| 1 | |
| 00:00:21,580 --> 00:00:26,880 | |
| بسم الله الرحمن الرحيم اليوم إن شاء الله هنبدأ | |
| 2 | |
| 00:00:26,880 --> 00:00:34,000 | |
| chapter خمسة وهذا آخر chapter هناخده في الـ course | |
| 3 | |
| 00:00:34,000 --> 00:00:50,080 | |
| فأنواع الـ chapter هذا continuous | |
| 4 | |
| 00:00:53,880 --> 00:01:01,820 | |
| functions الدوال المتصلة و | |
| 5 | |
| 00:01:01,820 --> 00:01:08,460 | |
| أول section برضه section خمسة واحد في هذا الـ | |
| 6 | |
| 00:01:08,460 --> 00:01:16,320 | |
| chapter برضه عنوانه continuous functions | |
| 7 | |
| 00:01:24,100 --> 00:01:29,280 | |
| الدالة المتصلة فنعرف شو معنى الدالة تكون متصلة عن | |
| 8 | |
| 00:01:29,280 --> 00:01:35,160 | |
| نقطة definition let | |
| 9 | |
| 00:01:35,160 --> 00:01:49,280 | |
| f be a function from a to r and c be an element of a we | |
| 10 | |
| 00:01:49,280 --> 00:02:00,630 | |
| say إنه الـ function if is continuous if | |
| 11 | |
| 00:02:00,630 --> 00:02:05,770 | |
| is continuous at | |
| 12 | |
| 00:02:05,770 --> 00:02:18,950 | |
| x بساوي c if إذا تحقق الشرط التالي for | |
| 13 | |
| 00:02:18,950 --> 00:02:20,470 | |
| every | |
| 14 | |
| 00:02:22,680 --> 00:02:29,400 | |
| إبسيلون أكبر من الصفر نقدر نرد عليها دلتا تعتمد | |
| 15 | |
| 00:02:29,400 --> 00:02:37,840 | |
| على إبسيلون positive number بحيث أنه لكل X لكل | |
| 16 | |
| 00:02:37,840 --> 00:02:44,090 | |
| X في A و الـ absolute value لـ x minus c أصغر من | |
| 17 | |
| 00:02:44,090 --> 00:02:52,170 | |
| دلتا فهذا بتضمن ان absolute f of x minus f of c | |
| 18 | |
| 00:02:52,170 --> 00:03:01,630 | |
| أصغر من الـ إبسيلون فهذا | |
| 19 | |
| 00:03:01,630 --> 00:03:13,010 | |
| بنسميه this is called this is called epsilon delta | |
| 20 | |
| 00:03:13,010 --> 00:03:18,770 | |
| definition of | |
| 21 | |
| 00:03:18,770 --> 00:03:31,170 | |
| continuity لأن | |
| 22 | |
| 00:03:31,170 --> 00:03:36,790 | |
| هذا تعريف إبسيلون دلتا للاتصال لحظو هذا التعريف | |
| 23 | |
| 00:03:36,790 --> 00:03:44,530 | |
| تقريبا هو هو تعريف أن limit الـ function f of x لما | |
| 24 | |
| 00:03:44,530 --> 00:03:52,310 | |
| x تقول c بساوي f of c هذد | |
| 25 | |
| 00:03:52,310 --> 00:04:07,210 | |
| كانت c is a cluster point طب | |
| 26 | |
| 00:04:07,210 --> 00:04:13,930 | |
| لحظة أنت لما عرفنا احنا ما معناه ان الـ limit لـ | |
| 27 | |
| 00:04:13,930 --> 00:04:18,710 | |
| function and x بيساوي c و c cluster point للمجموعة | |
| 28 | |
| 00:04:18,710 --> 00:04:24,570 | |
| a بيساوي عدد l بدلنا l هنا بـ f و c صح؟ معناه كان | |
| 29 | |
| 00:04:24,570 --> 00:04:30,290 | |
| لكل إبسيلون فيه دلتا بحيث لكل x في a و الـ x هذه | |
| 30 | |
| 00:04:30,290 --> 00:04:37,540 | |
| كانت مختلفة لا تساوي c فكنا نحط هنا أكبر من 0 فإذا | |
| 31 | |
| 00:04:37,540 --> 00:04:41,480 | |
| كانت المسافة هذه أصغر من دلتا تطلع المسافة من f of | |
| 32 | |
| 00:04:41,480 --> 00:04:46,040 | |
| x والـ l اللي هي الـ limit هنا طبعا احنا بدلنا الـ l | |
| 33 | |
| 00:04:46,040 --> 00:04:50,940 | |
| بـ f of c فبين هذا يطلع أصغر من x هنا تقريبا نفس | |
| 34 | |
| 00:04:50,940 --> 00:04:56,480 | |
| التعريف if | |
| 35 | |
| 00:04:56,480 --> 00:05:00,460 | |
| if | |
| 36 | |
| 00:05:00,460 --> 00:05:09,090 | |
| is not continuous لو كانت الـ f ليست متصلة عند | |
| 37 | |
| 00:05:09,090 --> 00:05:14,910 | |
| النقطة c فبنقول if | |
| 38 | |
| 00:05:14,910 --> 00:05:31,810 | |
| f fails to be continuous at c we say أن f is | |
| 39 | |
| 00:05:31,810 --> 00:05:32,990 | |
| discontinuous | |
| 40 | |
| 00:05:38,310 --> 00:05:46,350 | |
| discontinuous at c إذا لو كانت الدالة مش متصلة عن | |
| 41 | |
| 00:05:46,350 --> 00:05:52,710 | |
| c يعني شرط الاتصال هذا مش متحقق فبنقول أن الدالة | |
| 42 | |
| 00:05:52,710 --> 00:05:57,610 | |
| discontinuous منفصلة عند النقطة c okay تمام | |
| 43 | |
| 00:06:09,660 --> 00:06:17,360 | |
| بنلاحظ أن الـ .. زي ما شوفنا في section 4-1 تعريف | |
| 44 | |
| 00:06:17,360 --> 00:06:21,840 | |
| إبسيلون دلتا للـ limits of functions في بكافة | |
| 45 | |
| 00:06:21,840 --> 00:06:26,600 | |
| neighborhood definition وهنا برضه تعريف الـ إبسيلون | |
| 46 | |
| 00:06:26,600 --> 00:06:31,760 | |
| دلتا definition للاتصال عن النقطة في بكافة | |
| 47 | |
| 00:06:31,760 --> 00:06:36,400 | |
| neighborhood definition فنكتب الـ neighborhood | |
| 48 | |
| 00:06:36,400 --> 00:06:37,340 | |
| definition هذا | |
| 49 | |
| 00:06:46,200 --> 00:06:53,400 | |
| لت if دي function from a to r و c belong to a then | |
| 50 | |
| 00:06:53,400 --> 00:07:02,480 | |
| the following statements are equivalent واحد | |
| 51 | |
| 00:07:02,480 --> 00:07:11,180 | |
| الـ function if is continuous is continuous at x | |
| 52 | |
| 00:07:11,180 --> 00:07:12,540 | |
| بساوي z | |
| 53 | |
| 00:07:20,900 --> 00:07:26,360 | |
| إثنين هذا طبعا إثنين نسميه in labor hood | |
| 54 | |
| 00:07:26,360 --> 00:07:31,940 | |
| definition of continuity | |
| 55 | |
| 00:07:45,120 --> 00:07:48,580 | |
| الـ neighborhood definition للـ continuity ايش | |
| 56 | |
| 00:07:48,580 --> 00:07:57,920 | |
| بيقول لكل for every epsilon neighborhood v epsilon | |
| 57 | |
| 00:07:57,920 --> 00:08:05,700 | |
| لنقطة f of c there | |
