PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/ZfnDnf4RR5M.srt

1
00:00:20,670 --> 00:00:26,650
السلام عليكم اليوم إن شاء الله هنكمل section أربعة

2
00:00:26,650 --> 00:00:35,990
اللي عرفنا فيه ال limits و ال functions أخذنا 

3
00:00:35,990 --> 00:00:40,650
المرة الأولى التلاتة تعريف epsilon delta ل limit of

4
00:00:40,650 --> 00:00:45,990
function وشوفنا أن هذا بكافة تعريف في neighborhood

5
00:00:45,990 --> 00:00:51,040
definition ل limit of function على النقطة و بدنا

6
00:00:51,040 --> 00:00:57,500
ناخد أمثلة كيف نستخدم تعريف epsilon delta في إثبات

7
00:00:57,500 --> 00:01:03,360
أن ال limit لدالة معينة عن نقطة معينة بتساوي عدد

8
00:01:03,360 --> 00:01:08,310
محدد، فخدنا بعض الأمثلة اليوم هنستمر، هنعطي مزيد من

9
00:01:08,310 --> 00:01:12,930
الأمثلة و بندرس خواص ال limits لـ ال functions

10
00:01:12,930 --> 00:01:19,490
فالمثال اللي وصلناه له رقم تلاتة عايزين نثبت إن ال

11
00:01:19,490 --> 00:01:25,730
limit لدالة  x تربيع لما x تقول لـ c بساوي c

12
00:01:25,730 --> 00:01:29,330
تربيع فـ solution

13
00:01:33,240 --> 00:01:40,260
ناخد f of x بالساوي x تربيع هيفرض x ينتمي الى r

14
00:01:40,260 --> 00:01:43,880
واحنا

15
00:01:43,880 --> 00:01:50,600
عايزين من الآخر نثبت إن ال absolute value لـ f of x 

16
00:01:50,600 --> 00:01:58,400
ناقص c تربيع أصغر من أي given epsilon عدد موجب

17
00:01:59,300 --> 00:02:04,780
عندما الـ x تكون قريبة من النقطة c أو تقع في جوار

18
00:02:04,780 --> 00:02:13,600
delta معينة للعدد c طيب هذا عبارة عن Absolute x 

19
00:02:13,600 --> 00:02:22,620
تربيع ناقص c تربيع بتحلل إلى Absolute x ناقص c في

20
00:02:22,620 --> 00:02:24,620
x زائد c

21
00:02:27,570 --> 00:02:33,430
إذاً هذا عبارة عن absolute x زائد c في absolute x 

22
00:02:33,430 --> 00:02:37,830
ناقص c الآن

23
00:02:37,830 --> 00:02:42,430
بدي أحاول أخلي هذا أصغر من أو يساوي عدد موجب بـ

24
00:02:42,430 --> 00:02:47,290
فبحاول

25
00:02:47,290 --> 00:02:52,830
آخذ فيه قيمة delta، لتكن delta بالساوي واحد 

26
00:03:00,710 --> 00:03:12,430
then أنا عندي absolute x زائد c هذا أصغر

27
00:03:12,430 --> 00:03:19,910
من أو يساوي absolute x زائد absolute c في absolute x

28
00:03:19,910 --> 00:03:25,450
ناقص c باستخدام ال triangle inequality، absolute x 

29
00:03:25,450 --> 00:03:30,430
زائد c أصلاً لو ساوي absolute x زائد absolute c الآن

30
00:03:30,430 --> 00:03:39,530
absolute x بيساوي absolute x ناقص c زائد زائد

31
00:03:39,530 --> 00:03:44,270
c ممكن أطرح من الـ x c وأرجعها، وباستخدام الـ

32
00:03:44,270 --> 00:03:49,030
triangular equality هذا أصغر لو يساوي absolute x 

33
00:03:49,030 --> 00:03:58,150
زائد c زائد absolute c، فلو كان absolute x ناقص c 

34
00:03:58,150 --> 00:04:04,070
أصغر من delta اللي هي بيساوي واحد، إذا كان خلّينا

35
00:04:04,070 --> 00:04:07,190
ناخد delta بيساوي واحد، إذا كان absolute x ناقص c 

36
00:04:07,190 --> 00:04:13,370
أصغر من delta اللي أنا ماخدها واحد، فهذا بيطلع أصغر

37
00:04:13,370 --> 00:04:21,490
من واحد زائد absolute c وبالتالي 

38
00:04:21,490 --> 00:04:32,370
absolute x تربيع ناقص c تربيع بيطلع أصغر من absolute 

39
00:04:32,370 --> 00:04:35,150
x اللي هي واحد زائد

40
00:04:37,400 --> 00:04:43,720
اتنين في absolute c في absolute x ناقص c

41
00:04:48,510 --> 00:04:51,770
كمان مرة، احنا توصلنا إلى إن ال absolute value

42
00:04:51,770 --> 00:04:57,150
للفرق هذا أصغر من أو يساوي absolute x زائد absolute

43
00:04:57,150 --> 00:05:01,290
c في absolute x ناقص c، أخدنا delta بالساوي واحد

44
00:05:01,290 --> 00:05:05,190
وقلنا لو كان absolute x ناقص c أصغر من delta اللي

45
00:05:05,190 --> 00:05:09,190
هي واحد بتطلع absolute x أصغر من واحد زائد absolute

46
00:05:09,190 --> 00:05:13,830
c وبالتالي absolute الفرق هذا هي أصغر من أو يساوي

47
00:05:14,180 --> 00:05:18,500
absolute x هي أصغر من واحد زائد absolute c وانتي

48
00:05:18,500 --> 00:05:23,820
absolute c فأصغر من واحد زائد اتنين فـ absolute c ضرب

49
00:05:23,820 --> 00:05:29,460
absolute x ناقص c، الآن بدي أخلي هذا أصغر من

50
00:05:29,460 --> 00:05:39,160
epsilon، هذا بدي أخليه أصغر من epsilon لما

51
00:05:39,160 --> 00:05:40,920
يكون هذا أصغر من delta

52
00:05:48,400 --> 00:05:52,700
فباخد إذا لما يكون هذا أصغر من delta فهذا بصير أصغر

53
00:05:52,700 --> 00:05:58,880
من واحد زائد اتنين absolute c في delta لما يكون ال

54
00:05:58,880 --> 00:06:03,000
absolute value لـ x ناقص c أصغر من delta فهذا بيطلع

55
00:06:03,000 --> 00:06:07,740
أصغر من واحد زائد اتنين في absolute c في delta الآن

56
00:06:07,740 --> 00:06:16,040
متى بيكون هذا أصغر من epsilon؟ لما delta إذا كانت delta 

57
00:06:16,040 --> 00:06:25,240
هذه أصغر من أو يساوي epsilon على واحد زائد اتنين 

58
00:06:25,240 --> 00:06:29,960
في absolute of c، إذا هاي قيمة تانية لـ delta، هاي

