1
00:00:20,740 --> 00:00:25,580
بسم الله الرحمن الرحيم عودًا على بدء، بِجينا نتحدث 

2
00:00:25,580 --> 00:00:29,820
المرة اللي فاتت عن الـ Diagonalization لـ Matrix

3
00:00:29,820 --> 00:00:34,300
وخدنا مجموعة من الأمثلة، بدل المثال تلاتة بِجينا 

4
00:00:34,300 --> 00:00:38,400
نجيب الـ Eigen Values و الـ Eigen Vectors و نثبت هل

5
00:00:38,400 --> 00:00:42,040
المصفوفة اللي عندي Diagonalizable ولا لأ؟ طبعًا

6
00:00:42,040 --> 00:00:46,280
عرفنا إنه معناه إيه؟ Similar to B، معناه إنه في

7
00:00:46,280 --> 00:00:51,970
Diagonalization لـ للمصفوفة A، المثال الرابع بيقول

8
00:00:51,970 --> 00:00:56,110
افترض المصفوفة A هي على الشكل اللي قدامنا هذا

9
00:00:56,110 --> 00:01:00,090
بطالب تلت مطاليب، المطلوب الأول قال لي: هات الـ

10
00:01:00,090 --> 00:01:05,850
Eigenvectors، شغلة روتينية يا ما أوجدناها في

11
00:01:05,850 --> 00:01:09,370
السيكشن هذا أو السيكشن اللي جابه، أربعة واحد

12
00:01:09,370 --> 00:01:13,230
المطلوب الثاني بيقول: Find a the Dimension of the

13
00:01:13,230 --> 00:01:18,070
Eigenvector Space، وبرضه أوجدناها قبل ذلك، الأمر

14
00:01:18,070 --> 00:01:21,230
الثالث بيقول لي: هل الـ Matrix is Similar to a

15
00:01:21,230 --> 00:01:25,390
Diagonal Matrix ولا لأ؟ يعني إيش قصد يقول ليه؟ قال 

16
00:01:25,390 --> 00:01:29,750
لي: هل المصفوفة is Diagonalizable ولا لأ؟ هي السؤال

17
00:01:29,750 --> 00:01:35,710
السؤال اللي قال لي: شوف لي هل الـ A is Similar to a

18
00:01:35,710 --> 00:01:39,430
Diagonal Matrix يعني كانوا بيسألوا ليه: هل المصفوفة 

19
00:01:39,430 --> 00:01:44,620
is Diagonalizable ولا لأ؟ بقول نفسُه إن كان الأمر 

20
00:01:44,620 --> 00:01:49,760
كذلك: Find a Matrix K، من الـ Matrix K and Diagonal

21
00:01:49,760 --> 00:01:54,040
الـ Matrix D، بحيث إن الـ K inverse A K بدّه يساوي من؟

22
00:01:54,040 --> 00:01:58,340
بدّه يساوي D، مش هتعريف الـ Similar، يبقى Similar 

23
00:01:58,340 --> 00:02:01,380
والله Diagonalize هم الاتنين are the Same، نفس

24
00:02:01,380 --> 00:02:05,660
المفهوم بالضبط، تمام، طيب نيجي نحل هذا السؤال، يبقى 

25
00:02:05,660 --> 00:02:09,940
أول نقطة بدي أروح أجيب الـ Eigen، الـ Eigen 

26
00:02:09,940 --> 00:02:13,740
Values لمين؟ للمصفوفة اللي عندنا إيه؟ يبقى بدي أبدأ

27
00:02:13,740 --> 00:02:19,680
بمين؟ بالمعادلة الأساسية اللي هي: Lambda I ناقص A

28
00:02:19,680 --> 00:02:27,580
تساوي I Lambda 00 Lambda 00 Lambda بالشكل اللي

29
00:02:27,580 --> 00:02:34,270
عندنا هذا، تمام؟ في ناقص المصفوفة A، بنزل المصفوفة

30
00:02:34,270 --> 00:02:41,370
كما هي، واحد اتنين تلاتة، سالب واحد أربعة تلاتة، واحد 

31
00:02:41,370 --> 00:02:48,050
سالب اتنين سالب واحد بالشكل اللي عندنا هذا الكلام

32
00:02:48,050 --> 00:02:54,910
بدّه يساوي: Lambda ناقص واحد، Lambda ناقص واحد، ناقص اتنين

33
00:02:54,910 --> 00:03:03,070
ناقص تلاتة هنا، واحد هنا، Lambda ناقص أربعة وهنا ناقص

34
00:03:03,070 --> 00:03:10,790
تلاتة، وهنا ناقص واحد وهنا اتنين وهنا Lambda زائد

35
00:03:10,790 --> 00:03:15,290
واحد بالشكل اللي عندنا هذا، بعد ذلك لكي احصل على الـ

36
00:03:15,290 --> 00:03:20,930
Eigenvalues أنا باخد المحدد لهذه المصفوفة، إذا أنا

37
00:03:20,930 --> 00:03:28,550
باخد الـ Determinant لمين؟ للـ Lambda I ناقص الـ A، وهو 

38
00:03:28,550 --> 00:03:35,530
المحدد Lambda minus one، سالب اتنين، سالب تلاتة، وهنا 

39
00:03:35,530 --> 00:03:40,650
one وهنا Lambda minus four وهنا minus three، minus

40
00:03:40,650 --> 00:03:49,350
one، to Lambda plus one، هذا المحدد، بدي أحسب قيمة هذا

41
00:03:49,350 --> 00:03:53,950
المحدد، يبقى بدي أفك المحدد اللي عندنا باستخدام 

42
00:03:53,950 --> 00:03:59,890
مثلًا عناصر الصف الأول، يبقى باجي بقول هذا الكلام

43
00:03:59,890 --> 00:04:07,040
بدّه يساوي Lambda minus one، يبقى Lambda minus one في

44
00:04:07,040 --> 00:04:14,200
المحدد الأصغر المناظر له، الـ Lambda minus four مضروبة

45
00:04:14,200 --> 00:04:20,400
في Lambda plus one، minus مع minus بصير زائد ستة 

46
00:04:21,170 --> 00:04:25,650
العنصر اللي بعده، حسب قطع الإشارات، شرطة موجبة يبقى 

47
00:04:25,650 --> 00:04:32,590
زائد اتنين في، نشط بصفه وعموده يبقى Lambda plus

48
00:04:32,590 --> 00:04:38,910
one minus three، يبقى Lambda plus one minus three

