1
00:00:21,330 --> 00:00:27,290
اليوم طبعا هنكمل الشرح
2
00:00:27,290 --> 00:00:30,650
أو
3
00:00:30,650 --> 00:00:35,610
بعض الملاحظات على النظرية اللي أخذناها في المحاضرة
4
00:00:35,610 --> 00:00:42,910
السابقة النظرية هذه بتتحدث عن nested interval
5
00:00:42,910 --> 00:00:48,620
property أو خاصية الفترات المتداخلة وشفنا في
6
00:00:48,620 --> 00:00:54,720
النظرية هذه أن لو في عندي sequence of nested
7
00:00:54,720 --> 00:00:58,660
intervals الفترات هذه كلهم nested يعني كل واحدة
8
00:00:58,660 --> 00:01:05,820
تحتوي اللي بعدها مباشرة، زائد أن الفترات هذه كلهم
9
00:01:05,820 --> 00:01:14,580
closed كلهم closed و bounded ففي
10
00:01:14,580 --> 00:01:20,210
الحالة هذه التقاطع تبع الـ sequence of intervals لا
11
00:01:20,210 --> 00:01:24,310
يساوي ∅ يعني في على الأقل عنصر واحد بالتقاطع
12
00:01:24,310 --> 00:01:30,510
شفنا برضه لو في الشرط الإضافي هذا اتحقق وهو
13
00:01:30,510 --> 00:01:35,570
لاحظوا أن هذه عبارة عن ℕ فهذه sequence من
14
00:01:35,570 --> 00:01:42,690
العداد الطبيعية الغير سالبة، و بالمناسبة الـ infimum واضح
15
00:01:42,690 --> 00:01:48,940
أنه lower bound للمجموعة هذه، صح؟ لكن مش شرط أن
16
00:01:48,940 --> 00:01:54,780
الـ infimum يكون هو الـ infimum للمجموعة هذه، فإذا كان الـ
17
00:01:54,780 --> 00:01:57,960
infimum للمجموعة هذه اللي هو أكبر lower bound هو
18
00:01:57,960 --> 00:02:06,440
الـ infimum فالتقاطع فيها عنصر واحد، okay تمام وشفنا
19
00:02:06,440 --> 00:02:11,800
مرتين على البرهان المرة اللي فاتت، و أعتقد أن
20
00:02:11,800 --> 00:02:16,860
البرهان مكتوب بالتفصيل واضح ومرينا عليه جزء جزء
21
00:02:16,860 --> 00:02:22,000
فأرجو أن تكونوا قرأتوها كمان مرة وفهمتوها، في حد
22
00:02:22,000 --> 00:02:27,860
عنده استفسار على البرهان أو النظرية هذه؟ طيب الآن
23
00:02:27,860 --> 00:02:35,820
النظرية هذه، نرجع للنظرية كمان مرة الآن
24
00:02:35,820 --> 00:02:41,480
في ملاحظة بتقول أن لو أنا في النظرية هذه الفترات
25
00:02:41,480 --> 00:02:49,780
هذه، الفرض أن الفترات in مغلقة closed، لو حذفت، شيلت
26
00:02:49,780 --> 00:03:01,600
الفرض هذا فالنظرية هذه بتبطل تكون صحيحة، فالنظرية
27
00:03:01,600 --> 00:03:05,000
هذه بتبطل تكون صحيحة، وحنشوف counter example يوضح
28
00:03:05,000 --> 00:03:07,460
عدم صحتها، كذلك
29
00:03:09,100 --> 00:03:13,220
طب افرض أن هذا الشرط متحقق في الفترات، لكن اللي مش
30
00:03:13,220 --> 00:03:17,680
متحقق اللي هو الـ boundedness، يعني الفترات هذه ليست
31
00:03:17,680 --> 00:03:21,420
محدودة، ليست bounded، برضه في الحالة هذه النظرية
32
00:03:21,420 --> 00:03:26,620
تفشل، و في counter example يوضح فشلها، okay إذا
33
00:03:26,620 --> 00:03:30,640
حنشوف two counter examples، خليني نشوفهم مع بعض
34
00:03:36,610 --> 00:03:39,790
إذا هذه الـ remark اللي أنا اتحدث عنها قلت أن it
35
00:03:39,790 --> 00:03:44,090
should be noted يجب ملاحظة أن generally بصورة عامة
36
00:03:44,090 --> 00:03:48,030
a nested sequence of intervals need not have a
37
00:03:48,030 --> 00:03:51,290
common point يعني لو فيه nested sequence من
38
00:03:51,290 --> 00:03:57,010
الفترات المتداخلة مش شرط تقاطعهم يكون في ∅ يعني
39
00:03:57,010 --> 00:04:02,650
أي نقطة أو نقطة مشاركة، يعني مش شرط أن التقاطع لها
40
00:04:02,650 --> 00:04:11,000
يساوي ∅ فالآن هذه هي اللي حكينا عنها أول
41
00:04:11,000 --> 00:04:18,500
مثال، هذه
42
00:04:18,500 --> 00:04:23,080
في المثال الأول الفرض the hypothesis الفرض أن الـ
43
00:04:23,080 --> 00:04:28,940
intervals In في نظرية 22 be closed cannot be
44
00:04:28,940 --> 00:04:34,800
dropped يعني لا يمكن حذفه، لا يمكن الاستغناء عنه
45
00:04:34,800 --> 00:04:41,180
وتبقى النظرية نظرية صحيحة، for example على سبيل
46
00:04:41,180 --> 00:04:49,120
المثال لو أخذت الفترات In، الفترة In هي الفترة
47
00:04:49,120 --> 00:04:55,580
المفتوحة من 0 لـ 1/n حيث n عدد طبيعي، فواضح أن
48
00:04:55,580 --> 00:05:00,460
الفترات هذه nested صح؟ لأن الفترة الأولى هتكون
49
00:05:00,460 --> 00:05:04,820
الفترة المفتوحة من 0 لـ 1، الفترة الثانية الفترة المفتوحة
50
00:05:04,820 --> 00:05:12,180
