1
00:00:21,410 --> 00:00:24,970
بسم الله الرحمن الرحيم المرة التي فاتت بدأنا ب

2
00:00:24,970 --> 00:00:29,150
section ثلاثة خمسة الذي هو ال dimension أعطينا

3
00:00:29,150 --> 00:00:33,490
تعريف للـ in dimensional vector space أو الـ vector

4
00:00:33,490 --> 00:00:38,910
space has dimension n و أعطينا تعريف للـ bases فقط

5
00:00:38,910 --> 00:00:43,450
و أعطينا على ذلك مثالا واحدا فكان تعريف الـ in

6
00:00:43,450 --> 00:00:47,590
dimensional vector space قلنا هو الـ vector space

7
00:00:47,590 --> 00:00:51,970
الذي يتحقق فيه شرطين، الشرط الأول عندي مجموعة من الـ

8
00:00:51,970 --> 00:00:57,930
linearly independent vectors، الشرط الثاني لو أخذت

9
00:00:57,930 --> 00:01:01,670
أكثر من هذول بمقدار ولو vector واحد، بدنا نكون 

10
00:01:01,670 --> 00:01:06,270
معهم linearly dependent، إن حدث ذلك يبقى الـ

11
00:01:06,270 --> 00:01:09,790
dimension تبع الـ vector space هو عدد الـ linearly

12
00:01:09,790 --> 00:01:13,610
independent elements، هذا التعريف الأول، التعريف 

13
00:01:13,610 --> 00:01:19,370
الثاني، يقولنا V1 و V2 و V3 و Vk، الـ vectors هذول

14
00:01:19,370 --> 00:01:25,210
أسميهم basis للـ vector space إذا تحقق شرطان، الشرط 

15
00:01:25,210 --> 00:01:29,870
الأول كانوا هذول بيولدولي الـ vector space كله، فيه

16
00:01:29,870 --> 00:01:34,540
الشرط الثاني، يكونوا هذول كلهم linearly independent

17
00:01:34,540 --> 00:01:40,220
وقلنا من الأفضل أن نستخدم الشرط الثاني ثم الشرط 

18
00:01:40,220 --> 00:01:43,640
الأول، يعني كيف؟ يعني بدي أثبت أن هذول الـ vectors 

19
00:01:43,640 --> 00:01:48,380
are linearly independent، ومن ثم بدي أثبت أن أي

20
00:01:48,380 --> 00:01:51,380
element في الـ vector space هو linear combination

21
00:01:52,640 --> 00:01:56,960
باستخدام هذه الـ vectors، هذا ما تحدثنا فيه في المرة

22
00:01:56,960 --> 00:02:01,960
الماضية، الآن ننتقل إلى نظرية، برضه لازلنا في نفس

23
00:02:01,960 --> 00:02:05,380
الموضوع، النظرية بتقول أن لو كان الـ V هو vector

24
00:02:05,380 --> 00:02:10,800
space، الـ dimension له يساوي N، يبقى أنا عندي شرطين

25
00:02:10,800 --> 00:02:15,140
متحققتان الآن، تمام؟ ليش؟ لو الـ dimension الـ vector

26
00:02:15,140 --> 00:02:19,440
space يعطيني أن هو، يعطيني أن then every basis of 

27
00:02:19,440 --> 00:02:25,160
V spans V، يبقى أي basis للـ vector space V بيولد لي

28
00:02:25,160 --> 00:02:30,740
جميع عناصر من V، وهذا ذكرنا المرة التي فاتت أن 

29
00:02:30,740 --> 00:02:36,280
العناصر التي أقول عليهم basis للـ vector space إذا 

30
00:02:36,280 --> 00:02:40,180
أي element في الـ vector space قدرت أكتبه بواسطة

31
00:02:40,180 --> 00:02:44,820
linear combination بمين؟ بهذه الـ vectors، طيب بدنا 

32
00:02:44,820 --> 00:02:49,730
نيجي لبرهان النظرية، يبقى برهان النظرية كالتالي، بدي

33
00:02:49,730 --> 00:02:54,490
آخذ basis موجود في V وأثبت أن هذا الـ basis

34
00:02:54,490 --> 00:02:59,830
بيولد لي جميع عناصر V، تماما، إذا تم لنا ذلك، بيكون

35
00:02:59,830 --> 00:03:06,990
خلصنا من الموضوع، يبقى بدائي أقول هنا let الذي هو 

36
00:03:06,990 --> 00:03:13,130
من V1 و V2 و لغاية الـ VN بـ

37
00:03:22,480 --> 00:03:27,840
يبقى أنا فرضت أن v1 وv2 ولغاية vn عبارة عن الـ basis

38
00:03:27,840 --> 00:03:34,540
لـ vector space v، طبعا أنا مجبر أن أقول من 1

39
00:03:34,540 --> 00:03:40,300
لغاية n، ولا كان بيمكن أزيدهم شوية، مجبر

40
00:03:42,550 --> 00:03:48,250
مجبر إجباري لإنه dimension للـ vector space N، تمام

41
00:03:48,250 --> 00:03:52,690
الـ dimension له يبقى عدد العناصر في الـ bases يبقى

42
00:03:52,690 --> 00:03:58,710
بناء عليه هذول bases لمين؟ للـ vector space V، تمام

43
00:03:59,230 --> 00:04:04,350
الآن إذا أثبت له أن أي element في الـ vector space 

44
00:04:04,350 --> 00:04:09,490
V هو linear combination من هذول، أتوماتيك بيكونوا

45
00:04:09,490 --> 00:04:15,370
هذول بيولدوا لجميع عناصر V بالضبط تماما، لذلك أروح

46
00:04:15,370 --> 00:04:25,810
آخذ أي عنصر V موجود في الـ vector space V، مدام أخذت

47
00:04:25,810 --> 00:04:30,210
V في الـ vector space V، في احتمال أن هذه الـ V تبقى

48
00:04:30,210 --> 00:04:34,850
في المجموعة هذه، صح ولا لأ؟ واحتمال أن تكون خارج

49
00:04:34,850 --> 00:04:39,570
المجموعة، مش لا، احتمالين واردين، يبقى بدي أدرس هذين

