Okay إذا احنا في المحاضرة الأخيرة أخذنا الـ
monotone convergence theorem وشوفنا
أنه في النظرية هذه لو في عندي sequence وال
sequence هذه monotone يعني increasing أو
decreasing فعشان فبتكون convergent if and only if
it is bounded إذا الـ monotone sequence converges
if and only if it is bounded طيب
ال monotone sequence نوعين إما increasing أو
decreasing فلو كانت ال sequence increasing وطبعا
bounded فشوفنا إنها بتكون convergent حسب ال
statement الأول وال limit تبعتها بساوي ال
supremum اللي لها كـ set ولو كانت ال sequence
decreasing وبالطبع bounded فحسب ال statement الأول
تطلع convergent ونهايتها هي ال infimum تبعها كـ set
وشوفنا
برهانها مغرية في المحاضرة السابقة
الآن بنشوف كيف نطبق النظرية في إثبات إن certain
sequences are convergent أو divergent النظرية هذه
بالمناسبة ممكن نستخدمها في إثبات إنه monotone
sequence معينة إما convergent أو divergent عشان
أثبت إن ال monotone sequence إذا عندي أنا monotone
sequence عشان أثبت إنها convergent لازم أثبت إنها
bounded العكس لو في عندي monotone sequence وبدي
أثبت انها divergent يكفي أن أثبت انها unbounded
not bounded فهي أن ال sequence xn بساوي واحد على n
هاد ال sequence معروف إنه ال limit إن ها convergent
و its limit is zero زيها زي ال sequence واحد على n و
ممكن تبرهن أن الـ sequence هذه convergent و
نهايتها بالساعة وسفر باستخدام تعريف epsilon
capital N لل limit بالظبط زي ما عملنا في برهان ال
limit أن ال limit لل sequence واحد على N بالساعة و
سفر باستخدام ال archimedean property فهذا برهان
ممكن أي واحدة فيكم تكتبه اللي هو باستخدام تعريف
epsilon capital N زائد ال archimedean property
بالظبط زي ما أثبتنا limit 1 على N بساوية 0 اليوم
هنشوف برهان تاني باستخدام ال monotone convergence
theorem
السيكوانس هي بالحد العام ال n term تبعها xn one
over square root of n طبعا square root of n أصغر
من square root of n+1 لأي عدد طبيعي وبالتالي
مقلوب لكبير أصغر من مقلوب لصغير هذا xn زائد واحد
وهذا xn أنا عندي sequence is such that xn زائد واحد
أصغر من xn هذا معناه أن ال sequence is increasing
كذلك ال sequence هذه is bounded لأنه هي فيه عدد
موجب M بساوي واحد عدد موجب بحيث أنه absolute xn
أصغر من أو يساوي M لكل N لأن أنا فيها ال sequence
increasing و bounded إذا by monotone
convergence theorem ال sequence هذه هتكون
convergent وال limit تبعتها بساوي ال infimum طيب
ال infimum للمجموعة هذه بتساوي صفر
وبرهان ذلك شبيه ببرهان ال infimum لل sequence 1
على n بالساوي 0 باستخدام ال Archimedean property
راجعوا برهان أن ال infimum لل sequence 1 على n
وهذا ثمتناه في المحاضرات السابقة راجعوا البرهان
وكتبوا برهان مشابه له بنفس الطريقة نثبت ان الانثرام
لسيكوانس هادى أو الست هادى صفر إذا حسب ال
monotone convergence theorem ال sequence واحد على
جذر n is convergent وال limit تبعتها بساوي
الانثرام تبعها اللي هو صفر إذا هي مثال على تطبيق
ال monotone convergence theorem كذلك ممكن برضه زي
