بسم الله الرحمن الرحيم المحاضرة الرابعة بعد حالة
الطوارئ في مادة أو مساق تحليل رياضي 2 أو تحليل
حقيقي 2 لطلبة وطالبات الجامعة الإسلامية كلية
العلوم قسم الرياضيات وهي المحاضرة رقم 14 في المادة
أو في المساق عنوان المحاضرة اليوم اللي هو
fundamental theorem of calculus بشقيها شق تفاضل
التكامل وشق تكامل التفاضل roughly نبدأ اللي هو في
النظرية الأولى أو الجزء الأول من النظرية اللي هي
the first form of the fundamental theorem of calculus
اللي هي الجزء الأول بتقول ما يلي: let f from a إلى b
لعند R be an integrable function on a إلى b يعني
فرضنا أن الـ function f عبارة عن دالة قابلة
للتكامل على الفترة المغلقة a إلى b and let F capital
من a إلى b لعند R تحقق الشروط التالية تحقق أول شيء
أنها تكون الـ F capital هذه continuous على الفترة
a إلى b الشرط الثاني f prime exists and f prime of x
بيساوى الـ f small اللي بدأنا فيها دي الفرض منها
integrable لكل x element in a إلى b بنقول الـ
integration من A إلى B للـ F بيساوى F of B ناقص F of A
إذا الآن وكأني بقول نفترض أنه الـ F small
integrable ونفترض F continuous على closed bounded
interval A إلى B و F نفسها differentiable على الـ
open اللي هو interval A إلى B بشرط أنه الـ F prime
ال derivative لها الـ F capital طبعًا بيساوى الـ F
small of X وبناء على كل المعطيات اللي حكيناها بيكون
ال integration من a إلى b لل f small هو عبارة عن fb
ناقص f of a أو اختصارًا ويسهل لك للحفظ ال integration
من a إلى b لل f prime of x dx هي عبارة عن وكأنه
التكامل بلغ التفاضل بيصير اللي هي f of b ناقص f of
a هذا فضوء mean يعني هذه هادة باختصار هيك فضوء
mean أن f prime of x تكون موجودة على الفترة من a إلى
b وأيضًا بتكون أنها integrable نفسها integrable و
تكون ال f نفسها continuous على close من a لعند b
هذه هي النظرية إذا اللي بدنا نثبته الآن أنه قيمة
ال integration هذا بيساوى اللي هو اللي أمامنا اللي
هي f of b ناقص من ناقص f of a خلينا نشوف إيش
البرهان في هالحالة يا جماعة الآن اللي واضح إنه أنا
بده أُثبت إنه ال integration هو عبارة عن f of b
ناقص f of a شوف أنا كيف بده أوصلك اللي هو ال
integration لمنقلة ال b لل f بيساوى f of b ناقص f
of a أنا بعرف أول حاجة هو معطيني ال f small هذه
اللي هي ال f prime اللي هي ال f small سميتها هذه
معطيني إياها integrable إذن بواسطة
اللي هي .. إذا بتتذكروا integrable criterion وهي
اللي بنستخدمها كثير احنا لإنها .. يعني خلّيني أقول
صيغة مهمة في إثبات النظريات اللي هي بما إنه f
integrable إذن لكل Y أكبر من 0 يوجد there exists a
partition P اللي هو X0 X1 عند X ل .. عند ..
partition لمين طبعًا للفترة اللي أنتم عارفينها
اللي احنا بنشتغل عليها الفترة من A لعند مين لعند B
There exists a partition P X0 X1 XN of A إلى B such
that ال upper sum P F'-the lower sum P F' أصغر من إبسلون F' من
هنا من هي يا جماعة؟ هي الـ F لأننا مفترضين الـ F
small أو الـ F' is integrable إذا بواسطة الـ integrable
criterion حصلنا على واحد اللي عنده
إلحاح أحكي عنها الآن أو أستخدمها للوصول لهدفي طيب
because طبعًا F prime اللي هي same زي ما قلنا F of
X is integrable on A إلى B الآن في شغلة ثانية احنا
بدأنا الآن نستخدم اللي هو أمر آخر خلينا نكتب الآن
أول شغلة حصلنا عليها عشان تعرف أين أنا رايح اللي هي
قلنا F is integrable الـ F التي بيسمى F' integrable أيش
أعطتنا يا جماعة؟ أعطتنا أن هناك partition P هناك P
طبعًا for every epsilon أكبر من صفر هناك partition P
such that U, P و F اللي هي الـ F' طبعًا الـ F يمين
الـ F' ناقص الـ L, P و F هي أصغر من Y وهذا سميناها
إيش؟ سميناها 1 لأن من جهة أخرى يا جماعة بدي أستغل
اللي هو اللي معطيني إياه أن الـ F capital بتلقى continuous
أنا الآن زي ما قلنا جزّأنا اللي هي الفترة A إلى B
إلى اللي هي X0 X1 X2 فترة نموذجية Xk-1 لعند Xk لعند
مين لعند Xn اللي هي مين الـ B هذا ال partition
اللي جبته أنا الآن أنا بعرف أن الـ F capital
continuous على الـ closed interval كلها من A لعند B
إذا الأكيد continuous على كل sub interval موجودة
يعني صارت اللي عندي الـ F capital continuous on a
التي هي xk-1 وعند xk هذه هي الـ sub interval اللي
ال function f continuous عليها وإحنا مفترضين أيضًا
أن الـ f prime exist على الـ open interval كلها إذا
أكيد الـ f is differentiable لأن f' exist على الـ
open interval من a لعند b إذا أكيد f is
differentiable على الفترة xk minus واحد لعند مين
لعند الـ xk يعني يا جماعة شروط الـ mean value
theorem محققة إذا أكيد there exist there exist بما
إنه اللي هي شروط الـ mean value محققة إذا there
exist بسميها اللي هو bk أو tk there exist tk في
الفترة xk minus واحد عند الـ xk such that اللي هو F
هي الدالة اللي بطبق عليها الـ mean value theorem يا
جماعة F of xk ناقص F of xk minus واحد اللي هو
بتساوي اللي هو xk ناقص xk minus واحد طبعًا احنا
بنكسب عليها اللي هي إيش بتساوي اللي هي الـ F prime
of الـ tk هذه اللي هي الـ Mean Value Theorem
نتيجتها مطبق على مين يا جماعة على الفترة اللي هي XK
minus واحد لعند XK طبعًا هذا الكلام لكل K لأنه لكل
مين لكل الـ sub intervals بتتحقق نفس الشروط بناء
عليه احنا بنعرف قبل هيك خليني أبدأ أشتغلها عند الـ
Mk' إبراهيم اللي هي أكيد أصغر أو يساوي الـ F اللي هي
الـ F عندك الـ mk' إيش نذكركم فيها إيش هي الـ mk' الـ
mk' هي مكتوبة لنكتبها كمان مرة الـ mk' هي مين الـ
infimum للـ F' F of X X element of X K minus واحد X
K الـ F' مين هذه الـ F small ماشي الحال طيب الـ F أو
