إذا نثبت أن الـ function أو الـ limit للـ function
هذه عن سفر من يمين does not exist حسب نظرية سابقة
و يكفي أن احنا نثبت أن الـ function هذه not
bounded عند أي right neighborhood للسفر نعمل برهان
بالتناقض assume أن g of x is boundedon some right
neighbourhood الـ some right neighbourhood هذا
الفترة المفتوحة من السفر ل delta zero لمن هذا
right neighbourhood للسفر هذا معناه
there exist m أكبر من السفر عدد موجب بحياتي النوبة
absolute g of x اللي هو بيساوي g of x بالمناسبة
لأنه أنا عندي ال function g of x بيساوي إيص واحد
على x ده قيمها موجبة أصغر من أو يساوي m لكل x في
الجوار
أو الـ delta الجوار من اليمين للصفر
طيب
by Archimedean property يوجد ان عدد طبيعي او ان
واحدعدد طبيعي بحيث ان ان واحد اكبر
من ان طيب
also by
Archimedean property انا
عندي delta zero هذه عدد موجةأنا عندي delta zero
عدد موجد بيقدّي أن يوجد عدد طبيعي M2 عدد طبيعي
بحيث أنه واحد على M2 أصغر من delta zero left
end
let n بساوي ال maximum الأكبر بين n واحد و n اتنين
واضح
لأن n أكبر من نهو يساوي n واحد و أكبر من نهو يساوي
n اتنين وبالتالي x
لو أخدت xn بيساوي واحد على n بيساوي
واحد على n فهذا
دفلع ينتمي إلى ال delta zero neighborhood للسفر ال
right neighborhood للسفر اللي هو هذاليه؟ لأنه انا
عندي واحد على n since واحد على n أصغر من أو ساوي
واحد على n اتنين أصغر من delta zero وأكبر من سفر
وبالتالي واحد على n ينتمي للفترة من سفر ل delta
zero صح؟
So من هال .. من
المتباينة هذه بطلع عندي g of x g of x رقم nهذا
بيطلع أصغر من أو يساوي M من هذه نسمي هذه double
star ونسمي
هذه star إذا
من double star ال XM هذا اللي هو واحد على Mينتمي
للفترة من صفر الى delta zero وبالتالي G ل X N هذا
أصغر من أو ساو M وال M أصغر
من N واحد
أصغر منها بيساوي M أصغر منها بيساوي M صح؟ أعملها
فعلا طيب هنا عندي من ال star G of X M G
of X M اللي هي بالساوي من
ال star هذا عبارة عنG of T صح؟ لأ G of واحد على T
G of G G of واحد على T صح؟
ف G of XM بتطلع
أكبر من
يعني من هنا المفروض يطلع أن الـ g of 1 على t أكبر
من t أن الـ g of xn أكبر من 1 على xn صح؟ 1 على xn
بيساوي n
إذا بيطلع عندي الان إذا بيطلع عندي n أصغر من n
contradiction تمام وبالتالي ال contradiction هذه
بتقول إن ال assumption تبعنا إن g of x is bounded
on some right neighborhood of zero كان خطأ okay
إذا إذا
لأن g of x is not bounded on
any right neighborhood from zero to delta of zero
وبالتالي إذا هذا بثبت زي ما قلنا أن ال limit ل G
of X لما X تقول إلى 0 من اليمين does not exist غير
موجودة لأن هذا برهان الجزء الأول أن limit E توعد
على X لما X تقول إلى 0 مش موجودة برهان
الجزء التاني أسهل
أنا عندي we have for
x أصغر من سفر let T بساوي سالب واحد على X أكبر من
سفرin star لو كانت ال X عدر سالب فاخد T بساوي سالب
واحد على X طبعا ال X سالبة فسالب واحد على X بطلع
موجب وبالتالي لأي T موجبة زي هذه take T بساوي سالب
واحد على X to getT هو سالب واحد على X أكبر من سفر
أصغر من إيقوس سالب واحد على X هذا صحيح لكل X أصغر
من سفر هذا بيقدي إيقوس
واحد على X أصغر من سالب X أكبر
من سفرلكل x أصغر من سفر الآن سالب x الآن الدالة
إيص واحد على x محصورة بين دالتين واحدة سالب x
والتانية ثابت سفر وهذا صحيح لكل x على يسار السفر
فالدالة هذه لما x تقول إلى سفر من اليسار ال limit
أبقاتها سفروالدالة هذه لما X أولها سفر من اليسار
أو اليمين ثابت نهيتها سفر اذا by squeeze theorem
for left limits مش
