باسم الله الرحمن الرحيم بسلام عليكم ورحمة الله
وبركاته في هذا الفيديو ان شاء الله سنبدأ في
chapter 6 اللي بتكلم عن تطبيقات التكامل المحدود
عنوان applications of finite integrals تطبيقات
التكامل المحدود هنقص هذا ال chapter استخدام
التكامل المحدود في إيجاد حجم الرسام الناتج من
دوران منطقة حول محور دورانهاإيجاد المساحة السطحية
للجسم الناتج من الدوران وإيجاد طول منحنى سندرس
ثلاث سيكاشن اليوم سنبدأ في أول سيكشن سيكشن 6-1
عنوان volumes using cross sections جسم الناتج من
الدوران لو كان عنده أي منطقة مثل الأزراج محدودة في
الرابع الأول محدودة بالمنحنىوهي بيساوي جدر ال X
ومحور السينات على فترة من 0 ل 4 فلو عملنا دوران
حول محور السينات محور دوران ومحور السينات اول حاجة
الملاحظة ان المنطقة ملتصقة بمحور السينات فما نعمل
دوران فهي تولد المقاطع عنده تكون عبارة عن دوائر و
أقراص يعني القرصم أو المصممط تكون بشكل هذا كما
تشوفوا بهذا الشكل وبنتوجه هذا الجسم الجسم هذا بدنا
نجيب حجمهطبعا المقاطع كلها عبارة
عن عبارة عن discs اقراس فمساحته زي مساحة الدائرة
ومساحة الدائرة معروفة انها تساوي طه في نقطة ربيعك
يعني تساوي باي اللي هو طه في مربع نصف القطر لكن
هنا تلاحظوا نصف القطر عندنا متثابت نصف القطر هيوها
لو خدنا أي نقطة في فترة مسافة لأربعة ف X هيكون نصف
القطر هذه الارتفاع بساوي جدر ال X في حالة كامتها
لهافاروف اكس هو نصف قطب الدوران فعلى كل مساحة
المقطع متث بتعتمد على اكس ايه اف اكس تسوى باقي
فرتد يسوى كل تربيع تسوى باقي فاروف اكس لكل تربيع
volume by discs for rotation about the x-axis يعني
إيجاد حجم باستخدام الجسم الناتجمن دوران حول محور
السينات يُعطى بهذه العلاقة للـ V الـ Volume يساوي
التكامل من A لB لX وDX حيث A وB هي حدود اللي
بنكامل عليها في الفترة غير فيها الـ X والـ AX هو
زي ما قلنا مساحة المقطع عظمه بعتمد على X وبنعود عن
قيمة AX الـ R في X لكل تاريخ وبنكامل هناخد عدة من
الأمثلة توضيح هذه الفكرة لو خدنا مثل شرحنا عنه أن
المنطقة المحدودةThe region between the K of Y
بيساوي جدر ال X على فترة X من صفر لأربع والـ X
-axis فعطينا المنطقى نرسم المنطقى للمنطقى هذه
دوران حول محور السينات بحيث كون الجسم اللي شفناه
في الشكل السابق ويجعل حجمه طبعا بدينا محور اللي هو
about the X-axis يعني المنطقة اللي is revolved
يعني دورة حولنا المحور السينات وجنات السلدوالسرد
اللي بيطلع معنا هو جسم هيه بناجيه بحجمه فعزب
القاعدة اللي هو اليوم يساوي التكامل a لb لbi فR of
X لكتر BDX هي القاعدة ده اللي بيجيب R of X وزي ما
قلنا هي المنطقة المهم هي المنطقة ال X بتغير من صفر
لأربعة لأخدها هي واحدة منها ورسمنا العمود فهذا هو
R of X هذا اللي هو نصف كتر الدورانيساوي مثلًا جدر
X يعني نقص جدر X اذا انا اعرف X بيساوي جدر X بنعود
على R X من جدر X وبنربعه وبعدين نزل عامل تكامل
عادي وبنحسبه طالع بيطلع من 8 بعض اهم خطوة ان احنا
بنكتب القاعدة هذهودورها حول محور السينات ومن بعدين
