إيش يا أبو حسين؟ بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله
رب العالمين والصلاة والسلام على سيد المرسلين سيدنا
محمد وعلى آله وصحبه أجمعين هذه هي المحاضرة رقم 17
في مساق تحليل حقيقي 2 لطلاب وطالبات الجامعة
الإسلامية كلية العلوم قسم الرياضيات بدأنا اليوم
استكمالًا للي بدأنا المرة الماضية حكينا المرة
الماضية عن الـ integration as a limit قلنا إحنا
قبل كنا عارفين ال integration أنه موجود على أساس
أن ال upper integral U of F يساوي ال lower
integral L of F قلنا المرة الماضية أن إحنا بدنا
نروح باتجاه إنه نصل في النهاية إنه هذا الكلام اللي
هو الـ Integrability يكافئ إن نصل إنه ال limit
طبعًا وفي حالة وجوده هنسميه بساوي ال integration من
a لـ b of x dx قلنا المرة الماضية إنه هنصل في
النهاية في نهاية ال section 7-4 إنه هذا اللي هو ال
condition أو هذا ال definition يكافئ إنه نقول
limit اللي هو SB و F as norm B أو الـ mesh تبع الـ B
بيروح لـ 0 وفي هذه الحالة إذا كان هذا exist بيصير
... هيساوي ال integration من A لـ B F of X DX يعني
بمعنى آخر... بمعنى آخر أنه اللي هو هذا طبعًا الـ
Riemann Sum أن الـ limit لل Riemann sum as الـ
partition B بيروح للـ 0 لو كان exist هيصير اللي هي
F is integrable والـ integration لها هو عبارة عن
قيمة هذا الـ limit ولو كان ال integration exist
طبعًا بالمفهوم اللي هو هذا هيكون عنده ال limit هذا
exist وهيساوي قيمة مين؟ ال integration هذا اللي
حنصل إليه في النهاية اللي حكيناه المرة الماضية
بشكل سريع اللي هو عرفنا إيش هو معنى اللي هو ال
Riemann Sum اللي أمامنا هذا بعد هيك اللي هو إيجينا
أخذنا اللي هي الخاصية الأولى قلنا دائمًا ال Riemann
Sum بين اللي هو ال lower sum وبين ال upper sum و
بعدين اللي هو إيجينا قلنا اللي هو النظرية ال... ال
... ال... ال... ال... ال... ال... ال... ال... ال...
ال... ال... ال... ال... ال... ال... ال... ال... ال
... ال... ال... ال... ال... ال... ال... ال... ال...
ال... ال... ال... ال... ال... ال... ال... ال... ال
... ال... ال... ال... ال... ال... ال... ال... ال...
ال... ال... ال... ال... ال... ال... ال... ال... ال
... ال... ال... ال... ال... ال... ال... ال... إذا
كانت F Integrable إذا لكل Y أكبر من 0 نجد نلاقي
partition بي إبسلون و by such that إذا كانت بي أي
اللي هو refinement partition refinement للبي
إبسلون يعني يحتوي البي إبسلون هيكون وكان عند ال
S P U F عبارة عن اللي هو ال Riemann Sum بكون الـ absolute
value ال integration بين S بي و F مقصد ال
integration إيش ماله؟ أصغر من مين؟ من إبسلون يعني لو
F is integrable هنلاقي بي إبسلون بحيث كل الـ B
بتحتوي بي إبسلون هيكون ال absolute value بين
ال Riemann Sum هذا أصغر من مين؟ من اللي هي إيش؟ إبسلون
طيب بعد هيك كتبنا عن البرهان هذا وصار في عندي الآن
اللي هو النظرية الثانية أيضًا برهناها والنظرية
الثانية كانت تقول أن لو كانت F is bounded الآن...
وقدرنا... وبدنا الآن نفترض أن لجينا اللي هو
number a يحقق ماله إيش؟ هذا number a يحقق أن لكل
epsilon أكبر من 0 ونلاقي بي إبسلون بحيث أن أي بي
يحتوي بي إبسلون و S اللي هي أي Riemann Sum و then اللي
هي S, B و F ناقص a أصغر من إبسلون إذا كان هذا الكلام
كله على بعضه اتحقق لما نلاقي a بحيث يقول لكل إبسلون
أكبر من صفر اللي هو نلاقي بي إبسلون لو كان بي
إبسلون بحيث أن بي بتحتوي بي إبسلون وهذا ال Riemann
Sum هيعطيني هذا هذا كله على بعضه ال conditions زي ما
قلنا المرة الماضية بيعطينا أن F إيش مالها؟
Integrable وهذا الـ A اللي حقق هذه الشروط هنا هو
قيمة ال integration هذا اللي حكيناه المرة الماضية
وبعدين اللي هو إحنا إيجينا وعرفنا شو معنى ال mesh أو
ال norm إذا بذكركم ال mesh أو ال norm هو عبارة عن ال
supremum لاللي هي أطوال ال subintervals تبعات ال
partition قلنا ال norm للبيبس أو ال supremum لهذه
اللي هي الأطوال تبعات ال subintervals اللي ناتجة
من ال partition B هذا اسمنا ال mesh أو ال norm أخذنا
بعض اللي هي الخواص وصغفنا عند مين؟ عند Darboux's
theorem اليوم بدنا نبدأ نشرح في مين؟ في Darboux's
theorem نشوف إيش Darboux's theorem بتقول الآن بقول
لي let i بتساوي a و b اللي هي bounded interval و F
من I لعنب R Integrable on I in the sense of
definition 716 يعني بقول لي نفترض أن F is an
integrable function حسب تعريف 716 يعني ال
upper integral بيساوي ال lower integral بيساوي ال
