السلام عليكم اليوم إن شاء الله هنكمل section أربعة
اللي عرفنا فيه ال limits و ال functions أخذنا
المرة الأولى التلاتة تعريف epsilon delta ل limit of
function وشوفنا أن هذا بكافة تعريف في neighborhood
definition ل limit of function على النقطة و بدنا
ناخد أمثلة كيف نستخدم تعريف epsilon delta في إثبات
أن ال limit لدالة معينة عن نقطة معينة بتساوي عدد
محدد، فخدنا بعض الأمثلة اليوم هنستمر، هنعطي مزيد من
الأمثلة و بندرس خواص ال limits لـ ال functions
فالمثال اللي وصلناه له رقم تلاتة عايزين نثبت إن ال
limit لدالة x تربيع لما x تقول لـ c بساوي c
تربيع فـ solution
ناخد f of x بالساوي x تربيع هيفرض x ينتمي الى r
واحنا
عايزين من الآخر نثبت إن ال absolute value لـ f of x
ناقص c تربيع أصغر من أي given epsilon عدد موجب
عندما الـ x تكون قريبة من النقطة c أو تقع في جوار
delta معينة للعدد c طيب هذا عبارة عن Absolute x
تربيع ناقص c تربيع بتحلل إلى Absolute x ناقص c في
x زائد c
إذاً هذا عبارة عن absolute x زائد c في absolute x
ناقص c الآن
بدي أحاول أخلي هذا أصغر من أو يساوي عدد موجب بـ
فبحاول
آخذ فيه قيمة delta، لتكن delta بالساوي واحد
then أنا عندي absolute x زائد c هذا أصغر
من أو يساوي absolute x زائد absolute c في absolute x
ناقص c باستخدام ال triangle inequality، absolute x
زائد c أصلاً لو ساوي absolute x زائد absolute c الآن
absolute x بيساوي absolute x ناقص c زائد زائد
c ممكن أطرح من الـ x c وأرجعها، وباستخدام الـ
triangular equality هذا أصغر لو يساوي absolute x
زائد c زائد absolute c، فلو كان absolute x ناقص c
أصغر من delta اللي هي بيساوي واحد، إذا كان خلّينا
ناخد delta بيساوي واحد، إذا كان absolute x ناقص c
أصغر من delta اللي أنا ماخدها واحد، فهذا بيطلع أصغر
من واحد زائد absolute c وبالتالي
absolute x تربيع ناقص c تربيع بيطلع أصغر من absolute
x اللي هي واحد زائد
اتنين في absolute c في absolute x ناقص c
كمان مرة، احنا توصلنا إلى إن ال absolute value
للفرق هذا أصغر من أو يساوي absolute x زائد absolute
c في absolute x ناقص c، أخدنا delta بالساوي واحد
وقلنا لو كان absolute x ناقص c أصغر من delta اللي
هي واحد بتطلع absolute x أصغر من واحد زائد absolute
c وبالتالي absolute الفرق هذا هي أصغر من أو يساوي
absolute x هي أصغر من واحد زائد absolute c وانتي
absolute c فأصغر من واحد زائد اتنين فـ absolute c ضرب
absolute x ناقص c، الآن بدي أخلي هذا أصغر من
epsilon، هذا بدي أخليه أصغر من epsilon لما
يكون هذا أصغر من delta
فباخد إذا لما يكون هذا أصغر من delta فهذا بصير أصغر
من واحد زائد اتنين absolute c في delta لما يكون ال
absolute value لـ x ناقص c أصغر من delta فهذا بيطلع
أصغر من واحد زائد اتنين في absolute c في delta الآن
متى بيكون هذا أصغر من epsilon؟ لما delta إذا كانت delta
هذه أصغر من أو يساوي epsilon على واحد زائد اتنين
في absolute of c، إذا هاي قيمة تانية لـ delta، هاي
ندي delta بيساوي واحد و delta أصغر من أو يساوي
epsilon على واحد زائد اتنين في absolute of c، إذا
باجي بقول let epsilon أكبر من الصفر be given a
choose delta بيساوي ال minimum الأصغر بين القيمتين
واحد و epsilon على واحد زائد اتنين في absolute c، ال
delta هذه الآن عدد موجب ويعتمد على epsilon، إذا لهذه
