بالله الرحمن الرحيم لازلنا في نفس ال section تبع
المرة الماضية وهو kramer's rule في نهاية هذا ال
section حضرتنا نظرية النظرية بتتحدث عن ال
homogeneous system فبتقول لي معاياتي لو كان عند ال
homogeneous system Ax يساوي 0 في N من المعادلات و
N من المجاهينيبقى في هذه الحالة هذا الـ system له
non-trivial solution إذا كان الـ determinant لإيه
بده ساوي zero طبعا أحنا بالنسبة للهومولينيا
السابقة نقول إن ماعنديش إلا أحد أمرين، يا إما في
الحل الصفري فقط لغير، يا إما في عدد لنهائي من
الحلول المجتملة عالمياعلى الحل الصفري لان عندما لا
يوجد لدي إلا الحل الصفري و لا يوجد لدي عدد لنهائي
من الحلول بقول و الله إذا كان ال determinant لل A
محدد ال A يساوي Zero معناته عندي عدد لنهائي من
الحلول ال determinant لا يساوي Zero يبقى ماعنديش
إلا الحل الصفرييبقى بالنسبة للـ Homogeneous System
يا بنات إذا المحدد لا يساوي Zero تبع مصفوفة
المعاملات، لا يوجد عندى إلا الحل الصفري أما إذا
كان المحدد يساوي Zero لمصفوفة المعاملات فعندي عدد
لنهائي من الحلولبناخد مثال على ذلك بيقول determine
all values هتلي كل القيم تبع المقدار الثابت C بحيث
ان ال system التالي has none trivial solution and
then find all such solution يعني بعد ما تجيبلي
قيمة C بدك تروح تجيبلي حل هذا ال systemطبعا اش
بقول هنا جالي non-trivial solution يعني بدي قداش
قيمة C اللي بتخليه non-trivialيعني بدي determinant
ايه هسويه بالـ main هسويه بالـ zero و روح نحل هذا
الكلام اذا احنا هنجي على ال system of linear
equations هذا و نجي نحل هذا ال system بعد ما نتقل
.. لكن هذا بنا نحله بعد ما نجيب قيمة C تمام؟ يبقى
باجي بقوله الحل كتالةالـ System has non-trivial
solution يبقى
هنا since بما أن الـ System star has non-trivial
solution
Determinant لـ A بيقوم بإعطاء الـ Zero لـ A بيقوم
بإعطاء الـ Zero لـ A بيقوم بإعطاء الـ Zero لـ A
بيقوم بإعطاء الـ Zero لـ A بيقوم بإعطاء الـ Zero
لـ A بيقوم بإعطاء الـ Zero لـ A بيقوم بإعطاء الـ
Zero لـ A بيقوم بإعطاء الـ Zero لـ A بيقوم بإعطاء
الـ Zero لـ A بيقوم بإعطاء الـ Zero لـ A بيقوم
بإعطاء الـ Zero لـ A بيقوم بإعطاء الـ Zero لـ A
بيقوم بإعطاء الـ Zero لـ A بيقوم بإعطاء الـ Zero
لـ A بيقوم
بإعهذا لازم يساوي قداش؟ بده يساوي zero هذا بده
يعطينا بنروح نفك المحدد هذا بنات باستخدام عناصر أي
صف أو أي عمود فلو رحت فاكرته باستخدام العمودي
الثالث لإنه في الصفر نتالب نشتغل طولتين الشغل مش
الشغل كاملايبقى بروح بقول له هذا عندنا C في مين في
المحدد أصغر منظر اللي بدأشته بصفه عموده بصير تلاتة
ناقص اتنين يبقى في تلاتة ناقص اتنين ناقص Zero في
محدده Zero نجي اللي بعده زائد واحدفى نشطة بصفه
وعموده يبقى سالب واحد سالب ستة يبقى سالب واحد سالب
