طبعًا إحنا زي ما اتفقنا معاكم هنعمل
مناقشة للـ course و هنبدأ طبعًا بـ chapter اتنين اللي
هو أول chapter درسناه و هنبدأ بـ section اتنين واحد
و إذا في واجب طبعًا هنحاول نجاوب على أسئلة في
section اتنين اتنين
أطمئن عليكم أنه يعني طبعًا الأسئلة عددها كبير و مش
هنلحق نحل كل المسائل لكن أطمئن عليكم إنكم تسألوا
الأسئلة اللي أنتو يعني وجدتوا فيها صعوبة في حالها
حتى
تكون يعني الفائدة تعمق أكثر فنبدأ بـ section 2 1 هل
في أي سؤال في section 2 1 حاولتوا تحلوه ما عرفتووش
تحلوه أو وجدته صعوبة في حاله ففي
أي سؤال من الأسئلة اللي إحنا حددناها في الـ
syllabus و قولنا لكم حلوها في أي سؤال في section 2
و 1 تحبوا تسألوا عنه؟ أستاذ ممكن نسأل .. نشرح ..
نشرح .. نظرية ما .. ما نثبتش .. مش عارف كيف نثبت
ما هي عامة exercise اه إيش هي دي؟ X على Z زي Y على
W يوم ساوي X Z زي Z Y على Z W كيف نستخدم .. كيف
نبدأ فيها؟ مش عارف
يعني الخواص اللي .. مش هادى خاصيه من الخواص اللي
خدناها حاول تشوف يعني كيف إحنا برهنا الخواص الأخرى
و تستفيدي منها و .. و تحاولي تبرهنها يعني ممكن
كمان تبصي في الكتاب المقرر و تشوفي يعني هل هو حلها
أو محلهاش لكن أنا يعني الخواص اللي إحنا ما برهناهاش
يعني .. يعني كان برهانها سهل و ممكن تتبرهنيها بنفس
الأسلوب اللي إحنا برهنا فيه الخصائص الأخرى فخليني
أترك الإجابة على السؤال هذا إليكي تحاولي فيه مرة
ثانية و إذا ما عرفتيش ممكن تجيلي على المكتب و ممكن
نتناقش
يا ريت تسألوني أسئلة من التمرين من الـ exercises إذا
سمحتوا، تفضلي السؤال الرابع في section السابع في
section اتنين واحد، حاضر
إذا حل السؤال سبعة section اتنين واحد modify
the proof of theorem اتنين واحد أربعة في الكتاب
المقرر to show that there
does not exist لا يوجد there does not exist
T ينتمي للـ Q بحيث أن T تربيع بساوي تلاتة بمعنى
آخر يعني الجذر التلاتة بنا نثبت أنه جذر التلاتة
ليس عدد نسبي فالمفروض
أنكم يعني تفهموا و تحاولوا تفهموا البرهان تبع
إثبات أنه جذر اتنين ليس عدد نسبي وتحاولوا تعملوا
برهان مشابه في أسلوب براهين للسؤال هذا فأحد البراهين
شبه البرهان اللي أخدنا بتاع جذر الاتنين ليس عدد
نسبي فخلينا نشوفه مع بعض خلينا نشوف إذن البرهان
prove طبعًا البرهان بالتناقض assume
on contrary نفرض على النقيض there exist T بساوي A
على B عدد نسبي بحيث أنه الـ greatest common divisor
للـ A والـ B بساوي واحد and
T تربيع اللي هو بساوي A على B الكل تربيع بساوي
تلاتة إذا هذا النقيض أو النفي تبع يوجد عدد نسبي
مربعه بساوي تلاتة النفي تبعه يوجد عدد نسبي مربعه
بساوي تلاتة وطبعًا ممكن نفرض إنه العدد النسبي الـ
greatest common divisor للـ بسط والمقام تبعه بساوي
واحد زي ما عملنا في حالة الـ square root of two طيب
then في الحالة هذه لو ربع .. لو هنا من المعادلة
هذه بنحصل على A تربيع بساوي تلاتة B تربيع وهذا
بيقودى إن الـ B تقسم A تربيع الـ
B تقسم A تربيع أو A تربيع اللي هي تلاتة B تربيع
تقبل القسمة على B بدون باقي طيب
الـ و في الحالة هذه بقدر
أفصل حالتين العدد بي هذا ممكن .. هذا طبعًا عدد ..
