بسم الله الرحمن الرحيم هذه هي المحاضرة رقم 11 في
مساق تحليل حقيقي 2 لطلاب وطالبات الجامعة الإسلامية
كلية العلوم وهي المحاضرة الأولى بعد إعلان الطوارئ
بخصوص أو بمواجهة فيروس كورونا المنتشر اتحدتنا
المرة الماضية بدأنا في اللي هو chapter 7 اللي كان
الحديث عن ال riman integral أو تكامل ال riman
بدأنا في ال section الأول اللي هو تحت عنوان riman
integrability عرفنا شغلتين حاجة اسمها ال upper sum
و حاجة اسمها ال lower sum و قلنا اللي هو ال lower
sum هو عبارة عن الـ summation للـ mk الـ mk هذه
تمثل في xk minus xk minus 1 حيث mk كانت تمثل أو m
small k كانت تمثل عبارة عن الـ infimum للدالة على
الفترة اللي هي المذكورة الآن ال .. ال .. ال other
sum هو عبارة عن ال summation لنفس ال sum العلوي
ولكن بدلا منها اللي هي M K capital اللي كانت تمثل
ال supremum ل ال F of X وال X على اللي هي في
الفترة المذكورة اللي عندي الآن أخدنا أول لمّة المرة
الماضية وقلنا إذا كانت F من I لR bounded و B any
partition of I بدي يكون ال lower اللي هو sum لأي
partition B و function F أصغر أو يساوي ال upper
sum لنفس ال partition و لنفس اللي هي ال function F
بعد هي طبعا خطينا خطوة أخرى و جينا عرفنا اللي هو شو
معناته انها تكون اللي هو ال partition Q refinement
لل partition B قلنا Q اللي هو تحسين ل B إذا كانت B
بي عبارة عن مجموعة جزئية من Q و بناء عليه اللي هو
قلنا ان اي اللي هو sub interval xk-1xk من ال
partition B يمكن كتابتها على صورة union of sub
intervals من اللي هو التحسين اللي هو EQ
الآن جينا اللي هو بناء على هذا التعريف جينا قولنا
لو كانت F is من I لعند R is bounded و B is any
partition of I و Q refinement لل B مدام اللي هو Q
refinement إذا ال lower sum هيعلى و ال upper sum
هينزل على أساس انه اللي هو في النهاية يلتقي ال
upper مع ال lower و نصل لاللي هو ال integrability
أو معنى ال integrability كما سنرى لاحقا على الأقل
في اللي هو يكون واضح من خلال الرسم في اللي هي
الدوال الموجبة كما ذكرنا سابقا اللي بحكيه إنه لو
كانت عندي اللي هو F من I ل R bounded وB partition
وQ وrefinement للـ B هيكون عندي lower sum لل
partition B أصغر أو يساوي lower sum للتحسين عماله
التحسين بكبر لما بده يصل لفعلا المساحة تحت المنحنة
في حالة الدوال الموجبة القبر صم لـ Q و F سيبدأ يصغر
ويكون أصغر من الساوي اللي هو القبر صم لـ P و F
التحسين يعني سيصغره بمعنى آخر سيبدأ يلتقوا إلى
أسفل لما نصل إلى اللي هو مساواة في حالة الـ
Integrability لما نكون عندنا أخدنا الـ Supremum
لكل L و F الـ L والـ infimum لكل الـ U بيصير بنسمي
بعد شوية حاجة اسمها ال lower integral وال upper
integral وبرهننا هذه النظرية و بعدين جينا لللمة و
بعدين جينا لللمة أخرى اللي هو لو كانت F من I ل R
bounded وB1 وB2 اي partitions الآن لأي partitions
هيكون الlower دايما بغض النظر عن ال partition اللي
هو هيكون أصغر أو يساوي الأبر بغض النظر عن ال
partition B2 يعني مش لنفس ال partition زي ما قلنا
في اللمبة 7 1 1 لأ لأي two partitions دايما
الlower ما هو هيكون تحت أسفل المنحنى والـ Upper
هيكون أعلى المنحنى بغض النظر عن ال partitions اللي
عندي طبعا التمثيل هذا في حال اللي هو ال F is a
positive function على ال interval المذكورة الآن
بعد هيكة اجينا وعرفنا شو معناه ال lower integral
وشو معناه ال upper integral قولنا ال lower
integral كما هو متوقع سميناه الف F هو عبارة عن ال
supremum لل lowers وال .. و ال .. و ال .. و ال
upper هو عبارة عن الـ infimum لل uppers حتى لو
التقت الالو أف مع الالو أف اللي هو من أعلى مع
الأسفل هيكونوا التقوا بالظبط عند .. من مساحة تحت
المنحنى في حالة الدالة الموجبة وهذه .. في هذه
الحالة بنسمي إذا كانت ال upper تساوي ال lower
بنسمي ال function على هذه الفترة is integral و هذا
الكلام كله تحدثنا فيه عشان هيك أنا مسرع شوية هو
حكينا إنه اللي هو دايما ال lower sum لل F أخدنا
نظرية قولنا ال lower integral أسف ال lower
integral دايما أصغر يساوي مين ال upper integral
إذن الآن النظرية
الإعلان المهم اللي هو لو كانت F من I لعند R
bounded function على closed bounded interval A وB
بدي يكون ال lower integral L of F أصغر أو ساوي ال
upper integral U of F بصورة عامة هذه هي الـ
definition اللي ذكرته قبل و شوية نقول عن الـ
function F على bounded sub interval A و B أو
closed bounded interval A و B و كانت الـ F عبارة
عن bounded function بنعرف أن الـ F is remain
integrable on I إذا كانت ال lower of F بساوي ال
upper of F معناته صارت اللي هي ال F is remain
integrable if and only if ال lower sum يساوي ال
upper sum هذا كله ذكرناه المرة الماضية و أيضا
عرفنا .. قلنا في هذا الحلقة أن كل integration من A
ل B هو ال lower أو ال upper المتساويين وعرفنا ايضا
تعريف آخر قولنا ال integration من a ل b بساوي ناقص
ال integration من b ل a وعرفنا ال integration من a
ل a بساوي صفر هذا كله حكينا المرة الماضية ومش هيك
كمان واخدنا المثال اللي هو أثبتنا إنه اللي هو g of
x بيساوي x is integrable on i استنادًا على إنه
أوجدنا ال lower sum ال lower integral و ال upper
integral أثبتنا إن ال lower integral و ال upper
integral are equal و من ثم أثبتنا إنه ال
integration exist لل function x على الفترة 0 و 1
وأوجدنا قيمة ال integration في حينه وصلنا إلى اللي
هو مثالنا التالي أنه لو كانت F من I لعند .. F من I
اللي هي 01 لعند ال .. ال R be defined by أخدنا
الدالة كما يلي اللي هو قولنا أن F of X F of X
بساوي واحد إذا كانت x rational number element in Q
وبساوي 0 إذا كانت x element in IQ أو element in Q
complement اللي هي ال rational numbers الآن بدنا
نثبت بقول show that this function F طبعا أنا method
F على اللي هي الـ Q تقاطع طبعا الـ 0 و 1 اللي هي
الـ interval اللي بدأ عليها التقاطع الـ 0 و 1
بمعنى إن دالت F صارت من I اللي هي عبارة عن 0 و 1
اللي عند R واضح ان الدالة هذه is a bounded
function الآن بدأ أثبت لكم ان هذا الدالة is not
integrable on this interval is not integrable on
