إيش يا أبو حسين؟ بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله
رب العالمين والصلاة والسلام على سيد المرسلين سيدنا
محمد وعلى آله وصحبه أجمعين هذه هي المحاضرة رقم 17
في مساق تحليل حقيقة 2 لطلاب وطالبات الجامعة
الإسلامية كلية العلود قسم الرياضيةبدأنا اليوم
استكمال للي بدأنا المرة الماضية حكينا المرة
الماضية عن الـ integration as a limit قلنا احنا
قبل كنا معرفين ال integration انه موجود على أساس
ان ال upper integral U of F يساوي ال lower
integral L of F قلنا المرة الماضية ان احنا بدنا
نروح باتجاهإنه نصل في النهاية إنه هذا الكلام اللي
هو الـ Integrability يكافئ إن نصل إنه ال limit
طبعا وفي حالة وجوده هنسميه بساوة ال integration من
a ل b of x dx قلنا المرة الماضية إنه هنصل في
النهاية في نهاية ال section 7-4 إنه هذا اللي هو ال
condition أو هذا ال definition يكافئ إنه نقول
limit اللي هو SB و F as normal B أو المش تبع الـ B
بيروح لـ 0 و في هذه الحالة إذا كان هذا exist بيصير
.. هيساوي ال integration من A ل B F of X DX يعني
بمعنى آخر .. بمعنى آخر أنه اللي هو هذا طبعا الـ
Riemann Sum أنه الـ limitلرمان sum as الـ
partition B بيروح للـ 0 لو كان exist حسير اللي هي
F is integrable والـ integration لها هو عبارة عن
قيمة هذا الـ limitولو كان ال integration exist
طبعا بالمفهوم اللي هو هذا هيكون عنده ال limit هذا
exist و هيساوي قيمة مين ال integration هذا اللي
حنصل إليه في النهاية اللي حكيناه المرة الماضية
بشكل سريع اللي هو عرفنا إيش هو معنات اللي هو ال
remand صم اللي أمامنا هذابعد هيكة اللي هو إيجينا
أخدنا اللي هي الخاصية الأولى قلنا دايما الريمان
sum بين اللي هو ال lower sum و بين ال upper sum و
بعدين اللي هو إيجينا قلنا اللي هو النظرية ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..إذا
كانت F Integrable إذا لكل Y أكبر من 0 نجدر نلاقي
partition بي إبسلون و by such that إذا كانت بي أي
اللي هو refinement partition refinement للبي
إبسلون يعني يحتوي البي إبسلون هيكون و كان عند ال
SPUF عبارة عن اللي هو الريمان sumبكون الـ absolute
value ال integration بين S بي و F مقصد ال
integration أش ماله أصغر من مين من إبسلون يعني لو
F is integrable هنلاقي بي إبسلون بحيث كل ال B
بتحتوي بي إبسلون هيكون ال absolute value بين
الرمان صموا هذا أصغر من مين من اللي هي إيش إبسلون
طيب بعد هي كتب عن البرهناها هذه وصار في عندي الآن
اللي هو النظرية الثانية أيضا برهناها و النظرية
الثانية كانت تقول أنه لو كانت F is boundedالان ..
وقدرنا .. وبدنا الان نفترض انه لجينا اللي هو
number a يحقق مالي ايش هذا number a يحقق انه لكل
epsilon أكبر من 0 ونلاقي بي ابسلون بحيث انه أي بي
يحتوي بي ابسلون و S اللي هي أي رمان sumوthen اللي
هي s,b وf ناقص a أصغر من إبسلون إذا كان هذا الكلام
كله على بعض اتحقق لما نلاقي a بحيث يقول كل إبسلون
أكبر من سفر اللي هو نلاقي بي إبسلون لو كان بي
إبسلون بحيث أن بي بتحتوي بي إبسلون وهذا ال remand
sum هيعطيني هذههذا كله على بعض ال conditions زي ما
قلنا المرة الماضية بيعطينا ان F اي شمالها
integrable وهذا الـ A اللي حقق هذه الشروط هنا هو
قيمة ال integration هذا اللي حكيناه المرة الماضية
و بعدين اللي هوأحنا إجينا وعرفنا شو معنات ال مش أو
ال norm إذا بذكركم ال مش أو ال norm هو عبارة عن ال
supremum لاللي هي أطوال ال subintervals تبعات ال
partition قلنا ال norm للبيبس أو ال supremum لهذه
اللي هي الأطوال تبعات ال subintervals اللي ناتجة
من ال partition Bهذا اسمنا المش أو ال norm أخدنا
بعض اللي هي الخواص وصُجفنا عند مين؟ عند Darabox's
theorem اليوم بدنا نبدأ نشرح في مين في Darabox's
theorem نشوف أيش Darabox's theorem بتقول الآن بقول
لي let i بتساوي a و bاللي هي bounded interval و F
من I لعنب R Integrable on I in the sense of
definition mean 716 يعني بقول لي نفترض أن F is an
integrable function حسب تعريف mean 716 يعني ال
upper integral بسوء ال lower integral بسوء ال
integration هذا اللي هو ال definition 716 الآن
بقول لي then for every epsilon أكبر من 0then for
every epsilon أكبر من صفر there exists delta such
thatالان لو كان P is any partition of I و ال