49
00:04:38,910 --> 00:04:44,830
اللي بعده، minus three، فيه نشط بصفه وعموده يبقى

50
00:04:44,830 --> 00:04:50,590
اتنين، minus مع minus بصير زائد Lambda minus four

51
00:04:50,920 --> 00:04:56,460
بالشكل اللي عندنا هذا، يبقى هذا لو جيته اختصرته، بدّه

52
00:04:56,460 --> 00:05:01,520
يصير كتالي، Lambda minus one هذا بدّه يفكّه يا بنات 

53
00:05:01,520 --> 00:05:09,300
يبقى Lambda تربيع ناقص تلاتة Lambda وهنا زائد اتنين

54
00:05:09,940 --> 00:05:15,480
اللي بعده، زائد اتنين في Lambda minus اتنين، اللي

55
00:05:15,480 --> 00:05:20,360
بعده، ناقص تلاتة في Lambda minus اتنين، كل هذا

56
00:05:20,360 --> 00:05:25,460
الكلام، بدّه يساوي جداش؟ بدّه يساوي Zero، أو ممكن أقول

57
00:05:25,460 --> 00:05:30,410
هذا الكلام Lambda minus الـ one، هذه المناطق بقدر

58
00:05:30,410 --> 00:05:37,330
أحللها، اللي هو مين؟ Lambda جوز وجوز تاني Lambda

59
00:05:37,330 --> 00:05:42,570
وهي الجوز، هنا بقدر أقول واحد وهنا بقدر أقول 

60
00:05:42,570 --> 00:05:49,530
اتنين، يبقى هذه بالناقص وهذه بالنقص، هذا الـ Term

61
00:05:49,530 --> 00:05:54,370
الأول طلع لي للـ Term هذا، هذا الـ Term اتنين بالموجب

62
00:05:54,370 --> 00:05:58,910
و تلاتة بالسلب لنفس المقدار، يبقى وفضل Term واحد

63
00:05:58,910 --> 00:06:06,150
بمين؟ بالموجب، يبقى هذا الكلام زائد Lambda minus

64
00:06:06,150 --> 00:06:12,210
اتنين فقط لا غير، ناقص Lambda ناقص اتنين، وين هنا؟

65
00:06:13,530 --> 00:06:23,490
هذه نقص 

66
00:06:23,490 --> 00:06:29,830
واحد، يعني واحد، آه حاطين سالب، آه هذه بالسالب الصحية

67
00:06:30,540 --> 00:06:36,220
100% إصابة امرأة وأختها عمر، هذا الكلام يبدو يساوي 

68
00:06:36,220 --> 00:06:43,160
اللي هو Lambda minus two، عامل مشترك من الكل، بيظل

69
00:06:43,160 --> 00:06:50,900
مين هنا؟ هنا بيظل Lambda ناقص واحد الكل تربيع، نقص

70
00:06:50,900 --> 00:06:55,860
واحد، بالشكل، لأن هذا بدي أساويه 100، بدي أساويه 0، أو

71
00:06:55,860 --> 00:07:01,140
بقدر أقول Lambda minus two، فيه، بدي أفك الجثة دايمًا

72
00:07:01,140 --> 00:07:07,420
بصير Lambda تربيع نقص اتنين Lambda وزائد واحد ونقص

73
00:07:07,420 --> 00:07:13,280
واحد، مع السلامة، إذا ممكن أخد Lambda عامل مشترك من

74
00:07:13,280 --> 00:07:20,540
هذا الجوز الثاني، يبقى Lambda minus two في Lambda في 

75
00:07:20,540 --> 00:07:26,080
Lambda minus two بدّه يساوي zero، يبقى Lambda في Lambda 

76
00:07:26,080 --> 00:07:30,780
minus two لكل تربيع بدّه يساوي جداش؟ بدّه يساوي zero

77
00:07:31,450 --> 00:07:37,290
إذا طلع عندي قيمتين فقط للـ Lambda وليس تلات قيم، وطلع

78
00:07:37,290 --> 00:07:44,110
القيمتين، والقيمتين متساويات، أو الـ Lambda طلعت مكررة

79
00:07:44,110 --> 00:07:52,010
يبقى بناءً على إن علي، بروح بقوله هنا: The Eigenvalues

80
00:07:52,010 --> 00:07:59,880
are اللي هو Lambda تساوي zero و Lambda تساوي اتنين

81
00:07:59,880 --> 00:08:06,300
فقط لا غير، و هذه الـ Lambda مكررة كدهش مرتين يبقى و

82
00:08:06,300 --> 00:08:11,980
بقول: Of Multiplicity two، يعني مكررة مرتين، أو بقدر

83
00:08:11,980 --> 00:08:16,220
أقول Lambda اتنين تساوي اتنين و Lambda تلاتة تساوي

84
00:08:16,220 --> 00:08:23,140
اتنين، يبقى هذه Lambda تساوي اتنين is of Multi

85
00:08:28,120 --> 00:08:32,700
Lambda تساوي اتنين مكررة مرتين، إذا انتهينا من

86
00:08:32,700 --> 00:08:36,480
المطلوب الأول اللي قال لي عنه من عند ما بدأنا هنا 

87
00:08:36,480 --> 00:08:40,140
وكل واحنا بنحاول نحصل على المطلوب الأول اللي هو

88
00:08:40,140 --> 00:08:44,320
الـ Eigen Values، قال لي بعد هيك أتهت لي الـ Dimension

89
00:08:44,320 --> 00:08:49,900
لمين؟ للـ Eigen Vector Spaces، يبقى بدأ أخد Lambda 

90
00:08:49,900 --> 00:08:52,660
تساوي زيرو، بعد هيك Lambda تساوي اتنين وأشوف إيش

91
00:08:52,660 --> 00:08:59,700
اللي بيحصل معانا، يبقى باجي بقوله هنا: If Lambda تساوي

92
00:08:59,700 --> 00:09:05,160
zero then، بدي أخد Lambda الأولى، بدي أرجع لمين؟ 

93
00:09:05,160 --> 00:09:10,440
للمعادلة الأصلية اللي عندنا هذه، تمام، وبدي أخد 

94
00:09:10,440 --> 00:09:17,120
المعادلة كثيرة، then Lambda I نقص الـ A في الـ X يساوي

95
00:09:17,120 --> 00:09:22,020
Zero implies هي المصممة، بدي أشيل Lambda وأحط 

96
00:09:22,020 --> 00:09:28,070
مكانها Zero، بظلنا ناقص واحد ناقص اتنين ناقص تلاتة