من 0 لـ 1/2، وهذه محتوى في I1، و I3 الفترة
51
00:05:12,180 --> 00:05:16,540
المفتوحة من 0 لـ 1/3 محتوى داخل I2، و هكذا لذلك
52
00:05:16,540 --> 00:05:21,720
واضح أن الـ sequence of open intervals In is nested
53
00:05:21,720 --> 00:05:27,560
sequence كذلك عناصر الـ sequence هذه bounded، هذه
54
00:05:27,560 --> 00:05:33,710
فترات محصورة لكن الفترات هذه not closed مش closed
55
00:05:33,710 --> 00:05:38,630
يعني عبارة عن مجموعات مفتوحة ليست مغلقة، إذن شرط
56
00:05:38,630 --> 00:05:45,910
الإغلاق هنا انحذف، وبالتالي نتيجة النظرية مش شرط
57
00:05:45,910 --> 00:05:50,750
تكون صحيحة، إذن التقاطع هنا لنفس الـ sequence هذه
58
00:05:50,750 --> 00:05:54,410
بيطلع بيساوي ∅ مافيش common point، مافيش نقطة
59
00:05:54,410 --> 00:05:59,950
مشتركة في هذه الفترات، طبعا هذا مش واضح
60
00:06:04,230 --> 00:06:08,470
هذا تقاطع الفترات المفتوحة هذه بيساوي ∅ هذا مش
61
00:06:08,470 --> 00:06:14,310
واضح يحتاج إلى برهان، هي البرهان بين قوسين مربعين
62
00:06:14,310 --> 00:06:21,470
تعالوا نبرهن أن تقاطع الفترات هذه بيساوي ∅ to see
63
00:06:21,470 --> 00:06:27,670
this to see this معناه لبرهان ذلك مش لرأي ذلك، هذا
64
00:06:27,670 --> 00:06:34,040
تعبير مجازي استخدمه لبرهان الشيء، العبارة اللي احنا
65
00:06:34,040 --> 00:06:38,400
عايزينها، ف to see this suppose in the contrary
66
00:06:38,400 --> 00:06:43,320
بنفترض على النقيض أن التقاطع هذا بيساويش ∅ يعني في
67
00:06:43,320 --> 00:06:48,100
على الأقل عنصر x في التقاطع بنصل لتناقض، طيب الـ x
68
00:06:48,100 --> 00:06:53,360
موجود في التقاطع معناته x موجود في In لكل n، إذن x
69
00:06:53,360 --> 00:06:58,310
موجود في كل واحدة من الفترات In، طيب x موجود في
70
00:06:58,310 --> 00:07:03,510
الفترة In معناته x أكبر من 0 أصغر من 1/n
71
00:07:03,510 --> 00:07:09,970
أصغر من 1/n، أصغر من 1/n تمام
72
00:07:09,970 --> 00:07:13,970
وبالتالي
73
00:07:13,970 --> 00:07:20,430
حسب الـ Archimedean property، هذا عبارة عن أحد صور
74
00:07:20,430 --> 00:07:25,750
الـ Archimedean property بتقول بما أن x هذا عدد
75
00:07:25,750 --> 00:07:33,530
موجب، الـ x هذا عدد موجب، إذا يوجد عدد طبيعي n0
76
00:07:33,530 --> 00:07:39,150
مقلوبه وأصغر من العدد الموجب وهذا بتديني تناقض،
77
00:07:39,150 --> 00:07:47,370
هذا بتديني تناقض، هذا بتناقض مع كون الـ x أصغر من 1
78
00:07:47,370 --> 00:07:53,170
على n لكل n، يعني الـ x هذه أصغر من 1/n0 وهي في
79
00:07:53,170 --> 00:07:57,210
نفس الوقت أكبر من 1/n0، لأن هذا بتديني تناقض
80
00:07:57,210 --> 00:08:04,250
لأن التناقض هذا سبب الـ assumption تبعنا أن يوجد x
81
00:08:04,250 --> 00:08:09,210
في التقاطع، لأن الصح أن التقاطع هذا مافيش فيه ولا
82
00:08:09,210 --> 00:08:16,140
عنصر يعني is the empty set، إن هذا مثال بيورجي أو
83
00:08:16,140 --> 00:08:21,900
بيوضح أنه لو حذفنا شرط أن الفترات في نظرية 22
84
00:08:21,900 --> 00:08:26,980
closed فبتطلع النظرية، النظرية تفشل، بتبطل النظرية
85
00:08:26,980 --> 00:08:32,720
و هذا مثال بيوضح فشلها، الآن المثال الثاني نفس
86
00:08:32,720 --> 00:08:38,480
الحاجة، الفرض أن الفترات في نظرية 22 be bounded
87
00:08:40,090 --> 00:08:43,690
بتكون محدودة cannot be dropped لا يمكن إسقاطه
88
00:08:43,690 --> 00:08:48,250
لا يمكن إهماله، فعشان
89
00:08:48,250 --> 00:08:52,750
نوضح هذا الكلام بـ counter example، ف for example
90
00:08:52,750 --> 00:08:56,750
على سبيل المثال هناخد الفترات المغلقة In، فترة
91
00:08:56,750 --> 00:09:03,190
مغلقة من n إلى ما لا نهاية حيث n عدد طبيعي، هذه
92
00:09:03,190 --> 00:09:10,150
الفترات كل هذه فترة مغلقة، كل فترة على الصورة هذه
93
00:09:10,150 --> 00:09:17,010
مغلقة إذا شرط الإغلاق متحقق، بعدين الفترات هذه nested
94
00:09:17,010 --> 00:09:20,430
لحظة، أول فترة هي الفترة المغلقة من واحد لما لا
95
00:09:20,430 --> 00:09:24,450
نهاية، الثانية فترة مغلقة من اثنين لما لا نهاية
96
00:09:24,450 --> 00:09:30,110
وهذه محتوى في I1، الفترة الثالثة الفترة المغلقة
97
00:09:30,110 --> 00:09:33,410
من ثلاثة لما لا نهاية وهذه محتوى في I2 وهكذا
98
00:09:33,410 --> 00:09:38,730
فالفترات هذه nested and closed مغلقة لكن ماهي
99
00:09:38,730 --> 00:09:42,190