| 58 | |
| 00:08:05,700 --> 00:08:18,440 | |
| exist delta neighborhood v delta of c لنقطة c طبعا | |
| 59 | |
| 00:08:18,440 --> 00:08:26,200 | |
| هذا إبسيلون neighborhood لـ f of c يوجد دلتا | |
| 60 | |
| 00:08:26,200 --> 00:08:38,660 | |
| neighborhood v دلتا of c بحيث أن لكل x تنتمي إلى | |
| 61 | |
| 00:08:38,660 --> 00:08:47,830 | |
| a تقاطع الـ دلتا neighborhood لـ c لازم هذا يضمن ان | |
| 62 | |
| 00:08:47,830 --> 00:08:53,050 | |
| صورة الـ x تنتمي | |
| 63 | |
| 00:08:53,050 --> 00:09:04,590 | |
| إلى دلتا إبسيلون لـ f of c that | |
| 64 | |
| 00:09:04,590 --> 00:09:08,630 | |
| is that | |
| 65 | |
| 00:09:08,630 --> 00:09:11,910 | |
| is هذا يعني أن الـ | |
| 66 | |
| 00:09:14,980 --> 00:09:23,060 | |
| الـ image للست a تقاطع v دلتا of c is contained | |
| 67 | |
| 00:09:23,060 --> 00:09:34,140 | |
| in الـ إبسيلون neighbourhood لـ f of c | |
| 68 | |
| 00:09:34,140 --> 00:09:40,100 | |
| هاي | |
| 69 | |
| 00:09:40,100 --> 00:09:47,330 | |
| كان في عنديزي هيك مثلا يكون في اندي فانكشن زي هذه | |
| 70 | |
| 00:09:47,330 --> 00:09:57,210 | |
| y بساوي f of x وقلنا | |
| 71 | |
| 00:09:57,210 --> 00:10:03,810 | |
| أن لو كانت x أو c c | |
| 72 | |
| 00:10:03,810 --> 00:10:07,670 | |
| نقطة الـ dial عندها متصلة هي f of c | |
| 73 | |
| 00:10:11,410 --> 00:10:17,830 | |
| ما معناه ان الدالة متصلة عند x بساوي c معناه لو | |
| 74 | |
| 00:10:17,830 --> 00:10:23,770 | |
| أخدت لأي | |
| 75 | |
| 00:10:23,770 --> 00:10:30,850 | |
| إبسيلون أكبر من الصفر فيه دلتا أو لو أخدت أي إبسيلون | |
| 76 | |
| 00:10:30,850 --> 00:10:31,290 | |
| neighborhood | |
| 77 | |
| 00:10:34,530 --> 00:10:38,270 | |
| يعني النقطة هذه f of c زائد إبسيلون النقطة هذه | |
| 78 | |
| 00:10:38,270 --> 00:10:48,430 | |
| المسافة هذه إبسيلون فهذه f of c سالب إبسيلون فهذه | |
| 79 | |
| 00:10:48,430 --> 00:10:53,610 | |
| الفترة المفتوحة عبارة عن إبسيلون neighborhood لـ f | |
| 80 | |
| 00:10:53,610 --> 00:10:54,150 | |
| of c | |
| 81 | |
| 00:10:57,200 --> 00:11:01,620 | |
| فلأي إبسيلون أكبر من الصفر ممكن أكون إبسيلون | |
| 82 | |
| 00:11:01,620 --> 00:11:06,420 | |
| neighborhood لـ f of c وبالتالي بقدر أرد على الـ | |
| 83 | |
| 00:11:06,420 --> 00:11:14,580 | |
| إبسيلون neighborhood هذا بـ دلتا يعني | |
| 84 | |
| 00:11:14,580 --> 00:11:20,980 | |
| أكون دلتا neighborhood هنا c minus دلتا c موجة | |
| 85 | |
| 00:11:20,980 --> 00:11:21,460 | |
| بـ دلتا | |
| 86 | |
| 00:11:26,200 --> 00:11:37,060 | |
| إذاً هذا عبارة عن v دلتا v دلتا لـ c إذاً | |
| 87 | |
| 00:11:37,060 --> 00:11:43,200 | |
| لأي إبسيلون لأي إبسيلون neighborhood لـ f of c بقدر | |
| 88 | |
| 00:11:43,200 --> 00:11:52,720 | |
| ألاقي دلتا neighborhood للنقطة c بحيث أن لكل x لو | |
| 89 | |
| 00:11:52,720 --> 00:12:01,620 | |
| أخدت x نقطة في الـ دلتا neighborhood فصورتها f of | |
| 90 | |
| 00:12:01,620 --> 00:12:09,060 | |
| x هتطلع تنتمي للـ إبسيلون neighborhood للـ f of c | |
| 91 | |
| 00:12:09,060 --> 00:12:17,140 | |
| okay تمام فهذا هو نفسه هذا بكفي التعريف هذا بكفي | |
| 92 | |
| 00:12:17,140 --> 00:12:20,660 | |
| التعريف الـ إبسيلون دلتا definition للـ continuity | |
| 93 | |
| 00:12:24,390 --> 00:12:29,850 | |
| هي لكل إبسيلون لكل إبسيلون أكبر من الصفر يعني كأني | |
| 94 | |
| 00:12:29,850 --> 00:12:36,450 | |
| بقول لكل إبسيلون نبرهود لـ f و c يوجد دلتا عدد موجب | |
| 95 | |
| 00:12:36,450 --> 00:12:44,290 | |
| فهذا معناه يوجد دلتا نبرهود للـ c بحيث أن لكل x | |
| 96 | |
| 00:12:44,290 --> 00:12:50,560 | |
| المسافر لكل x تنتمي لكل x في a و x بالتحقق | |
| 97 | |
| 00:12:50,560 --> 00:12:55,980 | |
| المتباينة دي معناته x سنتمي المسافة بين x و c أصغر | |
| 98 | |
| 00:12:55,980 --> 00:12:56,380 | |
| من دلتا | |
| 99 | |
| 00:13:02,120 --> 00:13:07,000 | |
| فهذا بيقدي أن المسافة بين f of x و f of c هي f of | |
| 100 | |
| 00:13:07,000 --> 00:13:12,160 | |
| x و f of c أصغر من إبسيلون يعني الـ f of x هذه | |
| 101 | |
| 00:13:12,160 --> 00:13:17,900 | |
| تنتمي للـ إبسيلون برهود لـ f of c إذن التعريفين هذول | |
| 102 | |
| 00:13:17,900 --> 00:13:24,800 | |
| متكافئين وهذا واضح من الرسم وبالتالي البرهان جاهز | |
| 103 | |
| 00:13:24,800 --> 00:13:32,000 | |
| من .. بس ترجمته الحاجات هذه إلى لغة الـ neighborhood | |
| 104 | |
| 00:13:32,000 --> 00:13:39,600 | |
| إذا في لان تعريفين للاتصال على النقطة واحد إبسيلون | |
| 105 | |
| 00:13:39,600 --> 00:13:45,400 | |
| دلتا definition والتاني اللي بكافه neighborhood | |
| 106 | |
| 00:13:45,400 --> 00:13:50,360 | |
| definition طيب | |
| 107 | |
| 00:13:50,360 --> 00:13:55,260 | |
| ناخد بعض الملاحظات على تعريف الاتصال | |
| 108 | |
| 00:14:16,000 --> 00:14:22,640 | |
| إذا c هو مقاومة مقاومة | |
| 109 | |
| 00:14:22,640 --> 00:14:30,180 | |
| a ثم | |
| 110 | |
| 00:14:30,180 --> 00:14:38,200 | |
| f مستمر في x بساوي | |
| 111 | |
| 00:14:42,830 --> 00:14:47,530 | |
| لو كانت الـ c هذه cluster point فالاتصال ان c | |
| 112 | |
| 00:14:47,530 --> 00:14:55,730 | |
| بكافئ بكافئ ان الـ limit لـ f of x من تعريف الـ | |
| 113 | |
| 00:14:55,730 --> 00:15:03,570 | |
| limits ان c بساوي f of c وهذا | |
| 114 | |
| 00:15:03,570 --> 00:15:06,790 | |
| طبعاً | |
| 115 | |
| 00:15:06,790 --> 00:15:09,090 | |
