بسم الله الرحمن الرحيم المرة اللي فاتت ابتدأنا ب
section الـ homogeneous systems وأخذنا على ذلك
مثالين وهذا هو المثال رقم ثلاثة يعني
اللي قلنا المرة اللي فاتت الـ homogeneous system يا
إما له trivial solution يا إما له الـ Non
-homogeneous solutions وهذه الـ Non-homogeneous
solutions تحتوي عالمياً على الـ homogeneous
solution أما حكاية إنه ما فيش solution فهذا مستبعد
تماماً أخذنا مثالين وهذا هو المثال رقم ثلاثة
السؤال بيقول لي for what values of A ما هي القيم
اللي بياخدها الثابت A بحيث أن الـ system اللي عندنا هذا
له non trivial solution يعني له حل غير الحل الصفري
طيب نجيب نقوله الـ tactic نفس القصة تابعة المرة اللي
فاتت بالنسبة للمثالين السابقين يبقى بدنا نبدأ
بالمصفوفة الموسعة و نشغل عمليات الصفوف البسيطة
يبقى لو جئت للمصفوفة الموسعة هتكون على الشكل
التالي واحد ناقص اثنين زيرو صف الثاني اثنين ناقص
واحد ناقص واحد زيرو صف الثالث ناقص ناقص واحد وهنا
واحد وهنا زيرو بالشكل اللي عندنا هذا المصفوفة اللي
عندنا هذا يبدأ حاول اللي طبعاً واضح أن العمود الصف
العنصر الأول هنا الـ leading هو واحد يبقى جاهز لكن
العمودين ميمإيه لو بدنا نضرب و نضيف بتتعقد شوية
فإلا خاطر أبدل الصف الأول مع الصف الثالث مع ضرب
الصف الثالث في إشارة سالب مرة واحدة وبالتالي بخلي
الـ a تحت وبالتالي بصير أسهلنا شوية يبقى بدي أعمل
ما يأتي يبقى هذا السهم يبقى بالطريقة أقوله replace
استبدل سالب R3 and R1 يبقى بدي أجي على الصف الأول
والصف الثالث هذه معناها بدي أعمل عمليتين مع بعض في
أنا واحد بدي أضرب الصف الثالث في إشارة سالب في
إشارة سالب واحد ومن ثم أبدل مع مين مع الصف الأول
يبقى هذه بيصير المصفوفة على الشكل التالي واحد
صف الثاني كما هو ما عملنا له حاجة الصف الأول
بيصير الصف الثالث الواحد ناقص اثنين زيرو بالشكل
اللي عندنا الآن بدي أخلي هذا zero بدل اثنين و هذا
zero يبقى بدي أعمل عمليتين في أنا واحد على الشكل
التالي بدي أضرب الصف الأول في سالب اثنين و أضيفه
للصف الثاني يبقى بالطريقة يقول سالب اثنين R1 to R2
وفي نفس الوقت سالب R1 to R3 مرة واحدة يبقى بنحصل
على الصف التالي الصف الأول يبقى كما هو يبقى هنا هي
واحد وهنا واحد سالب واحد زيرو وهي قفلنا المصفوفة
هنا بدي يصير عندي زيرو سالب اثنين وسالب واحد بيصير
سالب ثلاثة يبقى سالب ثلاثة موجبة بواحد لأن مقفل
ضربنا في سالب اثنين بيصير هنا موجبة باثنين وناقص
واحد بيصير عندنا واحد وهنا زيرو هنا ضربنا في سالب
واحد يبقى بيصير zero وهنا a ناقص الواحد وهنا بيصير
موجبة بواحد وسالب اثنين بسالب واحد وهنا zero كما هي
مرة ثانية يا بنادر يبقى ضربت الصف الأول في سالب
اثنين وأضفته للاثنين بيصير zero سالب اثنين و سالب
واحد بيصير سالب ثلاثة موجبة باثنين و سالب واحد
بيصير واحد سالب واحد و واحد zero سالب واحد و a
بيصير a سالب واحد موجبة بواحد و سالب اثنين بيصير
سالب واحد والباقي ب zero نأتي للخطوة التالية الخطوة
