Okay إذا هنواصل إن شاء الله اللي بدنا فيه المحاضرة
السابقة المرة اللي فاتت خلينا بسرعة بس هيك نمر على
الحاجات اللي أخذناها أخذنا اللي هو ال algebraic
properties of the real number system اللي هو
الخواص الجبرية و عرفنا اللي هو ال real number
system فقلنا إن ال real number system عبارة عن
المجموعة R مع عمليتين جبريتين أو ثنائيتين عملية
جمع و عملية ضرب و هذول العمليات بتحققوا خمس خواص
خاصية الإبدال commutative law خاصية الدمج ال
associative laws خواص التوزيع distributive laws
خاصية الرابعة وجود ال identity elements العناصر
المحايدة اللي هي 0 و 1 ووجود ال inverse
elements أو العناصر النظائر أو المعكسات فلكل عدد
حقيقي فيه له معكوس جمعي اللي هو سالب x و لكل عدد
حقيقي غير مختلف عن الصفر له نظير ضربي أو
multiplicative inverse يُرمز له بالرمز x-1
negative واحد بحيث لو ضربتهم في بعض بيعطوني ال
identity element واحد هذول الخمس خواص اللي بتحققهم
مجموعة الأعداد الحقيقية مع العملياتين ضرب وجمع
اللي عرفناها سابقاً في أول خواص أخذناها اللي هي
cancellation laws موجودة في نظرية 1.1 فعملية
الجمع بتحقق cancellation law يعني أنا لو كان عندي
x plus z بساوي y plus z فممكن أشطب z من الطرفين
بيطلع عندي x بساوي y كذلك عملية الضرب بتحقق ال
cancellation law فلو في عندي حاصل ضرب زي هذا بساوي
حاصل الضرب هذا و ال answer w هذا العدد w ما بيساوي صفر
فمقدر أقسم الطرفين على w بيطلع عندي x بساوي y هذه
الخواص مهمة و برهنت لكم المرة اللي فاتت الجزء
الثاني و برهان الجزء الأول مشابه و بالتالي قلنا
لكم حاولوا تثبتوا بنفس الطريقة بالمثل كمان أخذنا
نظرية ثانية اللي هي النظرية هذه ذكرناها المرة اللي
فاتت فيها حوالي عشر خواص للأعداد الحقيقية فأول
خاصية لو ضربت أي عدد حقيقي بالصفر سواء من اليمين
أو اليسار فالنتيجة العدد الصفري اللي هو ال additive
identity صفر فبرهان هذا الجزء هو برهان الجزء الأول
يعني باين واحد هنا فكيف يتم البرهان أنا عايز أثبت
أن x ضرب صفر بساوي صفر طيب أنا عندي لو جمعت x ضارب
0 زائد x ضارب 0 بقدر باستخدام ال distributive law
أخذ x عامل مشترك كأني بضرب x في 0 زائد 0 هذا صحيح
باستخدام ال distributive law الآن لما أجمع الصفر
على أي عدد حقيقي حتى لو نفسه الناتج بيطلع 0 هذا من
خواص المحايد الجمعي و ال X ضرب صفر هو نفسه لو جمعت
على العدد هذا صفر فيبقى زي ما هو من خواص الصفر
الآن أنا ممكن أشطب باستخدام cancellation law ممكن
أشطب هذا و أشطب هذا فبيطلع عندي X ضرب صفر بساوي صفر
okay تمام الخاصية الثانية الخاصية الثانية عايزين
نثبت أنه لو أخذت أي عدد حقيقي و أخذت سالبه مرتين
فهذا هو نفس ال X البرهان برضه بتم كالتالي هاي ال X
و بجمع عليه negative X اللي هو المعكوس الجمعي
طبعاً فهذا بساوي صفر هذا بساوي صفر من خواص المعكوس
الجمعي و ممكن أن احنا نبدل هذول مع بعض أو لأ، الآن
برضه لو أخذت هذا، هذا عدد حقيقي، و هذا المعكوس
الجمعي تبعه، عدد حقيقي و المعكوس الجمعي تبعه دائماً
بساوي صفر، الآن ممكن نبدل عملية الجمع إبدالية،
commutative، فنبدل الحاجات هذه مع بعض الآن عملية
الجمع بتحقق قانون الحدث cancellation law إذا