| this condition | |
| 116 | |
| 00:15:12,780 --> 00:15:19,680 | |
| is three in | |
| 117 | |
| 00:15:19,680 --> 00:15:24,800 | |
| one الـ | |
| 118 | |
| 00:15:24,800 --> 00:15:30,480 | |
| definition هذا بكافئ ثلاثة أو الشرط هذا بكافئ ثلاثة | |
| 119 | |
| 00:15:30,480 --> 00:15:37,600 | |
| شروط أو هو ثلاثة شروط في واحد أول شرط ان الـ function | |
| 120 | |
| 00:15:37,600 --> 00:15:39,540 | |
| f and c is defined | |
| 121 | |
| 00:15:43,900 --> 00:15:49,540 | |
| يعني هذا عبارة عن عدد حقيقي name الـ limit لـ f of x | |
| 122 | |
| 00:15:49,540 --> 00:15:56,180 | |
| لما x تقول إلى c exist يعني عدد حقيقي والشرط | |
| 123 | |
| 00:15:56,180 --> 00:16:04,880 | |
| الثالث أنه لازم الـ limit للـ function f and c بساوي | |
| 124 | |
| 00:16:04,880 --> 00:16:09,980 | |
| قيمة الدالة and c يعني عشان الدالة تكون متصلة عند | |
| 125 | |
| 00:16:09,980 --> 00:16:16,020 | |
| النقطة c في مجالها و لو كانت الـ c هي cluster point | |
| 126 | |
| 00:16:16,020 --> 00:16:21,790 | |
| طبعاً أو حتى لو ما كانتش cluster point فلازم الثلاثة | |
| 127 | |
| 00:16:21,790 --> 00:16:25,250 | |
| صوروطها تتحقق الدالة معرفة عن c طبعا هذا لأن c | |
| 128 | |
| 00:16:25,250 --> 00:16:30,450 | |
| نقطة في مجال الدالة فلازم تكون معرفة عن ده لازم الـ | |
| 129 | |
| 00:16:30,450 --> 00:16:34,830 | |
| limit لـ f عن c تكون موجودة وقيمة الـ limit بساوي | |
| 130 | |
| 00:16:34,830 --> 00:16:39,290 | |
| قيمة الدالة عند النقطة c لو أي واحد ما ليش صوروط | |
| 131 | |
| 00:16:39,290 --> 00:16:43,830 | |
| الثلاثة هدول اختل فبنقول أن الـ function مش متصلة | |
| 132 | |
| 00:16:43,830 --> 00:16:49,410 | |
| عند النقطة c okay تمام واضح إذا لو كانت الـ c هي دي | |
| 133 | |
| 00:16:49,410 --> 00:16:53,510 | |
| cluster point فتعريف الاتصال النقطة هو بالظبط | |
| 134 | |
| 00:16:53,510 --> 00:16:58,470 | |
| تعريف أن limited دالة ان c تكون موجودة و بتساوي | |
| 135 | |
| 00:16:58,470 --> 00:17:02,570 | |
| قيمتها ان c وهذا الشرط هو ثلاثة شروط و الـ c في الـ a | |
| 136 | |
| 00:17:02,570 --> 00:17:09,510 | |
| نعم الـ c تنتمي لـ a اه طبعا الـ c تنتمي لـ a الـ c | |
| 137 | |
| 00:17:09,510 --> 00:17:11,130 | |
| دائما تنتمي لـ a | |
| 138 | |
| 00:17:17,100 --> 00:17:22,120 | |
| طب لو ما كناش الـ c cluster point الملاحظة الثانية | |
| 139 | |
| 00:17:22,120 --> 00:17:29,440 | |
| if c is not يعني لو كان الـ c تنتمي طبعا دائما الـ c | |
| 140 | |
| 00:17:29,440 --> 00:17:40,980 | |
| تنتمي لـ a is not a cluster point is | |
| 141 | |
| 00:17:40,980 --> 00:17:44,100 | |
| not a cluster point of a | |
| 142 | |
| 00:17:48,950 --> 00:17:54,070 | |
| then من تعريف الـ cluster point لازم نلاقي delta | |
| 143 | |
| 00:17:54,070 --> 00:18:05,430 | |
| أكبر من صفر such that a تقاطع v delta of c بساوي | |
| 144 | |
| 00:18:05,430 --> 00:18:06,850 | |
| singleton c | |
| 145 | |
| 00:18:11,300 --> 00:18:14,580 | |
| ما معناه أن النقطة C الموجودة في A مايعنيش | |
| 146 | |
| 00:18:14,580 --> 00:18:18,460 | |
| cluster point أو ما معناه أن C تنتمي لـ A cluster | |
| 147 | |
| 00:18:18,460 --> 00:18:24,380 | |
| point معناها أن كل delta neighborhood للـ C بيتقاطع | |
| 148 | |
| 00:18:24,380 --> 00:18:30,400 | |
| مع A في نقطة مختلفة عن الـ C على الأقل، معناه أن الـ | |
| 149 | |
| 00:18:30,400 --> 00:18:34,040 | |
| C ما تكونش cluster point معناه أن يوجد delta | |
| 150 | |
| 00:18:34,040 --> 00:18:37,040 | |
| neighborhood واحد، يعني يوجد delta عدد موجب | |
| 151 | |
| 00:18:37,040 --> 00:18:40,780 | |
| وبالتالي يوجد على الأقل delta neighborhood للـ C | |
| 152 | |
| 00:18:40,780 --> 00:18:46,620 | |
| وهذا الـ delta neighborhood مابتقاطعش مع a في أي | |
| 153 | |
| 00:18:46,620 --> 00:18:50,660 | |
| نقطة مختلفة عن الـ c، يعني التقاطع هذا بس في نقطة | |
| 154 | |
| 00:18:50,660 --> 00:18:55,300 | |
| واحدة c لأن الـ c هي مركز الـ neighborhood و c تنتمي | |
| 155 | |
| 00:18:55,300 --> 00:19:03,320 | |
| لـ a فالتقاطع هذا مافيش فيه أي x مختلفة عن الـ c في | |
| 156 | |
| 00:19:03,320 --> 00:19:09,740 | |
| الحالة هذه، in this case, in | |
| 157 | |
| 00:19:09,740 --> 00:19:10,580 | |
| this case | |
| 158 | |
| 00:19:14,230 --> 00:19:23,970 | |
| if f is automatically continuous | |
| 159 | |
| 00:19:23,970 --> 00:19:34,940 | |
| at c، الدالة في الحالة هذه بتكون متصلة تلقائيًا عند | |
| 160 | |
| 00:19:34,940 --> 00:19:39,360 | |
| النقطة C، أو التعريف متحقق تلقائيًا ليه؟ لأنه | |
| 161 | |
| 00:19:39,360 --> 00:19:44,060 | |
| تعالوا نرجع للتعريف، ما معناه أن F تكون متصلة عند | |
| 162 | |
| 00:19:44,060 --> 00:19:49,660 | |
| النقطة C، معناه لأي epsilon neighborhood لـ F و C | |
| 163 | |
| 00:19:49,660 --> 00:19:53,680 | |
| نقدر | |
| 164 | |
| 00:19:53,680 --> 00:19:57,020 | |
| نلاقي يوجد delta neighborhood لـ C، فخد الـ delta | |
| 165 | |
| 00:19:57,020 --> 00:20:00,040 | |
| neighborhood في التعريف هذا، خد الـ delta | |
| 166 | |
| 00:20:00,040 --> 00:20:07,900 | |
| neighborhood هو هذا، ففي الحالة هذه لكل x تنتمي إلى | |
| 167 | |
| 00:20:07,900 --> 00:20:12,340 | |
| a تقاطع v delta و c، ما التقاطع هذا مافيش فيه إلا | |
| 168 | |
| 00:20:12,340 --> 00:20:17,100 | |
| نقطة واحدة اللي هي c، صح؟ فلكل x موجود في التقاطع | |
| 169 | |