bounded مش محصورة، it's not bounded .. هذه كمجموعة
100
00:09:42,190 --> 00:09:48,870
is not bounded above، كمجموعة ليس لها supremum، is
101
00:09:48,870 --> 00:09:52,390
not bounded above، إذن شرط الـ boundedness اختل
102
00:09:52,390 --> 00:09:57,970
وبالتالي نتيجة النظرية هتختلف، إذا الفترات هذه
103
00:09:57,970 --> 00:10:03,410
closed but unbounded وإذا هنجد أن تقاطع الفترات
104
00:10:03,410 --> 00:10:08,930
هذه مافيش فيه ولا نقطة، تقاطع هذا بيساوي ∅ كمان
105
00:10:08,930 --> 00:10:15,350
مرة، المساواة هذه بدها مش واضحة ليست واضحة، فبدنا
106
00:10:15,350 --> 00:10:20,730
نثبت صحة المساواة هذه كمان مرة، نعمل برهان بالتناقض
107
00:10:20,730 --> 00:10:24,370
نعمل برهان بالتناقض
108
00:10:29,770 --> 00:10:34,830
فافرض أن التقاطع هذا لا يساوي ∅، وبالتالي يوجد
109
00:10:34,830 --> 00:10:40,670
x في التقاطع، إذا x موجود في الفترة In لكل n، هذا
110
00:10:40,670 --> 00:10:46,950
من تعريف التقاطع، x موجودة في In معناته x أكبر من
111
00:10:46,950 --> 00:10:53,870
أو يساوي n وهذا صحيح لكل n، هذا بتناقض مع الـ
112
00:10:53,870 --> 00:10:58,510
Archimedean property نظرية الأساسية نظرية 15
113
00:10:58,510 --> 00:11:05,450
في الشبطرة، دي اللي بتقول لأي عدد حقيقي x ينتمي إلى
114
00:11:05,450 --> 00:11:16,530
ℝ بتؤدي أن يوجد n0 ينتمي إلى ℕ بحيث أن x أصغر من
115
00:11:16,530 --> 00:11:17,330
n0
116
00:11:21,190 --> 00:11:27,210
هذه هي الـ Archimedean property الأساسية، طيب أنا
117
00:11:27,210 --> 00:11:32,850
عندي الآن من الـ Archimedean property عندي يوجد عدد
118
00:11:32,850 --> 00:11:42,060
طبيعي n0 لـ n0 أكبر من x، وعندي هنا أن x أكبر من أو
119
00:11:42,060 --> 00:11:47,340
يساوي n لكل n في ℕ وبالتالي x أكبر من أو يساوي n
120
00:11:47,340 --> 00:11:51,820
0 لأن n0 ينتمي إلى ℕ، فإذا عندي هنا x أكبر
121
00:11:51,820 --> 00:11:56,180
من أو يساوي n0 و x أصغر من n0، هذا بيديني
122
00:11:56,180 --> 00:12:02,840
تناقض، إذا في عندي contradiction، إذا هذا العنصر غير
123
00:12:02,840 --> 00:12:07,870
موجود such an x does not exist يعني التقاطع هذا
124
00:12:07,870 --> 00:12:13,550
بيساوى ∅ كما هو مطلوب، تمام؟ واضح البرهان؟ إذن هذه
125
00:12:13,550 --> 00:12:17,690
مثال ثاني بوضح أن شرط الـ boundedness لا يمكن
126
00:12:17,690 --> 00:12:25,730
إسقاطه وتبقى nested intervals theorem صحيحة، okay؟
127
00:12:25,730 --> 00:12:31,710
في نظرية ثانية يمكن هذه مرت معاكم في المبادئ لكن
128
00:12:31,710 --> 00:12:37,170
اليوم هنعطيلها برهان يعتمد على الـ nested intervals
129
00:12:37,170 --> 00:12:40,610
theorem أو nested intervals property برهان جديد
130
00:12:40,610 --> 00:12:48,730
غير اللي أخذته في مبادئ الرياضيات، فالنظرية
131
00:12:48,730 --> 00:12:54,590
هذه 24 بتتحدث عن الـ uncountability of the real
132
00:12:54,590 --> 00:12:59,560
numbers فبكل بساطة النظرية هذه بتقول أن مجموعة
133
00:12:59,560 --> 00:13:04,340
الاعداد الحقيقية is uncountable the set ℝ of all
134
00:13:04,340 --> 00:13:09,460
real numbers is uncountable طيب
135
00:13:09,460 --> 00:13:15,460
ماذا يعني أن الـ set تكون countable؟ في حد فيكم
136
00:13:15,460 --> 00:13:21,380
بيُعرف؟ الـ set A أو S، definition
137
00:13:24,240 --> 00:13:31,920
definition تعريف S is countable if
138
00:13:31,920 --> 00:13:46,700
and only if كتّب في المبادئ either أما S is finite or
139
00:13:46,700 --> 00:13:50,040
أو
140
00:13:50,040 --> 00:13:58,450
S is denumerable أو في بيجيكشن one to one
141
00:13:58,450 --> 00:14:03,850
correspondence بينها وبين الأعداد الطبيعية يعني
142
00:14:03,850 --> 00:14:16,970
هذا معناه it is denumerable قابلة للترقيم طيب
143
00:14:16,970 --> 00:14:23,330
إذا كانت ال set ليست
144
00:14:23,330 --> 00:14:29,090
finite وليست in one to one correspondence with
145
00:14:29,090 --> 00:14:33,550
the natural numbers أو ليست denumerable فبنسميها
146
00:14:33,550 --> 00:14:38,410
uncountable غير قابلة للعد countable قابلة للعد
147
00:14:38,410 --> 00:14:44,750
uncountable غير قابلة للعد طيب
148
00:14:44,750 --> 00:14:52,150
ال
149
00:14:52,150 --> 00:14:52,390
..