integration هذا اللي هو ال definition 716 الآن
بقول لي then for every epsilon أكبر من 0 then for
every epsilon أكبر من صفر there exists delta such
that الآن لو كان P is any partition of I وال
norm P أصغر من Delta وكان عند ال S P و F اللي
هو is any corresponding Riemann sum then ال
integration بين ال S P... البعد بين ال integration
بين ال S P وال integration أصغر من مين؟ أصغر من
Epsilon بس
بقى في دقيقة يا أبو حسن
أيوة أنا في محاضرة... أنا في محاضرة وبسجل... أيوة
أه في
كلية العلوم؟ من قال لك في كلية العلوم؟
لأ يا عم أنا روحت على دراسات العلوم اللي قالولي
طلعن أه... بعرفش... بعرفش كلام هو صحيح ولا لأ لأ
لأ بقى طيب يا راجل أنا في المحاضرة ماشي مع السلام
... ماشي بقى كله مروح مع السلام ليش؟
مع السلام... بس شوف كيف مع السلام
اعطيني بس تليفون هذا في العلوم 1600 أنا عارف الله
ده
الدس
اه هو كده روح إذا أبو بلال الموجود روح
وعليكم السلام عليك يا أبو سامي كيف حالك؟ كيف صحتك؟
الله يبارك فيك الحمد لله الله عزيزي عنك هل في إلي
عندكم رسالة تابعة السنّاق؟ وتابعة ياسر؟ طب... طب
... مين عندك؟ قاعد بتسأل عليه لو... لو أبو أكرم
أخذن بس وحطن في غرفتي لأنه أنا قاعد بصور والله
يبقى اه... اه... اه... الله يبارك فيك يا عزيزي أنا
بجيبها المفتاح هو اه اه ماشي
لو حتى أنا يعني أنا موجود بس بنتأخر يعني التصوير
ممكن أظل الثلاثة ماشي ماشي الله بقى أرفع حاجة
لأنه بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس
بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس بس
ب
إذن Darboux's theorem زي ما قلنا إن لو كانت F
integrable function بقول إذا لكل إبسلون أكبر من 0
بقدر ألاقي Delta أكبر من 0 بحيث أن لو كان بي أي
partition بحيث أن ال... اللي هو ال... ال... ال
norm للـ B أصغر من Delta و S, B و F أي
corresponding Riemann Sum بالنسبة للـ B هيعطيني أن
ال absolute value بين اللي هو أو البعد بين S, B و
F ناقص ال integration أصغر من إبسلون يعني وكأنه
بقول من تحت بطنانه ال integration ال integration
لل F لو F is integrable بيعطينا أن بمفهوم اللي هو
716 بكون عنده limit ال SB و F as norm B
بيروح للصفر بيساوي بالظبط integration من A لـ B F of X
DX لأن إيش معناه هذا؟ معناه هذا اللي هو حسب الـ
epsilon delta Definition for every epsilon أكبر من
صفر there exists delta أكبر من صفر such that if
norm B أصغر، ناقص الصفر أصغر من دلتا then هيعطيني
الـ absolute value للـ S, P و F ناقص ال
integration من A لـ B F of X DX كله أصغر من مين؟ من
إبسلون إذا اللي بدنا نثبته بدنا لكل إبسلون نلاقي
Delta بحيث أن لما أي partition نورمه أصغر من Delta
يعطيني الفرق بين الـ Riemann Sum وبين الـ
Integration يكون أصغر من مين؟ من Epsilon هذه اللي
هي اللي بتقول لنا Darboux's Theorem أن لو F is
integrable إذا اللي هو الـ limit لاللي هو الـ
Riemann Sum هو حيساوي هذا ال integration اللي
فرضنا إحنا إيش ماله؟ أنه موجود خلينا نشوف كيف بدنا
انبرهن النظرية و ركزوا معي واتبعوا إيش اللي بدنا
نحكيه عشان نصل للي هو المطلوب طيب صلى الله عليه
الصلاة والسلام أول شيء بما أن F is integrable الـ
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. الإذن الآن أخفرضت epsilon
arbitrary بدي أدور على الـ delta اللي لما ال
norm بيه أصغر من delta يعطيني الفرق بين هذه و
هذه أصغر من مين من epsilon لذا هيك رايح أنا لأن
إذن بما أن أفنتي جربت لكل epsilon أكبر من 0 بقدر
ألاقي partition الآن سميته بي إبسلون اللي هو x0 و
x1 لعندي xn such that ال U ال upper sum لل بي
إبسلون و F ناقص ال lower sum لل بي إبسلون و F أصغر
من مين من إبسلون سميتهاش أنا إبسلون على تلاتة
للحسابات طبعا أصغر من إبسلون في الدنيا من ضمنها
الإبسلون على تلاتة هذا حسب الريمان criterion أو ال
integrable criterion طيب moreover لأن لو كانت عندي
ال B أي B partition بحتوى ال بي إبسلون أكيد هيكون
اللي هو ال .. ال .. ال .. هذا بيصير refinement
مدام refinement ال refinement التحسين ال lower
بعله و ال upper بقاشه بينزل يعني بمعنى آخر هيكون
ال lower لل refine .. لل refinement أو التحسين
أكبر أوي سوى مين ال lower للأصل ال بي إبسلون وأكيد
الـ lower لل B و ال F أكيد أصغر أو سوء القبر لل B
و ال F in general و القبر لل B و F قلنا مدامه
تحسين إذا أكيد بنزل بصغر عن مين عن اللي صار له
تحسين اللي هو مين U, B, Y و F إذا صار عندي الآن ..