ستة كل هذا الكلام بدى يساوي مين بدى يساوي Zero اذا
صار ان هذا C ناقص سبعة بدى يساوي Zero هذا معناته
ان C جداش تساوي سبعةإذا لو كان عندنا C تساوي سبعة
بيكون عندنا Non-trivial solution قال هنا ههه بجيت
السؤال and then find all such solutions ولمّا تجيب
قيمة C هاتلي ما هو الشكل الحالي اللي هو بيجيبلي
عدد لنهائي منالحلول يبقى بدنا نروح نحل ال system
هذا بأي طريقة من الطرق التي سبقت دراستها اتعودنا
هذا انحله ال homogeneous system بواسطة المصوفة
المواسعة او echelon four يبقى بداجي اقوله هنا هذه
المصوفة اللي عنديالعناصر تبعتها 1 2 c 3-1 0 إلى
نقص 2 1 1بنجيب ونضيف الـ consonants اللي هم
التلاتة اللي عندنا يبقى في هذه الحالة بقول هذه
بدنا نعمل الهمياتي سالب تلاتة R واحد بضيف فلامين ل
R اتنينو بعدين اتنين ار واحد اتنين ار ثلاثة بنحصل
على الشكل التالف الصف الأول زي ما هو واحد اتنين C
الصف التاني بيصير Zero سالب تلاتة في اتنين بسالب
ستة و سالب واحد بيصير سالب سبعة سالب تلاتة C هنا
سالب تلاتة Cهنا بده يصير عندنا zero اتنين في اتنين
باربع واحد خمسة وهنا اتنين ضربنا اتنين C باتنين C
زائد واحد وهذا كله Zero Zero Zeroتمام؟ الآن بقدر
أخلي هذا الرقم اللي عندي كده .. نخليه واحد صحيح
لما نخليه واحد صحيح يبقى بدي أضرب كله في سالب سبع
يبقى .. في حكم .. إيش فيه؟ مش سامع مين اللي بتحكي،
اتوريني .. اه اتفضلي اه
لازم نعوض عنها سبعة يا بنات هذه هنا سبعة صحيح بنا
نستخدمها وهذه هنا سبعة اذا بدنا نعدل الكلام اللي
احنا جايليه هذا كت ليهطبعا احنا ضربنا الصف الأول
في سالب تلاتة و بنضيف ولا التالي يبقى سالب تلاتة
في سبعة بسالب واحد وعشرين يبقى سالب واحد وعشرين
هضربنا في اتنين اربعتاشر واحد اللي هي خمستاشريبقى
الأن بيجي ناخد من سالب سبع قاري اتنين يبقى هذا
بتصير المصوفة على الشكل التالي واحد اتنين سبعة
زيرو هنا زيرو وهنا واحد وهنا تلاتة وهنا زيروو
بالمرة ناخد كمان خمس R تلاتة و هذا كمان خمس R
تلاتة يبقى هذا بده يعطينا كمان Zero واحد و هنا
تلاتة و هنا Zero الشكل اللي عندنا هذاتمام؟ يبقى
هذا المصير تاخد الشكل التالي بدي أضرب الصف الثاني
في سالب و أضيفه فوق و تحت يبقى السالب R او سالب
اتنين سالب اتنين R اتنين to R oneو بعد ذلك سالب R2
to R3 نحصل على ما يأتي الآن هذه واحدة زي ما هي و
هنا سالب 2 مع 2 بـ 0 سالب 2 في 3 سالب 6 و 7 ليه
يبقى الواحد و هنا Zero و هنا Zero واحد تلاتة Zero
وهنا 00000 مش هيك لإننا ضربنا فيه سالب وضفناه كله
بصير zero يبقى ال system بالشكل هذا يبقى ال system
اللي عندنا ال star الأصلي يبقى بدي بقوله the
system star is equivalent
ماعنديش إلا معادلتين في ثلاثة مجاهيلإذا لا يمكن حل
هذا الـ system إلا بإعطاء قيمة لأحد المجاهيل
الثلاثة و نأتي بقيمة المجهولين الآخرين إذا لو جيت