التالية ستجعل هذا قداش واحد صحيح يبقى بدي أضرب في
سالب ثلث R2 يبقى باجي بقول هذا سهم وهذا سالب ثلث
R2 نحصل على المصفوفة التالية واحد واحد ناقص واحد
Zero Zero واحد سالب ثلث و هنا Zero A ناقص واحد و
هنا ناقص واحد و هنا Zero Zero كويس يبقى الآن
بالطريقة للصف اللي عندنا هذا الصف الثاني بدي أخلي
اللي فوق zero و اللي تحت بدي أحاول أخليها zero بس
قبلها لو أضفت الصف الثاني إلى الصف التالي يبقى
كخطوة ثانية يبقى بدي أعمل ما يأتي بداجي أخد اللي
هو R2 to R3 نحصل على ما يأتي يبقى بدي أصير عنهناش
و كذلك R2 to R3 و سالب R2 to R1 مرة واحدة يبقى هنا
1 و هنا 0 سالب يصبح موجبة بثلت يبقى هنا سالب ثلثين
يبقى هنا سالب ثلثين و هنا 0 الصف هذا يبقى كما هو
Zero واحد سالب ثلث هنا Zero و هنا أضفنا هنا يبقى
بيصير عندنا هنا A فقط لا غير و هنا هذا لما أضفناه
بيصير سالب أربعة على ثلاثة يبقى سالب أربعة على
ثلاثة قفلنا هاي Zero و Zero بالشكل اللي عندنا الآن
هذا العمود العنصر هذا الـ 0 اللي فوق لكن لتحت ايش؟
A بدي أتخلص من الـ A يبقى بدي أضرب الصف الثاني في
سالب A وأضيفه لمين؟ للصف الثالث يبقى هذا سهم يبقى
سالب AR2 to R3 هنشوف شو اللي بدي يحصل يبقى في هذه
الحالة بيصير المصفوفة على الشكل التالي الصف الأول
زي ما هو one zero سالب ثلثين zero الصف الثاني كما
هو zero واحد وهنا سالب ثلث وهنا Zero و هنا Zero
نضرب سالب A هنا بيصير موجبة ب A على ثلاثة يبقى A على
ثلاثة ناقص أربعة على ثلاثة و هنا Zero Zero
أظن أكثر من هيك ما أقدرش أبصر نرجع للسؤال السؤال
بيقول سؤال بيقول هات لقيمة A بحيث هذا الـ system
له have a non trivial solution يعني حل غير الحل
الصفري إذا أنا لو بدي أكتب الـ system المكافئ للـ
system الأصلي بدي أقول X واحد ناقص ثلثين X ثلاثة
بده يساوي zero
يبقى هذا الكلام يعطينا A على ثلاثة ناقص أربعة على
ثلاثة X ثلاثة بده يساوي قداش بده يساوي زيرو يبقى
أنا أخذت هذا الجزء وأسبيت الأول للأول مش لازم لي أنا
بدور على قيمة A قال الـ system هذا له non trivial
solution حل غير الحل الصفري مدام في حل غير الحل
الصفري هل يمكن لـ X ثلاثة أن تبقى zero ليس ممكنية
يبقى since بما أن الـ system have
X3 لا يمكن أن تساوي 0 ما دام X ثلاثة لا يمكن أن
تساوي Zero حاصل ضرب الاثنين يساوي Zero إذا الـ term
الثاني هو اللي بـ Zero يبقى هذا بده يعطينا أن A على
ثلاثة ناقص أربعة ثلاثة هي التي تساوي Zero أظن لو
ضربت في ثلاثة بيصير الـ a ناقص أربعة يساوي zero
يبقى الـ a تساوي قداش أربعة يبقى لو كانت a بأربعة
بيصير عند a بيصير عند الـ system اللي عندنا هذا له
حل غير الحل الصفري واضح هذا الكلام؟ أحد فيكم اللي
هيتساءل؟ طيب الآن انتهى الـ section وليكن أرقام
المسائل تتمرن عليها يبقى باقي له exercises اثنين
اثنين المسائل التالية ثلاثة وخمسة وسبعة وتسعة
واحد عشر واثنا عشر وثلاثة عشر ايه؟ ثلاثة عشر بيها يحلنا وهذا
ثلاثة عشر ايه مارنوا يديكوا فيه هي تساؤل؟ خطوة