| 00:20:17,100 --> 00:20:21,950 | |
| هذا، مافيش إلا x بساوي c، فصورة الـ X هذه هي صورة | |
| 170 | |
| 00:20:21,950 --> 00:20:28,210 | |
| الـ C، وبالتالي صورة الـ X هذه هي صورة الـ C، فهذه أكيد | |
| 171 | |
| 00:20:28,210 --> 00:20:33,310 | |
| تنتمي لـ epsilon neighborhood لـ F of C، لأن الـ F of C هي | |
| 172 | |
| 00:20:33,310 --> 00:20:38,850 | |
| المركز تبع الفترة هذه، صح؟ فهذا شرط متحقق trivially | |
| 173 | |
| 00:20:38,850 --> 00:20:44,870 | |
| تلقائيًا، وبالتالي إذا سواء | |
| 174 | |
| 00:20:46,570 --> 00:20:49,730 | |
| سواء الـ C هنا كانت cluster point أو ماكنتش | |
| 175 | |
| 00:20:49,730 --> 00:20:55,630 | |
| cluster point، فممكن نعتبر أن التعريف لاتصال النقطة | |
| 176 | |
| 00:20:55,630 --> 00:21:00,450 | |
| هو التعريف هذا، لأن لو كانت الـ C cluster point | |
| 177 | |
| 00:21:00,450 --> 00:21:04,190 | |
| فتعريف لاتصال النقطة هو هذا التعريف، لو كانت الـ C | |
| 178 | |
| 00:21:04,190 --> 00:21:07,750 | |
| ماهياش cluster point فهذا التعريف متحقق trivially | |
| 179 | |
| 00:21:07,750 --> 00:21:12,380 | |
| اللي بدهي، وبالتالي مافيش داعي إن احنا نقول .. لما | |
| 180 | |
| 00:21:12,380 --> 00:21:14,840 | |
| نيجي نفحص الاتصال على النقطة C، نقول هل الـ C | |
| 181 | |
| 00:21:14,840 --> 00:21:18,840 | |
| cluster point أو مش cluster point، سواء كانت | |
| 182 | |
| 00:21:18,840 --> 00:21:24,380 | |
| cluster point أو ماكانتش cluster point، فالاتصال | |
| 183 | |
| 00:21:24,380 --> 00:21:33,020 | |
| عن الـ C بيصير هو .. يعني هل هذا شرط بتحقق أو لا | |
| 184 | |
| 00:21:41,130 --> 00:21:44,890 | |
| طبعًا زي ما أخدنا احنا أيام ما أخدنا دراسنا الـ | |
| 185 | |
| 00:21:44,890 --> 00:21:54,950 | |
| limits للـ functions فكان | |
| 186 | |
| 00:21:54,950 --> 00:21:57,590 | |
| في عندي sequential criterion for limits | |
| 187 | |
| 00:22:02,270 --> 00:22:06,810 | |
| بنفس الطريقة، في هنا sequential criterion for | |
| 188 | |
| 00:22:06,810 --> 00:22:15,990 | |
| continuity للاتصال، إذا في عندي هنا sequential | |
| 189 | |
| 00:22:15,990 --> 00:22:21,130 | |
| criterion | |
| 190 | |
| 00:22:21,130 --> 00:22:24,150 | |
| for | |
| 191 | |
| 00:22:24,150 --> 00:22:25,110 | |
| continuity | |
| 192 | |
| 00:22:35,670 --> 00:22:44,430 | |
| let f be a function from a to r، و c نقطة في a، then | |
| 193 | |
| 00:22:44,430 --> 00:22:56,170 | |
| the following statements are equivalent، واحد | |
| 194 | |
| 00:22:56,170 --> 00:23:08,010 | |
| f is continuous at c، f is continuous at c for | |
| 195 | |
| 00:23:08,010 --> 00:23:11,910 | |
| every، for | |
| 196 | |
| 00:23:11,910 --> 00:23:22,050 | |
| every sequence x n contained in a with | |
| 197 | |
| 00:23:22,050 --> 00:23:25,370 | |
| limit | |
| 198 | |
| 00:23:25,370 --> 00:23:41,270 | |
| x n بساوي c، نحن لدينا أن الـ limit لـ f of x n as n | |
| 199 | |
| 00:23:41,270 --> 00:23:45,790 | |
| tends to infinity بساوي f of c | |
| 200 | |
| 00:23:51,740 --> 00:23:54,940 | |
| الآن الـ sequential criterion for continuity بتقول | |
| 201 | |
| 00:23:54,940 --> 00:24:00,380 | |
| عشان أثبت أن الدالة F continuous عند نقطة، يكفي أن | |
| 202 | |
| 00:24:00,380 --> 00:24:04,900 | |
| أنا أثبت أن لو أخدت أي sequence نهايتها أي | |
| 203 | |
| 00:24:04,900 --> 00:24:07,660 | |
| sequence في مجال الدالة، طبعًا كنا في الـ limits | |
| 204 | |
| 00:24:07,660 --> 00:24:13,020 | |
| نُشترط أن X n كل عنصر في الـ sequence مختلف عن الـ C | |
| 205 | |
| 00:24:13,020 --> 00:24:17,200 | |
| هنا لأ، ممكن يساوي الـ C، مش مشكلة، هاي الاختلاف بس | |
| 206 | |
| 00:24:17,200 --> 00:24:21,430 | |
| بين الـ sequential criterion for limits و Sequential | |
| 207 | |
| 00:24:21,430 --> 00:24:26,030 | |
| criterion for continuity إنه لكل sequence x n في | |
| 208 | |
| 00:24:26,030 --> 00:24:32,550 | |
| مجال الدالة، ونهايتها بتساوي c، لازم يطلع عندي | |
| 209 | |
| 00:24:32,550 --> 00:24:37,990 | |
| نهاية الـ image تبعت الـ sequence x n بتساوي العدد | |
| 210 | |
| 00:24:37,990 --> 00:24:42,860 | |
| f و c، وبرهان النظرية هذه زي برهان sequential | |
| 211 | |
| 00:24:42,860 --> 00:24:49,120 | |
| criterion for limits مع تعديلات طفيفة، مع التعديلات | |
| 212 | |
| 00:24:49,120 --> 00:24:58,580 | |
| الطفيفة في التعريفين أو في التعريف تبع الاتصال إذا | |
| 213 | |
| 00:24:58,580 --> 00:25:11,090 | |
| الـ proof similar to proof of sequential criterion | |
| 214 | |
| 00:25:11,090 --> 00:25:19,570 | |
| for limits for limits، sequential criterion for | |
| 215 | |
| 00:25:19,570 --> 00:25:34,190 | |
| limits of functions in section أربعة واحد with | |
| 216 | |
| 00:25:34,190 --> 00:25:38,030 | |
| slight modification | |
| 217 | |
| 00:25:45,120 --> 00:25:51,780 | |
| مع تعديل بسيط، مع تعديل بسيط، التعديل هنا إنه الـ هنا | |
| 218 | |
| 00:25:51,780 --> 00:25:58,180 | |
| كنا نطلب الـ X لا تساوي C، وكمان كنا هناك نطلب إنه C | |
| 219 | |
| 00:25:58,180 --> 00:26:02,740 | |
| تكون cluster point، لكن شفنا حتى لو C ماكنتش | |
| 220 | |
| 00:26:02,740 --> 00:26:10,940 | |
| cluster point، فهذا برضه متحقق تلقائيًا، برضه | |
| 221 | |
| 00:26:10,940 --> 00:26:11,700 | |
| أخدنا | |
| 222 | |
| 00:26:14,550 --> 00:26:18,230 | |
| بعد ما أخدنا الـ sequential criterion for limits | |
