بسم الله الرحمن الرحيم هذه هي المحاضرة رقم 27 مساق
تحليل حقيقي 2 طلاب وطالبات الجامعة الإسلامية كلية
العلوم قسم رياضيات اللي هنكمل اليوم إن شاء الله
اللي بدأناها المرة الماضية اللي هو tests for
absolute convergence tests for absolute
convergence حكينا المرة الماضية على الـ Comparison
Test وقلنا إنه الـ Comparison Test بنيجي بنقارن
اللي هو Series الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ...
.. الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ
الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ
.. الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ
الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ
.. الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ
الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ
.. الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ
الـ converges ولو كانت اللي هي الصغيرة diverges من
باب أولى هتكون اللي أكبر diverges هذا ال
comparison test وبعدين أخذنا ال limit comparison
test اللي هو اللي بيقارن بين اللي هو limit XN على
YN لو كان عندي لا يساوي صفر معناته يتأكد هي ال then
اللي هو summation للـ XN converges و YN دول ال
summation converges يعني التنتين يعني converges
التنتين diverges لكن الـ N لو كان ال limit في الـ ..
في الـ ... في الـ ... في الـ limit XN على YN بيساوي 0
لو ساوي 0 وكانت اللي هي اللي تحت اللي هي is
convergent أكيد اللي هي اللي فوق هتكون is
convergent الآن اللي هو بعد هيك أخذنا اللي هو الـ
Root and Ratio Test الـ Root and Ratio Test قلنا
اللي هو اللي بنيجي بنفحص اللي هو Absolute Value لـ
XN أصغر من 1 ل N لو من عند N أكبر من أو يساوي K طالع
اللي هي عندي XN أصغر من 1 ل N أصغر من R الآن
ال Series اللي عندي هذه بتكون شاملها Absolutely
Convergent لما تكون الـ R أصغر من 1 لو كان اللي هو
طلع عندي الـ Xn-1 لأن أكبر من أو يساوي 1 لكل n أكبر
من أو يساوي K بيكون ال series اللي هي summation Xn
شاملها is divergent أخذنا كورولري عليها اللي هو
بدل ما على ال terms أخذنا ال limit للـ Xn-1 لأن
اللي هو لو لجناها بتساوي R بيكون ال summation
absolutely convergent لما R أصغر من 1 و
divergent لما R أكبر من 1 أو لما الـ R بتساوي
واحد No conclusion بعدين اجينا أخذنا ال ratio test
ال ratio test اللي هو مقارنة في داخل ال series
نفسها يعني الـ XN زائد واحد على XN اللي هو أصغر من أو يساوي
R لجناها لكل N أكبر من أو يساوي K ولاقينا الـ R هنا أصغر من
واحد فبصير ال submission للإكسات is absolutely
convergent لو كانت اللي طلعت عندي هذه أكبر من أو
يساوي واحد بتكون ال series is divergent هذا حكيناه
المرة الماضية وقلنا برضه اللي هو في عندي Corollary
لو كان أخذنا limit للإكسات زيادة واحد على الإكسات لقيناها
بساوى R الآن حسب اللي هي R ده كانت R أكبر من واحد
اللي هو عبارة عن Convergent ولو كانت R أكبر من
واحد بتكون Divergent وعند R بيساوى واحد ال test فعلًا
الآن أوصلنا لعند مين لعند الـ Integral Test
وخلينا اليوم اللي هو نبحث في اللي هو الـ Integral
Test ونشوف كيف نبرهن اللي هو الـ Integral Test
ونشوف إيش هو الآن خليكم معنا ال Integral Test الـ
927 let F be a positive decreasing function on T,
T أكبر من أو يساوي واحد يعني الـ F عبارة عن positive و
decreasing function يعني فوق اللي هو الـ X-axis و
decreasing عالمين على الفترة من واحد إلى ما لا
نهاية العنوان ثم السيريز summation للأف أن تتعامل إذا
انتقلت من واحد إلى ما لا نهاية f of t dt بيساوي limit من
واحد عند n as n goes to infinity f of t dt exists
إذن الآن وكأنه حولنا الحديث من ال convergence اللي
هو series إلى convergence of proper integral يعني
الآن بنقول إن ال series هذه summation f of n
converges إذا وفقط إذا كان ال proper integral من 1
إلى ما لا نهاية الـ f of t dt is convergent In this case
لو كان في ال convergence حادث In this case أو in
the case of convergence The partial sum Sn وال
partial sum اللي هو sequence of partial sum زائد Sn
and اللي بيساوي summation F of K, K من عند واحد
لعند N and the sum S بيساوي ال summation للـ F of
K, K من عند واحد إلى ما لا نهاية satisfy the
estimate التاليدايمًا هنلاقي المسافة بين الـ S وال
الـ Sn S ناقص Sn هتكون أصغر من أو يساوي ال
integration من N إلى ما لا نهاية للـ F of T DT و
أكبر من أو يساوي ال integration من N زائد واحد لعند
ما لا نهاية يعني الـ S minus Sn S اللي هي مجموع الـ
series ناقص Sn اللي هي عبارة عن ال partial sum من
واحد لعند N الحاصل ده يثبت دائماً أصغر من أو يساوي الـ
integration من N إلى ما لا نهاية للـ F of T و أكبر من أو
يساوي ال N زائد 1 لعند ما لا نهاية هذا كله في حال أن
الـ series اللي هي is convergent أو الـ improper
integral is convergent خلينا نبرهن اللي موجود
الآن عندي الـ function F is positive and
decreasing ماشي الحال عندي الـ function is
decreasing على كل الفترة من واحد إلى ما لا نهاية
يعني الآن عندي هي اللي هي من واحد الـ function من
عند واحد إلى ما لا نهاية عاملها شاملها decreasing
الآن بقى جبت أجسم اللي هو خليني أخد الفترة هذه
ببدأ من عند X knot بواحد X بواحد بصير اثنين اللي
هي X واحد بصير مثلًا X واحد وهذا X knot وهذا X
ثلاثة اثنين X ثلاثة لعند الفترة النموذجية XK و XK
ناقص واحد و XK الآن هذه الفترة بدي أخد التجزئة
بعد إذنكم الـ X12 والـ X23 والـ XK-1 اللي هي عبارة
عن K-1 وهذه منين؟ الـ K حر أنا بدي أجزء بالتجزئة
اللي أمامي اللي هتخدمني ماشي الحال الآن على الفترة
هذه
على الفترة هذه هيها عندي اللي هو هذه طولها إيه
شاملها طولها بيساوي واحد لأنه من K ناقص واحد لعند
مين لعند K اللي هو وأخدت طول كل واحد أجداش عبارة
عن واحد فصارت هذه عبارة عن واحد الآن بدي أدرس اللي
هو هذه المنطقة وأقارنها اللي هو بالمساحة إلى الـ F
of K و F of K-1 لنشوف إيش اللي بحكي عشان أصل لللي
بديه أنت بتحكي الآن لو جينا طلعنا لعند ... عند ...
