بسم الله الرحمن الرحيم المرة اللي فاتت ابتدأنا ب
section ال homogeneous systems وأخدنا على ذلك
مثالين وهذا هو المثال رقم تلاتة يعني
اللي قلنا المرة اللي فاتت ال homogeneous system يا
إما إله ل trivial solutionيا إما إله الـ Non
-homogeneous solutions وهذه الـ Non-homogeneous
solutions تحتوي عالميا على الـ homogeneous
solution أما حكاية إنه مافيش solution فهذا مستبعد
تماما أخذنا مثالين وهذا هو المثال الرقم تلاتة
السؤال بيقول لي for what values of A ما هي القيم
اللي بياخدها ثابت A بحيث ان ال system اللي عند هذا
له non trivial solution يعني له حل غير الحل الصفري
طب نجيب نقوله ال tactic نفس القصة تابعة المرة اللي
فاتت بالنسبة للمثالين السابقين يبقى بدنا نبدأ
بالمصفوفة الموسعة و نشغل عمليات الصفقة البسيطة
يبقى لو جيت للمصفوفة الموسعة هتكون على الشكل
التالي واحدأناقص اتنين زيرو صف التاني اتنين ناقص
واحد ناقص واحد زيرو صف التالت ناقص ناقص واحد وهنا
واحد وهنا زيرو بالشكل اللي عندنا هذا المصروف اللي
عندنا هذا يبدأ حاول اللي طبعا واضح ان العموق الصف
الانصر الأول هنا ال leading هو واحد يبقى جاهز لكن
العيامين ميمإيه لو بدنا نضرب و نضيف بتتعجد شوية
فإلا خاطر أبدل الصف الأول مع الصف التالت مع ضرب
الصف التالت في إشارة سالب مرة واحدة وبالتالي بخلي
ال a تحت وبالتالي بصير أسهلنا شوية يبقى بدي أعمل
ما يأتي يبقى هذا السهم يبقى بالدهجة أقوله replace
استبدل سالب R3 and R1 يبقى بدي أجي على الصف الأول
والصف التالت هذه معناته بدي أعمل عمليتين مع بعض في
انا واحد بدي أضرب الصف التالت في إشارة سالب في
إشارة سالب واحد ومن ثم أبدل مع مين مع الصف الأول
يبقى هذه بيصير المصوفة على الشكل التالي واحد
صف الثاني كما هو ماعملناهش له حاجة الصف الأول
بيصير الصف التالت الواحد ناقص اتنين زيرو بالشكل
اللي عندناالان بدي اخل هذا zero بدل اتنين و هذا
zero يبقى بدي اعمل عمليتين في انا واحد على الشكل
التالف بدي ادرب الصف الأول في سالب اتنين و اضيفه
للصف الثانييبقى بالدرجة يقول سالب اتنين R1 to R2
وفي نفس الوقت سالب R1 to R3 مرة واحدة يبقى بنحصل
على الصف التالي الصف الأول يبقى كما هويبقى هنا هي
واحد وهنا واحد سالب واحد زيرو وهي قفلنا المصوفة
هنا بدى يصير عندى زيرو سالب اتنين وسالب واحد بيصير
سالب تلاتة يبقى سالب تلاتة موجة بواحد لإن مقفل
ضربنا في سالب اتنين بيصير هنا موجة باتنين وناخص
واحد بيصير عندنا واحد وهنا زيروهنا ضربنا في سالب
واحد يبقى بيصير zero وهنا a ناقص الواحد وهنا بيصير
موجة بواحد وسالب اتنين بسالب واحد وهنا zero كما هي
مرة تانية يا بنادر يبقى ضربت الصف الأول في سلب
اتنين واضفته لاتنين بيصير zero سالب اتنين و سالب
واحد بيصير سالب تلاتة موجة باتنين و سالب واحد
بيصير واحد سالب واحد و واحد zero سالب واحد و a
بيصير a سالب واحد موجة بواحد و سالب اتنين بيصير
سالب واحد والباقي ب zeroنأتي للخطوة التالية الخطوة
التالية ستجعل هذا قداش واحد صحيح يبقى بدي أضرب في
سالب تلت R2 يبقى باجي بقول هذا سهم وهذا سالب تلت
