بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله رب العالمين
والصلاة والسلام على سيدنا محمد وعلى آله وصحبه
أجمعين هذه هي المحاضرة رقم 23 في مساق تحليل حقيقة
نيل طلاب وطالبات الجامعة الإسلامية قسم الرياضيات
كلية العلومالمحاضرة اللي هي اليوم هي عبارة عن
تكملة ل section تمانية تلاتة الجزء الثاني من .. من
.. من هذا .. اللي هو ال chapter الجزء الأول من هذا
ال section الجزء الأول اتحدثنا عن ال exponential
function وكيف أثبتنا وجودهاواخدنا خواصها الآن بدنا
نحكي عن الجزء التاني من اللي هو ال section اللي هو
ال logarithmic function ال logarithmic function
اللي هو نشوف كيف بدنا نثبت وجودها وكيف اللي هو
ناخد خواصها بنفس البناء اللي أو نبنع البناء اللي
بنناه المحاضرة الماضيةالان لما حكينا عن ال
exponential function E لجينا ان ال exponential E
is strictly increasing differentiable function
with domain R and range اللي هو Y أكبر من 0 يعني
لما حكينا عن ال E حكينا عن ال E من R اللي هي ال
exponential لعند الفترة 0 و مالا نهاية هذه ال
function هي rangeها و هي domainها و كانت strictly
increasingStrictly increasing معناته اللي هو عبارة
عن 120 يعني بمعنى أخر في إلها ال function هذه on
two وكانت differentiable الآن ال function اللي هي
ال exponential طبعا ما أنتوا عارفين كيف رسمتها لو
جينا جربنا نرسمها هنلاقي الرسمة اللي هو هذه اللي
هي عبارة عن رسمة ال exponentialالان انا بدى اجى
اللى هو من خلال اللى هو ال function ال exponential
اعرف ال inverse لها واسميه اللى هو logarithmic
function او بدى اسميه ال logarithm الطبيعى اللى هى
ال len functionمشروع الكلام اه لإن ايه عبارة عن
function one to one و one to Hana إذا صار ال
inverse لها موجود لإنها strictly increasing إذا
صار ال L من عند zero و مالة نهاية لعند ال R هادي
اللي هيالـ function الجديدة هي اللي بدي أسميها الـ
logarithmic function وهي رسمتها اللي أمامنا اللي
هي ال inverse لهذه الدالة اللي بدي أعرفها الآن
وتعريف الآن صار شرعي بناء على وجود ال exponential
اللي بدي أعرفه اللي هو ال inverse سبعتهاالعمل
المعرفي للـ E هو
الـ Logarithm أو الـ Nature Logarithm اللي هي It
will be denoted by L or by Lin الأكتر شيوعا طبعا
اللي هو مين الـ Lin لأن بما أن الـ E و L انفرس
لبعض إذا أكيد الـ E composite L composite E of X
هيساوي الـ Xلكل الـ x و اللي موجودة في الـ R لأن
الـ E بتشتغل على كل الإكسات اللي في الـ R لأن
بينما E composite L of Y E composite L of Y الـ L
بتشتغل .. بتشتغل مين على مين بس على الـ positive E
composite L of Y بيساوي لكل Y element in R و Y
أشملها أكبر من 0الان connotations .. connotations
بناء عليه الـ N الـ E of X لأن الـ N هي الـ L والـ
E هي الـ E وعندي الـ E to the N اللي هو بسوء الـ Y
وهو بسوء الـ X بناء على أن الواحدة inverse للتانية
أو كل واحدة inverse للاخرى الـ logarithm is a
strictly increasing function L with domain اللي هو
مين اللي هو ال domain اللي عندي اللي هو تعرفنا هيك
أصلا الان ال derivative of L is given by L prime
of X ايش بتساوي واحدة ل X for X أكبر من سفر الان
ال logarithm satisfy the functional equation تحقق
المعادلة الدالية التالية اللي هي L of X في Y بساوي
L of X زائد LL of Y for X أكبر من سفر Y أكبر من
سفر Y أكبر
من سفر
Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر
من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y
أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من
سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y
أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبر من سفر Y أكبرL of
XR بيساوي R لL of X لإن X أكبر من 0 وR المتر كيوه
كلهن اللي هي خواص انتوا بتعرفوهم قبل هيك بس الآن
بدنا نبرهنهم و نثبت صحتهم limit L of X لما X تروح
لـ0 من اليمين بساوي سالب infinity and limit L of X
لما X تروح لمال النهاية بتساوي مال النهاية خلينا
احنا نشوف نبرهن اللي هي اللي مطلوبالأن الـ L is
strictly increasing with domain X element alone
and range R follows from the fact that E is
strictly increasing with domain R and range اللي
هو اللي عندي الان عندي ال L is strictly increasing
بناء على مين على ال E نفسها strictly increasing
الان EComposite L E Composite L of Y ايش بتساوي؟ Y
لكل Y وY الموجودة لكل Y element in سفر وملا نهاية،
مظبوط؟ الان فاضلول الجهتين الان طبعا احنا بنعرف
انه من الاصل مدامة ال E isاللي هو differentiable
أكيد اللي هي ال inverse إلها is differentiable by
theorem 6 9 كده مش عارف إيش في اللي هو chapter 6
قدامة ال function اللي هي is differentiable ال
inverse إلها برضه is differentiable في حالة وجودها
الآن E فاضل الجهتين بيصير عندي E prime of L of Y
فL prime of Y بساوي إيش واحد ماشي الحال الآنواضح
أن هذا حاصل الضرب صار أكبر من مين strictly من 0
وبما أن الـ E is strictly increasing أثبتنا E' of
L of Y is strictly أكبر من 0 إذا بيظلها L' of Y is
strictly أكبر من 0 لكل Y هنا إذا صارت الـ L is
strictly increasingالان طبعا ال domain مدام ان هذه
ال inverse ل ال E ال domain اللي هو ال inverse هو
range ال function الأصلية و بيصير sub wave في
الفئر اذا الان احنا اثبتنا ان ال is strictly
increasingالان و rangeها اللي هو صار domain اللي
هو او range اللي هو ال .. هذي اللي صار domainها
domain ال L و هذي صارت اللي هو range ال L زي ما
قلنا قبل بشوية او عندي الان بدنا نثبت اللي هو
الجزء الثاني من النظرية خليني نكتب هنا عشان نتذكر
ايش اللي بدنا نثبته الان بدنا نثبت اين أثبتنا
الأولىاللي فى النص بتقلّى prime of X اللى نكتبهن
اللى بدنا نثبتهن عشان نتذكرهن
قلّى prime I او VIII قلّى primeof X بسوة واحدة ل X
اتنين اللي هو L of XY بسوة L X زائد L Y طبعا ال Y
هناك ال L of واحد بسوة سفر L of E بسوة واحد كلهم
بسيطاتL prime L of X to the R سوى R L of X و Limit
L of X لما X تروح إلى Zero من اليمين سوى سالب لما
لنهاية و Limit لL of X لما X تروح إلى ما لنهاية
سوى ما لنهاية خلّيني أشوف أن دول على السريع فانوا
كلها شغلات يعني بأعتقد أنه سهل أنك نثبتها
عندي لأن زي ما عملت قبل بشوية اللي هو لما فضلت هذه
تفاضله E composite L of X لما عملتها قبل بشوية
اللي هي كانت عندي هين أعمل E composite L of X الكل
اللي هي بساوي ال X فاضل هذا يصير E prime
بنسبة لـ x أقل الـ prime of x
اللي هو واحد على الـ E prime of L of X إذا الـ E
القلي برايم of X بيساوي واحد على E prime composite
L of X والـ E prime هي نفس الـ E زي ما قلنا إذا
بيصير واحد على E composite L of X إلى ال E
composite L of X زي ما قلنا إيش بتساوي بساوي X
فبساوي واحد على X فالقلي برايم بيساوي واحد على X
لكل X في الموجودة في الفترة Zeroو 1 نيجي الآن نشوف
اللي هي اللي بعدها الخاصية اللي بعدها خلّينا نثبت
اللي هو L of X في Y بسوا L of X زائد مين زائد L of