50
00:04:39,570 --> 00:04:46,270
الاحتمالين، يبقى let الـ V belongs to V، فبجي بقول if

51
00:04:46,270 --> 00:04:53,920
الـ V موجود في المجموعة V1 وV2 لغاية الـ Vn then

52
00:04:53,920 --> 00:04:58,840
ماذا سيحصل؟ مدام V موجود هنا، يبقى V أبقى أحد 

53
00:04:58,840 --> 00:05:08,220
من هؤلاء، يبقى then الـ V ستكون Vi، و I أكبر من أو

54
00:05:08,220 --> 00:05:15,240
تساوى 1 وأقل من أن تساوي n، يعني احتمال أن V تبقى V

55
00:05:15,240 --> 00:05:20,200
1 واحتمال الـ V تبقى V2 واحتمال الـ V تبقى V3 و

56
00:05:20,200 --> 00:05:26,800
احتمال الـ V تكون مين؟ Vn وهكذا، طيب يبقى احتمال الـ

57
00:05:26,800 --> 00:05:33,960
V هذه تبقى مين؟ تبقى Vi، يبقى بناء عليه بقدر أكتب

58
00:05:33,960 --> 00:05:42,540
الـ V هذه على الشكل التالي، Zero في V1، 0 في V2 زائد

59
00:05:42,540 --> 00:05:52,200
زائد واحد في Vi زائد وننزل لغاية Zero في الـ Vn

60
00:05:52,200 --> 00:06:02,500
بنعملها، بنعفش، هذا كله بيصفر، بيظل مين عندي؟ و Vi مين

61
00:06:02,500 --> 00:06:07,390
هي يبقى كلامي صحيح، صحيح ولا لأ؟ يبقى إيش معنى هذا

62
00:06:07,390 --> 00:06:11,370
الكلام؟ أن V هو linear combination من كل الـ V's

63
00:06:11,370 --> 00:06:21,670
التي عندي، يبقى هنا this means that، هذا يعني أن الـ

64
00:06:21,670 --> 00:06:26,730
V is a linear combination

65
00:06:29,170 --> 00:06:36,050
linear combination of، هم كلهم الـ V's التي لدينا

66
00:06:36,050 --> 00:06:40,370
V1 و V2 و لغاية VN

67
00:06:44,540 --> 00:06:49,660
إيش أنا بدي أثبت؟ أي basis span الـ V، أخذت element 

68
00:06:49,660 --> 00:06:52,920
عشوائي وطالع في مين؟ في المجموعة التي أخذتها، هذا

69
00:06:52,920 --> 00:06:57,980
قدرت أكتبه على linear combination من الـ V، معناته

70
00:06:57,980 --> 00:07:02,540
الـ V هذا موجود وين؟ في الـ span تبع الـ vectors التي

71
00:07:02,540 --> 00:07:12,780
عندنا هذه، طيب الآن، سرا V موجود في الـ span تبع من؟ V1

72
00:07:12,780 --> 00:07:20,580
و V2 و لغاية VN، هذا لو كان الـ V موجود في المجموعة 

73
00:07:20,580 --> 00:07:27,460
هذه، طيب هنا لو كان الـ V does not belong to من 

74
00:07:27,460 --> 00:07:33,260
للمجموعة V1 و V2 و لغاية VN

75
00:07:36,130 --> 00:07:42,630
لو كان هذا مش موجود هنا، إيش الذي بدي يحصل؟ then إيش 

76
00:07:42,630 --> 00:07:50,910
رأيك في الست هذه V و V1 و V2 و VN linearly 

77
00:07:50,910 --> 00:07:59,210
dependent ولا linearly independent، الـ 

78
00:07:59,210 --> 00:08:03,710
vectors هذول، أضفت عليهم الذي هو الـ vector V التي

79
00:08:03,710 --> 00:08:08,360
مش منهم، يبقى هذول مجموعة linearly dependent ولا

80
00:08:08,360 --> 00:08:13,680
linearly independent؟ linearly independent، ليش؟

81
00:08:13,680 --> 00:08:18,000
لأن الـ dimension هذا ليه يساوي N؟ أول تعريف أخذناه 

82
00:08:18,000 --> 00:08:22,440
في هذا section وذكرته قبل قليل أول ما بدأت محاضرتي

83
00:08:22,440 --> 00:08:27,360
قلت لما أقول الـ vector space finite dimensional أو

84
00:08:27,360 --> 00:08:30,960
الـ dimension له يساوي N، يبقى فيه عندي شرطين

85
00:08:33,510 --> 00:08:37,850
لو أضفت عليهم كمان vector بيصير مين؟ linearly

86
00:08:37,850 --> 00:08:41,290
dependent، يبقى هذه أضفت عليهم دول vector ولا لأ؟

87
00:08:41,290 --> 00:08:48,670
يبقى then هذول are linearly dependent، السبب

88
00:08:48,670 --> 00:08:54,410
because the 

89
00:08:54,410 --> 00:08:56,250
dimension

90
00:08:59,440 --> 00:09:09,180
V is n، وهذول عددهم كم؟ n زائد واحد، يعني أكثر

91
00:09:09,180 --> 00:09:14,160
منهم بمقدار، بكم؟ بمقدار واحد، طيب كويس، مدام هذول

92
00:09:14,160 --> 00:09:20,220
linearly dependent، يبقى لازم ألاقي scalars ههه

93
00:09:20,220 --> 00:09:23,820
موجودة في R بحيث أضرب scalar في كل واحد وأجمع

94
00:09:23,820 --> 00:09:37,100
بيساوي كم؟ Zero، يبقى this means that there exist c0

95
00:09:37,100 --> 00:09:53,200
و c1 و c2 و cn not all zero such that، بحيث أن such 

96
00:09:53,200 --> 00:10:03,940
that الذي هو c0 V زائد c1 V1 زائد c2 V2 زائد cn 

97
00:10:03,940 --> 00:10:08,240
Vn بدّه يساوي zero، مين التي تسأل؟ التي تحكي أيوة

98
00:10:08,240 --> 00:10:19,450
كيف هذول من من V1 لغاية Vn حطيت عليهم كمان واحد، مش

99
00:10:19,450 --> 00:10:24,330
هيك تعريف الـ dimension؟ أول تعريف، هذه هي V وبعدين

