بسم الله الرحمن الرحيم هنبدأ في المحاضرة هذه
chapter جديد وهو chapter أربعة في الكتاب المقرر
عنوان ال chapter limits of functions و هنبدأ أول
section في ال chapter هذا و برضه عنوان ال section
الأول هو نفس عنوان ال chapter limits of functions
فقبل ما نعرف limit of a functionبدنا نتعرف على
مصطلح جديد وهو cluster point of a set نقطة تراكم
ال cluster point أو بعض الكتب بيسموها accumulation
point و كتب أخرى بيسميها limit point فلو في عندي
set A subset من R set of real numbers و C real
number فال real number هذابنسميه cluster point
للست a if and only if the following condition is
satisfied for every delta عدد موجب نقدر نجد x
ينتمي إلى المجموعة a و ال x هذه مختلفة عن النقطة c
بحيث ان المسافة بين x و c تكون أصغر من delta هذا
الشرط هذا
الشرطis equivalent to saying بكافئ ان انا اقول
every delta neighborhood every delta neighborhood
لنقطة c اللى هو الفترة المفتوحة اللى مركزها c ونص
قطرة delta every delta neighborhoodof c يتقاطع مع
المجموعة a في نقطة واحدة على الأقل x مختلفة عن ال
c يعني بمعنى أخر بقدر ألاقي في التقاطع هذا نقطة x
يعني التقاطع هذا لا يساوي five okay
كمان مرةالنقطة C هذه بتكون cluster point للمجموعة
A إذا أي delta neighborhood للنقطة C بيتخاطع مع
المجموعة A في نقطة X مختلفة عن الـC بس لازم
كل delta neighborhood لـCيتقاطع مع المجموعة A في
نقطة X مختلفة عن الـC طب عشان اثبت ان الـC ليست
cluster point بنفي الشرط هذا يكفي ان اقول there
exist بدل for every delta او every delta
neighborhoodيكفى ان اجيب there exists delta
neighborhood واحد ل C و التقاطع هذا بساوي فاي يعني
بحيث ان ال delta neighborhood لا يتقاطع مع اي
مشيول منها C بالمرة ناخد نظرية الأول ال definition
هذا بيكافئ النظرية التانية بتقول ان
الـ condition هذا تبع التعريف بكافئ شرط تاني اذا
هنا let A subset من R و C real number C
is a cluster is a cluster pointof the set A if and
only if the following condition is satisfied there
exist a
sequence a n contained in A وكل عناصرها مختلفة
عن ال Csuch that limit a n بساوي c اذا هذا الشرط
بكافئ الشرط اللي هناك الشرط هذا او اللي بكافه
فلبرهان ذلك اذا كمان مرة انا عشان اثبت ان c is a
cluster point للمجموع يعني يكفي ان اثبت ان يوجد
سيكوانس في المجموعة A وكل على سرها مختلفة لاتساوي
C وانهيتها بالساوي لعدد C فتعالى نبرهن النظرية هذه
نبرهن ال only if part الأول فال only if part يعني
ال assumption assume ان C is a cluster is
a cluster point
of a then
for every n ينتمي إلى n لكل عدد طبيعي n take delta
بساوي واحد على n عدد موجببما انه C is a cluster
point ل A then by definition of a cluster point
then
by definition there exist a N ينتمي إلى A مختلف عن
ال C such that
ال ..