ممكن أشطب أنا العنصر هذا مع هذا بيبقى عندي على
الشمال X وعلى اليمين بيبقى negative negative X
فبالتالي هي كمان أثبتنا صحة الخاصية هذه تمام؟
الخاصية الثالثة في النظرية اللي شوفناها قبل شوية
برهانها مشابه لخاصية الثانية وبالتالي هأسيبه تمرين،
إذا بعض الحاجات اللي برهانها مشابه دائماً هنسيبها
كتمرين للطالب لأن الفكرة نفسها و رياضيات مجرد أفكار
فإذا عرفنا الفكرة انتهى الحل اللغز الخاصية الرابعة،
في الخاصية الرابعة عايزين نثبت أنه لو ضربت سالب
واحد في x بيطلع عندي ال negative x أو المحايد
الجمعي ل x فلبرهان ذلك بأخذ negative واحد في x و
بجمعها على x فهذا هو نفسه هي negative واحد في x و
ال x هذه عبارة عن واحد في x الآن ممكن هنا أستخدم
ال distributive law عملية الضرب تتوزع على عملية
الجمع فممكن أكتب هذا سالب واحد زائد واحد مضروب من
اليمين في X و عملية الضرب إبدالية فهي نفس كما لو
ضربت X من اليمين في سالب واحد زائد واحد Okay تمام
الآن لما أجمع سالب واحد هذا سالب واحد على واحد
عنصر و نظير الجمع تبعهم مجموعهم صفر و صفر في أي
عنصر أثبتنا أنه بيساوي صفر و الصفر هو نفسه سالب x
زائد x وبالتالي بقدر أستخدم ال cancellation اللي هو
عامل cancelling ل X على الطرف الشمال و cancelling
ل X على الطرف اليمين يبقى في الشمال سالب واحد في X
في اليمين سالب X وبالتالي هيك ممكن أثبتنا الخاصية
هذه واضحة؟ أي حد عنده أي استفسار؟ خواص سهلة و براهين
سهلة جداً أنتم دارسين مبادئ و اللي دارسين مبادئ
رياضيات و فاهمينها كويس هذه حاجات يعني براهين أمثلة
كلها على برهان مباشر بسيط باستخدام خواص ذكرناها
سابقاً فهذا مجرد يعني مبادئ رياضيات الخاصية الخامسة
احنا عايزين نثبت لو ضربت x في negative y تطلع ..
هي نفسها كم لو ضربت negative x في y و هذه يعني
البرهان مش صعب هاي ال X وهي negative Y الخاصية
الرابعة أثبتنا فيها إنه negative Y بيساوي negative
واحد في Y هذا من الخاصية أربعة ال associative law
بيسمح لإن أنا الأقواس هذه أرتبها بالطريقة هذه
عملية الضرب associative و كمان عملية الضرب
commutative إذا ممكن أبدل ال X مع ال negative واحد
الخاصية الرابعة بتقول سالب واحد ضرب X عبارة عن
negative X إذاً هذا هو إيه هذا جزء من الجزء الخامس
في كمان جزء ثاني اللي هو عايزين نثبت إن X ضرب
negative Y هو نفس الحاجة كما لو ضربت X في Y الأول
وضربت الكل في negative و لبرهان ذلك هي X في
negative Y X في negative Y أثبتنا إنها طلعت بتساوي
سالب واحد في X في Y هذا هو نزلناها من هنا الآن
باستخدام ال associative law ممكن إيه أبدل الأقواس
يعني أخد X و Y مع بعض و أضربهم في سالب واحد وطبعاً
الآن أثبتنا أن سالب واحد لما أضربه في حاجة زي هذه
بيطلع سالب X في Y
بالنسبة لخاصية رقم 6 ممكن نستخدم الخاصية رقم 4 و
ال distributive law في إثباتها فطبعاً أنا هنا كاتب
لكم use الخاصية أو الجزء الرابع و ال distributive
law لبرهان مين؟ الخاصية رقم 6 هذه، هذه أرقام
لاتينية فبتشوفوها أنتم طبعاً و بتحاولوا تثبتوها و
إذا ما عرفتوهاش ممكن تتواصلوا معايا نحاول نثبتها لكم
بالنسبة لخاصية السابعة إيه هي الخاصية السابعة لو
ضربت negative x في negative y المفروض يطلع نفس