normal P أصغر من Delta و كان عند ال S P و F اللي
هو is any corresponding Riemann sum then ال
integration بين ال S P .. البعد بين ال integration
بين ال S P و ال integration أصغر من مين أصغر من
Epsilon بس
بقى في دقيقة يا أبو حسن
أيوة أنا في محاضرة .. أنا في محاضرة وبسجل .. أيوة
أه في
كلية العلوم؟ من قالك في كلية العلوم؟
لأ يا عم أنا روحت على دراسات العلوم اللي قالولي
طلعن أه .. بعرفش .. بعرفش كلام هو صحيح ولا لأ لأ
لأبقى طيب يا راجل أنا في المحاضرة ماشي مع السلام
.. ماشي بقى كله مروح مع السلام ليش؟
مع السلام .. بس شوف كيف مع السلام
اعطيني بس تليفون هذا في العلوم 1600 انا عارف الله
ده
الدس
اه هو كيد روح اذا ابو بلال الموجود روح
عليكم السلام عليك يا أبو ساما كيف حالك؟ كيف صحتك؟
الله بعرفيك الحمد لله الله عزيزي عنك هل في إلي
عندكم رسالة تابعة السناق؟ و تابعة ياسر؟ طب .. طب
.. مين عندك؟ قاعد بتسأل عليه لو .. لو أبو أكرم
أخدن بس و حطن في غرفتي لأنه أنا قاعد بصور والله
يبقى اه .. اه .. اه .. الله يبارك فيا يا عزيزي انا
بجيبها المفتاح هوأه أه ماشي
لو حتى أنا يعني أنا موجود بس بنتأخر يعني التصوير
ممكن أظل التلاتة ماشي ماشي الله أبقى أرفع حاجة
لإنه بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس
بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس
بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس
ب
أدن درابكس الـ theorem زي ما قلنا إن لو كانت F
انتجرة بالـ functionبقول إذا لكل إبسلون أكبر من 0
بقدر ألاقي Delta أكبر من 0 بحيث أنه لو كان بي أي
partition بحيث أنه ال .. اللي هو ال .. ال .. ال
norm للـ B أصغر من Delta و S, B و F أي
corresponding remand sum بالنسبة للـ B هيعطيني أنه
ال absolute value بين اللي هو أو البعد بين S, B و
F ناقص ال integration أصغر من إبسلون يعني و كأنه
بقول من تحت بطنانه ال integration ال integration
لل F لو F is integrable بيعطينا انه بمفهوم اللي هو
سبعة واحد ستة بكون عنده limit ال SB وF as normal B
بروح للسفر بسوا بالظبط integration من A لB F of X
DX لأن ايش معناته هذا؟ معناته هذا اللي هو حسب الـ
Epsilon Delta Definition for every Epsilon أكبر من
سفر there exists Delta أكبر من سفر such that if
normal B أصغر، ناقص السفر أصغر من دلتاthen هيعطيني
الـ absolute value للـ S, P و F ناقص ال
integration من A ل B F of X DX كله أصغر من مين من
إبسلون إذا اللي بدنا نتبته بدنا لكل إبسلون نلاقي
Deltaبحيث أنه لما أي partition نورمه أصغر من Delta
يعطيني الفرق بين الـ Riemann Sum و بين الـ
Integration يكون أصغر من مين؟ من Epsilon هذه اللي
هي اللي بتقولنا درابوكس Theorem أنه لو F is
integrable إذا اللي هو الـ limit لاللي هو الـ
Riemann Sum هو حيساوي هذا ال integration اللي
فرضنا إحنا إشماله أنه موجود خلينا نشوف كيف بدنا
انبرهن النظرية و ركزوا معاياوتبعوا إيش اللي بدنا
نحكيه عشان نصل للي هو المطلوب طيب صلى الله عليه
الصلاة والسلام أول إشي بما أن F is integrableالـ
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. الإذن الآن أخفرضت epsilon
arbitrary بدي أدور على الـ delta اللي لما ال
normal بيه أصغر من delta يعطيني الفرق بين هذه و
هذه أصغر من مين من epsilon لذا هيك رايح أنا لأن
إذن بما أن أفنتي جربت لكل epsilon أكبر من 0بقدر
ألاقي partition الآن سميته بي إبسلون اللي هو x0 و
x1 لعندي xn such that ال U ال upper sum لل بي
إبسلون و F ناقص ال lower sum لل بي إبسلون و F أصغر
من مين من إبسلون سميتهاش أنا إبسلون على تلاتة
للحسابات طبعا أصغر من إبسلون في الدنيا من ضمنها
الإبسلون على تلاتة هذا حسب الريمان criterion أو ال
integrable criterionطيب moreover لأن لو كانت عندي
ال B أي B partition بحتوى ال بي إبسلون أكيد هيكون
اللي هو ال .. ال .. ال .. هذا بيصير refinement
مدام refinement ال refinement التحسين ال lower
بعله و ال upper بقاشه بينزل يعني بمعنى أخر هيكون
ال lower لل refine .. لل refinement أو التحسين
أكبر أوي سوى مين ال lower للأصل ال بي إبسلونوأكيد
الـ lower لل B و ال F أكيد أصغر أو سوء القبر لل B
و ال F in general و القبر لل B و F قلنا مدامه
تحسين إذا أكيد بنزل بصغر عن مين عن اللي صار له
تحسين اللي هو مين U, B, Y و F إذا صار عندي الآن ..