150
00:14:55,180 --> 00:15:03,200
معروف في مبادئ رياضيات درسنا أن ال interval هذه و
151
00:15:03,200 --> 00:15:08,220
ال interval هذه كلاهما uncountable الفترة
152
00:15:08,220 --> 00:15:11,120
المفتوحة من صفر لواحد infinite set أول حاجة
153
00:15:11,120 --> 00:15:15,800
infinite set و
154
00:15:15,800 --> 00:15:18,900
طبعًا ممكن تثبت أنها uncountable
155
00:15:21,370 --> 00:15:26,370
و طبعًا هذه الفترة المغلقة تحتوي هذه الفترة
156
00:15:26,370 --> 00:15:29,110
المفتوحة فإذا كانت هذه uncountable هذه تكون
157
00:15:29,110 --> 00:15:35,530
uncountable وهذا البرهان موجود في نظرية في الكتاب
158
00:15:35,530 --> 00:15:42,010
المقرر textbook الكتاب المقرر
159
00:15:42,010 --> 00:15:47,110
طبعًا
160
00:15:47,110 --> 00:15:50,410
طيب
161
00:15:57,430 --> 00:16:05,570
الـ احنا عايزين نثبت عشان نثبت أن ال set هذه ال R
162
00:16:05,570 --> 00:16:14,770
لاحظوا أن ال R is
163
00:16:14,770 --> 00:16:18,490
in one to one correspondence مع الفترة المفتوحة أو
164
00:16:18,490 --> 00:16:22,630
المغلقة حتى في
165
00:16:22,630 --> 00:16:28,250
byjection بينها وبين الفترة المفتوحة المغلقة 01
166
00:16:28,250 --> 00:16:36,890
وبرضه المفتوحة الآن لو أثبتنا أن الفترة هذه
167
00:16:36,890 --> 00:16:44,150
uncountable فهذه
168
00:16:44,150 --> 00:16:50,530
الـ R in one to one correspondence معها فال R هذه
169
00:16:50,530 --> 00:16:54,400
تطلع uncountable هذه نظرية موجودة في مبادئ
170
00:16:54,400 --> 00:16:58,080
الرياضيات إذا كانت هناك مجموعتين
171
00:16:58,080 --> 00:17:02,860
equivalent to each other فهناك بيجيكشن بينهم إذا
172
00:17:02,860 --> 00:17:06,540
كانت واحدة countable فال أخرى تظهر countable إذا
173
00:17:06,540 --> 00:17:10,380
كانت واحدة countable فال أخرى تظهر countable إذا
174
00:17:10,380 --> 00:17:14,140
كانت هذه finite تظهر هذه finite إذا كانت هذه
175
00:17:14,140 --> 00:17:19,440
infinite تظهر هذه infinite كل هذه نظريات موجودة في
176
00:17:19,440 --> 00:17:24,350
مبادئ الرياضيات إذا لو أثبتنا أن الفترة هادي
177
00:17:24,350 --> 00:17:31,010
uncountable فبتطلع R uncountable طيب
178
00:17:31,010 --> 00:17:42,050
لإثبات ذلك هنا عايزين نثبت أن الفترة هادي نثبت أن
179
00:17:42,050 --> 00:17:47,030
الفترة هادي uncountable لبرهان ذلك نعمل برهان
180
00:17:47,030 --> 00:17:47,770
بالتناقض
181
00:17:57,100 --> 00:18:01,160
بنثبت أن الفترة المغلقة هذه uncountable نفرض
182
00:18:01,160 --> 00:18:04,940
المقيد
183
00:18:04,940 --> 00:18:08,780
أن الفترة هذه countable لاحظوا أن الفترة هذه
184
00:18:08,780 --> 00:18:14,500
infinite والآن countable إذا بتطلع equipotent أو
185
00:18:14,500 --> 00:18:17,640
in one to one correspondence with natural numbers
186
00:18:22,850 --> 00:18:26,550
الآن في الحالة هذه I in one to one correspondence
187
00:18:26,550 --> 00:18:31,570
with real numbers أو بنسميها innumerable صح؟
188
00:18:33,280 --> 00:18:36,560
الآن ال set I denumerable يعني ممكن ترقيمها
189
00:18:36,560 --> 00:18:41,840
بالأعداد الطبيعية إذا ممكن نسمي عناصرها xn حيث n عدد
190
00:18:41,840 --> 00:18:46,340
طبيعي اللي هي x1, x2, x3 أي set denumerable
191
00:18:46,340 --> 00:18:49,900
أو in one to one correspondence with natural
192
00:18:49,900 --> 00:18:55,140
numbers ممكن ترقيم عناصرها ك list by the natural
193
00:18:55,140 --> 00:18:59,200
numbers إذا I هي كل عناصرها رقمناهم بالأعداد
194
00:18:59,200 --> 00:18:59,800
الطبيعية
195
00:19:05,090 --> 00:19:08,350
لحظة احنا بدنا نصل الى تناقض احنا بدنا القرآن
196
00:19:08,350 --> 00:19:15,650
وفرضنا ال contrary هو Assume ال contrary ان I is
197
00:19:15,650 --> 00:19:19,870
countable بدنا نصل الى تناقض طيب هي الفترة I هي
198
00:19:19,870 --> 00:19:26,890
الفترة I هي الفترة I هذه
199
00:19:26,890 --> 00:19:31,550
I وفي اندكس اي هاد الفترة اي هاد يعني عناصرها هي
200
00:19:31,550 --> 00:19:37,390
مرقمة اكس واحد اكس اتنين الى ما لا نهاية افرض ان اكس
201
00:19:37,390 --> 00:19:46,510