الـ delta لو كان x ينتمي لـ r اللي هو مجال الدالة و
absolute x ناقص c أكبر من صفر أصغر من delta فهذا
بيؤدي طبعاً الـ delta هذه هي الأصغر من العددين هذوله
وبالتالي أصغر من أو يساوي واحد وأصغر من أو يساوي
كسر هذا، فالـ delta أكيد أصغر من أو يساوي الواحد،
لما الـ delta أصغر من أو يساوي الواحد، هذا بيقدر
أن absolute x
أصغر من واحد زائد absolute c وكمان هذا بيؤدي إنه
absolute x تربيع ناقص c تربيع أصغر من أو يساوي
absolute x زائد absolute c، absolute
x ناقص c وبالتالي هذا أصغر من أو يساوي واحد زائد
اتنين absolute c وهذا أصغر من delta و
الآن الـ delta هذه طبعاً
هذا أصغر من delta والـ delta قلنا أصغر منها و
يساوي epsilon، هاي واحد زائد اتنين
بشكل صحيح، بما أن epsilon أكبر من الصفر was
arbitrary
إذاً هيك بنكون أثباتنا، لكل epsilon أكبر من الصفر
يوجد delta تعتمد على epsilon عدد موجب، ب half لكل x
المسافة مختلفة عن الـ c والمسافة بينها وبين الـ c
أصغر من delta بتطلع المسافة بين f of x و c تربيع
أصغر من epsilon، إذاً we have By definition إن ال
limit لـ x تربيع لما x تقول إلى c بيساوي c تربيع وهو
المطلوب، okay؟ إذن هذا هو برهان إن ال limit للدالة
التربيعية عن c بيساوي c تربيع، استخدمنا تعريف epsilon
delta وشوفنا إن delta هنا لازم تكون الأصغر من
القيمتين اللي هو الواحد والكسر اللي هناك، هي أي
سؤال، خلينا ناخد كمان مثال مشابه لهذا وفيه
الـ delta برضه بتساوي ال minimum لكمتين
المثال رقم أربعة، show أنه ال limit لواحد على x
لما x تقول إلى zero، لأ
ال limit لواحد على x لما x تقول إلى أي عدد c بيساوي
واحد على c حيث c أكبر من 0، فهنا
بناخد ال function تبعتي الدالة اللي بتحدد ال
limit هي عبارة عن f of x بيساوي واحد على x حيث x
موجبة، إذا المجال تبع الدالة هذه الفترة المفتوحة من
صفر إلى ما لا نهاية، و c عدد موجب، طيب أنا عايز
أثبت إن absolute f of x ناقص واحد على c بدي هذا
يكون أصغر من أي given epsilon عندما x تكون قريبة
من ال c أو في جوار delta لل c فهذا طبعاً إيش بيساوي، هي
absolute واحد على x ناقص واحد على c وهذا بيساوي
absolute c ناقص x على x في c وهذا بيساوي واحد على
x في c ضرب absolute x ناقص c
الآن بدي أحاول أجيب upper bound عدد
موجب بـ m بحيث الـ 1 على x في c يكون أصغر من أو يساوي
الـ m تعالوا نشوف كيف نجيب ال upper bound هذا أو ال
bound، أنا عندي الـ take الأول، take أنا عندي الـ c عدد
موجب، take delta بيساوي c على اتنين هذا عدد موجب
then
absolute x ناقص c أصغر من delta اللي هو بيساوي c ع
2 بيؤدي إن x أصغر من تلاتة c ع 2 أكبر من c ع 2
وهذا بيؤدي إن واحد على x في c أصغر من اتنين على c
تربيع
الـ x أكبر من c على 2، إذا مقلوب الـ x أصغر من 2 على
c، مقلوب الـ x وأضربها في 1 على c بيطلع أصغر من 2
على c تربيع وبالتالي
هذا العدد هذا هو الـ m عدد
موجب إذاً
في الحالة هذه، في الحالة
هذه بصير عندي هذا أصغر من اتنين على c تربيع وطبعاً
هذا أصغر من delta، absolute x ناقص c طبعاً بيكون
أصغر من delta الآن عشان يكون هذا أصغر من أو يساوي
epsilon فنختار choose الـ delta أصغر من أو يساوي حل
المتباينة هذه في الـ delta فالـ delta ستصبح أصغر
من أو يساوي c تربيع على 2 epsilon فهي قيمة تانية لـ
delta فبأخد الـ delta ال minimum للقيمة الأولى
والقيمة التانية، هذا هيخلي إنه لكل x المسافة بين أو