الـ AN هذا ينتمي للـ Delta neighborhood للـ
C وطبعا ينتمي إلى A negative C هعمل
التعريف هذالما انه الـ C is a cluster point لأي
Delta أكبر من السفر خد Delta بساوي واحد على N لكل
عدد طبيعي N هذا بيطلع عدد موجب لذلك لـ Delta بساوي
واحد على N بقدر ألاجني عنصر X اللي هو ساميه An
يعتمد على الـ Delta وهذا العنصر موجود في A مختلف
عن الـ Cو أيضا موجود في الـ delta neighborhood لـ
C طيب
إذا و
واضح هنا من ال AN ينتمي ل ال
AN ينتمي ل DN ال
deltaأو الـ 1 على N neighborhood للـ C اللي هو C
سالب واحد على N C موجب واحد على N وهذا صحيح لكل N
بيقدي انه بيقدي
انه C سالم A N أو
absolute a n سالب c أصغر من واحد على n وهذا صحيح
لكل n هزبوت؟
هاي a n أكبر من c سالب واحد على n أصغر من c زاد
واحد على n هذا معناه absolute a n minus c أصغر من
واحد على n لكل n هذا صحيح لكل n
إذا هاي فيها sequence إذا هاي أثبتنا مايوجد
sequence إذا am is a sequence in a وكل حدودها
مختلفة عن ال c and by theorem اتنين اربعة الشهيرة
أنا عندي الـ absolute value هذي أصغر من واحد على N
لكل N limit واحد على N بالساوي سفر خد C بالساوي
واحد عدن موجب لأن بيطلع limit ال sequence A N as N
tends to infinity بساوي S C إذن هين أثبتنا إنه لو
كانت C cluster point فأثبتنا إنه يوجد sequence A N
في المجموعة Aوكل عناصرها مختلفة عن الـ C ونهايتها
بساوي الـ C إذا هذا بثبت جزء ال only if part الآن
لثبت العكس لإثبات
العكس
assume أن الشرط اللي حصل بتتحقق
assume ال condition اللي حصل holds يعني بتتحقق to
show c is a cluster point of
a letdelta أكبر من السفر is given since
by star من الشرط star لدي limit لان بساوي c و
delta أكبر من السفر is given إذا من تعريف delta
capital Nللـ limit لأي delta أو إبسلون عدد موجة
there exist n يعتمد على delta natural number دحيث
أنه لكل n أكبر من أو سوى capital N هذا بيقدي أنه
absolute a n minus c أصغر من delta
إذاً هذا بيقدّي إنه هيعندي am
طبعا هدف قلبي أن a n أصغر
من c زائد delta أكبر من c negative delta يعني a n
تنتمي إلى v delta of c وتنتمي طبعا من ال condition
star تنتمي إلى a difference cو هذا صحيح لكل n أكبر
من أو ساوي capital N إذا هاي كل delta neighborhood
ل C بيتقاطع مع A في عدد لانهائي من النقاط المختلفة
عن ال C وبالتالي الشرط تبع ال definition هيتحققو
then by definition .. by definition C is a cluster
point of the set A و هدا بكمل ال F part and
therefore completes the proof of the theorem okay
تمام؟
Fine خلّينا ناخد بعض الأمثلة
تشير إلى أن كل X ينتمي إلى مقفل مقفل مقفل
مقفل
of set A1 بساوي الفترة
المفتوحة من سفر إلى واحد من
هنا يثبت إن كل X الفترة المغلقة من سفر إلى واحد هي
cluster point للفترة المفتوحة من سفر إلى واحد
ففي الأول بدي أثبت أنه كل نقطة داخل الفترة المغلقة
هي cluster point للمجموع عادي و بعدين في المرحلة
التانية حتة من نقاط الأطراف اللي هي 01 تطلع أيضا
cluster point لست A1 فنشوف مع بعض ان ال claim 1
بنثبت ان كل X ينتمي للفترة المفتوحة is a cluster
point of
set A1 اللي هي الفترة المفتوحة نفسها لبرهان ذلك to
see thisالبرهن ذلك fix ينتمي
للفترة المفتوحة ونثبت ان cluster point للمجموعة a1
اذا fix x and let delta أكبر من السفر be givenنبدأ
بالـ delta أكبر من 0 ونثبت أن كل delta
neighborhood للنقطة X بيتقاطع مع المجموعة A1 في
نقطة مختلفة عن X وبالتالي الـ X هتطلع cluster
point حسب التعريف طيب نحن
لدينا اتصالين
two cases حالتين الحالة
الأولى ان ال delta هذه اللى انا اخترتها العشوائية
ال delta اللى انا اخترتها ممكن تكون اصغر من ..
