بسم الله الرحمن الرحيم ال .. هنواصل اليوم ان شاء
الله ال .. ال .. الشئ اللي بدأناه بخصوص المقدمة عن
ال infinite series بعتقد كانت أخر نظرية أخدناها هي
Cauchy criterion
كوشي كريتيريا for
infinite series a
series
converges if and only if الشرط التالي بتحقق لكل
epsilon أكبر من 0 يوجد capital N يعتمد على epsilon
عدد طبيعي بحيث أنهلو كان M أكبر من N أكبر من أو
ساوي capital M فهذا بيقدي أنه absolute SM minus SN
بساوي absolute XN زاد واحد زاد XN زاد اتنين و هكذا
إلى XM
النظرية هذه تبعت كوشي أخدناها المرة اللي فاتت و
برهناها مظبوط اليوم هناخد نظرية تانية و مهمة و
النظرية هذه بتقول انه let x in be sequence of non
-negative real numbers then
series
xn converges if
and only if الsequence of partial sums its
sequence of partial sums اللي
هي sn is bounded
proof we have sn
بساوي او sn زايد واحد بساوي sn
زايد xn زايد واحدالان زاد فرص partial sum بيساوي
الانف partial sum وبنضيف عليه لحد رقم ان زاد واحد
و طبعا ال Xn زاد واحد هذا احنا فرضين ان حدود ال
sequence Xn كلها غير سالبة فهذا غير سالب وبالتالي
المجموع هذا بالتأكيد اكبر من او سوى Sn لكل N في N
فهذا
معناه ان ال sequence Sn is increasing متزايدة
بالتالي، من خلال الوضع الوضع الوضع الوضع الوضع
الوضع الوضع
الوضع
الوضع الوضع
وهو المطلوب
أحنا أخدنا قبل هيك أن أي infinite series بتكون
convergent if and only if the sequence of partial
sums is convergent، صح؟ طيب، ال sequence of
partial sums بمعنها increasing فهي convergent by
monotone convergence theorem بتكون convergent if
and only if it is boundedوبالتالي الـ series
converges if and only if the sequence of partial
sums is bounded وهذا يثبت النظرية تمام؟ إذن هذه
النظرية أهميتها في أننا يعني تطبيقها زي ما هنشوف
في
لما هنا صغيرة لما
إذا .. إذا
Sn هي عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
عملية
عإذا كان هناك تجارب سكن
من سن التي مرتبطة
فالنتيجة
ثم سيكوانس SN نفسها مرتبط يعني
لو كان في عندي سيكوانس of non-negative real
numbers و السيكوانس هذه حدودها غير سالبة و
increase متزايدة و لو وجد subsequence من السيكوانس
SN و السيكوانس مرتبطالسيكوانس الأم أو السيكوانس
الأصلية بتكون أيضا bounded فالبرهان
تبع النظرية اللي هسيبكم هي أن تتبرهنوا ك exercise
for easy
exercise اذا انا هنسيبكم اتبرهنوا كتمرين في عندي
الآن
firm ال P series test let
P عدد موجب أصغر let P
هي عدد موجب اي عدد موجب ده
P series ده P series اللي هي سيجما from N equals
zero to infinity لواحد على N أُس P ال series هذه
بنسميها P series ال P series هذه ايش مالها؟ واحد
converges if P أكبر من واحد and name by virges if
P أصغر من أو يساوي واحد prove
نثبت الجزء الأول assume
إن P أكبر من 1 let
R بيساوي
واحد على اتنين أس P سالب واحد ال P أكبر من واحد
فالأس هذا موجب واحد على اتنين أس موجب طبعا هذا
بيطلع
عدد موجب و أصغر من واحد then ال R العدد R هذا أكبر
من سفر أصغر من واحد طيب four K بساوي اتنين اقصى
واحد سالب واحد اللي هو واحد MDS
عندي ال partial sum رقم
K اللي
هو بيساوي اتنين خليني اسمي هذا K واحد فال
partial sum S رقم K واحدبساوي طبعا k1 بساوي واحد
هنا هذا هو s1 بساوي واحد ال
first partial sum اللي هو مجموعة الحد الأول الحد
الأول هنا واحد صح طيب
four لو أخدت k2
لو أخدت K2 بيساوي اتنين اقصى اتنين سالب واحد هذا
بيطلع تلاتة ففي
الحالة هذه بيطلع عندي ال
partial sum رقم K2 هو نفس ال partial sum رقم تلاتة
فطبعا هذا هيساوي مجموع اول تلاتة حدود
فعندي هنا هيطلع أول حد واحد، التاني واحد على اتنين
أسقي
و الحد التالت واحد على تلاتة أسبيل