هي عندي ال L .. ال L, B, Y و F وهذا L, B و Fوهذا
الـ U, B و F وهذا الـ U, B, E, F واضح إن المسافة
بين الـ U, B, E, F و الـ L, B, E, F أكيد أكبر أو
تساوي المسافة بين الـ U و الـ L للـ B و الـ F يعني
هذه المسافة واضح إنها أكبر أو تساوي هذه المسافة
يعني بمعنى آخر هيكون الـ U, B, Fنقص lbf أصغر أو
يساوي لـ U بي إبسلون نقص ل L بي إبسلون و F هذا
لمين؟ عدي ال .. ال .. ال بي إبسلون من فوق حصلنا
عنها أصغر من إبسلون ع تلاتة إذا صار عند ال U بي إف
و ال L بي إف المسافة بينهم برضه أصغر من مين؟ من
إبسلون ع تلاتة إذا الآن صار عند أيب لجأت الـ
بإبسلون و أي بي بيحتوى الـ بإبسلون لجئنا المسافة
بين الـ U بي و F ناقص الـ L بي و F أصغر من مين من
إبسلون على 3ماشي الحال هذا اللي حصلناه في الأول
الآن احنا زي ما قلنا ادورتنا ع مين يا جماعة
ادورتنا على الـ Delta اللي لما ال Normal بيه أصغر
من Delta يعطينا المسافة بين الريمان صموا ال
integration أصغر من إيش من أبسلون الآن أنا بتدعي
أو الكاتب بتدعي أنههناخد Delta بقيمة معينة و هتشوف
إنها فعلاً هذه الـ Delta بتحقق طبعاً الـ Delta هذه
نتيجة إحسابات اللي هو بيبقى مشة على برهان كامل و
في الآخر لجأ الإحساب اللي بيخلي اللي هو قيمة هنا
Epsilon الدلتة اللي بياخدها الآن طيب، قبل ما نقول
إيش الـ Delta بدنا نعطي الرمز الـ F is bounded,
integrable لإنها مدام bounded أو integrable
السبريمم إلها على كل الفترة موجودخُد الـ Supremum
لقيمة الدالة F of X للـ X element in the interval
I سميها إيش بتساوي؟ سميها بتساوي M Capital، ماشي
الحال، الان بادعي الان إن دلتا اللي هتظبط معنى و
تجيبلنا اللي هو القيمة اللي بدنا إياها اللي هي
أصغر من إبسلون، اللي هي دلتا بتساوي إبسلون على
اتناشر N في مين في M N مين هذه، N اللي ظهرت في ال
partition هنا اللي هو عدد عناصر ال partitionاللي
جزأني الفترة هي N زائد 1 هذا مين ال partition اللي
لجيته في الريمان من خلال الintegrability للأفإذاً
where الـ N زائد واحد is the number of parts in B
إبسلون يعني الـ Delta بتساوي إبسلون على 12 في N
الـ N ارتبطت بال partition اللي لجيته والـ M هي
عبارة عن ال supremum لكل الدالة على كل الفترة
المذكورة نيجي الآن
Now let Q بيساوي Y not Y واحد و Y اتنين لعند Y M
مش N، Y M ماشي بـany partition of I with ال
absolute value للـQ أو ال norm للـQ أصغر من Delta
أيش يا جماعة قاعد أنا أحاول أصل للي بديها؟ أيش
غرضي؟ إن لكل epsilon أكبر من 0 بدي ألاقي delta
بحيث أنه أي partition أصغر من delta norm يعطيني
الفرق بين رمان صمه وال integration أصغر من epsilon
وكأنه الآن بدأت أحط أيدي على الجرح وأصل أقول let Q
بيساوي Y0 Y1 YM بأي partitionNormal أصغر من مين؟
من Delta متوقع أنا أنه في النهاية عشان أخلص
النظرية أثبتلك أنه ال absolute value لأ اللي هو ال
S ال UFناقص ال integration من قلبي f of x dx يطلع
لي أصغر من مين من إبسلون إذا أثبتت هذا بناء على
إختياري للـ Delta اللي عندي وبناء على كل ال cues
اللي نورهم أصغر من Delta يعطيني هذا ناقص هذا أصغر
من إبسلون وبقول خلصت وبرهنت اللي هي نظريتي
درابوكسيز theoremخلّينا نشوف كيف بدنا نروح لهذه
اللي هي نثبتها إنها أصغر من إبسلون تعالي شوية الآن
لأن let Q*) بسوى Q اتحادين بإبسلون هذه بي إبسلون
مين اللي لجيتها فوق اللي هي عبارة عن بي إبسلون
بإبسلون هي الفترة من a لعند b بإبسلون اللي هي أش
جزأة للفترة هذه هذي x note هذي x1 هذي x2 هذي x3
لما أصل xn ناقص واحد لما أصل هنا عند مين xn اللي
هي مين ال b هذي مين جزأها جزء الفترة هذه واحدة
اسمها بإبسلوننيجي الآن اتجزأت الفترة بمين بالـ Q
الـ Q مين هي بدأت ب Y note طبعا هي ايه Y1 و Y2 و
Y3 لعند مؤصل لعند Y M ناقص واحدوهنا اللي هي YM
اللي هي طبعاً مين هي اللي هي الـB هذه الـQ جزقتها
بشكلها اللي أمامي مع العلم إن الـQ هي تبعتنا
لنورمها أصغر من مين من Delta الآن بيقوللي خد Q*)
إيش بتساوي؟ الـQ اتحاد من الـBإبسلون صارت الآن
الـQ هذهبساوة بي بي ستار اتحاد لـ Q هذه مين هي الـ
Q star طبعا النقطة الأولى X not هي نفسها Y not
والـ Xn هي مين الـ Yn اللي يعني ممكن يكون
المختلفات اللي هي من X واحد لعند Xn نقص واحد يكون
المختلفات عن هدول الاتحادأقصى حدودهم يعني إذا بدهم
يعملنّي sub intervals زيادات هيكون أقصى حدودهم
اللي لنا اللي هي X1 و X2 و X3 و X-1 ماتنطبقش ولا
على أي Y1 ولا Y2 ولا Y3 ولا Y أم minus 1 متى ما
انطبقلنش معناته أنه هيكونين وين موجودات في داخل ال
intervals معناته كل واحدة عملتلها إلا عن فترة تاني
جداداللي هو في الفترة تانية الإجداد يعني لو إجت
هنا الـ X1 هنا مثلا بيكون هذه عملة فترة تانية لو