من عند K-1 لعند K لأن K هذه أكيد K عندي اللي هي من
اثنين طالع ماشي الحال إن الفطر تبدأ من عند مين من
عند واحد إلى ما لا نهاية إذا عندي K بتساوي اثنين أو
ثلاثة أو أربعة أو خمسة إيه اللي بدي إياه اللي هنخليني
أجي المساحة تحت المنحنى هذا المساحة تحت المنحنى هذا
هو عبارة عن قيمة ال integration لل function تبعتنا
هذه اللي هي decreasing من وين لو عند K ناقص واحد
لعند مين لعند K إذا ال integration من K ناقص واحد
لعند K f of t dt لأن ال function positive تمثل هذه
المساحة تحت المنحنى طيب، الآن لو جينا للمساحة اللي
هي الآن هذا طوله قيمته واحد وهذا الآن قيمته لهنا
F of K ناقص واحد المساحة هذه هيها الشكل هذا
مساحته اللي هو عبارة عن مساحة المستطيل اللي طوله
... اللي عرضه واحد وطوله مين؟ F of K ناقص واحد
الآن F of K ناقص واحد في واحد أكيد هذه المساحة
واضحة إنها أكبر من أو يساوي ال integration اللي عندي
الآن أو المساحة تحت المنحنى الآن في المقابل لو
جينا تطلعنا لأ اللي هي المساحة اللي بيمثلها F of K
F of K هي طوله في مين في اللي هو واحد هذا واحد طوله
هذه الآن مساحتها أكيد أصغر من مساحة مين اللي هي
المساحة تحت المنحنى يعني بمعنى آخر هيكون هذه
المساحة اللي هي F of K في واحد اللي هي F of K يعني
أصغر من integration اللي أمامي اللي عندي يعني
هذا اللي هو تمام هذا اللي أنا مسميها تسعة أو
ثمانية أو اللي هي هذه هيكون عندي المساحة الكبيرة
هذه أكبر من أو يساوي المساحة تحت الملحانة الـ
integration أصغر من أو يساوي أو أكبر من أو يساوي المساحة
الأخيرة اللي هي المستطيل هذا اللي طوله F of K في
مين أو عرضه واحد يعني K في الواحد يعني F of K أصغر من
أصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر و
أصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر لأ
اللي هو هذا المقدار كله من عند N من عند 1 لعند N
يعني صار عندي الآن الـ summation الـ summation للـ F
of K كي من عند 2 لعند N أصغر أو يساوي الـ
integration summation طبعاً K-1 لعند K F of T DT K
من عند 2 لعند N أصغر أو يساوي الـ summation F of K
-1 K من عند 2 لعند N تلاحظ هذا الـ summation اللي
هو من عند 2 يعني الـ integration من 1 ل 2 زاد الـ
integration من 2 ل 3 زاد من 3 ل 4 لما نقصل من عند
اللي هو N ناقص 1 ل عند الـ N يعني كل مجموع هذا
هيبقى عبارة عن الـ integration من 1 ل عند الـ N هذا
F of T DT أزرع وساوي الـ summation هذا اللي هو
عبارة عن F of K من عند 2 F of 2 ناقص F of 1 يعني F of
واحد زائد F of 2 زائد F of N ناقص 1 ماشي الحال الآن هذا
أكبر أو يساوي هذا الـ summation عبارة عن مين يا
جماعة اللي هو عبارة عن F of 2 زي F of 3 لما أصل
عند آخر واحد اللي هو F of N في الواقع هذا مين هذا
عبارة عن S N نفسه بس خاسس مين منه الـ F of 1 يعني
ناقص F of 1 أصغر أو يساوي الـ integration من 1 لـ N
F of T DT أصغر أو يساوي هذا عبارة عن الـ summation
لمين من عند واحد لعند N ناقص واحد يعني S N ناقص
واحد لذا حصلنا على اللي هي الـ equality اللي أمامي
اللي هو التالية عند الـ integration من واحد لعند N
F of PDT صارت بين الـ S N ناقص واحد وأكبر أو يساوي
S N ناقص اللي هي F of واحد طيب نيجي الآن نكمل اللي
بدنا إياه أو نصل للي بدنا إياه الآن عندي اللي هو
صار اللي هي القيمة هذه هيها بين اللي هو S N ناقص
واحد وأكبر أو يساوي S N ناقص مين F of واحد الآن
لو فرضنا أن الـ limit للـ S N exist يعني الـ series
هذه الـ summation مع نهايتها F of K من واحد لما لها
نهاية أو من اثنين لما نهايتها exist هيكون عندي هذا
exist وهذا exist لازم الـ limit اللي في النص إيش
ماله برضه يطلع إيش ماله exist إذا صار limit
للـ improper integral exist يعني لو كانت الـ series
converges هتكون الـ improper integral إيش ماله converts
الآن بنفس الطريقة هنعمل مين؟ هنعمل اللي هو
بالنسبة لمين؟ بالنسبة للي هي conversely بدنا
نفترض أن الـ improper integral converge ونصل أنه
الـ series converge الآن زي ما قلنا Sn ناقص F of 1
طلعت عندي أصغر أو يساوي الـ integration من 1 لـ N F
of T DT وهذا أصغر أو يساوي Sn ناقص 1 الآن أنا زي ما
حصرت اللي هي فرضت أنا limit الـ Sn exist وحصرت الـ
integration بين اللي هو اثنين الـ summation هدول الـ
partial sums وقلنا هذا exist الـ limit له وهذا
exist له إذا هذا إيه الـ الشمال اللي جوا exist بدي
أعمل في الـ integration أو في الـ integration اللي
عملته مع اللي هو مين اللي هو الـ partial sums أو
الـ improper integral مع الـ series كيف؟ لأن هذا صحيح
لكل N ماشي الحال الآن عندي هذا أكيد أكبر أو يساوي
الآن لو قلنا أصغر أو يساوي Sn ناقص واحد عندي
Sn ناقص F of واحد أكبر أو يساوي هذا أصغر أو يساوي
هذا وهذا أصغر أو يساوي مين؟ الثاني اللي عندي هذا
الآن عندي بدي أحصر هذا أخليه بين two integrations
أو أخلي هذا بين two integrations أي واحد منهم بنفع
الآن عندي من هذا نفسه الـ integration من واحد لعند
f of t dt صار اللي هو زائد F of واحد أكبر أو يساوي
مين الـ Sn ماشي الـ S N من هنا من هنا الـ S N أكبر أو
يساوي اللي هو الـ integration من واحد بدل الـ N نقص
واحد حطيت مين الـ N ماشي فبيصير عند هذه بدل الـ N
برضه بتصير الـ integration من F of T DT من واحد
لعند N زائد واحد لأنه هذه أكبر من هذه بزيادة واحد
هي هذه أكبر من هذه بواحد من فوق إذا صار عند الـ S
N بين هذه الكمية وهذه الكمية لأن لو فرضنا أنه الـ
limit للـ integration من 1 لـ N F of T DT as N goes
to infinity exist مدام هذا exist الـ limit إذا حصل
هذا كله على بعضه هذا limit exist وهذا هيتلع exist
إذا اللي هيتلع عنده limit اثر إن إيش exist إذا
similarly if limit للـ integration أو الـ improper
integral exist إذا هيتلع limit للأثر إن exist هو
يعني وضحتها أمامكم therefore اللي أثبتناه إنه الـ
summation للـ F of N N من واحد لما لا نهاية اللي هو
الـ series exist يعني limit للـ S n exist if and
only if الـ improper integral exist يعني limit الـ
integration واحد لعند N exist هذا اللي هو اللي
أثبتناه لحتى الآن الآن ضال علي أثبت الجزء الثاني
من اللي هو النظرية اللي هو في حالة مين الـ
Convergence في حالة الـ Convergence لـ Series أو
لـ Improper Integral بدنا نحقق الـ Estimate اللي
هو... اللي هو عندي S ناقص S N يكون بين اللي هو الـ
Two Integration اللي حكينا عنه إشي اللي بقوله نشوف
الآن
نيجي نركز الآن finally assuming الـ relation a for k
بساوي N summing the relation a for k بالن زائد
واحد لعند N we obtain إيش هي الـ relation اللي
حطيتها قبل شوية اللي عبارة عن الـ integration من
واحد لعند N F of T DT أصغر أو يساوي هتبتدي
استخدامها كمان مرة للوصول للـ estimation اللي بدي إياها
أظهر يساوي Sn ناقص واحد وأكبر أو يساوي مين يا
جماعة اللي هو Sn ناقص F of واحد الآن هذه بدنا
اللي هو نعمل summation لها من N زائد واحد لعند
مين لعند M يعني بدي أجي اللي هو أعمل الـ summation
اللي أمامي فبيصير عندي الـ Summation لمن؟ لـ N زائد
واحد لعند مين لعند N خلينا نجمحها خد الـ
Summation الـ summation عندي هي عندي بيصير الـ
summation ل الـ integration اللي
أمامي خليني أرجع لكم لها بس عشان تكون الأمور ت...
