اليوم سنبدأ في صميم الموضوع وهو ال inverse
function
قبل أن ندخل في الانفراد الانفراد الانفراد الانفراد
الانفراد الانفراد الانفراد الانفراد
الانفراد الانفراد الانفراد الانفراد الانفراد
يبقى definition the function f is
a rule that
assigns to
each
element x
in a set A a unique element عنصرًا وحيدًا a unique
element f of x in a set
نعود للكلام اللي كنا نكتبه ونبدأ بملاحظاتنا عليه
نفس التعريف تبع كالغلصين ما غيرناهوش يبقى جدالة F
هي صيغة أو قاعدة مالها؟ شو بتعمل؟ ذات essence تعين
أو تحدد أو تخصص لكلموجود في الـ set A تخصص له
عنصرًا واحدًا unique element عنصرًا واحدًا f of x في
ال set B يعني لو كان عندي على سبيل المثال هذه هي
ال set A وكان عندي هنا هذه هي ال set B يبقى الدالة
بخصص للعنصر X اللي موجود في الست A عنصرًا وحيدًا في
الست B اسمه F of X الشكل اللي عندنا طيب نرجع نقرأ
النص ثاني و نسقط هذا النص على الرسم اللي احنا
جايينه و نشوف كده بقول الدالة F هي عبارة عن صيغة أو
قاعدة ذات أسلوب تحدد لكل عنصر X في الست A يبقى الست
ليس بالضرورة أن يكون فيها عنصر واحد إنما فيها
مجموعة من العناصر يبدأ لو جيت افترض ان هذا X واحد
وعندي هنا X اثنين وعندي عنصر ثالث هنا X ثلاثة طبعًا
ال X واحد هذا كان في صورته هي F of X واحد لأن
صورته f of x واحد والـ x اثنين كانت صورته هنا f of x
اثنين لكن ليزال هذه فيها عناصر أخرى زي العناصر
اللي عندنا قدر كويس؟ نجي نقرأ هنا to each element
in a set A هل الدالة F ستوطي أو ستمر على كل عنصر
من عناصر A ولا لأ؟ ولا هتمر على بعض وبعض
الآخر؟ لأع الجميع بلا استثناء لنقل to each element
لكل عنصر في ال set A طيب مدينة بدها تغطي جميع
العناصر هذول بلا استثناء إذا ال set A بسميها مجال
الدالة ال domain تبع ال function F يبقى هذه ال set
A هي عبارة عن domain الدالة F طيب
سؤال هو هل يمكن لعنصر واحد من الست A يطلع له
فارقين أو قيمتين في الست B؟ ما جالش تعرف ايه؟ جاليه
unique element، عنصرًا وحيدًا، يعني إذا كان عنصر
الوحيد من الست ايه، بلاجيله عنصر وحيد وين؟ في الست
بي فقط لغاية، السؤال هو هل يمكن لعنصرين من الست
ايه أن يشترك في نفس الصورة من الست بي؟ هذا يعني
أننا ما عندناش مشكلة في الشمالة يبقى مدام في
الشمالة يبقى خلاص مافي مشكلة ليش؟ لأنه منحصش
وبالتالي لما نقوم في روم زي X واحد و X ثلاثة
يبقى f of x واحد وf of x ثلاثة يبقى f of x واحد وf
of x ثلاثة أعلى ايكل اثنين نفس الشيء يبقى مافي
مشكلة في هذه الحالة لأن ما فيش نص ينغي هذا الكلام
إذا ممنوع عنصر واحد كله صورتين لا أمنع أن يشتري
كعنصرين في نفس الصورة ما فيش مشكلة عندنا في هذه
الحالة تمام تمام طيب هل يمكن للدالة if صورها اتغطي
جميع عناصر بيه؟ لأ لأن هاي لثانثة و هاي اثنين و
هاي ثلاثة ما ضاعوش كصور لعناصر من الان إذاً ال B هنا
بسميه ال code domain المجال المصاحب المجال المناظر
المجال المقابل اللي بدك اللي هيبقى B هنا بسميه ال
code domain of F هنا اظهر لي العناصرين اللي اثنين
هذول اللي هم الصورة الصورانش بيسميهم ال range تبع
ال F أي ال image تبع ال F الصورة تبع اثنين ال F
يبقى هذه اللي هي العناصرين اللي اثنين هذول بسميهم
ال range
يبقى هي صورة the life، ممتاز جدًا، إذا في أننا
بنان، في أننا كودمان، في أننا range، السؤال هو هل
يمكن لل range أن يكون أكبر من الكودمان؟ مش ممكنية
البركة بصير جد مين؟ جد الكود مين؟ و in general هو
أقل منه، صحيحة أو لا؟ تمام، على أي حال هذه المقدمة
البسيطة اللي هو ال function يبقى، بدك تعرفلي إنه
ممكن لعنصرين إنهم يشتركوا في نفس الصورة، ما عندناش
مشكلة، لكن لا يمكن لعنصر واحد يذهب لمين، يذهب
لصوتين، فالتعريف
حالة خاصة أو لما أقول حالة خاصة أنا قصدها بعينها
