بسم الله الرحمن الرحيم بنرجع نكمل محاضرة الفترة
الصباحية و بدأنا في كلام جديد اللي هو linear
transformation بدي أذكر عفواً بال linear
combination بدي أذكر الآن بال two definitions
تبعات الصبح في نهاية المحاضرة ثم نبدأ في ال
definition الجديد و النظرية التي بين أيدينا ال
definition تابعة الصبح، ال definition ما قبل الأخير
قال لو كان ال V هو vector space و أخذت منه
مجموعة من ال vectors هدول و لقيت أن واحد من ال
vectors V من تبعات ال vector space V قدرت اكتبه على
صورة Linear Combination من هدول كافٍ يعني يعني قدرت
اكتب ال V هو C1 في V1 زي تكون أسطن تاني في V2 زي
تكون أسطن تاني في V3 زي تكون أسطن CM في VM لقيت ال
vector هو مجموعهم، يبقى بقول إن الـ vector V هو
linear combination من الـ V1 و V2 و V3 و VM وهذا
ما ذكرناه في الفترة الصباحية، ننتقل للتعريف الثاني
بقول إذا كان كل عنصر فيه V هو linear combination
من ال vectors هذا، بقول إن ال V يولد بهذه العناصر
أو هذه العناصر بتجيب لمين؟ بتجيب لل vector space V
يعني بتجيب لكل عناصر V بلا استثناء، يبقى إذا كان كل
عنصر في ال vector V بقدر أكتبه على صيغة linear
combination من ال vectors اللي عندنا هدول، يبقى في
هذه الحالة بقول ال vector space V يولد بهذه
العناصر أو هذه العناصر span V بتولد لل vector
space V هذا ما تكلمنا عنه في الفترة الصباحية
الجديد هو التعريف الذي بين أيدينا هذا، بقول لو كان
الـU1 وU2 وUK are any k elements of a vector space
V يعني هدول vectors في ال vector space V وإذا كان
الـU the set of all linear combinations من الـU1
وU2 وUK then الـU is defined by يعني كيف؟ احنا
عندنا vector space V تمام؟ اتخذت أي مجموعة من
العناصر ثلاثة أربعة خمسة عشرة جد ما يكون، و روحت
العناصر هدول جيبت كل ال linear combinations تبعتهم
إن أعبر عن هذا الكلام رياضياً بالشكل التالي، بقول ال
U هو الـ span تبع من U1 ل UK يعني مين؟ يعني كل عنصر
الذي على شكل linear combination بهذا الشكل، كل عنصر
فيه بقدر اكتبه على صيغة linear combination بهذا
الشكل C1U1 زي C2U2 زي زي CKUK بحيث الـ CI موجودة
في الـ R، كل الصيغات التي عندها موجودة في R
والـ I من واحد لغاية الـ K تمام؟ يبقى أنا ايش الذي
حصل عندي؟ يبقى عندي set جديدة، ال set الجديدة هي التي
تولد بالعناصر U1 و U2 و UK هل هي كل ال vector
space فيه؟ قد يكون وقد لا يكون، ليش؟ أن أنا ما أخذت
أن هذا العنصر بولد لي ال vector space كله، أخذت
حياّل عناصر من مكان يكونوا يبقى أنا روحت جبت كل ال
linear combinations التي هم سميتها set U، يبقى U هي ال
span تبع ال vectors التي عندنا هدول تمام؟ طيب هذا
التعريف الذي أنا اشرحه، بتقول النظرية: يقول التي جبتها
هذه هي subspace من ال vector space الأساسي V يعني