الحاجة x ضرب y و هي البرهان بسيط احنا أخذنا أن لو
ضربت negative x في عنصر negative y هو نفسه كما لو
أنا ضربت x في العنصر الثاني و أخذت السالب برا و
بعدين
نفس الحاجة هنا x في negative y هي
نفسها negative x في y بدل x في negative y ب
negative ضرب x y و أثبتنا قبل هيك أن negative ضرب
negative العنصر بساوي العنصر إذا هذا برضه
برهان هذا الجزء الجزء الثامن أو التاسع are left as
exercises برضه أنا سايب لكم إياهم تمرين لأن مش
ما جون نبرهنه كل شيء أنتم يعني كبار لأن بدأتوا
تُساوبوُا بدأتوا تفهموا فلازم برضه تشاركوا شوية مش
معقول زي اللي .. احنا مش في مدرسة ثانوية، بنأشي
نقوُل، ابتدائية، لازم يشرح لكم كل شيء و لازم يبرهن لكم
كل شيء، لازم الطالب يشارك شوية، خاصة الحاجات اللي
براهينها مشابهة فبتزعلوش و حالكم أنتم تاخدوا
الأمور هذه بصدر رحب و كمان مرة بكرر لو أي شيء من
الحاجات اللي بنسيبها ما عرفتوهاش تحلوها أو تبرهنوها
فأنا على استعداد أن أساعدكم في برهانها الجزء الآخر
جزء العاشر إيه هو الجزء العاشر؟ الجزء العاشر بيقول
دائماً بندرسها في مبادئ الرياضيات مثال على برهان غير
مباشر في مبادئ رياضيات، لو كان X ضرب Y أعداد
حقيقية، حاصل ضربهم صفر، فإيه بيطلع؟ إما X بساوي صفر
أو Y بساوي صفر، بظبط؟
فهذا نعطي مثال في المبادئ الرياضية طيب البرهان هو
نفسه البرهان هو نفسه عشان أثبت إنه x لو كان x ضرب
y بساوي 0 فبيطلع x بساوي 0 أو y بساوي 0 فبأفرض أن x
ما يساويش 0 و بأثبت أن y بيساوي 0 أو by symmetry
بالتماثل ممكن أفرض أن y بيساوي 0 وأصل إلى أن x
بيساوي 0 okay تمام فاللي عملناه هنا هي لبرهان أن
x بيساوي 0 أو y بيساوي 0 it suffices يعني يكفي أن
أفرض to assume أن x لا يساوي 0 وأثبت وأثبت أن y
بيساوي 0 طيب أنا عندي من الفرض x y بيساوي 0 ف
ال x y بيساوي 0 تُهيّئ لي
فيه شيء هنا مش مبين ده هو خلينا نبينه نعم هاي أنا
عندي x y من الفرض x y بيساوي صفر والصفر هذا ممكن
أكتبه على صورة x ضرب صفر برضه هذا بيساوي صفر تمام
الآن أنا أفرض أن x لا يساوي صفر فعملية الضرب بتحقق
cancellation law إذا من cancellation law تبع عملية
الضرب مدام x لا يساوي صفر فبقدر أجزم عليها فبيطلع
عندي y بيساوي صفر وهذا هو المطلوب Okay تمام إذا هيك
بنكون برهنا النظرية الثانية كويس
تمام هيك طيب
نأخذ تعريفات أو تعريف مهم
في تعريف هنا الخواص
الخامسة هذه اللي حكينا عنها ال commutative law ال
associative law وال distributive law existence of
identity elements الخاصية الخامسة existence of
inverses خمس خواص هذه اللي بتحققها عمليات الجمع و
الضرب على الأعداد الحقيقية هذه الخواص بتشكل تعريف
ما يسمى في الجبر في الجبر الحديث في تركيبة جبرية
اسمها field أو حقل فما
هو الحقل لو أنتم هتدرسوا جبر حديث واحد أو .. أو
درستموه فيمكن مر عليكم ال field أو الحقل هو عبارة
عن set مع عمليتين ثنائيتين عملية جمع وعملية ضرب
معرفين على ال set F بحيث أن العمليتين هدول بيحققوا
الخواص الخمسة اللي هي حققتها مجموعة الأعداد
الحقيقية، إذا أي مجموعة F مع عمليتين ثنائيتين بتحقق
الخواص الخمسة بنسميها في الجبر field إذا ال .. ال
.. ال R ال R أو الأعداد الحقيقية مع عمليات الجمع
