Datasets:

OzLabs
/

hebrew-wiki-articles

id int64 7 2.37M	title stringlengths 1 97	text stringlengths 0 857k
7	מתמטיקה	שיעור ב[[אלגברה ליניארית באוניברסיטת הלסינקי]] ילדות פותרות תרגיל במתמטיקה מָתֵמָטִיקָה היא תחום דעת העוסק במושגים כגון כמות, מבנה, מרחב ושינוי. המתמטיקאים מחפשים דפוסים ותבניות משותפות במספרים, במרחב, במדע ובהפשטות דמיוניות. המתמטיקה התפתחה ממנייה, חישוב ומדידה ומהמחקר השיטתי של צורות ותנועה של עצמים מוחשיים. הידע והשימוש במתמטיקה בסיסית היוו תמיד חלק טבעי וחיוני בחיי האדם והקבוצה. ניתן למצוא שכלולים של הרעיונות הבסיסיים בטקסטים המתמטיים שהגו המצרים, הבבלים, ההודים, הסינים, היוונים והמוסלמים. כבר בשלב מוקדם בלטו שלושה מאפיינים המלווים את המתמטיקה עד היום: * הפשטה: אף שמקורם של חלק מן העצמים המתמטיים בעולם הממשי, הדיון המתמטי בהם כרוך בהפשטה ניכרת. המספר 5 עשוי לייצג 5 אבנים או 5 תפוחים, אך המתמטיקה עוסקת במספר כישות עצמאית, שאינה מייצגת דבר. המעגל מזכיר לנו חפצים מוחשיים עגולים, כגון גלגל, אך הגאומטריה עוסקת במעגל מופשט, חסר משקל וחסר נפח ומושלם בצורתו. * הכללה: המתמטיקה בוחנת את עצמיה המופשטים בראייה רחבה, תוך חיפוש מאפיינים כלליים שלהם. מושג המספר כולל בתוכו סדרה של הכללות: מעבר ממספרים טבעיים למספרים שלמים, מהם למספרים רציונליים, מהם למספרים ממשיים ומהם למספרים מרוכבים. בכל אחת ממערכות המספרים הללו מוכלת המערכת שקדמה לה. * הוכחה: כל טענה מתמטית יש להוכיח, כלומר לנמק את נכונות הטענה באמצעות סדרה של כללי היסק. המתמטיקאי מעלה השערות חדשות, שאת אמיתותן עליו לבסס באמצעות הוכחות פורמליות דדוקטיביות הנובעות מתוך אקסיומות (הנחות יסוד שקובעים כי הן נכונות), והגדרות שנבחרו בהתאם. הוכחות פורמליות הופיעו לראשונה במתמטיקה היוונית, ובמיוחד ב"יסודות" של אוקלידס. פיתוח המתמטיקה המשיך, בצורה בלתי מסודרת, עד תקופת הרנסאנס במאה ה-16, שבה החידושים המתמטיים קיימו יחסי גומלין עם התגליות המדעיות של התקופה. דבר זה הוביל להאצה במחקר המתמטי, ובמקביל לכך החלה התרחבות מהירה של המתמטיקה כמדע עצמאי. שני כיווני התפתחות אלה נמשכים עד היום. המתמטיקה משמשת ככלי חיוני בתחומים רבים, ובכלל זה במדעי הטבע, בהנדסה, ברפואה ואף במדעי החברה כגון כלכלה, פסיכולוגיה ודמוגרפיה. בעיות שמקורן בענפי מדע אחרים ממשיכות להוות זרז ומניע לתגליות מתמטיות חדשות, ולעיתים מתפתחים תחומים מתמטיים חדשים לחלוטין בעקבות זאת. במקביל מתפתחת המתמטיקה כענף ידע נרחב ועצמאי, ללא התייחסות ליישומו בענפי מדע אחרים, אם כי לעיתים קרובות מתגלים בהמשך יישומים מעשיים לתגליות שהחלו כמתמטיקה עיונית בלבד. ==אטימולוגיה== מקור המילה "מתמטיקה" במילה היוונית העתיקה μάθημα (מתמה, máthēma), שפירושה: "למידה, לימוד, מדע". בנוסף קיבלה המילה, עוד בעת העתיקה, את המשמעות הצרה יותר של "לימוד מתמטי". שם התואר המתאים ביוונית הוא μαθηματικός (מתמטיקוס, mathēmatikós), שפירושו: "קשור ללמידה"; כמו השם שהוא נגזר ממנו, גם התואר קיבל משמעות צרה יותר, דהיינו "מתמטי, קשור למתמטיקה". התואר משמש בפרט בביטוי μαθηματικὴ τέχνη (מתמטיקה טכנה, mathēmatikḗ tékhnē), כלומר (בתרגום חופשי) "מקצוע המתמטיקה", או בלטינית ars mathematica (ארס מתמטיקה), כלומר "אמנות המתמטיקה". שמואל אבן תיבון, בתרגומו ל"מורה הנבוכים", בתחילת המאה ה-13, השתמש במילה "לימודיים" במשמעות של מתמטיקה. בכך הלך ישירות על פי הערבית ("תעאלים") והיוונית. יהודה אלחריזי, שתרגם אף הוא את "מורה הנבוכים", השתמש בביטויים "חכמת הלימודים" ו"חכמות לימודיות" במשמעות של מתמטיקה. בעברית ישראלית משמשת המילה "מתמטיקה". בכיתות הנמוכות מכונים לימודי המתמטיקה "חשבון" (אריתמטיקה בסיסית) ו"הנדסה" (גאומטריה בסיסית). == היסטוריה == [[ספרות מאיה]] "הספר התמציתי לחישוב על ידי השלמה ואיזון", [[ספרו של אבו ג'עפר מחמד אל ח'ואריזמי, הנחשב לאבן דרך בהתפתחות האלגברה.]] את התפתחות המתמטיקה ניתן לראות כסדרה הולכת וגדלה של הפשטות או פיתוחים של נושאים שונים. ההפשטה הראשונה הייתה, ככל הנראה, של המספרים: ההבחנה, כי לשני תפוחים ולשני תפוזים (לדוגמה) יש תכונה משותפת, היוותה פריצת דרך בחשיבה האנושית. בנוסף להבנה כיצד לספור חפצים מוחשיים, בני האדם הפרהיסטוריים הבינו גם כיצד לספור חפצים מופשטים, כגון יחידות זמן - ימים, עונות ושנים. משם נבעה באופן טבעי האריתמטיקה, הכוללת את ארבע פעולות החשבון: חיבור, חיסור, כפל וחילוק. על-מנת להשיג התקדמות נוספת, נדרשה כתיבה או מערכת אחרת לרשימת מספרים, כגון מקל ספירה או קיפו, התקן ספירה הבנוי מחוטים וקשרים ושימש את בני האינקה לשמירת מידע מספרי. שיטות ספירה רבות ומגוונות הומצאו, כאשר המספרים הכתובים העתיקים ביותר הידועים כיום נרשמו על ידי המצרים כ-4,000 שנה לפני זמננו בטקסטים כגון פפירוס רינד. התחומים המרכזיים במתמטיקה נוצרו מתוך הצורך בהבנת הקשר בין המספרים, במדידת שטחים, בחישובים לצורכי מס ומסחר, ובחיזוי אירועים שמימיים. מכאן נבעה החלוקה הבסיסית של המתמטיקה למחקר של כמות, מבנה, שינוי ומרחב. חפירות ארכאולוגיות מעידות על כך שלחכמי בבל ובמצרים היה ידע במתמטיקה, בין השאר במשוואות ריבועיות, שורש ריבועי, שטחים של צורות מישוריות ושימוש בטבלאות שונות. מאז, הורחבה המתמטיקה בצורה ניכרת, ויצרה יחסי גומלין פוריים עם תחומי המדע השונים. תגליות מתמטיות חדשות נתגלו לכל אורך ההיסטוריה, וממשיכות להתגלות עד היום. התפתחות המתמטיקה בעת העתיקה הגיעה לשיאה ביוון העתיקה, בזכות מתמטיקאים מפורסמים כמו אוקלידס וארכימדס. בימי הביניים היה עיקר ההתפתחות על ידי הערבים, שפיתחו את האלגברה והטריגונומטריה. במאה ה-17 הייתה פריחה של ענפים שונים במתמטיקה, כגון גאומטריה אנליטית וחשבון אינפיניטסימלי, ששימשו הזנק לענפים מדעיים רבים. פיתוח הגאומטריה הלא-אוקלידית במאה ה-19 הדגיש את חשיבותן של האקסיומות במתמטיקה, ואת התרחקותה מהגישה האינטואיטיבית. בסוף המאה ה-19 פותחה תורת הקבוצות, והתפתח דיון ביסודות המתמטיקה. במאה ה-20 המשיכה המתמטיקה בהתפתחותה המהירה והושגו הישגים רבים, בהם פתירת רוב הבעיות שנכללו ב-23 הבעיות של הילברט. תחום הלוגיקה זכה להישגים בולטים במאה זו, ונולד תחום מתמטי חדש, מדעי המחשב. למרות כל ההישגים הללו, הידע המתמטי שלנו רחוק מלהיות שלם: מתמטיקאים עודם שוקדים על הוכחות למשפטים חדשים ופיתוח רעיונות מתמטיים מקוריים. לשם הדגמה, בבסיס הנתונים של כתב העת Mathematical Review, שנוסד ב-1940, יש, נכון ל-2017, מעל שני מיליון מאמרים וספרים. רובן המוחלט של עבודות אלו עוסק במשפטים מתמטיים חדשים ובהוכחותיהם. ==תחומי עיסוק== [[חשבונייה, כלי חישוב פשוט, שנמצא בשימוש מאז העת העתיקה.]] כאמור לעיל, התחומים העיקריים במתמטיקה הופיעו כתוצאה מהצורך לבצע חישובים במסחר, להבין את היחסים בין מספרים, למדוד אדמה ולחזות אירועים אסטרונומיים. ארבעת הצרכים הראשוניים האלו מחלקים באופן גס את המתמטיקה לחקר של כמות, מבנה, מרחב ושינוי (אריתמטיקה, אלגברה, גאומטריה ואנליזה, בהתאמה). בנוסף לתחומים אלו, ישנן חלוקות-משנה המיועדות לחקר יסודות המתמטיקה (לוגיקה מתמטית ותורת הקבוצות), לשימושים של המתמטיקה במדעים השונים, ולאחרונה למחקר הריגורוזי באי-ודאות. === כמות === חקר הכמות מתחיל עם מספרים: ראשית, המספרים הטבעיים והשלמים והפעולות הבסיסיות שניתן לבצע עליהם, אשר מאופיינות באמצעות האריתמטיקה. בהמשך, התכונות המורכבות יותר של המספרים השלמים נלמדות בתורת המספרים, אשר ממנה נובעות תוצאות חשובות כגון המשפט האחרון של פרמה. לאחר פיתוח נוסף של מערכת המספרים, ניתן לראות כי המספרים השלמים הם תת-קבוצה של המספרים הרציונלים ("שברים"). אלה, בתורם, מהווים חלק מקבוצת המספרים הממשיים, המשמשים לייצוג כמויות רציפות. את המספרים הממשיים ניתן להכליל למספרים מרוכבים, וזהו צעד ראשון בהיררכיה של מספרים אשר ניתן להמשיך אותה עם קווטרניונים ואוקטוניונים. עיון במספרים הטבעיים מניב גם את הסודרים האינסופיים, שנותנים תוקף למושג של ספירה לאינסוף. תחום מחקר נוסף הוא גודל, אשר מוביל לעוצמות ולתפיסה אחרת של האינסוף: מספרי "אָלֶף", המאפשרים השוואה בעלת משמעות בין הגדלים של קבוצות אינסופיות. :{\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20" \| <math>1, 2, 3\,\!</math> \|\| <math>-2, -1, 0, 1, 2\,\!</math> \|\| <math> -2, \frac{2}{3}, 1.21\,\!</math> \|\| <math>-e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\!</math> \|\| <math>2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!</math> \|- \| מספרים טבעיים \|\| מספרים שלמים \|\| מספרים רציונליים \|\| מספרים ממשיים \|\| מספרים מרוכבים \|} === מבנה === עצמים מתמטיים רבים, כגון קבוצות של מספרים ושל פונקציות, הם בעלי מבנה פנימי. את תכונות המבנה שלהם חוקרים באמצעות התבוננות בחבורות, חוגים, שדות ומבנים מופשטים נוספים, שהם עצמים מתמטיים בפני עצמם. זהו תחום האלגברה המופשטת. מושג חשוב בתחום זה הוא וקטורים, אשר ניתן להכלילם למרחב וקטורי וללמוד אותם במסגרת האלגברה הליניארית. מושג הווקטור משלב בתוכו שלושה מהתחומים היסודיים במתמטיקה: כמות, מבנה ומרחב. אנליזה וקטורית מוסיפה את התחום היסודי הרביעי, שינוי. באמצעות חשבון טנזורים נחקרות סימטריות והתנהגותם של וקטורים תחת סיבובים. מספר שאלות עתיקות על בנייה בסרגל ומחוגה נפתרו לבסוף בתורת גלואה. :{\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" - \| תורת המספרים \|\| אלגברה מופשטת \|\| תורת החבורות \|\| תורת הסדר \|} === מרחב === [[איורי גופים גאומטריים, מתוך ציקלופדיית צ'יימברס.]] לימוד המרחב התחיל בגאומטריה - בפרט, גאומטריה אוקלידית. טריגונומטריה משלבת מרחב ומספרים. המחקר המודרני במרחב מכליל את הרעיונות האלה לגאומטריה מרובת-ממדים, גאומטריות לא-אוקלידיות (שלהן תפקיד מרכזי בתורת היחסות הכללית) וטופולוגיה. כמות ומרחב משתלבים באמצעות גאומטריה אנליטית, גאומטריה דיפרנציאלית וגאומטריה אלגברית. בתחום הגאומטריה הדיפרנציאלית, אשר שמה דגש על מערכות צירים, חלקות וכיוון, נמצא את המושגים של אגד סיבים ואנליזה על יריעות. בגאומטריה אלגברית מתוארים העצמים הגאומטריים כקבוצת הפתרונות של משוואות פולינומיות, ובכך משתלבים מושגי הכמות והמרחב, וכן נחקרות חבורות טופולוגיות, אשר משלבות מבנה ומרחב. חבורות לי משמשות לחקר מרחב, מבנה ושינוי. טופולוגיה, על תתי-הענפים שלה, הייתה כנראה תחום ההתפתחות הגדול ביותר במאה ה-20, וכוללת את השערת פואנקרה ואת משפט ארבעת הצבעים, שהוכח בעזרת מחשב ונכונותו לא אומתה בידי אדם. :{\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" - \|גאומטריה \|\| טריגונומטריה \|\| גאומטריה דיפרנציאלית \|\| טופולוגיה \|\| גאומטריה פרקטלית \|} === שינוי === תיאור והבנת שינוי הוא צורך נפוץ במדעי הטבע, וחשבון אינפיניטסימלי פותח ככלי רב-עוצמה לחקירתו. המושג העיקרי המשמש לתיאור מנה משתנית הוא הפונקציה. המחקר הריגורוזי במספרים הממשיים ובפונקציות המקבלות ערכים ממשיים נקרא אנליזה ממשית, והתחום המקביל החוקר פונקציות של מספרים מרוכבים נקרא אנליזה מרוכבת. השערת רימן, אחת מהשאלות הפתוחות היסודיות ביותר במתמטיקה, נובעת מהאנליזה המרוכבת. אנליזה פונקציונלית מתמקדת במרחבי פונקציות, בדרך כלל בעלי אינסוף ממדים. אחד מהשימושים הרבים של האנליזה הפונקציונלית הוא במכניקת הקוונטים. בפתרון בעיות רבות ניתן להיעזר בקשרים בין כמות לבין קצב השינוי שלה, וקשרים אלה נלמדים בתחום המשוואות הדיפרנציאליות. תופעות רבות בטבע ניתנות לתיאור באמצעות מערכות דינמיות; תורת הכאוס חוקרת בצורה מדויקת את הצורה שבה רבות ממערכות אלה פועלות בצורה בלתי ניתנת לחיזוי אך עדיין דטרמיניסטית. אנליזה נומרית חוקרת שיטות חישוב שונות לפתרון יעיל של קשת רחבה של בעיות חישוביות שאין להן פתרון אנליטי; היא כוללת את המחקר בשגיאות עיגול ומקורות אחרים לשגיאות בחישוב. {\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20" - \| חשבון אינפיניטסימלי \|\| אנליזה וקטורית\|\| משוואות דיפרנציאליות \|\| מערכות דינמיות \|- - \| תורת הכאוס \|\| אנליזה נומרית \|\| פיזיקה מתמטית \|\| מכניקת הזורמים \|} === יסודות ופילוסופיה === על מנת להסביר את יסודות המתמטיקה פותחו תחומי הלוגיקה המתמטית ותורת הקבוצות, וכן תורת הקטגוריות שעדיין בשלבי פיתוח. "משבר היסודות" הוא הכינוי שניתן בתחילת המאה ה-20 לחיפוש אחר יסודות מתאימים למתמטיקה, הוא תופעה מתמשכת, המומחשת על ידי מספר מחלוקות כגון המחלוקת על תורת קנטור, מחלוקת בראואר-הילברט ומחלוקת בישופ-קייסלר. לוגיקה מתמטית מתייחסת לקביעת המתמטיקה על מסגרת אקסיומטית קשיחה, וחקר התוצאות של מסגרת כזו. ניתן למצוא בה את משפט האי-שלמות השני של גדל, אולי התוצאה המפורסמת ביותר בלוגיקה, שלפיה כל מערכת פורמלית המכילה אריתמטיקה בסיסית, אם היא חזקה מספיק (כלומר, כל המשפטים שניתן להוכיחם הם נכונים) אזי היא בהכרח בלתי שלמה (כלומר, ישנם משפטים נכונים שלא ניתן להוכיחם במסגרת אותה מערכת). גדל הראה כיצד לבנות, בהינתן אוסף של אקסיומות בתורת המספרים, טענה פורמלית שהיא נכונה במספרים הטבעיים, אך אינה נובעת מהאקסיומות הנתונות. מכאן, שום מערכת פורמלית אינה אקסיומטיזציה אמיתית של תורת המספרים במלואה. לוגיקה מודרנית מחולקת לתורת הרקורסיה, תורת המודלים ותורת ההוכחות, והיא בעלת יחסים הדוקים עם מדעי המחשב התאורטיים. :{\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" \| <math> p \Rightarrow q \,</math>\|- \| לוגיקה מתמטית \|\| תורת הקבוצות \|\| תורת הקטגוריות \|\| \|} === מתמטיקה דיסקרטית === מתמטיקה דיסקרטית (או מתמטיקה בדידה) היא תחום העוסק בחקר מבנים מתמטיים בדידים, כלומר בני־מנייה. זאת להבדיל מהאנליזה המתמטית, המרבה לעסוק במבנים מתמטיים רציפים, שאינם בני מנייה. מתמטיקה בדידה זוכה לפופולריות גוברת מאז החצי השני של המאה העשרים, בזכות שימושיה במדעי המחשב: מחשב ספרתי (להבדיל ממחשב אנלוגי) פועל בצורה בדידה, צעד אחר צעד ובעזרת יחידות בדידות, ולכן למתמטיקה בדידה רלוונטיות גבוהה ליסודות התאורטיים של אופן פעולתו. ענפים עיקריים הנכללים במסגרת הרחבה של המתמטיקה הבדידה הם: קומבינטוריקה, תורת הגרפים, אלגוריתמיקה ואלגברה בוליאנית. :{\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" \| <math>\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}</math> \|- \| קומבינטוריקה \|\| תורת הגרפים \|} ===מדעי המחשב=== מדעי המחשב התאורטיים כוללים תחומים מתמטיים אחדים בעלי רלוונטיות גבוהה להבנת מהותם ואופן פעולתם של מחשבים, ובהם תורת החישוביות, תורת הסיבוכיות החישובית ותורת האינפורמציה. תורת החישוביות חוקרת את גבולותיהם של מודלים תאורטיים שונים של המחשב, ובכלל זה המודל העוצמתי ביותר הידוע כיום - מכונת טיורינג. תורת הסיבוכיות חוקרת את המשאבים הנחוצים לפתרון בעיות; חלק מהבעיות, אף על פי שתאורטית ניתן לפתור אותן באמצעות מחשב, דורשות זמן ריצה וזיכרון כה רבים, שפתרונן עתיד להישאר בלתי-ישים, אפילו בהתחשב בהתקדמות המהירה של פיתוח החומרה. לבסוף, תורת האינפורמציה עוסקת בכמות הנתונים שניתן לאחסן על אמצעי-אחסון מסוים, ובמושגים כגון דחיסת נתונים ואנטרופיה. כתחום חדש יחסית, במדעי המחשב קיימות בעיות פתוחות מהותיות רבות. המפורסמת מתוכן היא האם P=NP. :{\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" - \| תורת החישוביות \|\| תורת הסיבוכיות \|\| קריפטוגרפיה \|} === בסיס תאורטי למחקר במדעי החברה והניהול ובמדעי החיים === מראשית ימיה שימשה המתמטיקה לפתרון בעיות בעולם הממשי, במקביל להתפתחותה העיונית, כמדע העומד בפני עצמו. לאורך הדורות בלט השימוש במתמטיקה לפתרון בעיות בפיזיקה. בעת החדשה, ובפרט במאה העשרים התפתחו ענפי מתמטיקה אחדים המספקים ביסוס מתמטי לפעילויות שההיבטים המעשיים שלהם נחקרים במסגרת מדעי החברה (כלכלה, ניהול) ומדעי החיים (ביולוגיה, רפואה). סטטיסטיקה עושה שימוש בכלים של תורת ההסתברות ומאפשרת תיאור, ניתוח וחיזוי של תופעות שבהן המקרה משחק תפקיד. רוב הניסויים, הסקרים והתצפיות דורשים שימוש מושכל בסטטיסטיקה. למרות