97
00:09:28,070 --> 00:09:34,850
واحد ناقص أربعة وهنا ناقص تلاتة وهنا ناقص واحد

98
00:09:34,850 --> 00:09:40,730
اتنين وهنا واحد بالشكل اللي عندنا هذا، X واحد X

99
00:09:40,730 --> 00:09:46,610
اتنين X تلاتة، هذا الكلام بدّه يساوي Zero و Zero و

100
00:09:46,610 --> 00:09:52,780
Zero، إذا ترجمتي المعادلة اللي عندنا هذه عامليًا 

101
00:09:52,780 --> 00:09:58,140
بالقيم اللي موجودة عندنا، نحاول نجيب قيم كلها من X1

102
00:09:58,140 --> 00:10:04,980
و X2 و X3، لإن هذه الـ X بتجيب لمين؟ للـ Eigen Vectors

103
00:10:05,520 --> 00:10:10,720
إذا بدي أجهزي وأقول بدي أعطي المعادلة دُغري يبقاش

104
00:10:10,720 --> 00:10:19,060
بصير أنا لابنت هنا، ناقص X1 ناقص 2 X2 ناقص 3 X3 بدّه 

105
00:10:19,060 --> 00:10:29,280
يساوي 0 وهنا X1 ناقص 4 X2 ناقص 3 X3 بدّه يساوي كمان

106
00:10:29,280 --> 00:10:37,590
100، بدّه يساوي 0، ناقص X1 وهنا زائد اتنين X2 وهنا 

107
00:10:37,590 --> 00:10:42,830
زائد X3 يساوي Zero، يبقى حصلنا على الـ Homogenous

108
00:10:42,830 --> 00:10:46,870
System اللي عندنا، بنحاول نحل الـ Homogenous System 

109
00:10:46,870 --> 00:10:52,870
بأي طريقة من الطرق التي سبقت دراستها، فمثلًا لو جيت

110
00:10:52,870 --> 00:10:57,370
أخدت المعادلة الأولى والتانية هذه يا بنات، وجيت 

111
00:10:57,370 --> 00:11:02,750
جماعة طبعًا هتروح هذه مع هذه، مظبوط؟ بضع إننا ناقص 

112
00:11:02,750 --> 00:11:11,540
6X2 وناقص 6X3 بدل يساوي قداش؟ Zero، أو لو جسمت على

113
00:11:11,540 --> 00:11:18,080
سالب ستة، بصير X2 زائد X3 يساوي Zero، أو بقدر أقول

114
00:11:18,080 --> 00:11:25,540
إن X2 يساوي سالب X3، هذا لما أخد الأولى مع مين؟ مع

115
00:11:25,540 --> 00:11:32,230
الثانية، طب لو أخدت التانية مع مين؟ مع التالتة هذه 

116
00:11:32,230 --> 00:11:37,830
خد مع هذه، أو أخد الأولى مع التالتة، مثلًا لو أخدت

117
00:11:37,830 --> 00:11:43,170
الأولى مع التالتة، يبقى الأولى ناقص X واحد ناقص

118
00:11:43,170 --> 00:11:48,470
اتنين X اتنين ناقص تلاتة X تلاتة بدّه يساوي zero

119
00:11:48,470 --> 00:11:55,370
وهنا سالب X واحد، اتنين X اتنين زائد X تلاتة بدّه 

120
00:11:55,370 --> 00:12:00,490
يساوي zero، طبعًا هذه هتروح مع هذه، بظل هنا الـ main اللي

121
00:12:00,490 --> 00:12:08,410
هو من سالب اتنين X1 وهنا سالب اتنين X3 بدّه يسوي 

122
00:12:08,410 --> 00:12:15,650
Zero، يبقى X1 زائد X3 بدّه يساوي Zero، يبقى X1 يسوي

123
00:12:15,650 --> 00:12:23,510
سالب X3، يبقى بناء عليه أصبح عندي X1 بدّه يساوي X2

124
00:12:23,510 --> 00:12:34,890
بدّه يساوي X3، إذا لو أخدت إن الـ X3 بدها تساوي.. لو

125
00:12:34,890 --> 00:12:46,170
أخدت الـ X3 مثلًا تساوي A أو أخدت X1 تساوي X2 تساوي

126
00:12:46,170 --> 00:12:46,670
A

127
00:12:50,670 --> 00:12:56,790
ثم سالب X ثري تساوي إيه؟ هذا يعطيك إن X ثري

128
00:12:56,790 --> 00:13:03,570
يساوي قداش؟ سالب A، يبقى باجي بقوله: The Eigen

129
00:13:03,570 --> 00:13:14,010
Vectors corresponding to

130
00:13:14,010 --> 00:13:22,650
the Lambda تساوي zero are in the form، على الشكل

131
00:13:22,650 --> 00:13:28,490
التالي، X1 

132
00:13:28,490 --> 00:13:38,950
X2 X3، X1

133
00:13:38,950 --> 00:13:41,850
X2 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3

134
00:13:41,850 --> 00:13:45,530
X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 طب إيش بيقول لي؟ قال لي هات الـ 

135
00:13:45,530 --> 00:13:51,890
Dimension للـ Eigen Vector Space، يبقى هذا الـ Vector

136
00:13:51,890 --> 00:13:54,990
اللي

137
00:13:54,990 --> 00:14:05,670
هو من واحد واحد سالب واحد is a basis for the Eigen 

138
00:14:05,670 --> 00:14:10,310
Vector Space

139
00:14:11,660 --> 00:14:19,860
يبقى هذا بدّه يعطينا مين؟ إنه Its Dimension اللي 

140
00:14:19,860 --> 00:14:23,020
بدّه يعطينا كده؟ واحدة

141
00:14:26,410 --> 00:14:31,950
يبقى أنا جبت له الـ A والـ B مرة واحدة، تمام، طيب قال 

142
00:14:31,950 --> 00:14:35,850
لي: Is the Matrix A Similar، يبقى استنى شوية، لبسها

143
00:14:35,850 --> 00:14:39,330
سيه فيها كلام تاني بعد هيك، بدي أروح أجيب Lambda 

144
00:14:39,330 --> 00:14:49,070
تساوي اتنين، يبقى If Lambda تساوي اتنين then Lambda I 

145
00:14:49,070 --> 00:14:56,540
ناقص A في الـ X بدها تساوي Zero implies عن طريق