والضرب اللي عرفناها سابقا شفنا أنها بتحقق الخواص
الخمسة وبالتالي بتشكل field فبنسميها it the field of
real numbers أو المجال الأعداد الحقيقية هي
مثال فيه أمثلة كثيرة على fields على حقول فهي لو
أخذت المجموعة هي أبسط field أصغر وأبسط field
موجود في الرياضيات هو ال 6F اللي بتتكون من عنصرين
عددين حقيقيين 0, 1 الآن عشان أكون field على المجموعة
F اللي بتكون من عنصرين لازم أعرف عملية جمع وضرب
فممكن أعرف عملية جمع وضرب على F كالتالي ها يعني
عرفت لو ضربت 0 في نفسه أو 1 في 0 أو 0 في 1 أو
جمعت 0 على 0 أو 1 على 1 هذا بأعرفه أنه بيساوي 0 إذا
أنا عرفت حاصل الضرب والجمع هذا بيساوي صفر كذلك
أنا بأعرف أنه لو جمعت الصفر على الواحد أو الواحد
على الصفر أو الواحد على الواحد بيطلع واحد الآن إذا
أنا عرفت عمليات جمع وضرب على كل عناصر المجموعة الآن
من السهل التحقق أن ال خواص الخمسة كلها بتتحقق تابعة
ال field وبالتالي هذا بيكون field وهذا ال field في
الجبر برمز له بالرمز Z2 وفي
نفس الوقت هو cyclic group of order two إذا في حد
فيكم درس الجبر الحديث على أي حال احنا هذا مش موضوعنا
هذا موضوع جبر فبس يعني هذا مجرد مثال بسيط على
field واحنا أهم حاجة أنه احنا يعني اللي بدنا احنا
نصله أنه مجموعة الأعداد الحقيقية تبعتنا مجموعة
الأعداد الحقيقية R مع عملية الجمع والضرب بتشكل
ما يسمى في الجبر بال field تمام؟ هذا اللي احنا
عايزين نصله، نعم فضل
هذا تعريف احنا .. احنا .. احنا بنعرف أنه لو جمع
واحد على واحد يطلع صفر هذا definition تعريف وليس
آه يعني هاي مجموعة آه بدي أعرف عليها عملية جمع
عملية .. عملية الجمع هانا بأعرفها لو جمعت واحد على
واحد بيطلع صفر لو جمعت واحد آه
آه في هنا شيء مش مظبوط هنا هذه المفروض ضرب هذه هذه
المفروض ضرب هذه فهذا في خطأ مطبعي صحيح هذا كله
تعريف الآن لما هيك أنا بكون عرفت عملية الجمع
والضرب هنا في خطأ مطبعي دي المفروض تكون ضرب لأن
واحد زائد واحد عرفناها تساوي صفر ف
حسب التعريف هذا ممكن التحقق أن خمس خواص تبعت ال
field بتتحقق فممكن تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا
بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها
إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم
تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا
بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها
إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم
تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا
بدكم تحققوها إذا بدكم توعملية القسمة هي عملية
ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
ضرب، إذن عملية الطرح هي عملية جمع كذلك عملية
القسمة division on R is defined by هاي X على Y
بيساوي عملية ضرب X في ال multiplicative inverse ل Y
أو 1 على Y كذلك بنعرف هذا definition دائما لما
يكون فيه نقطتين ووراهم علامة تساوي معناه إن طرف
الشمال by definition بيساوي الطرف اليمين إذن هذا
تعريف لأن أنا بأعرف هذا التعريف أن a أس negative one
معناها واحد على a a to zero بيساوي واحد حسب التعريف
a to negative n و n عدد طبيعي هي عبارة عن مقلوب ال
a الكل to n فكل هذه تعريفات بناء على التعريفات هذه
ممكن أن نبرهن خواص كثيرة
