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|---|---|---|---|---|---|---|---|
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Quel est le reste lorsque $289 + 9 \cdot 51 + 3^6 + 4 \cdot 187$ est divisé par $17$ ? | Nous pouvons voir que $289,$ $51,$ et $187$ sont tous des multiples de $17,$ donc le seul terme en question est $3^6 = 729.$ Nous trouvons que $729 = 42 \cdot 17 + 15,$ donc le reste est $\boxed{15}.$ | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Pour $n \ge 0$, soit $F_n$ le $n$ième nombre de Fibonacci (c'est-à-dire, $F_0 = 0, F_1 = 1$ et $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ pour tout $n \ge 2$). Quelle est la plus grande valeur possible du plus grand diviseur commun de deux nombres de Fibonacci consécutifs ? | Nous voulons trouver la valeur maximale possible de $\text{gcd}\,(F_{n}, F_{n-1})$. Puisque $F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2},$ par l'algorithme d'Euclide, cela équivaut à trouver \begin{align*}
\text{gcd}\,(F_{n-1} + F_{n-2}, F_{n-1}) &= \text{gcd}\,(F_{n-1} + F_{n-2} - F_{n-1}, F_{n-1}) \\
&= \text{gcd}\,(F_{n-1}, F_{n-2}).
\end{align*}Il s'ensuit que \begin{align*}
\text{gcd}\,(F_n, F_{n-1}) &= \text{gcd}\,(F_{n-1}, F_{n-2})\\
&= \cdots = \text{gcd}\,(F_2, F_1)\\
&= \text{gcd}\,(1,1)\\
&= \boxed{1}.
\end{align*} | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Le produit de deux entiers pairs positifs consécutifs est 288. Quel est le plus grand des deux entiers ? | Premièrement, nous trouvons que la factorisation première de 288 est $2^5\cdot 3^2$, et nous devons répartir ces facteurs entre deux entiers pairs consécutifs. Le 3 doit être accompagné d'au moins un 2 pour que l'entier soit pair, ce qui signifie que l'un des facteurs doit être un multiple de $6.$ Après quelques essais, nous constatons que lorsqu'un facteur est 18, cela nous laisse avec $2^4=16$. Ainsi, nos deux entiers sont 16 et 18, le plus grand entier étant $\boxed{18}$. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Si $n$ est un entier positif tel que $2n$ possède 28 diviseurs positifs et $3n$ 30 diviseurs positifs, alors combien de diviseurs positifs possède $6n$ ? | Soit $\, 2^{e_1} 3^{e_2} 5^{e_3} \cdots \,$ la factorisation première de $\, n$. Alors le nombre de diviseurs positifs de $\, n \,$ est $\, (e_1 + 1)(e_2 + 1)(e_3 + 1) \cdots \; $. Au vu des informations données, nous avons \[
28 = (e_1 + 2)(e_2 + 1)P
\]et \[
30 = (e_1 + 1)(e_2 + 2)P,
\]où $\, P = (e_3 + 1)(e_4 + 1) \cdots \; $. En soustrayant la première équation de la seconde, on obtient $\, 2 = (e_1 - e_2)P,
\,$ donc soit $\, e_1 - e_2 = 1 \,$ et $\, P = 2, \,$ soit $\, e_1
- e_2 = 2 \,$ et $\, P = 1$. Le premier cas donne $\, 14 = (e_1
+ 2)e_1 \,$ et $\, (e_1 + 1)^2 = 15$ ; comme $\, e_1 \,$ est un entier non négatif, c'est impossible. Dans le second cas, $\,
e_2 = e_1 - 2 \,$ et $\, 30 = (e_1 + 1)e_1, \,$ d'où on trouve $\, e_1 = 5 \,$ et $\, e_2 = 3$. Ainsi $\, n = 2^5 3^3, \,$ donc $\, 6n = 2^6 3^4 \,$ a $\, (6+1)(4+1) = \boxed{35} \,$ diviseurs positifs. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Dans un test vrai-faux de 100 questions, chaque question multiple de 4 est vraie et toutes les autres sont fausses. Si un élève marque chaque question multiple de 3 comme fausse et toutes les autres comme vraies, combien de questions sur 100 auront une réponse correcte ? | L'élève répondra correctement à une question si
Cas 1 : l'élève et le corrigé disent tous deux que c'est vrai. Cela se produit lorsque la réponse n'est PAS un multiple de 3 mais EST un multiple de 4.