الـ mk' هي عبارة عن الـ infimum لمين للـ F' على الـ
sub interval هذه إذا أكيد أصغر أو يساوي الـ F of أي
مقطوع موجودة في الـ sub-interval والـ Tk هذه موجودة
في هذا الـ sub-interval إذن أكيد F of Tk
أصغر من الـ Mk' لأن الـ Mk' هي عبارة عن الـ
infimum لقيمة الدالة F' of Tk عالميًا على الفترة
اللي هي الـ sub-interval اللي بنحكي عنها ككل هذه
أكيد أصغر أو يساوي من الـ Mk إبراهيم مين الـ Mk
إبراهيم هذه؟ هي عبارة عن الـ Supremum لمين؟ لقيمة
اللي هي الدالة هذه على الفترة اللي عندها ماشي الحال
إذا هذه دائمًا صحيحة طب لو ضربت جهتي كل الأطراف في
طول الفترة اللي هي xk ناقص xk minus واحد طبعًا
أكيد هذه xk ناقص xk minus واحد كمية موجبة إذا لما
أضربها في الأطراف كلها بتظلها الـ inequality صحيحة
وزي ما هي في xk ناقص xk minus واحد وهنا في xk ناقص
xk minus واحد مظبوط هذا الكلام أكيد صح طيب لكن هذا
المقدار هو هذا إذا باجي بحط هذه هنا معايا يا جماعة
بحط هذه في المنطقة هذه المكان القيمة هذه اللي هي
هذه إذا صار عندي الآن F of xk ناقص f of xk minus 1
أكبر أو يساوي الـ Mk' في الـ xk ناقص xk minus 1
وهذا أصغر أو يساوي الـ Mk في الـ xk ناقص xk minus
1 إذا واضح إن أنا حصلت على هذه وهذه صحيحة لكل مين
لكل k لإنه أخدت أنا هذه فترة عشوائية يعني لـ k
بتساوي اللي هو واحد وإثنين لعند مين لعند n بناء
عليه أنا وصلت الآن إلى ما يلي وصلت إلى هذه
النتيجة شايفين يا جماعة وصلت إلى هذه النتيجة اللي
أنا وضحت لكم إياها كيف اجت الآن والـ mk prime زي ما
قلنا إيش هي والـ mk capital prime هيها امامكم نيجي
الآن إيش اللي بده يحصل له شوف الـ K إيش بده يحصل أنا
عمال بقول إنه صحيح على كل K إذا لو أخدت الـ
summation هنا وأخدت الـ summation هنا وأخدت الـ
summation هنا بظل اللي هي الـ inequality صحيحة خد
الآن الـ summation على الفترة الـ summation على
الـ inequality اللي حكينا عنها هيها بيصير الـ
summation للـ M K prime في X K X K minus واحد K من
عند واحد لعند M وهنا هيكون أصغر أو يساوى الـ
summation للـ F of X K ناقص F of X K minus واحد
اللي هي احنا هنا حصلناها هنا وهذه الـ summation
عليها وهذه الـ summation عليها هي الـ summation هذا
طيب يا جماعة أكيد أنتم فاكرين هذا الـ summation هو
عبارة عن مين يا جماعة هو عبارة عن الـ lower sum للـ
partition بي على مين على الدالة اللي بنعمل عليها
اللي هي الـ F' اللي اشتغلنا عليها اللي أخدنا الـ F'
الـ MK' هي الـ infimum للـ F' على الـ sub interval
والآن هذه يشبه يا جماعة هي الـ upper sum يعني بمعنى
آخر صار عندي الآن المقدار هذا هي المقدار هذا اللي
محاط بالأزرق هذا المقدار و بالأحمر صار بين اللي هو
الـ lower sum و بين الـ upper sum لكن هذا المقدار
الصمّصي اللي احنا عملناه قبل ذلك كتير لو فرضناه
هيكون عبارة عن F of X واحد ناقص F of X صفر زائد F
of X 2 ناقص F of X 1 زائد F of X 3 ناقص F of X 2
زائد لما أصل لآخر شيء F of X N ناقص F of X N ناقص
1 كل هذا بيروح و بيظل عندك كل هذا بيروح و بيظل عندك
بس F of X N ناقص F of X صفر كل
term بي cancel اللي قبله و يساوي F of X N اللي هي
مين؟ F of B F of X صفر اللي هي مين؟ F of A إذا صار
عندي الآن الـ Summation هذا اللي هو بيساوي F of B
ناقص مين؟ ناقص F of A يعني بمعنى آخر بنشيل هذا و
بنحط مكانه قيمته اللي هو F of B ناقص F of A بيصير F
of B minus F of A بين اللي هو L of B و الـ F' و بين
الأخرى الـ U of B و الـ F' طيب اطلع على فوق شوية خليني
أوضح لك هذه النقطة اللي هتوصلني للي بدي إياه أنا إيش
بدي أثبت أنا بدي أثبت أن ال integration خليني بس
أشيل هذا بعد إذنكم أنا
بدي أثبت أن ال integration للـ F prime of x dx أو
الـ F of X DX بيساوي F of B ناقص F of A من A لعند
مين؟ لعند B، هيا، بدي أسهل شوف الآن كيف أنا في
الواقع بتوصلكم هذا ناقص هذا بيكون أكبر أو يساوي صفر
و أصغر من epsilon لأي أصغر يساوي epsilon لكل
epsilon في الدنيا و من ثم هيساوي صفر يعني هتحدث
مين المساواة اللي ما فهمش عليها هي الآن نجي له تفصيل
اتفقنا احنا أنه احنا حصلنا على اللي هو الـ F of B –
F of A بين الـ U و بين الـ L لكن احنا بنقول الـ F
نفسها يا جماعة الـ F' هذه is integrable مزبوط
integrable من A لعند B إذن الـ U of F و الـ L of F
اللي هو الـ Upper Integral و الـ Lower Integral
اللي هو هيساوي قيمة الـ Integration عارفينوا هذا
الكلام احنا بنتعرف شو معناه integrable الـ U of F
هي عبارة عن مين؟ عن الـ infimum لمين؟ للكبار اللي
هي U L أو U P و F وهذا عبارة عن الـ Supremum لمين؟
للـ L, B و F يعني بيصير عندي اللي هو هذا عبارة عن
الـ U of F من جهة وهذا عبارة عن الـ L of F من جهة
أخرى هذا الـ integration نقلة بيه الـ F' ليش؟ لأن الـ
F' is integrable زي ما قلنا طيب، إيش علاقة الـ L و
F بهذه؟ L و F عبارة عن الـ Supremum لكل هذول، إذا
أكيد الـ L و F أكبر أو يساوي هذه، إذا صار الـ
integration هذا اللي عندي أكبر أو يساوي الـ L و F،
خلصنا من هذه، لأن من جهة ثانية ال integration للـ F
برايم هو الـ U of F، لأن الـ F is integrable زي ما
قلنا، و الـ U of F مين هو؟ هو عبارة عن الـ infimum
لها دول إذا الـ U of F أصغر أو يساويها مزبوط أصغر أو
يساويها يعني صار ال integration أصغر أو يساويها يعني
بمعنى آخر احنا وصلنا أن ال integration تبعنا الـ
integration اللي هو من A لعند B للـ F برايم بين
الـ L و بين مين و بين الـ U ماشي الحال الآن و هذا
برضه بين الـ L و بين مين الـ U اضرب لي الآن اللي تحت
اللي هو بسالب بتعكس الـ inequality وبعدين اجمعل
الجهتين ماشي الحال هذه بيصير سالب وهذه بيصير أكبر
أو يساوي سالب وهذه بيصير أكبر أو يساوي سالب اجمعل
