．（2分）把一个圆分成若干等份，拼成一个近似的长方形，周长增加了6厘米，则圆的半径是[ ]{.underline}厘米，圆的面积是[ ]{.underline}平方厘米。
13．（2分）水结成冰以后体积会增加10%，冰化成水以后体积减少百分之几？列式为[ ]{.underline}，结果保留小数点后一位是[ ]{.underline}。
14．（2分）长方形菜地长与宽的比为3：2，让菜地的长靠墙，这样围上篱笆需要140米，那么长方形菜地的长是[ ]{.underline}米，长方形菜地的面积是[ ]{.underline}平方米。
15．（2分）疫情原因，大连体育场成为中超集中比赛场地，共八支足球队在这里参加比赛，每两支球队比赛一场，每支球队比赛[ ]{.underline}场，一共比赛[ ]{.underline}场。
16．（2分）淘气一家周末徒步去某户外场所游玩儿，6时后到达目的地游玩儿后返回家中。从如图中可以看出游玩时间为[ ]{.underline}时，返程的速度是[ ]{.underline}千米/时。
> 
**三、计算题（共3小题，满分30分）**
17．（9分）解方程。
------------------- ------------------------------------------------ -----------------------------------------------------------------------------
①*x*﹣20%*x*＝160 ②*x*+*x*＝80 ③*x*÷＝
------------------- ------------------------------------------------ -----------------------------------------------------------------------------
18．（12分）脱式计算，能简算的要简算.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------
①×÷（﹣） ②÷+× ③48×（）
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------
19．（9分）已知圆的周长为62.8厘米（如图），按要求计算。
> ①求正方形周长。
>
> ②求空白部分面积。
>
> 
**四、操作题（共2小题，满分8分）**
20．（5分）画一个半径为2*cm*的圆，在圆内画一个最大的正方形，求正方形的面积．
21．（3分）观察物体，在方格中画出你看到的形状。
**五、解决问题（共5小题，30分）**
22．（6分）一种优质挂面，成分只有鸡蛋和面粉，鸡蛋和面粉的质量比是1：40。现有1200千克面粉，可以生产多少千克挂面？
23．（6分）一个直径为10米的圆形苗圃。
> ①在苗圃的外围要铺上一圈宽2米的石子小路，小路的面积是多少？
>
> ②要在小路的外边围上一圈篱笆，至少需要篱笆多少米？
24．（6分）中心小学六年级有女生120人，女生的人数比男生的人数少20%，中心小学六年级有男生多少人？
25．（6分）农业基地里的樱桃树比苹果树少350棵，樱桃树与苹果树的棵数比是3：5，基地里的樱桃树和苹果树各有多少棵？
26．（6分）如图，把一个圆分成若干等份后，可以拼成近似的长方形。
> ①拼成的图形与原来的圆之间有什么联系？推导一下圆的面积计算公式。
>
> ②请你再想一种圆的面积计算公式推导方法，并且画图说明对应关系和推导过程。
>
> 
**2020-2021学年辽宁省大连市甘井子区六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（每题只有一个正确选项，共8小题，每题2分，共16分）**
1．【分析】八折是指现价是原价的80%，把原价看成单位"1"，它的（1﹣80%）就是现在少获利的钱数200元，由此用除法求出原价。
> 【解答】解：八折＝80%，
>
> 200÷（1﹣80%）
>
> ＝200÷20%
>
> ＝1000（元）
>
> 答：这件商品的原价是1000元。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】本题关键是理解打折的含义：打几折，现价就是原价的百分之几十。
2．【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可。
> 【解答】解：要统计分析淘气和笑笑一到六年级每年身高变化情况，应选择复式折线统计图。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答。
3．【分析】先根据利息＝本金×时间×利率求出利息，用然后再加上本金即可。
> 【解答】解：1000+1000×4.25%×3
>
> ＝1000+127.5
>
> ＝1127.5（元）
>
> 答：到期后本息和为1127.5元。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】这种类型属于利息问题，运用关系式"本息＝本金+本金×年利率×时间"，找清数据与问题，代入公式计算即可。
4．【分析】根据环形面积公式：*S*＝π（*R*^2^﹣*r*^2^），把数据代入公式解答。
> 【解答】解：π（4^2^﹣2^2^）
>
> ＝π（16﹣4）
>
> ＝12π（平方厘米）
>
> 答：这两个圆间的环形面积是12π平方厘米。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
5．【分析】从正面看到，说明立体图形有两列两层，第二层两列都有；从上面看，说明立体图形有两行，前面一行有两个小立方体，后面一行有一个小立方体，右对齐，所以，左边一列的第二层只有一个小立方体，右面一列的第二层可能有1个或两个小立方体，据此计算。
> 【解答】解：第一层有：2+1＝3（个）
>
> 第二层最少有两个，
>
> 3+2＝5（个）
>
> 答：最少需要5个小正方体。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题主要考查了从不同方向观察物体和几何体，读懂三视图是本题解题的关键。
6．【分析】已知篮球的个数比足球的个数多，把足球的个数看作单位"1"，篮球的个数相当于足球个数的（1），再根据比的意义解答即可。
> 【解答】解：（1）：1
>
> ＝：1
>
> ＝7：5
>
> 答：篮球与足球的比是7：5。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握比的意义及应用。
7．【分析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是直径所在的直线。再根据圆周率的意义，圆周率是圆的周长与直径的比值。据此解答即可。
> 【解答】解：*A*.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。因此，半径确定圆的位置。此说法错误。
>
> *B*.圆是轴对称图形。此说法正确。
>
> *C*.圆周率是圆的周长与直径的比值。因此，圆周率是周长与半径的比值。此说法错误。
>
> *D*.圆的对称轴是直径所在的直线。因此，圆的对称轴是直径。此说法错误。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解圆周率的意义，轴对称图形的特点及应用，明确：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
8．【分析】由等腰三角形的特点可知：它的三个内角的度数比为2：2：1，总份数是：2+2+1＝5，这个三角形的顶角占内角和的，底角占内角和的；依据三角形的内角和是180°和分数乘法的意义，即可求解。
> 【解答】解：2+2+1＝5
>
> 180×＝36（度）
>
> 180×＝72（度）
>
> 答：这个三角形的两个底角分别是72度，顶角是36°。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】解答此题的主要依据是：等腰三角形的特点、三角形的内角和是180度、按比例分配的方法。
**二、填空题（共8小题，每题2分，共16分）**
9．【分析】把0.8化成分数并化简是；根据比与分数的关系＝4：5；把0.8的小数点向右移动两位添上百分号就是80%。
> 【解答】解：0.8＝4：5＝80%＝。
>
> 故答案为：4，5，80，。
>
> 【点评】此题主要是考查小数、分数、百分数、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。
10．【分析】用比的前项除以后项即可解答。
> 【解答】解：①0.12：6
>
> ＝0.12÷6
>
> ＝0.02
>
> ②3：
>
> ＝3÷
>
> ＝5
>
> 【点评】此题主要考查了求比值的方法，求比值的结果是一个商，可以是整数，小数或分数。
11．【分析】根据规律一个细胞一分钟分裂为2个（原细胞不复存在），依次列举出5分钟后分裂成了多少个细胞即可。
> 【解答】解：第一分钟：2个
>
> 第二分钟：2×2＝4（个）
>
> 第三分钟：2×2×2＝8（个）
>
> 第四分钟：2×2×2×2＝16（个）
>
> 第五分钟：2×2×2×2×2＝32（个）
>
> 答：5分钟后分裂成了32个细胞。
>
> 故答案为：32。
>
> 【点评】先找到规律，再根据规律求解。
12．【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆平均分成若干份（偶数份），沿半径剪开拼成一个近似的长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，已知把一个圆剪拼成一个近似长方形，周长增加了6厘米，周长增加的6厘米就是两条半径的长度，据此可以求出半径，再根据圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：6÷2＝3（厘米）
>
> 3.14×3^2^
>
> ＝3.14×9
>
> ＝28.26（平方厘米）
>
> 答：圆的半径是3厘米，圆的面积是28.26平方厘米。
>
> 故答案为：3、28.26。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用。
13．【分析】由水结成冰，体积会增加10%，是把水的体积看成单位"1"，冰的体积是水的1+10%＝110%；要求冰化成水，体积会减少几分之几，是把冰的体积看成单位"1"，就用体积减少的部分除以单位"1"的量冰的体积即可。
> 【解答】解：冰的体积是水的：1+10%＝110%
>
> 冰化成水，体积会减少：10%÷（1+10%）
>
> ＝10%÷110%
>
> ≈9.1%
>
> 答：列式为10%÷（1+10%），结果保留小数点后一位是9.1%
>
> 。
>
> 故答案为：10%÷（1+10%）；9.1%。
>
> 【点评】解答此题的关键是分清两个单位"1"，找清各自以谁为标准，再根据基本的数量关系求解；也可以根据单位"1"的量不同，即使具体的数量相同，对应的分率也不一定相同。
14．【分析】长方形的长与宽的比是3：2，根据比与分数的关系可知：两条长占了周长的，两条宽占了周长的，先乘140，再除以2，就是一条长和宽的长，然后再根据长方形的面积公式求出它的面积。
> 【解答】解：140×÷2
>
> ＝140×÷2
>
> ＝42（米）
>
> 140×÷2
>
> ＝140×÷2
>
> ＝28（米）
>
> 42×28＝1176（平方米）
>
> 答：长方形菜地的长是42米，长方形菜地的面积是1176平方米。
>
> 故答案为：42；1176。
>
> 【点评】本题的关键是根据按比例分配的计算方法求出长方形的长和宽，再根据面积公式进行计算。
15．【分析】每两个球队都要比赛一场，即进行循环赛制，则每个球队都要和其他7个队各赛一场，所有球队共参赛：8×（8﹣1）＝56场，由于每场比赛是在两个队之间进行的，所以一共要赛：56÷2＝28场。
> 【解答】解：8﹣1＝7（场）
>
> 8×（7﹣1）÷2
>
> ＝56÷2
>
> ＝28（场）
>
> 答：每支球队比赛7场，一共比赛28场。
>
> 故答案为：7，8。
>
> 【点评】在循环赛中，参赛人数与比赛场数的关系为：比赛场数＝人数×（人数﹣1）÷2。
16．【分析】通过观察统计图可知，游玩的时间是4小时，返回用了2小时，根据速度＝路程÷时间，据此列式解答。
> 【解答】解：5÷2＝2.5（千米/时）
>
> 答：游玩的时间是4时，返回的速度是2.5千米/时。
>
> 故答案为：4、2.5。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
**三、计算题（共3小题，满分30分）**
17．【分析】①先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以80%求解；
> ②先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以求解；
>
> ③根据等式的性质，方程两边同时乘上求解。
>
> 【解答】解：①*x*﹣20%*x*＝160
>
> 80%*x*＝160
>
> 80%*x*÷80%＝160÷80%
>
> *x*＝200
>
> ②*x*+*x*＝80
>
> *x*＝80
>
> *x*÷＝80÷
>
> *x*＝48
>
> ③*x*÷＝
>
> *x*÷×＝×
>
> *x*＝1
>
> 【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。
18．【分析】①先算小括号里面的减法，再算乘法，最后算除法；
> ②、③根据乘法分配律进行简算。
>
> 【解答】解：①×÷（﹣）
>
> ＝×÷
>
> ＝÷
>
> ＝2
>
> ②÷+×
>
> ＝×+×
>
> ＝（+）×
>
> ＝1×
>
> ＝
>
> ③48×（）
>
> ＝48×+48×﹣48×
>
> ＝28+64﹣30
>
> ＝62
>
> 【点评】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
19．【分析】①正方形的边长等于圆的直径，根据圆的周长公式：*C*＝π*d*，那么*d*＝*C*÷π，据此求出直径，再根据正方形的周长公式：*C*＝4*a*，把数据代入公式解答。
> ②空白部分的面积等于正方形的减去圆的面积，根据正方形的面积公式：*S*＝*a*^2^，圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，把数据代入公式解答。
>
> 【解答】解：62.8÷3.14＝20（厘米）
>
> 20×4＝80（厘米）
>
> 答：正方形的周长是80厘米。
>
> （2）20×20﹣3.14×（20÷2）^2^
>
> ＝400﹣3.14×100
>
> ＝400﹣314
>
> ＝86（平方厘米）
>
> 答：空白部分的面积是86平方厘米。
>
> 【点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式、正方形的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
**四、操作题（共2小题，满分8分）**
20．【分析】先确定圆心，以2厘米长为半径画圆即可；
> 在圆中所画最大正方形的对角线应该等于圆的直径，圆的半径已知，从而可以求出这个正方形的面积．
>
> 【解答】解：作图如下：
>
> 
>
> 2*r*×*r*÷2×2
>
> ＝2*r*×*r*
>
> ＝2×2×2
>
> ＝8（平方厘米）．
>
> 答：正方形的面积是8平方厘米．
>
> 【点评】此题考查了圆的画法．抓住圆的两大要素：圆心和半径．即可解决此类问题．第二问的关键是明白：最大正方形的对角线应该等于圆的直径，从而逐步求解．
21．【分析】这个立体图形由5个相同的小正方体组成。从正面能看到4个相同的小正方形，分两层，上层1个，下层3个，右齐；从上面看到的形状与从正面看到的相同；从左面能看到3个相同的小正方形，分两层，上层1个，下层2个，左齐。
> 【解答】解：
>
> 
>
> 【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形。
**五、解决问题（共5小题，30分）**
22．【分析】先用1200除以40求出每份的质量，然后在乘总份数（1+40）即可求可以生产多少千克挂面。
> 【解答】解：1200÷40＝30（千克）
>
> 30×（1+40）
>
> ＝30×41
>
> ＝1230（千克）
>
> 答：可以生产1230千克挂面。
>
> 【点评】本题考查了按比例分配应用题，这种类型的应用题关键根据两个数（或三个数）的比求出总数量对应的份数和，然后用除法求出一份的量，再乘两个数（或三个数）各自所占的份数，即可解决问题。
23．【分析】①根据环形面积公式：*S*＝π（*R*^2^﹣*r*^2^），把数据代入公式解答。
> ②根据圆的周长公式：*C*＝π*d*，把数据代入公式解答。
>
> 【解答】解：①10÷2＝5（米）
>
> 5+2＝7（米）
>
> 3.14×（7^2^﹣5^2^）
>
> ＝3.14×（49﹣25）
>
> ＝3.14×24
>
> ＝75.36（平方米）
>
> 答：小路的面积是75.36平方米。
>
> ②10+2+2＝14（米）
>
> 3.14×14＝43.96（米）
>
> 答：至少需要篱笆43.06米。
>
> 【点评】此题主要考查环形面积公式、圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
24．【分析】把男生人数看作单位"1"，则女生人数就是（1﹣20%），已知该校六年级有女生120人，根据百分数除法的意义，用女生人数除以（1﹣20%）就是男生人数。
> 【解答】解：120÷（1﹣20%）
>
> ＝120÷80%
>
> ＝150（人）
>
> 答：中心小学六年级有男生150人。
>
> 【点评】此题是考查百分数除法意义及应用。已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的百分率。
25．【分析】由题意可知，樱桃树比苹果树的棵数少（5﹣3）份，已知樱桃树比苹果树少350棵，把350棵平均分成（5﹣3）份，先用除法求出1份的棵数，再用乘法分别求出3份（樱桃树）、5份（苹果树）棵数。
> 【解答】解：350÷（5﹣3）
>
> ＝350÷2
>
> ＝175（棵）
>
> 175×3＝525（棵）
>
> 175×5＝875（棵）
>
> 答：基地里的樱桃树525棵，苹果树875棵。
>
> 【点评】此题属于按比例分配问题。由题意可知，樱桃树比苹果树的棵数少（5﹣3）份，又知樱桃树比苹果树少350棵，关键是求出1份的棵数，进而求出3份、5份的棵数。
26．【分析】①根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆平均分成若干份（偶数份），沿半径剪开后排出一个近似数的长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，因为长方形的面积＝长×宽，所以圆的面积＝π*r*×*r*＝π*r*^2^。
> ②把这个圆平均分成16个扇形，把这16个扇形剪开。设这个圆的半径为*r*，则这个圆的周长为2π*r*，每个扇形的弧长是π*r*。这些扇形组成一个近似的梯形，梯形的面积等于这个圆面积。由梯形的面积公式推导出圆的面积公式。
>
> 【解答】解：①如图：把一个圆平均分成若干份（偶数份），沿半径剪开后拼成一个近似数的长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，因为长方形的面积＝长（π*r*）×宽（*r*），所以圆的面积＝π*r*×*r*
>
> ＝π*r*^2^。
>
> ②如图：
>
> 把一个圆平均分成16个扇形，把这16个扇形剪开，拼成一个近似的梯形。设这个圆的半径为*r*，则这个圆的周长为2π*r*，每个扇形的弧长是π*r*。这些扇形组成一个近似的梯形，梯形的面积等于这个圆面积。
>
> 梯形的上底是π*r*×3＝π*r*，下底是π*r*×5＝π*r*，高是2*r*。
>
> 其面积是：（π*r*+π*r*）×2*r*÷2
>
> ＝π*r*×2*r*÷2
>
> ＝2π*r*^2^÷2
>
> ＝π*r*^2^。
>
> 
>
> 
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用。
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日期：2021/4/27 16:02:19；用户：18538596816；邮箱：18538596816；学号：27024833
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第四单元演练
一、填空题。
1.在括号里填上"每时生产零件个数""生产时间"或"生产零件总数"。\[来源:学,科,网\]
( )一定,( )和( )成反比例;
( )一定,( )和( )成正比例。
2.4∶5=( )÷15=$\frac{16}{\text{( )}}$=( )%
$$3\text{.}A \times \frac{1}{3} = 2 \times \frac{1}{B}\text{(}A \neq 0\text{,}B \neq 0\text{),则}A\text{和}B\text{成( )比例。}$$
4.一个比例的两个外项互为倒数,其中一个内项是3,另一个内项是( )。
5.总价÷数量=单价(一定)。( )和( )是两种相关联的量,( )变化,( )也随着变化。而总价{width="1.7361111111111112e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}和数量相对应的比值一定,也就是( )一定,所以总价和数量{width="2.2222222222222223e-2in" height="1.875e-2in"}成( )比例。
6.已知*A÷B=C*(*B*≠0{width="1.7361111111111112e-2in" height="2.4305555555555556e-2in"}),当*A*一定时,*B*和*C*成(* *)比例;当*B*一定时,*A*和*C*成(* *)比例;当*C*一定时,*A*和*B*成(* *{width="1.5277777777777777e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}* *)比例。
7.某地上午10时电线杆的高度与地上留下影子的长度比是4∶3,已知影子长6米,电线杆的高度是( )米。
二、判断题。(对的画"√",错的画"✕")
1.圆的周长和它的面积成正比例。 ( )
2.两种相关联的量,不是成正比例就是成反比例。 ( )
3.人的身高和{width="2.5694444444444443e-2in" height="1.5277777777777777e-2in"}跳的高度成正比例。 ( )
4.当圆柱的高一定时,底面周长和侧面积成正比例。 ( )
5.圆的半径和它的面积成正比例。 ( )
三、选择题。(把正确答案的序号填在括号里)\[来源:学科网\]
1.与$\frac{1}{2}$∶$\frac{1}{5}$能组成比例的是( )。
A.$\frac{1}{5}$∶$\frac{1}{2}$ B. 2∶5 C. 5∶2
2.人的体重和身高( )。
A.不成比例 B.成正比例 C{width="1.5277777777777777e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"}.成反比例
3.圆锥的体积一定,底面积和高( )。
A.不成比例 B.成正比例 C.成反比例
4.一辆车的车轮转动的转数和所行的路程( )。
A.不成{width="2.2222222222222223e-2in" height="2.2222222222222223e-2in"}比例 B.成正比例 C.成反比例
5.*B×*$\frac{1}{5}$*=*3*×*$\frac{1}{A}$(*A*≠0,*B*≠0),则*A*、*B*(* *)。
A.不成比例 B.成正比例 C.成反比例
四、解比例。
15*∶x=*7*∶*28 * *$\frac{3}{4}$*∶x=*0*.*25*∶*8
$\frac{x}{15}$*=*$\frac{30}{18}$ $\frac{1}{4}$*∶*$\frac{5}{6}$*=x∶*$\frac{11}{3}$
五、填写表格。
1*.*根据$\frac{y}{x}$*=*20填写下表。
----- ---- ------- ---- --- ----- ------- -----
*y* 40 80 110 150
*x* 1*.*5 5 6*.*5
----- ---- ------- ---- --- ----- ------- -----
2*.*根据*xy=*48填写下表。
----- ---- --- ------- ------- ----- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
*y* 12 0*.*5 120 240
*x* 6 7*.*5 {width="1.875e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}8
----- ---- --- ------- ------- ----- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
六、解决问题。
1.一辆汽车在公路上行驶,行驶的时间和路程如图。
{width="2.1395833333333334in" height="1.5694444444444444in"}
(1)10时行驶多少千米?
(2){width="1.5277777777777777e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}行驶600千米要多少时?
2.一箱啤酒12瓶。
(1)请完成下表。
-------- ---- --- --- --- -----
箱 数 1 2 3 4 ...
总瓶数 12 ...
-------- ---- --- --- --- -----
(2)根据表中数据,在图中描出箱数和总瓶数对应的点,再把它们按顺序连接起来。
{width="2.40625in" height="1.35in"}
(3)根据图象判断,啤酒的总瓶{width="2.2222222222222223e-2in" height="1.5277777777777777e-2in"}数和箱数成什么比例?为什么?
(4)8箱啤酒{width="1.3888888888888888e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}有多少瓶?144瓶啤酒可以装多少箱?
3.修一条水渠,每天修的米数和所需要的天数如下表。\[来源:Z。xx。k.Com\]
---------------- ------------------- ---- ---- -----
每天修的米数/m 10 20 30 40
需要的天数/天 30\[来源:学科网\] 15 10 7.5
---------------- ------------------- ---- ---- -----
(1)每天修的米数和所需要的天数有什么关系?
(2)如果每天修15m,修完这条水渠共需要多少天?
(3)修完这条水渠一共用了25天,每天修多少米?
第四单元演练答案
一、1.生产零件总数 每时生产零件个数 生产时间 每时生产零件个{width="1.6666666666666666e-2in" height="1.875e-2in"}数 生产零件总数 生产时间(生产时间 生产零件总数 每时生产零件个数)
2.12 20 80
3.反
4.$\frac{1}{3}$
5.总价 数量 总价 数量 单价 正
6.反 正 正\[来源:学。科。网\]
7.8
二、1.✕ 2.✕ 3.✕ 4. √ 5{width="1.5277777777777777e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}.✕
三、1.C 2.A 3.C 4.B 5.C
四、*x=*60* x=*24* x=*25* x=*$\frac{11}{10}$
五、1.30 100 130 2 4 5.5 7.5
2.8 6.4 6 4 96 0.4 0.2
六、1.(1)10×80=800(千米)
{width="1.6666666666666666e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}(2)600÷80=7.5(时)
2.(1)2{width="2.4305555555555556e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}4 36 48 (2)略
(3)正比例 因为它们的比值一定
(4)96瓶 12箱
3.(1)每天修的米数和所需要的天数成反比例。 (2)20天 (3)12m
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第1单元 第****四节：开会啦**
一、算一算。
14-6= 4+3= 13-2=
6+3= 12-7=
\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
二、把下面的式子按得数从小到大排列。
12-7 8+5 13-6  5+9 17-8 10-0
\_\_\_\_\_\_＜\_\_\_\_\_\_＜\_\_\_\_\_\_＜\_\_\_\_\_\_＜\_\_\_\_\_\_＜\_\_\_\_\_\_
三、用数学
（1）小明买书还差多少钱
（2）猫妈妈钓了多少条鱼？\[来源:Z,xx,k.Com\]
\[来源:Zxxk.Com\]
（3）小明和小奇共条了多少下？
答案
一、算一算。
14-6=8 4+3=7 13-2=11
6+3=9 12-7=5
二、把下面的式子按得数从小到大排列。
12-7＜13-6＜17-8＜10-0＜8+5＜5+9
三、用数学
（1）15-9=6元 答：小明买书还差6钱。
（2）12-4=8条 答：猫妈妈钓了8条鱼。\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
（3）7+8=15下 答：小明和小奇共跳了15下。
\[来源:学科网ZXXK\]
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**2019年广西梧州市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.）**
1．（3分）（2019•梧州）的倒数是
A． B．6 C． D．
2．（3分）（2019•梧州）下列计算正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•梧州）一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体
4．（3分）（2019•梧州）下列函数中，正比例函数是
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•梧州）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•梧州）直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•梧州）正九边形的一个内角的度数是
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•梧州）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，，则的周长是
A．12 B．13 C．14 D．15
9．（3分）（2019•梧州）不等式组的解集在数轴上表示为
A． B．
C． D．
10．（3分）（2019•梧州）某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82．下列关于这组数据的描述不正确的是
A．众数是108 B．中位数是105 C．平均数是101 D．方差是93
11．（3分）（2019•梧州）如图，在半径为的中，弦与交于点，，，，则的长是
A． B． C． D．
12．（3分）（2019•梧州）已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）**
13．（3分）（2019•梧州）计算：[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•梧州）如图，已知在中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，且，则的长度是[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•梧州）化简：[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•梧州）如图，中，，于点，于点，与交于点，则[ ]{.underline}度．
17．（3分）（2019•梧州）如图，已知半径为1的上有三点、、，与交于点，，，则阴影部分的扇形面积是[ ]{.underline}．
18．（3分）（2019•梧州）如图，在菱形中，，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共8小题，满分66分.）**
19．（6分）（2019•梧州）计算：．
20．（6分）（2019•梧州）先化简，再求值：，其中．
21．（6分）（2019•梧州）解方程：．
22．（8分）（2019•梧州）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点的横坐标；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点的纵坐标．
（1）用列表法或树状图法，列出点的所有可能结果；
（2）求点在双曲线上的概率．
23．（8分）（2019•梧州）如图，在中，，为上一点，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
24．（10分）（2019•梧州）我市某超市销售一种文具，进价为5元件．售价为6元件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为元件，且是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为元．
（1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
25．（10分）（2019•梧州）如图，在矩形中，，，平分，分别交，的延长线于点，；连接，过点作，分别交，于点，．
（1）求的长；
（2）求证：．
26．（12分）（2019•梧州）如图，已知的圆心为点，抛物线过点，与交于、两点，连接、，且，、两点的纵坐标分别是2、1．
（1）请直接写出点的坐标，并求、的值；
（2）直线经过点，与轴交于点．点（与点不重合）在该直线上，且，请判断点是否在此抛物线上，并说明理由；
（3）如果直线与相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．
**2019年广西梧州市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.）**
1．（3分）的倒数是
A． B．6 C． D．
【考点】倒数
【分析】根据倒数的定义，的倒数是，据此即可求解．
【解答】解：的倒数是：．
故选：．
2．（3分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【考点】幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；合并同类项
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，正确；
、，故此选项错误；
故选：．
3．（3分）一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体
【考点】简单几何体的三视图；由三视图判断几何体
【分析】根据几何体的主视图和左视图都是矩形，得出几何体是柱体，再根据俯视图为圆，易判断该几何体是一个圆柱．
【解答】解：一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，符合这个条件的几何体只有圆柱，因此这个几何体是圆柱体．
故选：．
4．（3分）下列函数中，正比例函数是
A． B． C． D．
【考点】正比例函数的定义
【分析】直接利用正比例函数以及反比例函数、二次函数、一次函数的定义分别分析得出答案．
【解答】解：、，是正比例函数，符合题意；
、，是反比例函数，不合题意；
、，是二次函数，不合题意；
、，是一次函数，不合题意；
故选：．
5．（3分）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是
A． B． C． D．
【考点】钟面角
【分析】根据钟面分成12个大格，每格的度数为即可解答．
【解答】解：钟面分成12个大格，每格的度数为，
钟表上10点整时，时针与分针所成的角是．
故选：．
6．（3分）直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是
A． B． C． D．
【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】直接利用一次函数平移规律进而得出答案．
【解答】解：直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是：．
故选：．
7．（3分）正九边形的一个内角的度数是
A． B． C． D．
【考点】多边形内角与外角
【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
【解答】解：该正九边形内角和，
则每个内角的度数．
故选：．
8．（3分）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，，则的周长是
A．12 B．13 C．14 D．15
【考点】线段垂直平分线的性质
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案．
【解答】解：是的边的垂直平分线，
，
，，
的周长是：．
故选：．
9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为
A． B．
C． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：，
由①得：；
由②得：，
不等式组的解集为，
表示在数轴上，如图所示：
故选：．
10．（3分）某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82．下列关于这组数据的描述不正确的是
A．众数是108 B．中位数是105 C．平均数是101 D．方差是93
【考点】众数；算术平均数；中位数；方差
【分析】把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，求出众数、中位数、平均数和方差，即可得出结论．
【解答】解：把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，
众数是108，中位数为，平均数为，
方差为；
故选：．
11．（3分）如图，在半径为的中，弦与交于点，，，，则的长是
A． B． C． D．
【考点】垂径定理；勾股定理
【分析】过点作于点，于，连接、，由垂径定理得出，，得出，由勾股定理得出，
证出是等腰直角三角形，得出，，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案．
【解答】解：过点作于点，于，连接、，如图所示：
则，，
，
在中，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在中，，
；
故选：．
12．（3分）已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【考点】抛物线与轴的交点；根与系数的关系；根的判别式
【分析】可以将关于的方程的解为，看作是二次函数与轴交点的横坐标，而与轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，即可以求出与，当函数值时，就是抛物线位于轴上方的部分所对应的的取值范围，再根据，做出判断．
【解答】解：关于的一元二次方程的解为，，可以看作二次函数与轴交点的横坐标，
二次函数与轴交点坐标为，，如图：
当时，就是抛物线位于轴上方的部分，此时，或；
又
，；
，
故选：．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）**
13．（3分）计算：[ 2 ]{.underline}．
【考点】立方根
【分析】根据立方根的定义即可求解．
【解答】解：
故答案为：2．
14．（3分）如图，已知在中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，且，则的长度是[ 8 ]{.underline}．
【考点】三角形中位线定理
【分析】利用三角形中位线定理求得，．
【解答】解：如图，中，、分别是、的中点，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
故答案为：8．
15．（3分）化简：[ ]{.underline}．
【考点】分式的加减法
【分析】直接将分式的分子分解因式，进而约分得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
16．（3分）如图，中，，于点，于点，与交于点，则[ 61 ]{.underline}度．
【考点】平行四边形的性质
【分析】直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
则，
，
，
．
故答案为：61．
17．（3分）如图，已知半径为1的上有三点、、，与交于点，，，则阴影部分的扇形面积是[ ]{.underline}．
【考点】圆周角定理；扇形面积的计算
【分析】根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：，，
，
，
，
，
阴影部分的扇形面积，
故答案为：．
18．（3分）如图，在菱形中，，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是[ ]{.underline}．
【考点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；菱形的性质
【分析】连接交于，由菱形的性质得出，，，，，由直角三角形的性质求出，，得出，由旋转的性质得：，，得出，证出，由直角三角形的性质得出，，即可得出结果．
【解答】解：连接交于，如图所示：
四边形是菱形，
，，，，，
，
，
，
由旋转的性质得：，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，，
；
故答案为：．
**三、解答题（本大题共8小题，满分66分.）**
19．（6分）计算：．
【考点】有理数的混合运算
【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
20．（6分）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
21．（6分）解方程：．
【考点】解分式方程
【分析】直接利用分式方程的解法解方程得出答案．
【解答】解：方程两边同乘以得：，
则，
，
解得：，，
检验：当时，，故不是方程的根，
是分式方程的解．
22．（8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点的横坐标；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点的纵坐标．
（1）用列表法或树状图法，列出点的所有可能结果；
（2）求点在双曲线上的概率．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法
【分析】根据摸秋规则，可借助树状图表示所有的情况数，然后再根据坐标，找出坐标满足的点的个数，由概率公式可求．
【解答】解：（1）用树状图表示为：
点的所有可能结果；，，，，，，共六种情况．
（2）在点的六种情况中，只有，，两种在双曲线上，
；
因此，点在双曲线上的概率为．
23．（8分）如图，在中，，为上一点，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
【考点】解直角三角形
【分析】（1）根据，可设，得，再由勾股定理列出的方程求得，进而由勾股定理求；
（2）过点作于点，解直角三角形求得与，进而求得结果．
【解答】解：（1），可设，得，
，
，
解得，（舍去），或，
，，
，
，
；
（2）过点作于点，
，可设，则，
，
，
解得，（舍，或，
，
．
24．（10分）我市某超市销售一种文具，进价为5元件．售价为6元件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为元件，且是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为元．
（1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用
【分析】（1）根据总利润每件利润销售量，列出函数关系式，
（2）由（1）的关系式，即，结合二次函数的性质即可求的取值范围
（3）由题意可知，利润不超过即为利润率（售价进价）售价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求．
【解答】解：
由题意
（1）
故与的函数关系式为：
（2）要使当天利润不低于240元，则，
解得，，
，抛物线的开口向下，
当天销售单价所在的范围为
（3）每件文具利润不超过
，得
文具的销售单价为，
由（1）得
对称轴为
在对称轴的左侧，且随着的增大而增大
当时，取得最大值，此时
即每件文具售价为9元时，最大利润为280元
25．（10分）如图，在矩形中，，，平分，分别交，的延长线于点，；连接，过点作，分别交，于点，．
（1）求的长；
（2）求证：．
【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】（1）由，平分，可得，得出，可证出，则，可求出长；
（2）由，可求出，则，可得，则，根据，可得，结论得证．
【解答】（1）解：矩形中，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
解得
；
（2），，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
．
26．（12分）如图，已知的圆心为点，抛物线过点，与交于、两点，连接、，且，、两点的纵坐标分别是2、1．
（1）请直接写出点的坐标，并求、的值；
（2）直线经过点，与轴交于点．点（与点不重合）在该直线上，且，请判断点是否在此抛物线上，并说明理由；
（3）如果直线与相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）证明△，即可求解；
（2）点在直线上，则设的坐标为，由，即可求解；
（3）分当切点在轴下方、切点在轴上方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）过点、分别作轴的垂线交于点、，
，，
，又，
△，
，，
故点、的坐标分别为、，
将点、坐标代入抛物线并解得：
，，
故抛物线的表达式为：；
（2）将点坐标代入并解得：，则点，
点、、、的坐标分别为、、、，
则，，
点在直线上，则设的坐标为，
，则，
解得：或6（舍去，
故点，
把代入，
故点在抛物线上；
（3）①当切点在轴下方时，
设直线与相切于点，直线与轴、轴分别交于点、，连接，
，，
，，，
，即：，
解得：或（舍去，
故点，
把点、坐标代入并解得：
直线的表达式为：；
②当切点在轴上方时，
直线的表达式为：；
故满足条件的直线解析式为：或．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/11 8:41:17；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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清华大学自主招生自荐信范文
==========================
尊敬的清华大学招生办领导、老师们：
您好，我叫齐峻，是\*\*中学高三文科(11)班的一名女生，非常感谢您耐心看完我的个人申请材料。我知道，一封短信无法全面地展示自我，但我仍然会坚持实事求是，尽量言简意赅。
当我以一个孩童的视角捕捉到"清华"这个字眼时，只觉得她是一个好听的名字，大人们向往的眼神让我在懵懂中产生了好奇。随着年龄的增长，对她渐深的了解让我产生了想拥抱她的那种清新而强烈的感觉。愈了解她的历史，愈觉文化之博深;愈了解她的精神，愈觉人性之纯朴;愈了解她的宗旨，愈觉前路之浩荡。"自强不息，厚德载物"这信奉了十年的座右铭一直伴随着我，铺开了我的成长之路。
**自强不息篇**
我由衷地热爱生命，感谢生活孕育出我乐观、开朗、坚韧不拔的性格。我原想收获一缕春风，她却给了我整个春天!于是，我挥动乒乓球拍、羽毛球拍为她增添活力，用钢琴叮咚的乐声为她伴奏，用横笛的悠远和葫芦丝的淳厚为她添一缕安静的气息。远离了空虚，我为生命自强不息!
从来没有被迫读过书，对知识的渴求皆兴趣使然。自从记忆抽芽，浩瀚的知识所闪耀的人类智慧的光辉就让我迷醉。曾经，对理科浓厚的兴趣让我执意去体会往头上扔苹果的"万有引力"，然而疼痛的感觉让我懂得了感性的冲动并不能代替自然科学严密的逻辑思维和推理。当倾向感性的我以高二文科生的身份看待理科并尝试从哲学的高度去思索时，我豁然开朗了：原来文、理科中居然蕴涵着如此多的神奇的共性，文、理科根本就是人类为了方便研究社会和自然更加精细化、专业化的分工而已。从那时起，我立志做一个文理兼通的人。我相信，文科的感性和理科的逻辑思维会让我坐拥蓝天，笑看云起云落，我也为自己选择清华这样一所工科见长的大学里攻读文科找到了合理的理由。
我深知我的幸福在遥远的苍穹，而我对于学习尤其是哲学的质疑与思考似乎在不断丰满着我的羽翼。我曾私下翻阅了《西方哲学史》等书籍，粗略地了解了一些哲学流派，提出了一些毫无顾忌的观点，并且坚持追求我的"真理"。徜徉于学海，我为学习自强不息!
**厚德载物篇**
德行是灵魂的力量和生气，做一个有道德的善良的人一直是我丈量人生尺度的标尺。我们祖国不仅需要精通科研的高新人才，而且更需要一批撑起华夏脊梁的"钢筋水泥"!这是真正的中华美德的沉淀，真正的民族凝聚力!我曾为学校的爱心大使深入残疾人社区，他们身体的残缺与精神的坚韧牵动了我的每一根心弦，帮助他们，我的责任!也曾作为市流动献血车的义务宣传员为汶川受灾的人们尽一份绵薄之力，默默祈 祷 天佑四川;而在孝敬父母的"五个一"活动中，触碰到妈妈老茧密布的脚丫的一刹，极力忍住泪水，我暗暗发誓：我要用一生来回报您我的母亲，来世让我成为你的妈妈，像您对我一样关心呵护你!
厚德载物!当我的翅膀承载起这样一份重量，当我的生命氤 氲 着这样的德馨芬芳，日子怎么会苍白地燃烧成灰烬，我怎会找不到前进的方向?
** 人生规划篇**
一次次的社会实践让我深知采取切实有效的活动以及团结协作等精神的重要，更明白了作为祖国青年的任重道远。我所勾勒出的人生轨迹决不是新时代的"宅女"，也不是象牙塔里的大学生，我更倾向于走科研与社会实践相结合的道路。在打下扎实的学科基础的同时，积极参加社会实践活动。利用暑假寻找实习机会，增加实干经验，从草根阶层进一步了解社会，培养社会责任感，同时，在充满激烈竞争与挑战的大学里，与一大批最活跃的学生争锋，用最开阔的视角纵观国际，培养正确的人生价值观，最终秉承这种勃发的清华精神!
最后，祝：清华水愈清，木愈华!
此致
敬礼!
以下文字仅用于测试排版效果, 请使用时删除！
岁月如烟，流年似锦。一份烟火，一度春秋。左手染墨，右手繁华。只言片语，哪能写得尽五味人生？只道是文字如弦，拔动心的音律。用文字记录花的芬芳，美妙心的花朵，绽放楚楚动人的姹紫嫣红，在流年深处，让文字的河流浅浅流淌，流过花朵依然芳香的冬夏，流过灯火阑珊处那个我日夜思念的他，流过绚烂如梦的年华，在心底留下深深浅浅的足迹。
这个世界，唯文字可与生命相媲美。文字，活色生香，生命，踏过茉莉一样的芳香，遇见一份柔情，辗转一念执着；文字，如梦似幻，生命，跨过童话一般的世界，美妙一份梦幻，陶醉一份温馨；文字，五味人生，生命，尝过酸甜苦辣，遥看一席芳华，落满轻舞飞扬的缤纷枝叶，在风景如画的年华，筑起一份坚强与洒脱，如痴如醉，笑看人生。
一不小心，爱上了文字，将它深深地永存于心底；一不小心，跌落文字的温柔乡，让它吻我千百遍；一不小心，跌落在文字的芬芳里，沉醉不知归路；一不小心，跌落在文字的花海里，看不尽的诗词歌赋，享受不尽的唐风宋雨；一不小心，跌落在文字的故事里，入神地听它讲缠绵悱恻的爱情，听它讲如诗如画的家乡风景。
| 1 | |
**北师BS版四年级数学下册全套试卷**
（新教材）
特别说明：本试卷为（改版后）最新北师版教材配套试卷。
全套试卷共22份（含答案）。
试卷内容如下：
1\. 第一单元测评卷 12.分类测评卷（二）
2\. 阶段测评卷（一） 13.分类测评卷（三）
3\. 第二单元测评卷 14.分类测评卷（四）
4\. 第三单元测评卷 15.期末测评卷（一）
5\. 期中测评卷（一） 16.期末测评卷（二）
6\. 期中测评卷（二） 17.期末测评卷（三）
7\. 第四单元测评卷 18.期末测评卷（四）
8\. 第五单元测评卷 19.期末测评卷（五）
9\. 阶段测评卷（二） 20.期末测评卷（六）
10.第六单元测评卷 21.期末测评卷（七）
11.分类测评卷（一） 22.期末测评卷（八）
附：参考答案
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**绵阳中学2016年高中自主招生数学真卷（一）**
一、选择题(共36分)
1\. 的倒数是( )\
A. B. C. D.
2\. 在标准状态下气体分子间的平均距离为0.0000000033m,将0.0000000033用科学记数法应表示为( )
A.