بين c أصغر من delta هتخلي المسافة بين f of x و واحد
على c أصغر من ال given epsilon، نكتب الكلام هذا، let
epsilon be given، choose delta بالساوي ال minimum
نختار
delta ال minimum للعدد الموجب بـ c ع 2، والعدد
التاني ده هو c تربيع ع 2 في epsilon طبعاً هذا عدد
أكيد عدد موجب لأن هذا موجب وهذا موجب والأصغر بينهم
هييطلع موجب واتنين بيعتمدوا على epsilon، إذن delta
عدد موجب بيعتمد على epsilon، إذا لأي epsilon أكبر
من سفر هين أثبتت يوجد delta تعتمد على epsilon عدد
موجب بحيث أنه لكل x ينتمي إلى المجال هنا اللي هو
الفترة المفتوحة من سفر إلى دالة نهاية و absolute x
minus c أكبر من سفر أصغر من ال delta هذا بيقود إلى أن
ال delta هذه أصغر من أو يساوي c ع 2 فلما ال delta
تكون أصغر من أو يساوي c ع 2 هذا بيقود إلى أنه واحد على
واحد
على x في c أصغر من اثنين على c تربيع وهذا بدوره
يقدم absolute واحد على x minus واحد على c يساوي
واحد على x في c في absolute x minus c أصغر من
اثنين على c تربيع في delta و ال delta هذه الآن أصغر
من أو يساوي ال delta هذه هي ال delta اللي فوق
أصغر من أو يساوي العدد هذا أيه والعدد الثاني لأنها
الأصغر بين اثنين لأن هي اثنين على c تربيع ضرب c
تربيع اثنين في epsilon هذا يروح مع هذا مخلوق بعض
يظل عندي epsilon since
Y أكبر من سفر was arbitrary إذا أنا لكل Y أكبر
من سفر جبت Delta تعتمد على Y بحيث لكل X مختلفة
عن ال C المسافة بينها وبين ال C أصغر من Delta كل
المسافة بين F of X و 1 على C أصغر من Y إذا by
definition
by definition of limit يطلع عندي ال limit لل
function واحد على X لما X تقول إلى C يساوي واحد
على C وهو المطلوب
واضح في أي سؤال؟ في كمان مثال آخر زي هدف الكتاب،
هسيبكم تقرؤوه لأن الفكرة شبيهة بالفكرة في المثال
الأخير وبالتالي ما فيش إشي جديد ننتقل إلى دراسة
ال sequential criterion هي حاجة اسمها sequential
criterion حاجة .. حاجة بتكافئ التعريف sequential
criterion
العبارات التالية متكافئة Limit f of x as x tends to
c يساوي عدد L بحيث عدد حقيقي اثنين for every
for every sequence xn contained in A حدودها
مختلفة عن ال C such that limit xn يساوي C we
have limit ال image لسيكوينس xn as n tends to
infinity يساوي العدد L
إن ال sequential criterion هذه بتقول إن عشان أثبت
إن ال limit لل function f and x يساوي c يساوي
العدد L هدا بكافة إن أنا أثبت إنه لو أخدت أي
sequence نهايتها C فلازم يكون نهاية صورتها يساوي
العدد L لو قدرت أعمل هذا في الكلام فبقى هذا بيكافئ
أن نقول إن ال limit ل f of x يعني ال x يساوي
c يساوي العدد ال .. نثبت النظرية هذه تروف one
implies two assume one
i.e
ال limit ل F of X لما X تقول ل C يساوي العدد L
عايزين
نثبت عشان
نثبت اثنين عشان نثبت اثنين صحيح to
prove two holds
to prove two holds let
Xn be a sequence in A حدودها مختلفة عن ال C such
that limit Xn يساوي C we claim
أن ال limit ل f of x ل f of xn لما
n تقول ل infinity دي يساوي L لبرهان ذلك let epsilon
أكبر
من صفر be given
since xnxnxn
بما أننا فرضنا limit f of x لما x تقول ل c يساوي
L من تعريف epsilon دلتا لل limit إذا يوجد دلتا
تعتمد على epsilon عدد موجب بحيث أنه لكل x ينتمي
إلى a و absolute x minus c أكبر من صفر أصغر من دلتا
epsilon دلتا للنهايات نسمي
ال implication هذه star
