PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Kfhi1a_WpFk.srt

1
00:00:20,650 --> 00:00:26,490
طبعًا إحنا زي ما اتفقنا معاكم هنعمل

2
00:00:26,490 --> 00:00:36,030
مناقشة للـ course  و هنبدأ طبعًا بـ chapter  اتنين اللي 

3
00:00:36,030 --> 00:00:42,270
هو أول chapter درسناه و هنبدأ بـ section اتنين واحد

4
00:00:42,270 --> 00:00:46,270
و إذا في واجب طبعًا هنحاول نجاوب على أسئلة في

5
00:00:46,270 --> 00:00:47,190
section اتنين اتنين

6
00:00:50,880 --> 00:00:55,480
أطمئن عليكم أنه يعني طبعًا الأسئلة عددها كبير و مش 

7
00:00:55,480 --> 00:01:00,980
هنلحق نحل كل المسائل لكن أطمئن عليكم إنكم تسألوا

8
00:01:00,980 --> 00:01:06,020
الأسئلة اللي أنتو يعني وجدتوا فيها صعوبة في حالها

9
00:01:06,020 --> 00:01:10,000
حتى 

10
00:01:10,000 --> 00:01:17,240
تكون يعني الفائدة تعمق أكثر فنبدأ بـ section 2 1 هل

11
00:01:17,240 --> 00:01:23,860
في أي سؤال في section 2 1 حاولتوا تحلوه ما عرفتووش 

12
00:01:23,860 --> 00:01:33,540
تحلوه أو وجدته صعوبة في حاله ففي

13
00:01:33,540 --> 00:01:36,640
أي سؤال من الأسئلة اللي إحنا حددناها في الـ

14
00:01:36,640 --> 00:01:42,080
syllabus و قولنا لكم حلوها في أي سؤال في section 2

15
00:01:42,080 --> 00:01:49,810
و 1 تحبوا تسألوا عنه؟ أستاذ ممكن نسأل .. نشرح ..

16
00:01:49,810 --> 00:01:54,650
نشرح .. نظرية ما .. ما نثبتش .. مش عارف كيف نثبت

17
00:01:54,650 --> 00:02:02,090
ما هي عامة exercise اه إيش هي دي؟ X على Z زي Y على

18
00:02:02,090 --> 00:02:07,930
W يوم ساوي X Z زي Z Y على Z W كيف نستخدم .. كيف

19
00:02:07,930 --> 00:02:09,430
نبدأ فيها؟ مش عارف

20
00:02:17,430 --> 00:02:21,510
يعني الخواص اللي .. مش هادى خاصيه من الخواص اللي

21
00:02:21,510 --> 00:02:27,210
خدناها حاول تشوف يعني كيف إحنا برهنا الخواص الأخرى

22
00:02:27,210 --> 00:02:37,050
و تستفيدي منها و .. و تحاولي تبرهنها يعني ممكن

23
00:02:37,050 --> 00:02:41,310
كمان تبصي في الكتاب المقرر و تشوفي يعني هل هو حلها 

24
00:02:41,310 --> 00:02:47,940
أو محلهاش لكن أنا يعني الخواص اللي إحنا ما برهناهاش

25
00:02:47,940 --> 00:02:53,700
يعني .. يعني كان برهانها سهل و ممكن تتبرهنيها بنفس

26
00:02:53,700 --> 00:03:00,280
الأسلوب اللي إحنا برهنا فيه الخصائص الأخرى فخليني 

27
00:03:00,280 --> 00:03:03,900
أترك الإجابة على السؤال هذا إليكي تحاولي فيه مرة 

28
00:03:03,900 --> 00:03:08,360
ثانية و إذا ما عرفتيش ممكن تجيلي على المكتب و ممكن

29
00:03:08,360 --> 00:03:09,280
نتناقش

30
00:03:11,940 --> 00:03:16,180
يا ريت تسألوني أسئلة من التمرين من الـ exercises إذا

31
00:03:16,180 --> 00:03:26,140
سمحتوا، تفضلي السؤال الرابع في section السابع في

32
00:03:26,140 --> 00:03:30,360
section اتنين واحد، حاضر

33
00:03:39,140 --> 00:03:50,140
إذا حل السؤال سبعة section اتنين واحد modify

34
00:03:50,140 --> 00:03:53,360
the proof of theorem اتنين واحد أربعة في الكتاب

35
00:03:53,360 --> 00:03:59,200
المقرر to show that there

36
00:03:59,200 --> 00:04:05,640
does not exist لا يوجد there does not exist

37
00:04:08,790 --> 00:04:19,170
T ينتمي للـ Q بحيث أن T تربيع بساوي تلاتة بمعنى 

38
00:04:19,170 --> 00:04:23,770
آخر يعني الجذر التلاتة بنا نثبت أنه جذر التلاتة

39
00:04:23,770 --> 00:04:28,730
ليس عدد نسبي فالمفروض

40
00:04:28,730 --> 00:04:33,010
أنكم يعني تفهموا و تحاولوا تفهموا البرهان تبع

41
00:04:33,010 --> 00:04:37,810
إثبات أنه جذر اتنين ليس عدد نسبي وتحاولوا تعملوا

42
00:04:37,810 --> 00:04:45,910
برهان مشابه في أسلوب براهين للسؤال هذا فأحد البراهين

43
00:04:45,910 --> 00:04:52,590
شبه البرهان اللي أخدنا بتاع جذر الاتنين ليس عدد

44
00:04:52,590 --> 00:04:59,330
نسبي فخلينا نشوفه مع بعض خلينا نشوف إذن البرهان 

45
00:04:59,330 --> 00:05:04,810
prove طبعًا البرهان بالتناقض assume

46
00:05:07,480 --> 00:05:18,180
on contrary نفرض على النقيض there exist T بساوي A 

