أحنا المرة اللي فات أخدنا موضوع ال sub sequences و
أخر نظرية أخدناها في الموضوع هذا كان في نظرية 2.16
النظرية هذه بتنص على إنه لو كان في عندي sequence
of real numbers و كانت convergent فأي subsequence
منها بتكون convergent ويلها نفس ال limit تمام؟
الان بدنا نطبق النظرية هذه من خلال الأمثلة التالية
فالمثال
الأول لو كان واحد أصغر من أو لو كان سفر أصغر من بي
أصغر من واحد فبدنا نثبت أن هذا بيقدي أن limit ال
sequence bn بساوي سفرفلبورحان ذلك بنعرف
الـ sequence Xn اللي الحد العام تبعها بساوي B أُس
N تمام؟ الآن من الفرض أنا عندي صفر أصغر من B أصغر
من 1 هذا بيقدّي أن Xn اللي هي بساوي B أُس N الـ B
هذا عدد موجب أصغر من 1 فكل ما كبرت القوة تبعته كل
ما زغريعني هذا أكبر من b أُس n زايد واحد اللي هو
xn زايد واحد الكلام هذا صحيح لكل الأعداد الطبيعية
n فهذا بيقدي ان ال sequence xn is decreasing
متناقصة كذلك احنا في عندنا since بما انهالـ Xn
تبعتي اللي احنا عرفناها على عينها B أس N إذا كان B
أكبر من 0 أصغر من 1 ف B أس N بيطلع أكبر من أو ساوي
0 أصغر من أو ساوي 1 وهذا صحيح لكل N هذا معناه أن
السفر حد أدنى لل sequence BN والواحد حد أعلى
وبالتالي سيكوانس b in is bounded من أسفل ومن أعلى
وبالتالي bounded إذا السيكوانس x in is bounded
الآن
أنا في اندي سيكوانس x in decreasing وبالتالي
monotone وbounded إذا by monotone convergence تطلع
conversion
by monotone convergence theorem xn converges say
دعنا خلّينا نسمي ال limit تبعتها x say limit xn
بساوي x
الان بدنا نثبت انها هيثبتنا ان ال sequence xn اللي
الحد العام تبعها بيوس ن تطلع convergent إلى عدد x
الان بدنا نثبت ان ال x هذا هو سفر اكلم ال
x بساوي سفر طيب by ال theoremاثنين ستة عشر ال
sub sequence لو أخدت ال sub sequence اللي حدودها
زوجية لو أخدت الحدود الزوجية من ال sequence xn هذه
فهذه sub sequence من xn فهذه أيضا converges ل x
حسب نظرية 2.16 الـ sequence x in converge ل x x 2
in subsequence من x in وبالتالي convergent by
theorem 16 إلى x طيب، الآن so as بما أنه
x2n بيساوي بي أس اتنين n x اتنين n بد ان باتنين n
بيساوي بي أس اتنين n وهذه ممكن كتبتها على صورة بي
أس ان لكل تربية وهذا عبارة عن xn تربية الكلام هذا
صحيح لكل n خدوا ال limit للطرفين لما n تقول ل
infinityإذا ال limit ل x2n لما n تقول infinity
بساوي limit xn تربيع لما n تقول infinity وهذا
بساوي limit xn لكل تربيع طيب limit .. أنا عندي
limit xn بساوي x إذا هذا x تربيع
و limit x2 in بساوي x إن أنا أصبح في عندي معادلة x
بساوي x تلبيا حل المعادلة هذه في x فبطلع x بساوي
سفر أو x بساوي واحد تمام؟
طيب مين أخد السفر و لا الواحد؟
أنا عندي ال sequence تبعتي decreasing متناقصة أنا
عندي .. أنا عندي ال X since
X in is decreasing متناقصة
و ال limit تبعتها و x اللي هي بالساوي limit x in
من هنا limit x in هتطلع أكبر من أو ساوي سفر أصغر
من أو ساوي الواحد و ال x إما بالساوي سفر أو واحد و
متناقصة فلازم ال x ال limit تبعتها x ساوي سفر
لأنها بتتناقص مش بتزايد okay إذا ال X بساوي سفر
برضه
ممكن نحن نقول إن ال sequence ال X بساوي ال infimum
ل XN حيث N ينتمي ل N حسب ال monotone convergence
theorem وهي ال XN bounded below by سفر والسفر هو
ال infimum لهاإذاً هذا بيساوي السفر لأن
السفر عبارة عن lower bound هو أكبر ممكن إثبات إنه
