موسيقى
بسم الله الرحمن الرحيم اللى بنكمل المرة هذه على ما
ابتدأنا بيه في المرة الماضية وهو موضوع inverse
trigonometric functions طبعا المرة اللى فاتت رسمنا
الرسومات تبعة معكوس الدوال المثلثية وابتدأنا ناخد
أمثلة واخدنا مثالا واحدا فقطوابتدأنا في المثال
الثاني وفي المثال الثاني أخدنا ثلاث نقاط والان
بنروح للنقطة الرابعة وهي إيجاد قيمة cosine ل
cosine inverse أربعة تلاتة إن أمكن ذلكطبعا السؤال
اللى كان بالصيرة التالية هاتني قيمة او بالنص كان
كالتالي Find the exact value of each of the
following separations if it exists يعني اذا كانت
موجودة بدنا هذه القيمة مش موجودة خلاص عفو الله
عنهاأخدنا المرة اللى فاترة تلات نقاط و لجينا ان
تلات نقاط exist و طلعنالها قيمة محددة الآن بنجي
للنقطة الرادعى ل cosine ل cosine inverse أربعة على
تلاتة السؤال هو هل هذه تساوي أربعة تلاتة؟ لأ
لماذا؟ لأن الأربعة على تلاتة ليست في domain ال
cosine inverse domain ال cosine inverse من يولا
وين؟من سالب واحد إلى واحد آخر النقطتين المرة
الماضية استطعنا نجيب زاوية مكافئة للزاوية هذه بعد
ما شيلنا ال period تابعة الدالة تمام؟ وبالتالي
جيبنا مقدار الزاوية، بس هنا ماعنديش period هنا
أربعة، تلاتة رقم هذا، كويس؟ إذا هذا موجود خارج ال
domain، إذا هذه القيمة does not existيبقى الإجابة
هذا المقدار does not exist السبب because أن
الأربعة على تلاتة does not belong لل closed
interval سالب واحد واحد اللي هو ال domain تبع ال
cosine inverse
طيب كان هذا نمرة D نمرة E نمرة E بدنا sign ل
cosine inverse جدر اتنين على اتنين لاحظ
في الأمثلة التلاتة السابقة كان بدنا sign inverse ل
signوبيدنا cosine ل cosine inverse يعني النسبة
واحدة هي و معكوسة لكن الآن هذا السؤال sine ل
cosine inverse جدر اتنين على اتنين اذا هذا شكله
مختلف عن الأربع نقاط الماضية عشان يحسب هذه القيمة
بدي اتبع ما يأتيبديك تيجي تقولي افترض ان ثيتا
تساوي cosine inverse لجذر 2 على 2 اثر على الطرفين
ب cosine بصير cosine ثيتا يساوي cosine ل cosine
يبقى مع السلامة قبل اندي جذر 2 على 2جذر اتنين على
اتنين لو راح ضربت في جذر اتنين على جذر اتنين ما
أصبح النتيجد كده؟ واحد على جذر اتنين ابنا دي نسأل
نفسنا ال cosine دائما هو ياخد قيمة مجرة من صفر
لباية على اتنين لكن من باية على اتنين لباية ماياخد
كده؟ قيمة سالمة و احنا لما جيبنا معكوس ال cosine
سنقوم بعمل Restriction من Zero لغاية Pi طيب إذا ال
cosine يجب أن يكون قيمة موجبة في الرابع وليس في
الثاني إذا هذه بتقع في الرابع لو ال mean الزادة
اللي جبت أمامها واحد على جدر اتنين يبقى θ تسوا
مقداش خمسة واربعين درجة اللي هو Pi على أربعإذا
أصبحت المسألة لأن هذه كالتالي اللي هو sin ل cos
inverse جنر 2 على 2 بدل سوى sin ل θ أنا فرضها كلها
بثيتا طب ثيتا كده شخصية عندي؟باي على أربع يعني هذه
بدأت تساوي ال sign باي على أربع جدرخمسة واربعين
كذا لجدار واحد على جدر اتنين اذا sign يكون sign
inverse هو عبارة عن واحد على جدر اتنينالنقاط هذه
كلها الخمسة اللي أخدتها كلها من السؤال تحسبها على
الآلة الحاسبة لكن ممكن أجيب لك سؤال و أجيب لك
تحييض الآلة الحاسبة على شجة و تضطر الشغل مخك فاروح