47
00:05:18,180 --> 00:05:29,420
على B عدد نسبي بحيث أنه الـ greatest common divisor

48
00:05:29,420 --> 00:05:34,760
للـ A والـ B بساوي واحد and

49
00:05:37,230 --> 00:05:43,970
T تربيع اللي هو بساوي A على B الكل تربيع بساوي 

50
00:05:43,970 --> 00:05:52,030
تلاتة إذا هذا النقيض أو النفي تبع يوجد عدد نسبي 

51
00:05:52,030 --> 00:06:00,050
مربعه بساوي تلاتة النفي تبعه يوجد عدد نسبي مربعه

52
00:06:00,050 --> 00:06:05,840
بساوي تلاتة وطبعًا ممكن نفرض إنه العدد النسبي الـ

53
00:06:05,840 --> 00:06:10,160
greatest common divisor للـ بسط والمقام تبعه بساوي 

54
00:06:10,160 --> 00:06:17,300
واحد زي ما عملنا في حالة الـ square root of two طيب

55
00:06:17,300 --> 00:06:22,740
then في الحالة هذه لو ربع .. لو هنا من المعادلة

56
00:06:22,740 --> 00:06:32,820
هذه بنحصل على A تربيع بساوي تلاتة B تربيع وهذا

57
00:06:32,820 --> 00:06:42,870
بيقودى إن الـ B تقسم A تربيع الـ

58
00:06:42,870 --> 00:06:48,170
B تقسم A تربيع أو A تربيع اللي هي تلاتة B تربيع 

59
00:06:48,170 --> 00:06:54,810
تقبل القسمة على B بدون باقي طيب

60
00:06:54,810 --> 00:07:03,250
الـ  و في الحالة هذه بقدر

61
00:07:04,790 --> 00:07:10,850
أفصل حالتين العدد بي هذا ممكن .. هذا طبعًا عدد .. 

62
00:07:10,850 --> 00:07:20,430
عدد صحيح ممكن يكون أكبر من الواحد و ممكن يكون 

63
00:07:20,430 --> 00:07:28,990
بساوي واحد فنفرض أن الـ بي أكبر من واحد then في 

64
00:07:28,990 --> 00:07:32,770
الحالة هذه بي can be written

65
00:07:37,720 --> 00:07:45,000
as product of

66
00:07:45,000 --> 00:07:49,640
primes الـ

67
00:07:49,640 --> 00:07:54,820
بيه ده عدد صحيح أكبر من واحد فممكن نكتبه على صورة

68
00:07:55,540 --> 00:08:01,280
حاصل ضرب أعداد أولية أي عدد صحيح أكبر من واحد ممكن

69
00:08:01,280 --> 00:08:06,180
كتابته على صورة حاصل ضرب أعداد أولية product of

70
00:08:06,180 --> 00:08:12,100
primes prime عدد أولي هذا حقيقة معروفة في نظرية

71
00:08:12,100 --> 00:08:17,020
الأعداد وبالتالي

72
00:08:17,020 --> 00:08:20,240
hence وبالتالي 

73
00:08:22,840 --> 00:08:33,180
يوجد a prime يوجد عدد أولي a prime P بحيث أن هذا

74
00:08:33,180 --> 00:08:39,120
الـ P يقسم الـ B يعني

75
00:08:39,120 --> 00:08:44,880
أنا الـ B هذا هي product of primes ممكن يكون بساوي

76
00:08:44,880 --> 00:08:50,840
P1 ضرب P2 ضرب PN

77
00:08:52,290 --> 00:08:59,710
حيث و P1 و P2 و PN كلهم Primes أعداد أولية فأكيد

78
00:08:59,710 --> 00:09:07,390
لو أخدت أي واحد منهم فهذا بيقسم بي أو بيقبل قسم

79
00:09:07,390 --> 00:09:16,530
عليه بس إذا يوجد يوجد Prime سمي P يقسم بي أو بيقبل

80
00:09:16,530 --> 00:09:20,710
قسم عليه فهذا

81
00:09:20,710 --> 00:09:33,050
بيؤدي هذا بيقودى أن P يقسم الـ A تربيع لأن أنا عندي P

82
00:09:33,050 --> 00:09:40,570
يقسم A تربيع و P يقسم B إذا

83
00:09:40,570 --> 00:09:51,030
الـ P هذا يقسم A تربيع okay تمام طيب و منها هذا 

84
00:09:51,030 --> 00:09:57,970
بيقودى أن P يقسم A إذا P يقسم A تربيع فممكن إثبات

85
00:09:57,970 --> 00:10:08,830
أن P يقسم العدد الصحيح A وهكذا أثبتنا الـ

86
00:10:08,830 --> 00:10:20,170
greatest common divisor لـ A وB أكبر من أو يساوي P و

87
00:10:20,170 --> 00:10:27,090
P هذا طبعًا أكبر من واحد لأن

88
00:10:27,090 --> 00:10:39,430
الـ P يقسم الـ A و P يقسم الـ B فمعناته

89
00:10:39,430 --> 00:10:46,350
في عامل مشترك في common divisor اللي هو P بين a و b

90
00:10:46,350 --> 00:10:50,050
لأن الـ greatest common divisor سيكون على الأقل p

91
00:10:50,050 --> 00:10:53,770
ويمكن أن يكون أكبر وبالتالي greatest common

92
00:10:53,770 --> 00:10:59,070
divisor ل a و b أكبر من واحد وهذا بتناقض مع فرضنا