خلّينا هذه ال N مفروض تكون من واحد لان ات من واحد
لان ات ف S K2 هو S تلاتة S تلاتة بساوي واحد على
واحد أس P اللي هو واحد زائد واحد على اتنين أس P
زائد واحد على تلاتة أس Pطيب أنا عندي هذا أصغر من
واحد زايد واحد على اتنين أُس P زايد واحد على اتنين
أُس P since لأنه اتنين أُس P أصغر من تلاتة أُس P
فبتعني مقلوب تلاتة أُس P أصغر من مقلوب اتنين أُس P
صح؟و هذا بيساوي واحد زائد واحد على اتنين اصفى زائد
اتنين اتنين في واحد على اتنين اصفى هزبوت هدول حدين
متشابهين وهذا بيطلع بيساوي واحد زائد واحد على
اتنين اصفى سالب واحد وهذا بيساوي واحد زائد اربع
معرف ال R على إنها 1 على 2 أُس P سالب واحد
Similarly
بالمثل لو
كانت K تلاتة بساوي اتنين أس تلاتة سالب واحد يعني
سبعة then
هيكون SK3 هيطلع بساوي SK2
زائد
واحد على أربعة أس P زائد واحد على خمسة أس P زائد
واحد على ستة أس P زائد واحد على سبعة أس P مظبوط
هيك صح؟
لأن S K 2 هو واحد زاد واحد على اتنين أسفل زاد واحد
على تلاتة أسفل وهذا
أصغر من .. طبعا S K 2 أصغر من واحد قلنا زائد R
و بعدين الحدود هذه .. كل واحد من الحدود هذه أصغر
من أو يساوي واحد على أربعة أس P واحد على أربعة أس
P .. واحد على أربعة أس P .. واحد على أربعة أس P
لأن كل واحد من المقامات هذه أكبر من أو يساوي أربعة
أس Pطب أقول جديش عددهم أربعة هذا بيساوي واحد زايد
R زايد أربعة على أربعة أس P هو يساوي واحد زايد R
زايد واحد على أربعة أس P سالب واحد إذن بيطلع عندي
أنا S K تلاتة أصغر من واحد زايد Rزائد واحد على
اتنين اتنين
قص اتنين في P سالب واحد وهذا
هو R تربية هذا بيساوي واحد زائد R زائد R تربية لو
سمرنا في العملية هذه continuing
inductively بطريقة استقرائية continuing
inductively يعني by induction باستخدام
ال induction we
get نحصل على التالي for
for K J بيساوي اتنين اقصد J سالب واحد we
have S
K J هيطلع اصغر من واحد زائد R زائد R ترمية زائد
R أُس J سالب واحد و
هذا صحيح لكل J في N هزبط
هيك صح هيتعالى نشوف لما J كانت بالسلب واحد فطلع
عندي Sك واحد بيساوي واحد وأصغر من أو يساوي الواحد
لما
ك ج بيساوي اتنين لما
ج بيساوي اتنينفطلع SK2 أصغر من واحد زائد R واحد
زائد هاي اتنين سالب واحد الأسف لما J بساوية تلاتة
عندي طلع ال SK تلاتة أصغر من واحد زائد R زائد R أس
تلاتة سالب واحد إذا S sub KJ أصغر من واحد زائد R
إلى R أس J minus واحدالان هذا المجموع أصغر من
مجموع ال infinite series اللي هي summation من j
بساوي سفر إلى ملا نهاية لR أس J صح؟
هذا عبارة
عن finite sum أصغر من مجموعة infinite series هذه
عبارة عن geometric series with first term واحد وال
ratio تبعها R والـ R أكبر من صفر أصغر من واحدإذا
الـ geometric series هذه converges ومجموعة بساوي
واحد على واحد minus R الكلام
هذا صحيح for all j belong to M وطبعا ال SKJ هذا
عبارة عن مجموعة partial sum partial sum لأعداد
موجبة وبالتالي موجبة
إذا أنا هيك أثبتت إن ال sub
sequence SKJ bounded below by 0 و bounded above by
العدد الموجب 1 على 1 minus R وبالتالي،
إذا هيك نستنتج، therefore the subsequence
ده sub-sequence اللي هي SKJ هاد ال sub-sequence من
مين؟ من ال sequence of partial sums SN اشملها is
bounded أثبتنا أنها ايه؟ bounded، مصدقوط؟ طلعنا
احنا عملنا construction ل sub-sequenceمن الـ
sequence of partial sums وهي طلعت bounded هي
bounded below by 0 bounded above by 1 over 1 minus
r لأن حسب اللمّة اللي فاتت so by above لمّة ال
sequence of partial sums نفسها is bounded
وبالتالي إذا by above theorem مدام ال sequence of
partial sums is bounded إذا ال series converges
okay
إذا بعديكم نقول so
by above theorem ال
series sigma1 على N أكبر من 1 فهذا
يثبت الجزء الأول من النظرية خلّينا
نثبت الجزء التاني