أكبر lower bound طيب واضح المثال هذا؟ كيف طبقنا
نظرية 2.16 لإيجاد limit لل-convergent sequence لأن
احنا أثبتنا إن ال sequence convergentأخذنا سيكوينس
الحد اللي عام تبعها بي أس ان أثبتنا إنها
convergence by monotone convergence theorem وجبنا
قيمة ال limit باستخدام نظرية 2.16 أو ممكن باستخدام
ال monotone convergence theorem تمام؟ ناخد مثال
تاني
لو كان عندي c عدد حقيقي أكبر من واحد فهذا بيؤدي ان
ال limit ل c أس واحد على n لما n تقول infinity
بيساوي واحد البرهان
بنفس الطريقة اللي برهننا فيها المثال الأول let
المرة هذه y in انعرف sequence y inالـ nth term
تبقى yn بساوي c أس واحد على n لكل n عدد طبيعي then
واضح أن yn زائد واحد بساوي c أس واحد على n زائد
واحد و ال c عدد أكبر من واحدوهذا الجذر رقم n زاد
واحد له هذا بطلع أكبر من أو أصغر من الجذر رقم n أو
الجذر اللوني ل ال c كل ما كبر الجذر كل ما العدد
زغر إذا كان العدد أكبر من واحد وهذا بساوي ynو هذا
صحيح لكل n هذا معناه yn زياد واحد أصغر من yn
معناته ال sequence yn is decreasing متناقصة also
أيضا أنا عندي في ال sequence هذه y واحد أكبر من أو
ساوي ynلأن الـ sequence متناقصة صح؟
و YN من هنا YN بساوي C أس N الـ C أكبر من واحد إذا
الجذر النوني لـ C عدد أكبر من واحد بيبقى أكبر من
واحد إذا هذا أكبر من أو ساوي واحد تمام؟ وهذا
الكلام صحيح لكل N؟إذن هي ال sequence تبعتي y in
bounded below by one and bounded above by y one y
one عدد حفيفي موجب أكبر من واحد إذن
هذا معناه أن ال sequence y inis bounded صح is
bounded so by monotone convergence theorem a
sequence yn converges converge say ال limit تبعتها
بساوي عدد yافترضوا ان ال limit تبعتها بالساعة
واحدة الان بنثبت ان ال limit
y بالساعة واحدة ال claim ان ال limit y بالساعة
واحدة كمان مرة نفس السلسلة اللي بستخدمها برنامج
اتنين ستاشر ال subsequence اللي هيمتتالية الحدود
الزوجية y2n هذي
المفروض تكون convergent لنفس ال limit تبعت ال
sequence yn اللي هي y تمام طيب
but
Y2N شو بيساوي؟ C أس واحد على اتنين N وهذا بيساوي C
أس واحد على N الكل أس واحد على اتنين وهذا بيساوي C
أس واحد على N عبارة عن YN الكل أس نصالكلام هذا
صحيح لكل n إذا لو أخدت ال limit للطرفين لما n تقول
infinity فبطلع عندي limit y2n as n times infinity
بساوي limit yn
لما n تقول infinity أص نص وهذا بساوي limit أص نص
طيب limit y in قلنا بتساوي y إذن هذا y أص نص و
limit y اتنين in قلنا بتساوي y إذن أنا أصبح في
عندي معادلة y بساوي y أص نص لو حلينا المعادلة هذه
في y فy تلبية بساوي y ومنها بطلع y بساوي سفر or y
بساوي واحدة
أحنا عايزين ال y تساوي المثال التاني واحد عايزين
ال y تساوي واحد تمام فأنا عندي since limit أنا
عندي من هنا
أنا عندي yn أكبر من أو ساوي واحد لكل n بيقدي انه
limit yn اللي هي y هي خانة نظرية بتقول لو y ال
sequence bounded below by a ف limit yn تطلع أكبر
من أو ساوي الواحد
طيب why أكبر من أو ساوي الواحد و احنا قلنا انه
لازم تطلع اما سفر او واحد فمين ال .. ال .. الإجابة
المنطقية اذا ال why لازم الساوي واحد وبالتالي هيك
ممكن اثبتنا ان ال sequence اللي ال instance تبعها
c to one over n is convergent و ال limit تبعتها
بالساوي واحد تمام واضح؟
في اي سؤال؟ طيب
النظرية اللي بعد النظرية هذه
نظرية السبعتاش divergence
criterion
let xn be sequence in R لو
كانت xn sequence of real numbers then the