هذه ممكن تجيب لي V كله، وممكن تجيب لي جزء منه، مش كله
على أي حال، إن كانت كله فهي subspace لأن any set is
a subset of itself، ويمكن ما تجيبش، بتبقى subset
عادية من ال vector space الذي عندنا، يبقى أنا بدأ
أروح أثبت له أن الـ U التي جيبناها بهذا الشكل هي
مين؟ هي subspace من ال vector space الأصلي، بدنا
نروح نبرهن صحة هذا الكلام، مشان نبرهن صحة هذا
الكلام، بدنا أروح أثبت مين؟ ثلاث نقاط: أن ال set U is
non-empty لو أخذت element اسكرال، و element منها
ضربت اثنين في بعض بدلجيه في ال set هذه، لو أخدت two
elements منها و جمعتهم بدلجيه في هذه ال set، أول شيء
بدي أثبت له أن ال U هذه is non-empty يعني على
الأقل بدلجي فيها ولو عنصر واحدة، تمام؟ يبقى باجي
بقوله هنا: الـ U is not empty يعني
أنا أدعي أنها ليست فارغة أو ليست خالية، بقى بدك
تجيب لي ولو عنصر وعادي، لأن لو جيت vector قدرت
أكتبه بدلالة هدول يبقى هذا ال element موجود فيه
صحيح ولا لأ؟ لأن هذه مكتوبة على صيغة linear
combination بالشكل هذا والصيغات هذه موجودة في R
ماعندي قيود عليهم، يبقى سالي بموجة بصفر ماعندي
مشكلة في هذه الحالة، يبقى أنا بدعي أن هذه non-empty
بدي أروح أجيب ولو عنصر واحد فقط موجود في هذه ال
set، بقول له: اه، because الـ zero موجود في ال U
معقول؟ معقول ال zero vector موجود في ال U؟ اه
معقول، معقول كيف؟ لو قدرت أكتب ال zero على صيغة
linear compilation من هدول بيكمل كلامي صح؟ مظبوط
يبقى باجي بقوله: because since لأن الـ zero هه..
بقدر اقول scalar zero في U1 scalar zero ثاني في ال
U2 زائد scalar zero في ال UK صحيح ولا لا؟ يبقى كتبت
الـ zero على صيغة linear combination من U1 و U2 و
لغاية UK، وال scholars كلهم أخدتهم بصفر حتى دي
يبقى كلامي صحيح، يبقى set U empty ولا ال non
-empty؟ non-empty، بهاي جبت فيه عنصر ولو العنصر
الصفر، تمام؟ يبقى هذا أول نقطة، طب أنت ليش بتختار
العنصر الصفري دائماً؟ مش سؤال سؤال؟ سؤال يطرح ليش
أنت بتختار العنصر الصفري؟ بقول لك اه ما هو ال
subspace أصلاً vector space صحيح ولا لأ؟ ومن خواص
لل vector space أنه يحتوي على العنصر الصفري، يبقى
أنا بختاره مُتعمداً، أنه دائماً أثبت أن العنصر الصفري
موجود في هذا ال vector space، هذا ال condition
الأول، ال condition الثاني بدي أخد element من U، و
element ثاني، و أشوف هل موجود ولا لا، يبقى
باجي بقوله: F ال A موجود في R and الـ U موجود في
كابيتال U، then الـ U يستوي الـ U يا بنات، موجود في U
وهذا الـ U بقدر اكتبه على صيغة linear combination
بهذا الشكل، صحيح ولا لا؟ يبقى بقدر اكتبه اللي هو c1
u1 زائد c2 u2 زائد زائد ck uk و ال ci موجودة في r
و ال I أكبر من أو تساوي واحد وأقل من أو تساوي k
طيب بدي أخد حاصل ضربهما، يبقى بدي أخد ال a في ال u
