بسم الله الرحمن الرحيم عودا على بدأ بجينا نتحدث
المرة اللى فاتت عن ال diagonalization ل matrix
واخدنا مجموعة من الأمثلة بدل المثال تلاتة بجينا
نجيب ال eigen values و ال eigen vectors و نثبت هل
المصفوفة اللى عندى diagonalizable ولا لأ طبعا
عرفنا انه معناه ايه similar to B معناته انه في
diagonalization لمن للمصفوفة Aالمثال الرابع بيقول
افترض المصفوفة a هي على الشكل اللي قدامنا هذا
بطالب تلت مطاليب المطلوب الأول قال لي هاتل ال
eigenvectors شغلة روتينية يا ما أوجدناها في
السيكشن هذا أو السيكشن اللي جابله أربعة واحد
المطلوب التاني بيقول find a the dimension of the
eigenvector space وبرضه أوجدناها قبل ذلكالأمر
الثالث بيقول لي هل ال matrix is similar to a
diagonal matrix ولا لأ؟ يعني ايش قصد يقول ليه؟ قال
لي هل المحصوفة is diagonalizable ولا لأ؟ هي السؤال
السؤال اللي قال لي شوف لي هل ال a is similar to a
diagonal matrix يعني كانوا بيسأل ليه هل المحصوفة
is diagonalizable ولا لأ؟بقول يفسه إن كان الأمر
كذلك find a matrix K من ال matrix K and diagonal
ال matrix D بحيث أن ال K inverse A K بده يساوي من؟
بده يساوي دي مش هتعريف ال similar يبقى similar
والله ديagonalizeهم الإتنين are the same نفس
المفهوم بالضبط تماماطيب نجي نحل هذا السؤال يبقى
أول نقطة بدي أروح أجيب main ال eigen ال eigen
values لمين للمصوفة اللي عندنا ايه يبقى بدي أبدأ
بمين بالمعادلة الأساسية اللي هي lambda I ناقص A
تساوي I lambda 00 lambda 00 lambda بالشكل اللي
عندنا هذا تمام؟في ناقص المصفوفة ايه بنزل المصفوفة
كما هي واحد اتنين تلاتة سالب واحد اربعة تلاتة واحد
سالب اتنين سالب واحد بالشكل اللي عندنا هذا الكلام
بده يساوي لندن ناقص واحدلاندا ناقص واحد ناقص اتنين
ناقص تلاتة هنا واحد هنا لاندا ناقص اربع وهنا ناقص
تلاتة وهنا ناقص واحد وهنا اتنين وهنا لاندا زائد
واحد بالشكل اللي عندنا هذابعد ذلك لكي احصل على الـ
eigenvalues انا باخد المحدد لهذه المصفوفة اذا انا
باخد ال determinant لمين للاندا I ناقص ال A وهو
المحدد لاندا minus one سالب اتنين سالب ثلاث وهنا
one وهنا لاندا minus four وهنا minus three minus
oneto lambda plus one هذا المحدد بدي احسب قيمة هذا
المحدد يبقى بدي افك المحدد اللي عندنا باستخدام
مثلا عناصر الصف الأول يبقى باجي بقول هذا الكلام
بدي يسوى lambda minus oneيبقى لاندا minus one في
المحدد الأصغر المناظر له اللاندا minus four مضروبة
في لاندا plus one minus مع minus بصير زائد ستة
العنصر اللي بعده حسب قطع الإشارات شرطه موجبة يبقى
زائد اتنين في نشطه بصفه و عموده يبقى لاندا plus
one minus three يبقى لاندا plus one minus three
اللي بعده minus three فيه نشطه بصفه و عموده يبقى
اتنين minus مع minus بصير زائد لاندا minus four
بالشكل اللي عندنا هذا يبقى هذا لو جيته اختصرته بده
يصير كتالي لاندا minus one هذا بده يفكه يا بناتي
يبقى لاندا تربيع ناقص تلاتة لاندا وهنا زائد اتنين