59
00:06:29,960 --> 00:06:35,660
ندي delta بيساوي واحد و delta أصغر من أو يساوي

60
00:06:35,660 --> 00:06:39,760
epsilon على واحد زائد اتنين في absolute of c، إذا

61
00:06:39,760 --> 00:06:49,590
باجي بقول let epsilon أكبر من الصفر be given a

62
00:06:49,590 --> 00:06:57,690
choose delta بيساوي ال minimum الأصغر بين القيمتين

63
00:06:57,690 --> 00:07:07,050
واحد و epsilon على واحد زائد اتنين في absolute c، ال

64
00:07:07,050 --> 00:07:13,660
delta هذه الآن عدد موجب ويعتمد على epsilon، إذا لهذه

65
00:07:13,660 --> 00:07:24,140
الـ delta لو كان x ينتمي لـ r اللي هو مجال الدالة و

66
00:07:24,140 --> 00:07:31,780
absolute x ناقص c أكبر من صفر أصغر من delta فهذا

67
00:07:31,780 --> 00:07:36,960
بيؤدي طبعاً الـ delta هذه هي الأصغر من العددين هذوله

68
00:07:36,960 --> 00:07:40,920
وبالتالي أصغر من أو يساوي واحد وأصغر من أو يساوي

69
00:07:40,920 --> 00:07:46,820
كسر هذا، فالـ delta أكيد أصغر من أو يساوي الواحد،

70
00:07:46,820 --> 00:07:52,360
لما الـ delta أصغر من أو يساوي الواحد، هذا بيقدر

71
00:07:52,360 --> 00:07:56,940
أن absolute x

72
00:07:56,940 --> 00:08:04,800
أصغر من واحد زائد absolute c وكمان هذا بيؤدي إنه

73
00:08:04,800 --> 00:08:11,000
absolute x تربيع ناقص c تربيع أصغر من أو يساوي

74
00:08:11,000 --> 00:08:23,400
absolute x زائد absolute c، absolute 

75
00:08:23,400 --> 00:08:28,640
x ناقص c وبالتالي هذا أصغر من أو يساوي واحد زائد

76
00:08:28,640 --> 00:08:39,840
اتنين absolute c وهذا أصغر من delta و

77
00:08:39,840 --> 00:08:49,520
الآن الـ delta هذه طبعاً

78
00:08:49,520 --> 00:08:55,420
هذا أصغر من delta والـ delta قلنا أصغر منها و

79
00:08:55,420 --> 00:08:58,600
يساوي epsilon، هاي واحد زائد اتنين 

80
00:09:19,770 --> 00:09:26,670
بشكل صحيح، بما أن epsilon أكبر من الصفر was

81
00:09:26,670 --> 00:09:27,550
arbitrary

82
00:09:31,810 --> 00:09:35,410
إذاً هيك بنكون أثباتنا، لكل epsilon أكبر من الصفر

83
00:09:35,410 --> 00:09:41,150
يوجد delta تعتمد على epsilon عدد موجب، ب half لكل x

84
00:09:41,150 --> 00:09:46,710
المسافة مختلفة عن الـ c والمسافة بينها وبين الـ c

85
00:09:46,710 --> 00:09:52,590
أصغر من delta بتطلع المسافة بين f of x و c تربيع

86
00:09:52,590 --> 00:10:01,190
أصغر من epsilon، إذاً we have By definition إن ال

87
00:10:01,190 --> 00:10:11,390
limit لـ x تربيع لما x تقول إلى c بيساوي c تربيع وهو

88
00:10:11,390 --> 00:10:17,410
المطلوب، okay؟ إذن هذا هو برهان إن ال limit للدالة

89
00:10:17,410 --> 00:10:23,300
التربيعية عن c بيساوي c تربيع، استخدمنا تعريف epsilon

90
00:10:23,300 --> 00:10:28,260
delta وشوفنا إن delta هنا لازم تكون الأصغر من

91
00:10:28,260 --> 00:10:34,520
القيمتين اللي هو الواحد والكسر اللي هناك، هي أي

92
00:10:34,520 --> 00:10:41,020
سؤال، خلينا ناخد كمان مثال مشابه لهذا وفيه

93
00:10:41,020 --> 00:10:44,560
الـ delta برضه بتساوي ال minimum لكمتين

94
00:10:53,440 --> 00:11:02,620
المثال رقم أربعة، show أنه ال limit لواحد على x

95
00:11:02,620 --> 00:11:14,020
لما x تقول إلى zero، لأ

96
00:11:14,020 --> 00:11:20,340
ال limit لواحد على x لما x تقول إلى أي عدد c بيساوي

97
00:11:20,340 --> 00:11:27,420
واحد على c حيث c أكبر من 0، فهنا

98
00:11:27,420 --> 00:11:30,520
بناخد ال function تبعتي الدالة اللي بتحدد ال

99
00:11:30,520 --> 00:11:36,800
limit هي عبارة عن f of x بيساوي واحد على x حيث x

100
00:11:36,800 --> 00:11:41,720
موجبة، إذا المجال تبع الدالة هذه الفترة المفتوحة من

101
00:11:41,720 --> 00:11:49,410
صفر إلى ما لا نهاية، و c عدد موجب، طيب أنا عايز

102
00:11:49,410 --> 00:11:57,190
أثبت إن absolute f of x ناقص واحد على c بدي هذا

103
00:11:57,190 --> 00:12:02,470
يكون أصغر من أي given epsilon عندما x تكون قريبة

104
00:12:02,470 --> 00:12:12,230
من ال c أو في جوار delta لل c فهذا طبعاً إيش بيساوي، هي

105
00:12:12,230 --> 00:12:17,790
absolute واحد على x ناقص واحد على c وهذا بيساوي

106
00:12:17,790 --> 00:12:27,950
absolute c ناقص x على x في c وهذا بيساوي واحد على 

107
00:12:27,950 --> 00:12:33,270
x في c ضرب absolute x ناقص c

108
00:12:38,060 --> 00:12:45,780
الآن بدي أحاول أجيب upper bound عدد 

109
00:12:45,780 --> 00:12:53,720
موجب بـ m بحيث الـ 1 على x في c يكون أصغر من أو يساوي

110
00:12:53,720 --> 00:12:57,360
الـ m تعالوا نشوف كيف نجيب ال upper bound هذا أو ال

111
00:12:57,360 --> 00:13:06,330
bound، أنا عندي الـ take الأول، take أنا عندي الـ c عدد 

112
00:13:06,330 --> 00:13:12,190
موجب، take delta بيساوي c على اتنين هذا عدد موجب

113
00:13:12,190 --> 00:13:16,050
then

114
00:13:16,050 --> 00:13:23,510
absolute x ناقص c أصغر من delta اللي هو بيساوي c ع

115
00:13:23,510 --> 00:13:32,030
2 بيؤدي إن x أصغر من تلاتة c ع 2 أكبر من c ع 2

116
00:13:32,030 --> 00:13:43,430
وهذا بيؤدي إن واحد على x في c أصغر من اتنين على c