R2 نحصل على المصوفة التاليةواحد واحد ناقص واحد
Zero Zero واحد سالب تلت و هنا Zero A ناقص واحد و
هنا ناقص واحد و هنا Zero Zero كويسيبقى الأن
بالداجي للصف اللي عندنا هذا الصف الثاني بدي أخلي
اللي فوق zero و اللي تحت بدي أحاول أخليها zero بس
قبلها لو أضفت الصف الثاني إلى الصف التالديبقى
كخطوة تانية يبقى بدي أعمل ما يأتي بداجي أخد اللي
هو R2 to R3 نحصل على ما يأتي يبقى بدي أصير عنهناش
و كذلك R2 to R3 و سالب R2 to R1 مرة واحدةيبقى هنا
1 و هنا 0 سالب يصبح موجة بتلت يبقى هنا سالب تلتين
يبقى هنا سالب تلتين و هنا 0الصف هذا يبقى كما هو
Zero واحد سالب طول هنا Zero و هنا أضفنا هنا يبقى
بصير عندنا هنا A فقط لا غير و هنا هذا لما أضفناه
بصير سالب أربعة على تلاتة يبقى سالب أربعة على
تلاتة قفلنا هاي Zero و Zero بالشكل اللي عندناالان
هذا العمود العنصر هذا الـ 0 اللي فوق لكن لتحت ايش؟
A بدي اتخلص من الـ A يبقى بدي اضرب الصف التاني في
سالب A واضيفه لمين؟ للصف الثالث يبقى هذا سهم يبقى
سالب AR2 to R3 هنشوف شو اللي بدي يحصليبقى في هذه
الحالة بيصير المصوفة على الشكل التالي الصف الأول
زي ما هو one zero سالب تلتين zero الصف الثاني كما
هو zero واحد وهنا سالب تلتوهنا Zero و هنا Zero
نضرب سالب A هنا بصير موجة ب A على تلاتة يبقى A على
تلاتة ناقص أربع على تلاتة و هنا Zero Zero
أظن أكتر من هيك ما أقدرش أبصر نرجع للسؤال السؤال
بيقول سؤال بيقول هات لقيمة إيه بحيث هذا ال system
لهو have a non trivial solution يعني حل غير الحل
الصفري إذا أنا لو بدي أكتب ال system المكافئ لل
system الأصلي بدي أقول X واحد ناقص تلتين X تلاتة
بده يساوي zero
يبقى هذا الكلام يعطينا ا على تلاتة ناقص اربع على
تلاتة اكس تلاتة بده يساوي قداش بده يساوي زيرويبقى
انا اخدت هذا الجزء واسبت الاول للأول مش لازملي انا
بدور على قيمة ايه قال ال system هذا له non trivial
solution حل غير الحل الصفري مدان في حل غير الحل
الصفري هل يمكن ل x تلاتة انها تبقى zero ليس ممكنية
يبقى since بما ان the system have
X3 لا يمكن أن تساوي 0ما دام X تلاتة لا يمكن أن
تساوي Zero حاصل ضرب الاتنين يساوي Zero إذا ال term
التاني هو اللي ب Zero يبقى هذا بده يعطينا أن A على
تلاتة ناقص أربعة تلاتة هي التي تساوي Zeroأظن لو
ضربت في تلاتة بيصير ال a ناقص أربعة يساوي zero
يبقى ال a تساوي قداش أربعة يبقى لو كانت a باربعة
بيصير عند ا بيصير عند ال system اللي عندنا هذا له
حل غير الحل الصفري واضح هذا الكلام؟ حدا فيكم اللي
هيتساءل؟طب الآن انتهى ال section وليكن أرقام
المسائل تتمرن عليها يبقى باجلة exercises اتنين
اتنين المسائل التالية تلاتة وخمسة وسبعة وتسعة
وحداشر واطناش وتلتاشر ايه؟تلاتاشر بيها يحلنا وهذا
تلاتاشر ا مارنوا يديكوا فيه هي تساول؟ خطوة
هذه قصدك؟ضرب تار اتنين في سالب A مظبوط يبقى بيصير
سالب A و A ب Zero سالب A و سالب تلت ب A على تلاتة
هيها A على تلاتة ناقص أربعة تلاتة طلع A على تلاتة
ناقص أربعة تلاتة الكلام سليم مائة بالمائة لا يوجد
أي خطأ
ننتقل الان الى section 2-4 بعد ما نشط ب2-3 يبقى