لهدف احنا بدنا ياسا نعرفه خلال هذه المحاضرة إن شاء
الله بداخل حالة خاصة من ال function هي ال function
اللي بنسميها one to one تعال يا ابني أنت موجود
فهو واضح هنا تعال واضح هنا في حاجة عنه كرسي فاضي
ثاني؟ تعال واضح ثاني
يبقى الآن بدأ نجي لحالة خاصة من ال function اللي
بدي اسميها ال one to one function ده لو أخد لواحد
نكتب التعريف نحاول نستوعبه تمامًا و بعدين نشوف ليش
أخدنا هذه الحالة الخاصة دون غيرها يبقى definition
a function f
بنسميها one to one if no two different
إذا لم يكن هناك عنصرين مختلفين أو
أو
أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو
أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو
أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو أو
أو
أو ا
بنعبر على هذا الكلام بصيغة رياضية
والـ x1 و الـ x2 موجودات في الـ set D equivalently
التعريف
المكافئ لهذا التعريف F أو دلة F من ال set D إلى ال
set R is one to one if ال f of x واحد بدها تساوي ال
f of x اثنين then ال x واحد بدها تساوي ال x اثنين
و ال x واحد و ال x اثنين موجودات في ال set D برضه
هذا له معنى هندسي graphically
من الناحية الهندسية هذا شو معناه a function f is
one to one if and only if no
horizontal line no horizontal line intersects
its graph الرسم البياني more than once
نقرأ كل ما كتبناه من جديد ونحاول أن نفهم كل نقطة
موجودة قدامنا على اللغة.
بناخد الـ one to one function إذا لم
يكن هناك عنصرين مختلفين من D لديها نفس الصورة في R
ألا يمكن أن أجد عنصرين عمالة تبقى متساومة، ليس لها
نفس الصورة يعني بالبلد هيك العناصر المختلفة لها
صور مختلفة تمام هذا الكلام النظري بنروح نصير هذا
الكلام بصيغة رياضية فروحنا وقلنا that is
يعني عنصرين مختلفين then f of x واحد لا يمكن أن تكون
f of x اثنين يعني الصورتين تبعاتهم غير متساويتين أما
then x واحد x اثنين
هذا صيغة رياضية للتعريف اللي احنا قلناه، فيه صيغة
أخرى، ايش الصيغة الأخرى؟ فيها المليارات حاجة اسمها
ال negation، ال negation المفي، أنا عندي بطولة،
بدأت أعطيني مطلوب الشغل المكافئة لها نفي المطلوب
داخل نفي مين المعطيات وقعد ندرسها في موضوع ال
المنطق الرياضي logic تمام؟ طب إيش هنا ال negation
للعبارة اللي بدها تنفي؟ ما في هذه يعني إيش؟
بالمساواة يبدأ يجيبي الـ function one to one
F لفظ X1 يبدأ يصير F of X2 يبدأ يعطوني ما في
هذه يتجرن X1 يساوي X2 إن الطريقة الأخرى أو التعريف
الأخرى للـ one to one function إن ما يحصل إن
الصورتين متساويتين للدالة لعناصرين من الـ domain
تبعها إن حصلت إن الصورتين متساويتين يجب أن يكون
الأصل متساوي
يوجد حاجة اسمها ناحية هندسية أو ناحية رسم الـ graph
والرسم البياني يبقى graphically من الناحية
البيانية أو من ناحية الرسم الهندسي اللي بنرسمه
a function f is one-to-one if and only if no
horizontal line intersects its graph more than
once يعني أكثر من مرة وعلى كيف يعني؟ لو رسمت منحلة
الدالة اللي عندك وجبت أي horizontal line رسمته
انقطع المنحلة في أكثر من نقطة إذا الدالة هذه التي
يمثلها هذا المنحلة ليست one to one لكن إذا قطعها
في نقطة واحدة فقط بقول المنحلة هذا أو الدالة هذه
one to one يبقى هذا بيسميه horizontal line
يعني أنت عندك رسمة بدي أعرف هل هذه الرسمة تمثل one
to one function ولا لا بقول بجيبها الـ horizontal و برسمها
موازية لمحور x والله إذا قطع المنحنة طبعاً مش خطبة
يعني أي خط أفقي موازية لمحور x أعلى الـ x ولا أسفل
الـ x إن قطع المنحنة فقط في نقطة واحدة يعني أي خط
رسمة إذا لم يقطع المنحنة إلا في نقطة واحدة، فهذه
المنحنة يمثل one to one function. إذا قطع في نقطة
يعني.