and the limit xn يساوي c احنا فرضنا ان في انديو
سيكوينس xn ونهايتها c then
for the above دلتا الموجبة يوجد دلتا موجبة أخذت دلتا
هذه الموجبة وطبقت تعريف epsilon capital N ل limit of
sequence فبما أن ال sequence هذه نهايتها C إذا لأي
دلتا أو epsilon عدد موجب there exists capital N
يعتمد على ال Delta طبعا ال Delta تعتمد على
epsilon إذا ال N هذه يعتمد على epsilon عدد طبيعي،
بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي capital N، تطلع
عندي absolute X N minus C أصغر من Delta، نسمي ال
implication هذه double star
now star and double star بيؤدوا إلى ما يلي لو كان
n أكبر من أو يساوي capital N هذا بيقود إلى أن absolute
Xn
minus C أصغر من Delta هذا باستخدام double star صح؟
لو كانت n أكبر من أو يساوي capital N فبيطلع absolute
xn minus c أصغر من delta و من ال star لو كان عندي
xn طبعا xn هذا موجود في a ال xn موجود في a مختلف
عن ال c
فلو كان absolute of xn minus c badly except xn
أصغر من delta فحسب ال star هذا بقدر absolute of f
of xn minus L أصغر من epsilon الآن بما أن هذا صحيح
بما أن since epsilon أكبر من صفر was arbitrary
إن إحنا أثبتنا هيك لكل epsilon يوجد
capital N يعتمد على epsilon عدد طبيعي لكل n أكبر من
أو يساوي capital N absolute f of xn minus L أصغر من
epsilon إذا by epsilon capital N definition لل limit
of sequence بيطلع عندي limit ل sequence
f of xn as n tends to infinity يساوي L وبالتالي
هيك بيكون إذا two holds هكذا أثبتنا أن واحد يؤدي
إلى اثنين اثنين
بيقول for every sequence فهي اللي أخدت arbitrary
sequence في a minus c وبشرط بحيث أن ال sequence هي
اللي نهايتها c
و أثبتنا أن ال limit لل image لل sequence يساوي L
هذا بالظبط اللي هو العبارة اثنين لأن هيك يكون
أثبتنا واحد بيقود إلى اثنين واضح مفهوم اللي هو نثبت
العكس نثبت أن اثنين بيقود لواحد
بالنسبة للعبارة اثنين بتقود إلى العبارة واحد فالاثنان
ذالف بالمناسبة الأخوات اللي قاعدات ورا دولة إيش
بتعملوا أنتو؟ معليش أوقف تصوير إيش مجاعتكم أنتو
أنا أول حاجة و ثاني حاجة؟ إيش بتتكلمون؟ دكتور معك
لأ لأ لما هم بتتكلم عامليننا أزعاج لأ باحكوا إذا
انتو بتتكلموا لأ باحكي على اندر ده ليش مصورة إن
الوضع هو وضع نفسه لأ بنتكلميش لأ باحكي عن البرادة
اللي ورا دولة في بنات بتتكلموا، أنتو اللي ورا
بتتكلموا ولا في ناس غيرك؟ في حد بتتكلم و أنا بشرح
تتكلم و هذا عمللي أزعاج كثير، فلو سمحتوا إذا أنتو
قاعدين تتكلموا ورا اطلعوا في حديقة اتكلموا فيها،
حتى لو باسم المحاضرة ممنوع تتكلموا، شوية أزعاج هو
مين اللي بتتكلم؟ إذا أنت اللي بتتكلم من قعدته
وراك بتتكلم ما تتكلمش لأن غير ترفع يدك، ارفع يدك و
تقعد لسانك، ما تتكلمي مع الجنب بدون اسم، لأن هذا
عندنا قاعدة في المحاضرة، ممنوع حد يتكلم مع الجنب و
تتحدث مع حد شخص آخر إلا إذا عندك سؤال، ترفع يدك،
تستنى لما أقول من عنده سؤال من عنده حاجة صار، ترفع
يدك و بجاوب كانك ما بتقدر أنت تعمليني قصة مع اللغة،
قوم أنت .. أنت .. قوم يقعد في مطعم، يبقوا عالم،
فلو سرحت أنك تتكلم مش مع بعض، هانديك السفسة
ممنوع حد يتكلم مع الجنب في المحاضرة، أنا بعمل
إزعاج، بدك أنت في السفسار، عندك أي إيش أنا بواجب،
بقول من عنده سؤال، من عنده حاجة، يتفضل يسأل
ساعتها، بس لا تتكلم وأنا ضايق طرابك،