B.
C.
D.
3\. 下列命题中,真命题是( )
A. 一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线垂直的四边形是菱形
D. 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
4\. 若关于x的一元二次方程有实数根,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5\. 一个由若干相同的小正方形组成的几何体,其左视图和俯视图如图所示,则几何体需要的小正方体个数最多和最少分别是( )
{width="2.0625in" height="0.875in"}\
A. 最多10个，最少8个\
B. 最多8个，最少5个\
C. 最多8个，最少6个\
D. 最多15个，最少8个
6.若关于的不等式组的解集中只含有3个整数解，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7\. 某跳远运动员备战里约2016夏季奥运会,对自己的训练效果进行测试,6次跳远成绩的平均数为7.8m,方差为如果他再跳两次,成绩分别为7.6m，8.0m,则该运动员这8次跳远成绩的方差将( )
A. 变大
B. 变小
C. 不变
D. 无法确定
8\. 已知二次函数图象经过A(0,4)、B(8,6)两点。若，则的值在下列数字中可能为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9\. 如图,⊙*A*、⊙*B*的半径分别为2、1,且*AB*=8,若作⊙*C*使得三圆的圆心在同一直线上,且⊙*C*与⊙*A*外切, ⊙*C*与⊙*B*相交,则⊙*C*的半径在下列数字中可能是( )
A. 2.5{width="1.90625in" height="0.9895833333333334in"}\
B. 3\
C. 3.5\
D. 4
10\. 若多项式可以因式分解为(x+m)(x+n)的形式,且p、m、n均为整数,则满足条件的整数p共有()
A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
11\. 有甲、乙两个箱子,甲箱内有90颗球,分别标记号码1∼90,号码为不重复的整数,乙箱内没有球。已知小李从甲箱内拿出45颗球放入乙箱后,乙箱内球的号码的中位数为30.若此时甲箱内有a颗球的号码小于30,有b颗球的号码大于30,则关于a、b正确的是()
A. a=8
B. a=22
C. b=22
D. b=38
12\. 如图,正方形*ABCD*中,以*D*为圆心,*DC*为半径作弧与以*BC*为直径的⊙*O*交于点*P*,⊙*O*交*AC*于*E*,*CP*的延长线交*AB*于*M*,延长*AP*交⊙*O*于*N*,下列结论：①*AE*=*EC*;②*AM*=*MB*;③∠*APM*=45∘;④*CP*=*PN*.其中正确的是( )
{width="1.8333333333333333in" height="1.3541666666666667in"}
A. ①②③\
B. ①②④\
C. ①③④\
D. ①②③④
二、填空题（共24分）
13\. 从标有1、、、的四张卡片中一次抽取2张，那么抽到的两张卡片上所标数字的积为无理数的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
14\. 如图所示,在三角形硬纸片ABC中,∠B=90∘,AB=BC=1cm,直线MN经过点C,且MN∥AB，则以直线MN为轴将△ABC绕MN旋转一周生成的几何体的表面积是\_\_\_\_\_\_\_.
{width="0.875in" height="1.65625in"}{width="1.96875in" height="1.788888888888889in"}
15.如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=2，BC=，顶点C在第一象限内，A、B两点分别在y轴和x轴的正半轴上滑动，则顶点C与原点O的距离的最大值是\_\_\_\_\_\_.
16.若实数m、n满足，则的值为\_\_\_\_\_\_.
17\. 如图所示，正五边形*ABCDE*的边长为10*cm*，则对角线*AD*=\_\_\_*cm*.
{width="1.125in" height="1.0520833333333333in"}
18\. 在平面直角坐标系*xOy*中,对于点*P*(*x*,*y*),我们把点 (−*y*+1,*x*+1)叫做点*P*的伴随点。已知点的伴随点为,点的伴随点为,点的伴随点为,...,这样依次得到点, ,,..., ，....若点的坐标为(*a*,*b*),对于任意的正整数*n*,点均在*x*轴上方，则*a*，*b*应满足的条件为\_\_\_.
三、解答题（共90分）
19.（1）计算：
（2）若关于的分式方程无解，求的值。
{width="1.7291666666666667in" height="1.1145833333333333in"}20. 现有一张矩形纸片*ABCD*,要将点*D*沿某条直线*EF*翻折180∘,恰好落在*BC*边上的点*D*′处，直线*EF*与*AD*交于点*E*，与*BC*交于点F.
(1)请利用尺规作图在图中作出该直线*EF*;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,在矩形*ABCD*中,若*AD*=10,*AB*=6,*BD*′=2，请计算纸片*ABCD*折叠后产生的折痕*EF*的长度。
21\. 阅读理在实数范围内,当a\>0且b\>0时,我们由非负数的性质知道,所以,即：,当且仅当a=b时,等号成立,这就是数学上有名的"均值不等式",若a与b的积为定值p(p\>0),则a+b有最小值，若a与b的和为定值q(q\>0),则ab有最大值，请根据上述内容，回答下列问题。
(1)若x\>0,则当x=\_\_\_时,代数式取最小值\_\_\_；
(2)已知：与x−2成正比例函数关系, 与x+2成反比例函数关系,且，当x=6时，y=9；当x=−1时，y=2，求当x\>−2时y的最小值。
{width="3.03125in" height="1.4715277777777778in"}22.如图，涪江某段的两岸互相平行，河岸MN上有一排树，已知相邻两颗树之间的距离AB=10米，某人在河岸PQ的C处测得∠ACP=60°，然后沿河岸向右走了90米到达D处，测得∠BDC=30°，求涪江的宽度。（结果精确到0.1米，参考数据：，）
23\. 绵阳市某公司2013年生产*A*型汽油机20万台,由于需要逐步增加*B*型汽油机的生产量,公司决定连续两年减少*A*型汽油机的产量。若设*A*型汽油机的产量的年平均降低率为*x*(0\<*x*\<1)，2015年*A*型汽油机的产量比2014年*A*型汽油机的产量减少了*y*万台。
(1)求出*y*与*x*的函数关系式，并求出*y*的最大值；
(2)若要使*y*不低于3.75万台，则*A*型汽油机的产量的年平均降低率*x*应控制在什么范围?
24\. "端午节"是我国的传统佳节，我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．\
{width="3.5625in" height="1.2916666666666667in"}\
请根据以上信息回答：\
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？\
（2）将两幅不完整的图补充完整；\
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；\
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
25\. 如图,在△*ABC*中,∠*C*=90°，*D*为*AB*边上一点，以*DB*为直径的⊙*O*与*AC*相切于点*E*，与*BC*相交于点*F*，*FN*⊥*BE*交⊙*O*于点*N*.
{width="1.8854166666666667in" height="1.7291666666666667in"}
(1)求证：*BE*平分∠*ABC*；
(2)若sin*A* =，*AB*=30，求圆心*O*到*EN*的距离。
26\. 已知：如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A在点B的左侧，且满足.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线上一点，且△PAC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的坐标；
{width="1.6458333333333333in" height="2.1555555555555554in"}（3）在（2）的条件下，点Q为线段AC上一动点，是否存在点Q使得直线PQ将以A、P、B、C为顶点的四边形的面积二等分？若存在，直接写出点Q的坐标，不必写出解答过程；若不存在，请说明理由.
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2022届新高考开学数学摸底考试卷1
（学生版）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝，B＝，则AB＝
A． B． C． D．
2．已知(3﹣4i)*z*＝1＋i，其中i为虚数单位，则在复平面内*z*对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，满足＝1，＝2，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系*xOy*中，若点P(，0)到双曲线C：的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为
A．2 B．4 C． D．
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为*a*，*b*，*c*．若2*b*cosC≤2*a*﹣*c*，则角B的取值范围是
A．(0，\] B．(0，\] C．\[，) D．\[，)
6．设，，，则
A．*a*＞*b*＞*c* B．*b*＞*a*＞*c* C．*a*＞*c*＞*b* D．*c*＞*a*＞*b*
7．在平面直角坐标系*xOy*中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为
A． B．
C． D．
8．已知奇函数的定义域为R，且．若当*x*(0，1\]时，＝，则的值是
> A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产岀做出预测
{width="4.766666666666667in" height="2.165277777777778in"}
由上图提供的信息可知
> A．运营商的经济产出逐年增加
>
> B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
>
> C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
>
> D．信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势
10．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点(，0)对称
C．函数在区间(，)上单调递增
D．函数在区间(0，)上有两个零点
11．已知，则
A．的值为2 B．的值为16
C．的值为﹣5 D．的值为120
12．记函数与的定义域的交集为I．若存在I，使得对任意I，不等式 恒成立，则称(，)构成"M函数对"．下列所给的两个函数能构成"M函数对"的有
A．， B．，
C．， D．，
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
{width="2.2263888888888888in" height="1.1805555555555556in"}13．如图，一个底面半径为*R*的圆柱形量杯中装有适
> 量的水．若放入一个半径为*r*的实心铁球（小球
>
> 完全浸入水中），水面高度恰好升高，则＝
>
> [ ]{.underline} ．
14．被誉为"数学之神"之称的阿基米德（前287---前
> 212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学 第13题
>
> 家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线*l*：*y*＝4与抛物线C：交于A，B两点，则弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为 [ ]{.underline} ．
15．已知数列的各项均为正数，其前*n*项和为，且，*n*，则＝
[ ]{.underline} ；若＝2，则＝ [ ]{.underline} ．（本题第一空2分，第二空3分）
16．若不等式对一切*x*R恒成立，其中*a*，*b*R，e为自然对数的底数，则*a*＋*b*的取值范围是 [ ]{.underline} ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知向量＝(2cos*x*，﹣1)，＝(sin*x*，2cos^2^*x*)，*x*R，设函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若*a*\[，\]，且，求cos2*a*的值．
18．（本小题满分12分）
已知数列是公比为2的等比数列，其前*n*项和为，
（1）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意*m*，*n*，均为数列中的项，说明理由；
（2）设数列满足，*n*，求数列的前*n*项和．
注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（本小题满分12分）
为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：
+----------+--------+------+
| 是否达标 | 不达标 | 达标 |
| | | |
| 性别 | | |
+----------+--------+------+
| 男生 | 36 | 24 |
+----------+--------+------+
| 女生 | 10 | 30 |
+----------+--------+------+
（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关?
附：．
--------- ------- ------- ------- ------- --------
P(≥*k*) 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
*k* 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
--------- ------- ------- ------- ------- --------
（2）如果用这100名学生中男生和女生课外阅读"达标"的频率分别代替该校男生和女生课外阅读"达标"的概率，且每位学生是否"达标"相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X表示"3人中课外阅读达标的人数"，试求X的分布列和数学期望．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P---ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝BC＝PA＝1，AD＝2，∠PAD＝∠DAB＝90°，点E在棱PC上，设CE＝CP．
（1）求证：CD⊥AE；
（2）记二面角C---AE---D的平面角为，且，求实数的值．
{width="2.0416666666666665in" height="1.3083333333333333in"}
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系*xOy*中，已知椭圆C：．
（1）设椭圆C的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，T是椭圆C上的一个动点，求的取值范围；
（2）设A(0，﹣1)，与坐标轴不垂直的直线*l*交椭圆C于B，D两点，若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线*l*的方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数，*k*R．
（1）当*k*＝2时，求函数的单调区间；
（2）当0＜*x*≤1时，恒成立，求*k*的取值范围；
（3）设*n*，求证：．
2022届新高考开学数学摸底考试卷1
（教师版）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝，B＝，则AB＝
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵集合A＝，∴集合A＝，
又∵B＝，∴AB＝，故选C．
2．已知(3﹣4i)*z*＝1＋i，其中i为虚数单位，则在复平面内*z*对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】，故在复平面内*z*对应的点为(，)，在第二象限，故选B．
3．已知向量，满足＝1，＝2，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，故与的夹角为，故选D．
4．在平面直角坐标系*xOy*中，若点P(，0)到双曲线C：的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】双曲线C：的一条渐近线为，
则，解得，，故选A．
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为*a*，*b*，*c*．若2*b*cosC≤2*a*﹣*c*，则角B的取值范围是
A．(0，\] B．(0，\] C．\[，) D．\[，)
【答案】A
【解析】∵2*b*cosC≤2*a*﹣*c*，∴2sinBcosC≤2sinA﹣sinC，故cosB≥，
> ∴0＜B≤，故选A．
6．设，，，则
A．*a*＞*b*＞*c* B．*b*＞*a*＞*c* C．*a*＞*c*＞*b* D．*c*＞*a*＞*b*
【答案】C
【解析】∵9＞8，∴3＞，故，
> 从而有，故选C．
7．在平面直角坐标系*xOy*中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设P(*x*，*y*)，∵PT＝PB，∴PT^2^＝2PB^2^，
∴，整理得：，故选C．
8．已知奇函数的定义域为R，且．若当*x*(0，1\]时，＝，则的值是
> A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】B
【解析】根据奇函数，满足，可知函数的周期为4，
∴，故选B．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产岀做出预测
{width="4.766666666666667in" height="2.165277777777778in"}
由上图提供的信息可知
> A．运营商的经济产出逐年增加
>
> B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
>
> C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
>
> D．信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势
【答案】ABD
【解析】从图表中可以看出2029年、2030年信息服务商在总经济产出中处于领先地位，C错误，故选ABD．
10．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点(，0)对称
C．函数在区间(，)上单调递增
D．函数在区间(0，)上有两个零点
【答案】ACD
【解析】可得，当，，故A正确；
当，，故B错误；
当(，)，(，0)，故C正确；
当(0，)，(，)，故D正确．
故选ACD．
11．已知，则
A．的值为2 B．的值为16
C．的值为﹣5 D．的值为120
【答案】ABC
【解析】令*x*＝0，得，故A正确；
> ，故，B正确；
>
> 令*x*＝1，得①，又，
>
> ∴，故C正确；
>
> 令*x*＝﹣1，得②，由①②得：
>
> ，D错误．
>
> 故选ABC．
12．记函数与的定义域的交集为I．若存在I，使得对任意I，不等式 恒成立，则称(，)构成"M函数对"．下列所给的两个函数能构成"M函数对"的有
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AC
【解析】选项B满足，故不成立；选项D，存在两个非零的零点，故不成立．
> 故选AC．
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
{width="2.2263888888888888in" height="1.1805555555555556in"}13．如图，一个底面半径为*R*的圆柱形量杯中装有适
> 量的水．若放入一个半径为*r*的实心铁球（小球
>
> 完全浸入水中），水面高度恰好升高，则＝
>
> [ ]{.underline} ．
【答案】2
【解析】．
14．被誉为"数学之神"之称的阿基米德（前287---前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线*l*：*y*＝4与抛物线C：交于A，B两点，则弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】首先得到弦的两个端点的坐标分别为(4，4)，(﹣4，4)，其次得在该两点处的抛物线的切线方程分别为*y*＝2*x*﹣4，*y*＝﹣2*x*﹣4，从而抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为，故弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为．
15．已知数列的各项均为正数，其前*n*项和为，且，*n*，则＝
[ ]{.underline} ；若＝2，则＝ [ ]{.underline} ．（本题第一空2分，第二空3分）
【答案】4；220
【解析】根据①，得②，①﹣②得，
> 故；当＝2，可得该数列满足，且与均为公差为2的等差数列，即可求得＝220．
16．若不等式对一切*x*R恒成立，其中*a*，*b*R，e为自然对数的底数，则*a*＋*b*的取值范围是 [ ]{.underline} ．
【答案】(，﹣1\]
【解析】令，恒成立，显然*a*≤0，
，则，
> ，
>
> 当*a*＝0时，在(，0)递增，(0，)递减，符合题意，
>
> *a*＜0时，在(，)递减，(，0)递增，(0，)递减
>
> *x*＜，，故符合题意，
>
> 综上，*a*≤0，*b*＝﹣1，因此*a*＋*b*(，﹣1\]．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知向量＝(2cos*x*，﹣1)，＝(sin*x*，2cos^2^*x*)，*x*R，设函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若*a*\[，\]，且，求cos2*a*的值．
**解：因为 *m***＝(2cos*x*，－1)，***n***＝(sin*x*，2cos^2^*x*)，
*所以f*(*x*)＝***m***·***n***＋1＝**2**sin*x*cos*x*－2cos^2^*x*＋1
＝sin2*x*－cos2*x*＝2sin(2*x*－)．
**（1）*T*＝＝π**．
**（2）由***f*(*α*)＝，得sin(2*α*－)＝．
由*α*∈\[，\]，得≤2*α*－≤π，
所以cos(2*α*－)＝－＝－＝－，
从而 cos2*α*＝cos\[(2*α*－)＋\]＝cos(2*α*－)cos－sin(2*α*－)sin
＝－×－×＝．
18．（本小题满分12分）
已知数列是公比为2的等比数列，其前*n*项和为，
（1）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意*m*，*n*，均为数列中的项，说明理由；
（2）设数列满足，*n*，求数列的前*n*项和．
注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
**解：**（1）选①，
因为*S*~1~＋*S*~3~＝2*S*~2~＋2，
所以*S*~3~－*S*~2~＝*S*~2~－*S*~1~＋2，即*a*~3~＝*a*~2~＋2，
又数列{*a~n~*}是公比为2的等比数列，
所以4*a*~1~＝2*a*~1~＋2，解得*a*~1~＝1，
> 因此*a~n~*＝1×2^*n*－1^＝2^*n*－1^．
此时任意*m*，*n*∈**N^\*^**，*a~m~a~n~*＝2^*m*－1^·2^*n*－1^＝2^*m*＋*n*－2^，
> 由于*m*＋*n*－1∈**N^\*^**，所以*a~m~a~n~*是数列{*a~n~*}的第*m*＋*n*－1项，
因此数列{*a~n~*}满足条件*P*．
选②，
因为*S*~3~＝，即*a*~1~＋*a*~2~＋*a*~3~＝，
又数列{*a~n~*}是公比为2的等比数列，
所以*a*~1~＋2*a*~1~＋4*a*~1~＝，解得*a*~1~＝，
因此*a~n~*＝×2^*n*－1^．
此时*a*~1~*a*~2~＝＜*a*~1~≤*a~n~*，即*a*~1~*a*~2~不为数列{*a~n~*}中的项，
因此数列{*a~n~*}不满足条件*P*．
选③，
因为*a*~2~*a*~3~＝4*a*~4~，
又数列{*a~n~*}是公比为2的等比数列，
所以2*a*~1~×4*a*~1~＝4×8*a*~1~，又*a*~1~≠0，故*a*~1~＝4，
因此*a~n~*＝4×2^*n*－1^＝2^*n*＋1^．
此时任意*m*，*n*∈**N^\*^**，*a~m~a~n~*＝2^*m*＋1^·2^*n*＋1^＝2^*m*＋*n*＋2^，
> 由于*m*＋*n*＋1∈**N^\*^**，所以*a~m~a~n~*是为数列{*a~n~*}的第*m*＋*n*＋1项，
因此数列{*a~n~*}满足条件*P*．
（2）因为数列{*a~n~*}是公比为2的等比数列，
> 所以＝2，因此*b~n~*＝*n*×2^*n*－1^．
所以*T~n~*＝1×2^0^＋2×2^1^＋3×2^2^＋...＋*n*×2，
则2*T~n~*＝1×2^1^＋2×2^2^＋...＋(*n*－1)×2＋*n*×2，
两式相减得－*T~n~*＝1＋2^1^＋2^2^＋...＋2－*n*×2
＝－*n*×2
＝(1－*n*)2－1，
所以*T~n~*＝(*n*－1)2＋1．
19．（本小题满分12分）
为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：
+----------+--------+------+
| 是否达标 | 不达标 | 达标 |
| | | |
| 性别 | | |
+----------+--------+------+
| 男生 | 36 | 24 |
+----------+--------+------+
| 女生 | 10 | 30 |
+----------+--------+------+
（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关?
附：．
--------- ------- ------- ------- ------- --------
P(≥*k*) 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
*k* 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
--------- ------- ------- ------- ------- --------
（2）如果用这100名学生中男生和女生课外阅读"达标"的频率分别代替该校男生和女生课外阅读"达标"的概率，且每位学生是否"达标"相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X表示"3人中课外阅读达标的人数"，试求X的分布列和数学期望．
**解：**（1）假设*H*~0~：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得
χ^2^＝＝≈11.836＞6.635，
因为当*H*~0~成立时，χ^2^≥6.635的概率约为0.01，
所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关．
（2）记事件*A*为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；
事件*B*为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标．
由题意知：*P*(*A*)＝＝，*P*(*B*)＝＝．
随机变量*X的取值可能为0，1，2，3．*
*P(X＝0)＝(1－)^2^×(1－)＝，*
*P(X＝1)＝C*××*(1－)×(1－)＋*×*(1－)^2^＝，*
*P(X＝2)＝(*)^2^*×(1－)＋C*××*(1－)×＝，*
*P(X＝3)＝(*)^2^*×＝．*
*所以随机变量X*的分布列为：
--------- ------- ------- ------- -------
***X*** **0** **1** **2** **3**
***P***
--------- ------- ------- ------- -------
期望*E*(*X*)＝*0×＋1×＋2×＋3×＝1.55．*
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P---ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝BC＝PA＝1，AD＝2，∠PAD＝∠DAB＝90°，点E在棱PC上，设CE＝CP．
（1）求证：CD⊥AE；
（2）记二面角C---AE---D的平面角为，且，求实数的值．
{width="2.0416666666666665in" height="1.3083333333333333in"}
（1）**证明：**因为∠*PAD*＝90°，所以*PA*⊥*AD*．
因为平面*PAD*⊥平面*ABCD*，平面*PAD*∩平面*ABCD*＝*AD*，*PA*⊂平面*PAD*，
所以*PA*⊥平面*ABCD*．
又*CD*⊂平面*ABCD*，所以*CD*⊥*PA*．
在四边形*ABCD*中，*AD*//*BC，*∠*DAB*＝90°，所以∠*ABC*＝90°，
*又AB*＝*BC*＝1，所以△*ABC*是等腰直角三角形，即∠*BAC*＝∠*CAD*＝45°，*AC*＝．
在△*CAD*中，∠*CAD*＝45°，*AC*＝，*AD*＝2，
所以*CD*＝＝，从而*AC*^2^＋*CD*^2^＝4＝*AD*^2^．
所以*CD*⊥*AC*．
又*AC*∩*PA*＝*A*，*AC*，*PA*⊂平面*PAC*，所以*CD*⊥平面*PAC*．
又*AE*⊂平面*PAC*，所以*CD*⊥*AE*．
（2）**解：**因为*PA*⊥平面*ABCD*，*BA*⊥*AD*，
故以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为*AB*＝*BC*＝*PA*＝1，*AD*＝2，
所以 *A*(0，0，0)，*P*(0，0，1)，
*C*(1，1，0)，*D*(0，2，0)，
则＝(－1，1，0)，＝(0，2，0)．
因为点*E*在棱*PC*上，且*CE*＝*λCP*，
所以＝*λ*，
设*E*(*x*，*y*，*z*)，则(*x*－1，*y*－1，*z*)＝*λ*(－1，－1，1)，
故*E*(1－*λ*，1－*λ*，*λ*)，所以＝(1－*λ*，1－*λ*，*λ*)．
由（1）知，*CD*⊥平面*PAC*，所以平面*ACE*的一个法向量为***n***＝＝(－1，1，0)．
设平面*AED*的法向量为***m***＝(*x*~1~，*y*~1~，*z*~1~)，
由**得**
**令*z~1~*＝1－*λ***，所以平面*AED*的一个法向量为***m***＝(－*λ*，0，1－*λ*)．
因此 \|cos*θ*\|＝\|cos\<***m***，***n***\>\|＝\|\|＝\|\|＝，
化简得3*λ*－8*λ*＋4＝0，解得*λ*＝或2．
因为*E*在棱*PC*上，所以*λ*∈\[0，1\]，所以*λ*＝．
所以当\|cos*θ*\|＝时，实数*λ*的值为．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系*xOy*中，已知椭圆C：．
（1）设椭圆C的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，T是椭圆C上的一个动点，求的取值范围；
（2）设A(0，﹣1)，与坐标轴不垂直的直线*l*交椭圆C于B，D两点，若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线*l*的方程．
**解：**（1）因为椭圆*C：*＋*y*^2^＝1，所以*F*~1~(－**，**0)，*F*~2~(**，**0)．
设*T*(***x*~0~，*y*~0~**)，则 ·＝(－－***x*~0~，－*y*~0~**)·(－***x*~0~，－*y*~0~**)＝***x*~0~^2^＋*y*~0~^2^－3．**
**因为点***T*(***x*~0~，*y*~0~**)在椭圆*C*上，即＋*y*~0~^2^＝1，所以·＝***x*~0~^2^－2，且*x*~0~^2^∈\[0，4\]，**
**所以**·的取值范围是\[－2，1\]．
（2）因为直线*l与*坐标轴不垂直，故设直线*l*方程***y*＝*kx*＋*m* (*m*≠－1，*k*≠0)．**
**设*B*(*x*~1~，*y*~1~)，*Ｄ*(*x*~2~，*y*~2~)．**
**由得(1＋4*k*^2^)*x*^2^＋8*kmx*＋4*m*^2^－4＝0，**
所以***x*~1~＋*x*~2~＝－，*x*~1~*x*~2~＝．**
因为△*ABD*是以*A*为直角顶点的等腰直角三角形，所以*AB*⊥*AD，即* *·＝0，*
*因此* (***y*~1~＋1**)( ***y*~2~＋1**)＋***x*~1~*x*~2~＝0，即**(*kx***~1~＋*m*＋1**)( ***kx*~2~＋*m*＋1**)＋***x*~1~*x*~2~＝0，**
**从而 (1＋*k*^2^) *x*~1~*x*~2~＋*k*(*m*＋1)( *x*~1~＋*x*~2~)＋(*m*＋1**)^2^＝0，
**即 (1＋*k*^2^)×－*k*(*m*＋1)×＋(*m*＋1**)^2^＝0，
**也即 4(1＋*k*^2^)( *m*－1)－8*k*^2^*m*＋(1＋4*k*^2^) (*m*＋1**)＝0，*解得m*＝**．**
又**线段*BD的*中点*M*(－，)，且***AM*⊥*BD*，
所以＝－，即3*m*＝**1＋4*k*^2^，解得***k*＝±．
又当*k*＝±，*m*＝时，△＝64*k*^2^*m*^2^－4(**1＋4*k*^2^**)( **4*m*^2^－4**)＝＞0，
**所以满足条件的**直线*l*的方程为***y*＝**±***x*＋.**
22．（本小题满分12分）
已知函数，*k*R．
（1）当*k*＝2时，求函数的单调区间；
（2）当0＜*x*≤1时，恒成立，求*k*的取值范围；
（3）设*n*，求证：．
**解：**（1）当*k*＝2时，*f* (*x*)＝2*x*－*x*ln*x*，*f′*(*x*)＝1－ln*x*，
由*f′*(*x*)＞0，解得0＜*x*＜e；由*f′*(*x*)＜0，解得*x*＞e，
因此函数*f* (*x*)单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．
（2）*f* (*x*)＝*kx*－*x*ln*x*，故*f′*(*x*)＝*k*－1－ln*x*．
当*k*≥1时，因为0＜*x*≤1，所以*k*－1≥0≥ln*x*，
因此*f′*(*x*)≥0恒成立，即*f* (*x*)在(0，1\]上单调递增，
所以*f* (*x*)≤*f* (1)＝*k*恒成立．
当*k*＜1时，令*f′*(*x*)＝0，解得*x*＝e^*k*－1^∈(0，1)．
当*x*∈(0，e^*k*－1^)，*f′*(*x*)＞0，*f* (*x*)单调递增；当*x*∈(e^*k*－1^，1)，*f′*(*x*)＜0，*f* (*x*)单调递减；
于是*f* (e^*k*－1^)＞*f* (1)＝*k，*与*f* (*x*)≤*k*恒成立相矛盾．
综上，*k*的取值范围为\[1，＋∞)．
（3）由（2）知，当0＜*x*≤1时，*x*－*x*ln*x*≤1．
令*x*＝(*n*∈**N**^\*^)，则 ＋ln*n*≤1，即2ln*n*≤*n*^2^－1，
因此≤．
所以＋＋...＋≤＋＋...＋＝．
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解第4课《数一数一》试题附答案**
一年级奥数上册：第四讲 数一数（一）来源：www.bcjy123.com/tiku/
一年级奥数上册：第四讲 数一数 习题四
一年级奥数上册：第四讲 数一数 习题解答
来源：www.bcjy123.com/tiku/
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**2014年湖北省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，则∁~U~A=（ ）
A．{1，3，5，6} B．{2，3，7} C．{2，4，7} D．{2，5，7}
2．（5分）i为虚数单位，（）^2^=（ ）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
3．（5分）命题"∀x∈R，x^2^≠x"的否定是（ ）
A．∀x∉R，x^2^≠x B．∀x∈R，x^2^=x C．∃x∉R，x^2^≠x D．∃x∈R，x^2^=x
4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
5．（5分）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p~1~，点数之和大于5的概率记为p~2~，点数之和为偶数的概率记为p~3~，则（ ）
A．p~1~＜p~2~＜p~3~ B．p~2~＜p~1~＜p~3~ C．p~1~＜p~3~＜p~2~ D．p~3~＜p~1~＜p~2~
6．（5分）根据如下样本数据：
--- ----- ----- ------- ----- ------- -------
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0
--- ----- ----- ------- ----- ------- -------
得到了回归方程=x+，则（ ）
A．＞0，＜0 B．＞0，＞0 C．＜0，＜0 D．＜0，＞0
7．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）
A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②
8．（5分）设a，b是关于t的方程t^2^cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，则过A（a，a^2^），B（b，b^2^）两点的直线与双曲线﹣=1的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x^2^﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（ ）
A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣，1，3} D．{﹣2﹣，1，3}
10．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求"囷盖"的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L^2^h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L^2^h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.**
11．（5分）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为[ ]{.underline}件．
12．（5分）若向量=（1，﹣3），\|\|=\|\|，•=0，则\|\|=[ ]{.underline}．
13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B=[ ]{.underline}．
14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为4，则输出S的值为[ ]{.underline}．
15．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为[ ]{.underline}．
16．（5分）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F=．
（Ⅰ）如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为[ ]{.underline}辆/小时；
（Ⅱ）如果限定车型，l=5，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加[ ]{.underline}辆/小时．
17．（5分）已知圆O：x^2^+y^2^=1和点A（﹣2，0），若定点B（b，0）（b≠﹣2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有\|MB\|=λ\|MA\|，则：
（Ⅰ）b=[ ]{.underline}；
（Ⅱ）λ=[ ]{.underline}．
**三、解答题**
18．（12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣cost﹣sint，t∈\[0，24）．
（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；
（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．
19．（12分）已知等差数列{a~n~}满足：a~1~=2，且a~1~，a~2~，a~5~成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）记S~n~为数列{a~n~}的前n项和，是否存在正整数n，使得S~n~＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
20．（13分）如图，在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD~1~、BB~1~、A~1~B~1~、A~1~D~1~的中点，求证：
（Ⅰ）直线BC~1~∥平面EFPQ；
（Ⅱ）直线AC~1~⊥平面PQMN．
21．（14分）π为圆周率，e=2.71828...为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；
（Ⅱ）求e^3^，3^e^，e^π^，π^e^，3^π^，π^3^这6个数中的最大数与最小数．
22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
**2014年湖北省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，则∁~U~A=（ ）
A．{1，3，5，6} B．{2，3，7} C．{2，4，7} D．{2，5，7}
【分析】根据全集U以及A，求出A的补集即可．
【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，
∴∁~U~A={2，4，7}．
故选：C．
【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．
2．（5分）i为虚数单位，（）^2^=（ ）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
【分析】由条件里哦也难怪两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．
【解答】解：（）^2^===﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
3．（5分）命题"∀x∈R，x^2^≠x"的否定是（ ）
A．∀x∉R，x^2^≠x B．∀x∈R，x^2^=x C．∃x∉R，x^2^≠x D．∃x∈R，x^2^=x
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题．
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，
∴命题的否定是：∃x~0~∈R，=x~0~．
故选：D．
【点评】本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题．
4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．
【解答】解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：
∵目标函数Z=2x+y，
∴Z~O~=0，Z~A~=4，Z~B~=7，Z~C~=4，
故2x+y的最大值是7，
故选：C．
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
5．（5分）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p~1~，点数之和大于5的概率记为p~2~，点数之和为偶数的概率记为p~3~，则（ ）
A．p~1~＜p~2~＜p~3~ B．p~2~＜p~1~＜p~3~ C．p~1~＜p~3~＜p~2~ D．p~3~＜p~1~＜p~2~
【分析】首先列表，然后根据表格点数之和不超过5，点数之和大于5，点数之和为偶数情况，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表得：
---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ----------
（1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
（1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
（1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
（1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
（1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
（1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ----------
∴一共有36种等可能的结果，
∴两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，点数之和大于5的有26种情况，点数之和为偶数的有18种情况，
∴向上的点数之和不超过5的概率记为p~1~=，点数之和大于5的概率记为p~2~=，点数之和为偶数的概率记为p~3~=，
∴p~1~＜p~3~＜p~2~
故选：C．
【点评】本题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．（5分）根据如下样本数据：
--- ----- ----- ------- ----- ------- -------
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0
--- ----- ----- ------- ----- ------- -------
得到了回归方程=x+，则（ ）
A．＞0，＜0 B．＞0，＞0 C．＜0，＜0 D．＜0，＞0
【分析】利用公式求出b，a，即可得出结论．
【解答】解：样本平均数=5.5，=0.25，
∴=﹣24.5，=17.5，∴b=﹣=﹣1.4，
∴a=0.25﹣（﹣1.4）•5.5=7.95，
故选：A．
【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．
7．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）
A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②
【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．
【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，
故选：D．
【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．
8．（5分）设a，b是关于t的方程t^2^cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，则过A（a，a^2^），B（b，b^2^）两点的直线与双曲线﹣=1的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】求出过A（a，a^2^），B（b，b^2^）两点的直线为y=﹣x，结合双曲线的渐近线方程，可得结论．
【解答】解：∵a，b是关于t的方程t^2^cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，
∴a+b=﹣，ab=0，
过A（a，a^2^），B（b，b^2^）两点的直线为y﹣a^2^=（x﹣a），即y=（b+a）x﹣ab，
即y=﹣x，
∵双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=﹣x，
∴过A（a，a^2^），B（b，b^2^）两点的直线与双曲线﹣=1的公共点的个数为0．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
9．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x^2^﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（ ）
A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣，1，3} D．{﹣2﹣，1，3}
【分析】首先根据f（x）是定义在R上的奇函数，求出函数在R上的解析式，再求出g（x）的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x^2^﹣3x，
令x＜0，则﹣x＞0，
∴f（﹣x）=x^2^+3x=﹣f（x）
∴f（x）=﹣x^2^﹣3x，
∴
∵g（x）=f（x）﹣x+3
∴g（x）=
令g（x）=0，
当x≥0时，x^2^﹣4x+3=0，解得x=1，或x=3，
当x＜0时，﹣x^2^﹣4x+3=0，解得x=﹣2﹣，
∴函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为{﹣2﹣，1，3}
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．
10．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求"囷盖"的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L^2^h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L^2^h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据近似公式V≈L^2^h，建立方程，即可求得结论．
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，
∴=（2πr）^2^h，
∴π=．
故选：B．
【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．
**二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.**
11．（5分）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为[ 1800 ]{.underline}件．
【分析】根据样本容量为80，可得抽取的比例，再求得样本中由乙设备生产的产品数，乙设备生产的产品总数=．
【解答】解：∵样本容量为80，∴抽取的比例为=，
又样本中有50件产品由甲设备生产，∴样本中30件产品由乙设备生产，
∴乙设备生产的产品总数为30×60=1800．
故答案为：1800．
【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是解题的关键．
12．（5分）若向量=（1，﹣3），\|\|=\|\|，•=0，则\|\|=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：设=（x，y），∵向量=（1，﹣3），\|\|=\|\|，•=0，
∴，解得或．
∴=（3，1），（﹣3，﹣1）．
∴==（2，4）或（﹣4，2）．
∴=．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B=[ ]{.underline}[或]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用正弦定理列出关系式，将a，sinA，b的值代入求出sinB的值，即可确定出B的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，A=，a=1，b=，
∴由正弦定理=得：sinB===，
∵a＜b，∴A＜B，
∴B=或．
故答案为：或．
【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为4，则输出S的值为[ 40 ]{.underline}．
【分析】由图知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是S=S+2^k^+k，故由此运算规律进行计算，当k=5时不满足条件k≤4，退出循环，输出S的值为40．
【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得：
n=4，k=1，S=0
满足条件k≤4，S=0+2^1^+1=3，k=2
满足条件k≤4，S=3+2^2^+2=9，k=3
满足条件k≤4，S=9+2^3^+3=20，k=4
满足条件k≤4，S=20+2^4^+4=40，k=5
不满足条件k≤4，退出循环，输出S的值为40．
故答案为：40．
【点评】本题考查循环结构，已知运算规则与运算次数，求最后运算结果，是算法中一种常见的题型，属于基础题．
15．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为[ （0，]{.underline}[） ]{.underline}．
【分析】由已知中的函数图象可得f（4a）=a，f（﹣4a）=﹣a，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则，解不等式可得正实数a的取值范围．
【解答】解：由已知可得：a＞0，
且f（4a）=a，f（﹣4a）=﹣a，
若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），
则，解得a＜，
故正实数a的取值范围为：（0，），
故答案为：（0，）
【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出不等式组，是解答的关键．
16．（5分）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F=．
（Ⅰ）如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为[ 1900 ]{.underline}辆/小时；
（Ⅱ）如果限定车型，l=5，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加[ 100 ]{.underline}辆/小时．
【分析】（Ⅰ）把l带入，分子分母同时除以v，利用基本不等式求得F的最大值．
（Ⅱ）把l带入，分子分母同时除以v，利用基本不等式求得F的最大值最后于（Ⅰ）中最大值作差即可．
【解答】解：（Ⅰ）F==，
∵v+≥2=22，当v=11时取最小值，
∴F=≤1900，
故最大车流量为：1900辆/小时；
（Ⅱ）F===，
∵v+≥2=20，
∴F≤2000，
2000﹣1900=100（辆/小时）
故最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加100辆/小时．
故答案为：1900，100
【点评】本题主要考查了基本不等式的性质．基本不等式应用时，注意"一正，二定，三相等"必须满足．
17．（5分）已知圆O：x^2^+y^2^=1和点A（﹣2，0），若定点B（b，0）（b≠﹣2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有\|MB\|=λ\|MA\|，则：
（Ⅰ）b=[ ﹣]{.underline}[ ]{.underline}；
（Ⅱ）λ=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】（Ⅰ）利用\|MB\|=λ\|MA\|，可得（x﹣b）^2^+y^2^=λ^2^（x+2）^2^+λ^2^y^2^，由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入，即可求得b；
（Ⅱ）取（1，0）、（﹣1，0）分别代入，即可求得λ．
【解答】解：解法一：设点M（cosθ，sinθ），则由\|MB\|=λ\|MA\|得（cosθ﹣b）^2^+sin^2^θ=λ^2^\[（cosθ+2）^2^+sin^2^θ\]，即
﹣2bcosθ+b^2^+1=4λ^2^cosθ+5λ^2^对任意θ都成立，所以．又由\|MB\|=λ\|MA\|得λ＞0，且b≠﹣2，解得．
解法二：（Ⅰ）设M（x，y），则
∵\|MB\|=λ\|MA\|，
∴（x﹣b）^2^+y^2^=λ^2^（x+2）^2^+λ^2^y^2^，
由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入可得（1﹣b）^2^=λ^2^（1+2）^2^，（﹣1﹣b）^2^=λ^2^（﹣1+2）^2^，
∴b=﹣，λ=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知λ=．
故答案为：﹣，．
【点评】本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
**三、解答题**
18．（12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣cost﹣sint，t∈\[0，24）．
（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；
（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．
【分析】（Ⅰ）直接根据f（t）的解析式求得f（8）的值．
（Ⅱ）根据f（t）=10﹣2sin（+t），t∈\[0，24），求得函数f（t）取得最大值和最小值，从而得到这一天的最大温差．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣cost﹣sint，t∈\[0，24）．
∴f（8）=10﹣cos﹣sin=10﹣×（﹣）﹣=10，
故实验室这一天上午8时的温度为10℃．
（Ⅱ）∵f（t）=10﹣cost﹣sint=10﹣2sin（+t），t∈\[0，24）．
∴＜+t＜，故当+t=，即t=14时，函数f（t）取得最大值为10+2=12，
当+t=，即t=2时，函数f（t）取得最小值为10﹣2=8，
故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，正弦函数的值域，属于中档题．
19．（12分）已知等差数列{a~n~}满足：a~1~=2，且a~1~，a~2~，a~5~成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）记S~n~为数列{a~n~}的前n项和，是否存在正整数n，使得S~n~＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出S~n~根据S~n~＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{a~n~}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）^2^=2（2+4d），
化简得d^2^﹣4d=0，解得d=0或4，
当d=0时，a~n~=2，
当d=4时，a~n~=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．
（Ⅱ）当a~n~=2时，S~n~=2n，显然2n＜60n+800，
此时不存在正整数n，使得S~n~＞60n+800成立，
当a~n~=4n﹣2时，S~n~==2n^2^，
令2n^2^＞60n+800，即n^2^﹣30n﹣400＞0，
解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），
此时存在正整数n，使得S~n~＞60n+800成立，n的最小值为41，
综上，当a~n~=2时，不存在满足题意的正整数n，
当a~n~=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．
20．（13分）如图，在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD~1~、BB~1~、A~1~B~1~、A~1~D~1~的中点，求证：
（Ⅰ）直线BC~1~∥平面EFPQ；
（Ⅱ）直线AC~1~⊥平面PQMN．
【分析】（Ⅰ）要证直线BC~1~∥平面EFPQ，只需证BC~1~∥FP，且BC~1~⊄平面EFPQ即可，由AD~1~∥BC~1~，FP∥AD~1~即可证出；
（Ⅱ）要证直线AC~1~⊥平面PQMN，只需证出MN⊥AC~1~，且PN⊥AC~1~即可．
【解答】证明：（Ⅰ）在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，连接AD~1~，
∵AD~1~∥BC~1~，且F、P分别是AD、DD~1~的中点，
∴FP∥AD~1~，∴BC~1~∥FP，
又FP⊂平面EFPQ，且BC~1~⊄平面EFPQ，
∴直线BC~1~∥平面EFPQ；
（Ⅱ）连接AC、BD，B~1~D~1~，则AC⊥BD，
∵CC~1~⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴CC~1~⊥BD；
又AC∩CC~1~=C，∴BD⊥平面ACC~1~，
又AC~1~⊂平面ACC~1~，∴BD⊥AC~1~；
又∵M、N分别是A~1~B~1~、A~1~D~1~的中点，
∴MN∥B~1~D~1~，
又B~1~D~1~∥BD，∴MN∥BD，
∴MN⊥AC~1~；
又PN∥A~1~D，A~1~D⊥AD~1~，C~1~D~1~⊥平面ADD~1~A~1~，
∴C~1~D~1~⊥AD~1~，
且AD~1~∩C~1~D~1~=D~1~，
∴A~1~D⊥平面AC~1~D~1~，
∴A~1~D⊥AC~1~，
∴PN⊥AC~1~；
又PN∩MN=N，∴直线AC~1~⊥平面PQMN．
【点评】本题考查了证明空间中的线面平行与线面垂直的问题，解题时应明确空间中的线面平行、线面垂直的判定方法是什么，也考查了逻辑思维能力与空间想象能力，是基础题．
21．（14分）π为圆周率，e=2.71828...为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；
（Ⅱ）求e^3^，3^e^，e^π^，π^e^，3^π^，π^3^这6个数中的最大数与最小数．
【分析】第（Ⅰ）问中，先根据分式求导法则，再解对数不等式即可；
第（Ⅱ）问中，可先将6个数分组，比较各组内数的大小后，再比较组与组之间的数的大小，而数的大小比较，可以考虑函数y=lnx，y=e^x^，y=π^x^的单调性．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
由f（x）=得．
当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，f（x）单调递增；
当f′（x）＜0，即x＞e时，f（x）单调递减，
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．
（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，
从而有ln3^e^＜lnπ^e^，lne^π^＜ln3^π^．
于是，根据函数y=lnx，y=e^x^，y=π^x^在定义域上单调递增，
可得3^e^＜π^e^＜π^3^，e^3^＜e^π^＜3^π^，
∴这6个数的最大数在π^3^与3^π^之中，最小数在3^e^与e^3^之中．
由（Ⅰ）知，f（x）=在\[e，+∞）上单调递减，
∴即
得∴
综上可知，6个数中的最大数是3^π^，最小数是3^e^．
【点评】1、求单调区间时，先写出函数的定义域，为后面取区间时作参考．
2、利用指数函数、对数函数的单调性比较数的大小时，应注意以下几个要点：
（1）寻找同底的指数式或对数式；
（2）分清是递增还是递减；
（3）把自变量的值放到同一个单调区间上．
22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
【分析】（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x~0~＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：\|MF\|=\|x\|+1，即，
化简得，y^2^=2\|x\|+2x．
∴点M的轨迹C的方程为；
（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C~1~：y^2^=4x（x≥0），C~2~：y=0（x＜0）．
依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．
由方程组，可得ky^2^﹣4y+4（2k+1）=0．
①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．
故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．
②当k≠0时，方程ky^2^﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k^2^+k﹣1）．
设直线l与x轴的交点为（x~0~，0），
则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．
若，解得k＜﹣1或k＞．
即当k∈时，直线l与C~1~没有公共点，与C~2~有一个公共点，
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
若或，解得k=﹣1或k=或．
即当k=﹣1或k=时，直线l与C~1~只有一个公共点，与C~2~有一个公共点．
当时，直线l与C~1~有两个公共点，与C~2~无公共点．
故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．
若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜．
即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C~1~有两个公共点，与C~2~有一个公共点．
此时直线l与C恰有三个公共点．
综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；
当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；
当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．
【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．
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**小升初总复习数与代数篇**
**第一单元 数的认识**
第2节 数的整除
知识梳理
典例精讲
【例1】把自然数A和B分解质因数后分别是A=2×3×11×m，B=2×3×7×m。A、B两数的最大公因数是78，这两个数的最小公倍数是多少？
【分析】这里要明白最大公因数和最小公倍数的意义，A、B两数的最大公因数就是这两个数的全部公有的质因数的积，也就是2×3×m；A、B两数的最小公倍数就是这两个数的全部公有质因数及各自独有质因数的积，也就是2×3×m×11×7.根据两个数的最大公因数是78，求出m的值，本题便迎刃而解。
【解】
因为2×3×m=78，所以m=78÷2×3=13，因此2×3×m×11×7=78×11×7=155。21cnjy.com
答：这两个数的最小公倍数是155.