117
00:13:43,430 --> 00:13:44,270
تربيع

118
00:13:50,000 --> 00:13:54,920
الـ x أكبر من c على 2، إذا مقلوب الـ x أصغر من 2 على

119
00:13:54,920 --> 00:14:01,220
c، مقلوب الـ x وأضربها في 1 على c بيطلع أصغر من 2

120
00:14:01,220 --> 00:14:07,100
على c تربيع وبالتالي 

121
00:14:07,100 --> 00:14:13,540
هذا العدد هذا هو الـ m عدد

122
00:14:13,540 --> 00:14:16,320
موجب إذاً

123
00:14:18,670 --> 00:14:28,290
في الحالة هذه، في الحالة 

124
00:14:28,290 --> 00:14:34,910
هذه بصير عندي هذا أصغر من اتنين على c تربيع وطبعاً

125
00:14:34,910 --> 00:14:39,430
هذا أصغر من delta، absolute x ناقص c طبعاً بيكون

126
00:14:39,430 --> 00:14:44,690
أصغر من delta الآن عشان يكون هذا أصغر من أو يساوي

127
00:14:44,690 --> 00:14:52,820
epsilon فنختار choose الـ delta أصغر من أو يساوي حل 

128
00:14:52,820 --> 00:14:57,140
المتباينة هذه في الـ delta فالـ delta ستصبح أصغر

129
00:14:57,140 --> 00:15:04,540
من أو يساوي c تربيع على 2 epsilon فهي قيمة تانية لـ 

130
00:15:04,540 --> 00:15:09,440
delta فبأخد الـ delta ال minimum للقيمة الأولى

131
00:15:10,560 --> 00:15:16,040
والقيمة التانية، هذا هيخلي إنه لكل x المسافة بين أو

132
00:15:16,040 --> 00:15:20,320
بين c أصغر من delta هتخلي المسافة بين f of x و واحد

133
00:15:20,320 --> 00:15:26,280
على c أصغر من ال given epsilon، نكتب الكلام هذا، let 

134
00:15:26,280 --> 00:15:29,240
epsilon be given، choose delta بالساوي ال minimum

135
00:15:29,240 --> 00:15:36,260
نختار 

136
00:15:36,260 --> 00:15:42,030
delta ال minimum للعدد الموجب بـ c ع 2، والعدد 

137
00:15:42,030 --> 00:15:49,000
التاني ده هو c تربيع ع 2 في epsilon طبعاً هذا عدد 

138
00:15:49,000 --> 00:15:52,740
أكيد عدد موجب لأن هذا موجب وهذا موجب والأصغر بينهم

139
00:15:52,740 --> 00:15:56,820
هييطلع موجب واتنين بيعتمدوا على epsilon، إذن delta 

140
00:15:56,820 --> 00:16:00,620
عدد موجب بيعتمد على epsilon، إذا لأي epsilon أكبر 

141
00:16:00,620 --> 00:16:04,360
من سفر هين أثبتت يوجد delta تعتمد على epsilon عدد

142
00:16:04,360 --> 00:16:11,680
موجب بحيث أنه لكل x ينتمي إلى المجال هنا اللي هو

143
00:16:11,680 --> 00:16:19,300
الفترة المفتوحة من سفر إلى دالة نهاية و absolute x

144
00:16:19,300 --> 00:16:25,400
minus c أكبر من سفر أصغر من ال delta هذا بيقود إلى أن

145
00:16:25,400 --> 00:16:33,260
ال delta هذه أصغر من أو يساوي c ع 2 فلما ال delta

146
00:16:33,260 --> 00:16:39,280
تكون أصغر من أو يساوي c ع 2 هذا بيقود إلى أنه واحد على

147
00:16:39,280 --> 00:16:42,460
واحد

148
00:16:42,460 --> 00:16:52,060
على x في c أصغر من اثنين على c تربيع وهذا بدوره

149
00:16:52,060 --> 00:17:00,940
يقدم absolute واحد على x minus واحد على c يساوي

150
00:17:00,940 --> 00:17:06,480
واحد على x في c في absolute x minus c أصغر من

151
00:17:06,480 --> 00:17:14,850
اثنين على c تربيع في delta و ال delta هذه الآن أصغر

152
00:17:14,850 --> 00:17:19,310
من أو يساوي ال delta هذه هي ال delta اللي فوق

153
00:17:19,310 --> 00:17:25,010
أصغر من أو يساوي العدد هذا أيه والعدد الثاني لأنها

154
00:17:25,010 --> 00:17:31,130
الأصغر بين اثنين لأن هي اثنين على c تربيع ضرب c

155
00:17:31,130 --> 00:17:36,390
تربيع اثنين في epsilon هذا يروح مع هذا مخلوق بعض

156
00:17:36,390 --> 00:17:41,030
يظل عندي epsilon since

157
00:17:43,190 --> 00:17:50,970
Y أكبر من سفر was arbitrary إذا أنا لكل Y أكبر

158
00:17:50,970 --> 00:17:56,850
من سفر جبت Delta تعتمد على Y بحيث لكل X مختلفة

159
00:17:56,850 --> 00:18:00,570
عن ال C المسافة بينها وبين ال C أصغر من Delta كل

160
00:18:00,570 --> 00:18:05,450
المسافة بين F of X و 1 على C أصغر من Y إذا by

161
00:18:05,450 --> 00:18:06,010
definition

162
00:18:09,260 --> 00:18:14,820
by definition of limit يطلع عندي ال limit لل

163
00:18:14,820 --> 00:18:20,740
function واحد على X لما X تقول إلى C يساوي واحد

164
00:18:20,740 --> 00:18:24,240
على C وهو المطلوب

165
00:18:26,860 --> 00:18:31,720
واضح في أي سؤال؟ في كمان مثال آخر زي هدف الكتاب،

166
00:18:31,720 --> 00:18:37,860
هسيبكم تقرؤوه لأن الفكرة شبيهة بالفكرة في المثال

167
00:18:37,860 --> 00:18:47,720
الأخير وبالتالي ما فيش إشي جديد ننتقل إلى دراسة

168
00:18:52,750 --> 00:18:56,370
ال sequential criterion هي حاجة اسمها sequential

169
00:18:56,370 --> 00:19:09,570
criterion حاجة .. حاجة بتكافئ التعريف sequential

170
00:19:09,570 --> 00:19:12,750
criterion

171
00:19:45,930 --> 00:19:53,970
العبارات التالية متكافئة Limit f of x as x tends to

172
00:19:53,970 --> 00:20:03,290
c يساوي عدد L بحيث عدد حقيقي اثنين for every

173
00:20:06,410 --> 00:20:14,330
for every sequence xn contained in A حدودها

174
00:20:14,330 --> 00:20:25,090
مختلفة عن ال C such that limit xn يساوي C we

175
00:20:25,090 --> 00:20:31,470
have limit ال image لسيكوينس xn as n tends to

176
00:20:31,470 --> 00:20:34,410
infinity يساوي العدد L

177
00:20:39,210 --> 00:20:42,690
إن ال sequential criterion هذه بتقول إن عشان أثبت