يقولنا الكلام قدر مئة مرة في المحاضرة، ممنوع
الكلام الجامل
تفضل يا أبو حمزة إذا
الآن بدنا نكمل البرنامج بإثبات الاثنين بيقود لواحد
الإثبات الاثنين بيقود لواحد بدنا نثبت we prove ال
contrapositive we prove not واحد implies not two
هذا هو ال contrapositive للعبارة لل implication
هذه فإذا assume .. assume not واحد ف not واحد معناه
ال limit ل F of X لما X تقول ل C لا تساوي L
this means هذا يعني
الآن نرجع لتعريف ال limit أو ال function شفنا
المرة السادسة في تعريفين في epsilon delta
definition و في neighborhood definition ال
neighborhood definition بيقول إذا كان عشان تكون
limit لـ f of x من x أو لـ c بالساوي عدد L هذا
بيكافئ أنه لكل epsilon neighborhood لـ L يوجد delta
neighborhood للـ C بحيث لكل x في ال delta
neighborhood صورته لازم تطلع في الـ epsilon
neighborhood الآن أن في الكلام هذا ما معنى أن ال
limit of x at c بيستويش لعدد L معناه بدل لكل epsilon
neighborhood لـ L there exists there exists epsilon
zero neighborhood of L بسميه
V epsilon zero neighborhood لـ L بحيث أنه لكل
Delta neighborhood V Delta أو C يوجد X يعتمد على
Delta ينتمي إلى A ومختلف عن الـ C وموجود في الـ
Delta neighborhood بحيث
أن صورة الـ X Delta
لا تنتمي للإبسلون zero neighborhood لـ LL طيب
لو أخذنا take لكل N في N take delta بساوي واحد على
N then
there exists
دلتا تعتمد على n دلتا تعتمد على n دلتا تعتمد على n
دلتا
تعتمد
على
و بحيث أن F لـ Xm لا ينتمي لإبسلون Zero
neighborhood لـ L طب ما هذا الأخير معناه أو بيقدّي
this implies هذا بيقدّي نكون أثبتنا أن لكل n يوجد
xn في a إذا يوجد sequence xn موجودة في ال set A
حدودها مختلفة عن ال C كل ال xn مختلفة عن ال C
وموجودة في v1 على n of c بحيث أن f ل xn لا تنتمي ل
v epsilon zero ل n لكل n هذا معناه أن يوجد
sequence xn contained in a minus c بحيث أن لاحظوا
الـ sequence Xn تنتمي لـ V 1 على N of C اللي هو
عبارة عن الفترة C سالب واحد على N C موجب واحد على
N لكل N هذا معناه أن absolute Xn minus C أصغر من
واحد على N أصغر
من واحد على N لكل N في N and
F of Xn لا تنتمي للـY0 neighborhood الـY0
neighborhood هذا عبارة عن الفترة المفتوحة L minus
Y0 L زائد Y0 فF of Xn لا تنتمي للفترة المفتوحة هذه
معناه absolute المسافة بين F of Xn وL أكبر من أو
ساوي Y0 لكل N
هذا الكلام معناه أن
يوجد sequence x in موجودة في a حدودها مختلفة عن ال
c وهذا الكلام معناه such that limit x in بساوي c
حسب نظرية 2.4.2
4.2 4.2 4.2 4.2
4.2 4.2 4.2 4.2 4
2.4.2 4.2 4.2 4.2 4.2
4.2 4.2 4.2 4.2 4
2.4.2 4.2 4.2 4
الـ limit لـ
sequence f of xn لما n تقول الـ infinity مش ممكن
تساوي العدد L لأن لو ال limit لـ f of xn بيساوي
العدد L، المفروض ال absolute value للفرق ده تكون
أصغر من أي epsilon zero لكل N من capital N و أنت
طالع، لكن هذا الكلام مش صحيح Okay إن هذا بالظبط
العبارة الأخيرة which which
is نفي العبارة 2 هذه
العبارة الأخيرة هي نفي العبارة 2 هذه العبارة
2 ال statement 2 بيقول لكل sequence بحيث أن
ال limit بتاعتها C، ال limit لل image بتاعتها
بالساولة L هنا اتوصلنا أن there exist بدل for all
there exists sequence نهايتها C لكن نهاية صورتها
لا تساول L إذا هيك بنكون أثبتنا أنه لا إذا we
proved not