بنروح ل section 2-4 2
-4 اللي هو matrices and
vectors
التحديث هو إذا
كان لدينا نظام عضو عضو من الهواتف
A11X1
A12X2 A1NXN B1 A21X1
A22X2 A2NXN
B2 A
M1X1 A M2X2 زائد A M N X N بده ساوي بي M هذا ال
system then then
the matrix المصوفة
العناصرها a11, a12, a1n, a21, a22, a2n نفض
الماشيين لغاية a m1, a m2, a mn it is called
The coefficient matrix of
size M in
الوضع AIG هو المدخل المدخل
في عصر العين في
عصر
العين و
definition
يبقى بدرجة على الخاصية ده قبل أن أنتقل لخاصية
ثانية يبقى بالبلد هيك هذا معناه إيش لو ضربت عدد في
مصوفة يبقى بدي أضرب في جميع عناصر المصوفة بلا
إستثناء يبقى هاي المقصود طب أضرب من اليمين العنصر
ولا من الشمال يبقى من أينما بدك تضرب أضرب ما ده
مراقمبتضرب المصوفة تضرب من اليمين وتضرب من الشمال
لتنين are the same وبالتالي بنضرب هذا الرقم في كل
عنصر من عناصر المصوفة فمثلا لو كان عنصر المصوفة A
بقى بدي تلاتة A بروح بدرب تلاتة في كل عنصر من عنصر
المصوفةاللي في الداخل فبصير 690-3-690315
وبالتالي هذا معنى ضرب اللي هو عنصر أو ضرب رقم في
مصفوفة نجد الخاصية الثانية من هذه الخواص اللي
بتقول لي ما يأتي if
ال A and ال B are
مثلًا M في N ثم
الـ A زي دي ال B الـ A matrix is a matrix of the
same size of the
same size M في N ماديش
صوت بالمرة
يبقى هذا بتكلم على جمع مصففين بيقول لو كان عند A
وB مصففين لهم نفس ال size اللي هو M في N مثلا يبقى
المجموع تبعهم بيديهوله نفس ال size اللي هو M في M
نعطي مثال تعوضيها for example F
الـ A تساوي مثلا اتنين تلاتة واحد Zero أربعة Zero
سالب واحد سالب اتنين سالب تلاتة and ال B تساويطبعا
واضح ان هذا النظام ما جديش له 2 في 4 يبقى مشان يتم
جمع مع مصوفة تانية بيه بدي يكون نظام كذلك اتنين
كده
أتنين في أربعة يبقى هذا بالضبط تمام يكون هنا اتنين
في أربعة and ال B يساوي Zero تلاتة ناقص واحد اتنين
و هنا واحد تلاتة اتنين خمسة بالشكل اللي عندنا هذا
then لو بداجي أخد ال A زائد ال Bيبقى بيقول الجمع
بنجمع العناصر المتناضرة مع بعضها كيف؟ كالتالي
فباجي بقول الاتنين مع زيرو اللي هي باتنين تلاتة و
تلاتة بستة واحد و ناقص واحد بزيرو اربعة و اتنين
كذلك بستة زيرو واحد بواحد سالب واحد و تلاتة باتنين
سالب اتنين و اتنين اف زيرو سالب تلاتة و خمسة اللي
هو بقداش باتنين لكن لو جيت قلت ال A ناقص ال Bمعنى
هذا الكلام ان هذه a زائد ناقص واحد في b يبقى كأنه
انا بده اضرب ال b في قداش سالب واحد يبقى هذا
الكلام بده يسوي ال a زي ما هي اتنين تلاتة واحد
اربعة Zero سالب واحد سالب اتنين سالب تلاتة سالب
تلاتة بالشكل اللي عندنا هذا زائدبدا اجي على P
واضربها كلها في سالب واحد يبقى Zero سالب تلاتة
واحد سالب اتنين سالب واحد سالب تلاتة سالب اتنين
سالب خمسة يبقى النتيجة بالشكل التالييبقى هي اتنين
وهي zero وهي كمان اتنين وهنا كمان اتنين الصفر
التاني اللي هو سالب واحد وهنا سالب اربعة وهنا كمان
سالب اربعةوهذا اللي هو جد ياش بيظل سالب تمانية
بالشكل اللي عندها ده يبقى هاي جامعة واطارح مصفتين