Cas 2 : l'élève et le corrigé disent tous deux que c'est faux. Cela se produit lorsque la réponse EST un multiple de 3 mais EST PAS un multiple de 4.
Étant donné que le PPCM de 3 et 4 est 12, la divisibilité des nombres (dans notre cas, l'exactitude des réponses) se répétera par cycles de 12. Dans les 12 premiers entiers, $4$ et $8$ satisfont au cas 1 et $3,6,$ et $9$ satisfont au cas 2, donc pour chaque groupe de 12, l'élève obtiendra 5 bonnes réponses. Puisqu'il y a 8 groupes complets de 12 dans 100, l'élève répondra correctement à au moins $8 \cdot 5 = 40$ questions. Cependant, n'oubliez pas que nous devons également prendre en compte les nombres restants 97, 98, 99, 100 et que parmi ceux-ci, 99 et 100 satisfont à l'un des cas. Notre nombre final de réponses correctes est donc 40 + 2 = \boxed{42}. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Lorsque 39 500 est divisé par un entier $n$, le quotient est 123 et le reste est 17. Trouvez $n$. | En transformant notre phrase en mathématiques, nous avons \[39500=123n+17\]et nous voulons résoudre pour $n$. Cela donne \[n=\frac{39500-17}{123}=\frac{39483}{123}=\boxed{321}.\] | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Il existe deux entiers compris entre 1 et 100 tels que pour chacun :
si vous divisez par 4, le reste est 3 ;
si vous divisez par 3, le reste est 1 ;
si vous divisez par 5, le reste est 1.
Quelle est la somme de ces deux entiers ? | Soit une solution commune $a$. Alors nous savons \begin{align*}
a\equiv 3 & \pmod 4\\
a\equiv 1 & \pmod 3\\
a\equiv 1 & \pmod 5
\end{align*} Puisque $\gcd(3,5)=1$, $(2)$ et $(3)$ ensemble donnent $a\equiv 1\pmod {3\cdot 5}$ qui est le même que $a\equiv 1\pmod {15}$. Alors il existe un entier $n$ tel que $a=1+15n$. En le substituant dans $(1)$, on obtient \[1+15n\equiv 3\pmod 4\implies n\equiv 2\pmod 4\] Donc $n$ a une borne inférieure de $2$. Alors $n\ge 2\implique a=1+15n\ge 31$. $31$ satisfait les congruences originales donc en le soustrayant des deux côtés de chacune donne \begin{align*}
a-31\equiv -28\equiv 0 & \pmod 4\nonumber\\
a-31\equiv -30\equiv 0 & \pmod 3\nonumber\\
a-31\equiv -30\equiv 0 & \pmod 5\nonumber
\end{align*} Puisque $\gcd(3,4)=\gcd(4,5)=\gcd(3,5)=1$, nous avons $a-31\equiv 0\pmod {3\cdot 4\cdot 5}$, c'est-à-dire $a\equiv 31\pmod{60}$.
