بسم الله الرحمن الرحيم بنتابع الحديث في الموضوع
اللي ابتدينا به وهو إيجاد معكوس المصفوفة
بطريقتين شرحنا الطريقة الأولى والآن بدنا نروح
لطريقة الثانية، الطريقة الثانية قلنا تتكون من ثلاث
نقاط، النقطة الأولى بده أشيل كل عنصر في المصفوفة A
I J وحط بدل الـ cofactor المناظر له
الخطوة الثانية بده يجيب مدور هذه المصفوفة الناتجة
الخطوة الثالثة بده يجيب محدد المصفوفة الأصلية
ويقول معكوس المصفوفة يساوي واحد على محدد المصفوفة
في الـ Transpose اللي جيبناه في الخطوة الثانية، بها
هذا بيكون جيبنا ميه؟ جيبنا معكوس المصفوفة، واضح
كلامي؟ يبقى هاي الخطوات الثلاث اللي كتبتيها في
المحاضرة السابقة قبل ساعة وشوية، تمام؟ لما بدنا
نطبقها عمليا، المصفوفة اللي قدامنا هادي يا بنات
أوجدنا المعكوس تبعها بالطريقة الأولى اللي هي طريقة
أنّه المصوفة الموسعة وأحولها إلى مصفوفتين، طرف
اليمين والطرف الشمال، والطرف اليمين بيكون هي
المعكوسة، الآن هحل نفس السؤال لكن بِهَمه بالطريقة
الجديدة ونثبت أن إجابتين الاثنين ما لهم نفس
الشيء، إذا أنا بداجي للحل، بداجي للمصفوفة اللي عندي
يبقى في هذه المصفوفة بدي أروح أشيل كل عنصر من
عناصر المصفوفة وأكتب بداله مين؟ وأكتب بداله الـ
cofactor تبعه أو العامل المرافق له، يبقى لو جيت
للمصفوفة الأولى، بداجي أقول هذه المصفوفة الأولى، بدي
أشيل الواحد يا بنات حسب قاعدة الإشارات، شرطته بالموجب
يبقى أشطب صفه وعموده، يبقى 8 ناقص 2، يبقى
كم؟ 6، يبقى عنصر 3 حسب قاعدة الإشارات
شرطته هي سالبة، يبقى هذه سالبة، يبقى أشطب صفه و
عموده، صفه وعموده، يبقى 0 زائد 2 يبقى ناقص
2، بالدالي للعنصر الثالث -1، اشطب صفه و
عموده، بيظل 0 زائد 1 يبقى بـ 1 حسب قاعدة
الإشارات
بتجي للصف الثاني، الصف الثاني بتجي لـ 0 حسب قاعدة
الإشارات، شرطته مالها؟ سالبة، يبقى بدنا نشطب صفه و
عموده، 3 في 8 بـ 24 ناقص 0 يبقى
بـ 24، العنصر اللي بعده حسب قاعة الإشارات
شرطته موجبة، يبقى بالنشط بصفه عمودي، يبقى 8 ناقص
1، اللي هو بيطلع بقداش؟ بـ 7، حسب قاعة الإشارات
اللي بعده، اللي شرطته السالب، يبقى بالروح نشط بصفه
وعموده، يبقى 0 زائد 3 يبقى بصير ناقص 3
بالدالي للصف الثالث حسب قاعد الإشارات شرطته بالموجب
يبقى بالداشطه بصفه عموده 6 زائد 1، واللي هي
قداش؟ 7، بالدالي للعنصر بعده حسب قاعد الإشارات
شرطته السالب، نشطه بصفه وعموده يبقى 2، واللي بعده
0 يبقى ما عنديش إلا 2، نيجي العنصر الثالث حسب
قرص الشرط، شرطته موجبة، من نشطه بصفه وعموده يبقى 1
ناقص 3، اللي يبقى داشت بـ 1، بالشكل اللي عندنا
هذا، يبقى هذه الخطوة الأولى، الخطوة الثانية بدي أجيب
له، للمصفوفة به
ببببببببببببببب يبقى بدي أجيب لـ Transpose بالنسبة
إليها، يبقى هذا الكلام بدي يساوي المصوفة على الشكل
التالي، الصف الأول بدي يصير العمود الأول، الصف
الثاني بدي يصير العمود الثاني، الصف الثالث بدي يصير
العمود الثالث، 6، -2، 1 بالشكل اللي عندنا هنا
يبقى هذه المصوفة بيحصلنا عليها من خطوتين، الخطوة
الأولى، استبدلنا كل عنصر بالـ cofactor تبعه، خطوة
ثانية، جيبنا لـ Transpose لِلمصفوفة الناتجة، بقيت
علينا الخطوة، مش هجيب الخطوة الأخيرة، بلزمني محدد