using induction you
can show أنه
for P
أكبر من صفر أصغر من واحد
لو كانت ال P طبعا أكبر من صفر وأصغر من أو ساوي
الواحد ف N أوس P بطلع أصغر من أو ساوي N لكل N في N
صح؟
انا ممكن اثباته by inductionSo, 1 على n أصغر لو
ساقى 1 على n أُس في for all n ينتمي إلى n فإن
هذا بيقدّي هذا بيقدّي
this implies أن ال summation from k بساوي واحد to
n لواحد على k أصغر لو ساوي summation من k بساوي
واحد إلى n لواحد على n على k أوس Pطب ما هذا عبارة
عن ال partial sum لسمي S N لل harmonic series ..
لل .. لل harmonic series و هذا عبارة عن ال partial
sum سمي S N star لل P series صح؟ إن أنا أصبح عندي
أنا S N أصغر من أو ساوي S N star
where لكل n where
sn بساوي sigma واحد على k من k بساوي واحد إلى n و
sn star بساوي sigma من k بساوي واحد إلى n لواحد
على k أُس P طيب since أثبتنا احنا قبل هيك انه ال
sequence of partial sums
السيكوانس SN هذا عبارة عن السيكوانس of partial
sums
of the harmonic series sigma 1 على n ايش مالهم؟
اثبتنا انهم unbounded ال sequence هذه is unbounded
بنالنا ذلك في مثال سابق unbounded
فلو سمينا المتباين
هذا star then
it follows
from star ينتج من المتباينة star إذا كانت ال
sequence هذه unbounded
لصغيرة unbounded فالحدود أكبر is unbounded ال
sequence SM star is unbounded وبالتالي
حسب النظرية أعلى so by
السيريز هي سيكوينس باشا سمسا بايتالي P Series
سيجما من K بساوة واحد وإنفينيتي لواحد على K أوس P
is divergent
حسب النظرية اللى ذكرناها سابقًا، طيب، في عندي هاي
series of positive numbers أو non-negative real
numbers و ال sequence of partial sums أبعدتها
unbounded، إذا حسب النظرية ال series is not
convergent أو divergent، صح؟إذن هذا بتثبت الجزء
التاني وبالتاني هيك بيكون بارهاننا اختبار ال P
-series test او ال P-series test إذن
أي P-series بتكون convergent إذا ال P أكبر من واحد
و divergent إذا P أصغر من أول ساول واحد في أي
سؤال؟
زي ما أخرنا comparison و limit comparison test
للsequences في comparison test لل series
comparison
test
for series
لت XIN و YIN بـ sequences of non-negative real
numbers
يكون such that xn أصغر من أو ساوي yn أكبر من أو
ساوي سفر for all n أكبر من أو ساوي k for some k
ينتمي إلى n أنا
لدي two sequences of real numberالتنتين حدودهم غير
سالبة من capital .. من capital K و انت طالع ممكن
الحدود اللي جابل .. اللي رقمهم أصغر من K بتكون
سالبة مش مشكلة أو مايكونش xn أصغر .. ممكن يكون xn
أكبر من yn مش مشكلة لكن من عند capital Kلكل مؤشر
لكل index because on an equal key أنا بدي xn أصغر
من وسائر yn واتنين يكونوا غير سلبين الآن إذا كانت
ال series sigma
xn إذا كانت ال series الأولى convergent أو الكبيرة
convergent بتقدي ان ال series الأصغر converge and
لو كانت ال series الأكبر الأصغر diverge فبتقدي
أن ال series الأكبر بالتأكيد diverge وهي
البرهان البرهن الجزء الأولassume أنه ال series
sigma yn converges then
by cauchy
criterion for series given
epsilon أكبر من الصفر يوجد capital N يعتمد على
epsilon عدد طبيعي بحيث أنه لكل M أكبر من small n
أكبر من أو ساوي capital N هيطلع عندي absolute
YNZ1Z YNZ2 و هكذا الى YM أصغر من إبسن هذا من Koshi
criterion
طيب انا عندي let
M بساوي ال maximum الأكبر ب N العدد K هذا الطبيعي
K و العدد الطبيعي capital N اللي بيعتمد على
epsilon
فاكيد طبعا هذا عدد طبيعي وهذا عدد طبيعي فان ام
هيطلع عدد طبيعي وام يعتمد على ابسلون لأن الام
يعتمد على capital ان وcapital ان تعتمد على ابسلون
اذا لو اخدت انا ان اكبر من ام او ام اكبر من ان وان
اكبر من او ساوي capital انفهذا بالتأكيد هيقدّي انه
ال ..