| 223 | |
| 00:26:18,230 --> 00:26:22,410 | |
| of functions في section 4-1، أخدنا بعدها على طول | |
| 224 | |
| 00:26:22,410 --> 00:26:29,850 | |
| مباشرة divergence criterion for limits، فهنا بقابل | |
| 225 | |
| 00:26:29,850 --> 00:26:38,190 | |
| الـ divergence criterion اللي هو | |
| 226 | |
| 00:26:38,190 --> 00:26:39,910 | |
| discontinuity criterion | |
| 227 | |
| 00:26:46,180 --> 00:26:48,980 | |
| discontinuity criterion | |
| 228 | |
| 00:27:00,500 --> 00:27:10,940 | |
| let f be a function from a to r، و c نقطة في a، و d | |
| 229 | |
| 00:27:10,940 --> 00:27:15,440 | |
| then the | |
| 230 | |
| 00:27:15,440 --> 00:27:23,000 | |
| following statements are equivalent، واحد، if f is | |
| 231 | |
| 00:27:23,000 --> 00:27:24,160 | |
| discontinuous | |
| 232 | |
| 00:27:26,370 --> 00:27:36,730 | |
| إذا كان الـ f discontinuous at x بساوي c، ثم يوجد | |
| 233 | |
| 00:27:36,730 --> 00:27:49,070 | |
| sequence x n contained in a with limit x n بساوي | |
| 234 | |
| 00:27:49,070 --> 00:27:49,610 | |
| c | |
| 235 | |
| 00:27:53,460 --> 00:28:01,180 | |
| but limit الـ image للـ sequence x n لا يساوي f | |
| 236 | |
| 00:28:01,180 --> 00:28:08,260 | |
| of c، وبرهان | |
| 237 | |
| 00:28:08,260 --> 00:28:13,100 | |
| النظرية هذه بيجي من النظرية الـ sequential | |
| 238 | |
| 00:28:13,100 --> 00:28:16,980 | |
| criterion، أنا | |
| 239 | |
| 00:28:16,980 --> 00:28:21,400 | |
| عندي واحد one يكفي اتنين one if and only if two | |
| 240 | |
| 00:28:24,600 --> 00:28:29,660 | |
| وبالتالي not one نفي one يكافئ نفي two، طيب تعالى | |
| 241 | |
| 00:28:29,660 --> 00:28:35,400 | |
| نشوف نفي one، if f is discontinuous at c، نفي two، for | |
| 242 | |
| 00:28:35,400 --> 00:28:40,420 | |
| every sequence بتحقق الشرط هذا، نهايت صورتها بساوي | |
| 243 | |
| 00:28:40,420 --> 00:28:45,160 | |
| f of c، إن في الشرط العبارة هذه، فبصير there exist a | |
| 244 | |
| 00:28:45,160 --> 00:28:50,380 | |
| sequence x n contained in a ونهايتها c، لكن نهايت | |
| 245 | |
| 00:28:50,380 --> 00:28:56,550 | |
| صورتها لا تساوي f of c، Okay تمام، إذا البرهان نظرية | |
| 246 | |
| 00:28:56,550 --> 00:29:05,170 | |
| هذه جاي من نفي أو ينتج من النظرية السابقة، طب | |
| 247 | |
| 00:29:05,170 --> 00:29:15,350 | |
| نرجع ناخد، قبل ما ناخد أمثلة، بدنا ناخد بس تعريف | |
| 248 | |
| 00:29:15,350 --> 00:29:20,170 | |
| الاتصال على مجموعة، definition | |
| 249 | |
| 00:29:24,990 --> 00:29:32,690 | |
| استخدم الفرصة، let f be a function from a to r and | |
| 250 | |
| 00:29:32,690 --> 00:29:38,050 | |
| let | |
| 251 | |
| 00:29:38,050 --> 00:29:47,090 | |
| b be a subset of a، نقول | |
| 252 | |
| 00:29:47,090 --> 00:29:50,890 | |
| أن الفرصة f is continuous | |
| 253 | |
| 00:29:54,760 --> 00:30:05,060 | |
| if f is continuous on the set B، on the | |
| 254 | |
| 00:30:05,060 --> 00:30:16,640 | |
| set B، if f is continuous on the set B، if if f is | |
| 255 | |
| 00:30:16,640 --> 00:30:32,720 | |
| continuous at every، at every x ينتمي إلى B، إذا | |
| 256 | |
| 00:30:32,720 --> 00:30:38,880 | |
| الاتصال على مجموعة معناه إن الدالة تكون متصلة عند | |
| 257 | |
| 00:30:38,880 --> 00:30:47,520 | |
| كل نقطة في المجموعة، عند كل نقطة في المجموعة، طيب | |
| 258 | |
| 00:30:47,520 --> 00:30:49,080 | |
| ناخد بعض الأمثلة | |
| 259 | |
| 00:31:06,780 --> 00:31:17,520 | |
| الـ function f of x بتساوي k، و | |
| 260 | |
| 00:31:17,520 --> 00:31:30,460 | |
| x belong to R is continuous on R، الدالة | |
| 261 | |
| 00:31:30,460 --> 00:31:43,300 | |
| ثابت k continuous على كل الـ R، احنا شفنا proof، fix | |
| 262 | |
| 00:31:43,300 --> 00:31:46,240 | |
| c تنتمي لـ R | |
| 263 | |
| 00:31:51,650 --> 00:32:02,150 | |
| Since limit لـ F of X as X tends to C بساوي K، احنا | |
| 264 | |
| 00:32:02,150 --> 00:32:07,850 | |
| أثبتنا قبلين أن limit أي ده لثابته بساوي ثابت K | |
| 265 | |
| 00:32:07,850 --> 00:32:15,690 | |
| وهذا بساوي F of C، فالـ | |
| 266 | |
| 00:32:15,690 --> 00:32:29,850 | |
| F is continuous at every c تنتمي إلى r، فاكرين | |
| 267 | |
| 00:32:29,850 --> 00:32:34,430 | |
| احنا هدفنا كان باستخدام تعريف epsilon delta، قولنا | |
| 268 | |
| 00:32:34,430 --> 00:32:39,930 | |
| لأي epsilon أكبر من صفر، choose أي delta أكبر من | |
| 269 | |
| 00:32:39,930 --> 00:32:43,690 | |
| الصفر، فتعريف | |
| 270 | |
| 00:32:43,690 --> 00:32:47,670 | |
| الـ limit بتحقق | |
| 271 | |
| 00:32:47,670 --> 00:32:48,790 | |
| وهنا نفس الحاجة | |
| 272 | |
| 00:33:16,050 --> 00:33:25,330 | |
| طيب المثال تاني، لو أخدت f of x بساوي x لكل x ينتمي | |
| 273 | |
| 00:33:25,330 --> 00:33:31,570 | |
| إلى R، الـ identity function، فبرضه | |
| 274 | |
| 00:33:31,570 --> 00:33:39,350 | |
| أثبتنا احنا إن الـ function هذه is continuous، if f is | |
| 275 | |
| 00:33:39,350 --> 00:33:44,290 | |
| continuous على مجموعة الأعداد الحقيقية | |
| 276 | |
| 00:34:07,950 --> 00:34:17,850 | |
| فممكن أن نثبت، C تنتمي إلى R، و أثبتنا احنا في | |
| 277 | |
| 00:34:17,850 --> 00:34:24,390 | |
| section أربعة واحد، إن limit F of X لما X تقول C | |
| 278 | |
| 00:34:24,390 --> 00:34:32,530 | |
| طلعت بساوي C، صح؟ وهذا عبارة عن F of C، فالـ F is | |
| 279 | |