Y برضه الإثبات سهل وانتبهوا معايا وسهلس عندى الآن
F X أكبر من صفر Y أكبر من صفر F X أكبر من صفر Y
أكبر من صفر F X أكبر من صفر Y أكبر من صفر F X أكبر
من صفر F X أكبر من صفر F X أكبر من صفر F X أكبر من
صفر F X أكبر من صفر F X أكبر من صفر F X أكبر من
صفر F X أكبر من صفر F X أكبر من صفر F X
أكبر من صفر F Xلأن الـ E والـ L انفرسة بعض الان من
الخاصية تبع الـ exponential بدنا نصل لمن؟ لل
logarithmic إذا أضرب ل X في Y بيطلع عند X في Y
بتساوي E of U في E of V E of U في E of V إيش
بتساوي؟ E of U زائد V أثبتناها إذا من هذا الكلام
خُد الـ L للجهتين لإنه اللي هي ال inverse لبعض
بيصير عندي L of X في Y بساوي L of E of U زائد V
اللي هي إيش بتساوي U زائد V U اللي هي عبارة عن L
of X و V عبارة عن L of Y إذا أثبتت L of X زائد X
في Y بساوي L of X زائد L of Yالان عندى اللى هى E
of Zero بيساوي واحد خدلى ال L الجهتين بيصير ZL of
E of Zero بيساوي L of واحد ال L of E of Zero هدك
inverse التانية بيساوي Zero نفس الاشيالـ L of E of
1 بيساوي L of E، مظبوط؟ الـ L of E of 1 بيساوي 1،
بيصير L of E بيساوي 1 بيصير أثبتنا L of E بيساوي 1
و L of 1 بيساوي 0 وهذا الكلام كلام سهل، طيب بيصير
علاقة أنه سهل اللي بنحكيه، الآن
نأتي نثبت اللي هو اللي هي L of X to the R بساوة
Zero بساوة R في L of X هذه برضه بقاش By
Mathematical Induction عملناها قبل هيكة باللي هو
ال section اللي جابله أو اللي هو ال exponential
على السريع نشوف التفاصيل لإنه التفاصيل معادة
التفاصيل هتلاجوها معادة فخليني بسرعة نمر عليها
عندي we show by induction L of X بسوا L L of X زي
ما قلنا عشان لثبتها هذه أثبتنا اللي قبل بشوية L of
X عارفش الرزوم أصلا أفصل ولا لأ لكن بدي أفصل لو
أنتوا عندى لو اتفجنا أن نفصل ولا لأ L of X في Y
بسوا L of X في L of Yof x was n بساوي n في L of x
طبعا for n بتساوي واحد اللي هي a trivial نفترض
أنها صحيحة ل L ل n بتساوي k بيصير L of x was k
بساوي k L of x الآن بدنا نحسب ل L of x was k زائد
واحد اللي هي بساوي L of x was k في xهذه الـ L لها
حسب اللي هي الخاصية هذه بسوء L الأولى X plus K في
L التاني L of X اللي هو مفترض إنها صحيحة على K ده
بسوء K في L of X آسف زائد هذه بسوء K L of Xلأنها
صحيحة لـ K زائد L of X ويساوي K زائد واحد في L of
X إذا صارت هذه صحيحة اللي هي L ل K زائد واحد إذا
صارت صحيحة لكل من لكل N element in N حسب اللي هو
ال induction اللي بنحكي فيه إذا الأن أثبتنا أن L
of X هو N لL of X لكل اللي هي عنديالان by VI اللي
هو زي .. مشابه للي حكيناها قبل بشوية بالظبط في حد
ال exponential بس خليني مش وشكلة بتعيده الان شوف L
of XM minus M أيش بتساوي؟ L of واحداللي هي لأن هذا
X هو السفر اللي هي L of واحد L of واحد مش قولنا
عنها سفر هو يسوى L of XM في XM minus واحد ال
logarithmic بطلح انجمع L of XM زائد L of X minus M
لأن هذه أثبتناها عبارة عن M L of X زائدL of X
minus M صار عندي الان M في L of X زائد L of X
minus M بسوا سفر انجلي هذا على الجهة الثانية بطلع
L of X minus M اللي قعدت لحالها بسوا ناقص M في L
of X اذا صار عندي الان لكل M سواء موجبة او سالبة
بطلع عندي اللي هي L of X قص Mبساوة M في L of X
سواء كانت وجبة أو سالبة نيجي الآن منها بدنا ناخد
لمين لأ اللي هي ال R لان therefore for any M
element in Z و N element in Nعندي احسبلي الان L of
X أس M على N بس ضربليها في N بعد إذنك Y ساوي اللي
هي L of X أس M على N لكل ما له أس N لإنه صحيحة هذه