146
00:14:56,540 --> 00:15:00,260
المصفوفة اللي عندنا هذه، بدي أشيل كل Lambda وأحط مكان

147
00:15:00,260 --> 00:15:05,940
هاقدر أشيل اتنين، اتنين ناقص واحد، بدل إن هاقدر أشيل واحد

148
00:15:05,940 --> 00:15:12,880
وعندنا هنا ناقص اتنين ناقص تلاتة، الصف الثاني واحد

149
00:15:12,880 --> 00:15:19,620
وهنا ناقص اتنين وهنا ناقص تلاتة، صفة تالت ناقص

150
00:15:19,620 --> 00:15:26,460
واحد اتنين وهنا بدنا نحط اتنين بيصير تلاتة في X 

151
00:15:26,460 --> 00:15:33,640
واحد X اتنين X تلاتة، بدّه يساوي Zero و Zero و Zero

152
00:15:35,940 --> 00:15:41,500
هذه المعادلة بتجيب لي تلات معادلات، لكن في الحقيقة

153
00:15:41,500 --> 00:15:47,620
هما تلات معادلات ولا اتنين ولا معادلة واحدة، يبقى 

154
00:15:47,620 --> 00:15:53,240
هذه المعادلة واحدة فقط لا غير، الصف هذا لو ضربت في 

155
00:15:53,240 --> 00:15:57,980
سالب واحد بيطلع الصفين اللي فوق، تمام، يبقى هذه مش

156
00:15:57,980 --> 00:16:02,280
معادلة واحدة وإنما، أو التلات معادلات عبارة عن

157
00:16:02,280 --> 00:16:07,680
معادلة واحدة فقط لا غير، يبقى معناه هذا الكلام إن X

158
00:16:07,680 --> 00:16:14,000
واحد ناقص اتنين X اتنين ناقص تلاتة X تلاتة بيساوي 

159
00:16:14,000 --> 00:16:22,030
قدر Zero، أو إن شئتم فقولوا إن X واحد يساوي 2 X2

160
00:16:22,030 --> 00:16:29,970
زائد 3 X3، يبقى هذه المعادلة مجهولة بتلات مجهول

161
00:16:29,970 --> 00:16:35,710
إذا لا يمكن حل هذه المعادلة إلا إذا أعطينا قيمتين

162
00:16:35,710 --> 00:16:45,690
لمجهولين، يبقى ممكن أحط مثلًا X2 بـ A و X3 بـ B وبالتالي 

163
00:16:45,690 --> 00:16:53,400
بجيب X1 بتلات X2 و X3، يبقى If الـ X2 بدّه يساوي الـ A

164
00:16:53,400 --> 00:17:03,580
and X3 بدّه يساوي الـ B، then الـ X1 بدّه يساوي 2A زائد

165
00:17:03,580 --> 00:17:09,080
3B، أظن هذا كله ما له لزومة الحين

166
00:17:25,020 --> 00:17:34,100
طيب بنواصل الحل، الآن باجي بقول: The Eigenvectors 

16

201
00:21:26,410 --> 00:21:31,910
عندنا C C بيقول مانو؟ بيقول هل ال matrix A similar

202
00:21:31,910 --> 00:21:37,350
to the diagonal matrix أم لا؟ بمعنى آخر هل ال A

203
00:21:37,350 --> 00:21:43,570
دياجونالي Z بالو ولا لا؟ شفوي بمجرد النظر الآن

204
00:21:43,570 --> 00:21:48,090
طلعنا مين؟ قداش الـ linearly independent elements

205
00:21:48,090 --> 00:21:54,490
طيب اه استنى شوية طلع لي الاتنين هدول واطلع لي

206
00:21:54,490 --> 00:22:00,650
لمين؟ للتالت اللي هو عندنا هذا هل التلاتة هدول are

207
00:22:00,650 --> 00:22:03,590
linearly dependent أو linearly independent؟

208
00:22:03,590 --> 00:22:09,010
بتعملي لهم ال check يبقى هنا بدك تقولي لي ما يأتي

209
00:22:09,010 --> 00:22:12,570
بدك تعملي لي ال check التالي

210
00:22:23,900 --> 00:22:31,240
Check that the vectors

211
00:22:31,240 --> 00:22:39,170
اللي هم مين؟ ال vector الأول يعني، الذي هو واحد واحد

212
00:22:39,170 --> 00:22:44,630
سالب واحد، والثاني اللي طالع عندنا اللي هو اثنين

213
00:22:44,630 --> 00:22:54,190
واحد صفر، والثالث اللي هو من ثلاثة صفر واحد are

214
00:22:54,190 --> 00:23:00,150
linearly independent كيف

215
00:23:00,150 --> 00:23:04,940
بدي أسويهم linearly independent كيف بدي أعملهم بقى؟

216
00:23:04,940 --> 00:23:10,480
وكيف بدي أثبت إنهم linearly independent؟ نفترض C1

217
00:23:10,480 --> 00:23:15,900
و C2 و C3 تكون أصلاً C في الأول زي C في الثاني زي C

218
00:23:15,900 --> 00:23:20,520
في التالي يساوي صفر وأثبت أن C1 يساوي C2 يساوي C3

219
00:23:20,520 --> 00:23:25,700
يساوي صفر هذه إحدى الطرق الطويلة، في أكثر منها ايش

220
00:23:25,700 --> 00:23:32,810
اللي أكثر منها؟ نعمل محدد وليست مصفوفة، نعمل محدد

221
00:23:32,810 --> 00:23:38,970
ونثبت أن المحدد لا يساوي صفر،  ينطلع ذلك يبقى بيصير

222
00:23:38,970 --> 00:23:42,790
عندي linearly independent، يبقى طريقة المحدد أسهل من

223
00:23:42,790 --> 00:23:46,290
الأولى، الأولية بدها شغل شوية لأن بدي أعمل system

224
00:23:46,290 --> 00:23:49,610
و ال system بتروح عليه بس ال determinant ده سهل

225
00:23:49,610 --> 00:23:54,130
جداً، يعني في خطوة واحدة بكون جبت، جبت النتيجة و

226
00:23:54,130 --> 00:23:59,010
أثبتت إن هدول linearly independent، طيب معناته

227
00:23:59,010 --> 00:24:04,710
الثلاثة هدول بيكملوا لي من the complete set of

228
00:24:04,710 --> 00:24:08,690
linearly independent elements، صحيح ولا لأ؟ يعني في

