إذن في المحاضرة هذه إن شاء الله هنحل بعض التمارين
للـ homework اللي تابع لـ section ثلاثة واحد وثلاثة
اثنين فأزملتكم سألوا عن ال .. نحن نحل السؤال 13
section ثلاثة واحد
نكتب السؤال على اللوحة section
السؤال 13 section ثلاثة واحد أنا
عندي b is real number أكبر من صفر أصغر من واحد
وبينا
نثبت show أن الـ limit
للـ sequence اللي الحد العام تبعها n في b to n لما
n تؤول إلى infinity يساوي صفر والكتاب جايب لكم
use الـ binomial theorem كما في مثال 3-1-11 الجزء
develop حاولتم تستخدموا نفس أسلوب البرهان تبع
المثال اللي استخدمنا فيه الـ binomial theorem
فهتصلوا للنتيجة فهي البرهان نشوف
كيف نستخدم الـ binomial theorem في الوصول إلى
المطلوب أنا عندي من الفرض صفر أصغر من b أصغر من
واحد هذا يؤدي أن واحد على b أكبر من واحد
وبالتالي هذا يؤدي أن واحد على b سالب واحد أكبر
من صفر إذا نأخذ let let a خليني أعرف عدد a على أنه
العدد الموجب واحد على b سالب واحد طبعا هذا عدد
موجب حسب ما شفنا وهذا
يؤدي أن العدد لو حليت المعادلة هذه في b فهيطلع
b يساوي واحد على واحد زائد الـ a وبالتالي
so by الـ binomial باستخدام
الـ binomial theorem أنا عندي واحد زائد a الكل أس n
يساوي واحد زائد n في a زائد نصف n في n سالب واحد
في a تربيع زائد وهكذا تمام
إلى آخر حد طبعا هيكون a to n هذا بالضبط زي ما عملنا
في مثال ثلاثة وبالتالي
هذا يؤدي من هنا هذا
المجموعة بيطلع أكبر من أو يساوي نصف n في n سالب
واحد في a تربيع يعني أنا أخذت بس الحد الثالث من
المجموعة دي المجموعة طبعا مجموعة أعداد موجبة كلها
فالمجموعة دي بالتأكيد أكبر من أو يساوي الحد الثالث
في a تربيع هذا صحيح مافيش مشكلة تمام
وبالتالي إذا n في b أس n إيش بيساوي؟ بيساوي n على
واحد زائد a الكل أس n صح؟ هذه b فـ b أس n يساوي واحد
على واحد زائد a to n وأضرب في n فبيصير هيك طيب
من هنا مقلوب واحد زائد a الكل أس n هيطلع أصغر من أو
يساوي مقلوب العدد هذا إذا هذا أصغر من أو يساوي n
على n في
n سالب واحد في .. في n سالب واحد في a تربيع على
اثنين وفي عندنا كمان n العكس
العكس
هي عندي n ومقلوب هذا بيطلع اثنين n في n سالب واحد
في a تربيع تمام؟ إذا هذا إيجى من هنا الآن بختصر الـ
n مع الـ n فهدا بيطلع اثنين على n سالب واحد في a
تربيع تمام؟
الآن هذا الكلام صحيح لكل n أكبر من واحد طبعا ممنوع
نأخذ n يساوي واحد لأن في الحالة هذه بيصير في قسمة
على صفر لأن لكل الأعداد الطبيعية n أكبر من واحد n
في b to n بيطلع أصغر من أو يساوي اثنين على n سالب
واحد في a تربيع الآن تعالوا نثبت أن الـ limit للـ
sequence هذه يساوي صفر
هنستخدم تعريف epsilon capital N لـ limit إذن let
epsilon let
epsilon أكبر من صفر be given
Archimedean property by Archimedean property حسب
خاصية أرخميدس يوجد نقدر نلاقي عدد طبيعي capital
N ينتمي إلى N يعتمد طبعا على إبسلون بحيث أن مقلوب
capital N أصغر من a تربيع في إبسلون على اثنين
الـ a تربيع عدد موجب إبسلون على اثنين عدد موجب إذا هذا
عدد موجب الـ Archimedean property بتقول لأي عدد