| 00:34:32,530 --> 00:34:35,610 | |
| continuous at C | |
| 280 | |
| 00:34:39,860 --> 00:34:48,180 | |
| وبما إنه c arbitrary element، إذا | |
| 281 | |
| 00:34:48,180 --> 00:34:55,720 | |
| الـf يكون continuous at every c ينتمي إلى R | |
| 282 | |
| 00:34:55,720 --> 00:35:03,220 | |
| وبالتالي continuous على كل الـR ممكن | |
| 283 | |
| 00:35:03,220 --> 00:35:08,760 | |
| برضه نستخدم تعريف epsilon دلتا مباشرة بلاش نقول إن | |
| 284 | |
| 00:35:08,760 --> 00:35:13,440 | |
| احنا أثبتنا إن الـlimit لـ الـfunction f عند c | |
| 285 | |
| 00:35:13,440 --> 00:35:17,020 | |
| بالساوية c في section أربعة واحد أنا ممكن أُثبت | |
| 286 | |
| 00:35:17,020 --> 00:35:22,520 | |
| يعني نستخدم تعريف epsilon دلتا مباشرة ونقول let | |
| 287 | |
| 00:35:22,520 --> 00:35:32,180 | |
| if fix أول حاجة fix c تنتمي إلى R to show if it is | |
| 288 | |
| 00:35:32,180 --> 00:35:39,820 | |
| continuous at c let epsilon أكبر من الصفر be given | |
| 289 | |
| 00:35:39,820 --> 00:35:44,720 | |
| it | |
| 290 | |
| 00:35:44,720 --> 00:35:49,540 | |
| shows... زي ما عملنا في الـlimits it shows delta | |
| 291 | |
| 00:35:49,540 --> 00:35:54,640 | |
| بساوي epsilon إذن | |
| 292 | |
| 00:35:54,640 --> 00:36:00,160 | |
| هَيوجد دلتا تعتمد على epsilon Then لهذه الـDelta | |
| 293 | |
| 00:36:00,160 --> 00:36:06,600 | |
| لو كان x ينتمي إلى A، A هنا اللي هي R و |x| | |
| 294 | |
| 00:36:06,600 --> 00:36:12,360 | |
| - C أصغر من دلتا فهذا بيضمن إنه |f of | |
| 295 | |
| 00:36:12,360 --> 00:36:20,080 | |
| x| |f of x - f of C| هذا بيطلع بساوي | |
| 296 | |
| 00:36:20,080 --> 00:36:28,590 | |
| |x - f of x| بساوي x و f of c بساوي c | |
| 297 | |
| 00:36:28,590 --> 00:36:33,010 | |
| وهذا أصغر من دلتا، ماخدين المسافة هذه أصغر من | |
| 298 | |
| 00:36:33,010 --> 00:36:38,250 | |
| دلتا وأنا اخترت دلتا بساوي Epsilon إذن هذه | |
| 299 | |
| 00:36:38,250 --> 00:36:42,110 | |
| أثبتت لكل Epsilon يوجد Delta تعتمد على Epsilon | |
| 300 | |
| 00:36:42,110 --> 00:36:46,150 | |
| بحيث لكل x في مجال الدالة المسافة بينها وبين c | |
| 301 | |
| 00:36:46,150 --> 00:36:50,650 | |
| أصغر من دلتا طلع المسافة بين f of x و f of c أصغر | |
| 302 | |
| 00:36:50,650 --> 00:36:58,390 | |
| من Epsilon إذن هذا معناه إن f is continuous at c | |
| 303 | |
| 00:36:58,390 --> 00:37:06,010 | |
| since c تنتمي إلى R was arbitrary إذن f is | |
| 304 | |
| 00:37:06,010 --> 00:37:12,750 | |
| continuous على كل الأعداد الحقيقية تمام؟ إذن هذا | |
| 305 | |
| 00:37:12,750 --> 00:37:15,890 | |
| ممكن نستخدم تعريف Epsilon Delta مباشرة | |
| 306 | |
| 00:37:19,990 --> 00:37:23,390 | |
| دون الاعتماد على النتائج اللي عملناها تابعة | |
| 307 | |
| 00:37:23,390 --> 00:37:28,390 | |
| النهاية في section أربعة واحد بالمثل ممكن مثال زي | |
| 308 | |
| 00:37:28,390 --> 00:37:35,290 | |
| هذا برضه الـfunction f | |
| 309 | |
| 00:37:35,290 --> 00:37:43,790 | |
| of x بساوي x سلبية is continuous على كل الأعداد | |
| 310 | |
| 00:37:43,790 --> 00:37:44,570 | |
| الحقيقية | |
| 311 | |
| 00:38:05,350 --> 00:38:08,350 | |
| الدالة متصلة عند النقطة c | |
| 312 | |
| 00:38:13,110 --> 00:38:18,330 | |
| نفس تعريف epsilon دلتا زي ما عملنا في إثبات إن الـ | |
| 313 | |
| 00:38:18,330 --> 00:38:24,490 | |
| limit للـfunction f of x عند x بساوي c بساوي c | |
| 314 | |
| 00:38:24,490 --> 00:38:30,110 | |
| تربيع اللي هو f of c وذلك | |
| 315 | |
| 00:38:30,110 --> 00:38:35,710 | |
| بياخد أي epsilon أكبر من صفر وبنجيب دلتا زي ما | |
| 316 | |
| 00:38:35,710 --> 00:38:38,510 | |
| عملنا في section أربعة واحد دلتا بساوي الـminimum | |
| 317 | |
| 00:38:38,510 --> 00:38:45,380 | |
| لقيمتين نثبت إنه لكل x المسافة بينها وبين الـc | |
| 318 | |
| 00:38:45,380 --> 00:38:47,960 | |
| أصغر من الـدلتا بيطلع المسافة هذه أصغر من الـc | |
| 319 | |
| 00:38:47,960 --> 00:38:53,120 | |
| نعيد يعني إيش نفس البرمجة، إذن هذا لو طلب منكم | |
| 320 | |
| 00:38:53,120 --> 00:38:56,460 | |
| استخدام تعريف epsilon delta لإثبات إن الدالة هذه | |
| 321 | |
| 00:38:56,460 --> 00:39:00,420 | |
| مقتصرة على R فبتقول لأي epsilon أكبر من الصفر | |
| 322 | |
| 00:39:00,420 --> 00:39:05,060 | |
| choose delta زي ما عملنا في section 4-1 في إثبات | |
| 323 | |
| 00:39:05,060 --> 00:39:08,900 | |
| إن limit للدالة هذه عند c بساوي c تربيع | |
| 324 | |
| 00:39:12,370 --> 00:39:18,470 | |
| أو ممكن تقولي we should إذا ما طلبش منك تستخدم | |
| 325 | |
| 00:39:18,470 --> 00:39:23,590 | |
| التعريف epsilon دلتا فبتقولي we should أثبتنا in | |
| 326 | |
| 00:39:23,590 --> 00:39:33,970 | |
| section أربعة واحد that limit لـf of x لما x تقول | |
| 327 | |
| 00:39:33,970 --> 00:39:42,230 | |
| إلى c بساوي c تربيع اللي هي f of c حسب تعريف | |
| 328 | |
| 00:39:42,230 --> 00:39:45,470 | |
| الاتصال على النقطة بيطلع أي شرط تلاتة في واحد | |
| 329 | |
| 00:39:45,470 --> 00:39:54,190 | |
| متحقق وبالتالي if it is continuous at c okay تمام | |
| 330 | |
| 00:39:57,190 --> 00:40:00,230 | |
| وطبعًا بما إن الـc تنتمي إلى R was arbitrary إذن | |
| 331 | |
| 00:40:00,230 --> 00:40:03,970 | |
| الدالة f continuous على كل الـR okay إذا دامت | |
| 332 | |
| 00:40:03,970 --> 00:40:11,050 | |
| يا إما نستخدم نتائج section 4-1 أو نعيد البرهان | |
| 333 | |