يبقى بده يساوي يبقى a في c1u1 زائد a في c2u2
زائد
ونظل ماشيين لغاية a في ck
Okay، بالشكل الذي عندنا طيب هذا الكلام يساوي بدنا
ارجع لخواص ال vector space، من ضمن خواص ال vector
space لو كان ال a ليش أن ال u1 و ال u2 و ال un
هدول عناصر في v الأصلي، صحيح أن هم موجودات في u لكن
هدول أصلاً وين؟ في ال vector space الأصلي، إذا من
خواص ال vector space أن عملية الضرب associative على
ال scalars يبقى بقدر أقول هذا الكلام بيدينا يساوي
AC1 في ال U1 زائد AC2 في ال U2 زائد ACK في ال UK
يبقى الـ AU كتبته على شكل مين؟ على شكل linear
combination لأن الذي بين جثين كله scholars هدول و
هذا ال vectors U1 و U2 و U3 و UK يبقى مدام كتبتم
هذا موجود في U ولا لأ؟ صح؟ عشان أشكل linear
combinations من U1 و U2 و U3 و UK خلصنا ال
condition الثاني، بدنا نروح أخد ال condition الثالث
يبقى ال condition الثالث بدنا نقول له: F U تساوي C1
U1 C1 U1 C1 زائد C2
U2 زائد زائد CK UK والثاني هذا أخذت ال V بده يساوي
A1 U1 زائد A2 U2 زائد AK UK موجود هذا في ال U ولا
لا؟ مظبوط موجود في ال U، ليش؟ أن كل واحد فيهم كتبته
على شكل linear combination من مين؟ من ال U1 و U2 و
لغاية UK بدنا أثبت له أن مجموعهم هدول موجود في ال U
يبقى بدنا نروح ناخد ال U زائد ال V ال U زائد ال V
وقتها الساوية إذا بدنا نجي نجمع component wise
يا بنات، يبقى C1U1 زائد كل عنصر مع نظيره A1U1 أخدت
هذا مع بعضه، الجزء الثاني مع الجزء الثاني يبقى
c2u2 زائد a2u2 بالشكل الذي عندنا هنا، زائد و ظلت ماشي
لغاية ما وصلت لآخر عنصر اللي هو ckuk زائد akuk
هذا الكلام بده يساوي ممكن أخد U1 عامل مشترك بيظل
C1 زائد A1 في ال U1 زائد C2 زائد A2 في ال U2 زائد
زائد إلى أن نصل إلى CK زائد AK كله في ال UK يبقى
بالنسبة لي الآن، ما له is a subspace of V، سا الآن
الذي هو ال span تبع U1 و U2 و UK is a subspace of
V يعني يا بنات كأنه هذه النظرية مثال جديد على من
على ال subspaces مش احنا المحاضرة الصبح و الثلاث
المرة التي بدأت في جينا بنجيب أمثلة على ال subspaces
يبقى كأنه احنا جيبنا مثال جديد على من على ال
subspaces طيب في عندي ملاحظة هنا، الملاحظة ما يأتي
لما أقول يا بنات أن ال elements هدول اللي هو U1 و
U2 هدول span V، سؤالي هو: هل بقدر أكتب أي واحد فيهم
بدلالة الباقي؟ يعني هل بقدر أكتب U2 بدلالة U1 و U2
و U3 و UK ولا بقدر؟ نقدر
يعني بقدر أكتب أي واحد فيهم as a linear
combination مع الآخرين؟ يعني بقدر أكتب أي واحد
فيهم كـ .. افهموا لي السؤال مرة ثانية، بقول أنا عندي
من U واحد ليه كذا بولدوا لي كل set U، طبعاً؟ طيب لما
بولدوا لي كل set U، هل أي واحد منهم يولد باقي
العناصر التي في ال span هدول؟ اه طبعاً، بولدوا، مثال
وذلك لو جيت وقلت لك: U واحد بقدر اكتب واحد فيه