ت... من وين... قبل... لأ آسف مش هذه نيجي لها اللي
هي تسعة اللي هالة لأن هذه بعد ما انتجمعت الآن بدي
أجمعها من عند اللي هو N زائد واحد لعند اللي هو
حيث M أكبر من N خليني أجمحها هذه لأن هذه مجموعة
خالصة خليني أجمح هذه لأن خد اجمع لي هذه عندي خد
summation حسابات summation K من عند N زائد واحد
لعند M حيث اللي هو الـ N مفترضها أكبر من N اللي هي
أصغر أو يساوي summation K من N زائد واحد لعند M
حسابات summation K من عند M زائد واحد لعند مين
لعند M الآن هذا في الواقع يا جماعة احنا قلنا الـ S N
هي summation للـ F of K K من عند اللي هو واحد لعند
مين لعند N وقلنا الـ S N طبيعي هتكون summation للـ F
of K K من عند واحد لعند N الآن اطرح هذه من هذه هيظل
الـ summation من N زائد واحد لعند مين عند N يعني
هذه في الواقع هي عبارة عن S M ناقص إيش ناقص S N
أصغر أو يساوي الـ summation اللي أمامي الـ summation
هذا اللي هو من عند N زائد واحد من N زائد واحد لعند
N ومن N لعند N زائد اثنين ومن N زائد 2 لعند N زائد
3 لما أصل من عند M ناقص واحد لعند M زي ما عملنا
قبل شوية هيطلع عبارة عن من N لمين لعند M DT هذا
أصغر أو يساوي اللي هو الـ summation اللي هو الأخير
بنفس الأسلوب ونشوف إيش اللي هيلزمنا عندي هذا زي ما
عملت فوق بالظبط بس هذه بتاخدها في عين الاعتبار إن
هي بتبدأ من عند من عند K-1 يعني اللي هي هذه بتبدأ
تصير N لعند اللي هو مين اللي هي M-1 يعني بمعنى آخر
عبارة عن S M-1 Sn ناقص واحد حسب ما اللي هي حسبنا
فوق أو زي ما حسبنا فوق فبنكون حصلنا على هذه الـ
Inequality نشوف هذه الـ Inequality كيف بدنا نستخدمها
للوصول للي بدنا إياه الآن M أكبر من N أكيد فعندي Sn
ناقص Sn اللي هي صارت اللي هي أصغر أو يساوي الـ
integration من N لعند M اللي أوجدتها وأصغر أو
يساوي الـ Sn ناقص واحد ناقص Sn ناقص واحد زي ما
قلنا اللي هذا سميناها إيه يا أستاذ الآن من الـ star
خلينا نركز على المنطقة اللي هي الآن بتاخد الـ
integration من N زائد واحد عند M زائد واحد F of T
DT ماشي الحال هيصير عبارة عن N زائد واحد وهذا M
زائد واحد بناء عليها هتصير M زائد واحد ناقص واحد
يعني M و N زائد واحد ناقص واحد يعني N فبيصير الـ
integration من N زائد واحد عند M زائد واحد F of T
DT أصغر وأصغر و Sn ناقص من SN
الآن بتنتين مع بعض اللي هي Sm ناقص ل Sn هيها أصغر
أو يساوي الـ integration من N لعند M F of T DT هي
هذه أصغر أو يساوي هذه كتبت هنا وهذه كتبت هنا Sm
ناقص ل Sn أكبر من الـ integration من N زائد واحد
لعند مين لعند M زائد واحد لأن احنا متفقين إن الـ
series converge و the proper integral converge إذا
الآن خذ لـ M ووديها لما لا نهاية لما إحنا ماخدين ال
M شمالها أكبر من الآن بوديها زي ما بده وبتظلها
الآن زي ما بدها الآن as M goes to infinity هتصير
هذه عبارة عن الـ summation للـ series يعني هتصير S
هذه إذاً هذا سيصبح S وهذا سيصبح له proper integral
من N زائد واحد إلى ما لا نهاية وهذا سيصبح له
proper integral من N إلى ما لا نهاية يعني سيصبح
لدي بالضبط الـ S ناقص S N أكبر أو يساوي من N زائد
واحد إلى ما لا نهاية ومن N إلى ما لا نهاية وهو هذا
اللي مطلوب اللي إحنا طلبناه من أول النظرية وقلنا
حيث الـ S هي اللي بتمثل اللي هو limit لـ SM أو هي
عبارة عن قيمة الـ series من واحد إلى ما لا نهاية
examples بدنا الآن نحاول نستخدم اللي هو النظريات
اللي قبل بشوية نوظفها للـ examples اللي عندنا وهذه
طبعاً هتلاقيها معظمها إنتوا أخدتوها في الـ calculus
نذكرها بشكل سريع بس عشان إنه نشوف الـ applications
لهذه النظريات اللي إحنا مركزين على اللي هو النظـ
ر التحليلية لها أو بمعنى آخر على براهين اللي هي
النظريات Show that the b series summation 1 ده لأن
b diverges for b أصغر أو يساوي 1 الآن بدنا نستخدم
الـ comparison test فعنده الآن إن قص بي أصغر أو
يساوي أن أكيد لكل أن element in N و الـ بي شمالها
أصغر أو يساوي واحد يعني لـ الـ بي اللي أصغر من واحد
هيكون أن قص بي أكيد أصغر أو يساوي من أن الآن مقلبه
هينقلب واحدة لأن بي أكبر أو يساوي واحدة لأن الآن
الـ summation هذا اللي diverse إذا من باب أولى هيكون
الكبير by comparison test diverse إذا الـ summation
واحد على N بيه diverse for بيه أصغر أو يساوي واحد
وهذا الكلام سهل وإنتوا بتعرفوه إذا نيجي للـ
summation واحد على N تربيع بدنا نشوف كيف هي إياه
converse بدنا الآن نقارنها بـ Series إحنا أخدناها
إنها ضعيفة Converse مين الـ Series اللي أخدناها
الـ Converse اللي هي الـ Telescoping اللي هي
Summation واحدة لـ N في N زائد واحد قلنا عنها دي
إيش مالها أثبتناها المرة الماضية إنها Converse
طيب، الآن هذه مدام هي هت Converge الـ series اللي عند
الـ series هت Converge إذا by example اللي هو 918E هت
Converge بدنا اللي هو نستخدم اللي هو الـ
Comparison Test الآن ماقدرش نستخدم الـ direct ليش
ماقدرش نستخدم الـ direct لإنه الآن الـ summation
اللي هو الـ الـ الـ واحد على n في n زائد واحد اللي هي
الـ convergence هذه اللي هي أصغر أو يساوي واحد على
مين على n تربيع فالآن هذه convergence صح لكن اللي
أكبر منها مش شرط إنها تكون convergence وماقدرش