لل N اللي هي في N واتفجنا عليها الان هذه بتساوي
هذه واضحة لإن هذه هي ال X تبعتنا وهذه ال N بتطلع
براالان هذه الان مع الان بيصير L of X plus M L of
X plus M قبل بشوية بقى قولنا عنها بيساوي M L of X
سواء كانت M positive أو اللي هو negative صار هذه
بتساوي هذه إذا انجلي الآنالان هذه ان بيصير عندي L
of X of M على N بيسوي M على N في L of X إذا صار
عندي لأي rational number صار عندي L of X R بيسوي R
L of X لكل R اللي بنتميين NQ نيجي الآن لأ اللي هي
الجزء الأخير من النظرية
الكلام مشابه للي حكيناها قبل بشوية في الإثبات اللي
هو ال limit تبع ال exponential عند 2 أصغر من E
وقلنا ليش الان ال E n هنا بيصير 2 أصغر من E أصغر
من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر
من E أصغ
لكن اللي هو L of E N بسوء N and اللي هي L of E
minus N بسوء نقص N خليني في الذاكر هذول اذا for
every N element in R there exists X element in R
بحيث ان X أكبر من مين من Nلكل N element in N في X
element in R أكيد X أكبر من مين من E N لأنه أخسرت
N بين إيديا حسبت ال E N طلع عند رقم أخدت ال X أكبر
منها كيد بالله طيب لأنه unbounded real numbers
then L في هذه أكبر أو من L في هذه لأنه ال L
strictly increasing إذا صار L في X أكبر من مين من
ال NA ألوف E أن يعني أكبر من الان لأن limit هذه as
x goes to infinity اللي هو بيكون أكبر أساوي اللي
هي limit هذه as n goes to infinity ويساوى infinity
لأن لكل لما الان تروح لما لنهاية أكيد ال X بتروح
لمين إلى ما لنهاية فصار عندي هذه بتروح إلى ما
لنهاية الآن صار عندي limit L of X لما X تروح لما
لنهاية بيساوي ما لنهاية similarlyالان لكل نقص any
element in z positive بلاقي x element in r
positive بحيث ان x أكبر من صفر و أصغر من صفر و
أصغر من صفر و أصغر من صفر و أصغر من صفر و أصغر من
صفر و أصغر من صفر و أصغر من صفر و أصغر من صفر و
أصغر من صفر و أصغر من صفر و أصغر من صفر و أصغر من
صفر و أصغر من صفر و أصغر من صفر و أصغر من صفر و
أصغر من صفر و أصغر من صفر و أصغر من صفر و أصغر من
صفر و أصغر من صفر و أصغر من صفر و أطيب then L of X
هيكون أصغر يساوي ال E to the minus N يعني L of X
اللي هي أصغر يساوي ناقص N إذا as N goes to
infinity as N goes to infinity اللي هو ال E to the
minus N بيروح لل0 من اليمين إذا ال X بتروح لل0 من
اليمين إذا عندي ال X بتروح لل 0 من اليميناللي هو
أصغر لما الـ limit L of X أصغر من limit E to the
minus N لما هذا يروح لـ 0 من اليمين أو بمعنى أخر
لما الـ N تروح لمهة لنهاية و هذا بيروح لمين؟ لـ
Infinity إذا limit L of X لما X تروح لمهة لنهاية
بساوي سالب Infinity و هو المطلوب hence limit L of
X لما X تروح لـ 0 من اليمين بساوي سالب Infinity
طيب
الان سارعنا الان نقدر ان اللي هو نحكي عن ال bar
functions بدنا نعرف ال bar functions اللي هي بناء
على اللي حكيناه و اللي هي موضوع ال bar functions
كل ما فيه تقريبا يعني بنعتبره exercises احنا لكن
خلينا نعرف التعريفات و النظريات بتكون اللي هي
معاكم exercises بسيطة بناء على التعريف اللي
بنعرفها اللي هناخد α يليمنتان R و X أكبر من 0The
number X to the Alpha is defined to be .. الآن بدي
أعرف حاجة اسمها X to the Alpha X to the Alpha بدي
أعرفها .. إيش بدي أعرفها؟ بإيشي أنا معرف عندي من
الأصل ال exponential معرفة .. خلصنا منها و ال len
معرفة .. إذا E to the Alpha في لن ال X هذه المقدار
لهذا معرف و هذا معرف بدي أسمي X to the Min to the
