بسم الله الرحمن الرحيم عزيزي الطلاب السلام عليكم
ورحمة الله وبركاته في هذا الفيديو سنشرح آخر
section معناه في المنهج section 6 أربعة بعنوان
areas of surface of revolution اللي هو إيجاد مساحة
السطح لجسم ينتج من عملية دوران هنبدأ بتعريف هناخد
دوران يكون حول محور السينات أو حول محور الصادات تعريف if
the function f of x أكبر من مستوى 0 is continuously
differentiable and integrable من a ل b يعني ده اللي
تكون قبل الاشتقاق مستمرة ومتصلة على فترة من a ل b the
area of the surface مساحة السطح generated by
revolving the graph of Y to F of X about the X-axis
المساحة السطحية التي نتجت من دوران y حولين
the X-axis يعتبر هذه الصورة S تساوي تكامل من الـA لـB لـ2 Pi في Y التي هي F
of X في جذر واحد زائد dy dx الكل تربيع انا كنت احب DX ويعمض
عنها الـY هي F of Xو الـ dy dx f prime of x dx إذا
أردنا أن نجيب المساحة السطحية التي نتجت من دوران ده
لحوالين المحور السيني أول حاجة نجيب المشتقة
الأولى نتأكد أنها متصلة على الفترة المعطاة وبعدين
بنعمل جذر f of x في جذر واحد زائد الاف برايم x
الكل تربيع بنبسطها و بضرب في f of x كل مضروبة في
2 باي أو بكملها من a لb بعدين بعمل تكامل عادي
ناخد مثال عن الحالة هذه Find the area of the
surface generated by revolving the curve Y يساوي 2
جذر X و X من واحد لاثنين about the X axis يجب ان
نطلب مساحة السطح اللي هتنتج من دوران المنحنى ده لو
Y يساوي 2 جذر X على حوالين محور السينات و X في
الفترة من واحد لاثنين طبعا هذا الشكل اللي هو الجسم
اللي هتنتج من دوران Y يساوي 2 جذر X نجيب المساحة
السطحية أول حاجة ناخدها هي القاعدة S تساوي التكامل
من 1 ل 2 2 Pi في Y في جذر واحد زائد الـ Dy DX الكل تربيع
DX ال A يساوي 1 و ال B يساوي 2 معطى و ال Y
تساوي 2 جذر X مشتقتها 1 على جذر ال X هناخد
واحد زائد المشتقة الكل تربيع تحت الجذر يعني انا عمل
التعويض بسبب الصورة دي ناخدها على المقامات X زي
واحد على X جذر X زي واحد على جذر X فالأساس هو
التكامل من واحد لاثنين لـ2 باي في 2 جذر X
وهي هنا Y في جذر واحد زائد الدي واي دي X الكل تربيع
جذر X هتروح مع جذر X حسب هذه الصورة طبعا هنا
تكامل هذا يساوي نفس ال course 3 على 2 مقسومة
3 على 2 يعني مضروب في 2/3 في 4 باي
بحدود تكامل من واحد لاثنين بالعوض بحدود التكامل
ويعطينا هذا الجواب 8 باي على 3 في 3
جذر 3 ناقص 2 جذر 3 هذا هو عملية حسابية
فقط الخطوة الأهم اللي هي الأولى كيف هو التعويض في
القانون وكيف القانون عوض فيه هناخد نفسه بس الدوران
حول محور الصادات هتكون X دالة في Y
ولازم تكون متصلة وقابلة للاشتقاق على الفترة من C ل D
مساحة السطح تساوي الـ S تساوي التكامل من C ل D
2 Pi في X وهي ده اللي هتكون في الـ Y في جذر DX DY الكل تربيع هي