229
00:24:08,690 --> 00:24:14,810
غيرهم؟ مافيش عندي غيرهم، قداش عددهم؟ قداش نظام

230
00:24:14,810 --> 00:24:20,800
الصفوف؟ يبقى يا شباب المصفوفة diagonalizable أصلاً عن

231
00:24:20,800 --> 00:24:25,780
اللي مرضي، أو similar to a diagonal matrix الصيغة

232
00:24:25,780 --> 00:24:29,540
هذه، والصيغة هذه الاثنين are the same يبقى باجي

233
00:24:29,540 --> 00:24:34,860
بقول هدول كلهم لي linearly independent element، this

234
00:24:34,860 --> 00:24:46,690
means that the set، التي هي مين؟ واحد واحد سالب واحد

235
00:24:46,690 --> 00:24:57,570
اثنين واحد صفر، ثلاثة صفر واحد is the complete

236
00:24:57,570 --> 00:25:05,050
set of eigen vectors

237
00:25:11,120 --> 00:25:18,700
يبقى sense، بما أن number of

238
00:25:18,700 --> 00:25:37,640
these vectors is three and the degree of the

239
00:25:38,390 --> 00:25:52,170
matrix A is ثلاثة، ال A is diagonalizable

240
00:25:52,170 --> 00:25:58,430
ايش يعني diagonalizable؟ يعني ال A is similar to a

241
00:25:58,430 --> 00:26:04,190
diagonal matrix، هذا معناه أن ال A is similar

242
00:26:27,350 --> 00:26:35,370
مش هذا معناه يا بنات؟ طيب، بدنا نجي نشوف هالكلام

243
00:26:35,370 --> 00:26:41,480
هذا اللي احنا بنقوله، هذا ماذا قاله؟ قال نفسه إن كان

244
00:26:41,480 --> 00:26:45,420
الأمر كذا لك هاتل ال matrix K، وإذا يجون ال

245
00:26:45,420 --> 00:26:50,620
matrix دي فهي تبقى العلاقة هذه مالها؟ صحيحة يبقى

246
00:26:50,620 --> 00:26:54,760
احنا بدنا نجيب له K ونجيب ال K and بس الحين

247
00:26:54,760 --> 00:27:01,020
الـ K يا بنات هي من؟ هي المصفوفة عناصرها من؟ عناصر

248
00:27:01,020 --> 00:27:08,470
الـ eigenvectors، يبقى واحد واحد سالب واحد اثنين واحد

249
00:27:08,470 --> 00:27:16,030
صفر ثلاثة صفر واحد، بدنا نجيب المعكوس تبعها مشان

250
00:27:16,030 --> 00:27:21,630
نجيب المعكوس، بدنا نروح نجيب مين؟ المحدد يبقى هذا

251
00:27:21,630 --> 00:27:29,360
بده يعطينا المحدد تبع المصفوفة كذا، بده يساوي، اللي هو

252
00:27:29,360 --> 00:27:35,380
main، المحدد تبع واحد اثنين ثلاثة، واحد واحد صفر،

253
00:27:35,380 --> 00:27:40,380
سالب واحد صفر واحد، ويساوي

254
00:27:42,730 --> 00:27:47,770
بتفكر ايش رأيكم باستخدام عناصر الصف الثاني أو

255
00:27:47,770 --> 00:27:51,550
العمود الثالث أو العمود الثاني، سيادة، ناخذ العمود

256
00:27:51,550 --> 00:27:58,930
الثالث، يبقى هاي ثلاثة فيها نشطة بصفه وعموده تمام

257
00:27:58,930 --> 00:28:04,950
بيصير واحد ناقص اثنين، اللي بعده حسب قاعدة الإشارات

258
00:28:04,950 --> 00:28:09,370
بصفر، في قد ما يكون يكون مش مشكلة زائد واحد في

259
00:28:09,370 --> 00:28:18,160
قشطة بصفه، لأ استنى شوية، نشطب صفه وعموده، صفه وعموده

260
00:28:18,160 --> 00:28:20,460
يجي بهنا صفر، زائد واحد

261
00:28:22,770 --> 00:28:28,250
زائد واحد، اللي بعد واحد، نشطب صف وعمود، لواحد ناقص

262
00:28:28,250 --> 00:28:36,110
اثنين، واحد ناقص اثنين يبقى النتيجة ثلاثة وهنا ناقص

263
00:28:36,110 --> 00:28:43,810
واحد، ويساوي كده؟ ويساوي اثنين، تمام بدي أجيب له الـ K

264
00:28:43,810 --> 00:28:50,450
inverse، يبقى الـ K inverse ويساوي اللي هو واحد

265
00:28:50,450 --> 00:28:58,630
على المحدد، فاهمين؟ فيه بدي أستبدل هذه المصفوفة كل

266
00:28:58,630 --> 00:29:04,650
عنصر فيها بالـ cofactor تبعه مظبوط؟ يبقى بدي أجيب

267
00:29:04,650 --> 00:29:09,810
للواحد بدي أشيل صفه وعموده، بيظل واحد نخزنه كله

268
00:29:09,810 --> 00:29:16,310
بواحد وحسب قاعدة الإشارات شارطة بالموجب، نجي لبعده،

269
00:29:16,310 --> 00:29:21,370
لاثنين حسب قاعدة الإشارات شارطة بمين؟ بالسالب، نشطب

270
00:29:21,370 --> 00:29:29,780
صفه وعموده، بيصير واحد فقط كذلك، نجي للي بعده حسب

271
00:29:29,780 --> 00:29:35,800
القاعدة، شارطة بالموجب، نشطب صفه وعموده، بيصير

272
00:29:35,800 --> 00:29:42,380
صفر، زائد واحد، اللي هو بواحد، بعد هيك نجي لصفه

273
00:29:42,380 --> 00:29:49,040
الثاني بدي أشيل اللي صفه وعموده، بيصير اثنين ناقص

274
00:29:49,040 --> 00:29:55,720
ثلاثة، بقدرش، باتنين، بدي أجي لعنصر اللي بعده، طبعا هذا

275
00:29:55,720 --> 00:30:00,160
حسب قاعدة الإشارة، الشرط السالب، بيبنى تمام، اللي بقى

276
00:30:00,160 --> 00:30:04,820
ده الشرط موجب، يبقى ده، شيل صفه وعموده بيصير واحد

277
00:30:04,820 --> 00:30:12,370
ناقص ثلاثة يعني زائد ثلاثة، اللي بقى كده، شلنا علشان