لي ال example رقم تلاتة مثال
رقم تلاتة بيقول simply
بسيط لي كل من الصيغة التالية نمر ايه؟ بدنتان
لكوساين انفرس X على تلاتة
لاحظ إن هذا السؤال شبيه بالسؤال اللي فوق، بس
الفارق بينهم. هذه قيمة محددة، لكن هذه ما هياش قيمة
محددة. X على تلاتة بيكون محصورة بين سالب واحد
وواحد يعني X محصورة بين سالب تلاتة وتلاتة. بدنا
نعرف قداش القيمة الحقيقية لهذا المقدار.يعني القيمة
الحقيقية المطلوب إيجادها ببنان 8
يبقى التكتيك اللي يتبعه مثل التكتيك اللي اتبعناها
لحل المسألة اللي فوق يبقى بالداخل اقول له افترض ان
θ تساوي cos inverse x على 3
أثرني بـcos على الطرفين بصير cos θ يساوي x على 3
بعد ذلك تعمل مثلث قائم الزاوية بهذا الشكل و تقول
هذا الزاوية θ هو أي زاوية القائمةجيب التمام
يساومان المجاور على الوطر، إذا المجاور هو X والوطر
هو مام تلاتة، إذا بقدر أجيب الدولة تالتة طبقا
لنظرية فيثا غورت تسعة ناقص X تربيةاذا أصبحت المثال
اللي عندي tan ل cosine inverse x على 3 بدي ساعتان
ثيتالأن الشلفة هذه كلها وحطيها في بينها مين؟ ثيتا
لأن ثيتا واضح عندي هي من خلال المثلة الظل يساوي
المقابل على المجاور يبقى هذا الكلام يساوي الجدرى
التربية لتسعة ناقص X تربية على X هذه هي القيمة
الحقيقية لمين؟للمقدار اللي عندنا يبقى اتخلصنا من
هذه الصيرة وحطناها بدلة ال X فكانت على شكل الجدر
التربية لتسعة نقص X تربية كله على X خد نمرة B نمرة
B بدي six تربيع لمين؟ لكتان inverse Xبدي أعرف كده
الصيغة لإن هذه برضه، برضه بنفس التفتيك اللي اتجه
في النقطة A، بدأت أقول الحل كالتاليLet θ مثلا
تساوي كتان inverse x أثر على الطرفين بنين بالكتان
بيصير عندنا كتان ثيتا تساوي x أروح أرسم المثلث
هذا الزاوية ثيتا وهذا المثلث القائم الزاوية كتام
يساوي المجاور على المقابل يبقى المجاور هو x
والمقابل 1 لأن هذا باعتبارها x على 1 يبقى الضالة
التالت بدي ساوي x تربيها زائد 1 تحت الجدرالتربية
تبقى لنظرية فيثا غورف يبقى أصبحت المسألة سيك تربية
لكوتان inverse x يساوي سيك تربية ثيتاهذا الكلام
بده يساوي.الان بده نجي الى six theta هي الوطر على
مين؟ على المجاور لإنها مقنوبة ال cosine يبقى الوطر
هو الجدر التربية إلى x تربية زائد واحد والمجاور
مين؟ والمجاور هو xهذه سك تربية إذا المقدار هذا كله
بيصير تربية يبقى النتيجة X تربية زائد واحد عالميا
على X تربية هذه القيمة الحقيقية لهذا المقدار ناخد
كمان نقطة نمرة Cنمرسي بيقول لي بدي cosine للإتنين
sin inverse x زائد اتنين في أربعة مرفوعة للأس
لغارت من ال X للأساس اتنين طبعا
واضح؟ قدرنا النقطة الأولىبمين؟ بتان لكتان انفرس زي
العادية أخدنا مربع النسبة المثلثية ال sector B
لكتان انفرس هذا لأ ربطنا القديم بالجديد روحنا
ربطنا ال section سبعة تلاتة اللي هو ال general
exponential function و ال generalلغرتم معناه مع ال
cos لنسبة مثلثية ناهية عن أن هذا الجزء هو cos
لإتنين sin inverse وليس sin inverse يعني برضه في
فكرة شوية يبقى هذا السؤال ممكن لو شوفت الامتحانات
السابقة قد تجد مشابه له في الامتحانات السابقةإذا
أنا عند جزئين بدي أحاول أبسط كل جزء من هذه الأجزاء
على حدى و أحسب بالاخر قيمة هذا المقدار إذا لو
جيتلي هذا المقدار بقدر أكتبه على الشكل التالي بدي
