PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/JXFFuyzuuqA.srt

1
00:00:20,220 --> 00:00:25,360
بسم الله الرحمن الرحيم هندرس اليوم إن شاء الله مع

2
00:00:25,360 --> 00:00:32,000
بعض الـ section خمسة أربعة اللي بيتحدث عن موضوع الـ

3
00:00:32,000 --> 00:00:36,720
uniform continuity أو الاتصال المنظم للدوال

4
00:00:36,720 --> 00:00:40,600
هنحاول ناخد أكبر جزء ممكن من الـ section الجزء

5
00:00:40,600 --> 00:00:44,860
المتبقي ممكن نكمله في المحاضرة الجاية يوم الأثنين

6
00:00:44,860 --> 00:00:49,820
فالـ

7
00:00:49,820 --> 00:00:54,540
.. خلّينا الأول نراجع .. نراجع تعريف الاتصال 

8
00:00:54,540 --> 00:00:59,270
العادي الـ continuity على مجموعة فلو كان في handy

9
00:00:59,270 --> 00:01:04,170
function f من a لـ r فالعبارات التالية بتكون

10
00:01:04,170 --> 00:01:13,410
متكافئة if f is continuous at every u ينتمي إلى a اللي هو مجال الدالة

11
00:01:13,410 --> 00:01:20,810
every u ينتمي إلى a اللي هو مجال الدالة

12
00:01:20,810 --> 00:01:24,370
العبارة الثانية given

13
00:01:27,500 --> 00:01:36,300
epsilon أكبر من الصفر and given u ينتمي إلى a يوجد

14
00:01:36,300 --> 00:01:41,160
.. بيقدر نلاقي delta و الـ delta هذه تعتمد على الـ

15
00:01:41,160 --> 00:01:51,590
epsilon و على الـ u عدد موجب بحيث أنه لكل x ينتمي

16
00:01:51,590 --> 00:01:59,250
إلى a و |x - u| أصغر من delta فهذا

17
00:01:59,250 --> 00:02:07,830
بتضمن إلى |f(x) - f(u)| أصغر من 

18
00:02:07,830 --> 00:02:08,310
epsilon

19
00:02:19,690 --> 00:02:30,650
خلّينا بس ناخد المثال التالي consider

20
00:02:30,650 --> 00:02:41,910
الـ function f(x) بتساوي 1/X و X ينتمي لأيه

21
00:02:41,910 --> 00:02:45,890
اللي هي الفترة

22
00:02:45,890 --> 00:02:56,270
كل الـ X في R حيث X أكبر من الصفر إذا الـ function F

23
00:02:56,270 --> 00:03:02,770
معرفة على كل الأعداد الموجبة احنا

24
00:03:02,770 --> 00:03:05,770
أثبتنا قبل هيك و proved

25
00:03:10,640 --> 00:03:14,920
earlier فيما سبق في دراساتنا السابقة في section

26
00:03:14,920 --> 00:03:21,540
اربعة خمسة ثلاثة أو خمسة اثنين اثبتنا أن الـ

27
00:03:21,540 --> 00:03:30,700
function f is continuous على المجموعة a وخلنا

28
00:03:30,700 --> 00:03:36,580
نراجع مع بعض أن مع بعض نراجع البرهان fix

29
00:03:39,080 --> 00:03:46,920
fix u ينتمي إلى a given إبصر

30
00:03:46,920 --> 00:03:49,760
أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر

31
00:03:49,760 --> 00:03:50,560
أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر

32
00:03:50,560 --> 00:03:53,060
أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر

33
00:03:53,060 --> 00:03:56,600
أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر

34
00:03:56,600 --> 00:03:57,260
أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر

35
00:03:57,260 --> 00:03:57,360
أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر

36
00:03:57,360 --> 00:04:00,020
أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر

37
00:04:00,020 --> 00:04:06,790
أكبر من صفر أكبر من صفربتطبيق تعريف epsilon delta

38
00:04:06,790 --> 00:04:12,110
للاتصال أن نقطة given epsilon إذا بيطلع ارجعه we

39
00:04:12,110 --> 00:04:19,350
found delta و الـ delta هذه كانت الـ minimum لقيمتين

40
00:04:19,350 --> 00:04:24,470
u/2 أو كانت هناك c/2 بدل u كانت النقطة

41
00:04:24,470 --> 00:04:33,350
بيسميها c فعندي u/2 و u²/2 في

42
00:04:33,350 --> 00:04:40,450
epsilon طبعاً هذا عدد موجب واضح أن الـ delta هذه عدد

43
00:04:40,450 --> 00:04:44,530
موجب لأن هذا عدد موجب و هذا عدد موجب و بعدين الـ

44
00:04:44,530 --> 00:04:50,530
delta لاحظوا أنّهـا بتعتمد على الـ epsilon و على الـ U

45
00:04:52,480 --> 00:04:55,840
الـ Delta بتعتمد على الـ Epsilon وعلى الـ U مش بس

46
00:04:55,840 --> 00:04:58,280
على الـ Epsilon وعلى النقطة U اللي احنا بدنا نفحص

47
00:04:58,280 --> 00:05:05,020
عندها الاتصال فشوفنا بعد هيك أنّهـ .. إذا for this

48
00:05:05,020 --> 00:05:11,880
Delta إذا لو أخدنا X ينتمي إلى A و |X

49
00:05:11,880 --> 00:05:19,560
- U| أصغر من Delta فطبعاً هذا قدهذا أدى أن الـ

50
00:05:19,560 --> 00:05:26,240
delta هنا أصغر من أو يساوي U/2 وبالتالي هذا

51
00:05:26,240 --> 00:05:35,600
بيقدر أن X أصغر من 3U/2 أكبر من U/2 لما نحل

52
00:05:35,600 --> 00:05:42,720
المعادلة المتباينة هذه في U وهذا

53
00:05:42,720 --> 00:05:44,520
بيقدر بدوره

54
00:05:46,640 --> 00:05:59,580
|f(x) - f(u)| طالع بيساوي |1

55
00:05:59,580 --> 00:06:06,580
/x - 1/u| هذا بيساوي |u - x|

56
00:06:06,580 --> 00:06:13,390
/xu المفروض أحط هنا |xu| لكن الـ X

57
00:06:13,390 --> 00:06:17,290
و الـ U عناصر في A و A عناصرها كل أعداد موجبة فلا

58
00:06:17,290 --> 00:06:21,950
داعي الـ | | الأن absolute أنا عندي هنا

59
00:06:21,950 --> 00:06:31,390
من المتباينة هذه بيطلع عندي المفروض أنه أنا عندي