278
00:30:12,370 --> 00:30:17,670
نشيل هذا يبقى شلنا هذا، يبقى واحد زائد ثلاثة اللي

279
00:30:17,670 --> 00:30:22,130
هو بقداش؟ بأربعة، هذا حسب قاعدة الإشارات، شارطة بين

280
00:30:22,130 --> 00:30:28,810
بالسالب، نشطب صفه وعموده يبقى صفر، زائد اثنين

281
00:30:28,810 --> 00:30:32,950
اللي هو بقداش؟ بناقص اثنين، نجي لبعده حسب قاعدة

282
00:30:32,950 --> 00:30:38,050
الإشارات، شارطة بالموجب، نشطب صفه وعموده، صفر ناقص

283
00:30:38,050 --> 00:30:45,400
ثلاثة، نجي للي بعده، اللي بعده حسب قاعدة الإشارات

284
00:30:45,400 --> 00:30:51,680
شارطة سالب، يبقى سالب، نشطب صفه وعموده، يبقى صفر

285
00:30:51,680 --> 00:30:57,420
ناقص ثلاثة بيصير زائد ثلاثة، اللي بعده حسب قاعدة

286
00:30:57,420 --> 00:31:01,840
الإشارات، شارطة موجبة، نشطب صفه وعموده، بيصير واحد

287
00:31:01,840 --> 00:31:06,300
ناقص اثنين، اللي هو قداش؟ بناقص واحد، بالشكل اللي

288
00:31:06,300 --> 00:31:15,580
عندنا، أنا بدي أجيب له D، يبقى D بدها تساوي K inverse

289
00:31:15,580 --> 00:31:22,780
في K، تمام؟ يبقى هذا الكلام بده يساوي النصف، وهنا

290
00:31:22,780 --> 00:31:28,040
واحد، سالب واحد، واحد، سالب اثنين، أربعة، سالب اثنين

291
00:31:28,040 --> 00:31:33,480
سالب ثلاثة، ثلاثة، سالب واحد، في مين؟ في ايه؟ رأس

292
00:31:33,480 --> 00:31:39,440
المسألة واحد اثنين ثلاثة، وهنا سالب واحد أربعة

293
00:31:39,700 --> 00:31:47,760
ثلاثة، وهنا واحد سالب اثنين سالب واحد، في مين؟ في ال

294
00:31:47,760 --> 00:31:54,820
K، ال K اللي هي واحد اثنين ثلاثة، واحد واحد صفر

295
00:31:54,820 --> 00:32:01,570
سالب واحد صفر واحد، بالشكل اللي عندنا هناك، قداش

296
00:32:01,570 --> 00:32:09,730
تتوقع يكون النتيجة؟ صفر، اثنين اثنين والباقي يبقى

297
00:32:09,730 --> 00:32:16,050
أسفل، يبقى هذا يكون المصفوفة القطرية التالية، صفر و

298
00:32:16,050 --> 00:32:24,330
هنا صفر صفر صفر، اثنين صفر صفر، اثنين، ليست لاندا

299
00:32:24,330 --> 00:32:27,670
طلعت هنا صفر و لاندا طلعت هنا اثنين واثنين

300
00:32:27,670 --> 00:32:32,350
يبقى هاي عناصر القطر الرئيسي الـ diagonal matrix اللي

301
00:32:32,350 --> 00:32:36,310
يقول لنا عليها الـ diagonal دي، يبقى براحتك تروح تضرب

302
00:32:36,310 --> 00:32:40,730
هدول مصفوفات في بعض في بيتك، والناتج هي ما أعطينك

303
00:32:40,730 --> 00:32:44,410
ياه، إذا طلع غلط يبقى غلط علينا مش عليك، أو عليك

304
00:32:44,410 --> 00:32:48,630
إذا بتضرب غلط، لكن عندنا احنا ما أعطينك الجواب، بدك

305
00:32:48,630 --> 00:32:52,270
تضربه، والناتج هي عندك، في واحدة أبناء ما سجلتش

306
00:32:52,270 --> 00:32:52,930
اسمها هنا

307
00:32:56,050 --> 00:33:04,170
طيب، ننتقل إلى مثال يختلف عن هذا نوعاً ما، لكنه مرتبط

308
00:33:04,170 --> 00:33:11,030
معه ارتباطاً، هذا المثال جبته نظري من خلال أسئلة

309
00:33:11,030 --> 00:33:18,830
التمرين، وهو سؤال 16 في التمرين تبع الـ section 4-3

310
00:33:18,830 --> 00:33:21,310
السؤال بيقول ما يأتي

311
00:33:30,400 --> 00:33:39,760
يبقى example خمسة، له سؤال ستة عشر من الكتاب بيقول

312
00:33:39,760 --> 00:33:53,260
If A and B are similar matrices

313
00:33:53,260 --> 00:34:11,520
matrices so that، بحيث أن الـ B تساوي الـ K inverse A K

314
00:34:11,520 --> 00:34:16,420
show

315
00:34:16,420 --> 00:34:20,720
that، بيّن لي

316
00:34:20,720 --> 00:34:35,330
أن X is A is an eigen vector

317
00:34:35,330 --> 00:34:51,530
of A if and only if K inverse X is an eigen

318
00:34:51,530 --> 00:34:54,730
vector

319
00:34:56,190 --> 00:35:02,050
هو eigen vector لـ B

320
00:35:41,120 --> 00:35:47,340
سؤال مرة ثانية، السؤال بيقول لو كانت A و B

321
00:35:47,340 --> 00:35:52,440
are similar matrices، طبعاً احنا أخذنا علاقة المرة

322
00:35:52,440 --> 00:35:57,020
قبل الماضية، لو كان A similar to B يبقى B similar to

323
00:35:57,020 --> 00:36:00,980
A، وأثبتناها مظبوط، يبقى الآن جلدتين هدول are

324
00:36:00,980 --> 00:36:08,170
similar، يعني ايه؟ يعني أن الـ B بدها تساوي K inverse

325
00:36:08,170 --> 00:36:14,750
A K، طيب أصبحت هذه معلومة عندنا، بيقول شوية بيه لإن

326
00:36:14,750 --> 00:36:19,790
الـ X is an eigen vector لـ A، ايه؟ فندقول إذا K

327
00:36:19,790 --> 00:36:25,730
inverse X is an eigen vector لـ A، ايه؟ فندقول إذا K

328
00:36:25,730 --> 00:36:30,450
inverse X is an eigen vector لمين؟ لـ B، يبقى هذا