طبعا موجبة هي ممكن تكون اصغر من واحد ف in this
case in
this case في هذه الحالة
لدينا in this
case الـ delta neighborhood ل X اللي هو X minus
Delta X موجة Deltaبنلاحظ انه تقاطع مع المجموعة ايه
اللي هي الفترة اللي مفتوحة من سفر لواحد بطلع
واحد من الخيارات التاليةاما الفترة المفتوحة x
negative delta x positive delta او الفترة المفتوحة
من صفر الى اكس positive delta او الفترة
المفتوحة من x negative delta الى واحد او الفترة
المفتوحة من صفر الى واحد
حسب قيمة الـ Delta يعني أنا
عندي الفترة المفتوحة من 0 إلى 1 هذه الفترة
المفتوحة تبعتي اللي هي A1 هذا ال set A1 و أنا عندي
ال Delta عدد موجب أصغر من 1والـ X هذه تنتمي .. الـ
X هذه نقطة ما في الفترة
fixed number بين 0 و 1 الآن
أنا عندي الـ delta neighborhood لـ X هذا هو ممكن
يكون زي هيك شكله وبالتالي تقاطعتقاطعه مع الفترة
المفتوحة هو نفسه، صح؟ إذا كان زي هيك أو ممكن يكون
الـ delta neighborhood لل X يكون شكله زي هيك
وبالتالي
تقاطعه مع الفترة .. مع الست واحد، هيكون الفترة
المفتوحة من صفر إلى X زي الـ delta اللي هي التانية
يعنيصح وممكن يكون ال
delta neighborhood ال x تكون جريبة من الواحد زي
هيك و ال delta neighborhood حوالين ال x يكون زي
هيك شكله هاي x negative delta x positive delta
وبالتالي تقاطع مع الفترة من صفر إلى واحد هيعطيني
الجزء هذا اللي هو فترة مفتوحة من X سالب Delta إلى
واحد وممكن
ال Delta لبرهود ال X تكون جريبة من المنتصفوالـ
Delta تكون قريبة من الواحد قيمتها أصغر من واحد لكن
قريبة من واحد وبالتالي الـ Delta neighborhood لل X
يكون زي هيك وبالتالي تقاطعه مع المجموعة A واحد
بيطلع المجموعة A واحد نفسها، صحيح؟ إن هذه كل
احتمالات وفي كل الأحوال التقاطع هذا بيطلع infinite
is infinite
تقاطع المجمعتين هذول بيطلع فترة و الفترة اي فترة
مفتوحة ال cardinal number تبعها بيساوي ال cardinal
number تبع ال real numbers اللي هي uncountable set
وبالتالي infinite إذا التقاطع هذا infinite وهذا
بيقدي ان ال V
Delta of X تقاطعالـ a1 منزوعة منها الـ x هيطلع
بالتأكيد لا يساوي في لأن التقاطة هذا بيطلع
infinite وبالتالي هيك بيكون أثبتنا أن كل delta
neighborhood ل x بيتقاطع مع a1 في نقطة مختلفة عن x
الحالة التانية case two ان ال delta هذه تكون اكبر
من اوسع واحدبرضه فى الحاله دى بنا نثبت انه كل
delta neighborhood ال X بتقاطع مع A واحد فى نقطه
مختلفه عن ال X نشوف مع بعض in this case in
this case ال X negative او ال negative delta X
موجب delta هذا اللى هو ال delta neighborhood ل X
تقاطعالمجموعة A1 اللي هي الفترة المفتوحة من 0 إلى
1 هيطلع بساوي الفترة المفتوحة من 0 إلى 1 لأن الـ
Delta هنا أكبر من أو ساوي الواحد يعني هي عندي S 0
إلى 1 هذه اللي هي المجموعة A وهي Xنقطة ما داخل
الفترة فلما يكون x زايد ال delta لما تكون ال delta
