بسم الله الرحمن الرحيم هذه المحاضرة الخامسة في
مساق تحليل حقيقه اتنين لطلبة كلية العلوم تخصص
رياضيات في الجامعة الإسلامية بغزا المحاضرة
اليوم هي جزئين الجزء الاول اللي هو عبارة عن
discussion لست واحد اللي هو مناقشة لموضوع اللي هو
derivative او الاشتقاءالجزء الثاني هنكمل اللي هو
الحديث عن 6.2 اللي هو الـ Mean Value Theorem أو
نظرية القيمة المتوسطة هناخذ بعض التطبيقات لنبدأ
الآن اللي هي بالأسئلة اللي احنا طلبناها منكم
تحلوها كواجب المرة الماضية أو التي قبلها وكانت
الأسئلة هي عبارة عن السؤال الرابع والسؤال السابع
والسؤال التاسع و السؤال تلتاشر بالنسبة للسؤال
الثالث اللي هو عبارة عن اللي هي برهان نظرية 613A
وB وهذه البرهين براهين سهلة اللي كانت ال F
differentiableالـ F differentiable والـ Alpha
عبارة عن constant بيعطينا الـ Alpha F برضه is
differentiable و لو كانت الـ F والـ G
differentiable بيعطينا الـ F زائد G is
differentiable و احنا برهننا حالة الضرب و حالة
القسمة و هدول حالات تعتبر سهلة مباشرة على التعريف
لذلك هنبدأ ان شاء الله في الحديث او في حل الأسئلة
على السؤال الرابع اللي هو ببول ماليعندي معطيني F
من R لـ R بي defined by F of X بساوي اللي هو X
تربيع إذا كانت X rational وبساوي سفر إذا كانت X
irrational اثبت إن الـ F الـ differential بالقدر X
بتساوي سفر أو جد اللي هي F prime of 0لاحظ أن الـ
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ
الـ الـ الـFind this value a proof الآن عشان نوجد
اللي هي نثبت أن F prime of 0 موجودة خلّيني ألاحظ
مالي عند ال function اللي هي X تربيع لما X
rational و Zero لما Xاش is irrationalالان بدنا
نتوقع اول اشي اللي هو لانه هتلزمني جاي اللي بعدين
find this value بدنا نتوقع ايش قيمة اللي هو ال
derivative عند الصفر لاحظ انه اللي هو .. اللي ..
اللي لو بدنا نقول انه ال derivative ممكن تكون zero
كون ان off of x صفر او لو بدها تكون و ال
derivative هنا لو قولنا رفل 2xبدو يكون اللي هو لو
بدو يكون اللي عند الـ zero اللي هي F prime بدو في
النهاية تروح ل اللي هيكون برضه قريبة من انه نقول
او نأكد انها صفر عشان هي كالظن الغالب ان F prime
هتكون ايش صفر هذه مجرد تفكيرات الانبدي أثبت لك إنه
فعلًا هي الـ derivative بتساوي 0 كيف بدي أثبتها؟
بدي أثبت لك إنه الـ limit لـ F of X نقص F of 0 على
X minus 0 لما X تروح لـ 0 بتساوي 0 بدي أثبت لك
هيهاالان واضح ان X تقول الى الصفر X تقول الى الصفر
هتمر بال rational وال rational عشان هيك صعب ان انا
اتحدث عن اللي هو ايجاد ال derivative مباشرة من
الان او من ال two branches اللي عندىلا بقدر أخد من
اليمين ولا أخد من اليسار لإنه عندي من اليمين أو من
اليسار هيكون عندي اللي هو قابلت اللي هي الأعداد ال
rational لل rational فعشانك أسلم إشي إنه نستخدم
التعريف في إثبات هذا يعني الآن بدي أثبت هذا الكلام
كيف بدي أثبته؟ بدي أثبت ما يعني بدي أصل لكل إبسلون
أكبر من 0 بدلاج دلتا أكبر من 0 بدلاجية حاجيلك دلتا
بحيث أنه لما يكون ال absolute value ل F of X ناقص
F of Zero على X minus Zero يكون ناقص Zero طبعا
Zero هذي أصغر من إبسلون هذا متى؟ whenever
x-0 أكبر من 0 وأصغر من مين من دلتا هذا اللي بده
أصله أو هذا اللي بده أثبته خلّينا نشوف إذا خلّينا
نشوف كيف بدنا نوجده عشان أثبت إن ال limit هذا