يجيب R of X يظهر انه رسم المنطقى بيبين ناخد مثال
تانى احنا عارفين ان الكورة تتولد منه ناخد دائرة
ونعمل تدمير كامل حول محور السينات وناخد الدائرة X
ترميز ادوية ترميز تربيع لمركز نقطة الاصل ونسخط
رأيه فعملنا دوران حول محور السينات X axis عشان
نولد سفير الكورة كونها الكورة بهذا الشكلفالـ a في
x تسوي by في y تربيع أن الـ y تربيع منها تسوي a
تربيع نقص x تربيع وهو مساحة المقطع بي في a تربيع
نقص x تربيع هنكامله على قيم x عشان دي قيم x احنا
هنا دي تقاط ودائر مع محور الصينية لما نحط ال y
بزفر فتلاقي x تربيع بسوي a تربيع يعني x محصولة ما
بين سلب a وa هي مقطعها من سلب a ل aهيكون التكامن
لمسال بإيه لإيه لإيه في X DX ومنعوض عن إيه في X
وتمتها بي في إيه تربية نقص X تربية DX ومن نفسه تمت
مسال بإيه لإيه لإيه لإيه لإيه لإيه لإيه لإيه لإيه
لإيه لإيه لإيه لإيه لإيه لإيه لإيه لإيه لإيه لإيه
لإيه لإيه لإيه لإيه لإيه لإيه لإيه لإيه
لإيه لإيه
لإ
يوازن محور السينات المستقيم Y بسوء واحد احنا
عارفين ان محور السينات معدل Y بسوء Zero المنطقه
محدوده بالمنحنه Y بسوء جدل X والمستقيم Y بسوء واحد
والمستقيم X بسوء أربع زي ما مضطحان فهي تتحوذوت
فتكون المنطقة بالأزرق هنعمل دوران حول محور دوران Y
بسوء واحد وانتظروا انا برضه محور الدوران الملتصق
بالمنطقه اللي بدها تدور نسافر بالمنطقه السفرلأنه
مرتسق فيها بعد شوية هناخد أمثلة لما نكون محور
الدوران بعيد عن المنطقة مثلا إذا كانت المنطقة دورة
حوالي محور السينات فيه فرق هتاخد طريقة جديدة اسمها
ال washer هي عامة الطريقة اللي احنا بناخدها ال
desk ان شاء الله بعد قدرات أمثلة هنتجتها في هذا ال
section إذا ندري المنطقة عامة الدوران حوالينا
مقايمة سواء حد هي اللي بيطلع الجسم اندر ناتج من
الدوران طبعا هي من المنطقة مش ضرورية يعرف الشكل
لكن هي المنطقةبعدها نسخة الدوران الهيو من الأحمر
عشان نجيب ال team لو انا انا عندي لو انا انا انا
انا انا انا انا انا انا انا انا انا انا انا انا
انا انا انا انا انا انا
انا اهنا ستكون الهيئة واحد كيمة y بواحد وهنا y
بجدر x فإذا نبعد من هذا الهدف جدر x نقص واحد فR of
x بيصوّي جدر x نقص واحد هربي عادي ونضرب في باي
ونتمل واحدة أربعة وعادي بيظهر الحجب معناة سبعة باي
على ستة واحدة مكعبة هذه خطوات بسيطة وهم حاجة ان
تجيب الـR of x والقاعدة هي المعنى بتقيم عليك برامج
أو نحسب تكاملات بسيطة من دراساتنا في الفتحنا لو
كان الدوران حوالين محور الصداط الـ y-axis أو ما
يُقع دي يعني الخط محور الدوران يكون اللي هو رأسي
هيكون نفس اللي سابق لكن هتكون بالنسبة للـY ده اللي
هو R of Y هجيبه كـfunction of الـY و الكابل
بالنسبة للـY و الحلول هتكون بالنسبة للـY هناخدها
من خلال مثالين لو خدنا find the volume of the
solid أو جل حجم الجسم generated by revolving the
region between الناتج من دوران المنطقة اللي بيناه
هذا Y-axis وهي أول حد Y-axis وهذا معدل X بيساوي