ما قلتلكم نستخدم ال monotone convergence theorem
في إثبات أن سيكوانس زي هذه is divergent نشوف
مع بعض كيف .. إذا هنا هاي سيكوانس الحد العام تبعها
xn هذا ال nth partial sum بالمناسبة هذا ال nth
partial sum في ال harmonic series سيجما من K بساوي
واحد to infinity لواحد على K وهدا
ال harmonic series is divergent معروف في calculus
بقى ال series هدا is divergent وهدا الحد العام في ال
sequence of partial sums وفي calculus بقى درسنا
إذا بتذكروا إذا فاكرين حاجة من الموضوع هذا إنه a
series converges if and only if ال sequence of
partial sums is convergent فلو ال series is
divergent ال sequence of partial sums is divergent
هذه هي ال sequence of partial sums هدا بتنها
divergent بس مش باستخدام calculus بقى باستخدام ال
monotone convergence theorem طيب ال sequence هي
الحد العام xn إذا الحد رقم n زائد واحد هي بنضيف
زائد واحد على n زائد واحد للمجموع هذا اللي هو xn
صح؟ وبالتالي زي ما أنتو شايفين الحد xn زائد واحد
هو الحد xn زائد حد موجب وبالتالي هذا أكبر من xn
الكلام هذا صحيح لكل n إذاً هذا معناه إن ال
sequence xn is increasing، متزايدة، الآن أنا في
عندي sequence xn، هذه الحد الآن تبعها، وال
sequence هذه increasing، monotone يعني الآن ال
monotone convergence بتقول لي عشان أثبت أن ال
sequence هذي convergent لازم أثبت إنها bounded
وعشان أثبت إنها divergent لازم أثبت إنها unbounded
فتعالوا نفحص هل هي bounded ولا لأ إذا طلعت bounded
بتكون convergent إذا طلعت unbounded بتكون
divergent
تعالوا نشوف الحد العام يعني هنا في حاخد ال
sequence بدل x in x اللي الحد العام تبعها two to n
هذه عبارة عن subsequence فهذه subsequence من ال
sequence x in
يعني هذه جزء من ال sequence هذه هذه أول حد فيها x
رقم مؤشر تبعه اتنين صح؟ يعني هذه حدود ال sequence
هذه x اتنين لما n بساوي واحد بعدين اللي بعده x
أربع بعدين x تمام يعني وهكذا طبعا هذه الحدود هذه
كلها موجودة هنا صح؟ فهذه بنسميها subsequence من ال
sequence الأصلي الآن أنا بدي اخذ الحد العام لل sub
sequence دي اللي المؤشر تبعه 2 أس n بدل n طيب
أنا عند xn بساوي المجموعة هذا واحد زائد نص زائد تلت
آخر حد واحد على n طب لما بدي ال n بـ 2 أس n هيطلع
عندي المجموعة واحد زائد نص زائد تلت إلى آخر حد واحد
على 2 أس n صح؟ هذا من تعريف ال sequence الآن الحدود
هذه تبع المجموع هعملها blocks، بلوكات فواحد لوحده
في block، نص لوحده، هاخد التلت والربع مع بعض،
بعدين ال block الرابع هتكون خمس وسدس وسبعة وثمان، أربع حدود مع بعض، اجمعهم مع بعض وهكذا إلى ال
block الأخيرة اللي هي 1 على 2 أس N سالب 1 زائد 1
إلى 1 على 2 أس N طيب
هاي ال 1 نزل النص، الآن التلت هذا، التلت أكبر من
ربع إن علامة التساوي هذه صارت أكبر، يعني بدلت
التلت بربع، والتلت أكبر من ربع فصار مجموع ربعين
الآن في ال block اللي بعديها في عندي خمس وسُدس و
سبعة تمن كل واحد منهم أكبر من أو يساوي التمن فعشان
يصير في عندي هنا تمن زي تمن زي تمن أربع مرات اللي
هو بطلع نص أربعة أتمان نص وهنا ربعين نص صح؟ وهنا
هذا الحد اللي هنا هذا أكبر من واحد على اتنين أس n
لأنه 2 أس n أكبر من 2 أس n سالب 1 زائد
