بسم الله الرحمن الرحيم الجزء الثاني من المحاضرة
التاسعة هيكون اللي هو عبارة عن discussionأو مناقشة
لـ Section 6.2 و6.3 اللي هو مناقشة لـ Main Value
Theorem and its Applications ومناقشة أيضًا لـ
Lobitals Rules نيجي الآن لـ 6.2 الأسئلة المطلوبة
هي كما يلي نبدأ في سؤال 6.2 ادخلنا على الكتاب
خلينا نشوف ال .. ال .. ال .. المثال .. السؤال من
الكتاب نبدأ الآن بسؤال 5السؤال الخامسة هو كما يلي
let a أكبر من سفر و b أكبر من سفر و a strictly
أكبر من b طبعا كل العلاقة strictly وبنفترض أن n
أكبر أساوي اتنين prove that a أس واحدة لأ ناقص b
أس واحدة لأ ن أصغر من a minus b أس واحد عليا الان
لو جينا لاحظنا على اللي هو المطلوب عند خمسةبقولي
أن a أكبر من b أكبر من 0 أو n أكبر أو يساوي 2
بقولي prove that أن a أس واحد على n ناقص b أس واحد
على n أصغر من a ناقص b الكل أس واحد على n نيجي
للبرهان لو جينا لاحظناإنه عندي ال .. نيجي للسؤال
بس كيف نفكر في السؤال هو ماعطيني hint في الكتاب
لكن خلينا نشوف كيف .. كيف حصل على ال hint لو ادينا
جسمنا الجهتين هذا مش من ضمن الحل طبعا عندي a على b
الكل أس واحدة لأن ناقص جسمة على اللي هو بي أس
واحدة لأن الجهتين طبعا والبي طبعا موجبة ففيش إشي
بتغير بيصير a على بي ناقص واحد الكل أس واحدة لأن
لو نجلنا هذه a على بي أس واحدة لأن ناقص ال a على
بي ناقص واحد أس واحدة لأن أصغر من مين من واحد الان
عندي هذا الأن كله على بعض هو نفسه اللهان فممكن
نستقل الدالة من خلاله أنه ناخد ال F of X لت F of X
و هتوصلنا بساوي X أسواحة ده الأن ناقصx ناقص واحد
واس واحد علان وطبعا هو الان معطيني في السؤال a
أكبر من b أكبر من 0 لو طلعنا نلاقي الدالة هذه
ولاحظنا أوجدنا ال f prime لها f prime of xخلّينا
ناخد ال X عنده ال X أكبر أو يساوي واحد و هنشوف
اللي هو ليش عنده ال X أكبر أو يساوي واحد برضه
بتظبط في حالتنا لإن اللي بنينا على أساسها اللي هي
ال A على B نفسها أكبر strictly من مين من واحد
فالأمور متناسقة مع بعض و لو بدنا نطبق حللها جي جي
اللي هو تطبيق معقول اللي هنقف ال prime of X بساوي
واحد على N في X أسوا واحد على N ناقص واحد ناقصاللي
هو واحدة لان في x ناقص واحد واس واحدة لان ناقص
واحد ويسوى واحدة لان في x اس واحدة لان ناقص واحد
ناقص اللي هو x ناقص واحد اللي هو على واحدة لان
ناقص واحد الآن لو طلعنا للي عندي هذا
لو طلعنا للمقدار اللي عندي ال X أكبر أو يساوي إيش
واحد يعني الآن ال X أكبر يساوي واحد لذا لما عندي
الأس اللي هان أس إيش ماله بالسالب أو صفر على سوء
الظروف اللي هو بالسالب معناته اللي هو بده يصير
واحد على X الواحد على X عبارة عن كسر، مظبوط؟ الآن
بيصير عندي المقدار اللي عندي العلاقة بين هذا و هذا
x أكيد أكبر من x نقص واحد صح ولا لأ لكن لأن
مقلوبها هيصير ايش ماله هيصير أصغر فهيصير المقدار
هذا أصغر من هذا المقدار ماشي فبصير عندي المقدار
هذا كله على بعض أصغر من مين من سفر فالآن صارت عندي
f' أصغر strictly من مين من سفر إذا صار عندي إذا f
is strictly
Decreasing بدى استخدم الخاصية هذه مدام Strictly
Decreasing وانا عندى a أكبر من b هسينا عندى a على
b أكبر من واحد و ال b طبعا لا تسوى سفر اذا بما ان
F is strictly decreasing اذا F of a على b أكبر من