وهتشوفوا بعضها في التمرين اللي موجودة في نهاية ال
section نتطرق
لحاجة اسمها rational numbers الأعداد النسبية
الأعداد النسبية أو rational numbers بنعرفها على
أنها مجموعة من الأعداد الحقيقية أو هي مجموعة جزئية
من الأعداد الحقيقية نموذجها بالرمز boldface q هذه
الرموز الأحرف هذه أو ال letters هذه نسميها
boldface يعني حرف مغمق هذه طبعا بتدل على مجموعات
فال rational numbers هي كل الأعداد الحقيقية اللي
ممكن كتبتها على صورة rational a على b حيث a وb
أعداد صحيحة هذه مجموعة الأعداد الصحيحة bold في ال
z والمقام لازم ما يساويش صفر لأن القسمة على صفر مش
معرفة الآن لو أخذت الأعداد الحقيقية وشلت منها
الأعداد النسبية طرحت منها الأعداد النسبية فالأعداد
الحقيقية المتبقية بنسميها irrational numbers
irrational numbers الأعداد غير النسبية إذا الأعداد
النسبية هي كل الأعداد الحقيقية التي لا يمكن
كتابتها على صورة rational a على b حيث a وb أعداد
صحيحة والمقام لا يساوي صفر تمام؟ طبعا لو أخذت اتحاد ال
rational numbers مع ال irrational numbers بيعطوني
كل الأعداد الحقيقية يعني المعنى الآخر الأعداد
الحقيقية احنا جزأناها إلى مجموعتين irrational
numbers اتحاد ال irrational numbers طبعا
المجموعتين هدول disjoint يعني منفصلتين ما فيش بينهم
عناصر مشتركة
طيب ال .. النظرية التالية ممكن من السهل أن احنا
نثبتها باستخدام خواص الأعداد الصحيحة يعني
معروف احنا عندنا أن ال ..
معروف أن ال ..
لو في عندي عددين صحيحين فمجموعهم بيطلع عدد صحيح
وحاصل ضربهم عدد صحيح بمعنى آخر عملية مجموعة
الأعداد الصحيحة مغلقة تحت عمليات الجمع والضرب بنفس
.. باستخدام الحقيقة هذه أو ال fact هذه ممكن إثبات
أن مجموعة الأعداد النسبية مغلقة تحت عمليات الضرب
والجمع وأخذ ال additive inverse يعني لو كان XY
أعداد نسبية فمجموعهم بيطلع عدد نسبي وحاصل ضربهم
عدد نسبي وسالب عدد نسبي بيطلع عدد نسبي ولو في
عندي عدد نسبي مختلف عن الصفر ف ال multiplicative
inverse بيطلع عدد نسبي بمعنى آخر، مجموعة الأعداد
النسبية مغلقة تحت عملية الجمع والضرب، وأخذ الـ
Additive Inverse وأخذ مغلقة تحت الـ Multiplicative
Inverse وبالتالي ممكن
نستنتج أن مجموعة الأعداد النسبية بتحقق الخواص
الخامسة تبع ال field وبالتالي هي بتشكل field بحد
ذاتها الآن ال Q subset من R وR field وQ subset من R
R وQ field فبنسمي Q sub field زي لما يكون في عندي
set وفي داخلها setفبنقول sub set لو في عندي group
وفي عندي مجموعة جزئية من ال group فبنسمي المجموعة
جزئية نفسها group أيضا فبنسميها sub group إذا ال Q
is a sub field of the field R بناء على النظرية هذه
إذا هذه كلها حقائق معروفة يعني وهتركزوا عليها
أنتم في الجبر يعني ما حنخوض فيها كثير لأن هذا
مواضيع جبرية احنا هنركز على ال analysis في كمان
نظرية هنا مهمة بتخص الأعداد النسبية والغير نسبية
وهذه طبعا برضه بنعطيها دائما مثال في مبادئ
الرياضيات
برهان على مثال على برهان غير مباشر النظرية هذه
بتقول there does not exist R ينتمي ل Q بحيث R
تربيعه بيساوي 2 ما فيش لا يوجد عدد نسبي مربعه
بيساوي 2 يعني بمعنى آخر النظرية هذه باختصار