Notez que toute solution de la congruence ci-dessus satisfait également les solutions originales. Les deux solutions sont alors $31$ et $60+31=91$. Ainsi, $31+91=\boxed{122}$. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
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Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Quel est $123_{10}$ exprimé en base $5$ ? | Pour trouver la représentation en base $5$ de $123_{10}$, nous écrivons d'abord $123$ comme la somme des puissances de $5$. La plus grande puissance de $5$ inférieure à $123$ est $5^2 = 25$ et le plus grand multiple de $25$ inférieur à $123$ est $4 \cdot 25 = 100$. Ainsi, nous avons $123 = 4 \cdot 25 + 23$. Nous considérons ensuite la plus grande puissance de $5$ inférieure à $23$ qui est $5^1 = 5$. Le plus grand multiple de $5$ inférieur à $23$ est $4 \cdot 5 = 20$ et nous avons $23 - 20 = 3$, ce qui peut s'écrire comme $3 \cdot 5^0$. Par conséquent, nous pouvons écrire $123$ comme $$123 = 4 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^0.$$Ainsi, $123_{10}$ en base $5$ est $\boxed{443_5}$. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Deux frères ont emmené $x$ vaches au marché et ont vendu chaque vache pour $x$ dollars. Après avoir vendu les vaches, ils ont divisé l'argent en donnant 10 $ au frère aîné, 10 $ au frère cadet, 10 $ au frère aîné, 10 $ au frère cadet, et ainsi de suite. Lors de la dernière répartition de l'argent, le frère aîné a reçu 10 $, mais le frère cadet a reçu moins de 10 $. Combien de dollars le frère cadet a-t-il dû recevoir lors de la dernière répartition ? | Écrivez $x$ sous la forme $10a + b$, où $b$ est le chiffre des unités de $x$ et $a$ est la partie « restante » de $x$. (Par exemple, si $x = 5718$, alors $a = 571$ et $b = 8$.) Alors \[x^2 = 100a^2 + 20ab + b^2.\]Comme le frère aîné était le dernier frère à recevoir un paiement complet de $\$10$, le chiffre des dizaines de $x^2$ doit être impair. Le chiffre des dizaines de $100a^2$ est 0, et le chiffre des dizaines de $20ab$ est pair, donc pour que le chiffre des dizaines de \[x^2 = 100a^2 + 20ab + b^2\]soit impair, le chiffre des dizaines de $b^2$ doit être impair.
Nous savons que $b$ est un chiffre compris entre 0 et 9. En vérifiant ces chiffres, nous constatons que le chiffre des dizaines de $b^2$ est impair uniquement pour $b = 4$ et $b = 6$.
Nous constatons également que le chiffre des unités de $x^2$ est le même que le chiffre des unités de $b^2$. Pour $b = 4$ et $b = 6$, le chiffre des unités de $b^2$ est 6. Par conséquent, le dernier paiement au frère cadet était de $\boxed{6}$ dollars. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Trois nombres premiers positifs consécutifs ont une somme qui est un multiple de 7. Quelle est la plus petite somme possible ? | Nous nous intéressons aux restes lorsque des nombres premiers sont divisés par 7. Les dix premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Les restes lorsque ces nombres premiers sont divisés par 7 sont respectivement 2, 3, 5, 0, 4, 6, 3, 5, 2, 1. En commençant par le premier triplet, additionnez les restes pour voir si la somme est un multiple de 7, auquel cas les nombres premiers correspondants ont une somme qui est un multiple de 7. Nous voyons que $6+3+5=14$. Ainsi, la plus petite somme possible est $13+17+19=\boxed{49}$. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Un mardi, un magicien a dit : « J'ai fait disparaître ma femme il y a 31 jours. » Quel jour de la semaine l'a-t-il fait disparaître ? | Depuis $31 \equiv 3$ (mod 7), il a fait disparaître sa femme 3 jours avant un mardi, ou $\boxed{\mbox{samedi}}$. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Pour combien d'entiers positifs $n>1$ est-il vrai que $2^{24}$ est une puissance $n^{\text{ième}}$ parfaite ? | Notez que $2^{24}$ est une puissance $n$ième parfaite si et seulement si $n$ est un diviseur de 24. Les facteurs de 24 qui sont supérieurs à 1 sont 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24, nous avons donc $\boxed{7}$ valeurs possibles de $n$. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | On dit qu'un livre a $n$ feuilles s'il est composé de $n$ feuilles de papier. En revanche, le nombre de pages est deux fois plus élevé que le nombre de feuilles, car chaque côté d'une feuille de papier est défini comme une page.