المصفوفة A، إذا بروح بقوله بدي أجيب له determinant
للمصفوفة A، يبقى هذه الخطوة الأولى، وهذه الخطوة
الثانية يا بنات، بتجي للخطوة الثالثة determinant
لِ A، بتساوي المحدد بتجي لِ A الأصلية؟ 1، 3، -1، 0، 1، 2
-1، 0، 8 بالشكل اللي عندنا، بدا نفك المصفوفة باستخدام
عناصر العمود الأول مثلًا، يبقى هذا الكلام 1 فيه
نشطب صفه عموده، يبقى 8 ناقص 0، اللي بعده
ناقص 0، زائد ناقص 1 فيه، أشطب بصفه عمود، بيصير
6 زائد 1، يبقى 6 زائد 1، الشكل عن هنا يبقى
هنا 8، وهنا ناقص 7، يبقى الجواب كده ايش؟ 1
صحيح، يبقى الـ A inverse يبقى 1 على الـ
determinant للـ A في المصفوفة B، يبقى 1 على 1
في المصفوفة B اللي طلعت اللي هي 6، -4،
24، 7، -2، 7، -3، 1 بالشكل اللي عندنا، طبعًا هذه هي نفسها
الهمين، 6، -4، 24، 7، -2، 7، -3، 1
7، -2، 1، -3، 1، طلعت في
النتيجة هذه، والنتيجة اللي أوجدناها في المحاضرة
السابقة الاثنين are the same، يبقى نفس النتيجة
بالحرف الوعيد، إذا سواء استخدمت الطريقة الأولى في
إيجاد معكوس المصفوفة أو استخدمت الطريقة الثانية في
إيجاد معكوس المصفوفة الاثنين are the same، تمام؟ طيب
بدنا نيجي الآن بعد ما انتهينا من ذلك نعطيكي كمان
مثال، المثال بيقول ما يأتي، example، find
the inverse of الـ A تساوي اللي هو مين؟ الـ A تساوي
2، 3، 1، 4 بالشكل اللي عندنا هذا
solution
طلبتي
ايش؟ هادي 1 على الـ determinant في الـ B، واحدة
واحدة بس ناس ما عيش بتقول تاني عيدي تاني، هيقولنا
1 على الـ determinant في B، B اللي هي هادي، لأن
كاتب عليها Transpose، لسه بدي أحولها، فبكتب هادي
تمام؟ طيب نجي يالا كل واحد يتعلمك بالاسمة وإياك
واحدة، تعلم قدام اسمه، واحدة ثانية دي يا رب العالمين، فضل
يالا، تعلم اسمك باسم المحاضرة هادي
طيب، بدنا نيجي للمصفوفة اللي قدامنا يا بنات، هذه
المصفوفة 2×2 وليست 3×3 كما كانت المصفوفة قبل قليل،
تمام؟ لكن أنا بدي أحاول أحل بنفس الطريقة اللي
اتبعت هنا قبل قليل، فباجي أول خطوة، بدي أجيب الـ
Determinant
يبقى المحدد 2، 3، 1، 4، 8 ناقص
3، ويساوي كم؟ 5، يبقى هذا قيمة المحدد يساوي
5، بعد هيك بدي أجي لِلمصفوفة اللي عندي واستبدل كل
عنصر بالـ cofactor المناظر له، يبقى باجي بقوله الآن
بدي أجى للمصفوفة اللي عندنا هذه وبدي أجيب الـ
cofactor، يبقى بدي أشيل 2 وأشطب صف وعمود وبـ
يضل قداش عندنا؟ 4 بس، يبقى جاهز بحط 4 زي ما هي
وحسب قاعدة الإشارات العنصر هذا إشارته بالمين؟
بالموجب، الآن بدي أروح للعنصر بعده اللي هو الـ 3
يبقى بدي أشطب صفه وعموده، بيضل قداش؟ 1 بس، حسب
قاعدة الإشارات، الإشارة مالها؟ بالسالب، بدي أشطب صفه
و عموده، بيضل قداش؟ 3 بس، حسب قاعدة الإشارات
الإشارة بالسالب، تمام؟ بالداجل العنصر 4، رشط بصفه
و عموده، بيضله كده 2، وحسب قاعدة الإشارات موجب
تمام، طيب أنا بدي أروح بدي لترانسبوز تبعها، يبقى
بكتب عليها ترانسبوز وبروح بسميها المصوفة B تمام
مين؟ لترانسبوز تبعها يساوي اللي هو الصف الأول بده
يصير العمود الأول، الصف الثاني بده يصير العمود
الثاني، بالشكل اللي عندنا هذا، بعد ذلك بدي أروح أجيب
معكوس المصفوفة A من الصيغة 1 على محدد الـ A في