هنا قلت مثلا if x3 يساوي مثلا سالب a حطيت x3 يساوي
سالب aالـ X1 بيصير كده يا جماعة؟ A والـ X2 بيصير
ثلاثة A لما أضع هذه بالسلب A بيصير X1 بيصير A وإذا
أضع هذه بالسلب A بيصير سلب ثلاثة A وإذا أضعها على
الشجرة التانية بيصير ثلاثة A يبقى سار The solution
The system A star is X1 و X2 و X3 بده يساوي X1
طلعناها بـA و X2 بـ3A و X3 بـ-A بهذا الشكلماعنديش
قيود على إيه إذا هذا يعتبر عدد لانهائي من الحلول
الجادمة تكون قيمة إيه تكون مع أنها مشكلة في هذه
الحالة يبقى بدنا نيجي ل exercises اتنين احداشر
المسائل واحد و تلاتة ومن سبعة لغاية اتناشر
على هيك بكون انتهى هذا ال section ولم يبقى أمامنا
إلا ال section الأخير اللي هو ال section 212
يبقى بالذات يليه section اتنين اتناش اللي هو the
inverse of A matrix
Inverse of a matrix يعني معكوس المصوفة طبعاً هنعطي
تعريف لمعكوس المصوفة وبعد ما نعطي التعريف بنتسأل
هل المعكوس هذا موجود لأي مصوفة و الله موجود لبعض
المصوفات و لبعض الآخر لأطبعا مش كل مصوفة لها معكوس
وإنما المصوفة اللي لها معكوس فقط هي المصوفة
المحددها لا يساوي zero لذا المصوفة المحددها لا
يساوي zero يبقى المعكوس existence ليش؟ هذا ما
سنعرفه بعد قليل ان شاء الله تعالىيبقى بدنا نضع
تعريف لمعكوس المصفوفة definition بيقول
لذا N by N matrix A المصفوفة لنظام N في N has an
inverse matrix has an inverse matrix
فإذا كان ال A في ال B سوى ال B في ال A سوى ال
identity matrix IN remark ال
matrix A ال matrix A has an inverse has anInverse
هدّيله الرمز A و فوقها سالب واحد if and only if ال
determinant للـ A لا يساوي zero نأخد
أول نظرية على هذا الموضوع theorem بتقول let ال A ب
an n by n matrix if there exists a matrix B such
that ال
A في ال B بده يساوي ال identity matrix I Nبعد ذلك
الـ B في الـ A بيكون ساوية الـ Identity Matrix I N
وبعد ذلك الـ B بيكون ساوية A انفرز
أظن أن هذا الشجة انتهي هنا منها خلاص وين
وصلت الورقة اللي بتلف؟ كل واحدة علمت من اللي قعدت
علي اسمهاكل واحدة أشرة تجب علي اسمها هنا طيب
نرجع ل section 212 وهو آخر section موجود في هذا ال
chapter بتحدث عن معكوث المصوفة بدأ نعطي تعريف
لمعكوث المصوفة ومن ثم نروح نلاقي وقت إيش المعكوث
هذا يكون موجود دائما و أبدافبعدين بقول لو كان عندي
n by n matrix A هذي لها معكوس B إذا تحقق ما يأتي
جيت على المصوف A ضربت من اليمين طلعت مصوف الواحدة
ضربت من الشمال في هذا المعكوس طلعت main مصوف
الواحدة يعني أنالو إدعيت إنه بيه هذه معكوس لازم
إذا ضربت في إيه من اليمين أو ضربت في إيه من
الشمال، بدي يعطيني مصوفة الوحدة إن ما طلعش .. بدي
يعطيني مصوفة الوحدة إن ما طلعش هذا الكلام يبقى
المصوفة بيه ماهياش معكوس المصوفة طبعا طرحنا سؤال
قبل قليل قلنا كل مصوفة لها معكوس الإجابة كانت مش