بساوي 0 لاحظ القيمة اللي عندي أول إشي ال absolute
value of f of x ناقص f of 0 على x-0 إيش هتساوي؟
هتساوي اللي هو ال absolute value of of X عندى يا X
تربيع يمين يا سفر خلّينها زي ما هي أول إشي of of X
ناقص of of Zero اللي هو جداش بيساوي Zero لإنه of
of Zero بيساوي Zero لإنه Zero rational على إذن هذا
سفر على X ناقص سفر اللي هو X absolute value هذا
القيمة الآن لاحظ بتساوييا إما اللي هو x تربيع على
x absolute value في حالة x is rational أو بتساوي
اللي هو سفر في حالة x أشمالها is irrational لأن
مقيمة f of x يا x تربيع يا سفر حسب اللي هو كتبناه
حاليًاالآن هذا بالظبط هو عبارة عن الـ absolute
value لل X if X is rational Zero if X is
irrational الآن الصورة وضحت خلّينا نسمي هذا اللي
هو واحدالان حضرت عشان اصل للنهاية اللى هاني كاتبها
هنا واشوف ايش ال delta اللى بتطلع عندى الان بتدعي
مالي for every epsilon أكبر من سفر انا بقول there
exists delta هتساوي من ال epsilon هتجد تشوفوا ليش
there exists delta بساوي epsilon such that if x
minus 0 أكبر من سفره أصغر من delta thenهذا معناته
إيش أن أبسل يوت فيها ال X أكبر من صفر وأصغر من
مين؟ من دلتا إذا اخترت دلتا إيش بتساوي و هي اللي
هتخلص من الموضوع then اللي هو F of X نقص F of Zero
على
X minus Zero هو طبعا نقص الصفر اللي قلنا عنها ال
derivative المتوقع عليا هذه بالظبطاللي فوق هذا هو
اللي فوق طلع إيش عندي هذا بساوي هذا المقدار إذا
كانت X rational و 0 إذا كانت X irrational يعني
بمعنى أخر بساوي absolute value ل X if X is
rational و 0 if X is irrational in both casesاللي
هي إذا كان بساوي absolute value للـ X هيكون أصغر
من Delta اللي انا اخترتها أشملها Epsilon هيكون
أصغر من Epsilon و أيضا هذه متحققة لإن الـ Epsilon
دائما أشملها أكبر من 0 إذا اللي حصلته أنه لكل
Epsilon أكبر من 0 اللي جيت Delta لما يكون هذا أصغر
من Delta بيعطيني هذا أصغر من Epsilon وهذا يعني
hence limitهذا المقدار اللي هو f of x ناقص f of 0
على x minus 0 لما x تروح للصفر بساوية اللي هو
الصفر وهذا هو تعريف من ال f prime عند 0 that is f
prime at 0 بساوية 0 وفي نفس الواجب طبعا أثبتناالـ
existence للـ F prime عند الـ zero أي سؤال طيب
نيجي الآن نشوف السؤال الثاني خلّال السؤال الأربعة
نيجي لسؤال سبعة الان
سؤال سبعة اش اللي بقوله سؤال سبعةاللي بيقوله سؤال
سبعة مالي عندي
suppose
that F من R لR is differentiable at C يعني نفترض
أنه F قبل الاشتقاق عند Cونفترض ان f of c قيمة الـ
function عند c بساوة 0 لان بقول لشهدات ال absolute
value لل f of x اللي هي نسميها d of x is
differentiable at c if and only if a شمالها f
prime of c بتساوة 0 إذا ناخد لك f من R لعند R و
جايلك أن f prime عند c exist معطيكي إياهاأو ومعطيك
اللي هو f of c بتساوي سفر وبقول لي prove that أنه
g of x بساوي ال absolute value لل f of x is
differentiable at c if and only if f prime عند ال
c ايش بتساوي بساوي سفر، مظبوط؟ طيب شوفالان خلينا
افترض اول اشي ان f prime عند c ايش بتساوي سفر نقول
suppose proof suppose
suppose
that f prime at c بتساوي سفر ايش هذا بيعني ان then
limit
F of X ناقص F of C على X minus C لما X تروح للـ C
اللي هو بيساوي سفر لأن هذا تعريف مين F براين