93
00:10:59,070 --> 00:11:02,650
أن greatest common divisor ل a و b بساوي واحد

94
00:11:02,650 --> 00:11:07,850
which is

95
00:11:07,850 --> 00:11:08,870
a contradiction

96
00:11:15,680 --> 00:11:23,960
وهذا التناقض بيكمل البرهان يعني

97
00:11:23,960 --> 00:11:30,740
فرضنا هذا أنه في عدد نسبي مربعه بساوي تلاتة كان فرض

98
00:11:30,740 --> 00:11:36,780
خطأ الصح أنه لا يوجد عدد نسبي مربعه بساوي تلاتة Okay

99
00:11:36,780 --> 00:11:39,740
تمام إذا هذا برهان وفيه طبعًا براهين أخرى ممكن

100
00:11:39,740 --> 00:11:43,460
تلاقوها تجدوها في كتب الـ real analysis لكن هذا أحد

101
00:11:43,460 --> 00:11:52,580
البراهين تمام؟ مين عنده سؤال تاني؟ في أي سؤال 

102
00:11:52,580 --> 00:12:03,220
تاني؟ في section 2.1 أو 2.2؟

103
00:12:03,220 --> 00:12:04,680
نعم

104
00:12:06,770 --> 00:12:10,590
لا نفس السؤال مش في أكثر من حالة ولا بس بأخذ الـ D

105
00:12:10,590 --> 00:12:15,390
أكثر من حالة؟ اه في كمان حالة صحيح الـ case الثانية

106
00:12:15,390 --> 00:12:23,290
مظبوط الـ case الثانية خليني أكتبها هناك صحيح في

107
00:12:23,290 --> 00:12:24,030
حالة ثانية

108
00:12:42,990 --> 00:12:48,270
case اتنين الـ بي بيساوي واحد لو كانت الـ بي 

109
00:12:48,270 --> 00:12:55,330
بيساوي واحد فهذا بيقودى أنا عندي A تربيع من هنا

110
00:12:55,330 --> 00:13:00,270
في عندي A تربيع بيساوي تلاتة B تربيع فلو الـ بي

111
00:13:00,270 --> 00:13:08,730
بيساوي واحد معناه A تربيع تطلع بيساوي تلاتة و

112
00:13:08,730 --> 00:13:20,170
هذا يعني مستحيل which is impossible هذا

113
00:13:20,170 --> 00:13:28,690
مستحيل لأنه لأنه ما فيش عدد صحيح عدد صحيح مربعه

114
00:13:28,690 --> 00:13:34,130
بيساوي تلاتة since there does not exist integer

115
00:13:34,130 --> 00:13:36,950
integer

116
00:13:38,790 --> 00:13:46,690
a such that a تربيع بيساوي تلاتة إذا في الحالة هذه

117
00:13:46,690 --> 00:13:54,510
حصلنا على حاجة impossible يعني تناقض وهنا

118
00:13:54,510 --> 00:14:01,510
كمان حصلنا على تناقض أن الـ assumption تبعنا أنه

119
00:14:01,510 --> 00:14:06,550
يوجد عدد نسبي مربعه بساوي تلاتة كان فرض خاطئ وهذا

120
00:14:06,550 --> 00:14:08,090
بيكمل البرهان في الحالتين

121
00:14:10,890 --> 00:14:17,630
في أي سؤال تاني؟ في 

122
00:14:17,630 --> 00:14:25,890
أسئلة تانية في الـ section 2 1 أو 2 2 أنا

123
00:14:25,890 --> 00:14:30,190
كنت متوقع أن يكون عندكم أسئلة كتيرة واضح جدا إنكم

124
00:14:30,190 --> 00:14:35,150
أنتم ما حاولين تحلوا الأسئلة وبالتالي ما عندكمش

125
00:14:35,150 --> 00:14:38,550
يعني استفسارات

126
00:14:40,490 --> 00:14:42,690
طبعًا ستة و عشرين

127
00:15:13,320 --> 00:15:20,080
سؤال ستة و عشرين سكتشن اتنين واحد show

128
00:15:20,080 --> 00:15:28,560
by induction that

129
00:15:28,560 --> 00:15:36,860
لو

130
00:15:36,860 --> 00:15:46,900
كان A ينتمي لـ R و M و N أعداد طبيعية فهذا بيقودى أن

131
00:15:46,900 --> 00:15:52,480
A to M

132
00:15:52,480 --> 00:16:04,080
plus N بيساوي A to M في A to N نريد

133
00:16:04,080 --> 00:16:10,300
أن نثبت أن استخدام الـ induction إنه لأي عدد حقيقي A

134
00:16:10,300 --> 00:16:15,640
و لأي عدد طبيعي M و N A to M زائد N بيساوي A to M

135
00:16:15,640 --> 00:16:24,800
ضرب A to N هذا أحد قوانين الأسس فطبعًا

136
00:16:24,800 --> 00:16:29,420
هنعمل induction أو بيسموه double induction على M و

137
00:16:29,420 --> 00:16:32,860
N في نفس الوقت فالحالة الأولى

138
00:16:36,700 --> 00:16:40,780
فـ M بيساوي N بيساوي واحد لو كان الـ M والـ N كلها

139
00:16:40,780 --> 00:16:46,040
بيساوي واحد then

140
00:16:46,040 --> 00:16:56,900
a to m زي الـ N بيساوي a to واحد زي الواحد بيساوي a 

141
00:16:56,900 --> 00:17:06,340
A to M ضرب A to N يساوي A to 1 ضرب A to 

142
00:17:06,340 --> 00:17:13,780
1 يساوي A تلبي  وبالتالي الطرفين المعادلة هذه

143
00:17:13,780 --> 00:17:21,200
متحققة لأن الطرفين يساوي نفس المقدار A تلبي 

144
00:17:21,200 --> 00:17:26,300
إذا إذا 

145
00:17:26,300 --> 00:17:27,680
star holds

146
00:17:30,970 --> 00:17:39,310
in case M يساوي M يساوي 1 المعادلة star متحققة في