احنا قولنا ان كل النظريات اللي برهنها ال two sided
limits صحيحة ال one sided limit ممضمنها ال squeeze
theorem اذا by
Squeeze theorem for left
-hand limit بطلع
عند ال limit ل E أس واحد على X لما X تقول إذا سفر
من اليسار بيساوي سفر تمام؟ وهيك بتكون فرهنةالجزر
التاني إذا هذا مثال على function النهاية تبعتها من
اليمين غير موجودة بينما النهاية من اليسار على نفس
النقطة موجودة كذلك
مثال تالت لو أخدنا let H of X بسوء واحد على واحد
زائد E أس واحد على Xلو أخدنا الدالة هذه طبعا
و X هنا لا يساوي سفر فالممكن
اثبات ان ال limit للدالة هذه لما X تقول اللي هي
سفر من اليمين موجودة و بتساوي سفر
و ال limit لنفس الدالة لما x تقول إلى سفر من
اليسار أيضا موجودة لكن بالساوي واحد وبالتالي
هذا طبعا هذا الإمثال محلولبالتفصيل في الكتاب
وبرهانه أسهل بكتير من المثال اللي فات ويعتمد
برضه على المثال السابق اللي هو المثال رقم اتنين
see the text انظروا في الكتاب للتفاصيل الحالية لأن
هذا المثال الآخر زي ال signal functionالـ one
-sided limits both exist لكن مش متساويات وبالتالي
ال limit عند السفر للدالة هذه غير موجودة okay تمام
لان هذه بعض الأمثلة على ال one-sided limits خلينا
ننتقل إلى موضوع ال infinite limits
فداخل definition let
F be function from A to R وC be cluster point
of set A
نقول إن قيمة f of x كما أن x هو c بساوي plus
infinity إذا
تحقق الشرط التالي for any alpha
real numberThere exists delta تعتمد على alpha على
موجب يعني هذا شبه بتعريف بتعريف
أن ال sequence xn ال limit بتاعتها تكون plus
infinity فقلنا هذا معناه أن xn أكبر من أي real
alphaلكل n أكبر من أو ساوي capital N حيث capital N
عدد طبيعي يعتمد على Alpha مش هيك التعريف تقريبا
وهذا نفس الحاجة ما معناه ان ال limit لل function
نقطة لساوي infinity هذا معناه ان اخلي ال function
أكبر من أي given Alpha لكل
X قريبة من C
أو في جوار Delta لـ C فرقان Alpha يوجد Delta عدد
موجة بحيث انه لو كانت X تنتمي إلى A و X هذه في
جوار Delta الـ X مختلفة عن الـ C و تقع في جوار
Delta لـ C فلازم هذا يقدي ان ال F of X أكبر من ال
given Alpha اتنين و Cبالمثل ممكن اتعرف ما معناه
انه limit لل function f بساوي سالب infinity limit
f of x لما x تقول الى c بساوي negative infinity
هذا معناه انه for any beta real number يوجد
Delta تعتمد على Beta عدد موجة بحيث انه لكل X ينتمي
إلى A وabsolute X minus C أصغر من Delta أكبر من 0
هذا بتضمن ان F of X أصغر من Beta تمام؟
خلّينا ناخد أمثلة
لإثبات كيف نستخدم التعريفات لإثبات ان ال limit ل
function معينة نقطة معينة بالساوي infinity او
negative infinity فمثلا show that ان
ال limit لواحد
على x تربية as x tends to zero بساوي plus infinity
أنا
عندي let ال function تبعتي f of x بتعرف على أنها
مقلوب x تربيةحيث x ده تساوي سفر طبعا ده اللي هي دي
ال domain تبعها كل الأعداد الحقيقية مع أعداد السفر
let
alpha belong to R be given عشان انا بدي اثبت انه
limit ال function f of x عند السفر بالساوي
infinityبتثبت انه for any given alpha اذا let
alpha belong to R عدد حقيقي بيه given من
ان نرد على ال alpha هذه ب delta بتخلي ال
implication هذه تشتغل صح فنشوف كيف نختار ال delta
لو كانت ال alpha هذه عدد موجب لأختارت ال delta
بساوي
واحد على الجذر التربيهي ل alpha او
ممكن تقول ان انا بدي f of x أكبر من alpha فهذا
عبارة عن واحد على x تربيه أكبر من alphaيعني واحد
على ال alpha أصغر من X تقبية يعني X أكبر من واحد