نحكم الـ comparison test إذا بدنا نستخدم الـ limit
comparison test خذ الـ limit اللي هي 1 على n فان
زائد 1 على 1 على n تربيع بيصير limit عبارة عن n
على n زائد 1 مع الاختصارات اللي هو طبعاً هذا ال
limit اللي هي as n goes to infinity هذي بيصير 1
على 1 زائد 1 على n هذي بتروح للسفر وبتظلها 1 و ال
1 أكيد مش سفر ما زي ما يطلع عند الـ limit لأ اللي
هو ال .. ال .. ال .. ال ..الـ .. ال .. ال .. ال
limit لـ ال .. ال .. ال comparison test أو اللي هي
الـ two series هذول اللي على بعض الـ XN على الـ YN
بيساوى رقم إذا التنتين converged أو التنتين
diverged وبناء على الحديث إنه بما إنه هذه اللي هي
الـ telescope كانت converged إذا الواحد على N تربيع
أو صمشي للواحد على N تربيع is convergent طيب هذا
كلام كله إنتوا طبعاً بتاخدوه في الـ .. هو أخدته كثير
منه في الـ calculus ولكن إحنا عشان يكتمل الموضوع
بدنا ناخد أمثلة على اللي برهنناهم اللي هان show
that summation 1 على n بي converts for b يشمل أكبر
أو يساوي واحد بي أكبر أو يساوي أسف أكبر من واحد
strictly P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P
أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P
أكبر الـ second method بيقولك أنا بدي استخدم ال
limit comparison test اللي هو 1 على N أقص بي على 1
على N تربيع بيساوى limit 1 على N بي minus 2 و بي
أكبر من أو يساوي 2 إذا 1 على N بي minus 2 اللي هو
هيساوي limit 0 مدام الـ limit 0 وعندي اللي هي اللي
تحت converge إذا من باب أولى اللي فوق تكون
converge إذا summation 1 على N بي اللي هو convert
by limit comparison test طيب show
that the ratio and the root tests fail in the case
of B series يعني الآن لو بدنا نجرب نستخدم الـ ratio
test و الـ root test مش هتظبط طبعاً الـ limit بنقصته
ليش؟ بقولك لو جينا أخدنا limit الـ 1 على N أُس B
أُس 1 على N الـ N through test هذا بيساوى الـ limit
و N أُس 1 على N أُس minus B ماشي الـ N أُس 1 على N
الـ limit اللي لها من example أخدناها في شبطر 3 في
الفصل الماضي أو في تحليل 1 هذا وبرضه بتقف تعملوا
أصلاً لحالكم الـ limit له بيساوي واحد إذا صار عندي
واحد أقصى minus b إذا بيساوي إيش واحد الآن مدام
طالع عندي الـ limit اللي هو الـ Xn أقصى واحدة الآن
بيساوى واحد إذا بيقول الـ test failed الآن
similarly لو جربنا اللي هو الـ ratio test واحدة
الآن زيادة واحدة أقصى b على واحدة أن أقصى b بيساوى
الـ limit لا اللي هي 1 على 1 زائد 1 على أنقص بي
عارفين إيش اللي سوناه اللي هو جسمنا اللي هي اللي
هنا على أنقص بي وهنا على أنقص بي صارت 1 هذا على
أنقص بي وهذا على أنقص بي بيصير 1 زائد 1 لأن كل أس
بي الآن صار عندي limit as n goes to infinity لازم
يصير 1 إذا الـ test برضه الـ ratio test فاشل إذا
مانفعش انحل الـ b series by الـ ratio test و لا ال
anthro test
الآن بقول لي إيش رايك تستخدمنا اللي هو الـ
Integral Test تشوفه بيظبط في الـ B Series ولا لأ الت
F of T بيساوي T Os minus B ده المؤهلة إنها اللي هي
تكون اللي هي الاستخدام اللي هي 1 على T أوس بي
1 على T أوس بي الآن وهذه الـ series decreasing
ويمحلاها إلى آخره and recalled that الـ integration
من 1 لعند إن 1 على T DT إيش بيساوي سهل
إيجادها كمان عبارة عن لن الان ناقص لن الواحد لن
الواحد سفر يعني بتبقى عند لن الان لكن as n goes to
infinity واضح إن هذا مباشرة هيروح إلى ما لا نهاية
يعني هذا عبارة عن diverse إذا صارت عندي الـ summation
للواحد الان diverse by integral test عندي طبعاً الـ
b شمالها بي أصغر أو تساوى الواحد الآن في حالة
.. لا لا آسف الـ b هنا بتساوي الواحد الآن بدنا نشوف
مين إن هي الحالات التانية لو جينا الـ integration
إحنا أثبتنا لمين لـ B بتساوي واحد الآن also recall
that الـ integration 1 على T قص بي دي T من 1
لعند مين 1 لعند أنا بنفضل عندنا الـ بي شمالها هنا
لا تساوي 1 كملة الآن بيصير 1 على 1 minus
بي انقص 1 على minus بي ناقص 1 بعد ما عوضنا
الآن هذه
as n goes to infinity وكانت الـ b أكبر من 1 إذا
الـ b أكبر من 1 إذا الـ b أكبر من 1 وودينا n
إلى ما لا نهاية هذا سيصبح عبارة عن سفر وهذا عبارة
عن ناقص 1 يعني الـ limit هذه as n goes to
infinity في حالة الـ B أكبر من 1 هتصير هذه عبارة
عن ناقص 1 في هذه بيصير 1 على B minus 1
هذا في حالة الـ B أكبر من 1 إذا صارت اللي هي الـ
integration هذا converge وبناء عليه هتكون الـ B
series في حالة الـ B أكبر من 1 by integral test
برضه إياه converge لكن لو كانت الـ B أصغر من 1
الآن فبيصير عندي هذا اللي هو بيروح إلى ما لا نهاية
فبيصير عندي لأن الـ B أصغر من 1 فبيصير عندي الـ
integration هذا as N goes to infinity diverges و
بناء عليه summation 1 على N B diverges هذا في
حالة الـ B شمالها أصغر من 1 و بكون هيك إحنا
استخدمنا ال .. ال .. ال B series في إثبات ال .. ال
.. ال integral test في إثبات أنه الـ B series
converges for b أكبر من واحد and diverges for b أيش
ما لها أصغر من أو يساوي واحد وهذه اللي هي أنتو
عارفينها الـB Series المشهورة نيجي الآن بدنا نحكي
عن اللي هو root test أحيانا اللي هو مدامة اللي هو