60
00:06:31,390 --> 00:06:43,100
بيطلع U/2 أصغر من X صح فهذا بيقودى أنّهـ X في أضرب

61
00:06:43,100 --> 00:06:47,420
في U، U عدد موجب فبيطلع U²/2 أصغر من X

62
00:06:47,420 --> 00:06:55,520
وبالتالي 1/XU بيطلع أصغر من 2/U

63
00:06:55,520 --> 00:07:02,200
تربيع إذا 1/XU أصغر من 2/U² في

64
00:07:02,200 --> 00:07:08,790
|U - X| و هذي أصغر من دلتا إذاً هذي أصغر

65
00:07:08,790 --> 00:07:13,830
من 2/U² في دلتا طيب الـ delta أنا

66
00:07:13,830 --> 00:07:18,390
اخترتها الـ minimum للقيمة هذه وهذه فبالتالي الـ delta

67
00:07:18,390 --> 00:07:22,890
هذه تطلع أصغر من أو ساوي القيمة الثانية إذن 2

68
00:07:22,890 --> 00:07:28,850
/U² ضرب U²/2 في Epsilon و

69
00:07:28,850 --> 00:07:33,490
طبعاً هذولا بيروحوا مع بعض و بيظل Epsilon وبالتالي

70
00:07:33,490 --> 00:07:38,290
بما أن Epsilon was arbitrary إذا الـ F is

71
00:07:38,290 --> 00:07:48,110
continuous at U ولما كانت U arbitrary since U

72
00:07:48,110 --> 00:07:49,770
belonged to A was

73
00:07:52,720 --> 00:08:00,980
arbitrary f is continuous على كل المجموعة A هذا

74
00:08:00,980 --> 00:08:05,740
كان برهاننا خلناها قبل هيك طيب ما الغرض مش إيش

75
00:08:05,740 --> 00:08:10,200
النقطة أن احنا نعيد البرهان النقطة هي عايزين نفهم

76
00:08:10,200 --> 00:08:16,160
أو نأكد أنّهـ في إثبات الاتصال عند النقطة U لاحظنا

77
00:08:16,160 --> 00:08:20,330
أن الـ delta بتعتمد على الـ epsilon و على الـ U هذا

78
00:08:20,330 --> 00:08:24,510
معناه أن الـ delta بتتغير قيمتها مع تغير الـ U

79
00:08:24,510 --> 00:08:28,070
فمثلاً

80
00:08:28,070 --> 00:08:40,890
لو جينا نعمل هاي الدالة دي لو جينا رسمناها هاي

81
00:08:40,890 --> 00:08:47,730
الدالة 1/X لو جيت اخدت أنا X لو كان هذا

82
00:08:47,730 --> 00:08:59,250
واحد هذا اثنين و هذا نصف لو كانت الـ U تبعتي لو كانت

83
00:08:59,250 --> 00:09:07,750
الـ U بتساوي نصف ف

84
00:09:07,750 --> 00:09:17,810
f لنصف بتساوي هيطلع اثنين هذا بتساوي f لنصف طب لو جيت

85
00:09:17,810 --> 00:09:25,470
أخدت epsilon neighborhood للاثنين إذا هذا عبارة عن بي

86
00:09:25,470 --> 00:09:32,310
epsilon للاثنين اللي هو صورة النصف فهذا الـ epsilon

87
00:09:32,310 --> 00:09:38,130
neighborhood هيقابله delta

88
00:09:38,130 --> 00:09:43,350
neighborhood هيقابله

89
00:09:43,350 --> 00:09:44,150
delta

90
00:09:50,400 --> 00:09:59,440
هذا عبارة عن delta neighborhood للنصف باللاحظ هنا

91
00:09:59,440 --> 00:10:02,680
أن الـ delta هي قيمتها

92
00:10:20,550 --> 00:10:25,830
هذه اثنين لو أخدت U بتساوي اثنين لو أخدت U بتساوي

93
00:10:25,830 --> 00:10:30,230
اثنين احنا اثبتنا أن الدالة متصلة على الاثنين وهذه

94
00:10:30,230 --> 00:10:37,730
الـ function شكلها هيكون زي هيك يعني

95
00:10:37,730 --> 00:10:41,770
هون فـ f للاثنين

96
00:10:44,810 --> 00:10:49,990
بتساوي نصف أو صورة الاثنين بيطلع نصف اللي هي صورة

97
00:10:49,990 --> 00:10:54,470
الاثنين الآن لو أنا أخدت قيمة epsilon

98
00:10:54,470 --> 00:11:01,750
neighborhood لنقطة نصف هذه الـ epsilon هنا نفس قيمة

99
00:11:01,750 --> 00:11:06,890
الـ epsilon اللي هنا نفس القيمة وبالتالي الآن إذا

100
00:11:06,890 --> 00:11:13,680
في عندي أنا دي epsilon للنصف طبعاً لكل epsilon

101
00:11:13,680 --> 00:11:16,480
neighborhood للنصف بما أن الدالة متصلة عند اثنين

102
00:11:16,480 --> 00:11:22,480
هيوجد v delta يوجد

103
00:11:22,480 --> 00:11:28,800
v delta okay

104
00:11:28,800 --> 00:11:32,960
هذا هيكون v delta

105
00:11:39,350 --> 00:11:43,010
هذا عبارة عن v delta أو delta neighborhood للاثنين

106
00:11:43,010 --> 00:11:48,190
فبلاحظ أنّهـ رغم أن الـ epsilon هنا نفس قيمة الـ

107
00:11:48,190 --> 00:11:52,890
epsilon هنا إلا أن الـ delta هنا شوف قد إيش صغيرة

108
00:11:52,890 --> 00:12:00,400
بينما الـ delta هنا شايفين ما أكبرها؟ تغيرت مين اللي

109
00:12:00,400 --> 00:12:05,220
غير الـ delta الـ U لما الـ U كانت نصف الـ delta كانت

110
00:12:05,220 --> 00:12:11,340
صغيرة لما الـ U كانت اثنين الـ U كبرت إذا الـ delta

111
00:12:11,340 --> 00:12:15,600
هنا أو الـ delta neighborhood بيعتمد على الـ epsilon أو الـ

112
00:12:15,600 --> 00:12:19,200
delta بتعتمد على الـ مش بس على الـ epsilon و على الـ

113
00:12:19,200 --> 00:12:23,840
U و على النقطة نفسها okay واضح إذا هنا الـ delta

114
00:12:23,840 --> 00:12:31,210
تغيرت مع تغير الـ U Okay تمام وبالتالي الـ delta لأي