178
00:20:42,690 --> 00:20:46,470
إن ال limit لل function f and x يساوي c يساوي

179
00:20:46,470 --> 00:20:52,090
العدد L  هدا بكافة إن أنا أثبت إنه لو أخدت أي

180
00:20:52,090 --> 00:20:59,010
sequence نهايتها C فلازم يكون نهاية صورتها يساوي

181
00:20:59,010 --> 00:21:04,140
العدد L لو قدرت أعمل هذا في الكلام فبقى هذا بيكافئ

182
00:21:04,140 --> 00:21:08,880
أن نقول إن ال limit ل f of x يعني ال x يساوي

183
00:21:08,880 --> 00:21:15,060
c يساوي العدد ال .. نثبت النظرية هذه تروف one

184
00:21:15,060 --> 00:21:23,020
implies two assume one

185
00:21:23,020 --> 00:21:28,480
i.e

186
00:21:30,950 --> 00:21:37,470
ال limit ل F of X لما X تقول ل C يساوي العدد L

187
00:21:37,470 --> 00:21:44,070
عايزين

188
00:21:44,070 --> 00:21:48,450
نثبت عشان

189
00:21:48,450 --> 00:21:55,250
نثبت اثنين عشان نثبت اثنين صحيح to

190
00:21:55,250 --> 00:21:58,190
prove two holds

191
00:22:00,720 --> 00:22:05,500
to prove two holds let

192
00:22:05,500 --> 00:22:17,380
Xn be a sequence in A حدودها مختلفة عن ال C such

193
00:22:17,380 --> 00:22:26,960
that limit Xn يساوي C we claim

194
00:22:30,360 --> 00:22:45,320
أن ال limit ل f of x ل f of xn لما

195
00:22:45,320 --> 00:22:52,340
n تقول ل infinity دي يساوي L لبرهان ذلك let epsilon

196
00:22:52,340 --> 00:22:55,400
أكبر

197
00:22:55,400 --> 00:22:57,020
من صفر be given

198
00:23:02,180 --> 00:23:08,440
since xnxnxn

199
00:23:10,770 --> 00:23:16,490
بما أننا فرضنا limit f of x لما x تقول ل c يساوي

200
00:23:16,490 --> 00:23:21,450
L من تعريف epsilon دلتا لل limit إذا يوجد دلتا

201
00:23:21,450 --> 00:23:27,770
تعتمد على epsilon عدد موجب بحيث أنه لكل x ينتمي

202
00:23:27,770 --> 00:23:33,730
إلى a و absolute x minus c أكبر من صفر أصغر من دلتا

203
00:23:42,740 --> 00:23:52,080
epsilon دلتا للنهايات نسمي

204
00:23:52,080 --> 00:23:53,760
ال implication هذه star

205
00:24:01,580 --> 00:24:07,300
and the limit xn يساوي c احنا فرضنا ان في انديو

206
00:24:07,300 --> 00:24:14,840
سيكوينس xn ونهايتها c then

207
00:24:14,840 --> 00:24:26,910
for the above دلتا الموجبة يوجد دلتا موجبة أخذت دلتا

208
00:24:26,910 --> 00:24:31,910
هذه الموجبة وطبقت تعريف epsilon capital N ل limit of

209
00:24:31,910 --> 00:24:36,590
sequence فبما أن ال sequence هذه نهايتها C إذا لأي

210
00:24:36,590 --> 00:24:42,070
دلتا أو epsilon عدد موجب there exists capital N

211
00:24:42,070 --> 00:24:46,710
يعتمد على ال Delta طبعا ال Delta تعتمد على

212
00:24:46,710 --> 00:24:51,370
epsilon إذا ال N هذه يعتمد على epsilon عدد طبيعي،

213
00:24:51,370 --> 00:24:56,650
بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي capital N، تطلع

214
00:24:56,650 --> 00:25:02,130
عندي absolute X N minus C أصغر من Delta، نسمي ال

215
00:25:02,130 --> 00:25:03,990
implication هذه double star

216
00:25:07,580 --> 00:25:16,300
now star and double star بيؤدوا إلى ما يلي لو كان

217
00:25:16,300 --> 00:25:23,340
n أكبر من أو يساوي capital N هذا بيقود إلى أن absolute

218
00:25:23,340 --> 00:25:27,740
Xn

219
00:25:27,740 --> 00:25:36,440
minus C أصغر من Delta هذا باستخدام double star صح؟

220
00:25:39,750 --> 00:25:44,230
لو كانت n أكبر من أو يساوي capital N فبيطلع absolute

221
00:25:44,230 --> 00:25:52,050
xn minus c أصغر من delta و من ال star لو كان عندي

222
00:25:52,050 --> 00:25:59,130
xn طبعا xn هذا موجود في a ال xn موجود في a مختلف

223
00:25:59,130 --> 00:25:59,810
عن ال c

224
00:26:02,830 --> 00:26:07,750
فلو كان absolute of xn minus c badly except xn

225
00:26:07,750 --> 00:26:13,850
أصغر من delta فحسب ال star هذا بقدر absolute of f

226
00:26:13,850 --> 00:26:22,590
of xn minus L أصغر من epsilon الآن بما أن هذا صحيح

227
00:26:22,590 --> 00:26:28,270
بما أن since epsilon أكبر من صفر was arbitrary

228
00:26:30,740 --> 00:26:42,380
إن إحنا أثبتنا هيك لكل epsilon يوجد

229
00:26:42,380 --> 00:26:50,250
capital N يعتمد على epsilon عدد طبيعي لكل n أكبر من

230
00:26:50,250 --> 00:26:55,310
أو يساوي capital N absolute f of xn minus L أصغر من

231
00:26:55,310 --> 00:27:00,150
epsilon إذا by epsilon capital N definition لل limit

232
00:27:00,150 --> 00:27:06,050
of sequence بيطلع عندي limit ل sequence

233
00:27:06,050 --> 00:27:12,910
f of xn as n tends to infinity يساوي L وبالتالي

234
00:27:12,910 --> 00:27:21,850
هيك بيكون إذا two holds هكذا أثبتنا أن واحد يؤدي

235
00:27:21,850 --> 00:27:26,610
إلى اثنين اثنين

236
00:27:26,610 --> 00:27:30,270
بيقول for every sequence فهي اللي أخدت arbitrary

237
00:27:30,270 --> 00:27:36,810
sequence في a minus c وبشرط بحيث أن ال sequence هي

238
00:27:36,810 --> 00:27:37,710
اللي نهايتها c

239
00:27:42,350 --> 00:27:46,210
و أثبتنا أن ال limit لل image لل sequence يساوي L

240
00:27:46,210 --> 00:27:51,710
هذا بالظبط اللي هو العبارة اثنين لأن هيك يكون

241
00:27:51,710 --> 00:27:58,270
أثبتنا واحد بيقود إلى اثنين واضح مفهوم اللي هو نثبت