هذا السبب يجب أن نقول إن أنا لو عندي منحلة
horizontal قطعة في نقطة، إذا لو أخذت أي نقطتين
مختلفتين على محور السينات، فأنا هتشوف صورتين
منحلة نقطتين مختلفتين وأنا واحدة زي التانية مصبوح
أو لا؟ لماذا؟ لأن النقطة الوحيدة ليست في نقطة
واحدة وليس أكثر. إذا لماذا يمكن لنقطتين مختلفتين
أن تطلع من نفس الصورة بتالي domain و range؟ مثل إيش
مثلاً؟ الـ functions تقول لك منحلة y تساوي x تربيع مرة
علانة كتير في كل قصية، مصبوح؟ يعني الـ functions تقول
لك هنا for example
the functions اللي هو y تساوي x تربيع مثلاً and دالة
ثانية y تساوي الجذر التربيعي لـ x are one to one
but ولكن the function y تساوي x تربيع is not one
to one بشوف السبب بقوله because of the horizontal
line test اللي هو اختبار الخط الأفقي وكيف كانت ثانية لو
جيت قلت للمحارب هذا محور x وهذا محور y وروحنا و
رسمنا منحنى الدالة اللي هو y تساوي x تربيع زي ما
كنا بنرسمها في كام كراس آية يبقى المنحنى بيجي
بالشكل اللي عندك هذا يا أخي تمام وبيجي نازل بهذا
الشكل يبقى هذا y تساوي x تربيع اللي وراه شايفين
اللون هذا، أولاً نخليه خط أسود. الأخضر هذا واضح للي
وراها؟ ماشي الحال. يبقى هذه y تساوي x تربيع. لو
جيت رسمت أي horizontal line، لو جيت رسمت أي
horizontal line، يبقى الـ horizontal line كان
بالشكل هذا هيك.
لا يمكن أن
يقطع هذا المنحلة في نقطة أو نقطة أو نقطة أو نقطة
أو نقطة أو نقطة أو نقطة أو نقطة أو نقطة أو نقطة أو
نقطة أو نقطة أو نقطة أو نقطة أو نقطة أو نقطة أو
نقطة أو نقطة أو هذا محور x وهذا محور y وهذا
المنحنى y تساوي الجذر التربيعي لـ x لو جيت رسمت أي
خط أفقي بهذا الشكل هيقطع المنحنى
إذا أبني الـ two functions اللي هم دارعان one to
one functions one to one functions قلت لو جيتنا
الدالة y تساوي x تربيع يوجه هذا المنحلة الدالة
هذا محور x هذا محور y هي نقطة الأصل لـ zero حينما
سمينا المنحلة y تساوي x تربيع
y تساوي x تربيع. ارسم أي خط أفقي هيك. يجب أن يقطع
المنحنى في النقطة الثانية. وهنا النقطة الثانية.
هذه بدي اسميها x واحد وهذه بدي اسميها x اثنين.
البعد المنقط هذا هو
البعد الملقق الثاني هو f of x اثنين شو له علاقة
بين f of x واحد وf of x اثنين؟ طريقة اللي هو
البعدين ما بين خطين متوازين البعد بين خطين متوازين
اللي هو يساوي مقداراً ثابتاً اللي هو تفيره مهما رسم
أي خط يصل بين هذين الخطين طيب أنا الآن هذه الـ one
to one الصدر بكواز إن القوق بكواز
عنصرين مختلفين لكن الصور كانت متساوية
بصير الجهاز مدهش وعبارة حط لي x بسالب اثنين يبقى
برضه باطني كمان أربعة إذا متساوية الصورة ثاني لكل
الأصل غير متساوي اثنين وسالب اثنين ومن هنا فالدالة
ليست one to one طيب نرجع بالذاكرة وراي شوية لكل
قرص a لو عندي دالة زيولية على طول أي دالة تناقصية على
طول ورسمت أي horizontal line؟ واحدة بس يبقى any
increasing function أو decreasing function is one
to one صحيح أم لا؟ يبقى خذ نكتب هذه ملاحظة remark
أي
increasing or
decreasing function
هذا محور x وهذا محور y يبقى تزايدية يبقى تزايدية
تقريباً تزايدية يبقى
تزايدية
وهذه دالة تزايدية. أو أي خط أفقي في نقطة واحدة فقط
لا بدة. لأن هذه الدالة وانتهت.