كل المصوفات لها معكوسالمعكوس الريمارك هذا بتقول ال
matrix A لها المعكوس A وفوقه سالب واحد مش اه وسالب
واحد هذا رمز يدل على معكوس المصوفة ولا يسوي واحد
على ايه لان ماعندناش حاجة اسمها قسمة مصوفات مش
عندنا في علم المصوفات حاجة اسمها قسمة مصوفاتيبقى
الـ A أفاجأو أس سالب واحد يدل على معكوس المصوفة
وليس A أس سالب واحد تمام؟ يبقى هذا رمز يدل على
معكوس المصوفة يبقى المعكوس هذا موجود إذا كان
المحدد لا يساوي Zero والعكس لو كان المحدد لا يساوي
Zero يبقى المعكوس ماله؟موجود طبعاً ليش هذا الكلام
لا يساوي زرع بعد قليل هنقول لك ليش ان شاء الله طيب
بقول little a,b,n,n by n matrix نظرية جالي إذا
جدرنا نلاقي matrix B بحيث أن ال A في ال B بدو
يساوي ال identity matrix يبقى automatic لازم يكون
B في A بدو يساوي ال identity matrix وبالتالي B
تبعتنا هذههي مين؟ هي معكوس المصفوفة A يبقى B هي
عبارة عن inverse بدنا نروح نثبت صحة هذه النظرية
يبقى أنا عندي الشغلة الأولى أنا عندي نظامها N في M
لو وجدت مصفوفة بي ضربتها في إيه من جهة اليمين طلع
ال identity؟ بدي أثبت إيه؟ إنه لو ضربتها من جهة
الشمال بدي أعطيني ال identity وبالتالي تحققت اللي
فوق وبالتالي ال بي هي معكس من إيه؟ صحيح ولا لأ؟
طيب نيجي لل proof
هل قلنا ان المعكوس موجود؟ما قلناش يبقى انا بدي
اثبتله ان المعكوس موجود قبل ما ابدأ اشتغل الشغل
اللي هو طالبه هذا بقولك اذا مشان اثبت المعكوس
موجود بدي اخد ال determinant للطرفين يبقى هذا بدي
يعطينا ان ال determinant لل A في ال B يساوي ال
determinant لمصفوفة الواحدة هذا بدي يعطيناهذا
معناه مين؟ الـ determinant لـ A في الـ determinant
لـ B يبقى هذا معناته الـ determinant لـ A في الـ
determinant لـ B بده يساوي جداش ال determinant
لمصوفة الوحدة؟
ممتاز جدا يبقى انا طلعت حصل ضرب كميتين يساوي واحد
صحيح واتنين are real numberهل يمكن لأحدهما أن تكون
zero في يوم من الأيام، ولو مرة واحدة في التاريخ،
ليس إمكانية يبقى هذا معناه أن ال determinant للايه
لا يمكن أن يساوي zero مادام حصل ضرب الأتنين بسوعة
صحيح يبقى أحدهم لايمكن أن يكون zeroولو كان Zero
لأصبح الناتج يساوي Zero طيب إذا ال determinant
لإيه لأ يساوي Zero معناته المعكوس ماله exist يبقى
هذا بدي أعطيه لك the inverse matrix لإيه inverse
exist exist
كويسأحنا بنثبت ان b في a يسوى ال identity لو رحت
وقلت افترضي ان عندي مصفوفة c تساوي b في a جيت
انا قلت له خدلي هنا ال a في cشوف اللي بالله كده
بتطلع هذه بقول له اه هذه بدها تساوي a في c main
عندي ل b في ال a صحيح ولا لأ السؤال هو خاصية ال
associative صحيحة على المصبوحات ولا لأ خاصية الدمج
صحيحة يبقى هذا الكلام بده يساوي a b في main في ال
aطبعا انا عندي معطيات ان الـ A B قد شو ساوي ال
identity هذا معناه ان ال identity matrix في ال A A