115
00:12:31,210 --> 00:12:34,470
epsilon الـ delta ده بتعتمد على الـ u على الـ epsilon

116
00:12:34,470 --> 00:12:39,410
أو على النقطة وعلى الـ epsilon تمام واضحة النقطة

117
00:12:39,410 --> 00:12:45,370
هذه طيب احنا خلّينا نقول ناشية ده المثال خلّينا ناخد

118
00:12:45,370 --> 00:12:54,770
مثال ثاني example

119
00:12:54,770 --> 00:12:56,210
2

120
00:12:59,420 --> 00:13:09,840
خلّينا ناخد الـ function f(x) بتساوي 2x و x ينتمي

121
00:13:09,840 --> 00:13:13,780
إلى R Note

122
00:13:13,780 --> 00:13:20,620
that .. خلّينا نلاحظ أولاً أن |f(x) -

123
00:13:20,620 --> 00:13:29,440
f(u)| بتساوي |2X - 2U| بتساوي

124
00:13:29,440 --> 00:13:38,420
2 في |X - U| لكل X و U ينتمي لـ R

125
00:13:38,420 --> 00:13:44,880
مظبوط هيك؟ طيب

126
00:13:44,880 --> 00:13:51,760
الدالة هذه معروفة أنّهـا متصلة على R المجال تبعها

127
00:13:51,760 --> 00:13:52,200
صح؟

128
00:14:03,920 --> 00:14:13,000
على الـ set R فكيف بنعمل fix بنثبت U في R بنثبت أن

129
00:14:13,000 --> 00:14:22,180
F متصل عند الـ U صح؟ and let epsilon أكبر من الصفر be

130
00:14:22,180 --> 00:14:22,780
given

131
00:14:28,810 --> 00:14:36,250
نختار دلتا نختار دلتا بتساوي epsilon/2 أكبر من

132
00:14:36,250 --> 00:14:45,010
الصفر فلهذه الـ delta then لو كان x ينتمي إلى الـ a

133
00:14:45,010 --> 00:14:51,490
اللي هي r و |x - u| أصغر من الـ delta فهذا

134
00:14:51,490 --> 00:14:58,840
هيديني |f(x) - f(u)| بتقول أن هذا

135
00:14:58,840 --> 00:15:03,440
بيطلع بتساوي أصغر من أو يساوي 2 في |x

136
00:15:03,440 --> 00:15:09,940
- u| أو بتساوي بالأعلى، صح؟ طيب ما إحنا الـ X هذه

137
00:15:09,940 --> 00:15:14,660
ماخدينها بحيث أن |x - u| أصغر من الـ

138
00:15:14,660 --> 00:15:20,160
delta، صح؟ عشان ذلك إحنا اخترنا delta بتساوي epsilon/

139
00:15:20,160 --> 00:15:24,500
2 اه شوفت إيش أخدنا delta بتساوي epsilon/2

140
00:15:24,500 --> 00:15:30,740
طيب و هذا بتساوي epsilon حسب اختيارنا للـ delta 

141
00:15:30,740 --> 00:15:37,460
وبالتالي هيك إذا الـ function بما أن epsilon was

142
00:15:37,460 --> 00:15:44,800
arbitrarily إذا f is continuous at الـ U وبما أن U

143
00:15:44,800 --> 00:15:48,060
belongs to R وزر فبتره إذا if continuous على كل ال

144
00:15:48,060 --> 00:15:55,240
R كمان مرة النقطة هنا اللي عايزين أن أكد عليها هو

145
00:15:55,240 --> 00:16:01,520
إن الـ Delta لأي إبسلون و لأي U و لأي إبسلون ال

146
00:16:01,520 --> 00:16:06,160
Delta هنا تعتمد على إبسلون فقط مالهاش دعوة في الـ U

147
00:16:06,160 --> 00:16:11,790
بمعنى آخر لو أنا الـ U هذه غيرتها أخذت U تانية لو

148
00:16:11,790 --> 00:16:14,670
كانت تانية مثلا U بالساعة و سفر او واحد او اتنين

149
00:16:14,670 --> 00:16:19,310
أو تلاتة او اي عدد حقيقي فكل مرة الـ delta نفس ال

150
00:16:19,310 --> 00:16:25,800
delta F2 will work للـ U لكل U لأي إبسن خدي نفس ال

151
00:16:25,800 --> 00:16:28,340
delta إبسن على اتنين هتعطيهم إيه الـ implication

152
00:16:28,340 --> 00:16:33,640
هذه بغض النظر عن الـ U okay؟ وبالتالي هنا في ال ..

153
00:16:33,640 --> 00:16:37,320
في ال .. في الاتصال هذا الـ delta هنا تعتمد على

154
00:16:37,320 --> 00:16:40,540
إبسن فقط و لا تعتمد على U بينما في المثال السابق

155
00:16:40,540 --> 00:16:45,240
شوفنا الـ delta بتعتمد على U هذا النوع من الاتصال

156
00:16:45,240 --> 00:16:48,860
بنسميه اتصال منتظم اللي فيه الـ delta تعتمد على

157
00:16:48,860 --> 00:16:52,760
epsilon فقط اتصال منتظم او uniform continuity

158
00:16:52,760 --> 00:16:55,540
اتصال اللي جابله اللي الـ delta تعتمد على ال

159
00:16:55,540 --> 00:17:00,510
epsilon و على النقطة U هذا نسميه continuity عادية

160
00:17:00,510 --> 00:17:04,230
أو نقول continuity اتصال اما هذا uniform

161
00:17:04,230 --> 00:17:08,770
continuity هنشوف الـ gate من التعريف ان الـ uniform

162
00:17:08,770 --> 00:17:13,990
continuity اقوى و اشمل من الـ continuity العادية

163
00:17:13,990 --> 00:17:22,670
okay تمام اذا خليني اضع تعريف الـ uniform

164
00:17:22,670 --> 00:17:25,590
continuity definition

165
00:17:28,670 --> 00:17:40,970
فنشطة f من a الى r هي عامة عامة

166
00:17:40,970 --> 00:17:49,130
مستمرة عامة مستمرة عامة عامة عامة عامة عامة عامة

167
00:17:49,130 --> 00:17:49,170
عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة

168
00:17:49,170 --> 00:17:54,610
عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة

169
00:17:54,610 --> 00:17:55,930
عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة

170
00:17:55,930 --> 00:17:55,950
عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة

171
00:17:55,950 --> 00:17:56,070
عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة

172
00:18:00,400 --> 00:18:06,760
لأي إبسلون أكبر من الصفر يوجد Delta تعتمد على إبسلون