بيساوي سفر و F of C إيش معطنية هو بيساوي سفر لأن
بيساوي limit F of X على X minus C لما X تروح لمين
للـ C مدامة ال limit هذه موجودةإذا ال limit من
اليمين وال limit من اليسار أيش برضه مالها موجودة
ماشي الحال انا الآن غرضي ان او اثبت ان g of x بسبب
absolute value of f of x أيش مالها is
differentiable at c ماشي الان ايش اللي بدي اثبته
بمعنى اخر بدي اثبتلك انه limitالـ G of X ناقص G of
C على X minus C لما X تروح للـ C exist باشي إذا
أثبتوا معناته أثبتتوا إن الـ G is differentiable
at C أو بمعنى آخر بالدثبت limit لـ absolute value
لل F of Xمدلة g of x ناقص ال absolute value of f
of c على x minus c لما x بتروح لل c exist بدي أشوف
هدا لسه exist ولا لأ يعني بدي أثبت اللي هو limit
absolute value of f of x على x minus c as x بتروح
لل c أشماله exist ماشي الحال طيب الآن واضح
عندي من اللي فوق ال limit لل f of x على x minus c
as x بتروح لل c انه ايش بيساوي بيساوي صفر، مظبوط؟
اذا هيكون عندي limit اللي هو limit absolute value
لل limit خليني اكتبها بس في طريقة أخرى الصفر هذا
اللي بدأتبته اه انه existعندي ال absolute value ل
limit f of x على x minus c لما x تروح لل c اللي هو
من اليمين و من اليسار exist، مظبوط؟ واضحة و يساوي
اللي هو limit absolute value لل f of x على x minus
c as absolute valueas X بتروح لمين؟ للـ C باشي
الحال الآن من اليمين ومن اليسار كله هيكون موجود
بناء على هذا أنه موجود خلّيني أخد من اليمين وهنا
من اليمين فبصير هذا عبارة عن limit absolute value
ل F of X على X minus C لما X بتروح ل C من وين؟ من
اليمين يعني هذا المقدارصار موجود وإيش بساوي بساوي
سفر هذا خلّيه لإنه هذا اللي بدنا نصلّه لأن limit
صار عندي معنى آخر limit absolute value of f of x
على x minus c لما x تروح لل c من اليمين بساوي سفر
existلاحظا قاعد رايح لأثبت أن هذا exist ده خد الآن
من وين؟ من اليسار خد لأن احسب similarly عندي سفر
بساوي absolute value of limit f of x على x minus c
لما x تروح ل c من وين؟ من اليسار ويساوي عبارة عن
limit absolute value of f of x على absolute value
of x minus c لما x تروح ل c من وين؟ من اليسارهذه
نفسها بساوي limit أو بساوي سالب limit f of x
absolute value على x minus c لما x تروحللـ C من
اليسار، ليش؟ لأن X أصغر من C، إذا X minus C سالبة
إذا الـ absolute value سالب إليها واخدت السالب برا
هذا الآن المخضر بيساوي سفر، إذا هذا لحاله برضه إيش
ماله؟ سفر، إذا limit absolute value للـ F of X على
X minus C، لما X تروح للـ C من اليسار، برضه إيش
بيساوي؟ بيساوي سفر، لاحظ إن ال limit من اليمينوالـ
limit من اليسار موجود وبساوي 0 متساويين يعني الآن
ال limit هذا صار ايش بساوي بساوي 0 إذا الان هذا
الآن بنقوله كله تحت هذا وبقول hence اللي هو g
prime of c بساوي limit of g of x نقص g of c على x
minus cas x → c بساوي حسب اللي عندى من هنا و من
هنا و من هنا هيساوي سفر الان conversely بتأفترض
طبعا ان ال conversely هيكون الخطوات كثير مشابهه
لللي هنا يعني كثير اللي استخدمته هنا هستخدمه في
اللي بعدها
Conversely suppose that
g of x سواء absolute value او f of x اللي
هو is differentiable at c بدا وجدلك الان اثبتلك ان
f prime of c ايش ما لها بتساوي سفر يعني بدا اثبت