اللي بعده زائد اتنين في لاندا ماينوس اتنين اللي
بعده ناقص ثلاثة في لاندا ماينوس اتنين كل هذا
الكلام بدى يساوي جداش بدى يساوي Zero او ممكن اقول
هذا الكلام لاندا ماينوس ال oneهذه المناطق بقدر
أحللها، اللي هو مين؟ لاندا جوز و جوز تاني لاندا
وهي الجوز، هنا بقدر أقول واحد و هنا بقدر أقول
اتنينيبقى هذه بالناقص وهذه بالنقص هذا ال term
الأول طلعيلي لل term هذا هذا ال term اتنين بالموجب
و تلاتة بالسلب لنفس المقدار يبقى وفضل term واحد
بمين بالموجب يبقى هذا الكلام زائد lambda minus
اتنين فقط لا غير ناقص lambda ناقص اتنين وين هنا؟
هذه نقص
واحد يعني واحد اه حاطين سالب اه هذه بالسالب الصحية
100% أصابة امرأة وأختها عمر هذا الكلام يبدو يساوي
اللي هو لاندا minus two عامل مشترك من الكل بيظل
مين هنا هنا بيظل لاندا ناقص واحد الكل تاربيعنقص
واحد بالشكل لأن هذا بدي ساوي 100 بدي ساوي 0 او
بقدر اقول لاندا ماينوس تو فيه بدي افك الجثة دايما
بصير لاندا تربيع نقص اتنين لاندا وزايد واحد ونقص
واحد مع السلامةإذا ممكن أخد لاندا عامل مشترك من
هذا الجوس الثاني يبقى لاندا minus two في لاندا في
لاندا minus two بده يساوي zero يبقى لاندا في لاندا
minus two لكل تربية بده يساوي جداش بده يساوي zero
إذا طلع عندي قيمتين فقط للاندا وليس ثلاث قيم وطلع
القيمتين والقيمتين متساويات أو اللاندا طلعت مكررة
يبقى بناء ان علي بروح بقوله هنا the eigenvalues
areاللي هو lambda تساوي zero و lambda تساوي اتنين
فقط لا غير و هذه ال lambda مكررة كدهش مرتين يبقى و
بقول of multiplicity two يعني مكررة مرتين او بقدر
اقول lambda اتنين تساوي اتنين و lambda تلاتة تساوي
اتنين يبقى هذه lambda تساوي اتنين is of multi
Lambda تساوي اتنين مكررة مرتين إذا انتهينا من
المطلوب الأول اللي قال لي عنه من عند ما بدأنا هنا
و كل و احنا بنحاول نحصل على المطلوب الأول اللي هو
ال eigen values قال لي بعد هيك اتهتلي ال dimension
لمن؟ ل ال eigen vector spaces يبقى بدأ أخد lambda
تساوي زيرو بعد هيك lambda تساوي اتنين و أشوف إيش
اللي بيحصل معانايبقى باجي بقوله هنا if لاندا تساوي
zero then بدي أخد لاندا الأولى بدي أرجع لمين
للمعادلة الأصلية اللي عندنا هذه تمام و بدي أخد
المعادلة كثيرة then لاندا I نقص ال A في ال X يساوي
Zero implies هي المصممة بدي أشيل لاندا و أحط
مكانها Zeroبظلنا ناقص واحد ناقص اتنين ناقص ثلاثة
واحد ناقص اربعة وهنا ناقص ثلاثة وهنا ناقص واحد
اتنين وهنا واحد بالشكل اللي عندنا هذا X واحد X
اتنين X تلاتة هذا الكلام بده يساوي Zero و Zero و
Zeroإذا ترجمتي المعادلة اللي عندنا هذه عامليا
بالقيم اللي موجودة عندنا نحاول نجيب قيم كلها من X1
و X2 و X3 لإن هذه ال X بتجيب لمين ال Eigen vectors
إذا بدي أجهزي و أقول بدي أعطي المعادلة دُغري يبقاش
بصير انا لابنت هنا ناقص X1 ناقص 2 X2 ناقص 3 X3 بده
يساوي 0 وهنا X1 ناقص 4 X2 ناقص 3 X3 بده يساوي كمان
100 بده يساوي 0 ناقص X1وهنا زائد اتنين X2 وهنا
زائد X3 يسوى Zero يبقى حصلنا على ال homogenous