بتقول أن جذر الـ 2 ليس عدد نسبي ومالوش عدد غير
نسبي يعني جذر 2 عدد غير نسبي فهي برهان
بالتناقض برهان غير مباشر بالتناقض by contradiction
احنا عايزين نثبت أنه ما فيش عدد أو جذر 2 ليس
عدد نسبي فنفرض النقيض نفرض النفي هو الصح يعني نفرض
أن جذر الـ 2 عدد نسبي يعني بيساوي P على Q حيث P
وQ أعداد صحيحة و
Q لا يساوي صفر تمام؟ وبدنا نصل إلى تناقض إذا
وصلنا إلى تناقض معناته فرضنا هذا غلط والصح أن
النظرية تكون صحيحة، بصبوت؟ طيب نشوف مع بعض
هي فرضنا أن الـ 2 عدد هي 2 بيساوي هي
فرضنا أن الـ 2 بيساوي P على Q أو جدر 2
بيساوي P على Q وبالتالي P على Q تربيع فبيطلع عندي P
على Q تربيع بيساوي 2 صح؟ هايطيب الآن لما يكون
في عندي أعداد هذا عدد نسبي فممكن نختصر ونفرض أنه
ما فيش عامل مشترك بين الـ P والـ Q إلا الـ 1 الصحيح
يعني مثلا هي عندي مثلا 4 على مثلا 10 هذا عدد
نسبي فممكن أكتبه أختصر أقسم على 2 وأقسم على
2 بيطلع 2 على 5 لاحظوا الآن ما فيش عامل
مشترك بين 2 والـ 5 إلا الـ 1 فهذا في الجبر
بيسموه الـ greatest common divisor لـ 2 و 5
بيساوي 1 هي مثلا سالب 10 على 30 هي هذا
عدد نسبي فممكن نختصر هذا بيصير 2 على والا ايش
هذا أو سالب 1 على 3 فالـ bus سالب 1 عدد
صحيح والمقام 3 والـ greatest common divisor
لسالب 1 و3 بيساوي 1 إذا أي عدد نسبي ممكن
أختصره أو أبسط وأكتبه بأبسط صورة يعني أخلي الـ
greatest common divisor لـ P وQ هنا بيساوي 1 طيب
الآن تعالوا نربع هنا هذه المعادلة P على Q تربيع
بيساوي 2 فمنها بنستنتج أن P تربيع بيساوي 2 و
Q تربيع طيب هي عندي P تربيع بيساوي 2 في Q تربيع الـ Q
هذا عدد صحيح فمربع العدد الصحيح اللي هو Q تربيع
بيطلع عدد صحيح عدد صحيح مضروب في 2 بيطلع even
number عشان المبادئ صح؟ إذا P تربيع بيطلع even
number تمام؟ هذا بيؤدي أنه ممكن إثبات أن P بيطلع
even لو كان مربع عدد صحيح even فممكن إثبات أن
العدد الصحيح نفسه لازم يطلع even وهذا ممكن نعمل
برهان صغير بالتناقض افرضه أن P مش even يعني odd
تربيعه فبيطلع مربع odd تناقض هي البرهان إذا هذا ايه
الإجابة على الـ Y كمان مرة إذا كان عندي P تربيع أنا
عندي P تربيع even هذا بيعني أن P even كيف نبرهن هذا
برهان بالتناقض افرض أنه P odd ايه يعني P odd يعني
P هي
P بيساوي 2K زي 1 هذا معناه odd وطبعا الـ K هي عدد
صحيح تربيع إذا P تربيع بيساوي 4 K تربيع زائد 4
K زائد 1 وهذا بيساوي 2 في 2 K تربيع زائد
2 K مع بعض زائد 1 وهذا بيساوي 2 في M زائد
1 حيث M عدد صحيح إذاً P تربيع طلع بيساوي 2 في
عدد صحيح زائد 1 وبالتالي هذا Contradiction
تناقض لأن احنا عندنا P تربيع P تربيع is even okay
إذاً هذا برهان الـ why طيب إذا احنا وصلنا إلى أن P
تربيع even بقدر أن P even الآن الـ P والـ Q have no
common factor other than 1 ما فيش بينهم عامل
مشترك إلا الـ 1 والـ P even إذا لازم الـ Q يكون odd
لأن لو كان الـ Q even والـ P even فيه عامل مشترك
بينهم 2 على الأقل أو 4 وهذا بيتناقض مع ايه
أن احنا فرضنا أنه ما فيش common factor بين الـ P و
الـ Q إلا الـ 1 تمام إذا أنا عندي هنا نستنتج أن الـ
Q لازم يكون odd الآن أنا عندي P even يعني معناته
بيساوي 2M for some M عدد صحيح وبالتالي لو ربعت له