this interval الآن علشان أصل اللي هو اللي هي ان
هذا الدالة غير قابلة تكامل بالنسبة لتكامل بالنسبة
لتكامل الريمان بدي اخد الان B أخدوا أي partition X0
X1 لعند Xn هذا any partition لإيه ال interval اللي
هي الفترة مين Zero و واحد يعني بمعنى أتيت للفترة
Zero و واحد و جزقتها X0 X1 لعند مؤصل لعند مين لعند
Xn اللي هي إيش بتساوي بتساوي واحد الآن هذا ال
partition اخدته arbitrarily اللي هو partition
لفترة L عندي الآن بدي احسب ال Lof B و F لهذا ال
partition أيش بتساوي حسب اللي عرفناها سابقا بتساوي
ال summation لل M K في X K minus X K minus واحد K
من عند واحد لعند مين لعند اللي هي N ويساوي الآن ال
M K عرفناها ال M K هي عبارة عن ال infimum لقيمة ال
function F of X حيث X تنتمي إلى الفترة X K minus
واحد لعند X K طبعا اللي هي F of X معرفة على
أساسيها يا إما واحد يا إما سفر حسب إنها تكون
rational أو إيش ال rational يعني ال function F
أصلا اللي هي قيمتين بس إذا الآن ال infimum لل F of
X عندها يا هيكون واحد يا هيكون سفر ليش؟ لأن أصلا
الفترة هذه فيها أي فترة subinterval xk-1xk فيها
rational وirrational إذا قيمة ال up of x في الفترة
هتلاقي عند قيم واحد هتلاقي أكيد عند قيم أش بتساوي
بساوي سفر إذا ال infimum في هذه الحالة هو عبارة عن
إيش يساوي سفر إذا ال summation ل 0 في xk-xk-1 كامل
عند واحد عند أنه طبيعي هذا بديهي إيش هيساوي بساوي
سفر إذن الآن L of F بي و F ساوة سفر فور أي بورتيشن
بيه إذا ال L of F اللي هي عبارة عن الأو الـ
Supremum الـ Supremum لكل الـ L of B و F Such that
B element in the set of all partitions اللي هو B
هو هيكون الـ .. الـ Supremum اللي هيكون صفر لأن كل
اللي هيكون أصلا إيش بتنطلع .. بتنطلع بساوي صفر إذا
هذا إيش هيساوي يا شباب؟ هو يساوي Zero إذا طلع عندي
الـ lower sum بساوي 0 الآن بدي أحسب لكم مين أحسب لكم
الـ upper sum سامحوني أكتب هنا بس عشان اللي يبقى
كله مكتوب عندي نوجد الـ upper sum الـ upper sum اللي
هي الـ UPUF بساوي summation للـ n K capital في XK
minus XK minus واحد K من عند واحد لعند الـ n الآن
هذا بيساوي الـ Mk زي ما قلنا قبل هيك الـ Mk بدل ما
هي الـ M في مميزة استعريفها الـ Mk بتساوي الـ
supremum لهذه الـ 6 وزي ما قلنا الـ 6 هذه في داخلها
يا واحد يا زيرو نظرا لأن اللي هو أي sub interval
هيكون فيها rational و irrational وتبعا لها هيكون
قيمة الـ function في داخلها واحد أو صفر واحنا بنبحث
عن الـ supremum إذا هيكون الـ supremum في كل الأحوال
الـ Mk بتساوي واحد مضروبة في xk-xk-1 k من عند 1 لعند
n نفردها هذه ويساوي اللي هنبصير k من عند 1 يعني x1
-x0 زائد x2-x1 زائد إلى آخر لما أصل لعند xn-1 ناقص xn
ناقص واحد طبعا واضح إنه عندي الـ x واحد هت cancel مع
ناقص x واحد و الـ x اتنين مع ناقص x اتنين لما نصل
للاخر هيكون في عندي ات cancel الجميع بس ضل عندي
الـ xn و الـ x note و هد بتساوي xn ناقص x note و
يساوي الـ xn طبعا إيش هي عبارة عن واحد و الـ x note
إيش هي شبه صفر و يساوي واحد ناقص صفر و يساوي واحد
إذا طلع عندي الـ Upper Sum لأي Bar تشمل به، هيتلع
إيش بساوي؟ بساوي واحدة إذا الآن لما بدي أخد الـ U
of F اللي هو Upper Integral هيساوي عبارة عن الـ
Infimum لمين؟ للـ U, B وF such that B element in
the set of all partitions B of I والـ U, B وF
قيمته ثابتة for أي partition بيساوي واحد إذا الـ
infimum لكل اللي هنا عبارة عن برضه إيش بيساوي واحد
صار عندي الآن lower integral و الـ upper integral
have different values واحد بيساوي صفر واحد بيساوي
واحد وبناء عليه بتكون عند اللي هو الـ F is not
Riemann integrable أي سؤال؟ طيب ماشي الحاجة
الآنصار عندي أخذنا مثالين المثال الأول اللي هو
أثبتنا إن off of x بيساوي x is integrable على
الفترة 0 و1 وأثبتناها بواسطة التعريف وأيضا أثبتنا
مثال آخر لـ bounded function أيضا وكانت is not
Riemann integrable اللي هي off of x بيساوي 1 إذا
كانت x rational ويساوي 0 إذا كانت x irrational هذا
اللي هو المثال الثاني الآن نيجي للي هو criterion
مهمة اللي احنا بنسميها اللي هي عبارة عن Riemann
criterion for
integrability احنا طبعا تحدثنا عن الـ Riemann
Integrability كيف نثبت أنه Riemann Integrable عن
طريق التعريف طبعا الآن مش دائما بدنا نثبت عن طريق
التعريف إذا بدنا اللي هو طرق أخرى نحاول اللي هو
نوسع اللي هي إمكانياتنا في الحكم على الدالة إنها
integrable أو مش integrable وهذه الإمكانية الأخرى
غير التعريف هي اللي بنسميها اللي هو الـ Riemann
integrability criterion أو criterion for
integrability نشوف إيش بيقول النظرية
لت I بساوي A وB ولت F من I لـ R بيـ bounded نفترض
أن F عبارة عن إيه إيش مالها يا جماعة؟ bounded function
then F is integrable on I if and only if for each
epsilon أكبر من 0 there exists a partition B
epsilon of I such that U B epsilon ناقص الـ L B
epsilon إيش إيش ماله أصغر من اللي هو إبسلون إذن اللي
هو واضح إنه عندي فصار فيه test لل integrability أو
اللي هو طريقة للحكم على ال integrability أخرى غير
التعريف اللي هو بتقول F is integrable
if and only if طبعا هذه لمين الـ F؟ F عبارة عن زي
ما أنتم عارفين bounded function لأن كل شغلنا
أصلا على اللي هو Riemann integrability أنه نفترض
أنه الـ F bounded عشان اللي هو تكون الـ supremum و
الـ infimum اللي مبني عليها التعريف تكون مضمون إنها
موجودة عشان هيك بنحكي أن F is bounded function طيب
إذا الـ F is integrable if and only if اللي هي لكل
إبسلون أكبر من 0 there exists a partition P إبسلون
هذا الـ P اللي هو الـ partition يعتمد عالميا على
إبسلون لكل إبسلون بالله دي partition P إبسلون لمين
الـ partition طبعا للـ interval اللي عندنا اللي هي I
there exists P إبسلون a partition of I such that
الـ U P إبسلون و الـ F ناقص الـ L بي إبسلون و
F يكون أصغر من مين من إبسلون الآن إذا كان لجينا
لكل إبسلون لجينا بي إبسلون بحيث هذا يتحقق معناته F
is integrable and conversely if F is integrable
أكيد لكل إبسلون هلجي بي إبسلون بحيث أن هذا يتحقق