إجينا سمينا هذه المنطقة اللي هو M1 star اللي هو M1
مين اللي هو ال maximum أو ال supreme على مين على
ال partition الجديد Q starوهذه سمناها هتكون M2*)
هيصير الـ M1*) بتختلف لأن هذه عبارة عن الـ
Supremum على المنطقة هذه بينما بالنسبة للـ Q لو
أجينا لـ Maximum تبعها أو Supremum تبعها هنسميه M1
هذا الـ M1قد يختلف عن الـ M1 Star وعن مين الـ M2
Star لأن الـ M1 على هذه كلها بينما الـ M1 Star على
هذه والـ M2 Star على هذه اللي هو الـ Supremum
للدالة على الجزء من هذا أو الجزء من هذا قد يختلف
عن الـ Supremum عن الجزء هذا يعني الآنالـ الـ الـ
الـ الـ subintervals جديدة هتولدلي M1 maximum
لعناصر للـ function على اللي هي الكلي بختلف عن مين
عن الجزء قد يختلفالـ N لكن اللي .. اللي .. لو كانت
اللي هي عدد هنا دولة اللي هي الـ N أكبر من الـ N
هتتوزع .. هتتوزع اللي هو الـ X1 والـ X2 لإذا
اختلفن كمان واتوزعن مختلفات هيتوزعن وين؟ في
المناطق اللي هيجبل ما نخلص الـ YM يعني هتلاقيها كل
واحدة مكان لأن الـ M أكبر من الـ N اللي بتضال بدون
ما تدخلها واحدة من الـ X1 أو X2 أو X3 هتسير في ال
partition الجديد Q هي نفسها في الاصل في ال
partition main الـ Q يعني هيكون الـ M هناstar و ال
M نفسها هيكون زي بعر يعني هيكون التنتين بنفس
القيمة عشان هيك لو أجينا طرحنا اللي هو .. اللي هي
قيمة ال lower sum ال upper sum على ال Q star مع ال
upper sum على ال Q هيصير عندي اللي هنا يظهر اللي
هو Mمن العادية أو M من الـ Star ناقص الـ M من الـ
Star لأنه بيكون قد يكون المختلفات لكن اللي هان مش
هيظهر لأنه هيصير الـ M ناقص M من الـ Star سفر إذن
هيصير عندي ظهور هذولة في أكام فترة عن أكثر هاي
واحدة تنتينبضل أمشي ل N ناقص واحد لإن عددنا دولة
من X1 عند XN ناقص واحدة كم واحدة N ناقص واحد يعني
على الأكثر هيكون عدد ال sub intervals اللي اجداد
عملاً اللي هو 2 في N ناقص واحد اللي اتجسمت تنتين
تنتين الآن فبصير عندي ال summation هذا لو جينا لو
أخدنا لك ال U ال U star معاللي الـ F ناقص الـ U
الـ QF هيكون عبارة عن إيش يا جماعة اللي هنا هيتصفر
حيساوي الصميه أكم واحدة من هذولة هيكون على الأكثر
الشكل هذا واحدة اسمها مثلا MK MJ زي ما هو مسميها
والتاني M star K هذولة على الأكثر على الأكثر على
الأكثر هيكون عددهم جداشعددهم عبارة عن اتنين فئة
ناقص واحد مضروبات في طول الفترة هذه الفترة الصغيرة
اللي هي .. اللي هي الفترة تبعت .. اللي هي مين
الـQ*) اللي هي .. واسميها مثلا ZK ناقص ZK مايس
واحد يعني عددهم هذولة اللي بظهر الـU ناقص الـU
بظهر عبارة عن أكم واحدة من هذولة سماشن لهمعبارة عن
الـ two فئة ناقص واحد من الـ terms نجي الآن إيش
اللي كاتبوا شوف قلنا لت Q star بيساوي Q اتحاد من
الـ B إبسلون الـ Q star صار refinement لمين؟ للـ B
إبسلونإذا الـ Q*) حسب اللي حكيته هناك has at most
N ناقص واحد more than points than main Q على
الأكتر هيكون عدد اللي في الـ Q*) العناقص اللي في
Q*) عند Canon اللي في الـ Q اللي في ال .. أمسح
اللي فوق بس زي ما قلت اللي في الـ By اللي في الـ
By هي عبارة عن X0X1 Xm-1 لعند Xm اللي في ال Q هي
عبارة عن Y0 Y1 Ym-1 لعند Ym اللي في ال Q*) إيش
هيصير انه أكيد هذي و هذي هم نفسهم فأكيد لو بدأنا ب
Z0 و انتهينا بأخر واحدة Z مين ZB مثلا هيكون اللي
هوعال أكتر، عال أكتر، عال أكتر الـQ*) بتزيد عن
الـP بجداش بالنقاط هذولة اللي لو كانت مش مكررات من
هنا خالص اللي هي بيصير عندى في داخل هذه عدد عناصر
الـQ*) أكتر من عدد عناصر الـQ بعال أكتر أناقص واحد
وكل هذا تبع اللي هو النقاط اتكرر المعها دولة او ما
اتكررنش ما اتكررنش بالمرة بيكون بالظبط عددهم اللي
هو ال YM زائد ال N ناقص واحد لو ما اتكررنش ولا
واحدة يعني بمعنى اخر ال Q start زيد عن ال Q ب N
ناقص واحد من النقاط
طيب زي ما قال إذن So Q star تحتوي بي إبسلون and Q
star has at most N نقص واحد more points than Q
namely those points among اللي هي النقاط اللي من
مين اللي بيكون الزيادات من ال X واحد لعندي ال X N
ال X N نقص واحد that is belongs to B star but not
to مين to Q اللي هدول اللي بتكون الزيادات طيب نطلع
لفوقالآن بما أن الـ Q صار تحتوى لـ Q إذا أكيد الـ
UQ ناقص الـ UQ صار أكبر سوى 0 طبعا عارفين ليش لأن
الـ refinement دائما لل upper sum بيجلله ماشي عشان
يصير refinement عشان يبطل يطلع فوق ينزل إشي بسيط
فهذا في الـ refinement معناته بيصير الـ UQأصغر من
مين؟ أكبر من مين؟ من الـUQ UQ star لأنه في
الـrefinement الأعلى بجلد مدام بجلد إذا هذا UQ
ناقص UQ star أكبر أو يساوي سفر الآن زي ما سمنا if
we write UQ star بيساوي Z node Z واحد عند مين؟ عند
ZB then لو أجينا بدنا نحسب الآن UQ F ناقص UQ star