not 1 implies not 2 therefore 2 implies 1
وهذا يكمل البرهان واضح؟ في أي سؤال؟ في أي استفسار؟
يبدو أننا كملنا برهان النظرية في أي استفسار؟
الآن من النظرية هذه ينتج مباشرة نظرية مهمة لتقل
عنها أهمية ويلها اسم divergence
criteria
لت if the function from A to R and see the cluster
point
of A then 1
الـ limit لـ f of x لما x تقول لـ c لا تساوي ال f
and only if there exists a sequence xm contained in
a حدودها مختلفة عن ال c such that limit xm بتساوي
c but limit f of x in لا تساوي n الكرتيريا
التانية اللي هي عشان
نقول limit f of x لما x تقولها c does not exist in
R هذا بكافئ أن هناك sequence Xn محتوى A حدودها
مختلفة عن C بحيث أن نهايتها بساوي
C ولكن نهاية صورتها لا
توجد في R
كمان النظرية هذه برهانها ينتج مباشرة من النظرية
اللي فوق مثلا هي عندي لإثبات ال band الأول عشان
أثبت limit f of x مستويش L and C
يعني كإني بقول نفي العبارة 1 هذا هو نفي العبارة
1 طب احنا لسه بثبتين ان 1 بكافي 2
وبالتالي نفي العبارة 1 بكافي نفي الـ 2 فنفي
الـ 2 هذا هو يوجد a sequence تتقارب لـ C لكن صورة
تلاتة تتقارب لـ L إذا برهان الجزء الأول نتيجة مباشرة
على مضارية ال form والجزء الثاني زيه بدل هنا عشان
أقول أن ال limit هذه does not exist يعني لو أخدت
أي عدد L فال limit هنا لا تساوي L معناه أنه في
sequence والكلام هذا ال limit هذه ما تسويش أي L أي
عدد حقيقي إذا النظرية هذه نتيجة مباشرة على النظرية
sequential criterion النظرية التي سبقتها الآن هذه
النظرية هنستخدمها في إثبات إن ال limit لدالة
معينة، عن نقطة معينة غير موجودة، فهي بعض الأمثلة
كيف
نستخدم ال divergence كتير، كيف نثبت ال divergence
أو عدم وجود limit لدالة معينة عن نقطة معينة، فمثلا
ناخد أول مثال show that limit لـ 1 على x لما x تقول
إلى صفر does not exist in R فلبرهان
ذلك let
f of x بساوي 1 على x وده أخد الـ x موجبة يعني
نعتبر أن ال domain للدالة هذه اللي هو الفترة A
بساوي الفترة مفتوحة من صفر لما لا نهاية و نثبت
أن الدالة هذه ما ليهاش limit عند الصفر أو عند الصفر
من اليمين فلإثبات أن ال limit للدالة هذه عند الصفر
ماهياش موجودة حسب ال divergence criteria يعني بدي
أثبت أن يوجد .. بدي أجيب sequence نهايتها صفر لكن
نهاية صورتها مش موجودة فال sequence إذا هنا
consider الـ sequence التي تفي بهذا الغرض اللي هي
xn بساوي واحد على n لكل n في n فواضح أنه limit
xn بساوي limit واحد على n بتساوي صفر وواضح أنه
xn contained in a اللي هي الفترة هذه معدى الصفر
صح؟ وعندي ال limit لل image لل sequence xn بساوي ال
limit لـ 1 على xn لما n تقوى ل infinity بساوي ال
limit لـ n لما n تقوى ل infinity بساوي infinity
وهذه طبعا ال infinity does not exist in R ليست عدد
حقيقي النهاية نجحت في إيجاد sequence موجودة في A
وحدودها مختلفة عن الصفر ونهايتها صفر لكن نهاية
صورتها مش موجودة في R وبالتالي therefore by
divergence criterion limit
لـ F of X أو 1 على X لما x س تقول إلى 0 does not
exist in R وفي حقيقة الأمر أثبتنا أن limit 1 على x
لما x س تقول إلى 0 من اليمين غير موجودة لأن أخذنا
المجال كل الأعداد الموجودة بالمثل ممكن إثبات أن
limit لـ 1 على x لما X تقول إلى صفر من اليسار does
not exist أن أنا أخد المرة هذه ال X هنا في الدالة
هذه ال domain تبعها الفترة من سالب ما له نهاية إلى