واحد لكل n إذاً هذا أكبر من واحد على 2 أس n
والبعد أكبر من واحد على 2 أس n وهكذا إذاً هنا
عندي واحد على 2 أس n مجموعة على نفسه 2
أس n سالب 1 من المرات مجموعهم بيساوي مجموع دول
بيساوي 2 أس n سالب 1 في 1 على 2 أس n
بيطلع نص إذا هذا المجموعة نص وهذا نص واللي بعده
نص كلهم نصارى ما عدا أول حد إذا واحد وهي نص وهذا نص
اللي بعده نص وآخر واحد نص طب كم حد في هنا هاي حد
ودول عددهم n من الحدود وهذا عدد هاي n زائد واحد
من الحدود طب هدول عددهم n لما أجمع عدد على نفسه
n من المرات بيطلع n في نص اللي هو n على 2 زائد
واحد طيب لما n تقول لـ infinity n على 2 يقول لـ
infinity وبالتالي 1 زائد n على 2 بيروح لـ
infinity تمام؟
إذا أنا عندي الحد العام لل sequence هذه أو ال
subsequence طولها أكبر من مقدار يقول لـ infinity هو
بالتالي إذا
أنا عندي x to 2 to n tends to infinity as n
tends to infinity وبالتالي هذا معناه أن x 2 to n
أكبر من M لكل M عدد موجب ما معناه أن ال limit
لحد
هذا أو الـ sequence X المؤشرات تبقى 2 نص M تقول
infinity معناته هذا الحد العام لها أكبر من أي عدد
موجب، بالتالي إذا الـ subsequence هذه اللي هي الحد
العام تبعها X plus 2N is unbounded وبالتالي
فهذا بيؤدي إن الـ sequence XN نفسها is unbounded
لأنه لو كانت الـ sequence bounded فأي sub-sequence
منها اللي هي جزء منها هتكون bounded صح؟ هذا واضح
تمام، الآن by monotone convergence theorem الـ
sequence XN is unbounded وبالتالي it is divergent
لأن لو كانت convergent فلازم تكون bounded، okay، إذا
هاي استخدمنا الـ monotone convergence theorem لإثبات
أن سيكوانس معينة
مُعينة
المثال الثالث برضه هنستخدم .. هنطبق عليه اللي هو
الـ monotone convergence theorem
بس هذا المثال مختلف عن المثالين السابقين، الآن أنا
بدي أعرف الـ sequence XN inductively بطريقة
استقرائية، شفنا
إحنا لما بدينا الـ chapter هذا إن الـ sequences can
be defined in two ways، إما explicitly زي مثلا الـ
sequence XN بالساوي 1 على N أو recursively أو
inductively بطريقة استقرائية بأن أنا آخذ قيمة للحد
الأول أو أول حدين أعطيهم قيم محددة، وبعدين أعرف
الحد العام بدالة الحدود اللي قبله، فهي اندي الحد
الأول نفرض إنه بيساوي 1، الآن بنعرف XN زيادة 1
عليه إنّه square root لـ 2 ضرب الحد اللي جبناه
وهذا لكل N، لأن بالطريقة هذه ممكن أعرف إن هذا
بيعطينا sequence، الآن هذه الـ sequence عايزين نثبت
إنها convergent بالإضافة إلى إن الـ limit تبعها بيساوي
لعدد 2
لبُرهان ذلك سنستخدم الـ monotone convergence
theorem عشان
أقدر أستخدم الـ monotone convergence theorem، ففي
عندي الـ claim الأول، يعني بدي أثبت في الادعاء الأول
هذا إن الـ sequence XN is increasing and bounded by
2
فلبرهان ذلك بنلاحظ
إنّ X1 من التعريف تبع الـ sequence X1 بيساوي 1 و X2
ممكن أجيبها من الـ recursive formula أو الـ
inductive formula إنّ أنا آخذ N بيساوي 1 فبيطلع X2
بيساوي جذر 2 لـ X1 و X1 = 1، إذاً X2 بيطلع جذر 2 وبالتالي
من الحسابات هذه بيطلع إندي هاي X1 X1
بيساوي 1 وبالتالي أكبر منها بيساوي 1 وأصغر
من X2 لأن X2 جذر 2، الواحد أصغر من