بالشكل اللي لنا هذا هذا محور x وهذا محور y. وكذا
تبدأ على سبيل المثال بالشكل اللي لنا هذا. يبقى هذا
اللي لنا معاها decreasing تناقصية. يبقى هذه
decreasing
function ارسم أي خط أفقي طيب نقلها إلى نقطة واحدة
وأمن هنا فأي increasing function أو decreasing
function هي عجباً عن one to one function طيب
نوجد حاجة بسيطة نأخذ بعض الأمثلة العادية اللي
بتلطف الجو هيك ملاش يكون كله كلام ناسي
زائد اثنين and الـ g of x اللي يتساوي and الـ g of
x يساوي x زائد واحد على x one to one سؤال
بيطلع نفسه وبنحاول إنجازه
هل الدوال اللي عندنا هذه تبقى دوال one to one أم
لا؟
هل هذه الدالة واحدة واحدة أو لا؟ هناك أكثر من
طريقة لإثبات الدالة هل هي واحدة واحدة أو لا،
وليس واحدة واحدة أو لا، وليس واحدة واحدة أو لا،
وليس واحدة واحدة أو لا،
أفترض إنه في عندي صورتين متساويتين إذا بدأت أثبت
إن الأصل المتساوي بصير وأنت وما قدرت يرجع ينسى
الموضوع يرجع بالتاجر أقول Assume أفترض إن الـ F of
X1 تساوي الـ F of X2
إن الصوتين متساويتين، إيش بدي أثبت؟ إن الـ X واحد
بدي أثبت الـ X اثنين، إن قدرت أثبت هذا، بصير البام
هاد مالها وأنت واحد. فبقى بدي أسأل سؤال، أنا خدت الـ
elements بعينيهم ولا اختياري من ما يكون يكون؟
ممتاز جداً، يعني يا شباب لو أنا راح أدج الباب اللي
هناك، وأنا بقال لك، علي تبديك شوية يبقى هل اختار
طالب بعينه علشان فلان فلان؟ طبعاً لا، مرقعه أخذ أي
طالب، لكن لو زجج الجابر هاجه جانبه محمد محمود
عبد الهادي، مثلاً، كيف؟ يبقى عقوبة، إذا موجود، أقوله
موجود، إذا موجود، هذا يعني هو بيقطع، إذا مش موجود،
أقول له مش موجود، وهذا الكلام في الحالة الثانية قال
يختار طالب بعينه. لأ طبعًا هذا ما ينفعش، حد ما في
الطباعة. لما تأخذ X واحد و X اثنين، أي عنصر ينطبق
على أي عنصر موجودة في الدماغ. إذا ما ينطبق عليهم
ينطبق على باقي العناصر منهم عن عناصر أخرى اللي من الخارج.