147
00:17:39,310 --> 00:17:43,610
حالة M يساوي M يساوي 1 الآن ال induction

148
00:17:43,610 --> 00:17:48,370
hypothesis ان هذا induction عادي بس يعني بدل من

149
00:17:48,370 --> 00:17:53,530
قيام على M يكون على M و M ال induction hypothesis

150
00:17:53,530 --> 00:17:59,270
الفرض تبع ال induction بنفرض assume

151
00:18:03,340 --> 00:18:09,860
assume star holds المعادلة

152
00:18:09,860 --> 00:18:18,760
star صحيحة for m يساوي k أكبر من واحد and n يساوي

153
00:18:18,760 --> 00:18:28,940
j أكبر من واحد this

154
00:18:28,940 --> 00:18:42,170
means هذا معناه ان a to k plus j يساوي a to k ضرب a

155
00:18:42,170 --> 00:18:48,710
to j إذا احنا فرضنا صحة المعادلة هذه عندما m يساوي

156
00:18:48,710 --> 00:18:57,560
k و عندما n يساوي j الآن نريد اثبات صحتها عندما M

157
00:18:57,560 --> 00:19:01,440
يساوي K زائد واحد وعندما N يساوي G زائد واحد

158
00:19:01,440 --> 00:19:08,840
تعال نثبت صحتها في الحالة يعني إذا now A نأخذ A

159
00:19:08,840 --> 00:19:16,320
to K زائد واحد زائد G زائد واحد

160
00:19:20,610 --> 00:19:25,150
ان نتبع صحة المعادلة star عندما M يساوي K زائد

161
00:19:25,150 --> 00:19:29,370
واحد و N يساوي G زائد واحد في الحالة هذه الطرف

162
00:19:29,370 --> 00:19:37,310
اليسار لـ star يساوي الكلام هذا وهذا ممكن نجزئه إلى A

163
00:19:37,310 --> 00:19:49,290
to K زائد G زائد واحد زائد واحد الأُس هذا ممكن نقعد

164
00:19:49,290 --> 00:19:53,450
الكتابة على صورة ك زائد جي زائد واحد مع بعض زائد

165
00:19:53,450 --> 00:20:01,550
واحد وهذا يساوي a to ك زائد جي زائد واحد ضرب a

166
00:20:01,550 --> 00:20:06,090
إذن

167
00:20:06,090 --> 00:20:13,630
a أُس الكلام هذا ضرب a أُس واحد صح؟ وهذا يساوي

168
00:20:15,990 --> 00:20:20,710
A أُس K زائد J زائد واحد عبارة عن A أُس K زائد J

169
00:20:20,710 --> 00:20:30,370
ضرب A إذن الجزء هذا A أُس K زائد J زائد واحد عبارة

170
00:20:30,370 --> 00:20:34,850
عن A أُس K زائد J ضرب A وفي أندم الأول ضرب A

171
00:20:34,850 --> 00:20:39,410
باستخدام

172
00:20:39,410 --> 00:20:44,690
ال induction hypothesis الفرض طبع ال induction احنا

173
00:20:44,690 --> 00:20:52,950
فرضنا ان a to k زي j يساوي a to k ضرب a ضرب a to j

174
00:20:52,950 --> 00:21:03,390
وفي عندي من الأول a في a إذا

175
00:21:03,390 --> 00:21:06,910
هذا

176
00:21:06,910 --> 00:21:15,050
يساوي a to k ضرب a مع بعض ممكن أخدهم مع بعض ضرب a

177
00:21:15,050 --> 00:21:22,670
to j في a مع بعض لأن هنا استخدمنا ال fact ان عملية

178
00:21:22,670 --> 00:21:30,430
ضرب الأعداد الحقيقية associative الآن a to k ضرب a

179
00:21:30,430 --> 00:21:38,650
يساوي a to k زائد واحد و a to j ضرب a يساوي a to j

180
00:21:38,650 --> 00:21:48,390
زائد واحد وهذا هو المطلوب إذاً هذا يثبت إذاً

181
00:21:48,390 --> 00:21:54,090
هنا أثبتنا صحة ال star هاي الطرف الشمال لـ star

182
00:21:54,090 --> 00:22:00,110
عندما M يساوي K زائد واحد و M يساوي K زائد واحد و

183
00:22:00,110 --> 00:22:04,010
هذا هو الطرف اليمين لـ star عندما M يساوي K زائد

184
00:22:04,010 --> 00:22:09,430
واحد و M يساوي G زائد واحد إذاً star holds

185
00:22:12,700 --> 00:22:27,220
N يساوي ك زائد واحد and N يساوي جي زائد واحد this

186
00:22:27,220 --> 00:22:32,620
completes the

187
00:22:32,620 --> 00:22:33,140
induction

188
00:22:38,010 --> 00:22:43,590
إن ان هذا يكمل البرهان by induction تمام واضح؟ في

189
00:22:43,590 --> 00:22:51,510
أي سؤال؟ مفهوم؟ في أسئلة ثانية؟ أي أسئلة ثانية؟

190
00:23:15,480 --> 00:23:20,400
سؤال 14؟ بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب

191
00:23:20,400 --> 00:23:21,980
example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس

192
00:23:21,980 --> 00:23:24,560
نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها

193
00:23:24,560 --> 00:23:25,020
بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا

194
00:23:25,020 --> 00:23:28,740
اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example

195
00:23:28,740 --> 00:23:29,260
لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب

196
00:23:29,260 --> 00:23:29,440
example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس

197
00:23:29,440 --> 00:23:29,680
نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها

198
00:23:29,680 --> 00:23:29,900
بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا

199
00:23:29,900 --> 00:23:33,360
اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example

200
00:23:33,360 --> 00:23:37,520
لنا

201
00:23:37,520 --> 00:23:37,620
اسمها

202
00:23:42,390 --> 00:23:45,070
الجزء الأول ولا الثاني؟ الأول

203
00:24:16,920 --> 00:24:25,800
إذا الجزء الأول مسألة 14 F zero

204
00:24:25,800 --> 00:24:36,560
less than or equal a less than b show أثبتي أنه a

205
00:24:36,560 --> 00:24:43,160
تربيع أصغر من أو يساوي a في b أصغر من b تربيع

206
00:25:01,170 --> 00:25:07,290
proof case واحد a يساوي واحد أنتو ان ال a أكبر من

207
00:25:07,290 --> 00:25:12,430
أو يساوي صفر فناخد الأول a يساوي صفر وبعدين a أكبر

208
00:25:12,430 --> 00:25:21,050
من صفر فلو كان a يساوي صفر هذا يودي أنه

209
00:25:21,050 --> 00:25:32,740
a تربيع اللي هي بتساوي صفر أصغر من أو يساوي A في B

210
00:25:32,740 --> 00:25:39,740
اللي هو صفر و

211
00:25:39,740 --> 00:25:44,180
طبعا ال B في الحالة هذه أكبر من A يعني أكبر من صفر

212
00:25:44,180 --> 00:25:47,760
لأن هذا أصغر من B

213
00:25:56,410 --> 00:26:01,650
و أصغر من B تربيع لأن

214
00:26:01,650 --> 00:26:12,050
هذا يساوي صفر و B تربيع و B أكبر من صفر B أكبر من

215
00:26:12,050 --> 00:26:17,190
A اللي هو يساوي صفر يعني B أكبر من صفر يعني B

216
00:26:17,190 --> 00:26:22,370
تربيع أكبر من صفر إذا المتباينة متحققة

217
00:26:27,190 --> 00:26:38,030
إذا المتباينة اللي احنا عايزين نثبتها نسميها

218
00:26:38,030 --> 00:26:48,770
star إذا star holds in this case الحالة

219
00:26:48,770 --> 00:27:01,890
الثانية أن a أكبر من صفر لو كانت a أكبر من صفر by

220
00:27:01,890 --> 00:27:08,270
hypothesis من الفرض أنا عندي الآن a أكبر من صفر

221
00:27:08,270 --> 00:27:13,230
أصغر من b فنضرب

222
00:27:13,230 --> 00:27:17,590
multiply multiply

223
00:27:17,590 --> 00:27:18,970
by

224
00:27:20,970 --> 00:27:28,150
أو multiply by صحيح by a أكبر من صفر لما أضرب

225
00:27:28,150 --> 00:27:32,450
متباينة في عدد موجب  بشريفتها طابقة زي ما هي فهذا

226
00:27:32,450 --> 00:27:40,710
يودي فهذا يودي أنه صفر في a بيطلع صفر أصغر

227
00:27:40,710 --> 00:27:47,550
من a تربيع أصغر من a في b وهذا اللي بدنا يعني

228
00:27:51,030 --> 00:28:02,650
لأ هذا .. هذا شيء كمان and then بعد هيك multiply

229
00:28:02,650 --> 00:28:08,890
.. multiply by

230
00:28:08,890 --> 00:28:14,730
B اللي هو أكبر من صفر أيضاً لإن ال B أكبر من A أكبر

231
00:28:14,730 --> 00:28:20,340
من صفر صح؟ فلو ضربنا المتباينة هذه في بي اللي هو

232
00:28:20,340 --> 00:28:25,980
عدد موجب برضه إشارتها هتبقى زي ما هي إذن هذا

233
00:28:25,980 --> 00:28:31,760
يودي لما أضرب المتباينة هذه في بي عدد موجب

234
00:28:31,760 --> 00:28:37,020
فهيطلع عند صفر أصغر من a في بي أصغر من b تربيع

235
00:28:37,020 --> 00:28:47,280
نسمي هذه 1 والمتباينة هذه 2 الآن 1 عندي

236
00:28:47,280 --> 00:28:51,760
2 يديان يعني

237
00:28:51,760 --> 00:29:00,540
عندي a تربيع أكبر من صفر أصغر من a بيه وعندي a بيه

238
00:29:00,540 --> 00:29:05,120
أصغر من b تربيع وهذه هي ال star

239
00:29:16,200 --> 00:29:22,040
إذا in both cases

240
00:29:22,040 --> 00:29:30,280
في الحالة الأولى والثانية we have أثبتنا أن a

241
00:29:30,280 --> 00:29:34,680
تربيع أصغر

242
00:29:34,680 --> 00:29:40,760
أو يساوي ab و

243
00:29:40,760 --> 00:29:47,120
ab في الحالتين أصغر من b تربيع كمان مرة في الحالة

244
00:29:47,120 --> 00:29:53,080
الأولى a تربيع أصغر من أو يساوي a b في الحالة

245
00:29:53,080 --> 00:29:58,020
الثانية a تربيع أصغر من a b إذا في الحالتين a

246
00:29:58,020 --> 00:30:02,420
تربيع أصغر من أو يساوي a b في الحالة الأولى a b

247
00:30:02,420 --> 00:30:05,680
أصغر من b تربيع وفي الحالة الثانية a b أصغر من b

248
00:30:05,680 --> 00:30:10,300
تربيع إذا في الحالتين a b أصغر من b تربيع و هذا