זאת, רבים מהסטטיסטיקאים אינם מחשיבים את עצמם כמתמטיקאים, אלא כחלק מקבוצה נפרדת העושה שימוש במתמטיקה. חקר ביצועים הוא תחום יישומי נוסף של המתמטיקה המאפשר מציאת פתרונות אופטימליים לבעיות עם משאבים מוגבלים, או החלטות מיטביות בהתאם למידע הקיים. תורת המשחקים משמשת לניתוח מצבי תחרות ועימות. :{\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" - \|אופטימיזציה \|\| תורת ההסתברות \|\| סטטיסטיקה \|\| מתמטיקה פיננסית \|\| תורת המשחקים \|} == סימון, שפה וריגורוזיות == מרבית הסימונים המתמטיים שבשימוש כיום הומצאו רק במאה ה-16 ואילך. לפני כן, המתמטיקה נכתבה במילים ולא בסימנים - תהליך איטי שהגביל את היכולת המתמטית של בני אותן תקופות. לאונרד אוילר המציא, במאה ה-18, רבים מהסימנים שבשימוש כיום. הסימון המתמטי המודרני הופך את העיסוק במתמטיקה נוח ביותר למקצוענים, אך מתחילים מוצאים אותו מרתיע לעיתים. הסימון המתמטי "דחוס" מאוד: ניתן להביע באמצעותו מידע רב מאוד תוך שימוש במספר מועט של סמלים. בדומה לתיווי מוזיקלי, גם לתיווי המתמטי המודרני תחביר מדויק ונוקשה, והוא מקודד מידע שיהיה קשה לכתבו בכל צורה אחרת. גם השפה המתמטית עשויה להיות קשה להבנה למתחילים. למילים כגון "או" יש משמעות מדויקת, ולעיתים שונה, מבלשון היומיומית. בנוסף, מילים כגון "פתוח" ו"שדה" קיבלו משמעות מתמטית מיוחדת. הז'רגון המתמטי כולל מונחים טכניים חדשים רבים, כגון הומיאומורפיזם ואינטגרביליות. ישנה סיבה לכל הסימונים והמונחים המיוחדים: המתמטיקה דורשת דיוק רב בהרבה מלשון היום-יום. המתמטיקאים קוראים לרמת הדיוק הזו בשפה "ריגורוזיות". ריגורוזיוּת היא מרכיב יסודי בכל הוכחה מתמטית. המתמטיקאים מעוניינים שהמשפטים שהם מנסחים ינבעו מאקסיומות באמצעות הסקת מסקנות שיטתית. רק כך ניתן להימנע מ"משפטים" שגויים, המבוססים על אינטואיציה בלבד, שכמותם הופיעו רבים במהלך ההיסטוריה המתמטית (ראו למשל: משפט ארבעת הצבעים). רמת הריגורוזיות המקובלת אצל המתמטיקאים השתנתה במשך ההיסטוריה. היוונים, שטיפלו בעיקר ביצורים גאומטריים קונקרטיים, דרשו טיעונים מפורטים. בתקופתו של אייזק ניוטון היה מקובל להשתמש בשיטות פחות קפדניות, וגם ההגדרות שנתנו ניוטון ולייבניץ למושגי היסוד של האנליזה, כמו הגבול של סדרה, לא היו מדוקדקים די הצורך בסטנדרטים מודרניים. בעיות מהותיות בהגדרת מושג הפונקציה, שהתעוררו בעיקר סביב עבודתו של פורייה, הובילו לתחייה המחודשת של ניתוח מדוקדק והוכחות פורמליות במאה ה-19. גם כיום, המתמטיקאים ממשיכים להתווכח בינם לבין עצמם בנוגע להוכחות מתמטיות בעזרת מחשב. חישובים בהיקף גדול קשים לאימות, ולכן יש הטוענים כי הוכחות כאלה אינן ריגורוזיוֹת מספיק. {\| class="wikitable" border="1" align="left" cellpadding="0" cellspacing="0" \|+כמות המספרים הראשוניים עד x והפער בינה לבין הערכת הנוסחה שבמשפט המספרים הראשוניים ! bgcolor="#A0E0A0" dir="ltr" \| x ! bgcolor="#A0E0A0" dir="ltr" \| π(x) ! bgcolor="#A0E0A0" dir="ltr" \| π(x) - x/ln(x) \|- \| 10<sup>1</sup> \| 4 \| 0 \|- \| 10<sup>2</sup> \| 25 \| 3 \|- \| 10<sup>3</sup> \| 168 \| 23 \|- \| 10<sup>4</sup> \| 1,229 \| 143 \|- \| 10<sup>5</sup> \| 9,592 \| 906 \|- \| 10<sup>6</sup> \| 78,498 \| 6,116 \|} בהשקפת העולם המסורתית, אקסיומות היו "אמיתות מובנות מאליהן", אך תפיסה זו היא בעייתית. במישור הפורמלי, אקסיומה היא שרשרת של סמלים, המקבלת משמעות רק בהקשר של נוסחאות הנגזרות ממערכת אקסיומטית. מטרתה של תוכנית הילברט הייתה לבסס את כל המתמטיקה על בסיס אקסיומטי מוצק, אך לפי משפטי האי-שלמות של גדל בכל מערכת אקסיומטית חזקה מספיק קיימים משפטים שלא ניתן להוכיחם, ולכן אקסיומטיזציה כפי שהציע אותה הילברט אינה אפשרית. למרות זאת, לעיתים קרובות מדברים על המתמטיקה, בכל הנוגע לתוכן הפורמלי שלה, כעל אקסיומטיזציה של תורת הקבוצות ותו לא - במובן שבו כל טענה מתמטית ניתנת לייצוג על ידי נוסחאות בתחום תורת הקבוצות. אחת מדרישות הריגורוזיות היא הסתמכות על דדוקציה ולא על אינדוקציה. בניגוד למדעי הטבע, בהם הסקת מסקנות מכמות גדולה של מקרים פרטיים אל הכלל מתקבלת כראייה מספקת לנכונותה של טענה, במתמטיקה נדרשות הוכחות ש"לוכדות את האינסוף" ולא רק מספר סופי של מספרים, גדול ככל שיהיה. דרישה זו יכולה להיראות קנטרנית, אך במהלך ההיסטוריה התברר שהיא הכרחית. לדוגמה, משפט המספרים הראשוניים, שמספק את הקירוב <math>\ Li(x) = \int_2^x \frac{1}{\log(t)}dt</math> למספר הראשוניים הקטנים מ-x. (היחס בין ערך זה לבין הפונקציה <math>\ \frac{x}{\log(x)}</math>, x מחולק בלוגריתם הטבעי שלו, שואף ל-1). הערכה זו מפריזה במספר הראשוניים לכל ערך שעבורו היא נבדקה, אך ג'ון אדנזור ליטלווד הראה שבשלב כלשהו הנוסחה תמעיט בכמות המספרים הראשוניים. משום כך השערות חשובות כמו המשפט האחרון של פרמה והשערת רימן נשארו פתוחות במשך שנים רבות (האחרונה עד היום), אף על פי שנמצאו להן ראיות, באמצעות מחשבי-על, התקפות למספרים רבים. ==פילוסופיה של המתמטיקה== [[משולש על משטח בגאומטריה היפרבולית. פיתוח הגאומטריה הלא אוקלידית העקבית במאה ה-19 הדגיש את חשיבותן של השימוש באקסיומות כנגד החשיבה האינטואיטיבית, ובכך היווה ראיה בעד גישת הפורמליזם המתמטי.]] הפילוסופיה של המתמטיקה היא ענף בפילוסופיה שמטרתו הבהרת מהותה של המתמטיקה. הוא נועד לענות על שאלות כמו: האם למתמטיקה תקפות אוניברסלית או שהיא תלויה בחשיבה האנושית, עד כמה המשפטים המתמטיים תקפים במציאות הגשמית, האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה, מדוע המתמטיקה כה שימושית בתיאור היקום וכיוצא בזאת. המושגים והמשפטים במתמטיקה אינם מתאימים בהכרח לעצמים בעולם הגשמי. אמנם, קיימת התאמה מסוימת, ואף על פי שמתמטיקאים עשויים לבחור אקסיומות וטענות הנראות הגיוניות ואינטואיטיביות, אין זה נחוץ שההנחות הבסיסיות במסגרת מערכת אקסיומטית יהיו נכונות במובן נסיוני או פיזיקלי. מכאן, אף על פי שמערכות אקסיומטיות רבות נגזרות מתפיסתנו ומניסויים, הן אינן תלויות בהם. לדוגמה, נוכל לומר כי את המושג הפיזיקלי של שני תפוחים ניתן להסביר באמצעות המודל המתמטי של המספרים הטבעיים - המספר 2. בעוד הדימוי של ההגדרות האקסיומטיות של המספרים הטבעיים כאוספים של תפוחים שימושי לצורכי הוראה, ההגדרה עצמה אינה תלויה או נגזרת מגופים גשמיים כלשהם. אף על פי כן, המתמטיקה היא עדיין כלי שימושי בפתרון בעיות ממשיות. שאלת תקפותה של המתמטיקה העסיקה הוגים רבים בכל הזמנים. היו שסברו שהמתמטיקה קיימת באותה מידה בה קיימים עצמים מוחשיים, ולפיכך היא מתגלה, ואילו אחרים טענו שהמתמטיקה נבנתה על ידי האדם, ולפיכך היא מומצאת. נושא זה הוא גרעין המחלוקת בין האסכולות בפילוסופיה של המתמטיקה: על פי הפלאטוניזם המתמטי, או הריאליזם המתמטי, הישויות המתמטיות קיימות באופן ממשי, והאדם רק מגלה אותן, כפי שהיה עושה ככל הנראה כל יצור תבוני אחר. השאלה הגדולה שמופנית לתומכי אסכולה זו היא איפה הישויות קיימות, ואיך ניתן למצוא אותן. בין התומכים המפורסמים בפלאטוניזם: הפילוסוף אפלטון והמתמטיקאים פאול ארדש וקורט גדל. הפורמליזם בבסיסו טוען שהמתמטיקה היא למעשה אוסף סמלים ופעולות שניתן לבצע בהם, על פי "כללי משחק" שנקבעו מראש, וללא כל משמעות מעבר לכך. גרסה מאוחרת יותר וקיצונית פחות של הפורמליזם היא הדדוקטיביזם, על פיה המתמטיקה אמיתית אם האקסיומות אמיתיות, אך ניתן לבנות גם מתמטיקה בעזרת אקסיומות "לא אמיתיות". ראייה לטובת אסכולה זו היא הגאומטריה הלא אוקלידית, גאומטריה שונה מזו המקובלת ולא אינטואיטיבית אך עקבית, שבמסגרתה אפשר להגיע לתכונות שונות מבגאומטריה האוקלידית הרגילה. בעקבות זאת המתמטיקאי הפורמליסט דויד הילברט ניסה לבנות את המתמטיקה על ידי ניסוח מוקפד של כלליה והצרנתה המוחלטת (הפיכתה לאוסף סמלים במסגרת המערכת), אך תוכנית זו נכשלה עקב משפטי האי-שלמות של גדל, על פיהם המושגים "נכון" ו"בר הוכחה" במתמטיקה לא שווים, מה שפגע אנושות בפורמליזם. הלוגיציזם מבוסס על הסברה שהמתמטיקה נובעת ישירות מהלוגיקה. במידה רבה זהו פיתוח של הפלאטוניזם. מייסד הלוגיציזם, גוטלוב פרגה, ניסה לבנות את האריתמטיקה מהלוגיקה, אך בבנייתו התגלתה סתירה, הידועה בתור הפרדוקס של ראסל. הוגה הפרדוקס ברטראנד ראסל ואלפרד נורת' וייטהד פיתחו בנייה חדשה של המתמטיקה, אך מסובכת יותר ולא לחלוטין נגזרת מהלוגיקה. האינטואיציוניזם היא האסכולה הקיצונית ביותר מבחינת דרישותיה. על פי אסכולה זו, ניתן לקבל את קיומו של עצם מתמטי רק אם ניתן לבנותו בצורה ברורה. לויצן אגברטוס יאן בראואר בנה את הלוגיקה האינטואיציסטית, ששונה מאוד מהלוגיקה הרגילה. הבעיה המרכזית באינטואיציוניזם היא שהוא דורש לפסול חלק גדול מהמתמטיקה, לדוגמה את כל ההוכחות בדרך השלילה (האינטואיציוניזם אינו מקבל את כלל השלישי מן הנמנע, שלפיו שלילת אי נכונותו של משפט שווה להוכחתו). על פי תאוריות השכל המוגשם, המתמטיקה נמצאת רק במוח האנושי ונבנית על ידו. אסכולת הקונסטרוקטיביות חברתית או ריאליזם חברתי מניחה שהמתמטיקה, כמו המדע, היא תוצר של מצבים תרבותיים, ומשתנה בהתאם לניסיון האמפירי ולאופנות החולפות. שאלה אחרת היא מדוע המתמטיקה פועלת, ותורמת כל כך למדעי הטבע בפרט ולתיאור העולם בכלל. ניסח זאת אלברט איינשטיין: "כיצד ייתכן כי המתמטיקה, שהיא אחרי הכל תוצר של החשיבה האנושית ואינה תלויה בהתנסות, מתאימה בצורה כל מופלאה לתאר את המציאות?". שאלה זו הועלתה גם במאמרו המפורסם של יוג'ין ויגנר, "היעילות הבלתי סבירה של המתמטיקה במדעי הטבע". אחת הטענות שהיא שבמתמטיקה קיים מעין-אמפיריציזם, כלומר שהיא במידה מסוימת תלויה בהתנסות. תשובתו של איינשטיין עצמו הייתה: "אם חוקי המתמטיקה מתייחסים למציאות, הם אינם ודאיים; ואם הם ודאיים, הם אינם מתייחסים למציאות" - דווקא היותה יציר המוח האנושי הופך אותה לוודאית אף יותר מהמדע ולבסיס מוצק עבורו. נושאים נוספים בפילוסופיה של המתמטיקה: האתיקה של העיסוק בה בהתחשב בשימושיה הצבאיים (הצפנה, בניית פצצות), האסתטיקה של המתמטיקה (ספר חשוב בנושא זה הוא התנצלותו של מתמטיקאי) ועוד. ==מתמטיקאי== מתמטיקאי הוא אדם העוסק במתמטיקה. בניגוד למדענים אחרים, שעוסקים בתיאור העולם הגשמי, המתמטיקאי עוסק בהסקת טענות חדשות, הנקראות "משפטים", מתוך טענות אחרות אשר הוכחו כבר, או מתוך משפטים יסודיים הנקראים אקסיומות. הוכחת הטענות מתבצעת בחשיבה לוגית בלבד, ללא צורך למצוא להן תימוכין ניסיוניים. התוצר העיקרי של מתמטיקאי העוסק במחקר הוא הוכחות, המתפרסמות בצורת מאמרים בכתבי-עת מתמטיים. לעיתים מסתפק המתמטיקאי, מחוסר הוכחות, בהעלאת השערה, ומותיר לעמיתיו את מלאכת ההוכחה של השערה זו. מתמטיקאים פעילים בעיקר באוניברסיטאות, בהוראה ובמחקר בענפי המתמטיקה הרבים. עם זאת, מתמטיקאים פעילים גם בתעשיית ההיי-טק והפיננסים, בעיקר בפיתוח של אלגוריתמים מתקדמים ובניית מודלים מתמטיים שיתארו בעיה מהמציאות ויספקו תובנות כיצד לפתור אותה בצורה המיטבית. == השראה ואסתטיקה == המתמטיקה דרושה לפתרון בעיות העוסקות בכמות, מבנה, מרחב או שינוי. בעיות כאלו נמצאו לראשונה במסחר, במדידת שטחים ומאוחר יותר באסטרונומיה; כיום, הן קיימות בכל המדעים, ואף בתוך המתמטיקה עצמה. הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן המציא את ניסוח אינטגרלי המסלול של מכניקת הקוונטים באמצעות שילוב של טיעונים מתמטיים ותובנה פיזיקלית; כיום תורת המיתרים, תאוריה מדעית שעודה בתהליכי פיתוח ואשר מנסה לאחד את ארבעת כוחות היסוד של הטבע, מהווה השראה לפיתוח מתמטיקה חדשה (אדוארד ויטן, פיזיקאי שהוא מאבות תורת המיתרים, זכה במדליית פילדס, שהיא הפרס החשוב ביותר במתמטיקה). רעיונות מסוימים במתמטיקה משמשים אך ורק בתחום שהיווה השראה ליצירתם, אך לעיתים רעיונות שנוצרו במקור על מנת לפתור בעיות בתחום מסוים מוכיחים את עצמם כשימושיים בתחומים רבים נוספים, והם מצטרפים לאוסף הכולל של הרעיונות המתמטיים. העובדה הלא-רגילה כי לעיתים קרובות ניתן למצוא שימושים מעשיים אף לרעיונות שהכי שייכים למתמטיקה העיונית היא מה שכינה הפיזיקאי יוג'ין ויגנר "היעילות הבלתי-הגיונית של המתמטיקה" במאמר משנת 1960. כמו ברוב תחומי המחקר, גם במתמטיקה נוצר צורך בהתמקצעות עקב הגידול המהיר בהיקף הידע בעידן המדעי. רוב המתמטיקאים בוחרים, לעיתים כבר במהלך לימודי התואר הראשון, להתמקצע באחד מתתי-הענפים של המתמטיקה, ובפרט מתמטיקה עיונית או מתמטיקה שימושית. מספר תחומים במתמטיקה השתלבו עם תחומים חוץ-מתמטיים והפכו לתחומי מחקר בפני עצמם, ובכלל זה חקר ביצועים ומדעי המחשב. עבור העוסקים במתמטיקה, קיים לתחום זה פן אסתטי בלתי מבוטל. מתמטיקאים רבים מדברים על האלגנטיות של המתמטיקה, האסתטיקה העצמית והיופי הפנימי שבה. פשטות והכללה הם עקרונות אסתטיים מוערכים. לדידם, ישנו יופי בכל הוכחה פשוטה ואלגנטית, כגון ההוכחה בדרך השלילה של אוקלידס לקיום אינסוף מספרים ראשוניים, ואף בשיטה נומרית נאה אשר מאיצה חישובים, כגון התמרת פורייה מהירה. גודפרי הרולד הארדי טען בספרו "התנצלותו של מתמטיקאי" כי שיקולים אסתטיים אלו הם, כשלעצמם, סיבה מספקת לעיסוק במחקר במתמטיקה עיונית, ואתו מסכימים רבים מהמתמטיקאים. מתמטיקאים שואפים לעיתים קרובות למצוא הוכחות אלגנטיות ככל האפשר למשפטים מתמטיים, תהליך אליו התייחס פאול ארדש כמציאת הוכחות מתוך "הספר בו אלוהים כתב את ההוכחות החביבות עליו". הפופולריות לה זוכים שעשועי מתמטיקה מעידה על ההנאה והעניין אשר רבים מוצאים בפתרון בעיות מתמטיות. == מקומה של המתמטיקה בין המדעים == [[קרל פרידריך גאוס, הידוע כ"נסיך המתמטיקאים", כינה את המתמטיקה "מלכת המדעים".]] המדען והמתמטיקאי, קרל פרידריך גאוס כינה את המתמטיקה "מלכת המדעים". במקור הלטיני Regina Scientiarum, וגם בגרמנית (שפתו של גאוס) Königin der Wissenschaften, המילה המציינת "מדע" פירושה "תחום ידע", ואין ספק שמבחינה זו, המתמטיקה היא אכן מדע. אם נצמצם את הגדרתו של מדע כמתייחס לחקר העולם החומרי בלבד (שבו עוסקים מדעי הטבע), אז מתמטיקה - או לפחות מתמטיקה עיונית - אינה מדע. פילוסופים רבים מאמינים כי המתמטיקה איננה ניתנת להפרכה, ולכן איננה תואמת את הגדרתו של קרל פופר למדע. פופר עצמו לעומת זאת טען כי "רוב התאוריות המתמטיות הן, כמו אלו של הפיזיקה והביולוגיה, מבוססות על השערות ודדוקציה; לכן, מתברר כי המתמטיקה העיונית קרובה הרבה יותר משנדמה לנו למדעי הטבע, אשר השערותיהם מבוססות על ניחושים". באוניברסיטאות רבות ניתן למצוא פקולטה בשם "מדעי הטבע ומתמטיקה", שם שמרמז ששני התחומים קשורים אך אינם חופפים. השקפה אחרת גורסת כי תחומים מדעיים מסוימים (כגון פיזיקה תאורטית) הם למעשה מתמטיקה עם אקסיומות שמטרתן להתאים אותה למציאות. הפיזיקאי התאורטי ג'ון זימן הציע כי המדע הוא "ידע ציבורי", ולכן המתמטיקה נכללת בתוכו. על כל פנים, למתמטיקה יש הרבה במשותף עם תחומים במדעים המדויקים. תפיסת המתמטיקה כשפת הפיזיקה, ואפילו כשפתו של אלוהים, היא עתיקה ושורשיה עוד ביוון העתיקה (האסכולה הפיתגוראית) ובתקופת הרנסאנס. גלילאו גליליי אמר: מתמטיקה ניסיונית היא תחום שחשיבותו הולכת וגדלה, וחישובים והדמיות נעשים כלים חשובים יותר ויותר הן במדעים והן במתמטיקה, מה שמחליש מעט, ביחס לענף זה של המתמטיקה, את הטענה כי המתמטיקה אינה משתמשת בשיטה המדעית. בספרו A New Kind of Science (2002)&lrm; טוען סטיבן וולפרם כי מתמטיקה נסיונית ראויה למחקר אמפירי כתחום מדעי בפני עצמו. דעותיהם של המתמטיקאים בעניין זה הן מגוונות. יש הסוברים כי סיווג המתמטיקה כמדע היא המעטה בערכה של האסתטיקה שלה ושל ההיסטוריה שלה כאחת משבע האמנויות החופשיות; אחרים טוענים כי התעלמות מהקשר של המתמטיקה למדעים היא התעלמות מהעובדה כי שימושי המתמטיקה במדע ובהנדסה גרמו להתקדמות רבה במתמטיקה עצמה. בבתי ספר תיכוניים, מעמדה של המתמטיקה כיום דומה לזה של הלטינית במאה ה-19. מקצוע זה נחשב לאחד המקצועות הקשים, ולאחד מהשנואים על חלק התלמידים. למרות זאת, שליטה במתמטיקה חשובה לכל הלומדים תחומים "ריאליים", שכן היא מהווה את אחד הכלים הבסיסיים שבהם משתמשים בתחומים אלו. פרק החשיבה הכמותית בבחינה הפסיכומטרית בוחן מיומנות מתמטית, ומחזק את חשיבותם של לימודי המתמטיקה לכל הרוצה