Si le nombre de pages d'un livre est $3$ supérieur à un multiple de $7$ et que le nombre de feuilles est supérieur à $100$, quel est alors le plus petit nombre possible de feuilles ? | Soit $m$ le plus petit nombre possible de feuilles. Alors $2m$ est le plus petit nombre possible de pages. Nous savons que $2m\equiv 3\pmod 7\implique 8m \equiv 3\cdot 4\pmod 7\implique m\equiv 12\equiv 5\pmod 7$. Donc $m=5+7a$ pour un entier positif $a$. Le plus petit nombre supérieur à $100$ est $5+7\cdot 14=\boxed{103}$. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Au début d'un programme, les 105 membres d'une fanfare se placent dans une formation rectangulaire appelée Formation $A$. Tous les membres de la fanfare se déplacent ensuite dans la Formation $B$, qui est une formation rectangulaire différente avec six rangées de plus, mais avec deux membres de la fanfare de moins par rangée. Combien de rangées y a-t-il dans la Formation $A$ ? | Soit $x$ lignes avec $y$ éléments de bande par ligne dans la formation $A$. Nous avons alors $xy=105$. D'après les informations sur la formation $B$, nous avons $(x+6)(y-2)=105$. En multipliant et en remplaçant $xy=105$, nous obtenons $xy-2x+6y-12=105-2x+6y-12=105\Leftrightarrow -2x+6y=12\Leftrightarrow x=3y-6$. Nous remplaçons maintenant $3y-6$ par $x$ dans $xy=105$ et utilisons la formule quadratique pour résoudre l'équation quadratique résultante, $3y^2-6y-105=0$. La solution positive, $y=7$, donne $x=15$. Ainsi, il y a $\boxed{15}$ lignes dans la formation $A$. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Le plus grand diviseur commun de deux entiers positifs inférieurs à 100 est égal à 3. Leur plus petit multiple commun est douze fois l'un des entiers. Quelle est la plus grande somme possible des deux entiers ? | Soit les deux entiers $a$ et $b$. Alors, $\gcd(a,b) = 3$ et, sans perte de généralité, soit $\mathop{\text{lcm}}[a,b] = 12a$. En multipliant les deux équations, on obtient $\mathop{\text{lcm}}[a,b] \cdot \gcd(a,b) = 36a$. En utilisant l'identité que $ab = \mathop{\text{lcm}}[a,b] \cdot \gcd(a,b)$, il s'ensuit que $ab = 36a$, et donc $b = 36$.
Puisque $\gcd(a,b) = 3$, nous savons que $a$ est divisible par 3. Cependant, $a$ ne peut pas être divisible par $3^2 = 9$, car si $a$ était divisible par 9, alors $\gcd(a,b)$ serait également divisible par 9, puisque 36 est divisible par 9. Cela ne peut pas se produire puisque $\gcd(a,b) = 3$. De même, $a$ ne peut pas être divisible par 2, car si $a$ était divisible par 2, alors $\gcd(a,b)$ serait également divisible par 2, puisque 36 est divisible par 2.
En résumé, $a$ est un multiple de 3, mais pas de 9, et $a$ n'est pas divisible par 2. Le plus grand nombre inférieur à 100 est 93. Nous pouvons vérifier que $\mathop{\text{lcm}}[93,36] = 1116 = 12 \cdot 93$, donc la plus grande somme possible de $a + b$ est $36 + 93 = \boxed{129}$. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Notez que \[31\cdot37=1147.\]Trouvez un entier $n$ avec $0\leq n<2293$ tel que \[31n\equiv 3\pmod{2293}.\] | En doublant l'équation donnée, on obtient \[31\cdot74=2294.\]Plus précisément \[31\cdot74\equiv1\pmod{2293}\]et 74 est l'inverse multiplicatif de 31 modulo 2293.