即时演练
1.25和30的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
2\. 把自然数A和B分解质因数后分别是A=2×3×m，B=2×7×m。A、B两数的最大公因数是22，这两个数的最小公倍数是多少？2-1-c-n-j-y
3.两个数的最小公倍数是150，最大公因数是15.这两个数分别是（ ）和（ ）。
【例2】有一些糖果，如果把6个装一包少1个；如果8个装一包也少一个；如果把5个装一包还是少一个。这些糖果至少有多少个？ 21\*cnjy\*com
【分析】这些糖果，把6个装一包少1个说明糖果的总个数比6的倍数少1个；8个装一包也少一个说明糖果总个数比8的倍数少1个；把5个装一包还是少一个说明糖果的总个数比5的倍数少1个。所以这些糖果的总个数比5、6、8的公倍数少1，这里求至少有糖果多少个，就是求比5、6、8的最小公倍数少1的数。
【解】5、6、8的最小公倍数是120.
120-1=119（个）
答：这些糖果至少有119个。
即时演练
4.54、24和27的最小公倍数是（ ）。
5.一盒围棋子，4个4个地数，多3个；6个6个地数，多5个；15个15个地数，多14个。这些围棋子在150与200之间，这盒棋子有多少个？
【例3】"世界爱牙日"前夕，某商场用60个牙刷和36盒牙膏制成礼盒。每个礼盒的牙刷数量都相等，牙膏数量也都相同。每个礼盒里牙刷至少几个，牙膏至少几个？2·1·c·n·j·y
【分析】由题意可知，每个礼盒里牙膏总数×礼盒数=36盒牙膏，每个礼盒里牙刷总数×礼盒数=60个牙刷，由这两个等量关系可得，礼盒数应是36和60的公因数，又因为每盒里牙刷、牙膏最少，也就是礼盒数最多，所以礼盒数是36和60的最大公因数。从而求出每个礼盒里牙刷至少几个，牙膏至少几个。
【解】36和60的最大公因数是12，也就是最多可以制12个礼盒。每个礼盒里牙膏数是36÷12=3（盒）；牙刷数是60÷12=5（个）。【
答：每个礼盒里牙刷至少5个，牙膏至少3个.
即时演练
6.有三根绳子，分别长28米、35米、21米。把它们截成同样长的小段，不许有剩余，每段最长截（ ）米。【
7.杨公小学三（2）班准备了40支圆珠笔和50个本子，发给这次期中测试有进步的同学。每个同学都可以得到相同数量的圆珠笔和相同数量的本子。结果圆珠笔多5支，本子多1本。这次测试有进步的同学有几人？21教育名师原创作品
**毕业升学训练**
**\*轻松过关节节练**
一、知识储备所。（24分）
1.50以内的质数有（ ）个，其中个位是3的有（ ）。
2.两个互质的合数，它们的最小公倍数是210，这两个数分别是（ ）和（ ）。
3.一个数最大的因数是48，这个数分解质因数是（ ）。
4.从1,0,3,5这四张卡片中选出三张组成一个数，这个数既是2和3的倍数，又是5的倍数，这个数最大是（ ），最小是（ ）。【
5.3路公交车和24路车每天早上7:00同时从同一起点站发车，3路车每5分钟发一班车，24路车每8分钟发一班车，至少经过（ ）分钟两车又同时发车。
6.三个连续自然数的积是504，那么这三个自然数的和是（ ）。
7.有一些精美画片，平均分给3个人、4个人、7个人都剩2张，这些画片至少有（ ）张。
8.一串红绿相间的彩灯，第一个灯泡为红色，则第76个灯泡是（ ）色的，第101个灯泡是（ ）色。
二、火眼金睛辨对错。（12分）
1.两个不同的质数的积一定是合数。 （ ）
2.同时是3和5的倍数的最小两位偶数是30. （ ）
3.两个奇数的和一定是偶数，两个偶数的积一定是偶数。 （ ）
4.要使224是3的倍数，至少要加上4.（ ）
5.两个数都是合数，又是互质数，它们的最小公倍数是90，这两个数是6和15.（ ）
6.三个连续自然数（不含0）相乘的积，一定是3的倍数。（ ）
三、对号入座。（10分）
1.6是12和18的（ ）。
A.倍数 B.最大公因数 C.公倍数 D.最小公倍数
2.下面说法正确的是（ ）。
A.两个奇数的差，还是奇数。 B.一个数的倍数都比它的因数大。
C.除2以外，所有的质数都是奇数。D.两个质数的积不一定是这两个质数的倍数。
3.在11\~31这些数中，既是2的倍数，又有因数3的数共有（ ）个。
A.6 B.4 C.3 D.2
4.最简分数的分子和分母一定是（ ）。
A.质数 B.合数 C.偶数 D.互质数
5.两个自然数的倒数和是，这两个自然数是（ ）。
A.2和9 B.3和8 C.4和7 D.5和6
四、按要求做一做。（30分）
1.用1、0、4、7四个数字组成符合要求的四位数。（9分）
（1）3和5的公倍数： [ ]{.underline} （2）2和3的公倍数： [ ]{.underline}
（3）2、3和5的公倍数： [ ]{.underline}
2.把下面合数分解质因数。（6分）
56 91 43 65
3.求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。（15分）
42和28 15和75 12、10和30（只求最小公倍数）
五、解决问题。（24分）
1.某渡口的小船最初在北岸，从北岸驶向南岸，再从南岸驶向北岸，不断往返。小船摆渡71次后，船在南岸还是北岸，为什么？21教育网
2.一篮子草莓，3个3个地数，多1个；5个5个地数多1个；7个7个地数，少6个。这篮子草莓至少有多少个？21·cn·jy·com
3\. 把一张长为80厘米，宽为60厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形纸（纸不能有剩余），至少能裁多少张？www.21-cn-jy.com
**\*冲刺名校**
实验小学举行国庆联欢，在操场一边共放了31盆鲜花。原来每两盆之间相距2米，现在改为两盆之间相距3米，除两端不移动外，中间还有多少盆不需要移动？（10分）21世纪教育网版权所有
**毕业升学训练**
**\*轻松过关节节练**
**一、1. 15 4 2.10和21 （或6和35、14和15） 3.48=2×2×2×2×3 4.510 150 5.40 6.24 7.86 8.绿 红 【来源：21·世纪·教育·网】**
**二、1.√ 2.√ 3.√ 4.× 5.× 6.√**
**三、1.B 2.C 3.B 4.D 5.B**
**四、1.（1）1470 1740 4170 4710 7140 7410 （2）1470 1740 4710 4170 7140 7410 1074 1704 7014 7104 （3）1470 1740 4170 4710 7140 7410 21·世纪\*教育网**
**2.56=2×2×2×7 91=7×13 65=5×13**
**3.14 84； 15 75； 60.**
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**四川省自贡市初2017届毕业生学业考试数学试卷**
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．计算（－1）^2017^的结果是（ ）
*A*．－1 *B*．1 *C*．－2017 *D*．2017
2．下列成语所描述的事件为随机事件的是（ ）
*A*．水涨船高 *B*．守株待兔 *C*．水中捞月 *D*．缘木求鱼
3．380亿用科学记数法表示为（ ）
*A*．38×10^9^ *B*．0**.**38×10^13^ *C*．3**.**8×10^11^ *D*．3**.**8×10^10^
4．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
*A*．*B*． *C*． *D*．
5．如图，直线*a*∥*b*，点*B*在直线*a*上，且*AB*⊥*BC*，∠1＝35°，那么∠2＝（ ）
*A*．45° *B*．50° *C*．55° *D*．60°
6．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
*A*． *B*． *C*． *D*．
7．对于一组统计数据3，3，6，5，3．下列说法错误的是（ ）
*A*．众数是3 *B*．平均数是4 *C*．方差是1**.**6 *D*．中位数是6
8．下列几何体中，主视图是矩形的是（ ）
*A*． *B*． *C*． *D*．
9．下列四个命题中，其正确命题的个数是（ ）
①若*a*＞*b*，则； ②垂直于弦的直径平分弦；
③平行四边形的对角线互相平分； ④反比例函数，当*k*＜0时*y*随*x*的增大而增大．
*A*．1 *B*．2 *C*．3 *D*．4
10．如图，*AB*是⊙*O*的直径，*PA*切⊙*O*于点*A*，*PO*交⊙*O*于点*C*，连接*BC*，若∠*P*＝40°，则∠*B*等于（ ）
*A*．20°
*B*．25°
*C*．30°
*D*．40°
11．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律*m*的值为（ ）
*A*．180 *B*．182 *C*．184 *D*．186
12．一次函数和反比例函数（）的图象如图所示，若，则*x*的取值范围是（ ）
*A*．－2＜*x*＜0或*x*＞1
*B*．－2＜*x*＜1
*C*．*x*＜－2或*x*＞1
*D*．*x*＜－2或0＜*x*＜1
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．计算：＝ [ ]{.underline} ．
14．如图，在△*ABC*中，*MN*∥*BC*，分别交*AB*、*AC*于点*M*、*N*，
若*AM*＝1，*MB*＝2，*BC*＝3，则*MN*的长为 [ ]{.underline} ．
15．我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：
"一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？"
> 意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完，如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚和有几人？设大、小和尚各有*x*、*y*人，则可列方程组 [ ]{.underline} ．
16．圆锥底面圆的周长为6π*cm*，高为4*cm*，则该圆锥的全面积是 [ ]{.underline} ；侧面展开扇形的圆心角的度数是 [ ]{.underline} ．
17．如图，等腰△*ABC*内接于⊙*O*，已知*AB*＝*AC*，∠*ABC*＝30°，
*BD*是⊙*O*的直径，如果*CD*＝，则*AD*＝ [ ]{.underline} ．
18．如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能形成
一个大的正方形．请在如图所示的网格(网格边长为1)中，用直尺作出这个大正方形．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．（8分）计算：
20．（8分）先化简，再求值：，其中*a*＝2．
21．（8分）如图，点*E*、*F*分别在菱形*ABCD*的边*DC*、*DA*上，且*CE*＝*AF*．求证：∠*ABF*＝∠*CBE*．
22．（8分）两个城镇*A*、*B*与一条公路*CD*，一条河流*CE*位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到*A*、*B*的距离必须相等，到*CD*和*CE*的距离也距离也必须相等，且在∠*DCE*的内部，请画出该山庄的位置*P*．（不要求写作法，保留作图痕迹）
23．（10分）某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：*A*、跑步，*B*、跳绳，*C*、做操，*D*、游戏．
> 全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）本次调查学生共 [ ]{.underline} 人，*a*＝ [ ]{.underline} ，并将条形图补充完整；
（2）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择"跑步"这种活动的学生约有多少人？
> （3）学校让每班在*A*、*B*、*C*、*D*四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用画树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是"跑步"和"跳绳"的概率．
24．（10分）\[探究函数的图象与性质\]
（1）函数的自变量*x*的取值范围是 [ ]{.underline} ；
（2）下列四个函数图象中可能是函数的图象是 [ ]{.underline} ；
（3）对于函数，当*x*＞0时，求*y*的取值范围．
解：∵*x*＞0，∴ [ ]{.underline}
∵≥0，∴*y*≥ [ ]{.underline} ．
\[拓展运用\]
（4）若函数，则*y*的取值范围是 [ ]{.underline} ．
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，*O*为坐标原点，点*A*(－1，0)，点*B*(0，)．
（1）求∠*BAO*的度数；
> （2）如图1，将△*AOB*绕点*O*顺时针旋转得△*A*′*OB*′，当点*A*′恰好落在*AB*边上时，设△*AB*′*O*的面积为*S*~2~，*S*~1~与*S*~2~有何关系？为什么？
（3）若将△*AOB*绕点*O*顺时针旋转到如图2所示的位置时，*S*~1~与*S*~2~的关系发生变化了吗？证明你的判断．
图1 图2
26．（14分）抛物线*y*＝4*x*^2^－2*ax*＋*b*与*x*轴相交于*A*(*x*~1~，0)，*B*(*x*~2~，0)，（0＜*x*~1~＜*x*~2~）两点，与*y*轴相交于点*C*．
（1）设*AB*＝2，*tan*∠*ABC*＝4，求抛物线的解析式；
（2）在（1）中，若*D*为直线*BC*下方抛物线上一动点，当△*BCD*的面积最大时，求点*D*的坐标；
（3）是否存在整数*a*、*b*使1＜*x*~1~＜2和1＜*x*~2~＜2同时成立，请证明你的结论．
**四川省自贡市初2017届毕业生学业考试数学答案**
一、1．*A*；2．*B*；3．*D*；4．*C*；5．*C*；6．*A*；7．*D*；8．*A*；9．*B*；10．*B*；11．*C*；12．*D*．
二、13．2；14．1；15．；16．24π，216°；17．4；18．
三、19．解：原式＝
20．解：原式＝
∵*a*＝2 ∴原式＝
21．证明：∵四边形*ABCD*是菱形
∴∠*A*＝∠*C*，*AB*＝*BC*
又∵*CE*＝*AF*
∴△*ABF*≌△*CBE*（*SAS*）
> ∴∠*ABF*＝∠*CBE*．
22．解：如图，作线段*AB*的中垂线与∠*DCE*的平分线交于点*P*，点*P*即为所求．
23．解：（1）300，10．
（2）2000×40%＝800
∴估计该校选择"跑步"这种活动的学生约有800人．
（3）画树状图为：
由树状图可知：每班抽取的两种形式恰好是"跑步"和"跳绳"的概率＝
24．（1）*x*≠0；（2）*C*；（3）4，4；（4）*y*≥1．
25．（1）∵*A*（－1，0），*B*（0，），∠*AOB*＝90°
 ∴，∴∠*BAO*＝60°
（2）*S*~1~＝*S*~2~，理由如下：
依题意有：*A*′*A*＝*A*′*O*，∠*BAO*＝60°，
∴△*A*′*AO*是等边三角形，
∴∠*AOA*′＝∠*BA*′*O*＝60°，
∴*A*′*B*′∥*x*轴，∴点*A*′、*B*′到*x*轴的距离相等，
∵∠*ABO*＝∠*A*′*OB*＝90°－60°＝30°
∴*A*′*O*＝*A*′*B*′ ∴*AO*＝*A*′*B*′
∵等边△*A*′*AO*的三条高都相等
∴点*O*到*AB*的距离等于点*B*′到*x*轴的距离 ∴*S*~1~＝*S*~2~（等底等高的三角形面积相等）
（3）*S*~1~与*S*~2~的关系没变，仍然有*S*~1~＝*S*~2~，理由如下：
过点*B*作*BC*⊥*AO*于*C*，过点*B*′作*B*′*D*⊥*x*轴于*D*，
∴∠*BCO*＝∠*B*′*DO*＝90°
依题意有：∠*BOD*＝∠*A*′*OB*′＝90°，*B*′*O*＝*BO*，*A*′*O*＝*AO*，
∴∠1＋∠*A*′*OD*＝∠2＋∠*A*′*OD*＝90°
∴∠1＝∠2
∴△*BOC*≌△*B*′*OD*（*AAS*）
∴*BC*＝*B*′*D*
又∵*AO*＝*A*′*O*
∴*S*~1~＝*S*~2~（等底等高的三角形面积相等）
26．抛物线*y*＝4*x*^2^－2*ax*＋*b*与*x*轴相交于*A*(*x*~1~，0)，*B*(*x*~2~，0)，（0＜*x*~1~＜*x*~2~）两点，与*y*轴相交于点*C*．
（1）设*AB*＝2，*tan*∠*ABC*＝4，求抛物线的解析式；
（2）在（1）中，若*D*为直线*BC*下方抛物线上一动点，当△*BCD*的面积最大时，求点*D*的坐标；
（3）是否存在整数*a*、*b*使1＜*x*~1~＜2和1＜*x*~2~＜2同时成立，请证明你的结论．
解：（1）依题意得： （3）依题意有：即：解得：
∴ ∵*a*为整数 ∴*a*＝5，6，7
又4*a*^2^－16*b*＞0①，4－2*a*＋*b*＞0②，16－4*a*＋*b*＞0③，*b*为整数④
即：① ∴把*a*＝5代入①②③④解得*b*无解
∵*tan*∠*ABC*＝4，∠*BOC*＝90° 把*a*＝6代入①②③④解得*b*无解
∴，即 把*a*＝7代入①②③④解得*b*无解
∵抛物线对称轴为，*AB*＝2 综上所述不存在整数*a*、*b*使1＜*x*~1~＜2和1＜*x*~2~＜2同时成立．
 ∴
∴②
解由①②构成的方程组可得*a*＝－4或*a*＝8
经检验只有*a*＝8才成立．
把*a*＝8代入①后解得：*b*＝12
∴抛物线解析式为*y*＝4*x*^2^－16*x*＋12
（2）过*D*作*DE*∥*y*轴交*BC*于*E*，设*D*（*x*，*y*）
∵*y*＝4*x*^2^－16*x*＋12 ∴*D*（*x*，4*x*^2^－16*x*＋12）
在*y*＝4*x*^2^－16*x*＋12中，令*x*＝0，则*y*＝12 ∴*C*（0，12）
令*y*＝0，则*x*~1~＝1，*x*~2~＝3 ∴*A*（1，0），*B*（3，0）
设直线*BC*：*y*＝*kx*＋12，把*B*点代入得：3*k*＋12＝0，*k*＝－4
∴直线*BC*：*y*＝－*x*＋12 ∴*E*（*x*，－*x*＋12）
∴*DE*＝（－*x*＋12）－（4*x*^2^－16*x*＋12）＝－4*x*^2^＋12*x*
∴*S*~△*BCD*~＝即：
当*x*＝时*S*有最大值为：*S* ∴*D*（，－3）
沿滩中学------熊礼刚的参考答案
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**2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x\|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（ ）
A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}
2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．（5分）已知等比数列{a~n~}满足a~1~=3，a~1~+a~3~+a~5~=21，则a~3~+a~5~+a~7~=（ ）
A．21 B．42 C．63 D．84
5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log~2~12）=（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则\|MN\|=（ ）
A．2 B．8 C．4 D．10
8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的"更相减损术"，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π
10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=[ ]{.underline}．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为[ ]{.underline}．
15．（5分）（a+x）（1+x）^4^的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=[ ]{.underline}．
16．（5分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，且a~1~=﹣1，a~n+1~=S~n+1~S~n~，则S~n~=[ ]{.underline}．
**三、解答题（共5小题，满分60分）**
17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
（1）求；
（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．
18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
------------ ---------- ------------ ------------
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
------------ ---------- ------------ ------------
记事件C："A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级"，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=16，BC=10，AA~1~=8，点E，F分别在A~1~B~1~，D~1~C~1~上，A~1~E=D~1~F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．
20．（12分）已知椭圆C：9x^2^+y^2^=m^2^（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
21．（12分）设函数f（x）=e^mx^+x^2^﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（2）若对于任意x~1~，x~2~∈\[﹣1，1\]，都有\|f（x~1~）﹣f（x~2~）\|≤e﹣1，求m的取值范围．
**四、选做题.选修4-1：几何证明选讲**
22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．
**选修4-4：坐标系与参数方程**
23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C~2~：ρ=2sinθ，C~3~：ρ=2cosθ．
（1）求C~2~与C~3~交点的直角坐标；
（2）若C~1~与C~2~相交于点A，C~1~与C~3~相交于点B，求\|AB\|的最大值．
**选修4-5：不等式选讲**
24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则+＞+；
（2）+＞+是\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|的充要条件．
**2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x\|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（ ）
A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：B={x\|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；
∴A∩B={﹣1，0}．
故选：A．
【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．
2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】A1：虚数单位i、复数．菁优网版权所有
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．
【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a^2^﹣4）i=﹣4i，
4a=0，并且a^2^﹣4=﹣4，
所以a=0；
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．
3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【考点】B8：频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；
B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；
C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．
【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；
B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；
C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．
4．（5分）已知等比数列{a~n~}满足a~1~=3，a~1~+a~3~+a~5~=21，则a~3~+a~5~+a~7~=（ ）
A．21 B．42 C．63 D．84
【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】由已知，a~1~=3，a~1~+a~3~+a~5~=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．
【解答】解：∵a~1~=3，a~1~+a~3~+a~5~=21，
∴，
∴q^4^+q^2^+1=7，
∴q^4^+q^2^﹣6=0，
∴q^2^=2，
∴a~3~+a~5~+a~7~==3×（2+4+8）=42．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．
5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log~2~12）=（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．
【分析】先求f（﹣2）=1+log~2~（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log~2~12）=6，进而得到所求和．
【解答】解：函数f（x）=，
即有f（﹣2）=1+log~2~（2+2）=1+2=3，
f（log~2~12）==2×=12×=6，
则有f（﹣2）+f（log~2~12）=3+6=9．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．
6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．
【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，
∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，
∴剩余部分体积为1﹣=，
∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．
7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则\|MN\|=（ ）
A．2 B．8 C．4 D．10
【考点】IR：两点间的距离公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5B：直线与圆．
【分析】设圆的方程为x^2^+y^2^+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．
【解答】解：设圆的方程为x^2^+y^2^+Dx+Ey+F=0，则，
∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，
∴x^2^+y^2^﹣2x+4y﹣20=0，
令x=0，可得y^2^+4y﹣20=0，
∴y=﹣2±2，
∴\|MN\|=4．
故选：C．
【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．
8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的"更相减损术"，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．
【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，
则b变为18﹣14=4，
由a＞b，则a变为14﹣4=10，
由a＞b，则a变为10﹣4=6，
由a＞b，则a变为6﹣4=2，
由a＜b，则b变为4﹣2=2，
由a=b=2，
则输出的a=2．
故选：B．
【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．
9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．
【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V~O﹣ABC~=V~C﹣AOB~===36，故R=6，则球O的表面积为4πR^2^=144π，
故选：C．
【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．
10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】HC：正切函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．
【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，
此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，
当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，
如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，
∴OQ=﹣，
∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，
∴PA+PB=，
当x=时，PA+PB=2，
当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，
由对称性可知函数f（x）关于x=对称，
且f（）＞f（），且轨迹为非线型，
排除A，C，D，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．
11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．
【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，
且MA=AB=2a，∠MAB=120°，
则M的坐标为（﹣2a，a），
代入双曲线方程可得，
﹣=1，
可得a=b，
c==a，
即有e==．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．
12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．
【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，
即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，
又∵g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（﹣1）==0，
∴函数g（x）的图象性质类似如图：
数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0
⇔或，
⇔0＜x＜1或x＜﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】96：平行向量（共线）．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量平行的条件直接求解．
【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，
∴λ+=t（+2）=，
∴，解得实数λ=．
故答案为：．
【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，
由得D（1，），
所以z=x+y的最大值为1+；
故答案为：．
【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．
15．（5分）（a+x）（1+x）^4^的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=[ 3 ]{.underline}．
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5P：二项式定理．
【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．
【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）^4^=a~0~+a~1~x+a~2~x^2^+...+a~5~x^5^，
令x=1，则a~0~+a~1~+a~2~+...+a~5~=f（1）=16（a+1），①
令x=﹣1，则a~0~﹣a~1~+a~2~﹣...﹣a~5~=f（﹣1）=0．②
①﹣②得，2（a~1~+a~3~+a~5~）=16（a+1），
所以2×32=16（a+1），
所以a=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．
16．（5分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，且a~1~=﹣1，a~n+1~=S~n+1~S~n~，则S~n~=[ ﹣]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】通过S~n+1~﹣S~n~=a~n+1~可知S~n+1~﹣S~n~=S~n+1~S~n~，两边同时除以S~n+1~S~n~可知﹣=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论．
【解答】解：∵a~n+1~=S~n+1~S~n~，
∴S~n+1~﹣S~n~=S~n+1~S~n~，
∴﹣=1，
又∵a~1~=﹣1，即=﹣1，
∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，
∴=﹣n，
∴S~n~=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
**三、解答题（共5小题，满分60分）**
17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
（1）求；
（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．
【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．
（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．
【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，
∵==2
∴BD=2DC，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
在△ABD中，=，∴sin∠B=
在△ADC中，=，∴sin∠C=；
∴==．...6分
（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．
过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∴==2，
∴AB=2AC，
令AC=x，则AB=2x，
∵∠BAD=∠DAC，
∴cos∠BAD=cos∠DAC，
∴由余弦定理可得：=，
∴x=1，
∴AC=1，
∴BD的长为，AC的长为1．
【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．
18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
------------ ---------- ------------ ------------
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
------------ ---------- ------------ ------------
记事件C："A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级"，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；
（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．
【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；
（2）记C~A1~表示事件"A地区用户满意度等级为满意或非常满意"，
记C~A2~表示事件"A地区用户满意度等级为非常满意"，
记C~B1~表示事件"B地区用户满意度等级为不满意"，
记C~B2~表示事件"B地区用户满意度等级为满意"，
则C~A1~与C~B1~独立，C~A2~与C~B2~独立，C~B1~与C~B2~互斥，
则C=C~A1~C~B1~∪C~A2~C~B2~，
P（C）=P（C~A1~C~B1~）+P（C~A2~C~B2~）=P（C~A1~）P（C~B1~）+P（C~A2~）P（C~B2~），
由所给的数据C~A1~，C~A2~，C~B1~，C~B2~，发生的频率为，，，，
所以P（C~A1~）=，P（C~A2~）=，P（C~B1~）=，P（C~B2~）=，
所以P（C）=×+×=0.48．
【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．
19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=16，BC=10，AA~1~=8，点E，F分别在A~1~B~1~，D~1~C~1~上，A~1~E=D~1~F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用．
【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；
（2）分别以直线DA，DC，DD~1~为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF与平面α所成角的正弦值．
【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：
（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：
EH=EF=BC=10，EM=AA~1~=8；
∴，∴AH=10；
以边DA，DC，DD~1~所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；
∴；
设为平面EFGH的法向量，则：
，取z=3，则；
若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：
sinθ==；
∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．
【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．
20．（12分）已知椭圆C：9x^2^+y^2^=m^2^（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．
（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x~P~=2x~M~，建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），M（x~M~，y~M~），
将y=kx+b代入9x^2^+y^2^=m^2^（m＞0），得（k^2^+9）x^2^+2kbx+b^2^﹣m^2^=0，
则判别式△=4k^2^b^2^﹣4（k^2^+9）（b^2^﹣m^2^）＞0，
则x~1~+x~2~=，则x~M~==，y~M~=kx~M~+b=，
于是直线OM的斜率k~OM~==，
即k~OM~•k=﹣9，
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
（2）四边形OAPB能为平行四边形．
∵直线l过点（，m），
∴由判别式△=4k^2^b^2^﹣4（k^2^+9）（b^2^﹣m^2^）＞0，
即k^2^m^2^＞9b^2^﹣9m^2^，
∵b=m﹣m，
∴k^2^m^2^＞9（m﹣m）^2^﹣9m^2^，
即k^2^＞k^2^﹣6k，
即6k＞0，
则k＞0，
∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，
由（1）知OM的方程为y=x，
设P的横坐标为x~P~，
由得，即x~P~=，
将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，
即l的方程为y=kx+，
将y=x，代入y=kx+，
得kx+=x
解得x~M~=，
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x~P~=2x~M~，
于是=2×，
解得k~1~=4﹣或k~2~=4+，
∵k~i~＞0，k~i~≠3，i=1，2，
∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．
【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
21．（12分）设函数f（x）=e^mx^+x^2^﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（2）若对于任意x~1~，x~2~∈\[﹣1，1\]，都有\|f（x~1~）﹣f（x~2~）\|≤e﹣1，求m的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】2：创新题型；52：导数的概念及应用．
【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在\[﹣1，0\]单调递减，在\[0，1\]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．
【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e^mx^﹣1）+2x．
若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e^mx^﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e^mx^﹣1≥0，f′（x）＞0．
若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e^mx^﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e^mx^﹣1＜0，f′（x）＞0．
所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在\[﹣1，0\]单调递减，在\[0，1\]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．
所以对于任意x~1~，x~2~∈\[﹣1，1\]，\|f（x~1~）﹣f（x~2~）\|≤e﹣1的充要条件是
即
设函数g（t）=e^t^﹣t﹣e+1，则g′（t）=e^t^﹣1．
当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
又g（1）=0，g（﹣1）=e^﹣1^+2﹣e＜0，故当t∈\[﹣1，1\]时，g（t）≤0．
当m∈\[﹣1，1\]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；
当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e^m^﹣m＞e﹣1．
当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e^﹣m^+m＞e﹣1．
综上，m的取值范围是\[﹣1，1\]
【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．
**四、选做题.选修4-1：几何证明选讲**
22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．
【考点】N4：相似三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；
（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S~△ABC~﹣S~△AEF~计算即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，
∴AD是∠CAB的角平分线，
又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，
∴AE=AF，∴AD⊥EF，
∴EF∥BC；
（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，
又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，
连结OE、OM，则OE⊥AE，
由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，
∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，
∵AE=2，∴AO=4，OE=2，
∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，
∴AD=5，AB=，
∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．
【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．
**选修4-4：坐标系与参数方程**
23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C~2~：ρ=2sinθ，C~3~：ρ=2cosθ．
（1）求C~2~与C~3~交点的直角坐标；
（2）若C~1~与C~2~相交于点A，C~1~与C~3~相交于点B，求\|AB\|的最大值．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（I）由曲线C~2~：ρ=2sinθ，化为ρ^2^=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C~3~：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C~2~与C~3~交点的直角坐标．
（2）由曲线C~1~的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用\|AB\|=即可得出．
【解答】解：（I）由曲线C~2~：ρ=2sinθ，化为ρ^2^=2ρsinθ，
∴x^2^+y^2^=2y．
同理由C~3~：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，
联立，
解得，，
∴C~2~与C~3~交点的直角坐标为（0，0），．
（2）曲线C~1~：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），
∵A，B都在C~1~上，
∴A（2sinα，α），B．
∴\|AB\|==4，
当时，\|AB\|取得最大值4．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
**选修4-5：不等式选讲**
24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则+＞+；
（2）+＞+是\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|的充要条件．
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；
（2）从两方面证，①若+＞+，证得\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|，②若\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．
【解答】证明：（1）由于（+）^2^=a+b+2，
（+）^2^=c+d+2，
由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，
则＞，
即有（+）^2^＞（+）^2^，
则+＞+；
（2）①若+＞+，则（+）^2^＞（+）^2^，
即为a+b+2＞c+d+2，
由a+b=c+d，则ab＞cd，
于是（a﹣b）^2^=（a+b）^2^﹣4ab，
（c﹣d）^2^=（c+d）^2^﹣4cd，
即有（a﹣b）^2^＜（c﹣d）^2^，即为\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|；
②若\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|，则（a﹣b）^2^＜（c﹣d）^2^，
即有（a+b）^2^﹣4ab＜（c+d）^2^﹣4cd，
由a+b=c+d，则ab＞cd，
则有（+）^2^＞（+）^2^．
综上可得，+＞+是\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|的充要条件．
【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．
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**2020-2021学年辽宁省大连市沙河口区六年级（上）期末数学试卷**