להמשיך בלימודים באוניברסיטה. חשיבותה של המתמטיקה, הן לעולם המדעי והן למשק, תורמת גם לפופולריות הגוברת של המקצוע באקדמיה הישראלית, והיא נכללה בין המקצועות המבוקשים ביותר בקרב סטודנטים בישראל בשנת תשפ"א ובשנת תשפ"ב. כמו כן, חלה עלייה ברצונם של הורים כי ילדיהם ילמדו את מקצוע המתמטיקה באקדמיה. מבדיקת זרוע העבודה במשרד העבודה והרווחה, מקצוע המתמטיקה נכלל בין חמשת המקצועות הבולטים מבחינת דרישה לעובדים ורמות שכר, בין הסיבות לעלייה בביקוש לעובדים בענף זה הן צמיחת תעשיית ההייטק ופרישתם של עובדים ותיקים יותר בענף. == שעשועי מתמטיקה == משחק המתמטי "מגדלי האנוי". מטרת המשחק היא להעביר את כל הדיסקיות למוט אחר, תחת שני החוקים הללו: מותר להזיז רק דיסקית אחת בכל פעם - כלומר, להוציאה מהמוט שבו היא נמצאת, ולהשחיל אותה על מוט אחר; ואסור להניח דיסקית על דיסקית שקטנה ממנה בקוטרה.]] שעשועי מתמטיקה הם משחקים, חידות, וקסמים המבוססים על מתמטיקה, וכן נושאים במתמטיקה שאינם דורשים ידע רב ויש בהם מן השעשוע. תחום שעשועי המתמטיקה זכה לדחיפה גדולה במאה ה-19 בזכות פעילותם של החידונאים הגדולים סם לויד והנרי ארנסט דודני. במאה ה-20 התקדם ענף שעשועי המתמטיקה המודרני במידה רבה בזכות פרסום טור בשם "Mathematical Games" (משחקים מתמטיים) על ידי מרטין גרדנר בירחון סיינטיפיק אמריקן. הטור כלל כתבות על נושאים רחבים שעד אז לא נחשבו כמתמטיים, כגון יצירותיו האמנותיות של מ. ק. אשר, פלקסגונים (צורות הנוצרות מקיפולי נייר), קסמים מתמטיים ועוד. ספרות שעשועי המתמטיקה עוסקת היום במגוון רחב של נושאים הכוללים: חידות מתחומים שונים: חידות מספרים, חידות גאומטריות, חידות לוגיות, משחקי לוח מבוססי מחשבה. נושאים הקושרים מתמטיקה לאמנות כגון: ריצופים, חידות חיתוך והרכבה, אוריגמי מודולרי. נושאים הקושרים מתמטיקה למדעי המחשב כגון: פרקטלים, חידות הקשורות להצפנה, ואוטומטים תאיים. ==פרסים ידועים במתמטיקה== פרסים אחדים משמשים למתן הוקרה למתמטיקאים, על הישגיהם המתמטיים. בחלק מהמקרים אלה פרסים ייחודיים למתמטיקאים, ובאחרים הפרס במתמטיקה נכלל במסגרת פרסים הכוללים ענפי מדע רבים. פרסים בינלאומיים עיקריים הם: מדליית פילדס, שנוסדה בשנת 1936 ומחולקת בכל 4 שנים, היא אחד משני הפרסים הבין-לאומיים היוקרתיים ביותר במתמטיקה (יחד עם פרס אבל), המדליה מוענקת למתמטיקאים צעירים אשר לא עברו את גיל ארבעים על פריצות דרך משמעותיות במתמטיקה. * פרס אבל, שנוסד בשנת 2003, נחשב מקביל לפרס נובל (שאינו כולל קטגוריית מתמטיקה), אחד משני הפרסים הבין-לאומיים היוקרתיים ביותר במתמטיקה (יחד עם מדליית פילדס), מוענק למתמטיקאים על הישגיהם המצטברים לאורך השנים. * פרס נבנלינה, שנוסד בשנת 1981 ומחולק בכל 4 שנים, בעבור תרומה יוצאת דופן לאספקטים המתמטיים של תחומים כמו מדעי המחשב, סיבוכיות חישובית, אנליזה נומרית, אלגוריתמיקה, אינטליגנציה מלאכותית וקריפטוגרפיה, הפרס מוענק למתמטיקאים צעירים אשר לא עברו את גיל 40. נחשב לפרס המקביל במדעי המחשב למדליית פילדס. * פרס גאוס, שנוסד בשנת 2002 ומחולק בכל 4 שנים, בעבור "תרומות יוצאות מן הכלל במתמטיקה אשר נמצאו כבעלות יישום משמעותי מחוץ לתחום המתמטיקה". בנוסף ישנם פרסים שניתנים בעבור תרומות בתחומים מסוימים במתמטיקה כגון: * פרס נורברט וינר למתמטיקה יישומית שנוסד בשנת 1967, מוענק עבור תרומה יוצאת מן הכלל ל"מתמטיקה יישומית במובן הגבוה והרחב ביותר". * פרס קול שנוסד בשנת 1928 מוענק בעבור תרומה יוצאת דופן בתחום האלגברה או בתחום תורת המספרים. * פרס פוליה שנוסד בשנת 1969, מוענק בעבור תרומה משמעותית ליישום של תורת הקומבינטוריקה או תרומה משמעותית בתחום עניין אחר של ג'ורג' פוליה, לדוגמה בתורת הקירובים, אנליזה מרוכבת ותורת המספרים. בנוסף לפרסים אלה, הניתנים על הישגים כלליים במחקר המתמטי, מוכרזים לעיתים פרסים לפותר של בעיה פתוחה מסוימת: * פרסים אחדים הוצעו למי שיוכיח את המשפט האחרון של פרמה. * במסגרת קידום מכירות של הרומן "הדוד פטרוס והשערת גולדבך", הכריזו המו"ל של הגרסה האמריקאית והמו"ל של הגרסה הבריטית על פרס של מיליון דולר לראשון שיוכיח את השערת גולדבך במהלך שנתיים שהסתיימו, ללא זוכה, ב-15 במרץ 2002. * לרשימה של שבע בעיות המילניום של מכון קליי, הוכרז בשנת 2000 פרס כספי של מיליון דולר לכל הפותר אחת מהן. ==לקריאה נוספת== * * * * * * . [https://store.macam.ac.il/store/books/1610/ לקריאה מקוונת] באתר של מכון מופ"ת * * * <div style="direction:ltr;"> * James R. Newman (ed.), The World of Mathematics, Dover Publications. * Philip J. Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto, The Mathematical Experience, Study Edition, Birkhäuser Boston, 1995. * by A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrent'ev, Mathematics: Its Content, Methods and Meaning </div> ==קישורים חיצוניים== * [http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/ ארכיון ההיסטוריה של המתמטיקה של MacTutor], מקור מידע על עקרונות מתמטיים, תולדות המתמטיקה ומתמטיקאים * [http://mathworld.wolfram.com Mathworld] - אנציקלופדיה מקיפה למתמטיקה * [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/ אנציקלופדיה למתמטיקה] * גיל קלעי ונתי ליניאל, [http://www.ma.huji.ac.il/~kalai/math100.pdf אבני-דרך בתולדות המתמטיקה] * [http://www.gadial.net/ לא מדויק] - בלוג מתמטי עברי מאת גדי אלכסנדרוביץ' * [https://web.archive.org/web/20170612053134/http://alefefes.macam.ac.il/ אלף אפס] - מאמרים ושעשועי מתמטיקה * * מילונים למונחי מתמטיקה, באתר האקדמיה ללשון העברית \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=112 חשבון 1912] \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=111 מתמטיקה פשוטה 1933] \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=279 מתמטיקה גבוהה 1938] \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=110 מתמטיקה 1940] \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=138 מתמטיקה 1985] \| * == הערות שוליים == * קטגוריה:מדע וטכנולוגיה קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה שיעור ב[[אלגברה ליניארית באוניברסיטת הלסינקי]] ילדות פותרות תרגיל במתמטיקה מָתֵמָטִיקָה היא תחום דעת העוסק במושגים כגון כמות, מבנה, מרחב ושינוי. המתמטיקאים מחפשים דפוסים ותבניות משותפות במספרים, במרחב, במדע ובהפשטות דמיוניות. המתמטיקה התפתחה ממנייה, חישוב ומדידה ומהמחקר השיטתי של צורות ותנועה של עצמים מוחשיים. הידע והשימוש במתמטיקה בסיסית היוו תמיד חלק טבעי וחיוני בחיי האדם והקבוצה. ניתן למצוא שכלולים של הרעיונות הבסיסיים בטקסטים המתמטיים שהגו המצרים, הבבלים, ההודים, הסינים, היוונים והמוסלמים. כבר בשלב מוקדם בלטו שלושה מאפיינים המלווים את המתמטיקה עד היום: * הפשטה: אף שמקורם של חלק מן העצמים המתמטיים בעולם הממשי, הדיון המתמטי בהם כרוך בהפשטה ניכרת. המספר 5 עשוי לייצג 5 אבנים או 5 תפוחים, אך המתמטיקה עוסקת במספר כישות עצמאית, שאינה מייצגת דבר. המעגל מזכיר לנו חפצים מוחשיים עגולים, כגון גלגל, אך הגאומטריה עוסקת במעגל מופשט, חסר משקל וחסר נפח ומושלם בצורתו. * הכללה: המתמטיקה בוחנת את עצמיה המופשטים בראייה רחבה, תוך חיפוש מאפיינים כלליים שלהם. מושג המספר כולל בתוכו סדרה של הכללות: מעבר ממספרים טבעיים למספרים שלמים, מהם למספרים רציונליים, מהם למספרים ממשיים ומהם למספרים מרוכבים. בכל אחת ממערכות המספרים הללו מוכלת המערכת שקדמה לה. * הוכחה: כל טענה מתמטית יש להוכיח, כלומר לנמק את נכונות הטענה באמצעות סדרה של כללי היסק. המתמטיקאי מעלה השערות חדשות, שאת אמיתותן עליו לבסס באמצעות הוכחות פורמליות דדוקטיביות הנובעות מתוך אקסיומות (הנחות יסוד שקובעים כי הן נכונות), והגדרות שנבחרו בהתאם. הוכחות פורמליות הופיעו לראשונה במתמטיקה היוונית, ובמיוחד ב"יסודות" של אוקלידס. פיתוח המתמטיקה המשיך, בצורה בלתי מסודרת, עד תקופת הרנסאנס במאה ה-16, שבה החידושים המתמטיים קיימו יחסי גומלין עם התגליות המדעיות של התקופה. דבר זה הוביל להאצה במחקר המתמטי, ובמקביל לכך החלה התרחבות מהירה של המתמטיקה כמדע עצמאי. שני כיווני התפתחות אלה נמשכים עד היום. המתמטיקה משמשת ככלי חיוני בתחומים רבים, ובכלל זה במדעי הטבע, בהנדסה, ברפואה ואף במדעי החברה כגון כלכלה, פסיכולוגיה ודמוגרפיה. בעיות שמקורן בענפי מדע אחרים ממשיכות להוות זרז ומניע לתגליות מתמטיות חדשות, ולעיתים מתפתחים תחומים מתמטיים חדשים לחלוטין בעקבות זאת. במקביל מתפתחת המתמטיקה כענף ידע נרחב ועצמאי, ללא התייחסות ליישומו בענפי מדע אחרים, אם כי לעיתים קרובות מתגלים בהמשך יישומים מעשיים לתגליות שהחלו כמתמטיקה עיונית בלבד. ==אטימולוגיה== מקור המילה "מתמטיקה" במילה היוונית העתיקה μάθημα (מתמה, máthēma), שפירושה: "למידה, לימוד, מדע". בנוסף קיבלה המילה, עוד בעת העתיקה, את המשמעות הצרה יותר של "לימוד מתמטי". שם התואר המתאים ביוונית הוא μαθηματικός (מתמטיקוס, mathēmatikós), שפירושו: "קשור ללמידה"; כמו השם שהוא נגזר ממנו, גם התואר קיבל משמעות צרה יותר, דהיינו "מתמטי, קשור למתמטיקה". התואר משמש בפרט בביטוי μαθηματικὴ τέχνη (מתמטיקה טכנה, mathēmatikḗ tékhnē), כלומר (בתרגום חופשי) "מקצוע המתמטיקה", או בלטינית ars mathematica (ארס מתמטיקה), כלומר "אמנות המתמטיקה". שמואל אבן תיבון, בתרגומו ל"מורה הנבוכים", בתחילת המאה ה-13, השתמש במילה "לימודיים" במשמעות של מתמטיקה. בכך הלך ישירות על פי הערבית ("תעאלים") והיוונית. יהודה אלחריזי, שתרגם אף הוא את "מורה הנבוכים", השתמש בביטויים "חכמת הלימודים" ו"חכמות לימודיות" במשמעות של מתמטיקה. בעברית ישראלית משמשת המילה "מתמטיקה". בכיתות הנמוכות מכונים לימודי המתמטיקה "חשבון" (אריתמטיקה בסיסית) ו"הנדסה" (גאומטריה בסיסית). == היסטוריה == [[ספרות מאיה]] "הספר התמציתי לחישוב על ידי השלמה ואיזון", [[ספרו של אבו ג'עפר מחמד אל ח'ואריזמי, הנחשב לאבן דרך בהתפתחות האלגברה.]] את התפתחות המתמטיקה ניתן לראות כסדרה הולכת וגדלה של הפשטות או פיתוחים של נושאים שונים. ההפשטה הראשונה הייתה, ככל הנראה, של המספרים: ההבחנה, כי לשני תפוחים ולשני תפוזים (לדוגמה) יש תכונה משותפת, היוותה פריצת דרך בחשיבה האנושית. בנוסף להבנה כיצד לספור חפצים מוחשיים, בני האדם הפרהיסטוריים הבינו גם כיצד לספור חפצים מופשטים, כגון יחידות זמן - ימים, עונות ושנים. משם נבעה באופן טבעי האריתמטיקה, הכוללת את ארבע פעולות החשבון: חיבור, חיסור, כפל וחילוק. על-מנת להשיג התקדמות נוספת, נדרשה כתיבה או מערכת אחרת לרשימת מספרים, כגון מקל ספירה או קיפו, התקן ספירה הבנוי מחוטים וקשרים ושימש את בני האינקה לשמירת מידע מספרי. שיטות ספירה רבות ומגוונות הומצאו, כאשר המספרים הכתובים העתיקים ביותר הידועים כיום נרשמו על ידי המצרים כ-4,000 שנה לפני זמננו בטקסטים כגון פפירוס רינד. התחומים המרכזיים במתמטיקה נוצרו מתוך הצורך בהבנת הקשר בין המספרים, במדידת שטחים, בחישובים לצורכי מס ומסחר, ובחיזוי אירועים שמימיים. מכאן נבעה החלוקה הבסיסית של המתמטיקה למחקר של כמות, מבנה, שינוי ומרחב. חפירות ארכאולוגיות מעידות על כך שלחכמי בבל ובמצרים היה ידע במתמטיקה, בין השאר במשוואות ריבועיות, שורש ריבועי, שטחים של צורות מישוריות ושימוש בטבלאות שונות. מאז, הורחבה המתמטיקה בצורה ניכרת, ויצרה יחסי גומלין פוריים עם תחומי המדע השונים. תגליות מתמטיות חדשות נתגלו לכל אורך ההיסטוריה, וממשיכות להתגלות עד היום. התפתחות המתמטיקה בעת העתיקה הגיעה לשיאה ביוון העתיקה, בזכות מתמטיקאים מפורסמים כמו אוקלידס וארכימדס. בימי הביניים היה עיקר ההתפתחות על ידי הערבים, שפיתחו את האלגברה והטריגונומטריה. במאה ה-17 הייתה פריחה של ענפים שונים במתמטיקה, כגון גאומטריה אנליטית וחשבון אינפיניטסימלי, ששימשו הזנק לענפים מדעיים רבים. פיתוח הגאומטריה הלא-אוקלידית במאה ה-19 הדגיש את חשיבותן של האקסיומות במתמטיקה, ואת התרחקותה מהגישה האינטואיטיבית. בסוף המאה ה-19 פותחה תורת הקבוצות, והתפתח דיון ביסודות המתמטיקה. במאה ה-20 המשיכה המתמטיקה בהתפתחותה המהירה והושגו הישגים רבים, בהם פתירת רוב הבעיות שנכללו ב-23 הבעיות של הילברט. תחום הלוגיקה זכה להישגים בולטים במאה זו, ונולד תחום מתמטי חדש, מדעי המחשב. למרות כל ההישגים הללו, הידע המתמטי שלנו רחוק מלהיות שלם: מתמטיקאים עודם שוקדים על הוכחות למשפטים חדשים ופיתוח רעיונות מתמטיים מקוריים. לשם הדגמה, בבסיס הנתונים של כתב העת Mathematical Review, שנוסד ב-1940, יש, נכון ל-2017, מעל שני מיליון מאמרים וספרים. רובן המוחלט של עבודות אלו עוסק במשפטים מתמטיים חדשים ובהוכחותיהם. ==תחומי עיסוק== [[חשבונייה, כלי חישוב פשוט, שנמצא בשימוש מאז העת העתיקה.]] כאמור לעיל, התחומים העיקריים במתמטיקה הופיעו כתוצאה מהצורך לבצע חישובים במסחר, להבין את היחסים בין מספרים, למדוד אדמה ולחזות אירועים אסטרונומיים. ארבעת הצרכים הראשוניים האלו מחלקים באופן גס את המתמטיקה לחקר של כמות, מבנה, מרחב ושינוי (אריתמטיקה, אלגברה, גאומטריה ואנליזה, בהתאמה). בנוסף לתחומים אלו, ישנן חלוקות-משנה המיועדות לחקר יסודות המתמטיקה (לוגיקה מתמטית ותורת הקבוצות), לשימושים של המתמטיקה במדעים השונים, ולאחרונה למחקר הריגורוזי באי-ודאות. === כמות === חקר הכמות מתחיל עם מספרים: ראשית, המספרים הטבעיים והשלמים והפעולות הבסיסיות שניתן לבצע עליהם, אשר מאופיינות באמצעות האריתמטיקה. בהמשך, התכונות המורכבות יותר של המספרים השלמים נלמדות בתורת המספרים, אשר ממנה נובעות תוצאות חשובות כגון המשפט האחרון של פרמה. לאחר פיתוח נוסף של מערכת המספרים, ניתן לראות כי המספרים השלמים הם תת-קבוצה של המספרים הרציונלים ("שברים"). אלה, בתורם, מהווים חלק מקבוצת המספרים הממשיים, המשמשים לייצוג כמויות רציפות. את המספרים הממשיים ניתן להכליל למספרים מרוכבים, וזהו צעד ראשון בהיררכיה של מספרים אשר ניתן להמשיך אותה עם קווטרניונים ואוקטוניונים. עיון במספרים הטבעיים מניב גם את הסודרים האינסופיים, שנותנים תוקף למושג של ספירה לאינסוף. תחום מחקר נוסף הוא גודל, אשר מוביל לעוצמות ולתפיסה אחרת של האינסוף: מספרי "אָלֶף", המאפשרים השוואה בעלת משמעות בין הגדלים של קבוצות אינסופיות. :{\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20" \| <math>1, 2, 3\,\!</math> \|\| <math>-2, -1, 0, 1, 2\,\!</math> \|\| <math> -2, \frac{2}{3}, 1.21\,\!</math> \|\| <math>-e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\!</math> \|\| <math>2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!