following statements are equivalent الأبارات
التالية متكافئة xn does not converge ل x ينتمي إلى
R
تنين يوجد epsilon zero اكبر من سفر بحيث انه such
that for any k عدد طبيعي يوجد
عدد طبيعي rk ينتمي الى n with
rk أكبر من أو يساوي k and and
absolute x x
رقم rk minus x أكبر من أو يساوي epsilon zero
الأبارة التالتة
يوجد epsilon zero أكبر من الصفر and a subsequence
.. a subsequence xrk أو xrn of ال sequence x in
such that absolute xrn
minus x أكبر من أو يساوي epsilon zero لكل n تمام؟
لبرهان النظرية هذه عشان اثبت تلات عبارات متكافئة
حسب ال logic حسب المنطق أو مبادئ الرياضيات لازم
نثبت ان واحد بكافئ اتنين و اتنين بكافئ تلاتة وهذا
ممكن اثباتهبإن احنا نثبت واحد بيقدي لاتنين و اتنين
بيقدي لتلاتة و تلاتة بيقدي لواحد هيك بنغلق الدائرة
فهذا اللي هنعمله فنبدأ بالبرهان نثبت الأول ان
العبارة الأولى implies التانية بتقدي للتانية ف
assume
العبارة الأولى صحيحة وهو xm does not converge لx
طيب ارجعوا لتعريف epsilon capital N definition of
convergence ما معناه ان ال sequence xn converge ل
x معناه لكل epsilon أكبر من السفر يوجد capital N
يعتمد على epsilon بحيث لكل N أكبر من أو ساوي
capital N المسافة بين xn و x أصغر من epsilonطب
مايعنى x in لا تتقارب ل x معناه نفي كل الكلام هذا
اللي حاكيناه بيحصل بدل لكل epsilon أكبر من الصفر
يوجد capital N بصير يوجد epsilon واحدة epsilon
zero عدد موجب بحيث such that بحيث انه لكل
كبت أو n عدد طبيعي the implication
ال implication تبع التعريف epsilon capital n ال
implication اللي هي لكل n أكبر من أو ساوي capital
K لازم يطلع المسافة بين xn و x أصغر من epsilon
zero ال implication هذه is false is false ليست
صحيحة طب ما هذا معناه هذا معناه
this means هذا يعني this means أنه لكل capital K
عدد طبيعي يوجد لكل
K عدد طبيعي مايعني أن هذا غلطمعناه يوجد لكل K عدد
طبيعي capital K يوجد عدد واحد مش لكل ال N الأكبر
منه يوجد عدد طبيعي واحد أكبر من أو ساوي يوجد عدد
طبيعي سميه N أو R sub capital K يعتمد على K عدد
طبيعي بحيث أنه
بحيث أنه طبعا
ال RK هذا هيكون
أكبر من أو ساوي K and RK
أكبر من أو ساوي K and absolute XN أو XRcapital k
minus x أكبر من أو يساوي بدل أصغر من epsilon zero
النفي تبعها أكبر من أو يساوي epsilon zero now
replace
badly replace capital k by small k
to get الأبارع
اتنين holes صح؟
هاي بدلي كابتال K بsmall kفهنا أثبتنا أن يوجد يوجد
εمسلون زيرو أكبر من سفر بحيث لكل لكل small k يوجد
R small k أكبر من أو ساوي small k والمسافة بين X R
small k minus X أكبر من أو ساوي امسلون زيرو
الأن نثبت اتنين بيقدي لواحد لتلاتة اذا two implies
three assume
two holds افرضه ان العبارة التانية صحيحة بيبني
نثبت ان العبارة التالتة صحيحة طيب؟
then for k بساوي واحد يعني تم إلى n الان احنا
فرضين اتنين العبارة اتنين صحيحة اذا احنا فرضين ان
يوجد epsilon zero بحيث الكلام هذا بتحقق الان لو
اخدت k هذه بساوي واحد فيوجد
R1 عدد طبيعي وطبعا R1 بالتأكيد أكبر من أو ساوي
واحد such that absolute X R1 سالب X أكبر من أو
ساوي epsilon zero صح؟ next for
ك بساوي R واحد زاد واحد مش
هاد عدد طبيعي لو أخدت ك بساوي R واحد زاد واحد R
واحد عدد طبيعي زاد واحد عدد طبيعي يوجد R اتنين عدد
طبيعيو R اتنين اكبر من او يساوي R