هي عندي ال L .. ال L, B, Y و F وهذا L, B و F وهذا
الـ U, B و F وهذا الـ U, B, E, F واضح إن المسافة
بين الـ U, B, E, F و الـ L, B, E, F أكيد أكبر أو
تساوي المسافة بين الـ U و الـ L للـ B و الـ F يعني
هذه المسافة واضح إنها أكبر أو تساوي هذه المسافة
يعني بمعنى آخر هيكون الـ U, B, F نقص lbf أصغر أو
يساوي لـ U بي إبسلون نقص ل L بي إبسلون و F هذا
لمين؟ عدي ال .. ال .. ال بي إبسلون من فوق حصلنا
عنها أصغر من إبسلون ع تلاتة إذا صار عند ال U بي إف
و ال L بي إف المسافة بينهم برضه أصغر من مين؟ من
إبسلون ع تلاتة إذا الآن صار عند أيب لجأت الـ
بإبسلون و أي بي بيحتوى الـ بإبسلون لجئنا المسافة
بين الـ U بي و F ناقص الـ L بي و F أصغر من مين من
إبسلون على 3 ماشي الحال هذا اللي حصلناه في الأول
الآن احنا زي ما قلنا ادورتنا ع مين يا جماعة
ادورتنا على الـ Delta اللي لما ال Norm بيه أصغر
من Delta يعطينا المسافة بين الريمان صموا ال
integration أصغر من إيش من أبسلون الآن أنا بتدعي
أو الكاتب بتدعي أنههناخد Delta بقيمة معينة و هتشوف
إنها فعلاً هذه الـ Delta بتحقق طبعاً الـ Delta هذه
نتيجة إحسابات اللي هو بيبقى مشة على برهان كامل و
في الآخر لجأ الإحساب اللي بيخلي اللي هو قيمة هنا
Epsilon الدلتة اللي بياخدها الآن طيب، قبل ما نقول
إيش الـ Delta بدنا نعطي الرمز الـ F is bounded,
integrable لإنها مدام bounded أو integrable
السبريمم إلها على كل الفترة موجود خذ الـ Supremum
لقيمة الدالة F of X للـ X element in the interval
I سميها إيش بتساوي؟ سميها بتساوي M Capital، ماشي
الحال، الآن بادعي الآن إن دلتا اللي هتظبط معنى و
تجيبلنا اللي هو القيمة اللي بدنا إياها اللي هي
أصغر من إبسلون، اللي هي دلتا بتساوي إبسلون على
اثنا عشر N في مين في M N مين هذه، N اللي ظهرت في ال
partition هنا اللي هو عدد عناصر ال partition اللي
جزأني الفترة هي N زائد 1 هذا مين ال partition اللي
لجيته في الريمان من خلال ال integrability للأف إذاً
where الـ N زائد واحد is the number of parts in B
إبسلون يعني الـ Delta بتساوي إبسلون على 12 في N
الـ N ارتبطت بال partition اللي لجيته والـ M هي
عبارة عن ال supremum لكل الدالة على كل الفترة
المذكورة نيجي الآن
Now let Q بيساوي Y not Y واحد و Y اتنين لعند Y M
مش N، Y M ماشي بـ any partition of I with ال
absolute value للـQ أو ال norm للـQ أصغر من Delta
أيش يا جماعة قاعد أنا أحاول أصل للي بديها؟ أيش
غرضي؟ إن لكل epsilon أكبر من 0 بدي ألاقي delta
بحيث أنه أي partition أصغر من delta norm يعطيني
الفرق بين رمان صمه وال integration أصغر من epsilon
وكأنه الآن بدأت أحط أيدي على الجرح وأصل أقول let Q
بيساوي Y0 Y1 YM بأي partition Norm أصغر من مين؟
من Delta متوقع أنا أنه في النهاية عشان أخلص
النظرية أثبتلك أنه ال absolute value لأ اللي هو ال
S ال UF ناقص ال integration من قلبي f of x dx يطلع
لي أصغر من مين من إبسلون إذا أثبتت هذا بناء على
اختياري للـ Delta اللي عندي وبناء على كل ال cues
اللي نورهم أصغر من Delta يعطيني هذا ناقص هذا أصغر
من إبسلون وبقول خلصت وبرهنت اللي هي نظريتي
Darboux theorem خلّينا نشوف كيف بدنا نروح لهذه
اللي هي نثبتها إنها أصغر من إبسلون تعالي شوية الآن
لأن let Q*) بسوى Q اتحادين بإبسلون هذه بي إبسلون
مين اللي لجيتها فوق اللي هي عبارة عن بي إبسلون
بإبسلون هي الفترة من a لعند b بإبسلون اللي هي أش
جزأة للفترة هذه هذي x note هذي x1 هذي x2 هذي x3
لما أصل xn ناقص واحد لما أصل هنا عند مين xn اللي
هي مين ال b هذي مين جزأها جزء الفترة هذه واحدة
اسمها بإبسلون نيجي الآن اتجزأت الفترة بمين بالـ Q
الـ Q مين هي بدأت ب Y note طبعا هي ايه Y1 و Y2 و
Y3 لعند مؤصل لعند Y M ناقص واحد وهنا اللي هي YM
اللي هي طبعاً مين هي اللي هي الـB هذه الـQ جزقتها
بشكلها اللي أمامي مع العلم إن الـQ هي تبعتنا
لنورمها أصغر من مين من Delta الآن بيقوللي خد Q*)
إيش بتساوي؟ الـQ اتحاد من الـBإبسلون صارت الآن
الـQ هذه بساوة بي بي ستار اتحاد لـ Q هذه مين هي الـ
Q star طبعا النقطة الأولى X not هي نفسها Y not