limitf of x ناقص f of c اللي هي سفر على x minus c
لما x تروح لل c ايش بيساوي بساوي سفر بكون خلصت
الان issue مشابه عند الان limit
هذا exist عند ال c اذا عندي صار g prime of c exist
ويساوي حسب الحديث اللي هنا limitabsolute value of
f of x ناقص ال absolute value of f of c صفر على x
minus c لما x تروح ل c اشماله exist معايا؟ طيب شوف
الآن عندى اذا احسبلي limitf of x اللي حسبناها قبل
بشوية بنفس الأسلوب على x minus c لما x تروح ل c من
وين؟ من اليمين بساوي limit لل absolute value ل f
of x على x minus c لما x تروح ل c من اليمين لأن ال
x أكبر من ال c واضحالآن من جهة أخرى احسبلي الـ
absolute value لل limit لل F of X طبعا هذا ايش
هيساوي بسوى G prime of C، مظبوط؟ بسوى G prime of
C، موجود، limit F of Xعلى x minus c لما x تروح ل c
من وين؟ من اليسار بساوي زي ما عملنا قبل شوية سالب
limit absolute value of f of x على x minus c لما x
تروح ل c من وين؟ من اليسار الآن واضح بما أن هذه
exist إذا هذا المقدار و هذا المقدار زي بعضالان هذا
بيساوي ناقص هذا او بمعنى اخر نشيل الناقص من هنا و
نضربه هنا صار عندى المقدرين هدولة بما انه متساويين
لإن الاتنين ايش بيساوين ال G prime of C مظبوط اذا
صار عندى هذا المقدار بيساوي هذا المقدار اذا صار
عندى ال limitF of X على X minus C لما X تروح للـ C
من اليمين absolute value بساوي ناقص limit F of X
على X minus C لما X تروح للـ C من وين؟ من اليسار
واضحة؟ لكن أصلا عندى هذا
بساوي اللي هو التنين بساوي نفس القيمة ماشي الحال
إذا لازم عندي من هنا جي برايم و جي برايم اللي هو
صار بنساوي نفس القيمة إذا هيطلع الجي برايم إيش
ماله بساوي سفرإذا صار المقدار هذا كله إش بده يساوي
صفر وهذا بيساوي صفر يعني ال limit من اليمين و
limit من اليسار متساويين إذا صارت limit F of X على
X minus C لما X تروح للـC بدها تساوي صفر أي سؤال؟
زي ما حكينا، الآن إحنا قلنا إنه لو كانت D بدينا D
بيساوي F of X ال differential بالأد Cجيبنا g prime
و كتبناها بالصورة اللي أمامنا بعدين أخدنا ال
absolute value لlimit f of x علي x minus c لم x
تروح ل c positive طلعت عندي بساوي g prime of c و
أخدنا اللي هي ناقص هذه طلعت عندي برضه g prime
الاتنين ال c إذا صار هذا بساوي هذا المقدار و احنا
بنعرف في الأصل ان f prime of c exist يعني
differentiable يعني ال limit هذا اللي هو موجودو من
اليمين و من اليسار زي بعض يعني يعني هذا بده يساوي
هذا من اليمين و هذا من اليسار يعني في الواقع هذا
اللي جوا هو نفسه اللي جوا بساوي limit of of X يعني
بمعنى أخر absolute value ل limit of of X على X
minus C لما X تروح لل C هو نفسه سالب limit لل of
of X على X minus C لما X تروح لل C من وين من
اليسار هو نفسه لل C من وين تبت هذالأنه احنا بنقول
f prime of c exist يعني ال limit هذا موجود و من
اليمين و من اليسار زي بعر إذا صار هذا المقدر نفس
هذا المقدر زي ما قلنا إذا صار عند هذا المقدر بساوة
سفر لإن التنين بسينا بساوة سفر إذا صار عنده limitF
of X على X minus C اللي هو الـ absolute value as X
بتروح للـ C بساوة صفر ومن ثم اللي جوا بساوة صفر هو
مين هو اللي جوا هذا اللي كنا بدنا نصله من الأول
اللي هو F prime of C بتساوة صفر وهو المطلوب هذا
توضيح بشكل كامل ل اللي صار في اللي هو الاتجاه