**一、选择（10小题，每题1分，共10分）**
1．（1分）统计某图书馆中各类图书本数占图书总本数的百分比，应画（ ）统计图最合适。
A．扇形 B．条形 C．折线 D．复式条形
2．（1分）画圆时，（ ）决定圆的位置。
A．圆心 B．半径 C．圆心和半径 D．对称轴
3．（1分）圆的对称轴有（ ）条．
A．1 B．2 C．4 D．无数
4．（1分）在同一个圆中，圆的直径是半径的（ ）
A．2 B．2倍 C．3 D．3倍
5．（1分）与0.25：0.45比值相等的比是（ ）
A．2.5：45 B．5：0.9 C．1：1 D．5：9
6．（1分）已知甲：乙＝3：4，乙：丙＝2：1，那么甲、乙、丙三个数的大小关系是（ ）
A．甲＞乙＞丙 B．丙＞乙＞甲 C．乙＞甲＞丙 D．甲＝乙＝丙
7．（1分）一个比的前项是8，如果前项增加16，要使比值不变，后项应该（ ）
A．增加16 B．乘2 C．增加8 D．除以
8．（1分）淘气在探索圆的面积计算公式时，把一个圆剪拼成一个长3.14厘米的近似长方形，这个圆的半径和面积是（ ）
> 
A．1厘米；3.14平方厘米 B．1厘米；6.28平方厘米
C．2厘米；12.56平方厘米 D．3厘米；9.42平方厘米
9．（1分）一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看是，要搭成这样的立体图形，至少要用（ ）个小正方体。
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（1分）周长相等的长方形、正方形和圆形，面积最大的是（ ）
A．长方形 B．正方形 C．圆形 D．无法判断
**二、填空（10小题，每空1分，共20分）**
11．（2分）一个圆的半径扩大2倍，则周长扩大到原来的[ ]{.underline}倍，面积扩大原来的[ ]{.underline}倍．
12．（2分）用圆规画一个周长是12.56厘米的圆，圆规两脚之间的距离应是[ ]{.underline}厘米，这个圆的面积是[ ]{.underline}平方厘米．
13．（1分）在长8分米、宽6分米的长方形中画一个最大的圆，圆的直径是[ ]{.underline}分米。
14．（2分）某钟表的时针长9厘米，从2时到8时，时针扫过的面积是[ ]{.underline}，时针针尖走过的路程是[ ]{.underline}。
15．（6分）填一填。
> [ ]{.underline}÷[ ]{.underline}＝[ ]{.underline}：[ ]{.underline}＝＝[ ]{.underline}%＝[ ]{.underline}。
16．（1分）六（1）班学生跳绳测验全部合格，合格率是[ ]{.underline}。
17．（1分）把5克盐溶解在95克水中，盐水的含盐率是[ ]{.underline}．
18．（1分）客车的速度是货车速度的80%，那么货车速度与客车速度的比是[ ]{.underline}。
19．（3分）一辆汽车行驶240千米需要3时，那么这辆汽车行驶的路程与时间的比是[ ]{.underline}，比值是[ ]{.underline}，这个比值表示[ ]{.underline}。
20．（1分）6名学生进行乒乓球比赛，每两人打一场比赛，则一共打[ ]{.underline}场比赛。
**三、计算（4道大题，共26分）**
21．（6分）化简比（直接写答案）。
-------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
6：12＝ 0.3：0.9＝ 1：0.2＝
：＝ ：＝ ：＝
-------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
22．（6分）求比值（直接写答案）。
---------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------- ---------------------------------------------
48：16＝ 0.4：0.15＝ 0.125：1＝
：＝ 1：0.5＝ 2：0.4＝
---------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------- ---------------------------------------------
23．（8分）观察下列算式的特点，再计算。
------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- --------------------------------------------
   （）×72
------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- --------------------------------------------
24．（6分）解方程。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------- -------------------------------------------------
*x*﹣*x*＝ 76%*x*+34%*x*＝2 25%+*x*＝0.2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------- -------------------------------------------------
**四、操作与分析（4道大题，共18分）**
25．（2分）看图列式（不计算）。
> 
26．（3分）下面的立体图形是由五个小正方体搭成的，请你分别画出从正面、上面和右面看到的图形。
> 
27．（7分）新冠肺炎疫情时期，为了更好地提高学生免疫力，某小学开展形式多样的"阳光体育运动"活动，淘气对六（1）班学生参加体育锻炼类型的情况进行统计，并分别绘制成下面的两种统计图（见图1和图2）。
> 
>
> （1）请将图1、图2补充完整。
>
> （2）请根据图中提供的信息，完成下列填空：
>
> ①打乒乓球的学生占全班学生人数的[ ]{.underline}；
>
> ②六（1）班学生共有[ ]{.underline}人；
>
> ③踢毽球的学生人数比打乒乓球的人数多[ ]{.underline}人。
28．（6分）算一算，分别求出两个图中阴影部分的面积。
> 
**五、问题解决（6道大题，共26分）**
29．（4分）淘气打字，第一天打1200字，占全文的30%，第二天打1500字，
> （1）全文有多少字？
>
> （2）淘气第二天比第一天多打了百分之几？
30．（3分）在新冠肺炎疫情期间，某小学六（1）班数学老师进行网络批改作业，发现：作业都做对的学生有24人，比作业有错误的学生多，那么做错的学生有多少人？
31．（3分）在新冠肺炎疫情期间，某工厂做一批医用口罩。已经做完这批口罩的45%后，还剩下1540个口罩没完成，那么这个工厂一共要做多少个口罩？（列方程进行解答）
32．（4分）装有防疫救援物资的两辆汽车从相距510千米的两地相对开出，3.4时后相遇，已知两辆车的速度比是8：7，较快的一辆车的速度是多少？
33．（5分）张老师今年教师节把20000元存入银行，存定期两年，年利率是2.43%，
> （1）到期时他应得本金和利息一共多少元？
>
> （2）存钱获得利息，需要上交利息税，也就是把利息的20%上交给国家。那么到期时张老师扣除利息税后，他实际得到本金和利息一共多少元？
34．（7分）森林运动会上，蚂蚁、虫子要进行赛跑比赛。在猴子裁判画的跑道上，蚂蚁选择外圈的大圆跑道，而虫子选择内圈的小圆跑道。它们速度相同，并且都是同时从点*A*出发，沿着跑道回到点*A*。（1米、2米为小圆的直径长度）
> （1）第一次比赛，蚂蚁、虫子在图1跑道上，蚂蚁在大圆按顺时针方向走一周，虫子在小圆按①→②→③→④方向回到点*A*。比赛结果是什么？请通过计算来验证你的结果。
>
> （2）第二次比赛，蚂蚁、虫子在图2跑道上，蚂蚁在大圆按顺时针方向走一周，虫子在小圆按①→②→③→④→⑤→⑥方向回到点*A*。比赛结果是什么？请通过计算验证结果。
>
> （3）通过两次比赛结果，你有什么发现？请你画图，并通过计算验证你的发现。
>
> 
**2020-2021学年辽宁省大连市沙河口区六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择（10小题，每题1分，共10分）**
1．【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可。
> 【解答】解：统计某图书馆中各类图书本数占图书总本数的百分比，应画扇形统计图最合适。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答。
2．【分析】根据画圆的方法，以定点为圆心，以定长为半径，所以圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小；解答即可。
> 【解答】解：画圆时，圆心决定圆的位置。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题考查的是圆的特征，应注重基础知识的理解和运用。
3．【分析】紧扣圆的对称轴的特点，即可解决问题．
> 【解答】解：圆的对称轴是经过圆心的直线，经过一点的直线有无数条，
>
> 所以，圆有无数条对称轴．
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】此题考查了圆的对称轴的特点．
4．【分析】在同圆或等圆中，直径是半径的2倍。
> 【解答】解：在同一个圆中，圆的直径是半径的2倍。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题主要考查了同圆或等圆中半径和直径的关系。
5．【分析】此题可先算出原式中比的值，再算出*A*、*B*、*C*中比的值，即可选出正确答案．
> 【解答】解：0.25：0.45＝，
>
> *A*：2.5：45＝，
>
> *B*：5：0.9＝，
>
> *C*：1：1＝1，
>
> 在这三个选项中没有一个比的值与原式中比的值相等，
>
> 所以*A*、*B*、*C*都不符合题意；
>
> 故选：*D*．
>
> 【点评】此题考查了求比值的方法．
6．【分析】根据比的基本性质，写出甲乙丙连比，即可解答。
> 【解答】解：甲：乙＝3：4
>
> 乙：丙＝2：1＝4：2
>
> 甲：乙：丙＝3：4：2
>
> 所以乙＞甲＞丙，
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题主要考查比的基本性质。
7．【分析】一个比的前项是8，如果前项增加16，前项变成24，扩大到原来的3倍，所以根据比的性质，要使比值不变，后项应该乘3，即除以；据此解答即可。
> 【解答】解：（8+16）÷8
>
> ＝24÷8
>
> ＝3
>
> 比的前项扩大到原来的3倍，所以根据比的性质，要使比值不变，后项应该乘3，即除以。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】此题主要考查了比的性质的应用。
8．【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把圆规圆剪拼成一个近似长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径。根据圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：半径：3.14÷3.14＝1（厘米）
>
> 面积：3.14×1^2^
>
> ＝3.14×1
>
> ＝3.14（平方厘米）
>
> 答：这个圆的半径是1厘米、面积是3.14平方厘米。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程、圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
9．【分析】根据正视图，可以确定立体图形有三列两层，第二层在中间一列，根据左视图可以确定立体图形只有一行，从而可以画出唯一的立体图形，据此作答即可。
> 【解答】解：根据正视图和左视图可以得到确定的立体图形：
>
> 这个立体图形由4个小正方体构成。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题主要考查了从不同方向观察物体和几何体，明确正视图和左视图所表达的信息，是本题将诶题的关键。
10．【分析】周长相等的正方形、长方形和圆形，谁的面积最大，谁面积最小，可以先假设这三种图形的周长是多少，再利用这三种图形的面积公式，分别计算出它们的面积，最后比较这三种图形面积的大小．
> 【解答】解：为了便于理解，假设正方形、长方形和圆形的周长都是16，
>
> 则圆的面积为：＝≈20.38；
>
> 正方形的边长为：16÷4＝4，面积为：4×4＝16；
>
> 长方形长宽越接近面积越大，就取长为5宽为3，面积为：5×3＝15，
>
> 当长方形的长和宽最接近时面积也小于16；
>
> 所以周长相等的正方形、长方形和圆形，圆面积最大．
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】此题主要考查长方形、正方形、圆形的面积公式及灵活运用，解答此题可以先假设这三种图形的周长是多少，再利用这三种图形的面积公式，分别计算出它们的面积，最后比较这三种图形面积的大小．
**二、填空（10小题，每空1分，共20分）**
11．【分析】根据题意，可设圆的半径为*r*，则直径为2*r*，那么根据圆的周长公式和圆的面积公式可计算出原来圆的周长和面积与扩大后的圆的周长和面积，最后再用扩大后的周长除以原来的周长、用扩大后的面积除以原来的面积即可得到答案．
> 【解答】解：设原来圆的半径为*r*，则直径为2*r*，
>
> 圆的周长为：2π*r*，
>
> 圆的面积为：π*r*^2^，
>
> 半径扩大2倍后，圆的半径为2*r*，圆的直径为4*r*，
>
> 圆的周长为：4π*r*，
>
> 圆的面积为：（2*r*）^2^π＝4π*r*^2^，
>
> 则周长扩大到原来的：4π*r*÷2π*r*＝2，
>
> 面积扩大到原来的：4π*r*^2^÷π*r*^2^＝4；
>
> 答：周长扩大到原来的2倍，面积则扩大到原来的4倍．
>
> 故答案为：2，4．
>
> 【点评】解答此题的关键是设原来圆的半径，然后再根据半径与直径的关系，圆的周长公式和圆的面积公式进行计算即可．
12．【分析】（1）根据圆的周长公式，*C*＝2π*r*，得出*r*＝*C*÷π÷2，将周长12.56厘米代入，由此即可求出圆的半径，即圆规两脚之间的距离；
> （2）根据圆的面积公式，*S*＝π*r*^2^，将（1）求出的半径代入，即可求出圆的面积．
>
> 【解答】解：（1）12.56÷3.14÷2＝2（厘米），
>
> （2）3.14×2×2，
>
> ＝3.14×4，
>
> ＝12.56（平方厘米），
>
> 答：圆规两脚之间的距离应是2厘米，这个圆的面积是12.56平方厘米；
>
> 故答案为：2；12.56．
>
> 【点评】此题主要考查了圆的周长公式*C*＝2π*r*的灵活应用与圆的面积公式*S*＝π*r*^2^的实际应用．
13．【分析】当圆的直径等于长方形的宽6分米时，此时圆最大，否则，圆就会超出长方形的边界。
> 【解答】解：一个长8分米，宽6分米的长方形中画一个最大的圆，圆的直径是6分米。
>
> 故答案为：6。
>
> 【点评】解答此题要注意：长方形中画一个最大的圆，是以宽边作圆的直径。
14．【分析】根据生活经验可知，时针12小时转一圈，从2时到8时，经过了6小时，时针转了圈，时针扫过的面积等于半径为9厘米的圆面积的，时针针尖走过的路程是半径为9厘米的圆周长的，根据圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，周长公式：*C*＝2π*r*，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：8时﹣2时＝6时
>
> 3.14×9^2^×
>
> ＝3.14×81×
>
> ＝254.34×
>
> ＝127.17（平方厘米）
>
> 2×3.14×9×
>
> ＝56.52×
>
> ＝28.26（厘米）
>
> 答：时针扫过的面积是127.17平方厘米，时针针尖走过的路程是28.26厘米。
>
> 故答案为：127.17平方厘米、28.26厘米。
>
> 【点评】此题主要考查圆的面积公式、周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
15．【分析】根据分数与除法的关系＝1÷5；根据比与分数的关系＝1÷5；1÷5＝0.2；把0.2的小数点向右移动两位添上百分号就是20%。
> 【解答】解：1÷5＝1：5＝＝20%＝0.2。
>
> 故答案为：1，5，1，5，20，0.2。
>
> 【点评】此题主要是考查除法、小数、分数、百分数、比之间的关系及转化，属于基础知识，要掌握。
16．【分析】理解合格率，合格率是指考试合格的学生数占全部参加考试学生数的百分之几，所以六（1）班学生跳绳测验全部合格，合格率是100%，据此解答。
> 【解答】解：六（1）班学生跳绳测验全部合格，合格率是100%。
>
> 故答案为：100%。
>
> 【点评】明确合格率的含义，是解答此题的关键。
17．【分析】要求"盐占盐水的百分之几"，就要用盐的重量除以盐水的重量，列式解答即可．
> 【解答】解：5÷（5+95）×100%＝5%
>
> 答：盐水的含盐率是 5%．
>
> 故答案为：5%．
>
> 【点评】此题是典型的求一个数是另一个数的百分之几，只要找准对应的数，用除法计算即可．
18．【分析】客车的速度是货车速度的80%，把货车的速度看作单位"1"，那么客车的速度是80%，然后求出货车速度与客车速度的比即可。
> 【解答】解：1：80%＝5：4
>
> 答：货车速度与客车速度的比是5：4。
>
> 故答案为：5：4。
>
> 【点评】解答本题关键是确定把货车的速度看作单位"1"。
19．【分析】要求行驶的路程与时间的比是多少，也就是用240与3的比，利用比的基本性质化成最简整数比即可；求比值，用比的前项除以比的后项即可；根据路程，速度，时间的关系即可得出答案。
> 【解答】解：240：3
>
> ＝（240÷3）：（3÷3）
>
> ＝80：1
>
> 240：3
>
> ＝240÷3
>
> ＝80
>
> 这个比值表示路程除以时间是速度。
>
> 故答案为：80：1，80，速度。
>
> 【点评】此题考查了比的基本性质的应用，以及速度、时间、路程的关系。
20．【分析】6名同学进行乒乓球比赛，每2名同学之间进行一场比赛，即进行循环赛制，所以每个同学和其它5名同学都要进行一场比赛，则所有同学参赛的场数为6×5＝30场，由于比赛是在两名同学之间进行的，所以共比赛30÷2＝15场。
> 【解答】解：6×（6﹣1）÷2
>
> ＝30÷2
>
> ＝15（场）
>
> 答：一共要打15场乒乓球比赛。
>
> 故答案为：15。
>
> 【点评】在循环赛制中，参赛人数和比赛场数的关系为：比赛场数＝参赛人数×（参赛人数﹣1）÷2。
**三、计算（4道大题，共26分）**
21．【分析】依据比的基本性质进行运算，比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外）比值不变。
> 【解答】6：12＝1：2
>
> 0.3：0.9＝1：3
>
> 1：0.2＝5：1
>
> ：＝2：1
>
> ：＝5：2
>
> ：＝6：5
>
> 【点评】本题主要考查了运用比的基本性质化简比，熟练掌握比的基本性质是解决本题的关键。
22．【分析】求比值的方法就是前项除以后项，前项和后项都是小数的可以先化成整数，是带分数的要先化成假分数，再运用求比值的方法去求。
> 【解答】解：48：16＝3
>
> 0.4：0.15＝
>
> 0.125：1＝
>
> ：＝
>
> 1：0.5＝3
>
> 2：0.4＝
>
> 【点评】本题考查了求比值的方法，运用比与除法的关系去求比值即可。
23．【分析】（1）先算除法，再算加法；
> （2）按照从左到右的顺序计算即可；
>
> （3）按照乘法分配律进行计算；
>
> （4）按照乘法分配律计算。
>
> 【解答】解：（1）+÷
>
> ＝+
>
> ＝
>
> （2）×÷
>
> ＝×
>
> ＝
>
> （3）×+÷
>
> ＝×+×
>
> ＝×（+）
>
> ＝×1
>
> ＝
>
> （4）（）×72
>
> ＝72××72
>
> ＝30﹣8
>
> ＝22
>
> 【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
24．【分析】（1）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时乘即可。
> （2）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时除以1.1即可。
>
> （3）首先根据等式的性质，两边同时减去0.25，然后两边再同时乘3即可。
>
> 【解答】解：（1）*x*﹣*x*＝
>
> *x*＝
>
> *x*×＝×
>
> *x*＝
>
> （2）76%*x*+34%*x*＝2
>
> 1.1*x*＝2.2
>
> 1.1*x*÷1.1＝2.2÷1.1
>
> *x*＝2
>
> （3）25%+*x*＝0.2
>
> 0.25+*x*＝0.2
>
> 0.25+*x*﹣0.25＝0.2﹣0.25
>
> *x*＝﹣0.05
>
> *x*×3＝﹣0.05×3
>
> *x*＝﹣0.15
>
> 【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。
**四、操作与分析（4道大题，共18分）**
25．【分析】（1）把300看作单位"1"，要求的数相当于300的（1+），根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。
> （2）把300看作单位"1"，求它的60%是多少，根据一个数乘百分数的意义，用乘法解答。
>
> 【解答】解：（1）列式为：300×（1+）。
>
> （2）列式为：300×60%。
>
> 故答案为：300×（1+）；300×60%。
>
> 
>
> 【点评】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式解答。
26．【分析】左边的立体图形由5个相同的小正方体组成。从正面能看到4个相同的正方形，分两层，下层3个，上层居中1个；从上面能看到4个相同的正方形，分两层，上层3个，下层居中1个；从右面能看到3个相同的正方形，分两层，上层1个，下层2个，右齐。
> 【解答】解：
>
> 
>
> 【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形。
27．【分析】（1）把六（1）班学生总人数看作单位"1"踢足球的有10人，占全班人数的20%，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法求出全班人数；根据减法的意义，用减法求出参加乒乓球活动的人数占全班人数的百分之几，根据一个数乘百分数的意义，用乘法求出参加各种活动的人数。据此完成统计图。
> （2）①根据减法的意义，用减法求出参加乒乓球活动的人数占全班人数的百分之几。
>
> ②把六（1）班学生总人数看作单位"1"踢足球的有10人，占全班人数的20%，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法求出全班人数。
>
> ③根据求一个数比另一个数多几，用减法解答。
>
> 【解答】解：（1）作图如下：
>
> 
>
> （2）①1﹣30%﹣20%﹣40%＝10%
>
> 答：打乒乓球的学生占全班学生人数的10%。
>
> ②10÷20%
>
> ＝10÷0.2
>
> ＝50（人）
>
> 答：六（1）班学生共有50人。
>
> ③踢毽球的人数：50×40%＝20（人）
>
> 打乒乓球的人数：50×10%＝5（人）
>
> 其他的人数：50×30%＝15（人）
>
> 20﹣5＝15（人）
>
> 答：踢毽球的学生人数比打乒乓球的人数多15人。
>
> 故答案为：10%、50、15.
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握扇形统计图、条形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
28．【分析】（1）阴影部分面积＝长方形的面积﹣圆的面积，圆的半径是1分米，长方形的边长是2.8分米，宽等于圆的直径，然后根据圆的面积和长方形的面积公式代入数据解答即可。
> （2）观察图形可知，两个扇形面积之和，正好比正方形的面积多加了中间阴影部分的面积，所以用两个扇形的面积之和（即半径是20厘米的圆面积的一半）减去正方形的面积就是阴影部分的面积。
>
> 【解答】解：（1）2.8×（1×2）﹣3.14×1^2^
>
> ＝2.8×2﹣3.14×1
>
> ＝5.6﹣3.14
>
> ＝2.46（平方分米）
>
> 答：阴影部分的面积是2.46平方分米。
>
> （2）3.14×20^2^÷2﹣20×20
>
> ＝3.14×400÷2﹣400
>
> ＝628﹣400
>
> ＝228（平方厘米）
>
> 答：阴影部分的面积是228平方厘米。
>
> 【点评】此题主要考查长方形、正方形、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
**五、问题解决（6道大题，共26分）**
29．【分析】（1）把全文字数看作单位"1"，根据百分数除法的意义，用第一天打字的字数除以所占的百分率就是全文字数。
> 【解答】解：（1）1200÷30%＝4000（字）
>
> 答：全文有4000字。
>
> （2）（1500﹣1200）÷1200
>
> ＝300÷1200
>
> ＝0.25
>
> ＝25%
>
> 答：气第二天比第一天多打了25%。
>
> 【点评】已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的百分率；求一个数比另一个数多（或少）百分之几，用这两数之差除以另一个数。
30．【分析】把作业错误的人数看作单位"1"，作业都做对的人数是作业有错误人数的（1+），根据分数除法的意义，用作业都做对的人数除以（1+）就是作业有错误的人数。
> 【解答】解：24÷（1+）
>
> ＝24÷
>
> ＝18（人）
>
> 答：做错的学生有18人。
>
> 【点评】此题是考查分数除法的意义及应用。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率。
31．【分析】设这个工厂一共要做*x*个口罩，根据剩余口罩占要生产口罩个数的（1﹣45%），及剩余个数，列方程求解即可。
> 【解答】解：设这个工厂一共要做*x*个口罩，
>
> （1﹣45%）*x*＝1540
>
> 0.55*x*＝1540
>
> *x*＝2800
>
> 答：这个工厂一共要做2800个口罩。
>
> 【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为*x*，由此列方程解决问题。
32．【分析】根据"路程÷时间＝速度"，用这两地的距离除以两车相遇的时间就是同两车的速度之和，把两车的速度之和看作单位"1"，较快车的速度占两车速度和的，根据分数乘法的意义，用两车的速度之和乘就是较快的一辆车的速度。
> 【解答】解：510÷3.4×
>
> ＝150×
>
> ＝80（千米/时）
>
> 答：较快的一辆车的速度是80千米/时。
>
> 【点评】根据路程、速度、时间三者之间的关系求出两车的速度和后，后面的问题属于按比例分配问题，关键是把比转化成分数，再根据分数乘法的意义解答。
33．【分析】（1）此题中，本金是20000元，时间是2年，利率是2.43%，利息税为20%，求应得本金和利息一共多少元，运用关系式：本息＝本金+本金×年利率×时间；
> （2）求税后本息，运用关系式：本息＝本金+利息×（1﹣20%），解决问题。
>
> 【解答】解：（1）20000+20000×2.43%×2
>
> ＝20000+20000×0.0243×2
>
> ＝20000+972
>
> ＝20972（元）
>
> 答：到期时他应得本金和利息一共20972元。
>
> （2）20000+972×（1﹣20%）
>
> ＝20000+972×0.8
>
> ＝20000+777.6
>
> ＝20777.6（元）
>
> 答：他实际得到本金和利息一共20777.6元。
>
> 【点评】这种类型属于利息问题，运用关系式"利息＝本金×年利率×时间""本息＝本金+利息×（1﹣20%）"，找清数据与问题，代入公式计算即可。
34．【分析】（1）通过比较蚂蚁和虫子所行路线的长度，说明结果。
> （2）通过比较蚂蚁和虫子所行路线的长度，说明结果。
>
> （3）通过比较上面的两次比赛结果，通过计算得出结论。
>
> 利用圆的周长公式：*C*＝π*d*＝2π*r*，计算各线路长度即可。
>
> 【解答】解：（1）2π+2π＝4π
>
> （2+2）π＝4π
>
> 所以，蚂蚁和虫子所行路线一样长，所以蚂蚁和虫子同时到达。
>
> （2）1×π+2×π+1×π＝4π
>
> （1+2+1）π＝4π
>
> 所以，蚂蚁和虫子所行路线一样长。
>
> （3）通过比较两次所行路线的长度可知，当大圆的直径等于几个小圆直径的和时，沿大圆圆周所行一圈（或半圈）所行路程与沿各小圆一圈（或半圈）所行路程相等。
>
> 如图：
>
> 
>
> 路线①＝路线②
>
> 设线路②的圆的直径分别为：*d*~1~、*d*~2~、*d*~3~，则线路①的圆的直径*d*＝（*d*~1~+*d*~2~+*d*~3~）
>
> 利用圆的周长公式，有
>
> π*d*~1~+π*d*~2~+π*d*~3~＝π（*d*~1~+*d*~2~+*d*~3~）＝π*d*
>
> 所以两条线路一样长。
>
> 【点评】此题主要是考查圆周长计算。此题不难看出，路线1各半圆的直径之和，等于路线2的直径，两条路线长度相等。
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日期：2021/4/27 16:02:45；用户：18538596816；邮箱：18538596816；学号：27024833
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**小学三年级下册数学奥****数知****识****点讲解第****5课《归一问题》试题附****答案**
\[来源:Zxxk.Com\]
\
答案
\[来源:学+科+网\]
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\[来源:学科网\]\[来源:学科网\]
三年级奥数下册：第五讲 归一问题 习题解答
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**北师大版小学四年级下册数学第一单元《小数的认识和加减法》单元测试3（无答案）**
一、直接写出得数。（共18分）来源：www.bcjy123.com/tiku/
0.8＋0 = 5.86－1.35 = 7－4.8 =
0.9＋9.1 = 1.85＋0.15 = 8.96－0.96 =
4.125－3 = 50.62－0.62 = 6.4＋3.6 =
二、数学门诊部。（对的打"√"，错的打"×"。）（共8分）
1 2 . 6 4 . 4 5
[＋ 2 . 8 4]{.underline} [－ 3]{.underline}
4 . 1 0 4 . 4 2
1 0 7 . 3
[－ 2 . 5]{.underline} [＋ 1 2 . 7 6]{.underline}
8 . 5 2 0 . 0 6
三、在括号里填上适当的数。（共6分）
52平方分米 =（ ）平方米 426米 =（ ）千米
627克 =（ ）千克 70千克 =（ ）吨
4角8分 =（ ）元 2元4角 =（ ）元
四、在○里填上"﹥""﹤"或"="。（共6分）
0.41 0.406 1.45 1.54 0.081 0.080
0.90 0.9 4.928 5.0 0.1 0.100
五、用竖式计算。（共12分）
0.832＋0.718 11.07－0.89 10－0.52
六、计算下面各题，能简便计算就简便计算。（共16分）来源：www.bcjy123.com/tiku/
42.9＋31.1＋2.04 100－27.2－42.8
9－（3.02＋1.25） 1.8－1.57＋0.2
来源：www.bcjy123.com/tiku/
七、根据要求写小数，每题写出4个。（共10分）
1、在0.8与0.9之间：（ ）、（ ）、（ ）、（ ）
2、在0与0.1之间：（ ）、（ ）、（ ）、（ ）
八、应用题。（每题8分，共24分）
1、小明很喜欢上面的食品，但他最终只买了其中的两样食品。他付给售货员5元钱，猜一猜他买的可能是哪两样？
2、如果小明只有4元钱，他只能买哪两样食品？
3、从小明买了果冻和薯片各一袋，付给售货员15元，应找回多少钱？
**第一单元测试卷的部分答案：**
二、× × × √
三、0.52 0.426 0.627 0.07 0.48 2.4
四、﹥ ﹤ ﹥ = ﹤ =
五、1.55 10.18 9.48
六、76.04 30 4.78 0.43
七、1、0.81 0.82 0.83 0.85
2、0.01 0.02 0.03 0.04（以上答案不惟一。）
八、1、饼干和虾条或瓜子和虾条
2、瓜子和虾条
3、3.89元
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1. 甲乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。原来两筐水果各有多少个？
2. 甲乙两筐苹果共重83千克，如果从甲筐取出3千克后，甲筐苹果的重量就是乙筐的4倍。甲乙两筐苹果原来各重多少千克？
3. 同学参加兴趣小组，参加数学和英语小组的有25人，参加英语和手工小组的有36人，参加手工和科学小组的有28人，那么，参加数学和科学小组的有多少人？
4. 一个笼子里有鸡和兔共10个头，28条腿，鸡和兔各有多少只？
5.一个班有56人，自习课上，有8名同学正在看小说，其余同学中，自习课中写了语文作业的有42人，写了数学作业的有38人。两种作业都写的同学有多少人？
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**江苏省苏州市2020年中考数学试题**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．**
1.在下列四个实数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：根据实数大小比较的方法，可得-2＜0＜＜，
所以四个实数中，最小的数是-2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10^-n^，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00000164=1.64×10^-6^，\
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成a×10^n^的形式是关键．
3.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据幂的运算法则逐一计算可得．
【详解】解： A、，此选项错误；\
B、，此选项错误；\
C、，此选项错误；\
D、，此选项正确；\
故选：D．
【点睛】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则．
4.如图，一个几何体由5个相同的小正方体搭成，该几何体的俯视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
根据组合体的俯视图是从上向下看的图形，即可得到答案．
【详解】组合体从上往下看是横着放的三个正方形．
故选C．
【点睛】本题主要考查组合体三视图，熟练掌握三视图的概念，是解题的关键．
5.不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：移项得，2x≤3+1，
合并同类项得，2x≤4，
系数化为1得，x≤2，\
在数轴上表示为：
故选：C．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知"小于向左，大于向右，在表示解集时≥，≤要用实心圆点表示；＜，＞要用空心圆点表示"是解答此题的关键．
6.某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如下表所示（单位：）：
------------ --- --- --- ---
日走时误差 0 1 2 3
只数 3 4 2 1
------------ --- --- --- ---
则这10只手表的平均日走时误差（单位：）是（ ）
A. 0 B. 0.6 C. 0.8 D. 1.1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据加权平均数的概念，列出算式，即可求解．
【详解】由题意得：（0×3+1×4+2×2+3×1）÷10=1.1（s）
故选D．
【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法，是解题的关键．
7.如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长．
【详解】延长CE交AB于F，如图，
根据题意得，四边形CDBF为矩形，
∴CF=DB=b，FB=CD=a，
在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，
tan∠ACF=
∴AF=,
AB=AF+BF=，
故选：A．
【点睛】主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在．
8.如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OC，易证，进一步可得出四边形CDOE为正方形，再根据正方形的性质求出边长即可求得正方形的面积，根据扇形面积公式得出扇形AOB的面积，最后根据阴影部分的面积等于扇形AOB的面积剪去正方形CDOE的面积就可得出答案．
【详解】连接OC
点为的中点
在和中
又
四边形CDOE为正方形
由扇形面积公式得
故选B．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算、正方形的判定及性质，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
9.如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案．
【详解】解：设=x°.
根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC, =AB.
∴∠=∠B.
∵，∴∠C=∠CA=x°.
∴∠=∠C+∠CA=2x°.
∴∠B=2x°.
∵∠C+∠B+∠CAB=180°，，
∴x+2x+108=180.
解得x=24.
∴的度数为24°.
故选：C.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.
10.如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意求出反比例函数解析式，设出点C坐标，得到点B纵坐标，利用相似三角形性质，用表示求出OA，再利用平行四边形的面积是构造方程求即可．
【详解】解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H
∵四边形是平行四边形
∴易得CH=AF
∵点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点
∴ 即反比例函数解析式为
∴设点C坐标为
∵
∴
∴
∴
∴
∴，点B坐标为
∵平行四边形的面积是
∴
解得（舍去）
∴点B坐标为
故应选：B
【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，涉及到相似三角形的的性质、反比例函数的性质，解答关键是根据题意构造方程求解．
**二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．**
11.使在实数范围内有意义的的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式，即可求解．
【详解】∵x-1≥0，
∴x≥1．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．
12.若一次函数的图像与轴交于点，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】2
【解析】
【分析】
把点（m，0）代入y=3x-6即可求得m的值．
【详解】解：∵一次函数y=3x-6的图象与x轴交于点（m，0），\
∴3m-6=0，\
解得m=2.\
故答案为:2．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
13.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：∵由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个区域中所占的比值=，
∴小球停在黑色区域的概率是；
故答案为：
【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．
14.如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】25
【解析】
【分析】
先由切线的性质可得∠OAC=90°，再根据三角形的内角和定理可求出∠AOD=50°，最后根据"同弧所对的圆周角等于圆心角的一半"即可求出∠B的度数．
【详解】解：∵是的切线，
∴∠OAC=90°
∵，
∴∠AOD=50°，
∴∠B=∠AOD=25°
故答案为：25．
【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
15.若单项式与单项式是同类项，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m-1=2,n+1=2,分别求出m,n的值，再代入求解即可.
【详解】解：∵单项式与单项式是同类项，
∴m-1=2,n+1=2,
解得：m=3,n=1.
∴m+n=3+1=4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了同类项的概念，正确理解同类项的定义是解题的关键.
16.如图，在中，已知，，垂足为，．若是的中点，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据"两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似"证明△ADB∽△EDC，得，由AB=2则可求出结论．
【详解】
为的中点，
，
∴，
，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定与性质，得出是解答此题的关键．
17.如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
过点*C*作*CD*⊥*y*轴，交*y*轴于点*D*，则CD*∥*AO，先证*CDE*≌*CDB*（ASA），进而可得*DE*＝*DB*＝4－*n*，再证*AOE*∽*CDE*，进而可得，由此计算即可求得答案．
【详解】解：如图，过点*C*作*CD*⊥*y*轴，交*y*轴于点*D*，则*CD∥AO*，
∴∠*DCE*＝∠*CAO*，
∵∠*BCA*＝2∠*CAO*，
∴∠*BCA*＝2∠*DCE*，
∴∠*DCE*＝∠*DCB*，
∵*CD*⊥*y*轴，
∴∠*CDE*＝∠*CDB*＝90°，
又∵*CD*＝*CD*，
∴*CDE*≌*CDB*（ASA），
∴*DE*＝*DB*，
∵*B*（0，4），*C*（3，*n*），
∴*CD*＝3，*OD*＝*n*，*OB*＝4，
∴*DE*＝*DB*＝*OB*－*OD*＝4－*n*，
∴*OE*＝*OD*－*DE*
＝*n*－（4－*n*）
＝2*n*－4，
∵*A*（－4，0），
∴*AO*＝4，
∵*CD*∥*AO*，
∴*AOE*∽*CDE*，
∴ ，
∴，
解得：，
故答案：．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点的坐标的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
18.如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，根据等腰三角形的性质得OH⊥AB，AH=BH，从而得四边形ABED是平行四边形，利用勾股定理和三角形的面积法，求得AG的值，进而即可求解．
【详解】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，
由尺规作图步骤，可得：OD是∠MON的平分线，OA=OB，
∴OH⊥AB，AH=BH，
∵，
∴DE∥AB，
∵，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE=12，
∴AH=6，
∴OH=，
∵OB∙AG=AB∙OH，
∴AG===，
∴=．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质定理，勾股定理，锐角三角函数的定义，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
**三、解答题：本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．**
19.计算：．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据算术平方根、乘方的定义、零指数幂法则计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．
20.解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】
根据解分式方程的步骤解答即可．
【详解】解：方程两边同乘以（），得.
解这个一元一次方程，得．
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键．
21.如图，"开心"农场准备用的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为，宽为．
（1）当时，求的值；
（2）受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．
【答案】（1）b=15；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据等量关系"围栏的长度为50"可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b的值；
（2）由（1）可得a,b之间的关系式，用含有b的式子表示a,再结合，列出关于b的不等式组，接着不等式组即可求出b的取值范围.
【详解】解：（1）由题意，得，
当时，．
解得．
（2）∵，，
∴
解这个不等式组，得．
答：矩形花园宽的取值范围为．
【点睛】此题主要考查了列代数式，正确理解题意得出关系式是解题关键．还考查了解不等式组，难度不大.
22.为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了"垃圾分类知识竞赛"，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．
（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：
方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；
方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；
方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．
其中抽取的样本具有代表性的方案是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（填"方案一"、"方案二"或"方案三"）
（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为"优秀"，60分及以上为"及格"）：
---------------------------- -------- -------- -------- -------- --------
样本容量 平均分 及格率 优秀率 最高分 最低分
100 93.5 100 80
分数段统计（学生成绩记为）
分数段
频数 0 5 25 30 40
---------------------------- -------- -------- -------- -------- --------
请结合表中信息解答下列问题：
①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；
②估计该校1200名学生中达到"优秀"的学生总人数．
【答案】（1）方案三；（2）①该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在分数段内；②该校1200名学生中达到"优秀"的学生总人数为840人
【解析】
分析】
（1）抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的．
（2）①根据中位数的定义，即可求出这次竞赛成绩的中位数所落的分数段；
②用优秀率乘以该校共有的学生数，即可求出答案．
【详解】解：（1）要调查学生的答题情况，需要考虑样本具有广泛性与代表性，就是抽取的样本必须是随机的，则抽取的样本具有代表性的方案是方案三．
答案是：方案三；
（2）①∵由表可知样本共有100名学生，\
∴这次竞赛成绩的中位数是第50和51个数的平均数，\
∴这次竞赛成绩的中位数落在落在分数段内；\
∴该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在分数段内；
②由题意得：（人）．
∴该校1200名学生中达到"优秀"学生总人数为840人．
【点睛】解决此题，需要能从统计表中获取必要的信息，根据题意列出算式是本题的关键，用到的知识点是抽样的可靠性，中位数的定义，用样本估计总体等．
23.如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
根据矩形的性质可得，，．再根据"两直线平行，内错角相等"可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据"有两组角对应相等的两个三角形相似"可得出结论；
根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可.
【详解】证明：（1）∵四边形是矩形，
∴，．
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
解：（2）∵，
∴．
∵，是的中点，
∴．
∴在中，．
又∵，
∴，
∴．
【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.