عدد صحيح ممكن يكون أكبر من الواحد و ممكن يكون
بساوي واحد فنفرض أن الـ بي أكبر من واحد then في
الحالة هذه بي can be written
as product of
primes الـ
بيه ده عدد صحيح أكبر من واحد فممكن نكتبه على صورة
حاصل ضرب أعداد أولية أي عدد صحيح أكبر من واحد ممكن
كتابته على صورة حاصل ضرب أعداد أولية product of
primes prime عدد أولي هذا حقيقة معروفة في نظرية
الأعداد وبالتالي
hence وبالتالي
يوجد a prime يوجد عدد أولي a prime P بحيث أن هذا
الـ P يقسم الـ B يعني
أنا الـ B هذا هي product of primes ممكن يكون بساوي
P1 ضرب P2 ضرب PN
حيث و P1 و P2 و PN كلهم Primes أعداد أولية فأكيد
لو أخدت أي واحد منهم فهذا بيقسم بي أو بيقبل قسم
عليه بس إذا يوجد يوجد Prime سمي P يقسم بي أو بيقبل
قسم عليه فهذا
بيؤدي هذا بيقودى أن P يقسم الـ A تربيع لأن أنا عندي P
يقسم A تربيع و P يقسم B إذا
الـ P هذا يقسم A تربيع okay تمام طيب و منها هذا
بيقودى أن P يقسم A إذا P يقسم A تربيع فممكن إثبات
أن P يقسم العدد الصحيح A وهكذا أثبتنا الـ
greatest common divisor لـ A وB أكبر من أو يساوي P و
P هذا طبعًا أكبر من واحد لأن
الـ P يقسم الـ A و P يقسم الـ B فمعناته
في عامل مشترك في common divisor اللي هو P بين a و b
لأن الـ greatest common divisor سيكون على الأقل p
ويمكن أن يكون أكبر وبالتالي greatest common
divisor ل a و b أكبر من واحد وهذا بتناقض مع فرضنا
أن greatest common divisor ل a و b بساوي واحد
which is
a contradiction
وهذا التناقض بيكمل البرهان يعني
فرضنا هذا أنه في عدد نسبي مربعه بساوي تلاتة كان فرض
خطأ الصح أنه لا يوجد عدد نسبي مربعه بساوي تلاتة Okay
تمام إذا هذا برهان وفيه طبعًا براهين أخرى ممكن
تلاقوها تجدوها في كتب الـ real analysis لكن هذا أحد
البراهين تمام؟ مين عنده سؤال تاني؟ في أي سؤال
تاني؟ في section 2.1 أو 2.2؟
نعم
لا نفس السؤال مش في أكثر من حالة ولا بس بأخذ الـ D
أكثر من حالة؟ اه في كمان حالة صحيح الـ case الثانية
مظبوط الـ case الثانية خليني أكتبها هناك صحيح في
حالة ثانية
case اتنين الـ بي بيساوي واحد لو كانت الـ بي
بيساوي واحد فهذا بيقودى أنا عندي A تربيع من هنا
في عندي A تربيع بيساوي تلاتة B تربيع فلو الـ بي
بيساوي واحد معناه A تربيع تطلع بيساوي تلاتة و
هذا يعني مستحيل which is impossible هذا
مستحيل لأنه لأنه ما فيش عدد صحيح عدد صحيح مربعه
بيساوي تلاتة since there does not exist integer
integer
a such that a تربيع بيساوي تلاتة إذا في الحالة هذه
حصلنا على حاجة impossible يعني تناقض وهنا
كمان حصلنا على تناقض أن الـ assumption تبعنا أنه
يوجد عدد نسبي مربعه بساوي تلاتة كان فرض خاطئ وهذا
بيكمل البرهان في الحالتين
في أي سؤال تاني؟ في
أسئلة تانية في الـ section 2 1 أو 2 2 أنا
كنت متوقع أن يكون عندكم أسئلة كتيرة واضح جدا إنكم
أنتم ما حاولين تحلوا الأسئلة وبالتالي ما عندكمش
يعني استفسارات
طبعًا ستة و عشرين
سؤال ستة و عشرين سكتشن اتنين واحد show
by induction that
لو
كان A ينتمي لـ R و M و N أعداد طبيعية فهذا بيقودى أن