والـ Xn هي مين الـ Yn اللي يعني ممكن يكون
المختلفات اللي هي من X واحد لعند Xn نقص واحد يكون
المختلفات عن هدول الاتحاد أقصى حدودهم يعني إذا بدهم
يعملنّي sub intervals زيادات هيكون أقصى حدودهم
اللي لنا اللي هي X1 و X2 و X3 و X-1 ماتنطبقش ولا
على أي Y1 ولا Y2 ولا Y3 ولا Y أم minus 1 متى ما
انطبقلنش معناته أنه هيكونين وين موجودات في داخل ال
intervals معناته كل واحدة عملتلها إلا عن فترة تاني
جداد اللي هو في الفترة تانية الإجداد يعني لو إجت
هنا الـ X1 هنا مثلا بيكون هذه عملة فترة تانية لو
إجينا سمينا هذه المنطقة اللي هو M1 star اللي هو M1
مين اللي هو ال maximum أو ال supreme على مين على
ال partition الجديد Q star وهذه سمناها هتكون M2*)
هيصير الـ M1*) بتختلف لأن هذه عبارة عن الـ
Supremum على المنطقة هذه بينما بالنسبة للـ Q لو
أجينا لـ Maximum تبعها أو Supremum تبعها هنسميه M1
هذا الـ M1 قد يختلف عن الـ M1 Star وعن مين الـ M2
Star لأن الـ M1 على هذه كلها بينما الـ M1 Star على
هذه والـ M2 Star على هذه اللي هو الـ Supremum
للدالة على الجزء من هذا أو الجزء من هذا قد يختلف
عن الـ Supremum عن الجزء هذا يعني الآن الـ الـ الـ
الـ الـ subintervals جديدة هتولدلي M1 maximum
لعناصر للـ function على اللي هي الكلي بختلف عن مين
عن الجزء قد يختلف الـ N لكن اللي .. اللي .. لو كانت
اللي هي عدد هنا دولة اللي هي الـ N أكبر من الـ N
هتتوزع .. هتتوزع اللي هو الـ X1 والـ X2 لإذا
اختلفن كمان واتوزعن مختلفات هيتوزعن وين؟ في
المناطق اللي هيجبل ما نخلص الـ YM يعني هتلاقيها كل
واحدة مكان لأن الـ M أكبر من الـ N اللي بتضال بدون
ما تدخلها واحدة من الـ X1 أو X2 أو X3 هتسير في ال
partition الجديد Q هي نفسها في الاصل في ال
partition main الـ Q يعني هيكون الـ M هنا الـ star و ال
M نفسها هيكون زي بعض يعني هيكون التنتين بنفس
القيمة عشان هيك لو أجينا طرحنا اللي هو .. اللي هي
قيمة ال lower sum ال upper sum على ال Q star مع ال
upper sum على ال Q هيصير عندي اللي هنا يظهر اللي
هو M من العادية أو M من الـ Star ناقص الـ M من الـ
Star لأنه بيكون قد يكون المختلفات لكن اللي هان مش
هيظهر لأنه هيصير الـ M ناقص M من الـ Star صفر إذن
هيصير عندي ظهور هذولة في كم فترة عن أكثر هاي
واحدة تنتين بضل أمشي لـ N ناقص واحد لإن عددنا دولة
من X1 عند XN ناقص واحدة كم واحدة N ناقص واحد يعني
على الأكثر هيكون عدد ال sub intervals اللي اجداد
عملاً اللي هو 2 في N ناقص واحد اللي اتجسمت تنتين
تنتين الآن فبصير عندي ال summation هذا لو جينا لو
أخدنا لك الـ U الـ U star مع الـ اللي الـ F ناقص الـ U
الـ QF هيكون عبارة عن إيش يا جماعة اللي هنا هيتصفر
حيساوي الصميه كم واحدة من هذولة هيكون على الأكثر
الشكل هذا واحدة اسمها مثلا MK MJ زي ما هو مسميها
والتاني M star K هذولة على الأكثر على الأكثر على
الأكثر هيكون عددهم قداش عددهم عبارة عن اثنين فئة
ناقص واحد مضروبات في طول الفترة هذه الفترة الصغيرة
اللي هي .. اللي هي الفترة تبعت .. اللي هي مين
الـ Q*) اللي هي .. واسميها مثلا ZK ناقص ZK ماينص
واحد يعني عددهم هذولة اللي بظهر الـU ناقص الـU
بظهر عبارة عن كم واحدة من هذولة summation لهم عبارة عن
الـ two فئة ناقص واحد من الـ terms نجي الآن إيش
اللي كاتبوا شوف قلنا لـ Q star بيساوي Q اتحاد من
الـ B إبسلون الـ Q star صار refinement لمين؟ للـ B
إبسلون إذا الـ Q*) حسب اللي حكيته هناك has at most
N ناقص واحد more than points than main Q على
الأكثر هيكون عدد اللي في الـ Q*) العناصر اللي في
Q*) عند Canon اللي في الـ Q اللي في ال .. أمسح
اللي فوق بس زي ما قلت اللي في الـ By اللي في الـ
By هي عبارة عن X0X1 Xm-1 لعند Xm اللي في ال Q هي
عبارة عن Y0 Y1 Ym-1 لعند Ym اللي في ال Q*) إيش
هيصير أن أكيد هذي و هذي هم نفسهم فأكيد لو بدأنا ب
Z0 و انتهينا بأخر واحدة Z مين ZB مثلا هيكون اللي
هو على الأكثر، على الأكثر، على الأكثر الـ Q*) بتزيد عن
الـ Q بقداش بالنقاط هذولة اللي لو كانت مش مكررات من
هنا خالص اللي هي بيصير عندي في داخل هذه عدد عناصر