أقوله افترض ان θ تساوي sin inverse x تاخدش اتنين
sin inverse خدلي sin inverse أسلك في الشغليبقى اثر
على الطرفين بصير صين صين ثيتا يساوي قداشر يساوي
اكس
هو هذه الزاوية ثيتا وهو هذه الزاوية القائمة الصين
يسوى المقابل على مين على الوطر لأن هذه باعتبار X
على واحد يبقى المقابل X والوطر واحد والضلة التالت
الجذر التربيه على واحدماقص اكس تربية تبقى لنظرية
فيثا غوث إذا أصبحت المسألة اللي عندي هذه cosine
اتنين ثيتا شكل اللي قعدنا على زائد اتنين فيههذه
اتنين وهذه اربعة لو كانت هذه اتنين اللي كان قصتنا
محلولة وسهلة لكن الأربعة هذه بقدر اكتبها بدلالة
اتنين اللي هي اتنين تربيع يبقى هذا اتنين تربيع هذا
اص مركب يبقى بدورب في ال log يبقى اتنين logarithm
X للأساس اتنين بهذا الشكلطب انا بدرساه انا ماعنديش
هنا اتنين ثيتا، انا عندي ثيتا واحدة لكن بقدر اكتب
cosine اتنين ثيتا بدلالة ثيتا طبعا لو رجعنا
بالذاكرة الى calculus A section واحد تلاتةقصين
اتنين ثيتا لها كم صيغة؟ ثلاث صيغة. الصيغة الأولى
قصين تربية ثيتا نقص ثين تربية ثيتا. الصيغة التانية
اتنين قصين تربية ثيتا نقص واحد. الصيغة التالتة
واحد نقص اتنين ثين تربية ثيتا.حط أي صيغة من الصيغة
التلاتةوامشي واتوكل على الله بكون انتقلت من cosine
إتنين ثيتا إلى cosine ثيتا أو cosine ثيتا و sine
ثيتا فمثلا لو أخدنا الصيغة الأولى بصير هذه cosine
تربيع ثيتا اللي هو ناقص sine تربيع ثيتاإتنين في
هذه اتنين هذا لو جينا الرقم موجود قبل اللغتين يبقى
بدخل جوا اللغتين كأس للمقدار X يبقى بصير اتنين أس
لك X تربيع للأساس اتنينويساوي نجي لقصين ثيتا الآن
بطل على المثلث القصين يساوي المجاور على الوطر يبقى
الجذر التربيعي لواحد ناقص x تربيع على واحد لكل
تربيع نجي لصين تربيع المقابل على الوطر يبقى x على
واحد تربيع يبقى لكل تربيعأتنين هذا الأساس اتنين هو
هذا الأساس اتنين يبقى داشور يقول عندي X تربية يبقى
داشور يقول عندي اتنين X تربية يبقى المقبر بين
القوسين هو X تربية فقط لا غيرلو جينا ردانا يبقى
هيطيروا الجذر واحد ناقص X تربية والتاني ناقص X
تربية وزائد اتنين X تربية إذا النتيجة يساوي 1000
يساوي واحد صحيح يبقى هيبسطنا المقدار وطلعنا بواحد
صحيح وربطنا بهذا السؤال section 7-6 بsection 7-3
بسؤال واحد
فهذا كان المثال رقم تلاتة بناروح للمثال رقم أربعة
مثال رقم أربعة بيقول solve for x solve for x حل
المعادلة بالنسبة ل x لأن x ناقص ال E بدي ساوي E أس
ناقص ثلاثة في لن ال Xفي الـ X أُس خمسة ناقص تان
تربيع لسك Inverse X جيبنا
هذا السؤال في إحدى الامتحانات وقعدنا بجيبه لك الآن
كمثال انحل وشوف كيف بنحل هذا المثال هل
كل الكلام خلاص؟
طب ارجع الأسئلة هنا solution لما يقول ي solve for
x يعني بده قداش القيمة العددية للمتغير x التي تحقق
هذه المعادلةموجود عندي هنا لن X ناقص لن E، إذا
بقدر أقول لن X ناقص لن Eغلط؟ ايوة غلط يعني طب اياك
و ثم اياك واحد يعملها هذا انا بنبغى و رغم ذلك لو
وجدتك في الامتحان هلاجي كذا واحد عملها خليني
متواضع هلاجي الرابع خمسة و عشرين في المية يعملها
بأكد عليك مرة تانية و بقولك اللي لا تدخل على جمع
ولا تدخل على طرحبارفق قسمًا عاماشي، بس جامعة و طرح
لا، يبقى هذا بيجردش يعمل فيها ولا حاجة، بيخليها زي