A to M
plus N بيساوي A to M في A to N نريد
أن نثبت أن استخدام الـ induction إنه لأي عدد حقيقي A
و لأي عدد طبيعي M و N A to M زائد N بيساوي A to M
ضرب A to N هذا أحد قوانين الأسس فطبعًا
هنعمل induction أو بيسموه double induction على M و
N في نفس الوقت فالحالة الأولى
فـ M بيساوي N بيساوي واحد لو كان الـ M والـ N كلها
بيساوي واحد then
a to m زي الـ N بيساوي a to واحد زي الواحد بيساوي a
A to M ضرب A to N يساوي A to 1 ضرب A to
1 يساوي A تلبي وبالتالي الطرفين المعادلة هذه
متحققة لأن الطرفين يساوي نفس المقدار A تلبي
إذا إذا
star holds
in case M يساوي M يساوي 1 المعادلة star متحققة في
حالة M يساوي M يساوي 1 الآن ال induction
hypothesis ان هذا induction عادي بس يعني بدل من
قيام على M يكون على M و M ال induction hypothesis
الفرض تبع ال induction بنفرض assume
assume star holds المعادلة
star صحيحة for m يساوي k أكبر من واحد and n يساوي
j أكبر من واحد this
means هذا معناه ان a to k plus j يساوي a to k ضرب a
to j إذا احنا فرضنا صحة المعادلة هذه عندما m يساوي
k و عندما n يساوي j الآن نريد اثبات صحتها عندما M
يساوي K زائد واحد وعندما N يساوي G زائد واحد
تعال نثبت صحتها في الحالة يعني إذا now A نأخذ A
to K زائد واحد زائد G زائد واحد
ان نتبع صحة المعادلة star عندما M يساوي K زائد
واحد و N يساوي G زائد واحد في الحالة هذه الطرف
اليسار لـ star يساوي الكلام هذا وهذا ممكن نجزئه إلى A
to K زائد G زائد واحد زائد واحد الأُس هذا ممكن نقعد
الكتابة على صورة ك زائد جي زائد واحد مع بعض زائد
واحد وهذا يساوي a to ك زائد جي زائد واحد ضرب a
إذن
a أُس الكلام هذا ضرب a أُس واحد صح؟ وهذا يساوي
A أُس K زائد J زائد واحد عبارة عن A أُس K زائد J
ضرب A إذن الجزء هذا A أُس K زائد J زائد واحد عبارة
عن A أُس K زائد J ضرب A وفي أندم الأول ضرب A
باستخدام
ال induction hypothesis الفرض طبع ال induction احنا
فرضنا ان a to k زي j يساوي a to k ضرب a ضرب a to j
وفي عندي من الأول a في a إذا
هذا
يساوي a to k ضرب a مع بعض ممكن أخدهم مع بعض ضرب a
to j في a مع بعض لأن هنا استخدمنا ال fact ان عملية
ضرب الأعداد الحقيقية associative الآن a to k ضرب a
يساوي a to k زائد واحد و a to j ضرب a يساوي a to j
زائد واحد وهذا هو المطلوب إذاً هذا يثبت إذاً
هنا أثبتنا صحة ال star هاي الطرف الشمال لـ star
عندما M يساوي K زائد واحد و M يساوي K زائد واحد و
هذا هو الطرف اليمين لـ star عندما M يساوي K زائد
واحد و M يساوي G زائد واحد إذاً star holds
N يساوي ك زائد واحد and N يساوي جي زائد واحد this
completes the
induction
إن ان هذا يكمل البرهان by induction تمام واضح؟ في
أي سؤال؟ مفهوم؟ في أسئلة ثانية؟ أي أسئلة ثانية؟
سؤال 14؟ بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب
example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس
نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها
بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا
اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example
لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب
example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس
نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها
بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا
اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example
لنا
اسمها
الجزء الأول ولا الثاني؟ الأول
إذا الجزء الأول مسألة 14 F zero
less than or equal a less than b show أثبتي أنه a
تربيع أصغر من أو يساوي a في b أصغر من b تربيع
proof case واحد a يساوي واحد أنتو ان ال a أكبر من
أو يساوي صفر فناخد الأول a يساوي صفر وبعدين a أكبر
من صفر فلو كان a يساوي صفر هذا يودي أنه
a تربيع اللي هي بتساوي صفر أصغر من أو يساوي A في B
اللي هو صفر و
طبعا ال B في الحالة هذه أكبر من A يعني أكبر من صفر
لأن هذا أصغر من B
و أصغر من B تربيع لأن
هذا يساوي صفر و B تربيع و B أكبر من صفر B أكبر من
A اللي هو يساوي صفر يعني B أكبر من صفر يعني B
تربيع أكبر من صفر إذا المتباينة متحققة
إذا المتباينة اللي احنا عايزين نثبتها نسميها
star إذا star holds in this case الحالة
الثانية أن a أكبر من صفر لو كانت a أكبر من صفر by
hypothesis من الفرض أنا عندي الآن a أكبر من صفر
أصغر من b فنضرب
multiply multiply
by
أو multiply by صحيح by a أكبر من صفر لما أضرب
متباينة في عدد موجب بشريفتها طابقة زي ما هي فهذا
يودي فهذا يودي أنه صفر في a بيطلع صفر أصغر
من a تربيع أصغر من a في b وهذا اللي بدنا يعني
لأ هذا .. هذا شيء كمان and then بعد هيك multiply
.. multiply by
B اللي هو أكبر من صفر أيضاً لإن ال B أكبر من A أكبر
من صفر صح؟ فلو ضربنا المتباينة هذه في بي اللي هو
عدد موجب برضه إشارتها هتبقى زي ما هي إذن هذا
يودي لما أضرب المتباينة هذه في بي عدد موجب
فهيطلع عند صفر أصغر من a في بي أصغر من b تربيع
نسمي هذه 1 والمتباينة هذه 2 الآن 1 عندي
2 يديان يعني
عندي a تربيع أكبر من صفر أصغر من a بيه وعندي a بيه
أصغر من b تربيع وهذه هي ال star
إذا in both cases
في الحالة الأولى والثانية we have أثبتنا أن a
تربيع أصغر
أو يساوي ab و
ab في الحالتين أصغر من b تربيع كمان مرة في الحالة
الأولى a تربيع أصغر من أو يساوي a b في الحالة
الثانية a تربيع أصغر من a b إذا في الحالتين a
تربيع أصغر من أو يساوي a b في الحالة الأولى a b
أصغر من b تربيع وفي الحالة الثانية a b أصغر من b
تربيع إذا في الحالتين a b أصغر من b تربيع و هذا
اللي احنا عايزين نثبته تمام إذا هيك بتكون أثبتنا
الجزء الأول من السؤال الجزء
الثاني بيقول انه احنا ما نقدرش المتباينة هذه star
نبدلها ال
star can't be replaced
replaced by a تربيع أصغر من a بيه أصغر من بي تربيع
يعني هنا ال inequality هذه أصغر من أو يساوي ما نقدرش
نبدلها بأصغر من strictly أصغر من فبنوضح ذلك بمثال
فأخذنا a يساوي صفر و b أي عدد example
زي ما عملنا في الحلقة الأولى
فهيطلع عندي هذه مساوية وليست .. وليست أكبر من ..