صفر وأقول أن ال X هنا أصغر من صفر ونفس البرهان
هيطلع عندي ال limit لما X تقول صفر من اليسار does
not exist وبالتالي ال limit عند ال X من الجهتين
does not exist تمام okay هذا مثال مثال ثاني واضح
فيه أي سفصار فيه أي سؤال
ناخد مثال ثاني show
that limit للـ signum function signum x لما x تقول
إلى صفر does not exist where حيث و ال signum
function where
where signum x هي عبارة عن function في x بنعرفها
على أنها واحد إذا كان x أكبر من صفر صفر إذا كان x
بساوى صفر سالب واحد إذا كان x أصغر من صفر وهي
الرسمة تبعتها
فالدالة لما x أكبر من صفر بيستوي ثابت واحد عند
الصفر بيستوي صفر و لما x أصغر من صفر بيستوي سالب
واحد طيب
note that لاحظوا أن الدالة هذه sigma of x بتساوي
x على absolute x fx
لا تساوي صفر إذا كان x بساوي صفر فدالة sigma بها
نفس x على absolute x نفس .. نفس الحاجة طيب الآن
إثبات أن ال limit لدالها عند صفر مش موجودة طبعا
في تفاضل ألف في برهان في تفاضل ألف بيقول أن هي
الدالة لما X تؤول إلى صفر من اليمين ال limit لها واحد
لما X تؤول إلى صفر من اليسار نهايتها سالب واحد ال limit
من اليمين ليستوي ال limit من اليسار إذا ال limit
لدالها عند صفر does not exist برهان accurate صحيح
مئة بالمئة ما في مشكلة لكن لو بدنا نعطي برهان
باستخدام ال divergence criterion فالبرهان هيكون
كالتالي consider
بدنا نجيب sequence xn
التي نهايتها مختلفة عن الصفر نهايتها صفر لكن نهايت
صورتها بساوي صفر ف consider ال sequence اللي هي Xn
الحد العام تبعها Xn بساوي سالب واحد أس ان على N
لكل N في N ال sequence هذه تنتمي إلى A اللي هو R
بعد الصفر
موجودة في المجال تبع الدالة المجال تبع الدالة دي
كل الأعداد اللي حصلت فيها معدد R صح؟ وعندي و ال
limit و ال limit ل XM as M tends to infinity بساوى
و ال limitلسالب واحد أس ان على ان لما ان تقول
infinity ال limit لل sequence دي ايش بيساوي بيساوي
صفر by squeeze theorem او
by sandwich theorem but
لكن تعالوا نشوف ال limitلـ f of xn as n tends to
infinity شو بيساوي؟ بيساوي الـ limit as n tends to
infinity احنا عندي الـ xn هنا بيستويش صفر وبالتالي
الـ f of x تبعتي اللي هي الـ signum function فهذا
بيساوي limit signum xn
مظبوط و ال x in قلنا هنا بساويش 0 وبالتالي هذا
عبارة عن limit as n tends to infinity ال signal ل
x in بساوي x in على absolute x in فهذا
بساوي ال limit as n tends to infinity لـ xn عبارة
عن سالب واحد أس n على n على absolute xn absolute
xn بساوي واحد على n أصحبت؟ الآن نجسم ونبسط ال limit
as n tends to infinity بطلع سالب واحد أس n وال
sequence هذه ال limit تبعتها أثبتنا قبل هيك
بطريقتين على الأقل أن ال limit هذه does not exist
does not exist وبالتالي إذا either by the
divergence criterion
هي أثبتت أن الـ use and sequence موجودة في المجال
تبع الدالة معدى الصفر نهايتها صفر لكن نهاية صورتها
does not exist إذا by ال band الثاني من ال
divergence criterion ال limit لل
signum function لما X تقول الصفر does not exist
غير موجودة
Okay تمام واضح واضح البرهان في أي استفسار في أي
سؤال Okay
نوقف هنا وإن شاء الله بنكمل المرة الجاية في بعض
مثالين الموجودة في الكتاب حاولوا تقرؤهم أو مثال
الشباب بالمثال هذا حاولوا تقرؤوا والمرة الجاية
هنبدأ section جديد