242
00:27:58,270 --> 00:28:02,510
العكس نثبت أن اثنين بيقود لواحد

243
00:28:16,210 --> 00:28:22,870
بالنسبة للعبارة اثنين بتقود إلى العبارة واحد فالاثنان

244
00:28:22,870 --> 00:28:27,270
ذالف بالمناسبة الأخوات اللي قاعدات ورا دولة إيش

245
00:28:27,270 --> 00:28:31,510
بتعملوا أنتو؟ معليش أوقف تصوير إيش مجاعتكم أنتو

246
00:28:31,510 --> 00:28:34,830
أنا أول حاجة و ثاني حاجة؟ إيش بتتكلمون؟ دكتور معك

247
00:28:34,830 --> 00:28:38,070
لأ لأ لما هم بتتكلم عامليننا أزعاج لأ باحكوا إذا

248
00:28:38,070 --> 00:28:40,550
انتو بتتكلموا لأ باحكي على اندر ده ليش مصورة إن

249
00:28:40,550 --> 00:28:44,510
الوضع هو وضع نفسه لأ بنتكلميش لأ باحكي عن البرادة

250
00:28:44,510 --> 00:28:49,530
اللي ورا دولة في بنات بتتكلموا، أنتو اللي ورا

251
00:28:49,530 --> 00:28:55,390
بتتكلموا ولا في ناس غيرك؟ في حد بتتكلم و أنا بشرح

252
00:28:55,390 --> 00:29:00,090
تتكلم و هذا عمللي أزعاج كثير، فلو سمحتوا إذا أنتو

253
00:29:00,090 --> 00:29:04,890
قاعدين تتكلموا ورا اطلعوا في حديقة اتكلموا فيها،

254
00:29:04,890 --> 00:29:10,670
حتى لو باسم المحاضرة ممنوع تتكلموا، شوية أزعاج هو

255
00:29:10,670 --> 00:29:13,850
مين اللي بتتكلم؟ إذا أنت اللي بتتكلم من قعدته

256
00:29:13,850 --> 00:29:20,350
وراك بتتكلم ما تتكلمش لأن غير ترفع يدك، ارفع يدك و

257
00:29:20,350 --> 00:29:24,670
تقعد لسانك، ما تتكلمي مع الجنب بدون اسم، لأن هذا

258
00:29:24,670 --> 00:29:28,150
عندنا قاعدة في المحاضرة، ممنوع حد يتكلم مع الجنب و

259
00:29:28,150 --> 00:29:34,030
تتحدث مع حد شخص آخر إلا إذا عندك سؤال، ترفع يدك،

260
00:29:34,030 --> 00:29:37,990
تستنى لما أقول من عنده سؤال من عنده حاجة صار، ترفع

261
00:29:37,990 --> 00:29:41,790
يدك و بجاوب كانك ما بتقدر أنت تعمليني قصة مع اللغة،

262
00:29:41,790 --> 00:29:48,330
قوم أنت .. أنت .. قوم يقعد في مطعم، يبقوا عالم،

263
00:29:48,330 --> 00:29:51,190
فلو سرحت أنك تتكلم مش مع بعض، هانديك السفسة

264
00:30:01,910 --> 00:30:04,950
ممنوع حد يتكلم مع الجنب في المحاضرة، أنا بعمل

265
00:30:04,950 --> 00:30:08,850
إزعاج، بدك أنت في السفسار، عندك أي إيش أنا بواجب،

266
00:30:08,850 --> 00:30:13,990
بقول من عنده سؤال، من عنده حاجة، يتفضل يسأل

267
00:30:13,990 --> 00:30:21,850
ساعتها، بس لا تتكلم وأنا ضايق طرابك،

268
00:30:21,850 --> 00:30:24,230
يقولنا الكلام قدر مئة مرة في المحاضرة، ممنوع

269
00:30:24,230 --> 00:30:25,690
الكلام الجامل

270
00:30:35,880 --> 00:30:40,860
تفضل يا أبو حمزة إذا

271
00:30:40,860 --> 00:30:45,380
الآن بدنا نكمل البرنامج بإثبات الاثنين بيقود لواحد

272
00:30:45,380 --> 00:30:51,740
الإثبات الاثنين بيقود لواحد بدنا نثبت we prove ال

273
00:30:51,740 --> 00:30:59,120
contrapositive we prove not واحد implies not two

274
00:31:01,070 --> 00:31:04,730
هذا هو ال contrapositive للعبارة لل implication

275
00:31:04,730 --> 00:31:16,630
هذه فإذا assume .. assume not واحد ف not واحد معناه

276
00:31:16,630 --> 00:31:27,190
ال limit ل F of X لما X تقول ل C لا تساوي L

277
00:31:30,200 --> 00:31:32,020
this means هذا يعني

278
00:31:35,090 --> 00:31:40,190
الآن نرجع لتعريف ال limit أو ال function شفنا

279
00:31:40,190 --> 00:31:42,530
المرة السادسة في تعريفين في epsilon delta

280
00:31:42,530 --> 00:31:46,270
definition و في neighborhood definition ال 

281
00:31:46,270 --> 00:31:49,610
neighborhood definition بيقول إذا كان عشان تكون

282
00:31:49,610 --> 00:31:53,770
limit لـ f of x من x أو لـ c بالساوي عدد L هذا

283
00:31:53,770 --> 00:31:57,210
بيكافئ أنه لكل epsilon neighborhood لـ L يوجد delta

284
00:31:57,210 --> 00:32:01,130
neighborhood للـ C بحيث لكل x في ال delta

285
00:32:01,130 --> 00:32:04,630
neighborhood صورته لازم تطلع في الـ epsilon

286
00:32:04,630 --> 00:32:08,290
neighborhood الآن أن في الكلام هذا ما معنى أن ال

287
00:32:08,290 --> 00:32:13,570
limit of x at c بيستويش لعدد L معناه بدل لكل epsilon

288
00:32:13,570 --> 00:32:17,930
neighborhood لـ L there exists there exists epsilon

289
00:32:17,930 --> 00:32:25,330
zero neighborhood of L بسميه

290
00:32:25,330 --> 00:32:32,110
V epsilon zero neighborhood لـ L بحيث أنه لكل 

291
00:32:33,900 --> 00:32:43,060
Delta neighborhood V Delta أو C يوجد X يعتمد على

292
00:32:43,060 --> 00:32:50,540
Delta ينتمي إلى A ومختلف عن الـ C وموجود في الـ

293
00:32:50,540 --> 00:32:55,560
Delta neighborhood بحيث

294
00:32:55,560 --> 00:33:01,100
أن صورة الـ X Delta

295
00:33:05,360 --> 00:33:16,380
لا تنتمي للإبسلون zero neighborhood لـ LL طيب

296
00:33:16,380 --> 00:33:26,140
لو أخذنا take لكل N في N take delta بساوي واحد على