واحد زاد واحد such that absolute X R اتنين minus X
اكبر من او يساوي epsilon zero صح طيب
كمان برضه لو سمرنا في العملية هذه now
for R اتنين زائد واحد مش هاد عدد طبيعي لو أخدت K
لان بساوي اه لو أخدت K بساوي R اتنين زائد واحد هاد
عدد طبيعي هنا اتنين اتنين لو أخدت K بساوي R اتنين
زائد واحد اذا حسب اتنين يوجد R تلاتة عدد طبيعيوR
تلاتة أكبر من أو ساوي ال K اللي هو R اتنين زائد
واحد بحيث انه المسافة بين X R تلاتة minus X أكبر
من أو ساوي epsilon zero طب لو استمرنا في العملية
هذه شو هنحصل؟ ايه اللي هيحصل؟ continuing this
process
this process اللي هو سمرنا في العملية دي اللي
عملية تطبيق العبارة التانية we obtain هنحصل على we
obtain strictly strictly
increasing increasing sequence
RK من K بساوة واحد لإنفينتي هذه عبارة عن sequence
of natural numbers in N such
that and hence وبالتالي وبالتالي نحصل على a
subsequence XRK
من k بساوي واحد في infinity هذه عبارة عن
subsequence من ال sequence xn بحيث such that
absolute xr k minus x أكبر من أو ساوي epsilon zero
والكلام هذا صحيح لكل k ينتمي إلى n
هي في الخطوة الأولى حصلنا على R1 وبالتالي على XR1
بحيث absolute XR1 minus X أكبر نوى ساوية X نزيلة
في الخطوة التانية حصلنا على R2 وبالتالي XR2لاحظوا
R2 أكبر من R1 وR3 أكبر من R2، إذن هذه sequence of
natural numbers strictly increasing، إذن ال
sequence، المؤشرات تبعتها هي الأعداد الطبيعية، هذه
subsequence حسب التعريف من sequence Xوبتحقق في
الخطوة التانية absolute XR2-X أكبر من أو ساوي Y0
خطوة التالتة لما K بساوي تلاتة هي absolute XR3-X
أكبر من أو ساوي Y0 وهكذا إذن هنا عملنا
construction عملنا بناء بنينا subsequence اللي هي
subsequence هذه من ال sequence XN بطريقة استقرائية
و هذه الـ subsequence بتحقق المتباينة هذه وهذه
بالضبط العبارة تلاتة اذا three العبارة تلاتة whole
تمام؟
إذا هيك أثبتنا أن اتنين يعدي إلى تلاتة باقي أثبات
أن العبارة تلاتة تعني واحدة
ف assume .. assume العبارة تلاتة صحيحة يعني يوجد
epsilon zero أكبر من صفر and a subsequence xrk
of a sequence x in such thatabsolute xrk minus x
أكبر من أو ساوي y0 لكل k طيب
هذا معناه أو هذا بيقدّي ان xrk
او xrn او xrkلا تنتمي لـ X-Y0 X زاد Y0 لا تنتمي
للفترة المفتوحة هذه
اللي هو هذه الفترة المفتوحة سمناها قبل هيك ابسلون
زيرو neighborhood ل X صح؟ هذه فترة مفتوحة مركزها X
و نص قطرها ابسلون زيرو المتباينة هذه بتقول إن هذا
الكلام لكل K لكل K لو حلت .. لو حلت المتباينة هذه
في X بيطلع في X لو حلت المتباينة هذه في XRK بيطلع
XRK لا ينتميلأ الفترة مفتوحة وبالتالي
hence by
definition by ال neighborhood definition of
limit
فاكرين احنا اخدنا تعريف ال limit لل sequence اول
تعريف كان neighborhood definition و بعدين اثبتنا
انه بكافئ في نظرية 2.2 اثبتنا انه بكافئ ال epsilon
capital N definition لل limit
X in converge ل X X in converge ل X معناه لأي
neighborhood ل X زي هذا لازم
عشان
ال subsequence هذه converge ل X لازم أي
neighborhood ل X يحتويكل حدود الـ sequence من
كابتل N وانت طالع أو من كابتل K وانت طالع لكل
small k أكبر من أو ساوي كابتل K هذا لازم يكون صحيح
لكل neighborhood طب أنا في .. لأن في عندي there
exists epsilon zero neighborhood ل X وكل حدود ال
subsequence مش موجودة فيههذا بالظبط نفي تعريف الـ