خلونا نيجي الآن نبرهن و نشوف كيف بدنا نبرهن
نظريتنا الآن بدنا نفترض أن F إيش ماله is
integrable ونصل منها للي عايزينه اللي هي الـ partition
اللي مذكور مدام F is integrable إذا كانت .. الآن
بنقول suppose that F is integrable مدام integrable
يا شباب أكيد عند اللي هو الـ U of F بساوي L of
إيش؟ Of F، مظبوط؟ أكيد الـ L of .. الـ U of F
بساوي الـ L of F إيش اللي بيدل عليه؟ بيدل عليه لأي
إبسلون أكبر من صفر بدلجي بإبسلون، شوفوا كيف
بنلجيه، الآن نفترض إن إبسلون let إبسلون أكبر من
صفر be given، ماشي الحال عندي الـ U of F هو إيش يا
شباب؟ هو عبارة عن الـ infimum للـ L of B و F such
that B element in B of I، مظبوط؟ إذا الـ U of F
عبارة عن infimum يعني هو عبارة عن greatest lower
bound لو هذا الـ greatest lower bound ضفنا إليه أي
كمية هيبطل الـ lower bound لأن هو أصلا إيش اسمه
greatest lower bound إذا لو الـU of F ضفت له Y على
2 مثلا طبعا هذا المقدار هيبطل الـ lower bound إيش
معناته بطل الـ lower bound؟ يعني بمعنى آخر هيكون في
عندي إشي أصغر منه هيكون عندي أصغر من الـ U of F أو بي
واحد مثلا و F for some B واحد إذا لما نشيل
من الـ infimum إبسلون
على اتنين هيبطل هذا lower bound يعني بمعنى آخر
هلاقي اللي هو lower bound
عند الـ Y أكبر من 0 خلّيني أبدأ لت Y أكبر من 0 بي
given إذا عندي الآن بدي أثبت لك بدي أجيب لك
partition بيبسلون بحيث إنه هذا ناقص هذا يكون أصغر
من مين من إبسلون شوف كيف بدي أعمل الآن أنا عندي الـ
U of F إيش بيساوي يا جماعة الـ U of F بيساوي الـ
infimum للـ L بيقف ب element I طيب الـ U of F آسف يا
جماعة الـ U of F بيساوي الـ infimum لمين للـ U بيقف
ماشي الحال الآن إيش معناه إنه هذا infimum معناته
هذا هو عبارة عن الـ greatest lower bound مدام الـ
greatest lower bound إذا الـ lower bound هذا أو الـ
Greatest Lower Bound لو ضفت له أي رقم إبسلون على
اتنين مثلا بالذنب إبسلون على اتنين الـ game
بتعرفوا ليش إبسلون على اتنين يعني لو ضفت له أي رقم
بيبطل Lower Bound إيش معناته بيبطل Lower Bound
يعني هيصير هذا أكبر من الـ UB 1 of F for some B
واحدة لأنه بطل إيش ماله هذا بطل lower bound بطل يكون
أصغر من الكل من هان يعني هلاجي واحد من هان هو مش
أصغر منه أو بمعنى آخر U, P, 1 و F أصغر من اللي هو
هذا المقدر طيب similarly الـ L of F هي عبارة عن الـ
supremum للـ L, P و F such that P elemented P of I
بنفس الطريقة يا جماعة الـ L of F هي عبارة عن إيش الـ
least upper bound يعني هذا لو least upper bound
Upper bound لو كان أصغر و أحد لو هذا least upper
bound راحت منه عدد ولو صغير جدا وليكن إبسلون على
اتنين هيبطل هذا عبارة عن upper bound يعني هلاقي
واحد من اللي هان اللي هو L of B2 وF مثلا أكبر منه
لأنه هيبطل هذا إيش ماله upper bound لأنه هو الـ least
لما طلعت منه بطل من الـ upper bounds يعني لجيت واحد
من هذول أكبر منه إذا صار في عندي اللي هو لجيت بي
واحد بحقق الأولى و بيتنين بحقق التانية لأن خذ الآن
خذ لي بي إبسلون هذا اللي بديها هذا يحقق اللي اللي
بديها خذ بي إبسلون إيش بيساوي الـ بي واحد اللي لجيته
هنا اتحاد الـ B2 اللي لجيته هان اتحاد مين؟ B2 صار
عندي .. صار عندي الآن مع بعض خليني أمسح فأقوم،
مهمش؟
صار
عندي ما يليه؟ صار عندي الآن L of F ناقص
Y على 2 أصغر من L of B2 F، اللي هو أكيد أصغر أو
يساوي L of By، قُطف، ليش؟ لأن الـBy يا جماعة عبارة
عن refinement للـB2 والـlower لما يصير فيه تحسين
بكبُر، بروح نحو اتجاه نيل اللي هو المنحنة التالية
مساحة تحت المنحنة الكلية لأن أيضا لو جيت قولت الـU
of F زاد إبسلون على اتنين هتلاقيها أكبر من ال U B
واحد و F، وأكيد عندي الـ U of F زائد إبسلون عدنان
أكبر من الـ U B1 of F، هيكون هذا أكبر أو يساوي الـ
U B epsilon of F، لأن الـ B epsilon refinement لمين
برضه؟ للـ B1، بزام refinement، إذن اللي هو التحسين
بيزغَر القبُر وبروح ناحية اللي هو المنحنة، إذن الآن
من الـ tip 2 هذولة، واجدنا طبعا احنا تنسوش ان احنا
مفترضين من رأس الدول ان U of F is integrable، يعني
مفترضين ان ال L of F ايش بتساوي U of F، تنسواش هذه
ليه جيت تنتر مع بعض دول بيصير عندى، الحصل على L of F
ناقص Y على 2، اللي هو اصغر من Lof B, Epsilon و F
والـ L والـ U of F زائد Epsilon على 2 أكبر من U,
B, Epsilon و F، أنا إيش غرضي؟ غرضي أثبت إن U, B,
Epsilon و F ناقص L, B, Epsilon و F أصغر من Epsilon
يلا إترحل من بعض، إذا بيصير عندي، بتحصل البدكية
بيصير عندي الآن، بطرح حياة دي، بقول U, B, Epsilon و
F، ناقص لأنه لما نضرب هذا في ناقص هتنعكس يعني هتصير
هذه يا جماعة ناقص وهذه زائد وهذه هتنعكس هيك وهيصير
الاش ناقص بيصير عندي U B و F ناقص ال L B و F، هيصير
أصغر من مين؟ من ناقص L of F، ناخد هذا قبل زي ما احنا
مرتبينها، U of F زائد ي على 2 ناقص L of F زي إبسلون
على 2 وطبعا إحنا جايلين إن F is integrable يعني
الـ U of F بيساوي L of F، إذا هذي بتروح مع هذي بظل
ايه شماله؟ بظل إبسلون، إذا إحنا لكل إبسلون أكبر من
صفر لجينا بـ بي إبسلون، هي في الواقع بي إبسلون اللي
لجيناها بـ بي واحد اتحاد بي اتنين، حيث بي واحد اللي
لجيناها هان، والـ بي اتنين اللي لجيناها هان such that U
P Y of F نقص L P Y of F أصغر من اللي هو Epsilon
وهو المطلوب، أي سؤال؟ طيب، ماشي يا شباب، الآن خلصنا
الجزء الأول من النظرية، أثبتنا اللي بدنا يا انه اللي
هو هذه العلاقة صحيحة، لأننا نفترض انه suppose that
star holds، اللي هي star، ليه هذه؟ نفترض ان لكل
epsilon أكبر من 0 there exists B of epsilon such
that U B Epsilon و F نقصها دي أصغر من Epsilon و
بدنا نصل من خلالها لإيش؟ لأن ال F is integrable
فنشوف
البرهان بسيط، لو طلعنا عليه مباشرة على اللوح الآن
بدنا نفترض أن هذه تتحقق، اللي هو نفترض أنه لكل ي
أكبر من 0 يوجد بي إبسلون بحيث أن هذا اللي هي تتحقق
عشان أصل بدي أصلكم في النهاية أن L of F هي إيش
بتساوي U of F، شوف كيف بده يصلها، اللي هبدأ أقوللك اللي
هو نفترض انه زي ما قلنا انه star holds اللي حكينا
عنها، لأن for any partition B هيكون ال L B of F
أصغر أو يساوي L of F، و ال U of F أصغر أو يساوي مين؟ ال U