موجب زي هذا بقدر ألاقي عدد طبيعي capital N مقلوبه
وأصغر من العدد الموجب وبالتالي capital N هذا زي ما
أنتم شايفين مرتبط بإبسلون بالمتباينة هذه وبالتالي
capital N هذا depends أو يعتمد على إبسلون okay إذا
هذا من الـ Archimedean Property طب ليش أنا اخترت
هذا العدد عشان نخلي المسافة بين xn و 0 أصغر من إبسلون
فركبناها أو ركبناها عشان نصل لإيه الهدف هذا تعالوا
نشوف إذا hence وبالتالي hence بناء على ذلك لو أخذت
n أكبر من capital N هذا يؤدي أن n سالب واحد أكبر
من أو يساوي capital N وهذا يؤدي أن absolute n في b
to n سالب صفر إيش هذا بيساوي؟ بيساوي n في b to n لأن
هذا عدد موجب ومن هنا من هنا n في b to n أصغر من أو
يساوي اثنين على n
سالب واحد في a تربيع وهذا
أصغر من أو يساوي
هذا أصغر من أو يساوي واحد على capital N في اثنين
على a تربيع يعني
أنا من هنا من واحد على n سالب واحد مقلوب n سالب
واحد هيطلع أعظم أو يساوي مقلوب capital N وهذا
عبارة عن واحد على n سالب واحد اثنين على a تربيع
فمقلوب n سالب واحد أصغر من أو يساوي مقلوب capital N
في اثنين على a تربيع تمام؟ شفتم من أين أتيت؟
طيب أنا من هنا من هنا واحد مقلوب capital N أصغر من
a تربيع في إبسلون على اثنين ضربت اثنين على a تربيع
إذا شوفتم ليه أخذت n هنا a تربيع في إبسلون على
اثنين عشان أختصر a تربيع مع a تربيع واثنين مع
اثنين ويبقى إبسلون إذا
ماذا أثبتنا؟ أثبتنا أن لأي given إبسلون عدد موجب
يوجد capital N تعتمد على epsilon بحيث لكل n أكبر
من capital N طلع عندي المسافة بين الحد العام للـ
sequence اللي هو n في b to n والـ limit المنشودة اللي
هي صفر المسافة بينهم طلعت أصغر من epsilon إذا حسب
تعريف epsilon capital N للـ limit هذا معناه أن الـ
limit بما أن هذا صحيح لأي epsilon، epsilon was
arbitrary إذاً هيك ممكن أثبتنا إن limit n في b to
n as n tends to infinity يساوي صفر وهو المطلوب
okay تمام؟ إذاً
هنا استخدمنا الـ binomial theorem ساعدتني في الوصول
للمتباينة هذه والوصول للمتباينة هذه اللي احنا
استخدمناها في البرهان سهلة البرهان تمام بفهم
الخطوة هذه أقول أن الـ limit يعني آخذ الـ limit
للتربيع أقول أن واحد على n ناقص الواحد ماهي close
to zero إذا الـ limit المقدار من أين المتباينة؟ هذه؟
بنفع آه بنفع يعني أنت عندك هنا ممكن واحد يستخدم الـ
sandwich أو الـ squeeze theorem فبدل ما نستخدم
تعريف epsilon capital N نيجي نقول أن الآن أنا
عندي هذه n في b to n طلعت أصغر من أو يساوي اثنين على
n سالب واحد في a تربيع وطبعا بالتأكيد هذا أكبر من
أو يساوي صفر لأن الـ n عدد موجب والـ b to n عدد موجب
وهذا صحيح لكل n أكبر من واحد الآن هذا عبارة عن
sequence هي الحد العام تبعها لما n تؤول إلى infinity
مقلوب n سالب واحد تؤول إلى infinity وبالتالي مقلوبها
تؤول إلى infinity في ثابت موجب اثنين على a تربيع
عفوا لما n تؤول إلى infinity المقام بيروح لـ infinity
وبالتالي مقلوبه وبيروح لـ صفر تمام؟
إذن هذه الـ sequence تؤول إلى 0 نهايتها 0 وهذه الـ