ال ratio test اللي هو fails في حالة ال limit يطلع
لنا واحد أو يساوي واحد فبدنا إيش يخلّينا نقول يحللنا
مشكلة اللي هو ال failure for .. for .. for اللي هو
ظهور ال limit بساوة واحد هنا عندي root test
بتعالج الأمر fx بساوة xn is a sequence of non-zero
elements لو وجدنا real number a أكبر من واحد and a
natural number k such that xn زائد واحد على xn
أصغر من أو يساوي واحد ناقص a على n for n أكبر من أو يساوي k then ال
summation لل xn is absolutely ايش ماله convergent
إذا كان هناك a أصغر من أو يساوي واحد وشكل الـ K طبيعي
كذلك الـ absolute value of xn زائد واحد على xn
أكبر من أو يساوي واحد ناقص a على n for n أكبر من أو يساوي k فإن
سلسلة xn ليست مطلقا متقاربة يعني باختصار عشان أريحكم
إيش بنسوي بنحسبلنا الـ xn زائد واحد على xn إذا
وجدنا .. إذا وجدنا نقارن هذه xn زائد واحد على xn
بالمقدار واحد ناقص a على n إذا لجينا إن هذا
المقدار .. المقدار اسمه واحد ناقص a على n إذا
لجينا هذا أصغر من أو يساوي 1 ناقص على a على n وكانت
الـ A أكبر من 1 على طول بنحكم على الـ Absolutely
Convergent للـ Series لكن لو لجينا هذا المقدار بعد
ما حسبناه أكبر من أو يساوي 1 ناقص A على N حتى لو كانت
A أصغر من أو يساوي 1 صغيرة فبنقول إنه في هذه الحالة بنحكم
على إيش على إنه ال series is not absolutely
convergent يعني العملية عملية حسابات هذه على هذه
ونجيبها بدلالة 1 minus a على n أو بنقرنها ب 1
minus a على n 1 minus a على n في حالة إن ال a أصغر
من أو يساوي واحد هتطلع لنا اللي هي هنا في هذه الحالة
it's not absolutely convergent في حالة ال a أكبر
من واحد is absolutely convergent وخلّينا نشوف اللي
هو البرهان لاللي هي هذه النظرية suppose that عشرة
holds عشرة عشرة و اللي هي اللي قبل بشوية حكيناها
عشان تكونوا في صورة نقولكم عشرة نذكركم فيها هذه
عشرة اللي هي xn زائد واحد xn زائد واحد على xn أصغر
من أو يساوي 1 ناقص a على n a أكبر من 1 و n أكبر من أو يساوي k
التاني هذا اللي سميناها عشرة اللي سميناها 11 اللي
هو xn زائد 1 على absolute value xn أكبر من أو يساوي
اللي هو 1 ناقص a على n و a اللي هي a شمالها أصغر من
أو يساوي الواحد ماشي الحال طيب هي هذا عشرة وهذا
احد عشرة عشان بعد شوية هنستخدمهم في البرهان خلوكوا
معنا ان شاء الله البرهان مش صعب الآن suppose that
انه عشرة holds هي for M أكبر من أو يساوي K الآن اضرب
لطرفين في وسطين اضرب هذه في هذه بيصير عندي وبدل a
ا بدي استخدم اللي هي M عندي بدل M زائد واحد خليني
بيصير عند منح دعش عشان انا اجيب لكم يادي كيف اجت
absolute value ل X M زائد واحد أصغر من أو يساوي الـ
absolute value للـ XM مضروبة في واحد ناقص A على M،
مظبوط؟ طيب، الآن اضربولي الجهتين في مين؟ في M
فبصير M هنا، بصير M في هنا هو بيكون حصلنا على M في
هذه و M في هذا المقدار دخلولي ال M الآن جوا فبصير
absolute value XM زي ما هي أنا بصير M ناقص اللي هي
A الآن هذه بتساوي الآن كتبتها على صورة الآن ضفت
اللي هو واحد و طرحت واحد اللي هي هي عندي هنا طرحت
واحد و هنا ضفت الواحد فصارت عبارة عن M ناقص واحد
XM ناقص A ناقص واحد XM أكبر من أو يساوي K صار هذا
المقدار بعد ما ضفت اللي هو ناقص XM وطرحت ناقص ال
XM وضفت اللي هو ناقص اللي هو ضفة ال XM فصار عندي
المقدار هو نفسه هذا زي ما قلت لكم لأن من نقطة فلوس
ذات عندي ال M ناقص واحد في ال XM ناقص جيبلي هذه هنا
وهذه وديها هناك فبصير عندي M-1 في XM ناقص لغاية M
في XM زي 1 أكبر من أو يساوي مين اللي جت هنا هذه اللي
A-1 في XM اللي هو هذه هتكون أكبر من 0 for M أكبر
من أو يساوي K لأن الـA اللي عندنا إيش مفترضينها أكبر
من 1 وهذا absolute value إذا صار المقدار هذا أكبر
من 0 هذا إيه معناه؟ معناه أن الـ sequence اللي الـ
M X M زائد واحد is decreasing sequence لأن اللي
قبل ناقص اللي بعد أكبر من أو يساوي سفر يعني صار اللي
هو اللي بعد شماله أصغر من مين من اللي قبل يعني
صارت ال sequence M X M زائد واحد is a decreasing
sequence for مين M أكبر من أو يساوي اتنين الآن هذه
اللي هي ال relation اللي عندي اللي هي 12 بدنا اللي
هو نجمعها for K for M بتساوي K لعند مين لعند and
and we note the left side تلسكوب اللي هو نشوف كيف
ال left side هذا تلسكوب واضح انه تلسكوب we find
عندي أخد ال summation من عند N من عند K لعند N
عملكم إياها هان من عند K بتساوي أو من عند M بتساوي
K لعند مين لعند N أكبر من أو يساوي ال summation من M
بتساوي K لعند مين لعند N هذه بتصير اللي هو K ناقص
واحد fixed K ناقص اللي هي K في X K زائد واحد اللي
بعدها K زائد واحد اللي هي بيصير K في X K زائد واحد
راحت مع الأولى ناقص كده فكل واحدة بت cancel
الثانية بتظهر أول واحدة و آخر واحدة اللي هي أول
واحدة K ناقص واحد في X K ناقص آخر واحدة اللي هي N
في X N زائد واحد أكبر من أو يساوي ال summation هذا
اللي هو عبارة عن A ناقص واحد عام المشترك لأنه فيها
بيت مضروب مضروب في مين؟ في اللي بضر من عند K لعند
مين؟ لعند XK XK زائد واحد لعند مين؟ لعند X بكون
حصلت على هذه اللي هي ال inequality الآن لاحظوا ما
يليه حصلت يا جماعة انه الـ Series هذه أو الـ