B of F، واضح؟ إذا أصار عيدي الآن L، يمكن أوضحلكم على
اللوح، L of B of F ده ال B أي partition أصغر، مظبوط؟
أو يساوي ال L of F، لانه ال L of F يا جماعة
هو ال supremum اللي هنا، و ال U بيقف
أكبر أو يساوي ال U of F، لانه ال U of F يا جماعة
هو عبارة عن مين؟ عبارة عن ال infimum، إترحولي الجهة
التانية، هذا طبعا لكل مين؟ لكل ال partitions اللي في
الدنيا، من ضمنهم ال P Epsilon اللي احنا ما عطينايا
في الـ .. اللي هو نص النظرية، إذا بسيري عندى لأن لو
اجيب طرحة ال U F ناقص L F، ال U F ناقص L F هيصير إيش
ماله يا جماعة؟ يعني طريقة رحلة من هذه بيصير أصغر
أو يساوي لإن هذه بتضربها في ناقص و هذه ناقص و
بتنقلب زي ما عملنا قبل و شوية بيصير أصغر أو يساوي
U P of F ناقص ال L B of F، هذا الكلام صحيح لإيش؟ لكل
partition في الدنيا من ضمنها المين؟ ال partition
المواطع لنا، يعني حيصير عند هذا ينطبق برضه على ال
بي إبسلون، إذا صار هذا أصغر يسوي بي إبسلون نقص ال
بي إبسلون of F، طيب هم يعطيين إن هذا المقدار إيش
ماله؟ أصغر من إبسلون لأي إبسلون في الدنياهو أنا
بعرف أن هذا المقدار نفسه أكبر أو يساوي إيش؟ صفر، صار
عندي الآن ال U of F ناقص ال L of F دايما أصغر من
إبسلون و أكبر أو يساوي صفر لكل إبسلون أكبر من صفر
إذا على طول من نظرية في تحليل واحد هيكون هذا اللى
عندي إذا U of F ناقص L of F بيساوي صفر، إذا U of F
بيساوي L of F وهذا يعني F is a Riemann Integral هو
المطلوب بيكون احنا هيك أثبتنا اللي هو Integrable
criterion أو اللي هو طريقة لتحديد اللي هو ال
function is integrable أو لا، غير اللي هو طريقة
التعريف، الآن في عند كورولاري بعدها، كورولاري
الكورولاري
هي تقول كما يلي الآن، بدنا نترجم الحديث بدل ما كان
بإبسلون نحكي عن مين؟ عن اللي هو sequence of
partitions، طبعا هو هذا معهود التحويل في نظريات
مشابهة في حتى في كورسات أخرى، خلّينا نشوف عندنا
اللي هو النظرية ايش بـ .. أو الكورلري ايش بتقول
بتقول let I بساوة A و B and let F من I لR be a
bounded function، لأن لو فرضنا بي أن أن element none
is a sequence of partitions of I بحيث أن ال limit
هذا بيساوي صفر، then f is integrable and ال limit
لل integration بيساوي ال integration، بيساوي ال
limit، ال أسف، ال limit لل lower p and f بيساوي ال
limit لل upper p and f اللي هو بيساوي قيمة ال
integration، حتى ال converse يا جماعة اللي هو اللي قبل
بشوية اللي كان .. اللي هي كانت F اندولي F لأن لو
كانت F is integrable، أكيد هلاقي sequence من
partitions بحيث أنه ال limit اللي حاصل الطرح بساوي
صفر، اللي هو البرهان مشابه لإي اللي حكيناه فيه اللي
هو برهان إيجاد الـ B epsilon ولكن هنا بنجد اللي هو
الـ Epsilon بساوية واحد، لأن فبنلاقي اللي هو ال
sequence هذه في ال corollary .. في من مشابه .. شيء
مشابه في برهان النظرية الأولى اللي قبل بشوية و
ياريت تجربوها عندكم، خلينا ناخد اللي .. اللي موجود
حاليا اللي هو الاتجاه هذا، إن لو لجينا sequence of
partitions وكان ال limit لل U P N و F نقص ال L P N و
F بساوة صفر، إذا هتكون F is integrable و هتكون ال
limit للأولى بساوة limit للثانية بساوة قيمة ال
integration
عندما أعطيني limit هذا إيش بساوي؟ صفر، خلّينا ندخل
على التعريف مباشرة، تعريف ال limit، بتعرفوا تعريف ال
limit يا شباب؟ اللي هو لكل إبسلون أكبر من صفر
there exist k such that لكل أن أكبر سوى k بيصير
هذا ناقص هذا أصغر من مين؟ من اللي هو إبسلون، وهذا
على طول يعطينا as integral، خلّيش تشوف أيش اللي
بيقوله، لأن since عند ما أعطيني limit U P N و F ناقص
ال L P N و F as N goes to infinity بساوة صفر، مظبوط؟
هي كل ما أعطينيها نجي للتعريف، إذا تعريف ال
sequence عادية for every epsilon أكبر من صفر there
exists K element in N such that for every N أكبر
سوى K اللي هو عندي ال U P N و F ناقص L P N و F أصغر من
إبسلون، إذا مش لجينا بارتشن واحد لجينا بارتشن بك و
بك زائد واحد و بك زائد اتنين و بك زائد تلاتة كلهم
بسبب إن ال UBK أو ال UBK زائد واحد أو الاخره ناقص
القللها أصغر من 100 من إبسلون، إذا ال criterion
اللي في الكورولاريت حققت، إذا صارت عندي هذه إذا F
is integrable، يعني مش بي إبسلون واحد اللي جينا لأ
من عند بك وطالع كل ال partitions هذه اللي هي بك و
بك زائد واحد و بك زائد اتنين بتعمل عمل ال بي
إبسلون اللي في وين؟ في النظرية، إذا ال F أشمالها
صارت ال F عبارة عن Integrable من النظرية السابقة
الآن الدور دل ان نثبت مين؟ ان ال limit لل اللي هو
هذا المقدار هو limit لهذا المقدار، بساوي إيش؟ اللي
جوا طبعا، هو لو كانت يا جماعة limit هذا نقص هذا صفر
مش معناته ال limit الأول و limit الثاني exist، هاي
مثلا هذه لو كانت هذه un تربيع وهذه un، unterm .. آسف
un تربيع و un تربيع أو un و un، limit un نقص un على
طول صفر، لكن لا limit الأولى عدد ولا limit الثاني
عدد، اتنين اتين بيروحين إلى مالا نهاية، فالان لكن في
هذه الحالة نظرا للمعطيات اللي موجودة و اللي هي
طبيعي اللي هو اللي بنحكي فيه NuF is bounded و ببو
و الاخره، هو استخدام السابق هيطلع عندي فعلا ال
limit لل lower بيساوي limit للأبر بيساوي قيمة ال
integration ماشي اطلعوا يا جماعة عندي الآن خليني
أطلع .. نحط البرهان أمامنا، بدي الآن خلصت اللي هو F
is integrable بدي أستخدم زي جابل بشوية بالظبط اللي
هو تعريف الـ L of F و U of F وإيش تعريفها ذا ما
بديش أعيد اللي حكيته قبل بشوية، الآن بما أن الـ L of
F عبارة عن اللي هي supremum للـ L B of F، إذا لكل
ي ساوي واحدة لأن there exists B N partition of I
such that L of F ناقص 1 لأن أصغر من مين؟ من الـ L B
N of F زي ما قلت قبل شوية، لو الـ Supremum طرحنا
اللي هي الـ Least Upper Bound، طرحنا منه أي عدد، 1
على N، إذا هلاجي، هي بطل إيش ماله؟ Upper Bound، إيش
معناه يبطل Upper Bound؟ هيلاجي واحد من المجموعة
أكبر منه، وهذا فعلا اللي لاجينا BN بحيث أن الـ BN
و F أكبر من الـ F ناقص 1 لأن، الآن من هذا .. من
.. من .. من ال .. ال .. ال .. ناخذ هذا على الطرف
الثاني على الطرف هنا، و ناخذ هذا على الطرف هذا بصير
عندي L of F ناقص Lb of F أصغر من 1 الآن وأنا
بعرف أن هذا دايما أكبر يساوي هذا لأن هذا الـ