system اللي عندنا بنحاول نحل ال homogenous system
بأي طريقة من الطرق التي سبقت دراستهافمثلًا لو جيت
أخدت المعادلة الأولى والتانية هذه يا بنات وجيت
جماعة طبعًا هتروح هذه مع هذه مظبوط؟ بضع أننا ناقص
6x2 وناقص 6x3 بدل سوى قداش؟ Zeroأو لو جسمت على
سالب ستة بصير X2 زائد X3 يساوي Zero أو بقدر أقول
ان X2 يساوي سالب X3 هذا لما أخد الأولى مع مين؟ مع
الثانية طب لو أخدت التانية مع مين؟ مع التالتةهذه
خد مع هذه أو أخد الأولى مع التالتة مثلا لو أخدت
الأولى مع التالتة يبقى الأولى ناقص x واحد ناقص
اتنين x اتنين ناقص تلاتة x تلاتة بدى يساوي zero
وهنا سالب x واحد اتنين x اتنين زائد x تلاتة بدى
يساوي zero طبعا هذه هتروح مع هذه بظل هنا mainاللي
هو من سالب اتنين X1 و هنا سالب اتنين X3 بده يسوي
Zero يبقى X1 زائد X3 بده يسوي Zero يبقى X1 يسوي
سالب X3 يبقى بناء عليه أصبح عندي X1 بده يسوي X2
بده يسوي X3 إذا لو أخدتإن ال X3 بدها تساوي .. لو
أخدت ال X3 مثلا تساوي A أو أخدت X1 تساوي X2 تساوي
A
ثم سالب اكس ثري تساوي ايه؟ هذا يعطيك ان اكس ثري
يساوي قداش سالب ايه؟ يبقى باجي بقوله the eigen
vectors corresponding to
the lambda تساوي zero are inThe form على الشكل
التالي X1
X2 X3 X1
X2 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3
X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3طب ايش بيقوللي قاللي هتلت
dimension لل eigen vector space يبقى هذا ال vector
اللي
هو من واحد واحد سالب واحد is a basis for the eigen
vector space
يبقى هذا بدّي يعطينا مين؟ انه its dimension اللي
بدّويا كده؟ واحدة
يبقى أنا جبت له ال A و ال B مرة واحدة تمام طيب قال
لي is the matrix A similar يبقى استنى شوية لبسها
سيه فيها كلام تاني بعد هيك بدى أروح أجيب لاندا
تساوي اتنين يبقى F لاندا تساوي اتنين then لاندا I
ناقص A في ال X بدها تساوي Zero impliesعن طريق
المصوفة اللي عندنا هذه بدي اشيل كلان ده و احط مكان
اقدر اش اتنين اتنين ناقص واحد بدل ان اقدر اش واحد
وعندنا هنا ناقص اتنين ناقص تلاتة الصف التاني واحد
و هنا ناقص اتنين و هنا ناقص تلاتةصفة تالت ناقص
واحد اتنين وهنا بدنا نحط اتنين بيصير تلاتة في X
واحد X اتنين X تلاتة بده يساوي Zero و Zero و Zero
هذه المعادلة تجيب لي ثلاث معادلات لكن في الحقيقة
هما ثلاث معادلات ولا تنتين ولا معادلة واحدة يبقى
هذه المعادلة واحدة فقط لا غيرالصف هذا لو ضربت في
سالب واحد بيطلع الصفين اللي فوق تمام يبقى هذه مش
معادلة واحدة وانما او الثلاث معادلات عبارة عن
معادلة واحدة فقط لا غير يبقى معناه هذا الكلام ان X
واحد ناقص اتنين X اتنين ناقص تلاتة X تلاتة بيساوي
قدر Zero او ان شئتم فقولوا ان X واحديساوي 2 X2
زائد 3 X3 يبقى هذه المعادلة مجهولة بثلاثة مجهول
إذا لا يمكن حل هذه المعادلة إلا إذا أعطينا قيمتين
لمجهولين يبقى ممكن أحط مثلا X2 بA و X3 بB وبالتالي
بجيب X1بتلات X2 و X3 يبقى if ال X2 بده يساوي ال A
and X3 بده يساوي ال B then ال X1 بده يساوي 2A زائد