Sequence هذه عندي هذا المقدار منها مدام الـ
Decreasing حصلت و جمعنا و استخدمنا الـ Telescoping
حصلنا هذه أكبر من أو يساوي هذه طيب الآن هذا يظهر أن الـ
partial sums Sn of سميش الـ Xn اللي هي صار عندهاي
اللي هو الـ Sn مظبوط هذا الـ Sn لأنه أصغر من أو يساوي
هذا المقدار على A-1 وA-1 عبارة عن إيه؟ عشان ثابت
الآن الـ sequence of partial sums Sn اللي هو summation
Xn are bounded مدان bounded إذا إيش بده يكون؟ بده
يكون convergent ده نشوف إيش اللي بقوله أكتب فوق
ولا .. طيب شوفوا عندي إيش
اللي حصلنا عليه؟ اللي هو الـ Sn بساوي اللي هو ال
summation absolute value لل
الـ XK أو قبل حتى قبل الأسئلة حصّلنا على الـ A-1
في الـ XK زائد absolute value لـ XN هذا كله على
بعضه أصغر من أو يساوي اللي هو K-1 بحكيها K-1 أيشي
معين K لأنه من عندها M أكبر من أو يساوي من K K أيشي
معين K-1 في ال absolute value لXK ناقص N في الـ
absolute value XN زائد واحد ماشي الحال هذه الـ N
عالميل على ال A ناقص واحد لأن هذا المقدار أصغر من أو
يساوي هذا وهذا أكيد أكيد هذا أصغر من أو يساوي ال K
ناقص واحد في absolute value XK على A ناقص واحد
لأنه الآن الـ Schilt اللي هو المقدار هذا السالب
اللي مطروح إذاً هذا بيكبر فصار هذا المقدار أصغر من أو
يساوي هذا هذا ال K عبارة عن fixed رقم fixed number
اللي هو لإنه احنا بديه من عند K أكبر أو أكبر يساوي
K إذاً K إشي معين بحكي عنه إذاً هذا المقدار من XK
لعند ال XN أصغر من أو يساوي هذاماشي الحال إذا صار
عندي اللي هو المقدار هذا هو عبارة عن sn-sk-1 مظبوط
ولا لأ؟ أكيد للـ absolute values طبعاً يعني بمعنى
آخر صار Sn أصغر من أو يساوي Sk-1 برضه عدد عدد عدد
معين زائد اللي هو K-1 في XK على A-1 صار هذا Sn
أصغر من أو يساوي هذالكل N أكبر من أو يساوي K يعني صارت
الـ S N is bounded يعني بمعنى أخر، طبعا هذا أكبر
من أو يساوي سفر أكيد الـ N، إذا limit الـ S N as N
goes to infinity مهما كبرت الـ N، هذه ما لهاش
علاقة فيها الـ N لأنه N أكبر من أو يساويها، إذا أصغر
من أو يساوي الـ S K ناقص واحد زائد K ناقص واحد في
الـ absolute value of xk على a-1 بمعنى آخر صارت
الـ Sn is convergent أو بمعنى آخر الصممش لل
absolute value of xn is convergent يعني هتصير
السيريز عندي is absolutely convergent
طيب نيجي الآن هذا تفسير انه اللي هو this shows the
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال ..
نأخذ الجزء الثاني الـ similarly نشوف كيف suppose
that suppose that the relation 11 هيها ال relation
11 holds for n أكبر أو يساوي k وطبعا احنا مفترضين ال
a أصغر أو يساوي واحد الآن صار عندي ال n ضربنا طرفين
في وسطين نفس الشيء فبيصير عندي زي ما عملنا قبل
شوية ضربنا هذا بيصير عندي ال n اللي هو xn زائد واحد
a أصغر أكبر أو يساوي هذا في هذا وضربنا في n فصارت
ال n في xn زائد واحد أكبر أو يساوي لما ضربت ال n
هنا بيصير n ناقص a في ال absolute value لل xn الآن
ال a أصغر يساوي واحد إذا ناقص ال a أكبر يساوي ناقص
واحد فما دام ناقص ال a أكبر يساوي ناقص واحد إذا
صارت عندي n ناقص a في absolute value xn أكبر يساوي
n ناقص واحد في absolute value xn لكل n ناقصة وk
هذه لأن ال a أصغر يساوي واحد الآن صار عندي الآن واضح
أنه ال sequence اللي هو الآن xn زائد واحد أكبر أو
يساوي n ناقص واحد xn يعني ال sequence هذه صارت
increasing for n أكبر أو يساوي k ما زم increasing
إذا there exists c such that الآن في ال absolute
value xn زائد واحد أكبر من مين؟ من c for n أكبر أو
يساوي k ماشي الحال صارت مدام هذه ال series increasing
إذا أكيد هتكون أكبر من أي شيء ومن some c لأنها
بتتزايد مدام صارت أكبر من some c وليكن الحد الأول
مثلا and some absolute value xn زائد واحد أصغر من
c عالمين على ال and قسمنا على مين؟ على الآن الآن هذه
ال series diverse تبعتها ال series هذه تبعت اللي
هي واحدة الآن diverse إذا من باب أولى بال
comparison test هذه تكون diverse أو بمعنى آخر ال
series summation xn is not absolutely convergent
وهذا هو الـ Reopts Test الآن ناخذ الـ Corollary له
الـ Corollary طبعا هتنسحب على إيش يا جماعة؟
هتنسحب زي ما هو المنهج اللي بنعمله إحنا بناخد ال
test وبناخد ال limit تبعه أو limit test تبعه وهنا
ال limit test تبع ال Reopts Test نشوف إيش اللي
بيعطينا إياه وعادة اللي هي ال limits بتكون في
الغالب أسهل أو أسهل في التعامل من اللي هو ال
comparison العادي Latex بيساوي XN بيه sequence of
non-zero real numbers يعني إيش مالها sequence of
non-zero real numbers ماشي مش .. مش .. مش صفار
يعني عشان هيك أصلا فوق احنا لما أخذنا strictly
أكبر من C لإنه هنا .. هنا .. هنا يعني مزام
sequence of non-zero اللي هو numbers عشان لو حد سأل
عن اللي فوق هذه كيف أكبر من C اللي هو strictly
هذول non-zero لو كان أول واحد non-zero إذا قيمته
strictly أكبر من 0 يعني له قيمة محددة والبعده بيكون
أكبر منه إذا أكيد في عندي بديت من رقم C اللي هو
اللي هو ال term الأول اللي هو ال XK مثلا وبعده
بيصير كل اللي بعده أكبر منه اللي هو أكبر strictly
من C وزي ما وصلنا اللي هو diversity إذا الآن let X