supremum منهم، إذا أنا هيكون أكبر يساوي صفر، الآن
خدوا الـ limit للجهتين as n goes to infinity بيصير
عندي هذا اللي هي limit
لـ L بيقل نوف أف، حيث الـ L أوف أف لإنه حيثير الـ
limit هذا أيش بيساوي؟ بيساوي صفر، واضحالان يا جماعة
عندي الـ L of F ناقص الـ P L of F أصغر من 1 لأنه
أكبر يساوي صفر لأن معله، الآن هذا لكل إبسلون اللي هو
1 لأن لجينا partition يعني للإبسلون بيساوي
1، لجينا بيه 1، للإبسلون بيساوي 2 بيه
2، للإبسلون 3 بيه 3 إذا صار عندي
sequence of اللي هي إيش partitions الآن طلع عندي
دائما دائما دائما L of F ناقص الـ PN of F أصغر من
1 على N لكل N، الآن as N goes to infinity هذا الـ
limit هيصير صفر، وهذا صفر، إذا هيصير limit هذا as N
goes to infinity بيساوي صفر لكن الـ L of F أصلا
independent of N إذا هيصير limit PN of F as N goes
to infinity بيساوي L of F لأن المواضحات لوش يا شباب
limit L of F ناقص L B N و F هيساوي 0 as N goes to
infinity وهذا المقدار عبارة عن مقدار ثابت
independent of N إذا هيصير عندي limit L B N و F
بتساوي limit L of F ناقص
L of P L و F زائد L of F مظبوط؟ طيب هذا الآن
المقدار معروف أنه بيساوي 0 وهذا ثابت إذا بقدر أوزع
الـ limit على الجهتين وأنا مرتاح، إذا بيساوي limit
الأول اللي هو 0 زائد limit الثاني نفسه لأنه ثابت
إذا صار عندي limit L P N of F as N goes to
infinity بيساوي L of F كما هو حكينا عنه حقا، من جهة
أخرى limit الـ U ناقص limit الـ L المعطيلة هي بيساوي
0، إذا صار عندي سهل أن أوجد mean برضه limit الـ U
اللي هو limit الـ U إيش هيساوي؟ ناقص اللي هو .. الـ
.. ال .. هيساوي limit الـ L of F، يساوي الـ U of F
يساوي ال integration أكثر توضيحاً، and بيهاجدى
أعتقد أنه واضح، لكن خلينا نوضحه بشكل أكبر عشان
ما يضلش مشي عندي limit U P N of F إيش هيساوي؟ هيساوي
اللي هو limit U
P N of F
limit U P N و F ناقص
L of P N of F زائد L P N of F واضحة يا شباب أه؟
الآن هذا مضمون أنه موجود وصفر وهذا مضمون و
أثبتناه، إيش بيساوي؟ L of F إذا إيش صار بيساوي؟
بيساوي اللي هو هذا صفر، إذا صار بيساوي أقل و فأف
إذا صار هذا برضه بيساوي أقل و فأف، لكن أنا مثبت قبل
بشوية أن الـ F is integrable يعني الـ U في F إيش
هتساوي؟ اللي أقل و فأف، وهذه أثبتناها إيش بتساوي؟
limit U P N و F وهذه نفسها أثبتناها قبل بشوية إيش
بتساوي؟ limit L P N و F وهو المطلوب طبعاً، مدام
integration هذه، وهذه هي عبارة عن ال integration
على الفترة اللي بنحكي عنها، الإنقلا بيه لقيمة الـ F
لأن صار عندي كل القيام هذه متساوية، وصار عندي إيجاد
الـ limit للـ U P N و F أو limit للـ L P N و F يكفي
أنه نوجد فيه قيمة الـ integration بعد ما أثبتناه أو
تحت الظروف اللي هي في الكورو الأخرى، لأ نيجي بدنا
نبرهن اللي هو المثال اللي برهناه المرة الماضية
بالتعريف بدنا نبرهنه بواسطة اللي هي الـ corollary
اللي عندنا بدنا نبرهن اللي هو اللي هي نثبت أنه
نثبت أن F of X بساوة X يا شباب عبارة عن Integrable
أو اللي سمناها G of X بساوة X is Integrable على
الفترة Zero واحد، المرة الماضية أثبتناها كيف؟
أثبتناها زي ما أنتم متذكرين بواسط التعريف، مظبوط؟
طيب جيبنا اللي هو الـ upper sum والـ lower sum و
بعدين جيبنا الـ upper integral والـ lower integral
و أثبتنا أن الـ upper integral بساوي الـ lower
integral وخلصناه، الآن بدنا نثبتها بطريقتنا اللي هي
على الكورولر اللي جابل بشوية عند g of x ساوة x على
الفترة 0 بواحد، هي المطلوب إثباتها show that g is
integrable على هذه الفترة، الآن بديش أعيد اللي
حكيته المرة الماضية، اللي حكيناه المرة الماضية، من
الـ Example اللي أثبتنا فيه إنها Integra بالبواسطة
اللي هي التعريف أخدنا P N اللي هو صفر واحد على N
واثنين على N، وان ناقص 1 على N لعند الواحد، أخدنا
اللي هو عبارة عن Any Partition اللي هو بالطريقة
اللي أمامي، يعني حسب N بيصير بختلف الـ Partition أما
إيش فكرة الـ Partition زي ما قلنا المرة الفائتة من
0 لعند 1 جزأناها إلى أجزاء متساوية إلى N من
الأجزاء المتساوية صار طول كل sub integral عبارة عن
إيه؟ إيش عبارة عن 1 على N، وأوجدنا في حينه اللي هو
الـ U P N O G ولاجناها بتساوي إيه ده؟ بتتذكروا نص في
1 زائد 1 على N، وأوجدنا برضه الـ P N O G
ولاجناها عبارة عن نص في 1 ناقص 1 على N كما
أذكر ماشي الحال فعلاً طيب، الآن صار عندي الـ PN في
الواقع عبارة عن sequence of partitions
هذه صارت sequence of partitions، بواحد بتعود عن أنا
بواحد، باتنين كده، بتلاتة كده، بأربعة كده، وفي كل
الأحوال الـ U, B, N و G انحروا لهيها، والـ L, B, N
و G بساوي إيش المقدار الأمامي؟ الآن عشان أثبت إنها
integrable يكفي من النظرية الكورولاري إن قاعد أقول
طب خلينا نشوف limit الـ U, B, N و G ناقص الـ L, B,
N و G as n goes to infinity بساوة إيه يا عشان بساوة
صفر نشوفها صح ولا لأ؟ طبعاً أكيد مع حسبة بسيطة
احسبليها بساوة limit نص في 1 زيادة 1 لأن زيادة
نص في 1 ناقص 1 لأن as n goes to infinity
هذه صفر وهذه صفر وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص
وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص
وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص
وهذه اللي هو y ساوي نص ناقص النص، y ساوي صفر واضح أهي
عندي اللي هو هاد صفر وهاد صفر ونص ناقص النص، y
ساوي صفر، مادام صفر إذا إيه شمالها؟ إذا the function
d of x ساوي x is integrable on zero واحد هذا by
mean by الـ corollary اللي قبل بشوية
الآن قيمة الـ integration إيش هيكون؟ قيمة الـ limit
limit u, b, n, g هيقدر الغرض، و limit l of n of g
هيقدر الغرض ليش؟ لأن limit هذا أصلاً هيطلع لك limit
الـ u, b, n و g هو عبارة عن قيمة integration من A لـ
B حسب النظرية الـ Corollary ويساوي limit 2.5 في 1
زائد 1 ل N ويساوي هذا تروح لـ 0، ويساوي نص، وأيضاً
لو جربت حسب تاب limit الـ b, n و g طبعاً هيطلع نفس
الجواب، وإلا إن كان هناك مشكلة لدينا limit نص في
1 ناقص 1 على n ويساوي برضه جدياش نص؟ إذن
قيمة الـ integration بساوة نص، إذن هذه طريقة أخرى
لحساب اللي هو أو لإثبات أن g of x بساوة x is
integrable الآن بدنا ندخل على أمر آخر، الأمر هو في