F of واحدأف of a على b دلتنا بيجيب العوض فوق بيصير
عندي اللي هو .. آسف أصغر عندي أف of a على b إيش
هتساويك؟ قولوا معايا اللي هو a على b أس واحد على n
ناقص a على b ناقص واحد وكل أس واحد على n هذا إيش
ماله؟ أصغر من مين؟من F of واحد F of واحد حسب لي F
of واحد هذه واحد وهذه سفر فبصير عبارة عن اصغر من
واحد طبعا هذه اللي هو بنعمل عملية عكسية للي
عملناها فوق فبصير عندى اضرب الجهتين في B أس واحدة
لان فبصير A أس واحدة لان ناقصA ناقص B أس واحد على
N أصغر من مين من B أس واحد على N ضربت كله في مين؟
في B أس واحد على N إن جلّي الأن بصير عندي A أس
واحد على N ناقص B أس واحد على N أصغر من A minus B
الكل أس واحد على Nوهو المطلوب وهذا اللي هو بدهيا
يلا إيه بعده؟ خلينا نيجي للسؤال اللي المطلوب الآخر
اللي هو use the mean value theorem سؤال 6 use the
mean value theorem to prove that sin x minus sin y
أصغر أو يسوى x minus y for all x, y in R هذا
السؤال حلنا زيه بالظبط اللي هو mean اللي هو ال
cosine، مظبوط؟
الان ماعرفش فيه داعي نحله ولا ان هو نفسي او مصور
عملناه
ولا لا اللي هي ال cosine عملناها بنفس الأسلوب ومش
هيختلف اللي هو الحل
أحلو ولا خلصت؟ الان عندي اللي هو سبعة use the mean
value theorem to prove that X-1 على X أصغر من X
أصغر من X واحد for X أكبر من واحد اللي هو عند ..
احنا حلينا واحد زاد X هذه الآن اللي هي عبارة عن
مين؟عن اللي هو ln LX الدلة اللي هي F of X بساوي ln
LX وبنستخدم ال mean value theorem وبنفس الأسلوب في
داعي نحله؟ خلّينا نحله، خلّينا نحله عشان بنصور
الآن سؤال سبعة الآن عندي بدأ أثبت أن ln LX أصغر من
X ناقص واحدو أكبر من x minus واحد عالميا على x
solution العالمين value theorem عالمين value
theorem نحله عالمين value theorem لأنه لسه ما
خدناش اللي هو Taylor's theorem مش
فاهم
عليكبينفع الحلقة باستخدام Taylor and X not
بيساومها يعني ال mainly طيب اه احنا .. احنا عشان
لسه ماخدناش Taylor's theorem بدنا نحلها على مين؟
على ال mean value theorem ليش؟ لأنه احنا لسه
ماخدناش Taylor's theorem طيب الان let F of X
بتساوي لين ال X؟ وعندي ال X أكبر من مين؟ أكبر أو
تساوي الواحد، ولا لأ؟عندي الـ x أكبر من 100 من 0
for
x أكبر من 0 مش عايز أني ماشي الحين نيجي اللي هو أن
نستخدم ال main value theorem continuous و claw و
differentiable وكل الأمور هذه أشملها متحققة إذا
there exist c element in a و bC عندي اللي هو
element معايا؟
طيب لأن let F of X بيساوي لن X و X أكبر من 0 وعندي
المطلوب في ال inequality اللي هي X أكبر من 1 يعني
X سنتمي إلى الواحد وما لا نهاية معايا؟ إذا there
exists Cلذن بدى اطبق الان we apply mean value
theorem on وين قول معايا on واحد و X there exists
C element واحد و X such that معايا such that اللي
هو F prime of C سوى F of X نقص F واحدعلى x ناقص
اياش ناقص واحد اه فالان عندي f of x جديش ويساوي لن
ال x ناقص لن الواحد جديش سفر على x ناقص واحد وهذا
مين هو f prime of c عبارة عن لن الواحد على c مظبوط
إذا صار عندى الآن بدأ أجيب لإن ال X أصغر من مين من
X ماينس واحد صار عندى إذا لإن ال X بساوي واحد على
C في X ماينس واحد واللي عند C أشمالة باخدها أنا