بيساوي XN بيبقى sequence of non-zero real numbers
and let A بيساوي limit N في واحد ناقص XN زائد واحد
على XN whenever this limit exists then the series
summation XN is absolutely convergent when A أكبر
من واحد and this series is not absolutely
convergent في A أصغر من واحد وذا كان let A بيساوي
واحد فعلا طيب يعني إيش بيقول له؟ بيقول له تعال احسب
احسب لي اللي هو limit n في 1 ناقص xn زائد 1 على xn
إذا جيت ال limit as n goes to infinity لهذا
المقدار وبيكسّلني أصلا إذا جيت ال limit بيساوي
رقم a إذا كان اللي كده exist يعني ولو جيت بساوي a
بتيجي الآن للحكم إذا a بيساوي 1 بتحكي لك إذا الـ A
أكبر من واحد على تقول بتقول converge وإذا كانت الـ
A أصغر من واحد بتقول إيه؟ اشماله is not absolutely
convergent حتى مش converge absolutely convergent
في الأولى لما تكون A أكبر من واحد was not
absolutely convergent for A اللي هي أصغر من واحد
نيجي الآن ل اللي هو نفترض أنه ال limit هذه exist
ونصل ل اللي بدنا إياه الآن هذه الفكرة عملناها قبل هيك
في ال proof of Corolla 926 الآن بدنا نفترض suppose
that limit 1100-Xn زي 1Xn يساوي إيه؟ أكبر من مين؟ من
واحد الآن suppose that
limit n في 1 ناقص xn زي 1 على xn بيساوي a أكبر من 1
مدام ال limit هذا exist إذا لكل y أكبر من 0 يوجد
يوجد اللي هو k such that هذا المقدار ناقص a أصغر
من y for every n أكبر يساوي k اللي يعني ال epsilon
اللي بدأ اختارها بدأ تخدمني زي ما عملنا قبل هيك في
ال proof تبع 109 اللي هو 6 الآن بما أنه a أكبر من
واحد يعني الفترة بين a والواحد وال a أكيد في a
واحد بينهم الآن عندي ال a واحد ال a واحد ال
element واحد وال a لو جيت يعني بمعنى آخر ال a واحد
أكبر من ال a وأصغر من ال a الآن خذ ال epsilon let
epsilon بيساوي a minus a واحد أكبر من 0 الآن if
there exist then There exists K element in N such
that for every N أكبر أو يساوي K هيكون عندي اللي هو ال
N في الواحد ناقص absolute value XN زائد واحد على
ال absolute value لل XN ناقص ال A أصغر من مين؟ من Y
اللي هي ال A minus A واحد فوق هذا المقدار هيصير
عبارة عن هذا absolute value أصغر من هذا وأكبر من
اللي هو A ناقص أو A واحد ناقص A هذا اللي يهمني
الآن الآن هتلاحظ إن إن في واحد ناقص absolute value
of xn زائد واحد على absolute value of xn اللي هو
أصغر جيب هذه hand بيصير عندك اللي هو ناقص إيه
أو خلينا لأ من الجهة الثانية أنا مش الجهة دي أكبر
من a واحد ناقص a وناقص a بجيبها على الجهة الثانية
بيصير زائد a بيصير هذا المقدار أكبر من a زائد a
واحد ناقص a يعني بتروح ال a مع ال A نقص واحد وبصير
عندي هذا المقدار أكبر من A واحد حيث ال A واحد
أكبر من واحد إذا صار عندي A واحد أصغر من هذا
المقدار لكل N أكبر أو يساوي K ومنه خلينا بنجيب
اللي هو بنجسم على N بيصير اللي هي هذا المقدار 1
ناقص هذا المقدار أصغر من A1 على N بنجيب المقدار
هذا N وبنجيب هذا N بيصير عندي XN زائد 1 على XN
أصغر من 1 ناقص اللي هو A1 على N طبعا بعد ما قسمنا
هذا أول شيء وبعدين بنجيب هذا N بعد ما قسمناه
وبنجيب هذا N بيطلع عندي هذا المقدار فورأن أكبر
شوية صارت اللي هي الصورة هذه صورة مين؟ صورة اللي
هي الراقبست الأولى إذا بقى رقابست هيكون عنده اللي
هو بما أنه A واحد أكبر من واحد لأنه بين الواحد بين
الواحد وال A هيصير عندي اللي هو بيرابستيس
الصممشي لل إكسان is absolutely convergent فأصغر من
واحد فأصغر من واحد بدو يصير الموضوع الآن مشابه بس
بتختلف من هنا خلي أتي نشوف لكم إياه كيف بيختلف
الآن for a أصغر من مين؟ من واحد لما تكون a أصغر من
واحد بدا تبتلكوا يا له from national exam is not
absolutely convergent a أصغر من واحد معناته أنه في
بينهم a واحد خلجينا نقول a أصغر من واحد لإنه
between any two real numbers there exists a real
number اللي هو a واحد بين ال a و بين اللي هو مين؟
الواحد اللي عالية epsilon a واحد ناقص a A1-A وهي
أكبر من 0 وكله نفسه زي ما هو there exists such
that هذا المقدار أصغر من A 1-A هو أكبر من اللي هو
سالب اللي هو A-A1 هذه المنطقة بديش إياها باخذ
المنطقة هذه بيصير عندي اللي هو زي ما عملنا قبل
بالضبط بيصير عندي هذا المقدار وبجيب هذا ال A هام
بيصير أصغر لما ناقص A تجهان بيصير زائد A مع ناقص A
بتروح بيصير أصغر من مين؟ من A واحد الآن هذا أصغر من
A واحد إذا بيصير عندي بكسب الجهتين على N بيصير على
N وهذه بنجلها على الجهة هذه وهذه بجيبها هنا
بيصير واحد ناقص A واحد على N أصغر من absolute
value XN زائد 1 على ال absolute لل XN بكون حصلنا
على هذا المقدار أكبر من واحد ناقص A واحد على N وهذا
اللي هو لكل N أكبر أو يساوي K إذا حسب B في رقاب ال
test بما أن A واحد اللي هي أصغر من واحد إذا هذه
اللي هي ال series اللي هي summation لل X absolute
value XN is not convergent أو بمعنى آخر summation
الـ XN is not absolutely convergent إذا ال exercise
هذا هيني وضحت لكم يا جماعة طيب
لأن في حالة اللي هي إلا إيه بالساعة واحد قلنا No
conclusion where either convergence or divergence
is possible طيب خلينا نشوف اللي هو examples على
اللي هي الـ Raab's test هنرجع لمين، هنرجع للي هو