24.如图，二次函数的图像与轴正半轴交于点，平行于轴的直线与该抛物线交于、两点（点位于点左侧），与抛物线对称轴交于点．
（1）求的值；
（2）设、是轴上的点（点位于点左侧），四边形为平行四边形．过点、分别作轴的垂线，与抛物线交于点、．若，求、的值．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）根据直线与抛物线对称轴交于点可得对称轴为直线，由此即可求得*b* 的值；
（2）先求得点B、C的坐标，可得，再根据四边形为平行四边形可得，即，最后根据，，可得或，由此分别与联立方程组求解即可．
【详解】解：（1）∵直线与抛物线的对称轴交于点，
∴抛物线的对称轴为直线，
即，
∴．
（2）由（1）得：抛物线的解析式为，
把代入抛物线的解析式，
得，
解得或3，
∴、两点的坐标为，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∴或，
由，解得
由解得
∴、的值为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像性质以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的相关性质是解决本题的关键．
25.问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，．
求证：．
问题2：如图②，在四边形中，，是上一点，，．求的值．
【答案】问题1：见解析；问题2：
【解析】
【分析】
问题1：先根据AAS证明，可得，，由此即可证得结论；
问题2：分别过点、作的垂线，垂足为、，由（1）可知，利用45°的三角函数值可得，，由此即可计算得到答案．
【详解】问题1：证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，，
∴．
问题2：如图，分别过点、作的垂线，垂足为、．
由（1）可知，
在和中，，
∴，，
，．
∴，．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、解直角三角形，作出正确的辅助线并能利用解直角三角形的相关知识是解决本题的关键．
26.某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润（元）与销售量之间函数关系的图像如图中折线所示．请你根据图像及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
------------- ---------------------------------------------------------------------
日期 销售记录
6月1日 库存，成本价8元/，售价10元/（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日 从6月1日至今，一共售出．
6月10、11日 这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/．
6月12日 补充进货，成本价8.5元/．
6月30日 水果全部售完，一共获利1200元．
------------- ---------------------------------------------------------------------
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图像中线段所在直线对应的函数表达式．
【答案】（1）400元；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据利润= （售价-成本价）×销售量计算即可；
（2）设点坐标为，根据题意列出方程计算即可求得，再利用待定系数法即可求得线段所在直线对应的函数表达式．销售量
【详解】解：（1）（元）．
答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元．
（2）设点坐标为．
根据题意，得，
解这个方程，得．
∴点坐标为．
设线段所在直线的函数表达式为，
∵两点坐标分别为，，
∴
解这个方程组，得．
∴线段所在直线的函数表达式为．
【点睛】本题考查了一次函数的实际运用，熟练掌握利润= （售价-成本价）×销售量以及待定系数法求一次函数表达式是解决本题的关键．
27.如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）求的值；
（2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形的面积．
【答案】（1）8cm；（2）存在，当t=4时，线段OB的长度最大，最大为；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，，由此可求得的值；
（2）过作，垂足为，则，设线段的长为，可得，，，根据可得，进而可得，由此可得，由此可得，则可得到答案；
（3）先证明是等腰直角三角形，由此可得，再利用勾股定理可得，最后根据四边形的面积即可求得答案．
【详解】解：（1）由题可得：，．
∴．
（2）当时，线段的长度最大．
如图，过作，垂足为，则．
∵平分，
∴，
∴，．
设线段的长为，
则，，．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
∴．
∴当时，线段的长度最大，最大为．
（3）∵，
∴是圆的直径．
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形．
∴
．
在中，．
∴四边形的面积
．
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，直径的判定及性质，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．
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**2019-2020学年湖南省长沙市雨花区五年级（上）期末数学试卷**
**一、填空题（共28分）**
1．（2分）一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数[ ]{.underline}，一个数（0除外）除以大于1的数，商比被除数[ ]{.underline}．
2．（2分）一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫[ ]{.underline}小数．9.9666...循环节是[ ]{.underline}．
3．（2分）建国初期，我国男性人均寿命是*x*岁，人均身高是166*cm*．到2018年，我国男性人均寿命增加了36岁，人均身高增长了*ycm*，2018年，我国男性人均寿命[ ]{.underline}岁，人均身高[ ]{.underline}．
4．（5分）下面各题的积或商哪些是小于1的？在括号里画"√"。
> 
5．（8分）在〇里填"+""﹣""×"或"÷"，在□里填上适当的数．
> 
6．（3分）如表是小杰摸球情况统计表，他摸了50次，每次摸出一个球后再放回袋内．
------ ---- ---- ----
颜色 红 黄 蓝
次数 34 3 13
------ ---- ---- ----
> 根据统计表，回答问题：
>
> ①袋内的[ ]{.underline}球最多，[ ]{.underline}球最少．
>
> ②再摸一次，摸出[ ]{.underline}球的可能性最大．
7．（1分）用方程表示如图的数量关系式是[ ]{.underline}．
> 
8．（1分）小丽坐在第3行第6列，用数对表示是（6，3）；佳佳坐在第7行第5列，用数对表示是（[ ]{.underline}，[ ]{.underline}）．
9．（1分）学校沿笔直的校园小路一侧植树，每隔8米种一棵，一共种了21棵．从第一棵到最后一棵的距离是[ ]{.underline}米．
10．（3分）在横线上用字母表示出下列图形的面积。
> 
**二、计算题（共20分）**
11．（4分）直接写得数．
--------- ------------ ----------- ------------
4.2÷3＝ 2.1×0.3＝ 0.15×40＝ 0.54÷9＝
4.5+5＝ 0.12×0.6＝ 8﹣0.8＝ 3^2^×0.2＝
--------- ------------ ----------- ------------
12．（4分）列竖式计算（第②小题保留两位小数）
> ①4.8×1.25＝
>
> ②12.4÷1.3≈
13．（6分）计算下面各题，怎么简便怎么算．
-------------------- ------------ -------------------
（16.8+1.47）÷0.07 1.3×98+2.6 8.3+24.9+2.11+4.7
-------------------- ------------ -------------------
14．（6分）解方程。
------------------- ------------------- ----------------
15*x*﹣12*x*＝3.6 3（2*x*+4.2）＝21 2.4*x*﹣37＝65
------------------- ------------------- ----------------
**三、选择题（选择正确答案的序号填在括号里）（共5分）**
15．（1分）哥哥的钱数是妹妹的两倍，如果哥哥拿4元钱给妹妹，那么兄妹俩的钱数就一样多．妹妹原来有（ ）元钱．
A．2 B．4 C．8 D．16
16．（1分）周老师骑自行车每小时能行驶12千米，他从家到学校骑车要用18分钟，如果换成步行，他从家到学校需要0.5小时，求周老师步行速度的算式是（ ）
A．12×18×0.5 B．12×18÷0.5
C．12×0.18÷0.5 D．12×（18÷60）÷0.5
17．（1分）在一个周长是120米池塘周围，每隔8米栽一棵树，一共要栽（ ）棵树．
A．14 B．15 C．16 D．30
18．（1分）如图，"*ac*"表示的是（ ）
> 
A．甲的面积 B．乙的面积
C．甲乙面积之和 D．甲乙面积之差
19．（1分）下列算式中，正确的有（ ）个．
> ①1.25×0.7×0.8＝1.25×0.8×0.7②1.9÷0.1＝19÷1＝1.9×10③19.8÷3.3＝3.3÷19.8④*m*^2^＝*m*×2
A．1 B．2 C．3 D．4
**四、操作题（共7分）**
20．（4分）如图，*A*点用数对表示为（3，4）．
> 
>
> ①*B*点用数对表示是（[ ]{.underline}，[ ]{.underline}），*C*点用数对表示是（[ ]{.underline}，[ ]{.underline}）．
>
> ②将三角形*ABC*先向右平移7格，再向上平移3格后，得到三角形*A*′*B*′*C*′．画出三角形*A*′*B*′*C*′．
21．（3分）计算图中阴影部分的面积。
> 
**五、解决问题（每题5分，共20分）**
22．（5分）一张商品销售单据被墨水弄污了（如图），请先仔细观察，然后算出钢笔的单价．
> 
23．（5分）学校在校园围墙外设置了5个停车位（如图），每个停车位占地面积是多少平方米？
> 
24．（5分）超市购进甲和乙两种品牌的大米共101袋，其中甲品牌大米的袋数比乙品牌的1.2倍还多24袋．超市购进甲、乙两种品牌两种的大米各多少袋？（列方程解答）
25．（5分）某市自来水公司为鼓励居民节约用水，对用水量采取按月分段计费的方法收取水费，用水量在规定吨数以内的按基本标准收费，超过规定吨数的部分提高收费标准．下面是李老师家一至六月份用水量和缴纳水费的情况：
---------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------
月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月
用水量（吨） 8 10 12 14 11 13
应缴水费（元） 24 30 38 46 34 42
---------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------
> 根据表中提供的信息，回答下面的问题．
>
> ①每月用水量的规定吨数是[ ]{.underline}吨．
>
> ②基本标准是每吨收费[ ]{.underline}元．
>
> ③李老师家七月份用水20吨，应缴水费多少元？
**2019-2020学年湖南省长沙市雨花区五年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（共28分）**
1．【分析】（1）在乘积非零的乘法里，一个因数＞1，积＞另一个因数；一个因数＝1，积＝另一个因数；一个因数＜1，积＜另一个因数；
> （2）在商非零的除法里，除数＞1，商＜被除数；除数＝1，商＝被除数；除数＜1，商＞被除数；即可得解．
>
> 【解答】解：（1）因为一个因数大于1，
>
> 所以积比原来的数大；
>
> （2）因为除数大于1，
>
> 所以商比被除数小．
>
> 故答案为：大，小．
>
> 【点评】此题考查在乘法和除法算式中，根据一个因数、除数与1的大小关系，辨识积与另一个因数、商与被除数的大小关系；只要掌握规律，快速解答即可．
2．【分析】循环小数的意义：一个小数，从小数点后某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数；一个循环小数的小数部分依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节．即可解答．
> 【解答】解：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫 循环小数．9.9666...循环节是 6．
>
> 故答案为：循环，6．
>
> 【点评】此题主要考查循环小数和循环节的意义．
3．【分析】用建国初期的男性的人均寿命加上2018年人均增长的岁数，即可求出2018年我国男性的人均寿命；用建国初期的男性的人均身高加上2018年人均增长的身高，即可求出2018年我国男性的人均身高．
> 【解答】解：建国初期，我国男性人均寿命是*x*岁，人均身高是166*cm*．到2018年，我国男性人均寿命增加了36岁，人均身高增长了*ycm*，2018年，我国男性人均寿命 （*x*+36）岁，人均身高 （166+*y*）*cm*．
>
> 故答案为：（*x*+36），（166+*y*）*cm*．
>
> 【点评】做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．
4．【分析】根据小数乘除法的计算方法，分别求出各个算式的结果，再比较解答。
> 【解答】解：24×0.5＝12，12＞1，所以，24×0.5＞1；
>
> 52.5÷36≈1.46，1.46＞1，所以，52.5÷36＞1；
>
> 0.75÷2.5＝0.3，0.3＜1，所以，0.75÷2.5＜1；
>
> 12.8×1.5＝19.2，19.2＞1，所以，12.8×1.5＞1；
>
> 2×0.2＝0.4，0.4＜1，所以，2×0.2＜1。
>
> 故答案为：
>
> 。
>
> 【点评】含有算式的大小比较，先求出它们的结果，然后再按照小数大小比较的方法进行解答。
5．【分析】①小数乘法的计算，先看两个因数一共扩大多少倍，然后再把积缩小多少倍；
> ②在小数除法中，被除数，除数扩大相同的倍数，商不变．
>
> 【解答】解：
>
> 
>
> 故答案为：×，10，×，10，÷，100，×，100，×，100．
>
> 【点评】本题考查了小数乘法及小数除法的计算法则，由此进行解答即可．
6．【分析】①小杰一共摸了50次，其中摸到红球34次，摸到黄球3次，摸到篮球13次，说明袋内红球的个数最多，黄球的个数最少．
> ②如果再摸一次，摸出红球、黄球、蓝球的可能性都有．由于红球的个数最多，摸到的可能性也最大．
>
> 【解答】解：因为红球（34次）＞蓝球（13次）＞黄球（3次）
>
> 所以红球的个数最多，黄球的个数最少
>
> ①袋内的红球最多，黄球最少．
>
> ②再摸一次，摸出红球的可能性最大．
>
> 故答案为：红，黄，红．
>
> 【点评】袋中哪种颜色球的个数大，摸到的可能性就大，反之，摸到的可能性就小．
7．【分析】根据图意可得，左边三件物品的钱数+右边一件物品的钱数＝总钱数，据此列方程即可．
> 【解答】解：设左边每件物品*x*元，
>
> 用方程表示如图的数量关系式是：3*x*+14.8＝74.2
>
> 故答案为：3*x*+14.8＝74.2．
>
> 【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为*x*，由此列方程解决问题．
8．【分析】数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可解决问题．
> 【解答】解：根据数对表示位置的方法可得：小丽坐在第3行第6列，用数对表示是（6，3）；佳佳坐在第7行第5列，用数对表示是（5，7）．
>
> 故答案为：5；7．
>
> 【点评】此题考查了利用数对表示位置的方法的灵活应用．
9．【分析】由题意可知，一共种了21棵，是两端都栽，先用植树的棵数减去1，求出间隔数，再用每个间隔的长度乘上间隔数就是从第一棵到最后一棵的距离．
> 【解答】解：8×（21﹣1）
>
> ＝8×20
>
> ＝160（米）
>
> 答：从第一棵到最后一棵的距离是160米．
>
> 故答案为：160．
>
> 【点评】本题考查了两端都栽的植树问题：间隔数＝植树棵数﹣1．
10．【分析】根据平行四边形、三角形、梯形的面积公式解答此题即可。
> 【解答】解：
>
> 【点评】本题是一道基础题目，熟练掌握平行四边形、三角形、梯形的面积公式。
**二、计算题（共20分）**
11．【分析】根据小数加减乘除法的计算法则以及乘方的计算方法口算即可．
> 【解答】解：
------------ ----------------- ------------- ---------------
4.2÷3＝1.4 2.1×0.3＝0.63 0.15×40＝6 0.54÷9＝0.6
4.5+5＝9.5 0.12×0.6＝0.072 8﹣0.8＝7.2 3^2^×0.2＝1.8
------------ ----------------- ------------- ---------------
> 【点评】解答本题关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
12．【分析】根据小数乘除法的计算方法进行计算，注意根据四舍五入法保留两位小数．
> 【解答】解：①4.8×1.25＝6
>
> 
>
> ②12.4÷1.3≈9.54
>
> 
>
> 【点评】考查了整数乘除法的笔算，根据各自的计算方法进行计算，注意根据四舍五入法保留两位小数．
13．【分析】（1）先算小括号里面的加法，再算括号外的除法；
> （2）先把2.6分解成1.3×2，再根据乘法分配律简算；
>
> （3）根据加法交换律和结合律简算．
>
> 【解答】解：（1）（16.8+1.47）÷0.07
>
> ＝18.27÷0.07
>
> ＝261
>
> （2）1.3×98+2.6
>
> ＝1.3×98+1.3×2
>
> ＝1.3×（98+2）
>
> ＝1.3×100
>
> ＝130
>
> （3）8.3+24.9+2.11+4.7
>
> ＝（8.3+4.7）+（24.9+2.11）
>
> ＝13+27.01
>
> ＝40.01
>
> 【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算．
14．【分析】（1）先化简方程的左边，然后把方程的两边同时除以3即可；
> （2）先把方程的两边同时除以3，再同时减去4.2，最后同时除以2即可；
>
> （3）先把方程的两边同时加上37，再同时除以2.4即可．
>
> 【解答】解：（1）15*x*﹣12*x*＝3.6
>
> 3*x*＝3.6
>
> 3*x*÷3＝3.6÷3
>
> *x*＝1.2
>
> （2）3（2*x*+4.2）＝21
>
> 3（2*x*+4.2）÷3＝21÷3
>
> 2*x*+4.2＝7
>
> 2*x*+4.2﹣4.2＝7﹣4.2
>
> 2*x*＝2.8
>
> 2*x*÷2＝2.8÷2
>
> *x*＝1.4
>
> （3）2.4*x*﹣37＝65
>
> 2.4*x*﹣37+37＝65+37
>
> 2.4*x*＝102
>
> 2.4*x*÷2.4＝102÷2.4
>
> *x*＝42.5
>
> 【点评】本题考查了学生根据等式的性质解方程的方法，计算时要细心，注意把等号对齐．
**三、选择题（选择正确答案的序号填在括号里）（共5分）**
15．【分析】根据题意，利用差倍问题公式：差÷（倍数﹣1）＝较小数；较小数+差＝较大数．把数代入计算即可．
> 【解答】解：4×2÷（2﹣1）
>
> ＝8÷1
>
> ＝8（元）
>
> 答：妹妹原来有8元钱．
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】本题主要考查差倍问题，关键知道兄妹俩的钱数相差多少．
16．【分析】根据公式速度×时间＝路程计算出从家到学校的总路程，然后再用总路程除以步行的时间即可得到步行的速度，列式解答即可得到答案．
> 【解答】解：12×（18÷60）÷0.5
>
> ＝3.6÷0.5
>
> ＝7.2（千米/时）
>
> 答：周老师步行速度是7.2千米/时．算式是12×（18÷60）÷0.5．
>
> 故选：*D*．
>
> 【点评】解答此题的关键的确定从家到学校的总路程，然后再根据公式进行计算即可．
17．【分析】根据题意，利用植树问题公式：在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数＝间隔数．求间隔数就是植树棵数，用120÷8＝15（棵）．
> 【解答】解：120÷8＝15（棵）
>
> 答：一共要栽15棵树．
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】据题意，按照植树问题求出间隔数．
18．【分析】长方形的面积公式：长方形的面积＝长×宽，依此即可得出"*ac*"表示的意义．
> 【解答】解：观察图形可知，"*ac*"表示的是甲的面积．
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】考查了用字母表示数，关键是熟练掌握长方形的面积公式．
19．【分析】根据乘法交换律、商不变规律，小数乘除法的计算方法，以及乘方的意义，对各个算式进行分析，找出正确的算式即可求解．
> 【解答】解：①根据乘法交换律可知：
>
> 1.25×0.7×0.8＝1.25×0.8×0.7
>
> 本题计算正确；
>
> ②1.9÷0.1
>
> ＝（1.9×10）÷（0.1×10）
>
> ＝19÷1
>
> ＝19
>
> 1.9×10＝19
>
> 19＝19，本题计算正确；
>
> ③19.8÷3.3中被除数和除数位置交换后，结果会发生变化，
>
> 19.8÷3.3≠3.3÷19.8
>
> 本题计算错误；
>
> ④*m*^2^＝*m*×*m*≠*m*×2
>
> 本题计算错误；
>
> 正确的算式有2个．
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】本题综合考查了小数的乘除法的计算方法以及乘法交换律、商不变规律和乘方的意义，解答时要注意看清算式的数据和运算符号，逐题分析．
**四、操作题（共7分）**
20．【分析】①根据数对确定位置的方法确定*B*点和*C*点的位置．
> ②根据平移的特征，将三角形*ABC*的三个顶点分别先向右平移7格，再向上平移3格后，然后顺次连接，即可得到三角形*A*′*B*′*C*′．
>
> 【解答】解：①*B*点用数对表示是（ 1，1），*C*点用数对表示是（ 6，1）．
>
> ②三角形*ABC*先向右平移7格，再向上平移3格后，得到三角形*A*′*B*′*C*′，
>
> 如图：
>
> 
>
> 故答案为：1；1；6；1．
>
> 【点评】此题考查了数对的写法，即先看在第几列，这个数就是数对中的第一个数；再看在第几行，这个数就是数对中的第二个数．
21．【分析】阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，然后根据正方形的面积公式*S*＝*a*^2^解答即可。
> 【解答】解：40×40﹣20×20
>
> ＝1600﹣400
>
> ＝1200（平方厘米）
>
> 答；阴影部分的面积是1200平方厘米。
>
> 【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。
**五、解决问题（每题5分，共20分）**
22．【分析】由统计图中可知，练习本花了9元，练习本和钢笔一共花了38元，用38﹣9计算可以得到钢笔花的钱数，再根据统计图可知购买了两支钢笔，用钢笔的钱数除以2即可得到钢笔的单价．
> 【解答】解：（38﹣9）÷2
>
> ＝29÷2
>
> ＝14.5（元）
>
> 答：钢笔的单价是14.5元
>
> 【点评】此题主要考查从统计图表中获取信息，从统计图表中获取解答问题的信息是解答本题的关键．
23．【分析】根据图形可知，五个平行四边形的底边之和是14米，每个平行四边形的高是5.2米，用14÷5计算可以得到一个平行四边形的底边，然后乘高即可得到每个停车位占地面积是多少平方米．
> 【解答】解：14÷5×5.2
>
> ＝2.8×5.2
>
> ＝14.56（平方米）
>
> 答：每个停车位的面积是14.56平方米．
>
> 【点评】本题考查平行四边形的面积，明确平行四边形的面积＝底×高是解答本题的关键．
24．【分析】首先设超市购进乙品牌的大米*x*袋，则购进甲品牌的大米（1.2*x*+24）袋，然后根据：购进甲品牌的大米的袋数+购进乙品牌的大米的袋数＝101，列出方程，求出*x*的值是多少，再用101减去超市购进乙品牌的大米的袋数，求出超市购进甲品牌的大米多少袋即可．
> 【解答】解：设超市购进乙品牌的大米*x*袋，则购进甲品牌的大米为（1.2*x*+24）袋，
>
> 1.2*x*+24+*x*＝101
>
> 2.2*x*+24＝101
>
> 2.2*x*+24﹣24＝101﹣24
>
> 2.2*x*＝77
>
> 2.2*x*÷2.2＝77÷2.2
>
> *x*＝35
>
> 101﹣35＝66（袋）
>
> 答：超市购进甲品牌的大米66袋，购进乙品牌的大米35袋．
>
> 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．
25．【分析】①根据表格中的数据可以计算出一月份和二月份的平均水价，然后用这个平均书价乘11与五月份的水费比较大小，即可得到规定吨数；
> ②根据①中得到的规定吨数，用24÷8计算即可得到基本标准是每吨收费多少元；
>
> ③根据①中的结果和②的结果，可以计算出李老师家七月份用水20吨，应缴水费多少元．
>
> 【解答】解：①一月份每吨水的价格为：24÷8＝3（元）
>
> 二月份每吨水的价格为：30÷10＝3（元）
>
> 五月份用水11吨，如果按照标准缴费11×3＝33（元）
>
> 因为33＜34，
>
> 所以每月用水量的规定吨数是10吨；
>
> ②24÷8＝3（元）
>
> 答：基本标准是每吨收费3元；
>
> ③因为10吨是标准，
>
> 所以超出10吨后的每吨水的价格为：34﹣10×3＝4（元）
>
> 10×3+（20﹣10）×4
>
> ＝30+10×4
>
> ＝30+40
>
> ＝70（元）
>
> 答：李老师家七月份用水20吨，应缴水费70元．
>
> 故答案为：10，3．
>
> 【点评】此题主要考查从统计图表中获取信息，从统计图表中获取解答问题的信息是解答本题的关键．
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**2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）**
1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
3．（5分）不等式组的解集为（ ）
A．{x\|﹣2＜x＜﹣1} B．{x\|﹣1＜x＜0}
C．{x\|0＜x＜1} D．{x\|x＞1}
4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（ ）
A．y=（1﹣e^x^）^3^（x＞﹣1） B．y=（e^x^﹣1）^3^（x＞﹣1）
C．y=（1﹣e^x^）^3^（x∈R） D．y=（e^x^﹣1）^3^（x∈R）
6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
8．（5分）设等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~．若S~2~=3，S~4~=15，则S~6~=（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F~1~、F~2~，离心率为，过F~2~的直线l交C于A、B两点，若△AF~1~B的周长为4，则C的方程为（ ）
A．+=1 B．+y^2^=1 C．+=1 D．+=1
10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
**二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)**
13．（5分）（x﹣2）^6^的展开式中x^3^的系数是[ ]{.underline}．（用数字作答）
14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是[ ]{.underline}．
15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为[ ]{.underline}．
16．（5分）直线l~1~和l~2~是圆x^2^+y^2^=2的两条切线，若l~1~与l~2~的交点为（1，3），则l~1~与l~2~的夹角的正切值等于[ ]{.underline}．
**三、解答题**
17．（10分）数列{a~n~}满足a~1~=1，a~2~=2，a~n+2~=2a~n+1~﹣a~n~+2．
（Ⅰ）设b~n~=a~n+1~﹣a~n~，证明{b~n~}是等差数列；
（Ⅱ）求{a~n~}的通项公式．
18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，点A~1~在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC~1~=2．
（Ⅰ）证明：AC~1~⊥A~1~B；
（Ⅱ）设直线AA~1~与平面BCC~1~B~1~的距离为，求二面角A~1~﹣AB﹣C的大小．
20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求"同一工作日需使用设备的人数大于k"的概率小于0.1，求k的最小值．
21．（12分）函数f（x）=ax^3^+3x^2^+3x（a≠0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．
22．（12分）已知抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且\|QF\|=\|PQ\|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
**2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）**
1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．
【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，
∴M∩N={1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】G9：任意角的三角函数的定义．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．
【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．
∴cosα===﹣，
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
3．（5分）不等式组的解集为（ ）
A．{x\|﹣2＜x＜﹣1} B．{x\|﹣1＜x＜0} C．{x\|0＜x＜1} D．{x\|x＞1}
【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．
【解答】解：由不等式组可得 ，解得0＜x＜1，
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．
4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】5G：空间角．
【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．
【解答】解：如图，
取AD中点F，连接EF，CF，
∵E为AB的中点，
∴EF∥DB，
则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，
∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，
∴CE=CF．
设正四面体的棱长为2a，
则EF=a，
CE=CF=．
在△CEF中，由余弦定理得：
=．
故选：B．
【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．
5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（ ）
A．y=（1﹣e^x^）^3^（x＞﹣1） B．y=（e^x^﹣1）^3^（x＞﹣1）
C．y=（1﹣e^x^）^3^（x∈R） D．y=（e^x^﹣1）^3^（x∈R）
【考点】4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数．
【解答】解：∵y=ln（+1），
∴+1=e^y^，即=e^y^﹣1，
∴x=（e^y^﹣1）^3^，
∴所求反函数为y=（e^x^﹣1）^3^，
故选：D．
【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．
6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）•的值．
【解答】解：由题意可得，=1×1×cos60°=，=1，
∴（2﹣）•=2﹣=0，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．
7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】5O：排列组合．
【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C~6~^2^=15种选法，
再从5名女医生中选出1人，有C~5~^1^=5种选法，
则不同的选法共有15×5=75种；
故选：C．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．
8．（5分）设等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~．若S~2~=3，S~4~=15，则S~6~=（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】由等比数列的性质可得S~2~，S~4~﹣S~2~，S~6~﹣S~4~成等比数列，代入数据计算可得．
【解答】解：S~2~=a~1~+a~2~，S~4~﹣S~2~=a~3~+a~4~=（a~1~+a~2~）q^2^，S~6~﹣S~4~=a~5~+a~6~=（a~1~+a~2~）q^4^，
所以S~2~，S~4~﹣S~2~，S~6~﹣S~4~成等比数列，
即3，12，S~6~﹣15成等比数列，
可得12^2^=3（S~6~﹣15），
解得S~6~=63
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的性质，得出S~2~，S~4~﹣S~2~，S~6~﹣S~4~成等比数列是解决问题的关键，属基础题．
9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F~1~、F~2~，离心率为，过F~2~的直线l交C于A、B两点，若△AF~1~B的周长为4，则C的方程为（ ）
A．+=1 B．+y^2^=1 C．+=1 D．+=1
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用△AF~1~B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．
【解答】解：∵△AF~1~B的周长为4，
∵△AF~1~B的周长=\|AF~1~\|+\|AF~2~\|+\|BF~1~\|+\|BF~2~\|=2a+2a=4a，
∴4a=4，
∴a=，
∵离心率为，
∴，c=1，
∴b==，
∴椭圆C的方程为+=1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO~1~上，记为O，求出PO~1~，OO~1~，解出球的半径，求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R^2^=（4﹣R）^2^+（）^2^，
∴R=，
∴球的表面积为4π•（）^2^=．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．
11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．
【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，
∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，
则c=2a，b=，
∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，
∴d=，
即，
解得c=2，
则焦距为2c=4，
故选：C．
【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．
12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．
【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，
∴设g（x）=f（x+2），
则g（﹣x）=g（x），
即f（﹣x+2）=f（x+2），
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），
即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），
则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，
∴f（8）+f（9）=0+1=1，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．
**二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)**
13．（5分）（x﹣2）^6^的展开式中x^3^的系数是[ ﹣160 ]{.underline}．（用数字作答）
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）^6^的展开式的通项，令x的系数为3，可得r=3，将r=3代入通项，计算可得T~4~=﹣160x^3^，即可得答案．
【解答】解：根据题意，（x﹣2）^6^的展开式的通项为T~r+1~=C~6~^r^x^6﹣r^（﹣2）^r^=（﹣1）^r^•2^r^•C~6~^r^x^6﹣r^，
令6﹣r=3可得r=3，
此时T~4~=（﹣1）^3^•2^3^•C~6~^3^x^3^=﹣160x^3^，即x^3^的系数是﹣160；
故答案为﹣160．
【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）^6^的展开式的通项．
14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1﹣2sin^2^x+2sinx=，结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数有最大值
【解答】解：∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin^2^x+2sinx=
又∵﹣1≤sinx≤1
当sinx=时，函数有最大值
故答案为：
【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sinx≤1的条件．
15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为[ 5 ]{.underline}．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得C（1，1）．
化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．
由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．
此时z~max~=1+4×1=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
16．（5分）直线l~1~和l~2~是圆x^2^+y^2^=2的两条切线，若l~1~与l~2~的交点为（1，3），则l~1~与l~2~的夹角的正切值等于[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】设l~1~与l~2~的夹角为2θ，由于l~1~与l~2~的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ= 的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．
【解答】解：设l~1~与l~2~的夹角为2θ，由于l~1~与l~2~的交点A（1，3）在圆的外部，
且点A与圆心O之间的距离为OA==，
圆的半径为r=，
∴sinθ==，
∴cosθ=，tanθ==，
∴tan2θ===，
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．
**三、解答题**
17．（10分）数列{a~n~}满足a~1~=1，a~2~=2，a~n+2~=2a~n+1~﹣a~n~+2．
（Ⅰ）设b~n~=a~n+1~﹣a~n~，证明{b~n~}是等差数列；
（Ⅱ）求{a~n~}的通项公式．
【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）将a~n+2~=2a~n+1~﹣a~n~+2变形为：a~n+2~﹣a~n+1~=a~n+1~﹣a~n~+2，再由条件得b~n+1~=b~n~+2，根据条件求出b~1~，由等差数列的定义证明{b~n~}是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出b~n~，代入b~n~=a~n+1~﹣a~n~并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{a~n~}的通项公式a~n~．
【解答】解：（Ⅰ）由a~n+2~=2a~n+1~﹣a~n~+2得，
a~n+2~﹣a~n+1~=a~n+1~﹣a~n~+2，
由b~n~=a~n+1~﹣a~n~得，b~n+1~=b~n~+2，
即b~n+1~﹣b~n~=2，
又b~1~=a~2~﹣a~1~=1，
所以{b~n~}是首项为1，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b~n~=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
由b~n~=a~n+1~﹣a~n~得，a~n+1~﹣a~n~=2n﹣1，
则a~2~﹣a~1~=1，a~3~﹣a~2~=3，a~4~﹣a~3~=5，...，a~n~﹣a~n﹣1~=2（n﹣1）﹣1，
所以，a~n~﹣a~1~=1+3+5+...+2（n﹣1）﹣1
==（n﹣1）^2^，
又a~1~=1，
所以{a~n~}的通项公式a~n~=（n﹣1）^2^+1=n^2^﹣2n+2．
【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．
18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan\[π﹣（A+C）\]=﹣tan（A+C）即可得出．
【解答】解：∵3acosC=2ccosA，
由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，
∴3tanA=2tanC，
∵tanA=，
∴2tanC=3×=1，解得tanC=．
∴tanB=tan\[π﹣（A+C）\]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，
∵B∈（0，π），
∴B=
【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，点A~1~在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC~1~=2．
（Ⅰ）证明：AC~1~⊥A~1~B；
（Ⅱ）设直线AA~1~与平面BCC~1~B~1~的距离为，求二面角A~1~﹣AB﹣C的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；
（Ⅱ）作辅助线可证∠A~1~FD为二面角A~1~﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．
【解答】解：（Ⅰ）∵A~1~D⊥平面ABC，A~1~D⊂平面AA~1~C~1~C，
∴平面AA~1~C~1~C⊥平面ABC，又BC⊥AC
∴BC⊥平面AA~1~C~1~C，连结A~1~C，
由侧面AA~1~C~1~C为菱形可得AC~1~⊥A~1~C，
又AC~1~⊥BC，A~1~C∩BC=C，
∴AC~1~⊥平面A~1~BC，AB~1~⊂平面A~1~BC，
∴AC~1~⊥A~1~B；
（Ⅱ）∵BC⊥平面AA~1~C~1~C，BC⊂平面BCC~1~B~1~，
∴平面AA~1~C~1~C⊥平面BCC~1~B~1~，
作A~1~E⊥CC~1~，E为垂足，可得A~1~E⊥平面BCC~1~B~1~，
又直线AA~1~∥平面BCC~1~B~1~，
∴A~1~E为直线AA~1~与平面BCC~1~B~1~的距离，即A~1~E=，
∵A~1~C为∠ACC~1~的平分线，∴A~1~D=A~1~E=，
作DF⊥AB，F为垂足，连结A~1~F，
又可得AB⊥A~1~D，A~1~F∩A~1~D=A~1~，
∴AB⊥平面A~1~DF，∵A~1~F⊂平面A~1~DF
∴A~1~F⊥AB，
∴∠A~1~FD为二面角A~1~﹣AB﹣C的平面角，
由AD==1可知D为AC中点，
∴DF==，
∴tan∠A~1~FD==，
∴二面角A~1~﹣AB﹣C的大小为arctan
【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．
20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求"同一工作日需使用设备的人数大于k"的概率小于0.1，求k的最小值．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，不满足条件．若k=3，求得"同一工作日需使用设备的人数大于3"的概率为0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得"同一工作日至少3人需使用设备"的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，则"同一工作日需使用设备的人数大于2"的概率为0.31＞0.1，不满足条件．
若k=3，则"同一工作日需使用设备的人数大于3"的概率为 0.6×0.5×0.5×0.4=0.06＜0.1，满足条件．
故k的最小值为3．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
21．（12分）函数f（x）=ax^3^+3x^2^+3x（a≠0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax^3^+3x^2^+3x，
∴f′（x）=3ax^2^+6x+3，
令f′（x）=0，即3ax^2^+6x+3=0，则△=36（1﹣a），
①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；
②因为a≠0，∴a≤1且a≠0时，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x~1~=，x~2~=，
当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x~2~）或（x~1~，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x~2~）或（x~1~，+∞）是增函数；在（x~2~，x~1~）是减函数；
当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x~1~）或（x~2~，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x~1~）或（x~2~，+∞）是减函数；在（x~1~，x~2~）是增函数；
（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax^2^+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，
当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，
当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣，
a的取值范围\[）∪（0，+∞）．
【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．
22．（12分）已知抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且\|QF\|=\|PQ\|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x~0~，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x~0~=，根据\|QF\|=\|PQ\|求得 p的值，可得C的方程．
（Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长\|AB\|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得\|MN\|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于\|AE\|=\|BE\|=\|MN\|，由此求得m的值，可得直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x~0~，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y^2^=2px（p＞0），
可得x~0~=，∵点P（0，4），∴\|PQ\|=．
又\|QF\|=x~0~+=+，\|QF\|=\|PQ\|，
∴+=×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．
故C的方程为 y^2^=4x．
（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y^2^=4x的焦点F（1，0），
设l的方程为 x=my+1（m≠0），
代入抛物线方程可得y^2^﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m^2^+16＞0，y~1~+y~2~=4m，y~1~•y~2~=﹣4．
∴AB的中点坐标为D（2m^2^+1，2m），弦长\|AB\|=\|y~1~﹣y~2~\|==4（m^2^+1）．
又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣y+2m^2^+3．
过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，
把线l′的方程代入抛物线方程可得 y^2^+y﹣4（2m^2^+3）=0，∴y~3~+y~4~=，y~3~•y~4~=﹣4（2m^2^+3）．
故线段MN的中点E的坐标为（+2m^2^+3，），∴\|MN\|=\|y~3~﹣y~4~\|=，
∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于\|AE\|=\|BE\|=\|MN\|，
∴+DE^2^=MN^2^，
∴4（m^2^+1）^2^ ++=×，化简可得 m^2^﹣1=0，
∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0．
【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．
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**高中数学基础知识扫描**
**一、集合与简易逻辑：**
一、理解集合中的有关概念
（1）集合中元素的特征： [确定性]{.underline} ， [互异性]{.underline} ， [无序性]{.underline} 。
**集合元素的互异性**：如：，，求；
（2）集合与元素的关系用符号[]{.underline}，[]{.underline}表示。
（3）常用数集的符号表示：自然数集 [ ]{.underline} ；正整数集 [ ]{.underline} 、 [ ]{.underline} ；整数集 [ ]{.underline} ；有理数集 [ ]{.underline} 、实数集 [ ]{.underline} 。
（4）集合的表示法： [列举法]{.underline} ， [描述法]{.underline} ， [韦恩图]{.underline} 。
> **注意：区分集合中元素的形式**：如：
>
> ；；；
>
> ；；
>
> ；
（5）空集是指不含任何元素的集合。（、和的区别；0与三者间的关系）
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
**注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。**
如：，如果，求的取值。
二、集合间的关系及其运算
（1）符号"[]{.underline}"是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 [点与直线（面）的关系]{.underline} ；
符号"[]{.underline}"是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 [面与直线(面)的关系]{.underline} 。
（2）；；
（3）对于任意集合，则：
①；；；
> ② [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
>
> [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
③ [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
（4）①若为偶数，则 [ ]{.underline} ；若为奇数，则 [ ]{.underline} ；
> ②若被3除余0，则 [ ]{.underline} ；若被3除余1，则 [ ]{.underline} ；若被3除余2，则 [ ]{.underline} ；
三、集合中元素的个数的计算：
（1）若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_，所有真子集的个数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，所有非空真子集的个数是 [ ]{.underline} 。
**（2）中元素的个数的计算公式为： [ ]{.underline} ；**
（3）韦恩图的运用：
四、满足条件，满足条件，
> 若 [ ]{.underline} ；则是的充分非必要条件；
>
> 若 [ ]{.underline} ；则是的必要非充分条件；
>
> 若 [ ]{.underline} ；则是的充要条件；
>
> 若 [ ]{.underline} ；则是的既非充分又非必要条件；
五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 [ ]{.underline} ；
> **注意："若，则"在解题中的运用，**
>
> 如：""是""的 [ ]{.underline} 条件。
**六、反证法：当证明"若，则"感到困难时，改证它的等价命题"若则"成立，**
步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
> 矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。
>
> 适用与待证命题的结论涉及"不可能"、"不是"、"至少"、"至多"、"唯一"等字眼时。
---------- ------------ -------- -------- ----------- ---------- ------------
正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个
否定
正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个
否定
---------- ------------ -------- -------- ----------- ---------- ------------
**二、函数**
一、映射与函数：
（1）映射的概念： 是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A中的 [ ]{.underline} 一个元素，在集合中都有 [ ]{.underline} 的元素与它对应；记作： [ ]{.underline} ；
（2）一一映射：是两个集合，是集合到集合的映射，如果在这个映射下，对于集合中的 [ ]{.underline} ；在集合中有 [ ]{.underline} ；而且中 [ ]{.underline} ；
（3）函数的概念：如果都是 [ ]{.underline} ，那么到的映射就叫做到的函数，记作 [ ]{.underline} ；
如：若，；问：到的映射有 [ ]{.underline} 个，到的映射有 [ ]{.underline} 个；到的函数有 [ ]{.underline} 个，若，则到的一一映射有 [ ]{.underline} 个。
函数的图象与直线交点的个数为 [ ]{.underline} 个。
二、函数的三要素： [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} 。
**相同函数的判断方法**：① [ ]{.underline} ；② [ ]{.underline} (两点必须同时具备)
**（1）函数解析式的求法：**
**①定义法（拼凑）：**如：已知，求：；
**②换元法**：如：已知，求；
**③待定系数法**：如：已知，求一次函数；
**④赋值法**：如：已知，求；
**（2）函数定义域的求法：**
①，则 [ ]{.underline} ； ②则 [ ]{.underline} ；
> ③，则 [ ]{.underline} ； ④如：，则 [ ]{.underline} ；⑤含参问题的定义域要分类讨论；
>
> 如：已知函数的定义域是，求的定义域。
>
> ⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则 [ ]{.underline} ；定义域为 [ ]{.underline} 。
**（3）函数值域的求法：**
> **①配方法**：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；
>
> **②逆求法（反求法）**：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；
>
> **③判别式法**：转化一个关于的一元二次方程（其中为参数），利用存在使得方程成立，找方程有解的充要条件；适用题型：不全为；有两种情况：（1）无具体范围：直接套用；（2）有具体范围：要用实根分布来其有根的充要条件；
>
> **注意：**（1）**若得到的一元二次方程，二次项系数是含有的多项式，此时要分类讨论。**
>
> （2）若定义域中有不连续的点，要验证，方法为：令取不连续点的值，求出，再由这个求出与它对应的，如果还有定义域内有定义的与它对应，则此为值域中的一个值，否则，此不在值域中。
>
> **④换元法**：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；适用题型；
>
> **⑤三角有界法**：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
>
> **⑥基本不等式法**：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；
>
> **⑦单调性法**：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
>
> **⑧数形结合**：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
>
> 求下列函数的值域：①（2种方法）；
>
> ②（2种方法）；③（2种方法）；④；⑤（2种方法）；
>
> ⑥；⑦；⑧；
三、函数的性质：
**（1）函数的单调性：对于给定区间上的函数，如果对于 [定义域内任意的]{.underline}；[若]{.underline} ，[都有]{.underline} ，则称为增函数； [都有]{.underline} ，则称为减函数；**
> **注意：（1）函数单调性的定义是证明函数单调性的基本方法。若函数是一个关于的多项式，还可以通过求导证明：当 [ ]{.underline} 时为增函数，当 [ ]{.underline} 时为减函数。**
**（2）单调性一般用区间表示，不能用集合表示。**
**（2）函数的奇偶性：对于函数， [如果定义域内任意的]{.underline}， [都有]{.underline} ，则称为奇函数； [都有]{.underline} ，则称为偶函数；**
> **奇函数的图象关于 [ ]{.underline} ，偶函数的图象关于 [ ]{.underline} ；**
**注意：（1）研究函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域 [ ]{.underline} ；**
**（2）若函数，是奇函数，且，则 [ ]{.underline} ；**
如：判断的奇偶性。
**关于函数的单调性和奇偶性的的结论：**
> 1、若奇函数在区间上单调递增（减），则在区间上是单调递 [ ]{.underline} ；
>
> 2、若偶函数在区间上单调递增（减），则在区间上是单调递 [ ]{.underline} ；
>
> 3、既是奇函数又是偶函数的函数的解析式为 [ ]{.underline} ；这样的函数有 [ ]{.underline} 个。
>
> 4、任意定义在上的函数都可唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和：；其中 [ ]{.underline} 是偶函数， [ ]{.underline} 是奇函数；
**（3）函数对称性的结论：**
> **1、设函数的定义域为，且满足条件：，则函数 的图象关于直线 [ ]{.underline} 对称；**
>
> 如：由成立，则关于 [ ]{.underline} 对称；
>
> **注意：与关于 [ ]{.underline} 对称；**
>
> **2、定义在上的函数对定义域内任意满足条件，则关于点成中心对称，**
>
> 如：，则关于原点对称；
（4）函数的周期性：对于函数，[如果存在不为零的常数T，对于定义域内的每一个值，都有]{.underline} 则函数为周期函数， [ ]{.underline} 叫周期；
**关于函数周期性的结论：**
> **①定义在上的函数对定义域内任意，都满足条件成立，则是以 [ ]{.underline} 为周期的周期函数；**
>
> **②若函数既关于直线对称，又关于对称，则一定是周期函数，且 [ ]{.underline} 是它的一个周期；**
>
> **③若既关于直线成轴对称，又关于点成中心对称，则一定是周期函数，且 [ ]{.underline} 是它的一个周期。**
**四、图形变换：**
**（1）平移变换：**
> **①形如：：把函数的图象沿 [ ]{.underline} 方向向 [ ]{.underline} 或 [ ]{.underline} 平移 [ ]{.underline} 个单位，就得到的图象。**
>
> **②形如：：把函数的图象沿 [ ]{.underline} 方向向 [ ]{.underline} 或 [ ]{.underline} 平移 [ ]{.underline} 个单位，就得到的图象。**
**（2）对称翻转变换：**
**①形如：：其函数图象与函数的图象关于 [ ]{.underline} 对称。**
**②形如：：其函数图象与函数的图象关于 [ ]{.underline} 对称。**
**③形如：：其函数图象与函数的图象关于 [ ]{.underline} 对称。**
**④形如：：其函数图象与函数的图象关于 [ ]{.underline} 对称。**
> **⑤形如：这是偶函数。其图象是关于轴对称的，所以只要先 [；再]{.underline} ；就得到了的图象。**
>
> **⑥形如：：将函数的图象 [ ]{.underline} ；就得到函数的图象。**
**（3）伸缩变换：**
> **①形如：：将函数的图象横坐标（纵坐标不变）缩小（）或伸长（）到原来的倍得到。**
>
> **②形如：：将函数的图象纵坐标（横坐标不变）伸长（） 或压缩（）到原来的倍得到。**
>
> 如：的图象如图，作出下列函数图象：（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）；
（9）。
五、反函数：
（1）定义：设表示是自变量的函数，它的定义域为，值域为，由式子解出，得到式子，如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子就表示是自变量的函数，这样的函数，叫做的反函数，记为，即，习惯上仍用表示自变量，表示函数，把它改写成。
**（2）函数存在反函数的条件： [ ]{.underline} ；**
**（3）互为反函数的定义域与值域的关系： [ ]{.underline} ；**
**（4）求反函数的步骤**：**①将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择；②将互换，得；③写出反函数的定义域（即的值域）。**
（5）互为反函数的图象间的关系： [ ]{.underline} ；
（6）原函数与反函数具有相同的单调性；
（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。
如：求下列函数的反函数：；；
六、复合函数：
（1）定义：如果是的函数，记为，又是的函数，记为，且 的值域与的定义域的交集不空，则确定了一个关于的函数，这时做的复合函数，其中叫做中间变量，叫做外层函数，叫做内层函数。
**（2）复合函数单调性： [ ]{.underline} ；**
七、常用的初等函数：
（1）一元一次函数：
当时，是增函数；当时，是减函数；
**（2）一元二次函数：**
**一般式：；对称轴方程是 [ ]{.underline} ；顶点为 [ ]{.underline} ；**
**两点式：；对称轴方程是 [ ]{.underline} ；与轴的交点为 [ ]{.underline} ；**
**顶点式：；对称轴方程是 [ ]{.underline} ；顶点为 [ ]{.underline} ；**
①一元二次函数的单调性：
当时： [ ]{.underline} 为增函数； [ ]{.underline} 为减函数；
当时： [ ]{.underline} 为增函数； [ ]{.underline} 为减函数；
> **②二次函数求最值问题**：**首先要采用配方法，化为的形式，**
>
> **Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则**
>
> **时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；**
>
> **时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；**
>
> **Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则**
>
> **时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；**
>
> **时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；**
有三个类型题型：
(1)顶点固定，区间也固定。如：
> (2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。如：
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．
> **③二次方程实数根的分布问题：** 设实系数一元二次方程的两根为；则：
---------- ---------------- ---------------- ------------------
根的情况
等价命题 在区间上有两根 在区间上有两根 在区间或上有一根
充要条件
---------- ---------------- ---------------- ------------------
---------- ---------------- -------------- ----------------
根的情况
等价命题 在区间上有两根 在区间上无根 在区间上有一根
充要条件
---------- ---------------- -------------- ----------------
> **注意：若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。**
**（3）反比例函数：**
---------- -------------------------------------- -- --
图 形
定义域
值 域
单调性 
对称中心
渐近线
---------- -------------------------------------- -- --
**（4）指数函数：**
指数运算法则： [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} 。
-------- -- -- --
图 象
定义域
值 域
函数值
单调性
-------- -- -- --
**（5）对数函数：**
> 指数运算法则： [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；（1） [ ]{.underline} ；
>
> （2）换底公式： [ ]{.underline} ；
>
> （3）对数恒等式： [ ]{.underline} ；
-------- -- -- --
图 象
定义域
值 域
函数值
单调性
-------- -- -- --
> 注意：（1）与的图象关系是 [ ]{.underline} ；
>
> （2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。
>
> （3）已知函数的定义域为，求的取值范围。
>
> 已知函数的值域为，求的取值范围。
>
> （4）下图中，与间的关系是：
六、 图象：
定义域： [ ]{.underline} ；
值域： [ ]{.underline} ；
奇偶性： [ ]{.underline} ；
单调性： [ ]{.underline} 是增函数； [ ]{.underline} 是减函数。
七、补充内容：
（1）抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：
①正比例函数
②； [ ]{.underline} ；
③； [ ]{.underline} ；
④ [ ]{.underline} ；
**（2）不等式恒成立的条件：**
> **(1)已知且；则**
**(a)在时恒成立 [ ]{.underline} ；**
**(b)在时恒成立 [ ]{.underline} ；可借助一次函数得到。**
**(2)已知**
**(a)在时恒成立 [ ]{.underline} 或 [ ]{.underline} ；**
**(b)在时恒成立 [ ]{.underline} 或 [ ]{.underline} ；（可借助一次函数**
**(c)在时恒成立 [ ]{.underline} 或 [ ]{.underline} ；或二次函数得到）。**
**(3)恒成立；恒成立**
**三、不等式**
一、不等式的基本性质为：
① [ ]{.underline} ；② [ ]{.underline} ；
③ [ ]{.underline} ；④ [ ]{.underline} ；
⑤ [ ]{.underline} ；⑥ [ ]{.underline} ；
⑦ [ ]{.underline} ；⑧ [ ]{.underline} ；
> **注意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。**
**二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。**
**若，则（当且仅当时取等号）**
**基本变形：① [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；**
**②**
**③若，则，**
**④**
**基本应用：①放缩，变形；**
**②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。**
**当（常数），当且仅当 [ ]{.underline} 时， [ ]{.underline} ；**
**当（常数），当且仅当 [ ]{.underline} 时， [ ]{.underline} ；**
**常用的方法为：拆、凑、平方；**
如：①函数的最小值 [ ]{.underline} 。
②已知，则的最大值 [ ]{.underline} 。
③，的最大值 [ ]{.underline} 。
④若正数满足，则的最小值 [ ]{.underline} 。
推广：①若，则（当且仅当时取等号）
基本变形： [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
> ②若，则（当且仅当时取等号）
**三、绝对值不等式： [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}**
**注意**： [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
[ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
[ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
[ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
**四、常用的基本不等式：**
（1）设，则（当且仅当 [ ]{.underline} 时取等号）
（2）（当且仅当 [ ]{.underline} 时取等号）；（当且仅当 [ ]{.underline} 时取等号）
（3）若，则
（4）若，则
（5）若，则
（6）柯西不等式：设，则
注意：可从向量的角度理解：设，则
（7）； [ ]{.underline} ；
（8），若，则；若，则；
五、证明不等式常用方法：
**（1）比较法：①作差比较：**
**②作商比较：**
**作差比较的步骤：**
**⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。**
**⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。**
**⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。**
**注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。**
（2）综合法：由因导果。
（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证......只需证......，只需证......