أكبر من واحد مدام أكبر من واحد إذا واحد على C اللي
هو أصغر من واحد مظبوط إذا هذا أكيد هذا أصغر من X
ماينس واحدمظبوط؟ لأن الواحد على الـC أشمالها عبارة
عن كسر الآن من جهة أخرى عندي اللي هو لن ال Xبساوي
واحد على C في X ناقص واحد لكن الـ X أنا C إيش
معناها بين الواحد والإكس يعني C أصغر من مين C أصغر
من X يعني الواحد على X اللي هو أصغر من مين الآن C
أصغر من X إذا واحد على C أكبر من واحد على X فبصير
عند هذا أكبرمن 1 على x في x minus 1 يعني بمعنى آخر
صار عند لن ال x اللي هو أكبر من x minus 1 على ال x
هي عند ال inequality التانية و هي عند ال
inequality الأولى من التنتين إذا لن ال x أشمله
أصغر من x minus 1 مظبوط اللي بعمله و أكبر من x
minus 1 عالميا على xوهو المطلوب إيش السؤال اللي
بعده؟ الآن سؤال تمانية Let F من A لعند B
سؤال تمانية let
f من a و b لعند r اشمل بي continuous او
differentiable on
meanon open interval a و b show
that if limit f prime of x عندي limit f prime of x
لما x تروح لل a بساوي a capital then اللي هي f
prime of aF prime of A exists and equals A
solution أو proof ماعطيني
F is differentiable على اللي هي الفترة من A وB أو
continuous طبعاً open أو continuous على close من A
وب عندي limit f prime of x معطينيها لما x تروح إلى
ال a ايش بساوي بساوي اللي هو a capital اطلع
لفوق الان عندي الان ال f prime of a تعريفهااللي هي
limit F of X ناقص F of A على X minus A لما X تروح
للـA ماشي الحال هذا اللي هو إذا كان ال limit had
exist إذا أثبتنا إن ال limit had exist بتكون ال F
prime of A أشمالها اللي هي exist ماشي الحال الآن
هو ماعطيني limit F prime of X لما X تروح لـA
أشمالها هي ال existواضح اه؟ لان بدي اطبق الـ Mean
Value Theorem لان في البداية على أي X وين في
الفترة A وB في الفترة A وB لو أخدنا X في ال A وB
بالـ Mean Value Theoremبين على الـ A و الـ X على
الفترة الـ A و الـ X there exists CX ما لها
between X and A such that F of X ناقص F of A بساوي
F prime C of X في X minus A هذه اللي هي تطبيق الـ
Mean Value Theorem على الفترة A و B and so و منه
اللي هي بنقول F prime C of X بساوي اللي هو F of X
ناقص F of A على X minus Aالان عندى
.. خلّينا نيجى ناخد هذه المنطقة اه عشان لسه بدات
بين F prime of A أشمالها موجودة بساوي limit ال F
prime CX لما X تروح لمين؟ لل A، ماشي الحال، هذه
الآن لو exist بتكون F prime of A أشمالها existالان
لاحظ احنا طبقنا اللى هى ال mean value theorem على
مين على الفترة من a لعند مين لعند x لجينا ال cx
وين موجودة بين ال a و ال x الان لما cx تروح لل a
اكيد ال x هتروح لمين لل a ماشي الحال طيب الان
بيصير عندىهو ماعطيني أصلا limit f prime of x لما x
تروح للإيه exist ماشي فبصير عندي لأن limit f prime
of CX لما ال X تروح لل A هي نفسها as X goes to A
CX وين هتروح لما X تروح لل A اتوماتيك CX هتروح لل
A فبصير عندى لقى limit F prime of CX لما X تروح لل
A هو نفس limit F prime of CX لما A CX تروح لل A
وهذا هو ماعطينى ايش اسمه ان existence هو ايه، اذا
صار هذا ال limitexist يعني هذا اللي هو اللي مساوي