الـ Q*) أكثر من عدد عناصر الـ Q بـ على الأكثر N ناقص واحد
وكل هذا تبع اللي هو النقاط اتكررت معها دولة أو ما
اتكررتش ما اتكررتش بالمرة بيكون بالظبط عددهم اللي
هو ال YM زائد ال N ناقص واحد لو ما اتكررتش ولا
واحدة يعني بمعنى آخر ال Q start زيد عن ال Q بـ N
ناقص واحد من النقاط
طيب زي ما قال إذن So Q star تحتوي B إبسلون and Q
star has at most N نقص واحد more points than Q
namely those points among اللي هي النقاط اللي من
مين اللي بيكون الزيادات من ال X واحد لعندي ال X N
ال X N نقص واحد that is belongs to B star but not
to مين to Q اللي هدول اللي بتكون الزيادات طيب نطلع
لفوق الآن بما أن الـ Q صار تحتوي لـ Q إذا أكيد الـ
UQ ناقص الـ UQ صار أكبر سواء 0 طبعا عارفين ليش لأن
الـ refinement دائما لل upper sum بيجلله ماشي عشان
يصير refinement عشان يبطل يطلع فوق ينزل إشي بسيط
فهذا في الـ refinement معناته بيصير الـ UQ أصغر من
مين؟ أكبر من مين؟ من الـ UQ UQ star لأنه في
الـ refinement الأعلى بيجلد مدام بجلد إذا هذا UQ
ناقص UQ star أكبر أو يساوي صفر الآن زي ما سمينا if
we write UQ star بيساوي Z node Z واحد عند مين؟ عند
ZB then لو أجينا بدنا نحسب الآن UQ F ناقص UQ star
و F خليني أوضح لك
خليني اكتبها معليش عندي U Q و
F ناقص U Q Star و F
الـ summation الأولى العبارة عن الـ summation له
اللي هي M J في 100 في الـ Q اللي هو Y J minus Y J
minus 1 J من عند 1 لعند الـ M ناقص ال summation
للتانية اللي هي MK Star في مين؟ في Z K-Z K-1 K من
عند 1 لعند مين؟ لعند الـ B اللي فرضناها إيش اسمها
اللي هي الـ B زي ما قلت قبل بشوية لو كان هذولة
اللي صارن زيادات هنا اللي صارن زيادات هنا ال X
نقطة من X واحد لعند X ناقص واحد لو توزع بين هذولة
يعني بمعنى آخر كل هدف في حالة الـ M أكبر من N
توزع بينهين هيعمل اللي هو ال intervals زي ما قلنا
2 في N ناقص 1 في هذه ال intervals هيكون اللي هو
الـ Mj و الـ Mk قد يكون المختلفات لكن في الباقي
اللي أصلا ما دخلهنش إشي جديد وضلت الـ Q زي الـ Q*)
فبتكون M تبعت الـ Q و M*) تبعت الـ Q*) زي بعض فبصير
هذه ناقص هذه بيساوي 0 اللي هي الـ MJ والمك بيساوي 0
يعني بمعنى آخر الـ terms اللي هتكون على صورة MJ ناقص
MK star على الأكثر على الأكثر اللي ممكن يكون المختلفات
عبارة عن قداش يا جماعة اثنين في N ناقص واحد يعني هذول
عدد هنا على الأكثر طبعا في ZK minus ZK minus واحد
تبعي اللي هو التجزئة الجديدة لإن هذه التجزئة اللي
بتجسمها ل sub intervals يعني على الأكثر هذول عدد هنا
قداش اثنين في N ناقص واحد هذا أنا قلته لما في حالتي
الام أكبر من N في حالة الـ M أصغر أو يساوي N
بيصير اللي هو في الشيء .. بيصير اللي هو غصبًا عنها
مدام الـ N أكبر وبدها تدخل الـ X1 عليهم غصبًا عنها
هيكون في الداخل انطبج على مين؟ على إيش من هان يعني
مش هيعمل أن 2 في N ناقص 1 هيعمل أن أجل من هيك إلا
في حالة اللي هي M بتساوي N بتطلع اللي هو على
الأكثر ممكن يطلع 2 في N-1 لأنه ما بيظلش فيه عنده
اللي هو مكان بين هذوله يدخلن فبضطر أن اللي هو أكيد
هيكون من منين من جواك اللي هي هذه أو بكون اللي جوا
برضه مش هيزيدن عن اثنين في الـ N-1 إذا اللي هي دخلت
على أماكن غير مين حتى في حالة ال M ال M أصغر من N
لأ هيدخلن هيدخلن يعملن sub intervals هيختلفن برضه
نفس الشيء يعني لو دخلت X1 هنا و X2 هنا فبصير برضه
يعملن sub intervals في مجملها لن يتجاوز أن اثنين
في N ناقص واحد لأن عدد N ناقص واحد من النقاط
الجديدة X1 X2 عند Xn ناقص واحد إن شاء الله تكون
واضحة هذه الصورة يعني مختصرها أن اللي ممكن ما
يحفظلش على اللي هو الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الاللي
هي بس اللي هي N ناقص واحد من النقاط اللي هتصنعني
بس اثنين في N ناقص واحد على الأكثر من ال .. اللي
هي الـ M واحد أو الـ Mj تختلف عن الـ M كستار طيب،
ماشي الحالة إن شاء الله تكون المضحكة هذه لأن هي بس
هذه النقطة اللي بدها توضيح في الباقي هيكون بإذن
الله سعيد إذا صار زي ما قلنا نرجع لهذا then U Q F
نقص U Q Star و F can be written as the sum of at