المصفوفة B، يبقى 1 على 5 في المصفوفة B، 4، -3، -1، 2، يا
بتخليها زي ما هي، يا إما بتدخليها عليها وتقوليلي هذه
4 أخماس، ناقص 3 أخماس، وهنا ناقص خمس، وهنا
خمسين، بالشكل اللي عندنا هذا، طيب
بصوا، صبروا شوية، لسه ما خلصتش يعني، احنا هيك جيبنا
المعكوس تمامًا مئة بالمئة بدون أي مشاكل، السؤال
اللي بده أطرحه، طب خليني ندقق النظر في المصفوفة B
هذه ونشوف نقارنها بالمصفوفة الأصلية، لو جيت لي
المصفوفة الأصلية بلاحظ بدلت عناصر القطر الرئيسي
مكان بعض وغيرت إشارات عناصر القطر الثانوي، مظبوط
ولا لأ؟ إذا من الآن فصاعدًا يا بنات، إذا بدي أجيب
المصفوفة B هادي، ما في داعي أن أذهب وأبدأ أحسب من أول وجديد
يبقى بس بدلي عناصر القطر الرئيسي مكان بعض
مليون متشين، عناصر القطر الثانوي خليهم زي ما هم
بس حطينهم بشارتهم السالبة، بكون جيبتي المصفوفة B، ايش ضايل
عليه؟ ضايل عليه أجيب قداش محدد المصفوفة A وأضرب
1 على قيمة المحدد في هذه المصفوفة، بكون جيبتي
المعكوس، بس هذه للمصفوفة اللي نظامها 2 في 2
واللي الـ inverse تبعها exist مش لأي مصفوفة، يبقى
شرطين، المعكوس هذا ما له موجود؟ اثنين، ويكون نظامها
2 في 2، ماشي؟ في أي تساؤل؟ خلاصنا عظمنا
جابنا تساؤلك؟ كما أنت سؤالة، تفضلي إذا
الـ determinant سالب والله موجب والله كسر ايش ما
يكون، يكون لا دخلة له في الموضوع، 1 على المحدد
باجي واللي جوا جوا المصفوفة زي ما هي، لحد هيك بيكون
انتهى هذا الـ section، ولا يكون أرقام المسائل اللي
هي exercises، اللي هو 12 المسائل التالية
اللي هي 1 و3 و5 و7 ومن 10 لغاية
15، وبنروح لـ additional exercises، additional
exercises وبدنا المسائل من 1 لغاية 8، لكن في
المقابل في بعض الأسئلة النظرية في الـ Additional
Exercises، بدي أروح أحل هذه الأسئلة حالها كالتالي
مين اللي بتسأل السؤال؟ كيف؟ وين ما بدك؟ لو كان الـ
system معين، عدد الـ unknowns فيه بيساوي عدد
المعادلات، بقدر أقول مية بالمية إنه خلاها؟ لأ
طيب،
على أي حال، بدنا نيجي لـ exercises
12، page صفحة 145 لغاية 1
46، السؤال 12 بيقول ما يأتي، if الـ a
is non-singular
non-singular matrix show that بيّن إن الـ A
transpose
الكل inverse يساوي A inverse transpose بالشكل
اللي عندنا هنا، solution
الآن بدي أحلك مجموعة من الأسئلة عن نظرية على هذا
الـ section، الأسئلة
هذه موجودة كلها في الكتاب، هو نفسه
بالضبط تمامًا كما لو جبت المعكوس أولًا ثم جبت المدور
من المصفوفة الناتجة، يبقى A inverse transpose هو A
transpose inverse، تمام؟ بنقوله بسيطة، احنا عندنا الـ
A is non-singular، يبقى هذا أيش
inverse أظن
هو المطلوب مش هي اللي بدنا نثبته؟ خلصنا أيضا، صعب؟
والهجر أخذنا تعريفه non-singular يبقى المعكوس موجود
عرفنا المعكوس أخذنا الـTranspose وعملنا المساواة
ليس إلا لو طلعت معانا على طول القاطع ما عندناش مشكلة
يبقى هذا كان سؤال 12 عندك من الكتاب، ننتقل لسؤال 13
اللي وراه مباشرة، هذا سؤال 13 ثلاث عشرة، بيقول افترض أن
الـA والـB بيكون بيكون بيكون بيكون بيكون بيكون
بيكون بيكون بيكون بيكون بيكون بيكون بيكون بيكون
بيكون بيكون بيكون بيكون بيكون بيكون بي
the same order من نفس الرتبة أو نفس النظام