لل limit هذا اللي بنين عليه إذا حيكون ال F prime
of A exist و برضه حيساوي مين؟ حيساوي إيه؟ اطلع على
لدك اللي بالك نخلص نعم لا اطلع على اللي بعده أيوة
السؤال اللي بعده
كبر هذا السؤال اللي سألتني عنه يا محمد
قبل هيك اطلعلي .. خليه بس اطلعلي على الكتاب على
628 النظرية 628 انزل انزل 628 اطلعلي عليها النظرية
عشان نقولك ايش هو السؤال علىلأنه مهم نعرف عن إيش،
الآن إذا بتتذكروا أخدنا اللي هو ال first
derivative test for extrema بتقول إذا كان لجينا
neighborhood Hannah subset من I such that F double
prime أكبر ساعة و سفر و X ال .. ال .. ال .. لو F
double prime أكبر ساعة و سفر مرة ع اليمين و مرة ع
اليسار إذا F has إيش مالها relative إيش مالها
maximum اللي هو اللي بتغير شرطهامن موجب إلى سالب
فبتكون عندي relative maximum، الآن هل العكس صحيح؟
يعني لو كان في عندنا relative maximum، هل شرط إنها
تغير إشارتها في اللي دا؟أطلع لفوق شوية عشان أورجيك
السؤال وين كان موجود هان remark the converse of
the first derivative test is not true مهم الكلام
هذا for example there exists a differentiable
function f من R لR with absolute minimum at x
بالساوية سفر but such that f prime takes on both
positive and negative values on both sides of اللي
هي x بتساوي عياش بساوية سفرماشي الحال إذا هذا الآن
هذا الحديث هو سؤالنا اللي عندنا اللي بدنا نحكي فيه
اللي هو exercise قداش تسعة ارجعلي على exercise
تسعة إذا ال exercise تسعة هو عبارة عن إيش يقول ليه
ان ال converts of this theorem need not to be true
in generalبالظبط ايش بيقول؟ بيقول لت F من R ل R بي
define by F of X بيساوة 2 X plus 4 زاد X plus 4
Sine 1 علي X For X لا تساوي سفر عند F of 0 ايش
بيساوي Zero إذا أنا معرفت دالة ال F بهذه الطريقة
بهذه لما X لا تساوي سفر وعند X بيساوي سفر عرفها F
of 0 بيساوي أيش؟ Zeroبقول لشهدات أول إشي F has an
absolute minimum when عند الـ 0 but that its
derivative has both positive and negative values
everywhere اللي هو إيش في neighborhood حوالين مين؟
حوالين الصفر واضحطيب، نشوف الآن، عملية فيه
absolute minimum مش صعبة، اللي هي بس خلينا نتطلع
على الحسابات، لإن الحسابات بتاخد وجه، فخلينا نتطلع
على اللي عندنا محسوبة وخالصلأن لأي x الينتن ار
اكيد ال x الاربعة ايه شماله اكبر ويساوي سفر وال
sign الواحد على x اكبير اكيد اكبر ويساوي مين ناقص
واحد اضرب الجهتين في x الاربعة فبصير x الاربعة في
هذا اكبر ويساوي ناقص ايش x الاربعة اضيف للجهتين
اتنين x الاربعةفبصير 2x أس 4 زائد هذا أكبر أو
يساوي اللي ضفت 2x أس 4 زائد اللي هو ياش ناقص اللي
هي x أس 4 اللي هو بيطلع جداش x أس 4 اللي هو أكيد
أكبر أو يساوي 0 صارت عند قيمة ال function f of x
اللي احنا بنحكي عنها دايما أكبر أو يساوي 0 اللي هو
مين بيساوي اللي عرفناه F0 إذا صار في عندي F has
absoluteminimum at mean at zero لكن عندي لطبيعة
الـ sine و طبيعة ال cosine لو جيت الآن أخدت أي
neighborhood حوالين ناقص delta و delta بدي أثبتلك
أن F prime مرة ممكن تسويلي أصغر من سفر و مرة تكون
أشمالها أكبر من سفر واضح؟ إذا تعالى شوفعندي خد لأي
neighborhood حوالين اللي هو الـ Zero خده من ناقص