</math> \|- \| מספרים טבעיים \|\| מספרים שלמים \|\| מספרים רציונליים \|\| מספרים ממשיים \|\| מספרים מרוכבים \|} === מבנה === עצמים מתמטיים רבים, כגון קבוצות של מספרים ושל פונקציות, הם בעלי מבנה פנימי. את תכונות המבנה שלהם חוקרים באמצעות התבוננות בחבורות, חוגים, שדות ומבנים מופשטים נוספים, שהם עצמים מתמטיים בפני עצמם. זהו תחום האלגברה המופשטת. מושג חשוב בתחום זה הוא וקטורים, אשר ניתן להכלילם למרחב וקטורי וללמוד אותם במסגרת האלגברה הליניארית. מושג הווקטור משלב בתוכו שלושה מהתחומים היסודיים במתמטיקה: כמות, מבנה ומרחב. אנליזה וקטורית מוסיפה את התחום היסודי הרביעי, שינוי. באמצעות חשבון טנזורים נחקרות סימטריות והתנהגותם של וקטורים תחת סיבובים. מספר שאלות עתיקות על בנייה בסרגל ומחוגה נפתרו לבסוף בתורת גלואה. :{\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" - \| תורת המספרים \|\| אלגברה מופשטת \|\| תורת החבורות \|\| תורת הסדר \|} === מרחב === [[איורי גופים גאומטריים, מתוך ציקלופדיית צ'יימברס.]] לימוד המרחב התחיל בגאומטריה - בפרט, גאומטריה אוקלידית. טריגונומטריה משלבת מרחב ומספרים. המחקר המודרני במרחב מכליל את הרעיונות האלה לגאומטריה מרובת-ממדים, גאומטריות לא-אוקלידיות (שלהן תפקיד מרכזי בתורת היחסות הכללית) וטופולוגיה. כמות ומרחב משתלבים באמצעות גאומטריה אנליטית, גאומטריה דיפרנציאלית וגאומטריה אלגברית. בתחום הגאומטריה הדיפרנציאלית, אשר שמה דגש על מערכות צירים, חלקות וכיוון, נמצא את המושגים של אגד סיבים ואנליזה על יריעות. בגאומטריה אלגברית מתוארים העצמים הגאומטריים כקבוצת הפתרונות של משוואות פולינומיות, ובכך משתלבים מושגי הכמות והמרחב, וכן נחקרות חבורות טופולוגיות, אשר משלבות מבנה ומרחב. חבורות לי משמשות לחקר מרחב, מבנה ושינוי. טופולוגיה, על תתי-הענפים שלה, הייתה כנראה תחום ההתפתחות הגדול ביותר במאה ה-20, וכוללת את השערת פואנקרה ואת משפט ארבעת הצבעים, שהוכח בעזרת מחשב ונכונותו לא אומתה בידי אדם. :{\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" - \|גאומטריה \|\| טריגונומטריה \|\| גאומטריה דיפרנציאלית \|\| טופולוגיה \|\| גאומטריה פרקטלית \|} === שינוי === תיאור והבנת שינוי הוא צורך נפוץ במדעי הטבע, וחשבון אינפיניטסימלי פותח ככלי רב-עוצמה לחקירתו. המושג העיקרי המשמש לתיאור מנה משתנית הוא הפונקציה. המחקר הריגורוזי במספרים הממשיים ובפונקציות המקבלות ערכים ממשיים נקרא אנליזה ממשית, והתחום המקביל החוקר פונקציות של מספרים מרוכבים נקרא אנליזה מרוכבת. השערת רימן, אחת מהשאלות הפתוחות היסודיות ביותר במתמטיקה, נובעת מהאנליזה המרוכבת. אנליזה פונקציונלית מתמקדת במרחבי פונקציות, בדרך כלל בעלי אינסוף ממדים. אחד מהשימושים הרבים של האנליזה הפונקציונלית הוא במכניקת הקוונטים. בפתרון בעיות רבות ניתן להיעזר בקשרים בין כמות לבין קצב השינוי שלה, וקשרים אלה נלמדים בתחום המשוואות הדיפרנציאליות. תופעות רבות בטבע ניתנות לתיאור באמצעות מערכות דינמיות; תורת הכאוס חוקרת בצורה מדויקת את הצורה שבה רבות ממערכות אלה פועלות בצורה בלתי ניתנת לחיזוי אך עדיין דטרמיניסטית. אנליזה נומרית חוקרת שיטות חישוב שונות לפתרון יעיל של קשת רחבה של בעיות חישוביות שאין להן פתרון אנליטי; היא כוללת את המחקר בשגיאות עיגול ומקורות אחרים לשגיאות בחישוב. {\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20" - \| חשבון אינפיניטסימלי \|\| אנליזה וקטורית\|\| משוואות דיפרנציאליות \|\| מערכות דינמיות \|- - \| תורת הכאוס \|\| אנליזה נומרית \|\| פיזיקה מתמטית \|\| מכניקת הזורמים \|} === יסודות ופילוסופיה === על מנת להסביר את יסודות המתמטיקה פותחו תחומי הלוגיקה המתמטית ותורת הקבוצות, וכן תורת הקטגוריות שעדיין בשלבי פיתוח. "משבר היסודות" הוא הכינוי שניתן בתחילת המאה ה-20 לחיפוש אחר יסודות מתאימים למתמטיקה, הוא תופעה מתמשכת, המומחשת על ידי מספר מחלוקות כגון המחלוקת על תורת קנטור, מחלוקת בראואר-הילברט ומחלוקת בישופ-קייסלר. לוגיקה מתמטית מתייחסת לקביעת המתמטיקה על מסגרת אקסיומטית קשיחה, וחקר התוצאות של מסגרת כזו. ניתן למצוא בה את משפט האי-שלמות השני של גדל, אולי התוצאה המפורסמת ביותר בלוגיקה, שלפיה כל מערכת פורמלית המכילה אריתמטיקה בסיסית, אם היא חזקה מספיק (כלומר, כל המשפטים שניתן להוכיחם הם נכונים) אזי היא בהכרח בלתי שלמה (כלומר, ישנם משפטים נכונים שלא ניתן להוכיחם במסגרת אותה מערכת). גדל הראה כיצד לבנות, בהינתן אוסף של אקסיומות בתורת המספרים, טענה פורמלית שהיא נכונה במספרים הטבעיים, אך אינה נובעת מהאקסיומות הנתונות. מכאן, שום מערכת פורמלית אינה אקסיומטיזציה אמיתית של תורת המספרים במלואה. לוגיקה מודרנית מחולקת לתורת הרקורסיה, תורת המודלים ותורת ההוכחות, והיא בעלת יחסים הדוקים עם מדעי המחשב התאורטיים. :{\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" \| <math> p \Rightarrow q \,</math>\|- \| לוגיקה מתמטית \|\| תורת הקבוצות \|\| תורת הקטגוריות \|\| \|} === מתמטיקה דיסקרטית === מתמטיקה דיסקרטית (או מתמטיקה בדידה) היא תחום העוסק בחקר מבנים מתמטיים בדידים, כלומר בני־מנייה. זאת להבדיל מהאנליזה המתמטית, המרבה לעסוק במבנים מתמטיים רציפים, שאינם בני מנייה. מתמטיקה בדידה זוכה לפופולריות גוברת מאז החצי השני של המאה העשרים, בזכות שימושיה במדעי המחשב: מחשב ספרתי (להבדיל ממחשב אנלוגי) פועל בצורה בדידה, צעד אחר צעד ובעזרת יחידות בדידות, ולכן למתמטיקה בדידה רלוונטיות גבוהה ליסודות התאורטיים של אופן פעולתו. ענפים עיקריים הנכללים במסגרת הרחבה של המתמטיקה הבדידה הם: קומבינטוריקה, תורת הגרפים, אלגוריתמיקה ואלגברה בוליאנית. :{\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" \| <math>\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}</math> \|- \| קומבינטוריקה \|\| תורת הגרפים \|} ===מדעי המחשב=== מדעי המחשב התאורטיים כוללים תחומים מתמטיים אחדים בעלי רלוונטיות גבוהה להבנת מהותם ואופן פעולתם של מחשבים, ובהם תורת החישוביות, תורת הסיבוכיות החישובית ותורת האינפורמציה. תורת החישוביות חוקרת את גבולותיהם של מודלים תאורטיים שונים של המחשב, ובכלל זה המודל העוצמתי ביותר הידוע כיום - מכונת טיורינג. תורת הסיבוכיות חוקרת את המשאבים הנחוצים לפתרון בעיות; חלק מהבעיות, אף על פי שתאורטית ניתן לפתור אותן באמצעות מחשב, דורשות זמן ריצה וזיכרון כה רבים, שפתרונן עתיד להישאר בלתי-ישים, אפילו בהתחשב בהתקדמות המהירה של פיתוח החומרה. לבסוף, תורת האינפורמציה עוסקת בכמות הנתונים שניתן לאחסן על אמצעי-אחסון מסוים, ובמושגים כגון דחיסת נתונים ואנטרופיה. כתחום חדש יחסית, במדעי המחשב קיימות בעיות פתוחות מהותיות רבות. המפורסמת מתוכן היא האם P=NP. :{\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" - \| תורת החישוביות \|\| תורת הסיבוכיות \|\| קריפטוגרפיה \|} === בסיס תאורטי למחקר במדעי החברה והניהול ובמדעי החיים === מראשית ימיה שימשה המתמטיקה לפתרון בעיות בעולם הממשי, במקביל להתפתחותה העיונית, כמדע העומד בפני עצמו. לאורך הדורות בלט השימוש במתמטיקה לפתרון בעיות בפיזיקה. בעת החדשה, ובפרט במאה העשרים התפתחו ענפי מתמטיקה אחדים המספקים ביסוס מתמטי לפעילויות שההיבטים המעשיים שלהם נחקרים במסגרת מדעי החברה (כלכלה, ניהול) ומדעי החיים (ביולוגיה, רפואה). סטטיסטיקה עושה שימוש בכלים של תורת ההסתברות ומאפשרת תיאור, ניתוח וחיזוי של תופעות שבהן המקרה משחק תפקיד. רוב הניסויים, הסקרים והתצפיות דורשים שימוש מושכל בסטטיסטיקה. למרות זאת, רבים מהסטטיסטיקאים אינם מחשיבים את עצמם כמתמטיקאים, אלא כחלק מקבוצה נפרדת העושה שימוש במתמטיקה. חקר ביצועים הוא תחום יישומי נוסף של המתמטיקה המאפשר מציאת פתרונות אופטימליים לבעיות עם משאבים מוגבלים, או החלטות מיטביות בהתאם למידע הקיים. תורת המשחקים משמשת לניתוח מצבי תחרות ועימות. :{\| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" - \|אופטימיזציה \|\| תורת ההסתברות \|\| סטטיסטיקה \|\| מתמטיקה פיננסית \|\| תורת המשחקים \|} == סימון, שפה וריגורוזיות == מרבית הסימונים המתמטיים שבשימוש כיום הומצאו רק במאה ה-16 ואילך. לפני כן, המתמטיקה נכתבה במילים ולא בסימנים - תהליך איטי שהגביל את היכולת המתמטית של בני אותן תקופות. לאונרד אוילר המציא, במאה ה-18, רבים מהסימנים שבשימוש כיום. הסימון המתמטי המודרני הופך את העיסוק במתמטיקה נוח ביותר למקצוענים, אך מתחילים מוצאים אותו מרתיע לעיתים. הסימון המתמטי "דחוס" מאוד: ניתן להביע באמצעותו מידע רב מאוד תוך שימוש במספר מועט של סמלים. בדומה לתיווי מוזיקלי, גם לתיווי המתמטי המודרני תחביר מדויק ונוקשה, והוא מקודד מידע שיהיה קשה לכתבו בכל צורה אחרת. גם השפה המתמטית עשויה להיות קשה להבנה למתחילים. למילים כגון "או" יש משמעות מדויקת, ולעיתים שונה, מבלשון היומיומית. בנוסף, מילים כגון "פתוח" ו"שדה" קיבלו משמעות מתמטית מיוחדת. הז'רגון המתמטי כולל מונחים טכניים חדשים רבים, כגון הומיאומורפיזם ואינטגרביליות. ישנה סיבה לכל הסימונים והמונחים המיוחדים: המתמטיקה דורשת דיוק רב בהרבה מלשון היום-יום. המתמטיקאים קוראים לרמת הדיוק הזו בשפה "ריגורוזיות". ריגורוזיוּת היא מרכיב יסודי בכל הוכחה מתמטית. המתמטיקאים מעוניינים שהמשפטים שהם מנסחים ינבעו מאקסיומות באמצעות הסקת מסקנות שיטתית. רק כך ניתן להימנע מ"משפטים" שגויים, המבוססים על אינטואיציה בלבד, שכמותם הופיעו רבים במהלך ההיסטוריה המתמטית (ראו למשל: משפט ארבעת הצבעים). רמת הריגורוזיות המקובלת אצל המתמטיקאים השתנתה במשך ההיסטוריה. היוונים, שטיפלו בעיקר ביצורים גאומטריים קונקרטיים, דרשו טיעונים מפורטים. בתקופתו של אייזק ניוטון היה מקובל להשתמש בשיטות פחות קפדניות, וגם ההגדרות שנתנו ניוטון ולייבניץ למושגי היסוד של האנליזה, כמו הגבול של סדרה, לא היו מדוקדקים די הצורך בסטנדרטים מודרניים. בעיות מהותיות בהגדרת מושג הפונקציה, שהתעוררו בעיקר סביב עבודתו של פורייה, הובילו לתחייה המחודשת של ניתוח מדוקדק והוכחות פורמליות במאה ה-19. גם כיום, המתמטיקאים ממשיכים להתווכח בינם לבין עצמם בנוגע להוכחות מתמטיות בעזרת מחשב. חישובים בהיקף גדול קשים לאימות, ולכן יש הטוענים כי הוכחות כאלה אינן ריגורוזיוֹת מספיק. {\| class="wikitable" border="1" align="left" cellpadding="0" cellspacing="0" \|+כמות המספרים הראשוניים עד x והפער בינה לבין הערכת הנוסחה שבמשפט המספרים הראשוניים ! bgcolor="#A0E0A0" dir="ltr" \| x ! bgcolor="#A0E0A0" dir="ltr" \| π(x) ! bgcolor="#A0E0A0" dir="ltr" \| π(x) - x/ln(x) \|- \| 10<sup>1</sup> \| 4 \| 0 \|- \| 10<sup>2</sup> \| 25 \| 3 \|- \| 10<sup>3</sup> \| 168 \| 23 \|- \| 10<sup>4</sup> \| 1,229 \| 143 \|- \| 10<sup>5</sup> \| 9,592 \| 906 \|- \| 10<sup>6</sup> \| 78,498 \| 6,116 \|} בהשקפת העולם המסורתית, אקסיומות היו "אמיתות מובנות מאליהן", אך תפיסה זו היא בעייתית. במישור הפורמלי, אקסיומה היא שרשרת של סמלים, המקבלת משמעות רק בהקשר של נוסחאות הנגזרות ממערכת אקסיומטית. מטרתה של תוכנית הילברט הייתה לבסס את כל המתמטיקה על בסיס אקסיומטי מוצק, אך לפי משפטי האי-שלמות של גדל בכל מערכת אקסיומטית חזקה מספיק קיימים משפטים שלא ניתן להוכיחם, ולכן אקסיומטיזציה כפי שהציע אותה הילברט אינה אפשרית. למרות זאת, לעיתים קרובות מדברים על המתמטיקה, בכל הנוגע לתוכן הפורמלי שלה, כעל אקסיומטיזציה של תורת הקבוצות ותו לא - במובן שבו כל טענה מתמטית ניתנת לייצוג על ידי נוסחאות בתחום תורת הקבוצות. אחת מדרישות הריגורוזיות היא הסתמכות על דדוקציה ולא על אינדוקציה. בניגוד למדעי הטבע, בהם הסקת מסקנות מכמות גדולה של מקרים פרטיים אל הכלל מתקבלת כראייה מספקת לנכונותה של טענה, במתמטיקה נדרשות הוכחות ש"לוכדות את האינסוף" ולא רק מספר סופי של מספרים, גדול ככל שיהיה. דרישה זו יכולה להיראות קנטרנית, אך במהלך ההיסטוריה התברר שהיא הכרחית. לדוגמה, משפט המספרים הראשוניים, שמספק את הקירוב <math>\ Li(x) = \int_2^x \frac{1}{\log(t)}dt</math> למספר הראשוניים הקטנים מ-x. (היחס בין ערך זה לבין הפונקציה <math>\ \frac{x}{\log(x)}</math>, x מחולק בלוגריתם הטבעי שלו, שואף ל-1). הערכה זו מפריזה במספר הראשוניים לכל ערך שעבורו היא נבדקה, אך ג'ון אדנזור ליטלווד הראה שבשלב כלשהו הנוסחה תמעיט בכמות המספרים הראשוניים. משום כך השערות חשובות כמו המשפט האחרון של פרמה והשערת רימן נשארו פתוחות במשך שנים רבות (האחרונה עד היום), אף על פי שנמצאו להן ראיות, באמצעות מחשבי-על, התקפות למספרים רבים. ==פילוסופיה של המתמטיקה== [[משולש על משטח בגאומטריה היפרבולית. פיתוח הגאומטריה הלא אוקלידית העקבית במאה ה-19 הדגיש את חשיבותן של השימוש באקסיומות כנגד החשיבה האינטואיטיבית, ובכך היווה ראיה בעד גישת הפורמליזם המתמטי.]] הפילוסופיה של המתמטיקה היא ענף בפילוסופיה שמטרתו הבהרת מהותה של המתמטיקה. הוא נועד לענות על שאלות כמו: האם למתמטיקה תקפות אוניברסלית או שהיא תלויה בחשיבה האנושית, עד כמה המשפטים המתמטיים תקפים במציאות הגשמית, האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה, מדוע המתמטיקה כה שימושית בתיאור היקום וכיוצא בזאת. המושגים והמשפטים במתמטיקה אינם מתאימים בהכרח לעצמים בעולם הגשמי. אמנם, קיימת התאמה מסוימת, ואף על פי שמתמטיקאים עשויים לבחור אקסיומות וטענות הנראות הגיוניות ואינטואיטיביות, אין זה נחוץ שההנחות הבסיסיות במסגרת מערכת אקסיומטית יהיו נכונות במובן נסיוני או פיזיקלי. מכאן, אף על פי שמערכות אקסיומטיות רבות נגזרות מתפיסתנו ומניסויים, הן אינן תלויות בהם. לדוגמה, נוכל לומר כי את המושג הפיזיקלי של שני תפוחים ניתן להסביר באמצעות המודל המתמטי של המספרים הטבעיים - המספר 2. בעוד הדימוי של ההגדרות האקסיומטיות של המספרים הטבעיים כאוספים של תפוחים שימושי לצורכי הוראה, ההגדרה עצמה אינה תלויה או נגזרת מגופים גשמיים כלשהם. אף על פי כן, המתמטיקה היא עדיין כלי שימושי בפתרון בעיות ממשיות. שאלת תקפותה של המתמטיקה העסיקה הוגים רבים בכל הזמנים. היו שסברו שהמתמטיקה קיימת באותה מידה בה קיימים עצמים מוחשיים, ולפיכך היא מתגלה, ואילו אחרים טענו שהמתמטיקה נבנתה על ידי האדם, ולפיכך היא מומצאת. נושא זה הוא גרעין המחלוקת בין האסכולות בפילוסופיה של המתמטיקה: על פי הפלאטוניזם המתמטי, או הריאליזם המתמטי, הישויות המתמטיות קיימות באופן ממשי, והאדם רק מגלה אותן, כפי שהיה עושה ככל הנראה כל יצור תבוני אחר. השאלה הגדולה שמופנית לתומכי אסכולה זו היא איפה הישויות קיימות, ואיך ניתן למצוא אותן. בין התומכים המפורסמים בפלאטוניזם: הפילוסוף אפלטון והמתמטיקאים פאול ארדש וקורט גדל. הפורמליזם בבסיסו טוען שהמתמטיקה היא למעשה אוסף סמלים ופעולות שניתן לבצע בהם, על פי "כללי משחק" שנקבעו מראש, וללא כל משמעות מעבר לכך. גרסה מאוחרת יותר וקיצונית פחות של הפורמליזם היא הדדוקטיביזם, על פיה המתמטיקה אמיתית אם האקסיומות אמיתיות, אך ניתן לבנות גם מתמטיקה בעזרת אקסיומות "לא אמיתיות". ראייה לטובת אסכולה זו היא הגאומטריה הלא אוקלידית, גאומטריה שונה מזו המקובלת ולא אינטואיטיבית אך עקבית, שבמסגרתה אפשר להגיע לתכונות שונות מבגאומטריה האוקלידית הרגילה. בעקבות זאת המתמטיקאי הפורמליסט דויד הילברט ניסה לבנות את המתמטיקה על ידי ניסוח מוקפד של כלליה והצרנתה המוחלטת (הפיכתה לאוסף סמלים במסגרת המערכת), אך תוכנית זו נכשלה עקב משפטי האי-שלמות של גדל, על פיהם המושגים "נכון" ו"בר הוכחה" במתמטיקה לא שווים, מה שפגע אנושות בפורמליזם. הלוגיציזם מבוסס על הסברה שהמתמטיקה נובעת ישירות מהלוגיקה. במידה רבה זהו פיתוח של הפלאטוניזם. מייסד הלוגיציזם, גוטלוב פרגה, ניסה לבנות את האריתמטיקה מהלוגיקה, אך בבנייתו התגלתה סתירה, הידועה בתור הפרדוקס של ראסל. הוגה הפרדוקס ברטראנד ראסל ואלפרד נורת' וייטהד פיתחו בנייה חדשה של המתמטיקה, אך מסובכת יותר ולא לחלוטין נגזרת מהלוגיקה. האינטואיציוניזם היא האסכולה הקיצונית ביותר מבחינת דרישותיה. על פי אסכולה זו, ניתן לקבל את קיומו של עצם מתמטי רק אם ניתן לבנותו בצורה ברורה. לויצן אגברטוס יאן בראואר בנה את הלוגיקה האינטואיציסטית, ששונה מאוד מהלוגיקה הרגילה. הבעיה המרכזית באינטואיציוניזם היא שהוא דורש לפסול חלק גדול מהמתמטיקה, לדוגמה את כל ההוכחות בדרך השלילה (האינטואיציוניזם אינו מקבל את כלל השלישי מן הנמנע, שלפיו שלילת אי נכונותו של משפט שווה להוכחתו). על פי תאוריות השכל המוגשם, המתמטיקה נמצאת רק במוח האנושי ונבנית על ידו. אסכולת הקונסטרוקטיביות חברתית או ריאליזם חברתי מניחה שהמתמטיקה, כמו המדע, היא תוצר של מצבים תרבותיים, ומשתנה בהתאם לניסיון האמפירי ולאופנות החולפות. שאלה אחרת היא מדוע המתמטיקה פועלת, ותורמת כל כך למדעי הטבע בפרט ולתיאור העולם בכלל. ניסח זאת אלברט איינשטיין: "כיצד ייתכן כי המתמטיקה, שהיא אחרי הכל תוצר של החשיבה האנושית ואינה תלויה בהתנסות, מתאימה בצורה כל מופלאה לתאר את המציאות?". שאלה זו הועלתה גם במאמרו המפורסם של יוג'ין ויגנר, "היעילות הבלתי סבירה של המתמטיקה במדעי הטבע". אחת הטענות שהיא שבמתמטיקה קיים מעין-אמפיריציזם, כלומר שהיא במידה מסוימת תלויה בהתנסות. תשובתו של איינשטיין עצמו הייתה: "אם חוקי המתמטיקה מתייחסים למציאות, הם אינם ודאיים; ואם הם ודאיים, הם אינם מתייחסים למציאות" - דווקא היותה יציר המוח האנושי הופך אותה לוודאית אף יותר מהמדע ולבסיס מוצק עבורו. נושאים נוספים בפילוסופיה של המתמטיקה: האתיקה של העיסוק בה בהתחשב בשימושיה הצבאיים (הצפנה, בניית פצצות), האסתטיקה של המתמטיקה (ספר חשוב בנושא זה הוא התנצלותו של