Si nous triplons la congruence que nous venons de trouver, nous obtenons \[31\cdot222\equiv3\pmod{2293}.\]Par conséquent $n=\boxed{222}$. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | De combien de façons existe-t-il pour remplir le chiffre des dizaines et le chiffre des centaines de $1\underline{\hphantom{2}}\,\underline{\hphantom{2}}4$ afin qu'il soit divisible par $11$ ? | Pour que l'entier $abcd$ soit divisible par $11$, alors $a-b+c-d$ doit être divisible par $11$. Les seules possibilités pour $a-b+c-d$ sont $-11$, $0$ et $11$.
Possibilité 1 : $1-b+c-4=-11 \implique c-b=-8$. Cela nous donne deux valeurs possibles : $c=0, b=8$ et $c=1, b=9$.
Possibilité 2 : $1-b+c-4=0 \implique c-b=3$. Cela nous donne $7$ valeurs possibles, où $c$ est un entier compris entre $3$ et $9$ et $b=c-3$.
Possibilité 3 : $1-b+c-4=11 \implique c-b=14$. Ceci est impossible puisque le chiffre $c$ ne peut pas être supérieur à $14$, il y a donc un total de $2+7=\boxed{9}$ valeurs possibles. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Quel pourcentage d'entiers de 1 à 100, inclus, laisse un reste de 1 lorsqu'il est divisé par 5 ? | Les entiers de 1 à 100 qui laissent un reste de 1 sont 1, 6, 11, $\dots$, 96. Si nous soustrayons 1 de chacun de ces nombres, nous obtenons 0, 5, 10, $\dots$, 95. Si nous divisons chacun de ces nombres par 5, nous obtenons 0, 1, 2, $\dots$, 19. Enfin, si nous ajoutons 1 à chacun de ces nombres, nous obtenons 1, 2, 3, $\dots$, 20. Par conséquent, le nombre de termes dans 1, 6, 11, $\dots$, 96 est le même que le nombre de termes dans 1, 2, 3, $\dots$, 20, qui est $\boxed{20}$. (Ce nombre est le même que le pourcentage puisque nous avons affaire à 100 nombres.) | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Trouvez le reste de $7^{17}$ lorsqu'il est divisé par 5. | $7^4 \equiv 2^4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$, donc $7^{17} = 7^{4 \cdot 4 + 1} = (7^4)^4 \cdot 7^1 \equiv 1^4 \cdot 2 \equiv \boxed{2} \pmod{5}$. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Un palindrome est un nombre qui est le même lorsqu'il est lu dans le bon sens et dans le bon sens, comme par exemple 43234. Quel est le plus petit palindrome à cinq chiffres divisible par 11 ? | Pour qu'un entier $abcde$ soit divisible par $11$ alors $a-b+c-d+e$ est divisible par $11.$
Nous commençons par le cas où $(a+c+e)-(b+d) = 0.$ Alors, $a+c+e=b+d.$ Puisque nous avons un palindrome, nous devons avoir $a = e$ et $b = d,$ ce qui signifie que $2a+c=2b.$ Nous devons avoir que $a$ et $e$ doivent être au moins $1,$ donc nous pouvons laisser $b$ et $d$ être également 1 et $c$ être zéro. Ainsi, le plus petit palindrome à cinq chiffres est $11011.$
Nous étudions ensuite le cas où $(a+c+e)-(b+d) = 11.$ Alors, $a+c+e=b+d+11,$ et $a = e$ et $b = d,$ donc $2a + c = 11 + 2b.$ Nous voyons que nous pouvons poser $a$ égal à 1 et $c$ égal à 9, alors $b = 0,$ et nous avons le palindrome $10901.$