Zero وهذا X بيساوي اتنين على Y وهذا X بيساوي اتنين
على Y وهذا هو الملحانة وعندنا ال Y من واحد لأربع
وعندنا حدود تكم الجهاز من واحد لأربع هذا يعني فهذا
المنطقة نبحث حول محور الصدات Y-axis فلازم اكتب كله
في دلة Yولكن اول مدينة في السواق جاهز X يسوى 2 على
Y لكن لو كلمة اول مدينة Y تسوى 2 على X لازم اقضب X
كدلة في Y يعني فانا عندي X 2 على Y وهي نفس المدورة
الدورات اتلاعظوا البعد من هنا RY بيسوى 2 على Y هنا
اي نقطة لأ قصها ان القمة اتلاعظوا X كانت قمة 2 على
Y وهنا X كانت قمة 0 فناخد الفرق بينهم 2 على Y نقل
0 وديني 2 على Y فRY بيسوى 2 على Yالـ Volume نفسه
يتكامل من واحد لأربع من واحد لأربع زي ما هو مطالب
السؤال في باي في R of Y لكل تربيع و بالربع و نحسب
التكامل يصبح ثلاثة باي طبعا خطوات حساب التكامل هي
واضح معكم و سهلة و بسيطة هام خطوة زي ما يكون هذه
الخطوة القانون و كيف نحسب R of Y طبعا لازم في
الأول نبقى عاملين الرسم الرسم ضروري جدا في هذه
الأسلحة نيجي اللي هو مثل تاني find the volume of
the solid generated by revolving the region
between أوجد حجم الجسم النادج من دوران المنطقة
المحصورة بينهنبدأ أولا الحاجة البرابولة X تساوي Y
تباع Z واحد وهذه البرابولة X تباع X تساوي Y تباع Z
واحد والـ Line X بساوي تلاتة هذا هو الـ Line X
بساوي تلاتة طبعا جبنا نقطة قاطعة و سوينها Y تباع Z
واحد مع التلاتة فتطلع الـ Y تساوي ساوي جدر اتنين و
جدر اتنين وهنا تلاتة و ساوي جدر اتنين و تلاتة و
جدر اتنين هنقطة قاطعة هذا المنطقة هنعمل دوران حول
X بساوي تلاتة X بساوي تلاتة تلاحظوا هذا هو يوازي
محور الصداتلكن المنطقة المتصقة بالمحور الدوران كان
مثل السابق المنطقة المتصقة بالمحور الدوران يعني
المسافة بين المحور الدوران و المنطقة تساوي Zero
وهنا المسافة لو انا احسب المسافة بينهم تساوي Zero
المنطقة فيها فتجيب R في Y R في Y هي المسافة منها
دلوقتي لو خدنا نقطة منها لهنا R في Y X هلأ دلها في
الوايد و سويتها ثابت هلأ إذا نتبعد من محور الصدر
اللي عندها هنابحوار دوران ثلاثة وبالبعد من هنا من
حوار الصدارة اللي عندنا النقطة اللي هو Y يساوي Y
تربيه زت واحد فR of Y هيكون الفرق بينهم ثلاثة ناقص
Y تربيه زت واحد زي ما وضحها انا بطلع اتنين ناقص Y
تربيه زي انا R of Y فإذا هنكامل هذه نضغط في باي في
المربع حد من كمية من ال Y التي هي من سنة جدر اتنين
لجدر اتنين هي موضحة هنا من سنة جدر اتنين لجدر
اتنين ل باي فR of Y تكون تربيه Yوبعد ذلك نقوم
ببناء حساب تكامل البرنامج ببسيط تكامل معروف
بالحدود والجواب 64 بايف جدر اتنين على خمستاشر ناخد
الجزء التاني انه لو كانت المنطقة اللي بدور حول
محور لكن في مسافة بينهم في المحور الدوران مش سفر
تلعب زي انا في مسافة من المنطقة وهي حدودها وهي
محور الدوران في مسافة بينهمهذه الفكرة أنه انا هحسب
حجمين حجم الخارجي هو ناتج من دوران اللي هو نصف خطر
الأبعاد أوتر Radius يسمى R في X وInner بعدين اللي
هو الداخل R في X نجيب الحجمين ونطلعهم من بعض طبعاً