B احنا قولنا A C بده يساوي كذا هذا بده يعطينا مين؟
هذا الكلام
بده يساوي ال identity matrix في ال A طب ال
identity matrix لو ضربتها في أي مصفوفة إيش الناتج؟
نفس المصفوفة يبقى هذا بده يعطيني ال A يبقى يا بنات
إيش صار عندي؟ إن ال A في ال C بده يساوي ال Aهي
اللي طلعت منه مظبوط هذا معناه ان ال a في ال c ناقص
ال a بده يساوي كده؟ Zero طبعا هذه المصفوفة الصفرية
مش العنصر الصفري يعني هذه ال zero اللي مطاولة
بالشكل هذا هذه المصفوفة الصفرية سؤالبنقدر ناخد
عامل مشترك من هذه المعادلة يبقى ايش بيصير عندنا؟
اي عامل مشترك بيظل C نقص كده؟ نقص واحد
نقص ال identity matrix مش واحد يبقى ناقص ال
identity matrix و إلا و هذا الكلام بده يساوي مين؟
بده يساوي زي ما و إلا لو كان واحد هل بقدر أضيف
الواحد لأي مصفوفة؟ولو كان واحد كان قولنا هذه يبقى
هذه بدها تساوي Zero أو هذه بدها تساوي Zero صحيح
ولا لا؟ إذا بصير ال C نقص للواحد تساوي Zero يبقى
المصفوفة C تساوي Zero صحيح هذا الكلام؟ أو تساوي
واحد واحد number رقم مش مصفوفة يبقى ليس صحيح يبقى
لما ناخد عامل مشترك في حالة المصفوفة بدل الواحد في
العملية الشغل العادى بيصير ال identity matrixتمام
تمام يبقى توصلنا الى انه الكلام اللى عندنا طيب
احنا عندنا يا بنات ان ال a inverse exist و ال
determinant لا يمكن ان يساوي zero تمام يبقى معنى
هذا الكلام ان المصوفة لا يمكن ان تساوي zero يبقى
مين اللى بده يساوي zero ال C ناقص الله او بمعنى
اخرمن معنى آخر بدي أجيبلك بطريقة أخرى لو ضربت
الطرفين في a inverse من جهة الشمال يبقاش بيصير
عندي ال a inverse a في c minus ال I كله بده يساوي
ال a inverse في ال zero مظبوط؟ طيب ال a في ال a
inverse شو بتعطينا هذه؟مصفوفة الوحدة ال identity
ال identity matrix لما نضربها في أي مصفوفة ايش
بيعطينا نفس المصفوفة مظبوط طبعا يا بنات لما اقول I
كله I in هذه كله I in زي ما هي ماشي معانا I in
يبقى هذا معناه ال identity matrix I in في C minus
ال I inكله بده يساوي مين؟ المصفوفة الصفرية هذا
معناه ان الـC minus IN بده يساوي قدر؟ له Zero يبقى
الـC بدها تساوي المصفوفة IM من هي الـC؟ بي في A
يبقى هذا معناه ان بي في A بده يساوي ال identity
magical as in و هو المطلوب؟بيبدوا يسووا ال
identity بيبدوا
يسووا ال identity بيبدوا يسووا ال identity بيبدوا
يسووا ال identity بيالـ A في B بديه يساوي الـ
Identity and الـ B في الـ A بديه يساوي الـ
Identity Matrix اللي هو IN حسب الـ Definition هذا
بدي يعطينا أنه بيبدأ يساوي الـ A inverse يعني هي
معكوس المصوفة Aطب خليني أسأل السؤال التالي هل يمكن
المصوفة أن يكون لها أكثر من معكوس؟ يعني كل المصوف
معكوسين، تلاتة، أربعة، خمسة؟ يعني معكوسا محيدا، بس
بدنا نثبت صحة هذا الكلام، يبقى هدف أن نحطه على
صيغة النظرية التالية