most اثنين في M نقص واحد terms of the form M J نقص
M K Star في Z K minus Z K minus واحد لأن عدد هذه
الدولة على الأكثر اللي هو بالشكل هذا إذا الآن لو
أجينا بدي أحسب لك اللي هو الـ M J نقص M K Star هذه
هيكون أصغر أو يساوي مج زائد مك
وكل واحدة طبعاً هذا supremum على فترتها وهذا
supremum لل F على فترتها أكيد أصغر أو يساوي ال M
زائد ال M لأن هذا ال M عبارة عن ال supremum على كل
ال interval A و B هذا على جزءه هذا على كل ال
interval A و B هذا على جزءه يعني في النهاية هذا
أصغر أو يساوي قداش 2 في M يعني هيصير عندي الآن ال
absolute value لل M J ناقص M K Star في ZK-ZK-1
هيكون أصغر أو يساوي 2M في مين؟ في اللي هي طول ال
interval هذه طول ال interval هذه طب هذه الـ
interval zk minus zk minus 1 أكيد أصغر أو يساوي
مين؟ norm لـ Q star مين norm لـ Q star؟ اللي هو ال
supremum على مين؟ على أطوال ال subintervals ال
supremum أكيد أكبر أو يساوي واحدة منهم طول واحدة
منهم لكلّهم وهذه دائماً لما نزيد العدد قلنا لما نكون
Q يحتوي Q*) automatic norm لـ Q*) زي ما قلنا المرة
الفاية هيكون أصغر أو يسوي .. آسف لما يكون Q
substantive لـ Q*) يكون norm لـ Q*) عكسه أصغر أو
يشوي norm من الـ Q إذا الـ N هذا أصغر أو يساوي هذا و
هذا نفسه أصغر أو يساوي من؟ الـ Q و الـ Normal Q
أصغر من من؟ من دلتا ما احنا على أساسه اللي هي
اشتغلنا إذا صار عندي هذا Normal أصغر من دلتا يعني
نرجع لهذا هذا المقدار كل واحد لحاله أصغر من اثنين
أم في من بيصير؟ في دلتا الآن عدد هذول اللي ممكن
يظهر في UQ ناقص UQ star عبارة عن 2M ناقص 1 يعني في
النهاية هذا أصغر أو يساوي اللي هو عدد الـ 2M ناقص
1 مضروب في من؟ في اللي هي 2M 2M في Delta لأن هذا
نفسه أصغر أو يساوي 2M و هذا نفسه أصغر أو يساوي Delta الآن
هدولة بتكرر على الأكثر اثنين فئة ناقص واحد هذا ..
هذا بتكرر في هذا المقدار على الأكثر في هذا و
الباقية هيتصفر زي ما قلنا إذا صار هيكون هذا أصغر
أو يساوي عدد تكرار من اثنين فئة ناقص واحد في اثنين
M في من في Delta فإذا صار عندي الآن ال UQF ناقص
ال UQ star و F أصغر أو يساوي اثنين فئة ناقص واحد في
اثنين M في من في delta مضروب اللي هو هذا عبارة عن
قد إيش جماعة نيجي نحسبها عشان نصل للي بدنا إياه صار
عندي اللي هو ال U Q F U star و F Q F ناقص U
UQF-UQF UQF
-UQF UQF
-UQF UQF-UQF UQF-UQF UQF-UQF UQF-UQF UQF-UQF UQF
-UQF UQF-UQF UQF-UQF UQF في اللي هو M في Delta اللي
هو أكيد هذا أصغر من أربعة في N في M في Deltaمظهرة
ولا لأ؟ لأن الـ N أكبر من من؟ من الـ N ناقص واحد
الـ Delta إيش اخترناها؟ ما هي الحسابات من الأول
حاسبينها احنا اخترنا الـ Delta فوق عبارة عن جداش
لأن احنا كنا عارفين حالنا أصلا بنصل لها المرحلة
فبدنا نخلي هذه ي على ثلاثة ليش ي على ثلاثة؟ بعد
شوية تشوف اللي هي عبارة عن ي هذه ي على 12N في من
في N هذه الآن لما أشيل هذه و أضرب هذه فيها بيصير
أربعة في واحد و الآن مع الآن و الام مع الام و هذه
بيصير جداش ثلاثة إذا صار عندي الآن U Q و F ناقص U
Q Star و F أصغر من epsilon ع ثلاثة يعني بمعنى آخر
صار عند الـ U Q و F أصغر من إبسلون ع ثلاثة زائد U
Q star من و F ماشي الحال إذا هذه ال in quality
الثانية اللي وصلناها اللي هتوصلني في النهاية للي
بدي إياه ونشوف كيف هتوصلني طيب يا جماعة صلوا على النبي
عليه الصلاة والسلام تنسواش أنه احنا في الأول حصلنا
على U بي و أف ماينص أل بي و أف أصغر من من
إبسلون على ثلاثة وحصلنا على U بي و إبسلون هذا أصغر
من إبسلون على ثلاثة هنحتاجها بعد شوية خليني أكتبها
الثانية عند حصلنا قبل هيك على ال U بي و أف ماينص أل
بي و أف أصغر من epsilon ع ثلاثة وطبعا أكيد اللي هي
أصغر من u بي إبسلون و اف عشان لا نرجع الهاشمون
اقصال بي إبسلون و اف كله أصغر من إبسلون ع ثلاثة
هاي كمان هدول التنتين حصلناها ماشي طيب الآن
اللي عملنا هذا اللي هو مع ال upper sum بنعمل نفسه
مع من مع اللي هو lower sum هنلاقي اللي هو LQ يعني
LQ star و F ناقص LQ F هنلاقيه هنا على الأكثر
باختلاف أنه هو التو فئة ناقص واحد من التلزمه و و و
الاخر و بنكمل نفس الشيء بطل عند LQ star و F ناقص