واحد موجود هنا اول عنصر في الفترة موجود هنا فممكن
202
00:19:46,510 --> 00:19:54,530
اختار فترة مغلقة اسميها اي واحد ممكن اختار فترة
203
00:19:54,530 --> 00:20:03,260
مغلقة أسميها I1 بحيث أن ال X1 هذه لا تنتمي للفترة
204
00:20:03,260 --> 00:20:07,520
I1 وممكن
205
00:20:07,520 --> 00:20:13,100
اختار فترة مغلقة ثانية طب افرضي أن X2 موجودة هنا
206
00:20:13,100 --> 00:20:19,680
العنصر الثاني في الفترة I ايه رقم X2 موجود هنا أو
207
00:20:19,680 --> 00:20:27,400
هنا أو هنا فبقدر اختار فترة مغلقة ثانية نسميها I2
208
00:20:27,400 --> 00:20:36,120
اللي هي الفترة هذه بحيث أن X2 لا تنتمي ل I2 و
209
00:20:36,120 --> 00:20:42,400
الفترة I2 هي فترة جزئية من I1 طيب افرض أن X3
210
00:20:42,400 --> 00:20:50,120
موجودة هنا أو هنا أو هنا أو أي مكان ثاني فبقدر
211
00:20:50,120 --> 00:20:58,310
اختار فترة مغلقة تسميها I3 اللي هي الفترة هذه بحيث
212
00:20:58,310 --> 00:21:05,450
أن X3 لا تنتمي للفترة I3 والفترة I3 جزئية من
213
00:21:05,450 --> 00:21:12,490
الفترة I2 ممكن نستمر على هذا النمط هنحصل على
214
00:21:12,490 --> 00:21:21,110
sequence of intervals اللي هي I1 تحتوي I2 تحتوي I3
215
00:21:22,570 --> 00:21:27,550
و هكذا ممكن نستمر إلى ما لا نهاية و كل الفترات هذول
216
00:21:27,550 --> 00:21:32,570
محتوى .. كل واحدة منهم محتوى داخل ال I و كل واحدة
217
00:21:32,570 --> 00:21:38,710
من الفترات هذه صممناها بحيث أن XN لا ينتمي إلى IN
218
00:21:38,710 --> 00:21:47,190
لكل N بيساوي واحد اثنين إلى ما لا نهاية صح؟ إذا لو
219
00:21:47,190 --> 00:21:53,130
استمرنا في العملية هذه هنحصل على sequence of nested
220
00:21:53,130 --> 00:21:57,170
intervals و ال intervals هدول كلهم closed و
221
00:21:57,170 --> 00:22:01,570
bounded كلهم closed و bounded و كل الفترات هذه
222
00:22:01,570 --> 00:22:07,190
محتوية داخل الفترة I و X in العنصر X in من ال
223
00:22:07,190 --> 00:22:14,470
sequence هذه لا ينتمي ل I in لكل N الآن ممكن نطبق
224
00:22:14,470 --> 00:22:18,090
nested interval property theorem اللي هي theorem
225
00:22:20,050 --> 00:22:23,550
بتقول ده في عندي sequence of nested intervals و
226
00:22:23,550 --> 00:22:29,030
كلهم closed و bounded فالتقاطع تبعهم لا يساوي في I
227
00:22:29,030 --> 00:22:34,650
إذا التقاطع تبعهم موجود في نقطة واحدة دعنا نسميها
228
00:22:34,650 --> 00:22:43,030
ساى و الفترات هذه كلها كل الفترات هذه موجودة داخل
229
00:22:43,030 --> 00:22:47,390
الفترة I داخل الفترة I
230
00:22:53,490 --> 00:23:04,810
ماشي هنا اه
231
00:23:04,810 --> 00:23:07,630
ايش صار؟ هي فوق صار
232
00:23:12,680 --> 00:23:17,360
إذا حسب نفس ال interval theorem يوجد نقطة psi في
233
00:23:17,360 --> 00:23:22,080
تقاطع الفترات الفترات كلهم موجودين داخل I إذا
234
00:23:22,080 --> 00:23:29,540
تقاطعهم موجود داخل I وبالتالي النقطة psi هذه
235
00:23:29,540 --> 00:23:37,060
موجودة في كل الفترات I in لأن موجودة في تقاطعهم
236
00:23:37,060 --> 00:23:43,850
كلهم صح إذا النقطة psi موجودة في I in لكل N و الفترة
237
00:23:43,850 --> 00:23:52,690
I N هذه لا تحتوي من هنا الفترة I N لا تحتوي X N
238
00:23:52,690 --> 00:23:58,690
والآن تحتوي psi إذا psi لا تساوي X N الكلام هذا
239
00:23:58,690 --> 00:24:04,430
صحيح لكل N بظبط هذا عنصر في الفترة هذه و X N ليس
240
00:24:04,430 --> 00:24:07,970
عنصر فيها إذا مش ممكن يكونوا متساويين صح؟
241
00:24:10,780 --> 00:24:19,120
ال Psi قلنا هي تنتمي إلى I ال Psi موجودة في I و
242
00:24:19,120 --> 00:24:27,620
الفترة I رقمنا عناصرها قبل شوية انا
243
00:24:27,620 --> 00:24:36,300
في اندكس يوجد عدد حقيقي Psi ينتمي ل I و في نفس
244
00:24:36,300 --> 00:24:42,430
الوجهة الفترة I هي كل عناصرها مُرقّمة بالعداد
245
00:24:42,430 --> 00:24:48,030
الطبيعي عناصرها X1 و X2 إلى ما لا نهائي والآن في
246
00:24:48,030 --> 00:24:59,090
عندي Psi مختلف عن كل عناصر الفترة I فهذا
247
00:24:59,090 --> 00:25:04,510
بيدّي أن ال sequence أو ال set هذه is not a
248
00:25:04,510 --> 00:25:10,330
complete enumeration of I ليست ترقيم كامل للفترة I
249
00:25:10,330 --> 00:25:15,750
وهذا تناقض يعني