Enfin, $(a+c+e)-(b+d) = -11.$ Alors, $2a + c = 2b - 11.$ Nous vérifions si $a = 1$ a des solutions. Nous obtenons $2 + c = 2b - 11,$ donc $c - 2b = -9.$ Ensuite, nous pouvons voir qu'il n'y a pas de solutions pour $b = 0$, car alors nous aurions $c = -9.$ Puisque nous avons déjà trouvé $10901,$ nous n'avons pas besoin de vérifier s'il existe un $b$ supérieur à $0$, nous voyons donc que notre solution est $\boxed{10901}.$ | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Quel est le plus grand entier inférieur à $2010$ qui a un reste de $5$ lorsqu'il est divisé par $7, un reste de $10$ lorsqu'il est divisé par $11, et un reste de $10$ lorsqu'il est divisé par $13$ ? | Nous voulons un reste de 10 divisé par 11 et 13. Le plus petit multiple commun de 11 et 13 est 143. Nous ajoutons 10 au nombre de telle sorte que le reste soit 10 divisé par 11 et 13, ce qui nous donne 143+10=153. Cependant, cela ne donne pas un reste de 5 divisé par 7, nous ajoutons donc d'autres 143 jusqu'à obtenir une valeur qui fonctionne. Nous obtenons que 153+143+143=439 donne un reste de 5 divisé par 7.
Comme nous voulons le plus grand entier inférieur à 2010, nous continuons à ajouter le plus petit multiple commun de 7, 11 et 13 jusqu'à ce que nous ayons dépassé. Le plus petit multiple commun est 7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001. Nous l'ajoutons à $439$ pour obtenir $1440$, l'ajouter à nouveau donnerait une valeur supérieure à $2010$, donc notre réponse est $\boxed{1440}$. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
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Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Combien y a-t-il de paires d'entiers positifs $(a,b)$ tels que $\gcd(a,b)=1$ et \[ \frac{a}{b}+\frac{14b}{9a}
\]est un entier ? | Soit $u=a/b$. Le problème est alors équivalent à trouver tous les nombres rationnels positifs $u$ tels que \[
u+\frac{14}{9u}=k
\]pour un entier $k$. Cette équation est équivalente à $9u^2-9uk+14=0$, dont les solutions sont \[
u=\frac{9k\pm\sqrt{81k^2-504}}{18}=
\frac{k}{2}\pm\frac{1}{6}\sqrt{9k^2-56}.
\]Ainsi, $u$ est rationnel si et seulement si $\sqrt{9k^2-56}$ est rationnel, ce qui est vrai si et seulement si $9k^2-56$ est un carré parfait. Supposons que $9k^2-56=s^2$ pour un entier positif $s$. Alors $(3k-s)(3k+s)=56$. Les seuls facteurs de $56$ sont $1$, $2$, $4$, $7$, $8$, $14$, $28$ et $56$, donc $(3k-s,3k+s)$ est l'une des paires ordonnées $(1,56)$, $(2,28)$, $(4,14)$ ou $(7,8)$. Les cas $(1,56)$ et $(7,8)$ ne donnent aucune solution entière. Les cas $(2,28)$ et $(4,14)$ donnent respectivement $k=5$ et $k=3$. Si $k=5$, alors $u=1/3$ ou $u=14/3$. Si $k=3$, alors $u=2/3$ ou $u=7/3$. Par conséquent, les paires $(a,b)$ qui satisfont les conditions données sont $(1,3),(2,3), (7,3),$ et $(14,3)$, pour un total de $\boxed{4}$ paires. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