الجهتين بيصير عند ال integration أو العكس اضرب اللي
فوق بالسالب عشان أعمل زي ما عامل هو هنا اضرب
اسف اللي هو اضرب مين اللي فوق بالسالب بيصير هذا
ناقص وهذا كله ناقص وهذا عبارة عن ناقص وهذا أكبر أو
يساوي وهذا أكبر أو يساوي واجمع لبعض أو بلغة أخرى
قل اللي .. اللي .. اللي .. اللي تحت ناقص اللي فوق
بيطلع عندي ال integration للـ F prime من A لعند B
ناقص اللي هي F of B minus F of A أصغر يساوي الـ U
ناقص الـ L و أكبر أو يساوي الـ L ناقص الـ U واضح أنه
هذه عبارة عن ناقص هذه وهذه كمية موجبة إذا صار عند
الـ absolute value للقيمة هذه أصغر أو يساوي الـ U
ناقص مين الـ L كمان مرة هذه سالب هذه وهذه موجبة إذًا
هذه الـ Inequality صارت هي عبارة عن مفكوك الـ
absolute value للـ F prime الـ integration ناقص
المقدار هذا أصغر أو يساوي هذا القيمة وهذا القيمة
لسه ما سحنّاش احنا إيش قلنا عنها أصغر من من epsilon
و أنا قاعد باشتغل على ال partition اللي جبتّه أعلى
إذا صار عندي الآن اللي وصلت له عبارة عن اللي هو الـ
absolute value هذا أصغر من epsilon وطبعًا أكبر أو
يساوي صفر و ال epsilon اللي هي شمالها arbitrary يعني
المقدار هذا لأي epsilon في الدنيا لأي epsilon في
الدنيا هذا أصغر من مين من ال epsilon هو أكبر أو يساوي صفر
إذًا لازم يكون هذا المقدار اللي هو عبارة عن صفر
يعني بمعنى آخر ال integration بيساوي اللي هو F of B
ناقص F of A و هيك و نكون حصلنا على المطلوب و أثبتنا
النظرية طيب
الناس الآن هذا اللي هو الجزء الأول الجزء الأول من
اللي هو الـ Fundamental Theorem of Calculus اللي
هو عبارة عن تكامل التفاضل اللي هي عملية التكامل
هتلغي عملية التفاضل زي ما شفنا اللي هو قبل بشوية
وشفنا إيه اللي جابه الـ Fundamental Theorem طبعًا
هذا الكلام تحت الشروط المذكورة الآن بيقول لي .. يمكن
حكيت هذه حتى بيقول لي corollary بيقول أنا أحيانًا
بحب أريح حالي و نقول خلينا نأخذ .. عشان نستذكر الـ
.. ال .. ال .. ال fundamental theorem الجزء الأول
بشكل سريع بس شوية عندنا نعمل .. في الشروط أن هو قف
من a ل b لعند R satisfy the conditions اللي هو F'
exists on A و B، ما بتبدأش أجيب سيرة مين الـ F Small؟
ما بتبدأش أشغل مين؟ على الـ F Capital لو فرضنا أن الـ
F هذه من A و B لعند R إنها الـ F' اللي هي شمالها
exist على الـ A و B يعني فرض إنها، بس هنا زاد شوية
على الشروط اللي جابله بشوية إن F is differentiable
على الـ closed interval كنا فرضينها إنها F
differentiable على الـ Open و فرضينها continuous
على اللي هي الـ Closed مدام الآن إذا فيها دي سنة
زيادة من ال .. من اللي هي الشروط F' exists على الـ
A و الـ B يعني continuous و differentiable على الـ
closed open .. على الـ closed interval A و B الآن هي
الشرط و الشرط الثاني فرض أن الـ F' مش موجودة و بس الـ
F' انتجرت على الـ A و الـ B إذا انتجقت شروط الـ
fundamental theorem إذا حسب الـ fundamental theorem
اللي قبله بشوية بيكون عنده ال integration من A لـ B
لمين الآن؟ للـ f prime اللي كنا نسميه في الجبل f
small بتساوي f of b ناقص f of a إذا فعلاً هي
automatic حققت شروط الـ fundamental theorem و زيادة
سنة إذا أكيد النتيجة بتكون صحيحة يعني تكامل الدالة
المتفاضلة بيساوي أصل الدالة اللي هو أصل الدالة عنده
النقطة الأولى ناقص النقطة مين؟ بنحكي النقطة الثانية
اللي هو عبارة عن integration F of B ناقص مين؟ F of A
طب لو كانت X متغير يعني لو أخذنا أي X بين الفترتين
و طبقنا النظرية على الـ A اللي عند الـ X فبيصير الـ
integration من A لعند الـ X اف برايم بيساوي اف
of X ناقص اف of A X هذه هتصبح متغيرة و الـ اف of A
ثابتة وهذا بيذكرنا أن احنا قيمة التكامل لدالة
بيساوي اللي هو عبارة عن اللي هي الإجابة اللي هي
الدالة اللي بتطلع زائد some constant C اللي هو الـ
constant طبعًا لاللي هي طبيعة الدالي لقداش بيطلع لنا
اللي هو الـ initial conditions بيسفر لنا إياه الـ
constant أو بيعطينا إياه خمسة أربعة ستة أو بيظلوا
بصورة عامة constant طيب شوفوا صلوا على النبي عليه
الصلاة و السلام الآن بدنا نيجي للجزء الثاني من الـ
Fundamental theorem خلصنا جزء اللي هو تكامل
التفاضل، الآن بنتوقع إنه تفاضل التكامل، تفاضل
التكامل، تحت شروط، بنشوف اللي هي الـ Fundamental
theorem of calculus second form أو اللي هو الجزء
الثاني من الـ Fundamental theorem، إيش اللي بيقوله؟
اللي بيقول معايا ليه، نفترض إن F small من a و b
لعند r اللي هو is integrable in a و b إذا افترضناه
أنه integrable ونفترض أن f of x هو بيساوي الـ
integration من a ل x f for all x element in a و b
بس لنأتي للنتيجة then هيطلع هذا عبارة عن
continuous function في ال .. في ال .. اللي هي main
في اللي هي على الفترة a أو b ومش هي كمان ولو كان
الـ F small continuous عند نقطة C في الفترة من A
لعند B أو من A لعند X هتكون الـ F هذه نفسها
differentiable و الـ derivative اللي هي إيش بساوي
بساوي قيمة اللي هو الـ F اللي جوا يعني باختصار يا
جماعة بتتكرر سهل بقولك مفترض F integrable ماشي
الحال هاي بس الآن بقول لو جيت اخدت من A لـ X on
طبعا A و B لو اخدت الآن A و X F small of T DT هاي
ده طبعا الآن صارت كلها تعتمد على مين على X بقولك
هذه هذه اللي طلع اللي هو الـ integration للـ
integrable function من A لـ X F of T DT هتطلع لي
continuous function لو سميتها F capital زي ما هو
مسميها F of X بتكون الـ F عندها شمالها is
continuous الآن بقولك لو اجيت و قلت أن F is
continuous الـ F اللي جوا هذه at C element in A وB
لو كانت F is continuous at C element in A وB
هيطلعلك بقولك إذا الـ F capital هذه F prime of C