250
00:25:15,750 --> 00:25:20,530
احنا قلنا الفترة I هذه تطلع countable و infinite
251
00:25:20,530 --> 00:25:26,830
إذا ممكن نرقم إذا denumerable يعني ممكن نرقم عن
252
00:25:26,830 --> 00:25:31,770
اصرها كلها بالأعداد الطبيعية وبالتالي كل عنصرها X
253
00:25:33,730 --> 00:25:43,170
تمام؟ الآن في البرهان هذا وجدنا أن في صي عنصر جديد
254
00:25:43,170 --> 00:25:49,310
في I مختلف عن كل عناصرها معناته هذه ال list ليست
255
00:25:49,310 --> 00:25:54,650
ترقيم كامل ل I في عناصر أخرى زي صي مش مرقمة و هذا
256
00:25:54,650 --> 00:25:59,950
تناقض لأن إحنا عندنا ال set I هذه countable و
257
00:25:59,950 --> 00:26:04,210
infinite و denomable إذن هي list تبع كل عناصرها
258
00:26:04,210 --> 00:26:11,230
فكيف طلع فيه عنصر جديد مختلف عن عناصرها فهذا تناقض
259
00:26:11,230 --> 00:26:18,140
إذن هذا التناقض بيثبت أن فرضنا أن الفترة I كانت
260
00:26:18,140 --> 00:26:22,140
countable كان فرض خاطئ وبالتالي الفترة I تطلع
261
00:26:22,140 --> 00:26:27,520
uncountable إذا الآن الفترة I uncountable وأنا
262
00:26:27,520 --> 00:26:36,140
عندي R equivalent لفترة مغلقة 01 ممكن نوجد
263
00:26:36,140 --> 00:26:40,860
bijection بينهم إذا ال R تطلع uncountable كما هو
264
00:26:40,860 --> 00:26:45,080
مطلوب إذا
265
00:26:45,080 --> 00:26:50,750
هذا هو برهان النظرية اللي أفادت هي طبعًا برهان بيعتمد
266
00:26:50,750 --> 00:26:55,430
على شوفنا ال nested interval theorem وبالتالي هذا
267
00:26:55,430 --> 00:26:58,510
برهان مختلف عن البرهان اللي بنعطيه في مبادئ
268
00:26:58,510 --> 00:27:05,270
الرياضيات في برهان ثاني برضه لنظرية هذه يعطى في
269
00:27:05,270 --> 00:27:10,710
مبادئ الرياضيات اللي هو باستخدام counter diagonal
270
00:27:10,710 --> 00:27:14,690
argument مشهور
271
00:27:14,690 --> 00:27:20,990
يعني البرهان يرجع إلى العالم الرياضي Cantor يسمى
272
00:27:20,990 --> 00:27:24,750
Cantor دي أقنع ال argument بيثبت أن الفترة المفتوحة
273
00:27:24,750 --> 00:27:29,330
من صفر لواحد is uncountable وبالتالي R is
274
00:27:29,330 --> 00:27:33,310
uncountable لأن R في byjection بينها وبين ال open
275
00:27:33,310 --> 00:27:37,670
interval من صفر لواحد الآن في نتيجة على نظرية
276
00:27:37,670 --> 00:27:42,490
الأخيرة هذه ال set هذه ال R minus Q اللي هي ال
277
00:27:42,490 --> 00:27:46,590
set of all irrationals أيضًا is uncountable
278
00:27:46,590 --> 00:27:50,690
والبرهان هنا نفس البرهان اللي بنعطيه في المبادئ
279
00:27:50,690 --> 00:27:55,470
برهان by contradiction assume and contrary أن ال
280
00:27:55,470 --> 00:28:02,110
set R minus Q is countable وإحنا عندنا نظرية في
281
00:28:02,110 --> 00:28:07,640
المبادئ أخذنا بتقول إن لو في عندي مجموعتين A وB وكل
282
00:28:07,640 --> 00:28:14,140
واحدة منهم countable فاتحادهم بيطلع countable الآن
283
00:28:14,140 --> 00:28:17,640
أنا في عندي Q countable معروف أن Q is countable
284
00:28:17,640 --> 00:28:24,160
والآن احنا فرضنا أن R-Q is countable إذا اتحاد
285
00:28:24,160 --> 00:28:28,420
المجموعتين هدول اللي هو R بيطلع countable وهذا
286
00:28:28,420 --> 00:28:31,420
بتناقض مع النتيجة اللي لسه مثبتينها في النظرية
287
00:28:31,420 --> 00:28:36,240
السابقة Okay إذا في عندي contradiction إذا الفرض
288
00:28:36,240 --> 00:28:39,780
أنه الست هذه countable كان خاطئ إذا الصح أنه الست
289
00:28:39,780 --> 00:28:45,280
هذه اللي هي ال irrational number is uncountable
290
00:28:45,280 --> 00:28:57,120
okay تمام إذا الـ مع
291
00:28:57,120 --> 00:29:01,620
انتهاء النتيجة هذه هيك بنكون غطينا section 2
292
00:29:01,620 --> 00:29:08,660
خمسة وهاي التمرين المطلوب تحلوها مش عايز أبدأ
293
00:29:08,660 --> 00:29:14,020
section جديد عايز أن احنا نستغل الوقت المتبقي من
294
00:29:14,020 --> 00:29:19,160
المحاضرة في حل أسئلة discussion يعني مناقشة فأي
295
00:29:19,160 --> 00:29:22,360
واحدة فيكم عندها مناقشة احنا أنا عارف أن انتوا
296
00:29:22,360 --> 00:29:28,100
هتحضروا حالكم ليوم السبت المناقشة لكن برضه أكيد
297
00:29:28,100 --> 00:29:32,040