constant sequence 0 نهايتها 0 إذن by squeeze
theorem limit الـ sequence هذه يساوي 0 وبلاش
نستخدم تعريف epsilon capital N لكن هذا السؤال في
section 3-1 ما كناش واخدين الـ squeeze theorem فلازم
نحلها على طريقة باستخدام الـ definition لكن لو
في الامتحان وممكن ما تفرقش أنت متعلم الـ definition
ومتلم الـ squeeze theorem واستخدم أي طريقة
تعجبك okay تمام في
أسئلة ثانية في حد عنده أي سؤال ثاني في section
ثلاثة واحد وثلاثة اثنين تفضلي في أي section ثلاثة
واحد طيب ماشي الحال
السؤال عشرة section ثلاثة واحد السؤال هذا بيقول if
limit sequence xn يساوي x والـ x هذا أكبر من
الصفر then
then
there exist يوجد capital N عدد طبيعي أو capital M
natural number عدد طبيعي such that xn أكبر من الصفر
لكل n أكبر من أو يساوي m لت
y أكبر من الصفر be given
خذ أي إبسلون أكبر من الصفر إذن
إبسيلون على اتنين برضه بيطلع عدد موجب طيب
احنا فرضنا ان limit xn بيساوي x إذن since xn
converges to x وهي إبسيلون على اتنين عدد أكبر من
الصفر إذا يوجد M عدد طبيعي يعتمد على
إبسيلون عدد
طبيعي بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي M
تطلع المسافة من xn إلى x أصغر من إبسيلون على اتنين طيب
أنا ال epsilon هذا
ممكن آخده أنا عندي من الفرض x أكبر من 0 فممكن آخد
ال epsilon هذا بيساوي x بيساوي
x أنا
ممكن آخد ال epsilon بيساوي x أو حتى x على 2 أو x على 2
هذا بالتأكيد الإبسيلون هذا هو عدد موجب اعتبره هو
given وبالتالي
أنا أخذت الآن إبسيلون = x عدد موجب إذا x على اتنين عدد
موجب وأخذت إبسيلون عبارة عن x على اتنين فاعتبر هذا given
إبسيلون إبسيلون معطى مُسبقا فحسب التعريف بما أن x
in converges to x إذا يوجد عدد طبيعي يعتمد على
إبسيلون بحيث لكل n أكبر من أو يساوي M
المسافة هذه أصغر من إبسيلون الآن عوض عن إبسيلون
بيساوى x على 2 فهذا يؤدي الآن فك ال absolute value
فبيطلع عندي xn - x أصغر من x على 2 وأكبر من -x
على 2، مظبوط؟
طيب
لو أخذت هذا الجزء من المتباينة
فبيصير عندي xn أكبر من وادي x على الناحية التالية
أكبر من x - x على 2 وبالتالي
إذا أنا عندي هي xn أكبر من x على 2 وهذا أكبر من
الصفر تمام؟ وهذا صحيح إذا طلع عندي xn أكبر من الصفر
وهذا صحيح لكل n أكبر من أو يساوي M وهو
المطلوب تمام إذا هنا استخدمنا تعريف epsilon M
وهنا استنتجنا إن لازم xn يطلع أكبر من الصفر لكل
n أكبر من أو يساوي M تمام واضح البرهان طيب
في أي أسئلة تانية؟
section ثلاثة اثنين مين
عنده سؤال أي سؤال في أي section ثلاثة اثنين ثلاثة
اثنين سبعة عشر
section ثلاثة اثنين
أنا في عندي هنا sequence of positive real numbers
إذا xn حدودها موجبة بقى لكل n such
that limit ل
xn زائد واحد على xn لما n تؤول إلى infinity بيساوي عددًا
أكبر من واحد والمقلوب show اثبت في الحالة هذه أن
ال sequence
xn is
unbounded is not bounded
and hence not
convergent لأن لو كانت convergent بتطلع bounded
يعني من الشرط هذا ممكن نثبت أن ال sequence
increasing متزايدة
أه ..