هذه قصدك؟ ضرب R اثنين في سالب A مظبوط يبقى بيصير
سالب A و A بـ Zero سالب A و سالب ثلث بـ A على ثلاثة
هيها A على ثلاثة ناقص أربعة ثلاثة طلع A على ثلاثة
ناقص أربعة ثلاثة الكلام سليم مائة بالمائة لا يوجد
أي خطأ
ننتقل الآن إلى section 2-4 بعد ما انتهينا بـ 2-3 يبقى
بنروح لـ section 2-4 2
-4 اللي هو matrices and
vectors
التحديث هو إذا
كان لدينا نظام معادلة معادلة من الهواتف
A11X1
A12X2 A1NXN B1 A21X1
A22X2 A2NXN
B2 A
M1X1 A M2X2 زائد A M N X N بده يساوي B M هذا الـ
system then then
the matrix المصفوفة
عناصرها a11, a12, a1n, a21, a22, a2n نفس
الماشيين لغاية a m1, a m2, a mn it is called
The coefficient matrix of
size M in
الوضع AIG هو المدخل المدخل
في عصر العين في
عصر
العين و
definition
يبقى بالطريقة على الخاصية دي قبل أن أنتقل لخاصية
ثانية يبقى بالبلدي هيك هذا معناه ايش لو ضربت عدد في
مصفوفة يبقى بدي أضرب في جميع عناصر المصفوفة بلا
استثناء يبقى هاي المقصود طب أضرب من اليمين العنصر
ولا من الشمال يبقى من أينما بدك تضرب أضرب ما ده
مهم ضرب المصفوفة تضرب من اليمين وتضرب من الشمال
لاثنين are the same وبالتالي بنضرب هذا الرقم في كل
عنصر من عناصر المصفوفة فمثلاً لو كان عنصر المصفوفة A
بقى بدي ثلاثة A بروح بضرب ثلاثة في كل عنصر من عنصر
المصفوفة اللي في الداخل فبيصير 690-3-690315
وبالتالي هذا معنى ضرب اللي هو عنصر أو ضرب رقم في
مصفوفة نجد الخاصية الثانية من هذه الخواص اللي
بتقول لي ما يأتي if
الـ A and الـ B are
مثلًا M في N ثم
الـ A زي دي الـ B الـ A matrix is a matrix of the
same size of the
same size M في N ما فيش
صوت بالمرة
يبقى هذا بتكلم على جمع مصفوفتين بيقول لو كان عند A
و B مصفوفتين لهم نفس الـ size اللي هو M في N مثلاً يبقى
المجموع تبعهم بيديهوله نفس الـ size اللي هو M في M
نعطي مثال توضيحي for example F
الـ A تساوي مثلاً اثنين ثلاثة واحد Zero أربعة Zero
سالب واحد سالب اثنين سالب ثلاثة and الـ B تساوي طبعاً
واضح أن هذا النظام ما جديش له 2 في 4 يبقى مشان يتم
جمع مع مصفوفة ثانية بيه بدي يكون النظام كذلك اثنين
كده
اثنين في أربعة يبقى هذا بالضبط تمام يكون هنا اثنين
في أربعة and الـ B يساوي Zero ثلاثة ناقص واحد اثنين
و هنا واحد ثلاثة اثنين خمسة بالشكل اللي عندنا هذا
then لو بداجي أخد الـ A زائد الـ B يبقى بيقول الجمع
بنجمع العناصر المتناظرة مع بعضها كيف؟ كالتالي
فباجي بقول الاثنين مع زيرو اللي هي باثنين ثلاثة و
ثلاثة بستة واحد و ناقص واحد بزيرو أربعة و اثنين
كذلك بستة زيرو واحد بواحد سالب واحد و ثلاثة باثنين
سالب اثنين و اثنين صفر زيرو سالب ثلاثة و خمسة اللي
هو بقداش باثنين لكن لو جئت قلت الـ A ناقص الـ B معنى
هذا الكلام أن هذه A زائد ناقص واحد في B يبقى كأنه
أنا بدي أضرب الـ B في قداش سالب واحد يبقى هذا
الكلام بده يساوي الـ A زي ما هي اثنين ثلاثة واحد