بيقول لـF إذا كان الـC إذا كان المصفوفة C بدها
تساوى، حصل الضرب F، show that، بيّن لي أن
الـC inverse بدها تساوي B inverse في الـA inverse
نرجع
لسؤالنا مرة ثانية، السؤال بيقول لو كان كل من A وB
non singular matrices يبقى محدد كل واحدة فيهم ما له؟
لا يساوي صفر، وتنتهي من نفس الورقة، قال لو كان الـC
حصل لضرب A في B، بدي أثبت أن المعكوس تبع المصفوفة C
هو الـB inverse في الـA inverse، طب هو قال هل الـA
وB لها معكوس، ما قال لي، أنا بدي أثبت أن لها معكوس
وبعدين أروح أثبت أن المعكوس هذا بيساوي بعضه، صح ولا
لا، بقوله بسيطة جدا، إذا أنا بدي أجي للـsolution بدي
أجي للمعطيات، الـA والـB are non singular هذا
إيش معناه يا بنات non singular؟ هذا معناه أن الـ
determinant للـA لا يساوي صفر، والـdeterminant
للـB لا يساوي صفر، صح؟
طب لو ضربت اثنين في بعض، يبقى هذا بدو يعطينا أن الـ
determinant للـA في الـdeterminant للـB ما له؟ لا
يساوي صفر، هذا معناه أنه حاصل الضرب، هذا الـ
determinant للـA في الـdeterminant للـB اللي بدو
يساوي الـdeterminant للـA في B لا يساوي صفر
تمام؟ هذا معناه إيش؟ معناه أن الـA في B is non
singular، هذا معناه أن الـA B inverse exist
يبقى المعكوس هذا ما له؟ موجود، طيب هو بيقول لو كان الـ
C تساوي الـA في الـB، بدك تثبت لي أن هذا المعكوس
يساوي B inverse A inverse، يعني كأنه أنا بدأت أثبت
أن الـA في B الكل inverse يساوي B inverse، يعني كأنه
بنغلب، ونضعهم زي الـtranspose بالظبط، مش حصل ضرب A
في B الكل transpose، جينا نقول B transpose في الـA
transpose، يبقى هنا نفس الفكرة، كل واحد علمت على اسمه
هنا، بنادر كله تمام، طيب نرجع الآن، نجي نشوف صحة هذا
الكلام، لو أنا جيت أخدت الـA, B في الـA, B أو A في ده
في أخذه في مين؟ في الـB inverse A inverse اللي قايل
عليه، هذا، طيب هذا الكلام بدو يساوي، بدي أجي لخاصية الـ
associativity على المصفوفات، خاصية الدمج، إذا هذه
تساوي A في الـB في B inverse A inverse، مظبوط؟ هذه اللي
بين قوسين، مين هي؟ الـidentity matrix، يبقى الـA في
الـidentity matrix في الـA inverse، الـidentity
matrix لما تضربيها في أي مصفوفة، شو بيطلع؟ نفس
المصفوفة، the same matrix، يبقى الـA في الـA inverse
اللي هي الـmain المصفوفة A، طيب، واللو أخدت الـB
inverse A inverse ضربت في الـAB، يا ما أنا شو بدي
يعطيني؟ بدي أستخدم خاصية الـassociativity، يبقى B
inverse A inverse AB، معكوس المصفوفة في المصفوفة الـ
identity matrix، يبقى B inverse IB، يعني B inverse B
يعني الـidentity matrix، إذا من الاثنين هدول، إيش
بنستنتج يا بنات؟ بنستنتج أن الـAB في الـB inverse
A inverse بدو يساوي الـB inverse A inverse، في
الـAB في الـAB بدو يساوي 100، يبقى معناه كل واحدة
فيهم معكوس للثانية، هذا معناه أن الـB inverse A
inverse is the inverse of A في B، صح ولا لأ؟ but the
inverse of
A B is denoted by A B الكل inverse
وقبل شوية في المحاضرة الصفحة، أثبتنا نظرية أن الـ
inverse يكون واحدا، إذا هذا هو الثاني، يبقى but the
inverse of A B is denoted by كذا، والـinverse