ممكن نعمل برهان بالـ ... بالتناقض نفترض
أنها bounded وممكن نصل لتناقض من تعريف الـ ... هنا
ال sequence هذه of quotient convergent لعدد L أكبر
من واحد ممكن باستخدامه
باستخدام تعريف ال convergence زائد أو
ممكن من الفرض هذا نثبت أنه ال sequence unbounded
أو ممكن بالتناقض إما باستخدام تعريف epsilon
N من ال convergence هذانعمل برهان بالتناقض
لنصل إلى حاجة يعني تتناقض مع الفرض اللي هنا على أي
حال أنا هأسيب في حد يحل السؤال هذا طيب أنا هأسيبكم
تفكروا فيه وتقرؤوا برهان شوفوا برهان أنا في
البرهان النظرية هذه اللي كنت قلت لكم اقرؤوا
فحاولوا إنكم تستفيدوا من البرهان تبع النظرية اللي
كانت بتقول إن لو كانت ال limit هذه بيساوي L أصغر من
واحد فبتطلع ال sequence convergent للصفر فإقرأوا
البرهان تبع النظرية هذه وشوفوا كيف يعني النظرية
هذه أثبتت وشوفوا لو كان ال L أكبر من واحد كيف
بيطلع البرهان إيش اللي بيخلي البرهان هذا يبطل صحيح
أه فعيدوا قراءته وحاولكم تحلوه وإذا ما حلتوهوش
يعني المرة الجاية ممكن نحله مع بعض أه ماشي الحال
فإقرأوا
برهان النظرية اللي سيبنا قلنا لكم برهانها موجود
في الكتاب وبدي إنكم تقرأوا تفهموا هل قرأتوا
البرهان؟ حاولوا تقرأوا إيه حاولوا تتعملوا إيه تشوفوا
وين في البرهان الـ L أكبر من واحد بتخلي البرهان
يبطل صح وين المشكلة وشوفوا
إذا كانوا تقدروا تحلو ولا لأ إذا أنا هأسيبكم
تفكروا فيه مرة تانية وتحاولوا تحلوه إذا ما عرفتووش
ممكن نحله مرة تانية أو في المرة القادمة نعم مين
اللي بتحكي هذه ما حدش لو سمحت تحكي إلا غير ترفع
يدها الأول وبعدين تكلم طيب إذا هذا السؤال
هنسيبكم يتفكروا فيه مرة تانية في أي أسئلة تانية
section ثلاثة اثنين أو ثلاثة واحد
في حد عندها سؤال في نفس
ال section نعم فالقاعدة ما أعطينا sequence إنه احنا
نشوف إذا هي تتقارب ولا تتباعد استخدمت ال ratio test
نعم طلعت ال limit بتساوي واحد واحنا الشرط إن تكون
ال limit أقل من واحد صح فالقاعدة هذه بتطلع تطلع ال
limit ل sequence لو معطينيها تساوي صفر
لأ لازم يكون أصغر من واحد ما بتساويش الواحد معناته
ال test بيفشل لأ هي تساوي واحد إذا بالتساوي واحد
ارجعي لهي تمرين 16 بقول إذا كانت ال limit بالتساوي
واحد فممكن
تكون ال sequence convergent أو divergent يعني هذا
ال test ال ratio test بيفشل هي في سؤال 16 هتجيب
بمثالين أول شيء إذا كانت ال limit هذه بالتساوي واحد
فهتجيب بمثالين ال limit تبع ال quotient تبع كل
واحدة بالتساوي واحد لكن واحدة convergent واحدة
divergent وبالتالي ال test هذا بيفشل إذا كانت ال L
بالتساوي واحد أما لو كانت ال L أصغر من واحد فال
sequence xn بتطلع convergent للصفر إذا كان ال L
أكبر من 1 فال sequence بتطلع divergent okay تمام
هذا هو ال ratio test فهل جبت أمثلة؟ كويس ممتاز طيب
إيش دخل دي؟ دي معناته بدك تستخدم طريقة تانية غير
ال ratio test صحيح لأن حسب سؤال 16 ال test بيفشل