100
00:10:24,330 --> 00:10:28,990
بعدين V1 وبعدين V2، يبقى هذه المجموعة 

101
00:10:28,990 --> 00:10:33,070
التي فوق التي linearly independent، أضفت لهم كمان 

102
00:10:33,070 --> 00:10:36,900
واحد، من تعريف الـ dimension تبع المرة التي فاتت، أول

103
00:10:36,900 --> 00:10:41,780
تعريف أخذناها وذكرته قبل قليل مرتين، قلت تعريف أن 

104
00:10:41,780 --> 00:10:45,620
لما أقول الـ dimension للـ vector space N معناته أن 

105
00:10:45,620 --> 00:10:49,960
الـ linearly independent vectors عددهم يساوي N لو 

106
00:10:49,960 --> 00:10:53,730
أضفت عليها كمان vector بيصيروا linearly، هي التي

107
00:10:53,730 --> 00:10:57,810
احنا بنقوله، لم نأتِ غير الكلام هذا، ما جيبناه شيء

108
00:10:57,810 --> 00:11:02,050
جديد، تمام؟ لكن يبدو أنكم مش قارئات، هذا الذي 

109
00:11:02,050 --> 00:11:05,130
أخذناه المحاضرة الماضية، ورغم أني قلته مرتين

110
00:11:05,130 --> 00:11:09,690
اليوم وهي كمان ثالث مرة، يبقى ما لكمش حضر بعد ذلك

111
00:11:10,780 --> 00:11:15,460
طيب يبقى بأجي بقول هذا يعني أن في عندي ثوابت مش 

112
00:11:15,460 --> 00:11:20,280
كلهم صفر لإيش أقول linearly dependent، بحيث

113
00:11:20,280 --> 00:11:25,560
المجموع هذا يساوي zero، معناته السيهات هذول فيهم

114
00:11:25,560 --> 00:11:33,430
على الأقل ولو رقم واحد لا يساوي zero، طب أنا بدي أدعي

115
00:11:33,430 --> 00:11:38,310
الآن أن c0 هذا لا يساوي zero ونشوف الدعاء هذا

116
00:11:38,310 --> 00:11:46,930
صح ولا غلط، يبقى بأجي بقول we claim that، أن c

117
00:11:46,930 --> 00:11:53,430
0 لا يساوي zero، claim يعني يدعى، يبقى أنا بدعي 

118
00:11:53,430 --> 00:11:58,230
الآن أن c0 هذا لا يساوي zero، بدي أشوف الدعاء 

119
00:11:58,230 --> 00:12:03,610
صح ولا غلط، لو فرضت عكس هذا، لو فرضت أن الـ c0

120
00:12:03,610 --> 00:12:07,490
بدّه يساوي zero يا بنات، يبقى الـ term هذا بيروح بـ

121
00:12:07,490 --> 00:12:13,160
zero، مين بيظل؟ هذول، طب هذول كلهم linearly

122
00:12:13,160 --> 00:12:17,180
independent، إذا إجباري الباقي كله بيصير بمين؟ بـ

123
00:12:17,180 --> 00:12:20,980
zero، إذا يبقى معنى هذا الكلام c0 بيساوي c1

124
00:12:20,980 --> 00:12:23,940
بيساوي c، independent، معقول هذا الكلام؟ طب أنا جاي

125
00:12:23,940 --> 00:12:27,800
linearly dependent وكيف هذول بيساوي؟ ما فيش إمكانية

126
00:12:27,800 --> 00:12:32,700
يبقى بيصير كلامي غلط وعكسه هو مين؟ صح، يبقى أنا بأجي

127
00:12:32,700 --> 00:12:37,340
بقول وأقلم ذاتنا، ندعي أن الـ c0 يساوي zero،

128
00:12:37,340 --> 00:12:38,300
otherwise

129
00:12:40,470 --> 00:12:47,530
يعني وإلا لو كان الـ c0 بدّه يساوي zero، then الـ

130
00:12:47,530 --> 00:12:56,250
c1 V1 زائد c2 V2 زائد cn Vn بدّه يساوي zero، هذا إيش

131
00:12:56,250 --> 00:13:02,550
معناه؟ معناه إنه c1 بدّه يساوي c2 بدّه يساوي بدّه يساوي

132
00:13:02,550 --> 00:13:09,230
cn بدّه يساوي zero، because، السبب إنه v1

133
00:13:18,000 --> 00:13:24,660
يبقى إذا هذا الكلام صحيح ولا غلط؟ إن c0 بيبقى 0

134
00:13:24,660 --> 00:13:31,360
غلط، يبقى الصح إنه c0 ما له؟ لا يساوي 0، لإن لو

135
00:13:31,360 --> 00:13:34,740
صار 0، يبقى هذول بيبقى صار 0 وهذا كله صار 0،

136
00:13:34,740 --> 00:13:38,540
linearly independent، يبقى معناته بيصيروا هذول كلهم

137
00:13:38,540 --> 00:13:43,780
linearly independent، وهذا خطأ، يبقى هنا c0 لا 

138
00:13:43,780 --> 00:13:52,290
يمكن أن يساوي 0، تمام، يبقى بناء عليه so c0 V بدّه

139
00:13:52,290 --> 00:14:01,350
يساوي ناقص c1 V1 ناقص c2 V2 ناقص cn في الـ Vn، نقسم 

140
00:14:01,350 --> 00:14:07,000
كله على c0، ليش؟ لأن c0 لا يساوي، إذا الـ V

141
00:14:07,000 --> 00:14:13,920
ناقص c1 على c0 في الـ V1 ناقص c2 على c0 في 

142
00:14:13,920 --> 00:14:20,120
الـ V2 ناقص ناقص cn على c0 في الـ Vn، أو إن

143
00:14:20,120 --> 00:14:26,380
شئت، قلنا إن V بدّه يساوي هذا a1 كله، يبقى a1 V1

144
00:14:26,380 --> 00:14:32,460
زائد a2 V2 زائد an Vn

145
00:14:34,880 --> 00:14:39,620
معنى هذا الكلام؟ معناته الـ element V التي مش

146
00:14:39,620 --> 00:14:43,540
موجود في الـ set of linearly independent elements