ما إيه، يبقى عندنا هنا إيش؟ هذا ال N X نقص الإيه
كما هي، نجي نشوف حتى لا بنقدر نشتغل فيهم ولا لا
يبقى الأس هذا بقدر أخليه لمين؟ للإكس يبقى بصير
عندي E أس لين إكس أس سالب تلاتة شكل هذا في مين؟ في
إكس أس خمسة زائد تام تربية شو رأيك هذا؟كيف؟ ناقص
ناقص نعم ناقص هذا بدي احط اللي بين قسيان ثيتا يبقى
بقى كما قلت في الهامش هي الهامش ثيتا تساوي سك
inverse X يبقى سك ثيتا بدي يساوي X واروح نرسمله من
المثلث بالشكل اللي عندنا هذا هاي المثلث القائم
الزاوية وهي الزاوية ثيتا سك يساوي الوتر علاهعلى
مين؟ على المجاور يبقى هذا X وهذا واحد وهذا الجدر
التربيهي ل X تربية ناقص واحد طيب هذا بيصير لن X
ناقص ال E وسبع ال E لن مع السلامة بيبقى X السالب
تلاتة في X الخامسةناقص كان تربيعتي طول يساوي
المقابل على المجاور يبقى ناقص الجذر التربيعي ل X
تربيع ناقص واحد على واحد لكل تربيع نبسطها هنا بضل
قداش X تربيع ناقص هذا هو برضه X تربيع ناقص واحد
يبقى ايش اللي حصل انها هذا بده يساوي X ثربيه ناقص
X ثربيه زائد واحد يبقى هذا و هذا مع السلامة مضل
جداش اذا قامت مسألة الى الشكل التالي لين X ناقص E
بده يساوي واحد يبقى المعادلة الكبيرة اللي فوق هذا
بسطناها و أصبحت بهذا الشكلالان هذه سهلة جدا تخلص
منها و جيب قيمة X يبقى بارفع اتنين ماله كأس للعدد
E يبقى E أس لن ال X نقص ال E يبدو يسوى E أس واحد
يبقى هذا معناته ان X نقص ال E يبدو يسوى جداش ال E
ومنها ال X يسوى اتنين Eيبقى هذا حل المعادلة اللي
انا جئنا بها في احدى الامتحانات السابقة طيب لحد
هنا شباب انتهينا من النقطة الأولى في الجزء النظري
التابع على ال section لسه بقيت نقطتان زي ما قلتلكم
المرة الماضية ننتقل الآن إلى النقطة الثانية من هذا
ال section وهي sum
بعض الواقعات التي تتعلق بالإنفار
تريجونومتريك
بعض المتطابقات المجتملة على معكس الدوال المثلثية
بدا أخد أول مجموعة من المتطابقات المجموعة الأولى
اللي هي sin inverse x زائد cosine inverse x يساوي
pi على اتنين وبشرط ان ال absolute value X أقل من
او تساوي واحداللي هو domain الـ sine inverse و
domain من ال cosine inverse هذا نمرة A نمرة B tan
inverse X زائد كتان inverse X بدي يسوى باي على
اتنين والحكي هذا لجميع قيم X بلاستي اتنين نمرة C
السؤال هو من أين لك هذا البرو
بنروح نثبت صحة المتطابقات التماته هذه طبعا هذه
very important ده بنجيب هنا امتعانات برضه كتير نجي
للمتطابقه الأولى اللي هي sin inverse x زائد cosine
inverse x ساوي pi على اتنين لو جيت تخيلت عندي ان
في دائرة دائرة الوحدة
دائرة الوحدة وعندي محاور بالشكل هذا محور X ومحور Y
واتنين متقاطعين في مركز هذه الدائرة يعني الدائرة
مركزها نقطة الأصل و نصف قطرة يساوي واحد صحيحيبقى
لو رسمنا نصف القطر يبقى نصف القطر هيكون بالشكل هذا
طوله واحد صحيح من هنا هذه سميناها unit circle يبقى
هذه unit circle ده
قرأت الواحدةطيب لو جينا قولنا النقطة هذه الاحداثي
تبعها هو النقطة X وY يبقى وين ال X وين ال Y لبروح
من هنا بنزل عمود رأسي بهذا الشكليبقى X هي المسافة
هذه من هنا لغاية هنا يقول الجزء المقطوع من محور
السيناء Y اللي هي هذه طب حد بيقدر يكتب لي Y بدلالة
X
الجبل يبقى هذا الجدري التربيهي لمين لو واحد ناقص X