الثاني نيجينا سؤال بعد ما خلصنا السؤال سبعةنجي
لسؤال تسعة تسعة ايش اللي بقوله تسعة نشوف ايش سؤال
تسعة بقول ونحل سؤال تسعة سؤال تسعة بقول ليه
باختصار انه لو كان عنده ال function ofعبارة عن من
R لـ R even function طبعا عارفين ايش ال even اللي
هو F ناقص X بيساوي F X لكل X موجودة في الـ R and
has a derivative at every point then F prime is an
odd function يعني بيقول لي لو كانت باختصار يعني لو
كانت ال F even و ال derivative موجودة بتكون ال
derivative odd و لو كانت ال derivative oddبتكون
الـ function الـ G prime إيه شمالها is even انحل
واحدة من هنا والتانية similarly زيها الآن لنفترض F
من عند R لعند R be an odd differentiable function
ماشي الحال show that
F' is even a proof بدنا نثبت أنه لو كانت الـ F
اللي هي odd function بدو يكون عنده و
differentiable بدو يكون عنده derivative إلها إيه
إيش even لأن let C element in R be arbitrary and
fixed
NR ناخد الـ R ناخد الـ C أي اللي هو real number in
R لكن نحكي عن اي شي محدد الان F prime of Cبدأ
أثبتلك أنه هو بسوء F prime of ناقص C يعني F prime
is even إذا خد F prime ناقص C وابدأ حسب وواصلك في
النهاية بسوء F prime of C إذا F prime is even بسوء
limit اللي هي F of X ناقص F of minus C على X minus
اللي هو minus C لما X تروح لمين لـ minus C مظبوط
طيب و يساوي limit ال F إيش معتنيها عبارة عن odd
إيش يعني odd يعني F of ناقص X بيساوي ناقص F of X
مظبوط هذه اللي هي إيش ما لها odd function اللي هو
بيساوي limit F ofالان اللي هي ناقص f of ناقص x
واضح أه؟
f of ناقص x بيساوي ناقص f of x يعني f of x بيساوي
ناقص f of ناقص x فالجد تعرفوا ليش بعملت هيك لأن
ناقص f of ناقص c الان f is odd مظبوط بيصير زائد f
of c
على خد الان ناقص من هنا عامل مشترك بيصير عبارة عن
ناقص X الان ناقص ال C لما X تروح لمين لسالب ال C
ال X بتروح لسالب ال C إذا و فقط إذا سالب ال X
بتروح لمين إلى ال C الان خد لي Yبساوي سالب ال X
واستبدل عشان نضح لك إياه بساوي limit الان خد الان
عندي F حكما كان نقص اكسميا ال Y limit ناقص F of Y
زائد F of C على اللي هو Y بتروح إلى ال Cوهنا y
ناقص ال c وهنا في عندي ايش برضه ناقص برا لان خد من
هنا ناقص عام المشترك او ضيعه مع الناقص اللي هنا
ماضح اه بيصير عندي y ساوي limit f of yنقص f of c
على y minus c لما y تروح لل c وهذا عبارة عن f
prime لمين لل c بدأنا ب f prime نقص c وانتهينا ب f
prime لل c لذا therefore f prime is even whenever
f is odd and f is differentiable
السؤال الأخير السؤال 13 السؤال
13 هو كما يلي اش
اللي بقول السؤال 13سؤال 13 بيقول إذا كانت F من R
لـ R is differentiable at C element in R show that
F prime of C سوى limit N في F of C زائد 1 لأن ناقص
F of C as N goes to infinity يعني لو كانت F
differentiable عند الـ C element in R بنقدر نكتب
ال derivative اللي هي F prime of C على سورة limit
N F of C زائد 1 لأن ناقص F of C as N goes to
infinityلكن بيقول لي by example show that the
existence of this limit this limit need not اللي
هو imply the existence of the derivative نيجي
الآن للجزء الأول عندي F من R لRو F prime of C
exist لانه يقول لي prove that F prime of C can be
written as limit on F of C زائد واحدة لان ناقص F