173
00:18:06,760 --> 00:18:13,920
فقط، عدد موجب بحيث أنه لكل X و U تنتمي إلى A

174
00:18:13,920 --> 00:18:20,620
و absolute X minus U أصغر من Delta هذا بتضمن أن

175
00:18:20,620 --> 00:18:29,420
absolute F of X minus F of U أصغر من الإبسلون

176
00:18:31,760 --> 00:18:35,660
إذا هنا لأي أبسلون أكبر من الصفر في دلتة واحدة

177
00:18:35,660 --> 00:18:40,100
تعتمد على أبسلون فقط والدلتة هذه تلف على كل الـ X

178
00:18:40,100 --> 00:18:44,620
و كل الـ U أو لكل الـ U مرة واحدة فهنا لكل X و لأي U

179
00:18:44,620 --> 00:18:48,300
إذا المسافة بينهم أصغر من الدلتة فالمسافة بين

180
00:18:48,300 --> 00:18:54,140
أصغرهم أصغر من X تمام؟ الآن واضح من التعريفات

181
00:18:58,880 --> 00:19:05,820
remarks الملاحظة الأولى uniform

182
00:19:05,820 --> 00:19:13,760
continuity

183
00:19:13,760 --> 00:19:23,440
uniform continuity implies continuity

184
00:19:27,240 --> 00:19:35,720
الاتصال المنتظم بيؤدي للاتصال العادي و البرهان

185
00:19:35,720 --> 00:19:39,960
واضح يعني بمعنى آخر لو في عندي function f from a

186
00:19:39,960 --> 00:19:46,460
to r و الـ function كانت uniformly continuous فهذا

187
00:19:46,460 --> 00:19:54,350
بيؤدي ان f continuous فالبرهان ذلك افرضي أن F

188
00:19:54,350 --> 00:20:00,770
uniformly continuous إذا اشترتها تتحقق تبع الـ

189
00:20:00,770 --> 00:20:05,750
Uniform Continuous الآن لإثبات أن F continuous على

190
00:20:05,750 --> 00:20:11,210
A بتثبت أن F continuous at every U ينتمي لـ A يعني

191
00:20:11,210 --> 00:20:17,090
بتثبت أنه لأي epsilon و لأي U فـ let epsilon be

192
00:20:17,090 --> 00:20:20,030
given و let U be fixed element في A

193
00:20:22,930 --> 00:20:26,390
من هنا لهذه الـ Epsilon من هنا بما أن هذا الشرط

194
00:20:26,390 --> 00:20:32,670
متحقق لأن خد الـ Delta لأي الـ Epsilon هادي given خد

195
00:20:32,670 --> 00:20:34,950
الـ Delta اللي هي هذه موجودة في الـ uniform

196
00:20:34,950 --> 00:20:38,650
continuous اللي بتعتمد على Epsilon فقط خديها هي ال

197
00:20:38,650 --> 00:20:43,730
Delta هذه فطبعا هذه الـ Delta بتخلي الـ implication

198
00:20:43,730 --> 00:20:51,850
هذه تتحقق نظرت؟ لو هذه متحققة فهذه متحققة إذن هيك

199
00:20:51,850 --> 00:20:55,270
واضح إن الـ uniform continuous إذا الواحدة بيقدر أن

200
00:20:55,270 --> 00:20:58,930
f continuous and u لما أن u واظهر بترة إذا f

201
00:20:58,930 --> 00:21:05,310
continuous and كل على كل المجموعية لكن

202
00:21:05,310 --> 00:21:11,690
العكس مش صحيح إذا العكس المواحدة التانية العكس مش

203
00:21:11,690 --> 00:21:17,570
صحيح but not conversely

204
00:21:22,160 --> 00:21:26,380
العكس مش صحيح، يعني الـ continuity لا تؤدي إلى ال

205
00:21:26,380 --> 00:21:37,360
uniform continuity و على سبيل المثال for

206
00:21:37,360 --> 00:21:39,220
example على سبيل المثال

207
00:21:46,610 --> 00:21:51,610
احنا شوفنا قبل شوية في بداية المحاضرة الـ function

208
00:21:51,610 --> 00:21:56,870
f of x بساوي واحد على x و x ينتمي إلى a اللي هي

209
00:21:56,870 --> 00:22:03,870
الفترة مفتوحة من صفر لما لا نهاية is continuous on

210
00:22:03,870 --> 00:22:11,550
a أثبتت أنها continuous على المجموعة a but

211
00:22:15,440 --> 00:22:28,480
but it is not uniformly continuous on a as we

212
00:22:28,480 --> 00:22:34,140
shall see in

213
00:22:34,140 --> 00:22:39,100
a few minutes

214
00:22:39,100 --> 00:22:46,160
كما سنرى بعد لحظات الدالة هذه ليست متصلة اتصالا

215
00:22:46,160 --> 00:22:52,940
منتظم هنأخر المرحلة دي شوية و هنبرهنه فلكن في

216
00:22:52,940 --> 00:22:59,560
الأول خلينا من التعريف تبع الـ uniform continuity

217
00:22:59,560 --> 00:23:09,720
نستنتج non uniform continuity criterion من

218
00:23:09,720 --> 00:23:13,120
هنا non uniform

219
00:23:15,380 --> 00:23:22,560
non uniform continuity criteria

220
00:23:22,560 --> 00:23:33,940
let

221
00:23:33,940 --> 00:23:41,240
f from a to r be a function then

222
00:23:44,150 --> 00:23:53,730
the following statements are equivalent واحد if f is

223
00:23:53,730 --> 00:23:58,810
not uniformly

224
00:23:58,810 --> 00:24:09,510
continuous على المجال تبعها نين there exists

225
00:24:09,510 --> 00:24:17,380
epsilon zero أكبر من الصفر such that for every

226
00:24:17,380 --> 00:24:26,620
delta أكبر من الصفر يوجد x delta و u delta عناصر

227
00:24:26,620 --> 00:24:36,220
في a such that absolute x delta minus u delta أصغر

228
00:24:36,220 --> 00:24:45,160
من delta and absolute f of x delta-f of u دلتا

229
00:24:45,160 --> 00:24:53,160
أكبر من أو يساوي epsilon zero الرابعة

230
00:24:53,160 --> 00:25:00,020
الثالثة there exist epsilon zero أكبر من الصفر and

231
00:25:00,020 --> 00:25:06,200
two sequences متتاليتين xn

232
00:25:07,630 --> 00:25:14,930
و un موجودين في مجال الدالة a such that بحيث أن