الجامعة العناص المتناضرة مع بعضها واطارح كذلك
العناص المتناضرة مع بعضها ويجب أن تكون المصفتين من
نفس النظاملكن لو أجمع نظام و نظام و نظام و نظام و
نظام و نظام و نظام و نظام و نظام و نظام و نظام و
نظام و
ن
مثلثات مثلثات مثلثات مثلثات مثلثة مثلثة مثلثة
مثلثة مثلثة مثلثة مثلثة مثلثة مثلثة مثلثة مثلثة
مثلثة مثلثة مثلثة مثلثة مثلثة مثلثة مثلثة
مثلثة
real numbers then
النقطة الأولى ال a زائد ال b يساوي ال b زائد ال a
النقطة الثانية ال aزائد ال B زائد ال C بدها تساوي
ال A زائد ال B زائد ال C مقطة
تالتة ال A في ال B في ال A بده يساوي A
النقطة الرابعة
زائد الـ B في المصحوف A بيساوي AA زائد BA نقطة
الخامسة الـ C في الـ A زائد الـ B ساوي C في A زائد
C في B
النظرية اللى بين أدينا هذه بتتكلم عن جمع المصوفات
مع بعضها البعض أو ضرب مقدار ثابت فيه مصوفة و جمعه
مع مين مع مصوفة أخرى فبقول لو عندي تلت مصوفات
ديروا بالكوا الرمز الكبير هذا الممصب للمصوفة الرمز
الصغير دائما و أبدا لل real numberفبعدين بقول لو
عندي تلات مصففات A وB وC التلاتة لهم نفس الحجم
اتنين في اتنين يبقى كله اتنين في اتنين تلاتة في
تلاتة خمسة في عشرة كله خمسة في عشرةبيقول كان الـ A
والـ B والـ C are real numbers يبقى أعداد حقيقية
ذنب الـ A زائد الـ B بديه ساوي B زائد الـ A شو
الخاصية هذه بنسميها في رقم الرياضيات؟ خاصية
الإبدال يبقى المقصود في ذلك أن عملية جمع المصحفات
عملية إبدالية A زائد الـ B بديه ساوي B زائد الـ A
النقطة الثانية a زائد ال b زائد ال c ها بدي أجمع a
و b في الأول ثم أجمع النتج إلى c أو العكس أجمع b و
c في الأول ثم أجمع لهمين المصوفين يبقى هذا بيجينا
نسميها خاصية التجميع أو خاصية الدمج إذن عملية جمع
المصوات عملية إدماجية بيجينا نسميها associative
lawCommutative لا قانون الإبدال Associative لا
قانون الدمج أو قانون التجميلالنقطة الثالثة الـ a و
ال b are real numbers بيقولّي لو جيت على المصوف a
ضربت في ال real number b و اللي نتج ضربت فيه ال
real number a تماما كما لو ضربت ال a و ال b as
real numbers في بعض هيطلع real number جديد و لو
طلبه في المصوف a بتطلع نفس النتج هذا أولو بدلت
مكان a b equals b a فهي عملية ضرب ال real numbers
عملية خمسة في ستة هي ستة في خمسة مظبوط هذه أعداد
حقيقية إذا هذه عملية الإفدال عليها صحيحةوبالتالي
ممكن ارجع تانية و اقول بي لحالها وبعدين اضرب ا في
ا والنتج اضربه في مين في بي مافيش مشكلة في حالة
ضرب اي رقم او رقمين ان شاء الله عشرين رقم في مصور
تضرب مين في الاول ماعناه مشكلةبنجي اللي هنا اسمها
distributive law خاصية التوزيع لو عندي two real
numbers و جمعتهم و بدي اضربهم في مين في مصوفة ايه
تماما كما لو ضربت الرقم الأول في ايه و الرقم
التاني في ايه و ثم جمعت النتيجةيبقى a زائد b في
المصوفة a هو a في a زائد b في اتنين نفس العملية
هذا كمان ال associatively constant او real number
على مجموع two matrices يبقى c في a زائد b يساوي c
في a زائد c في bهذه معلومات أولية عن عملية الجمع
والطرح على المصفوفة عملية الجمع هي عملية الطرح