يعني في بينكم ناس محضرين فلو عندكم أسئلة في
298
00:29:32,040 --> 00:29:36,680
section 2 3 أو 2 4 أو section
299
00:29:36,680 --> 00:29:41,160
2 2 أو 2 1 فممكن نحاول نحلها في
300
00:29:41,160 --> 00:29:47,080
الوقت المتبقي من المحاضرة ماشي الحال فإذا مين عندها
301
00:29:47,080 --> 00:29:53,540
أي سؤال في الـ .. المحاضرات
302
00:29:53,540 --> 00:30:03,220
السابقة أو تمارين المحاضرات السابقة من
303
00:30:03,220 --> 00:30:08,540
لديها سؤال؟ في عندنا أسئلة كتيرة في المحاضرات
304
00:30:08,540 --> 00:30:15,470
السابقة homework كتير مين لديها سؤال؟ مين عندها
305
00:30:15,470 --> 00:30:23,170
سؤال؟ مين بتحلم السؤال؟ ولا
306
00:30:23,170 --> 00:30:29,690
واحدة عندها سؤال؟ تفضل طيب
307
00:30:30,890 --> 00:30:35,570
طبعا هذه إشارة غير يعني غير إيجابية أو إشارة سلبية
308
00:30:35,570 --> 00:30:42,530
يعني لحد الآن أنتوا مش المادة ما بتدرسهاش دراسة
309
00:30:42,530 --> 00:30:49,530
حقيقية وهذا معناه أن أنتوا مش ماخدينها بجد يعني
310
00:30:49,530 --> 00:30:59,690
كما أجب وهذا دليل عليكم تحلوش مسألة ف أنا
311
00:30:59,690 --> 00:31:04,600
هسأل عنكم خليني أحل لكم كام سؤال هاي section 2
312
00:31:04,600 --> 00:31:29,640
3 هنا هاي
313
00:31:29,640 --> 00:31:31,000
مثلا سؤال 4
314
00:31:35,030 --> 00:31:43,690
هي السؤال 4 section 2 3 أنا
315
00:31:43,690 --> 00:31:51,850
عندي set S 4 بيساوي كل الأعداد 1- -1-
316
00:31:51,850 --> 00:32:03,910
1 / N حيث N عدد طبيعي والمطلوب
317
00:32:03,910 --> 00:32:04,490
find
318
00:32:07,290 --> 00:32:17,550
Find الـ Supremum أو الـ infimum ل S4 و أيضا الـ
319
00:32:17,550 --> 00:32:29,950
Supremum ل S4 طيب
320
00:32:29,950 --> 00:32:34,370
احنا أخذنا في مثال في الـ section هذا
321
00:32:37,360 --> 00:32:39,940
خلنا ننام هنا ولا لسه؟
322
00:33:14,820 --> 00:33:21,960
Solution أخذنا احنا مثال بيقول أنه الـ .. لو كان في
323
00:33:21,960 --> 00:33:25,320
.. في الـ section اللي بعد وممكن الحل باستخدام
324
00:33:25,320 --> 00:33:32,500
المثال رقم A يعني by example
325
00:33:42,050 --> 00:33:52,450
2 4 1 الجزء A أنا عندي الـ supremum ل A
326
00:33:52,450 --> 00:33:58,990
زاد S A عدد حقيقي S مجموعة جزئية من R أثبتنا أن
327
00:33:58,990 --> 00:34:09,970
هذا بيساوي A زائد supremum الـ S فلو
328
00:34:09,970 --> 00:34:24,340
بدي أحل الجزء B ف let S بيساوي مجموعة ..
329
00:34:24,340 --> 00:34:29,740
let
330
00:34:29,740 --> 00:34:36,560
S بيساوي مجموعة الأعداد -1
331
00:34:36,560 --> 00:34:42,140
أس N على N حيث N عدد طبيعي
332
00:34:48,030 --> 00:34:54,310
ممكن نحول السلب لموجة هاد عبارة عن -1 ..
333
00:34:54,310 --> 00:35:05,610
-1 و نص و -1 تلت و -1 ربع و كده
334
00:35:17,860 --> 00:35:29,700
فممكن اثبات أن الـ super mom تبع السيدتها دي
335
00:35:29,700 --> 00:35:33,820
أستاذ
336
00:35:33,820 --> 00:35:40,840
نعم هنحن لو سالب اللي برا دخلناه يصير -1
337
00:35:40,840 --> 00:35:45,980
plus 1 plus 1 على أنا ممكن اه ممكن ناخد -
338
00:35:45,980 --> 00:35:50,560
هذا فهذا أكبر أنصر هو الواحد صح هيك بتنحل الصح
339
00:35:50,560 --> 00:35:56,620
برضه هذا ممكن فبيصير عندي هنا 1 - اول أنصر
340
00:35:56,620 --> 00:36:03,960
1- نص فالصبر ممكن يكون 1 بعدين 1- تلت
341
00:36:03,960 --> 00:36:12,760
ربع و هكذا فالـ supremum إذاً الـ supremum ل S بيساوي
342
00:36:12,760 --> 00:36:17,480
هاي اللي .. لاحظ أن الأكبر عدد في الست هذه هو
343
00:36:17,480 --> 00:36:23,840
الواحد 1 أكبر من أو يساوي كل الأعداد هذه وهو
344
00:36:23,840 --> 00:36:27,020
أصغر upper bound إذاً الواحد upper bound للست هذه
345
00:36:27,020 --> 00:36:32,400
هي أكبر من أو يساوي كل عناصرها وهو أصغر upper bound
346
00:36:32,400 --> 00:36:41,930
إذاً هذا بيساوي 1 لـ س .. إيش بس يعني؟
347
00:36:41,930 --> 00:36:48,850
ما
348
00:36:48,850 --> 00:36:54,370
هو أصغر؟ طلع 2 2 أستاذ الـ super 2 مش
349
00:36:54,370 --> 00:37:00,770
هي على حسب القاعدة نحن نحط أي واحد بيصير
350
00:37:00,770 --> 00:37:04,520
2؟ لا لا احنا بنحكي عن الست هذه اللي هنا مش
351
00:37:04,520 --> 00:37:11,020