exists و مش exist بس و الـ F prime of C هتساوي الـ F
small of إيش؟ of C يعني و كأنه بقولك لما نتفاضل
هذه F prime of C اللي هي من إيه اللي عند C يعني
تقول F prime of C بساوي تفاضل رفلة by DX عند
النقطة C لل integration من A لـ X F of T DT
C مثلا بتساوي F of C اللي هي F small of C هو كون
الـ F اللي جوا continuous عنده النقطة اللي بنحكي
عنها طب لو كانت F اللي جوا هادى continuous وين
ما كان على الفترة هادى بصير خلاص وانت مغمض عناك
بتيجي بتقول تفاضل هادي بتشيل التكامل و بتحطه اللي
جوا بدلالة اللي هي الـ X المتغيرواضح المفروض طيب
نيجي الآن نثبت اللي هي النظرية نثبت شغلتين أن الـ F
كابتنال continuous عشان أثبتلك continuous هثبتلك
أكثر من continuous هثبتلك uniform ل continuous لأ
أقولك هثبتلك أكثر من uniform ل continuous هثبتلك
أن الـ F is Lipschitz function مثلا من Lipschitz
function إذا على طول uniform ل continuous ومن ثم
على طول إيش ما لها continuous إيش Lipschitz
function يعني هثبتلك أن Fof x-f of y absolute
value أصغر أو ساوي K في x-y had there exist K بحيث
أن f of x-f of y أصغر من K في xy لكل x و y element
in a و b هثبت لك f بتحقق هذا الشرط هثبتها ما ده
هثبتها ما ده هتحقق هذا الشرط إذا ما على طول اللي
هي هتكون lipschitz يعني بمعنى آخر هتكون is
continuous هذا الجزء الأول الجزء الثاني يا شباب و
يا بنات لأن if F is continuous at C هنثبت أن F is
differentiable عند C يعني بدأ أثبتلك F is
differentiable عند C يعني إيش F is differentiable
يعني بدأ أثبتلك أن limit F of X زي داتش مثلا او F
of C زي داتش ناقص F of C على H اذا H بتروح للصفر
بتثبت لك إيه إيش بيساوي F capital طبعا بيساوي F
small of C بدي أثبتلك يعني أو بمعنى آخر هأثبتلك لكل
Y أكبر من 0 داريكزيز ديلتا بحيث أنه absolute value
أصغر من Delta L على H أصغر من Delta يؤدي إلى F of
C زائد H ناقص F of C على H ناقص F of C بدي أثبتلك
إيه أصغر من 200 من Epsilon بكون اثبتت فعلا انه هذه
الـ limit بالساوية هذه معناته هذه الـ limit طبعا إيش
بتعني أن F prime F capital prime of C exist و
بتساوي F of C اللي هو اللي هو طالبه أنه لما تكون
F continuous عند الـ C بتكون F capital
differentiable عند الـ C و الـ derivative للـ F
capital بتساوي الـ F اسمه فنشوف
Media نثبت الـ Continuity أو نثبت الـ Lipschitz
function يعني الأمر سهلأحنا مفترضين يا جماعة أن
الـ F small هذي is integrable مزام is integrable
إذا is bounded S يعني أنه لكل .. نقدر نلاقي K أكبر
من 0 بحيث أن الـ absolute value ل F of X small أصغر
سوى K لكل X موجودة الـ A و الـ B سبب هذه أن F نفسها
is integrable طيب، بدأ اعتمد على هذه للوصول إنها
لبشتالان خد اي x و y في الـ a و الـ b واسمحولي اخد x
أقل من y without loss of generality مش عاد باخد y
أكبر من .. أصغر من x الآن حالة الـ x بتساوي
هتلاقوها automatic بتتحقق للي بديها نشوف إيش اللي
بديهاالآن خد x و y في الـ a و الـ b و نفترض أن x
أصغر من y without most of generality زي ما قلنا
الآن احسبلي f of x f of y نقص مين f of x الكبيرة y
و الكبيرة x احسب f of y نقص f of x إيش هيساوي ال
integration حسب التعريف f of x بتساوي ال
integration من الـ x لـ الـ f small الآن f of y هي
عبارة عن الـ integration من a لـ y، f small، ناقص، f
of x إيش بتساوي؟ الـ integration من a لـ x ل مين؟ لل
F، إذا هذا ناقص هذا، الآن بدي أحول هذه، أجلبها،
بيصير زائد الـ integration من x لعند مين، لعند الـ
a، لل F صار عندي الآن الـ integration من X لعند الـ A
و من A لعند الـ Y إذا حيصير هذا عبارة عن الـ
integration من X لمين من X لعند الـ Y عارفين هذه
الخاصية إذا صار عند الـ F of X F of Y ناقص F of X
بساوي الـ integration من X لـ Y لمين للـ F شوف الآن
إيش بده أصل؟ بده أصل إنه absolute value F of Y
ناقص F of X أصغر أو سوى K في الـ absolute value X
مانس Y يعني صارت لبشت لنشوف كيف نصلها وأكيد بعضكم
فهم أو اتوقع كيف بتسوي لأن صار الـ absolute value
لهذه بساوي الـ absolute value لهذه هيها لأن الـ
absolute value الـ integration بخاصية إحنا عارفينها
أصغر أو سوى الـ integration للـ absolute value والـ
absolute value للـ F في الفترة X وY أشملها .. هي
مش في الفترة X وY بس الـ absolute value للـ F الـ
absolute value للـ F أصغر أو سوى K على كل الفترة
الكبيرة اللي هي A وB فأكيد برضه هتكون أصغر أو سوى
K على الفترة الصغيرة فصار عندي أصغر أو سوى K في
مين؟ في الـ integration من X لعند Y الـ integration
من X لعند Y هو إيش بساوي؟ اللي هو Y minus X الـ
integration يعني الـ integration لـ DT من X لـ DT
الـ integration لـ DT من X عند Y إيش بيساوي Y minus
X Y minus X فهذا صار Y minus X و اللي جوا أصغر
بيساوي K الآن هذا على خطوتين سهلات بتصور أن أنتم
فاهمين إيش بحكي من X لعند Y الـ integration للـ F فده
أصغر أو ساوي اللي هو الـ integration من X لعند Y
هذه بدلة K لكل DT وهذا بساوي K برة في Y minus X
اللي هو أكيد حيصير عند الـ absolute value هذه أصغر
أو ساوي K في الـ absolute value Y minus X الآن هذه
الـ Xات الأصغر من مين؟ من Y لكن زي ما أنتم عارفين
حالة الـ X بتساوي Y is trivial لأن لما تكون X
بتساوي Y هذا صفر و لما تكون X بتساوي Y هذا صفر إذا
الـ inequality هذه صحيحة دائما إذا الآن صار عندي
هذه الـ inequality staris true for all x و y
limiting a و b لأنه قلنا الـ x أصغر من y الـ y أصغر
من x أكيد similarly و بنفس الأسلوب أو حتى without
loss of generality يعني بدون ما نفقد أي شيء من
التعميم بنفترض أن x أصغر من y صار
عندي يا جماعة الآن F مستمر على A وB لأن F بيصبح