297
00:33:26,140 --> 00:33:31,600
N then

298
00:33:31,600 --> 00:33:32,540
there exists

299
00:33:37,520 --> 00:33:47,100
دلتا تعتمد على n دلتا تعتمد على n دلتا تعتمد على n

300
00:33:47,100 --> 00:33:50,360
دلتا 

301
00:33:50,360 --> 00:33:56,520
تعتمد

302
00:33:56,520 --> 00:33:57,620
على

303
00:34:00,880 --> 00:34:10,260
و بحيث أن F لـ Xm لا ينتمي لإبسلون Zero

304
00:34:10,260 --> 00:34:18,300
neighborhood لـ L طب ما هذا الأخير معناه أو بيقدّي

305
00:34:26,330 --> 00:34:34,390
this implies هذا بيقدّي نكون أثبتنا أن لكل n يوجد

306
00:34:34,390 --> 00:34:42,490
xn في a إذا يوجد sequence xn موجودة في ال set A

307
00:34:42,490 --> 00:34:47,170
حدودها مختلفة عن ال C كل ال xn مختلفة عن ال C

308
00:34:47,170 --> 00:35:01,980
وموجودة في v1 على n of c بحيث أن f ل xn لا تنتمي ل

309
00:35:01,980 --> 00:35:11,900
v epsilon zero ل n لكل n هذا معناه أن يوجد

310
00:35:11,900 --> 00:35:20,580
sequence xn contained in a minus c بحيث أن لاحظوا

311
00:35:20,580 --> 00:35:26,240
الـ sequence Xn تنتمي لـ V 1 على N of C اللي هو

312
00:35:26,240 --> 00:35:30,960
عبارة عن الفترة C سالب واحد على N C موجب واحد على

313
00:35:30,960 --> 00:35:37,360
N لكل N هذا معناه أن absolute Xn minus C أصغر من

314
00:35:37,360 --> 00:35:42,420
واحد على N أصغر

315
00:35:42,420 --> 00:35:47,020
من واحد على N لكل N في N and

316
00:35:50,460 --> 00:35:55,500
F of Xn لا تنتمي للـY0 neighborhood الـY0

317
00:35:55,500 --> 00:35:59,720
neighborhood هذا عبارة عن الفترة المفتوحة L minus

318
00:35:59,720 --> 00:36:08,000
Y0 L زائد Y0 فF of Xn لا تنتمي للفترة المفتوحة هذه

319
00:36:08,000 --> 00:36:15,720
معناه absolute المسافة بين F of Xn وL أكبر من أو

320
00:36:15,720 --> 00:36:18,460
ساوي Y0 لكل N

321
00:36:21,430 --> 00:36:26,750
هذا الكلام معناه أن

322
00:36:26,750 --> 00:36:32,190
يوجد sequence x in موجودة في a حدودها مختلفة عن ال

323
00:36:32,190 --> 00:36:41,030
c وهذا الكلام معناه such that limit x in بساوي c

324
00:36:43,330 --> 00:36:51,410
حسب نظرية 2.4.2

325
00:36:51,410 --> 00:36:54,970
4.2 4.2 4.2 4.2

326
00:36:54,970 --> 00:36:55,590
4.2 4.2 4.2 4.2 4

327
00:36:55,590 --> 00:36:55,730
4.2 4.2 4.2 4.2 4

328
00:36:55,730 --> 00:36:56,990
2.4.2 4.2 4.2 4.2 4.2

329
00:36:56,990 --> 00:36:59,130
4.2 4.2 4.2 4.2 4

330
00:36:59,130 --> 00:37:08,450
2.4.2 4.2 4.2 4

331
00:37:12,640 --> 00:37:16,920
الـ limit لـ

332
00:37:16,920 --> 00:37:20,760
sequence f of xn لما n تقول الـ infinity مش ممكن

333
00:37:20,760 --> 00:37:26,540
تساوي العدد L لأن لو ال limit لـ f of xn بيساوي

334
00:37:26,540 --> 00:37:30,220
العدد L، المفروض ال absolute value للفرق ده تكون

335
00:37:30,220 --> 00:37:36,660
أصغر من أي epsilon zero لكل N من capital N و أنت

336
00:37:36,660 --> 00:37:40,930
طالع، لكن هذا الكلام مش صحيح Okay إن هذا بالظبط

337
00:37:40,930 --> 00:37:48,210
العبارة الأخيرة which which

338
00:37:48,210 --> 00:37:55,690
is نفي العبارة 2 هذه

339
00:37:55,690 --> 00:37:58,450
العبارة الأخيرة هي نفي العبارة 2 هذه العبارة

340
00:37:58,450 --> 00:38:06,320
2 ال statement 2 بيقول لكل sequence بحيث أن

341
00:38:06,320 --> 00:38:09,100
ال limit بتاعتها C، ال limit لل image بتاعتها

342
00:38:09,100 --> 00:38:13,660
بالساولة L هنا اتوصلنا أن there exist بدل for all

343
00:38:13,660 --> 00:38:18,660
there exists sequence نهايتها C لكن نهاية صورتها

344
00:38:18,660 --> 00:38:25,020
لا تساول L إذا هيك بنكون أثبتنا أنه لا إذا we

345
00:38:25,020 --> 00:38:29,800
proved not

346
00:38:31,130 --> 00:38:39,390
not 1 implies not 2 therefore 2 implies 1

347
00:38:39,390 --> 00:38:46,610
وهذا يكمل البرهان واضح؟ في أي سؤال؟ في أي استفسار؟

348
00:38:46,610 --> 00:38:53,590
يبدو أننا كملنا برهان النظرية في أي استفسار؟

349
00:38:55,700 --> 00:39:03,780
الآن من النظرية هذه ينتج مباشرة نظرية مهمة لتقل

350
00:39:03,780 --> 00:39:13,660
عنها أهمية ويلها اسم divergence

351
00:39:13,660 --> 00:39:16,900
criteria

352
00:39:25,650 --> 00:39:36,650
لت if the function from A to R and see the cluster

353
00:39:36,650 --> 00:39:39,750
point

354
00:39:39,750 --> 00:39:45,850
of A then 1

355
00:39:47,360 --> 00:39:54,460
الـ limit لـ f of x لما x تقول لـ c لا تساوي ال f

356
00:39:54,460 --> 00:40:01,440
and only if there exists a sequence xm contained in

357
00:40:01,440 --> 00:40:10,180
a حدودها مختلفة عن ال c such that limit xm بتساوي

358
00:40:10,180 --> 00:40:20,490
c but limit f of x in لا تساوي n الكرتيريا

359
00:40:20,490 --> 00:40:25,750
التانية اللي هي عشان

360
00:40:25,750 --> 00:40:31,930
نقول limit f of x لما x تقولها c does not exist in