جذر 2، و
X2 اللي هو جذر 2 أصغر من الـ 2، لأن كل
هذا صحيح
تمام؟ لسه ما خلصناهش، لسه ما خلصناهش، إحنا ما فرضنا
إنّه صحيح، إحنا أثبتناه لسه
ما أثبتناش هذا الـ claim، لسه ما أثبتناه، إحنا لسه ده
بداية البرهان، البرهان لـ claim بدأنا بما لاحظنا إنّ
X1 من التعريف طلع بيساوي 1 و X2 حسبناها منها
بيساوي جذر 2 لـ X1 اللي هو جذر 2 وبالتالي
بيطلع إندي هيك هاي X1 أكبر من أو يساوي 1 وأصغر
من جذر 2 اللي هو X2، و X2 اللي هي جذر 2
أصغر من 2، ليش إحنا عملنا هذا الكلام؟ لأن هيبين
الآن now الآن بدي أثبت، بدي أستخدم الـ induction we
use induction لإثبات العبارة هذه، وهي إنّ XN أصغر من
XN زائد 1، وهذا أصغر من 2، وهذا أكبر من أو يساوي
الـ 1 لكل N، للبُرهان صحة العبارة هذه by induction
طيب الحالة اللي فيها آخذ N بيساوي 1، الحالة اللي
فيها N بيساوي 1 هي هاي X1 أكبر من أو يساوي
1 هذا هو، وأصغر من X2 هذا هو، X2 أصغر من 2
إذاً العبارة هذه صحيحة لما N بيساوي 1، لأنه هنا
أثبتناها الآن
افرضي .. افرضي أن العبارة صحيحة عند N بيساوي K يعني
عندك هنا XK أكبر من أو يساوي 1 أصغر من X K زائد
1 أصغر من 2، هنا فرضنا هذا الـ induction hypothesis
وعايزين نثبت إن هذا بيؤدي إن العبارة
صحيحة عند N بيساوي K زائد 1، يعني بدي أثبت هذه
المتباينة
بدي أثبت المتباينة هذه، طبعًا، فتعالوا نشوف كيف نثبت
المتباينة هذه، طيب
أنا عندي، هي عندي المتباينة هذه إحنا
فرضنا إن المتباينة هذه صحيحة، إحنا
فرضنا من induction hypothesis إن هذه المتباينة
صحيحة، أضرب المتباينة هذه في 2 هي أضرب كل
الأطراف في 2، فبيصير 2 أصغر من 2XK أصغر
من 2XK زائد 1 أصغر من 4، وهذا بيؤدي إنّ
1 أصغر من جذر 2
وإذا أنا الآن بأخذ الجذر التربيعي لكل الأطراف هذه
آخذ الجذر التربيعي، فهي جذر 2 طبعًا أكبر من 1
أصغر منه يساوي جذر 2XK اللي هو XK زائد 1
هذا طبعًا من التعريف تبع الـ sequence من الـ
inductive formula، جذر 2XK حسب التعريف بيساوي
XK زائد 1، وهذا أصغر من هنا، جذر 2XK أصغر من
جذر 2XK زائد 1، وهذا أصغر من جذر الـ 4
اللي هو الـ 2، إذاً هاي بيطلع عندي 1 أصغر من أو
يساوي XK زائد 1، وهذا برضه من الـ inductive
formula، الجذر التربيعي هذا بيساوي XK زائد 2، إذاً
هي 1 أصغر من أو يساوي XK زائد 1 أصغر من XK زائد 2
أصغر من 2، وبالتالي إذا أثبتنا إحنا صحة العبارة هذه
عن K زائد 1، وبالتالي هيك بنكون كملنا الـ induction
okay، طبعًا إذا الـ claim تعالوا نشوف الآن ليش الـ
sequence، اه ليه الـ sequence تبعنا بتطلع bounded
و increasing، فاكرين إحنا أثبتنا by induction إنّ X
N أصغر من XN زائد 1 أصغر من 2 أكبر من
أو يساوي 1 لكل N من الجزء هذا نستنتج
إنّ الـ sequence is increasing صح؟ لأن هي عندي XN
أصغر من XN زائد 1 لكل N ومن المتباينة كلها يعني
اللي هي XN أصغر من 2 أكبر من أو يساوي 1 لكل N
هذا معناه الـ sequence bounded هي محصورة بين 1
و 2 و bounded above by 2، لذلك هذا يكمل
برهان الـ claim الأول يعني، وهو إنّه sequence XN
increasing و bounded الآن، by monotone convergence
theorem الـ sequence XN هتكون convergent، دعينا
نسمي الـ limit تبعها X وطبعًا حسب الـ monotone
convergence theorem بما إنّ sequence increasing