لو كانت A معكوسة
الـ B هذه is the unique inverse of A نظرية مرة
تانيةبقول ليش؟ لو كان الـ A مصحوفة مربعة نظامها N
في N وكان B هو معكوس الـ A then B is the unique
inverse of A يبقى B هي المعكوس الوحيد لإيه؟ unique
inverse يبقى المعكوس الوحيد للمصحوف A يعني المصحوف
A لا يوجد لها إلا معكوس وحيد واحد فقطده غير طب
نثبت هذا الكلام نثبته كيف بروح بفرض ان في عندي
معكوسين للمصوفة A و بروح بثبت ان هذان المعكوسين
متساويان والله ان هذين المعكوسين متساويان مظبوط
طبعا انها بتنصب اسم و بترفع خبرها مش هيك و ان هذين
المعكوسين متساويةيبقى بنرجع آية هنا تاني يبقى أنا
بدي أفرض أنه عندي معكسين هو قال لي مين قال لي بي
يبقى أنا بدي أقوله بدي أفترض أنه بي و سي معكسين
للمصوفة من ايه يبقى هنا assume that أن ال بي and
ال سي are two
inverses of the matrix A then
مدالها دول معكوسين طبقا لهذا التعريف يبقاش بده
يصير عنها A في B بده يساوي B في A بده يساوي
identity matrixوطبعاً كون النظام N في N يبقى ال I
N وفي نفس الوقت ال A C بده يساوي C في A بده يساوي
ال identity matrix I N
بدي أثبت إيه يا بنات؟ بدي أثبت إن المصوفة A بدي
أثبت إن المصوفة B هي نفس المصوفة من C يبقى بداجي
أقول له consider خدلي المصوفة B إيش رأيك الـ B
هذه؟ مش هي عبارة عن B في ال identity صح ولا لأ؟
صح؟طيب هذه بدها تساوي ال identity بقدر اشيلها و
اكتب بدالها اي واحدة من هدول صح يبقى هذه ال
identity بدها احط مثلا ال AC
طب ليش مااخدتش ولا واحدة من هدول؟ بقول اه لأنه انا
بدي اثبت انه B تساوي C، اذا بدي ادخل C معانا، مشان
نقدر نوصل لها، يبقى انا شيلت ال identity matrix IN
وحطيت بدلها ICالامن خاصية ال associative على
المصوفات يبقى هادي عبارة عن بي في المصوفة Cبترجع
هنا ال B في A بقداش بال identity matrix I N في
المصهوفة C ال identity matrix لما نضربها في أي
مصهوفة بيطلع مين؟ نفس المصهوفة يبقى بناءً عليه
صارت B تساوي مين؟ تساوي C يبقى معنى هذا الكلام انه
ماعنديش اللي Aمعكوس واحد فقط لا غير يبقى So P is
the unique inverse of the matrix A يبقى هنا So P
is the unique inverse
of
The Matrix A هو المعكوس الوحيد الذي لا يوجد غيره
طيب السؤال هو كيف يمكن إيجاد المعكوس لمصوفة ما؟
احنا اتكلمنا وحطينا العنوان معكوس المصوفة حتى الآن
قلنا بس وجود المعكوس موجود و الله مش موجود و
واجداش و موحيد و الله مش واحد هذا الكلام لكن كيف
نجد هذا المعكوس لسه مش عارفين لذلك هروح نحط السؤال
التالي السؤال هو
to find a inverse for the n by n matrix A الشكل
لأن أنا الاجابة في أكثر من طريقة بالداخل ال first
method الطريقة الأولى لإيجاد المعكوسخطوتين لثالث
لهم الخطوة الأولى write the argumented matrix
اكتب المصوفة الموسعة a ومعها مين مصوفة الوحدة نمر
اتنين use
Echelon form use