3B أظن هذا كله مالش لزومة الحين
طيب بنواصل الحلل، الآن باجي بقول the eigenvectors
corresponding to
land تساوي اتنين are in the form في الشكل التالي
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10
X11 X12 X13 X12 X13 X12 X12 X12 X12 X12 X12 X12
X12 X12 X12 X12 X12 X12 X12 X12 X12 X12 X12 X12
X12 X12 X12 X12 X12 X12
بقدر هذه المصوفة يا بنات اقسمها الى مجموعة مصففين
يبقى بقدر اقول هذا الكلام يساوي اتنين A A Zero
زائد تلاتة B Zero B او ان شئتم فقولوا هي ال A برا
و هنا اتنين واحد Zero زائد B في تلاتة Zero واحد
أريد أن أرى قيمة الـBases للـVector Space المولد
بالـTwo Vectors بإذن الله أخرج في الاتنين هل هما
Linearly Dependent و لا Linearly Independent إذا
كانوا Linearly Dependent يكفي واحد منهم وإذا كانوا
اتنين Linearly Independent يبقى بصير الـBases في
عنصرين وبالتالي الـDimension يساوي اتنين أخرجني في
الاتنين هؤلاءعمر واحد فيهم بيصير مضاعفات الآخر
مافيش إمكانية على الإطلاق يبقى باجي بقول since the
two vectors اللي هم اتنين واحد زيرو وتلاتة
زيرو واحد are linearly independentbecause anyone
is not multiple of the other we have انه ده set
اللي هي mainاتنين واحد وزيرو والعنصر التاني تلاتة
زيرو واحد is a basis for the eigen vector space
corresponding
تو لاندا تو ساوة اتنين اذا انتهينا من نمر بي و لا
مانتهيناش بدنا ال dimension يبقى هنا هدول يبقى as
a basis for the corresponding to لاندا تو and its
dimension
is two يبقى ال dimension يساوي كده؟ يساوي اتنين
يبقى انتهينا من المطلوب A وB ضايل عندنا مين؟ ضايل
عندنا C C بيقول مانو؟ بيقول هل ال matrix A similar
to A diagonal matrix ام لا؟ بمعنى اخر هل ال A
دياجونالي Z بالو ولا لا؟ شفوي بمجرد النظرالحين
طلعنا مين؟ قداش الـ linearly independent element
طيب اه استنى شوية طلعيلي الاتنين هدول واطلعيلي
لمين؟ للتالت اللي هو عندنا هذا هل التلاتة هدول are
linearly dependent ولا linearly independent؟
بتعمليلهم ال check يبقى هنا بدك تقوليلي ما يأتي
بدك تعمليلي ال check التالي
check that vectors
اللي هم مين ال vector الأول يعنيالتي هو واحد واحد
سالب واحد والتاني اللي طالع عندنا اللي هو اتنين
واحد زيرو والتالت اللي هو من تلاتة زيرو واحد are
linearly independent كيف
بدي أسويهم linearly independentكيف بدي أعملهم بقى؟
وكيف بدي أثبت انهم linearly independent؟ نفرض C1
وC2 وC3 تكون أصلاً C في الأول زي C في التاني زي C
في التالي يساوي Zero وأثبت ان C1 يساوي C2 يساوي C3
يساوي Zero هذه إحدى الطرق الطويلة في أكثر منها ايش
اللي أكثر منها؟نعمل محدد وليست مصفورة نعمل محدد
ونثبت أن المحدد لا يساوي zero انطلع ذلك يبقى بيصير
عندي linearly independent يبقى تبعت المحدد أسهل من
الأولين الأولين بدها شغل شوية لإن بدي أعمل system
و ال system بتروح علّه بس ال determinant ده سهل
جدا يعني في خطوة واحدة بكون جيبينجبت الحلقة و