249
00:30:10,300 --> 00:30:13,820
اللي احنا عايزين نثبته تمام إذا هيك بتكون أثبتنا

250
00:30:13,820 --> 00:30:21,140
الجزء الأول من السؤال الجزء

251
00:30:21,140 --> 00:30:27,960
الثاني بيقول انه احنا ما نقدرش المتباينة هذه star

252
00:30:27,960 --> 00:30:38,500
نبدلها 
ال

253
00:30:38,500 --> 00:30:43,760
star can't be replaced

254
00:30:46,040 --> 00:30:53,660
replaced by a تربيع أصغر من a بيه أصغر من بي تربيع

255
00:30:53,660 --> 00:31:01,140
يعني هنا ال inequality هذه أصغر من أو يساوي ما نقدرش

256
00:31:01,140 --> 00:31:08,260
نبدلها بأصغر من strictly أصغر من فبنوضح ذلك بمثال

257
00:31:08,260 --> 00:31:15,280
فأخذنا a يساوي صفر و b أي عدد example

258
00:31:37,110 --> 00:31:39,170
زي ما عملنا في الحلقة الأولى

259
00:31:43,550 --> 00:31:50,550
فهيطلع عندي هذه مساوية وليست .. وليست أكبر من ..

260
00:31:50,550 --> 00:32:01,390
اه؟ okay في أسئلة ثانية؟ مين عند السؤال الثاني؟

261
00:32:01,390 --> 00:32:05,050
section اثنين اثنين؟ في أي أسئلة في section اثنين

262
00:32:05,050 --> 00:32:08,910
اثنين؟ section اثنين واحد اثنين اثنين

263
00:32:12,890 --> 00:32:21,830
في أسئلة كثيرة حلوة section

264
00:32:21,830 --> 00:32:37,450
1122 فينا مجموعة كبيرة من الأسئلة الناس

265
00:32:37,450 --> 00:32:39,270
بتدرس الناس بتحل مثال

266
00:32:42,490 --> 00:32:46,430
حليتوا كل المسائل؟ مش عندكم أسئلة؟ ال section

267
00:32:46,430 --> 00:32:56,890
اثنين واحد و اثنين اثنين؟

268
00:32:56,890 --> 00:33:03,850
ما لديها سؤال؟ السؤال اثنين في section اثنين

269
00:33:03,850 --> 00:33:10,710
اثنين حاضر اثنين اثنين اثنين نكتب النص تبع السؤال

270
00:33:14,400 --> 00:33:25,960
if a و b are real numbers show ifpty أنه

271
00:33:25,960 --> 00:33:35,160
absolute a زائد b يساوي absolute a زائد absolute b

272
00:33:35,160 --> 00:33:47,110
if and only if a في b أكبر من أو يساوي صفر هيك

273
00:33:47,110 --> 00:33:59,610
مكتوب طيب

274
00:33:59,610 --> 00:34:07,590
البرهان ال proof لاحظوا هذا if and only if

275
00:34:07,590 --> 00:34:11,730
statement فخلينا

276
00:34:11,730 --> 00:34:21,730
الأول نثبت ال claim الأول claim one للدعاء الأول أن

277
00:34:21,730 --> 00:34:28,350
a ضرب b أكبر من أو يساوي صفر if and only if

278
00:34:28,350 --> 00:34:36,290
absolute a ضرب b يساوي a في b

279
00:34:43,590 --> 00:34:47,970
هل هذا واضح هذا

280
00:34:47,970 --> 00:35:01,250
واضح من تعريف that this is clear by definition of 

281
00:35:01,250 --> 00:35:09,370
absolute value طيب

282
00:35:09,370 --> 00:35:10,490
الكلام الثاني

283
00:35:16,440 --> 00:35:24,700
الكلام الثاني absolute a plus absolute b الكل

284
00:35:24,700 --> 00:35:35,560
تربيع بساوي a زائد b الكل تربيع if

285
00:35:35,560 --> 00:35:43,500
and only if absolute a ضرب b بساوي a في b

286
00:35:49,120 --> 00:35:56,920
برهان للـ claim هذا ها لو أخدت absolute a زائد

287
00:35:56,920 --> 00:36:04,520
absolute b وربعت فهذا المفروض يساوي absolute a

288
00:36:04,520 --> 00:36:12,780
الكل تربيع زائد absolute b الكل تربيع زائد 2

289
00:36:12,780 --> 00:36:19,600
absolute a في absolute b وهذا بساوي absolute a

290
00:36:19,600 --> 00:36:26,080
الكل 

291
00:36:26,080 --> 00:36:33,480
تربيع زائد

292
00:36:33,480 --> 00:36:44,050
absolute b الكل تربيع زائد 2 absolute a ضرب bلأن

293
00:36:44,050 --> 00:36:54,670
absolute a ضرب absolute b بيطلع absolute a في b و

294
00:36:54,670 --> 00:36:59,210
absolute absolute

295
00:36:59,210 --> 00:37:06,850
a بساوي الجذر التربيعي ل a تربيع هذا

296
00:37:06,850 --> 00:37:18,950
بكافئ أن a أو absolute a الكل تربيع بيساوي a تربيع لو

297
00:37:18,950 --> 00:37:25,030
ربعت الطرفين فبطلع absolute a تربيع بيساوي a تربيع

298
00:37:25,030 --> 00:37:30,490
وبالتالي ممكن استبدل absolute a تربيع ممكن استبدل

299
00:37:30,490 --> 00:37:36,530
absolute a تربيع ب a تربيع و

300
00:37:36,530 --> 00:37:41,450
استبدل absolute b تربيع ب b تربيع

301
00:37:50,020 --> 00:37:57,000
الآن هذا بيساوي هذا بيساوي a تربيع زائد b تربيع