（4）反证法：正难则反。
**（5）放缩法：**将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。
放缩法的方法有：
**⑴添加或舍去一些项，**如：；
**⑵将分子或分母放大（或缩小）**
**⑶利用基本不等式**，如：；
**⑷利用常用结论**：
Ⅰ、；
Ⅱ、；
Ⅲ、 ； （程度大）
Ⅳ、 ； （程度小）
Ⅴ、；
（6）判别式法：与一元二次函数有关的或能通过等价变形转化成一元二次方程的根据其有实数解或无解建立不等式关系。
> 如：证明，可转化为求函数的值域。
**（7）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：**
> **已知，可设；**
>
> **已知，可设()；**
>
> **已知，可设；**
>
> **已知，可设；**
（8）构造法：通过构造函数、方程、数列、复数(向量)或不等式来证明不等式；
六、不等式的解法：
（1）如果两个不等式的解集相等，那么这两个等式就叫做同解不等式，解不等式主要是依据不等式的性质和同解变形原理，求解原不等式的同解不等式。
（2）不等式的同解原理主要有：
1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式同解。
> 2、不等式两边都乘上(或除以)同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式同解。
>
> 3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等号改变方向后，所得不等式与原不等式同解。
（3）一元一次不等式：
Ⅰ、：⑴若，则 [ ]{.underline} ；⑵若，则 [ ]{.underline} ；
Ⅱ、：⑴若，则 [ ]{.underline} ；⑵若，则 [ ]{.underline} ；
（4）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；
**注：要对进行讨论：**
Ⅰ、：
⑴ [ ]{.underline} ；⑵ [ ]{.underline} ；⑶ [ ]{.underline} ；
Ⅱ、：
⑴ [ ]{.underline} ；⑵ [ ]{.underline} ；⑶ [ ]{.underline} ；
**（5）绝对值不等式**：若，则 [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
⑴ [ ]{.underline} ；
⑵ [ ]{.underline} ；
⑶ [ ]{.underline} ；
⑷含有多个绝对值符号的不等式可用"按零点分区间讨论"的方法来解。
> 注意：Ⅰ、几何意义：： [ ]{.underline} ；
>
> ： [ ]{.underline} ；
>
> Ⅱ、**解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有**：
>
> ⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若 则 [ ]{.underline} ；②若则 [ ]{.underline} ；③若则 [ ]{.underline} ；
>
> ⑵通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。
**（6）高次不等式**：化成标准型，利用表解法和序轴表根法写出解集。
> 序轴表根法求解的步骤：⑴将每个因式的根标在数轴上；⑵从右上方依次通过每个点画出曲线，注意： [ ]{.underline} ；⑶根据曲线显示的值的符号变化写出不等式的解集。
>
> **注意：每个因式中前的系数都为正值。**
**（7）分式不等式的解法**：通解变形为整式不等式；
⑴ [ ]{.underline} ；⑵ [ ]{.underline} ；
⑶ [ ]{.underline} ；⑷ [ ]{.underline} ；
（8）无理不等式的解法：通解变形为有理不等式；
⑴ [ ]{.underline} ；
⑵ [ ]{.underline} ；
⑶ [ ]{.underline} ；
> 注意：⑴保证根式有意义；⑵取根号的方法是平方、换元，通过两边平方去根号，不等式两边要为非负值。
（9）指数不等式：
⑴ [ ]{.underline} ；
⑵ [ ]{.underline} ；
> ⑶利用换元法，令将不等式化为一元二次不等式来解。
>
> 注意：对底数的讨论。
（10）对数不等式：
⑴ [ ]{.underline} ；
⑵ [ ]{.underline} ；
> ⑶利用换元法，令将不等式化为一元二次不等式来解。
>
> 注意：⑴对底数的讨论；⑵真数大于零；
>
> ⑶解指数、对数不等式的一般步骤：统一底数同解变形分类讨论（底数）；
>
> （11）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
**（12）解含有参数的不等式**：一般是对含参数的不等式进行恰当的分类和讨论：
> **⑴对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意二次项系数为零转化为一元一次不等式的问题。**
>
> **⑵对含参数的一元二次不等式，还要分、、讨论。**
>
> **⑶对一元二次不等式和分式不等式转化为整式不等式后有根，且根为（或更多）但含参数，要分、、讨论。**
>
> ⑷对指数、对数不等式要注意对底数分、进行讨论。
>
> 如：（1）；（2）
**四、三角函数：**
一、角的概念和弧度制：
（1）在直角坐标系内讨论角：
> 角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与角终边相同的角的集合：
与角终边在同一条直线上的角的集合： [ ]{.underline} ；
> 与角终边关于轴对称的角的集合： [ ]{.underline} ；
>
> 与角终边关于轴对称的角的集合： [ ]{.underline} ；
>
> 与角终边关于轴对称的角的集合： [ ]{.underline} ；
②一些特殊角集合的表示：
终边在坐标轴上角的集合： [ ]{.underline} ；
终边在一、三象限的平分线上角的集合： [ ]{.underline} ；
终边在二、四象限的平分线上角的集合： [ ]{.underline} ；
终边在四个象限的平分线上角的集合： [ ]{.underline} ；
（3）区间角的表示：
> ①象限角：第一象限角： [ ]{.underline} ；第三象限角： [ ]{.underline} ；
>
> 第一、三象限角： [ ]{.underline} ；
②写出图中所表示的区间角：③④⑤⑥
**（4）正确理解角：**
> 要正确理解"间的角"= [ ]{.underline} ；
>
> "第一象限的角"= [ ]{.underline} ；"锐角"= [ ]{.underline} ；
>
> "小于的角"= [ ]{.underline} ；
（5）由的终边所在的象限，通过 [ ]{.underline} 来判断所在的象限。
（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一
> 已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆弧的长，为圆的半径。
**（7）弧长公式： [ ]{.underline} ；半径公式： [ ]{.underline} ；**
**扇形面积公式： [ ]{.underline} ；**
二、任意角的三角函数：
（1）任意角的三角函数定义：
> 以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则 [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
如：角的终边上一点，则 [ ]{.underline} 。
（2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；
> **比较，，，的大小关系： [ ]{.underline} 。**
（3）特殊角的三角函数值：
----- --- -- -- -- -- -- --
0
sin
cos
----- --- -- -- -- -- -- --
三、同角三角函数的关系与诱导公式：
（1）同角三角函数的关系
平方关系是 [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；
倒数关系是 [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；
商式关系是 [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} 。
作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
（2）诱导公式：
： [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；
： [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；
： [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；
： [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；
： [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；
： [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；
： [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；
： [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；
： [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；
> 诱导公式可用概括为： [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} 。
>
> 作用：求任意角的三角函数值。
（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：
> ①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
>
> 注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。
>
> ②求任意角的三角函数值。
>
> 步骤：
③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个．
步骤： ①确定角所在的象限；
②如函数值为正，先求出对应的锐角；如函数值为负，先求出与其绝对值对
应的锐角；
> ③根据角所在的象限，得出间的角------如果适合已知条件的角在第二限；则它是；如果在第三或第四象限，则它是或；
>
> ④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。
>
> 如，则 [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> 注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；
四、三角函数公式：
三倍角公式：；；
五、三角恒等变换：三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
**（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：**
> **①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍。**
>
> **②；问： [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；**
**③；④；**
**⑤；等等**
**（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。**
**（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数"1"的代换变形有：**
**（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；**
**（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。**
> **如：； ；**
>
> ；；
>
> ；；
>
> [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
>
> [ ]{.underline} ；
>
> [ ]{.underline} = [ ]{.underline} ；
>
> [ ]{.underline} = [ ]{.underline} ；
>
> **（其中 [ ]{.underline} ；）**
>
> [ ]{.underline} **； [ ]{.underline} ；**
**（6）三角函数式的化简运算通常从："角、名、形、幂"四方面入手；**
> **基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。**
>
> 如： [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
>
> [ ]{.underline} ；
>
> [ ]{.underline} ；推广：
>
> [ ]{.underline} ；推广：
六、三角函数的图象和性质：
**（1）正弦函数、余弦函数及正切函数的性质：**
+---------------------------+--------+---+---+---+
| | | | | |
+---------------------------+--------+---+---+---+
| 图 象 | | | | |
| | | | | |
| 作法： [ ]{.underline} ； | | | | |
+---------------------------+--------+---+---+---+
| 定义域 | | | | |
+---------------------------+--------+---+---+---+
| 值域 | | | | |
+---------------------------+--------+---+---+---+
| 最值（指出此时的值） | 最大值 | | | |
+---------------------------+--------+---+---+---+
| | 最小值 | | | |
+---------------------------+--------+---+---+---+
| 周期 | | | | |
+---------------------------+--------+---+---+---+
| 奇偶性 | | | | |
+---------------------------+--------+---+---+---+
| 对称性 | 对称轴 | | | |
+---------------------------+--------+---+---+---+
| | 中心 | | | |
+---------------------------+--------+---+---+---+
| 单调性 | 增区间 | | | |
+---------------------------+--------+---+---+---+
| | 减区间 | | | |
+---------------------------+--------+---+---+---+
（2）与
**①可由怎样变化得到：**
**（a）先平移后伸缩：**
**（b）先伸缩后平移：**
**注意：对于由三角函数图象求的解析式的问题：即确定；**
> **：可由得到，在图象中，相邻的最大值和最小值间的距离为周期的；相邻的最大值或最小值与零点间的距离为周期的。**
>
> **：可运用得到，其中为最大值左侧和原点最近的第一个零点的横坐标。**
**②与的性质：**
---------------------- -------- -- --
定义域
值域
最值（指出此时的值） 最大值
最小值
周期
奇偶性
对称性 对称轴
中心
单调性 增区间
减区间
---------------------- -------- -- --
> 如：函数的单调增区间为 [ ]{.underline} ；
函数的单调增区间为 [ ]{.underline} ；
函数的单调减区间为 [ ]{.underline} ；
> ③函数的最大值是 [ ]{.underline} ，最小值是 [ ]{.underline} ，周期是 [ ]{.underline} ，频率是 [ ]{.underline} ，相位是 [ ]{.underline} ，初相是 [ ]{.underline} ；其图象的对称轴是直线 [ ]{.underline} ，点 [ ]{.underline} 是该图象的对称中心。
**七、与三角有关的值域与最值问题（运用三角函数的有界性）：如：**
**①配方法（转化为同名同角函数的二次三项式）**，
如：求函数的值域。
**②降幂（转化为一个角的三角函数形式），**
如：求函数的最大值与最小值。
**③解不等式（等号一边化成一个角的三角函数形式，利用正余弦的有界性解不等式），**
如：求函数的值域。
**④数形结合（联想到解析几何中圆与椭圆的参数方程），**
如：求函数的值域。
> **⑤判别式法（运用万能公式，构造成关于（可设为）的以为参数的二次函数），**
>
> 如：求函数的值域。
**⑥换元法：**如：设，求函数的最值。
> **注意：熟悉之间的换算，在具体运用中还要注意、的符号问题：（可借助单位圆）**
[ ]{.underline} **。 [ ]{.underline} 。**
[ ]{.underline} **。 [ ]{.underline} 。**
**⑦利用函数的单调性**：如：设，求函数的最小值。
**⑧分类讨论（对含参数的三角函数的值域最值问题，需要对参数进行讨论）**，
> 如：设，（1）用表示的最大值；（2）当时，求的值。
**⑨基本不等式法：**如：求函数的最大值。
**八、重要的结论：**
**（1）特殊函数的周期：**
①， [ ]{.underline} ；
②， [ ]{.underline} ；
> ③若函数的最小正周期是，为非零常数，则的最小正周期是 [ ]{.underline} ；的最小正周期是 [ ]{.underline} ；的最小正周期是 [ ]{.underline} 。
>
> ④函数的最小正周期是两个函数与的最小正周期的最小公倍数。
>
> 如：求的最小正周期。
**九、解斜三角形：**
**（1）正弦定理**： [ ]{.underline} = [ ]{.underline} = [ ]{.underline} =（为 [ ]{.underline} ）
**（2）余弦定理**： [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
**（3）求角公式**： [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
注意：正余弦定理适用的题型：
（一）余弦定理适用的题型：
①已知三边，求三个角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；
（二）正弦定理适用的题型：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角；
②已知两边和一边的对角，求第三边和其他两个角；（解常不唯一）
**（4）三角形解的个数：**
已知两边和其一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况：
（一）为锐角：
①无解 ②一解 ③两解 ④一解
（二）为直角或钝角：
① 无解；
② 一解；
亦可以用下面的方法来解题：
①先计算
②若且，有唯一解，且
若由
**（5）面积公式**： [ ]{.underline} = [ ]{.underline} = [ ]{.underline}
其中，、分别为的外接圆和内切圆的半径。
**（6）三角形中常用的结论：**
①任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
②边角之间的不等式关系：
③；；
④ [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
⑤ [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
⑥ [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
**五、数列**
一、数列定义：
数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，......，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为； 通常用代替，于是数列的一般形式常记为或简记为，其中表示数列的通项。
注意：（1）与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项；
> （2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。
**（3）和之间的关系：**
如：已知的满足，求。
二、等差数列、等比数列的性质：
+--------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| | 等差数列 | 等比数列 |
+--------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 定义 | 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫等差数列 | 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列 |
+--------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 公差（比） | ，或 | ，或 |
| | | |
| | ； | （）； |
+--------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 通项公式 | [ ]{.underline} [ ]{.underline} | [ ]{.underline} [ ]{.underline} |
| | | |
| | [ ]{.underline} = [ ]{.underline} | |
+--------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 求和公式 | 由倒序相加法推得 | 由错项相减法推得 |
| | | |
| | [ ]{.underline} = [ ]{.underline} | ①， [ ]{.underline} = [ ]{.underline} |
| | | |
| | | ②， [ ]{.underline} |
+--------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 用函数的思想理解通项公式 | 若为等差数列，则 [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ； | 若为等比数列，则 [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ； |
| | | |
| | 等差数列的图象是直线上的均匀排开的一群孤立的点 | |
+--------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 用函数的思想理解求和公式 | 等差数列，， | 若为等比数列，，则 [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ； |
| | | |
| | 则 [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ； | > （其中 [ ]{.underline} 的系数 [ ]{.underline} 与 [ ]{.underline} 为互为相反数，这是公式一很重要特点，注意前提条件。） |
| | | |
| | 若，说明： [ ]{.underline} ； | 若，说明： [ ]{.underline} ； |
| | | |
| | 在二次函数 [ ]{.underline} 的图象上，是一群孤立的点。 | 等比数列，，则 [ ]{.underline} ； |
+--------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 增减性 | 为递增数列 [ ]{.underline} ； | 为递增数列 [ ]{.underline} ； |
| | | |
| | 为递减数列 [ ]{.underline} ； | 为递减数列 [ ]{.underline} ； |
| | | |
| | 为常数列 [ ]{.underline} 。 | 为常数列 [ ]{.underline} ； |
| | | |
| | | 为摆动数列 [ ]{.underline} ； |
+--------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 等差（比）中项 | 任意两个数有且只有一个等差中项，即为 [ ]{.underline} ；两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数。 | 两个数的等比中项为 [ ]{.underline} ；（） |
+--------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 等差（比）数列的性质 | | |
+--------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| | 若，则\_\_\_\_\_\_\_ [ ]{.underline} \_\_\_\_\_； | 若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ [ ]{.underline} \_\_； |
| | | |
| | 特别当，则 [ ]{.underline} ； | 特别当，则 [ ]{.underline} ； |
+--------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| | 在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列。 | 在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列，剩下的项按原顺序构成的数列也不一定是等比数列。 |
| | | |
| | 如：；问公差为 [ ]{.underline} | 如：；问公比为 [ ]{.underline} |
+--------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| | 是 [ ]{.underline} 数列；公差为 [ ]{.underline} ； | 是 [ ]{.underline} 数列；公比为 [ ]{.underline} ； |
| | | |
| | 成等差数列。 | 是 [ ]{.underline} 数列；公比为 [ ]{.underline} ； |
| | | |
| | 是 [ ]{.underline} 数列；公差为 [ ]{.underline} ； | 是 [ ]{.underline} 数列；公比为 [ ]{.underline} ； |
+--------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| | 若数列与均为等差数列，则仍为等差数列，公差为 [ ]{.underline} ； | 若数列与均为等差数列，则仍为等比数列，公比为 [ ]{.underline} ； |
| | | |
| | | 仍为等比数列，公比为 [ ]{.underline} ； |
+--------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
如：（1）在等差数列中，，则 [ ]{.underline} ；
（2）在等比数列中，，则 [ ]{.underline} ；
**另外，等差数列中还有以下性质须注意：**
（1）等差数列中，若，则 [ ]{.underline} ；
（2）等差数列中，若，则 [ ]{.underline} ；
（3）等差数列中，若，则 [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
（4）若，则 [ ]{.underline} 时，最大。
（5）若与均为等差数列，且前n项和分别为与，
则；
（6）项数为偶数的等差数列，有（与为中间的两项）
> [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
项数为奇数的等差数列，有（为中间项）
> [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
>
> [ ]{.underline} ；
等比数列中还有以下性质须注意：
（1）若是等比数列，则，也是等比数列，公比分别 [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
（2）若是等比数列，则，也是等比数列，公比分别 [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
三、判定方法：
**（1）等差数列的判定方法：**
①定义法：或（为常数）是等差数列
②中项公式法：是等差数列
③通项公式法：（为常数）是等差数列
④前项和公式法：（为常数）是等差数列
**注意：①②是用来证明是等差数列的理论依据。**
**（2）等比数列的判定方法：**
①定义法：或（是不为零的常数）是等比数列
②中项公式法：是等差数列
③通项公式法：（是不为零常数）是等差数列
④前项和公式法：（是常数）是等差数列
**注意：①②是用来证明是等比数列的理论依据。**
四、数列的通项求法：
（1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，......（2）21，203，2005，20007，......
**（2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。**
**①递推式为及（为常数）：直接运用等差（比）数列。**
**②递推式为：迭加法**
如：已知中，，求
**③递推式为：迭乘法**
如：已知中，，求
**④递推式为（为常数）：**
> 构造法：Ⅰ、由相减得，则
>
> 为等比数列。
>
> Ⅱ、设，得到，，则 为等比数列。
如：已知，求
**⑤递推式为（为常数）：**
> 两边同时除去得，令，转化为，再用④法解决。
如：已知中，，，求
**⑥递推式为（为常数）：**
> 将变形为，可得出解出，于是是公比为的等比数列。
如：已知中，，，求
**（3）公式法：运用**
①已知，求
②已知中， ，求
③已知中，，求
**五、数列的求和法：**
**（1）公式法：**
①等差（比）数列前项和公式：
② [ ]{.underline} ；
③；
④
**（2）倒序相加（乘）法：**
如：①求和：；
> ②已知为不相等的两个正数，若在之间插入个正数，使它们构成以为首项，为末项的等比数列，求插入的这个正数的积；
**（3）错位相减法：**如：求和：
**（4）裂项相消法：** [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
如：① [ ]{.underline} ；
② [ ]{.underline} ；
③若，则 [ ]{.underline} ；
（5）并项法：如：求
（6）拆项组合法：如：在数列中，，求，
六、数列问题的解题的策略：
**（1）分类讨论问题：①在等比数列中，用前项和公式时，要对公比进行讨论；只有 时才能用前项和公式，时**
> **②已知求时，要对进行讨论；最后看满足不满足，若满足中的扩展到，不满足分段写成。**
（2）设项的技巧：
> ①对于连续偶数项的等差数列，可设为，公差为；
>
> 对于连续奇数项的等差数列，可设为，公差为；
②对于连续偶数项的等比数列，可设为，公比为；
对于连续奇数项的等比数列，可设为公比为；
**六、向量**
一、基本概念：
（1）向量的定义： [ ]{.underline} 叫做向量，可用字母表示，如： [ ]{.underline} ；也可用向量的有向线段的起点和终点字母表示，如： [ ]{.underline} ；
（2）向量的两个要素： [ ]{.underline} 、 [ ]{.underline} ；其中向量的大小又称为 [ ]{.underline} ；记为： [ ]{.underline} ；
（3）向量与数量的区别：向量不同于数量，它是一种新的量，数量是只有大小的量，其大小可以用正数、负数或0来表示；它是一个代数量，可以进行各种代数运算；数量之间可以进行大小比较，"大于"、"小于"的概念对数量是适用的。向量是既有大小又有方向的量；向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的；由于方向不能比较大小，因此"大于"、"小于"对向量来说是没有意义的。
（4）特殊形式的向量：
> ①零向量： [ ]{.underline} ；记为： [ ]{.underline} ；方向为 [ ]{.underline} ；规定：零向量与任一向量 [ ]{.underline} ；
>
> ②单位向量： [ ]{.underline} ；
>
> ③自由向量：一个向量只要不改变它的大小和方向，它的起点和终点可以任意平行移动的向量，叫做自由向量(本书研究的都是自由向量)．
>
> ④平行向量： [ ]{.underline} 叫做平行向量(也称为共线向量)；向量与向量平行，记作： [ ]{.underline} ；
>
> ⑤相等向量： [ ]{.underline} 叫做相等向量；向量与向量相等，记作： [ ]{.underline} ；
>
> 注：①零向量与零向量相等；
>
> ②任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。
>
> ③两个向量相等是一个很重要的概念，从几何意义上看，就是这两个向量的长度相等且方向相同；从代数表达式考虑，就是它们对应的系数相等；对于用坐标表示的向量来说，就是这两个向量的坐标相等，这一点在解题中有很重要的作用。
>
> ⑥相反向量： [ ]{.underline} 叫做相反向量，向量与向量相反，记作： [ ]{.underline} ；
二、向量的表示法
（1）几何表示法：用有向线段表示，如：；
（2）字母表示法：用一个小写字母表示，如：；
> 注意：解题时，向量中的箭头不可省。
（3）坐标表示法：在直角坐标系内，分别取 [ ]{.underline} 的两个单位自量作基底，则对任一向量有且只有一对实数，使，就把叫做向量的(直角)坐标，记作 [ ]{.underline} ；
> 注意：①叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标。
>
> **②[]{.underline}；[]{.underline}；[]{.underline}**；
三、向量的运算：
（1）向量的加法：
①向量法：三角形法则，平行四边形法则
**②坐标法：若，则[]{.underline}；**
③重要结论：
> Ⅰ围成一周顺次始终相结的向量的和为；
>
> Ⅱ当两向量平行时，平行四边形法不适用，可用三角形法则。
（2）向量的减法
> ①向量法：三角形法则、平行四边形法
>
> **②坐标法：若，则[]{.underline}；**
>
> **③重要结论：；；；**
>
> ④从几何图形的角度理解：
+---+----------------------------+----------------------------+----------------------------+----------------------------+
| | 取左边不等号中等号的条件 | 取右边不等号中等号的条件 | 取左边不等号中小于号的条件 | 取右边不等号中小于号的条件 |
+---+----------------------------+----------------------------+----------------------------+----------------------------+
| | | | | |
+---+----------------------------+----------------------------+----------------------------+----------------------------+
| | | | | |
+---+----------------------------+----------------------------+----------------------------+----------------------------+
| | 异向或其中至少有一个零向量 | 同向或其中至少有一个零向量 | 不能 | 不能 |
| | | | | |
| | | | 异向 | 同向 |
+---+----------------------------+----------------------------+----------------------------+----------------------------+
| | 同向或其中至少有一个零向量 | 异向或其中至少有一个零向量 | 不能 | 不能 |
| | | | | |
| | | | 同向 | 异向 |
+---+----------------------------+----------------------------+----------------------------+----------------------------+
> 注意：若将变为要比较绝对值的大小，且；若将变为要比较的模的大小，且；
（3）实数与向量的积(数乘)
> ①定义：一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：
>
> Ⅰ、
**Ⅱ、当[]{.underline}时，的方向与的方向相同，当[]{.underline}时，的方向与的方向相反。**
> ②坐标法：若，则[]{.underline}；
>
> ③运算律：设为实数，为向量：
>
> 结合律：；
>
> 第一分配律：；
>
> 第二分配律：；
（4）平面向量的数量积
> **①数量积：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做和 的数量积(或内积)，记作：；**
>
> 注意：Ⅰ、夹角的范围：；其中当时；当 时；当时；
>
> 当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；
>
> 当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0；
>
> 零向量与任何向量的数量积等于0。
**Ⅱ、投影：叫做向量在方向上的投影。**
> **②坐标法运算：若，则；**
>
> ③运算律：交换律：；
结合律：；
> 分配律：； **注意**：
>
> ④重要性质：
>
> Ⅰ、设都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，
>
> 则：；
>
> Ⅱ、；
>
> Ⅲ、当与同向时，；当与反向时，；
>
> 特别是：，或
Ⅳ、向量的夹角公式：；
Ⅴ、
四、定理与公式：
**（1）平面向量基本定理(也叫做平面向量分解定理)：**
> **如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么该平面内任一向量，只有一对实数，使；我们把不共线的向量和叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。**
**（2）两个向量平行的充要条件：**
**设，为实数**
**①向量式：；**
**②坐标式：；**
**（3）两个向量垂直的充要条件：**
**设**
**①向量式：；**
**②坐标式：；**
**（4）两点间距离公式：**
设，则；
如：求函数的最小值。
**（5）线段的定比分点公式：**
设，，，
**①向量式：；**
**当时，中点对应向量公式；**
**②坐标式：中点对应向量公式；**
**当时，中点坐标公式；**
> 如：已知直线及两点当与线段相交时求的取值范围。（还可以从斜率的角度，通过数形结合解题）
注意：①要分清内分点和外分点
> 当分点在线段上时，点叫的内分点，这时值为；
>
> 当分点在线段或的延长线时，点叫外分点，值为；
>
> 点在延长线上时，这时值为；
>
> 点在延长线上时，这时值为；
>
> ②不能写成（没有定义两向量的除法），有时可写成；
>
> **③三角形重心公式：其中、、为三角形三顶点的坐标。**
（6）平移公式：
> 平移：设是坐标平面上的一个图形，将上所有点按照同一方向，移动同长度，得到图形，这个过程就是图形的平移。
>
> 平移公式：是图形的任意一点，按照平移后图形上的对应点为，则；（注：）
>
> **注意：用平移公式，求平移后的解析式的一般步骤：①设平移后图形的任意一点，②把平移公式变形为，③代入原解析式中，得到了平移后的解析式。（此法在函数平移变换和解几的求轨迹方程中得以充分的体现）**
五、运用向量证明平面几何问题：
（1）由平面向量的基本定理可知：平面的任意向量都可用两个基向量（不共向）来表示；这样在解题的一开始，设出两个不公线的向量，其他所有涉及的向量用这两个基向量来表示；
（2）从要证明的结论出发，充分挖掘向量将的几何关系：
> ①垂直关系；
>
> ②平行关系（常隐含于条件中，如：有三个以上的点共线）
>
> ③角的关系：用向量夹角公式
**六、向量中常见问题的处理：**
（1）；；
（2）；；
（3）在线段上或三点共线；
（4）；
（5）
与[垂直]{.underline}；（思考：其几何含义）
（6）；（思考：其几何含义）
（7）理解；；；
**七、解析几何：**
**直线部分**
一、直线的倾斜角和斜率：
（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着**[交点]{.underline}**按**[逆时针方向旋转]{.underline}**到和**[直线重合]{.underline}**时所转的**[最小正角]{.underline}**记为，那么就叫做直线的倾斜角。
> 注意：规定当直线和轴平行或重合时，其倾斜角为，所以直线的倾斜角的范围是；
（2）直线的斜率：**[倾斜角不是的直线]{.underline}**，它的**[倾斜角的正切]{.underline}**叫做这条直线的斜率，
①斜率是用来表示倾斜角不等于的直线对于轴的倾斜程度的。
> ②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到**斜率的存在与不存在**这两种情况，否则会产生漏解。
>
> ③斜率计算公式：
>
> 设经过和两点的直线的斜率为，
>
> 则当时，；当时，；斜率不存在；
二、直线方程的几种形式：
（1）点斜式：过已知点，且斜率为的直线方程：[]{.underline}；
注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为[]{.underline}；
②表示：[**直线上除去的图形**]{.underline} 。
（2）斜截式：若已知直线在轴上的截距为，斜率为，则直线方程：[]{.underline}；
注意：正确理解"**[截距]{.underline}**"这一概念，它具有**[方向性，有正负之分，与"距离"有区别]{.underline}**。
（3）两点式：若已知直线经过和两点，且（），则直线的方程：[]{.underline}；
注意：①不能表示与轴和轴垂直的直线；
> ②当两点式方程写成如下形式时，**方程可以适应在于任何一条直线**。
（4）截距式：若已知直线在轴，轴上的截距分别是，（）则直线方程：[]{.underline}；
> 注意：**[不能表示与轴垂直的直线，也不能表示与轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线，要谨慎使用]{.underline}**。
（5）参数式：（为参数）其中方向向量为[]{.underline}，[]{.underline}；
> []{.underline}；[]{.underline}；
>
> 点对应的参数为，则[]{.underline}；
>
> （为参数）其中方向向量为[]{.underline}， 的几何意义为[]{.underline}；斜率为[]{.underline}；倾斜角为[]{.underline}。
（6）一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：[]{.underline}；（不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。
> 注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数是否为0才能确定。
>
> ②指出此时直线的方向向量：[]{.underline}，[]{.underline}，[ ]{.underline} （单位向量）；
>
> 直线的法向量：[]{.underline}；（与直线垂直的向量）
三、两直线的位置关系：
---------- -- ------ --
位置关系
平行 ，且
重合 ，且
相交
垂直
---------- -- ------ --
> 设两直线的方程分别为：或；当或时它们相交，交点坐标为方程组或解；
注意：①**对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行**；如：[]{.underline}
**对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直**；如[]{.underline}
> ②若两直线的斜率都不存在，则两直线 [平行]{.underline} ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 [0]{.underline} ，则两直线垂直。
>
> ③对于[]{.underline}来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便．
>
> ④斜率相等时，两直线平行(重合)；但两直线平行(重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。
四、两直线的交角
（1）到的角：把直线依逆时针方向旋转到与重合时所转的角；它是有向角，其范围是；
> **注意：①[到的角与到的角是不一样的]{.underline}；②旋转的方向是[逆时针方向]{.underline}；**
>
> **③绕"定点"是指[两直线的交点]{.underline}。**
（2）直线与的夹角：是指由与相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是；
（3）设两直线方程分别为： 或
①**若为到的角**，或；
②**若为和的夹角**，则或；
③当或时，；
> 注意：①上述与有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；**[当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理]{.underline}**。
>
> ②直线到的角与和的夹角：[]{.underline}或[]{.underline}；
**五、点到直线的距离公式：**
设点和直线，点到的距离为：；
两平行线，的距离为：；
**六、直线系：**
（1）设直线，，经过的交点的直线方程为（除去）；
> 如：①，即也就是过与的交点除去 的直线方程。
>
> ②直线恒过一个定点 [ ]{.underline} 。
>
> 注意：推广到过曲线与的交点的方程为：[]{.underline}；
**（2）与平行的直线为；**
**（3）与垂直的直线为；**
七、对称问题：
（1）中心对称：
> **①点关于点的对称：**
>
> **该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点关于的对称点**
>
> **②直线关于点的对称：**
>
> **Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；**
>
> **Ⅱ、求出一个对称点，在利用由点斜式得出直线方程；**
>
> **Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。**
>
> 如：求与已知直线关于点对称的直线的方程。
（2）轴对称：
**①点关于直线对称：**
**Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。**
> **Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。**
>
> 如：求点关于直线对称的坐标。
**②直线关于直线对称：（设关于对称）**
> **Ⅰ、若相交，则到的角等于到的角；若，则，且与的距离相等。**
>
> **Ⅱ、求出上两个点关于的对称点，在由两点式求出直线的方程。**
>
> **Ⅲ、设为所求直线直线上的任意一点，则关于的对称点的坐标适合的方程。**
>
> 如：求直线关于对称的直线的方程。
八、简单的线性规划：
（1）设点和直线，
①若点在直线上，则[]{.underline}；
②若点在直线的上方，则[]{.underline}；
③若点在直线的下方，则[]{.underline}；
**（2）二元一次不等式表示平面区域：**
**对于任意的二元一次不等式，**
**①当时，则表示直线上方的区域；**
**表示直线下方的区域；**
**②当时，则表示直线下方的区域；**
**表示直线上方的区域；**
> **注意：通常情况下将原点代入直线中，根据或来表示二元一次不等式表示平面区域。**
（3）线性规划：
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
> 满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。
**注意：①当时，将直线向上平移，则的值越来越大；**
**直线向下平移，则的值越来越小；**
**②当时，将直线向上平移，则的值越来越小；**
**直线向下平移，则的值越来越大；**
> 如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数取得最小值的最优解有无数个，则为 [ ]{.underline} ；
>
> **圆部分**
一、曲线和方程：
在直角坐标系中，如果某曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；（完备性）
那么这个方程叫做曲线方程，这条曲线叫做方程的曲线。
二、圆的定义及其方程．
（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件）
**（2）圆的标准方程：；圆心，半径为；**
**圆的参数方程：为参数)；理解的含义；**
> **圆的一般方程：；圆心，半径为；**
>
> **一般方程的特点：①[和的系数相同，且不等于零]{.underline}；②[没有这样的二次项]{.underline}；③；**
特别地，圆心在坐标原点，半径为r的半圆的方程是[]{.underline}；[]{.underline}；
> **若，则以线段为直径的圆的方程是：**
>
> ；
三、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）
设与圆；若到圆心之距为；
**①在在圆外；**
**②在在圆内；**
**③在在圆上；**
**四、直线与圆的位置关系**：
设直线和圆，圆心到直线之距为，由直线和圆联立方程组消去（或）后，所得一元二次方程的判别式为，则它们的位置关系如下：
**相离；相切；相交；**
> **注意：这里用与的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。**
五、两圆的位置关系：
**（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。**
**（2）几何法：设圆的半径为，圆的半径为**
**①两圆外离[]{.underline}；**
**②两圆外切[]{.underline}；**
**③两圆相交[]{.underline}；**
**④两圆内切[]{.underline}；**
**⑤两圆内含[]{.underline}；**
**六、与圆的切线有关的问题：**
**（1）若点在圆；则过点点的切线方程为：；**
> **若点在圆；则过点点的切线方程为：**
>
> **；**
>
> **若点在圆；则过点点的切线方程为：**
>
> ；
**（2）斜率为且与圆相切的切线方程为：[]{.underline}；**
> **斜率为且与圆 相切的切线方程的求法，可设切线为，然后利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求；**
**（3）当点在圆外面时，可设切方程为，利用圆心到直线之距等于半径即，求出即可，或利用，求出，若求得只有一值，则还应该有一条斜率不存在的直线，此时应补上。**
**（4）当直线和圆相切时，切点的坐标为的方程和圆的方程联立的方程组的解，或过圆心与切线垂直的直线与切线联立的方程组的解。**
**（5）若点在圆外一点；则过点点的切线的切点弦方程为：；**
> **若点在圆；则过点点的切线的切点弦方程为：；**
**七、圆的弦长的求法：**
**（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为，弦心距为，半径为，则有：；**
**（2）代数法：设的斜率为，与圆交点分别为，则**
**（其中的求法是将直线和圆的方程联立消去或，利用韦达定理求解。）**
**八、圆系方程：**
**（1）经过两个圆与 的交点的圆系方程是；**
> **当时，表示过两个圆交点的直线；**
**（2）经过直线与圆的交点的圆系方程是**
**；**
> **圆锥曲线部分**
一、椭圆：
**（1）椭圆的定义：[平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹]{.underline}。**
> **第二定义：[平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹]{.underline}。**
>
> 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。
>
> 常数叫做离心率。
注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；
**（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：**
---------- -------------------------- --------------------------
中心在原点，焦点在轴上 中心在原点，焦点在轴上
标准方程
参数方程 为参数) 为参数)
图 形
顶 点
对称轴 轴，轴；短轴为，长轴为
焦 点
焦 距
离心率 （离心率越大，椭圆越扁）
准 线
通 径 （为焦准距）
焦半径
焦点弦 仅与它的中点的横坐标有关 仅与它的中点的纵坐标有关
焦准距
---------- -------------------------- --------------------------
二、双曲线：
**（1）双曲线的定义：[平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹]{.underline}。**
> **第二定义：[平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹]{.underline}。**
>
> 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。
>
> 常数叫做离心率。
注意：与（）表示双曲线的一支。
表示两条射线；没有轨迹；
**（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：**
+----------+--------------------------+------------------------+
| | 中心在原点，焦点在轴上 | 中心在原点，焦点在轴上 |
+----------+--------------------------+------------------------+
| 标准方程 | | |
+----------+--------------------------+------------------------+
| 图 形 | | |
+----------+--------------------------+------------------------+
| 顶 点 | | |
+----------+--------------------------+------------------------+
| 对称轴 | 轴，轴；虚轴为，实轴为 | |
+----------+--------------------------+------------------------+
| 焦 点 | | |
+----------+--------------------------+------------------------+
| 焦 距 | | |
+----------+--------------------------+------------------------+
| 离心率 | （离心率越大，开口越大） | |
+----------+--------------------------+------------------------+
| 准 线 | | |
+----------+--------------------------+------------------------+
| 渐近线 | | |
+----------+--------------------------+------------------------+
| 通 径 | （为焦准距） | |
+----------+--------------------------+------------------------+
| 焦半径 | 在左支 | 在下支 |
| | | |
| | 在右支 | 在上支 |
+----------+--------------------------+------------------------+
| 焦准距 | | |
+----------+--------------------------+------------------------+
（3）双曲线的渐近线：
> **①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得[]{.underline}，因式分解得到。**
**②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；**
**（4）等轴双曲线为，其离心率为**
三、抛物线：
**（1）抛物线的定义：[平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹。]{.underline}**
> 其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。
**（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：**
+----------+------------------------+--------------+--------------+--------------+
| | 焦点在轴上， | 焦点在轴上， | 焦点在轴上， | 焦点在轴上， |
| | | | | |
| | 开口向右 | 开口向左 | 开口向上 | 开口向下 |
+----------+------------------------+--------------+--------------+--------------+
| 标准方程 | | | | |
+----------+------------------------+--------------+--------------+--------------+
| 图 形 | | | | |
+----------+------------------------+--------------+--------------+--------------+
| 顶 点 | | | | |
+----------+------------------------+--------------+--------------+--------------+
| 对称轴 | 轴 | 轴 | | |
+----------+------------------------+--------------+--------------+--------------+
| 焦 点 | | | | |
+----------+------------------------+--------------+--------------+--------------+
| 离心率 | | | | |
+----------+------------------------+--------------+--------------+--------------+
| 准 线 | | | | |
+----------+------------------------+--------------+--------------+--------------+
| 通 径 | | | | |
+----------+------------------------+--------------+--------------+--------------+
| 焦半径 | | | | |
+----------+------------------------+--------------+--------------+--------------+
| 焦点弦 | （当时，为------通径） | | | |
+----------+------------------------+--------------+--------------+--------------+
| 焦准距 | | | | |