على الجدر ال alpha وطبعا
أنا عند ال X هنا
لما يكون المسافة بين X والـ 0 أصغر من Delta فالـ
Delta يعني هنا هتكون واحد علي جذر ال Alpha المشكلة
هنا أن ال Alpha هذه ممكن ما تكونش موجبة ممكن تساوي
سفر فعشان أخرج من هذا الحرج فبأخد ال absolute
value ل Alpha عشان أبقى منها غير ثالثة فممكن تكون
زيادةفبضيف واحد ببطلها دقيقة ستة okay تمام اذا لأي
alpha belonging to R هنختار delta ات
choose delta
بساوي واحد على الجدر التربيعي ل absolute alpha زي
الواحد فبالتأكيد هذا عدد موجب
و يعتمد على Alpha دلتا تاني مرتبطة بالـ Alpha دل
لو كانت X تنتمي لل domain تبع الدالة اللي هو R
معدى سفر و X لا يساوي سفر يعني X سالب C هنا سفر
أكبر من السفر يعني X لا تساوي سفر وأصغر من الدلتا
هذه فهذا
بنشوف ايش حياة دينى طيب لما يكون هذا الكلام صح
معناه absolute x أصغر من delta و هذا معناه ان x
تربية أصغر من delta تربية لأن absolute x بيساوي
جدر x تربية
طب و Delta تربية حسب اختيارنا لـ Delta Delta تربية
بساوي واحد على Absolute Alpha زاد واحد طب ما هذا
بيقدي ان F of X اللي هي مقلوب X تربية طبعا هذا
موجب على موجب فمقلوب X تربية هيكون اكبر منمقلوب
الكسر هذا اللي هو absolute alpha زايد واحد طب
absolute alpha زايد واحد أكبر من absolute alpha
صح؟ طب و absolute alpha أكبر من أو ساوي alpha لأي
real number دا من ال absolute value لل number أكبر
من أو ساوي ال number إذن هي اللي أثبتت أن ال F of
X أكبر من ال given alphaوهذا صحيح لكل x بحيث
absolute x minus 0 أكبر من 0 أصغر من Delta بما أن
هذا صحيح لكل Alpha أو بما أن ال Alpha دي was
arbitrary since Alpha belong to Rwas arbitrary إذا
أنا أثبتتها إن لكل Alpha فيه Delta تعتمد عليها
بتخلي F of X أكبر من Alpha لكل X فيه جوار Delta
للصفر إذا by definition هذا معناه إن ال limit لل
function F of X لما X تقول صفر بكاري plus infinity
تمام؟ وهو المطلوب
Okay تمام؟ في
أي سؤال؟ طيب ناخد مثال تاني
لأن limit للـ function 1 على x عندما x تسوى إلى
صفر لا تساوي plus أو minus infinity
لما أقسط أقول السفر سواء
من اليمين أو من اليسار هذه two sided limit بقدرش
أقول limit 1 على x لما أقسط أقول السفر من الجهتين
exist وبساوي infinity أو negative infinity لكن
بقدر أقول
لكن الصحيح او الصح انه limit ال function 1 على x
لمب اكس تقول الى 0 من اليمين هذي بالساوية 30 و
limit ل1 على x لمب اكس تقول الى 0 من اليسار بساوية
سالب 30 ممكن اثباتالـ one sided limits من اليمين
infinity ال one sided limit من اليسار سارب
infinity لكن ال limit عند السفر غير موجودة okay
تمام فطيب ليش ال limit عند السفر مش موجودة لأنه لا
هذا التعريف بالطبق على الدالة الادى ولا التعريف
التاني طيب to see
لو أخدت أي ألف موجب هذه المرةفطبعا هنا ال alpha
الموجبة هنا المفروض real number يعني هذه ال alpha
الموجبة هي برضه real number فالمفروض لل alpha هذه
ألاقي delta بحيث أن F of X أكبر من ال alpha
أما لو أخدت x سالبة واحد
على x ال function تبعتي واحد علىأو F of X
بس واحدة لازم تطلع سالق و هذه
أصغر من Alpha صح؟
كمان مرة لو أخدت أي alpha موجبة المفروض أنه يطلع
عندي ال F of X أقدر أثبت أنها أكبر من ال alpha
عشان ال limit تبعتها يكون infinity فبلاجي أنه لكل
X سالبة لكل X سالبة F of X بيساوي واحد على X موجبة
لا سالبة
مقلوب عدد سالب بيبقى سالب وهذه أصغر من Alpha إذا
طلع F of X تطلع أصغر من Alpha لكل X أصغر من سفر
وبالتالي
لكل X فيه جوار لسفر أو جوار من الشمال لسفر
وبالتالي هذامش ممكن في الحالة دي اقول ان limit f