إذا كانت limit ال ratio ال ratio test بيفشل إذا
كانت limit لل ratio بتساوي واحد وبالتالي بدك تبحث
عن طريقة تانية
طيب في أسئلة تانية في
section ثلاثة واحد وثلاثة اثنين في عندكم أي سؤال
ما فيش أسئلة لسه مش دارسين مش محاضرين كانت واحدة بس
للدراسة وهم اللي بيسألوا الأسئلة والباقي مستمع طيب
بتحبوا نرجع لأسئلة chapter اثنين في أسئلة في
chapter اثنين إذا
في عندكم أسئلة في section اثنين
أربعة
السؤال هذا يعني في الكتاب أعطيكم hint كيف
يعني تحلوه موجود في نهاية الكتاب فحاولوا تقرأوا إيه
تقرا ال hint هذا وتستفيدي منه وتشوفي يعني هذا
أكيد هساعدك في حل السؤال شفتيه قبل هيك؟ طيب طلعي
خلف الكتاب فيه hint أو إرشادات لبعض التمارين
بيعطيكي يعني طريقة مقتضبة للحل أو بيحط رجلك على طريق
الحل فحاولي تقرأي إيه وتستفيدي منه وإذا فهمتي
الإرشاد هذا ممكن تحلي السؤال أنتِ وزميلاتك تطلعوا
على الإرشادات هذه تبعت التمرين أو بعض الحلول
المختصرة وحاولوا تستفيدوا منها وتفصلوها وتكتبوا
الحل بطريقة واضحة وكاملة فهأسيبكم
تقرؤوا الإرشاد وتحاولوا تستفيدوا منه أي أسئلة
تانية في section 2 4 2 3 2 2 إن واحد الجزء اللي
داخل الامتحان، في عندكم أي سؤال فيه؟ منين في عندها
سؤال؟
في أسئلة كتير حلوة ومهمة ويا بدوا إنكم مش مدرسين
ولا حتى مستعدين للامتحان
في أي أسئلة في chapter 2 أو chapter 3 الجزء الداخل
في الامتحان
فيش أسئلة؟ طيب
أنا هأحل لكم يعني كمان سؤالين واحد من section ثلاثة
واحد وواحد من ثلاثة اثنين
خليني
أحل السؤال
يعني مثلا يعني
مثلا السؤال الخامسة
السؤال
الخامسة الفرع دي section تلاتة واحد use definition
use definition of limit to
establish أنه
ال limit لإن
تربية سالب واحد على اتنين انتر بيه زائد تلاتة ال
sequence اللي حد العم تبعها الكاسر هذا بيساوي نص و
بيثبت ان ال sequence هذي convergence و نهايتها نص
بيستخدم ال definition ماهو ال definition المقصود
في هنا اللي هو تعريف epsilon capital N لل limit أو
للنهاية تعريف epsilon capital N طيب أنا
في النهاية في نهاية المطاف تعريف epsilon capital N
عايزني أثبت أن المسافة بين xn اللي هو انتر بيها
سالب واحد على اتنين انتر بيها زائد تلاتة سالب نص
بدنا هذا يكون أصغر من أي given epsilon عدد موجب
لكل n أكبر من أو يساوي capital N حيث capital N عدد
طبيعي هنجيبه ويعتمد على ال epsilon فنشوف مع بعض هذا
إيه من الآخر طيب إذا هنا solution إذا بقول أنا
عايز في النهاية absolute value سالب واحد على
اتنين انتر بيه زائد تلاتة سالب نص بسأل نفسي متى
هذا بيكون أصغر من أي epsilon موجب هذا بكافئ
الـ absolute value بين واحد المقامات هي اتنين في
اتنين انتر بيه زائد تلاتة و بيصير عندنا اتنين
انتر بيه سالب اتنين تضرب هذا في اتنين سالب اتنين
انتر بيه موجبة بتلاتة لان هذا المقدار اللي فوق
بيبقى اصغر من epsilon
طيب أنا عندي اتنين in تربيع و هاي سالب اتنين in
تربيع بيروحوا مع بعض و عندي سالب اتنين و السالب