أثبتت إن هدول linearly independent طيب معناته
التلاتة هدول بيكملولي من the complete set of
linearly independent elements صحيح ولا لأ؟ يعني في
غيرهم؟ مافيش عندي غيرهم، قداش عددهم؟ قداش نظام
الوصوفة؟يبقى ياش المصحوفة diagonalizable اصلا عن
اللي مرضى او similar to a diagonal matrix الصيغة
هذه والصيغة هذه الاتنين are the same يبقى باجي
بقول هدول كولوني linearly independent element this
means that the setالي هي مين؟ واحد واحد سالب واحد
اتنين واحد زيرو تلاتة زيرو واحد is the complete
set of eigen vectors
يبقى sense بما ان number of
these vectors is three and the degree of the
ماتريكس a is a3 ال a is diagonalizable
ايش يعني diagonalizable يعني ال a is similar to a
diagonal هذا معناته ان ال a is similar
مش هذا معناه يا بنات؟طيب، بدنا نجي نشوف هالكلام
هذا اللي احنا بنقوله هذاماذا قاله؟ قال يفسه إن كان
الأمر كذا لك هاتل ال matrix K and إذا يجون ال
matrix دي فهي تبقى العلاقة هذه مالها صحيحة يبقى
احنا بدنا نجيبله K ونجيب ال K and بس الحين
الكيابانات هي من؟ هي المصفوفة العناصرها من؟ عناصر
ال eigenvectors يبقى واحد واحد سالب واحداتنين واحد
زيرو تلاتة زيرو واحد بدنا نجيب المعكوس تبعها مشان
نجيب المعكوس بدنا نروح نجيب مين المحدد يبقى هذا
بده يعطينا المحدد تبع المصوفة كذا بده يساوياللي هو
main المحدد تبع واحد اتنين تلاتة واحد واحد زيرو
سالب واحد زير واحد ويساوي
بتفكر ايش رأيكوا بالاستخدام عناصر الصف الثاني او
العمود التالت او العمود التاني سياد ناخد العمود
التالت يبقى هاي تلاتة فيه نشطة بصفه و عموده تمام
بصير واحد ناقص اتنين اللي بعده حسب قاعة الإشارات
بزيره في قد ما يكون يكون مش مشكلة زائد واحد في
قشطة بصفهلأ استنى شوية سطبنا صفه و عمضه صفه و عمضه
يجيه بجهة zero زياد واحد
زائد واحد اللي بعد واحد نشطب صف وعمود لواحد ناقص
اتنين واحد ناقص اتنين يبقى النتيجة تلاتة وهنا ناقص
واحد ويساوي كده؟ ويساوي اتنين تمامبدي أجيب له الـK
inverse يبقى الـK inverse ويو ساوي اللي هو واحد
على المحدد فاهمين؟ فيه بدي أستبدل هذه المصفوفة كل
عنصر فيها بال cofactor تبعه مظبوط؟ يبقى بدي أجيب
للواحدبدي أشيل صفه و عموده، بيظل واحد نخزنه كله
بواحد و حسب قاعة الإشارات شرطه بالموجة نجي لبعده،
لإتنين حسب قاعة الإشارات شرطه بمين؟ بالسالف نشطب
صفه و عموده، بيصير واحد فقط كذلكنجي للي بعده حسب
قاعدة شرعتي شرطه بالموجة نشطه بصفه و عموده بيصير
zero زيد واحد اللي هو بواحد بعد هيك نجي لصفه
الثاني بدي أشيل اللي صفه و عموده بيصير اتنين ناقص
تلاتة بقدرش باتنين بدي أجي لعنصر اللي بعدهطبعا هذا
حسب قاعدة الإشارة الشرط السالي بيبنى تمام اللي بقى
ده الشرط موجبه يبقى ده شيل صفه و عموده بصير واحد
ناقص ثلاثة يعني زائد تلاتة اللي بقى كدهش قلناعشان
نشيل هذا يبقى اشيلنا هذا يبقى واحد زائد تلاتة اللي
هو بقداش اربعة هذا حسب قاعد الإشارات شرط بين
بالسالم نشط بصفه و عموده يبقى zero زائدي اتنين
اللي هو بقداش بناقص اتنين نجي لبعده حسب قاعد