إذاً الـ limit تبعها بيساوي الـ supremum لها كـ set، إذاً
أنا في عندي الآن الـ sequence تبعيتي convergent هي
عندي limit XN convergent بيساوي X اللي هي طبعًا
حسب النظرية بيساوي الـ supremum، الآن بدي أجيب قيمة
الـ X هذا طبعًا
مش سهل إنّ أجيب الـ supremum لـ الـ sequence فبجيبها
بطريقة ثانية، إذاً
الـ claim الثاني بدي أثبت إنّ الـ X الـ limit لـ الـ
sequence اللي هي X بيساوي 2
طيب أنا عندي من تعريف الـ sequence، أنا عندي XN زائد
1 بيساوي جذر 2XN، وهذا الكلام صحيح for
every N، نأخذ الـ limit للطرفين لما N تؤول لـ
infinity، بتطلع limit XN زائد 1 بيساوي limit جذر
2 ثابت في limit جذر الـ XN، مظبوط؟
طيب إحنا فرضنا أو إحنا استنتجنا، إحنا لسه مستنتجين
من الـ monotone convergence إنّ limit XN بيساوي X
وبالتالي limit XN زائد 1 برضه بتساوي X وهي
بيساوي جذر 2 و limit جذر XN بيساوي جذر الـ X
حسب نظرية سابقة، إذا الـ limit هذه، إذا هي X وجذر
2 في الـ limit هذه بتطلع جذر الـ X، إذاً أصبح عندي الآن
دي معادلة في مجهول واحد X ممكن أحلها، وذلك بتربيع
الطرفين فالمعادلة هذه بعد مربعها تصير هيك، وهذه في
إلها حالين إما X بيطلع بيساوي 0 أو X بيساوي 2
إحنا عايزين الـ X نأخذ X بيساوي 2 ونرفض X بيساوي
0، طب ليه نرفض X بيساوي 0؟ لأن أثبتنا هنا by
induction أن xn أكبر من أو يساوي واحد وأصغر من الاثنين
وأثبتنا أن هذه المتتالية convergent، إذا حسب
نظرية سابقة
إذن حدّ المتتالية xn سيقع بين 2 و 1
بين 1 و 2. خدمة نظرية بتقول لو كانت المتتالية xn
convergent و xn أكبر من أو يساوي a وأصغر من أو يساوي
b لكل n فحدّ المتتالية xn سيقع أيضا بين
a و b، يعني طب هيدي هي الـ X. فرضنا أن حدّ المتتالية هيدي
X إذا بيطلع أنا عندي X أكبر من أو يساوي 1 وأصغر من
الاثنين وبالتالي مستحيل الـ X اللي هي محصورة بين
1 و 2 مستحيل تساوي صفر، مش ممكن تساوي صفر
إذا لازم تساوي 2، وأنا عندي صفر أو 2 إذا لازم
تساوي 2، Okay. إذا هيني هيك استخدمنا الـ monotone
convergence. بالمثل في عندك تمارين زي هيك المتتاليات
بتُعرف inductively و هتثبتوا أنها convergent و
بتجيبوا قيمة الحدّ بنفس الطريقة و بنفس الأسلوب
فحاولوا تستفيدوا من حل المثال الأخير هذا في حل مثل
هذه التمارين، Okay تمام. واضح؟ إذن هنا أخدنا تطبيقات
متنوعة على الـ monotone convergence theorem وهي
التمارين لـ section 3.3 نبدأ
section 4 أو 3.4 نعم بيقول إنه ممكن
نحلّ بطريقة ثانية ونثبت أن الاثنين يوصلوا لـ X
مظبوط، صحيح، الاثنين بيتحركوا على طريق الـ limit اللي هي
الـ X
والله أنت فاكر فيه وبعدين قولي لي هي
عندك المتتالية حدودها معروفة معرفة، ممكن تكتب أول
أربع خمس حدود وتحاول تستنتجي إيه هي قيمة الـ
supreme وتبرهنها طبعا، فهذا متروك إليك
هذا يعني حل آخر، فأنا قلت أن الـ suprem مش سهل أن
احنا نجيبه لمتتاليات زي هيك أو للمجموعات
وبالتالي الـ monotone convergence في الفيلم كان
ممكن يكون أسهل، لأن ها الكلام التاني هذا الأخير
ماأخذش وقت، يعني أخذنا الـ inductive formula
formula وأخذنا حدّ الطرفين وحلّينا معادلة في
X وادركنا أن الـ X مش لازم تساوي صفر من هنا لأن X
محصورة بين 1 و 2. هذا أسهل من أن أنا أجيب الـ