إبشر على ثلاثة أصغر من من من LQ F إذا similarly
for هذه اللي عملناها هذه ما حد بنعمله مع اللي هو
الـ L L of Q star و F ماينص اللي هو إبسلون ع ثلاثة
أصغر من L Q O mean O F ماشي الحال، طيب and exactly
زي ما بنقول similar argument symbolize that اللي
كتبناه لنبدأ نجمع معلوماتنا عشان نصل لإنه الـ
Riemann Sum ناقص الـ integration يكون إيه شماله
اللي هو أصغر من إبسلون، انتبهوا كيف عشان يمكن هيك
تكون أسهل لنا نرسم خط الأعداد وهنا هخلينا اللي هو
نحط الـ U أكي و FU Q F هي أصغر من
إبسلون على ثلاثة زي U U أستار U F عندي
U Q F
بس خليني عشان أحط ال L قبل ال L قبل هه عشان مفيش
وسع أنا جماعة بعد أذنكم خليني بس هكتب الأول أشنب
ده بمن ب L L Q و F الـ Refinement طبعا لـ L, Q,
Star و F قبلها زي ما أنتو عارفين L, Q و F خليني
أعمل هذه قبلها عشان تظبط أحسن L, Q, Star و F ناقص
بإبسلون ع ثلاثة وهذه LUQF معايا هي هذه بتكون قبل هذه
طيب ال QF أكيد بعدها من UQF صح ولا لأ أكيد طيب
بعد ال UQF إيش بتيجي بتيجي هنا إبسلون ع ثلاثة زائد
UQ star و F مظبوط مظبوط أكيد؟ طيب إذا أنا اجيت لخصت
المعلومة هذه و لخصت المعلومة هذه اللي هي أصغر من
epsilon ع ثلاثة UQF UQF ولا ال PUF هذه المسافة
بينهم إيه اشمل يا جماعة؟ أصغر من إبسلون ع ثلاثة
واضح أه؟ ومن هنا قال لك U square of F ناقص هذه وهذه
إبسلون وهذه بالترتيب اللي احنا حصلنا عليه طيب الآن
طبيعي اللي هو ال remansum و ال integration هيكون
بين ال lower و بين main اللي هو إيش الأبر إذن
أكيد أكيد أكيد ال remansum تبعنا هي بدينا نصل للي
جدنا إياه ال CQF واللي هو ال integration من a إلى
b إلى ال F هيكون بين ال lower و بين ال upper ال
integration موجود لأن مراس الدور جللنا إذا هذوله
صار اللي هو بين هذه و بين هذه إذا صار هذه و هذه
بين هذه الدنتين و هذه طبعا ال U Q F و اللي قاله Q F
واضح .. واضح إنه اللي هو وين في داخل الفترة اللي
هي L Q Star و F ناقص إبسلون على ثلاثة و U Q Star و F
إبسلون على ثلاثة يعني بين .. هذه طبعا .. بين هذه و
بين من و بين ال interval هذه يعني subset من من
جايل من I إبسلون اللي هي I Epsilon بتساوي اللي هو
الفترة هذه من هنا لعند الـ hand هو اللي مسمينها
احنا شماله I Epsilon بين L Q Star و F ناقص
Epsilon ع ثلاثة و U Q Star F و Epsilon ع ثلاثة
الآن U Q Star و F ناقص قالك U Star و F ما مسحتاش
لسه أنا U Q Star F و قالك U Star F أصغر من من
إبسلون ع ثلاثة لأ اللي هي U
Q Star F و قال الـ Q star F حصلنا عليها قبل هيك أنها
أصغر من من من إبسلون ع ثلاثة طبعا من وين بنحصلها؟
ممكن نحصلها مبقى من هنا ده كما حصلناش أن الـ Q
star و F و الـ By بتحتوي الـ By فهيكون الـ U اللي
حصلنا أولاً بالنسبة لمن؟ للي هي الـ By حصلنا قبل
هيك أن الـ U بإبسلون و ال ال بإبسلون الفرق بينهم إيش
إبسلون على ثلاثة و ال Q star refinement إذا أكيد
المسافة بين ال other طبعا في ال refinement المسافة
بين ال other و ال other هتصغر لكل refinement ال U
بما أن هذه refinement إذا ال U لأ الـ Q star و F
ناقص L Q star و F أصغر أو يساوي لأنها صارت تحسين
عليها ما زالت صارت تحسين يعني بتجلل مسافة بين ال
Upper و الLower عشان نروح في الآخر لل integration
ناقص أصغر أو يساوي ل L B epsilon و F U ناقص L B
epsilon و F اللي هي هذه أصغر من 100 من إبسلون وينها
أصغر من إبسلون ع ثلاثة أصغر من إبسلون ع ثلاثة إذا
فعلاً عرفنا من وين اجت هذه أصغر من من إبسلون ع
ثلاثة إذا صار عندي ال length لهذه ال length لهذه
سهل نوجدها عليش خلّيني أكتب فوق عشان لو جبتلكم ال
length إلها عشان أقولكم إنه هذه و هذه هيكون اللي
هو بالبعد المطلوب تحسبلي الآن هذه ناقص هذه بيصير
عبارة عن طول ال interval mean Iy بساوي ال UQ star
و F زائد إبسلون على ثلاثة ناقص تبعين معيار ال Q
star و F ناقص ناقص بيصير زائد إبسلون على ثلاثة و
يساوي اللي هو إبسلون على ثلاثة و إبسلون على ثلاثة
اثنين إبسلون على ثلاثة زائد U Q star و F ناقص ال Q
star و F اللي هم هذولة هذه اللي كتبتها لسه ما حتنش
أصغر من من يبسلون على ثلاثة فبتصير هذه طولها