تربية تبقى لنظرية في ثقافات طيب تمام شو رأيك هذه
90 لو جيت سميت الزاوية هذه Alpha والزاوية هذه Beta
كم مجموع Alpha و Beta؟ الـSame يبقى باجي بقول انا
عند ال Alpha زائدي ال Beta بدني أساوي مين؟ باي على
اتنين خلّي هذه المعلومة اللي عندك يمكن تلزمني طيب
لو جيت الآن للزاوية Alpha بدي أخد جيب تمام الزاوية
Alpha Cos الزاوية Alphaالكوصين يساوي المجاور على
الوطن يبقى X صحيح ولا لا؟ بدي أجيب ال Alpha جداش
تساوي الجملة المكافئة لهذه الجملة هي Alpha يساوي
cosine inverse X طيب تمام بتروح للزاوية Beta لوحة
Sin الزاوية Betaبتساوي المقابل على الوطن يبقى X
على واحد له جد X يبقى Beta تساوي Sin inverse X لو
جينا جمعنا الاتنين هدول، ايش بدي يصير عندي؟ بدي
يصير عندي Cos inverse X زائد Sin inverse X بدي
ساوي Alpha زائد Betaطب α زاد ال b تبقى جداش ممتاز
جدا يبقى هذا يعطيك ال cosine inverse x زاد sin
inverse x يسوى جداش بقى على اتنين نصف القطر هو
جداشيعني X لمّا رب يحط فيها الفرقة في السوري
الجداشي، is an absolute value ل X أقل من أو يسوى
من الواحد، أظن هو هو المطلوب الأول تمام، المطلوب
التاني، يبقى هذه نمرأة إيه؟ بالده دي لا نمرأ بيه،
نمرأ بيه؟بدي اثبت ان تان انفرس اكس زائد كتان انفرس
اكس بيساوي جداش بيعتنوا هذا for all x بيلاستيطنار
بنقوله بسيطة نفس الكلام بيبقى جديد لو جيت قلت
بالله تان الف جداش يساوي المقابل على المجاور يبقى
الجذر التربيه الاحد ناقص x تربيه على xيبقى هذا
الكلام يعطيك أن Alpha تساوي تان Inverse لجدر
التربية إلى واحد ناقص X تربية على Xما رأيك اللي
بين قصين كله بدي أسميه theta يبقى هذا tan inverse
theta و ال theta هذه هي عبارة عن الجذر التربيهي لو
أحد ناقص x تربيع على x يبقى أصبح تاندي alpha تساوي
tan inverse theta طب خدلي كتان betaاللي اللي فوق
يساوي. الكتان يساوي مان؟ مقلب التان. مظبوط؟ يبقى
المجاور على المقابل. المجاور لبيته مين؟الجذر
التربية الواحد ناقص X تربية يبقى الجذر التربية
الواحد ناقص X تربية المجاري اللي هو ماين المقابل
اللي هو X و الله ممتاز بنفس القيمة اللي فوق يبقى
هذا بده يعطيك ان بيتا تساوي كتان inverse الجذر
التربية الواحد ناقص X تربية على X كتان inverse ثتا
طب من الاتنين هدول اللي وجد جماعة تان انفرث ثيتا
زائد كتان انفرث ثيتا شوف كده اش بده يساوي اش بده
يساوي كده اش الف زائد بيتا اللي هو باي على اتنين
تمام تمام ثيتا هذهعندي عليها قيود اي رمز اخترته
يساوي هذا المقدار اذا ممكن اقول تان انفرستي ت زايد
كتان انفرستي تبدو ساوي باية على اتنين او تان
انفرستي زايد كتان انفرستي زايد كتان انفرستي زايد
كتان انفرستي زايد كتان انفرستي زايد كتان انفرستي
زايد كتان انفرستي زايد كتان انفرستي زايد كتان
انفرستي زايد كتان انفرستي زايد كتان انفرستيبقدر
اقول هذا لتان inverse x زاد كتان inverse x بده
يساوي ال by على اتنين والكلام هذا صحيح for all x
لأن ال domain تبع كل منهما من سالب infinity إلى
infinity نمرى c similarly
as a and lb يعني ايش بدك تبدأ؟ تبدأ بالسك inverse
X بدك تبدأ بالألف يسوى السك inverse X يبقى تاخد
السك للطرفين بسك Alpha يسوى X و هكذا طيب بدنا نيجي
للنقطة الثانية النقطة الثانية يا شبابمن معكوس
