بسم الله الرحمن الرحيم أعزائي الطلاب السلام عليكم
ورحمة الله وبركاته سندرس في هذا الفيديو إن شاء
الله سكشن أربعة تلاتة بعنوان Monitoring Functions
and First Derivative Test في هذا الفيديو سندرس
متى تكون الدالة تزايدية ومتى تكون تناقصية وتحديد
القيم العظمى المحلية والصغرى المحلية أول حاجة هنبدأ
بـ Increasing Functions و Decreasing Functions
دوال التزايدية و دوال التناقصية كلها لأولى تلاتة
بتقول لو فكرت أندي ده لأ كنت متصل على فترة من A
لـ B وقبل اشتقاقها في الـ interior داخلها إذا كنت
مشتقة الأولى أكبر من 0 فبتكون على فترة من A لـ B
بتكون تزايدية وإذا كانت أقل من 0 بتكون تناقصية،
إذا عن طريق اللي هو المشتقة الأولى بنجيبها وبنحصل
على إشارتها إذا كانت المشتقة الأولى أكبر من صفر يكون زي
دي وإذا كانت أقل من صفر تناقصية Suppose that f is
continuous on a و b and differentiable on the
interval a و b if f prime x is greater than zero at
each point x belonging to a و b then f is
increasing on a و b إذا F' X أقل من 0 في كل مكان X
في الـ AB فـ F يتناقص على الانترفال AB سنختار مثال
لتوضيح مثال واحد فهو F X يساوي X تكعيب ناقص 12 X ناقص
5 سواء دي بالينومية فهي دائما قابلة للاشتقاق ومتصلة
لأن حدودها مدمنة ما اعتناش بفترة حدودها في الحالة
دي كلها R فترة مثلًا لما تكون تزايدية ولا تزايدية
تناقصية هجيب المشتقة الأولى 3 اكس تربيع ناقص
12 3 اكس تربيع ناقص 4 3 اكس تربيع
ناقص 4 3 اكس تربيع ناقص 4 3 اكس
تربيع ناقص 12 3 اكس تربيع ناقص 12 3
اكس تربيع ناقص 12 3 اكس تربيع ناقص 12
3 اكس تربيع ناقص 12 3 اكس تربيع ناقص
12 3 اكس تربيع نقفناخد الفترات انقسمت تاعت
الفترات من سالب ما لا نهاية إلى سالب 2 ومن سالب
2 إلى 2 ومن 2 إلى ما لا نهاية هنحسب
الإشارات في الفترة الأولى من سالب ما لا نهاية لـ سالب
2 بتكون إشارتها بالإشارة موجبة على رضها فإنّه
يكون X أقل من سالب 2 هذا سالب سالب سالب سالب
سالب ستكون موجب فتكون موجب حدين موجب أو بطريقة أخرى،
نأخذ نقطة في الفترة من سالب 2 إلى سالب 2 مثلًا
نقطة سالب 3 قيمة المشتقة عندها 15 هي موجبة
الفترة من سالب 2 لـ 2 نقطة صفر قيمة الدالة سالب
12 هي minus الإشارة بتاعتها بالسالب عند فترة من
2 لـ 3 نقلنا 3 و 2 لـ 15 فهي موجبة
فهي الفترة من سالب ما لا نهاية اللي هي سالب 2 بتكون
إشارتها موجبة فالمشتقة الأولى فهي بتكون دالة تزايدية
فالفترة من سالب 2 لـ 2 بتكون سالب بتكون دالة
تناقصية ففي الفترة من 2 لإنهاية بتكون المشتق
الأولى موجبة فبتكون دالة تزايدية فهي increasing
decreasing increasing هذه الأسماء وضّحية للدالة هو
وضع عند السالب 2 في Local Maximum وعند الـ 2
في Local Minimum طبعًا حسب الإشارة سناخد اختبار
أولًا الاختبار الاختبار
المشتق الأولى لكي نجد القيم العظمى والصغرى المحلية
فيها دراسة متوفرة تقدم حلويات مختلفة عندي دالة
عبارة عن إربين متصلة تلاحظ هنا أول حاجة بالزيادة
المشتقة الأولى ستكون أكبر من 0 هنا المشتقة الأولى
ستكون أكبر من 0 هنا المشتقة الأولى ستكون أكبر من 0
هنا المشتقة الأولى ستكون أكبر من 0 هنا المشتقة
الأولى ستكون أكبر من 0 هنا المشتقة الأولى ستكون
أكبر من 0 هنا المشتقة الأولى ستكون أكبر من 0 هنا
المشتقة الأولى ستكون أكبر من 0 هنا المشتقة الأولى
ستكون أكبر من 0 هنا المشتقة الأولى ستكون أكبر من 0
هنا المشتقة الأولى ستكون أكبر من 0 هنا المشتقة
الأولى ستكون أكبر من 0 الاختلاف عن الحالة هي أنها
ليست موجودة في الـ 6 لأن هناك Local Maximum لأن