تبعتي أكبر من واحد فx زايد ال delta هتكون هنا و x
سالب ال delta بالتأكيد هتكون هنا وبالتالي ال delta
neighborhood ل x هيحتويالمجموعة a واحد وبالتالي
تقاطع معاها تطلع المجموعة a واحد وهذا is infinite
وبالتالي
اذا ال delta neighborhood هذا تقاطع الفترة
المفتوحة minus x
لا أكيد بتأكيد لا يساوي five okay تمام اذا في
الحالتين ال condition تبع ال cluster point تتحقق
therefore by definition x is cluster point is
cluster point ofالست ا واحد اللي هي الفترة
المفتوحة من صفر الى واحد طبعا إذا هذا بثبت ال
claim الأولاني طبعا الآن هثبت claim تاني ال claim
التاني
النقطة 0 is a cluster point
of set A1 الفترة مفتوحة من 0 إلى 1 لبرهان
ذلك
to see this let نبدأ let delta أكبر من السفر be
given فهنا
لأي delta ال delta
neighborhood للسفر اللي هو هيطلع
سالب دلتا زاد سفر وموجب دلتا زاد سفر فتقاطع هذا مع
الفترة المفتوحة من سفر إلى واحد بساوي
في خيارين إما الفترة المفتوحة من سفر إلى دلتا إذا
كانت ال delta أصغر من واحد طبعا أكبر من سفر وبساوي
الفترة المفتوحة من سفر إلى واحد إذا كان ال delta
أكبر من أو ساوي الواحد زي ما شوفنا في برهان الكلام
الأولانيمظبوط هاي الاندي الفترة من سفر إلى واحد
هذه المجموعة A1 وهي
X نقطة .. لأ هاي السفر بالدفتر أن السفر cluster
point للمجموعة A1فأخدت أي delta أكبر من السفر الان
ال delta هذه لو كانت ال delta هذه اذا هي سالب
delta موجب delta لو كانت ال delta هذه أصغر من واحد
فتقاطع ال delta neighborhood مع ال a واحد هيكون
الجزء هذا اللي هو الفترة المفتوحة من سفر ل delta
صح؟ و لو كانت ال delta هذه أكبر من واحد لو كانت ال
delta هذه أكبر من واحد
فال .. ف delta هتكون هاي delta أكبر من واحد و سالف
delta هتكون هان و بالتالي ال delta لبرهود هذا
تقاطع مع a واحد بيساوي a واحد مظبوط صح؟ تمام؟ و في
كل الأحوال التقاطع هذا بيطلع infinite is infinite
infinite set لأنه open interval
تقاطة a-a1 هو
نفس تقاطة a1
إذن هي اللي أثبتت إن كل delta neighborhood للسفر
يتقاطع مع المجموعة A1 في نقطة مختلفة عن السفر في
حقيقة الأمر في حقيقة الأمر كل delta neighborhood
للسفر بتقاطع مع A1 في عدد لانهائي من النقاط اللي
موجودة في A1 ومختلفة عن السفر إذن by definition
zero is a cluster
point of A1 اللي هي الفترة مفتوحة من صفر لواحد
يبقى لإكمال البرهان يمكن أن يظهر الكليل التالت
باقي أثبت أن الواحد is a cluster point of set A1
اللي هي الفترة مفتوحة من صفر لواحدوبرهان ال claim
التالت زي .. similar لبرهان ال claim التالت إذا
هنا the proof its proof is similar to
claim to
فحاسيبكم انتوا تكتبوا وبالتالي هيك بالكون أثبتنا
ان كل نقطة في الفترة المغلطة سواء كانت نقطة الطرف
اللي هي 0 او 1 او نقطة داخلية interior point نقطة
داخل الفترة المغلطة كل النقاط هذه بتطلع cluster
points لمجموعة A1 اللي هي الفترة المفتوحة تمام؟