نرجع نعوض في المعادلة هذه P تربيع بيساوي 2Q تربيع
عوض عن P بيساوي 2M فبيصير 4M تربيع بيساوي 2Q تربيع
فبختصر 2 من الطرفين بيطلع 2M تربيع بيساوي Q تربيع
إذن Q تربيع بيساوي 2 ضرب عدد صحيح وبالتالي Q تربيع
is even وبالتالي منها بنستنتج أن الـ Q نفسها is
even إذا الآن أنا عندي الـ Q is even وهي نفس الـ Q
استنتجنا أنها odd فهذا
تناقض .. هذا تناقض صح؟ الـ Q هنا odd وهنا طلعت even
فهذا يعطيني contradiction which is a contradiction
فهذا التناقض أن احنا هنا وصلنا بدينا بالبرهان احنا
عايزين نثبت جدر 2 لا تنتمي لـ Q فرضنا النقيض الـ
contrary أن جدر 2 تنتمي لـ Q يعني ممكن كتبتها
على صورة P على Q P وQ أعداد صحيحة وصلنا لتناقض
معناته أن هذا فرضنا غلط الصح أن جدر 2 لاتن
تمي لـ Q as required كما هو مطلوب okay تمام هذا
برهان بالتناقض تمام إذا هنا شوية راجعنا شوية
براهين تعلمتوها في مبادئ رياضيات طبعا الناس اللي
اتعلموا مبادئ رياضيات وأخوياء الحاجات هذه
بالنسبة لهم يعني صارت مجرد تسلية والناس اللي عندهم
مشاكل في المبادئ نجحوا بالعافية فممكن يعني يجد أن
هذا مش كثير مثير طيب هيك بنكون خلصنا الـ
algebraic properties of R الخواص الجبرية لنظام
الأعداد الحقيقية أو الـ real number system ننتقل لـ
section ثاني داخل الـ chapter الأول هيك خلصنا
section الـ section الثاني عنوانه الـ order
properties of R خواص الترتيب على R order properties
خواص الترتيب احنا شفنا أو قلنا لما عرفنا نظام
الأعداد الحقيقية قلنا أن نظام الأعداد الحقيقية
مجرد مجموعة R boldface R مع عمليتين ثنائيتين two
binary operations بيحققوا الخمس خواص تبعت الـ field
اليوم هنفترض أيضا أن نظام الأعداد الحقيقية بيحقق
order properties الخاصية رقم 6 هذه الخاصية رقم
6 هذه الخاصية رقم 6 تتجزأ إلى 3 خواص 3
خواص نسميهم order properties أو أول خاصية نفترض
ماهي order property نفترض وجود مجموعة جزئية من R
وغير خالية، ليست خالية، non-empty subset of R
نفترض أن يوجد مجموعة P subset of R غير خالية
وبتحقق الثلاث خواص هذه الـ set P is closed under
addition يعني لو أخذت أي عنصرين في P فمجموعهم بيطلع
عنصر ثالث فيها كذلك المجموعة P closed under
multiplication يعني لو أخذت أي عنصرين وحصل ضربهم
بيطلع عنصر ثالث الخاصية الثالثة من خاصية الترتيب
اللي لها اسم بنسميها trichotomy property الخاصية
الثلاثية الخاصية الثلاثية ايه هي؟ لو أخذت أي عدد
حقيقي R
فواحد من الثلاث احتمالات هذه لازم يكون صحيح وهو أن
إما a تنتمي للمجموعة P هذه أو a بيساوي صفر أو
negative a ينتمي للمجموعة P هذه هي الخاصية
الثالثة أي عدد حقيقي إما يكون عنصر في P أو بيساوي
صفر أو الـ negative تبقى عنصر في P
الآن بنعرف المجموعة remark ملاحظة بنعرف المجموعة
negative P المجموعة negative P هي مجموعة كل
العناصر negative A حيث A ينتمي لـ P الآن الخاصية C
من الـ order property اللي هي trichotomy property
الخاصية C says تقول أو بتقول أن الـ sets المجموعات
اللي هي المجموعة الأحادية صفر والمجموعة P و
المجموعة negative P الثلاث
هدول are pairwise disjoint منفصلة مثنى مثنى
pairwise disjoint يعني منفصلة مثنى مثنى ايه يعني؟