أنا اخترقت أن f of x1 يكون أيضًا f of x2 يكون أيضًا
طب هو بيحصل باتنين للطرفين، يبقى إيش بيصير عندي؟
بيصير عندي x واحد زائد واحد لكل تكعيب يساوي x
اثنين زائد واحد لكل تكعيب، خذ الجذر الثالث للطرفين
يبقى بيصير عندي x واحد زائد واحد يساوي x اثنين
زائد واحد، وأضيف لي سالب واحد للطرفين، يبقى بيصير
عندنا X واحد يساوي X اثنين، شو تفسيرك لهذا؟ يبقى
هذا يعطينا أن ال F is one to one، يبقى
مضمونها، بلغة F one to one، خلاص هذا هو المطلوب تبع
السؤال
بداية للدالة الثانية، يبقى يا شباب إحدى الطرق لإثبات
أن الدالة one to one، إنه يأخذ صورتين متساويتين
عشوائيًا ويحاول يثبت أن الأصل تبعهم ما له متساويين،
يقول خلاص وحلّنا مشكلتنا، والقبلة
طب نأخذ طريقة أخرى، لو جئت لك بدالة لأن هذه الـ g of
x بدها تساوي x زائد واحد على x، لازم تثبتها بنفس
الطريقة اللي فاتت، لازم تغير الطريقة الآن، لما أقول
أثبت أن هذه تساوي هذه، لو جبت counter example، مثال
بنغير الشغل هذه، مظبوط ولا لأ؟ يبقى احنا جايين نشوف
لهذه هل هي one to one ولا لأ. إذا كنت أجيب له مثال
أن صورتين متساويتين لكن أصلهم غير متساوي، ده كنت
ما أريده صورة. يعني مثال ضد أن تكون one to one، بست وليس
بالضرورة أن أنا أروح أبرهن زي جامع بدمان، أبرهن زي
جامع برضه مافي مشكلة، تمام؟ فبقى الـ counter
example يعني مثال ضد هالشغل هذا، نطلع فيها كويس لو
أخذت العنصرين اثنين ونصف، عنصر رقم اثنين وعنصر نصف
وشوف قداش قيمة الدالة في كل الحالتين
هذا يجب أن يكون واقينا أن الـ g of اثنين يساوي
اثنين زائد واحد على اثنين، اثنين ونصف يعني كده؟
خمسة على اثنين، and الـ g of نصف يساوي نصف زائد واحد
على نصف، واحد على الأصل هو اثنين، أو الأصل جا اثنين، أو
الأصل جا خمسة على اثنين. إذا صار أنت وصلتين
متساويتين، كل واحدة منهم خمسة على اثنين. لكن هل
الأصل متساوي؟ لأ. يعني هل أنا واحد وأنت واحد؟ لأ.
الـ g of اثنين يساوي الـ g of نصف، ولكن اثنين لا تساوي نصف
يعني هذا مثال عددي يثبت أن هذه الدالة ليست one to
one، طب لو رحت أنا جبت مثال عددي يثبت إنها one to
one، بيصير كلام صحيح للجميع؟ لأ، لأ، لأ، لأ، لأ،
لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ،
لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ
بـ Increasing، يبقى one to one، لو طلعت Decreasing
على طول يبدو كمان one to one، هي طريقة ثالثة، وهاتلة
يعني يمكن إثبات الـ one to one بعدد طرق أو بأكثر من
طريقة، نجي الآن للتعريف الثاني اللي رفعناه في
بداية المحاضرة وهو الـ inverse function، يبقى بدنا
نجي لـ definition
افترض أن الـ
F هو عملية واحدة واحدة، عملية واحدة واحدة على
مصدرها
D مع مجموعة R مع مجموعة
the inverse function
الـ F انفرس is defined by
العلاقة التالية
يبقى the inverse function، if inverse is defined by
أعرفها كالتالي
F inverse of B يكون أيضًا F of A يكون أيضًا F of A
يكون أيضًا
F of A
the revenge of
if and the else as دي، بنروح
نوضح التعريف هذا. شوفوا يا شباب أنا عندي ست دي وست ا.
الـ set D لو جئت وقلت هذه هي الـ set D أو هذه هي
الـ domain، هذه هي الـ set R هي عبارة عن الـ range للدالة
F، مش الـ codomain، لأن الـ codomain يمكن أن عناصر
ما تظهرش كصورة، يعني أنا بدي الـ range معناته كل
العناصر اللي في الـ range هم الصور لعناصر من الـ
domain، هتجيني F من D إلى A، يبقى A يبدأ بالـ F لو
كان عندي عنصر هنا اسمه A في D، F هتأثر عليه هتدي له
صورته هنا، F of A، لأن F of A هتسميه كمان بـ B، يبقى
بـ B عنصر في الـ range
العكسية بدأت تأخذ من D إلى الـ Range تبع الـ F، ترجع
لها إلى D تمامًا، يجي الـ F انفرس سيأتي له بـ B بالشكل
لأن هذا في اتجاه المعكس، يجي هذا الـ F انفرس بالشكل
لأننا نقرأ الكلام ونشوفه على الرسم، نقرأ التاريخ
نفترض أن الدالة F is one to one، one to one يعني F
لما أنا أثرت على عنصر في الدومين، كل واحد نظر له صورة
مُنفصلة ما لهاش علاقة بالتانية، عندي ثلاثة عناصر يبدو
عندي ثلاثة صور، عندي عشر عناصر يبدو عندي عشر صور، و
هكذا مافيش اشتراك بينهم، أكثر أفينلو كانت وكأن الـ F
is one to one، هو شرط لضمان وجود المعكوس، هي احنا
ليش بنشتغل من أول محاضرة على الـ one to one؟ نشتغلش
عليها بلاش، لأنها لازمة، لازمة بعد قليل. فبعدين
بيقولوا ده لأ، if is one to one function على الـ domain
تبعها وكان الـ range تبعها R، يبقى the inverse
function الـ F فوقها سالب واحد، F فوقها سالب واحد
ليست F أساسي واحد، فقص سالب واحد بيبقى واحد على F
فهذا ما يسمونه الـ Spherical، مقلوب طبعًا لأن ما
قبلناش المقلوب، بدنا المعكوس، فالـ F وفوقها سالب
واحد رمز يدل على معكوس الدالة وليس على مقلوب الدالة
فإذا كان f of a يساوي مين؟ يساوي b، فإذا كان f of a، نرجع
مرة ثانية. أنا قلت بالله أخدنا one to one. يبقى
الـ inverse الواحد هذا فتنهر له صورة اسم F of A، ولا
واحد هيشارك فيها. زواج كاثوليكي.