of
a matrix is
يكون هناك يكون وحيدا، هذا بدو يعطينا أن الـA B
الكل inverse بدو يساوي B inverse A inverse
هتلاحظين لما تكون هذه الـC بدها تساوي الـAB، قال لي
أثبت لي أن الـC inverse تساوي كذا، مظبوط؟ الحين
الـC inverse بدها تساوي مين؟ AB inverse، يبقى هذا
بدو يعطينا أن الـC inverse بدها تساوي B inverse A
inverse، عظم ما هو المطلوب، إذا من الآن فصاعدا هذا
السؤال، ليش بيقول ليه؟ بيقول لو عندي حاصل ضرب
مصفوفتين A وB، وحاصل ضربهم الكل inverse تساوي inverse
الثانية في inverse الأولى، بدنا نجيبها زي
الـtranspose بالظبط تماما
هذا كان سؤال 13 من الكتاب، ننتقل لسؤال 14 برضه نظري
سؤال 14 بيقول لي، let الـA be a non singular
matrix، non singular matrix، show that، أن
الـA Inverse Inverse بدو يعطيني الـA
نفس التكتيك اللي اتبع في السؤالين السابقين، بمسك
المعلومة، بحاول أستفيد منها، مش بيعطينا المعلومة
بلاش بس نتفرج عليها، لأ لأ لأ، بحاول نستفيد منها، إذا
احنا بدنا نجي هنا الآن، let الـA be a non singular
matrix، يبقى هذا معناه يا جماعة أن الـdeterminant
للـA لا يساوي 0، هذا معناه أن الـA inverse exists
يعني هذا معناه أن الـA في الـA inverse سيكون مصفوفة
الوحدة، تمام؟ حتى لأن كلام اللي بقوله كأنه
ليس له علاقة بالمطلوب، المطلوب دي أثبت أن معكوس
المعكوس يعطينا الأصل، صح؟ يعني لو جيبت معكوس مصفوفة، و
روحت جيبت لها كمان معكوس للمعكوس، بديه يطلع المصفوفة
الأصلية، مظبوط؟ هو اللي بيقول لي أثبت أن A inverse
inverse بدو يساوي من الـA، إذا أنا مشان أجيب له الـ
inverse بدي أروح آخذ inverse لمين؟ للنتيجة اللي أنا
توصلت لها، تمام، فبجي بقول له هذا معناه أن الـA في
الـA inverse الكل inverse بدو يساوي الـI inverse
سؤال كمان مرة، معكوس مصفوفة الوحدة مين هي؟ نفس
الوحدة نفسها، مظبوط؟ يبقى باجي بقول هنا هذا بدو
يعطيك بناء على الخواص تبع مين؟ تبع الـinverse
اللي أثبتناها هنا، يبقى هذا الـinverse ليش بدنا
نسويه؟ بدنا نجيب وضعها، يبقى هذا بيعطيك A inverse
inverse في الـA inverse بدو يساوي الـidentity
matrix، هذا جبته من وين؟ من السؤال وين؟ من السؤال
13، يبقى هذا from exercises 13، طيب كويس إيش رأيك؟
أنا بدي هذه، صح؟ طب خليني أضرب من جهة اليمين في
المصفوفة A، مش أنا أخليها دي لوحدها، إذا لو جهة ضربت
من جهة اليمين في المصفوفة A، بصير A inverse inverse
A inverse في مين؟ في المصفوفة A، بدو يساوي الـidentity
matrix في المصفوفة A، هذا معناه أن الـA inverse
inverse هدف هدف من بالـidentity matrix بدو يساوي
المصفوفة A، طيب المصفوفة الوحدة لما نضربها في أي
مصفوفة بتعطيني مين؟ نفس المصفوفة، يبقى الـA inverse
inverse بدو يساوي المصفوفة A نفسها، مظبوط هكذا؟ يبقى
ما سوينا شي، خلصنا، يبقى أثبتنا أن معكوس لمعكوس
المصفوفة بيعطينا المصفوفة نفسها، نأخذ كمان سؤال
السؤال الخامس عشر بيقول لي، the matrix، the matrix
IN
للـidentity matrix is its own inverse، يعني
هي معكوس لنفسها، since ليش؟ لأن الـidentity matrix
لما نضربها في الـidentity matrix بيطلع من عندنا الـ