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Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Quelle est la somme des chiffres lorsque $527_{10}$ est converti en base 4 ? (Lorsque vous additionnez les chiffres, exprimez la somme en base 10.) | Nous devrions commencer par convertir $527_{10}$ en base 4. La plus grande puissance de 4 qui est inférieure à $527$ est $4^4$, ce qui équivaut à $256$. Puisque, $(2\cdot 4^4)=512<527<(3\cdot 4^4)=768$, le chiffre à la position $4^4$ est $2$. Nous savons que $527-512=15$, il y aura donc des zéros à la position $4^3$ et à la position $4^2$. Le plus grand multiple de $4^1$ qui entre dans $15$ sans dépasser est $3\cdot 4^1=12$, donc $3$ sera le chiffre à la position $4^1$. Puisque $15-12=3$, nous pouvons également voir que $3$ sera le chiffre à la position $4^0$. Nous savons maintenant que $527_{10}=20033_{4}$. La somme des chiffres de $20033_{4}$ est $2+0+0+3+3=\boxed{8}$. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
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Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | La suite infinie $T=\{t_0,t_1,t_2,\ldots\}$ est définie comme $t_0=0,$ $t_1=1,$ et $t_n=t_{n-2}+t_{n-1}$ pour tous les entiers $n>1.$ Si $a,$ $b,$ $c$ sont des entiers fixes non négatifs tels que \begin{align*}
a&\equiv 5\pmod {16}\\
b&\equiv 10\pmod {16}\\
c&\equiv 15\pmod {16},
\end{align*}alors quel est le reste lorsque $t_a+t_b+t_c$ est divisé par $7 ?$ | Nous devons d'abord trouver un modèle dans $T$. Vous en avez peut-être entendu parler sous le nom de suite de Fibonacci. Réduit modulo $7$ (on peut toujours utiliser la relation de récurrence), cela ressemble à \[T\equiv \{0,1,1,2,3,5,1,6,0,6,6,5,4,2,6,1,0,1\ldots\}.\]Les $16$ premiers termes sont $\{0,1,1,2,3,5,1,6,0,6,6,5,4,2,6,1\}.$ Comme les deux suivants sont $0$ et $1$ et comme la suite est définie par récursivité sur les deux termes les plus récents, la suite de Fibonacci modulo $7$ est constituée de répétitions de $0,$ $1,$ $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $1,$ $6,$ $0,$ $6,$ $6,$ $5,$ $4,$ $2,$ $6,$ $1.$ Maintenant \[\begin{cases}
a\equiv 5\pmod {16}\implies t_a\equiv 5\pmod 7\\
b\equiv 10\pmod {16}\implies t_b\equiv 6\pmod 7\\
c\equiv 15\pmod {16}\implies t_c\equiv 1\pmod 7
\end{cases}~.\]Ainsi, $$t_a+t_b+t_c\equiv 5+6+1\equiv 12\equiv \boxed{5}\pmod 7.$$ | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
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Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Combien de carrés parfaits ont une valeur comprise entre 10 et 1000 ? | On voit que $3^2 = 9 < 10 < 4^2 = 16$. Ainsi, $4^2 = 16$ est le plus petit carré parfait entre 10 et 1000.
On voit aussi que $31^2 = 961 < 1000 < 32^2 = 1024$. Ainsi, $31^2 = 961$ est le plus grand carré parfait entre 10 et 1000.