إيه اللي هو مين؟ اللي هو بـ B. وترجعه أين؟ وترجعه
الـ A، يعني كان ما حصلش حاجة. اللي عملناه وقعناه.
ما رجعناه، كل شيء في مكانه. زي ما يجي يخلي واحد
يمشي من هنا لغاية هناك، قصرنا عليه ذلة، نجلة من هنا
لغاية هناك، قصرنا ذلة من هنا لغاية هناك ورجعت
مكانه.
يبقى اللي رجعتها اللي نسميها المعكوس، ودي هي الأصل
ترجع الصورة على التمام، يبقى هذا من تعريف الـ one to
one function، نرجع نطلع على الرسمة ونشوف مين الـ Domain الـ F بس
الـ R هي الـ Range تبع الـ F، وأين الـ Range تبع
الـ F inverse؟ ممتاز جدًا، يبدأ الشخص يشوف أن هنا
الـ Domain تبع الـ F inverse هو R اللي هو الـ
Range تبع الـ F، وكذلك الـ Range تبع الـ F inverse
هو D اللي هو الـ Domain تبع من قبل الـ F، وبقى
كمان كويس، يعني يا شباب، لو جيت سألتكم سؤال بسيط
هذا، لو كانت النقطة a و b موجودة على منحنى الدالة f
فإن النقطة المناظرة لها على منحنى f inverse بيجي
يبقى A صورتها بـ B، وهذه الطريقة هترمي لدالة F، يبقى
الـ A و B موجود على رفم البيانية لدالة F، لكن الـ B و
A موجودة على رفم البيانية لدالة F inverse، وهذا ما
سأشير إليه بعد قليل إن شاء الله تعالى
بنحل عليها أسئلة أكثر، يبقى بدنا نأخذ الـ
properties of
f inverse of x الخاصية
الأولى f الـ f inverse is the inverse
فانفرس لـ تساوي واحدة الـ F وهذا ما أشرنا إليه قبل
قليل. لو كان الـ F of A بدي أساوي الـ B
احنا في التعريف هنا قلنا يا شي F of A بدي أساوي بيه
قلت أن أنا بدي أوصل لهذه اللي جال عليها لأن هذه
نتجت من هذه طيب أنا قلت له شو رأيك بدي أثر على
الطرفين بـ F inverse طبعا عندما جيت هنا قلت F
inverse لمين؟
بتصير الـ F inverse of V. طبعا هذا composition بين
الـ F والـ F inverse. لو رجعنا لكالكلصية، هذا
اللي على الشمال تعريف مين؟ تعريف الـ composition.