מתמטיקאי) ועוד. ==מתמטיקאי== מתמטיקאי הוא אדם העוסק במתמטיקה. בניגוד למדענים אחרים, שעוסקים בתיאור העולם הגשמי, המתמטיקאי עוסק בהסקת טענות חדשות, הנקראות "משפטים", מתוך טענות אחרות אשר הוכחו כבר, או מתוך משפטים יסודיים הנקראים אקסיומות. הוכחת הטענות מתבצעת בחשיבה לוגית בלבד, ללא צורך למצוא להן תימוכין ניסיוניים. התוצר העיקרי של מתמטיקאי העוסק במחקר הוא הוכחות, המתפרסמות בצורת מאמרים בכתבי-עת מתמטיים. לעיתים מסתפק המתמטיקאי, מחוסר הוכחות, בהעלאת השערה, ומותיר לעמיתיו את מלאכת ההוכחה של השערה זו. מתמטיקאים פעילים בעיקר באוניברסיטאות, בהוראה ובמחקר בענפי המתמטיקה הרבים. עם זאת, מתמטיקאים פעילים גם בתעשיית ההיי-טק והפיננסים, בעיקר בפיתוח של אלגוריתמים מתקדמים ובניית מודלים מתמטיים שיתארו בעיה מהמציאות ויספקו תובנות כיצד לפתור אותה בצורה המיטבית. == השראה ואסתטיקה == המתמטיקה דרושה לפתרון בעיות העוסקות בכמות, מבנה, מרחב או שינוי. בעיות כאלו נמצאו לראשונה במסחר, במדידת שטחים ומאוחר יותר באסטרונומיה; כיום, הן קיימות בכל המדעים, ואף בתוך המתמטיקה עצמה. הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן המציא את ניסוח אינטגרלי המסלול של מכניקת הקוונטים באמצעות שילוב של טיעונים מתמטיים ותובנה פיזיקלית; כיום תורת המיתרים, תאוריה מדעית שעודה בתהליכי פיתוח ואשר מנסה לאחד את ארבעת כוחות היסוד של הטבע, מהווה השראה לפיתוח מתמטיקה חדשה (אדוארד ויטן, פיזיקאי שהוא מאבות תורת המיתרים, זכה במדליית פילדס, שהיא הפרס החשוב ביותר במתמטיקה). רעיונות מסוימים במתמטיקה משמשים אך ורק בתחום שהיווה השראה ליצירתם, אך לעיתים רעיונות שנוצרו במקור על מנת לפתור בעיות בתחום מסוים מוכיחים את עצמם כשימושיים בתחומים רבים נוספים, והם מצטרפים לאוסף הכולל של הרעיונות המתמטיים. העובדה הלא-רגילה כי לעיתים קרובות ניתן למצוא שימושים מעשיים אף לרעיונות שהכי שייכים למתמטיקה העיונית היא מה שכינה הפיזיקאי יוג'ין ויגנר "היעילות הבלתי-הגיונית של המתמטיקה" במאמר משנת 1960. כמו ברוב תחומי המחקר, גם במתמטיקה נוצר צורך בהתמקצעות עקב הגידול המהיר בהיקף הידע בעידן המדעי. רוב המתמטיקאים בוחרים, לעיתים כבר במהלך לימודי התואר הראשון, להתמקצע באחד מתתי-הענפים של המתמטיקה, ובפרט מתמטיקה עיונית או מתמטיקה שימושית. מספר תחומים במתמטיקה השתלבו עם תחומים חוץ-מתמטיים והפכו לתחומי מחקר בפני עצמם, ובכלל זה חקר ביצועים ומדעי המחשב. עבור העוסקים במתמטיקה, קיים לתחום זה פן אסתטי בלתי מבוטל. מתמטיקאים רבים מדברים על האלגנטיות של המתמטיקה, האסתטיקה העצמית והיופי הפנימי שבה. פשטות והכללה הם עקרונות אסתטיים מוערכים. לדידם, ישנו יופי בכל הוכחה פשוטה ואלגנטית, כגון ההוכחה בדרך השלילה של אוקלידס לקיום אינסוף מספרים ראשוניים, ואף בשיטה נומרית נאה אשר מאיצה חישובים, כגון התמרת פורייה מהירה. גודפרי הרולד הארדי טען בספרו "התנצלותו של מתמטיקאי" כי שיקולים אסתטיים אלו הם, כשלעצמם, סיבה מספקת לעיסוק במחקר במתמטיקה עיונית, ואתו מסכימים רבים מהמתמטיקאים. מתמטיקאים שואפים לעיתים קרובות למצוא הוכחות אלגנטיות ככל האפשר למשפטים מתמטיים, תהליך אליו התייחס פאול ארדש כמציאת הוכחות מתוך "הספר בו אלוהים כתב את ההוכחות החביבות עליו". הפופולריות לה זוכים שעשועי מתמטיקה מעידה על ההנאה והעניין אשר רבים מוצאים בפתרון בעיות מתמטיות. == מקומה של המתמטיקה בין המדעים == [[קרל פרידריך גאוס, הידוע כ"נסיך המתמטיקאים", כינה את המתמטיקה "מלכת המדעים".]] המדען והמתמטיקאי, קרל פרידריך גאוס כינה את המתמטיקה "מלכת המדעים". במקור הלטיני Regina Scientiarum, וגם בגרמנית (שפתו של גאוס) Königin der Wissenschaften, המילה המציינת "מדע" פירושה "תחום ידע", ואין ספק שמבחינה זו, המתמטיקה היא אכן מדע. אם נצמצם את הגדרתו של מדע כמתייחס לחקר העולם החומרי בלבד (שבו עוסקים מדעי הטבע), אז מתמטיקה - או לפחות מתמטיקה עיונית - אינה מדע. פילוסופים רבים מאמינים כי המתמטיקה איננה ניתנת להפרכה, ולכן איננה תואמת את הגדרתו של קרל פופר למדע. פופר עצמו לעומת זאת טען כי "רוב התאוריות המתמטיות הן, כמו אלו של הפיזיקה והביולוגיה, מבוססות על השערות ודדוקציה; לכן, מתברר כי המתמטיקה העיונית קרובה הרבה יותר משנדמה לנו למדעי הטבע, אשר השערותיהם מבוססות על ניחושים". באוניברסיטאות רבות ניתן למצוא פקולטה בשם "מדעי הטבע ומתמטיקה", שם שמרמז ששני התחומים קשורים אך אינם חופפים. השקפה אחרת גורסת כי תחומים מדעיים מסוימים (כגון פיזיקה תאורטית) הם למעשה מתמטיקה עם אקסיומות שמטרתן להתאים אותה למציאות. הפיזיקאי התאורטי ג'ון זימן הציע כי המדע הוא "ידע ציבורי", ולכן המתמטיקה נכללת בתוכו. על כל פנים, למתמטיקה יש הרבה במשותף עם תחומים במדעים המדויקים. תפיסת המתמטיקה כשפת הפיזיקה, ואפילו כשפתו של אלוהים, היא עתיקה ושורשיה עוד ביוון העתיקה (האסכולה הפיתגוראית) ובתקופת הרנסאנס. גלילאו גליליי אמר: מתמטיקה ניסיונית היא תחום שחשיבותו הולכת וגדלה, וחישובים והדמיות נעשים כלים חשובים יותר ויותר הן במדעים והן במתמטיקה, מה שמחליש מעט, ביחס לענף זה של המתמטיקה, את הטענה כי המתמטיקה אינה משתמשת בשיטה המדעית. בספרו A New Kind of Science (2002)&lrm; טוען סטיבן וולפרם כי מתמטיקה נסיונית ראויה למחקר אמפירי כתחום מדעי בפני עצמו. דעותיהם של המתמטיקאים בעניין זה הן מגוונות. יש הסוברים כי סיווג המתמטיקה כמדע היא המעטה בערכה של האסתטיקה שלה ושל ההיסטוריה שלה כאחת משבע האמנויות החופשיות; אחרים טוענים כי התעלמות מהקשר של המתמטיקה למדעים היא התעלמות מהעובדה כי שימושי המתמטיקה במדע ובהנדסה גרמו להתקדמות רבה במתמטיקה עצמה. בבתי ספר תיכוניים, מעמדה של המתמטיקה כיום דומה לזה של הלטינית במאה ה-19. מקצוע זה נחשב לאחד המקצועות הקשים, ולאחד מהשנואים על חלק התלמידים. למרות זאת, שליטה במתמטיקה חשובה לכל הלומדים תחומים "ריאליים", שכן היא מהווה את אחד הכלים הבסיסיים שבהם משתמשים בתחומים אלו. פרק החשיבה הכמותית בבחינה הפסיכומטרית בוחן מיומנות מתמטית, ומחזק את חשיבותם של לימודי המתמטיקה לכל הרוצה להמשיך בלימודים באוניברסיטה. חשיבותה של המתמטיקה, הן לעולם המדעי והן למשק, תורמת גם לפופולריות הגוברת של המקצוע באקדמיה הישראלית, והיא נכללה בין המקצועות המבוקשים ביותר בקרב סטודנטים בישראל בשנת תשפ"א ובשנת תשפ"ב. כמו כן, חלה עלייה ברצונם של הורים כי ילדיהם ילמדו את מקצוע המתמטיקה באקדמיה. מבדיקת זרוע העבודה במשרד העבודה והרווחה, מקצוע המתמטיקה נכלל בין חמשת המקצועות הבולטים מבחינת דרישה לעובדים ורמות שכר, בין הסיבות לעלייה בביקוש לעובדים בענף זה הן צמיחת תעשיית ההייטק ופרישתם של עובדים ותיקים יותר בענף. == שעשועי מתמטיקה == משחק המתמטי "מגדלי האנוי". מטרת המשחק היא להעביר את כל הדיסקיות למוט אחר, תחת שני החוקים הללו: מותר להזיז רק דיסקית אחת בכל פעם - כלומר, להוציאה מהמוט שבו היא נמצאת, ולהשחיל אותה על מוט אחר; ואסור להניח דיסקית על דיסקית שקטנה ממנה בקוטרה.]] שעשועי מתמטיקה הם משחקים, חידות, וקסמים המבוססים על מתמטיקה, וכן נושאים במתמטיקה שאינם דורשים ידע רב ויש בהם מן השעשוע. תחום שעשועי המתמטיקה זכה לדחיפה גדולה במאה ה-19 בזכות פעילותם של החידונאים הגדולים סם לויד והנרי ארנסט דודני. במאה ה-20 התקדם ענף שעשועי המתמטיקה המודרני במידה רבה בזכות פרסום טור בשם "Mathematical Games" (משחקים מתמטיים) על ידי מרטין גרדנר בירחון סיינטיפיק אמריקן. הטור כלל כתבות על נושאים רחבים שעד אז לא נחשבו כמתמטיים, כגון יצירותיו האמנותיות של מ. ק. אשר, פלקסגונים (צורות הנוצרות מקיפולי נייר), קסמים מתמטיים ועוד. ספרות שעשועי המתמטיקה עוסקת היום במגוון רחב של נושאים הכוללים: חידות מתחומים שונים: חידות מספרים, חידות גאומטריות, חידות לוגיות, משחקי לוח מבוססי מחשבה. נושאים הקושרים מתמטיקה לאמנות כגון: ריצופים, חידות חיתוך והרכבה, אוריגמי מודולרי. נושאים הקושרים מתמטיקה למדעי המחשב כגון: פרקטלים, חידות הקשורות להצפנה, ואוטומטים תאיים. ==פרסים ידועים במתמטיקה== פרסים אחדים משמשים למתן הוקרה למתמטיקאים, על הישגיהם המתמטיים. בחלק מהמקרים אלה פרסים ייחודיים למתמטיקאים, ובאחרים הפרס במתמטיקה נכלל במסגרת פרסים הכוללים ענפי מדע רבים. פרסים בינלאומיים עיקריים הם: מדליית פילדס, שנוסדה בשנת 1936 ומחולקת בכל 4 שנים, היא אחד משני הפרסים הבין-לאומיים היוקרתיים ביותר במתמטיקה (יחד עם פרס אבל), המדליה מוענקת למתמטיקאים צעירים אשר לא עברו את גיל ארבעים על פריצות דרך משמעותיות במתמטיקה. * פרס אבל, שנוסד בשנת 2003, נחשב מקביל לפרס נובל (שאינו כולל קטגוריית מתמטיקה), אחד משני הפרסים הבין-לאומיים היוקרתיים ביותר במתמטיקה (יחד עם מדליית פילדס), מוענק למתמטיקאים על הישגיהם המצטברים לאורך השנים. * פרס נבנלינה, שנוסד בשנת 1981 ומחולק בכל 4 שנים, בעבור תרומה יוצאת דופן לאספקטים המתמטיים של תחומים כמו מדעי המחשב, סיבוכיות חישובית, אנליזה נומרית, אלגוריתמיקה, אינטליגנציה מלאכותית וקריפטוגרפיה, הפרס מוענק למתמטיקאים צעירים אשר לא עברו את גיל 40. נחשב לפרס המקביל במדעי המחשב למדליית פילדס. * פרס גאוס, שנוסד בשנת 2002 ומחולק בכל 4 שנים, בעבור "תרומות יוצאות מן הכלל במתמטיקה אשר נמצאו כבעלות יישום משמעותי מחוץ לתחום המתמטיקה". בנוסף ישנם פרסים שניתנים בעבור תרומות בתחומים מסוימים במתמטיקה כגון: * פרס נורברט וינר למתמטיקה יישומית שנוסד בשנת 1967, מוענק עבור תרומה יוצאת מן הכלל ל"מתמטיקה יישומית במובן הגבוה והרחב ביותר". * פרס קול שנוסד בשנת 1928 מוענק בעבור תרומה יוצאת דופן בתחום האלגברה או בתחום תורת המספרים. * פרס פוליה שנוסד בשנת 1969, מוענק בעבור תרומה משמעותית ליישום של תורת הקומבינטוריקה או תרומה משמעותית בתחום עניין אחר של ג'ורג' פוליה, לדוגמה בתורת הקירובים, אנליזה מרוכבת ותורת המספרים. בנוסף לפרסים אלה, הניתנים על הישגים כלליים במחקר המתמטי, מוכרזים לעיתים פרסים לפותר של בעיה פתוחה מסוימת: * פרסים אחדים הוצעו למי שיוכיח את המשפט האחרון של פרמה. * במסגרת קידום מכירות של הרומן "הדוד פטרוס והשערת גולדבך", הכריזו המו"ל של הגרסה האמריקאית והמו"ל של הגרסה הבריטית על פרס של מיליון דולר לראשון שיוכיח את השערת גולדבך במהלך שנתיים שהסתיימו, ללא זוכה, ב-15 במרץ 2002. * לרשימה של שבע בעיות המילניום של מכון קליי, הוכרז בשנת 2000 פרס כספי של מיליון דולר לכל הפותר אחת מהן. ==לקריאה נוספת== * * * * * * . [https://store.macam.ac.il/store/books/1610/ לקריאה מקוונת] באתר של מכון מופ"ת * * * <div style="direction:ltr;"> * James R. Newman (ed.), The World of Mathematics, Dover Publications. * Philip J. Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto, The Mathematical Experience, Study Edition, Birkhäuser Boston, 1995. * by A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrent'ev, Mathematics: Its Content, Methods and Meaning </div> ==קישורים חיצוניים== * [http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/ ארכיון ההיסטוריה של המתמטיקה של MacTutor], מקור מידע על עקרונות מתמטיים, תולדות המתמטיקה ומתמטיקאים * [http://mathworld.wolfram.com Mathworld] - אנציקלופדיה מקיפה למתמטיקה * [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/ אנציקלופדיה למתמטיקה] * גיל קלעי ונתי ליניאל, [http://www.ma.huji.ac.il/~kalai/math100.pdf אבני-דרך בתולדות המתמטיקה] * [http://www.gadial.net/ לא מדויק] - בלוג מתמטי עברי מאת גדי אלכסנדרוביץ' * [https://web.archive.org/web/20170612053134/http://alefefes.macam.ac.il/ אלף אפס] - מאמרים ושעשועי מתמטיקה * * מילונים למונחי מתמטיקה, באתר האקדמיה ללשון העברית \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=112 חשבון 1912] \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=111 מתמטיקה פשוטה 1933] \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=279 מתמטיקה גבוהה 1938] \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=110 מתמטיקה 1940] \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=138 מתמטיקה 1985] \| * == הערות שוליים == * קטגוריה:מדע וטכנולוגיה קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
13	אקסיומה	אַקְסיּוֹמָה, אמיתה, או הנחת יסוד<ref>[https://wikivrit.fandom.com/he/wiki/חלופון אוצר מילים עבריות למונח אקסיומה] והקשורות למונח זה (חלופון הלועזות באתר ויקעברית)</ref> (בכתיב ארכאי: אכּסיוֹמה) היא הנחה אשר מתייחסים אליה במסגרת מסוימת כנכונה מבלי להוכיחה. מקור המילה "אקסיומה" הוא מיוונית עתיקה (αξιωμα), ופירושה המקורי הוא "עיקרון מובן מאליו", שאינו מצריך הוכחה. במתמטיקה ובלוגיקה, אקסיומה היא הנחה בסיסית (או "נקודת מוצא") במערכת לוגית מסוימת, אליה מתייחסים כנכונה באותה מערכת. טעות נפוצה היא שאקסיומות הן "אמת אינטואיטיבית ובסיסית הברורה מאליה", אולם כיום אקסיומות אינן בהכרח כאלה, אלא רק סיפוק הנחת יסוד אותה אין מנסים להוכיח או להפריך במסגרת הזאת. השילוב בין מספר אקסיומות נקרא מערכת אקסיומטית. מערכת האקסיומות של תאוריה מתמטית מהווה בסיס להוכחה של המשפטים הנכללים בתורה זו. בפיזיקה, אקסיומה או פוסטולט היא הנחה בסיסית אשר נבדקה בניסוי, ולכן מתייחסים אליה כנכונה, כל עוד אותה ההנחה לא הופרכה בניסוי, כלומר לא התבררה כשגויה. ==אקסיומות במתמטיקה== כדי שמערכת אקסיומות תהווה בסיס נאות לפיתוחה של תאוריה מתמטית, עליה למלא שתי דרישות: עקביות: לא ניתן להוכיח בעזרת האקסיומות דבר והיפוכו. מינימליות: במערכת האקסיומות אין אקסיומה מיותרת, כזו שאפשר להוכיח באמצעות האקסיומות האחרות. קיום מודל של מערכת האקסיומות מוכיח שהיא עקבית. בדומה לזה, קיום מודל שבו כל האקסיומות מתקיימות פרט לאחת (שהיא אינה מתקיימת במודל הזה), מראה שאותה אקסיומה אינה ניתנת להשמטה; אם יש מודל כזה עבור כל אחת מהאקסיומות, הרי שהמערכת מינימלית. דרישה נוספת רצויה היא דרישת השלמות, כלומר הדרישה שבאמצעות מערכת האקסיומות של תורה כלשהי ניתן יהיה להוכיח או להפריך כל טענה שניתן לנסח במסגרת תורה זו. אולם משפטי האי-שלמות של גדל מוכיחים שבכל מערכת עשירה מספיק של אקסיומות, לא ניתן לקיים דרישה זו מבלי לוותר על דרישת העקביות. המפגש הראשון (ופעמים רבות גם האחרון) של התלמיד עם מערכת אקסיומטית נעשה במסגרת לימודי הגאומטריה. האקסיומה המפורסמת במסגרת זו היא אקסיומת המקבילים. ניסיונות רבים נעשו במטרה להוכיח אקסיומה זו על ידי יתר האקסיומות של הגאומטריה, עד שלבסוף נוסחה הגאומטריה הלא-אוקלידית – בה מתקיימות האקסיומות האחרות אבל אקסיומת המקבילים אינה נכונה. פריצת דרך זו הראתה שהאקסיומות אינן בגדר טענות "מובנות מאליהן", אלא לפעמים ניתן להחליף אקסיומה בשלילתה, ובכל זאת לקבל מערכת אקסיומות עקבית. אף שרעיון האקסיומה הוא מאבני היסוד של המתמטיקה, התפתחו ענפי מתמטיקה רבים ללא ביסוס אקסיומטי כלל, או עם בסיס אקסיומטי רופף. בשלהי המאה ה-19 ובתחילת המאה ה-20 עסקו המתמטיקאים באינטנסיביות בביסוס אקסיומטי של המתמטיקה, ונבחנו היטב מערכות האקסיומות שבבסיס הגאומטריה (מערכת האקסיומות של הילברט), האריתמטיקה (אקסיומות פאנו) ותורת הקבוצות (אקסיומות צרמלו-פרנקל). רק בשנת 1933 ניתן בסיס אקסיומטי לתורת ההסתברות (אקסיומות קולמוגורוב). ==אקסיומות בפיזיקה== בפיזיקה, הנחת היסוד היא חוק טבע ממנו מקישים חוקים פיזיקליים נוספים, כלומר בונים תאוריה פיזיקלית. כל עוד תוצאות בניסויים קרובות מספיק למערכת החוקים, נאמר שהתאוריה והנחת היסוד תקפות. דוגמה בולטת לשימוש באקסיומות בפיזיקה הוא המעבר ההיסטורי בין תורת האתר (שנחשבה לנכונה עד המאה ה-19) לבין תורת היחסות הפרטית (שנחשבת לנכונה כיום על פי תוצאות ניסויים). תורת האֶתֶר גרסה שיש חומר הממלא את כל המרחב, והאור נע בו במהירות קבועה. בניסוי מייקלסון-מורלי נמדדה מהירות הקפת כדור הארץ סביב השמש יחסית לאתר, ותוצאת המדידה הייתה 0 (מה שהצביע על כך שכדור הארץ אינו נע, או שאֶתֶר אינו קיים). את ההנחה הזו החליפה ההנחה המקובלת כיום, שהאור נע במהירות קבועה ביחס לכל צופה