وFخلّيني اوضّح لك
خلّيني اكتبها ماعليش عندي U Q و
F ناقص U Q Star و F
الـ summation الأولى العبارة عن الـ summation له
اللي هي M J في 100 في الـ Q اللي هو Y J minus Y J
minus 1 J من عند 1 لعند الـ M ناقص ال summation
للتانية اللي هي MK Star في مين؟ في Z K-Z K-1 K من
عند 1 لعند مين؟ لعند الـ B اللي فرضناها إيش اسمها
اللي هي الـ B زي ما قولت قبل بشويةلو كان هذولة
اللي صارن زيادات هنا اللي صارن زيادات هنا ال X
نقطة من X واحد لعند X اناقس واحد لو توزع بين هذولة
يعني بمعنى أخر كل هدف في حالة الـ M أكبر من N
اتوزع بينهين هيعمل اللي هو ال intervals زي ما قلنا
2 في N ناقص 1 في هذه ال intervals هيكون اللي هو
الـ Mj و الـ Mk قد يكون المختلفاتلكن في الباقي
اللي أصلا مادخلهنش إش جديد وضلت الـQ زي الـQ*)
فبتكون M تبعت الـQ و M*) تبعت الـQ*) زي بعض فبصير
هذه ناقص هذه بساوي 0 اللي هي الـMj والمك بساوي 0
يعني بمعنى آخرالـ terms اللي هتكون ع صورة MJ ناقص
MK star ع الأكثر ع الأكثر اللي ممكن يكون المختلفات
عبارة عن جداش جماعة اتنين في N ناقص واحد يعني هذول
عدد هنا ع الأكتر طبعا في ZK minus ZK minus واحد
تبعي اللي هو التجزئة الجديدة لإنه هذه التجزئة اللي
بتجسمها ل sub intervals يعني ع الأكتر هذول عدد هنا
جداش اتنين في N ناقص واحدهذا أنا قلته لما في حالتي
الأم أكبر من أنافي حالة الـ M أصغر أو يساوي N
بيصير اللي هو في الشيء .. بيصير اللي هو غصبًا عنها
مدام الـ N أكبر وبدها تدخل الـ X1 عليهم غصبًا عنها
هيكون في الداخل انطبج على مين؟ على إيش من هان يعني
مش هيعمل إن 2 في N ناقص 1 هيعمل إن أجل من هيك إلا
في حالة اللي هي M بتساوي N بتطلع اللي هو على
الأكثر ممكن يطلع 2 في N-1 لأنه ما بيظلش فيه عنده
اللي هو مكان بين هذوله يدخلن فبضطر ان اللي هو اكيد
هيكون من منين من جواك اللي هي هذه او بكون اللي جوا
برضه مش هيزيدن عن اتنين في الـ-1 اذا اللي هي دخلن
على أماكن غير مين حتى في حالة ال M ال M أصغر من N
لأ هيدخلن هيدخلن يعملن sub intervals هيختلفن برضه
نفس الشيء يعني لو دخلت X1 هنا و X2 هنا فبصير برضه
يعملن sub intervals في مجموحينلن يتجاوز ان اتنين
في ان ناقص واحد لأن عدد ان ناقص واحد من النقاط
الجديدة ال X1 X2 عند Xn ناقص واحد ان شاء الله تكون
واضحة هذه الصورة يعني مختصرها انههن اللي ممكن ما
يحفظلش على اللي هو الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الاللي
هي بس اللي هي N ناقص واحد من النقاط اللي هتصنعني
بس اتنين في N ناقص واحد على الأكثر من ال .. اللي
هي ال M واحد أو ال Mj تختلف عن ال M كستار طيب،
ماشي الحالة ان شاء الله تكون المضحكة هذه لأن هي بس
هذه النقطة اللي بدها توضيح في الباقي هيكون بإذن
الله سعيد إذا صار زي ما قلنانرجع لهذا then U Q F
نقص U Q Star و F can be written as the sum of at
most اتنين في M نقص واحد terms of the form M J نقص
M K Star في Z K minus Z K minus واحد لأن عدد هذه
الدولة على الأكثر اللي هو بالشكل هذا إذا الآن لو
أجينا بدي أحسبلك اللي هو الـ M J نقص M K Starهذه
هيكون أصغر أو يساوي مج زائد مك
وكل واحدة طبعاً هذا supremum على فترتها وهذا
supremum لل F على فترتها أكيد أصغر أو يساوي ال M
زائد ال M لأن هذا ال M عبارة عن ال supremum على كل
ال interval A وB هذا على جزءه هذا على كل ال
interval A وB هذا على جزءه يعني في النهاية هذا
أصغر أو يساوي قداش 2 في M يعني هيصير عندي الآن ال
absolute value لل M J ناقص M K Starفي ZK-ZK-1
هيكون أصغر أو ساوى 2Mفي مين؟ في اللي هي طول الـ
interval هذه طول الـ interval هذه طب هذه الـ
interval zk minus zk minus 1 أكيد أصغر أو يساوي
مين؟ norm لـ Q star مين norm لـ Q star؟ اللي هو ال
supremum على مين؟ على أطوال ال subintervals ال
supremum أكيد أكبر أو يساوي واحدة منهم طول واحدة
منهملكلهم وهذه دائماً لما نزيد العدد قلنا لما نكون
Q يحتوي Q*) automatic norm لـ Q*) زي ما قلنا المرة
الفاتة هيكون أصغر أو يشوي .. آسف لما يكون Q
substantive لـ Q*) يكون norm لـ Q*) عكسه أصغر أو
يشوي norm من لـ Qإذا الـ N هذا أصغر أو يساوي هذا و
هذا نفسه أصغر أو يساوي مين؟ الـ Q و الـ Normal Q
أصغر من مين؟ من دلتا ما احنا على أساسه اللي هي
اشتغلنا إذا صار عندي هذا Normal أصغر من دلتا يعني
نرجع لهذا هذا المقدار كل واحد لحاله أصغر من اتنين
أم في مين بيصير؟ في دلتاالأن عدد هذول اللي ممكن
يظهر في UQ ناقص UQ star عبارة عن 2M ناقص 1 يعني في
النهاية هذا أصغر أو يساوي اللي هو عدد الـ 2M ناقص
1 مضروب في مين؟ في اللي هي 2M2M في Delta لأن هذا
نفسه أصغر يساوي 2M و هذا نفسه أصغر يساوي Deltaالان
هدولة بتكرر على الأكتر اتنين فئة ناقص واحد هذا ..