تلاتة بطلع خمسة يعني دلوقتي بصير absolute سالب
خمسة على اتنين في
اتنين in تربيع زائد تلاتة
بدي هذا يكون أصغر من epsilon طيب
هاد عبارة عن خمسة هاد
عبارة عن خمسة على اتنين اتنين انتر بيه زي
التلاتة
متى بيكون هذا أصغر من epsilon هذا
بكافئ هذا
بكافئ ان اقول واحد متى بيكون واحد على اتنين انتر
بيه زائد تلاتة أصغر من اتنين على خمسة إبسلون طيب
إذا
أنا ممكن أستخدم ال Archimedean property إذا هنا
let epsilon أكبر من الصفر
نبدأ بـ epsilon أكبر من الصفر تعريف epsilon capital N
بيقول ابدا بـ epsilon أكبر من الصفر و جيب capital N
بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من epsilon لكل N
أكبر من أو يساوي capital N بحيث أن المسافة بين XN
بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من epsilon لكل N
أكبر من أو يساوي capital N بحيث أن المسافة بين XN
و X أصغر من epsilon لكل N أكبر من أو يساوي capital N
بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من epsilon لكل N
أكبر من أو يساوي capital N بحيث أن المسافة بين XN
و X أصغر
من epsilon لكل N أكبر من أو يساوي capital N بحيث
choose it choose طبعا
by Archimedean property capital
N عدد طبيعي بحيث انه واحد على اتنين في capital N
تربيع زائد تلاتة أصغر من اتنين على خمسة epsilon
ممكن
ألاقي capital N عدد طبيعي ممكن 2 في n تربيع زائد
تلاتة طبعا تلاتة مش epsilon واحد على اتنين n
تربيع زائد تلاتة اصغر من اتنين على خمسة epsilon الان
اذا لو اخدت small n اكبر من او يساوي ال capital N هذا
بيقدي انه واحد على اتنين n تربيع زائد تلاتة او بلاش
absolute اه بيقدي ان absolute طيب
هذا بيقدي ان الكلام هذا اصغر من أو يساوي واحد على
اتنين capital N تربيع زائد تلاتة وبالتالي هذا
بيقدي ان ال absolute value ل n تربيع سالب واحد على
اتنين n تربيع زائد تلاتة سالب نص طلع هذا
خمسة على اتنين
في اتنين n تربيع زائد التلاتة
وهذا هيطلع أصغر من أو يساوي خمسة على اتنين في اتنين
capital N تربيع زائد تلاتة ومن هنا هذا أصغر من
خمسة
على اتنين ضرب اتنين على خمسة في epsilon اللي هو
بيطلع epsilon
إذن هذه لأي epsilon أكبر من صفر لجيت فيه capital N
مرتبطة لـ capital N هي في epsilon depends on epsilon
بتعتمد على epsilon بحيث لكل n أكبر من أو يساوي
capital N طلع absolute xn minus x أصغر من epsilon
طبعا إذا هذا حسب تعريف by definition of epsilon
capital N of limit بطلع عندي limit n تربيع سالب
واحد على اتنين n تربيع زائد تلاتة لما n تؤول
infinity بساوي نص
بالمثل ممكن نحل باقي التمرين اللي هي الفروع A وB
و C باستخدام التعريف فحاولوا تتدربوا على التمرين
هذه و تحلوا أسئلة زيها في حد عنده أي سؤال تاني في
هذا ال section طيب
نحل كمان سؤال في section تلاتة اتنين
في انكم أي سؤال في section تلاتة اتنين اخر
سؤال
هي سؤال واحد وعشرين section تلاتة