ال .. من هنا من الفرض نسمي الفرض هذا star
فمن star هيطلع عندي مفروض xn زائد واحد زائد xn
زائد اتنين زائد و هكذا الى xm
الـ absolute هذا الان كله موجب هذه كل حدود موجبة
أو غير سالبة لأن ال N أكبر من أوي ساوي كابتل N
وبالتالي هذا بيقدي ان N أكبر من أوي ساوي كابتل K
صح؟ إذا باستخدام star كابتل
عفوا ان هذه المفروضة تكون M
الان لكل M أكبر من M أكبر من أو ساوي capital M
capital M هذه أكبر من أو ساوي K وبالتالي M أكبر من
أو ساوي K إذن الحدود هذه كلها موجبة أو غير سالبة
صح من star و أصغر من أو ساوي اللي هو YM زاد واحد
زاد YMزائد اتنين زائد و هكذا الى الى
YM برضه هذه كلها حدود غير سالبة وبالتالي هذه هي
نفس ال absolute YN زائد واحد زائد YN زائد اتنين
زائد
ym ومن هنا لاحظوا ال n أكبر من أو ساوي capital M و
ال M أكبر من أو ساوي capital N فبطلع عندي كمان هنا
ال N أكبر من أو ساوي capital M لأن ال M أكبر من أو
ساوي capital N وبالتالي من ال implication هذههذا
بيطلع أصغر من إبسلم إن أنا طلع عندي absolute xn
زائد واحد زائد xn زائد اتنين زائد إلى آخرى إلى xn
أصغر من إبسلمهذا عدد غير سالب المجموعة ده غير سالب
لإن كل ال X غير سالب وبالتالي ال absolute value هي
نفسها هذا هو ال absolute value العدد غير سالب نفسه
لإن هنا أثبتنا الكلام هذا صحيح لكل M أكبر من N
أكبر من أو يساوي capital M so بستخدم كوشي
criterion كمان مرة by koshi criterion
for series الـ
series sigma xn converges لأن
هاي شرط كوشي متحقق، صح؟
هاي لأي إبسلون given إبسلون أكبر من السفر أثناء أن
يوجد capital Mيعني يعتمد على إبسلون بحيث لكل M
أكبر من N أكبر من أو ساوي كابتال N فلاندي أبسليوت
XN زاد واحد زائد إلى XM أصغر من إبسلون إذا حسب
كوشي criterion ال series Sigma XN converges هذا
بكمل برهان الجزء الأول الجزء التاني بينتج
من الجزء الأول
this is the contrapositive .. the contrapositive
أو the contraposition .. this is the
contraposition of ال statement واحد
أنا في عندي قانون في ال logic بيقول إذا كان P فأدي
ل Q فال statement هذا بكافئ ال counter positive مش
النفي تبعه ال counter positive معناه المعاكس
الإيجابي فهذا بكافئ not Q implies not P فذا
أثبتنا إن هذا true فهذا بيكون trueطب تعالى نشوف
هذا هذا اللى انا اثبتنا انه true اللى هو الجزء ا
او الجزء واحد الجزء التانى هو ال counter positive
هل هذا صحيح تعالوا نقرأ الجزء التاني او تعالوا
نجيب ال contrapositive للعبارة في الجزء الأول ال
contrapositive للعبارة في الجزء الأول نفي هذا اللي
هو ال series sigma x in by dirge بيقدي الى نفي هذا
اللي هو ال series y in by dirgeوبالتالي هيك بنكون
كملنا البرران تمام؟ واضح؟ في أي سؤال؟ أي استفسار؟
أحيانا بيكون صعب أن احنا نعملمقارنة بين حدود ال
series sigma xn و حدود ال series sigma yn بالطريقة
المباشرة زي ما في ال star أحيانا مش سهل نعمل
مقارنة زي هذه وبالتالي بنلجأ إلى اختبار اخر بنسميه
limit comparison testفنكتب ال test هذا دكتور؟ نعم
هلأ عبس النظرية برضه خطأ يعني نفس نحو اللي كنا
نعمله بال sequence نعمله بال series هى الفترة
التالية؟ اه طبعا يعني انت لو كان مثلا هذه الصحية