אינרציאלי. ניסוי מייקלסון-מורלי הפריך הנחה אחת בו בזמן שרמז על ההנחה הנכונה יותר, הנחה שהובילה בסופו של דבר לניסוח תורת היחסות הפרטית על ידי אלברט איינשטיין. == ראו גם == מתמטיקה ולוגיקה לוגיקה מתמטית שפה מסדר ראשון משפטי האי-שלמות של גדל מה שהצב אמר לאכילס פיזיקה תורת היחסות הפרטית אתר (פיזיקה) מהירות האור ==קישורים חיצוניים== ==הערות שוליים== * קטגוריה:פיזיקה קטגוריה:לוגיקה מתמטיתאַקְסיּוֹמָה, אמיתה, או הנחת יסוד<ref>[https://wikivrit.fandom.com/he/wiki/חלופון אוצר מילים עבריות למונח אקסיומה] והקשורות למונח זה (חלופון הלועזות באתר ויקעברית)</ref> (בכתיב ארכאי: אכּסיוֹמה) היא הנחה אשר מתייחסים אליה במסגרת מסוימת כנכונה מבלי להוכיחה. מקור המילה "אקסיומה" הוא מיוונית עתיקה (αξιωμα), ופירושה המקורי הוא "עיקרון מובן מאליו", שאינו מצריך הוכחה. במתמטיקה ובלוגיקה, אקסיומה היא הנחה בסיסית (או "נקודת מוצא") במערכת לוגית מסוימת, אליה מתייחסים כנכונה באותה מערכת. טעות נפוצה היא שאקסיומות הן "אמת אינטואיטיבית ובסיסית הברורה מאליה", אולם כיום אקסיומות אינן בהכרח כאלה, אלא רק סיפוק הנחת יסוד אותה אין מנסים להוכיח או להפריך במסגרת הזאת. השילוב בין מספר אקסיומות נקרא מערכת אקסיומטית. מערכת האקסיומות של תאוריה מתמטית מהווה בסיס להוכחה של המשפטים הנכללים בתורה זו. בפיזיקה, אקסיומה או פוסטולט היא הנחה בסיסית אשר נבדקה בניסוי, ולכן מתייחסים אליה כנכונה, כל עוד אותה ההנחה לא הופרכה בניסוי, כלומר לא התבררה כשגויה. ==אקסיומות במתמטיקה== כדי שמערכת אקסיומות תהווה בסיס נאות לפיתוחה של תאוריה מתמטית, עליה למלא שתי דרישות: עקביות: לא ניתן להוכיח בעזרת האקסיומות דבר והיפוכו. מינימליות: במערכת האקסיומות אין אקסיומה מיותרת, כזו שאפשר להוכיח באמצעות האקסיומות האחרות. קיום מודל של מערכת האקסיומות מוכיח שהיא עקבית. בדומה לזה, קיום מודל שבו כל האקסיומות מתקיימות פרט לאחת (שהיא אינה מתקיימת במודל הזה), מראה שאותה אקסיומה אינה ניתנת להשמטה; אם יש מודל כזה עבור כל אחת מהאקסיומות, הרי שהמערכת מינימלית. דרישה נוספת רצויה היא דרישת השלמות, כלומר הדרישה שבאמצעות מערכת האקסיומות של תורה כלשהי ניתן יהיה להוכיח או להפריך כל טענה שניתן לנסח במסגרת תורה זו. אולם משפטי האי-שלמות של גדל מוכיחים שבכל מערכת עשירה מספיק של אקסיומות, לא ניתן לקיים דרישה זו מבלי לוותר על דרישת העקביות. המפגש הראשון (ופעמים רבות גם האחרון) של התלמיד עם מערכת אקסיומטית נעשה במסגרת לימודי הגאומטריה. האקסיומה המפורסמת במסגרת זו היא אקסיומת המקבילים. ניסיונות רבים נעשו במטרה להוכיח אקסיומה זו על ידי יתר האקסיומות של הגאומטריה, עד שלבסוף נוסחה הגאומטריה הלא-אוקלידית – בה מתקיימות האקסיומות האחרות אבל אקסיומת המקבילים אינה נכונה. פריצת דרך זו הראתה שהאקסיומות אינן בגדר טענות "מובנות מאליהן", אלא לפעמים ניתן להחליף אקסיומה בשלילתה, ובכל זאת לקבל מערכת אקסיומות עקבית. אף שרעיון האקסיומה הוא מאבני היסוד של המתמטיקה, התפתחו ענפי מתמטיקה רבים ללא ביסוס אקסיומטי כלל, או עם בסיס אקסיומטי רופף. בשלהי המאה ה-19 ובתחילת המאה ה-20 עסקו המתמטיקאים באינטנסיביות בביסוס אקסיומטי של המתמטיקה, ונבחנו היטב מערכות האקסיומות שבבסיס הגאומטריה (מערכת האקסיומות של הילברט), האריתמטיקה (אקסיומות פאנו) ותורת הקבוצות (אקסיומות צרמלו-פרנקל). רק בשנת 1933 ניתן בסיס אקסיומטי לתורת ההסתברות (אקסיומות קולמוגורוב). ==אקסיומות בפיזיקה== בפיזיקה, הנחת היסוד היא חוק טבע ממנו מקישים חוקים פיזיקליים נוספים, כלומר בונים תאוריה פיזיקלית. כל עוד תוצאות בניסויים קרובות מספיק למערכת החוקים, נאמר שהתאוריה והנחת היסוד תקפות. דוגמה בולטת לשימוש באקסיומות בפיזיקה הוא המעבר ההיסטורי בין תורת האתר (שנחשבה לנכונה עד המאה ה-19) לבין תורת היחסות הפרטית (שנחשבת לנכונה כיום על פי תוצאות ניסויים). תורת האֶתֶר גרסה שיש חומר הממלא את כל המרחב, והאור נע בו במהירות קבועה. בניסוי מייקלסון-מורלי נמדדה מהירות הקפת כדור הארץ סביב השמש יחסית לאתר, ותוצאת המדידה הייתה 0 (מה שהצביע על כך שכדור הארץ אינו נע, או שאֶתֶר אינו קיים). את ההנחה הזו החליפה ההנחה המקובלת כיום, שהאור נע במהירות קבועה ביחס לכל צופה אינרציאלי. ניסוי מייקלסון-מורלי הפריך הנחה אחת בו בזמן שרמז על ההנחה הנכונה יותר, הנחה שהובילה בסופו של דבר לניסוח תורת היחסות הפרטית על ידי אלברט איינשטיין. == ראו גם == מתמטיקה ולוגיקה לוגיקה מתמטית שפה מסדר ראשון משפטי האי-שלמות של גדל מה שהצב אמר לאכילס פיזיקה תורת היחסות הפרטית אתר (פיזיקה) מהירות האור ==קישורים חיצוניים== ==הערות שוליים== * קטגוריה:פיזיקה קטגוריה:לוגיקה מתמטית
14	פיזיקה	דוגמאות שונות לתופעות פיזיקליות [[עריסתו של ניוטון]] פִיזִיקָה (מהמילה היוונית φύσις, "פיסיס" – "טבע") היא ענף במדעי הטבע החוקר את חוקי היסוד של הטבע כפי שהם באים לידי ביטוי בכל מערכת הניתנת לתצפית, בכדור הארץ ובחלל. הנושאים בהם עוסקת הפיזיקה כוללים תנועת עצמים, התנהגות החומר, חקר האנרגיה והשפעת חוקי טבע מסוימים על רצף המרחב והזמן. מדע הפיזיקה מתפתח על ידי תצפיות וממצאים מניסויים, המגובשים לכדי תאוריות וחוקים המתוארים לרוב בשפה מתמטית. ככל שיש יותר תצפיות ומתקבלים יותר ממצאים מביצוע של ניסויים, עשויות התאוריות הללו להתעדכן ולהשתכלל. נהוג לחלק את הפיזיקה לשני תחומים עיקריים: הפיזיקה הקלאסית, הכוללת תחומים כמו: מכניקה, תרמודינמיקה ואלקטרומגנטיות. תחומים אלו מהווים את היסוד להבנת תחומים מודרניים יותר. הפיזיקה המודרנית שהתחומים העיקריים בה הם מכניקת הקוונטים, תורת היחסות, פיזיקה גרעינית, פיזיקה של חומר מעובה, ביופיזיקה, פיזיקת חלקיקים ופיזיקה סטטיסטית. רוב פעילותם ומחקריהם של הפיזיקאים בימינו עוסק בתחומים אלה. ההבחנה בין פיזיקה מודרנית לבין קלאסית אינה קשיחה וברורה. לדוגמה תורת הכאוס שפותחה בעיקר בחצי השני של המאה ה-20 מסתמכת על הנחות יסוד של פיזיקה קלאסית בלבד ועדיין מהווה תחום מחקר מודרני ופעיל. מכניקה סטטיסטית שעוזרת רבות בחקר מודרני של מערכות מרובות חלקיקים בעלי התנהגות קוונטית, החלה את דרכה במאה ה-19, שנים רבות לפני תורת היחסות ומכניקת הקוונטים. הפיזיקה קרובה מאוד למדעי טבע אחרים, במיוחד כימיה, מדע הפרודות והתרכובות הכימיות שהן יוצרות ביחד. הכימיה נסמכת על תחומים רבים בפיזיקה, ובפרט מכניקת הקוונטים, תרמודינמיקה ואלקטרודינמיקה. פיזיקה אטומית ופיזיקה מולקולרית נמצאות על התפר בין הפיזיקה לכימיה. ==תולדות הפיזיקה== [[חוק ארכימדס]] טבלת ה[[מכניקה בציקלופדיית צ'יימברס משנת 1728\|טקסט=]] ===העת העתיקה=== מתחילת ההיסטוריה האנושית, ניסה האדם להבין את התנהגות החומר: מדוע עצמים נופלים לקרקע באין תמיכה, מדוע לחומרים שונים יש תכונות שונות, וכן הלאה. גם אופי היקום היה מסתורי, כמו צורת כדור הארץ והתנהגות גופים שמימיים, כמו השמש והירח. מספר תאוריות הוצעו, רובן היו שגויות. תאוריות אלו נוסחו ברובן במונחים פילוסופיים או מטאפיזיים, ומעולם לא אומתו בניסויים שיטתיים. ישנם יוצאים מן הכלל: לדוגמה, ההוגה היווני ארכימדס מצא תיאורים כמותיים נכונים רבים במכניקה והידרוסטטיקה. לעומת זאת, דווקא בתחום האסטרונומיה גילו הקדמונים דיוק רב בביצוע תצפיות אחרי מסלולים של כוכבים ותיעוד תצפיות אלה. האסטרונומיה הייתה מפותחת ברוב התרבויות הגדולות, לרבות מצרים העתיקה, בבל העתיקה, סין, הודו ויוון העתיקה. האסטרונום היווני תלמי אף הציע מודל מתמטי-גאומטרי שהסביר בצורה נאה את תנועת הכוכבים כפי שנצפית בשמיים. אף על פי שהיה שגוי, מודל זה היה כה מוצלח מבחינה אמפירית, עד שהוא שלט בכיפה עד להופעתו של המודל הקופרניקני. חשיבותו של המודל היווני לתנועת כוכבי הלכת היא השימוש במתמטיקה לצורך הפיזיקה, לא רק ככלי תיאורי גרידא אלא כביטוי כמותי לחוקי הטבע, שמהם אף אפשר לחזות תופעות שניתנות לצפייה על ידי ביצוע חישובים מתאימים על פרטי המודל. ===הפיזיקה כמדע=== אייזק ניוטון [[המטוטלת של פוקו]] בשלהי המאה ה־16 גלילאו היה הראשון שהשתמש בניסוי כדי לאמת תאוריות פיזיקליות, שהוא העיקרון המנחה של השיטה המדעית. גלילאו ניסח ובדק בהצלחה מספר תוצאות בדינמיקה, ובמיוחד חוק התנע. ב־1687 ניוטון פרסם את ספרו "היסודות המתמטיים של פילוסופית הטבע" (Principia Mathematica), המתאר שתי תאוריות פיזיקליות שלמות ומצליחות: חוקי התנועה של ניוטון, מהם נובעים המכניקה הקלאסית; וחוק הכבידה של ניוטון, המתאר את הכוח היסודי של הכבידה. שתי התאוריות האלו התאימו היטב לניסויים. המכניקה הקלאסית הורחבה מאוד על ידי לגראנז', המילטון ואחרים, שיצרו ניסוחים, עקרונות ותוצאות חדשות. חוק הכבידה הביא לפיתוח תחום האסטרופיזיקה, המתאר תופעות אסטרונומיות בעזרת תאוריות פיזיקליות. החל מהמאה ה־18, פותחה התרמודינמיקה על ידי בויל, יאנג ואחרים. בשנת 1733, ברנולי השתמש בטיעונים סטטיסטיים עם מכניקה קלאסית כדי להשיג תוצאות תרמודינמיות, והניח את היסודות למכניקה סטטיסטית. בשנת 1798, תומפסון הדגים המרת עבודה מכנית לחום, וב־1847 ג'אול ניסח את חוק שימור האנרגיה, בצורת חום ובצורת אנרגיה מכנית. התנהגות החשמל והמגנטיות נחקרה על ידי פאראדיי, אוהם ואחרים. ב־1855 מקסוול איחד את שתי התופעות לתורה יחידה של אלקטרומגנטיות, המתוארת על ידי משוואות מקסוול. ניבוי של תורה זו היה שהאור הוא גל אלקטרומגנטי. בשנת 1895 רנטגן גילה את קרני ה־X, שהתגלו כקרינה אלקטרומגנטית בתדר גבוה. רדיואקטיביות התגלתה על ידי אנרי בקרל, ונחקרה עוד על ידי פייר ומארי קירי, ואחרים. זה הניח את הבסיס לשדה הפיזיקה הגרעינית. קיומו של האטום הוצע ב־1808 על ידי דלטון. ב־1897 גילה ג'וזף ג'ון תומסון את האלקטרון, החלקיק היסודי הנושא זרם חשמלי במעגלים. ב־1904 הוא הציע את הדגם הראשון של האטום. ===המאה ה-20 ואילך=== הפיזיקה עברה מספר מהפכות במהלך המאה ה-20. תורת היחסות שינתה את התפיסה של הזמן והמרחב, ואת ההבנה של כוח הכבידה. תורת הקוונטים שינתה את התפיסה של פילוסופיה מכניסטית, ואת ההפרדה בין גלים לחלקיקים. לאחר מכן המודל הסטנדרטי הכליל את התגובות הבסיסיות ביותר הידועות כיום בין חלקיקים. כתוצאה מההבנה הפיזיקלית של הטבע נוצרו חידושים טכנולוגיים רבים אשר שינו באופן מהותי את חיי היום-יום של בני האדם. בשנת 1905 ניסח איינשטיין את תורת היחסות הפרטית, המאחדת את הזמן והמרחב לישות אחת, מרחב-זמן. הוא פיתח תורה זו מתוך התבוננות במשוואות מקסוול, ותוצאות ניסוי מייקלסון-מורלי. היחסות דורשת טרנספורמציה שונה בין מסגרות ייחוס מאשר המכניקה הקלאסית; דבר זה הצריך את פיתוח המכניקה היחסותית כתחליף למכניקה הקלאסית. כאשר המהירויות הנמוכות, שתי התאוריות תואמות. ב־1915 הרחיב איינשטיין את תורת היחסות הפרטית כדי להסביר את כוח הכבידה באמצעות תורת היחסות הכללית, המחליפה את חוק הכבידה של ניוטון. בתחום של מאסות ואנרגיות נמוכות, שתי התאוריות תואמות. בשנת 1911, רתרפורד הסיק מניסויי פיזור את קיומו של גרעין אטומי, עם רכיבים בעלי מטען חשמלי חיובי, שכונו פרוטונים. נייטרונים, הרכיבים הנייטרליים בגרעין, התגלו ב־1932 על ידי צ'אדוויק. החל בשנת 1900, פלאנק, איינשטיין, בוהר ואחרים פיתחו תורות קוונטיות כדי להסביר תוצאות ניסויים לא רגילות על ידי הצגת רמות אנרגיה בדידות. ב־1925 הייזנברג, וב־1926 שרדינגר ודיראק, ניסחו את מכניקת הקוונטים, שהסבירה את התאוריות הקוונטיות שקדמו לה. במכניקה קוונטית, תוצאות של מדידות פיזיקליות הן הסתברותיות לחלוטין. התורה מסבירה את חישוב ההסתברויות האלו. היא מסבירה בהצלחה את התנהגות החומר בקנה מידה קטן מאוד. מכניקה קוונטית מספקת גם את הכלים התאורטיים עבור פיזיקת מצב מוצק, החוקרת את ההתנהגות הפיזיקלית של חומר מעובה הכולל תופעות כגון מבנים גבישיים, מוליכות למחצה ומוליכות על. בין חלוצי פיזיקת המצב המוצק היה פליקס בלוך, שיצר ב־1928 תיאור של התנהגות האלקטרונים במבנים גבישיים על פי המכניקה הקוונטית. במהלך מלחמת העולם השנייה, נערכו מחקרים על ידי הצדדים הלוחמים בתחום הפיזיקה הגרעינית, על מנת ליצור פצצה גרעינית. המאמץ הגרמני, שהונהג בידי הייזנברג, לא הצליח, אך פרויקט מנהטן של בעלות הברית הגיע אל יעדו. באמריקה, בשנת 1942, צוות בראשות פרמי יצר את תגובת השרשרת הגרעינית הראשונה שנוצרה בידי אדם מעולם, וב־1945 נוסה הנשק הגרעיני לראשונה באתר טריניטי, סמוך לאלאמוגורדו, ניו מקסיקו. תורת השדות הקוונטית נוסחה על מנת להרחיב את המכניקה הקוונטית כך שתהיה עקבית עם תורת היחסות הפרטית. היא השיגה את מטרתה בשלהי שנות ה־40 של המאה ה־20, עם עבודתם של ריצ'רד פיינמן, ג'וליאן שווינגר, טומונאגה ודייסון. פיזיקאים אלה פיתחו וניסחו את תורת האלקטרודינמיקה הקוונטית, המתארת את היחסים האלקטרודינמיים. תורת השדות הקוונטית מספקת את המסגרת לפיזיקת החלקיקים המודרנית, החוקרת את הכוחות היסודיים ואת החלקיקים היסודיים. בשנת 1954 פיתחו יאנג ומילס אוסף של תאוריות שסיפקו את המסגרת עבור המודל הסטנדרטי. המודל הסטנדרטי, שהושלם בשנות השבעים, מתאר בהצלחה כמעט את כל החלקיקים היסודיים שנצפו עד כה. ==תגליות פיזיקליות מרכזיות== משוואות חשובות בפיזיקה: 1. [[החוק השני של ניוטון והגדרת תנע זוויתי 2. משוואות מקסוול (2 שורות) 3. משוואת האנטרופיה של לודוויג בולצמן 4. משוואת המצב של גז אידיאלי 5. אנרגיה יחסותית של חלקיק חופשי 6. משוואות שדה הכבידה של איינשטיין 7. אנרגיה של פוטון 8. קוונטיזציה של תנע זוויתי 9. משוואת שרדינגר 10. משוואת דיראק]] חוק הציפה – ארכימדס חוק המאזניים – ארכימדס ספקטרום – אייזק ניוטון, 1666 חוק הכבידה – אייזק ניוטון, 1687 שדה חשמלי משוואות מקסוול וגלים אלקטרומגנטיים – ג'יימס קלרק מקסוול רדיואקטיביות – אנרי בקרל, 1896 ביקוע גרעיני הולוגרפיה – דניס גאבור, 1947 קרני רנטגן – וילהלם רנטגן, גרמניה, 8 בנובמבר 1895 אלקטרון – ג'יי ג'יי תומסון, הממלכה המאוחדת, 1897 E=mc² (שקילות בין מסה לאנרגיה) ותורת היחסות – אלברט איינשטיין, גרמניה, 1905; 1915. קוונטיזציה של אנרגיה – מקס פלאנק, גרמניה, 1900 פרוטון – ארנסט רתרפורד, הממלכה המאוחדת, 1918 נייטרון – ג'יימס צ'דוויק, הממלכה המאוחדת, 1932 חיזוי אנטי-חומר – פול דיראק, הממלכה המאוחדת, 1928 פוזיטרון – אנטי-אלקטרון – קארל דייוויד אנדרסון, ארצות הברית, 1932 קווארק – מארי גל-מאן, ארצות הברית, יובל נאמן, ישראל, 1969 מהירות האור קבועה בכל מצב ולכן הזמן איננו קבוע – מייקלסון ומורלי, 1887 ==פיזיקה תאורטית== פיזיקה תאורטית או פיזיקה עיונית משתמשת במודלים מתמטיים ובהפשטת הפיזיקה בניסיון להבין את הטבע. הפיזיקה המתמטית היא כלי מרכזי בתחום זה, על אף שישנן טכניקות נוספות בהן נעזרים. המטרה היא להבין, להסביר ולחזות תופעות פיזיקליות. התקדמות המדע תלויה בדרך כלל ביחסי גומלין בין הפיזיקה התאורטית והפיזיקה הניסויית. בחלק מהמקרים, דובקת הפיזיקה התאורטית בשפה המתמטיקה הקפדנית ונותנת משקל קטן יחסית לניסויים ותצפיות. למשל, כשפיתח את תורת היחסות הפרטית, התעסק איינשטיין עם טרנספורמציות לורנץ שהשאירו את משוואות מקסוול קבועות, אולם לא התעניין באופן גלוי בניסוי מייקלסון-מורלי שעסק בתנועת כדור הארץ דרך האתר. מנגד, איינשטיין נשען על תהליך ניסויי נטול משוואות תאורטיות, בהסבירו את האפקט הפוטואלקטרי, דבר שזיכה אותו בפרס נובל. == כיווני מחקר עתידיים == נכון לשנת 2018, המחקר מתקדם במספר גדול של תחומים בפיזיקה. בפיזיקת המצב המוצק, הבעיה התאורטית הבלתי פתורה הגדולה ביותר כיום היא ההסבר למוליכות-על בטמפרטורות גבוהות. מאמצים רבים, ניסויים ברובם, מושקעים ביצירת ספינטרוניקה מעשית ומחשבים קוונטים. בפיזיקת החלקיקים, העדויות הניסיוניות הראשונות לפיזיקה מעבר למודל הסטנדרטי החלו להופיע. החשובה מביניהן היא העדות שלנייטרינו יש מסה לא אפסית. נראה שתוצאות ניסויות אלו פתרו את בעיית הנייטרינו הסולארי הוותיקה בפיזיקה של השמש. הפיזיקה של נייטרינו מסיביים היא כרגע תחום בו מבוצעים מחקרים תאורטיים וניסויים רבים. בשנת 2008, מאיצי חלקיקים החלו בחקר אנרגיות בקנה מידה של טרה-אלקטרון-וולט (טריליון אלקטרון-וולט), בו מקווים החוקרים למצוא עדויות לבוזון היגס ולבני זוג סופרסימטריים. ניסיונות תאורטיים לאחד את מכניקת