329
00:36:30,450 --> 00:36:34,960
سؤال والله سؤالين، سؤالين، بدي امسك واحد أوصله لمين؟

330
00:36:34,960 --> 00:36:39,240
لثاني، وبعدين امسك الثاني أوصله لمين؟ للأول، السبب

331
00:36:39,240 --> 00:36:44,560
كلمة if and only if، ده يبقى الآن بدنا نجي بالخطوة

332
00:36:44,560 --> 00:36:58,390
الأولى، let A be similar to B then، There exists a 

333
00:36:58,390 --> 00:37:11,750
non-zero matrix K such that، بحيث أن الـ B بدها

334
00:37:11,750 --> 00:37:20,410
تساوي الـ K inverse A K، المعطى، يبقى حتى الآن أنا بس

335
00:37:20,410 --> 00:37:27,450
اتجمد، الشيء المقطع عندي، خطوة ثانية بدي افترض ان X

336
00:37:27,450 --> 00:37:33,910
عبارة عن مين؟ عن Eigen vector لمين؟ للمصفوفة A، يبقى 

337
00:37:33,910 --> 00:37:43,590
assume that، أن X is an eigen vector

338
00:37:47,640 --> 00:38:00,920
for the matrix، for the matrix A، then، ايش فرضنا أن 

339
00:38:00,920 --> 00:38:08,220
الـ X هي eigen vector لمين؟ لهذه، ايش يعني معناها؟ ايش

340
00:38:08,220 --> 00:38:12,800
يعني معناها؟ أن X هي eigen vector لـ A، يعني لو

341
00:38:12,800 --> 00:38:15,240
ضربت الـ A في الـ X، ايش بدي يطلع لي؟

342
00:38:19,660 --> 00:38:24,580
تعريف الـ eigen vector والـ eigen value، Chapter

343
00:38:24,580 --> 00:38:32,700
Section 4-1، أول تعريف أخذناه، ايش يعني؟ يعني هلاقي

344
00:38:32,700 --> 00:38:38,360
عدد scalar لأن ده مضروب في x، بدها تساوي x الشركة

345
00:38:38,360 --> 00:38:43,690
أخذنا التعريف؟ يبقى هذا معناه x is an eigen vector

346
00:38:43,690 --> 00:38:56,190
then، الـ AX بدها تساوي lambda x، for some real lambda

347
00:38:56,190 --> 00:38:58,770
اللي موجودة في الـ set of real numbers

348
00:39:01,740 --> 00:39:05,920
يبقى هلاقي مادام هذا eigenvector هو بيجيش الـ

349
00:39:05,920 --> 00:39:09,340
eigenvector إلا إذا كان عندي eigenvalue، صحيح ولا

350
00:39:09,340 --> 00:39:12,800
لأ؟ طيب، مادام عندي eigenvalue، مادام عندي

351
00:39:12,800 --> 00:39:15,380
eigenvector، ايه اللي هو الأصلي اللي هو الـ eigenvalue

352
00:39:15,380 --> 00:39:22,120
اللي هو lambda x، مش lambda I، lambda x بالشكل اللي

353
00:39:22,120 --> 00:39:26,460
عندنا، يبقى الـ AX بدها تساوي مين؟ بدها تساوي lambda x

354
00:39:26,460 --> 00:39:32,880
for some real، اللي هو lambda أو، for some بلاش كلمة 

355
00:39:32,880 --> 00:39:38,540
real، لأنهم كرروا مرتين، بالصريحة x، for some lambda

356
00:39:38,540 --> 00:39:44,280
اللي موجودة في الـ set of real numbers، يبقى هذه

357
00:39:44,280 --> 00:39:49,460
المعلومة أخذتها من الفرض، طب بدي أشوف ايش اللي بدي

358
00:39:49,460 --> 00:39:54,140
ياه؟ ايش بيقول لي؟ بيقول لي أثبت لي إن هذا هو

359
00:39:54,140 --> 00:40:00,760
eigenvector لمين؟ لـ B، يعني بدي أثبت إن حصل ضرب هذا

360
00:40:00,760 --> 00:40:07,540
في B، بدها تساوي scalar في الـ X، صحيح ولا لأ؟ طيب،

361
00:40:07,540 --> 00:40:09,880
بدنا نجي نقول له الآن consider

362
00:40:13,970 --> 00:40:19,370
خُذ لي بدي أثبت إن هذا is an eigenvector يبقى بدي

363
00:40:19,370 --> 00:40:25,110
آخذ لمين؟ لـ B، يبقى بدي أخذ B في مين؟ في الـ K

364
00:40:25,110 --> 00:40:26,670
inverse X

365
00:40:30,270 --> 00:40:36,190
هه، مش هذه هنا AX، بدي أثبت إن الـ B في الـ K inverse

366
00:40:36,190 --> 00:40:42,510
X بدها تساوي الرقم مضروب في x، ينطلع هذا الرقم بيصير

367
00:40:42,510 --> 00:40:47,750
هذا هو eigen vector، صحيح ولا لأ؟ طيب ماشي الحال

368
00:40:47,750 --> 00:40:53,970
يبقى باجي اقول هذا الكلام بده يساوي، طلع لي هنا هذه،

369
00:40:55,360 --> 00:41:01,500
أنا عند مين؟ عند B، بدها تساوي K inverse A K، إذا

370
00:41:01,500 --> 00:41:08,500
بقدر أشيل الـ B وأكتب بدلها K inverse A K

401
00:44:45,140 --> 00:44:48,780
اللي بدك إياه يسمى alpha أي رقم اللي بدك إياه يسمى

402
00:44:48,780 --> 00:44:51,780
النامبر الواحد في الست الواحد في الست الواحد في

403
00:44:51,780 --> 00:44:52,760
الست الواحد في الست الواحد في الست الواحد في الست

404
00:44:52,760 --> 00:44:53,860
الواحد في الست الواحد في الست الواحد في الست

405
00:44:53,860 --> 00:44:57,280
الواحد في الست الواحد في الست الواحد في الست

406
00:44:57,280 --> 00:44:58,160
الواحد في الست الواحد في الست الواحد في الست

407
00:44:58,160 --> 00:44:58,180
الواحد في الست الواحد في الست الواحد في الست

408
00:44:58,180 --> 00:44:58,600
الواحد في الست الواحد في الست الواحد في الست

409
00:44:58,600 --> 00:45:01,940
الواحد في الست الواحد في الست الواحد في الست

410
00:45:01,940 --> 00:45:13,000
الواحد في الست الواحد في الست في الـ K inverse X بده