Delta وDelta لأي Delta في الدنيا أو لأي أمثلون في
الدنيا عندي هي ال neighborhood اللي بحكي فيه
النقطة الداخلية اللي احنا مستهد فينا اللي هي الصفر
خد أي neighbor حواليه ناقص دلتا او ديلتابقدر ألادي
n اكبر او يساوي اتنين very large اللي
بيكون ان اشمالهن very close to zero ماشي يعني مهما
زغرتلي ال delta براجيلك n كبيرة كفاية انها تضلها
في هذا الجوار وتحقق ما يليه ايش أخدتها اخدت النقطة
واحد على اتنين and byطبعا الان هذا بزغرها جد ما
بده بتكبير الان و نفس الاشي 2 على 4 ان زاد واحد في
باقي طبعا ليش أخدت هيك عشان واحدة تخليلي ال sign
صفر و واحدة تخليلي ال cosine إيه عشان صفر واضح و
في نفس الوجه بتخليلي ال sign واحد و ال cosine واحد
بشكل معاكس ده فنشوف أشي اللي بقولهالان هذه الان و
هذه الان اخترت الان اللي تخليني إياها موجودة في
نقص delta و delta هذولا النقطين في وين في الجوار
اللي اعطيتني إياه أي جوار بتعطيني يا بدأ جيلك الان
المناسبة إليه احسبلي الان F prime F prime of X
بتعرف .. نعرف نحسبها خلينا نحسب F prime of X على
جهها لإنه مش هحسبها عشان تكون قدامكم F prime of X
أف برايم of x ايش بتساوي تمانية x تكعيب زائد أربعة
x تكعيب sign واحد على x ناقص اللي هو ليش
زائد ناقص x أصبح أربعة بيصير x تربيع sign واحد على
x صحيح؟هذه اليومين f prime of x بدّي الآن نعوض على
f عند النقطة أول إشي النقطة الأولى عبارة عن واحد
على اتنين and by عوضنا عنها في تمانية x سكعيب هي
تمانية في x سكعيب زاد أربعة هي x سكعيب وهي sin
واحد على x بيصير sin اتنين and byعشان هيك الاختيار
زائد واحد على اتنين and by أُس أربع اللي هي ..
اللي هي .. بحها دي بيصير أُس اتنين أه و هاي الناقص
فاهمين؟ X تربيع ها دي محادي اللي هي بيصير X تربيع
بالسالبواضح هه في cosine من اللي هو 2 unbi الان
هذا المقدار اللي في النص كله ايش حباله هيصير سفر
لأنه sin 2 unbi سفر هذا المقدار عبارة عن اللي هو
تمانية بتروح مع تمانية اللي هم يصير واحد على unbi
كل تكعيب هذا ال cosine ايش بيساوي واحد اذا بيظل من
عنده اللي هو هذا سالب تربيع ايه الانواخد 1 على
unbi عام المشترك تربيع بيظل عندى اللى هنا عبارة عن
اللى هى 4 unbi لأنه ماخد هنا اللى هى 1 على 2 unbi
لكل تربيع اللى هو عام المشترك بيظل 4 على unbi ناقص
ايه اش واحدواضح الاربع على n by لل n أكبر أو يساوى
2 أن هذا المقدار بصير يصغر لدرجة أنه أصغر من
الواحد لل n أكبر يساوى 2 إذا صار هذا المقدار عبارة
عن سالب في موجة بيطلع أصغر من 0 إذا F براين طلعت
أصغر من 0في نفس الوقت أف برايم ل 2 على كذا على 4n
زائد 1 في πاي أضربها أحسبها بيصير تمانية وعوض وعوض
وعوض الان مش ال sign اللي هتت cancel هتت cancel
مين ال cosine فهيطلع عندى هذا المقدار هيه وهيه هذا
المقدارالتنين المقدارين موجبات، إذا هيكون أكبر من
مين؟ من سفر، إذا في كل المنطقة، في كل المنطقة،
هتلاقي اللي هو جانب بعض، جانب بعض، مرة أكبر من
سفر، مرة أصغر من سفر، مرة أكبر من سفر، مرة أصغر من
سفر، ففيش عندك اللي هو تغير إشارتها من موجب إلى
سالب، لأ، هم جانب بعض، هذولة تنفج يا واحدة تنساشفي
جهة واحدة من الـ neighborhood مش على الجهتين هو ال
test اللي بنعرفه أشمل بيقولك لو اتغير من قبل ال ..