الإشارات شرط بالموجة اشط بصفه و عموده zero ناقص
تلاتة نجي للي بعدهاللي بعده حسب قاعدة الإشارات
شرطه سالب يبقى يسالب نشط بصفه و عموده يبقى zero
ناقص تلاتة بالصير زائد تلاتة اللي بعده حسب قاعدة
الإشارات شرطه موجبة نشط بصفه و عموده بصير واحد
ناقص اتنين اللي هو قداشر بناقص واحد بالشكل اللي
عندنا أنا بدي أجيب له D يبقى Dبدا تساوي K inverse
اي K تمام؟ يبقى هذا الكلام بده يساوي النص و هنا
واحد سالب واحد واحد سالب اتنين اربعة سالب اتنين
سالب تلاتة تلاتة سالب واحد في مين؟ في ايه؟ راس
المسألة واحد اتنين تلاتة و هنا سالب واحد اربعة
تلاتة و هنا واحد سالب اتنين سالب واحد في مين في ال
K ال K اللي هي واحد اتنين تلاتة واحد واحد زيرو
سالب واحد زيرو واحد بالشكل اللي عندنا هناكداش
تتوقع يكون النتيجة؟ Zero اتنين اتنين و الباقي يبقى
أسفل يبقى هذا يكون المصوفة القطرية التالية Zero و
هنا Zero Zero Zero اتنين Zero Zero اتنينليس لاندا
طلعت هندم Zero و لاندا طلعت هندم اتنين و اتنين
يبقى هاي عناصر قط رئيسي ال diagonal matrix اللي
يقولنا عليها ال diagonal دي يبقى براحتك تروح تضرب
هدول مصففات في بعض في بيتك و الناتج هي ماعطينك
إياه إذا طلع غلط يبقى غلط علينا مش عليك أو عليك
إذا بتضرب غلط لكن عندنا احنا ماعطينك الجواب بدك
تضربه و الناتج هيه عندك في واحدة أبناء ماسجلتش
اسمها هنا
طيب ننتقل إلى مثال يختلف عن هذا نوعا ما لكنه مرتبط
معه ارتباطا هذا المثال جبته نظري من خلال أسئلة
التمرين وهو سؤال 16 في التمرين تبع ال section 4-3
السؤال بيقول ما يأتي
يبقى example خمسة له سؤال ستة عشر من الكتاب بيقول
if ال A and ال B are similar matrices
matrices so thatبحيث ان ال B تساوي ال K inverse اك
show
that بيّلي
ان ال X is Ais an eigen vector
of a if and only if ال K inverse X is an eigen
vector
هو ايجن فيكتر بي
سؤال مرة ثانية السؤال بيقول لو كانت ال A و ال B
are similar matrices طبعا احنا أخدنا علاقة المرة
قبل الماضي لو كان A similar to B يبقى B similar to
A و أثبتناها مظبوط يبقى الأن جلدتين هدول are
similarيعني ايه؟ يعني ان الـP بدى يسوي K inverse
AK طيب أصبحت هذه معلومة عندنا بيقول شوية بيه لإن
ال X is an eigen value ل A إيه فندقول إذا K
inverse X is an eigen vector ل A إيه فندقول إذا K
inverse X is an eigen vector لمين لبين يبقى هذا
سؤال والله سؤالينسؤالين بدى امشك واحد واصله لمين
للثانى و بعدين امشك الثانى واصله لمين للأول السبب
كلمة if and only if ده يبقى الآن بداجي بالخطوة
الأولى let ال a be similar to b thenThere exists a
non-zero matrix K such that بحيث أن الـ B بده
يساوي الـ K inverse AK المعطىيبقى حتى لان انا بس
اتجمد الشي المقطع عندي خطوة تانية بدي افترض ان X
عبارة عن مين عن Eigen vector لمن للمصفوف A يبقى ا
assume that ان X is an Eigen vector
for the matrix for the matrix A then ايش فرضنا ان
ال X هي eigen vector لمين لهذه ايش يعني معناها ايش