واحد زائد Zero في U اثنين زائد Zero في U ثلاثة
زائد Zero في U K، يبقى صار linear combination منهم
ولا لا؟ إذا صار موجود، بالمثل U اثنين وبالمثل U
ثلاثة وبالمثل U K بقدر اكتبها هي 0 في U1 0 في U2 0
في U3 زائد 1 في UK، وبالتالي صار ماعندي مشكلة، يبقى
أي element من العناصر التي بولد ال U بقدر اكتبه
على صيغة linear combination من بقية العناصر
بالاستثناء، خذوا هذه الملاحظة بكتبها لك على شكل
الملاحظة التالية، يبقى note ملاحظة الـ UI موجودة في
الـ span تبع U1 و U2 و UK والـ I من الـ 1 لغاية الـ K
لغاية الـ K، because شو السبب؟ لو جيت لل U1 بقدر
اكتب 1 في ال U1 0U2 0U3 و ظلت ماشي لغاية 0UK لو جيت
لل U2 بقدر اكتب Zero U واحد زائد واحد U اثنين زائد
Zero U ثلاثة زائد Zero U K لو بليت مستمر، هوصل الى
U K Zero U واحد Zero U اثنين Zero U ثلاثة زائد
واحد في U K بالشكل الذي عندنا
يبقى أي element في الـ span بقدر اكتب بدلالة بقية
العناصر، نبدأ الآن بالأمثلة على هذا الكلام، يبقى
example one example
one هو سؤال ثلاثة من الكتاب
Show that the set of all elements
of R3 of the form على الشكل الذي هو a زائد b و ناقص
a و اثنين b where حيث ال a and
نشوف خلينا مع الطريقة الأولى أنا عندي كل الـU كل
العناصر اللي بالشكل اللي عندنا هذا تمام؟ يبقى أنا
عند الـU كل العناصر على الشكل A زائد الـB وسالب A
واتنين B حيث الـA والـB موجودة في الـset of real
numbers صح؟ إذا قال لي أنا real number بدي أثبت أن
هذه الـset هي الـsubspace من مين؟ من R3، R3 كلها
مكونة من ثلاث مركبات، وهذه فعلاً من ثلاث مركبات، إذا
كنت بروح أثبتها تمام، يبقى بدي أجيب النقطة الأولى
النقطة الأولى بدي أثبت له أن هذه الـnon-empty
بتقدر تجيب لي عنصر فيها؟
زيرو زائد زيرو ناقص زيرو هو زيرو، يبقى
زيرو زيرو زيرو موجود، يبقى هنا الـis not empty since
اللي هو since الـzero والـzero والـzero موجودة
في الـU that is يعني زيرو زائد زيرو ناقص زيرو ولا
زائد زيرو، كل واحد واتنين في زيرو برضه اللي هو
بزيرو كله موجود في الـU، النقطة الثانية: بدأنا ناخد
element موجود في الـR، يبقى باجي بقول له: إذا كان مش عندي
سميها كويس، إذا كان الـC موجود في الـR and الـU بدّه
يساوي A زائد B وناقص A واتنين B موجودات في الـU،
بدّه أنا أخد الآن الـC في الـU يبقى هذه يا بنات بدّه
أضرب الـC دي وادّور على طول الخط، يبقى C في A زائد الـ
B، C في ناقص A، C في اتنين B بالشكل اللي عندنا، طيب
أليست هذه هي CA زائد CB وهذه ناقص CA وهذه اتنين CB؟
ولا لا؟ طيب، اتطلع لي هذا element وهذا element هنا
سالب الـelement الأول هنا، اتنين الـelement الثاني
إذا موجودة في U ولا لا؟ يبقى هذه belongs to U
بالنسبة للـcondition الثالث
في U A B -A 2B
V A1 B1
-A1 2B1