| 00:40:11,050 --> 00:40:15,250 | |
| باستخدام تعريف epsilon Delta زي ما عملنا في المثال | |
| 334 | |
| 00:40:15,250 --> 00:40:22,770 | |
| الأخير أو زي ما عملنا في section 4-1 الدالة كمان | |
| 335 | |
| 00:40:22,770 --> 00:40:23,930 | |
| عندي الدالة | |
| 336 | |
| 00:40:32,140 --> 00:40:41,000 | |
| لو أخدت phi of x بساوي 1 على x فهذه الدالة is | |
| 337 | |
| 00:40:41,000 --> 00:40:46,280 | |
| continuous on الـset A | |
| 338 | |
| 00:40:58,940 --> 00:41:04,860 | |
| اللي هي كل الـx ينتمي إلى R حيث x أكبر من الصفر | |
| 339 | |
| 00:41:04,860 --> 00:41:11,380 | |
| فاحنا | |
| 340 | |
| 00:41:11,380 --> 00:41:20,880 | |
| أثبتنا في x c تنتمي إلى A هذا بقدر إنه c أكبر من | |
| 341 | |
| 00:41:20,880 --> 00:41:23,280 | |
| الصفر وأثبتنا | |
| 342 | |
| 00:41:28,820 --> 00:41:35,560 | |
| in section أربعة | |
| 343 | |
| 00:41:35,560 --> 00:41:44,320 | |
| واحد ذات limit لـfunction phi of x لما x تقول إلى | |
| 344 | |
| 00:41:44,320 --> 00:41:52,240 | |
| c بساوي 1 على c بساوي phi of c باستخدام تعريف | |
| 345 | |
| 00:41:52,240 --> 00:41:58,070 | |
| epsilon دلتا يا إما نعيد البرهان هذاك لأي epsilon في | |
| 346 | |
| 00:41:58,070 --> 00:42:03,450 | |
| دلتا بساوي minimum لقيمتين أو نقول إن احنا أثبتنا | |
| 347 | |
| 00:42:03,450 --> 00:42:06,890 | |
| إن limit للدالة هذه عند أي عدد c موجود بساوي 1 | |
| 348 | |
| 00:42:06,890 --> 00:42:12,590 | |
| على c اللي هو قيمة الدالة عند c وبالتالي إذا الدالة | |
| 349 | |
| 00:42:12,590 --> 00:42:19,830 | |
| في is continuous at c بما إن الـc تنتمي إلى a was | |
| 350 | |
| 00:42:19,830 --> 00:42:26,450 | |
| arbitrary إذن الـفي continuous على المجموعة A | |
| 351 | |
| 00:42:26,450 --> 00:42:30,370 | |
| بالمثل | |
| 352 | |
| 00:42:30,370 --> 00:42:35,050 | |
| ممكن نثبت إن الدالة دي continuous كمان على | |
| 353 | |
| 00:42:35,050 --> 00:42:44,530 | |
| المجموعة B اللي هي كل الـx ينتمي إلى R حيث x أصغر من | |
| 354 | |
| 00:42:44,530 --> 00:42:48,990 | |
| 0 الدالة | |
| 355 | |
| 00:42:48,990 --> 00:42:54,190 | |
| دي متصلة عند كل الأعداد الحقيقية ما عدا عدد 0 فهي متصلة | |
| 356 | |
| 00:42:54,190 --> 00:42:57,610 | |
| عند الأعداد الحقيقية الموجبة وعند الأعداد الحقيقية | |
| 357 | |
| 00:42:57,610 --> 00:43:07,950 | |
| السالبة طيب | |
| 358 | |
| 00:43:07,950 --> 00:43:13,370 | |
| الدالة phi | |
| 359 | |
| 00:43:13,370 --> 00:43:19,950 | |
| of x نفسها برضه بساوي 1 على x is not is | |
| 360 | |
| 00:43:19,950 --> 00:43:33,190 | |
| discontinuous is discontinuous at c بساوي 0 proof | |
| 361 | |
| 00:43:33,190 --> 00:43:39,090 | |
| one الدالة | |
| 362 | |
| 00:43:39,090 --> 00:43:44,530 | |
| هذه ليست متصلة عند الصفر فالبرهان ذلك ممكن نقول | |
| 363 | |
| 00:43:44,530 --> 00:43:49,610 | |
| أنه في phi | |
| 364 | |
| 00:43:52,850 --> 00:43:59,250 | |
| is undefined is undefined is undefined is | |
| 365 | |
| 00:43:59,250 --> 00:44:05,090 | |
| undefined is undefined is undefined is undefined | |
| 366 | |
| 00:44:05,090 --> 00:44:05,970 | |
| undefined is undefined is undefined is undefined | |
| 367 | |
| 00:44:05,970 --> 00:44:07,390 | |
| is undefined is undefined is undefined is | |
| 368 | |
| 00:44:07,390 --> 00:44:07,470 | |
| undefined is undefined is undefined is undefined | |
| 369 | |
| 00:44:07,470 --> 00:44:07,830 | |
| is undefined is undefined is undefined is | |
| 370 | |
| 00:44:07,830 --> 00:44:09,950 | |
| is undefined is undefined is undefined is | |
| 371 | |
| 00:44:09,950 --> 00:44:16,950 | |
| undefined is undefined is undefined is undefined | |
| 372 | |
| 00:44:18,990 --> 00:44:25,170 | |
| can't be continuous at x بساوي 0 لأن عشان هي | |
| 373 | |
| 00:44:25,170 --> 00:44:28,550 | |
| تكون متصلة عند 0 لازم تلات شروط يتحققوا إنها | |
| 374 | |
| 00:44:28,550 --> 00:44:32,790 | |
| تكون أول شرط معرفة عند الصفر فده هي مش معرفة عند | |
| 375 | |
| 00:44:32,790 --> 00:44:38,390 | |
| الصفر فكيف تلات شروط هيتحققوا هذا برهان تاني برهان | |
| 376 | |
| 00:44:38,390 --> 00:44:45,850 | |
| آخر إن ما احنا شوفنا we should | |
| 377 | |
| 00:44:48,290 --> 00:44:52,870 | |
| in section أربعة | |
| 378 | |
| 00:44:52,870 --> 00:44:57,990 | |
| واحد أو أربعة اتنين that | |
| 379 | |
| 00:44:57,990 --> 00:45:08,290 | |
| limit لـphi of x as x tends to zero does not exist | |
| 380 | |
| 00:45:08,290 --> 00:45:12,850 | |
| أثبتنا إن الـfunction هذه ما لهاش limit عند الصفر | |
| 381 | |
| 00:45:15,830 --> 00:45:21,510 | |
| فاستخدمنا الـdivergence criterion وشوفنا إن هناك | |
| 382 | |
| 00:45:21,510 --> 00:45:27,450 | |
| sequence اللي هي 1 على n converge للصفر but | |
| 383 | |
| 00:45:27,450 --> 00:45:34,690 | |
| limit الـimage للـsequence 1 على n as n tends | |
| 384 | |
| 00:45:34,690 --> 00:45:40,170 | |
| to infinity بساوي limit n بساوي infinity does not | |
| 385 | |
| 00:45:40,170 --> 00:45:47,950 | |
| exist in R وبالتالي by divergence criterion الـ | |
| 386 | |
| 00:45:47,950 --> 00:45:51,270 | |
| function هذه ما لهاش limit وبالتالي مش ممكن تكون | |
| 387 | |
| 00:45:51,270 --> 00:46:02,990 | |
| continuous so if it can't be continuous at x بساوي | |
| 388 | |
| 00:46:02,990 --> 00:46:09,510 | |
| 0 تمام؟ لأن واحد من الشروط التلاتة تبعت الاتصال | |