أربعة Zero سالب واحد سالب اثنين سالب ثلاثة سالب
ثلاثة بالشكل اللي عندنا هذا زائد بدا أجي على B
وأضربها كلها في سالب واحد يبقى Zero سالب ثلاثة 176
النقطة الثانية الـ A زائد الـ B زائد الـ C بدها تساوي
الـ A زائد الـ B زائد الـ C مصفوفة
ثالثة الـ A في الـ B في الـ A بده يساوي A
النقطة الرابعة
زائد الـ B في المصفوفة A بيساوي AA زائد BA نقطة
الخامسة الـ C في الـ A زائد الـ B يساوي C في A زائد
C في B
النظرية اللي بين إيدينا هذه بتتكلم عن جمع المصوفات
مع بعضها البعض أو ضرب مقدار ثابت في مصفوفة و جمعه
مع مين؟ مع مصفوفة أخرى فبقول لو عندي ثلاث مصوفات
ديروا بالكم الرمز الكبير هذا المخصص للمصفوفة الرمز
الصغير دائماً وأبداً للـ real number فبعدين بقول لو
عندي ثلاث مصفوفات A وB وC الثلاث لهم نفس الحجم
اثنين في اثنين يبقى كله اثنين في اثنين ثلاث في
ثلاثة خمسة في عشرة كله خمسة في عشرة بيقول كان الـ A
والـ B والـ C are real numbers يبقى أعداد حقيقية
ضمن الـ A زائد الـ B بدها تساوي B زائد الـ A شو
الخاصية هذه بنسميها في علم الرياضيات؟ خاصية
الإبدال يبقى المقصود في ذلك أن عملية جمع المصوفات
عملية إبدالية A زائد الـ B بدها تساوي B زائد الـ A
النقطة الثانية a زائد ال b زائد ال c ها بدي أجمع a
و b في الأول ثم أجمع الناتج إلى c أو العكس أجمع b و
c في الأول ثم أجمع هذين المصفوفتين يبقى هذا بيجينا
نسميها خاصية التجميع أو خاصية الدمج إذن عملية جمع
المصفوفات عملية إدماجية بيجينا نسميها associative
law Commutative لا قانون الإبدال Associative لا
قانون الدمج أو قانون التجميع النقطة الثالثة الـ a و
الـ b are real numbers بيقول لي لو جيت على المصفوفة a
ضربت في الـ real number b واللي نتج ضربت فيه ال
real number a تماماً كما لو ضربت ال a وال b as
real numbers في بعض هيطلع real number جديد ولو
طلبته في المصفوفة a بتطلع نفس الناتج هذا أولو بدلت
مكان a b equals b a فهي عملية ضرب الـ real numbers
عملية خمسة في ستة هي ستة في خمسة مظبوط هذه أعداد
حقيقية إذاً هذه عملية الإبدال عليها صحيحة وبالتالي
ممكن أرجع ثانية وأقول ب لحالها وبعدين أضرب a في
a والناتج أضربه في مين؟ في b مافيش مشكلة في حالة
ضرب أي رقم أو رقمين إن شاء الله عشرين رقم في مصفوفة
تضرب مين في الأول ما له مشكلة بنيجي اللي هنا اسمها
distributive law خاصية التوزيع لو عندي two real
numbers وجمعتهم وبدي أضربهم في مين؟ في مصفوفة a
تماماً كما لو ضربت الرقم الأول في a والرقم
الثاني في a ثم جمعت النتيجة يبقى a زائد b في
المصفوفة a هو a في a زائد b في a نفس العملية
هذا كمان الـ associatively constant أو real number
على مجموع two matrices يبقى c في a زائد b يساوي c
في a زائد c في b هذه معلومات أولية عن عملية الجمع
والطرح على المصفوفة عملية الجمع هي عملية الطرح
بالضبط تماماً وكأنه نفس العملية بس الطرح بيخليها
جمع وبقول كأن المصفوفة بس مضروبة في من؟ في سالب