supreme لكن هذا ما يمنعش أن ممكن حد معين يثبت أن الـ
supreme هو 2 إذا كان سهل فكان يعني نستخدمه، مش
سهل نستخدم الـ monotone convergence
الـ sub-sequences and Bolzano-Weierstrass theorem،
الـ sub-sequences شفنا قبل شوية sub-sequence
شفنا قبل لحظات في المثال الثاني إنه في عنده
متتالية هي، عنده متتالية xn حدودها x1, x2, x3, x4
وهكذا وفي كانت متتالية ثانية، حدودها 2
أُس n، الحدود هذي هتكون X2 X4 X8 وهكذا، صح؟ لو سمينا
الـ 2 هذي R1 والـ 4 هذي سميناها R2 والـ 8 R3
فبنلاحظ أن R1 أكبر من أو يساوي 1، عدد طبيعي أكبر
من أو يساوي 1، وR2 أكبر من R1، اللي هو 4 أكبر
من 2، وR3 اللي هو 8 أكبر من R2 وهكذا، إذا
الـ sub sequence المؤشرات تبعها أو الـ indices أنا
باسميه index، مجموعة index indices الـ indices أو
المؤشرات للـ sub sequence هي أعداد طبيعية، هذا هي
2، 4، 8، هي أعداد طبيعية، والاعداد الطبيعية
هذه بتشكل متتالية، هذه عبارة عن متتالية من
الأعداد الطبيعية، صح؟ والمتتالية هذه is strictly
.. strictly increasing
.. strictly increasing، يعني متزايدة زيادة صحيحة
يعني R1 أصغر من R2 مش أصغر من أو يساوي R2
وR2 أصغر من R3 ولا تساوي R3 وهكذا
مظبوط؟ صح؟
إذا الـ subsequence الـ subsequence من أي متتالية هي
مجموعة جزئية منها، صح؟ لأن حدودها هي حدود حدود الـ
subsequence هي عناصر أو حدود من المتتالية الأصلية لكن
مش أي حدود لازم تكون مرتبة بحيث أن المؤشرات تبعها
بتشكل strictly increasing sequence of natural
numbers، تمام؟ زي هيك إذاً
هذا هو تعريف الـ subsequence إذا لو في أنا عندي
متتالية XN وأخذت strictly increasing sequence of
natural numbers فالـ sequence اللي المؤشرات تبعها
هي الـ sequence RN اللي هي هذه، عناصرها بنسميها
subsequence من الـ sequence XN، وها أمثلة هتبين هذه
الـ sequence x in الـ sequence of natural numbers
فهذه subsequence منها، 2 in الـ sequence of
even numbers أو even natural numbers ده هي على
سرعة 2، 4، 6 وهكذا وهذه عبارة عن متتالية
من الأعداد الفردية، 1، 3، 5 وهكذا
وحدود المتتالية هذه هي XR1 هذا X2 هذا
رقمه هذا رقم 2، يعني R1 بيساوي 2 طيب XR
2، 4، XR2، R2 هذا حد رقم 4، R2 بيساوي
4 وR1 بيساوي 2 و2 أصغر من 4، XR
3، 6، R3 بيساوي 6 نفس الحاجة يعني هذه
subsequence وهذه subsequence من المتتالية X لأن
مؤشراتها كلها بشكل strictly increasing sequences
of natural numbers. بالمثل المتتالية 1 على 2 n
سالب 1 والمتتالية 1 على n factorial هدول
برضه أيضا sub sequences من المتتالية 1 على n
لكن المتتالية اللي حدودها 1
على 1، 0، 3، 0، 5، 0 وهكذا هذه ليست
subsequence من المتتالية 1 على n لأن الصفر
هذا هي اللي، مش موجودة، ليست 3 اللي للـ sequence
هذه ومؤشرات الحدود، يعني لا تشكل strictly increasing
sequence. طيب
لو أخذت أي tail، أي M tail حيث M عدد طبيعي ثابت
number فـ XM tail ده، M tail of any sequence Xn
طبعا الـ M tail ده حدوده عبارة عن متتالية، الحد
الأول تبعها x capital M زائد 1، الحد الثاني x
capital M زائد 2، الثالث x capital M زائد 3 وهكذا، فطبعا
هذه عبارة عن sub sequence من المتتالية الأم لأن
كل عنصر في الـ sub sequence هذه هي موجودة هنا، صح؟