302
00:37:57,000 --> 00:38:06,460
زائد 2 a b if and only if if and only if

303
00:38:06,460 --> 00:38:10,940
absolute a b بساوي a في b

304
00:38:13,940 --> 00:38:17,600
هذا المقدار اللي فوق متى بيساوي a تربيع زائد b

305
00:38:17,600 --> 00:38:22,500
تربيع زائد 2 a ب  اذا absolute a b هو

306
00:38:22,500 --> 00:38:33,140
عبارة عن a في b صح؟ وهذا

307
00:38:33,140 --> 00:38:39,720
الأخير بيساوي يعني

308
00:38:39,720 --> 00:38:50,460
هذا السطر هذا هي تعال نشوف بقد ايه

309
00:38:50,460 --> 00:39:00,000
ان absolute a زائد absolute b الكل تربيع بساوي

310
00:39:03,190 --> 00:39:11,210
A زائد B الكل تربيع if and only if absolute A B

311
00:39:11,210 --> 00:39:27,050
بساوي A B absolute

312
00:39:27,050 --> 00:39:32,390
A B بساوي A B ومن claim واحد

313
00:39:36,690 --> 00:39:43,890
عمر ال claim واحد هذا بتحقق if and only if a ضرب b

314
00:39:43,890 --> 00:39:49,610
أكبر من أو يساوي 0 لأن هذا نتيجة أو بضم ال two

315
00:39:49,610 --> 00:39:54,070
claims مع بعض طيب

316
00:39:54,070 --> 00:39:58,290
لو أخذنا جذر التربيعي للطرفين فضي جذر التربيعي يعني

317
00:39:58,290 --> 00:40:02,290
take square root

318
00:40:05,210 --> 00:40:14,850
of both sides فهذا

319
00:40:14,850 --> 00:40:20,410
بيؤدي إلى أن absolute a زائد absolute b الجذر

320
00:40:20,410 --> 00:40:23,030
التربيعي هنا بعطيني ال absolute value ل a زائد

321
00:40:23,030 --> 00:40:28,570
absolute b وهنا بعطيني الجذر التربيعي الجذر

322
00:40:28,570 --> 00:40:31,370
التربيعي للعدد التربيعي بعطيني القيمة المطلقة

323
00:40:31,370 --> 00:40:32,010
تبعته

324
00:40:34,820 --> 00:40:41,180
هذا بتحقق if and only if a ضرب b أكبر من أو يساوي 0

325
00:40:41,180 --> 00:40:48,200
وهذا هو المطلوب وهذا هو المطلوب okay تمام فهذا هو

326
00:40:48,200 --> 00:40:53,140
المطلوب في

327
00:40:53,140 --> 00:40:58,220
أي أسئلة ثانية في

328
00:40:58,220 --> 00:41:01,700
عندكم أي سؤال ثاني section 2 أو section 1

329
00:41:07,070 --> 00:41:12,510
أن أسئلة كثيرة لو جئت بعدي وأنتم ما بتسألوش ومش

330
00:41:12,510 --> 00:41:17,650
هيكون في رجعة بعد هيك لأ أسأل أسئلتنا دي المرة الجاية

331
00:41:17,650 --> 00:41:21,830
هنأخذ مناقشة في section اثنين ثلاثة واثنين أربعة

332
00:41:21,830 --> 00:41:31,370
في أي أسئلة أفندم في أي section اثنين اثنين

333
00:41:37,770 --> 00:41:38,370
حاضر

334
00:42:02,930 --> 00:42:11,490
السؤال خمسة عشر سيكشن اثنين نيلو نشوف ايه هو السؤال

335
00:42:11,490 --> 00:42:25,670
show

336
00:42:25,670 --> 00:42:29,790
if a و b are real numbers

337
00:42:32,160 --> 00:42:38,560
و a لا يساوي b then

338
00:42:38,560 --> 00:42:49,100
there exist epsilon neighborhoods U

339
00:42:49,100 --> 00:43:09,390
of a and V of b such that U تقاطع V بساوي فاي إذن

340
00:43:09,390 --> 00:43:24,630
كمان مرة أنا 

341
00:43:24,630 --> 00:43:25,090
عندي

342
00:43:28,550 --> 00:43:35,990
A وB أعداد حقيقية و A لا يساوي B هذا معناه أن

343
00:43:35,990 --> 00:43:43,970
either A less than B ف

344
00:43:43,970 --> 00:43:52,310
assume نأخذ الحالة الأولى case one أن

345
00:43:52,310 --> 00:44:01,330
A أصغر من B إذا هي خط الأعداد هذا خط الأعداد وهذه a

346
00:44:01,330 --> 00:44:12,670
وهذه b و a أصغر من b بدي أثبت أنه في جوار ل a بعمق

347
00:44:12,670 --> 00:44:22,450
epsilon اسمه u وفي جوار ل b بعمق epsilon والجوارين

348
00:44:22,450 --> 00:44:26,170
هذول المبروهود سقطوهم بسوء في يعني منفصلين عن بعض

349
00:44:27,430 --> 00:44:35,570
فبكل بساطة بجيب المسافة من a و b و باخذ نصف المسافة

350
00:44:35,570 --> 00:44:43,670
يعني لأن هنا take epsilon

351
00:44:43,670 --> 00:44:48,770
بساوي

352
00:44:48,770 --> 00:44:54,270
نصف المسافة نصف ال b minus

353
00:44:57,480 --> 00:45:13,820
a أو نصف أو نصف المسافة بين A وB فهي

354
00:45:13,820 --> 00:45:15,920
نصف المسافة لو كونت فترة

355
00:45:23,000 --> 00:45:28,520
فهي منتصف المسافة هذه المسافة

356
00:45:28,520 --> 00:45:33,260
هذه منتصف المسافة سميها epsilon فهذه النقطة هتكون