echelon form to write to
write the
matrix ايه
معالـ I N A مع ال I N in the form في الشكل I N و
بعدين B then B اللي بتطلع بتكون هي معكوس المصفوفة
A نعطي مثال
معكس المصفوفة
1 3-1 0 1 2-1 0 8 بالشكل اللي عندنا
أنا عندي مصوفة مربعة A عدد صفوفها N و عدد أعملاتها
N بقول كيف بدك تجيب المعكوس لهذه المصوفة بقوله
خطوتان لثالث لهماالخطوة الأولى write the
geometrical matrix A و I in يعني بده احط المصوفة A
وجانبها مصوفة ال واحدة اعتبرهم كلهم مصوفة موسعة
مصوفة واحدة الخط هذا بس مشان يحد فاصل ما بين
الاتنين لكن كلها مصوفة واحدةالخطوة التانية هي
استخدام الـ ocean floor لحوّل الـ A على اليمين
والـ I on الشمال يعني انا بدي اخلّي ال identity
matrix في الشجة الشمال وهذه A بس ماتضلش A هتتلخبط
هذه لما تتلخبط هسميها B دي بدي اكتبها على شكل I N
وB كمصوفة موسعةب اللي بتطلع هذي بتكون هي مين هي
معكوس المصوفة و اذا مش مصدقة فبنضرب التنتين في بعض
و لازم النتيج يطلعidentity matrix المعكوس
المصفوفة اللي قدامنا هذه إذا أنا بدي أطبقله
الخطوطين اللي قلنا عليهم يبقى بدايجي أخدله ال
argumentive matrix اللي هي ال A مع مين مع المصفوفة
I يبقى هذا الكلام بده يساويهذه المصوفة هاي واحد
هاي تلاتة هاي سالب واحد Zero واحد اتنين سالب واحد
Zero تمانية هو Y الخاطر المصوفة الواحدة واحد من
نفس النظامها Zero واحد Zero Zero Zero واحدأعمل
اللي بدك هي رياضيا بحيث أخلي مصوفة الوحدة في هذا
المكان وهذه تنتقل بأرقام جديدة لوين إلى اليامين
كويس يبقى مشان هيك أنا بدي هذا يكون جداشبدي zero
إذا حضر بالصف الأول أو أضيف الصف الأول للصف التالت
يبقى باجي بقوله هذا مباشرة R1 to R3 ليش؟ لإن R2
جاهز مش محتاج حاجة يبقى هاي واحد تلاتة سالب واحد و
واحد Zero Zero هيقفلنانجي لبعده زي ما هو Zero واحد
اتنين Zero واحد Zero اضفنا إضافة يبقى هنا Zero
وهنا تلاتة تمام؟ واضفنا يبقى هنا سبعة واضفنا يبقى
هنا واحد وهنا Zero وهنا واحد لأنه إضافة ماسويتش
أشياء واضحة زين؟ في أي تسويل؟ طيب، نكملالحين ان
هذا الشخص يأتي للـ leading اللي عندنا هنابتخلّي
اللي تحته Zero و اللي فوقه Zero يبقى بده أضربه سلب
تلاتة و أضيفه للصف الأول و الصف الثالث يبقى هنا
سالب تلاتة R2 سالب تلاتة R2 to R1 and to R3 بيصير
بالشكل التالي طبعا هنا واحد وهنا Zeroو لما ضربت في
سالب تلاتة بيصير سالب ستة و سالب واحد سالب سبعة
سالب تلاتة بيصير هنا واحد زي ما هي و هنا سالب
تلاتة مظبوط يا بنات؟وهذا zero زي ما هو نجي هذا
zero واحد اتنين zero واحد zero الان بده اضيفه للصف
اللي بعد يبقى zero zero سالب ستة بيضل هنا واحد و
بعد هيك هنا بيضل واحد زي ما هو و هنا ضربنا في سالب
تلاتة بيصير هنا سالب تلاتة و هنا واحد زي ما هو
الحين احنا جاهزين بدي اخلي هذا Zero واخلي هذا Zero
يبقى سبعة R تلاتة to R one يبقى انا بدي اعمل ما