الواقع يا شباب أنه بدنا نشوف إيش في من عائلات
الدوال، عائلات الدوال إنها تكون Integrable الآن
بدنا نيجي نحوش الدوال الـ Integrable إحنا عرفنا بس
ده لأ D of X سو X is Integrable وهنلاقي زيها لكن
الآن بدنا نيجي نحكي عن دوال اللي هو عائلات من
الدوال، الأول عائلة من العائلات المهمة اللي هي الـ
monotone functions يعني الدوال اللي بتكون يا
increasing على كل الفترة يا decreasing على كل
الفترة، بقول لكم هذا على اللي هي F من F الـ function
لو كانت bounded لو كانت monotone على اللي هي
على طول integrable إذن closed bounded interval I
عيلة كبيرة عيلة الدوال اللي بتكون يا increasing يا
decreasing على كل الفترة a و b هذه مضمون أن تكون
الدوال ايه شمالها عبارة عن integrable functions
إذا أول إعلان الآن اللي هو any monotone function on
a closed bounded interval is integrable وهذا اللي
هو عنواننا integrability of monotone functions لـ I
بتساوي A و B و لـ F من I لـ R بيكون مونوتون فانكشن
on I ثم F أشمالها is integrable on I نفترض أن F
انتقل هو مونوتور نصل إليها integrable نفترض أن F
مثلا increasing ونصل إنها integrable و similarly
وفعلا similarly لو كانت f is decreasing هتكون برضه
is integrable خلينا مع بعض شباب نفترض suppose
that f is increasing يعني الدالة على الفترة هي a
و b مثلا والدالة هتكون أشمالها تزايدية يا هيك يا هيك
طبعا حسب مش مشكلة بتفرج أشمالها ماشي الحال اللي هي
الدالة أشمالها is increasing is increasing بتدخل
الآن بي أن اللي هو عبارة عن any partition اللي هو
بس بدي أجزه زي منهج اللي عملته معه اللي هو f of x
بساوي x اللي قبله شوية بدي أجزه إلى أجزاء متساوية
يعني بدي أجز الفقرة a و b إلى أجزاء متساوية الأولى
بدي أسميها x note اللي بعدها x1 اللي بعدها x2 لما
أصل لآخر 11 أسميها xn ونكون طول كل واحدة متساوية
للثانية إذا الآن إذا بدي أجزئها إلى N إلى N من ال
sub intervals بيصير طول كل فترة عبارة عن B minus A
على مين؟ على N طول الفترة على عدد الفترات اللي
بتديها أنا بدّي الفترات إيش عددها؟ N فبيصير عند بي
ماينس إيه على مين على N هذا طول الفترة يعني الفترة
النموذجية لأي K X K minus X K minus واحد هيتمكن
طولها عبارة عن بي ماينس إيه على N for every K كيه
طبعا إيه أشمالها؟ يا ما بيساوي Zero يا واحد، لعند
ماصل، لعند مين؟ لعند N أو K بيساوي واحد لعند N
xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n
-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n
-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n لأ لو جينا هذا increasing
مدام increasing إذن الـ Mk اللي هي عبارة عن ال
supremum اللي هنا supremum لهذه Mk ال supremum
اللي هنا هيكون على أخر واحدة لأن أجملها ده لا is
increasing إذن هيكون ال Mk هو F of XK رسم عنها
بساوي F of X K طيب ال M K Small أكيد هيقولنا كلكم
هتقوله بتساوي ال M في معمع الفترة مدام ال M في
معمع الفترة إذا أول واحدة فيهم إذا هو F of X K
minus واحد، مظبوط شباب؟ طيب، مظبوط هذه اللي هي
مالها الدالة اللي بتكون monotone عندي،
احسبلي الآن ال U P N و F نقص الـ BNOF إيش هيساوي؟
جهزة الأمور بساوي الـ summation لمين؟ للـ MK
Capital في XK نقص XK minus واحدك من عند 1 لعند n
نقص summation mk في xk minus xk minus 1 k من عند 1
لعند n ويساوي الـ Mk وجدناها، اللي هي عبارة عن مين؟
F of Xk ويساوي الـ summation للـ F of Xk في مين
مضروبة؟ في هذه، هذه كده طولها ثابت، ما احنا هيك
على هذا الأساس إذا اخترنا الـ sequence of
partitions اللي عندنا، اللي هو طوالث في
subintervals ثابتة، كل واحد اسمه يشمله B minus A
على N، هذا K من واحد إن عندنا ناقص خليني أضعه في
summation 1 ناقص نفس القصة اللي هي m k small إيش
هي يا جماعة اتفاقنا عبارة عن f of x k minus 1 في
هذه خليني أخدها عامل مشترك بعد إذنكم لإن هو
موجودة هنا وموجودة هنا خليني أطلّحها برا واضحة
أشيل هذه برا بيصير اللي هو مضروبة في b minus a على
و أصلا هذه ثابتة بالنسبة لل summation ليش؟ لأن ال
summation العداد K من واحد عندنا أن هذه N ثابتة
بالنسبة لل K لذلك بتساوي B minus A على N مضروبة في
مين في ال summation للـ f of x k minus f of x k
minus واحد k من عند واحد لعند مين يا جماعة لعند ان
بعدين the is and could بدي أفرطها هذه بيصير عندي y
ساوي هذا اللي هو مين كله اللي جاعت بحسبه ال u,b,n
و f ناقص ال b,n و f هيسوي هذا المقدار اللي هو b
minus a على المضروب فيه الآن ال summation عبارة عن
k ب 1 بصير f of x 1 ناقص f of x naught اللي بعدها
k ب 2 زائد f of x 2 ناقص f of x 1 اللي بعدها زائد
f of x 3 ناقص f of x 2 لما نقضى اللي ماشي لأخر
واحد بكون عندي f of x n ناقص f of x n ناقص واحد
F of X1 بيطير مع سالب F of X1 و F of X2 بيطير مع
سالب F of X2 و هكذا بظل ماشي لما كله يروح مع كله
ما عدا بظل عندي اللي هو أول قيمة اللي هي F of X
note بالسالب مع F of Xn الأخيرة بالموجب بيصير عندي
Y ساوي B minus A على N في F of Xn ناقص F of X0 طبعا
Xn آخر واحدة اللي هي B و X0 أول واحدة اللي هي A
إذن هيساوي هذا عبارة عن B minus A في F of B minus
F of A الكل هذا مجسوم على مين يا جماعة؟ على N هذا
عبارة عن ثابت وهذا عبارة عن ثابت وهذا الآن هي اللي
بدلالتها كُتِب ال partitions إذا صار عندي الآن بعد
كل اللي حكيته هنا أخدت ال بي أن بالشكل اللي أمامي
عبارة عن sequence of partitions ووصلنا إلى ما
لاقيا ليه يا جماعة اللي هو وصلنا أن ال you بي أن و
أف ناقص ال بي أن و أف أصغر أو يساوي طبعا أكيد أكبر
يساوي صفر لأن هذا دايما أكبر يساوي هذا أصغر يساوي
B minus A ف F of B أكيد عرفت أشهد أساوي نقص F of A
على اللي هو N الـ N خد ال limit للجهتين as N goes
to infinity as N goes to infinity هذا goes to zero
وهذا أصلا صفر فبيصير عندي limit إذا .. إذا limit ال
U P N و F ناقص الـ L P N و F as N goes to infinity
بساوي سفر إذا صار عندي sequence of partitions تحقق
لهذا إذا حسب الـ Corollary اللي حكيتها قبل بشوية
إذا F is integrable وهو المطلوب إذا صار عندي أي
increasing function is integrable similarly for