قبل .. في ال neighborhood قبل النقطة ال X note من
موجب إلى سالب بيصير maximum من سالب إلى موجب بيصير
موجب بيصير minimum الآنأحنا لجينا relative minimum
أو absolute minimum لكن في النقاط من ناقص ذلت
العين دلت هاين اختارتلك هنا وهنا جان بعض و جرب
كمان بلا جيلك كمان اللي هو بحيث انها تكون موجبةو
سالبة و موجبة و سالبة يعني فش derivative هنا تكون
موجبة كلها و هنا سالبة كلها عشان تحكم max .. تقول
اللي هو .. اللي هي ال .. و .. و .. و فقط اللي هي
ال converse in and the converse need not to be
true in general واضح؟ في الجوارين
.. هذا .. هذا من هنا .. من هنا لعين دلها فش إشارة
واحدة و من هنا لعين دلها فش إشارة واحدةإذا the
converse need not to be true in general واضح و
الله واضح و أعيد واضح يا محمد اه طيب اللي بعده
برضه في ال .. في ال .. في ال .. في المثال ارجعلي
للكتاب عشان أقولك هذا برضه بخدمين السؤال قبلها
انزل اطلع قبل النظرية قبل النظرية قبل النظرية في
عندي مثال هيو او لا .. ايو ال remark ال remark
أيوة اطلع ال remark هذهالان اذا بتتذكروا سؤال عشر
اللي بناحكيها الجد حكيها ان احنا قولنا it is
reasonable to define a function to be increasing
at a pointإذا كانت هناك مقارنة للمقارنة في
المقارنة اللي حوالها، إذا
كانت هناك مقارنة في المقارنة اللي حوالها، إذا كانت
هناك مقارنة في المقارنة اللي حوالها،
من الممكن أن يكون الـ derivative صحيح بشكل صحيح في
نقطة فالعمل يزيد في هذه النقطة ولكن هذا الوضع غير
صحيح يعني هذا الكلام إيش ماله ليس شرط انه صحيح انه
عندي اللي هنلاقي اللي هو الـ derivative صحيح بشكل
صحيح لكن مافيش .. ماقدرش نقول عنها إيش مالها is
increasing at this pointهذا في الـ Interval صحيح
لكن في الـ Point إيش ماله need not to be true in
general وهي مثال G of X هيه اللي هو بحيث انه G'
للـ 0 بساوي 1 لكن الـ G is not increasing in any
neighbourhood حوالين مين الصفر، هذا مثال على G' of
0 بساوي 1 اللي هو strictly أكبر من 0 butاللي هو في
هذا ال .. عند هذا النقطة اللي هو في الجوار تبعها
لا يمكن انها تكون اللي هي increasing في أي جوار
حواليهاهذا مثلنا يلّا خلّيني نحل السؤال الان هاي
سؤالنا let g من R لR be defined by g of X بيساوي X
زي 2 X ثانوية صين واحدة ل X for X تتساوي سفر and g
of 0 بيساوي 0 show that g prime of 0 ايش بيساوي
واحد but in every neighborhoodof zero, the
derivative g prime takes on both positive and
negative values. Thus, g is not monotonic in any
neighborhood. هنلاقي في المنطقة هذه، وين ما كان،
هنلاقي الـ g prime اللي هيأكبر من سفر وأصغر من سفر
يعني مش هنلاقي في أي neighborhood أن الـ G' أكبر
من سفر لحالها أو الـ G' للـ X هي أكبر من حالها أو
أصغر من حالها في كل .. من سفر في كل الجوارG' مش
هتكون أصغر من سفر في كل الجوار ولا أكبر من سفر في
كل الجوار هنلاقي إلها متذبذبة في الإشارة كيف؟
الحل شبهه صحيح الحل شبهه بس هذا الان موظف لمين لا
اللي هي اللي هو counter example على اللي هي ال
remark اللي عندنا وده counter example على اللي هي
النظرية هذك بوضح ان ال theorem need not to be true
in general وهنا اللي هو بوضح انه اللي هو ال
strictly increasing عند نقطةلأ .. لأ .. لأ .. لأ
.. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ ..
لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ
.. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ ..
لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ
.. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ
..
لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ .. لأ
.. لأ .. لأ
.. لأأيش بعمل قاعد بدي أحاول أثبت انه g prime of 0
اللي هو بيساوي واحد هاي التعريف هاي عنده y ساوي
جسمنا عليه بيصير واحد زاد اتنين limit x sin واحد
على x اللي هو هذا ايه شماله؟بساوة صفر لأن الـ
absolute value للـ X صين واحد على X أكبر بساوة صفر
و أصغر أو يساوي الـ absolute value للـ X اللي هو
by Sandwich theorem اللي هو ال limit هذا إيش بساوة
صفر إذا ال limit على بعض و كله إيش بساوة واحد إذا
D prime of zero بساوة واحد اطلع لفوق
عندي for x تتساوى 0 الـ g prime سهل أن انا اجدها
عبارة عن واحد زائد تفاضل قاعد اربع x sin واحد على
x ناقص اتنين cosine واحد على x لان بالظبط as above
for any neighborhood زي اللي حكينا قبل شوية for
any neighborhood ناقص دلتا ودلتا حول الصفر بقدر
الاقي اد اكبر سواء واحد بحيث انههذا وهذا يكون في
الجوار لكن جي برايم عند الأولى أصغر من سفر وجي
برايم عند الثانية أشمالها أكبر من سفر بحسابات
مشابهة أي سؤال؟
طيب نيجي لسؤال 12 سؤال 12 بيقول إذا كانت h of x
بيساوي 0 إذا كانت x أصغر من 0 و 1 إذا كانت x أكبر
بيساوي 0 prove that there does not exist a
function f من R لR such that f prime of x أشمالها
بيساوي h of x هذا حلنا زيه برضه اللي هو درابوكس
theorem using ايش درابوكس theorem ايش بنقول
suppose notمظبوط صبّق الان هي عند H of X هيهابقول
لأثبت أنه فيش ولا function F لو فضلناها بتطلع مين؟
H of X بدنا نفترض العكس، نفترض أنه في function
اسمها F بحيث أن F' إيش بتساوي H صارت H نفسها
differentiable، ماشي آسف، F إيش ما لا؟
differentiable، مظبوط؟ مدام F differentiable، إذا
by مين؟ By Daraboux's theorem اللي هو there existو
طبعا و احنا عارفين النص بين مين؟ بين الـ 0 و الـ 1
اذا by Daraboux's theorem there exist اللي هو ..
اللي هي C بين الـ X1 و X2 بحيث انه G of C بسوء أفه
prime of C و يسوى نص which is impossible أسرعت
عليكم، مظبوط؟ الآن يا جماعةبدي افترض ان العكس صحيح
يعني بدي افترض ان F من R ل R بحيث ان F prime of X
ايش بتساوي؟ X لكل X element in R ماشي الحال اتفجن
الهن اذا F نفسها بناء على هذا الحديث F is
differentiable على Rمن جهة أخرى أخرى لاحظ إن النص
بين الـ 0 والـ 1، مين هو الـ 0 والـ 1؟ الـ 0 والـ
1 هي قيم الـ function هذه اللي بحكي عنها، يعني الـ
0 والـ 1 هتكون الـ 0 عبارة عن أشوف X1 و الـ A1
أشوف X2، مين X1 و X2؟ اخترت الـ X1 أصغر من 0؟و X2
أكبر من 0 صار عند نقطين X1 و X2 واحد أصغر من 0
واحد أكبر من 0 يعني التمتين عملين لفترة إذا صار
عند نص في الفترة بين 0 و 1 اللي هو عبارة عن بين H
of X1 و H of X2 لكن H of X1 و H of X2 من هم؟F' of
X1 و F' of X2 إذا صارت اللي هي درابوكس theorem
محققة F is differentiable و نص تنتمي للفترة بيه
اللي هي F' of X1 و F' of X2 of X2 إذا حسب اللي هي
درابوكس theorem أي حاجة بينهم لازم يكون لها أصل
إذا there exists Cبين الـ x1 و الـ x2 بحيث أنه
اللي هو f prime للـ c هذه اللي اللي جاتها بين x1 و
x2 هي مين النص يعني زي بمسح كل القيم اللي بين f of
x1 و f of x2 مش هيك تدربت في تستيرون بتقولإذا صارت
عيدي في c بين هذه و هذه بحيث أن f prime of c بساوة
نص يعني g of c بساوة نص طب هذا مستحيل لأن اصلا g
.. h طبعا هذا مش g .. h of c .. هذا مستحيل ليش
مستحيل؟ لأن h أصلا ماتاخدش رقم تاني، يا سفر يا
واحد إذا contradiction، مدام contradiction إذا
there is no function f من R لR بحيث أن f prime of
x بساوة f of x for every x
في ضايق سؤالين خلنا نمر عليهم هذا
حلنا زيها اللي هو let I be an interval and let F
من I لR be differentiable on I مفترضين أن F عبارة
عن اللي هو differentiable function علىan interval
I وقول لي show that إذا كانت F prime is positive
on I لو F prime أكبر من 0 على I هتكون ال F أشمالها