הקוונטים ואת תורת היחסות הכללית לתאוריה אחת של כבידה קוונטית, תוכנית הנמשכת כבר מעל חצי מאה, טרם נשאו פרי. המועמד המוביל כיום הוא תורת M ה-11 ממדית. תופעות אסטרונומיות טרם הוסברו, כולל קיומן של קרניים קוסמיות באנרגיה אולטרה גבוהה ושיעורי סיבוב לא צפויים של גלקסיות. הוצעו תאוריות לפתרון בעיות אלו, כולל יחסות פרטית כפולה, דינמיקה ניוטונית מתוקנת, וקיומו של חומר אפל. בנוסף, התחזיות הקוסמולוגיות של העשורים האחרונים נסתרו על ידי עדויות חדשות לפיהן התפשטות היקום מאיצה. ==לקריאה נוספת== * * * ספרי פיזיקה ומדריך לימודים באתר ויקיספרים. * פיינמן, Leighton, Sands, The Feynman Lectures on Physics, Addison-Wesley 1970, 3 כרכים, כריכה רכה, ; כריכה קשה, מהדורת זיכרון, 1989, בריאן גרין, The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory, 464 עמודים, כריכה רכה, Vintage Books, 2000, ; כריכה קשה, W.W. Norton & Company, 2003, * ==קישורים חיצוניים== * [http://www.hayadan.org.il/category/technology/sciences/physics_classics/ מדור פיזיקה באתר הידען] הכולל מאמרים וחדשות בתחום הפיזיקה * יואב בן-דב, [http://www.bendov.info/heb/books/physbook/index.html#chapters מבוא לפיזיקה: היסטוריה, תאוריות ומושגים] * [http://timeline.aps.org/APS/Timeline התפתחות הפיזיקה במאה העשרים] - באתר ה-American Physical Society * Eric Weisstein, Weisstein and Wolfram Research, Inc., and et al, [http://scienceworld.wolfram.com/physics/ World of Physics] - אנציקלופדיה פיזיקלית מקוונת * Carl R. Nave, [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html HyperPhysics] - מפות מושגים בפיזיקה עם קישורים צולבים * [http://www.physlink.com/Index.cfm מרכז מידע על פיזיקה] * [http://www.fearofphysics.com/ הסברים על פיזיקה בשפה פשוטה] * [http://physicsworld.com/cws/home אתר חדשות בתחום הפיזיקה] * מילונים למונחי פיזיקה \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=9 פיזיקה (1930)] \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=6 חשמל ומגנטיות (1976)] \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=5 אופטיקה (1977)] \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=7 מכניקה (1973)] \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=140 אקוסטיקה (1985)] \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=223 פיזיקה מודרנית (1993)] \| באתר האקדמיה ללשון העברית * * * <ref>קורס פיזיקה ביידיש (Physics: Course Introduction (Yiddish) - YouTube</ref> == הערות שוליים == * פיזיקה קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה דוגמאות שונות לתופעות פיזיקליות [[עריסתו של ניוטון]] פִיזִיקָה (מהמילה היוונית φύσις, "פיסיס" – "טבע") היא ענף במדעי הטבע החוקר את חוקי היסוד של הטבע כפי שהם באים לידי ביטוי בכל מערכת הניתנת לתצפית, בכדור הארץ ובחלל. הנושאים בהם עוסקת הפיזיקה כוללים תנועת עצמים, התנהגות החומר, חקר האנרגיה והשפעת חוקי טבע מסוימים על רצף המרחב והזמן. מדע הפיזיקה מתפתח על ידי תצפיות וממצאים מניסויים, המגובשים לכדי תאוריות וחוקים המתוארים לרוב בשפה מתמטית. ככל שיש יותר תצפיות ומתקבלים יותר ממצאים מביצוע של ניסויים, עשויות התאוריות הללו להתעדכן ולהשתכלל. נהוג לחלק את הפיזיקה לשני תחומים עיקריים: הפיזיקה הקלאסית, הכוללת תחומים כמו: מכניקה, תרמודינמיקה ואלקטרומגנטיות. תחומים אלו מהווים את היסוד להבנת תחומים מודרניים יותר. הפיזיקה המודרנית שהתחומים העיקריים בה הם מכניקת הקוונטים, תורת היחסות, פיזיקה גרעינית, פיזיקה של חומר מעובה, ביופיזיקה, פיזיקת חלקיקים ופיזיקה סטטיסטית. רוב פעילותם ומחקריהם של הפיזיקאים בימינו עוסק בתחומים אלה. ההבחנה בין פיזיקה מודרנית לבין קלאסית אינה קשיחה וברורה. לדוגמה תורת הכאוס שפותחה בעיקר בחצי השני של המאה ה-20 מסתמכת על הנחות יסוד של פיזיקה קלאסית בלבד ועדיין מהווה תחום מחקר מודרני ופעיל. מכניקה סטטיסטית שעוזרת רבות בחקר מודרני של מערכות מרובות חלקיקים בעלי התנהגות קוונטית, החלה את דרכה במאה ה-19, שנים רבות לפני תורת היחסות ומכניקת הקוונטים. הפיזיקה קרובה מאוד למדעי טבע אחרים, במיוחד כימיה, מדע הפרודות והתרכובות הכימיות שהן יוצרות ביחד. הכימיה נסמכת על תחומים רבים בפיזיקה, ובפרט מכניקת הקוונטים, תרמודינמיקה ואלקטרודינמיקה. פיזיקה אטומית ופיזיקה מולקולרית נמצאות על התפר בין הפיזיקה לכימיה. ==תולדות הפיזיקה== [[חוק ארכימדס]] טבלת ה[[מכניקה בציקלופדיית צ'יימברס משנת 1728\|טקסט=]] ===העת העתיקה=== מתחילת ההיסטוריה האנושית, ניסה האדם להבין את התנהגות החומר: מדוע עצמים נופלים לקרקע באין תמיכה, מדוע לחומרים שונים יש תכונות שונות, וכן הלאה. גם אופי היקום היה מסתורי, כמו צורת כדור הארץ והתנהגות גופים שמימיים, כמו השמש והירח. מספר תאוריות הוצעו, רובן היו שגויות. תאוריות אלו נוסחו ברובן במונחים פילוסופיים או מטאפיזיים, ומעולם לא אומתו בניסויים שיטתיים. ישנם יוצאים מן הכלל: לדוגמה, ההוגה היווני ארכימדס מצא תיאורים כמותיים נכונים רבים במכניקה והידרוסטטיקה. לעומת זאת, דווקא בתחום האסטרונומיה גילו הקדמונים דיוק רב בביצוע תצפיות אחרי מסלולים של כוכבים ותיעוד תצפיות אלה. האסטרונומיה הייתה מפותחת ברוב התרבויות הגדולות, לרבות מצרים העתיקה, בבל העתיקה, סין, הודו ויוון העתיקה. האסטרונום היווני תלמי אף הציע מודל מתמטי-גאומטרי שהסביר בצורה נאה את תנועת הכוכבים כפי שנצפית בשמיים. אף על פי שהיה שגוי, מודל זה היה כה מוצלח מבחינה אמפירית, עד שהוא שלט בכיפה עד להופעתו של המודל הקופרניקני. חשיבותו של המודל היווני לתנועת כוכבי הלכת היא השימוש במתמטיקה לצורך הפיזיקה, לא רק ככלי תיאורי גרידא אלא כביטוי כמותי לחוקי הטבע, שמהם אף אפשר לחזות תופעות שניתנות לצפייה על ידי ביצוע חישובים מתאימים על פרטי המודל. ===הפיזיקה כמדע=== אייזק ניוטון [[המטוטלת של פוקו]] בשלהי המאה ה־16 גלילאו היה הראשון שהשתמש בניסוי כדי לאמת תאוריות פיזיקליות, שהוא העיקרון המנחה של השיטה המדעית. גלילאו ניסח ובדק בהצלחה מספר תוצאות בדינמיקה, ובמיוחד חוק התנע. ב־1687 ניוטון פרסם את ספרו "היסודות המתמטיים של פילוסופית הטבע" (Principia Mathematica), המתאר שתי תאוריות פיזיקליות שלמות ומצליחות: חוקי התנועה של ניוטון, מהם נובעים המכניקה הקלאסית; וחוק הכבידה של ניוטון, המתאר את הכוח היסודי של הכבידה. שתי התאוריות האלו התאימו היטב לניסויים. המכניקה הקלאסית הורחבה מאוד על ידי לגראנז', המילטון ואחרים, שיצרו ניסוחים, עקרונות ותוצאות חדשות. חוק הכבידה הביא לפיתוח תחום האסטרופיזיקה, המתאר תופעות אסטרונומיות בעזרת תאוריות פיזיקליות. החל מהמאה ה־18, פותחה התרמודינמיקה על ידי בויל, יאנג ואחרים. בשנת 1733, ברנולי השתמש בטיעונים סטטיסטיים עם מכניקה קלאסית כדי להשיג תוצאות תרמודינמיות, והניח את היסודות למכניקה סטטיסטית. בשנת 1798, תומפסון הדגים המרת עבודה מכנית לחום, וב־1847 ג'אול ניסח את חוק שימור האנרגיה, בצורת חום ובצורת אנרגיה מכנית. התנהגות החשמל והמגנטיות נחקרה על ידי פאראדיי, אוהם ואחרים. ב־1855 מקסוול איחד את שתי התופעות לתורה יחידה של אלקטרומגנטיות, המתוארת על ידי משוואות מקסוול. ניבוי של תורה זו היה שהאור הוא גל אלקטרומגנטי. בשנת 1895 רנטגן גילה את קרני ה־X, שהתגלו כקרינה אלקטרומגנטית בתדר גבוה. רדיואקטיביות התגלתה על ידי אנרי בקרל, ונחקרה עוד על ידי פייר ומארי קירי, ואחרים. זה הניח את הבסיס לשדה הפיזיקה הגרעינית. קיומו של האטום הוצע ב־1808 על ידי דלטון. ב־1897 גילה ג'וזף ג'ון תומסון את האלקטרון, החלקיק היסודי הנושא זרם חשמלי במעגלים. ב־1904 הוא הציע את הדגם הראשון של האטום. ===המאה ה-20 ואילך=== הפיזיקה עברה מספר מהפכות במהלך המאה ה-20. תורת היחסות שינתה את התפיסה של הזמן והמרחב, ואת ההבנה של כוח הכבידה. תורת הקוונטים שינתה את התפיסה של פילוסופיה מכניסטית, ואת ההפרדה בין גלים לחלקיקים. לאחר מכן המודל הסטנדרטי הכליל את התגובות הבסיסיות ביותר הידועות כיום בין חלקיקים. כתוצאה מההבנה הפיזיקלית של הטבע נוצרו חידושים טכנולוגיים רבים אשר שינו באופן מהותי את חיי היום-יום של בני האדם. בשנת 1905 ניסח איינשטיין את תורת היחסות הפרטית, המאחדת את הזמן והמרחב לישות אחת, מרחב-זמן. הוא פיתח תורה זו מתוך התבוננות במשוואות מקסוול, ותוצאות ניסוי מייקלסון-מורלי. היחסות דורשת טרנספורמציה שונה בין מסגרות ייחוס מאשר המכניקה הקלאסית; דבר זה הצריך את פיתוח המכניקה היחסותית כתחליף למכניקה הקלאסית. כאשר המהירויות הנמוכות, שתי התאוריות תואמות. ב־1915 הרחיב איינשטיין את תורת היחסות הפרטית כדי להסביר את כוח הכבידה באמצעות תורת היחסות הכללית, המחליפה את חוק הכבידה של ניוטון. בתחום של מאסות ואנרגיות נמוכות, שתי התאוריות תואמות. בשנת 1911, רתרפורד הסיק מניסויי פיזור את קיומו של גרעין אטומי, עם רכיבים בעלי מטען חשמלי חיובי, שכונו פרוטונים. נייטרונים, הרכיבים הנייטרליים בגרעין, התגלו ב־1932 על ידי צ'אדוויק. החל בשנת 1900, פלאנק, איינשטיין, בוהר ואחרים פיתחו תורות קוונטיות כדי להסביר תוצאות ניסויים לא רגילות על ידי הצגת רמות אנרגיה בדידות. ב־1925 הייזנברג, וב־1926 שרדינגר ודיראק, ניסחו את מכניקת הקוונטים, שהסבירה את התאוריות הקוונטיות שקדמו לה. במכניקה קוונטית, תוצאות של מדידות פיזיקליות הן הסתברותיות לחלוטין. התורה מסבירה את חישוב ההסתברויות האלו. היא מסבירה בהצלחה את התנהגות החומר בקנה מידה קטן מאוד. מכניקה קוונטית מספקת גם את הכלים התאורטיים עבור פיזיקת מצב מוצק, החוקרת את ההתנהגות הפיזיקלית של חומר מעובה הכולל תופעות כגון מבנים גבישיים, מוליכות למחצה ומוליכות על. בין חלוצי פיזיקת המצב המוצק היה פליקס בלוך, שיצר ב־1928 תיאור של התנהגות האלקטרונים במבנים גבישיים על פי המכניקה הקוונטית. במהלך מלחמת העולם השנייה, נערכו מחקרים על ידי הצדדים הלוחמים בתחום הפיזיקה הגרעינית, על מנת ליצור פצצה גרעינית. המאמץ הגרמני, שהונהג בידי הייזנברג, לא הצליח, אך פרויקט מנהטן של בעלות הברית הגיע אל יעדו. באמריקה, בשנת 1942, צוות בראשות פרמי יצר את תגובת השרשרת הגרעינית הראשונה שנוצרה בידי אדם מעולם, וב־1945 נוסה הנשק הגרעיני לראשונה באתר טריניטי, סמוך לאלאמוגורדו, ניו מקסיקו. תורת השדות הקוונטית נוסחה על מנת להרחיב את המכניקה הקוונטית כך שתהיה עקבית עם תורת היחסות הפרטית. היא השיגה את מטרתה בשלהי שנות ה־40 של המאה ה־20, עם עבודתם של ריצ'רד פיינמן, ג'וליאן שווינגר, טומונאגה ודייסון. פיזיקאים אלה פיתחו וניסחו את תורת האלקטרודינמיקה הקוונטית, המתארת את היחסים האלקטרודינמיים. תורת השדות הקוונטית מספקת את המסגרת לפיזיקת החלקיקים המודרנית, החוקרת את הכוחות היסודיים ואת החלקיקים היסודיים. בשנת 1954 פיתחו יאנג ומילס אוסף של תאוריות שסיפקו את המסגרת עבור המודל הסטנדרטי. המודל הסטנדרטי, שהושלם בשנות השבעים, מתאר בהצלחה כמעט את כל החלקיקים היסודיים שנצפו עד כה. ==תגליות פיזיקליות מרכזיות== משוואות חשובות בפיזיקה: 1. [[החוק השני של ניוטון והגדרת תנע זוויתי 2. משוואות מקסוול (2 שורות) 3. משוואת האנטרופיה של לודוויג בולצמן 4. משוואת המצב של גז אידיאלי 5. אנרגיה יחסותית של חלקיק חופשי 6. משוואות שדה הכבידה של איינשטיין 7. אנרגיה של פוטון 8. קוונטיזציה של תנע זוויתי 9. משוואת שרדינגר 10. משוואת דיראק]] חוק הציפה – ארכימדס חוק המאזניים – ארכימדס ספקטרום – אייזק ניוטון, 1666 חוק הכבידה – אייזק ניוטון, 1687 שדה חשמלי משוואות מקסוול וגלים אלקטרומגנטיים – ג'יימס קלרק מקסוול רדיואקטיביות – אנרי בקרל, 1896 ביקוע גרעיני הולוגרפיה – דניס גאבור, 1947 קרני רנטגן – וילהלם רנטגן, גרמניה, 8 בנובמבר 1895 אלקטרון – ג'יי ג'יי תומסון, הממלכה המאוחדת, 1897 E=mc² (שקילות בין מסה לאנרגיה) ותורת היחסות – אלברט איינשטיין, גרמניה, 1905; 1915. קוונטיזציה של אנרגיה – מקס פלאנק, גרמניה, 1900 פרוטון – ארנסט רתרפורד, הממלכה המאוחדת, 1918 נייטרון – ג'יימס צ'דוויק, הממלכה המאוחדת, 1932 חיזוי אנטי-חומר – פול דיראק, הממלכה המאוחדת, 1928 פוזיטרון – אנטי-אלקטרון – קארל דייוויד אנדרסון, ארצות הברית, 1932 קווארק – מארי גל-מאן, ארצות הברית, יובל נאמן, ישראל, 1969 מהירות האור קבועה בכל מצב ולכן הזמן איננו קבוע – מייקלסון ומורלי, 1887 ==פיזיקה תאורטית== פיזיקה תאורטית או פיזיקה עיונית משתמשת במודלים מתמטיים ובהפשטת הפיזיקה בניסיון להבין את הטבע. הפיזיקה המתמטית היא כלי מרכזי בתחום זה, על אף שישנן טכניקות נוספות בהן נעזרים. המטרה היא להבין, להסביר ולחזות תופעות פיזיקליות. התקדמות המדע תלויה בדרך כלל ביחסי גומלין בין הפיזיקה התאורטית והפיזיקה הניסויית. בחלק מהמקרים, דובקת הפיזיקה התאורטית בשפה המתמטיקה הקפדנית ונותנת משקל קטן יחסית לניסויים ותצפיות. למשל, כשפיתח את תורת היחסות הפרטית, התעסק איינשטיין עם טרנספורמציות לורנץ שהשאירו את משוואות מקסוול קבועות, אולם לא התעניין באופן גלוי בניסוי מייקלסון-מורלי שעסק בתנועת כדור הארץ דרך האתר. מנגד, איינשטיין נשען על תהליך ניסויי נטול משוואות תאורטיות, בהסבירו את האפקט הפוטואלקטרי, דבר שזיכה אותו בפרס נובל. == כיווני מחקר עתידיים == נכון לשנת 2018, המחקר מתקדם במספר גדול של תחומים בפיזיקה. בפיזיקת המצב המוצק, הבעיה התאורטית הבלתי פתורה הגדולה ביותר כיום היא ההסבר למוליכות-על בטמפרטורות גבוהות. מאמצים רבים, ניסויים ברובם, מושקעים ביצירת ספינטרוניקה מעשית ומחשבים קוונטים. בפיזיקת החלקיקים, העדויות הניסיוניות הראשונות לפיזיקה מעבר למודל הסטנדרטי החלו להופיע. החשובה מביניהן היא העדות שלנייטרינו יש מסה לא אפסית. נראה שתוצאות ניסויות אלו פתרו את בעיית הנייטרינו הסולארי הוותיקה בפיזיקה של השמש. הפיזיקה של נייטרינו מסיביים היא כרגע תחום בו מבוצעים מחקרים תאורטיים וניסויים רבים. בשנת 2008, מאיצי חלקיקים החלו בחקר אנרגיות בקנה מידה של טרה-אלקטרון-וולט (טריליון אלקטרון-וולט), בו מקווים החוקרים למצוא עדויות לבוזון היגס ולבני זוג סופרסימטריים. ניסיונות תאורטיים לאחד את מכניקת הקוונטים ואת תורת היחסות הכללית לתאוריה אחת של כבידה קוונטית, תוכנית הנמשכת כבר מעל חצי מאה, טרם נשאו פרי. המועמד המוביל כיום הוא תורת M ה-11 ממדית. תופעות אסטרונומיות טרם הוסברו, כולל קיומן של קרניים קוסמיות באנרגיה אולטרה גבוהה ושיעורי סיבוב לא צפויים של גלקסיות. הוצעו תאוריות לפתרון בעיות אלו, כולל יחסות פרטית כפולה, דינמיקה ניוטונית מתוקנת, וקיומו של חומר אפל. בנוסף, התחזיות הקוסמולוגיות של העשורים האחרונים נסתרו על ידי עדויות חדשות לפיהן התפשטות היקום מאיצה. ==לקריאה נוספת== * * * ספרי פיזיקה ומדריך לימודים באתר ויקיספרים. * פיינמן, Leighton, Sands, The Feynman Lectures on Physics, Addison-Wesley 1970, 3 כרכים, כריכה רכה, ; כריכה קשה, מהדורת זיכרון, 1989, בריאן גרין, The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory, 464 עמודים, כריכה רכה, Vintage Books, 2000, ; כריכה קשה, W.W. Norton & Company, 2003, * ==קישורים חיצוניים== * [http://www.hayadan.org.il/category/technology/sciences/physics_classics/ מדור פיזיקה באתר הידען] הכולל מאמרים וחדשות בתחום הפיזיקה * יואב בן-דב, [http://www.bendov.info/heb/books/physbook/index.html#chapters מבוא לפיזיקה: היסטוריה, תאוריות ומושגים] * [http://timeline.aps.org/APS/Timeline התפתחות הפיזיקה במאה העשרים] - באתר ה-American Physical Society * Eric Weisstein, Weisstein and Wolfram Research, Inc., and et al, [http://scienceworld.wolfram.com/physics/ World of Physics] - אנציקלופדיה פיזיקלית מקוונת * Carl R. Nave, [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html HyperPhysics] - מפות מושגים בפיזיקה עם קישורים צולבים * [http://www.physlink.com/Index.cfm מרכז מידע על פיזיקה] * [http://www.fearofphysics.com/ הסברים על פיזיקה בשפה פשוטה] * [http://physicsworld.com/cws/home אתר חדשות בתחום הפיזיקה] * מילונים למונחי פיזיקה \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=9 פיזיקה (1930)] \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=6 חשמל ומגנטיות (1976)] \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=5 אופטיקה (1977)] \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=7 מכניקה (1973)] \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=140 אקוסטיקה (1985)] \| [https://terms.hebrew-academy.org.il/Millonim/ShowMillon?KodMillon=223 פיזיקה מודרנית (1993)] \| באתר האקדמיה ללשון העברית * * * <ref>קורס פיזיקה ביידיש (Physics: Course Introduction (Yiddish) - YouTube</ref> == הערות שוליים == * פיזיקה קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