الـ Delta جبلها يزيد وبعدها يتجلد فجبلها المشتق
الأولى كان أكبر من الـ 0 وبعدها أقل من الـ 0 فتغير
إشارتها من موجب لسالب لتصبح Local Maximum بالمقابل
لها المشتق الأولى تصبح 0 فتغير إشارة المشتق الأولى
من سالب لموجب لتصبح Local Minimum لأن جبلها تتقص
وبعدها يزيد هنا ليس المشتقة الأولى مش موجود عند
المشتق الأولى لكن هناك Absolute Maximum فتلاحظوا
هنا الـ absolute maximum و minimum تحدث عند الخانة
مش ضروري أن المشتقة الأولى موجودة لكن لو كانت
المشتقة الأولى موجودة أو لو كان لدي Local Maximum
أو Minimum أو Absolute Maximum أو Minimum فلازم
المشتقة الأولى تساوي Zero هذا كان نوع من نظرية
تلاحظوا هنا بعدين اندلت التناقصية هنا عند النقطة
C5 المشتقة الأولى تساوي Zero لكن ليس كثير لأنه جبل
التناقص وبعدها تناقصي إذا لم يكن النقطة مشتقة ولم
يكن لديها صفر فهي مستخدمة value لازم تغير إشارة
المشتقة أو من موجبة إلى سالبة أو من سالبة إلى موجبة
إذا تغيرت من موجبة إلى سالبة ستكون لدي Local Maximum
وإذا تغيرت من سالبة إلى موجبة ستكون لدي Local
Minimum مثلًا أنا لم تتغير موجبة بموجبة أو سالبة بسالبة
ولا Local Maximum ولا Local Minimum في الشيكسريما
هذا كله تخطيصه في الاختبار التالي First Derivative
Test for Local Extrema Suppose that C is a
critical point of a continuous function R أول حاجة
C is a critical point فيها نقطة داخل الـ domain
الداخل يكون مشتقة الأولى عندها أما صفر أو غير
معرفة وهذا الـ F يمكن تغييره في كل محطة في بعض
الـ intervals التي تحتوي على C إلا إذا كانت ممكنة
تغييرها بالـ C فالـ F قبل اشتقاقها في فترة حوالين
الـ C معدى الـ C ممكن تكون قبل اشتقاقها أو لا لأن
الـ Critical Points ليس ضروري أن تكون نقطة قبل
اشتقاق قبل اشتقاق قبل اشتقاق قبل اشتقاق قبل اشتقاق
قبل اشتقاق قبل اشتقاق قبل اشتقاق قبل اشتقاق بعدها
تغيّر لـ Positive إذا كانت المشتقة تقولها Negative
يعني دالة تناقصية وبعدها تصير Positive تصير
تزايدية فبكون عند الـ Local Minimum أفقر من شيء
From Positive يعني كانت المشتقة تقولها Positive
يعني تزايدية وبعدها بعد الـ C صارت Negative
المشتقة تقولها دالة تناقصية فبقول عند الـ C في هذا
الحال Local Maximum في الحالة التي إشارة الـ f does
not change sign at c يعني إشارة الـ f جاب الـ c
Positive وبقى بعدها Positive أو Negative في
الحالة هذه فالـ f لا يوجد إقصاص أقل في الـ c كما
حسب الإشارات ناخد أمثلة Find the critical points
of f of x أو x أسطول في x ناقص 4 طبعًا دربنا الـ x
أسطول جوا بيصير x أسطول 4 تلاتة ناقص 4 في x
أسطول وبعدين يوجد فترة التزايد والتناقص وفيه الـ
Local Max Extreme أو Absolute Extreme Values
المشتقة الأولى متصلة عندي أنا و أنا متصلة ناخد
المشتقة الأولى تطلع في الصورة هذه بعد التبسيطات
نسب الصورة حاليًا واضح إن المشتقة الأولى تساوي صفر
عند الواحد وغير معرف عند الصفر هذين ثانيًا
Critical Points موجود دمان طبعًا كما قلنا دمان كل
عنا R بالنسبة للنقاط إذا الـ 0 و 1 اكس هو الـ domain
كله من سالب ما لا نهاية لـ Zero ومن سالب ما لا نهاية لـ
واحد لما لا نهاية نبحث الإشارة في كل جزء يجب أن يكون X
أقل من 0 يجب أن يكون X أقل من 0 لأن في المقام دي
موجب لـ X تربيع موجب أقل من تربيع سالم سالم على
موجب سالم وأربعة تربيع سالم فكون سالم يكون هنا
تناقصية Decreasing إذا كان X أكبر من 0 وأقل من 1
بعد ذلك ستحصل على موجب دائمًا في المقام موجب لأن
هناك تربيهات عندما تكون X أكبر من واحد ستكون ال