identity matrix، المطلوب الأول من السؤال، find
at least على الأقل to second
order
to second order matrices، matrices
other than I N
that have this property، إلا
دي الخاصية نمر بيه، if الـA بدها تساوي الـA inverse
show that
show that، بيّن لي أن الـdeterminant للـA بدها تساوي
زائد أو ناقص واحد
نرجع لسؤالنا مرة ثانية، السؤال ذو شقين، نقرأ السؤال
كويس، وبعدين هي كده، تعالي يا بنت، يا بنت تعالي تعالي
تعالي، بقول طلعت
كلمة جوال، مش هيك؟ بتاخدي كتبك وتصلي، تعودي على
المحاضرة أبدا، يا بتقعدي وتنسي حكاية الجوال، أنا من
أول محاضرة قلت لك يا جوال يا محاضرة
قلت لك المحاضرة مثل صلاة الجمعة، فإيش الإيمان بالمخطب
واحد يطلع يرد على الجوال ويعود لخطبة، مسخرة هذه مش
صلاة، واحنا هنا مكان المحاضرة، مكان عبادة تماما مثل
الصلاة عندي، يبقى يا دي دراسة يا إما جوال، نرجع
لسؤالنا مرة ثانية
مصفوفة الوحدة هي مصفوفة معكوس لنفسها
هات لي at least على الأقل مصفوفتين من الـsecond
order، يعني النظام اثنين في اثنين من غير الـI، أنت
مش هتروح تقولي المصفوفة I، too صفين وعاملين، تقولي
أي واحد؟ لأ، ده هتجيب مصفوفتين غيرهم، بحيث لهم هذه
الخاصية، يعني لو ضربت المصفوفة في نفسها بدها تطيني
مصفوفة الوحدة، بس بشرط ما تكونش مصفوفة الوحدة، تمام؟
ايوا هذا المطلوب الأول، المطلوب الثاني بيقول لو كان الـ
A بدها تساوي الـinverse، show that أن الـdeterminant
للـA بدها تساوي زائد أو ناقص واحد، بسيطة جدا، خلينا
مع المطلوب الأول، بدي أحاول أدور على مصفوفة، لو ضربت
في نفسي يطلع مين عندي؟ مصفوفة الوحدة، حد فيكم بتقدر
تجيب لي مصفوفة نظامها اثنين في اثنين؟ ما تبداش كتير
يعني أغششكي أكتر، القطر الرئيسي أصفار، يلا ظل عليكي
عددين بس، مصفوفة نظامها اثنين في اثنين، والقطر
الرئيسي أصفار، بدي لو ضربتها تطلع مصفوفة الوحدة
ثلاثة وثلاث، ثلاثة وثلاث، ثلاث ثلاث ثلاث ثلاث ثلاث
بّتنفع، أربعة وأربعة بتّنفع، خمسة وخمس، يبقى هي مش
مصفوفتين، صار ملايين.. إيجاد اش ملايين عدد لإنهاء
من المصفوفات وليس.. بس من ده اتّكد أن كلامنا هذا
بيصير عندي الـ determinant للـ A في الـ A بده
يساوي الـ determinant لمصفوفة الوحدة I حسب خواص الـ
determinant يبقى هذا الـ determinant للـ A في الـ
determinant للـ A بده يساوي الـ determinant لمصفوفة
الواحدة هذا معناه أن الـ determinant للـ A لكل تربيع
بده يساوي قداش؟ الـ determinant لمصفوفة الواحدة واحدة
لو أخذنا الجذر التربيعي إلى الطرفين يبقى بيصير الـ
determinant للـ A يساوي زائد أو ناقص واحد أظن وهو
المطلوب يبقى هذول أربع أسئلة متوالية وكلهم أسئلة
نظرية موجودة عندك في الكتاب 12 و 13 و 14 و 15 وهي
حللنا لك الأربع أسئلة النظرية ولا عذر لك بعد ذلك
طبعا احنا قلنا الـ exercises اثنين اثنا عشر ناكل
مسائل عليهم اللي هو واحد ثلاثة خمسة سبعة ومن عشر
لخمسة عشر والـ exercise من واحد لثمانية مش هيك تمام
تمام يبقى على هيك يكون انتهى هذا الـ section اللي
هو الـ section اثنين اثنا عشر وبنتهيه ينتهي chapter اثنين
والمرة الجاية بدنا نيجي مفتحين ومخنا صاحي ونظيف
مشان نبدأ chapter ثلاثة اللي بتكلم عن vector spaces