32	ויקי	ויקי (מהוואית: Wiki, "מהיר") היא שיטה לבניית מאגרי מידע ואתרי אינטרנט, שבהם התוכן נכתב ונערך על ידי כלל המשתמשים, בשיטת מיקור המונים. מימוש שיטת הוויקי מתבצע באמצעות תוכנה מתאימה, כגון "מדיה־ויקי". == המצאה == [[וורד קנינגהם, ממציא שיטת הוויקי]] ממציא הוויקי הוא וורד קנינגהם, שיצר ב־1995 את אתר הוויקי הראשון – Ward's Wiki.<ref>[http://www.c2.com/cgi/wiki?WelcomeVisitors אתר Ward's Wiki]</ref> מקור המילה בשפה ההוואית (לשון ילידי הוואי), שם פירושה "מהיר", מה שתאם עבור קנינגהם את הרעיון העומד בבסיס המצאתו.<ref>וורד קנינגהם, [http://c2.com/doc/etymology.html Correspondence on the Etymology of Wiki], נובמבר 2003</ref> בשם "ויקי" מכונים הן אתרים שנוצרו בגישה זו הן תוכנות שבאמצעותן מפעילים אתרים כאלו. אתרים אלו מכונים גם Wiki Wiki Web (כפרפרזה על World Wide Web – WWW), האקדמיה ללשון העברית החליטה בראשית מרץ 2006 כי אין לתרגם לעברית את המילה "ויקי". ההנחה העומדת מאחורי אתרי תוכן הנוצרים בשיטת הוויקי היא שאם מוסרות המגבלות המלאכותיות ונוצרת קבוצה של פרטים שווים וחופשיים לגמרי, החברים בקבוצה יפעלו באופן חיובי, והקבוצה תהיה יעילה יותר מכזו שמפוקחת על ידי מספר קטן של "שליטים". == שימושים == שיטת הוויקי משמשת להקמת מיזמים שונים, בהם אנציקלופדיות (שהמפורסמת בהן היא ויקיפדיה) ומיזמים נוספים. אתר הוויקי הגדול ביותר הוא אנציקלופדיית ויקיפדיה האנגלית, שהוקמה בינואר 2001, ונכון לדצמבר 2023 יש בה למעלה מ־6.7 מיליון ערכים אנציקלופדיים.<ref>סטטיסטיקה, בוויקיפדיה האנגלית</ref> דוגמה נוספת לאתר ויקי גדול היא wiki.java.net,<ref>[https://web.archive.org/web/20120717000923/http://wiki.java.net/ אתר wiki.java.net]</ref> אתר שיתוף ידע למתכנתי שפת Java. בשיטה זו קיימת אפשרות ליישם תהליכים של למידה שיתופית בסביבות למידה מקוונות, מתוך מטרה לשתף ידע בתוך קהילות או חברות, כמו גם ליצור אתרי תוכן גדולים. אתרי ויקי משמשים לשני צרכים עיקריים: ===שיתוף ידע בתוך קהילות או חברות=== ויקי יכולה להיות שיטה טובה לשיתוף ידע בקהילות שפועלות באמצעות האינטרנט או בתוך חברות מסחריות. היא חלופה למערכות פורומים בנושאים שהידע בהם הוא גדול ומורכב, ומוכל בדפים ולא בהודעות קצרות. חברות מסחריות רבות עושות כיום שימוש באתרי ויקי פנימיים כדי לעודד את העובדים שלהם לפרסם ולהפיץ את עבודתם. בין הגופים העושים שימוש אינטנסיבי במערכות ויקי ניתן למנות את גוגל, ויקיליקס, IBM, אולפני פיקסאר וה־CIA. ===יצירת אתרי תוכן גדולים=== לשיטת הוויקי יתרון גם באתרי תוכן פומביים באינטרנט המפרסמים ידע בכמויות גדולות שנמצא אצל אנשים רבים (לדוגמה אנציקלופדיה ומילון). היתרון של יצירת תוכן באמצעות אתרי ויקי הוא שפוטנציאלית התוכן בהם יכול להיווצר במהירות רבה ועשוי להיות נייטרלי יחסית לאתרים אחרים. לדוגמה: ליצירת אנציקלופדיה ynet בעברית נדרשו ארבע שנים שבמהלכן פעלו חמישה עורכים במשרה מלאה שהסתייעו בכותבים רבים בשכר ובאנציקלופדיה קודמת עליה הם התבססו ("האנציקלופדיה הישראלית" בהוצאת "כתר"). לאחר ארבע השנים הללו נוצרה אנציקלופדיה של כ־6,000 ערכים. ויקיפדיה העברית לעומתם הגיעה בתוך שנתיים ליותר מ־20,000 ערכים, ללא תשלום כלשהו לעורכים המתנדבים. הטענה הנפוצה ביותר כנגד שיטה זו היא שהיא יוצרת אתרים בעלי אמינות הנמוכה מאמינותם של אתרים שבהם מועסקים עורכים שהם "אנשי מקצוע" המבקרים ובודקים את המידע. מצדדי השיטה, לעומת זאת, טוענים כי דווקא העובדה שאנשים רבים כותבים ובודקים את המידע, היא התורמת בסופו של דבר לכך שהוא יהיה נייטרלי ומדויק יותר מאשר מידע שנבדק על ידי מעטים, גם אם הם מומחים. ==מאפיינים== המאפיין הראשון והחשוב של אתרי ויקי הוא המהירות והקלות היחסיוֹת שבהן כל משתמש יכול לערוך דפים. ברוב האתרים לא נדרשת כל תוכנה נוספת מעבר לדפדפן אינטרנט. בדרך כלל בתוך הטקסט של דף הוויקי ישנם סימנים מיוחדים (תחביר ויקי) להוספת קישורים, כותרות, הדגשות וכדומה. ישנם אתרי ויקי הדורשים רישום מוקדם כדי שניתן יהיה לערוך דפים בהם, אחרים מנסים לעודד רישום אך לא כופים אותו (כמו ויקיפדיה), ובאחרים העריכה היא חופשית לגמרי. אתרי ויקי כוללים בתוכם כלים שנועדו לפקח על תהליך העריכה ולאפשר למשתמשים הקבועים לנטר את הפעילות כדי לזהות דפים הדורשים תיקון, הרחבה ומניעת השחתות. המנגנון הבסיסי ביותר הוא הצגת רשימה של כל השינויים שנעשו לאחרונה בכלל הדפים. לדוגמה: ראו רשימת שינויים אחרונים בוויקיפדיה העברית. רוב אתרי ותוכנות הוויקי מתבססים, כמו רוב אתרי האינטרנט, על שיטת ההיפרטקסט (Hypertext), שבה מקושרים דפים זה לזה באמצעות מילות מפתח בגוף הדף, כך שהניווט באתר אינו היררכי או סדרתי (כמו בספר) אלא בקפיצה מדף אחד לשני. אתרי ויקי בדרך כלל מרחיבים את רעיון ההיפרטקסט ומאפשרים לא רק ניווט לפי הקישורים אלא גם יצירת תוכן בעקבות קישורים. לדוגמה, בוויקיפדיה, אם נוצר קישור לדף שלא קיים, הוא נצבע באדום. לחיצה על קישור כזה תאפשר למשתמש להוסיף את הדף. כדי שאתרי ויקי יצליחו דרושים כמה תנאים בסיסיים, מעבר לרובד הטכני:<!-- כדאי לקשר לעבודה אקדמית שאומרת שאלה התנאים --> # מטרה ברורה ומוגדרת לאתר. # גרעין של כותבים ועורכים קבועים ורציניים. # כתיבה של רבים, מומחים או בעלי ידע בתחום האתר. בדומה לבלוג, התפתחה גם "תרבות ויקי", המאפיינת את הכותבים באתרים אלו. בגלל אופיים הפתוח למשתמשים אתרי ויקי מאפשרים הגבלת תוכן, לצורך בקרת עמיתים. ==ראו גם== * דוקומנטציה * ניהול גרסאות * תחביר ויקי == קישורים חיצוניים == * גלעד רביד, [http://alhagova.colman.ac.il/files/07_2011/P-40-43.pdf ויקי: אתגרים חדשים בהשכלה גבוהה], "על הגובה", מרץ 2007 * חגית מישר־טל ועדנה טל־אלחסיד, [http://alhagova.colman.ac.il/files/07_2011/P-44-47.pdf מטלה שיתופית בקורס אקדמי בסביבת ויקי], "על הגובה", מרץ 2007 * [http://www.youtube.com/watch?v=-dnL00TdmLY Wikis in Plain English] – סרטון המסביר בצורה פשוטה מהם Wikis, באתר יוטיוב, 29 במאי 2007 * דורית רם, [https://web.archive.org/web/20100111184326/http://netwise.co.il/Templates/About/ArticlesLibrary/1106wiki.aspx ויקי ויקי עלינו – יישומי ויקי בעולמות תוכן שונים], באתר [https://web.archive.org/web/20080705113753/http://www.netwise.co.il/ Netwise] * גרגורי רשקביץ, [https://web.archive.org/web/20110715232555/http://www.wit.co.il/wiki/index.php/Wit-%3Aמי_הזיז_את_הוויקי_שלי%3F הפן העסקי של הוויקי – "מי הזיז את הוויקי שלי?"], אפריל 2008 * == הערות שוליים == * קטגוריה:אינטרנט קטגוריה:ניהול ידע קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימהויקי (מהוואית: Wiki, "מהיר") היא שיטה לבניית מאגרי מידע ואתרי אינטרנט, שבהם התוכן נכתב ונערך על ידי כלל המשתמשים, בשיטת מיקור המונים. מימוש שיטת הוויקי מתבצע באמצעות תוכנה מתאימה, כגון "מדיה־ויקי". == המצאה == [[וורד קנינגהם, ממציא שיטת הוויקי]] ממציא הוויקי הוא וורד קנינגהם, שיצר ב־1995 את אתר הוויקי הראשון – Ward's Wiki.<ref>[http://www.c2.com/cgi/wiki?WelcomeVisitors אתר Ward's Wiki]</ref> מקור המילה בשפה ההוואית (לשון ילידי הוואי), שם פירושה "מהיר", מה שתאם עבור קנינגהם את הרעיון העומד בבסיס המצאתו.<ref>וורד קנינגהם, [http://c2.com/doc/etymology.html Correspondence on the Etymology of Wiki], נובמבר 2003</ref> בשם "ויקי" מכונים הן אתרים שנוצרו בגישה זו הן תוכנות שבאמצעותן מפעילים אתרים כאלו. אתרים אלו מכונים גם Wiki Wiki Web (כפרפרזה על World Wide Web – WWW), האקדמיה ללשון העברית החליטה בראשית מרץ 2006 כי אין לתרגם לעברית את המילה "ויקי". ההנחה העומדת מאחורי אתרי תוכן הנוצרים בשיטת הוויקי היא שאם מוסרות המגבלות המלאכותיות ונוצרת קבוצה של פרטים שווים וחופשיים לגמרי, החברים בקבוצה יפעלו באופן חיובי, והקבוצה תהיה יעילה יותר מכזו שמפוקחת על ידי מספר קטן של "שליטים". == שימושים == שיטת הוויקי משמשת להקמת מיזמים שונים, בהם אנציקלופדיות (שהמפורסמת בהן היא ויקיפדיה) ומיזמים נוספים. אתר הוויקי הגדול ביותר הוא אנציקלופדיית ויקיפדיה האנגלית, שהוקמה בינואר 2001, ונכון לדצמבר 2023 יש בה למעלה מ־6.7 מיליון ערכים אנציקלופדיים.<ref>סטטיסטיקה, בוויקיפדיה האנגלית</ref> דוגמה נוספת לאתר ויקי גדול היא wiki.java.net,<ref>[https://web.archive.org/web/20120717000923/http://wiki.java.net/ אתר wiki.java.net]</ref> אתר שיתוף ידע למתכנתי שפת Java. בשיטה זו קיימת אפשרות ליישם תהליכים של למידה שיתופית בסביבות למידה מקוונות, מתוך מטרה לשתף ידע בתוך קהילות או חברות, כמו גם ליצור אתרי תוכן גדולים. אתרי ויקי משמשים לשני צרכים עיקריים: ===שיתוף ידע בתוך קהילות או חברות=== ויקי יכולה להיות שיטה טובה לשיתוף ידע בקהילות שפועלות באמצעות האינטרנט או בתוך חברות מסחריות. היא חלופה למערכות פורומים בנושאים שהידע בהם הוא גדול ומורכב, ומוכל בדפים ולא בהודעות קצרות. חברות מסחריות רבות עושות כיום שימוש באתרי ויקי פנימיים כדי לעודד את העובדים שלהם לפרסם ולהפיץ את עבודתם. בין הגופים העושים שימוש אינטנסיבי במערכות ויקי ניתן למנות את גוגל, ויקיליקס, IBM, אולפני פיקסאר וה־CIA. ===יצירת אתרי תוכן גדולים=== לשיטת הוויקי יתרון גם באתרי תוכן פומביים באינטרנט המפרסמים ידע בכמויות גדולות שנמצא אצל אנשים רבים (לדוגמה אנציקלופדיה ומילון). היתרון של יצירת תוכן באמצעות אתרי ויקי הוא שפוטנציאלית התוכן בהם יכול להיווצר במהירות רבה ועשוי להיות נייטרלי יחסית לאתרים אחרים. לדוגמה: ליצירת אנציקלופדיה ynet בעברית נדרשו ארבע שנים שבמהלכן פעלו חמישה עורכים במשרה מלאה שהסתייעו בכותבים רבים בשכר ובאנציקלופדיה קודמת עליה הם התבססו ("האנציקלופדיה הישראלית" בהוצאת "כתר"). לאחר ארבע השנים הללו נוצרה אנציקלופדיה של כ־6,000 ערכים. ויקיפדיה העברית לעומתם הגיעה בתוך שנתיים ליותר מ־20,000 ערכים, ללא תשלום כלשהו לעורכים המתנדבים. הטענה הנפוצה ביותר כנגד שיטה זו היא שהיא יוצרת אתרים בעלי אמינות הנמוכה מאמינותם של אתרים שבהם מועסקים עורכים שהם "אנשי מקצוע" המבקרים ובודקים את המידע. מצדדי השיטה, לעומת זאת, טוענים כי דווקא העובדה שאנשים רבים כותבים ובודקים את המידע, היא התורמת בסופו של דבר לכך שהוא יהיה נייטרלי ומדויק יותר מאשר מידע שנבדק על ידי מעטים, גם אם הם מומחים. ==מאפיינים== המאפיין הראשון והחשוב של אתרי ויקי הוא המהירות והקלות היחסיוֹת שבהן כל משתמש יכול לערוך דפים. ברוב האתרים לא נדרשת כל תוכנה נוספת מעבר לדפדפן אינטרנט. בדרך כלל בתוך הטקסט של דף הוויקי ישנם סימנים מיוחדים (תחביר ויקי) להוספת קישורים, כותרות, הדגשות וכדומה. ישנם אתרי ויקי הדורשים רישום מוקדם כדי שניתן יהיה לערוך דפים בהם, אחרים מנסים לעודד רישום אך לא כופים אותו (כמו ויקיפדיה), ובאחרים העריכה היא חופשית לגמרי. אתרי ויקי כוללים בתוכם כלים שנועדו לפקח על תהליך העריכה ולאפשר למשתמשים הקבועים לנטר את הפעילות כדי לזהות דפים הדורשים תיקון, הרחבה ומניעת השחתות. המנגנון הבסיסי ביותר הוא הצגת רשימה של כל השינויים שנעשו לאחרונה בכלל הדפים. לדוגמה: ראו רשימת שינויים אחרונים בוויקיפדיה העברית. רוב אתרי ותוכנות הוויקי מתבססים, כמו רוב אתרי האינטרנט, על שיטת ההיפרטקסט (Hypertext), שבה מקושרים דפים זה לזה באמצעות מילות מפתח בגוף הדף, כך שהניווט באתר אינו היררכי או סדרתי (כמו בספר) אלא בקפיצה מדף אחד לשני. אתרי ויקי בדרך כלל מרחיבים את רעיון ההיפרטקסט ומאפשרים לא רק ניווט לפי הקישורים אלא גם יצירת תוכן בעקבות קישורים. לדוגמה, בוויקיפדיה, אם נוצר קישור לדף שלא קיים, הוא נצבע באדום. לחיצה על קישור כזה תאפשר למשתמש להוסיף את הדף. כדי שאתרי ויקי יצליחו דרושים כמה תנאים בסיסיים, מעבר לרובד הטכני:<!-- כדאי לקשר לעבודה אקדמית שאומרת שאלה התנאים --> # מטרה ברורה ומוגדרת לאתר. # גרעין של כותבים ועורכים קבועים ורציניים. # כתיבה של רבים, מומחים או בעלי ידע בתחום האתר. בדומה לבלוג, התפתחה גם "תרבות ויקי", המאפיינת את הכותבים באתרים אלו. בגלל אופיים הפתוח למשתמשים אתרי ויקי מאפשרים הגבלת תוכן, לצורך בקרת עמיתים. ==ראו גם== * דוקומנטציה * ניהול גרסאות * תחביר ויקי == קישורים חיצוניים == * גלעד רביד, [http://alhagova.colman.ac.il/files/07_2011/P-40-43.pdf ויקי: אתגרים חדשים בהשכלה גבוהה], "על הגובה", מרץ 2007 * חגית מישר־טל ועדנה טל־אלחסיד, [http://alhagova.colman.ac.il/files/07_2011/P-44-47.pdf מטלה שיתופית בקורס אקדמי בסביבת ויקי], "על הגובה", מרץ 2007 * [http://www.youtube.com/watch?v=-dnL00TdmLY Wikis in Plain English] – סרטון המסביר בצורה פשוטה מהם Wikis, באתר יוטיוב, 29 במאי 2007 * דורית רם, [https://web.archive.org/web/20100111184326/http://netwise.co.il/Templates/About/ArticlesLibrary/1106wiki.aspx ויקי ויקי עלינו – יישומי ויקי בעולמות תוכן שונים], באתר [https://web.archive.org/web/20080705113753/http://www.netwise.co.il/ Netwise] * גרגורי רשקביץ, [https://web.archive.org/web/20110715232555/http://www.wit.co.il/wiki/index.php/Wit-%3Aמי_הזיז_את_הוויקי_שלי%3F הפן העסקי של הוויקי – "מי הזיז את הוויקי שלי?"], אפריל 2008 * == הערות שוליים == * קטגוריה:אינטרנט קטגוריה:ניהול ידע קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
50	מוזיקה	"[[הביטלס במופע מוזיקה בשנת 1964]]\n\nמוזיקה היא אמנות סידור(...TRUNCATED)
51	ג'אז	"ג'אז (באנגלית: Jazz) הוא סוגה מוזיקלית, שנוצרה בארצות הברי(...TRUNCATED)
52	פיוז'ן (מוזיקה)	"פיוז'ן (מאנגלית: Fusion; היתוך) הוא מונח רחב מאוד המשמש לתי(...TRUNCATED)
54	ספורט אתגרי	"[[קפיצת באנג'י הוא ענף ספורט אתגרי]]\nטיפוס קרח גם הוא ענ(...TRUNCATED)
55	טיפוס קירות	"פארק הירקון ספורטק אשר פורק והוחלף. בתמונה, מטפס בשיטת (...TRUNCATED)
56	ספורטאי	"[[ג'ים ת'ורפ, אחד הספורטאים הרבגוניים ביותר בהיסטוריה, ב(...TRUNCATED)

End of preview. Expand in Data Studio

Hebrew Wikipedia Articles

Hebrew Wikipedia article dump (main namespace only, redirects excluded), exported 2024-09-01.

Data

Source: hewiki-20240901-pages-articles-multistream
Schema: id (int64), title (string), text (string, cleaned: templates removed, links simplified)
License: CC BY-SA 3.0 (Wikipedia)

Usage

from datasets import load_dataset

# After uploading to Hub (replace ORG/REPO with your repo id):
ds = load_dataset("parquet", data_files="https://huggingface.co/datasets/ORG/REPO/resolve/main/data/train.parquet", split="train")
# or
ds = load_dataset("ORG/REPO", trust_remote_code=True)

Notes

Only main-namespace (ns=0) articles; redirects excluded. Text is cleaned: {{...}} removed, [[link|display]]→display.

Downloads last month: 7

Size of downloaded dataset files:

1.56 GB

Size of the auto-converted Parquet files:

1.56 GB

Number of rows:

361,334

Collection including OzLabs/hebrew-wiki-articles

Hebrew Text for Training

Collection

Extracted and collected from various sources in order to train the best Hebrew LLM • 5 items • Updated 3 days ago