اتنين suppose
افترضي ان ال sequence xn converge إلى x و ال
sequence yn و yn is such that is a sequence
such that for any epsilon for
any epsilon أكبر من الصفر يوجد
m بحيث يوجد عدد m such that
absolute xn minus yn أصغر من epsilon لكل N أكبر من
أو يساوي capital N فالسؤال
does it
follow هل
ينتج من ذلك هل ال sequence yn تطلع
convergent فنشوف
مع بعض
كمان مرة اندي two sequences واحدة xn واحدة yn
ال sequence xn مُعطى انها convergent to some x
إلى عدد ما x ال limit تبقى تاكس و ال sequence yn
بتحقق الشرط هذا وهو
انه لأي epsilon أكبر من صفر في عدد طبيعي حتى هذا
عدد طبيعي المفروض يكون بنسميه capital N بحيث انه لكل
n أكبر من أو يساوي capital N المسافة بين xn و yn
أصغر من epsilon هل هذا بيقدم ال sequence yn
convergent؟ هنشوف الآن أن فعلا تطلع ال sequence yn
convergent ونهايتها هي نفس نهاية ال sequence xn
لأن هنا الإجابة yes
and yn converge to x لكن
هذا بيده برهان اذا
to see this
نبدأ
بـ epsilon أكبر من الصفر
let by hypothesis من الفرض من
الفرض من ال hypothesis أنا عندي absolute xn minus
yn أصغر
من epsilon أكبر من أو يساوي صفر وهذا صحيح لكل n أكبر
من أو يساوي capital M وهذا
الكلام صحيح لكل epsilon أكبر من الصفر
فمن هنا فمن
هنا بهدف بيقدي ان ال limit ل xn minus yn لما n
تؤول infinity بساوي صفر
مش شرط هذا أنا
عندي ال ..
ما معناه ان limit ال sequence هذه بساوة صفر؟ معناه
لأي epsilon أكبر من الصفر يوجد capital M عدد طبيعي
يعتمد على epsilon بحيث أنه لكل n أكبر من أو يساوي
capital N هذا بيقدي أن absolute xn minus yn minus
الصفر أصغر من epsilon هي معنى ان limit ال sequence
للفرق بساوي صفر ايش معنى هذا لأي epsilon أكبر من
سفر يوجد M يعتمد على N عدد طبيعي يعتمد على
ال epsilon بحيث لكل N أكبر من أو يساوي M
المسافة بين الحد العام لل sequence و limit اللي هي
سفر أصغر من epsilon هذا الكلام هي متحقق هنا هي
متحققة تمام؟ إذا هذا بنحصل عليه وبالتالي limit xn
minus yn بساوي سفر ومنها الآن أنا عندي ال yn ممكن
كتبتها على صورة yn
سالب xn موجب xn وهذا بيساوي سالب Xn سالب Yn زائد Xn
تمام؟ إذا ال limit ل Yn as n tends to infinity
بيساوي limit الطرف اليمين ف limit Xn سالب Yn
مضروبة في سالب واحد بيطلع برا ال limit زائد limit
xn لما n تقول لإنفينيتي وهنا
لسه احنا مثبتين هذا عبارة عن سالب limit sequence
xn minus yn بالساوية سفر، سالب واحد في سفر
زائد limit xn اللي هي x تمام اذا limit ال sequence
yn تطلع بالساوي x اذا
هنا اثبتنا ان ال sequence yn تطلع convergent وال
limit تبعتها بالساوي x تمام البرهان هنا اعتمد على
انه من الفرض انا عندي المثال لأي epsilon هذا الفرض
معناه ان limit ال sequence xn minus yn بالساوي
سفر وهذا اللي ساعدنا في الحل وهذا ناتج هي من تعريف
epsilon N لل limit هذا هو البرهان