bus موجب موجب عموجب موجب increasing ستكون هناك
تناقصية في الفترة من سالب من نهاية لعن زيرو وفي
الفترة من زيرو لواحد و increasing في الفترة من
واحد لعن نهاية لعن زيرو الإشارة لا تتغير مثلا في
سالب سالب لا تتغير عند زيرو
عند الواحد أول حاجة تكون تناقصية ثم تصبح تزايدية
ثم تناقص ثم تزايد أو تطيّر إشارات المستقبل مثلا
في الموجة فهو Local Minimum عند الواحد فبالفعل عند
الواحد يوجد Local Minimum ثم تصبح تناقصية ثم تصبح
تناقصية الدالة فهي Local Minimum وهي أيضًا واحدة
مشغولة أنها Absolute اللي هو Minimum عند الواحد ثم
الكمان دلسالت ثلاثة عند الواحد من عوض الدالة
الأصلية اللي هنحط اللي هو X بواحد
نختار أسئلة تطلب من الـ function الـ function الـ function
الـ function الـ function الـ function الـ function الـ function الـ function جوف
X سواء X جدر ثمانية نقص X تربيع هذا سؤال 33 أول حد
الـ domain يجب أن يكون ثمانية نقص X تربيع أكبر من سواء
0 نحسبه يظهر الجذر التربيعي الجذر التربيعي يظهر X
تربيعي بدينة كلمة مطلقة لـ X أقل من سواء 8 جذرها 2
جذر 2 فحد الـ domain يظهر X محصورة من سؤال 2 جذر 2 لـ 2
جذر 2 هذا الـ domain سؤال 2 جذر 2 و 2 جذر 2 هو الـ end
point المشتقة الأولى حسبناها باستخدام قاعدة ضرب
بسطناها للصورة هذه واضح أن المشتقة الأولى بتساوي 0
عندما تبقى تساوي 0 يعني X تربيع نقص 4 بتساوي 0 فتظهر
X تساوي زيادة أو نقص اثنين هدول تنتهي الـ critical
points عند داخلات الفترة وغير معرفة عند أسفر
المقام من هنا تظهر هدول النقطتين وهدول المشتقة
الأولى عندها معرفة لأن هدول نفسها انتقلت انتقلت
انتقلت انتقلت انتقلت انتقلت انتقلت انتقلت انتقلت
انتقلت انتقلت انت
هذا نفس المطلوب تحيي الفترات في الفرقة في العندي
من سالب 2 جذر 2 لسالب 2 ومن سالب 2 لـ 2 ومن 2 لجذر 2
حسب الإشارة المقام دائمًا موجب البسط الـ X تربيع نفس
4 بيكون موجب إذا كان X أكبر من 2 أو X أقل من سالب 2
سيكون هذا موجب سالب على موجب دين السلم في الفترة
هذا سيكون سالب وهذا سيكون سالب لو أخذنا فترة من سالب
اثنين إلى اثنين سيكون هذا كله اللي جوز بالسالب
سالب موجب على موجب على موجب على موجب على موجب على
موجب على موجب على موجب على موجب على موجب على موجب
على موجب على موجب على موجب على موجب على موجب على
موجب على موجب على موجب على موجب على موجب على موجب
على موجب على موجب
على Local Minimum هنا سيكون هناك تزايد ثم تناقص
لذلك سيكون Local Minimum لـ 2 لـ 2 لـ 2 لـ 2 لـ 2 لـ 2
لـ 2
لـ 2 لـ 2 لـ 2 لـ 2 لـ 2 لـ 2 لـ 2 لـ 2 لـ 2 لـ 2 لـ 2 لـ 2
لـ 2 لـ 2 لـ 2 لـ 2 لـ 2 لـ 2 لـ 2 لـ 2 لـ 2 الـ function لديه
مقصد مقصد مقصد مقصد مقصد مقصد مقصد مقصد مقصد مقصد
الـ function هي الـ local minimum at x بتساوي سالب
اثنين وقيمتها g سالب اثنين بتساوي سالب أربعة الـ
function هي الـ local minimum at x بتساوي اثنين جذر
اثنين وقيمتها g سالب اثنين جذر اثنين بتساوي زيرو طبعًا
الـ function هذا بصورة ماكسيما ملاحظة أن أكبر قيمة
عندي للـ 4 ستكون عند الـ 2 وأقل قيمة عند سالب
أربعة ستكون عند سالب اثنين السؤال اللي ناخده كمان
هو تسعة وخمسين بالطبع نفس الشيء نجيب الـ local
extrema
فترة مفتوحة من 0 إلى y المستقل الأولى هي 2cos x
-cos x - 2cos x - 2
طبعًا هذه المشتقة الأولى 1 تساوي 0 يعني من كتار الـ X
بتساوي 1 يعني من كتار بتساوي X بتساوي 1 بدين X
بتساوي 8 على 4 طبعًا خدناها في الفترة هذه الموجودة
عندنا فهي غير معرفة عند أسفار اللي هو اللي بتكو ..