بالضبط تماما وكأنه نفس العملية بس الطرح بيخليها
جمع وبقول كأن المصفوفة بس مضروبة في من؟ في سالب
واحد احنا كنا رفعين عنوان العنوان هذا بقين اقول
matrices andVectors يبقى الأن بدنا نيجي لل vectors
نعرف ما هو المقصود بال vectors طبعا يبقى بدنا نيجي
لعنوان جانب هيك بدنا نقول raw and columns vectors
تبقى المتجهات المتجهات
الصفوف ومتجهات الأعمدة definition تعريف الأول a
matrix with
with
one call and
in rows عمود
واحد و in من الصفوف of the form على الشكل x واحد و
x اتنين و نظل ماشيين لغاية x in بهذا الشكل is
called
and in dimensional
convector
ماحدش
أحسن من حد ندى a matrix with
مع شكل Y1
و Y2و لغاية yn is called بروح نسميه indimensional
raw vector
for example كمثال على ذلك ال matrix ال
matrix A تساوي A11 A12A1N A21 A22 A2N AM1 AM2 AMN
شكل ان هذا اللي سميها هذه المصفوفة star with size
m في n has
columns
columns vectors columns vectors u1 بده يساوي a11
a21
و لغاية am1 و ال U2 بده يساوي a12 a22 am2
ونظل ماشيين لغاية un اللي هي a1n a2nأن
عند هذه الوصفات الواحدة الواحدة
الواحدة الواحدة الواحدة الواحدة
A12 A1N V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2
V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2
V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2
V2 V
بالشكل اللي عندنا هذا الروح
نكتب على الشكل التاليA تساوي U1 U2 و لغاية UN
where each
of U1 و U2 و لغاية UN is M dimensionalم
دايمينشينال
م دايمينشينال كلم vectors وكذلك
ال A تساوي V1 V2 لغاية VmWhere each of V1 و V2 و
لغاية VM is an N-dimensional
ان دايمنشينال را فكتر
الان نعود لبعض التعريفات التي تشاهدونها التعريف
الأول هو matrix with one column and n rows عمود
واحد ومجموعة من الصفورة هذا ليس مصطفوش فقط عمود
واحد وصفر اتنين وتلاتة من الصفورة ان من الصفورة في
الشكل لأن هذا بنسميها n-dimensional column vector
يبقىمتجه عمودي له N من الإحداثيات M dimensional
يعني كان فيه N من العناصر تمام اللي بعد Matrix
with one row صف واحد لكن M من الأعمدةيبقى صف واحد
و N من الأعمدة of the form Y1 Y2 يبقى صف واحد
وعمودي 2 3 4 N يبقى بسميه N dimensional row vector
N dimensional call vector مصفوفة عمود مصفوفة صفر
يبقى هذا متجه عمودي وهذا متجه صفري فمثلا لو أخدت
مصفوفة المعاملات هيكون فيهاالـ vector الأول ال
vector التاني ال vector التالت اللي سميته U1 و U2
و U3 حيكون فيها ال raw vector الصف الأول الصف
التاني الصف رقم M زي ما ديته الرمز V يبقى U
أطلقتها على الصفوف و V أطلقتها على الأعمدة و H
أطلقتها على مين على الصفوف يبقى ممكن أرجع أكتب
المصفوف أستر على الصيغة التاليةيبقى U1 و U2 و لغة
UL طبعا هذا عمود و هذا عمود و هذا عمود و هذا عمود
او بقدر اكتبها على الشكل التالي و كل واحد عبارة عن
مين عبارة عن صف سواء كان هذا و لا هذا الاتنين are
the same هنحاول نعطي أمثلة المرة الجاية على ال two
definitions هذول ان شاء الله تعالى اعطيكوا العفو