كله موجود في U، then بدأنا ناخد المجموع، يبقى لما آجي
آخد المجموع تبعهم بدي الـU زائد الـV ويساوي بدي
أجمع component-wise، يبقى A زائد الـB زائد الـA1
زائد الـB1 وعندك هنا، هاي جمعنا هذه وهذه، هذي بدها
تصير سالب a سالب a1 اللي بعدها اتنين b زائد
اتنين b1، هذا الكلام بده يساوي، بقدر أقول يا بنات
هذا اللي عبارة عن مين؟ A زائد الـA1 زائد الـB
زائد الـB1، كل هذا المركبة الأولى، يعني أخدت هذه
وهذه مع بعض، وهذه وهذه ما لهم مع بعض، اتنين اتنين
أخذتهم بجوز بهذا الشكل، هذه ههه بقدر أخد سالب عامل
مشترك، بظل A زائد A1، هذه بقدر أخد اتنين عامل مشترك
بظل B زائد B1، طلعوا لي هنا، هذه المركبة الأولى، مجموع
two terms هنا، سالب الـterm الأول مظبوط؟ هنا اتنين
الـterm الثاني، صحيح ولا لأ؟ إذا هذه موجودة فيه ولا
لأ؟ يبقى هذه موجودة، موجودة في الـU، belongs to
U، معناته تحققت الخاصية الثالثة، يبقى بناء عليه
ذات، وهكذا الـU is a subspace
يبقى أثبت له الآن بالطريقة الروتينية أو الطريقة
العادية أن الـU is a subspace of V، ثم نيجي الآن
بدي أحل نفس المطلوب هذا بطريقة ثانية، ما تعودناش
نحل عليها قبل ذلك، باجي بقول له كويس الآن another
solution
حل آخر، ومن هنا بدأنا ايش؟ بدأنا في نمرة A، يبقى أنا
بدي آجي لنمرة A مباشرةً، الـU كل العناصر A زائد الـB
سالب A واتنين B بالشكل اللي عندنا هذا، بحيث الـA والـ
B موجودة في الـset of real numbers، كويس
طب ايش رأيكم أنا أخدت في الـchapter الماضي إن لـthree
tuple بقدر أكتبها كـcolumn vector وبقدر أكتبها كـ
row vector، صح ولا لأ؟ إذا أنا لو جيت هنا قلت ما
يأتي أخد الـA زائد الـB وسالب A واتنين B، الشيء
المكافئ لها تمامًا أني أكتبها على شكل الـvector A
زائد B وناقص A و2B مظبوط؟ ساكت الشعب، صح ولا لا؟ مش
خدناها في الـchapter الماضي زي هيك؟ طيب ايش رأيك؟
هذه يعني كتبتها على شكل مصفوفة بثلاث صفوف وعمود
واحد، أحطها على شكل جمع مصفوفتين في مشكلة؟ لا، تعالى
نشوف، يبقى أنا لو جيت حاطيتها بدّه أقول A وسالب A و
Zero زائد B وZero واتنين B، بنفع لك؟
A زائد B هيها، ناقص A وZero بناقص A، Zero واتنين B
واتنين B، يعني كأنه مش عامل فاصلة الـA مع بعض والـ
B مع بعض، طيب، لما في عامل مشترك في جميع عناصر
المصفوفة مش بقدر أكتبه برا صح ولا لأ؟ يعني بقدر أكتب
هذا A في الـvector واحد سالب واحد Zero زائد B في الـ
vector واحد Zero اتنين، يعني كأنه بكتب هذا A في الـ
V1 زائد B في الـvector V2، صح ولا لأ؟ يعني ايش عملت؟
كأنه كتبت هذا على صيغة linear combination من
الاتنين صح ولا لا؟ يعني معنى هذا الكلام إنه any
element موجود في الـvector space هذا بقدر أكتبه
على صيغة linear combination من الـtwo vectors هذول
صحيح ولا لا؟ يعني معناته الـV1 والـV2 سبين
الـU، بيولدوا الـU، صحيح ولا لا؟ مظبوط، يبقى هنا سا