عملية Lipschitz اللي هي الآن ضال علي أثبت أن الـ F
مستخدم وزي ما قلت بدأ أثبت أن الـ Limit للـ F of C
زائد H نقص F of C على H لما H تروح للصفر بساوي F
small of C أو أثبت لكم الفرق بين هذولتين أصغر من
Epsilon وهذا زي ما قلنا هو اللي هيمثل F' of C ده
نشوف كيف طيب الصلاة على النبي صلاة والسلام عليك
خلّينا نجف عند .. أيوة نيجي الآن البرهان هتلاقوه
برضه سهل وفكرته سهلة شوفوا كيف عندي نفترض الآن
suppose that f is continuous at c limiting a وb
مدام continuous إذن limit
F of X as X بتروح للـ C بساوي F of C مظبوط ولا لأ؟
أكيد مظبوط فبقى من جهة أخرى خلينا نكتبها بصورة
ثانية X ناقص C بتروح للسفر if and only if اللي هو
X بتروح لمين للـ C سمولي هذه X minus C إيش اسمها H
بصير هذه اللي فوق مين هي limit F of الـ X minus C
بتساوي الـ H يعني الـ X بتساوي H زائد C أو C زائد
H لأن x بتروح للـ c تكافئ أنه .. اللي هو x minus c
تروح للصفر، يعني بتكافئ H تروح لمين للصفر، إيش حيث
هو هذا؟ F of C، إذا هذه هي تعبير آخر عن الـ
continuity للـ F لما اللي هو اللي هي الـ F عند مين،
عند الـ C، يعني هذه تعبير آخر، الـ continuity للـ
function لما عند النقطة اللي هي C هذه الآن شو بدي
استخدمها للوصول للي بدي إياها لأن مادام F is
continuous ده هذي متحققة هيها مادام F is
continuous عن C ده هذي متحققة فمادام هذي متحققة
إذا by epsilon delta definition for every epsilon
أكبر من 0 there exists delta أكبر من 0 such that
لما يكون ال absolute value لل H أصغر من Delta و
طبعا أنا وين بشتغل في المنطقة إنّها تكون C زائد H
وين ما لأ في الفترة تبعت من A لعند مين لعند B يعني
اخترت ال H صغيرة كفاية بحيث إنّه C زائد H اضلي وين
جاعد في الفترة من A و B لعنده لإنّ هاي الفترة A وهي
B والفترة هذه اللي هي I C عندي مثلا في داخلها اللي
هي بتختار H دلتتها صغيرة كفاية إنّه ضال C زائد H
موجودة في الفترة من A لعند B عشان تصير معرفة لإنّ
دالتي أنا عشان تكون معرفة عند C زائد H لازم تكون C
زائد H في داخل المنطقة هذه لإنّ دالتي معرفة على
الفترة من A لعند B عشان هيك أقولنا C زائد H لازم
تكون في الفترة زائد B إذن اختيار الـ Delta يعتمد
على ال limit ويعتمد على إنّه أضمن ال C زي داشر ضال
هوين في الفترة A وB إذا تعريف ال continuity بيقول
لكل y أقوم باستخدام صفر يوجد دلتا لكل y أقوم
باستخدام صفر يوجد دلتا لكل y أقوم باستخدام صفر
يوجد دلتا لكل y أقوم باستخدام صفر يوجد دلتا لكل y
أقوم باستخدام صفر يوجد دلتا لكل y أقوم باستخدام
صفر يوجد دلتا لكل y أقوم باستخدام صفر يوجد دلتا
لكل y أقوم باستخدام صفر يوجد دلتا لكل y أقوم
باستخدام صفر يوجد دلتا
لكل y أقوم باستخدام صفر يوجد دلتا لكل y أطيب، الآن
وين أنا بدأ أروح؟ بدأ أثبت لكم إنّه هذا ناقص هذا
أصغر من epsilon عشان ذلك دعنا نحسب F of C زاد H
ناقص F of C على H ناقص مين يا جماعة؟ F of C ويساوي
الآن F of C زاد H ناقص F of C خد الآن اللي هي الـ H
هدعم المشترك بالـ C الواحدة للـ H ماشي F of C زي
دتش تعريفها من A لعند C زي دتش لل F of X DX قلناها
هذه اللي ما عطيناها من رأس الدور ناقص ماشي تعريف F
of C Capital of C هو ال integration من A لعند C زي
دتش الآن دي مش C زي دتش من A لعند مين لعند الـ C
واحدة للـ H من A لعند الـ C اللي هي F of C زي دتش
هيها وهي الواحدة الـ H اللي برا ال F of C هيها من A
ل C واحدة الـ H ناقص مين F of C هذا من التعريف
مباشرة لإنّ احنا عرفنا ال F capital of X هي عبارة
عن integration من A لعند X F of T DT لأنّ لما نكون
F of C زي دتش بنحطها دي C زي دتش C بنحطها دي عياش
C وهي C زي دتش وهي الـ C وهي ساوية الآن هذه من ..
من .. من عند A لـ C زي ده اتش وهذه من A لعند B
لعند C هدولة مع بعض هاي هدولة التنتين بده احسبها
مع بعض حسبنا زيين قبل و شوية هو عبارة عن واحد على
اتش خدوا عامل مشترك خدوا واحد على اتش عامل مشترك
بين الجهتين تصبح واحد على اتش افتح جوس ال
integration من A لعند C زي ده اتش لأن بدل الناقص
بيصير H اكتب زائد بدل هذا الناقص بيكتب زائد لأنّ
هتنقلب مين الآن من C لعند ال A نظبط اللي هو لنفسها
F F هذه الآن من C لعند ال A ومن A لعند ال C زاد H
إذا أكيد هذه كلها على بعض يصير ال integration من C
ل C زاد H لل F في واحد على H إذا هذه كلهابس
ابدلتها بقيمتها اللي قلنا عنها اللي هو ال
integration من C ل C زي H اللي اوجدته بدل هذا كله
من واحد ال H ل F of X DX ناقص الآن هذا هذا اللي هي
F of C شوف كيف بده اعملها على جهة تعالي احسب ال
integration ال integration من C لـ C زائد H للـ
constant واحد بعد أذنكم DX إيش هيساوي ال
integration هدا عبارة عن C زائد H ناقص C وهيساوي
قداش H يعني بمعنى آخر لو جيتها الجد تعرفوا ليش
بعمل هيك واحد على H في ال integration من C لـ C
زايد H اللي هو الواحد هيساوي إيش؟ واحد، مظبوط ولا
لأ؟ أكيد مظبوط ماشي هايمل هادي كسمت الديوا تاني
عشان تطلع حد واحد الآن صار عندي لو ضربت هادي
الجهتين في F of C هي F of C بيساوي إيش؟ F of C صار
الآن F of C بيساوي هذه بدي أشيل F of C تبعتي و أحط
مكانها هذه الصورة ليش حطيتها؟ عشان هذه أقدر أتحمل
محا محا دي اللي موجودة من الأصل شوف كيف الآن شيلت
ال F of C و حطيت قيمتها اللي أوجدناها اللي هي
عبارة عن F of C على H في ال integration من C لC زي
H لمن؟ للواحد ماشي لأنّ صار هذا ال integration و هذا
ال integration نفس الاشي واحد ل F of X و واحد ل
واحد يعني بقدر اشتغل فيهم بيصير عندي خد ال واحد ال
H برا عن المشترك خالص بيظل عندي ال integration من
C ل C زاد H هذا مين إيش اسمه F of X و هذا F of C
دخلتها جوا و مضربتها بالواحد صارت مين بقدر أعلن و
ثابت اللي هي ناقص F of C لكل اش ماله DX هذا الكلام