147
00:14:43,540 --> 00:14:49,260
هو linear combination من من؟ من الآخرين، يبقى هنا

148
00:14:49,260 --> 00:14:55,160
So V is a linear combination

149
00:14:58,100 --> 00:15:06,060
combination of V1 وV2 وكذلك VN

150
00:15:10,000 --> 00:15:14,060
طلع هنا V لما كان في المجموعة، طلع هو linear 

151
00:15:14,060 --> 00:15:18,600
combination من الآخرين، ولما ما كانش في المجموعة

152
00:15:18,600 --> 00:15:23,260
طلع كمان هو linear combination من الآخرين، معناته

153
00:15:23,260 --> 00:15:29,720
إيش؟ معناته هذا يمثل من؟ basis، معناته الـ basis هذا 

154
00:15:29,720 --> 00:15:38,290
spanning الـ V، يبقى هنا الـ V موجود في الـ span 

155
00:15:38,290 --> 00:15:47,290
بتابع الـ V كلها، يبقى هكذا الذي هو الـ V1 والـ 

156
00:15:47,290 --> 00:15:55,750
V2 والـ Vn كل المجموعة هذه مالها؟ span الذي هو الـ V

157
00:15:59,930 --> 00:16:05,630
يبقى بناء عليه من الآن صاعدا، أي basis لـ vector

158
00:16:05,630 --> 00:16:10,390
space بدّه يجيب لي جميع عناصر الـ space بي listنا 

159
00:16:10,390 --> 00:16:14,550
تمام؟ وهي أثبتنا أنه لو كان الـ element من ضمن الـ

160
00:16:14,550 --> 00:16:18,470
basis أو كان الـ element من برا الـ basis يبقى كتبته

161
00:16:18,470 --> 00:16:22,910
على صيغة linear combination من من؟ من عناصر الـ basis

162
00:16:23,250 --> 00:16:28,010
يبقى حط المعلومة هذه في دماغك، هذه معلومة أساسية

163
00:16:28,010 --> 00:16:39,270
بدنا نبني عليها كثير من الشغل تبعنا في 

164
00:16:39,270 --> 00:16:48,670
أنا كمان نظرية بسيطة صغيرة، مش زي هذه النظرية

165
00:16:48,670 --> 00:16:50,450
بتقول ما يأتي، theorem

166
00:16:57,290 --> 00:17:17,730
إذا كان هناك مجموعة من n وحدات لينيارية، الوحدات 

167
00:17:17,730 --> 00:17:20,090
اللينيارية، الوحدات اللينيارية، اللينيارية، الواحدة

168
00:17:20,090 --> 00:17:20,790
من مجلة V

169
00:17:28,510 --> 00:17:34,330
a vector space

170
00:17:34,330 --> 00:17:42,130
V that

171
00:17:42,130 --> 00:17:47,190
spans

172
00:17:47,190 --> 00:17:52,430
V then

173
00:17:52,430 --> 00:17:56,870
V has

174
00:17:58,890 --> 00:18:16,770

201
00:20:48,030 --> 00:20:53,210
V1 و V2 و لغاية VN

202
00:21:00,160 --> 00:21:03,860
هو ذكرنا أنه مش هنثبت أن ال dimension الذي يساوي

203
00:21:03,860 --> 00:21:08,720
أنه بده يثبت شغلتين الشغل الأول  معتاه إيش قال لي؟

204
00:21:08,720 --> 00:21:12,740
قال لي في عندك n linearly independent elements يبقى

205
00:21:12,740 --> 00:21:18,160
هذه الشغل معتاه وزيادة شوية شوية that spans V

206
00:21:18,160 --> 00:21:23,680
بيولدوا لي من؟ بيولدوا لي عناصر V بقول آه هدول ال n

207
00:21:23,680 --> 00:21:29,310
linearly independent لو زدت عليهم كمان vector ماذا

208
00:21:29,310 --> 00:21:35,610
يحدث؟ Linearly Independent وهذا إجباري لو كان

209
00:21:35,610 --> 00:21:40,030
Linearly Independent هذا لو كان لو كان ال

210
00:21:40,030 --> 00:21:42,990
dimension يساوي N لكن أنا مش عارف إن ال dimension

211
00:21:42,990 --> 00:21:49,170
أنا بدي أثبت إن ال dimension يساوي M لكن خليني

212
00:21:49,170 --> 00:21:53,250
أرجع بالذاكرة إلى الوراء شوية نذكر مش section

213
00:21:53,250 --> 00:21:58,970
ثلاثة أربعة section ثلاثة ثلاثة لو أخذت مجموعة من

214
00:21:58,970 --> 00:22:03,770
ال vectors و أخذت مجموعة من ال vectors الثانية و

215
00:22:03,770 --> 00:22:08,330
أثبت أن كل vector في المجموعة الأولى هو linear

216
00:22:08,330 --> 00:22:13,250
combination من الثانية و كانت المجموعة أكبر من

217
00:22:13,250 --> 00:22:19,090
الثانية بجهد linearly dependent قلنا إذا كان ال V1

218
00:22:19,090 --> 00:22:26,330
و V2 و لغاية VN هدول مالهم و عندي مجموعة ثانية U1

219
00:22:26,330 --> 00:22:34,770
و U2 و لغاية UK و لجيت إن ال N أكبر من K إن حدث

220
00:22:34,770 --> 00:22:39,370
ذلك ثم كل عناصر من V1 لغاية VN هو linear

221
00:22:39,370 --> 00:22:44,130
combination من ال U1 و U2 و لغاية UK يبقى في هذه

222
00:22:44,130 --> 00:22:47,390
الحالة بقول أن ال V هات هدول كلهم are linearly

223
00:22:47,390 --> 00:22:52,750
dependent مش هيك أخذنا نظرية في section ثلاثة

224
00:22:52,750 --> 00:22:58,270
ثلاثة طيب يبقى أنا الآن بتطبق هذه النظرية تطلع لي

225
00:22:58,270 --> 00:23:05,330
يا بنات هدول مالهم linearly independent يبقى هدول

226
00:23:05,330 --> 00:23:14,700
لو أخذت عدد منهم أكثر بواحد Linearly بحيث أنا جايل