decreasing لماذا similarly لأنه تصبح الدالة بدل ما
هي طالع هيك تصبح أشمالها نازلة نزول الدالة فبصير
عندك اللي هو ال maximum هي الأولى أو ال supremum
هي أف بصير الـ MK بسوء F of XK minus واحد و الـ MK
بسوء F of XK و بيتكاملوا البرهان بنفس الطريقة، هيطلع
عندكم البرهان automatic وبشكل سهل وبشكل سلس،
similar أي سؤال؟ إذن الإعلان اللي أعلنناه قبل
بشوية أنه any monotone function يعني any increasing
function on a closed bounded interval must be
integrable and any decreasing function on a closed
bounded interval برضه must be integrable إذا صار
في عنا عائلة كاملة من الدوال القابلة للتكامل بواسط
التكامل remand الآن بدنا ننتقل إلى عائلة أخرى
وعائلة لا تقل أهمية عن هذه العائلة وعائلة يعني
محبوبة عنها اللي هي اللي
هي عائلة الدوال المتصلة اللي هي integrable of
continuous functions
اللي هي integrability of continuous functions
النظرية بتقول ما يلي لـ أ .. طبعا عندي ال function
على closed bounded interval لـ F من I لـ R be
continuous on I then F is integrable on I إذا الآن
any continuous function on a closed bounded
interval must be integrable كمان مرة any continuous
function on a closed bounded interval must be
integrable طبعا حيزنا في البرهان شغلة اللي هي
أخدناها سابقا أنه Any continuous function on a
closed bounded interval must attain its maximum
and minimum on this interval بمعنى
آخر هنلاقيلو كانت F is continuous على اللي هو الـ
A و الـ B هنلاقي نقطة في داخل الفترة A و B بحيث
أنها تكون الـ F عندها نقطة maximum و هنلاقي نقطة
أخرى في داخل هذه الفترة هنلاقي اللي هي الـ
function عندها أشمالها is minimum طبعا absolute و
absolute نيجي نشوف .. نيجي للبرهان الآن .. نظرية
أخرى أيضا .. برضه خلينا نقولها أن لو كانت F is
continuous على closed bounded interval then F is
uniformly continuous الآن F .. عند F من A و B لعند
R is continuous on A و B continuous عالمين على
closed bounded interval في عندنا نظرية اللي بتقول
any continuous function في الواحد on a closed
bounded interval must be uniformly continuous إذا
then f is uniformly continuous
on a و b ايش يعني uniformly continuous يعني لكل
ابسلون أكبر من صفر there exist دلتا أكبر من صفر
دلتا بس بتعتمد عالميا على ابسلون بتنفع لكل ال X و
ال Y such that if X minus Y أو U ناقص V زي ما هو
مسميها U minus V أصغر من دلتا then F of U ناقص F of
V أصغر من إبسلون لكل UV element in A أو B إذن لكل y
أكبر من 0 there exists Delta دلتا لا بتعتمد
على مين بس على إبسلون في حالة ال continuity
العادية بنقول إحنا limit f of x as x بتروح لل a
بساوي ايش f of a بنقول الآن إنه limit f of x بساوي
f of a as x بتروح لل a لكل إبسلون أكبر من 0 هصب مين
بالـ a هذه there exist دي و لكل a element in a
there exist delta such that اللي لما يكون x minus
a أصغر من delta بيعطينا f of x ناقص f of a أصغر من
إبسلون يعني بيكون الـ delta هنا تعتمد على الإبسلون
وتعتمد على ال a اللي عندها ال continuity لكن في الـ
Uniform Continuous الـ Delta اللي اللي جيت هنا
بتنفع لكل اللي هو ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال ..F is continuous، إذن يُنفرم الـ
continuous، إيش معناته؟ كل إبسلون أكبر من صفر،
there exists دلتا، بحيث إن U minus V أصغر من دلتا
يعطيني F of U ناقص F of V أصغر من إيش، من إبسلون،
وخلّي هذه إيش مالها في الذاكرة، أنا عشان الحسابات
بدي أخليها إبسلون على مين، على B minus A، طول
الفترة اللي أنا بشتغل عليها، هتشوفوا ليش كتبت هيك،
بس لا الحسابات بقدر أه بقدر لإن هو أصغر .. أه بقدر
خليه أصغر من الـ Epsilon في الدنيا من ضمن إن كل
الـ Epsilon عن الـ B minus A لكل الـ Epsilonات
اللي في الدنيا طيب لأن شوف وين بده أروح، بده أروح
لـ Integrability لـ الـ function F الآن خُد n الآن
بدنا نعمل partitions بدنا نجيب sequence of
partitions Bn ال sequence of partitions هذه هي
اللي هتخدمني هتخدمني متى؟ بعد شوية بتشوفوا ليش
هتخدمني لكل الأنات اللي وين ما لإن اللي أكبر من ال
B minus A على مين؟ على ال delta اللي لجيتها إذا
اللي صارت ال delta بين إيديا إذا بقولك الآن choose
N element in N such that ما لها N أكبر من B minus
A على مين على دلتا برضه B minus A عشان الحسبان N
أكبر من B minus A على مين على دلتا يعني الآن أنا
بحكي بحكي عن الأنات اللي بكون أكبر من B minus A
على مين على الدلتا اللي لجيتها فوق عندي في اللي هو
هذا واحد ماشي الحالة الآن بتبدأ أكوّن partitions من
مين؟ من الأمنات هذه الآن بتاخد بيئا اني partitions
اني partitions برضه أشماله with equal اللي هي إيش
sub intervals يعني X نوت و X واحد لعند X ان يعني
طول كل فترة منهم برضه طول .. بتاخد اللي هي كلهم
أشمالين من عند A لعند B يكون إن كل ال sub intervals
جت بعض يعني بمعنى آخر هيكون ال XK minus XK minus
واحد بيساوي B minus A على N طول كل فترة ايش بيساوي
B minus A على عدد الفترات اللي هي N فبكون B minus
A عالميا على N أنا حرّن إنهم ألاقي في النهاية
sequence of partitions BN limit الـ U B N و F ناقص
الـ L B N و F بساوي 0 بيكون F is integrable خلصنا
أنا قاعد اخترت اللي هي sequence of partitions بناء
على الـ Delta اللي لجيتها في ال uniformity و
الأنات اللي أكبر منها و حطيت ال partition اللي هو
بشكل اللي هو تكون ال subintervals كلها لها نفس
الطول طيب
الآن زي ما قلت قبل بشوية negation على الفترة xk و
minus 1 و xk هذا ال sub interval ال function is
continuous عليها لأنها continuous على كل ال
interval a و b مدام continuous عليها إذا it
attains its maximum and its minimum on this
interval أكيد؟ لقد حد كده قبل بشوية إذن بما أن الـ
F is continuously not closed bound in الـ interval
هذه إذن there exist سميها U K و V K element in X K
minus واحد و X K such that F of U K هي ال maximum
على كل هذه ال maximum معناته هي ال supremum of K أو
أيضًا عند الـ VK F of VK هي الـ Minimum على هذه