هذا بتكرر في هذا المقدار على الأكتر في هذا و
الباقية هيتصفر زي ما قلنا إذا صار هيكون هذا أصغر
أو يساوي عدد تكرار من اتنين فئة ناقص واحد في اتنين
M في مين في Delta فإذا صار عندي الآن ال UQF ناقص
ال UQ star و F أصغر أو ساوي اتنين فئة ناقص واحد في
اتنين M في مينفى delta نصبوت اللى هو هذا عبارة عن
قداشة جماعة نيجى نحسبها عشان نصل للي بدنايا صار
عندى اللى هو ال U Q F U star و F Q F ناقص U
UQF-UQF UQF
-UQF UQF
-UQF UQF-UQF UQF-UQF UQF-UQF UQF-UQF UQF-UQF UQF
-UQF UQF-UQF UQF-UQF UQFفى اللى هو M فى Delta اللى
هو أكيد هذا أصغر من أربعة فى N فى M فى Deltaمظهورة
ولا لأ؟ لأن الـ N أكبر من مين؟ من الـ N نقص واحد
الـ Delta إيش اخترناها؟ ما هي الحسابات من الأول
حاسبينها احنا اخترنا الـ Delta فوق عبارة عن جداش
لإن احنا كنا عارفين حالنا أصلا بنصل لها المرحلة
فبدنا نخلي هذه ي على تلاتة ليش ي على تلاتة؟ بعد
شوية تشوف اللي هي عبارة عن ي هذه ي على 12N في مين
في Nهذه الآن لما أشيل هذه و أضرب هذه فيها بيصير
أربعة في واحد و الان مع الان و الام مع الام و هذي
بيصير جداش تلاتة إذا صار عندي الان U Q و F ناقص U
Q Star و F أصغر من epsilon ع تلاتةيعني بمعنى آخر
صار عند الـ U Q و F أصغر من إبسل من ع تلاتة زائد U
Q star من و F ماشي الحال إذا هذه ال in quality
التانية اللي وصلناها اللي هتوصلني في النهاية للي
بديه ونشوف كيف هتوصلنيطيب يا جماعة صلوا على النبي
عليه الصلاة والسلام تنسوش أنه احنا في الأول حصلنا
على U بي و أف ماطس أل بي و أف أصغر من مين من
إبسلون على تلاتة وحصلنا على U بي و إبسلون هذا أصغر
من إبسلون على تلاتة هنحتاجها بعد شوية خليني اكتبها
التانية عند حصلنا قبل هيك على ال U بي و أف ماطس أل
بي و أف أصغرمن epsilon ع تلاتة وطبعا اكيد اللي هي
اصغر من u بي ابسلون و اف عشان لا نرجع الهاشمون
اقصال بي ابسلون و اف كله اصغر من ابسلون ع تلاتة
هاي كمان هدول التنتين حصلناها ماشي طيب الان
اللي عملنا هذا اللي هو مع ال upper sumبنعمل نفسه
مع مين مع اللي هو our sum هنلاقي اللي هو LQ يعني
LQ star و F ناقص LQ F هنلاقيه هنا على الأكتر
باختلاف أنه هو التو فئة ناقص واحد من التلزمه و و و
الاخر و بنكمل نفس الاشي بطل عند LQ star و F ناقص
إبشر على تلاتة أصغر من مين من LQ F إذا similarly
for هذه اللي عملناها هذه ما حد بنعمله مع اللي هو
الـ L L of Q star و F ماقص اللي هو إبسلون ع تلاتة
أصغر من L Q O mean O F ماشي الحال، طيب and exactly
زي ما بنقول similar argument symbolize that اللي
كتبناهلنبدأ نجمع معلوماتنا عشان نصل لإنه الـ
Riemann Sum نقص الـ integration يكون إيه شماله
اللي هو أصغر من إبسلون، انتبهوا كيف عشان يمكن هيك
تكون أسهل لنا نرسم خط الأعداد وهنا هخلينا اللي هو
نحط الـ U أكي و FU Q F هي أصغر من
أبسلون على تلاتة زي U U أستار U F عندي
U Q F
بس خليني عشان أحط ال L قبل ل L قبل هه عشان مفيش
وسح أنا جماعة بعد أذنكم خليني بس هكتب الأول أشنب
ده بمين ب L L Q و Fالـ Refinement طبعاً لـ L, Q,
Star و F قبلها زي ما انتوا عارفين L, Q و F خليني
أعمل هذه قبلها عشان تظبط أحسن L, Q, Star و F ناقص
بصناعة تلاتة وهذه LUQF معايا هى هذه بتكون قبل هذه
طيب ال QF أكيد بعدها مين UQF صح ولا لأ أكيد طيب
بعد ال UQF إيش بتيجي بتيجي هنا إبسلون ع تلاتة زائد
UQ star و F مظبوطمظبوط اكيد؟ طيب اذا انا اجيت لخصت
المعلومة هذه و لخصت المعلومة هذه اللي هي أصغر من
epsilon ع تلاتة UQF UQF ولا ال PUF هذه المسافة
بينهم ايه اشمل يا جماعة؟أصغر من إبسلون ع تلاتة
واضح أه؟ ومن هنا قال لك U square of F نقص هذه وهذه
إبسلون وهذه بالترتيب اللي احنا حصلنا عليه طيب الان
طبيعي اللي هو ال remansum و ال integration هيكون
بين ال lower و بين main اللي هو إياش الأبر إذن
أكيد أكيد أكيد ال remansum تبعنا هي بدينا نصل للي
جدنا إياها ال CQFواللي هو ال integration من a إلى
b إلى ال F هيكون بين ال lower و بين ال upper ال