اه؟ okay في أسئلة ثانية؟ مين عند السؤال الثاني؟
section اثنين اثنين؟ في أي أسئلة في section اثنين
اثنين؟ section اثنين واحد اثنين اثنين
في أسئلة كثيرة حلوة section
1122 فينا مجموعة كبيرة من الأسئلة الناس
بتدرس الناس بتحل مثال
حليتوا كل المسائل؟ مش عندكم أسئلة؟ ال section
اثنين واحد و اثنين اثنين؟
ما لديها سؤال؟ السؤال اثنين في section اثنين
اثنين حاضر اثنين اثنين اثنين نكتب النص تبع السؤال
if a و b are real numbers show ifpty أنه
absolute a زائد b يساوي absolute a زائد absolute b
if and only if a في b أكبر من أو يساوي صفر هيك
مكتوب طيب
البرهان ال proof لاحظوا هذا if and only if
statement فخلينا
الأول نثبت ال claim الأول claim one للدعاء الأول أن
a ضرب b أكبر من أو يساوي صفر if and only if
absolute a ضرب b يساوي a في b
هل هذا واضح هذا
واضح من تعريف that this is clear by definition of
absolute value طيب
الكلام الثاني
الكلام الثاني absolute a plus absolute b الكل
تربيع بساوي a زائد b الكل تربيع if
and only if absolute a ضرب b بساوي a في b
برهان للـ claim هذا ها لو أخدت absolute a زائد
absolute b وربعت فهذا المفروض يساوي absolute a
الكل تربيع زائد absolute b الكل تربيع زائد 2
absolute a في absolute b وهذا بساوي absolute a
الكل
تربيع زائد
absolute b الكل تربيع زائد 2 absolute a ضرب bلأن
absolute a ضرب absolute b بيطلع absolute a في b و
absolute absolute
a بساوي الجذر التربيعي ل a تربيع هذا
بكافئ أن a أو absolute a الكل تربيع بيساوي a تربيع لو
ربعت الطرفين فبطلع absolute a تربيع بيساوي a تربيع
وبالتالي ممكن استبدل absolute a تربيع ممكن استبدل
absolute a تربيع ب a تربيع و
استبدل absolute b تربيع ب b تربيع
الآن هذا بيساوي هذا بيساوي a تربيع زائد b تربيع
زائد 2 a b if and only if if and only if
absolute a b بساوي a في b
هذا المقدار اللي فوق متى بيساوي a تربيع زائد b
تربيع زائد 2 a ب اذا absolute a b هو
عبارة عن a في b صح؟ وهذا
الأخير بيساوي يعني
هذا السطر هذا هي تعال نشوف بقد ايه
ان absolute a زائد absolute b الكل تربيع بساوي
A زائد B الكل تربيع if and only if absolute A B
بساوي A B absolute
A B بساوي A B ومن claim واحد
عمر ال claim واحد هذا بتحقق if and only if a ضرب b
أكبر من أو يساوي 0 لأن هذا نتيجة أو بضم ال two
claims مع بعض طيب
لو أخذنا جذر التربيعي للطرفين فضي جذر التربيعي يعني
take square root
of both sides فهذا
بيؤدي إلى أن absolute a زائد absolute b الجذر
التربيعي هنا بعطيني ال absolute value ل a زائد
absolute b وهنا بعطيني الجذر التربيعي الجذر
التربيعي للعدد التربيعي بعطيني القيمة المطلقة
تبعته
هذا بتحقق if and only if a ضرب b أكبر من أو يساوي 0
وهذا هو المطلوب وهذا هو المطلوب okay تمام فهذا هو
المطلوب في
أي أسئلة ثانية في
عندكم أي سؤال ثاني section 2 أو section 1
أن أسئلة كثيرة لو جئت بعدي وأنتم ما بتسألوش ومش
هيكون في رجعة بعد هيك لأ أسأل أسئلتنا دي المرة الجاية
هنأخذ مناقشة في section اثنين ثلاثة واثنين أربعة