No functions. يعني هذا كأن مين؟ كأن
F inverse of A. الـ Composition من الدالة و
معاكسها بيعطينا الـ identity function فهو مش هنقولك
identity لأن هذا أكبر منك شوية يبقى واحدة هتنغيط
تانية إذا هذا بيعطينا A تساوي F inverse of B تمام؟
يبقى هنا في التعريف اللي F inverse of B ما كان الـ
F of A يساوي الـ B وهي الـ F of A أخذناها تساوي
الـ B وآخرناها تقفل من الـ F inverse فقلنا إن الـ
A بتساوي الـ F inverse of B دي بالك من كلام هذا
هناخد عليه مثال بعد قليل
هذا يجب أن يعطينا أن الـ F انفرز للـ F of X طبقا
لتعريف الـ composition of functions فهذه الواحدة
سوف تلغي التانية جدتش جدتش بدي أقول X السؤال هو X
يا ترى في دمين الدالة F ولا في دمين الـ F انفرز
طلع اللي هو حاجة مكتوبة قدامك، بس طلع فيها، مش
تحذير يعني، في domain مين؟ لو ما كنتش في domain
الـF، هي بتقدر تأثر عليها الـF؟ مش ممكنية، لأن X
هذه اللي عندنا عنصر في domain مين؟ في domain الـX،
والـX هذه موجودة في domain الـF طيب، في المقابل
لرقم اربعة لغة F
بترى أن الـ composition بتكون F للـ F inverse of X
بيبدو يساوي الـ X والـ X سبساوية موجودة دوية
في مستوى من؟ في مستوى الانفراد. تمام. يبقى هذه
موجودة في مستوى الانفراد. يبقى شايف الفرق ما بين
الاتنين. فنجي نقول هذه هي هذه، لأ، هذه مش هي هذه،
بختلفوا. يبدو أن هذا الكمبوزيشن من الـ F inverse
والـ F وهذا الكمبوزيشن من الـ F والـ I ولو راجعنا
بالذاكرة إلى الوراق لـ Calculus A بجينا نقول الـ F
composition G ليس بالضرورة للثانوية جي كمبوزيشن F
صحيح ولا لأ؟ وهذا يعني أنه اكسد في دومين الـ F لكن
اكسد في دومين الـ F inverse ورنج الـ F مش الـ
domain تبع الـ يبقى فرق شاسع ما بين الأتنين. طبعا
الـ .. نجل النقطة الخامسة والأخيرة من الخواص اللي
بنشير إليها. متى يمكن أن كل الدنيا معاكوس؟ يعني مش
كل دنيا لها معاكوس. صح ولا؟ احنا قبل شوية أخدنا
حلقة خاصة من يدنيا اللي هي one to one. الـ one to
one
فإذا بقدر أرجع كل واحد لأصله، لكن لو أنصرهم
اشتركوا في نفس الصورة، لما بدي أرجعه؟ أوجهه لين؟
الله يعلم، بيبطل يصير الـ F inverse exists يبقى
الشرط الأساسي لوجود الـ F المصحوقة تكون الدالة one
to one
يبقى نقطة خامسة الـ F has an inverse لها مراكز F
inverse if and only if الـ F is one to one يبقى
من الآن فصاعدا لو جالي السؤال وجالي شوف
والله إذا طلعت الدالة one to one يبقى المعكوس
موجود مرة طلعت one to one يبقى المعكوس غير موجود
وكفى الله المؤمنين القتال. طب بعد ذلك بناخد بعض
الأمثلة التوضيحية عليها الخواص اللي بنحكي عنها
الآن.
بقول لك الـ F of X يساوي تماما X تكعيب زائد تلاتة
شهرات ضيّلي M شهرات
تلاتة وطلع مطلوبين. المطلوب الأول اخبطني أن هذا
المعكوس موجود
أثبت لي أن هذا المعكوس يكون على مين؟ على الشكل
اللي عندنا هنا خلينا مع المطموق الأول بعد ذلك نروح
لمطموق الثاني
بنقول إذا طلعت الدالة one to one يبقى المعكوس
موجود وبعد ذلك بنروح ندور على قصة مين المعكوس شو
شكله هذا يبقى أنا هنا بدي أثبت أن هذا يبقى بدي
أثبت أن هذه مالها one to one بسيطة جدا كله يثبتها
one to one زي ما أثبتنا قبل شوية ممكن ناخد صورة
لو أضفنا سالب تلاتة للطرفين بصير تمانية اكس واحد تكعيب يساوي تمانية اكس اتنين تكعيب يبقى
نفسنا على تمانية بصير جداش اكس واحد تكعيب يساوي اكس اتنين تكعيب يبقى
ناخد الجذر التالت يبقى X1 يساوي X2 يبقى
هنا ف الـ F is one to one هذا سيعطينا أن الـ F exist
أجي واحد تاني قال لي أنت ليش عملت كتير هيك؟ مكان
في السطر واحد وخلاصنا بقولك ايه؟ قال لي ما كانش
تقالة دول وخلاص هذه ماهي السهلة لما درجة تلتة
مستقلة لما درجة تانية هي موجبة على طول. قلت والله
كلامك صحيح يعني لأن أنا هادر ثلاثة في تمانية
24 X ثابت يجي دايمًا أول أكبر من أول
تساوي Zero يبقى increasing يبقى one to one يبقى هذا
حل آخر لمين؟ لأن مثلا يبقى هنا لو جينا وقلنا
another solution، حل آخر.