233
00:25:14,930 --> 00:25:23,910
limit xn minus un بساوي صفر as n tends to infinity

234
00:25:23,910 --> 00:25:25,690
and

235
00:25:27,050 --> 00:25:35,910
absolute f of xn minus f of un أكبر من أو يساوي

236
00:25:35,910 --> 00:25:42,350
epsilon zero هذا صحيح لكل n ينتمي للأعداد الطبيعية

237
00:25:42,350 --> 00:25:51,070
okay تمام طيب نشوف البرهان تبع النظرية هذه البرهان

238
00:25:51,070 --> 00:25:55,440
تبع النظرية هذه ينتج مباشرة من تعريف الـ uniform

239
00:25:55,440 --> 00:26:01,980
continuity تعال نشوف واحد بكافئ اتنين طيب ما

240
00:26:01,980 --> 00:26:07,300
معناه if uniform continuous على المجموعة ايه؟

241
00:26:07,300 --> 00:26:12,920
معناه الشرط هذا بيتحقق طيب ما معناه ان if not

242
00:26:12,920 --> 00:26:16,540
uniform continuous على ايه؟ معناه الـ negation تبع

243
00:26:16,540 --> 00:26:19,720
العبارة دي بتحقق تعال ننفذ العبارة انفذ العبارة

244
00:26:20,730 --> 00:26:25,250
بدل لكل epsilon يوجد epsilon zero بدل يوجد delta

245
00:26:25,250 --> 00:26:31,550
لكل delta موجبة بدل لكل x و u يوجد x و u يعتمد كل

246
00:26:31,550 --> 00:26:36,730
واحد منهم يعتمد على الـ delta بحيث لو كان هذا أصغر

247
00:26:36,730 --> 00:26:41,950
من delta فلازم هذا يقدر انه الأصغر هذا أكبر من أو

248
00:26:41,950 --> 00:26:45,910
يساوي الـ epsilon zero لأن واضح أن العبارة الأولى

249
00:26:45,910 --> 00:26:50,330
بتكافئ التانية لأنه نفي التعريف بكافئ العبارة

250
00:26:50,330 --> 00:26:55,570
التانية طيب التانية بتكافئ التالتة وهذا برضه صح

251
00:26:55,570 --> 00:27:01,650
افرض أن التانية صحيحة تعني نثبت أن التالتة صحيحة

252
00:27:01,650 --> 00:27:05,170
طيب هي التانية يوجد epsilon zero يوجد و هكذا

253
00:27:12,050 --> 00:27:16,770
بحيث لكل delta خدي delta بالساوية واحد على n يعني

254
00:27:16,770 --> 00:27:21,370
بمعنى آخر لكل n يوجد delta بالساوية واحد على n عدد

255
00:27:21,370 --> 00:27:26,730
موجب وبالتالي يوجد X يعتمد على الـ Delta اللي هي

256
00:27:26,730 --> 00:27:31,670
واحد على N اللي بتعتمد على N إذا لكل N لكل N يوجد

257
00:27:31,670 --> 00:27:37,310
XN و UN صح؟ وبالتالي يوجد two sequences و الـ two

258
00:27:37,310 --> 00:27:41,470
sequences هدول بيحققوا أن absolute X واحدة XN

259
00:27:41,470 --> 00:27:46,310
minus UN أصغر من واحد على N اللي هي الـ Delta و هذا

260
00:27:46,310 --> 00:27:52,660
صحيح لكل N إذا الـ limit إذا كان هذا أصغر من واحد

261
00:27:52,660 --> 00:27:55,900
على xn minus un على absolute أصغر من واحد على n

262
00:27:55,900 --> 00:28:00,020
حسب نظرية اتنين أربعة هذا معناه limit xn minus un

263
00:28:00,020 --> 00:28:06,420
بساوي صفر وهذا هي absolute f of xn minus f of un

264
00:28:06,420 --> 00:28:12,180
أكبر من أو يساوي epsilon zero okay فهو واضح وطبعا العكس نفس الحاجة

265
00:28:12,180 --> 00:28:16,020
إذن البرهان النظرية هذه ينتج مباشرة من ال

266
00:28:16,020 --> 00:28:20,340
definition تبع الـ uniform continuity

267
00:28:22,600 --> 00:28:27,400
الآن دعونا نرجع للمثال

268
00:28:27,400 --> 00:28:38,560
هذا إذا هنا example to

269
00:28:38,560 --> 00:28:46,710
show ان الـ function f of x بساوي واحد على x is

270
00:28:46,710 --> 00:28:51,190
not uniformly

271
00:28:51,190 --> 00:28:58,750
continuous على المجموعة a اللي هي الفافرة مفتوحة

272
00:28:58,750 --> 00:29:07,010
من صفر لما لا نهاية we use non

273
00:29:07,010 --> 00:29:09,270
uniform

274
00:29:11,050 --> 00:29:16,390
Non-uniform continuity

275
00:29:16,390 --> 00:29:21,890
criteria

276
00:29:37,150 --> 00:29:47,310
يوجد ابسلون زيرو يوجد

277
00:29:47,310 --> 00:29:49,870
عدد ابسلون زيرو موجود

278
00:30:07,550 --> 00:30:16,570
تختار خيار Xm بساوي واحد على ان اكيد هذه ال

279
00:30:16,570 --> 00:30:19,630
sequence contain في الفترة المفتوحة من صفر للملا

280
00:30:19,630 --> 00:30:28,210
نهاية صح؟ and كمان تختار خيار ثاني UN بساوي واحد على ان زائد واحد

281
00:30:28,210 --> 00:30:33,370
على أن زايد واحد برضه هذه الـ sequence حدودها كلها 

282
00:30:33,370 --> 00:30:37,730
موزّبة وبالتالي مجموعة جزئية من الفترة المفتوحة من

283
00:30:37,730 --> 00:30:41,830
صفر لملانها Clearly

284
00:30:41,830 --> 00:30:45,290
واضح

285
00:30:45,290 --> 00:30:54,330
أن الـ limit لـ xn ناقص un as n times infinity

286
00:30:54,330 --> 00:31:04,720
بساوي limit 1 على n ناقص 1 على n زائد 1 as n equals

287
00:31:04,720 --> 00:31:11,660
infinity فـ limit الأولى ساوي صفر limit الـ sequence

288
00:31:11,660 --> 00:31:18,200
الثانية صفر وبالتالي بيطلع صفر لأن هنا حققت كل

289
00:31:18,200 --> 00:31:24,020
الشروط ضايل بس المتباينة هادي also

290
00:31:28,610 --> 00:31:38,510
أنا عندي absolute f of x n ناقص f of u n هذا

291
00:31:38,510 --> 00:31:46,990
المفروض بيطلع بيساوي absolute n ناقص n زائد واحد،