في أي أسئلة أفندم في أي section اثنين اثنين
حاضر
السؤال خمسة عشر سيكشن اثنين نيلو نشوف ايه هو السؤال
show
if a و b are real numbers
و a لا يساوي b then
there exist epsilon neighborhoods U
of a and V of b such that U تقاطع V بساوي فاي إذن
كمان مرة أنا
عندي
A وB أعداد حقيقية و A لا يساوي B هذا معناه أن
either A less than B ف
assume نأخذ الحالة الأولى case one أن
A أصغر من B إذا هي خط الأعداد هذا خط الأعداد وهذه a
وهذه b و a أصغر من b بدي أثبت أنه في جوار ل a بعمق
epsilon اسمه u وفي جوار ل b بعمق epsilon والجوارين
هذول المبروهود سقطوهم بسوء في يعني منفصلين عن بعض
فبكل بساطة بجيب المسافة من a و b و باخذ نصف المسافة
يعني لأن هنا take epsilon
بساوي
نصف المسافة نصف ال b minus
a أو نصف أو نصف المسافة بين A وB فهي
نصف المسافة لو كونت فترة
فهي منتصف المسافة هذه المسافة
هذه منتصف المسافة سميها epsilon فهذه النقطة هتكون
a زائد epsilon وهي نفس المسافة a ناقص epsilon وكون
فترة مفتوحة وسمي
الفترة المفتوحة هذه new
فنسمي الفترة المفتوحة هذه U مركزها a و نصف قطرها epsilon
و نكوّن فترة ثانية برضه مركزها B و نصف قطرها epsilon
يعني هذه النقطة هتصير B زائد epsilon وهذه النقطة هتصير
b زائد ابسلون و النقطة هذه ب ناقص ابسلون و نكون فترة
مفتوحة تمام
إذا
أنا في U و نسمي الفترة المفتوحة هذه نسميها
ب
إذن هذا عبارة عن الـ U الفترة المفتوحة اذا هنا let
take
u
by definition بتساوي a ناقص إبسلون و a زائد إبسلون
و V بساوي B ناقص إبسلون B زائد إبسلون فواضح
nearly
Clearly U is an epsilon neighborhood of A and V is
an epsilon neighborhood of B ومش هيكوا بس and ممكن
إثبات أن U تقاطع B بساوي فاي
يعني لو أخذنا هاي واضح هاي جوار هذا مافيش ولا نقطة
فيه موجودة في الجوار الثاني هذه الفترة المفتوحة
منفصلة عن الفترة المفتوحة يوم طبعا؟
إن هذا الكلام يعني واضح أن هذا عبارة عن epsilon
neighborhood ل a فترة مفتوحة مركزها a نصف قطرها
epsilon هذا نسميه epsilon neighborhood ل a و V
الفترة المفتوحة هذه ب ناقص epsilon و ب زائد
epsilon برضه عبارة عن epsilon neighborhood ل B و
اثنين حسب الرسم منفصلين و هذا ممكن إثباته باستخدام
التناقض يعني افرض أنه في عنصر يعني التقاطع هذا لا
يساوي فاي وبالتالي في عنصر موجود في U وموجود في V
في أن و واحد واصلي إليه تناقض okay هذا ممكن إثباته
بطريقة تحليلية طبعا في السؤال في الحل في حل السؤال
هذا يقول مافيش عندنا حالتين الحالة الأولى a أصغر من b
والحالة الثانية b أصغر من a وشوفنا هنا أخذنا
الحالة اللي فيها a أصغر من b زي اللي هو النضال تحت
الاسم هاي a أصغر من b و أثبتنا في الحالة هذه أن u
جد epsilon neighborhood ل a
باقي الحالة الثانية case 2 نثبت
برضه المطلوب
البرهان في الحلقة الثانية مماثل للبرهان اللي عملناه
في الحلقة
و هذا طبعا يكمل البرهان إذا الحالة الثانية اللي
فيها b أصغر من a بس نضع b هنا و a هنا ونفس
العادة فتصير هذا الـb و هذا الـa و يعطينا نفس
النتيجة إذن كون كملنا البرهان اللي هو التمرين
وطبعا بعد ذلك إن شاء الله هنكمل حل التمارين لل
سيكشن الخامس في نفس الموضوع