بيطلع الجسم عندنا مفرغ زي ما تشاهدونه بالشكل هذا
فهذا لو كان حوالين محور أفقي اللي هو X Axis أو
ميوازيبالنسبة للـ Y نفس الكلام لكن هتكون الـ X
دلوقتي في الـ Y زي ما أخدنا في الأمثلة السابقة فا
تلاحظوا أن هذا القانون volume by washer و هتلاحظوا
ال washer هتكون عامة disk method و ال disk method
هتكون حالة خاصة لأن ال inner radius هو R small
هيكون Zero عندنا هنا كان لأن المسافر اللي كان في
الأمثلة السابقة المسافربين المنطقة ومحور دوران
تساوي الـ Zero مرتزق فيها الداخلية زي هنا قطع زهري
مسافة بين الـ Zero فاحنا عندنا لو اتحالف ده ايش؟
لو كان في مسافة بينهم فيلقى اللي بتقوليه ال volume
بساوي التكامل من A لB لπi R of X تربيه عن عضو R
الأوضر الأبعداللي هو بيكون مسافته أبعد عن محور
دوران نقص R small نقل تربيع و نقل DX طبعا تلاحظ
اننا نربع كل واحد لحاله مش يخططوا ياخذوا الفرج و
بعدين يربعوا لا احنا بنربع و بعدين ناخد الفرج
تلاحظوا اننا لو استخدمنا خواصل تكامل و وزعنا تكامل
بيصير عندي بقى في التكامل R of X تربيع DX و هذا
الحجمنقص الحجم التاني باستخدام ال inner pedius
الأصغر وهذا واضح أن هنا حجمي الحجم الكبير وفيه حجم
الجوانب فانا أخد الكبير نقص الجوانب فبطلع الحجم
اللي هو المنطقة اللي بينهم يعني الناتج يكون مفرغ
الجسم لأن انا اخد أمثلة ايه عند المنطقة ده region
bounded by y بيساوي x2 بز1 اي y بيساوي x2 بز1 y
بيساوي سلب x3 تلاتة خط المستقيملو جيبنا نقاط
التقدر بينهم هي رسمنا من بعض لان نقاط التقدر سالب
اتنين و واحد هي رسمنا المنطقة و اي سالب اتنين و
خمسة صورتها و الواحد و صورته اتنين المنطقة ده حد
هو حوالي محور السينات و دعسوا فيه مسافة بينهم و
لازم تغير من سالب اتنين لواحد فانا عندي اول حاجة
في outer radius الخارج الأبعد اللي هو انا هي عندي
المحور الدوران و اي نقطة اي نقطة تخيلوا هي عمودي
الأبعد هيه فالفوقالمسافة بين المستقيل y بصوية سالب
x زائد تلاتة ومحور الظهران x أرف x بصوية سالب x
زائد تلاتة و ال inner radius اللي هو الداخلية
المسافة بينها لهنا الامدية x تربية زائد واحد لأن
اللي أخدنا هي نقطة هنا و هنا y بصوية x تربية زائد
واحد و هنا y بصوية zero فx تربية زائد واحدأحنا
هناخد مربع الأول و نقص مربع التاني و نقص مربع
التاني و نقص مربع التاني و نقص مربع التاني و نقص
نقص مربع التاني و نقص مربع التاني و نقص مربع
التاني و نقص مربع التاني و نقص مربع التاني و نقص
مربع التاني و نقص مربع التاني و نقص مربع التاني و
نقص مربع التاني و نقص مربع التاني و نقص مربع
التاني و نقص مربع التاني و نقص مربع التاني و نقص
مربع التاني و نالجسم اللي هو مبنطج عنه هو واضح
ويظهر ويظهر فينا أنه مفرغ من الداخل لأننا ذكرنا
حسب الحجمين حجم الجسم كله وجمنا منه حجم الداخل
ناخد
مثال تاني Y بيسوء X تربيع وY بيسوء 2X هذي Y بيسوء
X تربيع وهذه Y بيسوء 2X لو صورنا 2X مع X تربيع
بيظهر نقطة قطعة 0 و X ب0 و X ب2بنفعات بتاعي فتبين