اللي هناك هذه S وهذه S4 فبيختلفوا عن بعض الست هذه
352
00:37:11,020 --> 00:37:15,760
هذا هي أنصرها فما
353
00:37:15,760 --> 00:37:21,700
هو بيناجب lower bound أو أكبر lower bound أكبر
354
00:37:21,700 --> 00:37:30,120
lower bound طب نلاحظ -1/2 أصغر من -1/4 أصغر
355
00:37:30,120 --> 00:37:47,710
من بعد هيك -1/6 اه فاعتقد
356
00:37:47,710 --> 00:37:52,010
أن هذا هيطلع -1/2 هذا أكبر lower bound
357
00:37:58,870 --> 00:38:04,470
طيب لو طبقنا النظرية هذه أنا أخدت S بيساوي الكلام
358
00:38:04,470 --> 00:38:12,830
هذا و A بيساوي 1 إذا
359
00:38:12,830 --> 00:38:24,470
الـ supremum ل S 4 بيساوي A زائد الـ supremum ل S
360
00:38:24,470 --> 00:38:34,260
صح؟ والـ a بيساوي 1 والـ suprem لـ s بيساوي 1
361
00:38:34,260 --> 00:38:43,460
فبيطلع الـ suprem لـ S 4 بيساوي 2 تمام؟ الآن
362
00:38:43,460 --> 00:38:53,660
بنجيب الـ infimum لـ S 4 بنفس الطريقة ممكن
363
00:38:53,660 --> 00:38:54,340
إثبات
364
00:39:00,490 --> 00:39:10,070
إذا هنا similar
365
00:39:10,070 --> 00:39:17,590
example
366
00:39:17,590 --> 00:39:24,090
similar
367
00:39:24,090 --> 00:39:32,030
example 2 4 1 أي ممكن من خلاله نثبت أن
368
00:39:32,030 --> 00:39:38,330
الـ infimum أن
369
00:39:38,330 --> 00:39:44,490
الـ infimum لـ set A زائد S بيساوي A زائد الـ infimum لـ S
370
00:39:44,490 --> 00:39:49,310
وبالتالي
371
00:39:49,310 --> 00:39:53,390
أن
372
00:39:53,390 --> 00:40:00,480
أنا لو بدي أجرب على جزء A ف الـ infimum لـ S 4
373
00:40:00,480 --> 00:40:13,780
بيساوي الـ infimum لـ A زائد S اللي هو الـ infimum لـ
374
00:40:13,780 --> 00:40:22,630
1 زائد S وهذا بيساوي 1 زائد infimum لـ S و
375
00:40:22,630 --> 00:40:28,770
هذا بيساوي 1 زائد infimum الـ S -1/2 فبيطلع 1/2
376
00:40:28,770 --> 00:40:36,210
okay أن الـ infimum لـ set S 4 بيطلع - بيطلع 1/2
377
00:40:36,210 --> 00:40:41,910
هذا حل حل ثاني أن أنا يعني أحاول
378
00:40:47,360 --> 00:40:54,460
اه يعني أكتب عناصر المجموعة هذه أفرطها وأحاول
379
00:40:54,460 --> 00:40:59,600
أشوف وين أصغر عنصر ووين أكبر عنصر ووين هيكون في
380
00:40:59,600 --> 00:41:04,640
عندي upper bounds و lower bounds ونحاول نثبت أنه
381
00:41:04,640 --> 00:41:12,060
الـ .. يعني بالطريقة هذه يعني ممكن نحن نحل الأسئلة
382
00:41:12,060 --> 00:41:20,320
بطريقة ثانية فهذا حلو يعني
383
00:41:20,320 --> 00:41:25,900
هذا الـ set ممكن نكتب عناصرها يعني أول عنصر لما N
384
00:41:25,900 --> 00:41:33,680
بيساوي 1 1- -1-
385
00:41:33,680 --> 00:41:44,350
-1 يعني 0 الانصر اللي بعده 1-1/2
386
00:41:44,350 --> 00:41:56,450
بيطلع 1/2 اللي بعده بيطلع 1- -1/3 يعني
387
00:41:56,450 --> 00:42:03,270
1/3 يعني قد ايه 4/3 اللي بعده 1
388
00:42:03,270 --> 00:42:07,210
موجب 1/4 بيطلع قد ايه
389
00:42:09,700 --> 00:42:17,520
5/4 و هكذا فهنلاحظ
390
00:42:17,520 --> 00:42:24,700
أن الـ 2 2 upper bound لأن هو هيكون أكبر
391
00:42:24,700 --> 00:42:31,100
عنصر و ننتبه للست لو في أي upper bound ثاني لو في
392
00:42:31,100 --> 00:42:33,320
أي upper bound
393
00:42:37,830 --> 00:42:45,630
of S4 فهذا بيقودى أن 2 أصغر من أو يساوي الـ V
394
00:42:45,630 --> 00:42:50,890
لأنه 2 عنصر في الست S4 صح؟ إذا 2 upper
395
00:42:50,890 --> 00:42:54,810
bound واضح أن 2 أكبر من أو يساوي كل عناصر S4
396
00:42:54,810 --> 00:43:04,320
صح؟ ولو أخدت أي upper bound لـ S4 فبما أن V هو upper
397
00:43:04,320 --> 00:43:09,200
bound لـ S4 و 2 عنصر في S4 إذن 2 أصغر من أو
398
00:43:09,200 --> 00:43:14,640
يساوي V إذن هنا أثبتنا أن 2 upper bound لـ S4
399
00:43:14,640 --> 00:43:19,500
و 2 أصغر من أو يساوي أي upper bound لـ S4 إذن
400
00:43:19,500 --> 00:43:23,440
2 هو الـ supremum بالمثل ممكن نثبت أن النص هو
401
00:43:23,440 --> 00:43:28,140
الـ infimum إذن هذا برهان ثاني أنا اتعمدت أعطيكم البرهان
402
00:43:28,140 --> 00:43:32,260
هذا عشان القوانين هذه نشوف كيف نطبقها برضه هذا
403
00:43:32,260 --> 00:43:38,520
برهان صعب ناجح الحل؟ okay؟
404
00:43:38,520 --> 00:43:42,080
في أي سؤال أو استفسار؟ إذا احنا هنكتفي بهذا القدر