+----------+------------------------+--------------+--------------+--------------+
如：是过抛物线焦点的弦，是的 中点，是抛物线的准线，，为垂足，，，，为垂足，求证：
> **（1）[]{.underline}；** （2）； （3）；
>
> （4）设交抛物线于，则平分；
>
> **（5）设，则[]{.underline}，[]{.underline}；**
>
> （6）； （7）三点在一条直线上
>
> （8）过作，交轴于，求证：，；
四、圆锥曲线的统一定义：
> 若平面内一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比等于一个常数，则动点的轨迹为圆锥曲线。其中定点为焦点，定直线为准线，为离心率。
当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线。
**五、轨迹方程的求法：**
**（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系"翻译"成含的等式就得到曲线的轨迹方程。**
如：已知底边的长为8，两底角之和为，求顶点且的轨迹方程。
**（2）定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则根据定义直接求出动点的轨迹方程。**
> 如：已知圆，定点，若是圆上的动点，的垂直平分线交 于，求的轨迹方程。
**（3）几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代人点的坐标较简单。**
> 如：是的直径，且，为圆上一动点，作，垂足为，在上取点，使，求点的轨迹。
**（4）相关点法（代人法）：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的；如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程。**
> 如：在双曲线的两条渐近线上分别取点和，使（其中为坐标原点，为双曲线的半焦距），求中点的轨迹。
**（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程。常与参数法并用。**
> 如：己知两点，以及一直线，设长为的线段在直线上运动，求直线和的交点的轨迹方程。
**（6）整体法（设而不求法）**：当探求的轨迹较复杂时，可扩大考察视角，将问题中的条件、结论的各种关系看成一个整体，从整体出发运用整体思想，注重整体结构的挖掘和分析。
> 如：以为圆心的圆与椭圆交于两点，求中点的轨迹方程。
（7）参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，
> 如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可；
>
> 在选择参数时，选用的参变量要以具有某种物理或几何的性质，如时间、速度、距离、角度，有向线段的数量、直线的斜率，点的横、纵坐标等，也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的**[取值范围]{.underline}**的对动点坐标取值范围的影响。
**注意：所有的求轨迹的问题都要根据题意，求其中的取值范围。**
**六、直线与圆锥曲线的位置关系：**
**（1）会利用方程组解的状况确定直线与圆锥曲线的位置关系；解此类问题一般从直线与圆锥曲线联立的方程组的解的个数来入手。（要注意考虑二次项系数为零，思考此时几何意义），也通过图形进行讨论。（要注意的是：与对称轴、渐近线平行的情况）**
> 如：试确定实数的不同取值，讨论直线与双曲线的公共点的个数。
**（2）会求直线被圆锥曲线所截的弦长，弦的中点坐标：解决此类问题时，由于直线和圆锥曲线相交，故其方程组的（尤其含有待定的系数是否则会增解）；涉及到中点坐标，要注意韦达定理的应用，而韦达定理的前提条件是。**
> 如：设抛物线经过两点和，对称轴与轴平行，开口向右，直线 被抛物线截得的线段长是，求抛物线方程。
**（3）当直线与圆锥曲线相交时，求在某些给定条件下地直线线方程；解此类问题，一般是根据条件求解，但要注意条件的应用。**
> 如：已知抛物线方程为在轴上截距为2的直线与抛物线交于两点，且以为径的圆过原点，求直线的方程。
**（4）圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法：圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线垂直，则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，得到关系式而求解。**
如：抛物线上有关于对称的相异两点，求的取值范围。
**八、立体几何**
一、**立体几何网络图：**
（1）线线平行的判断：
⑴平行于同一直线的两直线平行。
> ⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
⑿垂直于同一平面的两直线平行。
（2）线线垂直的判断：
> ⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
>
> ⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
（3）线面平行的判断：
⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
⑸两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（4）线面垂直的判断：
⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⒃如果两个平面垂直，那么在---个平面内垂直于交线的直线必垂直于另---个平面。
（5）面面平行的判断：
⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。
（6）面面垂直的判断：
⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
二、其他定理：
（1）确定平面的条件：①[不公线的三点]{.underline}；②[直线和直线外一点]{.underline}；③[相交直线]{.underline}；
（2）直线与直线的位置关系： [相交]{.underline} ； [平行]{.underline} ； [异面]{.underline} ；
直线与平面的位置关系： [在平面内]{.underline} ； [平行]{.underline} ； [相交（垂直是它的特殊情况）]{.underline} ；
平面与平面的位置关系： [相交]{.underline} ；； [平行]{.underline} ；
（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；
> 如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。
> （5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角。
**（6）异面直线的判定：①反证法；**
**②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。**
（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。
（8）如果---直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。
（9）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。
**三、[唯一性定理]{.underline}：**
**（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直。**
**（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行。**
**（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。**
**[四、空间角的求法]{.underline}：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）**
**（1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：；**
> **注意：若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。有的还可以通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。**
**（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为；**
**②线面垂直：线面所成的角为；**
> **③斜线与平面所成的角：范围；即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。**
**（3）二面角：关键是找出二面角的平面角。方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；**
> **注意：还可以用射影法：[]{.underline}；其中为二面角的大小，为内的一个封闭几何图形的面积；为内的一个封闭几何图形在内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。**
**五、距离的求法：**
**（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。**
> **注意：求点到面的距离的方法：**
>
> **[①直接法：]{.underline}直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）；**
>
> **[②转移法：]{.underline}转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）；**
>
> **[③体积法：]{.underline}利用三棱锥体积公式。**
**（2）线线距离：**
**关于异面直线的距离，常用方法有：**
**①定义法，关键是确定出的公垂线段；**
> **②转化为线面距离，即转化为与过而平行于的平面之间的距离，关键是找出或构造出这个平面；③转化为面面距离；**
**（3）线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化；**
**六、常用的结论：**
（1）若直线在平面内的射影是直线，直线是平面内经过的斜足的一条直线，与 所成的角为，与所成的角为, 与所成的角为，则这三个角之间的关系是；
（2）如何确定点在平面的射影位置：
> ①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这点在平面上的射影在这个角的平分线上；
>
> Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角的两边夹角相等，那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上；
>
> Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点的距离相等，则这一点在平面上的射影在以这两点为端点的线段的垂直平分线上。
>
> ②垂线法：如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直，那么这一点在这平面上的射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理)；
>
> ③垂面法：如果两平面互相垂直，那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面的交线上(面面垂直的性质定理)；
>
> ④整体法：确定点在平面的射影，可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。
（3）在四面体中：
①若，则；且在平面上的射影是的垂心。
②若，则在平面上的射影是的外心。
③若到边的距离相等，则在平面上的射影是的内心。
（4）异面直线上两点间的距离公式：若异面直线所成的角为，它们公垂线段的长为，在上分别取一点，设，；
> 则
（如果为锐角，公式中取负号，如果为钝，公式中取正号）
七、多面体：
（1）棱柱：
> ①定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱；
> 四棱柱平行六面体直平行六面体 长方体正四棱柱正方体。
②性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形；
Ⅱ、两底面是全等多边形；
Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形；
Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。
③面积：（是底周长，是高）
④体积：（为底面积，为高，为已知侧面与它对棱的距离）
（2）棱锥：
> ①定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥；
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥；
②性质：
> Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似，
>
> 截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比；
>
> 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；
>
> 截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；
>
> Ⅱ、正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三角形；通过四个直角三角形，，，实现边，高，斜高间的换算
③面积：（为底周长，为斜高）
④体积：（为底面积，为高）
**（3）正四面体：**
**对于棱长为正四面体的问题可将它补成一个边长为的正方体问题。**
**对棱间的距离为（正方体的边长）**
**正四面体的高（）**
**正四面体的体积为（）**
**正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为（）**
**外接球的半径为（是正方体的外接球，则半径）**
**内切球的半径为（是正四面体中心到四个面的距离，则半径）**
（4）正多面体：
> ①定义：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的多面体叫做正多面体。
------------------------------------------- ---------- ---------- ---------- ------------ ------------
正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
面数 4 6 8 12 20
顶点数 4 8 6 20 12
棱数 6 12 12 30 30
面的形状 正三角形 正方形 正三角形 正五边形 正三角形
顶点的棱数 3 3 4 3 5
------------------------------------------- ---------- ---------- ---------- ------------ ------------
②欧拉公式：（为简单多面体的顶点数，为面数，为棱数）
（表示各个面上的棱数，表示过各个顶点的棱数）
八、球
（1）定义：①球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。
②球体：球面所围成的几何体。
（2）性质：
> ①任意截面是圆面（经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫小圆）
两点的球面距离，是指经过球面上这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长。
> ②球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且，其中为球半径，为截面半径，为球心的到截面的距离。
（3）面积公式：（为球半径）
（4）体积公式：（为球半径）
**九、排列、组合、二项式、概率：**
一、分类计数原理和分步计数原理：
分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。
分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而---个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。
**区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即"分类完成"；如果只有当个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即"分步完成"。**
二、排列与组合：
（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出个元素的问题；
> **区别：前者有顺序，后者无顺序。**
（2）排列数、组合数：
**排列数的公式：**
**注意：①全排列：；**
**②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；**
排列数的性质：
> ①（将从个不同的元素中取出个元素，分两步完成：
>
> 第一步从个元素中选出1个排在指定的一个位置上；
>
> 第二步从余下个元素中选出个排在余下的个位置上）
>
> ②（将从个不同的元素中取出个元素，分两类完成：
第一类：个元素中含有，分两步完成：
第一步将排在某一位置上，有不同的方法。
> 第二步从余下个元素中选出个排在余下的个位置上）
即有种不同的方法。
> 第二类：个元素中不含有，从个元素中取出个元素排在个位置上，有种方法。
**组合数的公式：**
组合数的性质：
> ①（从个不同的元素中取出个元素后，剩下个元素，也就是说，从个不同的元素中取出个元素的每一个组合，都对应于从个不同的元素中取出个元素的唯一的一个组合。）
>
> ②（分两类完成：第一类：含，有种方法；第二类：不含，有种方法；）
>
> ③（第一步：先选出1个元素，第二步：再从余下个元素中选出个，但有重复，如先选出，再选出组成一个组合，与先选出，再选出组成一个组合是相同的，且重复了次）
>
> ④（分类：第一类：含，为；第二类：不含，含，为；第三类：不含，不含，含，为；......）
>
> ⑤（将元素分成分成两个部分，第一部分含个元素，第二部分含个元素：
>
> 在第一部分中取个元素，在第二部分不取元素，有；
>
> 在第一部分中取个元素，在第二部分取1个元素，有；......）
（3）排列、组合的应用：
> 解排列组合应用题时主要应**抓住是排列问题还是组合问题**，其次要**搞清需要分类，还是需要分步**
切记：**排组分清(有序排列、无序组合)，分类分步明确**
> 排列组合应用问题主要有三类：不带限制条件的排列或组合题；带限制条件的排列或组合题；排列组合综合题；
**解排列组合的应用题，通常有以下途径：**
**①以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素------特殊元素法**
**②以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置------特殊位置法**
> **③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减不合要求的排列数或组合数------间接法**
**（4）对解组合问题，应注意以下三点：**
**①对"组合数"恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。**
**②是用"直接法"还是"间接法"解组合题，其前提是"正难则反"。**
**③命题设计"分组方案"是解组合题的关键所在。**
**（3）解排列、组合题的基本策略与方法：**
> **①去杂法：**对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
>
> **②分类处理：**某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。这是解排列组合问题的基本策略之。注意的是：**分类不重复不遗漏**。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。
>
> **③分步处理：**与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是**先分类，后分步**。
>
> **④插入法（插空法）：某些元素不能相邻**采用插入法。即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。
>
> **⑤"捆绑"法：**要求**某些元素相邻**，把相邻的若干特殊元素"捆绑"为一个大元素，然后再与其余"普通元素"全排列，最后再"松绑"，将特殊元素在这些位置上全排列，即是"捆绑法"。
**⑥穷举法：**将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。
> **⑦消序处理：**对均匀分组问题在解决时，一定要区分开是"有序分组"还是"无序分组"，若是"无序分组"，一定要清除同均匀分组无形中产生的有序因素。
三、二项式定理：
（1）通项：
**（2）二项式系数的性质：**
**①二项展开式中，与首末两端"等距离"的两项的二项式系数相等，即：**
**②二项展开式中，中间的一项或两项的二项式系数相等并且最大，**
**即当为偶数时，第项的二项式系数最大，为；**
**当为奇数时，第项及项的二项式系数最大，为；**
**③二项展开式中所有项的二项式系数之和等于，即；**
> **④二项展开式中，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，即；**
>
> **⑤**
**（3）、展开式中的系数求法（的整数且）**
如：展开式中含的系数为
**（4）二项式定理的应用：**
**①求展开式中的指定的项或特定项：**
如：①若，展开式中含有常数项，则的最小值是 [ ]{.underline} ；
②求的展开式中的常数项。
**注意：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。**
**②求展开式中的某一项的系数：**
如：在的展开式中，的系数是 [ ]{.underline} ；
**③求展开式中的系数和：**
> 如：的所有各项的系数和是[]{.underline}（赋值法：令）；[]{.underline}；[]{.underline}；（令）
**④求二项式展开式的系数最大项的问题：**
> 求展开式中系数最大的项，通常设展开式各项系数分别为；设第项系数最大，则；然后求出不等式组的整数解。
>
> 如：求展开式中系数最大的项。
**⑤利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：**
如：求证：能被64整除（）
**⑥证明有关的不等式问题：**
> 有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。①；②；（）
>
> 如：求证：
**⑦进行近似计算：**
> 求数的次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数)的形式。
>
> 当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：
①；②；
> 如：求的近似值，使结果精确到0.01；
四、概率：
（1）随机事件的概率：
①必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；
②不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；
③随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；
> ④事件的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它的附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率；记作；
⑤范围：；特例：必然事件，不可能事件；
（2）等可能事件的概率：
①基本条件：一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
> ②等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是，如果某个事件包含的结果有个，那么事件的概率；
>
> ③从集合角度看概率：在一次试验中，等可能出现的个结果组成一个集合，这个结果就是集合的个元素；各基本事件均对应于集合的含有1个元素的子集，包含个结果的事件对应于的含有个元素的子集；因此，从集合的角度看，事件的概率是子集的元素个数（记作与集合的元素个数的比值，即；
（3）互斥事件有一个发生的概率：
①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。
> ②互斥事件的概率：
>
> 如果事件互斥，那么事件发生的概率，等于事件分别发生的概率的和，即：；
>
> 如果事件彼此互斥，那么事件发生的概率等于这 个事件分别发生的概率的和，即
>
> ③对立事件：如果表示事件发生，表示事件不发生，那么事件与中必有一个发生，这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件；
>
> ④对立事件的概率：对立事件概率的和等于1，即：；；
（4）相互独立事件同时发生的概率：
> ①相互独立事件：事件 (或)是否发生对事件(或)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件；
>
> **注意：如果事件互相独立，那么与，与，与都是互相独立事件。**
>
> ②相互独立事件同时发生的概率：
>
> 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即
>
> 如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即；
（5）独立重复试验：
> ①独立重复试验：若次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这次试验是独立的。
>
> ②独立重复试验的概率：
>
> 如果在一次试验中，某事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，这个事件恰好发生次的概率：；
五、统计：
（1）抽样方法：
> ①简单随机抽样：一般地，设一个总体的个体数为，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。
>
> **注意：如果用简单随机抽样从个体数为的总体中抽取一个容量为的样本，那么每个个体被抽到的概率都等于[]{.underline}；**
>
> Ⅰ、抽签法：先将总体中的所有个体（共有个）编号（号码可以从1到），并把号码写在形状、大小相同的号签上，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌；抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本。
>
> 注意：抽签法简便易行，当总体的个体数不多时，适宜采用这种方法。
>
> Ⅱ、随机数表法：先将件产品编号，可以编为00，0l，02，...，，然后在附表l随机数表中任选一个数作为开始。得到一系列的两位数字号码，若大于或前面已有此号码将它去掉，这样可以得到一个容量为的样本。
>
> ②系统抽样的概念：可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样。
系统抽样的步骤：Ⅰ、采用随机的方式将总体中的个体编号；
> Ⅱ、将整个的编号分段(即分成几个部分)，要确定分段的间隔；当（N为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，；当不是整数时，运用简单的随机抽样，**从总体中剔除一些个体**使剩下的总体中个体个数N'能被n整除，这时；
Ⅲ、在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号；
> Ⅳ、按照事先确定的规则抽取样本（通常是将加上间隔，得到第2个编号，再将加上，得到第3个编号，这样继续下去，直到获取整个样本）。
>
> ③分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样；其中所分成的各部分叫做层。
+--------------+------------------------------------+--------------------------------------------------+----------------------------------------+--------------------------+
| 类别 | 共同点 | 各自特点 | 相互联系 | 适用范围 |
+--------------+------------------------------------+--------------------------------------------------+----------------------------------------+--------------------------+
| 简单随机抽样 | 抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 | 从总体中逐个抽取 | | > 总体中的个体数较少 |
+--------------+------------------------------------+--------------------------------------------------+----------------------------------------+--------------------------+
| 系统抽样 | | 将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取 | 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 | > 总体中的个体数较多 |
+--------------+------------------------------------+--------------------------------------------------+----------------------------------------+--------------------------+
| 分层抽样 | | 将总体分成几层，分层进行抽取 | > 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 | 总体由差异明显的几部分组 |
+--------------+------------------------------------+--------------------------------------------------+----------------------------------------+--------------------------+
（2）能作出频率分布的直方图，
> 注意：直方图中每一个小矩形表示样本**落在这个范围的频率**。
>
> **理解：频数、频率、、累积频率、概率的概念。**
（3）期望与方差：
**期望（平均数）：**；
**方差：**
> **注意：的期望为，方差为，则（1）的期望为，方差为**；**（2）的期望为，方差为；**
**十、导数：**
**一、**导数的概念：
（1）函数在点处可导：函数在到之间的平均变化率，即[]{.underline}；
> 如果当时，有极限，则称函数在点处可导。
（2）函数在开区间内可导：如果函数在开区间内每一点处都可导，则称函数在开区间内可导；
**（3）函数在点的导数：**
> **如果函数在点处可导，那么极限叫做函数在点的导数（或变化率），记作：或；**
>
> **即[]{.underline}**
（4）函数在开区间内的导函数(导数)：
> 如果函数在开区间内可导，那么对于开区间的每一个确定的值都对应着一个确定的导数，这样在开区间内构成一个新的函数，我们把这---新函数叫做函数在开区间内的导函数（简称导数），记或；即：[]{.underline}
**（5）导数的几何意义：函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率，即[]{.underline}；**
（6）导数在物理中的运用：函数在点处的导数，就是当物体的运动方程为时，物体运动在时刻的瞬时速度，即；物体运动在时刻的加速度；
二、几种常见函数的导数：（为常数）；
三、函数的和、差、积、商的导数：
（1）和(差)的导数：两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)，即
容易推广到有限个函数的情形：
（2）积的导数：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：
容易推出：（为常数）：常数与函数的积的导数等于这个常数乘以函数的导数；
四、导数的运用：
（1）函数的单调性：
> ①设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数。
>
> ②设函数在某个区间内可导，如果在该区间上单调递增(或递减)，则在该区间内(或)。
**求可导函数单调区间的步骤：**
①求； ②解不等式(或)；
③确认并指出递增区间(或递减区间)；
**证明可导函数在内的单调性的步骤：**
①求； ②确认在内的符号； ③作出结论；
（2）函数的极大值与极小值：
> 函数极值的定义：设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有(或)，就说是函数的一个极大(小)值；
**求可导函数的极值的步骤：**
①求； ②求方程的全部实根；
> ③检查在方程的根左右的值的符号，**如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值**。
（3）函数的最大值与最小值：
求在上的最大值和最小值的步骤：
①求在内的极值；
②将的各极值与，比较，确定的最大值与最小值；
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**数一数（一）同步练习**
1．请你选出表示"5"的图，在图后的○里画上"☆"．
2．每人用一条毛巾，你知道每个帐篷里有几个人吗？
3．你喜欢什么，就在船上画出来吧！
二、拔高
1.数一数，下图中有多少个小正方体？\[来源:Z§xx§k.Com\]
2、
（1）有（ ）个小正方体。
（2）有（ ）个小正方体。
（3）有（ ）个小正方体。\[来源:学科网ZXXK\]
（4）有（ ）个小正方体。
3、用红色凃出28个小方格。
\[来源:Z。xx。k.Com\]
参考答案
一、复习
1．请你选出表示"5"的图，在图后的○里画上"☆"．
2．每人用一条毛巾，你知道每个帐篷里有几个人吗？\[来源:Z。xx。k.Com\]
8，10
3．你喜欢什么，就在船上画出来吧！
略
二、拔高
1\. 1013
2、（1）有（ 125 ）个小正方体。
> （2）有（ 142 ）个小正方体。
>
> （3）有（105 ）个小正方体。
>
> （4）有（ 1116 ）个小正方体。
>
> 3、略
>
> \[来源:Z\#xx\#k.Com\]
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**小学数学混合运算习题及答案**
1．一个数加上它的40%正好等于14的50%，这个数是多少？
2．计算。
(1)9+99+999+9999
(2)71+73 + 69+74 + 68+70+69
3．游乐园的游园票价格规定如下表：
------------------ ------ -------- ---------
购票人数 1-50 51-100 100以上
每人的票价（元） 45 43 40
------------------ ------ -------- ---------
花园小学四年级同学去游乐园春游，一班有49人，二班有48人，三班有52人。
①每班分别购票，各需要多少元？
②三个班合起来购票，共需要多少元？
4．列式计算。
（1）420除以6的商，加上12乘5的积，和是多少？
（2）12与15的积，减去160除以5的商，差是多少？
5．在□里添上合适的数字。
5□-□8=25 73-□□＜25 □□-17＞50
6．算一算，填写有趣的数字。
（1）{width="1.4166666666666667in" height="0.625in"}
（2）{width="1.6666666666666667in" height="0.6145833333333334in"}
7．a^2^表示2个a相乘，a^3^表示3个a相乘，...a^n^表示n个a相乘（n是非零自然数），那么3^5^+2^5^是多少？
8．等待着你发现。
先计算下面各题，再写出你的发现．（写出3点）．
15×1=15 15×=5 15×=3
1×6=6 ×6=3 ×6=2
发现：一个数 [ ]{.underline} 乘小于1的数，积比这个数 [ ]{.underline} ；
一个数 [ ]{.underline} 乘等于1的数，积 [ ]{.underline} 这个数；
一个数 [ ]{.underline} 乘大于1的数，积比这个数 [ ]{.underline} 。
9．根据下列概念间的逻辑关系将下表补充完整。
因数、偶数、倍数、公因数、质数、最大公因数、公倍数、1、
最小公倍数、分解质因数、2、5、3倍数特征、奇数、合数、互质数。
{width="3.8333333333333335in" height="3.5in"}
**参考答案**
1．5
【解析】14的50%是14×50%=7，一个数加上它的40%是这个数的（1+40%），也就是7是这个数的（1+40%），因此，这个数是7÷（1+40%）=5。
解：14×50%÷（1+40%）
=7÷1.4
=5
答：这个数是5。
2．（1）11106；（2）494
【解析】（1）算式中的4个数分别接近10,100,1000,10000，我们就把它们看做整十数、整百数、整千数、整万数来计算，再看每个数多加几能够构成这样的数，然后就在后面减几。把9看做10，多加了1；把99看做100，多加了1；把999看做1000，多加了1；把9999看做10000，多加了1。一共多加了4个1，所以再在和后面减4。
解：9+99+999+9999=10＋100＋1000+10000－4=11110－4=11106
(2)这个箅式有7个数，它们都很接近70，我们就可以把70当做一个"基准数"，题中有几个数就有几个70。再看每个数与这个"基准数"的关系，如果比"基准数"多几就在后面加几，如果比"基准数"少几就在后面减几，这样就便于计算。
解：71+73+69+74+68+70+69
=70X7+(1+3-1+4-2+0-1)
=490+4
=494
3．一班需要2205元，二班需要2160元，三班需要2236元；5960元
【解析】从统计表中可读出人数范围不同票价不同，1-50人时票价45元，51-100人时票价43元100人以上时票价40元；
题干中一班49人，二班48人按每人票价45元来算，三班52人，按每人票价43元来算，三个班一起买票超过100人，按票价40元来算。
解：①49×45=2205（元）48×45=2160（元）52×43=2236（元）
答：一班需要2205元，二班需要2160元，三班需要2236元。
②49+48+52=149（人）149×40=5960（元）
答：共需要5960元。
4．130；148
【解析】（1）先算420除以6的商，12乘5的积，所得的商加上所得的积即可；
（2）先算12与15的积，160除以5的商，所得的积减去所得的商即可。
解：（1）420÷6+12×5
=70+60
=130
答：和是130。
（2）12×15-160÷5
=180-32
=148
答：差是148。
5．3、2；4、9；6、8
【解析】①因为5+8=13，所以被减数的个位上填3，再根据被减数减差等于减数，可求出减数的十位上数；
②因为73-25=48，所以减数最小是49；
③因为50+17=67，所以被减数最小是68．据此解答。
6．{width="1.4166666666666667in" height="0.625in"}；{width="1.6666666666666667in" height="0.6145833333333334in"}
【解析】（1）根据减法各部分间的关系：减数=被减数-差。
（2）根据乘法各部分间的关系：一个因数=和-另一个因数，可得下面的两位数因数是648000÷8640=75。
解：（1）因为18937-9745=9192，所以：
{width="1.4166666666666667in" height="0.625in"}
（2）因为648000÷8640=75，所以：
{width="1.6666666666666667in" height="0.6145833333333334in"}
7．275
【解析】因为a^n^表示n个a相乘（n是除0外的自然数），所以3^5^+2^5^=3×3×3×3×3+2×2×2×2×2。
解：3^5^+2^5^=3×3×3×3×3+2×2×2×2×2
=243+32
=275
8．0除外，小；0除外，等于；0除外，大
【解析】将题干中的算式根据第二个因数的大小分为3种情况：
（1）第二个因数小于1，有15×=5，15×=3，积比这个数小；
（2）第二个因数等于1，有15×1=15，积等于这个数；
（3）第二个因数大于1，有1×6=6，×6=3，×6=2，积比6大。
故答案为：0除外，小；0除外，等于；0除外，大
9．{width="3.6875in" height="3.4895833333333335in"}
【解析】本题根据相关概念之间的逻辑关系进行分析填空即可：题目有两个关系表：
表一：第一个概念是因数，两个整数相乘，其中这两个数都叫做积的因数因数．由此可知，因数中包括大于0的自然数，即1，合数与质数，而几个有共同因数的合数共有公因数；
因数中包含最大公因数，几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数．其中最大的公因数叫做这几个数的最大公因数．通过对最大公因数进行分解质因数，可以得到互质数。
表二：倍数为一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数．倍数中包含公倍数，即几个数公有的倍数叫公倍数．公倍数中包含最小公倍数．
能被2整数的数个位数一定为偶数；各个数位上的数相加的和能被3整数，则这个数也能被3整数，能被3整除的数可为奇数，也可为偶数；个位数为0或5的数能被5整数，能被5整除的数可为偶数，也可能是奇数。
据此填表即可．
解：根据相关概念之间的逻辑关系可得：
{width="3.6875in" height="3.4895833333333335in"}
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高考数学100个提醒
------ 知识、方法与例题
**一、集合与逻辑**
1、区分集合中元素的形式：如：---函数的定义域；---函数的值域；---函数图象上的点集，**如（1）**设集合，集合N＝，则\_\_\_（答：）；**（2）**设集合，，，则\_\_\_\_\_（答：）
2、条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况
如：，如果，求的取值。（答：a≤0）
3、;
C~U~A={x\|x∈U但xA};;真子集怎定义？
含n个元素的集合的子集个数为2^n^,真子集个数为2^n^－1;**如**满足集合M有\_\_\_\_\_\_个。 （答：7）
4、C~U~(A∩B)=C~U~A∪C~U~B; C~U~(A∪B)=C~U~A∩C~U~B;card(A∪B)=?
5、A∩B=AA∪B=BABC~U~BC~U~AA∩C~U~B=C~U~A∪B=U
6、**补集思想**常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
**如**已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。 （答：）
7、原命题: ;逆命题: ;否命题: ；逆否命题: ；互为逆否的两个命题是等价的.
如：""是""的 [ ]{.underline} 条件。（答：充分非必要条件）
8、若且;则p是q的充分非必要条件（或q是p的必要非充分条件）;
9、注意**命题**的**否定**与它的**否命题**的区别:
> 命题的否定是；**否命题**是
命题"p或q"的否定是"┐P且┐Q"，"p且q"的否定是"┐P或┐Q"
注意：**如** "若和都是偶数，则是偶数"的
否命题是"若和不都是偶数，则是奇数"
否定是"若和都是偶数，则是奇数"
**二、函数与导数**
10、**指数式、对数式**：
，，，，，，，，，。
**如**的值为\_\_\_\_\_\_\_\_(答：)
11、一次函数:y=ax+b(a≠0) b=0时奇函数;
12、二次函数①[三种形式]{.underline}:一般式f(x)=ax^2^+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);顶点式f(x)=a(x-h)^2^+k;零点式f(x)=a(x-x~1~)(x-x~2~)(轴?);b=0偶函数;
③[区间最值]{.underline}:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若函数的定义域、值域都是闭区间，则＝ [ ]{.underline} （答：2）
④[实根分布]{.underline}:先画图再研究**△\>0**、**轴与区间关系**、区间**端点函数值符号**;
13、反比例函数:**平移**(中心为(b,a))
14、对勾函数是奇函数,
15、单调性**①定义法**;**②导数法**. **如：**已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是\_\_\_\_(答：))；
**注意①**：能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。
**注意②**：函数**单调性与奇偶性的逆用**了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.**如**已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。（答：）
**③复合函数**由同增异减判定④图像判定.⑤作用:比大小,解证不等式. **如**函数的单调递增区间是\_\_\_\_\_\_\_\_(答：（1,2）)。
16、奇偶性：f(x)是偶函数f(-x)=f(x)=f(\|x\|);f(x)是奇函数f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);**定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件**。
17、**周期性**。（1）**类比"三角函数图像"得**：
①若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；
②若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；
③如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；
**如**已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_个实数根（答：5）
（2）**由周期函数的定义**"函数满足，则是周期为的周期函数"**得**：①函数满足，则是周期为2的周期函数；②若恒成立，则；③若恒成立，则.
> **如(1)** 设是上的奇函数，，当时，，则等于\_\_\_\_\_(答：)；**(2)**定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为\_\_\_\_\_\_\_\_\_(答：)；
18、**常见的图象变换**
①函数的图象是把函数的图象沿轴向左或向右平移个单位得到的。**如**要得到的图像，只需作关于\_\_\_\_\_轴对称的图像，再向\_\_\_\_平移3个单位而得到(答：；右)；**（3）**函数的图象与轴的交点个数有\_\_\_\_个(答：2)
②函数+的图象是把函数助图象沿轴向上或向下平移个单位得到的；**如**将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线对称,那么 (答：C)
③函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的。**如（1）**将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为\_\_\_\_\_(答：)；**（2）**如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是\_\_\_\_\_\_\_(答：)．
④函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的.
**19、函数的对称性**。
①满足条件的函数的图象关于直线对称。**如**已知二次函数满足条件且方程有等根，则＝\_\_\_\_\_(答：)；
②点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；
③点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；
④点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为；
⑤点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。特别地，点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。**如**己知函数,若的图像是,它关于直线对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：）；
若f(a－x)＝f(b+x),则f(x)图像关于直线x=对称;两函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图像关于直线x=对称。
**提醒**：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；**如（1）**已知函数。求证：函数的图像关于点成中心对称图形。
⑥曲线关于点的对称曲线的方程为。**如**若函数与的图象关于点（-2，3）对称，则＝\_\_\_\_\_\_（答：）
⑦形如的图像是双曲线，对称中心是点。**如**已知函数图象与关于直线对称，且图象关于点（2，－3）对称，则*a*的值为\_\_\_\_\_\_（答：2）
⑧的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。**如（1）**作出函数及的图象；**（2）**若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于\_\_\_\_对称 （答：轴）
**20.**求解**抽象函数**问题的常用方法是：
（1）**借鉴模型函数进行类比探究**。几类常见的抽象函数 ：
**①正比例函数型： \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--；**
**②幂函数型： \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--，；**
**③指数函数型： \-\-\-\-\-\-\-\-\--，；**
**④对数函数型： \-\--，；**
**⑤三角函数型： *\-\-\-\--*** **。**
**如**已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则\_\_（答：0）
21.反函数:①函数存在反函数的条件一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数④互为反函数的两函数具相同单调性⑤f(x)定义域为A,值域为B,则f\[f^-1^(x)\]=x(x∈B),f^-1^\[f(x)\]=x(x∈A).⑥原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。
**如：**已知函数的图象过点(1,1),那么的反函数的图象一定经过点\_\_\_\_\_（答：（1,3））；
22、题型方法总结
Ⅰ**判定相同函数**:定义域相同且对应法则相同
Ⅱ求函数解析式的常用方法：
（1）**待定系数法**――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：）。**如**已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。（答：）
（2）**代换（配凑）法**――已知形如的表达式，求的表达式。**如（1）**已知求的解析式（答：）；**（2）**若，则函数=\_\_\_\_\_（答：）；**（3）**若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，那么当时，=\_\_\_\_\_\_\_\_（答：）. 这里需**值得注意**的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。
（3）**方程的思想**――对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。**如（1）**已知，求的解析式（答：）；**（2）**已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= [ ]{.underline} （答：）。
Ⅲ**求定义**域:使函数**解析式有意义**(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);**实际问题有意义**;若f(x)定义域为\[a,b\],复合函数f\[g(x)\]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f\[g(x)\]定义域为\[a,b\],则f(x)定义域相当于x∈\[a,b\]时g(x)的值域；
如：若函数的定义域为，则的定义域为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：）；**（2）**若函数的定义域为，则函数的定义域为\_\_\_\_\_\_\_\_（答：\[1,5\]）．
Ⅳ**求值域**:
①配方法：如：求函数的值域（答：\[4,8\]）；
> ②逆求法（反求法）：如：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围（答：（0,1））；
>
> ③换元法：**如（1）**的值域为\_\_\_\_\_（答：）；**（2）**的值域为\_\_\_\_\_（答：）（令，。**运用换元法时，要特别要注意新元的范围**）；
>
> ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
>
> 如：的值域（答：）；
>
> ⑤**不等式法**――利用基本不等式求函数的最值。**如**设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.（答：）。
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。**如**求，，的值域为\_\_\_\_\_\_（答：、、）；
⑦**数形结合**：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。**如（1）**已知点在圆上，求及的取值范围（答：、）；**（2）**求函数的值域（答：）；
⑧**判别式法：如（1）**求的值域（答：）；**（2）**求函数的值域（答：）**如**求的值域（答：）
**⑨导数法**;分离参数法;―**如**求函数，的最小值。（答：－48）
> 用2种方法求下列函数的值域：①②；③
⑤**解应用题**:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.⑥**恒成立问题**:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a≥f(x)恒成立a≥\[f(x)\]~max,~;a≤f(x)恒成立a≤\[f(x)\]~min~; ⑦任意定义在R上函数f（x）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即f（x）＝
其中g（x）＝是偶函数，h（x）＝是奇函数
⑦**利用一些方法（如赋值法（令＝0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究**。**如（1）**若，满足
，则的奇偶性是\_\_\_\_\_\_（答：奇函数）；**（2）**若，满足，则的奇偶性是\_\_\_\_\_\_（答：偶函数）；**（3）**已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如右图所示，那么不等式的解集是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：）；**（4）**设的定义域为，对任意，都有，且时，，又，①求证为减函数；②解不等式.（答：）．
23、**导数几何物理意义**:k=f^/^(x~0~)表示曲线y=f(x)在点P(x~0~,f(x~0~))处切线的斜率。
V＝s^/^(t)表示t时刻即时速度,a=v′(t)表示t时刻加速度。**如**一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为\_\_\_\_\_（答：5米/秒）
24、基本公式:
25、**导数应用**:⑴**过某点的切线**不一定只有一条; 如：已知函数
过点作曲线的切线，求此切线的方程（答：或）。
> ⑵研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f^/^(x)≥0得增区间;解不等式f^/^(x)≤0得减区间;注意f^/^(x)=0的点; 如：设函数在上单调函数，则实数的取值范围\_\_\_\_\_\_（答：）；
⑶求极值、最值步骤:求导数;求的根;检验在根左右两侧符号,若**左正右负**,则f(x)在该根处取极大值;若**左负右正**,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值. 如：**（1）**函数在\[0，3\]上的最大值、最小值分别是\_\_\_\_\_\_（答：5；）；**（2）**已知函数在区间\[－1,2 \]上是减函数，那么*b*＋*c*有最\_\_值\_\_答：大，）**（3）**方程的实根的个数为\_\_（答：1）
**特别提醒**：**（1）**是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的**必要而不充分条件**。**（2）**给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验**"左正右负"("左负右正")**的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数处有极小值10，则a+b的值为\_\_\_\_（答：－7）
> 三、数列、
26、a~n~={ 注意验证a~1~是否包含在a~n~ 的公式中。
27、
**如**若是等比数列，且，则＝ [ ]{.underline} （答：－1）
28、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)问题,转化为解不等式,或用二次函数处理;(等比前n项积?)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？**如（1）**等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；**（2）**若是等差数列，首项，，则使前*n*项和成立的最大正整数*n*是 [ ]{.underline} （答：4006）
29、等差数列中a~n~=a~1~+(n-1)d;S~n~===
等比数列中a~n~= a~1~ q^n-1^;当q=1,S~n~=na~1~ 当q≠1,S~n~==
30.常用性质：等差数列中, a~n~=a~m~+ (n－m)d, ;当m+n=p+q,a~m~+a~n~=a~p~+a~q~；
等比数列中，a~n~=a~m~q^n-m^; 当m+n=p+q ，a~m~a~n~=a~p~a~q~；
**如（1）**在等比数列中，，公比q是整数，则=\_\_\_（答：512）；**（2）**各项均为正数的等比数列中，若，则 [ ]{.underline} （答：10）。
31.常见数列：{a~n~}、{b~n~}等差则{ka~n~+tb~n~}等差;{a~n~}、{b~n~}等比则{ka~n~}(k≠0)、、{a~n~b~n~}、等比;{a~n~}等差,则(c\>0)成等比.{b~n~}(b~n~\>0)等比,则{log~c~b~n~}(c\>0且c1)等差。
32.等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;
等比三数可设a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q^3^,a/q,aq,aq^3^ (为什么？)
**如**有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
33\. 等差数列{a~n~}的任意连续m项的和构成的数列S~m~、S~2m~-S~m~、S~3m~-S~2m~、S~4m~ - S~3m~、......仍为等差数列。
等比数列{a~n~}的任意连续m项的和且**不为零时**构成的数列S~m~、S~2m~-S~m~、S~3m~-S~2m~、S~4m~ - S~3m~、......仍为等比数列。
如：公比为-1时，、-、-、...不成等比数列
34.等差数列{a~n~},项数2n时,S~偶~-S~奇~＝nd;项数2n-1时,S~奇~-S~偶~＝a~n~ ; 项数为时，则;项数为奇数时，.
35.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.