هم لو سألنا x تابعي يسوى 2x خد x عامل مشترك بيصير
x وx نقص 2 بيبقى x بيسوى 0 او x بيسوى 2 وهيبقى
بالفعل انا x بيسوى 0 و ال x بيسوى 2 طبعا هذه سورة
00 سورة 2 أربعة دائما بيبقى تربيع او نضرب 2 حل
المنطقة عندنا بس بدنا ندورها حوالين محور الصداد
فبنجح أهم محور الصداد لازم تكون ال x ده level 1
فالمخططين هنوا يتسوى 2x على الخط مستقيم يسمى x
بيسوى 2الملحنة هذه التانية Y تساوي X تانية بيبقى
جيب X بدلت Y بيبقى X نوع جدر ال Y لأننا في الرابع
الأول هناخد جدر الموجة طب هاي المحور الدوران
هتلاحظوا فيه عندك الأقرب هذا هو هذا الأبعد فالأبعد
مسافة بالأبعد لهذا المحور هو جدر ال Y و الأقرب
عندها اللي هو Y على 2 فR capital of Y تساوي جدر ال
Y وR small of Y تساوي Y على 2أحنا بنطبق القاعدة
الـ Volume تساوي التكامل من C ل D ل B في R of Y
لكل تربيع ناقص R of Y تربيع DY و برابع و بالحسبة
التكامل بطلع معانا تمانية أربعة تلاتة اليوم ناخد
بعض الأسئلة AI مدينة المنظر هي حدودة X تساوي جدر
خمس أوي تربيع و X تساوي Zero لو X Axis و Y تساوي
سلب واحد وY تساوي واحدنعمل دوران حوالين اللي هو
الـ y-axis هذا الـ y-axis هي انتهاء الجسم فانا
واضح ان المعادلة جاهزة فانا R of Y سواء جالس خمسة
في Y تربيزة ممضانية لما ندين X جاهزة لما ندينها في
Y هنغبّعها ونضرفها بايم كامة قيم Y من سلب واحد
لواحد وانتقام بسيط وبطعة اتنين بايم السؤال السابع
تلاتين هذه المنطقة أنا سامعها جاهزة هي ان Y بساوي
X تربيزة واحدقليلة بيساوي x تساوي تلاتة فجبنا نقطة
قاطع بينهم هيحلناها سواء المعادلة تلت مع بعض و
بيصير المعادلة تربية بالتحليل بيطلع x بيساوي سارب
واحد و x بيساوي اتنين فهنا بيسارب واحد اتنين هذا
المدقق اللي بتغير الدوران طبعا حول الاسئلة حول ال
x axisعندما تلاحظ أننا سنستخدم الواشر لأنه في بعض
الار كابيتال سيكون بعض من الهان وعندنا ار ازا
اتلاتة او الار اصغر اكس ترميز الواحد هربع الاتنين
وناخد الفرق بينهم نضغط في البيت DX ونكامل عقيم اكس
D من سالة واحد لاتنين هذا هو التكامل وبعدين بنفكر
الترميز ويصبح معنا بريلومي ونكملها امور بسيطة
وبترجع 117باية على خمسة كما تلاحظون 117 باية على
خمسة هذه خطوات طبعا بسيطة وأنا بتطلبكم أن تحلوا
الأسئلة كحسابات أهم خطوات خطوة الأولى الرسم وانطلع
الحدود ونعرف اللي هو القانون وبعدين بيصير حسابات
عادية ناخد سؤال 45 المنطقة أيها originally in the
first quarter from الأول bounded above by the
curve Y بساوة X تربيع below by the X axis هي Y
بساوة X تربيع وهي ال X axis and on the right of
the mean by the line X بساوة أحدة X بساوة أحد
وعندنا اللي هو بدنا نعمل دوران حوالين المستقيم X
بصوة سلب واحد هذا X بصوة سلب واحد هو هذه نقطة
الطباط و هذه واحد واحد واضح لما نصور X تار بيمع
الواحد بطلعة X بواحد لإنه في الرابع الأول هذه نقطة
واحد والسفر هنعمل دوران هنا طبعا هنستخدم الواشر
والتكامل بالنسبة لل Y إذا من هنا بدأ X تسوى جدر Y