any vector
in U is a linear combination of
V1 اللي هو بدّه يساوي واحد سالب واحد زيرو and V
2 اللي هو بده يساوي and V2
اللي هو بدّه يساوي واحد زيرو اتنين بالشكل اللي
عندنا، طب مادام هيك يبقى two vectors هدول this
means that إنه الـU يساوي لسبين تبع اللي هو في
واحد وفي اتنين، صحيح ولا لأ؟ طب ماذا؟ مش فين؟ من
النظرية اللي قبل قليل، هذي subspace ولا لا؟ بيبقى
هنا by the previous theorem، بالنظرية السابقة قبل
قليل، by the previous theorem اللي هو الـU is a
subspace of فين؟ مين اللي أسأل؟ هذا والله اللي
جابها، يبقى حل هذه الطريقتين، حل باللي تعجبك إن جاك
أي سؤال زي هذا، أحل بالطريقة دي، أسهل، خلاص بأحل
بها تمام؟ طبعًا هذه هنتكرر الشغل بها كثير في باقي
الـchapter والـchapter القادم كمان، اه يعني دي ربالك من
هالطريقة هذه، إذا قدرت أكتب هذا على شكل هنا
transformation بالشكل إن هذا، لسه احنا حلّينا المطلوب
الأول بطريقة ثانية، بدنا نروح للمطلوب الثاني نمربي
نمربي ايش بقول لي؟ يقول في السؤال show that the
geometric interpretation of this subspace is a
plane وبدنا معادلته، بيقولوا أن المعنى الهندسي لهذا
الـsubspace هو عبارة عن مستوى وبدي معادلة مين؟
بدي معادلة هذا المستوى، بقول له بسيطة جدًّا احنا عندنا
لو يا بنات صاروا ايش هي الـU الشكل اللي عندنا كتبنا
هي، يبقى أنا عند الـU تساوي اللي هو A زائد B وسالب
A واتنين B بحيث إن هذا كله الـA والـB موجودة في
الـset of real numbers، يعني هذا مكون من كم مركبة؟
من ثلاث مركبات، يبقى كأنه عندي mean اللي هو x1
بدّه يساوي الـA زائد الـB والـx2 يساوي ناقص الـA
والـx3 يساوي اتنين B مظبوط؟ يعني هي لما أقول
مركب x1 وx2 وx3، الأولى A زائد B
والثانية سالب A والثالثة اتنين B، أقول والله كلامي
كويس، طب ايش رأيك اجمع هدول مع بعض الاتنين، لو
جمعتهم مش بصير هدول؟ يبقى بصير عندي x1 زائد x
2 يساوي B، طيب
الحين أنا عندي and الـx3 يساوي اتنين B، يبقى
you say هذا بده يعطيكي إن x3 تساوي اتنين B
هي mainly x1 زائد x2 يعني ايش صار عندي؟
صار عندي x3 ناقص 2x1 ناقص 2x
2 يساوي zero مظبوط
طب هذا الـsystem أخذناه قبل هيك ولا لا؟ Homogeneous
system، ممتاز، يبقى هذا system of linear equations
تمام، طبعًا ما عنديش الـequation واحدة بثلاثة مجاهيل
تمام، يبقى هذا system of linear homogenous system
هذا الـhomogenous system يا إما له حل وحيد هو الحل
الصفري يعملوا حل عدد لا نهائي من الحلول يختمل على
الحل الصفري، إذا هذه معادلة plane ولا لا يا بنات؟ مش
قلت لكم قبل قليل AX زي BY زي C زي Z يبقى constant
يبقى بدل XY وزي X1 X2 وX3، يعني بمعنى آخر كأنه هذه
المعادلة لو قعدت ترتيبها يبقى 2X1 زي 2X2 ناقص X3
يبقى zero، يبقى equation of a plane، طب ايش رأيك الـ