Alpha اللي هو في الواقع عبارة عن Min E to the
AlphaL of X L of X معرفة والـ E معرفة إذا كل هذه
معرفة بتسميها X to the main to the alpha الآن صارت
عندي يعني قيمة الـ X under this function اللي
عرفتها لجديدة يعني إذا بتسميها دي ال function الـ
R of X إيش عرفتها أنا بتساوي X to the alpha؟يعني
كل ال X بتصير يشمل X to the Alpha و X أكبر من 0
هذه ال X to the Alpha هي اللي بدي أسميها ال power
function بدي أسميها power function with exponent
mean Alpha و ال X هي أشمالها المتغيرة اللي أكبر من
0 شوف الآن نشوف بعض الخواص اللي هو هذه اللي هي
الدالة طيب
الان if x أكبر من 0 and alpha بساوة m على n where
m element in z و n element in n then we define x
to the alpha بساوة x to the m أسواحد على n in
section mean خمسة ستة هتعرفناها زمان انه في حالة
بس اللي هي ال rational number عرفنا x to the m على
n بساوة x to the m لكل أسواحد على nماشي الحال
..الان بدنا نشوف هذا التعريف مطابق لتعريفنا اليوم
ولا لأ hence we have لن ال X to the Alpha لن ال X
to the Alpha لن ال X to the Alpha بساوي Alpha لن
ال Xعرفناها هذه طيب where X to the Alpha بيسوا E
to the Lin X to the Min to the Alpha اللي هو بيسوا
E to the Alpha في Min في Lin ال X كلام كله سهل ال
X to the Alpha هو اللي عرفناها اللي عبارة عن E
بتصير to the Lin X to the Alphaلأنه استبدلت الـ x
to the alpha بقيمتها اللي هي عبارة عن اللي هي
alpha ln x اللي هي بالساوية e to the ln x to the
mean to the alpha إذا سواء احنا بالتعريف اللي هو
احنا هذا بال exponent أو بال ال function اللي
عرفناها بالشكل هذا هيطلع عندي اللي هو القيمتين نفس
القيمة طيب
نجي الآن لبعض الخواص اللي هي تبعت ال exponential
ال power function و الخواص هنتركه لكم إياه لأنها
مباشرة على التعريف تبعنا مباشرة
على اللي هي التعريف اللي عندنا و هيكون في عندي
الآن النظرية الأولىاللي هي 8 3 11 لو كانت Alpha
element in R و X و Y اللي هو تنتمي للفترة Zero و
تمانية Zero و ما لنهاية آسف then معلش عشان ده طلعت
الكهربا قعد نقلف الكهربا أناIf α element in R و X
Y belongs to 0 α then 1 to the α بسوء 1 و X to the
α أكبر من 0 و X Y to the α بسوء X to the α و Y to
the α و X على Y to the α بسوء X to the α على Y to
the α هذه اللي هي النظرية طبعا اللي هي مباشرة على
تعريفنا اللي هو X to the α بسوء Eof α لن X يعني
بدك تيجي تستخدم تعريفك اللي هو اللي عرفناه وعليه
اللي هو بتبدأ تشتغل و تبني اللي هو اللي هي
القوانين اللي بنحكي عنها اللي هو تعريفنا اللي هو X
to the alpha بتساوي E of alpha len اللي هي L of X
أو حسب ال notation تبعتنا E to the alpha len ال X
هذا الآن التعريف اللي عليه بدك اللي هو تبدأ اللي
هو تشتغل على اللي هي النظريةوتبرهنها اللي عندنا
نظرية الأولى اللي ذكرناها قبل بشوية اللي هي هذه
النظرية على التعريف مباشرة ونظرية تانية أيضا برضه
من الخواص إذا كانت Alpha و Beta element ر و X في
الفترة Zero ولا نهاية إذا Xتو دا ألفة زيادة بيتا
برضه نفس الاشياء طبعا هتلاقي اللي هو انت لما تيجي
تفرد هذه هتصير تستخدم خواص المعرفة اللي هي
بواسطتها معرفة هتستخدم خواص ال X exponential والن
اللي قبله بشوية هتلاقي حالك بتصل X تو دا ألفة
زيادة بيتا بسوء X تو دا ألفة في X تو دا بيتاو نفس
الشيء x²α²β بيساوي x α beta و يساوي x²β²α و هتيجي
.. اللي هي كلها قوانين احنا بنعرفها x²-α بيساوي 1
على x²α و نفس الشيء إذا كانت alpha أصغر من beta
هيكون x²α أصغر من x²β لما ان x تكون أكبر من 1 و