الدول المثلثية sign inverse لسلب x بده يساوي سالب
sign inverse x and اللي هو كتانوليس كتان تان تان
inverse لسلب X يسوي سلب تان inverse X السبب
because the
graph of
sine inverse X and
Ten inverse X are symmetric about
the origin
هذا اللي هو قد يعطيك انه sin inverse x and tan
inverse x are odd functions
نروح للنقطة التالتة النقطة
التالتة نمرة a six inverse x يساوي cosine inverse
واحد على x والx greater than or equal to one نمرة
bcosecant inverse x يساوي sin inverse واحد على x
والx greater than or equal to one c cotan inverse
x يساوي tan inverse واحد على x والx greater than
zero
بتبارك ان واحدة بس من التلاتة واتنين زيها حرفيا
طالع ليه ان ال six inverse x يبقى ال x أكبر من من
الواحد طب هل هات exist لو كانت x أكبر من واحد يبقى
ده كاسير أقل من الواحد الصحيح إذا فعلا داخل domain
من ال cosine inverse وهكذا بالنسبة للي بعد هو ادل
كل ال x اللي أكبر من 100 من 0أفترض أننا نبرهن
النقطة A التكتيك اللي علينا تتبعه عند A هو اللي
علينا تتبعه عند B هو اللي علينا تتبعه عند C حرفيا
الان بداجة جلد θ تساوي sec inverse xإذا قدرت أثبت
أن ثيتا هي cosine inverse اك واحد علي اكس فبتم
المقلوب والاكس greater than or equal to one ثم اثر
على الطرفين بالسك ليه بقاش بسيط سك ثيتا بده يساوي
كده؟ بده يساوي اكس السك مقلوب مين؟الكو ساين يبقى
بصير ان من واحد على كو ساين ثيتا يسوى جدول X اجلب
يبقى بصير من كو ساين ثيتا يسوى من واحد على Xيبقى
هنا بدنا ثيتا يبقى ثيتا تساوي cosine inverse واحد
على X أظن هو المطلوب يبقى أخدنا ثيتا بالسكت
inverse X أثبتنا أن ثيتا تساوي cosine inverse واحد
على X يبقى بناء عليه أصبحسيك انفرس X يساوي كوصين
انفرس واحد علي X و X is greater than or equal to
one يبقى B and C similarly as
A هذا النقطة التالتة بدنا نروح للنقطة الرابعة
النقطة الرابعة اللي هي ايه اللي هي cosine inverse
لسلب x يساوي by ناقص cosine inverse x وال
absolute value ل x اقل من او يساوي واحدعندك كمال
سك انفرس لسالف X يساوي بالناقص سك انفرس X والقيم
الأكبر لل X مالها هو أكبر من أو تساوي الواحد برضه
بدون برهن
هذه نمرة A وهذه نمرة B نبحث عن نمرة Aخلّيني برأيك،
سنرى نمرة ايه باستخدام نمرة ايه من المقطة الأولى
اللي هو cos inverse x زي sin inverse x ساوي باي
على اتنين، بس ايش بده يبدل؟ كل x بمين؟ بساقل باكس،
تمام؟ يبقى بالدهجة اقول له since بما انكو ساين
انفرس X زائد ساين انفرس X بديه ساوي باي على اتنين
وال absolute value لل X اقل من او تساوي الواحد
طلب منك أن تخلص من كل X وانتقل إلى مكانها وهو سالب
X ونرى ماذا سيحدث هنا ماذا سيحدث هنا كوساين انفرس
لسالب X زائد ساين انفرس لسالب X يجب أن يساوي باي
على اتنين وبالشرب انه absolute value لسالب X سيكون
كم من خواصل ال absolute valueabsolute value للسالب
x هي absolute value للإكس absolute value للسالب
تلاتة هي absolute value للتلاتة absolute value
للناقص نص هي absolute value للنص كل real number
بلا استثناء احدى خاص لل absolute value يبدأ تكون
اقل من او يسوى منالواحد تمام التمام طب ايش رأيك
احنا حصلنا على هذه الآن بالشكل اللي قدامنا هذا