227
00:23:14,700 --> 00:23:19,620
إيش هدول Linearly أن دي منها ذات Spans V Spans V

228
00:23:19,620 --> 00:23:24,040
يعني إيش؟ يعني كل element في V هو linear

229
00:23:24,040 --> 00:23:37,500
combination من هدول يبقى that is every element of

230
00:23:37,500 --> 00:23:45,780
V is a linear combination

231
00:23:45,780 --> 00:23:49,960
of

232
00:23:49,960 --> 00:23:58,360
V1 و V2 و لغاية VN

233
00:24:01,170 --> 00:24:06,110
يبقى هنا أخذ كل element من V هو linear combination

234
00:24:06,110 --> 00:24:10,670
كل element من V هو linear combination كل element

235
00:24:10,670 --> 00:24:15,690
من V هو linear combination كل element من V هو

236
00:24:15,690 --> 00:24:17,490
linear combination كل element من V هو linear

237
00:24:17,490 --> 00:24:20,270
combination كل element من V هو linear combination

238
00:24:20,270 --> 00:24:25,370
كل element من V هو linear

239
00:24:25,370 --> 00:24:25,390
combination كل element من V هو linear combination

240
00:24:25,390 --> 00:24:25,910
كل element من V هو linear combination

241
00:24:28,730 --> 00:24:47,190
نظرية سابقة Any set with more than N elements is

242
00:24:47,850 --> 00:24:53,930
Linearly dependent صحيح ولا لأ؟ يبقى أي مجموعة أخرى

243
00:24:53,930 --> 00:24:58,750
من هذه ال vectors أكثر من N elements بتكون مالها

244
00:24:58,750 --> 00:25:02,430
Linearly dependent هذا التعريف من أين؟ تعريف ال

245
00:25:02,430 --> 00:25:05,130
dimension الذي أخذناه المرة التي في الأول تعريف

246
00:25:05,130 --> 00:25:18,390
يبقى Thus وهكذا The dimension of V is N يعني أنا

247
00:25:18,390 --> 00:25:34,430
طبقت التعريف تطبيقًا مباشرًا كمان

248
00:25:34,430 --> 00:25:39,850
نظرية ثالثة without proof يبقى هذه كمان نظرية

249
00:25:39,850 --> 00:25:40,390
theorem

250
00:25:45,440 --> 00:25:59,460
if ال V has dimension N then

251
00:25:59,460 --> 00:26:11,420
every set of 
فاتح 
252
00:26:11,420 --> 00:26:13,860
الباب

253
00:26:18,690 --> 00:26:26,650
يبقى FLV لديه مرحلة في كل جزء من الأشياء

254
00:26:26,650 --> 00:26:33,390
اللينيارية الاندبندنتية الليمينتس الليمينتس

255
00:26:33,390 --> 00:26:38,530
الليمينتس الليمينتس الليمينتس الليمينتس الليمينتس

256
00:26:38,530 --> 00:26:45,110
الليمينتس الليمينتس الليمينتس الليمينتس 

257
00:26:45,110 --> 00:26:46,910
الليمينتس الليمينتس الليمينتس الليمينتس الليمينتس

258
00:26:46,910 --> 00:26:47,050
الليمينتس الليمينتس الليمينتس الليمينتس الليمينتس

259
00:26:47,050 --> 00:26:55,570
الليمينتس الليمينتس exactly has exactly n elements

260
00:26:55,570 --> 00:26:58,750
فيها

261
00:26:58,750 --> 00:27:05,370
n elements which is

262
00:27:05,370 --> 00:27:13,510
also a basis for

263
00:27:13,510 --> 00:27:13,810
v

264
00:28:58,730 --> 00:29:02,770
نرجع لنظرية الأخيرة و نرى ما هو المقصود منها

265
00:29:02,770 --> 00:29:07,130
النظرية بتقول ال letter V has dimension N يبقى أنا

266
00:29:07,130 --> 00:29:11,230
فيه عندي vector space و ال dimension له يساوي N

267
00:29:11,230 --> 00:29:17,540
يبقى ما يجدش عدد العناصر في ال business يا بنات طيب

268
00:29:17,540 --> 00:29:21,700
تمام then every set of linearly independent

269
00:29:21,700 --> 00:29:26,300
elements that span V has exactly N elements يبقى

270
00:29:26,300 --> 00:29:30,560
أنا بدعي أن ال bases الذي يساوي N لو روحت لجيت ست

271
00:29:30,560 --> 00:29:35,300
عدد عناصرها يساوي N وكانوا linearly independent

272
00:29:35,300 --> 00:29:41,200
وكل واحد ولد ليه عناصر V يبقى هذا ينفع كمان bases

273
00:29:41,200 --> 00:29:46,420
ولا لا؟ معناه لل vector space الذي عندي فيه كم

274
00:29:46,420 --> 00:29:51,700
bases كثيرة يعني ما عنديش مش bases واحد عندي كثيرة من

275
00:29:51,700 --> 00:29:55,400
ال bases هذه تمام يعني ال vector space الذي واحد

276
00:29:55,400 --> 00:29:59,500
قد يكون له two bases ثلاثة bases أربعة bases خمسة

277
00:29:59,500 --> 00:30:04,360
bases الآن كل مجموعة من ال elements يتحقق فيها

278
00:30:04,360 --> 00:30:08,590
شرطان الشرط الأول أنهم linearly independent

279
00:30:08,590 --> 00:30:13,490
elements الشرط الثاني أي عنصر في ال vector space

280
00:30:13,490 --> 00:30:17,450
دي بنقدر نولّده واسطة هذه العناصر بيكونوا هدول

281
00:30:17,450 --> 00:30:22,030
bases لمن؟ لل vector space وعتلاج ال vector space

282
00:30:22,030 --> 00:30:27,330
مجموعة من ال bases طيب خليني أسأل كمان سؤال ال

283
00:30:27,330 --> 00:30:31,150
bases المختلفة لو أخذنا two bases لل vector space

284
00:30:31,150 --> 00:30:35,370
هل عدد العناصر هنا يختلف عن عدد العناصر هنا؟

285
00:30:35,590 --> 00:30:42,520
العربية بس الذي يختلف لا يختلف تمامًا ليش؟ لأن عدد