بالمثل ممكن إثبات إن
كل نقطة في الفترة المغلقة is cluster point
للمجموعة A2 اللي هي الفترة المغلقة من 0 إلى 1
والبرهان
هو نفسهبنعمل three claims وفي كل برهان هيكون الفرق
انه عندي انا a بدل a 1 هيكون a 2 فهتكون اللي هو
الفترات هذه فترة مغلقة من سفر إلى واحد وبالتالي
بيصير هذه الفترة من هنا مغلقة عند السفر ومغلقة عند
السفر ومغلقة عند الواحدو هكذا نفس البرهان نسخ لسق
مع التعديلات البسيطة ان اي واحد الآن أصبحت بدل ما
كانت فترة مفتوحة من صفر لواحد أصبحت فترة مغلقة
وبالتالي في التقاطعات الحسابات نغلق اللي هو
الفترات and الحاجة المطلوبة okay وبالتالي نفس
البرهان will go through هيمشي بالتمام والكمالOkay
تمام؟ إذا هذا البرهان مشابه لبرهان المثال الأول
ناخد كمان مثال آخر مثال
تالت every every
finite
set A contained in R has no
cluster
points
كل finite set مالهاش ولا cluster pointوالبرهان سهل
proof say
دعنا ال set a نسمي عناصرها a1, a2 الى an هدف مش
هدف finite set اذا عناصرهم ممكن اعملهم list a1, a2
الى anو ممكن اعملهم order ارتبهم حسب المؤشر تبعهم
يعني a1 اصغر من a2 اصغر من a3 اصغر من اصغر من am
ممكن نعمل كلمة من هذا ولا لأ ممكن by the ordering
principle
أو باستخدام ال ordering تبع ال real numbers إذا
هي عندي ال 6A تبعتي هي خط العداد وهي A1 وهي A2 وهي
A3 مش شرط المسافة بين كل أنصار والتاني تكون
متساوية وهكذا إلىأخر عنصر AN ف
fix X
ينتمي إلى R و بد أثبت أن claim X is not a cluster
point
بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
بالتالي المجم
إما X تنتمي إلى A أو X تنتمي إلى الـ complement
يعني لا تنتمي إلى A صح؟
ففي الحالة الأولى case واحد أثر من X تنتمي إلى A
وبالدفع تثبت إن X ليست cluster point
say x بساوي a m for some m أكبر من أو ساوي واحد
أصغر من أو ساوي مش هذا ال x موجود في a و a على
سرها a واحد إلى a n إذا هذا ال x هو a m for some m
بين واحد و n طيب let
delta بساوي نص المسافة ال minimum المسافة
بين am minus am minus واحد وam زائد واحد minus am
يعني هاي ال X هاي ال M هاي AM وهاي AM زاد واحد
والأنصر اللي جاب لها AM minus واحد احنا قلنا ال X
سبعتي ال X سبعتي هي ال AM الآن باخدالمسافة هذه
اللي هي بين a m زي دول اللي هي المسافة هذه و باخد
المسافة هذه بين a m و a m سالب واحد لازم واحدة
تكون أصغر من أو يساوي التانية باخدها ال minimum ال
minimum .. ال minimum بين المسافتين .. الأصغر بين
المسافتين هدول و باخد نصها و باخد نصها بسميها
delta فنص .. لو قلنا الأصغرلو قلنا مثلا الأصغر
اللي هي هذه فنص الدلتا هذا هي فإذا ال delta هتكون
المسافة هذه و بكوّن delta neighborhood حوالين ال X
الأن ال delta neighborhood هذا then verify
ممكنكم تتحققوا verify that
الـ Delta neighborhood V Delta ل A M اللي هي ال X
تقاطع
ال set A فاي منزوعة منها A M هيطلع بساوي الفاي