هذه كلها بتكون x resources معاكم اللي هي مباشرة
على هذه التعريفالنظرية اللي عندنا على السريع let
alpha element in R then the function x بالتروح للـ
x alpha من 0 و 1 to R is continuous and
differentiable and اللي هو ال derivative لل x to
the alpha بسوء alpha to the x to the alpha minus 1
for x element in 0 و 1 طبيعي أصلا هي composition
of two هي عندى function هذه اللي هي continuousهذا
كلها على بعض الـ E كمان continuous ده اللي هتطلع
هذا continuous و هذا continuous و نفس الاشي ال
differentiability إذا أكيد اللي هي ال function
اللي عندنا X to the X to the Alpha حسب تعريفنا is
continuous and differentiable و لو بدك تسمي اللي
هو هذه ال derivative و بدك تبدأ تفاضل دي اتفاضل DX
Alpha يعني بدك تتفاضل هذه كيف تتفاضل هذه ال
exponential اللي هي E to the Alpha لإن ال Xفى
التفاضل اللى هو اللى جوا اللى هو Alpha فى واحد على
X ماشي الحال اللى هى بمعنى آخر بصير عندى اللى هو
عبارة عن E to the Alpha لن ال X اللى هى عبارة عن
ال X to the Alpha نفسها فى التفاضل هذه اللى هى
Alpha على X بيساوى Alpha أس X اللى هى هذه بتطلع
ناقص واحد Alpha مانس واحد for X element in zero
وملا نهايةالان بعض الملاحظات الأخرى اللي بيقولك
إياها على هذه الدالة بيقولبقول لك اللي هو عندي إذا
كانت Alpha أكبر من 0 فبصير
عندي اللي هي ال function من X and X alpha is
strictly increasing على فترة 0 و ملا نهاية طبيعي
لما Alpha أكبر من 0 هيصير عندي الان المقدر هذا
بظله موجبو هذه ألف أكبر من سفر بيكون بيبدو أكبر من
سفر إذا صارت عندي اللي هي ال derivative أكبر من
سفر إذا صارت عند الدلة strictly increasing لو كانت
ألف أصغر من سفر هتصير اللي هي العكس strictly
decreasing لإنه هتكون هذه سالبة وهذه مدلة موجبة
بتظل هذه كلها موجبة إذا صارت strictly decreasing
عند ألف بتساوي سفر بيكون احنا ال derivative للواحد
اللي هو بيكون عبارة عن constant function اللي هو
في حالة الألف بتساوي سفر
الان نيجي الى اللي هي هيك بنكون اللي هو وصلنا
لآخر تعريف بده يعرف اللي هو ال log function للأساس
a احنا اللي عرفناه ال len اللي هو للأساس e بمعنى
آخر كيف بده اعرفه الآن احنا لسه ماعرفش الأساسات
هدا كصمنا ال len و ال exponential الان بدنا نعرف
اللي هو نسمي ال logاللغاريثم للأساس A نفترض أن A
أكبر من 0 و A لات سوى 1 it is sometimes useful to
define the function log للأساس A كمالي الان log A
of X كده اللي بيساوي لن ال X على لن ال A حيث ال A
عدد ثابت ماشي الحال هذه الآن صارت اللي هي ال log
العامة هي نفس ال exponential بس مضروبة في ثابتالأن
إذا الـ exponential الأصلية عليها هو معرف الان
بقولك إنه اللي هي هذه بنسميها log أو ال logarithm
للأساس A لو كان الأساس E هذا بصير لن ال E واحد
بنصير نرجع لن ال X اللي هي الدالة الأصلية إذا لو
كانت ال A هي ال E بنرجع للدالة الأصلية اللي هي زي
ما قلنا is called the logarithm of X to the base A
Yields دا الـ logarithm العادي الان اللي مشهور
عندنا للحسابات اللي هو للأساس عشرة اللي هو بنسمي
اللي هو log to the base عشرة أو اللي بنسمي common
logarithm اللي هو اللي بنستخدمه عادة في الحسابات و
هيك بكون عندنا احنا انهينا اللي هو ال section اللي
هو تمانية تلاتة و بكون خلصنا اللي هيالجزء الثاني
من المحاضرة اللي هو ما يتعلق بال .. اللي هو ال
logarithmic function وال power function وال
logarithmic للأساس اللي هو زي ما قلنا ايه و إلى
لقاء