286
00:30:42,520 --> 00:30:47,200
عناصر بيزز هو ال dimension يبقى هذا ال dimension و

287
00:30:47,200 --> 00:30:50,300
الثاني يبقى يعطيني نفس ال dimension يبقى الاثنين

288
00:30:50,300 --> 00:30:54,480
بدون أن يكون أو الثلاثة أو الأربعة أو الخمسة بيزز

289
00:30:54,480 --> 00:30:59,120
كلهم فيهم نفس العدد من العناصر ولم أقول نفس

290
00:30:59,120 --> 00:31:03,700
العناصر نفس العدد في خمسة يبقى هنا في خمسة في ثا

291
00:31:03,700 --> 00:31:07,200
في ستة يبقى هنا في ستة وهكذا

292
00:31:11,730 --> 00:31:17,030
هذا الـ V لو كان ال dimension له يساوي N يبقى أي

293
00:31:17,030 --> 00:31:21,370
مجموعة من الـ linearly independent elements من الـ

294
00:31:21,370 --> 00:31:26,510
V التي بتولد لي أو بتجيب لي عناصر V has exactly N

295
00:31:26,510 --> 00:31:30,870
elements فيها بالضبط N elements which also is a

296
00:31:30,870 --> 00:31:35,180
basis وهذا يكون لي بايزز لل vector space V معناه

297
00:31:35,180 --> 00:31:40,360
أن ال vector space V له مجموعة من ال bases وليس

298
00:31:40,360 --> 00:31:48,460
بايزز واحد فقط لا غير كما سنرى من خلال الأمثلة الآن

299
00:31:48,460 --> 00:31:52,560
أخذت ال vector space RN الذي هو the set of all n

300
00:31:52,560 --> 00:31:57,040
tuples من X1 ل XN وكل ال X هذول are real number

301
00:31:57,040 --> 00:32:02,900
روحت من هذول أخذت مجموعة هذه المجموعة عددها كم؟

302
00:32:02,900 --> 00:32:08,880
عددها N E1 الحد الأولي بواحد والباقي بصفر E2 الحد

303
00:32:08,880 --> 00:32:12,040
الثاني بواحد والباقي الذي جابله والذي بعده بصفر

304
00:32:12,040 --> 00:32:16,100
E3 الحد الثاني بصفر الذي جابله والذي بعده بصفر

305
00:32:16,100 --> 00:32:20,860
لغاية EN كله بصفر ما عدا الحد الأخير بجداش بواحد صفة

306
00:32:22,260 --> 00:32:28,300
بيقول يبين لي أن هدول بيكونوا لي basis لل RN علشان

307
00:32:28,300 --> 00:32:32,870
يكونوا لي basis بدي أطبق شرطين الشرط لو تثبت أنهم

308
00:32:32,870 --> 00:32:37,030
linearly independent إحنا بنثبت أنهم linearly

309
00:32:37,030 --> 00:32:40,870
independent بأكثر من طريقة كونستاند في الأول

310
00:32:40,870 --> 00:32:43,370
كونستاند في الثاني كونستاند في الثاني ونساوي

311
00:32:43,370 --> 00:32:48,110
بالصفر ونثبت أن الكونستاند هذول كلهم بأسفار مظبوط

312
00:32:48,110 --> 00:32:52,510
هيك طريقة ثانية أنا بدي أجيب ال determinant لهم لو

313
00:32:52,510 --> 00:32:55,810
طلعت ال determinant أنهم لا يساوي صفر يبقى دول

314
00:32:55,810 --> 00:33:00,770
مالهم Linearly Independent مش هيك أخذنا نظرية بيد

315
00:33:00,770 --> 00:33:06,190
المقال ممتاز جدًا يبقى أنا بدي أجلي solution بدي

316
00:33:06,190 --> 00:33:11,270
أجلي الخاصية الأولى بدي أثبت له أن هدول linearly

317
00:33:11,270 --> 00:33:18,240
independent يبقى بدي أخذ له determinant لمين؟ للـ E1

318
00:33:18,240 --> 00:33:25,080
والـ E2 و لغاية الـ EN يبقى هذا الكلام بده يساوي

319
00:33:25,080 --> 00:33:31,660
هذا المحدد E1 بدي أكتبه على شكل عمود 1، 0 وظل ماشي

320
00:33:31,660 --> 00:33:40,090
لغاية الـ 0 E2، 0، 1، 0 وظل ماشي لغاية الـ 0 وهكذا

321
00:33:40,090 --> 00:33:45,090
الذي بعده zero zero واحد ونظل ماشين لغاية ال zero

322
00:33:45,090 --> 00:33:50,810
نظل ماشين لغاية ال zero وهنا zero وهنا zero و

323
00:33:50,810 --> 00:33:56,670
نظل ماشين لغاية كده؟ لغاية ال واحد طب هذا مش هو

324
00:33:56,670 --> 00:34:02,450
محدد لمصفوفة الوحدة ولا لا؟ يبقى هذا هو determinant

325
00:34:02,450 --> 00:34:12,860
لل I Nمحدد يحدث ضربه واحد في واحد بواحد كله ماله

326
00:34:12,860 --> 00:34:16,020
لا يساوي صفر المعناته هدول are linearly

327
00:34:16,020 --> 00:34:23,820
independent يبقى هنا سا اي واحد و اي اتنين و لغاية

328
00:34:23,820 --> 00:34:31,540
ال EN are linearly independent vectors in RN

329
00:34:36,590 --> 00:34:43,170
النقطة الأولى التي عندنا بدي أثبت أن هدول بيولدوا لي

330
00:34:43,170 --> 00:34:48,410
مين؟ جميع عناصر ال vector space V أو أي element في

331
00:34:48,410 --> 00:34:52,360
ال vector space V هو linear combination من مين؟ من

332
00:34:52,360 --> 00:35:00,260
ال vectors هذول كويس فبجي بقول له let x1 و x2 و

333
00:35:00,260 --> 00:35:05,400
لغاية xn موجودة في ال RN then

334
00:35:07,840 --> 00:35:12,720
بدي أكتب ال element هذا على الشكل التالي X1 و X2 و