292
00:31:46,990 --> 00:31:53,430
أزبوتك؟ وهذا بيساوي واحد، واحد أصغر من أو يساوي، بيساوي

293
00:31:53,430 --> 00:32:00,000
واحد اللي هو epsilon zero وهذا صحيح لكل n في n

294
00:32:00,000 --> 00:32:08,940
أصبوت هنا هاني أنا ايش عملت الـ criterion رقم ثلاثة 

295
00:32:08,940 --> 00:32:15,660
تحققّتها تحقّقت أنّه متحققة ها يوجد epsilon zero

296
00:32:15,660 --> 00:32:21,600
واحد لاحظوا الواحد علشان أنا اختارت واحد ممكن آخذ

297
00:32:21,600 --> 00:32:25,040
برضه epsilon zero بساوي اثنين لأن الواحد أصغر من

298
00:32:25,040 --> 00:32:29,380
الاثنين ما في مشكلة بس مش أقل من واحد يعني نصف من

299
00:32:29,380 --> 00:32:32,840
فعشان لأن هي أثبتت يوجد epsilon zero عدد موجب

300
00:32:32,840 --> 00:32:36,280
ويوجد two sequences أنا اخترتّهم أنا أوجدتهم بنفسي

301
00:32:36,280 --> 00:32:39,780
واحد على n واحد على n زيادة واحد كلهم موجودين في

302
00:32:39,780 --> 00:32:45,380
مجال الدالة ايه و limit الفرق بينهم صفر لكن

303
00:32:45,380 --> 00:32:52,960
absolute الفرق بين صورهم مش أقوى هذا هيكون بيساوي

304
00:32:52,960 --> 00:32:59,860
واحد أكبر من أو يساوي .. مش أصغر من أو يساوي بدي

305
00:32:59,860 --> 00:33:06,140
أكبر من أو يساوي واحد اللي هو epsilon خليني

306
00:33:06,140 --> 00:33:09,760
أنا أسحب الكلام اللي حكيته سابقا وأقول هنا ممكن

307
00:33:09,760 --> 00:33:13,140
آخذ الـ epsilon zero بساوي واحد أو أي حاجة أصغر

308
00:33:13,140 --> 00:33:19,750
يعني نصف بنفع يعني أبسلون زيرو بساوي نصف بنفع لكن أي

309
00:33:19,750 --> 00:33:23,630
شيء أكبر من واحد منفعش لأن أنا بدي واحد يكون أكبر

310
00:33:23,630 --> 00:33:28,270
من أو يساوي أبسلون زيرو تمام؟ إذا هذه أثبتنا

311
00:33:28,270 --> 00:33:31,750
وبالتالي حسب الـ non-uniform continuity criterion

312
00:33:31,750 --> 00:33:35,710
الـ .. الـ function هذه is not uniform لـ continuous

313
00:33:35,710 --> 00:33:42,250
تمام؟ لكن أثبتنا سابقا جابليك أنها is continuous

314
00:33:42,250 --> 00:33:48,150
على المجال تبعها إذا لو قلنا لكم prove or disprove

315
00:33:48,150 --> 00:33:51,330
continuity

316
00:33:51,330 --> 00:33:55,010
implies continuity .. الـ uniform .. continuity

317
00:33:55,010 --> 00:33:58,970
implies uniform continuity هتقولي هذا الـ statement

318
00:33:58,970 --> 00:34:04,150
false والـ counter example هو هذا هذا مثال على

319
00:34:04,150 --> 00:34:07,570
function continuous لكن ليست uniformly continuous

320
00:34:07,570 --> 00:34:17,820
تمام؟ طيب، كويس خلينا الآن نثبت بعض النظريات

321
00:34:17,820 --> 00:34:24,300
المهمة اللي بتخص uniform continuity ومن أهم

322
00:34:24,300 --> 00:34:32,680
النظريات التي هي النظرية التالية theorem اسمها

323
00:34:32,680 --> 00:34:36,660
uniform continuity

324
00:34:36,660 --> 00:34:40,160
continuity theorem

325
00:34:49,430 --> 00:34:56,770
let I بساوي be

326
00:34:56,770 --> 00:35:05,570
a closed and bounded interval

327
00:35:05,570 --> 00:35:09,350
إذا

328
00:35:09,350 --> 00:35:17,360
I عبارة عن closed and bounded interval لو كان لو

329
00:35:17,360 --> 00:35:22,980
كانت الـ function f continuous، if f from I to R

330
00:35:22,980 --> 00:35:34,040
is continuous on I، then f is uniformly ..

331
00:35:34,040 --> 00:35:43,060
uniformly continuous on

332
00:35:43,060 --> 00:35:43,620
I

333
00:35:46,190 --> 00:35:51,870
والبرهان السهل prove by contradiction إذا أنّ بكلّ

334
00:35:51,870 --> 00:35:57,070
بساطة نظرية هذه رغم بساطة بساطة الـ statement تبعها

335
00:35:57,070 --> 00:36:01,710
اللي أنا من أهم النظريات بكل بساطة النظرية اللي

336
00:36:01,710 --> 00:36:04,850
بيقول لو كان في عندك function متصل على المجال

337
00:36:04,850 --> 00:36:08,550
تبعها والمجال تبعها closed bounded interval إذا

338
00:36:08,550 --> 00:36:13,970
الاتصال العادي يصبح اتصال منتظم إنّ إنّ هذه الحالة

339
00:36:13,970 --> 00:36:18,030
الوحيدة اللي أو يعني أحد الحالات اللي فيها بيكون

340
00:36:18,030 --> 00:36:22,650
الاتصال العادي بقدر الاتصال المنتظم إنّ احنا أضفنا

341
00:36:22,650 --> 00:36:26,630
شرط أن مجال تبع الدالة ما يكونش أي set لازم يكون

342
00:36:26,630 --> 00:36:31,090
closed bounded interval لبرهان ذلك بال

343
00:36:31,090 --> 00:36:39,670
contradiction assume on contrary that

344
00:36:41,290 --> 00:36:55,010
if is not uniformly continuous on I then by non

345
00:36:55,010 --> 00:37:03,550
uniform continuity criteria النظرية

346
00:37:03,550 --> 00:37:10,620
اللي فوق يوجد إبسلون زيرو أكبر من الصفر و two

347
00:37:10,620 --> 00:37:15,620
sequences and

348
00:37:15,620 --> 00:37:25,040
two sequences واحدة نسميها x n والثانية u n

349
00:37:25,040 --> 00:37:37,510
contained in I بحيث أنّ absolute x n ناقص u n أصغر