كله من C ل C زاد H صار عندي الآن الصورة هذه هيها اه
و هذه الصورة اصلا أنا بدياها الآن واحد على H أزرع
أو ساوي قولنا absolute value of integration أزرع
أو ساوي ال integration لل absolute value DX الآن
هذا المقدار F of X ناقص F of C قلنا عنها من راس
الدور إنّ F of X ناقص F of C اللي هو أصغر من
Epsilon لأنّ limit F of X لما X تروح للـC أشهر
مساوي F of C لأنّ X الـN هذه في الفترة من C لـC
زائد اتش يعني بتسمح لي أن أقول limit F of X as X
بتروح للـC بتساوي F of C لما X بتروح للـC اللي هي
أدش بتروح لمين للسفر مضل في نفس المنطقة لأنّ قلنا
قبل شوية x minus c بتروح للسفر إذا وفقط إذا اللي
هي ال H اللي بتروح للسفر اللي هي عبارة عن x minus
c يعني هذا المقدار بال continuity لل F عند ال C
برضه بكون أصغر من إبسلون على ال absolute value
لمين لل H في ال integration من C لC زاد H
واضحة اه؟ أكيد هذا الآن إيش قيمته؟ C زي داش ناقص C
اللي هي عبارة عن H فبصير Y عبارة عن absolute value
of H في mean فيه اللي هو الـH الـH اللي هو الـH
اللي هو الـH اللي هو الـH اللي هو الـH اللي
هو الـH اللي هو الـH اللي هو الـH اللي هو الـH
الـH اللي هو الـH اللي هو الـH اللي هو الـH اللي
هو الـH اللي هو الـH اللي هو الـH اللي هو الـH
الـH اللي هو الـH اللي هو الـH
اللي هو الـ طيب .. بيصير عندها .. بيصير أكبر من 0
آسف هذه بحاجة دي بتطلع إيش بتساوي .. بيساوي بيساوي
.. بقدر أختار H positive؟ اه بقدر أختار H positive
طيب و لو حتى ال H negative بتكون similarly بس
بتكون .. كل البرهام بيصير .. بترتب على إنّه اللي هي
ال .. ال C زائد H أصغر من مين من ال C without loss
of generality ال H أكبر من 0 بصير عندي لأنّ هذا
المقدار أصغر من مين من إبسلون إيش يعني اللي عملنا
اللي عملنا لكل إبسلون أكبر من Zero لاجئنا Delta
بحيث إنّه لما H absolute value أصغر من Delta يعطيني
إنّ هذا المقدار أصغر من مين؟ من إبسلون يعني صار
عندي limit هذا المقدار بسوء f of c و هذا المقدار
اللي هو f prime of c يعني اعتبرتنا f prime of c
بسوء f small of c وهو المطلوب طيب نيجي الآن للي
هي ال corollary برضه الى النظرية اللي جاملة بشوية
أو خلّيني نقول تلخيصها سريع واستذكرها سريعها اللي
هو الأولى كانت تكامل والتفاضل هذه تفاضل التكامل
طبعا كل واحدة تحت شروطها المذكورة في نظريتها
نيجي نشوف يا جماعة ال corollary let f من a و b لعند
r بي continuous on a و b and let f of x بي سوى ال
integration من ال a ل ال x ل ال f إذا فرض f
continuous ال f اسمه ال continuous على كل الفترة
ريح حاله طبعا أعطى إشي أكبر من النظرية اللي فاتت
يعني فرض ال continuity على ال a و ال b ما زم
continuous إذا ما بتزمش تقول integrable لإنّ و أنا
continuous function زي ما قلنا إيش ما لها is
integrable إذا مدامة f continuous الآن بيصير هذه ال
integration اللي هي من a لعند ال x نفسها
continuous لأ مش continuous بس is differentiable
يعني أجم ال continuous يعني هتكون عندي ال f is
differentiable و ال f برامي يمين هي ال f then f is
differentiable من a و b عند f برامي بيساوي كده إذن
باختصار من a ل x اللي هو fof t dt لو فرضنا هذه
continuous على ال a و ال b إذا لكل x element in a
و ال b بيصير f of x بالساوي هذا is differentiable
و ال f prime of x هتساوي f of اللي هي x يعني بمعنى
آخر اللي هو نفضل هذا التكامل و نزيل التفاضل و نحط
الـ L جوا يعني بمعنى آخر D by DX للـ integration
من A لعند X F of D DT لما تكون F continuous هذا
بكون بـ cancel هذا أو عملية عكسية له،وبتظللنا F of X
يعدّى الأحقالها أو F of T والـ T هي المتغير أو الـ
X هي المتغير هذه اللي هي الكورلاري الآن بدوا يلمّوا
النظريتين اللي قبل بشوية في نظرية واحدة، يلخصّن في
نظرية واحدة نشوف كيف بدوا يلخصّن في نظرية واحدة
يعني بدوا يعيدوا بس اللي هو صياغة النظريتين صلّوا
على النبي عليه الصلاة والسلام، الآن fundamental
theorem of calculus combined form يعني التنتين
الآن موجودات في نفس النظرية، شوف إيش بقول لك let
F capital and F small be continuous on a and b، فرض
أن F capital و F small أشمالهم إتن تان continuous
على الفترة a و b، و فرضك أن F of a بساوة صفر، يعني
بدي أحط ال initial condition F of a بساوة صفر عسى
أن يجمّل الصورة، ما حاطه عشان صفر، بتطلع F of a في
الجواب then the following statements are
equivalent، يعني لما تكون هذا صحيحة هذا صحيحة، ولما
تكون هذا صحيحة هذا صحيحة، نيجي للجزء الأول، لو فرضنا
أن F prime of X بيساوي F of X، إذا حيصير عندي الـ F
هذه is differential الماشي هيك مفترض أن F prime of
X بيساوي F of X، بقول إذاً إذاً هذه صحيحة، إيش يعني
هذه صحيحة؟ يعني ال integration من ال AX للـ F of
التي هي T DT، هذه DT يا جماعة، بس .. بس نخلف عن
هذه، F of T DT، هذا هيساوي مين؟ هيساوي F of X،
ناشي؟ الآن then the following statements are
equivalent، يعني لما تكون هذه صحيحة بتعطيها دي اه
فرضنا إن f prime of x بيساوي f of x، إذا حيكون عند
ال integration من a ل x f of t dt بيساوي إيش
بالظبط؟ F of x كيف ده تبتها؟ الآن فرضنا هذا صحيح
إذا ال integration من a ل عند ال x f of t اللي هي
مين هتصير؟ f prime of t DT هذه قبل بشوية من نظرية
الأولى قلنا كامل التفاوض و ليش بتطلع عندك جواب F
of X ناقص مين؟ F of A لإن كل الشروط متحققة، ماشي
الآن هاي كمان مرة يا جماعة فرضنا إن هذا متحقق بدي
أحسب هذه، أتبتها بالساوية هذه، خد ال integration من
X F of T DT، هو ما عاطيني الـ F small، هد مين هي الـ F
براهن، شفت .. شيلت الـ F small إيش حطيت مكانها؟ F
براهن، الآن هذه قبل بشوية في الـ Corollary فظلنا ..