| 389 | |
| 00:46:09,510 --> 00:46:12,650 | |
| عن نقطة غير متحققة تمام؟ | |
| 390 | |
| 00:46:22,580 --> 00:46:28,520 | |
| في كمان مثال أخذناه في section | |
| 391 | |
| 00:46:28,520 --> 00:46:36,020 | |
| 4-1 الـ | |
| 392 | |
| 00:46:36,020 --> 00:46:42,220 | |
| signum function اللي | |
| 393 | |
| 00:46:42,220 --> 00:46:52,050 | |
| كان تعريفها بساوي 0 if x بساوي 0 و x على | |
| 394 | |
| 00:46:52,050 --> 00:47:00,370 | |
| |x| إذا كان x لا يساوي 0 is discontinuous | |
| 395 | |
| 00:47:00,370 --> 00:47:09,170 | |
| is discontinuous at x بساوي 0 why | |
| 396 | |
| 00:47:18,170 --> 00:47:23,550 | |
| لأنه أثبتنا احنا في section أربعة واحد إنه limit لـ | |
| 397 | |
| 00:47:23,550 --> 00:47:31,490 | |
| signum x لما x تقول إلى 0 does not exist | |
| 398 | |
| 00:47:40,560 --> 00:47:43,240 | |
| اللي هي إن الـlimit للـsignal function عند الصفر | |
| 399 | |
| 00:47:43,240 --> 00:47:46,580 | |
| does not exist شوفنا إن الـlimit من اليمين 1 | |
| 400 | |
| 00:47:46,580 --> 00:47:50,020 | |
| عند الصفر والـlimit والـlimit عند الصفر من اليسار | |
| 401 | |
| 00:47:50,020 --> 00:47:53,340 | |
| بساوي -1 وبالتالي مش متساويين الاثنين إذن الـ | |
| 402 | |
| 00:47:53,340 --> 00:48:00,000 | |
| limit عند الصفر does not exist okay تمام إذن الـالـ | |
| 403 | |
| 00:48:00,000 --> 00:48:04,700 | |
| function هذه ما هيّاش متصلة عند الصفر لعدم نظرا لعدم | |
| 404 | |
| 00:48:04,700 --> 00:48:10,970 | |
| وجود الـlimit عند الصفر رغم إن الدالة هذه معرفة عند | |
| 405 | |
| 00:48:10,970 --> 00:48:17,310 | |
| الصفر، الـSignum للصفر هي معرفة عند الصفر بساوي | |
| 406 | |
| 00:48:17,310 --> 00:48:24,930 | |
| 0 تمام؟ | |
| 407 | |
| 00:48:24,930 --> 00:48:30,710 | |
| طيب، لكن ممكن إثبات إن الـSignum function متصلة | |
| 408 | |
| 00:48:30,710 --> 00:48:32,850 | |
| عند كل x لا يساوي 0 | |
| 409 | |
| 00:48:45,100 --> 00:48:52,440 | |
| However، الـsignum الـsignum function is | |
| 410 | |
| 00:48:52,440 --> 00:48:59,280 | |
| continuous at | |
| 411 | |
| 00:48:59,280 --> 00:49:09,460 | |
| every x لا يساوي 0 لأنه | |
| 412 | |
| 00:49:22,230 --> 00:49:42,610 | |
| proof fix c لا تنتمي إلى R و c لا يساوي 0 تمام then | |
| 413 | |
| 00:49:42,610 --> 00:49:53,460 | |
| |signum x - signum الـc| بساوي | | |
| 414 | |
| 00:49:53,460 --> 00:49:57,420 | |
| x | |
| 415 | |
| 00:49:57,420 --> 00:50:14,640 | |
| على |x| أو | |
| 416 | |
| 00:50:14,640 --> 00:50:15,160 | |
| بلاش | |
| 417 | |
| 00:50:19,850 --> 00:50:26,730 | |
| then الـlimit لـsigma x | |
| 418 | |
| 00:50:26,730 --> 00:50:34,390 | |
| لما x تقول إلى c بساوي | |
| 419 | |
| 00:50:34,390 --> 00:50:37,990 | |
| لما | |
| 420 | |
| 00:50:37,990 --> 00:50:43,670 | |
| x تقول إلى c فهذا عبارة عن limit x على |x| | |
| 421 | |
| 00:50:43,670 --> 00:50:45,630 | |
| لما x تقول إلى c | |
| 422 | |
| 00:51:03,050 --> 00:51:08,750 | |
| فده كانت ال X لا تساوي صفر فإما ال X موجبة بقى أو | |
| 423 | |
| 00:51:08,750 --> 00:51:12,890 | |
| سلبية بقى | |
| 424 | |
| 00:51:12,890 --> 00:51:18,010 | |
| then C أكبر من الصفر or C أصغر من صفر | |
| 425 | |
| 00:51:23,040 --> 00:51:27,120 | |
| الـ C هتكون أكبر من الصفر الـ C هنا لا تساوي صفر | |
| 426 | |
| 00:51:27,120 --> 00:51:33,240 | |
| إذا إما C أكبر من الصفر أو أصغر من الصفر case one | |
| 427 | |
| 00:51:33,240 --> 00:51:41,000 | |
| لو كانت C أكبر من صفر فهذا بيعني أنه limit signum X | |
| 428 | |
| 00:51:41,000 --> 00:51:50,980 | |
| as X tends to C بيساوي limit X على absolute X | |
| 429 | |
| 00:51:59,940 --> 00:52:05,660 | |
| و طبعا ال X أكبر من ال | |
| 430 | |
| 00:52:05,660 --> 00:52:11,860 | |
| C أكبر من الصفر ف absolute .. فهذا بيساوي واحد | |
| 431 | |
| 00:52:11,860 --> 00:52:21,440 | |
| بيساوي limit واحد as X tends to C بيساوي واحد | |
| 432 | |
| 00:52:21,440 --> 00:52:32,490 | |
| بيساوي F of C أو signum C لأن | |
| 433 | |
| 00:52:32,490 --> 00:52:40,050 | |
| ال C موجبة فلما ال C تكون موجبة ف absolute ال C | |
| 434 | |
| 00:52:40,050 --> 00:52:47,250 | |
| بيساوي ال C بيطلع القيمة المطلقة هذه بيطلع واحد وبالتالي إذا | |
| 435 | |
| 00:52:47,250 --> 00:52:57,970 | |
| ال signal x is continuous at c case 2 إذا كانت ال | |
| 436 | |
| 00:52:57,970 --> 00:53:11,210 | |
| c أصغر من صفر ف similar to case 1 في | |
| 437 | |
| 00:53:11,210 --> 00:53:17,600 | |
| الحالة هذه قيمة ال function هتطلع سالب واحد عند c و | |
| 438 | |
| 00:53:17,600 --> 00:53:22,820 | |
| limit عند c هتطلع سالب واحد وبالتالي في اتصال عند | |
| 439 | |
| 00:53:22,820 --> 00:53:26,320 | |
| ال c إذا ال sign and function مش متصلة عند الصفر | |
| 440 | |
| 00:53:26,320 --> 00:53:30,800 | |
| لكنها متصلة عند كل الأعداد الحقيقية المختلفة عن | |
| 441 | |
| 00:53:30,800 --> 00:53:37,910 | |
| الصفر Okay بنكتفي بهذا القدر و بنكمل طبعا إن شاء | |
| 442 | |
| 00:53:37,910 --> 00:53:44,390 | |
| الله في المحاضرة القادمة هنعطيكم إن شاء الله break | |
| 443 | |
| 00:53:44,390 --> 00:53:49,350 | |
| خمس دقائق وبعدين نواصل المحاضرة التانية اللي | |
| 444 | |
| 00:53:49,350 --> 00:53:56,090 | |
| هناخد فيها discussion أو مناقشة لل chapter أربعة | |
| 445 | |
| 00:53:56,090 --> 00:53:58,350 | |
| section أربعة واحد وأربعة اتنين | |