مافيش تقاطع بينهم وبالتالي therefore by definition
ام اكس بساوي ام is not a
cluster point of set A لأن عشان تكونما تكونيش
cluster point لمجموعة A لازم اثبت انه يوجد there
exist delta neighborhood لل X تبعت اللي هي AM بحيث
انه ال delta neighborhood هذا مايتقطعش مع ال 6A في
اي نقطة مختلفة عن النقطة X وهذا حصلOkay تمام اذا
هذا في حالة لما ال X تكون موجودة في A الحالة
التانية ان ال case 2 case
2 ان ال X لا تنتمي ال ال set A ففي الحالة هذه
معناته x مابستويش ولا واحد من العناصر هذه فالحالة
هذه ممكن اجزها الى تلت حالات الحالة
الأولى ان ال x تبعتي تكون اصغر من a واحدوبالتالي
واضح ان المسافة بين X و A واحد كبيرة وباخد نص
المسافة ديلتا إذا هيوجد دلتا نبرود ل X ومابتقطعش
مع المجموعة A بالمرة وبالتالي X is not cluster
point ممكن الحالة التانية أن X تكون أكبر منالـ AM
برضه باخد المسافة دي بجيسها و باخد نصها على انه
Delta و بكون Delta neighborhood حوالين ال X هذا ال
Delta neighborhood واضح انه مابتخطعش مع ال set A
بالمرة وبالتالي إذا X في الحالة دي ليست cluster
point الحالة التالتة ان X تكون واقعة بين عنصرين من
عناصر ال setفباخد اللي هو المسافة الأصغر من
المسافتين هدول و هي تكون هادى و باخد نصها delta و
بكون delta neighborhood حواليها هذا ال delta
neighborhood بتخطعش مع المجموعه هاد المرة وبالتالي
حسب التعريف x ليست cluster point
ما احنا قلنا اذا كانت X تنتمي لأيه هي برهانة MA لا
تنتمي لأ تنتمي اه ليش قدماها بين تنتمي و لا تنتمي
ما هي ال X ما تنتميش لأيه فممكن تكون بين عنصرين من
عنصرهم هي تنتمي ل R ما تنتميش لأيه فممكن تكون
موجودة بين A2 و A3 صح او بين A1 و A2 او بين A3 او
A و هكذاأو ممكن تكون ال X على يمين ال AN أو حالة
تالتة X تكون على يسار ال A واحد وشوفنا في كل
الحالات هذه التلاتة أنه بقدر ألاقي delta
neighborhood حوالين ال X لا يتقاطع مع المجموعة A
بالمرة وبالتالي X ليست cluster point إذا الكلام
هذا واضح حاولوا تكتبوه بطريقة يعني منطقية okay
تمام؟
أنا متخيلة ال A عبارة عن set دائر مثلا أنا هيك
متخيلة و أنه مثلا ال cluster point هي عبارة عن
نقطة .. لأ ال A ماتتخيليش ال A عند ال set ال A هي
جزء من الأعداد الحقيقية subset من R و R خطلازم
يعني تتخيل الحاجات زمان على ال interior point و ال
boundary هذا في ال topology حاجة تانية هي زي ات
شبهها يعني ممكن نفهمها بهذا الطريقة بس ممكن اه
ممكن بس احنا هنا على ال real line يعني خليني احنا
نتقيد بال sets اللي موجودة على ال real line اما هو
طبعا في تعني من الكلام هذا في حاجات اعم و فرغات
اعم من ال ..ال real number اللي هو ال topological
spaces و هذا موضوع طبعا متشعب و بده يعني تدرس ال
topology عشان تفهم كل شيء okay فى اي اسئلة تانى؟
okay لنكتفي بهذا القدر و ان شاء الله بنكمل
المحاضرة الجاية الموضوع و بنخش بتعريف ال limit لل
functions