واحد إحنا كنا رافعين عنوان العنوان هذا بقينا نقول
matrices and Vectors يبقى الآن بدنا نيجي للـ vectors
نعرف ما هو المقصود بالـ vectors طبعاً يبقى بدنا نيجي
لعنوان جانب هيك بدنا نقول row and columns vectors
تبقى المتجهات المتجهات
الصفوف ومتجهات الأعمدة definition تعريف الأول a
matrix with
one
column and
n rows عمود
واحد و n من الصفوف of the form على الشكل x واحد و
x اثنين ونظل ماشيين لغاية x n بهذا الشكل is
called
an n-dimensional
column vector
ما حدش
أحسن من حد ندى a matrix with
مع شكل Y1
و Y2 ولغاية yn is called بروح نسميه n-dimensional
row vector
for example كمثال على ذلك الـ matrix ال
matrix A تساوي A11 A12 A1N A21 A22 A2N AM1 AM2 AMN
شكل إن هذا اللي سميها هذه المصفوفة start with size
m في n has
n columns
columns vectors columns vectors u1 بده يساوي a11
a21
ولغاية am1 والـ U2 بده يساوي a12 a22 am2
ونظل ماشيين لغاية un اللي هي a1n a2n أن
عند هذه الوصفات الواحدة الواحدة
الواحدة الواحدة الواحدة الواحدة
A12 A1N V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2
V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2
V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2
V2 V
بالشكل اللي عندنا هذا روح
نكتب على الشكل التالي A تساوي U1 U2 ولغاية UN
where each
of U1 و U2 ولغاية UN is m-dimensional
m-dimensional
m-dimensional column vectors وكذلك
الـ A تساوي V1 V2 ولغاية Vm Where each of V1 و V2 و
لغاية VM is an n-dimensional
n-dimensional row vector
الآن نعود لبعض التعريفات التي تشاهدونها التعريف
الأول هو matrix with one column and n rows عمود
واحد ومجموعة من الصفوف هذا ليس مصفوفة فقط عمود
واحد وصفر اثنين وثلاثة من الصفوف n من الصفوف في
الشكل لأن هذا بنسميها n-dimensional column vector
يبقى متجه عمودي له n من الإحداثيات m-dimensional
يعني كان فيه n من العناصر تمام اللي بعد Matrix
with one row صف واحد لكن m من الأعمدة يبقى صف واحد
و m من الأعمدة of the form Y1 Y2 يبقى صف واحد
وعمودی 2 3 4 m يبقى بسميه m-dimensional row vector
n-dimensional column vector مصفوفة عمود مصفوفة صفر
يبقى هذا متجه عمودي وهذا متجه صفري فمثلاً لو أخدت
مصفوفة المعاملات هيكون فيها الـ vector الأول ال
vector الثاني الـ vector الثالث اللي سميته U1 و U2
و U3 حيكون فيها الـ raw vector الصف الأول الصف
الثاني الصف رقم m زي ما ديته الرمز V يبقى U
أطلقتها على الصفوف و V أطلقتها على الأعمدة و H
أطلقتها على مين؟ على الصفوف يبقى ممكن أرجع أكتب
المصفوفة A ثانية على الصيغة التالية يبقى U1 و U2 ولغاية
Ul طبعاً هذا عمود وهذا عمود وهذا عمود وهذا عمود
أو بقدر أكتبها على الشكل التالي وكل واحد عبارة عن
مين؟ عبارة عن صف سواء كان هذا ولا هذا الاثنين are
the same هنحاول نعطي أمثلة المرة الجاية على الـ two
definitions هذول إن شاء الله تعالى أعطيكم العفو