integration موجود لأن مراس الدور جللنا إذا هذوله
صار اللي هو بين هذه و بين هذه إذا صار هذه و هذه
بين هذه الدنتينوهذه طبعا ال U Q F و اللي قاله Q F
واضح .. واضح انه اللي هو وين في داخل الفترة اللي
هي L Q Star و F ناقص أبسل على ثلاثة و U Q Star و F
أبسل على تلاتة يعني بين .. هذه طبعا .. بين هذه و
بين مين و بين ال interval هذه يعني subset من مين
جايل من I أبسلوناللي هي I Epsilon بتساوي اللي هو
الفترة هذه من هنا لعند الـ hand هو اللي مسمينها
احنا اشمالها I Epsilon بين L Q Star و F نقص
Epsilon ع تلاتة و U Q Star F و Epsilon ع تلاتة
الآنU Q Star و F ناقص قالك U Star و F ما مسحتاش
لسه أنا U Q Star F و قالك U Star F أصغر من مين من
إبسلون ع تلاتة لأ اللي هي U
Q Star Fوقال الـ Q star F حصلنا عليها قبل هيك أنها
أصغر من مين من إبسل ع تلاتة طبعا من وين بنحصلها؟
ممكن نحصلها مبقى من هنا ده كما حصلناش أن الـ Q
star و F و الـ By بتحتوي الـ By فهيكون الـ U اللي
حصلنا أولا بالنسبة لمن؟ لاللي هي الـ By حصلنا قبل
هيك أن الـ Uبإبسلون و ال ال بإبسلون الفرق بين همين
إبسلون على تلاتة و ال Q star refinement إذا أكيد
المسافة بين ال other طبعا في ال refinement المسافة
بين ال other و ال other هتصغر لكل refinement ال U
بما أن هذه refinement إذا ال Uلأ الـ Q star و F
ناقص L Q star و F أصغر أو يساوي لأنها صارت تحسين
عليها مازالت صارت تحسين يعني بتجلل مسافة بين ال
Upper و الLower عشان نروح في الآخر لل integration
ناقص أصغر أو يساوي لL B epsilon و F U ناقص L B
epsilon و F اللي هي هذه أصغر من 100من إبسلون وينها
أصغر من إبسلون ع تلاتة أصغر من إبسلون ع تلاتة إذا
فعلا عرفنا من وين إجت هذه أصغر من مين من إبسلون ع
تلاتة إذا صار عندي ال length لهذهالـ length لهذه
سهل نوجده بعليش خلّيني أكتب فوق عشان لو جبتلكم ال
length إلها عشان أقولكم إنه هذه و هذه هيكون اللي
هو بالبعد المطلوب تحسبلي الآن هذه ناقص هذه بصير
عبارة عن طول ال interval mean Iy بساوي ال UQ star
و F زائد إبسلون على تلاتة ناقص تبعين معيار ال Q
star و F ناقص ناقص بيصير زائد إبسلون على تلاتة و
يساوي اللي هو إبسلون على تلاتة و إبسلون على تلاتة
اتنين إبسلون على تلاتة زائد U Q star و F ناقص ال Q
star و F اللي هم هذولةهذه اللي كتبتها لسه ماحتنش
أصغر من مين من يبسلون على تلاتة فبتصير هذه طولها
أصغر من اتنين يبسلون على تلاتة زائد يبسلون على
تلاتة ويساوي يبسلون إذا صار عندي طول الـ interval
اللي أسي Qf والـ integration A وBموجودة في كل
الفترة هذه اللي هي المسافة بينهم عبارة عن أصغر من
مين من Epsilon إذا صار عندي الآن ال integration
أين أكتب ال integration إذا صار عندي إذا صار عندي
المسافة بين هذه و هذهSQF نقص ال integration من A B
ل F أصغر من مين يا جماعة من يبسط من مين هذا تحت
شرط مين إنه normally Q هذا أصغر من A H من دلتا
أصغر من دلتا بقول إيه أحنا خلصنا اللي بدنا إياه
نوقف
الجيجا بحثها
أه يا أبو حسن بقول هيك أحنا خلصنا برهان نظرية أول
حد يقول لي أنه اللي هو المسافة بين U وQ قال الـ Q
أصغر من يبسلون على تلاتة لأ احنا ماقلناش هيك
البسافة بين الأصغر من يبسلون على تلاتة اللي هو الـ
P يبسلون الـ U P يبسلون والـ L P يبسلون وأي
refinement له بس الـ Q هنا مش refinement هذا بس
اللي بنعرف أنه norm لـ Q أصغر من مين من دلتا أصلا
احنا بدنا نصل لإنهالمسافة بين هذولة اللي هو أصغر
من إبسلون وعلى طول منها بنستنتج هذه فكيف وصلنا
بإننا قلنا اللي هو ال integration هذه في هذه
الفترة والفترة هذه جزء من هذه وهذه قلنا هذه طولها
على الأكثر بساوي إبسلون عشان هيك صارت المسافة بين
هذه وهذا أصغر من إبسلون وهو المطلوب طيب نيجي الآن
ده اللي هي النظرية اللي بعدها theorem
لت I بتساوي A وB و لت F من I لعند R بيكون فنكشف
suppose there exists a number B such that لكل Y
أكبر من 0 if B is any partition of I with normal B