of x بالساوي infinity نفس الحاجة ممكن نقول ان
limit ل f of x بالساويش نفس
الحاجة ممكن نقول ان limit ل 1 على x لا تساوي سالب
infinity لأن for anyأو given او
for beta لو أخدت beta عدد موجب we
have انه f of x we
have for x أكبر من صفر f of x بصير واحد على x أكبر
من صفر أكبر من beta
لأ لأي beta أصغر من سفر لأي beta سالبة بقدر
أنه لكل x أكبر من سفر أجد أن f of x أكبر من ال
beta طبعا عشان تكون ال limit ل f of x بساوي سالب
infinityمفروض انه لأي beta سواء سالبة او موجبة او
صغر اقدر اخلي f of x اصغر من beta مش اكبر من beta
لكل x فيه جوار الصفر وهذا مستحيل okay تمام هذا
بورجي لكن
ممكن نثبت زي ما قولت أنه ال limit من اليمين أو من
اليسار بالساوي اللي بتكون موجودة واحدة بالساوي
infinity وواحدة سالب infinity ناخد
هنا نظرية زي comparison test
العلم يسمح لـ f و g يكونوا اتفاقين من a إلى r و c
يكون مجموعة اتفاقية
من a
تجعل f من x اقل او اقل جي من xfor all x تنتمي إلى
a و x لا تساوي ال c ففي عندي إذا
كانالـ limit لـ f of x لما x تقول إلى c بساوي
infinity فبالتأكيد limit الدالة الأكبر اللي هي g
of x لما x تقول إلى c بساوي infinity اتنين
إذا
كانت limitالدالة الكبيرة اللي هي g of x لما x تقول
ل c بساوي negative infinity بالتأكيد then limit
الدالة الأصغر اللي هي f of x لما x تقول إلى c
بساوي negative infinity
وبرهان النظرية هذه بسيط وسهل مش بالبرهان النظرية
اللي أخدناها ال direct comparison test في حالة ال
ال sequences proof
برهن الجزء الأول ف
assume أنه
ال limitلـ f of x as x tends to c بساوي infinity
وبدنا نفتح ان ال limit ل g of x لما x تقوى ل c
بساوي infinity let alpha belong to R be given
طيب حسب التعريف بما أن limit ال function f عن c
بساوي infinity إذا يوجد delta depends on epsilon
positive number such that لكل x ينتمي إلى a
absolute x minus c أصغر من delta أكبر من سفر هذا
بتضمن أن f of x أكبر من الألف
بنسمي هذا double star و هذا بفرض star
من
star
and double star بيقدّوا أنه لو كان x ينتمي إلى a و
absolute x minus c أكبر من 0 أصغر من deltaفهذا
بيقدّي بي
ستار D of X أكبر من او ساوي F of X بي ستار
ف of X لكل X في جوار Delta لـC بيطلع أكبر من Alpha
لأن هاي بيطلع عندى انه G of X أكبر من Alpha بما أن
هذا since Alpha
belonged to R was arbitrary
بما أن الـ α كانت أندج عشوية، إذاً هي أثبتت لكل
Alpha في R يوجد Delta تعتمد عليها بحيث إن لكل X في
جوار Delta لأ سي، بيطلع G of X أكبر من Alpha، لذلك
by definition هذا معناه إن limit G of X as X tends
to C بساوي Infinity
برهان الجزء التاني مشابه ال
proof of this part is
similar is
similar to
part one
لأن البرهان الجزء التاني مشابه للجزء الأول يعني لو
بدي أنا أبرهنه لو
بدي أبرهن الجزء التاني لو
بدي أبرهن الجزء التانيفهيكون عندي هنا .. هنفرض ال
limit g of x بساوي سالب infinity و هيكون عندي هنا
هد هستبدلها ب g of x أصغر من beta وهنا طبعا beta
هنا سنستبدل F of X أصغر من أو يساوي G of X أصغر من
D
أصغر من beta و بالتالي هذا معناه حسب التعريف انه
limit f of x لما x تقول يا c تساوي ثالث من beta
دكتور بس there is this delta تتمد على alpha مش
إيه؟ اه هاد المفروض يكون alpha كانت و الأن في
الجزء التاني هصير beta مظبوط كرامك صحيحإذا هذا
بيكون إيه هكذا بيكون برهان الجزء التاني المرة
الجاية هنشوف ناخد تطبيقات على النظرية هذه وناخد
مزيد من النظريات على ال infinite limits okay شكرا
لصراعكم ونشوفكم ان شاء الله المرة الجاية