分组法求数列的和：如a~n~=2n+3^n^ 、错位相减法求和：如a~n~=(2n-1)2^n^、裂项法求和：如求和： [ ]{.underline} （答：）、倒序相加法求和：**如①**求证：；**②**已知，则＝\_\_\_（答：）
36.求数列{a~n~}的最大、最小项的方法（函数思想）：
> ①a~n+1~-a~n~=...... 如a~n~= -2n^2^+29n-3 ② (a~n~\>0) 如a~n~= ③ a~n~=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如a~n~=
求通项常法: （1）已知数列的前n项和,求通项，可利用公式:
**如：**数列满足，求（答：）
（2）先猜后证
（3）递推式为＝＋f(n) (采用累加法)；＝×f(n) (采用累积法)；
**如**已知数列满足，，则=\_\_\_\_\_\_\_\_（答：）
（4）构造法**形如**、（为常数）的递推数列**如①**已知，求（答：）；
（5）涉及递推公式的问题，常借助于"迭代法"解决，适当注意以下3个公式的合理运用
a~n~＝（a~n~－a~n-1~）+(a~n-1~－a~n-2~)+......＋（a~2~－a~1~）＋a~1~ ； a~n~＝
（6）倒数法**形如**的递推数列都可以用倒数法求通项。**如①**已知，求（答：）；**②**已知数列满足=1，，求（答：）
37、常见和：，，
**四、三角**
38、终边相同(β=2kπ+α); **弧长公式**：，扇形面积公式：，1弧度(1rad). **如**已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2）
39、函数y=b（）①五点法作图;②振幅?相位?初相?周期T=,频率?φ=kπ时奇函数;φ=kπ+时偶函数.③**对称轴处y取最值**,对称中心处值为0;余弦正切可类比. **如（1）**函数的奇偶性是\_\_\_\_\_\_（答：偶函数）；**（2）**已知函数为常数），且，则\_\_\_\_\_\_（答：－5）；**（3）**函数的图象的对称中心和对称轴分别是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：、）；**（4）**已知为偶函数，求的值。（答：）
> ④变换:φ正左移负右移；b正上移负下移;
40、正弦定理:2R===; 内切圆半径r=余弦定理：a=b+c-2bc,**;**
术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°＝等
41、同角基本关系：如：已知，则＝\_\_\_\_；＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：；）；
42、诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视α为锐角)
43、重要公式： ；．；;
**如：**函数的单调递增区间为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：）
**巧变角：**如，，，，等），**如（1）**已知，，那么的值是\_\_\_\_\_（答：）；**（2）**已知为锐角，，，则与的函数关系为\_\_\_\_\_\_（答：）
**44、辅助角公式中辅助角的确定**：(其中)如：**（1）**当函数取得最大值时，的值是\_\_\_\_\_\_(答：)；**（2）**如果是奇函数，则= [ ]{.underline} (答：－2)；
五、平面向量
45、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。)、共线向量、相等向量
**注意:不能说向量就是有向线段**，为什么？（向量可以平移）
46、加、减法的平行四边形与三角形法则:;
47、,
41、（5）**向量数量积的性质**：设两个非零向量，，其夹角为，则：
①；
②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，**是为锐角的必要非充分条件**；当为钝角时，＜0，且不反向，**是为钝角的必要非充分条件**；③。**如（1）**已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_（答：**或且）；**
48、向量**b**在方向上的投影︱**b**︱cos＝
49、 和是平面一组基底,则该平面任一向量(唯一)
特别：. ＝则是三点P、A、B共线的**充要条件如**平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是\_\_\_\_\_\_\_（答：直线AB）
50、在中，①为的重心，特别地为的重心；②为的垂心；
③向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；
④的内心；
⑤S~⊿AOB~＝;
如：**（1）**若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为\_\_\_\_（答：直角三角形）；**（2）**若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为\_\_\_（答：2）；**（3）**若点是的外心，且，则的内角为\_\_\_\_（答：）；
51、 P分的比为,则=,＞0内分;＜0且≠-1外分.
＝;若λ＝1 则＝(+);设P(x,y),P~1~(x~1~,y~1~),
P~2~(x~2~,y~2~)则;中点重心
52、点按平移得,则＝ 或 函数按平移得函数方程为：**如（1）**按向量把平移到，则按向量把点平移到点\_\_\_\_\_\_（答：（－８，３））；**（2）**函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则＝\_\_\_\_\_\_\_\_（答：）
六、不等式
53、注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：
①若ab\>0，则。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。如：已知，，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_（答：）；
**54、比较大小的常用方法**：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量与"0"比，与"1"比或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。**如（1）**设，比较的大小（答：当时，（时取等号）；当时，（时取等号））；**（2）**设，，，试比较的大小（答：）
55、**常用不等式**：若，（1）（当且仅当时取等号） ；（2）*a*、*b*、*c***R**，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。
**如：**如果正数、满足，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：）
基本变形：① [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
**注意**：①**一正二定三取等**；②积定和最小,和定积最大。常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数的最小值 [ ]{.underline} 。（答：8）
②若若，则的最小值是\_\_\_\_\_\_（答：）；
**③**正数满足，则的最小值为\_\_\_\_\_\_（答：）；
56、(何时取等？)；\|a\|≥a；\|a\|≥－a
57、证法:①比较法:差比:作差\--变形(分解或通分配方)\--定号.另:商比②综合法\--由因导果;③分析法\--执果索因;④反证法\--正难则反。⑤**放缩法**方法有：
⑴添加或舍去一些项，如：；
⑵将分子或分母放大（或缩小）
⑶利用基本不等式，如：；
⑷利用常用结论：
Ⅰ、；
Ⅱ、 ； （程度大）
Ⅲ、 ； （程度小）
⑥换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。如：
> 已知，可设；
>
> 已知，可设()；
>
> 已知，可设；
>
> 已知，可设；
⑦最值法,如：a\>f~max~(x),则a\>f(x)恒成立.
58、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方
④公式法：\|f(x)\|\>g(x) [ ;]{.underline}\|f(x)\|\<g(x) [ ]{.underline} 。
59、分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法（穿线法）.注意偶次式与奇次式符号.奇穿偶回
**如（1）**解不等式。（答：或）；**（2）**解不等式（答：时，；时，或；时，或）
七、立几
60\. 位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a∥α、a∩α=A (aα) 、aα③平面与平面:α∥β、α∩β=a
61\. 常用定理:①线面平行;;
②线线平行:;;;
③面面平行:;;
④线线垂直:;所成角90^0^；(三垂线);逆定理?
⑤线面垂直:;;;
⑥面面垂直：二面角90^0^; ;
> 62\. **求空间角①异面直线所成角的求法**：（1）**范围**：；（2）**求法**：平移以及补形法、向量法。**如（1）**正四棱锥的所有棱长相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于\_\_\_\_（答：）；**（2）**在正方体AC~1~中，M是侧棱DD~1~的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A~1~B~1~上的一点，则OP与AM所成的角的大小为\_\_\_\_（答：90°）；②**直线和平面所成的角**：（1）**范围**；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。：（3）**求法**：作垂线找射影或求点线距离 （向量法）；**如（1）**在正三棱柱ABC-A~1~B~1~C~1~中，已知AB=1，D在棱BB~1~上，BD=1，则AD与平面AA~1~C~1~C所成的角为\_\_\_\_\_\_（答：arcsin）；**（2）**正方体ABCD-A~1~B~1~C~1~D~1~中，E、F分别是AB、C~1~D~1~的中点，则棱 A~1~B~1~ 与截面A~1~ECF所成的角的余弦值是\_\_\_\_\_\_（答：）；③**二面角**：**二面角的求法**：定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法： 、转化为法向量的夹角。**如（1）**正方形ABCD-A~1~B~1~C~1~D~1~中，二面角B-A~1~C-A的大小为\_\_\_\_\_\_\_\_（答：）；**（2）**正四棱柱ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~中对角线BD~1~＝8，BD~1~与侧面B~1~BCC~1~所成的为30°，则二面角C~1~---BD~1~---B~1~的大小为\_\_\_\_\_\_（答：）；**（3）**从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B-PA-C的余弦值是\_\_\_\_\_\_（答：）；
>
> 63\. 平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系
三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等)顶点在底面射影为底面内心;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则S~侧~cosθ=S~底~;正三角形四心?内切外接圆半径?;
> 64\. 空间距离:①异面直线间距离:找公垂线; ②平行线与面间距离(两平行面间距离)→**点到面距离**:直接法、等体积、转移法、垂面法、向量法.③点到线距离:用三垂线定理作垂线后再求;
65\. 求球面两点A、B距离①求\|AB\|②算球心角∠AOB弧度数③用公式L~球面距离~=θ~球心角~×R;**纬线半径r＝Rcos纬度**。S~球~=4πR^2^;V~球~＝πR^3^;
66\. 平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变;
67\. 从点O引射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上;若A到OB与OC距离相等,则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上；
68\. 常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将空间图展开为平面图③割补法④等体积转化⑤线线平行线面平行面面平行⑥线线垂直线面垂直面面垂直⑦有[中点]{.underline}等特殊点线,用"中位线、重心"转化.
69.三面角公式:AB和平面所成角是θ,AB在平面内射影为AO,AC在平面内,设∠CAO=α,∠BAC=β,则**cosβ=cosθcosα**;长方体:对角线长;若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成角分别为α,β,γ,则有**cos^2^α+cos^2^β+cos^2^γ=1**;体对角线与过同顶点的三侧面所成角分别为α,β,γ,则**cos^2^α+cos^2^β+cos^2^γ=2**;正方体和长方体外接球直径=体对角线长;
**特别指出**：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：
八、解几
70.倾斜角α∈\[0,π\],α=90^0^斜率不存在;斜率k=tanα=
71.直线方程:**点斜式** y-y~1~=k(x-x~1~);斜截式y=kx+b; 一般式:Ax+By+C=0
两点式:;截距式:(a≠0;b≠0);求直线方程时要防止由于**零截距**和无斜率造成丢解,直线Ax+By+C=0的**方向向量**为=(A,-B)
72.两直线平行和垂直①若斜率存在l~1~:y=k~1~x+b~1~,l~2~:y=k~2~x+b~2~则l~1~∥l~2~k~1~∥k~2~,b~1~≠b~2~;l~1~⊥l~2~k~1~k~2~=-1
②**若l~1~:A~1~x+B~1~y+C~1~=0,l~2~:A~2~x+B~2~y+C~2~=0,则l~1~⊥l~2~A~1~A~2~+B~1~B~2~=0**~；~
③若A~1~、A~2~、B~1~、B~2~都不为零l~1~∥l~2~;
④l~1~∥l~2~则化为同x、y系数后距离d=
73.l~1~到l~2~的角tanθ=;夹角tanθ=\|\|;点线距d=;
> 74.圆:标准方程(x－a)^2^+(y－b)^2^=r^2^;一般方程:x^2^+y^2^+Dx+Ey+F=0(D^2^+E^2^-4F\>0)
参数方程:;直径式方程(x-x~1~)(x-x~2~)+(y-y~1~)(y-y~2~)=0
75.若(x~0~-a)^2^+(y~0~-b)^2^\<r^2^(=r^2^,\>r^2^),则 P(x~0~,y~0~)在圆(x-a)^2^+(y-b)^2^=r^2^内(上、外)
76.直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理,构造Rt△解决弦长问题，又:ｄ\>r相离;d=r相切;d\<r相交.
77.圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为d,两圆半径分别为r,R,则d\>r+R两圆相离;d＝r+R两圆相外切;\|R－r\|\<d\<r+R两圆相交;d＝\|R－r\|两圆相内切;d\<\|R－r\|两圆内含;d=0,同心圆。
78.把两圆x^2^+y^2^+D~1~x+E~1~y+C~1~=0与x^2^+y^2^+D~2~x+E~2~y+C~2~=0方程相减即得相交弦所在直线方程:(D~1~-D~2~)x+(E~1~-E~2~)y+(C~1~-C~2~)=0;推广:椭圆、双曲线、抛物线?过曲线f~1~(x,y)=0与曲线f~2~(x,y)=0交点的曲线系方程为: f~1~(x,y)+λf~2~(x,y)=0
79.圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心)
> 80.椭圆①方程(a\>b\>0);参数方程②定义:=e\<1; \|PF~1~\|+\|PF~2~\|=2a\>2c③e=,a^2^=b^2^+c^2^④长轴长为**2a**，短轴长为**2b**⑤焦半径左PF~1~=a+ex,右PF~2~=a-ex;左焦点弦,右焦点弦⑥准线x=、通径(最短焦点弦),焦准距p=⑦=,当P为短轴端点时∠PF~1~F~2~最大,近地a-c远地a+c;
81.双曲线①方程(a,b\>0)②定义:=e\>1;\|\|PF~1~\|-\|PF~2~\|\|=2a\<2c③e=,c^2^=a^2^+b^2^④四点坐标？x,y范围?实虚轴、渐进线交点为中心⑤焦半径、焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦点不同);到焦点距离常化为到准线距离⑥准线x=、通径(最短焦点弦),焦准距p=⑦=⑧渐进线或;焦点到渐进线距离为b; 13.抛物线①方程y^2^=2px②定义:\|PF\|=d~准~③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y范围?轴？焦点F(,0),准线x=-,④焦半径;焦点弦＝x~1~+x~2~+p;y~1~y~2~=－p^2^,x~1~x~2~=其中A(x~1~,y~1~)、B(x~2~,y~2~)⑤通径2p,焦准距p;
105\. B\>0,Ax+By+C\>0表示直线斜上侧区域;Ax+By+C\<0表示直线斜下侧区域;
A\>0,Ax+By+C\>0表示直线斜右侧区域;Ax+By+C\<0表示直线斜左侧区域;
求最优解注意①目标函数值≠截距②目标函数斜率与区域边界斜率的关系.
82.过圆x^2^+y^2^=r^2^上点P(x~0~,y~0~)的切线为:x~0~x+y~0~y=r^2^;过圆x^2^+y^2^=r^2^外点P(x~0~,y~0~)作切线后切点弦方程:x~0~x+y~0~y=r^2^;过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直ｘ轴.
83.对称①点(ａ,ｂ)关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x、y=-x、y=x+m、y=-x+m的对称点分别是(ａ,-ｂ),(-ａ,ｂ),(-ａ,-ｂ),(ｂ,ａ),(-ｂ,-ａ),(b-m、a+m)、(-b+m、-a+m)②点(ａ,ｂ)关于直线Ax+By+C=0对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解③曲线f(x,y)=0关于点(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0;关于y=x对称曲线为f(y,x)=0;关于轴x=a对称曲线方程为f(2a-x,y)=0;关于轴y=a对称曲线方程为:f(x,2a-y)=0;可用于折叠(反射)问题.
84.相交弦问题①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、韦达定理、弦长公式;注意二次项系数为0的讨论;注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式②涉及弦中点与斜率问题常用"点差法".如: 曲线(a,b\>0)上A(x~1~,y~1~)、B(x~2~,y~2~)中点为M(x~0~,y~0~),则K~AB~K~OM~=;对抛物线y^2^=2px(p≠0)有K~AB~＝
> 85.轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、代入法(动点P(x,y)依赖于动点Q(x~1~,y~1~)而变化,Q(x~1~,y~1~)在已知曲线上,用x、y表示x~1~、y~1~,再将x~1~、y~1~代入已知曲线即得所求方程)、参数法、交轨法等.
86.解题注意:①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以避免错误②求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法③焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程④运用假设技巧以简化计算.如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为Ax^2^+Bx^2^＝1;共渐进线的双曲线标准方程可设为为参数,≠0);抛物线y^2^=2px上点可设为(,y~0~);直线的另一种假设为x=my+a;⑤解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义.
87、**解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：**
**（1）** 给出直线的方向向量或；
**（2）**给出与相交,等于已知过的中点;
**（3）**给出,等于已知是的中点;
**（4）**给出,等于已知与的中点三点共线;
**（5）** 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.
**（6）** 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即
**（7）** 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,
**（8）**给出,等于已知是的平分线/
**（9）**在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;
**（10）** 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;
**（11）**在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
**（12）** 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
**（13）**在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
**（14）**在中，给出等于已知通过的内心；
**（15）**在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
**（16）** 在中，给出,等于已知是中边的中线;
九、排列、组合、二项式定理
88、计数原理：**分类相加**（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），**分步相乘**（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），**有序排列，无序组合**．**如（1）**将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 [ ]{.underline} 种（答：）；**（2）**从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 [ ]{.underline} 种（答：70）；**（3）**从集合和中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是\_\_\_（答：23）；**（4）**72的正约数（包括1和72）共有 [ ]{.underline} 个（答：12）；**（5）**的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成\_\_\_\_\_个三角形（答：90）；
89、排列数公式:=n(n-1)(n-2)...(n-m＋1)=(m≤n,m、n∈N^\*^),
0!=1; =n!; n.n!=(n+1)!-n!;;
90、组合数公式：=（m≤n）,
> ;;;
91、主要解题方法：①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先。**如：**某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有\_\_\_\_\_种（答：300）；.②捆绑法**如（1）**把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为\_\_\_\_\_（答：2880）；**（2）**某人射击８枪，命中４枪，４枪命中中恰好有３枪连在一起的情况的不同种数为\_\_\_\_\_（答：20）；③插空法**如（1）**3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有\_\_\_\_\_\_\_种（答：24）；**（2）**某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为\_\_\_\_\_（答：42）。
④间接扣除法**如**在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为\_\_\_\_\_（答：15）。
⑤隔板法**如（1）**10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15）；**（2）**某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）
⑥先选后排,先分再排(注意等分分组问题) **如**某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是\_\_\_\_\_（答：576）。
92、二项式定理
> 特别地：(1+x)^n^=1+C~n~^1^x+C~n~^2^x^2^+...+C~n~^r^x^r^+...+C~n~^n^x^n^
93、二项展开式通项: T~r+1~= C~n~^r^a^n－r^b^r^ ;作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。要注意区别二项式系数与项的系数；
94、二项式系数性质:①对称性: 与首末两端等距的二项式系数相等.C~n~^m^=C~n~^n－m^
②中间项二项式系数最大:n为偶数,中间一项;若n为奇数,中间两项(哪项?)
③二项式系数和
95、f(x)=(ax+b)^n^展开各项系数和为f(1);奇次项系数和为;偶次项系数和为;展开各项系数和,令可得.
96、二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式的某些项的系数的和。
十、概率与统计
97、**随机事件的概率**，其中当**时称为必然事件**；当**时称为不可能事件**P(A)=0；
98、**等可能事件的概率**（古典概率）**：**:P(A)=m/n;**如：** 设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。（答：①；②；③；④） **互斥事件**(不可能同时发生的):P(A+B)=P(A)+P(B); **如：**有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率。（答：）；对立事件(A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一发生):P(*A*)+P()＝1;**独立事件**(事件A、B的发生互不影响):P(A•B)＝P(A)·P(B); **如（1）**设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是\_\_\_\_\_\_（答：）；**（2）**某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_;这名同学至少得300分的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：0.228；0.564）；**独立事件重复试验**：:P~n~(K)=C~n~^k^p^k^(1-p)^n-k^ 为A在n次独立重复试验中恰发生k次的概率。**如（1）**袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_（答：）；**（2）**冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：）
99、总体、个体、样本、样本容量;抽样方法:①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法)②分层抽样(用于个体有明显差异时). **共同点**：每个个体被抽到的概率都相等。如：某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n= \_\_\_\_\_\_\_（答：200）；
100、**总体分布的估计：**用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体平均数（即总体期望值――描述一个总体的平均水平）
直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，**小矩形的面积表示频率**
样本平均数：
样本方差：；
＝(x~1~^2^+x~2~^2^+ x~3~^2^+...+x~n~^2^－n)
方差和标准差用来衡量一组数据的波动大小，数据方差越大，说明这组数据的波动越大。
**提醒**：若的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为。**如**已知数据的平均数，方差，则数据的平均数和标准差分别为 A．15，36 B．22，6 C．15，6 D．22，36 （答：B）
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**初三入学考试数学参****考答案**
1．A 2．D 3．A 4．B 5．D 6．C 7．D 8．9.086×10^8^
9． 10．3 11． 12． 13．
14．（0，256） 解析：A（0，1）
15．8
16．（1）平均数为3.3 众数为4 中位数为3 （2）4950次
17．（1）略 （2）
18．（1） （2）
（3）或
19．解析：外国军舰到达C地需 中国海监船到达C地需∵ ∴能够及时赶到
20．解：（1）设甲工厂每天加工*x*件，则乙工厂每天加工件，依题
∴，
经检验是原分式方程的根且符合题意，是原分式方程的根但不符合题意
∴舍去 ∴
∴甲工厂每天加工16件，乙工厂每天加工24件
（2）设乙工厂向公司中报加工费用每天*y*元，则
∴ ∴乙工厂向公司报加工费用每天最多1225元
21．解：（1）证，可证 *CF*.
（2）∵四边形*AECF*O 为菱形
∴
∵ ∴*BE=CE*
∵*AE=BE* ∴∠1＝∠3＝∠5＝∠6
∵∠1+∠3+∠5＝
∵∠1＝∠3＝∠5＝
过E作于*G*，则
∴
\[来源:学§科§网\]
22．（1）证明：连接
∵*AB*为直径 ∴
∵*E*为*BC*中点 ∴*DE=CE* ∴∠1＝∠C
∵*OA=OD* ∴∠A＝∠2
∵∠A+∠C=， ∴
∴于点*D*，又*OD*为半径
∴*DE*为⊙*O*相切.
（2）证明：∵*O*为*AB*中点，*E*为*BC*中点，∴*OE AC*，∴*AC=*
∵ ∴
∴△*CBD*∽△*CAB* ∴ ∴
∵ ∴
（3）由（1），  ∴
在中，
∴
在中，
∴ ∴
23．解：（1）设购买*x*台时，单价恰为3900元，则
∴  ∴购买22台时，销售单价恰为3900元
（2）①当时，
②当时，
③当时，
综上
①当时， ∵900≥0，∴*y*随*x*增大而增大
∴当时，*y*最大且
②当时，
∵，对称轴为 ∵，∴当时，*y*最大且.
③当 时 *y=*300*x*，∵300≥0，∴*y*随*x*增大而增大
∵，∴当时，~最大~且，
∵
∴一次性购买14台电脑时，利润最大且为9800元
（3）①当时 ∵900\>0，∴*y*随*x*增大而增大
②当时，
∵
当时，随*x*增大而增大
当时，*y*随*x*增大而减小
∴最低单价应调为元
综上，商场应将最低销售单价调为4300元
24．
\[来源:学。科。网Z。X。X。K\]
\[来源:学&科&网\]
（1）设抛物线的解析式为
∵过点 ∴ ∴ ∴
（2）存在，且，最大值为1
理由：过G作轴交*BC*于点*H*，设，设
∵ ∴
又 ∴ ∴
∴ ∴
∴＝
∵，对称轴为
∴当时，，此时，
（3）存在，且或
证明：∵,
∴ \[来源:学。科。网\]
∴ ∴
设
∴
① 则，即 ∴(舍) ∴
②△*AMP*△*BOC*，则，即 ∴ ∴\[来源:学科网\]
综上，存在*P*点，且或
（4）
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**2016届九年级下学期开学考试数学试卷**
**一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）**
1．抛物线y=﹣（x﹣2）^2^+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
2．已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是（ ）
A．BD：AB=CE：AC B．DE：BC=AB：AD C．AB：AC=AD：AE D．AD：DB=AE：EC
3．在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是（ ）
A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=
5．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y=x^2^ B．y= C．y=kx^2^ D．y=k^2^x
6．如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即CE=3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
**二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）**
7．已知=，则的值是[ ]{.underline}．
8．点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则=[ ]{.underline}．
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且CE：BC=2：3，AC与DE相交于点F，若S~△AFD~=9，则S~△EFC~=[ ]{.underline}．
10．如果α是锐角，且tanα=cot20°，那么α=[ ]{.underline}度．
11．计算：2sin60°+tan45°=[ ]{.underline}．
12．如果一段斜坡的坡角是30°，那么这段斜坡的坡度是[ ]{.underline}．（请写成1：m的形式）
13．如果抛物线y=（m﹣1）x^2^的开口向上，那么m的取值范围是[ ]{.underline}．
14．将抛物线y=﹣（x﹣3）^2^+5向下平移6个单位，所得到的抛物线的顶点坐标为[ ]{.underline}．
15．已知抛物线经过A（0，﹣3）、B（2，﹣3）、C（4，5），判断点D（﹣2，5）是否在该抛物线上．你的
结论是：[ ]{.underline}（填"是"或"否"）．
16．如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC，∠C=90°，AE=4，BF=9，则tanA=[ ]{.underline}．
17．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC，且AB^2^=AP•PD，则图中有[ ]{.underline}对相似三角形．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果=m，=n．那么m与n满足的关系式是：m=[ ]{.underline}（用含n的代数式表示m）．
**三、解答题（本大题共7题，满分78分）**
19．解方程：﹣=2．
20．已知二次函数y=﹣2x^2^+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．
（1）求此函数的解析式；并运用配方法，将此抛物线解析式化为y=a（x+m）^2^+k的形式；
（2）写出该抛物线顶点C的坐标，并求出△CAO的面积．
21．已知抛物线y=﹣x^2^+bx+c的对称轴是直线x=﹣1，且经过点（2，﹣3），求这个二次函数的表达式．
22．如图7，某人在C处看到远处有一凉亭B，在凉亭B正东方向有一棵大树A，这时此人在C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东35°方向上．又测得A、C之间的距离为100米，求A、B之间的距离．（精确到1米）．（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）
23．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=3，AB=CD=2，点E在BC边上，AE与BD交于点F，∠BAE=∠DBC．
（1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）求tan∠DBC的值；
（3）求线段BF的长．
24．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y=x^2^+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，
（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；
（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．
25．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=2，若将△ABC翻折，折痕EF分别交边AC、边BC于点E和点F（点E不与A点重合，点F不与B点重合），且点C落在AB边上，记作点D．过点D作DK⊥AB，交射线AC于点K，设AD=x，y=cot∠CFE，
（1）求证：△DEK∽△DFB；
（2）求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结CD，当=时，求x的值．
**2016届九年级下学期开学考试数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）**
1．抛物线y=﹣（x﹣2）^2^+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【考点】二次函数的性质．
【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【解答】解：∵抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣2）^2^+3，
∴其顶点坐标为（2，3）．
故选B．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
2．已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是（ ）
A．BD：AB=CE：AC B．DE：BC=AB：AD C．AB：AC=AD：AE D．AD：DB=AE：EC
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据已知选项只要能推出=或=，再根据相似三角形的判定推出△ADE∽△ABC，推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定推出DE∥BC，即可得出选项．
【解答】
解：A、∵BD：AB=CE：AC，
∴=，
∴=，
∴1﹣=1﹣，
∴=，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，正确，故本选项错误；
B、∵根据DE：BC=AB：AD不能推出△ADE∽△ABC，
∴不能推出∠ADE=∠B，
∴不能推出DE∥BC，错误，故本选项正确；
C、∵AB：AC=AD：AE，
∴=，
∴=，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，正确，故本选项错误；
D、∵AD：DB=AE：EC，
∴=，
∴=，
∴=，
∴﹣1=﹣1，
∴=，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，正确，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，解此题的关键是能推出△ADE≌△ABC，题目比较好，难度适中．
3．在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】网格型．
【分析】根据"角的正切值=对边÷邻边"求解即可．
【解答】解：由图可得，tanα=2÷1=2．
故选C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键．
4．在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是（ ）
A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．
【解答】解：在直角△ABC中，∠C=90°，则
A、cosA=，故本选项错误；
B、tanA=，故本选项错误；
C、sinA=，故本选项正确；
D、cosA=，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
5．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y=x^2^ B．y= C．y=kx^2^ D．y=k^2^x
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义形如y=ax^2^+bx+c （a≠0）是二次函数．
【解答】解：A、是二次函数，故A符合题意；
B、是分式方程，故B错误；
C、k=0时，不是函数，故C错误；
D、k=0是常数函数，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的定义，形如y=ax^2^+bx+c （a≠0）是二次函数．
6．如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即CE=3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
【考点】相似三角形的应用；中心投影．
【专题】计算题．
【分析】由MC∥AB可判断△DCM∽△DAB，根据相似三角形的性质得=，同理可得=，然后解关于AB和BC的方程组即可得到AB的长．
【解答】解：∵MC∥AB，
∴△DCM∽△DAB，
∴=，即=①，
∵NE∥AB，
∴△FNE∽△FAB，
∴=，即=②，
∴=，解得BC=3，
∴=，解得AB=6，
即路灯A的高度AB为6m．
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和"在同一时刻物高与影长的比相等"的原理解决．
**二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）**
7．已知=，则的值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】比例的性质．
【分析】根据分比性质，可得答案．
【解答】解：由分比性质，得==，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了分比性质：=⇒=．
8．点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】黄金分割．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴==．
故答案为．
【点评】本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键．
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且CE：BC=2：3，AC与DE相交于点F，若S~△AFD~=9，则S~△EFC~=[ 4 ]{.underline}．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】推理填空题．
【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，所以得到BC∥AD、BC=AD，而CE：BC=2：3，由此即可得到△AFD∽△CFE，它们的相似比为3：2，最后利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD、BC=AD，
而CE：BC=2：3，
∴△AFD∽△CFE，且它们的相似比为3：2，
∴S~△AFD~：S~△EFC~=（）^2^，
而S~△AFD~=9，
∴S~△EFC~=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题首先利用平行四边形的构造相似三角形的相似条件，然后利用其性质即可求解．
10．如果α是锐角，且tanα=cot20°，那么α=[ 70 ]{.underline}度．
【考点】互余两角三角函数的关系．
【分析】根据一个角的正切值等于它的余角的余切值即可求解．
【解答】解：∵tanα=cot20°，
∴∠α+20°=90°，
即∠α=90°﹣20°=70°．
故答案为70．
【点评】本题考查了互为余角的锐角三角函数关系：一个角的正切值等于它的余角的余切值．
11．计算：2sin60°+tan45°=[ ]{.underline}[+1 ]{.underline}．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式=2×+1
=+1，
故答案为：+1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
12．如果一段斜坡的坡角是30°，那么这段斜坡的坡度是[ 1：]{.underline}[ ]{.underline}．（请写成1：m的形式）
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】坡比等于坡角的正切值，据此即可求解．
【解答】解：i=tanα=tan30°==1：，
故答案是：1：．
【点评】本题主要考查了坡比与坡角的关系，注意坡比一般表示成1：a的形式．
13．如果抛物线y=（m﹣1）x^2^的开口向上，那么m的取值范围是[ m＞1 ]{.underline}．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m﹣1＞0．
【解答】解：因为抛物线y=（m﹣1）x^2^的开口向上，
所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．
【点评】解答此题要掌握二次函数图象的特点．
14．将抛物线y=﹣（x﹣3）^2^+5向下平移6个单位，所得到的抛物线的顶点坐标为[ （3，﹣1） ]{.underline}．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】计算题．
【分析】根据二次函数的性质得抛物线y=﹣（x﹣3）^2^+5的顶点坐标为（3，5），然后根据点平移的规律，点（3，5）经过平移后得到对应点的坐标为（3，﹣1），从而得到新抛物线的顶点坐标．
【解答】解：抛物线y=﹣（x﹣3）^2^+5的顶点坐标为（3，5），点（3，5）向下平移6个单位得到对应点的坐标为（3，﹣1），所以新抛物线的顶点坐标为（3，﹣1）．
故答案为（3，﹣1）．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
15．已知抛物线经过A（0，﹣3）、B（2，﹣3）、C（4，5），判断点D（﹣2，5）是否在该抛物线上．你的
结论是：[ 是 ]{.underline}（填"是"或"否"）．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】利用点A与点B的坐标特征得到抛物线的对称轴为直线x=1，然后根据抛物线的对称性可判断点C（4，5与点D（﹣2，5）是抛物线上的对称点．
【解答】解：∵抛物线经过A（0，﹣3）、B（2，﹣3），
而点A与点B关于直线x=1对称，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点C（4，5）关于直线x=1的对称点D（﹣2，5）在抛物线上．
故答案为：是．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．
16．如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC，∠C=90°，AE=4，BF=9，则tanA=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
【分析】根据条件可证明△ADE∽△GFB，利用相似三角形的性质可求得DE，在Rt△ADE中，由正切函数的定义可求得tanA．
【解答】解：∵四边形DEFG为正方形，
∴∠DEA=∠GFB=90°，DE=GF，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=∠A+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠B，
∴△ADE∽△GFB，
∴=，即=，解得DE=6，
∴tanA===，
故答案为：．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件证明三角形相似求得DE的长是解题的关键．
17．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC，且AB^2^=AP•PD，则图中有[ 3 ]{.underline}对相似三角形．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】由AD∥BC，AB=DC可判断梯形ABCD为等腰梯形，则∠A=∠D，由AB^2^=AP•PD得AB•CD=AP•PD，于是根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△ABP∽△DPC，由相似的性质得∠ABP=∠DPC，接着利用AD∥BC得到∠DPC=∠PCB，∠APB=∠PBC，则∠PCB=∠ABP，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△ABP∽△PCB，所以△DPC∽△DPC．
【解答】解：∵AD∥BC，AB=DC，
∴梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠A=∠D，
∵AB^2^=AP•PD，
∴AB•CD=AP•PD，即=，
∴△ABP∽△DPC，
∴∠ABP=∠DPC，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB，∠APB=∠PBC，
∴∠PCB=∠ABP，
∴△ABP∽△PCB，
∴△DPC∽△DPC．
故答案为3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果=m，=n．那么m与n满足的关系式是：m=[ 2n+1 ]{.underline}（用含n的代数式表示m）．
【考点】平行线分线段成比例；旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】作DH⊥AC于H，如图，根据旋转的性质得DE=DC，则利用等腰三角形的性质得EH=CH，由=n可得AE=2nEH=2nCH，再根据平行线分线段成比例，由DH∥BC得到=，所以m=，然后用等线段代换后约分即可．
【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，
∵线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处，
∴DE=DC，
∴EH=CH，
∵=n，即AE=nEC，
∴AE=2nEH=2nCH，
∵∠C=90°，
∴DH∥BC，
∴=，即m===2n+1．
故答案为：2n+1．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．也考查了旋转的性质和等腰三角形的性质．
**三、解答题（本大题共7题，满分78分）**
19．解方程：﹣=2．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2﹣3x+x+2=2x^2^﹣8，
整理得：x^2^+x﹣6=0，即（x﹣2）（x+3）=0，
解得：x=2或x=﹣3，
经检验x=2是增根，分式方程的解为x=﹣3．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是"转化思想"，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．已知二次函数y=﹣2x^2^+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．
（1）求此函数的解析式；并运用配方法，将此抛物线解析式化为y=a（x+m）^2^+k的形式；
（2）写出该抛物线顶点C的坐标，并求出△CAO的面积．
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】（1）将A（0，4）和B（1，﹣2）代入y=﹣2x^2^+bx+c求得b，c的值，得到此函数的解析式；再利用配方法先提出二次项系数，然后加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）由顶点式可得顶点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO的面积．
【解答】解：（1）将A（0，4）和B（1，﹣2）代入y=﹣2x^2^+bx+c，
得，
解得，
所以此函数的解析式为y=﹣2x^2^﹣4x+4；
y=﹣2x^2^﹣4x+4=﹣2（x^2^+2x+1）+2+4=﹣2（x+1）^2^+6；
（2）∵y=﹣2（x+1）^2^+6，
∴C（﹣1，6），
∴△CAO的面积=×4×1=2．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键．
21．已知抛物线y=﹣x^2^+bx+c的对称轴是直线x=﹣1，且经过点（2，﹣3），求这个二次函数的表达式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】由抛物线的一般形式可知：a=﹣1，由对称轴方程x=﹣，可得一个等式﹣①，然后将点（2，﹣3）代入y=﹣x^2^+bx+c即可得到等式﹣4+2b+c=﹣3②，然后将①②联立方程组解答即可．
【解答】解：根据题意，得：，
解得，
所求函数表达式为y=﹣x^2^﹣2x+5．
【点评】此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是：熟练掌握待定系数法及对称轴表达式x=﹣．
22．如图7，某人在C处看到远处有一凉亭B，在凉亭B正东方向有一棵大树A，这时此人在C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东35°方向上．又测得A、C之间的距离为100米，求A、B之间的距离．（精确到1米）．（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】过点C⊥AB于点D，在Rt△ACD中，求出AD、CD的值，然后在Rt△BCD中求出BD的长度，继而可求得AB的长度．
【解答】解：过点C⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=35°，AC=100m，
∴AD=100•sin∠ACD=100×0.574=57.4（m），
CD=100•cos∠ACD=100×0.819=81.9（m），
在Rt△BCD中，
∵∠BCD=45°，
∴BD=CD=81.9m，
则AB=AD+BD=57.4+81.9≈139（m）．
答：A、B之间的距离约为139米．
【点评】本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据方向角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．
23．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=3，AB=CD=2，点E在BC边上，AE与BD交于点F，∠BAE=∠DBC．
（1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）求tan∠DBC的值；
（3）求线段BF的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰梯形的性质．
【分析】（1）根据等腰梯形可得到∠ABE=∠C，结合条件可证得结论；
（2）过D作DG⊥BC，则可求得BG、CG，在Rt△DCG中可求得DG，在Rt△BGD中由正切函数的定义可求得tan∠DBC；
（3）由（2）可求得BD，结合（1）中的相似可求得BE，再利用平行线分线段成比例得到=，代入可求得BF．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠ABE=∠C，且∠BAE=∠DBC，
∴△ABE∽△BCD；
（2）解：过D作DG⊥BC于点G，
∵AD=1，BC=3，
∴CG=（BC﹣AD）=1，BG=2，
又∵在Rt△DGC中，CD=2，CG=1，
∴DG=，
在Rt△BDG中，tan∠DBC==；
（3）解：由（2）在Rt△BGD中，由勾股定理可求得BD=，
由（1）△ABE∽△BCD可得=，即==，解得BE=，
又∵AD∥BC，
∴=，且DF=BD﹣BF，
∴=，
解得BF=．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及三角函数的定义，在（2）中构造直角三角形，求得DG是解题的关键，在（3）中求得BE、BD的长是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y=x^2^+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，
（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；
（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）先求出A、C两点的坐标，再代入抛物线的解析式，就可求出该抛物线的解析式，然后根据抛物线的对称轴方程x=﹣求出抛物线的对称轴，根据抛物线上点的坐标特征求出点B的坐标；
（2）易得∠OAC=∠OCA，∠ABC＞∠ADC，由此根据条件即可得到△CAD∽△ABC，然后运用相似三角形的性质可求出CD的长，由此可得到OD的长，就可解决问题．
【解答】解：（1）由x=0得y=0+4=4，则点C的坐标为（0，4）；
由y=0得x+4=0，解得x=﹣4，则点A的坐标为（﹣4，0）；
把点C（0，4）代入y=x^2^+kx+k﹣1，得k﹣1=4，
解得：k=5，
∴此抛物线的解析式为y=x^2^+5x+4，
∴此抛物线的对称轴为x=﹣=﹣．
令y=0得x^2^+5x+4=0，
解得：x~1~=﹣1，x~2~=﹣4，
∴点B的坐标为（﹣1，0）．
（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴OA=OC=4，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠AOC=90°，OB=1，OC=OA=4，
∴AC==4，AB=OA﹣OB=4﹣1=3．
∵点D在y轴负半轴上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．
又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．
∴由条件"以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似"可得△CAD∽△ABC，
∴=，即=，
解得：CD=，
∴OD=CD﹣CO=﹣4=，
∴点D的坐标为（0，﹣）．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、解一元二次方程、相似三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，弄清两相似三角形的对应关系是解决第（2）小题的关键．
25．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=2，若将△ABC翻折，折痕EF分别交边AC、边BC于点E和点F（点E不与A点重合，点F不与B点重合），且点C落在AB边上，记作点D．过点D作DK⊥AB，交射线AC于点K，设AD=x，y=cot∠CFE，
（1）求证：△DEK∽△DFB；
（2）求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结CD，当=时，求x的值．
【考点】相似形综合题；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；轴对称的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．
【专题】综合题；分类讨论．
【分析】（1）要证△DEK∽△DFB，只需证到∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB即可；
（2）易得DK=DA=x，DB=2﹣x，由△DFB∽△DEK可得到=，从而可得y=cot∠CFE=cot∠DFE===；然后只需先求出在两个临界位置（点F在点B处、点E在点A处）下的x值，就可得到该函数的定义域；
（3）取线段EF的中点O，连接OC、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OC=OD=EF．设EF与CD交点为H，根据轴对称的性质可得EF⊥CD，且CH=DH=CD．由=可得tan∠HOC==，从而得到∠HOC=60°．①若点K在线段AC上，如图2，由∠HOC=60°可求得∠OFC=30°，由此可得到y的值，再把y的值代入函数解析式就可求出x的值；②若点K在线段AC的延长线上，如图3，由∠HOC=60°可求得∠OFC=60°，由此可得到y的值，再把y的值代入函数解析式就可求出x的值．
【解答】（1）证明：如图1，
由折叠可得：∠EDF=∠C=90°，∠DFE=∠CFE．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵DK⊥AB，
∴∠ADK=∠BDK=90°，
∴∠AKD=45°，∠EDF=∠KDB=90°，
∴∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB，
∴△DEK∽△DFB；
（2）解：∵∠A=∠AKD=45°，
∴DK=DA=x．
∵AB=2，
∴DB=2﹣x．
∵△DFB∽△DEK，
∴=，
∴y=cot∠CFE=cot∠DFE===．
当点F在点B处时，
DB=BC=AB•sinA=2×=，AD=AB﹣AD=2﹣；
当点E在点A处时，
AD=AC=AB•cosA=2×=；
∴该函数的解析式为y=，定义域为2﹣＜x＜；
（3）取线段EF的中点O，连接OC、OD，
∵∠ECF=∠EDF=90°，
∴OC=OD=EF．
设EF与CD交点为H，根据轴对称的性质可得EF⊥CD，且CH=DH=CD．
∵=，∴sin∠HOC==，
∴∠HOC=60°
①若点K在线段AC上，如图2，
∵CO=EF=OF，
∴∠OCF=∠OFC=∠HOC=30°，
∴y=cot30°=，
∴=，
解得：x=﹣1；
②若点K在线段AC的延长线上，如图3，
∵OC=OF，∠FOC=60°，
∴△OFC是等边三角形，
∴∠OFC=60°，
∴y=cot60°=，
∴=，
解得：x=3﹣；
综上所述：x的值为﹣1或3﹣．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，在解决本题的过程中还用到了临界值法、分类讨论的思想，而运用（1）中的结论则是解决第（2）小题的关键，取EF的中点O，将转化为则是解决第（3）小题的关键．
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