plane هذا يمر بنقطة الأصل لأن
هي أحد الحلول مظبوط ولا لا؟ يبقى plane passes
through the origin because
اللي هو x1 وx2 وx3 تساوي زيرو و
زيرو زيرو is the أو is its a trivial solution
يبقى قال لي وصف لي شو هو، احنا وصفنا له يا وقال لي
أثبت إنه معادلة plane، يبقى أثبتنا له هي معادلة
plane، يبقى الـsubspace اللي عندنا صار معادلة plane
وبالتالي كنا بنترابطنا هذا الـchapter بموضوع الـ
chapter الأول اللي هو system of linear equations
حد عنده أي تساؤل هنا؟ يبقى ايه؟ أثبت إنه subspace
بطريقة ثانية وأثبت إن هذا subspace يمثل من؟ يمثل
plane والصبح وقلت لكم بدأنا في الـjet اليوم وده
احنا بنشتغل الـjet على غير الشيء اللي كنا متعرفين
عليه قبل ذلك
مثال اثنين، مثال اثنين، مثال اثنين
مثال اثنين، مثال اثنين، مثال اثنين، مثال اثنين، مثال
اثنين، مثال اثنين، مثال اثنين، مثال اثنين، مثال اثنين
مثال اثنين، مثال اثنين، مثال اثنين، مثال اثنين، مثال
اثنين، مثال اثنين، مثال
اثنين example of R3 that is spanned by
the
vectors اللي هو V1 يساوي
V1 يساوي سالب اثنين وواحد وواحد وV2 يساوي واحد
و ناقص ثلاثه وخمسه
show that the geometric interpretation
of this subspace
وهاتينا كمان المعادلة تبعه
و
من هذه الخيارة انتهينا منها
نرجع لمثالنا هذا مرة ثانية ونشوف كيف بدنا نشتغل
هذا المثال، المثال اللي بقول: ياخد الـU subspace من
R3 that is spanned by the vectors V1 وV2 يبقى U
هذا أخذته subset من من من الـvector space اللي هو
R3 بحيث هذا يولد بـtwo vectors، مادام يولد بالـtwo
vectors يبقى هذا subspace ولا لا؟
يبقى الآن كأن الـU عبارة عن، الـU هو عبارة عن الـ
set of all real numbers C1V1 زي C2V2 such that C1 371 00:41:47
زائد by زائد cz بده يساوي constant وليكن bالـ A و
الـ B والـ C والـ D ثوابت والـ X والـ Y والـ Z
اللي هي المجاهيل D تكون Zero ما تكون Zero بهمنيش
جد ما تكون تكون والـ A والـ B والـ C كمان بيه
ثوابته ويمكن يكون بعضهم ب Zero قد يكون بعضهم ب
Zero ماعندي مشكلة في هذه الحالة بقول تمام، إذا احنا
بدنا إيه؟ يجي نحل المعادلتين هدول مع بعض ونطلع كده
X1 و X2 يعني نتخلص من السيهات اللي عندنا حد يا
بنات ما علمتش كمال اسم هايانة؟ تعالوا خدوا يالا
بدأجي للمعادلة الأولى اللي هو الثانية هدول اتنين
اظن لو ضربت التانية في اتنين وجمعت بتخلص من احد
المجاهيل اللي هو ال C واحد وبجيب جداش C اتنين يبقى
بناء عليه من المعادلتين هدول بقول ما يأتي يبقى اي
اكس واحد يساوي سالب اتنين C واحد زائد C اتنين بدي
اضرب هذه في اتنين يبقى اتنين X اتنين سالب اتنين C
واحد او موجة باتنين C واحد ناقص ستة اللي هو C
اتنين ونجي نجمع ضربت المعادلة التانية في اتنين
هدول مع السلامة يبقى من هدول اتنين ايش بستنتج
بستنتج انه X1 زائد 2 X2 بده يساوي ناقص خمسة C2 يبقى