strictly increasing on I طبعا اللي هو على السريع
لنفترض F prime أكبر من 0 لكل X element on I ماشي
هو نفسه؟ خلاص اللي بده السؤال موجود في الشريح اللي
هو ال main value theorem اتبكّل الله خليني أقوله
عنهالأن let I be an interval and let F من I لعند R
سواء الـ14 بيه differentiable on I show that if
the derivative F' is never zero on I يعني إذا كانت
F' أكبر من سفر اللي هي تسوى سفر on I then either
F' أكبر من سفر for all X limited on I أو F' أصغر
من سفر لكل XA جمالهايعني بيقولّي إذا كانت ال F
differentiable على ال interval I وكانت ال F'
بتسويش 0 في هذه الحالة ال F' يا هتكون كلها موجة
على ال I يا كلها سالب عالميا على ال I مدامت مغيرتش
شرطها بالمرة يعني بمعنى أخر يعني مش هتغير شرطها
بالمرة مدامت ال F' مش 0 على الفترة إذا إشارتها
واحدةيا F أكبر من 0، يا F أكبر من .. أصغر من 0،
هدا في ضوء أن F is differentiable، بدنا نفترض
العكس ونصل لcontradiction، suppose on the contrary
نفترض أن F prime of X أكبر من 0 لنقات .. لبعض
النقات في I، و F prime of X أكبر من .. أصغر من 0
لبعض النقات في I، يعني مخلوطةوبدّا نصلّمين ل
contradiction طيب then there exist a و b element
in I such that أف برايم of a أشماله أكبر من سفر و
أف برايم بي أصغر من سفر لإن أنا مفترض الآن افترضت
أنه في نقاط اللي هي أكبر من سفر عندها ال
derivative وفي نقاط أصغر من سفر عندها ال
derivative ماشي الحال إذا بنلاقي a و b بالحقق هذه
الان اكيد مدام هذا أكبر من صفر وهذا أصغر من صفر،
إذا الصفر بين الـF'A والـF'B لأنها واحدة موجة
بواحدة مين، مدام الصفر بينهم، إذا حسب Darabowski's
theorem، هي بتمسح كل المنطقة اللي بين الصور، لازم
كلها يكون اللي هي أصولإذن by Daraboux's theorem
there exists c element in I such that f prime of c
بيساوي سفر وهذا اللي هو بناقض الفرضية اللي احنا
فرضناها أن f prime لا تساوي سفر على كل ال I إذن f
prime لا تساوي سفر على كل ال I معناته و
differentiable طبعا معناته يا إما كلهن ال f prime
وجبات يا إما كلهن إيه شمالهن سالباتيعني يا
increasing strictly increasing يا strictly يا
شمالها decreasing مافيش أي تغيير للرسم والشعر طيب
نيجي لآخر السؤاللت I Be An Interval Prove That If
F Is Differentiable On I And The Derivative Of F'
Is Bounded On I، Then F Satisfies Lipschitz
Condition On I، ماشي الحل، بتقول لي، بتقوللي
السؤال ما يعني، Lipschitz Condition
خلّينا نشوف إيش اللي بنقوله إذا كانت F
differentiable on I و F' bounded on I اثبت إن F
satisfies Lipschitz conditions ماشي؟ إيش Lipschitz
condition؟ إنه there exists K أكبر من 0 such thatF
of X ناقص F of Y أصغر أو ساوي لبس اليود فيها ل X
minus Y في مين؟ في K اللي كنا نقول عنها على طول
هذي بتعطي إيش ما لها uniformly continuous لكل X و
Y لكل X و Y في الفترة اللي بنحكي عنها اللي بشت
condition إيش ما لها متحققةإذا الـ Absolute هذا
معناه اللي بش تسكندشه نيجي نحققها هذه نيجي نحقق
اللي هو
الـ Lipschitz condition لت x و y element in I بيه
such that x strictly أصغر من 100 من y
إذا منها ناخد ال absolute value للجهتين بتطلع عندي
اللي أماني واضح لكن F' is bounded مدان bounded F'
إذا there exist K بحيث أن F' of C أصغر سوى K لكل C
إيه شمالها من ضمن ال C اللي فوقأه لأن أف برايم is
bounded على كل ال I و هذه ال K بتنفع لكل مين لكل
ال C's اللي في ال I إذا صارت أف برايم في C أصغر أو
شويه K بنعود فوق بيصير أف of X ناقص أف of Y أصغر
أو شويه K في X minus Y و ال X و ال Y كانت نقش
مالهين arbitrary إذا صار هذه أصغر أو شويه K في X
minus Y ودخلت المتساوية لأن في حالة ال X بتساوي Y
اللي هو it is trivialtherefore I satisfy اللي هو
Lipschitz condition و الله يعطيكوا العافية