احنا ايش بدنا بدنا هذه بدلالة cosine inverse طب
هذه من النقطة التانية مش عبارة عن سالب sine
inverse xيبقى صرتها دي ايه؟ اللي هي cosine inverse
لسالب x سالب sin inverse x بده يسوى باي على اتنين
او cosine inverse لسالب x يسوى باي على اتنين زاد
sin inverse x طلعلنا النقطة الأولىلو sin inverse x
زاد cos inverse x يساوي بي على اتنين إذا sin
inverse x بقدر اكتب بي على اتنين ناقص cos inverse
x يبقى هذه بدأت تساوي بي على اتنين اللي برا زادهذه
هاها من النقطة الأولى part one a باي على اتنين
ناقص cosine inverse x يبقى from واحد part a من
النقطة الأولىشيلنا ال sign inverse و كتبنا عليها
باي ناقص cosine inverse X يبقى بناء عليها أصبحت
cosine inverse لسلب X يسوى باي ناقص cosine inverse
X وال X هذهها اللي هو أقل من أو تسوى 101 ال
absolute value طيب نمر بيه؟بنجي للتانية اللي هي
نمرة B. Cos inverse يبقى بناء عليه هل ال cosine
odd inverse؟
يبقى باجي بقوله اه انا عندي لو بدأت عندك من مين لو
جيت قلت هذي لتوصل لها بيبقى نشوف كده هذي بده
تعطينا او لو جيت قلت اللي هو بدي اخد انا اللي هو
cosine
inverse لسلب x يسوي by ناقص cosine inverse x و
absolute value x اقل من او يساوي واحد in plus
خلوني
ابقى كده لو جيت جالبتهم يعني ايه؟ يعني بدي اخد
cosine inverse لسلب واحد على x تساوي
بالنقص cosine inverse ل 1 على x بشرط Nكم فاندي اكس
واشاملتها واحد على اكس هنا absolute value الاكس لو
كان اقل من الواحد يبقى هذا بيصير اكبر من الواحد
الصحية بالتالي الدالة غير معرفة يبقى الصح اني اقول
main absolute value الاكس اكبر من او تساوي واحد
مشان تصبح الدالة مالها معرفةلو خلّيتها زي قبل جلبت
هدول وما جلبتش وضع عادي، بصير كلامي مش صحيح، تمام؟
يبقى هيك مضمونة إنها معرفة، X أكبر من أوي سوى
الواحد، يبقى بضمن إن هذا كسر أقل من الواحد الصحيح،
ولم ياخد طب تبعه يكون جديدش، واحد وهاكذا بالنسبة
لمين؟ على الشمال، فبنرجع ليه تاماتةتلاتة بيقول لي
cos inverse واحد علي x هي sec inverse x إذا باجي
بيقول له from three we have .. شوف ليه هذا، إيش
بصير هذه؟ Sec inverse لسالب x
كوصين انفرس واحد على X سك انفرس X يبقى كوصين انفرس
سالب واحد على X هي سك انفرس لمن؟ لسالب X بده ساوي
بالناقص كوصين انفرس واحد على X هي من؟ بسك انفرس X
سك انفرس X سلوى تباع ال X أكبر من أوي سوى الواحد
وهو المقلوبيبقى هؤلاء الأربع مصادر تعرفهم مثل اسمك
بيجي عليهم أسئلة نبدأ ناخد أمثلة على ذلك يبقى
examples يبقى هذا الجزء النظر يا رقم اتنين من هذا
ال section السؤال الأول خليك معايا والله ايوة
مانتقل جمالك هادر من يقولك اتبع هديك أولا ثم هادي
ثانيا اه مش بجيخ على اخر أخليك سايح في الليلة لا
صاحبي اتخافش نعرف نحطه سلسلة امتعانات sketch the
graph sketch the graph of the following
كيرز ارسم لي كل من المنحنيات التالية نمرة a y
تساوي cosine inverse لسلب x نمرة b y تساوي اتنين
tan inverse لسلب x
فانا بارك معانا هناطبعا لو احنا بنرسم لما رسمنا
معاكس الدوالة المثلثية رسمنا y تساوي cosine
inverse x لكن cosine inverse سالب x ما رسمناش
بالمرة تمام؟ إذا بدأنا رسمة الدالة الأولى نمره
ايه؟