361
00:40:31,930 --> 00:40:43,690
R هذا بكافئ أن هناك sequence Xn محتوى A حدودها

362
00:40:43,690 --> 00:40:50,870
مختلفة عن C بحيث أن نهايتها بساوي

363
00:40:50,870 --> 00:41:00,310
C ولكن نهاية صورتها لا

364
00:41:00,310 --> 00:41:02,670
توجد في R

365
00:41:16,230 --> 00:41:21,250
كمان النظرية هذه برهانها ينتج مباشرة من النظرية

366
00:41:21,250 --> 00:41:27,990
اللي فوق مثلا هي عندي لإثبات ال band الأول عشان

367
00:41:27,990 --> 00:41:31,130
أثبت limit f of x  مستويش L and C

368
00:41:34,380 --> 00:41:38,880
يعني كإني بقول نفي العبارة 1 هذا هو نفي العبارة

369
00:41:38,880 --> 00:41:42,560
1 طب احنا لسه بثبتين ان 1 بكافي 2

370
00:41:42,560 --> 00:41:46,560
وبالتالي نفي العبارة 1 بكافي نفي الـ 2 فنفي

371
00:41:46,560 --> 00:41:51,100
الـ 2 هذا هو يوجد a sequence تتقارب لـ C لكن صورة

372
00:41:51,100 --> 00:41:56,720
تلاتة تتقارب لـ L إذا برهان الجزء الأول نتيجة مباشرة

373
00:41:56,720 --> 00:42:02,130
على مضارية ال form والجزء الثاني زيه بدل هنا عشان

374
00:42:02,130 --> 00:42:06,070
أقول أن ال limit هذه does not exist يعني لو أخدت

375
00:42:06,070 --> 00:42:12,650
أي عدد L فال limit هنا لا تساوي L معناه أنه في

376
00:42:12,650 --> 00:42:18,050
sequence والكلام هذا ال limit هذه ما تسويش أي L أي

377
00:42:18,050 --> 00:42:23,890
عدد حقيقي إذا النظرية هذه نتيجة مباشرة على النظرية

378
00:42:23,890 --> 00:42:27,880
sequential criterion النظرية التي سبقتها الآن هذه

379
00:42:27,880 --> 00:42:31,560
النظرية هنستخدمها في إثبات إن ال limit لدالة

380
00:42:31,560 --> 00:42:36,000
معينة، عن نقطة معينة غير موجودة، فهي بعض الأمثلة

381
00:42:36,000 --> 00:42:39,140
كيف

382
00:42:39,140 --> 00:42:42,500
نستخدم ال divergence كتير، كيف نثبت ال divergence

383
00:42:42,500 --> 00:42:48,020
أو عدم وجود limit لدالة معينة عن نقطة معينة، فمثلا

384
00:42:48,020 --> 00:43:02,210
ناخد أول مثال show that limit لـ 1 على x لما x تقول

385
00:43:02,210 --> 00:43:09,470
إلى صفر does not exist in R فلبرهان

386
00:43:09,470 --> 00:43:16,870
ذلك let

387
00:43:16,870 --> 00:43:24,050
f of x بساوي 1 على x وده أخد الـ x موجبة يعني

388
00:43:24,050 --> 00:43:27,130
نعتبر أن ال domain للدالة هذه اللي هو الفترة A

389
00:43:27,130 --> 00:43:31,270
بساوي الفترة مفتوحة من صفر لما لا نهاية و نثبت

390
00:43:31,270 --> 00:43:34,750
أن الدالة هذه ما ليهاش limit عند الصفر أو عند الصفر

391
00:43:34,750 --> 00:43:40,650
من اليمين فلإثبات أن ال limit للدالة هذه عند الصفر

392
00:43:40,650 --> 00:43:44,470
ماهياش موجودة حسب ال divergence criteria يعني بدي

393
00:43:44,470 --> 00:43:48,210
أثبت أن يوجد .. بدي أجيب sequence نهايتها صفر لكن

394
00:43:48,210 --> 00:43:52,490
نهاية صورتها مش موجودة فال sequence إذا هنا

395
00:43:52,490 --> 00:43:59,560
consider الـ sequence التي تفي بهذا الغرض اللي هي

396
00:43:59,560 --> 00:44:06,400
xn بساوي واحد على n لكل n في n فواضح أنه limit

397
00:44:06,400 --> 00:44:16,720
xn بساوي limit واحد على n بتساوي صفر وواضح أنه

398
00:44:16,720 --> 00:44:22,800
xn contained in a اللي هي الفترة هذه معدى الصفر

399
00:44:22,800 --> 00:44:31,310
صح؟ وعندي ال limit لل image لل sequence xn بساوي ال

400
00:44:31,310 --> 00:44:38,250
limit لـ 1 على xn لما n تقوى ل infinity بساوي ال

401
00:44:38,250 --> 00:44:43,410
limit لـ n لما n تقوى ل infinity بساوي infinity

402
00:44:43,410 --> 00:44:49,730
وهذه طبعا ال infinity does not exist in R ليست عدد

403
00:44:49,730 --> 00:44:55,980
حقيقي النهاية نجحت في إيجاد sequence موجودة في A

404
00:44:55,980 --> 00:45:00,840
وحدودها مختلفة عن الصفر ونهايتها صفر لكن نهاية

405
00:45:00,840 --> 00:45:06,960
صورتها مش موجودة في R وبالتالي therefore by

406
00:45:06,960 --> 00:45:14,020
divergence criterion limit

407
00:45:14,020 --> 00:45:23,240
لـ F of X أو 1 على X لما x س تقول إلى 0 does not

408
00:45:23,240 --> 00:45:28,860
exist in R وفي حقيقة الأمر أثبتنا أن limit 1 على x

409
00:45:28,860 --> 00:45:34,180
لما x س تقول إلى 0 من اليمين غير موجودة لأن أخذنا

410
00:45:34,180 --> 00:45:42,620
المجال كل الأعداد الموجودة بالمثل ممكن إثبات أن

411
00:45:42,620 --> 00:45:50,390
limit لـ 1 على x لما X تقول إلى صفر من اليسار does

412
00:45:50,390 --> 00:45:55,540
not exist أن أنا أخد المرة هذه ال X هنا في الدالة

413
00:45:55,540 --> 00:46:00,560
هذه ال domain تبعها الفترة من سالب ما له نهاية إلى

414
00:46:00,560 --> 00:46:05,720
صفر وأقول أن ال X هنا أصغر من صفر ونفس البرهان

415
00:46:05,720 --> 00:46:09,820
هيطلع عندي ال limit لما X تقول صفر من اليسار does

416
00:46:09,820 --> 00:46:13,500
not exist وبالتالي ال limit عند ال X من الجهتين

417
00:46:13,500 --> 00:46:19,820
does not exist تمام okay هذا مثال مثال ثاني واضح

418
00:46:19,820 --> 00:46:21,440
فيه أي سفصار فيه أي سؤال

419
00:46:25,390 --> 00:46:35,810
ناخد مثال ثاني show

420
00:46:35,810 --> 00:46:42,590
that limit للـ signum function signum x لما x تقول 