ياتي سبعة R تلاتة to R one وفي نفس الوقت سالي
باتنين R تلاتة to R twoيبقى بيصبح هذا المصوفة على
الشكل التالي هذا واحد زي ما هو وماعناش مشكلة تمام؟
وهذا زيرو زي ما هو وهذا بيصير زيرو هلها مضربين هذا
في جداش قلنا؟في سبعة سبعة في واحد سبعة وواحد
تمانية سبعة في تلاتة سالب واحد وعشرين يبقى سالب
اربعة وعشرين سبعة في واحد في سبعة يبقى سبعةخلصنا
الصفة الأولة الان بدي اضربه في سالب اتنين واضيفه
فوق بصير zero و بصير هنا سالب اتنين و بصير هنا
سبعة لان اضربه في سالب اتنين بصير ستة واحد سبعة
الان سالب اتنين يبقى سالب اتنين هنا zero zero واحد
واحد سالب تلاتةواحد بالشكل اللي عناهأيوة يبقى ايش
بيقوللي الخطوة التانية استخدم الاشيلون form مشان
تكتب ال matrix a في ال identity المصفوفة الموسعة
مشان نكتب ال identity مع بي كمصفوفة موسعة اظن
كتبناها يبقى بي مين هي المصفوفة هذه يبقى هذا بده
يعطيكي the inverse matrix
of a is بيتساوي بيتساوي تمانية سالب اربعة وعشرين
وسبعة وسالب اتنين وسبعة وسالب اتنين وواحد وسالب
تلاتة وكمان جداش وكمان واحد تمام؟ طيبالان هذه هي
الطريقة الأولى يا بنات للحصول على معكوس المصوفة
الان عندك فراغ بعد نمطها ان شاء الله جربي أضرب
المصوفة هذه في المصوفة هذه وشوف يطلع معاك مصوفة
الواحدة ولا لا بس بدي أعطيكي الطريقة الثانية كنظري
و بنحل المثال نفسه في المحاضرة القادمة بعد الظهر
ان شاء الله بالطريقة الجديدةيبقى بدأتي لـ second
method second method الطريقة الثانية نمر واحد
بنعمل تلت خطوات replace استبدل each element a i j
في الماتريكس A في الماتريكس
A من الـ Cofactor من الـ Cofactor من الـ Cofactor
من AIG
وهو IN
replace استبدل a i j by by a i j بدي اسوي السلب
واحد مرفوع للأس واحد زائد j في ال minor اللي هو m
i j
هذه الخطوة الأولى الخطوة الثانية take the
transpose of
the resulting matrix
resulting matrix in part one
part one and denoted
it
by B and denoted it by B أعطيها الرمز B خطوة
التالتة والأخيرة findA inverse from the formula من
الصيغة A inverse يسوى واحد على ال determinant لل A
هذا كله في المصوفة B
ماذا بحاجة؟
يبقى باختصار بدنا نعمل ثلاث خطوات الخطوة الأولى
بدي أشيل كل a ij و أضع كوفكتور تبعه ناقص واحد من
aij في ال m ij الخطوة الثانية بدي أجيب مدور هذه
المصوفة اللى نتجت في الخطوة الأولىخطوة تالتة
المصوفة اللى حصلت عليها بدي أضربها في واحد على
محدد المصوفة وهذا يتفق مع الكلام اللى قبل قليل ليش
محدد المصوفة لا يساوي zero لأن لو كان المحدد يساوي
zero هل بقدر أجيب هذا المعكوس؟يبقى فيش مكان يبقى
هذا الكلام الذي ادعيناه قبل قليل الآن السبب في أن
المحدد لا يساوي zero يبقى بدي أخل المعكوس exist
وإلا لو كان المحدد يساوي zero لأصبح المعكوس غير
موجود أعطيكم العافية