يعني معناها ان ال X هي eigen vector ل A يعني لو
ضربت ال A في ال X ايش بدي يطلع ليه
تعريف الـ eigen vector و ال eigen value شبتر
section 4-1 أول تعريف أخدناه إيش يعني؟ يعني هلاجي
عدد الـ scalar لأن ده مضروف x بدي يسوي x الشركة
أخدنا التعريف؟يبقى هذا معناه x is an eigen value
then ال ax بده ساوي lambda x for some real lambda
اللي موجودة في ال 6 real number
يبقى هلاقي مادام هذا eigenvector هو بيجيش ال
eigenvector إلا إذا كان عندي eigenvalue صحيح ولا
لأ طيب مادام عندي eigenvalue مادام عندي
eigenvector إيه اللي هو اصلي اللي هو ال eigenvalue
اللي هو lambda X مش lambda I lambda X بالشكل اللي
عندنايبقى ال AX بديه يسوي مين؟ بديه يسوي لاندا X
for some real اللي هو لاندا أو for some بلاش كلمة
real لأنهم كرروا مرتين بالصريحة X for some لاندا
اللي موجودة في ال set of real numbersيبقى هذه
المعلومة أخدتها من الفرض طب بدي أشوف إيش اللي بدي
إياه إيش بيقوللي بيقوللي أثبتلي إن هذا هو
eigenvector لمام ل B يعني بدي أثبت إن حصل ضرب هذا
في B بدي أساوي scalar في ال X صحيح ولا لأ طيب
بداجي أقوله الآن consider
خُد لي بدي أثبت إن هذا is an eigenvector يبقى بدي
أخد لمين لي بيه يبقى بدي أخد بيه في مين في ال K
inverse X
هه مش هذه هنا ax بدي اثبت ان ال b في ال k inverse
x بده يساوي الرقم مضروب في x انطلع هذا الرقم بصير
هذا هو eigen vector صحيح ولا لأ طيب ماشي الحال
يبقى باجي اقول هذا الكلام بده يساوي طلعيلي هنا هذه
أنا عند مين؟ عند بي بده تساوي K inverse AK إذا
بقدر أشيل ال B و أكتب بدلها K inverse AK يبقى بقدر
أقول هذا الكلام بده يساوي K inverse AK الشكل اللي
عندنا هنا كله مضروب في مين؟ في ال K inverse X
الشكل اللي عندنا هناخاصية ال associative صحيحة على
من؟ على المصفوفات و دول كلهم مصفوفات ال X و ال A و
ال K و ال K inverse كلهم مصفوفات اذا بقدر اقول هذا
الكلام K inverse A و هنا K في ال K inverse في مين؟
في ال Xكيف الكي انفرس بمين؟ بال identity ال
identity matrix نفس ال matrix يبقى هذا بده يعطينا
ان ك انفرس اكس كيف؟
هالحين بده اجيل ال AX ال AX هي هم اعطاها بقدر
اشيلها و احط مكانها مالها لاندا X يبقى هذا الكلام
بده يساوي AX
بده يساوي K inverse زي ما هي وهذه بده اشيلها و
اكتب بدالها لاندا X لاندا scalar والله matrixيبقى
بقدر أطلعه برا، مالهوش دعوة، صحيح ولا لأ؟ إذا هذا
الكلام بده يساوي lambda برا في K inverse Xطلعلي
بيش بدأت بدأت بمصفوفة في مصفوفة تانية لجيتها
scalar في نفس المصفوفة اللي عندنا هذا ايش معناه مش
هي هذه المعادلة اللي عندنا زي هذه بالضبط تماما
يبقى هذا معناته ايه ايش انه k inverse x is an
eigen vector ايش هو قال اللي هناهذا هو eigenvector
لمن؟ ل B يبقى هذا معناه ان ال K inverse X is an
eigenvector
for the matrix Bخلصنا لاتجاه الأول لاتجاه
الثاني المعاكس conversely
ايش يعني conversely assume that
افرض ان ال K inverse X is an eigen value
for the matrix B