421
00:46:42,590 --> 00:46:48,930
إلى صفر does not exist where حيث و ال signum

422
00:46:48,930 --> 00:46:52,450
function where

423
00:46:57,580 --> 00:47:02,460
where signum x هي عبارة عن function في x بنعرفها

424
00:47:02,460 --> 00:47:07,000
على أنها واحد إذا كان x أكبر من صفر صفر إذا كان x

425
00:47:07,000 --> 00:47:12,300
بساوى صفر سالب واحد إذا كان x أصغر من صفر وهي

426
00:47:12,300 --> 00:47:13,360
الرسمة تبعتها

427
00:47:24,680 --> 00:47:28,920
فالدالة لما x أكبر من صفر بيستوي ثابت واحد عند

428
00:47:28,920 --> 00:47:34,400
الصفر بيستوي صفر و لما x أصغر من صفر بيستوي سالب

429
00:47:34,400 --> 00:47:38,040
واحد طيب

430
00:47:38,040 --> 00:47:48,360
note that لاحظوا أن الدالة هذه sigma of x بتساوي

431
00:47:48,360 --> 00:47:52,120
x على absolute x fx

432
00:47:53,900 --> 00:47:59,820
لا تساوي صفر إذا كان x بساوي صفر فدالة sigma بها

433
00:47:59,820 --> 00:48:07,900
نفس x على absolute x نفس .. نفس الحاجة طيب الآن

434
00:48:07,900 --> 00:48:13,400
إثبات أن ال limit لدالها عند صفر مش موجودة طبعا

435
00:48:13,400 --> 00:48:17,440
في تفاضل ألف في برهان في تفاضل ألف بيقول أن هي

436
00:48:17,440 --> 00:48:21,380
الدالة لما X تؤول إلى صفر من اليمين ال limit لها واحد

437
00:48:21,380 --> 00:48:25,500
لما X تؤول إلى صفر من اليسار نهايتها سالب واحد ال limit

438
00:48:25,500 --> 00:48:28,040
من اليمين ليستوي ال limit من اليسار إذا ال limit

439
00:48:28,040 --> 00:48:33,690
لدالها عند صفر does not exist برهان accurate صحيح

440
00:48:33,690 --> 00:48:37,030
مئة بالمئة ما في مشكلة لكن لو بدنا نعطي برهان

441
00:48:37,030 --> 00:48:41,810
باستخدام ال divergence criterion فالبرهان هيكون

442
00:48:41,810 --> 00:48:46,270
كالتالي consider

443
00:48:46,270 --> 00:48:51,410
بدنا نجيب sequence xn

444
00:48:54,550 --> 00:48:58,490
التي نهايتها مختلفة عن الصفر نهايتها صفر لكن نهايت

445
00:48:58,490 --> 00:49:03,950
صورتها بساوي صفر ف consider ال sequence اللي هي Xn

446
00:49:03,950 --> 00:49:09,110
الحد العام تبعها Xn بساوي سالب واحد أس ان على N

447
00:49:09,110 --> 00:49:19,190
لكل N في N ال sequence هذه تنتمي إلى A اللي هو R

448
00:49:19,190 --> 00:49:21,890
بعد الصفر

449
00:49:26,050 --> 00:49:29,530
موجودة في المجال تبع الدالة المجال تبع الدالة دي

450
00:49:29,530 --> 00:49:37,570
كل الأعداد اللي حصلت فيها معدد R صح؟ وعندي و ال

451
00:49:37,570 --> 00:49:44,610
limit و ال limit ل XM as M tends to infinity بساوى

452
00:49:44,610 --> 00:49:50,150
و ال limitلسالب واحد أس ان على ان لما ان تقول

453
00:49:50,150 --> 00:49:55,110
infinity ال limit لل sequence دي ايش بيساوي بيساوي

454
00:49:55,110 --> 00:50:03,470
صفر by squeeze theorem او

455
00:50:03,470 --> 00:50:08,050
by sandwich theorem but

456
00:50:08,050 --> 00:50:15,650
لكن تعالوا نشوف ال limitلـ f of xn as n tends to

457
00:50:15,650 --> 00:50:19,810
infinity شو بيساوي؟ بيساوي الـ limit as n tends to

458
00:50:19,810 --> 00:50:25,750
infinity احنا عندي الـ xn هنا بيستويش صفر وبالتالي

459
00:50:25,750 --> 00:50:30,250
الـ f of x تبعتي اللي هي الـ signum function فهذا

460
00:50:30,250 --> 00:50:34,050
بيساوي limit signum xn

461
00:50:36,620 --> 00:50:41,540
مظبوط و ال x in قلنا هنا بساويش 0 وبالتالي هذا

462
00:50:41,540 --> 00:50:47,000
عبارة عن limit as n tends to infinity ال signal ل

463
00:50:47,000 --> 00:50:55,420
x in بساوي x in على absolute x in فهذا

464
00:50:55,420 --> 00:51:02,210
بساوي ال limit as n tends to infinity لـ xn عبارة

465
00:51:02,210 --> 00:51:09,190
عن سالب واحد أس n على n على absolute xn absolute

466
00:51:09,190 --> 00:51:16,530
xn بساوي واحد على n أصحبت؟ الآن نجسم ونبسط ال limit

467
00:51:16,530 --> 00:51:23,750
as n tends to infinity بطلع سالب واحد أس n وال

468
00:51:23,750 --> 00:51:27,210
sequence هذه ال limit تبعتها أثبتنا قبل هيك

469
00:51:28,730 --> 00:51:33,410
بطريقتين على الأقل أن ال limit هذه does not exist

470
00:51:33,410 --> 00:51:44,830
does not exist وبالتالي إذا either by the

471
00:51:44,830 --> 00:51:47,630
divergence criterion

472
00:51:50,230 --> 00:51:54,070
هي أثبتت أن الـ use and sequence موجودة في المجال

473
00:51:54,070 --> 00:51:58,970
تبع الدالة معدى الصفر نهايتها صفر لكن نهاية صورتها

474
00:51:58,970 --> 00:52:03,270
does not exist إذا by ال band الثاني من ال

475
00:52:03,270 --> 00:52:11,590
divergence criterion ال limit لل

476
00:52:11,590 --> 00:52:17,490
signum function لما X تقول الصفر does not exist

477
00:52:17,490 --> 00:52:18,570
غير موجودة

478
00:52:20,890 --> 00:52:26,890
Okay تمام واضح واضح البرهان في أي استفسار في أي

479
00:52:26,890 --> 00:52:34,470
سؤال Okay

480
00:52:34,470 --> 00:52:39,470
نوقف هنا وإن شاء الله بنكمل المرة الجاية في بعض

481
00:52:39,470 --> 00:52:45,290
مثالين الموجودة في الكتاب حاولوا تقرؤهم أو مثال

482
00:52:46,220 --> 00:52:50,740
الشباب بالمثال هذا حاولوا تقرؤوا والمرة الجاية

483
00:52:50,740 --> 00:52:52,580
هنبدأ section جديد