التكامل اللي هتكون بالنسبة للـ Y هنعوض عن X بدلالة
بالنسبة للـ Y جي و الـ X برايم جي برايم الـ Y ناخد
عليه مثال ده line سيجمع X يساوي 1 ناقص Y و Y من
صفر لواحد فتحة المستقيم اللي عندها هي من الصفر
للأزرق ويتطور حول الـ y-axis وهو الشكل القمع نحسب
المسافة السطحية له أولاً لدي الـC بصفر وD بواحد
لأن الـY يغير هذا من صفر لواحد عند ال X يساوي 1
ناقص Y اذا DX DY يساوي سالب واحد جذر واحد زائد DX DY
الكل تربيع يساوي جذر اللي هو واحد زائد سالب واحد الكل
تربيع يساوي جذر 2 الأسهل قانون متبعه يساوي
تكامل من 0 ل 1 ل 2 باي في X في جذر واحد زائد DX DY
الكل تربيع يساوي تكامل من 0 ل 1 ل 2 باي عند
ال X هي يساوي 1 ناقص Y والجذر هذا كله يساوي
جذر 2 شفت كام مباشر ناخده ثابت لبرا 2 باي
في جذر 2 و الواحد ناخده تكامل و واي ناخده
تربيع 2 وهذه حدود تكامل بنعوض فيها بيعطينا
الجواب باي في جذر 2 ناخد بالاسلتك تاب سؤال
ثلاثة عشر احنا بيدينا Y يساوي X تكعيب على 9 و X من
صفر لواحد من مساحة السطحية نتجت من دوران المنحنى
ده لحوالين X axisانا اعمل يوم المشتقة الأولى بسوء
X تربيع 3 طبعا انا بلاحظ ان المشتقة الأولى
متصلة على الفترة اللي انت بصفر للاثنين نربع حمس ال
X أربعة على 9 القاعدة هي لسه سوء التكامل X من
صفر للاثنين لـ2 ال by في ال Y اللي هو X تكعيب
على 9 في الجذر كمية الجذر هو حزر مربع المشتقة قبل
ما اتمنى اوضح ان انا ناخد كلها ال Uمش تقطع بديني 4
على 9 في X تكعيب DX انا عند برا X على 9 DX هي X
على 9 DX هنكتب بدلها ربع DU فبصير التقابل الصورة
هذه 1/4 DU بدال X تكعيب على 9 DX وهذا جذر هصير
جذر U يعني U أس نص
حساب التكامل يُقص نص يُقص 3 على 2 في طول
تان عوضنا بالحدود
يوجد هنا سؤال 17 انا X يساوي Y تكعيب على 3 و Y من 0
ل 1 حول Y axis الحالة الثانية لأجيب مشتقة X بالنسبة
ل Y هو Y تربيع وهي على الفترة المتصلة الرابع يديني Y
أربعة القانون هو U S يساوي التكامل Y من 0 ل 1 لـ 2 Pi
في X يساوي Y تكعيب على 3 في جذر 1 زائد Y أربعة دي واي
U يساوي 1 زائد Y أربعة بصير هذا كله U أس نص هان و
2 باي و بواي تكعيب اتالية في الدي واي من هان
بيطلع يساوي ربع دي يو هي ربع دي يو و بنعمل احنا
اللغة بنعوض عنهم عوضنا بالحدود التكامل لما اكت واي
يساوي زيرو بيطلع U يساوي 1 و لما باي يساوي 1
بيطلع U يساوي 2 ست تكامل هذه الصورة هو نحسبه
على U أس 3 على 2 على طول 2/3 هي التكامل ونعمل
بالحدود 2 على 1 والثالث بقى على 6 وبيطلع
الجهود معناه بقى على 9 في جذر 8 ناقص 1
بهذا المثال النهائي اللي هو تطبيق الأخير للتكامل
المحدود اللي درسناه في شبكة 6 اللي هو تكامل
إيجاد مساحة سطحية لجسم الناتج من دوران منحنى
دالة حول محور السينات أو حول محور الصادات هذه هي
آخر محاضرة في المنهج لكم التوفيق والنجاح السلام
عليكم ورحمة الله وبركاته