335
00:35:12,720 --> 00:35:20,380
لغاية XN بده يساوي آه آه بقدر أقول X1 والباقي كله

336
00:35:20,380 --> 00:35:29,200
بأسفار زائد Zero X2 Zero والباقي كله بأسفار زائد

337
00:35:29,200 --> 00:35:35,100
ونظل ماشيين لغاية ما نوصل ل Zero Zero Zero و

338
00:35:35,100 --> 00:35:42,080
لغاية XN ينفع هيك ولا لا؟ لو جيت جامعة المركبة لو لا

339
00:35:42,080 --> 00:35:47,190
X واحد والباقي الكل بيصفر يبقى X واحد الذي بعده 0

340
00:35:47,190 --> 00:35:52,130
هنا x2 الذي بقى يبقى أسفاري بـx2 يبقى كتابة هذا ال

341
00:35:52,130 --> 00:35:57,450
element على شكل مجموعة من ال elements إذا بقدر

342
00:35:57,450 --> 00:36:09,050
أقول هذا الكلام يسوي x1 في 1 x1 في 1 0 0 و لغاية 0

343
00:36:10,130 --> 00:36:20,210
X2 في 0 و 1 و 0 و لغاية الـ 0 زائد زائد XN في 0 و

344
00:36:20,210 --> 00:36:25,870
0 ونظل ماشيين لغاية ال 1 أخذنا عامل مشترك كبيرر

345
00:36:25,870 --> 00:36:33,120
تمام؟ طب الجثة هذه عبارة عن مين؟ E1 يبقى هذا الكلام

346
00:36:33,120 --> 00:36:43,180
بده يعطيني X1E1 X2E2 و لغاية XNEN ايه يعني معنى

347
00:36:43,180 --> 00:36:48,120
هذا الكلام أن أي element موجود في الار ان هو

348
00:36:48,120 --> 00:36:55,220
linear combination من من من هذول يبقى هنا every

349
00:36:55,220 --> 00:36:57,640
element

350
00:37:00,720 --> 00:37:08,420
نرن is a linear combination

351
00:37:08,420 --> 00:37:16,240
of

352
00:37:16,240 --> 00:37:24,660
E1 و E2 و لغاية En معناته ال vectors هدول ما لهم

353
00:37:24,660 --> 00:37:35,780
span RN يعني بولدوا لي ال RN يبقى هنا that is أي أن

354
00:37:35,780 --> 00:37:46,660
الـ E1 والـ E2 والـ EN أسبان مين؟ أسبان RN يبقى

355
00:37:46,660 --> 00:37:51,260
هذول بيولدوا لي RN إيش معنى هذا الكلام؟ إن هذول

356
00:37:51,260 --> 00:37:54,880
بيشكلوا لي مين؟ Bases للـ RN

357
00:37:58,310 --> 00:38:10,030
الذي هو ال E1 و ال E2 و ال AN is a basis for RN

358
00:38:10,030 --> 00:38:16,180
تعرفوا إيش بيسموها ده يا بنات؟ بيسموها standard

359
00:38:16,180 --> 00:38:22,100
basis يعني ال basis المتعرف عليه عند كل العلماء

360
00:38:22,100 --> 00:38:25,980
ولا عند كل الدول ولا عند كل الناس يبقى هذا called

361
00:38:25,980 --> 00:38:35,600
the standard basis of RM يبقى هذا basis called the

362
00:38:35,600 --> 00:38:40,740
standard basis

363
00:38:40,740 --> 00:38:42,760
for

364
00:38:45,230 --> 00:38:50,030
RN إيش standard basis for ان؟ يعني في basis غيره؟

365
00:38:50,030 --> 00:39:05,090
آه في غيره بس مش على هالشكل هذا طب

366
00:39:05,090 --> 00:39:08,890
لو لجيت basis آخر يا بنات كدهش بديكون عدد عناصره؟

367
00:39:10,150 --> 00:39:14,110
ن مثل هذا بالضبط تمامًا مادام نستخدم ال basis عدد

368
00:39:14,110 --> 00:39:21,630
عناصره ن يبقى أي basis آخر عدد عناصره يساوي N طيب

369
00:39:21,630 --> 00:39:26,150
خليني أخذ special cases من هذا المثال يعني نصغر

370
00:39:26,150 --> 00:39:31,430
شوية ونشتغل عمل شوية يبقى بدي أقول له special

371
00:39:31,430 --> 00:39:38,450
cases of

372
00:39:44,360 --> 00:39:52,180
أول واحدة لو أخذت اي واحد بده يساوي واحد وصفر و اي

373
00:39:52,180 --> 00:40:01,760
اتنين بده يساوي صفر وواحد هدول are the standard

374
00:40:01,760 --> 00:40:08,760
basis of R2

375
00:40:10,190 --> 00:40:19,970
مظبوط هك؟ طيب ليش؟ لأن أي element x1 و x2 بقدر

376
00:40:19,970 --> 00:40:23,590
أكتبه على صيغة linear combination من اتنين هدول

377
00:40:23,590 --> 00:40:32,030
يعني x1 x2 بقدر أكتب x1 في 1 و 0 زائد x2 في 0 و 1

378
00:40:32,030 --> 00:40:35,690
صحيح ولا لأ؟ إذا كتبت linear combination من اتنين

379
00:40:36,000 --> 00:40:40,580
هدول linearly dependent ولا linearly independent؟

380
00:40:40,580 --> 00:40:45,540

401
00:43:10,060 --> 00:43:17,880
واحد خد مجموعة تانية ال element واحد و تلاتة و ال

402
00:43:17,880 --> 00:43:26,410
element تاني سالب اتنين و ستة خد مجموعة تالتة اتنين

403
00:43:26,410 --> 00:43:35,330
و واحد و تلاتة و زيرو خد مجموعة رابعة كمان اللي هو

404
00:43:35,330 --> 00:43:43,770
اتنين و سالب واحد و سالب اتنين و اتنين كلهم دول