357
00:45:33,260 --> 00:45:40,960
a زائد epsilon وهي نفس المسافة a ناقص epsilon وكون

358
00:45:40,960 --> 00:45:45,660
فترة مفتوحة وسمي

359
00:45:45,660 --> 00:45:48,960
الفترة المفتوحة هذه new

360
00:46:02,460 --> 00:46:07,900
فنسمي الفترة المفتوحة هذه U مركزها a و نصف قطرها epsilon

361
00:46:07,900 --> 00:46:16,200
و نكوّن فترة ثانية برضه مركزها B و نصف قطرها epsilon

362
00:46:16,200 --> 00:46:22,080
يعني هذه النقطة هتصير B زائد epsilon وهذه النقطة هتصير

363
00:46:25,910 --> 00:46:33,530
b زائد ابسلون و النقطة هذه ب ناقص ابسلون و نكون فترة

364
00:46:33,530 --> 00:46:39,970
مفتوحة تمام

365
00:46:39,970 --> 00:46:43,310
إذا

366
00:46:43,310 --> 00:46:50,890
أنا في U و نسمي الفترة المفتوحة هذه نسميها

367
00:46:50,890 --> 00:46:51,030
ب

368
00:46:57,180 --> 00:47:01,040
إذن هذا عبارة عن الـ U الفترة المفتوحة اذا هنا let

369
00:47:01,040 --> 00:47:14,300
take

370
00:47:14,300 --> 00:47:16,480
u

371
00:47:18,050 --> 00:47:26,410
by definition بتساوي a ناقص إبسلون و a زائد إبسلون

372
00:47:26,410 --> 00:47:40,810
و V بساوي B ناقص إبسلون B زائد إبسلون فواضح

373
00:47:40,810 --> 00:47:41,410
nearly

374
00:47:46,910 --> 00:47:58,030
Clearly U is an epsilon neighborhood of A and V is

375
00:47:58,030 --> 00:48:05,410
an epsilon neighborhood of B ومش هيكوا بس and ممكن

376
00:48:05,410 --> 00:48:09,370
إثبات أن U تقاطع B بساوي فاي

377
00:48:12,440 --> 00:48:21,120
يعني لو أخذنا هاي واضح هاي جوار هذا مافيش ولا نقطة

378
00:48:21,120 --> 00:48:27,940
فيه موجودة في الجوار الثاني هذه الفترة المفتوحة

379
00:48:27,940 --> 00:48:35,540
منفصلة عن الفترة المفتوحة يوم طبعا؟

380
00:48:39,190 --> 00:48:44,970
إن هذا الكلام يعني واضح أن هذا عبارة عن epsilon

381
00:48:44,970 --> 00:48:50,150
neighborhood ل a فترة مفتوحة مركزها a نصف قطرها

382
00:48:50,150 --> 00:48:53,590
epsilon هذا نسميه epsilon neighborhood ل a و V

383
00:48:53,590 --> 00:48:57,510
الفترة المفتوحة هذه ب ناقص epsilon و ب زائد

384
00:48:57,510 --> 00:49:04,310
epsilon برضه عبارة عن epsilon neighborhood ل B و

385
00:49:04,310 --> 00:49:09,900
اثنين حسب الرسم منفصلين و هذا ممكن إثباته باستخدام

386
00:49:09,900 --> 00:49:14,380
التناقض يعني افرض أنه في عنصر يعني التقاطع هذا لا

387
00:49:14,380 --> 00:49:19,900
يساوي فاي وبالتالي في عنصر موجود في U وموجود في V

388
00:49:19,900 --> 00:49:25,540
في أن و واحد واصلي إليه تناقض okay هذا ممكن إثباته

389
00:49:25,540 --> 00:49:34,280
بطريقة تحليلية طبعا في السؤال في الحل في حل السؤال

390
00:49:34,280 --> 00:49:41,370
هذا يقول مافيش عندنا حالتين الحالة الأولى a أصغر من b

391
00:49:41,370 --> 00:49:48,110
والحالة الثانية b أصغر من a وشوفنا هنا أخذنا

392
00:49:48,110 --> 00:49:51,230
الحالة اللي فيها a أصغر من b زي اللي هو النضال تحت

393
00:49:51,230 --> 00:49:57,090
الاسم هاي a أصغر من b و أثبتنا في الحالة هذه أن u

394
00:49:57,090 --> 00:50:00,070
جد epsilon neighborhood ل a

395
00:50:17,240 --> 00:50:24,820
باقي الحالة الثانية case 2 نثبت

396
00:50:24,820 --> 00:50:27,120
برضه المطلوب

397
00:50:33,160 --> 00:50:38,320
البرهان في الحلقة الثانية مماثل للبرهان اللي عملناه

398
00:50:38,320 --> 00:50:38,880
في الحلقة

399
00:50:50,040 --> 00:50:54,040
و هذا طبعا يكمل البرهان إذا الحالة الثانية اللي 

400
00:50:54,040 --> 00:50:58,120
فيها b أصغر من a بس نضع b هنا و a هنا ونفس

401
00:50:58,120 --> 00:51:05,440
العادة فتصير هذا الـb و هذا الـa و يعطينا نفس

402
00:51:05,440 --> 00:51:13,020
النتيجة إذن كون كملنا البرهان اللي هو التمرين

403
00:51:14,530 --> 00:51:17,970
وطبعا بعد ذلك إن شاء الله هنكمل حل التمارين لل

404
00:51:17,970 --> 00:51:20,870
سيكشن الخامس في نفس الموضوع