اللي بتكسف واحد على ساعة إن كان أسفارها الساعة
اللي عندي هي الصفر و الـ by و 2 by و الصفر بساري
by و 2 by و 3 by لكن ليس موجودة في الفترة إذا
ما عنديش اللي هو بس الـ cotangent الـ X نقص واحد بيساوي
Zero عندما X بتساوي باي على أربعة فهذه هي النقطة الحاجة
الوحيدة عندي لو أخذنا إحنا إشارة الـ F prime في
الفترة من صفر لـ باي على أربعة حدين بالسالب في
الفترة من باي على أربعة لـ باي حدين بالموجب هذه
هي حسابات تفصيل على الـ DOP في الـ Local Minimum
حسابية صفر عوضنا في الدالة الأصلية باي على أربعة
نقص اثنين في كتير من باي على أربعة نقص اثنين في كتير من
باقي الأربعة نقص اثنين في كتير من باقي الأربعة
نقص اثنين في كتير من باقي الأربعة نقص اثنين في كتير من
باقي الأربعة نقص اثنين في كتير من باقي الأربعة
نقص اثنين في كتير من باقي الأربعة نقص اثنين في كتير من
باقي الأربعة نقص اثنين في كتير من باقي الأربعة
نقص اثنين في كتير من باقي الأربعة نقص اثنين في كتير من
باقي الأربعة نقول معلومة أن الـ point 1 و 2 تقع
على المرحلة دلوقتي يعني صورة 1 بتساوي 2 يعني أكبر
عبارة عن أكبر عبارة عن أكبر عبارة عن أكبر عبارة عن
أكبر عبارة عن أكبر عبارة عن أكبر عبارة عن أكبر
عبارة عن أكبر عبارة عن أكبر عبارة عن أكبر عبارة عن
أكبر عبارة عن أكبر عبارة عن أكبر عبارة عن أكبر
عبارة عن أكبر عبارة عن أكبر عبارة عن أكبر عبارة عن
أكبر عبارة عن أكبر عبارة عن أكبر عبارة عن أكبر
عبارة عن أكبر عبارة عن أكهذا معنى مدار absolute
maximum ومدالة polynomial فهي قابلة للاشتقاق إذا
قابلة للاشتقاق عند الواحد مدار absolute maximum عند
الواحد وقابلة للاشتقاق عندها في الأزم المشتقة الأولى
بتساوي zero إذا F prime للواحد لازم تساوي zero وإذا
F prime للواحد لازم تساوي 2A لازم تساوي 2
B نعود بالواحد في الدين 2A لازم تساوي zero
هذه معادلة رقم اثنين معادلة 1 و 2 لو أنا أخذت
معادلة 2 وطرحت منها معادلة 1 هيروح الـ B
مع الـ B هأسيب 2A نقص A بدينا A و صفر نقص
اثنين سالب اثنين يطلع A بتساوي سالب اثنين نعوض في
المعادلة الأولى D بتساوي اثنين نقص A يعني بتساوي
اثنين نقص نقص اثنين بدينا أربعة إذا D بتساوي أربعة
إذا F of X بتساوي سالب اثنين X تربيع زائد أربعة X
بهذا المثال بيكون أنهينا سيكشن أربعة تلاتة اللي
اتكلمنا فيه عن إيجاد لو فترات زيادة وتناقص عن طريق
المشتقة الأولى وإيجاد اللي هو الـ Absolute Maximum
و Absolute Minimum و Absolute Extreme Value و Local
Maximum Minimum باستخدام المشتقة الأولى في نهاية هذا
الفيديو أُذِم لكم التوفيق والصحة والعافية والسلام
عليكم ورحمة الله وبركاته