405
00:43:43,770 --> 00:43:45,550
معاهم because

406
00:43:56,630 --> 00:44:05,650
لأن على سبيل المثال V1

407
00:44:05,650 --> 00:44:12,010
== 1.3 V2

408
00:44:12,010 --> 00:44:24,410
== 1.1 V2 == 1.3 V2 == 1.3 V2

409
00:44:24,410 --> 00:44:30,290
== 1.3 each one is

410
00:44:30,290 --> 00:44:37,750
not a multiple of

411
00:44:37,750 --> 00:44:55,170
the other  مواش مضاعفات الآخر and the dimension of

412
00:44:56,100 --> 00:44:59,020
ارتو از تو

413
00:45:30,070 --> 00:45:35,850
خلّيني أخبرك أن أنا احنا بناخد بعض الحالات الخاصة

414
00:45:35,850 --> 00:45:41,790
من الار ان طبعا قلنا بناخد الحالة الخاصة الأولى لو

415
00:45:41,790 --> 00:45:47,650
أخد ال elements E1 هو واحد و E2 هو زيرو و واحد

416
00:45:47,650 --> 00:45:52,130
يبقى اتنين هدول are linearly independent لأن ولا 

417
00:45:52,130 --> 00:45:57,530
واحد فيهم هو مضاعفات الآخر يبقى لهادول linearly

418
00:45:57,530 --> 00:46:02,330
independent هدول بيكونوا للي standard bases لمين

419
00:46:02,330 --> 00:46:06,470
لارتو لأن احنا تو في المثال اللي قبله أثبتناهم لو

420
00:46:06,470 --> 00:46:10,890
كان كل واحد في N من المراكبات إذا الحالة خاصة لو

421
00:46:10,890 --> 00:46:15,650
أخدت جدهش بس مراكبتين يبقى هدول vectors يمثلوا للي

422
00:46:15,650 --> 00:46:22,090
standard bases لمين لارتو وهذا بيعطينا أن ال

423
00:46:22,090 --> 00:46:27,230
dimension لالـ vector space R2 هو جداش اتنين بعد

424
00:46:27,230 --> 00:46:32,310
ذلك لو أخدت الـ E1 يتكون من ثلاث مركبات 100

425
00:46:32,310 --> 00:46:39,670
والتاني 010 والتالي 001 يبقى هذول كمان linearly

426
00:46:39,670 --> 00:46:45,130
independent لأن ولا واحد فيهم مضاعفات الثاني برضه

427
00:46:45,130 --> 00:46:48,870
هذول standard basis لمين للـ R3 والـ R3 ال

428
00:46:48,870 --> 00:46:56,270
dimension له يساوي 3 احنا بنقول هدول ليه standard

429
00:46:56,270 --> 00:47:01,970
basis يعني هل هناك basis أخرى، الإجابة نعم، هناك

430
00:47:01,970 --> 00:47:06,590
مجموعة كثيرة من ال basis، مش ع جد هدول، لو كمان،

431
00:47:06,590 --> 00:47:10,230
بس احنا هدول جيبناهم على سبيل المثال، لو جات

432
00:47:10,230 --> 00:47:16,690
للمجموعة هذه، يبقى طلع في هدول اتنين، هل واحد فيه

433
00:47:16,690 --> 00:47:22,090
مضاعفات التاني؟ لأ هدول هل واحد فيهم مضاعفات

434
00:47:22,090 --> 00:47:27,110
التانية لأ هدول في واحد فيهم مضاعفات التانية يعني

435
00:47:27,110 --> 00:47:31,550
لو ضربت هذا في رقم بيطلع هذا ماعنديش هل هذا

436
00:47:31,550 --> 00:47:36,250
مضاعفات هذا برضه لأ يبقى ولا واحد فيهم مضاعفات

437
00:47:36,250 --> 00:47:40,730
التانية طيب ممتاز يبقى هدول linearly independent

438
00:47:40,730 --> 00:47:46,270
صحيح طيب ال vector space هذا جداش اللي ال bases له

439
00:47:48,660 --> 00:47:54,600
إذا هذا بنفع يكون basis لأن ال dimension له يسوى 2

440
00:47:54,600 --> 00:47:58,340
وهي جبت له 2 linearly independent of L مثلا

441
00:47:58,340 --> 00:48:02,580
النظرية الأخيرة بتقول لي كل ال basis فيهم نفس

442
00:48:02,580 --> 00:48:08,140
العدد من العناصر تمام يبقى العناصر هذول linearly

443
00:48:08,140 --> 00:48:13,440
independent وعددهم يساوي اتنين اللي هو ال

444
00:48:13,440 --> 00:48:16,940
dimension لل vector space يبقى هذول يمثلون ال main

445
00:48:16,940 --> 00:48:23,260
bases يبقى هذول E1 وE2 bases لأعلى اتنين هذول برضه

446
00:48:23,260 --> 00:48:26,960
bases لأعلى اتنين هذول bases لأعلى اتنين هذول

447
00:48:26,960 --> 00:48:30,320
bases لأعلى اتنين هذول bases لأعلى اتنين بتحب

448
00:48:30,320 --> 00:48:36,170
تتأكد أن ماعندكيش مشكلة خد اكس واحد و اكس اتنين

449
00:48:36,170 --> 00:48:40,130
موجودة في قارة اتنين و شوف هذا ال element بتقدر

450
00:48:40,130 --> 00:48:45,050
تكتبه بدلالة اي واحد فيهم ولا لا يعني هل بقدر اقول

451
00:48:45,050 --> 00:48:48,610
constant في الاول زائد constant في التاني بيعطيني

452
00:48:48,610 --> 00:48:52,330
ال X واحد و X اتنين لأ يعني بدي اجيب قيمة ال

453
00:48:52,330 --> 00:48:55,590
constant C واحد و C اتنين بدلالة X واحد و X اتنين

454
00:48:55,590 --> 00:49:01,040
ان جدرت اجيب جب هدول linearcombination يعني إجباري

455
00:49:01,040 --> 00:49:06,180
بدك تجيبهم مش بنقدر لأ بنقدر و نص كمان نجيبهم ليش

456
00:49:06,180 --> 00:49:10,020
لأن هدول يمثلولي basis لأ لإن على أي حال في

457
00:49:10,020 --> 00:49:14,500
المحاضرة القادمة ان شاء الله اليوم بنروح بنكمل

458
00:49:14,500 --> 00:49:18,140
اللي هو هذا ال section ان شاء الله