كلامك بالظبط يعني لو كانت ال series ال series مثلا
هذه ال sigma yn diverseهل هذا بيقعد ان sigma xn
diverge؟ مش بالضرورة ممكن diverge و ممكن converge
نفس الحاجة لو كانت ال series sigma xn converge هل
sigma yn converge؟ ممكن او ممكن لأ اكيد و ممكن
نجيب counter examples لازم تفكري في إيجاد counter
examples و انت بتدرسيه
نشوف ال limit comparison test limit
comparison test
لت Xn وYn بيكونوا سيكوانس من حدود حقيقية مفتوحة
بيكون حدود حقيقية مفتوحة بيكون حدود حقيقية مفتوحة
و ال R هذا يعني عدد حقيقي طبعا ينتمي إلى R ففي
عندي برضه نتيجتين النتيجة الأولى إذا كان ال R
بسويش سفر then
ال series sigma X M converges if and only if
الجزء التاني من النظرية لو
كان R بساوي سفربعد ذلك لو الار بيسوي سفر يعني ان
الار بيسويش سفر then ال series sigma y in دي درجز
بيقدي ان ال series sigma x in دي درجز
او لأ convergence افضل لو كانت series sigma yn
convergence بيقدي ان series sigma xn ايبان
convergence فقط اتجاه واحد لكن الاكس مش شرط تكون
صحيح okay تمام هو البرهان
يعني كتير سهل
بنسمي الشرط هذا star الجزء
الأول assume ان R لا يساوي سفر طبعا
في الحالة هذه ال R بطلع موجدلأن لحظة انتوا ان xn
على yn هذه كلها أعداد موجبة و ال limit ل sequence
أعداء كل حدودها موجبة بيطلع المفروض يطلع ال limit
تبعتها موجبة إذا كانت ال limit موجودة واضح؟ إذن
هذا من نظرية سابقة لما أن حدود ال sequence xn على
yn هذه ال sequence حدودها كلها موجبة إذا نهايتها
تطلع أيضا موجبةطيب وبالتالي take epsilon بساوي R ع
2 طبعا هذا بالتأكيد عدد موجب الان by star since
XN على YN converges to R as N tends to infinity
بقدر نلاقي capital N يعتمد على إبسلون عدد طبيعي
بحيث أنه absolute لكل N أكبر من أو يساوي capital N
بيطلع absolute xn على yn minus r أصغر من إبسلون
اللي هي بيساوي R ع 2 وهذا بيقديلو فكنا وعملنا ال
absolute value هيطلع عندي xn
على yn أكبر من أو ساوي R ع 2 أصغر من أو ساوي 3R ع
2 وبما أنه هذا صحيح لكل N أكبر من أو ساوي capital
Nالان اضرب في YN YN طبعا عدد موجب فبطلع XN أصغر من
أو ساوي تلاتة R ع اتنين في YN أكبر من أو ساوي R ع
اتنين في YN وهذا صحيح لكل N أكبر من أو ساوي
capital N تمام الان now
نسمي هذه double star فالان
if sigma x and converge then
by double star and comparison test and comparison
testواختبار المقارنة إذا كانت هذه convergent فبطلع
هذه ال series convergent صح وبالتالي بطلع sigma yn
convergence هذا ثابت موجة ممكن نضرب في مقلوب و
نتخلص منه إذا كانت هذه convergent فهذه convergent
Also إذا كانت ال series sigma y in converge then
برضه by المتباينة double star and ال comparison
test إذا
ناخد الجزء هذا
إذا كانت ال series هذي convergent و الكبيرة هذي
convergent ففي ثابت موجب convergent فهذه تطلع
بطلع sigma xn conversion وبالتالي هذا بكمل برهان
الجزء الأول طبعا برهان الجزء التاني هيكون يعني
مشابه فلأن الواجهة انتهى هنوقف و هسيبكم تقرؤ برهان
الجزء الأول من الكتاب فنكتفي بهذا القدر و ان شاء
الله نكمل المحاضرة الجاية