أصغر من Delta and S of Bi is any corresponding
Riemann sum اللي هو then لهذا أصغر من إبسلون then
F is integrable on I in the sense of definition
716 يعني وكأننا جاعدين بنقول conversely إيش بنقول؟
بنقول
إنه لو كان عندي اللي هو limit لو كان عندي limit
اللي هو الـ S أو B و F as normal B بروح للسفر
exist و بسوء some number B إذن هذا الـ B بسوء ال
integration من A لB F of X DX يعني بقوللي لو كان
هذا متحققلو كان هذا متحقق بيعطيني إنه هذا هو هيطلع
اللي هي هتطلع F-integrable وهيكون بيه هذا اللي هو
ال limit هذا هو قيمة مين ال integration ليش؟ لأن
هذا اصلا شو معناته؟هذا معناته for every epsilon
أكبر من صفر there exist اللي هو delta أكبر من صفر
such that b أصغر من delta بيؤدي إلى S B و F ناقص
ال B اللي مفترضين أصغر من مين ال epsilon هذا هو
معناته هذا يعني أن اللي هو المعطىطبعا f bounded من
رأس الدور لجهنا number b بحيث ان لكل epsilon او fb
is any partition بحيث ان normal b أعلى من delta
وكانت اللي هي المسافة بين الـ B أصغر من Epsilon
هذا .. ده متحقق اللي هو هذا كله عبارة هو عبارة عن
limit S بي و F as and non-invalid اللي هو سفر
بساول B إذا .. إذا اتحقق هذا بتكون اللي هي F
integrable وقيمة الـ B هذه اللي هي قيمة ال limit
بساول integration هذه اللي هي عبارة عن .. النظرية
عبارة عن اللي هو بن ..اللي هي دمج بين اللي هي
نظريات السابقة المرة الماضية نشوف كيف اللي هو
البرهن برهن بسيط لإنه بعتمد عليه بشكل سريعلت y
أكبر من 0 و delta أكبر من 0 as in the theorem اللي
هو اللي في الـ theorem اللي فوق المقصود فيها النص
هذه قدت بي إبسلون بي partition of I with نفترض أنه
norm بي إبسلون أصغر من 200 من دلتا هذا المعطى ماشي
الحال نفترض أنه إبسلون أكبر من 0 arbitrarily و
delta أكبر من 0أو نفترض أن بي إبسلون أي partition
بحيث أنه نورمه إيه شماله أصغر من دلتا لكن لو جينا
أخدنا بيه أي partition آخر و بيه محتوى بيه إبسلون
هيكون نورم ال partition بيه هذا اللي هو ال
refinement أكيد أصغر أو سوى نورم مين الأصلي اللي
هو أصغر من دلتا صار عنده الآن لكل إبسلون أكبر من
سفر there exists دلتا بحيث أنه نورم البي إبسلون
أصغر من دلتاولأي partition بي refinement لبيبسلون
صار norm أصغر من delta إذا من اللي هو ال .. بواسط
اللي هو النظرية السابقة حيكون عند ال S minus البي
أصغر من ابسلون يؤدي إلى هذا بيبساو ال integration
لإن إيش كانت نظرية سبعة أربعة تلاتة بتشترط تشترط
إنه نلاقي لكل ابسلون
أي بارتشن بي ابسلون بحيث أن أي بي بتحتول بي ابسلون
يؤدي إلى هذا أصغر من إبسلون كله على بعض بيؤدي F
أشمالها is integrable إذا بيواصل 7 4 3 مدام حصلنا
على ال S بي و F نقص ال V أصغر من إبسلون بيكون هذا
اللي حصلنا عليه اللي هو P بساوة ال integration لل
F على الفترة من A لB يعني بمعنى أخر احنا اللي
حصلنا الآن من النظريتين أن F is integrableF is
integrable if and only if limit الـ S,B وF من
normal B بيروح للسفر exist وبساوي قيمة ال
integration يعني الآن ال integration أوصلنا له عبر
طريقين إما عبر طريق اللي هو limit للرمان sumيكون
exist أو عبر الطريق الآخر لأن ال upper .. ال upper
integral والlower integral يكون جد بعض ومتساويين
وحيكون في هذه الحالة هم ال integration وقف
هنا يا أبو حسن كم ساعة .. كم
عندك الوقت؟
نخلصها هيك و نبدأ تانية؟ لأن الجزء الثاني هذا اللي
هو الimprover integral بس بطولش بياخد نص ساعة انت
قاعد معايا للجد إيش؟ أكيد؟ مديش أضغط عليك يا أبو
حسن طيب لأ خلينا نخلص هذه ما هو درس 17 ها؟ هلجيت
18؟
هي الان بتبدأ في المحاضرة 18 خلصنا 17 كيف؟
هك مكون احنا خلصنا المحاضر رقم 17 اللي هو ال
integration as a limit بعد شوية هنكمل ال section
هذا مظبوط بس هنكمله بموضوع جديد اللي هو عبارة عن
الimprover integral وإلى لقاء آخر والسلام عليكم
ورحمة الله وبركاته