بالـ X بالاستثناء هذا بدي يعطيك أن الـ F is
increasing هذا بدي يعطيك أن الـ F is one to one يبقى
هذا الطريقة أو الطريقة الأولى سيال اتنين are the
same بالحالة اللي تشوفها في رحلك ممكن تشتغل
باخلاصها من النقطة الأولى من المثلة بانجلا النقطة
الثانية جالي بيقول لي أن الـ F inverse of X يساوي نصف
الجذر التالت لـ X ناقص تلاتة كيف بتثبت له أن هذا
المعكوس تبعها؟ طاولة طاولة كيف يعني؟ بقول اه أنت
كتبت خواص تنتينلو عملت الـ composition من اليمين ومن
الشمال سيظهر نفس المتغير الذي هو X صحيح ولا لأ؟
يرجى بالدرجة أقوله مقبل أولى أخد F inverse للـ F of
X ويساوي الـ F inverse ليه؟ والـ F of X هي تمانية
تعريف الـ F inverse هو نص الجذر التالت لل element
اللي عندك ناقص تلاتة، يبقى هذا كله يعتبر element
في دمية مين؟ دمية الـ F inverse، يبقى بناء العلم
يبدأ يصير نصالجنرال التالت هو الجذر التالت X
اللي في domain of inverse هذه كلها في domain of
inverse إذا X أجى مكانها تماما X تكعيب زائد 3 عنده
هنا كماش ماقص 3 الشكل اللي عندنا هذابقص تلاتة مع
السلامة يبقى بصير نص الجذر التالت لتمانية X تكعيب
يبقى نص الجذر التالت لاتنين X اتنين مع نص الوارد
السهل عليها من مر جداش X بكفي؟ لأ لأ لأ لأ لأ لأ
لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ
لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ
بدوا يسأل الـ F أو الـ F inverse اللي هي النص في
الجذر التالي للـ X ماقص تلاتة. بده يشوف هذا كده وبده
يتعطيه. الـ F لما اتأثر على العنصر يساوي تمانية
في مكعب العنصر زائد التلاتة. يبقى هاي تمانية. ببنى
مكعب العنصر هذا يبقى ياله نص الجذر التالت للـ X
ناقص تلاتة هذا وهيه لكل تكريم وبتروح بيه فانيه
قداش برا زائد تلاتة لأن هدف لما اتأثر على الانصر
بيكون يساوي تمانية في مكعب الانصر زائد تلاتة، تمام
التمام، يبقى هذا الكلام بيكون يساوي تمانية فيه،
مكعّب، يبقى ديشر، تمان، هاي تمانالتقريب مع
الجذر التالت الله سهل عليه بضل قدير X ناقص ثلاثة
وهي التلاتة اللي برا زائد تلاتة يفجر هذا الكلام
بالدراسة تمانية في الكلمة الله سهل عليها بفضل قدير
X مراقبة ثلاثة وهي الثلاث اللي برا هنا أظن بطلع
الجرم قدير Xيبقى أخدت ال composition اليميني و الله
ال composition الأيسر و أصلني لنفس النتيجة، إذا
المعنى لكلام الدالة هذه فعلا هي عكوس الدالة
الأصلية، يبقى بقالي بقول نص اللي هو ال .. اللي هو
النص ال general
is the inverse function of تمانية X تكعيب زائد
ثلاثة
اللي هي أي طريقة بتاعة ال composition لإن ما
عرفناكش حتى هذه اللحظة كيف بدك توجد المعكوس، مش
هنطول عليك بكرة إن شاء الله في محاضرة الغد، هنقفل
كيف تحسب المعكوس، هنا أطاني دالة و أطاني دالة
تنبغي يثبت إن هذه معكوس لهذه، روحنا على القواعد
استخدامناه و طلعنا إن هو دي المعكوس لكن في محاضرة
غدا إن شاء الله هنعلمك كيف بدك توجد معكوس الدالة
من الدالة الموجودة إن شاء الله حد بقى يتصرف هنا يا
شباب؟ أو يستخدم؟ اه دي اتصرف من ال domain orange
ال inverse
Domain of the range inverse هو ال range تبع ال F
كتبناه قبل شوية صحيح ولا لأ؟ و ال range تبع ال F
inverse هو ال domain تبع ال F