of C as N goes to infinity هذا الجزء الأول الجزء
الثاني حنجي الان نقول prove للجزء الأولقبل ما نقول
الـ proof نذكركم بس بنظرية سابقة في الـ real واحد
إنه لو عندي limit f of x لما x تروح لل c لو كانت
بتساوي Lبكون عندى أي sequence xₙ بتروح للـ C لازم
يتحقق لها limit f of xₙ as n goes to infinity
بساوي برضه الـكنا نتحدث بالحديث، باستبداء الحديث
عن الـ limit العادية للـ function S X بتروح للـ C
إلى limit لمين للـ sequence أو limit للـ sequences
الآن بنستخل هذه اللي هو المعلومة في إثبات اللي
بدنايا عند الآن since F prime of C exist بما أنه
ال derivative عند C موجودةإذا أكيد عندي صار f
prime of c بسهولمة f of x أو اللي هي الـ x عند c
زائد h ناقص f of c على h as h goes to mean to zero
اللي هو التعريف التعريف ال derivative أو الشكل
الآخر للتعريف ال derivative f of c زائد ال
increment ناقص f of c على ال increment as ال
increment goes to mean to zero ماشي الحل ال L بما
أنه اللي هو ال 1 على N sequence بتروح للسفروهذا
الـ limit exist لأن حسب النظرية اللي حكيتها قبل
بشوية بكون عندي لأن but كذا then F prime of C can
be اللي هو إعادة اللي هي rewritten as a limit of a
sequence F of اللي هو limit limitF of C زائد but
الـ H اللي هي تروح للصفر صارت mean ال sequence
واحدة ل N تروح للصفر واحدة ل N ناقص F of C على
واحدة ل N as N goes to infinity مدامت ال sequence
واحدة ل N بتروح للصفر صارت ال F of واحدة ل N اللي
هي عبارة عن F of C زائد واحدة ل N لإن الـ C عبارة
عن إياش فالتةواضح أه؟ الان هذا بيساوي اللي هو
limit الان as n goes to infinity اللي هو أكيد اللي
هو بيصير عندي f n في الجوس f of c زائد واحدة ل n
ناقص f of c اللي هو as n goes to infinity هو هذا
صار f prime of c وهو المطلوبالان conversely the
converse need not to be true in general هيك بيقول
ليه يعني بيقوللي if if بيقوللي او اللي بيقول if f
برا اللي هو limit f of c زاد واحدة ل n ناقص f of c
الكل مضروف في n as n goes to infinity exist if كده
then f prime at c need not be exist اصلا مش انه
يكون بيسوي هذا او لا need not to be اشمله exist
لان لو كان exist على طول بيسوي اما need not to be
exist ومااخد مثال جالي consider consider consider
f of xبساوي ال absolute value لل X وخد عند ال C أش
بتساوي سفر واضح F prime of 0 does not exist لأنها
عبارة عن corner point، انتوا عارفين احنا اللي هو
ال F prime عند ال zero لل absolute value does not
exist لكن هذه متحققة، ليش؟ but limit
N في F of 0 زائد 1 على N نقص F of 0 as N goes to
infinity بساوي limit N F of 0 زائد 1 على N يعني F
of 1 على N F of X بساوي absolute value X ف1 على N
مظبوط أه as N goes to infinity طبعا الـ N بتروح
يصير عبارة عن ash واحد إذا فعلا جبنا مثال أن ال
limit هذه تكون exist و سوى واحد but ال F prime عند
هذا النقطة C اللي هي 00 في هذه الحالة does not
exist بيكون هيك احنا انتهينا من الجزء الأول من
المحاضرة الخامسةاللي هو discussion لأو مناقشة ل
section 6-1 اللي هو the derivative والآن سنكمل
الحديث في الجزء الثاني من المحاضرة اللي هو عن اللي
هو the mean value theorem أو اللي هي نكمل
applications على mean value theorem وناخد اللي هو
ال