و أنا X بصوة واحد إذا البعد اللي أبعد من هنا لإن
هو من هنا لإن واحد ومن هنا لإن واحد إذا أركب تال
بإتنينبالنسبة لـ Rsmall اللي هو البعد من هنا
المحور اللي ورا اللي عندها دي عندنا من هنا لهنا
واحد ومن هنا لهنا اللي هو جدر ال Y بيصير واحد زائد
جدر ال Y فدهن Rcapital تسوي اتنين وRsmall واحد
زائد جدر ال Y إذا ال volume هيسوي تكامل من صفر
لواحد لإن قيم Y يتغير من صفر لواحد لPi في Rcapital
Y لكل تربية نقص Rsmall Y لكل تربية وبنعود بالقيم
الموجودة فوقأو بالنسبة للتكاملات بيظهر تكامل بسبعة
باية على ستة تاخد أخر سؤال لكن هو تالت أسئلة في
بعض لأنه هناخد ABC نفس المنطقة لكن هنغير المحاول
المنطقة محدودة بالمنحنى Y بساوي X تربيع و ال line
Y بساوي X هذا Y بساوي X وهذا Y بساوي X تربيع هنعمل
أول حاجة دوران حوالين مستقيم Y بساوي 1 Y بساوي 1
هذا هو مبتسط في المنطقة يعني R small ب Zero هناهنا
هي الوقش الممكن لكن بيصير ال disk لأن ال R small ب
Zero هدعي ان انا اطلع R small ب Zero R capital
واحد نقص X تربيع افضل كيف تبنى R capital هو
المسافة بين محور دوران و هذا الهان اللي هو
الملحانة واحد بسبب X تربيع البعد بين الواحد نقص X
تربيع لأن المسافة من هذا الهان X تربيع والمسافة
كلها انا واحد لما اضرح واحد نقص X تربيع بالدينة ال
volume بيساوي تكامل من سلب واحد لواحد لان انا حسب
النقطة قاطعوانتجت قطع بين المرحلين X تربية 1 سو 1
يعني X سلو 1 بواحد بواحد واضحة فبتكملها من سلو 1
بواحد بواحد باي ومن عوض عن R كابيتال في X التربية
وقيمتها Y نقص X تربية واحدة مية Zero وبعدين نحصل
التكامن بطلع 16 باي على خمس طعيم طب لو غيرنا
المحور بدل Y سو واحد وY سو اتنين صار ارشد موري
عندنا بواحد بواحد بواحد وR كابيتال عندنا هيصير
واحد وهنا عندنابس مجيوب منه X تربيع يعني بيصير
اتنين نقص X تربيع وهذا R small بواحد وال R capital
بيصير اتنين X تربيع وبنعمل نفس التكامل بنعوض عن R
capital بقيمته وR small بقيمتها وهذا هو عوضناه
بنفك التربيع أو بنجمع وبصير تكامل بالنوم اللي
بنحسبه وبنطلع الجواب 56 بقع 15 الاخر واحد بيقول Y
بيصير سلب واحد طبعا هذه المنطقة اللي استخدمها
مباشرة في R small و في R capitalRsmall هو البعد من
هنا إلى هنا يظهر البعد من هنا إلى هنا المحور
الصيني 1 ومن هنا إلى هنا X تربيع فبختار Rsmall 1
زات X تربيع Rcapital هيكون البعد من هنا إلى هنا لو
نحسبه أنا من هنا إلى هنا 1 ومن هنا إلى هنا 1 يصبح
2 فRcapital يصبح 2 ثم نعود لقاعة كامل من سلب 1 أنا
مش واضح بس هي سلب 1 ل 1 في البيع فRcapital تربيع
نقص Rsmall تربيع
بنفتح التربيه وبنجمع طبعا معناه polynomial كما
تشاهدون تكاملة بسيطة يوعيا بنعامل بحدود لإيار واحد
من سالب واحد وبنجمع جواب اربعة وستين باي ع خمس
استعشر بهذا المثال نهي section 6-1 نتكلم عن إيجاد
حجم الجسم الناتج من دوران منظر حول المحور سواء
مكان أفقي أو رأسي
في نهاية هذا الفيديو أتمنى لكم التوفيق والسلام
عليكم ورحمة الله وبركاته