مضمون موجود قلناها هي طبعًا مدامة Minimum على كل
الفترة إذًا هي الـ Infimum اللي ببحث عنها اليمين
MK على هذه الفترة وها المفتاح أصلا في استخدام الـ
Continuity إن ضمن لوجود نقطة عندها ال maximum في
هذه المنطقة وضمن اللي وجود نقطة هنا ضمن اللي وجود
ال minimum عندها و ال minimum و ال maximum مدام
عند نقاط محددة في الفترة هي هتتلاقى و تنقل هي
عبارة عن ال supremum و ال infimum على ال sub
interval أي سؤال طيب الآن ضال علينا إيش نسوي إن
نحسب الحسابات اللي هو نبدأ في حساباتنا اللي هو نحسب
الـ U و نحسب مين يا جماعة أو نحسب اللي هو ال ال ال
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال
ال ال الت حسبولي
ناقص L, P, N و F طبعا أكيد هذا أكبر يساوي صفر حفظنا
عن غيره هذا أنه أكبر أو يساوي صفر معروف ضل بدي
أحسبهم مع بعض ال summation عبارة عن بساوي
summation اللي هو ال M K صارت من ال M K capital
اللي هي F of U K صح ولا لأ يا جماعة أه صح و ال U K
وين موجودة في هذه الآن في مين؟ في xk minus xk minus
واحد xk minus xk minus واحد كامل عند واحد اللي
عندها انهدمين هي الـ U الآن زيها مين ال L ناقص
summation الآن مين عند ال MK small ال F of VK ال
VK اللي لاجيناها برضه هان اللي هي F of VK مضروبة في
طول الفترة xk-xk-1 كامل عند واحد لعند مين يا جماعة
لعندنا خدولي الآن xk-xk-1 عامل مشترك وطبعا أنا
مفترضها اللي هو وماخدها إلا طول ال intervals أو
sub intervals متساوي يعني طول هذه وطول هذه هو
عبارة عن b-a على n زي النظرية السابقة ويساوي ال
summation لل F of uk ناقص F of vk الكل مضروب في مين
يا جماعة في B-A على N N أو K من عند واحد لعند إيش
لعند N أي سؤال طيب شوفوا الآن اسمحولي بس هنا أشتغل
شوية طيب
طولوا روحكم عندنا خلصنا يعني جربنا إذا صار عندي ال
U, P, N و F عشان تعرفوا أين رايح أنا هي ال U, P, N
و F ناقص ال P, N و F أكبر يساوي الصفر اللي جيته
أصغر يساوي المقدار اللي أمامي الآن خلوني أطلع حد
برا بعد اسمكم هي B- a على n لأنها عبارة عن ثابت في
ال summation f of u,k ناقص f of v,k كامنة عند واحد
لأنك لاحظوا ما يلي يا جماعة عند ال u,k و ال v,k
وين موجودة في ال x,k minus واحد و ال x,k اه مظبوط
يعني الآن اللي هي طول
طول الفترة طول الفترة xk على جهة دي بس يا شباب
ناقص xk minus واحد طول الفترة لإن هاد صارت هي xk
minus واحد وهي xk ماشي جوات هنا ال mean ال UKو الـ
VK في مكان الماد، التنتين المهم جوا التنتين يعني
المسافة بين اللي برا هدول، حتى لو كان التنتين
زيهن، بكون أصغر أو يساوي المسافة بين التنتين هدول
أصغر أو يساوي المسافة هذه، اللي هو UK ناقص VK،
مظبوط؟ آسف، العكس، أكبر شكرا سامحونا أكبر إيش أو
يساوي صارت المسافة بين الجهتين هدولة أكيد أصغر
أشهر من المسافة الكلية اللي هنا بينهم طيب المسافة
بين هذه وهذه احنا ماخدينها أصلا طول ال interval
إيش بتساوي
على N إذا المسافة هذه أصلا عبارة عن B-A عالمين على
N سامحوني أني بنكتبها هنا إذا صار عندي اللي هو ال
U K ناقص ال V K أصغر أو يساوي B-A عالمين على N إذا
يا شباب راحظولي هنا U K ناقص V K صارت أصغر أو
يساوي B-A عالمين على n واضحة طيب نشوف ايش معناه هذا
الكلام وإيش اللي بتقوله؟ ليش بتقولنا هذا الكلام؟
بقوله عشان الكلام مهم، هذا هو، شوفوا فهمتوه، أنا مختار
الـ n أكبر من مين؟ من b minus a على delta، يعني بمعنى
آخر إيش معنى هذا؟ يعني b minus a على n أصغر من مين؟
من delta، يعني هذا المقدار أصغر من إيش يا جماعة؟ من
delta، صارت الـ U k ناقص الـ V k أصغر من مين؟ من delta
واحنا بنقول أن المقاطع اللي بتحقق فيها الـ U ناقص V
أصغر من delta بكون عندي F of U ناقص F of V أصغر من
مين يا جماعة؟ من Epsilon على B minus A، إذا صارت
عندي المقاطعين هذولة الـ U k ناقص الـ V k اللي أصغر من
delta، إذا أكيد من واحد هيكون عندي F of U k ناقص F of
V k إيش هيكون؟ هيكون عبارة عن أصغر من Epsilon على B
minus A، إذا الآن بيحملني أني أقول أن هذا المقدار
اللي عندي، اللي هو طبعا هذا الكبير وهذا الصغير طبعا
على absolute value نفسه بيحملني إن أقول هذا أصغر أو
يساوي B minus A على N مضروب في مين؟ في الـ summation
للـ Epsilon على B minus A، كامن عند واحد لعند مين؟
لعند N، واضح
إذا صار عندي الآن اللي هو اللي أثبته أنه U P N و F
ناقص L P N و F أصغر أو يساوي B minus A على N في
.. خلّيني أوقف وأقولها.. أه.. انتظر.. أعمل لي..
إذا اللي وصلنا له يا جماعة اللي هو أن الـ U P N و F
ناقص الـ L P N و F أكبر يساوي صفر وفي نفس الوقت أصغر
يساوي B Minus A على N في الـ summation للـ Epsilon على
B Minus A اللي هو كامن عند واحد لـ N، يعني هذه قاعدة
عمالها كل مرة بتعد Epsilon على B Minus A كم مرة؟
بتعد N من المرات، إذا حيصير عندي هذا عبارة عن B
Minus A على N واللي بنعد هنا N من القيمة اللي هذه
يعني N في Epsilon على B minus A، الآن B minus A مع
الـ B minus A والـ N مع الـ N، فبيصير أوصلنا احنا إلى
ما يلي، انتبهوا للنتيجة النهائية اللي بتوصّل لي
اللي هو المطلوب، النتيجة اللي وصلت لها إنه إذا U P N
و F ناقص L P N و F أكبر أو يساوي صفر وأصغر من مين؟
من Epsilon لكل Epsilon أكبر من صفر، إذا اللي جوا غصب
عنه، إذا لازم يكون اللي هو لو أخذت الـ limit هيظل
limit الـ U بن لأن هذا أصلا صحيح علميا للإنات
الكبيرة، فلما أخد الـ limit أزنه جوزه infinity بيضل
في الـ safe side، يعني بيضل في اللي بتحقق فيه هذا، إذا
الـ limit U, B, N و F ناقص L, B, N و F هيكون أكبر أو
يساوي صفر وأصغر أو يساوي Epsilon، وهذا الكلام as
n goes to infinity، وهذا الكلام صحيح برضه لمين؟
لكل Epsilon أكبر من صفر، إذا غصب عنها هيكون اللي جوا
limit U P N و F-L P N و F لازم يساوي إيش؟ صفر، as N نقص
infinity، وهذا by corollary اللي قبل بشوية، هيعني إن
F is integrable، Hence, F is integrable، وهكذا
أثبتنا العائلة الثانية من الدوال الـ continuous
function على closed bounded interval is a
continuous function is an integrable function
وهكذا خلصنا الـ section الأول والـ homework هي
اللي موجودة في التلخيص، والمرة القادمة إن شاء الله
إن شاء الله بكون احنا بنبدأ في اللي هي الـ section
اللي بعده اللي هو properties of the Riemann
Integral