كملنا التفاضل، كيف كملنا التفاضل؟ إنه قولنا شيل
التفاضل .. شيل التكامل .. شيل التفاضل بتصير عبارة
عن F اللي فوق اللي كانت B ناقص F اللي تحت اللي هي
A ويساوي أف of X نقص أف of A، أف of A ما عاطينيها من
رأس الدوار صفر، إذا إيش هتساوي أف of X، إذا هذه اللي
بدّينا حساباتها بتساوي هذه، طلعت إيش بتساوي أف of X
يعني أف of X بتساوي هذا المقدار وهو المطلوب، طيب
هذا الجزء الأول من النظرية اللي هو، نيجي للجزء
الثاني، نفترض الآن إن هذه صحيحة، وده تعطيها، الآن برضه
الشروط كلها متحققة، لأن الـ F في اسمه ليش مالها
continuous لسه إن أنا ما .. ما .. ما ملاحتوش أنا
هذا إيه عندي F continuous مدام F continuous ال
integration من أعلى عند ال X هذا كله اللي هو اسمه F
of X هيكون differentiable حسب النظرية، مزام
differentiable حسب هذه النظرية، إذا F prime of X
إيش هتساوي؟ F of X، يعني حققنا مين؟ اللي هي I يعني
هذا يؤدي إلى هذا، نجي الآن لبعض التعريفات اللي
هنتكرها لكم وأنّتو هتكونوا اللي هو اتابعوا الأمثلة
من خلال ال homework اللي معاكم، هنعطي اللي هي تعريف
ممكن أنتوا حتى مر عليكم في ال calculus ومن ثم اللي
هونعطي بعض ال counter examples اللي هي هنرجعكم
فيها للي هي الأسئلة اللي في الكتاب تشوفوا نصوصها
على الأقل واللي مطلوب تحلوها إيه تحلوها، واللي ما
بتحلوه يعرفش تحلوها، في عندنا اللي هو في ال homework
الحلول الموجودة بتدرسوها لحالكم، ما درستوها برضه
ما فهمتوهاش، احنا بنعمل فيها discussion ولو عملناها
حتى بشكل صوتي على أساس اللي هو احنا يمكن ما نقدرش
نصور بشكل كامل اللي هي ال discussions عبر اللي هو
التصوير اللي احنا الحالي بنصوره عبر ال power point
من البيت إن شاء الله، طيب definition let I بتساوي A
و B subset من مين؟ من R، إذا كانت F small من I لـ R
then فرضنا أنه في دالة اسم F من I لعند R then the
antiderivative of F يعني وكأنها عكس عملية عكس
الدالة اللي بنفضلها roughly antiderivative of F on
I is a function F من I لعند R such that F prime of
X سوى F of X يعني عندنا دالة F من عند I لعند R لو
جينا لجينا F تانية من عند I لعند R و لجينا F prime
of X للي اللي في الـ I بتساوي mean لـ F small of X
في هذه الحالة بنسمي الـ F capital هذه عبارة عن
antiderivative للـ F، يعني بمعنى آخر لو فضلناها هذه
الـ antiderivative هتطلع مين؟ الـ F الأصلية يعني
بتكون عندي اللي هي الـ F capital هي ال
antiderivative للـ F والـ F small هي ال derivative
للـ F، واضح أخدته في ال calculus حتى نيجي الآن ل
اللي هو برضه مفهوم أخدته في الكاركولاس if f من I
لعند R small is integrable لو فرضنا هذي integrable
و جينا عرفنا
ادالة من A لعند X F of X DX، قبل شوية قولنا هذا
أكيد معرفة مثلاً في integrable ومش معرفة ال
function F of X هتطلع continuous هذه اللي هي ال
function أو هذا هو اللي بنسميه التكامل المحدود، هذه
بنسميها الـ Indefinite Integral of F يعني هذا
بنسميه Indefinite Integral of F أو هذه الدلة
بنسميها اللي هي The Indefinite Integral of F on I
برضه هذا برضه شغلات اللي هو أخدتوها سابقًا في اللي
هو ال calculus نيجي بعض الملاحظات بس على اللي هو
اللي بتعلق بهذه اللي هي المفاهيم، نشوفها وهي طبعًا
هذه المفاهيم في عليها counter examples، التمييز
بينها نشوف المحبة هذه يا شباب، طيب صلّي على النبي
عليه الصلاة والسلام، الآن عندي سؤال سبعة تلاتة اتنين
يعني في سبعة تلاتة سؤال اتنين أو سبعة تلاتة سؤال
خمسة طبعًا كله في الطبع التاني، هذا اللي هو عندي an
integrable function may not have an antiderivative
يعني هنلاقي في السؤال هذا integrable function
ومالهاش .. ومالهاش antiderivative، يعني هنلاقي
function F إنّها تكون integrable لكن مالناجيش
function F اللي ال derivative تبعي تاش بتساوي
بتساوي F، هذا اللي هو بتشوفوه في الـ 7 3 2 و 7 3 5
الأمثلة أو ال counter examples اللي وجودة هنا، طيب
الملاحظة التانية، الـ function may have an
antiderivative، يعني عندي F و بتحقق F وفي عندي F
كابتال كمان و F برايم إيش بتساوي بسوء F، but اللي
هي ال integration للـ F إيش ماله does not exist، لكن
but not integrable وهذا بتجاوب عليه برضه سبعة
تلاتة خمسة، يعني في function F في إلها F' بساوة F
لكن ال integration للـ F إشماله does not exist
تلاتة، عندي الملاحظة الثالثة a continuous function
always have antiderivative، طبعًا ال continuous
function أصلا من القوة بمكان إنّها تخلّي عندها يكون
لها الـ mean antiderivative، الآن a continuous
function always have antiderivative وهذا اللي هو
مباشرة من ال corollary 7 3 4 اللي كانت F
continuous، مدام F continuous إذا ال integration من
ال X من A لعند ال XA of T DT بساوة F of X اللي هي
is differentiable ومش differentiable كمان و F
prime of X بتساوي F small of X يعني مدام أف
continuous إذا صار لها antiderivative صارت الـ F
اللي هي ال derivative لها بساوة F of X، إذا صارت
إيش antiderivative، هد مين هذا اللي هو عبارة عن الـ
Corollary 7 3 4، مدام إن F continuous إذا هذه
الدالة اللي سميتها F of X is differentiable ومش هي
كمان، هذا الجزء الثاني من ال fundamental theorem of
calculus والـ F prime of X إيش بيساوي؟ F of X، يعني
الـ F capital is an antiderivative of the F small
اللي هو النقطة الرابعة، the indefinite integral may
not be an antiderivative of mean of F، الآن الـ
indefinite integral اللي
هو من A لعند X F of T DT لو سميناه F of X، هذاهذا
the indefinite integral هذا ممكن يكون هذا يعني إيش
بمعنى آخر؟ يعني بدنا نفترض إن ال integration من A
ل X F of T DT موجود، طبعًا اللي بقول عنه موجود بس
تكون F of T is integrable ما حاجيناش على control U
of T الـ F of T is integrable إذا الـ A لعندي الـ X F
of T DT لو ممكن يكون هذا موجود و بنسمي F of X
بقول لي the indefinite integral هذا may not have
antiderivative of F يعني ممكن ما يكونش هذا بالرغم
أنه هذا موجود ما يكونش الـ F capital اللي هو هذا
ما يكونش antiderivative لمين؟ للـ F small يعني رغم
أنه هذا موجود ليس شرطًا أن يكون يتفاضل ولما
يتفاضل يطلع اللي جوا يعني مش شرط أن تكون الـ F
اللي هي antiderivative اللي هي مين؟ هو الـ
indefinite integral هيك بتقول المواحدة طب إيش
دليلكم؟ دليلنا هاي في counter examples هاي سبعة
ثلاثة أربعة وهذا ناتج ناجم ناجم عدم تحقق هذه أو