350
00:37:37,510 --> 00:37:46,390
من واحد على n لكل n and absolute f of x n ناقص f

351
00:37:46,390 --> 00:37:56,420
of u n أكبر من أو يساوي epsilon zero لكل n في n كلّ

352
00:37:56,420 --> 00:38:01,300
هذا نأخذه من الـ non uniform continuity criterion

353
00:38:01,300 --> 00:38:11,500
الآن بدنا نصل لتناقض طيب

354
00:38:11,500 --> 00:38:15,980
عشان نصل لتناقض since

355
00:38:18,370 --> 00:38:25,750
I is bounded الفترة دي احنا فرضين أنها bounded و

356
00:38:25,750 --> 00:38:32,550
الـ sequence x n contained in I then الـ sequence x

357
00:38:32,550 --> 00:38:35,450
n is bounded

358
00:38:41,210 --> 00:38:57,810
هنا باستخدام حسب Bolzano

359
00:38:57,810 --> 00:39:01,890
Weierstrass

360
00:39:01,890 --> 00:39:02,350
firm

361
00:39:11,180 --> 00:39:23,360
السيكوينس هناك سبسيكوينس سميها x n k of x n such that

362
00:39:23,360 --> 00:39:28,740
السيكوينس had a convergence limit x n k as k tends

363
00:39:28,740 --> 00:39:33,840
to infinity as

364
00:39:33,840 --> 00:39:40,030
k tends to infinity بساوي z ينتمي إلى r بالنسبة لـ

365
00:39:40,030 --> 00:39:45,090
some z and some r Bolzano Weierstrass كلّ sequence

366
00:39:45,090 --> 00:39:48,570
لها convergence subsequence سمّي الـ subsequence هكذا

367
00:39:48,570 --> 00:39:50,330
وسمّي الـ limit تبعتها هكذا

368
00:39:54,530 --> 00:40:00,450
الـ sub-sequence X n K contained in I التي هي

369
00:40:00,450 --> 00:40:05,450
الفترة المغلقة من A إلى B فأحنا أخذنا نظرية تقول

370
00:40:05,450 --> 00:40:08,290
أن لو كان هناك sequence حدودها محصورة بين A وB

371
00:40:08,290 --> 00:40:13,230
ومتقاربة فنهايتها أيضًا محصورة بين A وB فهذا سيؤدي

372
00:40:13,230 --> 00:40:18,230
إلى أن Z تنتمي إلى الفترة المغلقة من A إلى B التي

373
00:40:18,230 --> 00:40:18,890
هي I

374
00:40:24,140 --> 00:40:28,340
الذي يدفع الاتصال

375
00:40:28,340 --> 00:40:31,620
الاتصال

376
00:40:31,620 --> 00:40:34,420
الاتصال الاتصال الاتصال الاتصال الاتصال الاتصال

377
00:40:34,420 --> 00:40:44,240
الاتصال الاتصال

378
00:40:51,890 --> 00:41:02,550
موجودين في I موجودين في I موجودين

379
00:41:02,550 --> 00:41:12,990
في I موجودين في I الـ subsequence U n برضه لها

380
00:41:12,990 --> 00:41:16,970
subsequence مشابهة و convergent لنفس الـ Z هذا مش

381
00:41:16,970 --> 00:41:25,390
واضح لثبته لثباته to see this to see this note

382
00:41:25,390 --> 00:41:28,250
that

383
00:41:31,680 --> 00:41:37,040
بنقدر نخلّي الفرق بين

384
00:41:37,040 --> 00:41:47,580
u n k و z أصغر من أي epsilon فهذا

385
00:41:47,580 --> 00:41:58,020
أصغر من أو يساوي u n k ناقص x n k زائد absolute x n k

386
00:41:58,020 --> 00:42:03,380
ناقص z هو في الأصل أنّ أنا المفروض أكتب أنا أشعر

387
00:42:03,380 --> 00:42:07,840
بالإضطراب x n k ورجعتها واستخدمت الـ triangle

388
00:42:07,840 --> 00:42:18,420
inequality طيب هذا صحيح لكل k ينتمي إلى n طيب أنا

389
00:42:18,420 --> 00:42:22,220
عندي limit

390
00:42:22,220 --> 00:42:30,290
x n ناقص u n بساوي صفر لأن هذا صحيح لكل n فـ

391
00:42:30,290 --> 00:42:36,130
limit u n k ناقص x n k برضه بيساوي صفر فهذا

392
00:42:36,130 --> 00:42:43,750
بيروح لصفر as k tends to infinity وعندي أنا برضه u

393
00:42:43,750 --> 00:42:50,290
الـ x n k جلنا تقول إلى z فبالتالي الـ absolute

394
00:42:50,290 --> 00:42:56,630
value هذه بتروح لصفر as k tends to infinity وهذا

395
00:42:56,630 --> 00:43:08,170
أكبر من صفر، إذن by squeeze theorem الـ sequence

396
00:43:08,170 --> 00:43:13,030
هذه محصورة بين الـ sequence هذه بالصفر ومجموعة two

397
00:43:13,030 --> 00:43:18,270
sequences بيقولوا للصفر إذا من الـ limit لـ absolute

398
00:43:18,270 --> 00:43:25,570
u n k ناقص z as k tends to infinity بساوي صفر و

399
00:43:25,570 --> 00:43:31,270
منها بطلع الـ limit u n k as k tends to infinity

400
00:43:31,270 --> 00:43:38,230
بساوي z وبالتالي هذا بيثبت الـ claim تمام؟ إذا هنا

401
00:43:38,230 --> 00:43:43,830
أثبتنا الـ claim الآن بعد ما أثبتنا الـ claim

402
00:43:57,160 --> 00:44:04,320
طيب طيب now أنا

403
00:44:04,320 --> 00:44:12,300
بدّي أقول لكم اثبتنا أنه النقطة z تنتمي .. z تنتمي لـ

404
00:44:12,300 --> 00:44:16,880
I الـ limit تبعت الـ subsequence تنتمي لـ I والـ f

405
00:44:16,880 --> 00:44:17,460
continuous

406
00:44:21,950 --> 00:44:25,850
إنّ الهدف بقدم if is continuous لأن if continuous

407
00:44:25,850 --> 00:44:32,210
على I وبالتالي continuous عند أي نقطة في الـ I ولا