neighborhood definition للـ convergence وبالتالي
هذا معناه حسب تعريف الـ neighborhood definition أن
الـ subsequence هذه does not converge ل Xطب احنا
عايزين نثبت عشان نثبت ان العبارة واحد صحيحة عايزين
نثبت ان ال sequence نفسها مش ال subsequence ال
sequence نفسها does not converge لأكس اذا انا بدي
اكتب هنا claim لبرهان
العبارة الأولى باقي اثبات ال claimوهو ان ال
sequence x in نفسها does not converge ل x فنشوف
مع بعض assume بورهان بالتناقض assume on contrary
ان
ال sequence x in converge ل x okay بورهان بالتناقض
افرض ان ال sequence converge ل xby a theorem اتنين
ستاش the subsequence the subsequence اللي هي X R K
ال subsequence مش هاد ال subsequence هاد المفروض
تطلع convergent ل X وهدا ده ديني contradictionلأن
أنا عندي sub sequence هنا استنتجنا أنها does not
converge ل X إذا في عندي تناقض التناقض هذا سببه أن
احنا فرضنا أن X in converge ل X إذا بطلع عندي X in
does not converge ل X وبالتالي إذا one holds إذا
one holdsوبالتالي هيك بنكون كملنا برهان النظرية
okay تمام اذا هيك اثبتنا ان التلاتة بيعد لواحد
وبالتالي العبارات التلاتة هذه متكافئة احنا بهمنا
في التطبيق اللي هو الجزء الأخير يعني عشان انا اثبت
إنه sequence معينة does not converge to any real
number X يكفي
اثبات أن يوجد Y0 يوجد subsequence بحيث أن المسافة
دي أكبر من أو ساوى Y0 لكل M هنشوف الكلام هذا في
أمثلة لاحقة لكن خلينا بس ناخد مثالعلى النظرية هذه
إذا
ناخد examples هاي
مثال واحد
الـ sequence اللي الحد العام تبعها سالب واحد plus
n is divergent طبعا
احنا اثبتنا قبل هيك ان ال sequence هي divergent
عملنا proof by contradiction فرضنا ان انا
convergent ووصلنا إلى تناقض صح اليوم هناخد برهان
تانيباستخدام نظرية 16 أو نظرية التانية يعني نشوف
مع بعض prove if
it were convergent say
-1-N converges to X ينتمي إلى R لو فرضنا إن
سيكوانس هذه convergent هنثبت إنها divergent بورحان
بالتناقض لو فرضنا إنها convergent to some X إذا
كانت convergent إن اسمها لمات then
الـ sub sequences اللي
هم سالب واحد أس اتنين in and سالب واحد أس اتنين in
سالب واحدهذه الـ subsequence هي الحدود الزوجية من
هنا و هذه الحدود الفردية إذا كانت ال sequence
نفسها converged ل X فالتنتين هذول both converged ل
X و
بالتالي so X
بتساوي limit سالب واحد قص اتنين in صح؟ وهذه بساوي
limit سالب واحد قص اتنين in واحد ال sequence هذه
ثابت واحد بساوي واحد صح؟ and برضه احنا قلنا ان ال
Xبتساوي limit ال subsequence للحدود الفردية اللي
هي هذه طيب
سالب واحد قص عدد فردي بطلع سالب واحد إذن هذه ال
sequence حدودها فردية إذن هي عبارة عن sequence
ثابت سالب واحد وبالتالي limit لثابت بطلع ثابتإذا
أنا أطلع عندي واحد بساوي x من المعادلة الأولى
وكذلك ال x بساوي سالب واحد يعني معناه واحد بساوي
سالب واحد وهذا contradictionتمام؟ إذا مستحيل أن ال
sequence هذه تكون convergent لأنها لازم تكون
divergent okay تمام؟ إذا هنا كلمة where الدلالة
على الاستحالة كان ممكن اسمها ال sequence هذه مفرد
واحدةمفروض اقول if it was convergent لكن انا عارف
انه مستحيل انها تكون convergent فلدلالة على
استحالة بستخدم it were زي if I were a king مش if I
was a king لكن انا مش king okay تمام؟ اذا بنوقف
عند هذا المثال المحاضرة هي انتهت و بنكمل ان شاء
الله سبوع جديد