Il s'ensuit qu'il existe $31 - 4 + 1 = \boxed{28}$ carrés parfaits entre 10 et 1000. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
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Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Si tous les multiples de 3 et tous les multiples de 4 sont supprimés de la liste des nombres entiers de 1 à 100, alors combien de nombres entiers reste-t-il ? | Nous savons que chaque troisième nombre entier commençant à un doit être supprimé de la liste. Puisque le plus grand multiple de $3$ inférieur à $100$ est $3\cdot33=99$, cela nous donne un total de $33$ nombres de ce type. Nous considérons ensuite les multiples de quatre. Chaque quatrième nombre entier commençant à un est un multiple de quatre et puisque $4 \cdot 25=100$, cela nous donne $25$ nombres de ce type. Cependant, nous devons également tenir compte des nombres qui sont des multiples de $3$ et de $4$ que nous avons comptés deux fois. Ce sont les multiples de $12$ (le plus petit multiple commun de $3$ et $4$). Puisque $100 \div 12 = 8 \text{ R}4$, nous savons qu'il existe $8$ multiples de $3$ et de $4$. Ainsi, nous avons $33+25-8=50$ nombres que nous avons supprimés de la liste. Comme il y avait $100$ nombres entiers au total, cela nous laisse avec $100-50=\boxed{50}$ nombres entiers. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
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Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Dix personnes sont assises autour d'une table ronde. Trois d'entre elles sont choisies au hasard pour faire une présentation. Quelle est la probabilité que les trois personnes choisies soient assises à des places consécutives ? | Comptons comme résultats les manières de sélectionner 3 personnes sans tenir compte de l'ordre. Il y a $\binom{10}{3} = 120$ façons de sélectionner 3 personnes quelconques. Le nombre de résultats positifs est le nombre de façons de sélectionner 3 personnes consécutives. Il n'y a que 10 façons de procéder : pensez à sélectionner d'abord la personne du milieu, puis à prendre ses deux voisins. Par conséquent, la probabilité est $\frac{10}{120} = \boxed{\frac{1}{12}}$. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |
1ac | Équations | Généralité
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces nombres sont appelés inconnus et remplacés par une ou des lettres. L'expression à gauche du signe = est le membre gauche et l'expression à droite est le membre droit.
Exemples :
4x + 2 = 10
3y - 4x = 2
(x + 7)(x - 5) = 0
Solution :
Pour qu'un nombre soit solution d'une équation, les deux membres de l'équation doivent être égaux lorsque le nombre est substitué à l'inconnu. Par exemple, pour 4x + 2 = 10, x = 2 est une solution car 4(2) + 2 = 10.
Cas avec plusieurs inconnues :
Pour une équation avec plusieurs inconnues, il faut trouver les valeurs de chaque inconnue qui satisfont l'équation.
Définition de résoudre une équation :
Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.
Résolution des équations x + a = b et ax = b
Règles :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre dans les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
On peut multiplier ou diviser par le même nombre les deux membres d'une équation sans en changer les solutions.
Exemples :
x + 45 = 458
x = 458 - 45
x = 413
7 + x = 23
x = 23 - 7
x = 16
x - 5 = 12
x = 12 + 5
x = 17
Pour être sûr des calculs, il faut vérifier en testant la valeur trouvée :
413 + 45 = 458
7 + 16 = 23
17 - 5 = 12 | Une organisation scolaire se compose de 5 enseignants, 7 parents et 6 élèves. Un sous-comité de ce groupe est formé en choisissant 2 enseignants, 3 parents et 3 élèves. Combien de sous-comités différents peuvent être formés ? | Nous pouvons décomposer ce problème en trois parties. Tout d'abord, nous allons compter le nombre de façons de choisir les enseignants pour le sous-comité. Nous devons choisir 2 enseignants parmi les 5 de l'organisation scolaire, ce qui donne $\dbinom{5}{2}=10$ façons de choisir les enseignants. Ensuite, nous choisissons les parents. Nous devons choisir 3 parents parmi 7, ce qui donne $\dbinom{7}{3}=35$ façons de choisir les parents. Enfin, nous choisissons les élèves. Il y a 3 élèves choisis parmi 6, ce qui donne $\dbinom{6}{3}=20$ façons de choisir les élèves. Chacune de ces sélections est indépendante, donc le nombre total de sous-comités possibles sera $10\cdot 35\cdot 20=\boxed{7000}$. | facile | Équations linéaires.Mathématiques élémentaires.Résolution d'équations.Problèmes algébriques.Exercices de calcul.Formules mathématiques.Entraînement aux mathématiques | arithmétique |