والمؤشرات تبعات الـ sub-sequence هي M زائد 1 أصغر
من R2 اللي هو M زائد 2، وR2 أصغر من R
3 اللي هو M زائد 3 وكده، هذا sub-sequence
ولا مش sub-sequence؟ لو أخذت أي متتالية Xn فأي
M tail هو sub-sequence منها. كذلك لو أخدت أي متتالية
xn فالـ sequence x اللي حدّها اللي مؤشر
تبعه 2 أس n هذي برضه subsequence زي ما شفنا، وx2n
الحدود الزوجية، لو أخذت الحدود الزوجية فقط فهذا
بعطيني subsequence ولو أخذت الحدود الفردية تعطيني
subsequence ثانية، ولا كده؟ الآن سؤال
اللي بهمنا احنا ما هي العلاقة بين المتتالية بالـ
subsequence من حيث الـ convergence و الـ divergence؟
يعني لو كانت المتتالية convergent لو في عندي
يعني لو كانت المتتالية convergent، لو في عندي
متتالية xn convergent لـ x وأخذت أي sub sequence
منها هل هذه المتتالية لازم تكون convergent زيها
ولا divergent؟ لازم تكون convergent وحدّها
نفس حدّ المتتالية الأصلية، وله نفس الـ limit ماشي
لحظة
كثير من الناس
إذا كمان مرة بهمنا أنا أنه لو في عندي متتالية
نظرية هذه بتقول لو في عندي متتالية xn of real
numbers وكانت هذه المتتالية convergent لـ x فأي
subsequence منها بتكون convergent وحدّها
هو نفس حدّ المتتالية xn
وهذا يعني ممكن أن احنا نثبته بسهولة، عشان اثبت أن
الـ subsequence XRN converge لـ X فبستخدم تعريف الـ
capital N، فلو أخذت أي Y أكبر من الصفر أنا عندي المتتالية
الأصلية هي convergent لـ X، وبالتالي من
تعريف الـ convergence لما XM converged لـ X إذا
يوجد عدد طبيعي يعتمد على إبسلون بحيث أن المسافة
بين XM و X أصغر من إبسلون لكل M أكبر من أو يساوي
capital M طيب أنا عندي المؤشرات
تبع الـ subsequence بتشكل increasing
sequence، وأول واحد.. أول عدد فيها طبعا هذا عدد
طبيعي وبالتالي أكبر من أو يساوي 1 فبالتالي الـ
Rn، هدول الـ Rn ممكن إثبات باستخدام الـ induction أن
Rn أكبر من أو يساوي n لكل n وبالتالي
لو أخدت n أكبر من أو يساوي capital N فعندي أنا Rn من
هنا أكبر من أو يساوي n، والـ n أنا ماخده أكبر
من أو يساوي capital N إذا بيطلع عندي RN هاي بيطلع
عندي RN أكبر من أو يساوي capital N وبالتالي من ال
implication 13، ال implication 13 بتقول لي لأي عدد
أكبر من أو يساوي capital N، المسافة بين X للعدد هذا
للمؤشر هذا، سالب X أصغر من Y، إذا أنا هيك أثبتت ..
أنا هيك أثبتت أنه الـ .. لأي epsilon أكبر من الصفر
في capital N يعتمد على epsilon، بحيث لكل N أكبر منه
أو يساوي capital N، المسافة بين XRN و X أصغر من epsilon
وبالتالي من تعريف epsilon capital N للنهاية، أنا هيك
بكون أثبتت أنه limit xr n لما n تؤول لـ infinity
بيساوى x، وهذا هو المطلوب طبعًا
في هنا أمثلة، باقي شوية أمثلة، فهذه الأمثلة يعني
حاولوا أنكم تقرؤوها، في مثلن كيف نطبق النظرية هذه
أو نوجد العلاقة بين، كيف نثبت ال convergence للـ
sequence من خلال إثبات
ال convergence للـ subsequences أو العكس، فحاولوا
تقرؤوها، وهيك نكون يعني تقريبا .. هنكمل إن شاء
الله المرة الجاية و .. هن .. هنوقف استخدام الـ
powerpoint ابتداءً من المحاضرة الجاية، وهنشره على
النت okay، انتهت المحاضرة نشوفكم إن شاء الله يوم
اثنين