411
00:45:13,000 --> 00:45:21,490
يساوي Lambda 1 بالـ X هاي طبقت التعريف اللي أنا إيش

412
00:45:21,490 --> 00:45:27,710
بقوله هو بقول لي أثبت إنه X هو Eigen vector لمن؟

413
00:45:27,710 --> 00:45:34,330
للمصفوفة A يعني بده أروح أثبت إنه AX بده يساوي

414
00:45:34,330 --> 00:45:41,390
scalar في من؟ في X إذا مدّاجي أقوله consider خد لي

415
00:45:41,390 --> 00:45:47,250
الـ A في الـ X طيب

416
00:45:48,040 --> 00:45:52,180
بدأ أجي لمن؟ لمعلومة عندي، هي المعلومة عندي هي

417
00:45:52,180 --> 00:45:59,620
هذه أو هذه بقدر أجيب الـ a بدلالة الـ b و الـ k و الـ 

418
00:45:59,620 --> 00:46:11,240
k inverse بقوله خلي لي هذه since بما أن الـ b بده

419
00:46:11,240 --> 00:46:20,220
تساوي الـ k inverse a k we have بتخلّي A لحالها يا

420
00:46:20,220 --> 00:46:26,100
بنات يبقى بدي أضرب من جهة الشمال في مين؟ في K وهنا

421
00:46:26,100 --> 00:46:31,720
بيه ومن جهة اليمين في مين؟ في الـ K inverse بدي

422
00:46:31,720 --> 00:46:39,880
أساوي مين؟ بدي أساوي المصفوفة A كويس then بدي أخد

423
00:46:39,880 --> 00:46:49,800
الـ X يساوي الـ A بدي أشيلها و أكتب بدالها K بك انفرس

424
00:46:49,800 --> 00:46:58,230
وهنا هي الـ X هي أخذته شيلت الـ a و حطيت قيمتها تمام

425
00:46:58,230 --> 00:47:05,390
طيب أنا عندي بي كي انفرس X هذه موجودة بقدر

426
00:47:05,390 --> 00:47:09,870
أشيلها و أكتبها لقداش لاندا وان X يبقى هذا

427
00:47:09,870 --> 00:47:17,870
الكلام بده يساوي K لحالها وهنا بي كي انفرس X و

428
00:47:17,870 --> 00:47:25,270
يساوي K في الـ BK inverse X بدي أشيل و أكتب بدالها

429
00:47:25,270 --> 00:47:27,510
Landau 1 X

430
00:47:30,890 --> 00:47:37,090
طيب Lambda ون هذا بقدر أطلع وين؟ أطلع برا إذا هذا

431
00:47:37,090 --> 00:47:43,410
الكلام لأ بي اه Lambda ون X بي ك انفرست X كتب لها

432
00:47:43,410 --> 00:47:51,630
Lambda ون X طيب هذا الكلام بده يساوي طيب أنا فارض

433
00:47:52,970 --> 00:48:00,990
استنى شوية هي AX شيلت الـ A حاطبها K بك inverse X

434
00:48:00,990 --> 00:48:11,130
مظبوط وجيت على هذه كتبت K برا و بك inverse X مظبوط

435
00:48:11,130 --> 00:48:18,170
بك inverse X هي lambda one X يبقى هذا الكلام بده

436
00:48:18,170 --> 00:48:33,230
يساوي Lambda ون برا في مين؟ في K X تمام؟ أيوة علي

437
00:48:33,230 --> 00:48:37,450
صوتك شوية هادي

438
00:48:37,450 --> 00:48:38,230
بيبقى يساوي

439
00:48:44,890 --> 00:48:52,330
لأ اه بده يساوي الرقم في K اه بده يساوي الرقم في K 

440
00:48:52,330 --> 00:48:57,410
inverse X صحيح هذه الخطأ هنا صحيح هذه يا بنات

441
00:48:57,410 --> 00:49:07,420
الي Lambda في K inverse X مظبوط شو اسمك أنت؟ سمح

442
00:49:07,420 --> 00:49:12,380
أصابة امرأة وأختها عمر على طول الخط يبقى هذه Lambda

443
00:49:12,380 --> 00:49:19,240
inverse X إذا بدي أشيل هذه يا بنات كالتالي و أكتب 

444
00:49:19,240 --> 00:49:24,840
بدالها ما يلي يبقى هاي عملت الـ associativity تبع

445
00:49:24,840 --> 00:49:32,720
المصفوفات هذا الكلام بدي أساوي K في بك انفرس X

446
00:49:32,720 --> 00:49:42,030
بدي أشيله و أكتب بداله Lambda ون K انفرس X لأن

447
00:49:42,030 --> 00:49:46,970
Lambda ون كونستانت بقدر أقوله شرفنا برا يبقى هاي

448
00:49:46,970 --> 00:49:54,070
Lambda ون برا صار K في K inverse في من؟ في الـ X

449
00:49:54,070 --> 00:50:00,690
يبقى هذا Lambda ون هذه مصفوفة من؟ الوحدة في أي

450
00:50:00,690 --> 00:50:06,980
مصفوفة تعطيني نفس المصفوفة يبقى صار عندنا هنا مين

451
00:50:06,980 --> 00:50:13,420
Lambda ون أن الـ AX يساوي Lambda ون X إيش معنى هذا الكلام

452
00:50:13,420 --> 00:50:20,500
معناه أن الـ X عبارة عن Eigen vector لمن؟ للمصفوفة A

453
00:50:20,500 --> 00:50:32,760
يبقى هنا الـ X is an eigen vector for the

454
00:50:39,610 --> 00:50:45,990
لحد هنا stop انتهى هذا الـ section وإلى يكون أرقام

455
00:50:45,990 --> 00:50:53,090
المسائل يبقى Exercises أربعة تلاتة المسائل التالية

456
00:50:53,090 --> 00:51:02,570
من واحد إلى عشرة ومن تلتاش لغاية ستاش الشكل اللي 

457
00:51:02,570 --> 00:51:05,810
عندنا هذه المرة جاء إن شاء الله بنبدأ في المعادلات

458
00:51:05,810 --> 00:51:10,470
التفاضلية خلصنا الجبر الخطي الآن بنرجع ضايل علينا

459
00:51:10,470 --> 00:51:13,630
two chapters في الـ ordinary differential