408
00:44:32,210 --> 00:44:36,990
تكن الـ Z hence

409
00:44:36,990 --> 00:44:40,730
by

410
00:44:40,730 --> 00:44:46,510
sequential criterion by sequential criterion for

411
00:44:46,510 --> 00:44:50,500
continuous function الـ function continuous عند

412
00:44:50,500 --> 00:44:54,640
النقطة z وفي عندي sequence x n k converged لـ z

413
00:44:54,640 --> 00:45:01,260
إذا الـ limit لصورة الـ sequence أو الـ subsequence

414
00:45:01,260 --> 00:45:10,180
لما كتره لـ infinity بساوي f of z وكذلك أيضًا And

415
00:45:10,180 --> 00:45:13,760
برضه الـ limit أنا عندي برضه الـ sequence هذي

416
00:45:13,760 --> 00:45:20,220
converge لـ z فنهاية صورة الـ subsequence u n k as

417
00:45:20,220 --> 00:45:27,260
k tends to infinity برضه بيساوي f of z تمام

418
00:45:27,260 --> 00:45:31,520
طيب

419
00:45:31,520 --> 00:45:35,000
لكن

420
00:45:35,000 --> 00:45:43,090
أنا عندي أنا عندي المتباينة الـ but أنا عندي 

421
00:45:43,090 --> 00:45:47,170
absolute f of x in

422
00:45:55,850 --> 00:46:01,570
من الفرض هيها من الفرض أن ال function not

423
00:46:01,570 --> 00:46:07,070
uniformly continuous أنا عندي هذا أكبر من أو يساوي

424
00:46:07,070 --> 00:46:10,050
epsilon zero لكل n لكل حدود ال sequences

425
00:46:14,300 --> 00:46:20,060
فهذا بيقدّي .. هذا بدوره بيقدّي أن epsilon zero

426
00:46:20,060 --> 00:46:27,180
هي epsilon zero أصغر من أو يساوي absolute f of x in

427
00:46:27,180 --> 00:46:36,220
k minus f of u in k تمام؟

428
00:46:37,840 --> 00:46:41,720
هذا صحيح لـ sequence x in و لـ sequence u in إذا

429
00:46:41,720 --> 00:46:46,200
صحيح للـ subsequence للـ subsequences إذا هذه جاية

430
00:46:46,200 --> 00:46:50,620
من هنا طيب و by triangle inequality by triangle

431
00:46:50,620 --> 00:46:56,760
inequality ممكن أخلي هذا أصغر من أو يساوي f of x nk

432
00:46:56,760 --> 00:47:10,090
minus f of z زائد absolute f of z-F of U in K أنا

433
00:47:10,090 --> 00:47:14,610
شو أنا عاملة اتراحت من هنا F of Z و رجعتها اه و

434
00:47:14,610 --> 00:47:17,810
استخدمت ال triangle equality فصار عندي اصلا مجموعة

435
00:47:17,810 --> 00:47:24,070
two absolute values طيب

436
00:47:24,070 --> 00:47:30,660
ما أنا ممكن أخليأنا عندي limit ال sequence هذه

437
00:47:30,660 --> 00:47:36,800
بساوي f of z فلأي given epsilon أكبر من الصفر ممكن

438
00:47:36,800 --> 00:47:42,300
أخلي absolute الفرخ هذا أصغر من epsilon على 2 ونفس

439
00:47:42,300 --> 00:47:47,260
الحاجة أنا عندي ال sequence f of u and k converged

440
00:47:47,260 --> 00:47:51,840
ل f of z إذا ممكن أخلي ال absolute value للفرخ هذه

441
00:47:51,840 --> 00:47:59,540
أصغر من epsilon على 2وبالتالي بيطلع المجموعة

442
00:47:59,540 --> 00:48:06,420
epsilon هذا صحيح لكل K أكبر من أو يساوي كابتل K أو

443
00:48:06,420 --> 00:48:12,360
كابتل N واضح تمام؟ يعني لا أي epsilon أكبر من صفر

444
00:48:12,360 --> 00:48:15,820
أو لا عفو أن ال epsilon نفس ال epsilon zero هذه ال

445
00:48:15,820 --> 00:48:19,380
epsilon هي نفس ال epsilon zeroهي عندي الـ Epsilon

446
00:48:19,380 --> 00:48:23,780
Zero given لما أن ال sequence هي ال converge إذا

447
00:48:23,780 --> 00:48:28,400
يوجد capital N واحد يعتمد على Epsilon Zero بحيث أن

448
00:48:28,400 --> 00:48:33,580
أبسلوت الفرق هذا أصغر من أو يساوي Epsilon على اتنين

449
00:48:33,580 --> 00:48:37,140
لكل K أكبر من أو يساوي capital K واحد أو capital N

450
00:48:37,140 --> 00:48:42,560
واحد ونفس الحاجة لنفس ال Epsilon Zero يوجد N اتنين

451
00:48:43,830 --> 00:48:47,730
بحيث أن بما أن هذه ال sequence converge إذا

452
00:48:47,730 --> 00:48:52,310
الفرخة ده بقدر أخليه لكل n أكبر من أو لكل k أكبر

453
00:48:52,310 --> 00:48:56,630
من أو يساوي n اتنين أصغر من ابسلون اتنين الآن خدي n

454
00:48:56,630 --> 00:49:05,410
بساوي ال maximum ل n واحد و n اتنين فبقدر

455
00:49:05,410 --> 00:49:11,930
أخلي هذا أصغر من ابسلون زيرو لكل k أكبر من أو يساوي

456
00:49:11,930 --> 00:49:16,590
nففي النهاية بيطلع عندي epsilon zero أقل من

457
00:49:16,590 --> 00:49:19,650
epsilon أصغر من epsilon zero هذا مديني

458
00:49:19,650 --> 00:49:23,590
contradiction لأن هذا التناقض بيقول لي أن ال

459
00:49:23,590 --> 00:49:28,150
assumption تبعنا أن ال function not uniformly

460
00:49:28,150 --> 00:49:32,050
continuous كان assumption خطأ لأن الصح أن ال F

461
00:49:32,050 --> 00:49:37,810
تكون uniformly continuous okay تمام واضح؟Okay إذا

462
00:49:37,810 --> 00:49:44,230
بنوقف إن شاء الله هنا عند نهاية البرهان هذا و

463
00:49:44,230 --> 00:49:51,690
بيكون هيك احنا يعني خلصنا جزء مش بسيط في section

464
00:49:51,690 --> 00:49:56,730
خمسة أربعة و نكتفي بهذا القدر و يعطيكم ألف عافية و

465
00:49:56,730 --> 00:49:58,590
شكرا لحسن أصغائكم