الـ B series تبعنا ونشوف كيف نوضح اللي هو ال test
تبعنا الـ Raab's test أو الـ Corollary اللي عليه
كيف اللي هو نستخدمها عندنا في أمثلتنا الآن أخذنا
ال limit على طول اللي هو ال X زائد N زائد واحد على
ال Xn طبعًا هذه جاهزة و positive أصلًا بيصير عندي
اللي هو xn زائد واحد على ال xn واحد ناقصها في n
حسبتها و يساوي limit n في واحد ناقص واحد على n
غلبتها صارت nb على واحد على n زائد واحد الكل أس b و
يساوي limit عندي ال n اللي هي أحطت المقامات فصارت N
زائد واحد أس b N أس b على N زائد واحد وكل أس b في
مين في N ويساوي ال N عبارة عن N زائد واحد أس b ناقص
N أس b على واحد على N وهذه جبت مين لحالها واحد
على N زائد واحد أس b يعني جبت هذه هنا وهذه فصلت
لحالها صارت هذه في هذه لأن هذه limit معروف صار ال N
limit اللي هو هذا المقدار الآن واحد على n جيت اللي
هو جسمت فوق على n أس b و تحت على n أس b ماشي
لما جسمت هذا على n أس b صار هذا عبارة عن واحد
زائد واحد على n كل أس b وهذه واحد ناقص واحد
وهذه زي ما هي دلت ولما جسمت هذا على n أس b
صارت واحد زائد واحد على n أس b الآن و يساوي،
الآن limit الأول في limit مين؟ الثاني الآن limit
الثاني هذا سهل بيساوي واحد اللي فوق صار عبارة عن
الآن اللي هو صفر على صفر، ليش؟ لأن as n goes to
infinity، هذه بيصير صفر، هذه بيصير واحد، و واحد
بيطلع صفر، و هذه صفر، صفر على صفر، ده نستخدم اللي
هو بالتالي الـ L'Hôpital's Rule استخدمت الـ
واشتققت اللي فوق و اللي تحت بالنسبة لل n طبعًا هذا
ال limit طلع و خلصنا واحد اشتققنا طالع عبارة عن b
في واحد زائد واحد على n كل أس b ناقص واحد فطلع
دول جوا ناقص واحد على n تربيع لما فضلت اللي تحت
برضه هيطلع ليه ناقص واحد على n تربيع هذا بيروح مع
حدّه بيصير عندي as n goes to infinity هذا بيروح
للصفر إذا بيصير إيش بيساوي اللي هو عبارة عن b في
واحد أس b ناقص واحد يعني عبارة عن إيه؟ عن b الآن
ما دام b و b أكبر أو يساوي واحد، إذا من الـ Corollary
اللي قبل بشوية الـ B Series إيش مالها، converges
for b أكبر من مين من واحد الآن في حالة الواحد قلنا
اللي هو لما الـ b بتطلع واحد الـ limit بيكون ال
test fail يعني هذه اللي هو بس بنستخدم فيها ال test
for convergence بس في حالة اللي هو مين اللي هو ال
b أكبر من واحد أثبتنا إنه converge بطريقة اللي
يرقب ال test الآن
لو كانت b أكبر من واحد لو كانت b أكبر من واحد
قلنا اللي هي convergence
و for b بيساوي واحد اللي هو no conclusion طيب نيجي
الآن لمثال آخر use the Raab's test to the series
summation اللي أمامنا اللي هو بنفس الأسلوب بدنا
نأخذ اللي هو limit ال xn زائد واحد على xn بيساوي
يعني بده يقول لك أنه احنا ما .. ما ظبطش معنى اللي هو
مين ال ratio test العادي فبدنا نستخدم اللي هو مين
ال Raab's test طيب شوفوا معايا limit xn زائد واحد على
xn ال xn زائد واحد اللي هو n زائد واحد على n زائد
واحد كله تربيع زائد واحد فإن تربيع زائد واحد على n
اللي هي ال xn هذه لما جسمت طبعًا وجلبت في الآخر
فبيصير عندي ال n بيساوي جسمت اللي هو هذه على n بيصير
عبارة عن هذه جسمتها على هذا n زائد واحد على
ال n تطلع عبارة عن واحد زائد واحد على ال n وهذه زي
ما هي n تربيع زائد واحد على هذه وهي تساوي limit
هذا المقدار هنا برضه جسمت على مين على n تربيع صار
واحد زائد واحد على n تربيع وهنا على n تربيع صارت
واحد زائد واحد على ال n الكل تربيع زائد واحد على
مين n تربيع لأن as n goes to infinity هذه واحد as
n goes to infinity هذه واحد وهذه صفر وهذه واحد
يعني المحصلة واحد إذا واحد على واحد بيساوي واحد
الآن إذا بقصه by corollary 926 does not apply أو
corollary 926 اللي هي ال ratio limit limit ratio
limit ratio test does not هنا اللي هو applied ليش؟
لأن ال limit اللي عندي واحد إذا صار عندي بدنا اللي
هو نحاول نوجد طريقة أخرى لو جيت أو وجدت اللي هو
برضه بال Raab's test اللي هو limit n في 1 ناقص xn زي
1 على xn اللي هو حاول توجد ال limit بنفس الأسلوب
اللي فوق بس إلى هذا المقدار احسبهن 1 ناقص هذه
وبعدين اضرب من في ال n حاول توجد ال limit هتلاقيه
بيساوي 1 إذا صار عندي اللي هو Raab's test برضه أنا
أشمله does not apply لكن لو جيت لو جيت اطلعت على
الملاحظة التهلية أبدًا نوجد حلل أمر Xn زائد واحد على
Xn هتلاقي n زائد واحد على n زائد واحد كل تربيع
زائد واحد في n تربيع زائد واحد على n هذا اللي فوق
هذا اللي هي Xn زائد واحد وهذا مقلوب من Xn الآن لو
جيت حسبت هذه جرب أنت احسب لي أثبت لي أنه it is an
exercise to show that ال Xn زيادة واحدة لل Xn أنه
هذا المقدار هي اللي طلع عندي هتلاقيه أكبر أو يساوي
n ناقص واحد على مين على n الآن ما دام هذا أكبر من هذا
وهذا عبارة عن اللي هو عبارة عن واحد ناقص واحد على
n therefore by Raab's test اللي هي b the series
إيش مالها diverges لأنه كتبت على صورة واحد ناقص
واحد على n وهذا ال a تساوي واحد معناه بال Raab's
test هيكون ال series هذه اللي هي ال summation لل x
and is not convergence is not absolutely
convergence أو بمعنى آخر diverges وبكون هيك احنا
انهينا اللي هو section اللي هو تسعة اثنين والى
لقاء آخر