بدنا y تساوي cosine inverse لسالب x لو رجعنا
بالذاكرة إلى الوراقوقلنا هذا محور X وهذا محور Y
وهذا نقطة الأصل Zالـ cosine inverse لو كان بالموجب
فال domain تبعه من عند السالب واحد لغاية من لغاية
الواحد و لو جينا و قولنا هذا خط رأسي بالشكل لأن
هذا و هذا خط رأسي تاني زيه كويس يبقى و جينا نرسم
هذه الدالةالدالة هنا بتجينا باي على اتنين وهنا باي
لو رسمنا منحنى ال cosine بيجينا بالشكل هذاهذا
مُنحنى cos inverse x هذا هو cos inverse x لكن مش
هذا اللي احنا بدناه احنا بدناه cos inverse لمن
لسالة x بقول بسيطة لو رجعنا ل calculus aبنقلب
الرسمة عبر محور Y، مش هيك اخدناه؟ لو شيلنا كل
متغير X وحطينا بمانه سلب X، بتقلب الرسمة تبعتك عبر
محور Y اللي على يمينه بده يصير على شماله، و اللي
على شماله بده يصير على يمينه، اذا حرسمها لك باللون
تاني، هتيجي من عنده النقطة Y هنا، ويجي لك المنحنة
بالشكل اللي عندك كذايبقى الخط الأزرق هذا هذا اللي
هو cosine inverse لسالف x أجي واحد تاني قال لها
أنا بديش أنظر لهذه الطريقة هذه قلت له أيوة قلت له
بدي أنظرها بمعلومات calculus بيقول صح والله مظبوط
قلت له cosine inverse لسالف x هذه هي by ناقص
cosine inverse xقلت له مظبوط جالي انت رسمت cosine
inverse X في الخط اللي هي السوداء ده قلت له صحيح
اجي جابله ايش؟ اشارت ثالث حسب كرته اللي بتجنب
الرسم عبر محور X يبقى هذه اللي كلها فوق بتغسير ت
بعد اكشفت إلى أعلى بمقدار، بدأ تعارض كما كانت على
الأزرق، يعني ان لو راحت جلبت هذه هاها و صارت
الرسمة بالشكل هذاهذا هو الخط المنجب هنا طبعا اللي
هو السالف باي وهذه السالف باي على إت جيت لها الرسم
عملتلها shift إلى أعلى يبقى فتصيره أثنان فكرت
بطريقة هذه و بطريقة هذه سيئا لإتنين أردسين طيب
بدنا نيجي لنمرة B نمرة B جيناها مرة في إحدى
الامتحاناتالان تان انفرس ماعرف اكس ومجرس تان انفرس
تان انفرس اكس ماعرفش لكن هذه ال function اخدناها
قبل قليل مجرد يبقى ايش بدنا نعمل يبقى ادي واي
تساوي سالي باتنين تان انفرس اكسو نرسم هذا الكلام
فنقول هذا محور X وهذا محور Y وهذا نقطة الاصل وهي
Zero لو رحت قلت هذا الخط الوهمي لن وهذا التاني هذا
سالف باي على اتنين وهذا باي على اتنينو روحنا رسمنا
منحنى tan inverse x روحت رسمته في مجة طيب و نزل
عندك و أجي بهذا الشكل يبقى هذا رسمت من؟ tan
inverse xتعني ان فرسكس اندراج في كم؟ في اتنين يبقى
ال range تبعه بيصير جد ال range هذا مرتين يبقى وين
بدي اوصل؟ بدي اوصل لهنا لحد ال bye بدي يصير هذا
bye و بدي انزل هنا كمان لوين؟ لسالف byeشكلها نادر،
طيب، بعدين كان ضرر في إشارة مين؟ سالب، يعني كأنه
الرسمة أصبحت بالشكل المنقط هذا إيه؟
طبعا يبقى هذه رسمتي اتنين تان inverse X اتنين تان
inverse X سابقا في شر 2 يبقى اللي فوق بده يصير تحت
و اللي تحت بده يصير فوق يبقى الرسمة بدها تجيلك من
هناك و تجي تطلع هناك و هنا بهذا الشكليبقى الخط
الأزرق الغامض هذا اللي هو سالب اتنين تان inverse X
اللي احنا بدنا اياها يبقى رسمتنا هي الخط الأزرق
الغامض طبعا انا مرضيتش هرسملك اياها على طول ايه
وانا ماشيتلك مراحل مشان تعرف كيف حصلنا على هذا لسه
لا يزال هناك مجموعة من امثلهاعلى هذه النقطة ثم
نذهب للنقطة الأخيرة وهي مشتقة معكس الدالة وتكاملها