عدم تحقق الـ antiderivative أنه it may fail to be
differentiable at points at the interval ممكن أصلاً
أن الـ F prime تكونش موجودة بالمرة عند نقطة اللي هو
في داخل الـ interval من a إلى x مزام هذه is not
differentiable كيف بدنا نلاقي f prime بتساوي f
small إذا قد ينشأ عدم وجود الـ antiderivative منه
أنه هذه ما تكونش differentiable عند نقطة بين الـ a
و الـ x هاي أولًا اللي هو سبب ممكن يؤدي إلى عدم تحقق
أنه يكون الـ Indefinite Integral ليس Anti
-derivative للدالة اللي إحنا بنكملها Or الـ
Derivative of Indefinite Integral ممكن يكون موجود
لكن يختلف عن مين؟ but different from the value of F
at any point of the interval وهذا بيجيبوا سبعة
ثلاثة ثمانية يعني بقول لك ممكن تكون يا محلاها وتجيب
اللي هو الـ F prime of X لكن ما تطلعش تساوي F
of X ففي هذه الحالة بيكون الـ Indefinite Integral
ليس اللي هو إيه؟ شماله له Antiderivative عارفش
لحاله وهاي في مثال طبعًا نأتي
الآن ونبدأ حديثًا عن الـ evaluation of integrals
evaluation of integrals هناخد اللي هو اللي هي اللي
كنا نقول عنها اللي هو integration by parts اللي
كنا نقول عنه integration by parts نشوف كيف اللي هو
البرهن الأول واحدة يعني هناخد اللي هو النظرية
الأولى اللي هي في من ضمن اللي هيكيف يمكن أن نجد
طرق لإيجاد التكامل؟ evaluation of integrals أول
شيء نحكي عنه هو integral by parts التكامل بالتجزئة
نضع الأسس النظرية للتكامل بالتجزئة أو نشرع التكامل
بالتجزئة من خلال النظرية اللي أمامنا، أيش بتقول
ليه؟ إذا كانت f و g من a و b، f small و g small
طبعًا، لعند R، R integrable on a و b، نفترض أن
التنتين إما اللي هين integrable وبدنا نفترض أنه
لهين antiderivatives الآن بدأ افرض أن F لها
antiderivative اسمها F capital و G لها
antiderivative اسمها G capital on A و B إذا الآن
نظريتنا ترتكز في معطياتها على أن الـ F small لـ F و
G integrable هي واحد
ثم عرض علينا الآن نعمل integration ثم بنيجي بقول
ليه؟ الـ Integration لحاصل ضرب دالتين F of X في G of
X DX من A لعند B لأن طيب هذه Integrable عارفين؟ طب F
capital Integrable؟ اه Integrable لأنها
differentiable لأنها differentiable يعني
continuous أكثر من continuous يعني يعني أكيد إيش
ما لها Integrable إذا معقول كلامه من A لعند B F of
X G of X DX إيش بتساوي؟ بقول لي عبارة عن F capital
of B G capital of B نقص F capital of A G capital
of A هذاناقص الـ integration F small of X G
capital of X dx من A لعند B هذي اللي هي الـ
integration by parts اللي عامة اللي بتدخلته أو
اللي هي اللي بتقول عنه النظرية إذا if f و g من a
لعند b are integrable on a و b and have
antiderivatives f capital and g capital on a و b
then ال integration من a لعن b f of x g x dx
بيساوي f of b g of b نقص f of a g of a طبعًا
للـ capitals نقص ال integration من a لـ b f small g
capital dx ماشي الحال بدنا الآن اللي هو البرهن
النظري البرهن أسهل يا جماعة هو برهان يعتمد على
تفاضل اللي هو حاصل ضرب دالتين ويمكن إحنا كنا أصلاً
في أثناء أول ما بنبدأ في ال integration by parts
سنة عارفة للطلاب في ال calculus في الواقع في كل
سؤال في الأول يعني وكأننا بنبرهن النظرية وبعد
ذلك بنسير اللي هو حافظنا الطريقة ونعملها بشكل
سريع طيب نشوف كيف سمّيلي اللي هو F capital of X G
of capital of X إيش بتساوي؟ H of X طبعًا F is
differentiable و G is differentiable زي ما كنا
كاتب هذه لأن F antiderivative و G
antiderivative يعني F prime لها F small و G prime
لها G small يعني إذا صارت الـ H عبارة عن
differentiable ومدام differentiable إذا أكيد الـ H
شمالها continuous على الفترة A و B ماشي الحال ومش
هيك كمان وبنقدر نفضلها شوفوا كيف
واضحة كلها .. اه واضحة كلها .. ماشي زي ما قلنا يا
جماعة سمينا F capital of X في G capital of X
بالساوية H of X F differentiable و G
differentiable ثم H differentiable ومن ثم أكيد
continuous فضولي H prime of X لو حاصل ضرب دالتين
التفاضل الأول في الثاني زي اللي هو الثاني الأول في
التفاضل الثاني ويساوي تفاضل الـ F' اللي هي F small
وهذه تنزل زي ما هي وتفاضل هذه اللي هي G small لذا
صارت الـ H' بالساوية هنا يعني وكأنه صار عنده اللي
هي الـ H هذه بدون الـ Prime antiderivative لمن؟ لهذه
صارت يعني الـ H capital is an antiderivative of FG
زي مين؟ زي FG الآن كل شيء نيّح F و G Integrable و F
capital و G continuous إذا اللي هي أكيد F capital
و G capital Integrable ومن ثم هيطلع كل هذا شماله
is integrable ماشي كمان مرة F
Integrable و G-Integrable و G-Capital و F-Capital
continuous إذا صار الـ Integrable إذا هذا كله على
بعض إيش ماله؟ صار Integrable إذا صار عندي الآن اللي
هي كل الشروط متحققة إذا من سبعة ثلاثة مدامة الـ H
الـ H وينها الـ H؟ هي الـ Antiderivative لهذه
وهذه Integrable فبصير عندي الآن ال integration من
هنا ب F في G زائد F capital في G DX بتساوي H of B
ناقص مين؟ ناقص H of A طيب صار عندي الآن الأمور وضحت
وطلعت النتيجة H of B أطلع عليها وين H of B؟ هيها H
of B بيساوي F capital of B في G
of B هيها ماشي F of B في G of B عادلة لو أنتو
موجودين لأ على طول قلت لكم هيها الآن H of A بيساوي
F of A في G of A هيها G of A ماشي إذا إيدينا هذا
المقدار عوضنا عن H of B هيها وعوضنا عن H دي هيها
هيها وإيش جينا؟ وهذه فصلناها لأن Integrable إذا
فصلناها بنجيب واحدة على الجهة دي وواحدة على الجهة
دي وهو المطلوب أعمل لكم إياها طيب ال integration من
A لـ B integration
من A لـ B FG capital زائد F capital في G بساوي
H of B هي H of B H of B تساوي F of B G of B نقص H of
A هي F of A G of A من الجهة الثانية بيساوي الـ
integration F في G capital زائد ال integration F
capital في G small من A لعند B من A لعند B لأن أن
قلتم لي هذا على الجهة هذه بيصير عند ال integration
المطلوب هذا أكيد فهمتم الأصل من a لعن b بيساوي الـ
integration f في g capital زي f capital في g small
لأ خلصنا منه بيساوي f of b في f of a في g of a في b
نقص f of a في g of a كل هذا هذا المقدار integration
of capital في G من A لـ B وهو المطلوب وهيك إحنا
بنكون اليوم إن شاء الله وصلنا لعند الـ first
substitution theorem المرة القادمة إن شاء الله
بنكمل المحاضرة أو بنكمل المادة وبنكمل هذا الـ
section في محاضرة قادمة إن شاء الله وإلى لقائنا