زائد واحد وناقص ستة بضل جداش ناقص خمسة ومنها C2
بده يساوي ناقص X1 زائد 2 X2 كله على خمسة يبقى هاي
جبت C2
بدلالة X1 و X2 بقدر أجيب C1 كمان بدلالة X1 و X2
برجع بعود في أي من المعادلتين إذا لو رجعنا وعوضنا
في أي من المعادلة بدي أمسك النتيجة التي توصل إليها
هذه وأجي أعوض مثلا في المعادلة رقم 2 عشان بدي
أجيب C1 فبجي بقول X2 يساوي C1 نقص ثلاثة في C2 C2
التي هي ناقص لل X1 زائد 2 X2 كله رداش على خمسة
يبقى هذا الكلام يعطيني C1 ناقص مع ناقص في الصيرة
زائد ثلاثة في X1 زي دي اتنين اكس اتنين كله علامين
على خمسة بالشكل اللي عندنا هذا معنى هذا الكلام انه
c واحد بده يساوي اكس اتنين ناقص تلت أخماس في اكس
واحد زي دي اتنين اكس اتنين يبقى جبت c واحد بدلالة
اكس بدلالة X1 و X2 اللي انا باجي على المعادلة
التالتة ما هي في C1 و C2 بشيلهم وبجيب قيمتهم يبقى
باجي بقول له X3 تساوي C1 زائد 5 C2 وتساوي C1 هي
موجودة عند X2 ناقص تلت أخماس في X1 زائد 2 X2 هذا
كله في C1 زائد خمسة في C2
بناء على الـ X3 تساوي
اكس اتنين وهذا بنات كلها بقدر اقول ناقص اللي هو
مين تلاتة والله خليها ناقص زي ما هي هاي ناقص وهنا
تلاتة اكس واحد زائد ستة اكس اتنين كله على مين على
خمسة وهذه ناقص والله خليها ناقص ماعش الحال وهنا
خمسة X واحد زائد عشرة X اتنين كله على مين على خمسة
ايش رأيك بدا واحد المقامات للكل كله على خمسة يبقى
بصير x3 يساوي خمسة x اتنين ناقص تلاتة x واحد ناقص
ستة x اتنين وهنا ناقص خمسة x واحد ناقص عشرة x
اتنين يبقى هذا الكلام بده يساوي هي عندي X2 وهي عندي
X2 وهي عندي X2 عندك هنا ناقص 16 X2 وزائد خمسة بيظل
ناقص 11 X2 عندك سالب تلاتة اكس واحد وسالب خمسة
بسالب تمانية اكس واحد تمام كل هذا الكلام على جداش
على خمسة يساوي اكس تلاتة أضر بضرب تبادلي يبقى بصير
خمسة اكس تلاتة يساوي سالب 11 X 2 سالب 8 X 1 نعملها
معادلة صفرية يبقى بصير عندك 8 X 1 زائد 11 X 2 زائد 5 X
3 يساوي 0 يبقى هذه equation of
السؤال هو هل يمر هذا بنقطة الأصل؟ فهذا
باصد أثرى
فاصجت هو the origin لأيش؟
لأنه أخدت x واحد وx تانية وكل واحد بزيرو وبتلاقي
بحقق هذه المعادلة طيب السؤال هو هل يمر بالنقطة
سالب اتنين وواحد وواحد والنقطة واحد وناقص ثلاثة
وخمسة؟ 100% تمام يبقى هنا and passes through the
points ويمر
كذلك خلال النقطتين اللي هو سالب اتنين وواحد وواحد
and التانية واحد وناقص تلاتة وخمسة تحبوني اتركب؟
تعالوا نتأكد نتأكد من هنا بس نعود نشوف سهر ولا لا
القصة بسيطة جدا هاي ناقص اتنين في تمانية ناقص
ستاشر هاي ناقص ستاشر عندك واحد في احداشر زائد
احداشر عندك واحد في خمسة في خمسة خمسة و احداشر
بالمجموعة ستاشر وستاشر إذا كلامي صحيح وبالمثل
بلاجين بمربى مين؟ بمربى النقطة الثانية طيب لازلنا
في نفس الموضوع والمرة القادمة إن شاء الله نكمل