لو أخذت أي اثنتين من الثلاث مجموعات هدول وقاطعتهم
مع بعض فبتقعوا اعتبارهم five ما فيش بينهم عناصر
مشتركة فبنقول إن المجموعات هذه pairwise disjoint
ومش هيكوا بس واتحادهم بيساوي كل الأعداد الحقيقية هذا
صحيح من الخاصية C لأن C بتقول لأي عدد حقيقي أي A
ينتمي إلى R أي A ينتمي إلى R إما ينتمي إلى P أو
بساوي 0 وبالتالي ينتمي إلى المجموعة هذه أو ينتمي
إلى negative P صح؟ وبالتالي كل a هنا موجود في واحدة
من هذول التلاتة وبالتالي موجود في اتحادهم مش هيك
تعريف اتحاد؟ إذاً الـ R الآن أصبحت مجموعة جزئية من
الاتحاد، مظبوط؟ طب الـ P مجموعة جزئية من R و
negative P مجموعة جزئية من R و singleton 0 برضه
مجموعة جزئية من R إذا اتحادهم بيطلع مجموعة جزئية
من R وبالتالي أنا عندي الاحتواء من الناحيتين
وبالتالي عندي تساوي إذاً هنا برهنت لكم أن الاتحاد
هذا بساوي R تمام؟
طب ليش هدول disjoint؟ لأنه لو .. لو فرضت أنه مثلاً
في عنصر بيقع ينتمي لتقاطع المجموعتين هدول، معناته
هذا العنصر بيساوي صفر وفي نفس الوقت ينتمي لـ P
وهذا بتناقض مع الخاصية الثلاثية، الخاصية الثلاثية
بتقول لازم و exactly one، واحد من الاحتمالات
الثلاثة هذه صح، أما اثنين مش صح، تمام؟ okay
العنى المجموعة P هذه اللي عرفناها هنا بنسميها
مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة the set of
positive real number مجموعة الأعداد الحقيقية
الموجبة و الـ set negative P هذه بنسميها مجموعة
الأعداد الحقيقية السالبة، ولما نضيف عليهم الصفر هيك
بنكون غطينا كل الأعداد الحقيقية صح؟ okay تمام إذاً
P بنسميها مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة negative
P مجموعة الأعداد الحقيقية السالبة وهكذا طيب
لحد الآن احنا ما عرفناش علاقة أصغر أو أكبر أو أصغر
من أو يساوي أو أكبر من أو يساوي اللي هو الترتيب في
عندي definition هنا لو أخدت أي عددين حقيقيين a و b
فهنكتب أو هنعلن أن a أصغر من b أو ما يكافئها b
أكبر من a هذا معناه نقصد نقصد بذلك أن الفرق بين b
و a ينتمي لـ p يعني الفرق هذا موجب يعني هذا عدد
موجب، إذا لو كان الفرق بين b و a عدد موجب فبنكتب a
أصغر من b أو b أكبر من a طيب طب
متى بكتب a أصغر من أو يساوي b أو b أكبر من أو
يساوي a هذا معناه يعني هذا مثلاً معناه أن a أصغر من
b يعني الفرق بين B و A ينتمي لـ P أو A بيساوي B لما
يكون A بيساوي B لاحتمال الثاني هذا معناه أن الفرق
بيساوي صفر يعني ينتمي للمجموعة Singleton Zero okay
تمام؟ إذن أصغر من أو يساوي أو أكبر من أو يساوي
معناته الفرق ينتمي لـ P اتحاد Singleton Zero الآن في
عندي نظرية والنظرية هذه بتعطيني خواص لـ الـ
الـ خليني بس نبص عليها بسرعة النظرية
هذه بتعطيني خواص للـ order properties يعني خواص
أخرى نقدر نشتقها من الـ order properties وكل هذه
خواص معروفة وسهلة وبسيطة وكلها .. كلها عارفين لكن
بدها برهان .. بدها برهان ما حدش عمره برهان لنا إياها
Okay فحنوقف عند النظرية هذه وإن شاء الله المرة
الجاية بنحاول نبرهن النظرية okay حاولوا أنتم
meanwhile في نفس الوقت كتحضير للمحاضرة الجاية
حاولوا أنكم تقرأوا البرهان تبع النظرية وشوفوا هل
تفهموه ولا لأ okay تمام في أي سؤال okay شكراً لكم
ومبارك الله فيكم