بدا اترجم هذا عمليا then there exist a number سميه
لندن وان علشان نميزه على الاول لندن وان مثلاالرقم
اللي بدكيه يسمى alpha أي رقم اللي بدكيه يسمى
النامبر الواحد في الست الواحد في الست الواحد في
الست الواحد في الست الواحد في الست الواحد في الست
الواحد في الست الواحد في الست الواحد في الست
الواحد في الست الواحد في الستفي ال K inverse X بده
يساوي Lambda 1 بال X هاي طبقت التعريفاللي أنا إيش
بقوله هو بقولي أثبت إنه X هو Eigen vector لمن؟
للمصوفة A يعني بده أروح أثبت إنه AX بده يساوي
scalar في من؟ في X إذا مداجي أقوله consider خدلي
ال A في ال X طيب
بدأ أجي لمن؟ لي معلومة عندي، هي المعلومة عندي هي
هذه أو هذه بقدر أجيب ال a بدلالة ال b و ال k و ال
k inverse بقوله خليلي هذه since بما أن ال b بده
تساوي ال k inverse a k we haveبتخلّي A لحالها يا
بنات يبقى بدي أضرم من جهة الشمال في مين؟ في K وهنا
بيه ومن جهة اليمين في مين؟ في ال K inverse بدي
أساوي مين؟ بدي أساوي المصفوفة A كويس then بدي أخد
ال X يساوي ال A بدي أشيلها و أكتب بدالها Kبك انفرس
وهنا هي ال Xهي اخدته شيلت ال a و حطيت قيمتها تمام
طيب انا عندي بي كي انفرس اكس هذه موجودة بقدر
اشيلها و اكتبها لقداش لاندا وان اكس يبقى هذا
الكلام بده يساوي كي لحالها و هنا بي كي انفرس اكس و
يساوي كي فيالـ BK inverse X بدي اشيل و اكتب بدالها
Landau 1 X
طيب لن دا ون هذا بقدر اطلع وين؟ اطلع برا إذا هذا
الكلام لأ بي اه لن دا ون اكس بي ك انفرستكس كتب لها
لن دا ون اكس طيب هذا الكلام بده يساوي طيب انا فارض
استنى شوية هى ax شيلت ال a حاطبها ك بك inverse x
مظبوط وجيت على هذه كتبت ك برا و بك inverse x مظبوط
بك inverse x هي lambda one x يبقى هذا الكلام بده
يساويلن دا ون برا في مين؟ في كي اكس تمام؟ ايوة علي
صوتك شوية هادي
بيبقى ساوي
لأ اه بده تساوي الرقم في K اه بده تساوي الرقم في K
inverse X صحيح هذه الخطأ هنا صحيح هذه يا بنات
اليولاندة في K inverse X مظبوط شو اسمك انت؟سمح
أصابة امرأة وأختها عمر على طول الخط يبقى هذه لاندا
in verse 6 إذا بدي أشيل هذه يا بنات كالتالي و أكتب
بدالها ما ياتي يبقى هاي عملت ال associativity تبع
المصففات هذا الكلام بدي أساوي كافيبك انفرست اكس
بدي اشيله و اكتب بداله لانداون ك انفرست اكسلأن
لاندا وان كونستانت بقدر أقوله شرفنا برا يبقى هاي
لاندا وان برا صار ك في ك inverse في من؟ في ال X
يبقى هذا لاندا وان هذه مصفوفة من؟ الوحدة في أي
مصفوفة تعطيني نفس المصفوفةيبقى صار عند هنا مين
ابنت ان ال ax يسوى لاندا وان x ايش معنى هذا الكلام
معناه ان ال x عبارة عن eigen vector لمن للمصفوفة a
يبقى هنا ال x is an eigen vector for the
لحد هنا stop انتهى هذا ال section وإلى يكون أرقام
المسائل يبقى exercises أربعة تلاتة المسائل التالية
من واحد إلى عشرةومن تلتاش لغاية ستاش الشكل اللي
عندنا هذا المرة جاء ان شاء الله بنبدأ في المعادلات
التفاضلية خلصنا الجبر الخط الآن بنرجع ضايل علينا
two chapters في ال ordinary differential