أصغر من اثنين يبسلون على ثلاثة زائد يبسلون على
ثلاثة ويساوي يبسلون إذا صار عندي طول الـ interval
اللي أسي Qf و ال integration A وB موجودة في كل
الفترة هذه اللي هي المسافة بينهم عبارة عن أصغر من
من من Epsilon إذا صار عندي الآن ال integration
أين أكتب ال integration إذا صار عندي إذا صار عندي
المسافة بين هذه و هذه SQF نقص ال integration من A B
ل F أصغر من من يا جماعة من يبسط من من هذا تحت
شرط من إنه normally Q هذا أصغر من A H من دلتا
أصغر من دلتا بقول إيه احنا خلصنا اللي بدنا إياه
نوقف
الجيجا بحثها
أه يا أبو حسن بقول هيك احنا خلصنا برهان نظرية أول
حد يقول لي إنه اللي هو المسافة بين U وQ قال الـ Q
أصغر من إبسيلون على تلاتة لأ احنا ما قلناش هيك
المسافة بين الأصغر من إبسيلون على تلاتة اللي هو الـ
P إبسيلون الـ U P إبسيلون والـ L P إبسيلون وأي
refinement له بس الـ Q هنا مش refinement هذا بس
اللي بنعرف أنه norm لـ Q أصغر من مين من دلتا أصلا
احنا بدنا نصل لإنه المسافة بين هذولة اللي هو أصغر
من إبسيلون وعلى طول منها بنستنتج هذه فكيف وصلنا
بإننا قلنا اللي هو ال integration هذه في هذه
الفترة والفترة هذه جزء من هذه وهذه قلنا هذه طولها
على الأكثر بساوي إبسيلون عشان هيك صارت المسافة بين
هذه وهذا أصغر من إبسيلون وهو المطلوب طيب نيجي الآن
ده اللي هي النظرية اللي بعدها theorem
لت I بتساوي A وB و لت F من I لعند R بيكون فانكشن
suppose there exists a number B such that لكل Y
أكبر من 0 if B is any partition of I with norm B
أصغر من Delta and S of Bi is any corresponding
Riemann sum اللي هو then لهذا أصغر من إبسيلون then
F is integrable on I in the sense of definition
716 يعني وكأننا جاعدين بنقول conversely إيش بنقول؟
بنقول
إنه لو كان عندي اللي هو limit لو كان عندي limit
اللي هو الـ S أو B و F as norm B بروح للسفر
exist و بسوء some number B إذن هذا الـ B بسوء ال
integration من A لB F of X DX يعني بقوللي لو كان
هذا متحقق لو كان هذا متحقق بيعطيني إنه هذا هو هيطلع
اللي هي هتطلع F-integrable وهيكون بيه هذا اللي هو
ال limit هذا هو قيمة مين ال integration ليش؟ لأن
هذا اصلا شو معناته؟ هذا معناته for every epsilon
أكبر من صفر there exist اللي هو delta أكبر من صفر
such that b أصغر من delta بيؤدي إلى S B و F ناقص
ال B اللي مفترضين أصغر من مين ال epsilon هذا هو
معناته هذا يعني أن اللي هو المعطى طبعا f bounded من
رأس الدور لجهنا number b بحيث ان لكل epsilon أو fb
is any partition بحيث ان normal b أعلى من delta
وكانت اللي هي المسافة بين الـ B أصغر من Epsilon
هذا .. ده متحقق اللي هو هذا كله عبارة هو عبارة عن
limit S بي و F as and norm B اللي هو سفر
بساول B إذا .. إذا اتحقق هذا بتكون اللي هي F
integrable وقيمة الـ B هذه اللي هي قيمة ال limit
بساول integration هذه اللي هي عبارة عن .. النظرية
عبارة عن اللي هو بن .. اللي هي دمج بين اللي هي
نظريات السابقة المرة الماضية نشوف كيف اللي هو
البرهان برهان بسيط لإنه بعتمد عليه بشكل سريع لت y
أكبر من 0 و delta أكبر من 0 as in the theorem اللي
هو اللي في الـ theorem اللي فوق المقصود فيها النص
هذه قدت بي إبسيلون بي partition of I with نفترض أنه
norm بي إبسيلون أصغر من 200 من دلتا هذا المعطى ماشي
الحال نفترض أنه إبسيلون أكبر من 0 arbitrarily و
delta أكبر من 0 أو نفترض أن بي إبسيلون أي partition
بحيث أنه نورمه إيه شماله أصغر من دلتا لكن لو جينا
أخدنا بيه أي partition آخر و بيه محتوى بيه إبسيلون
هيكون norm ال partition بيه هذا اللي هو ال
refinement أكيد أصغر أو يساوي norm مين الأصلي اللي
هو أصغر من دلتا صار عنده الآن لكل إبسيلون أكبر من
صفر there exists دلتا بحيث أنه norm البي إبسيلون
أصغر من دلتا لأي partition بي refinement لبيبسلون
صار norm أصغر من delta إذا من اللي هو ال .. بواسطة
اللي هو النظرية السابقة حيكون عند ال S minus البي
أصغر من إبسيلون يؤدي إلى هذا بيبساو ال integration
لإن إيش كانت نظرية سبعة أربعة تلاتة بتشترط تشترط
إنه نلاقي لكل إبسيلون
أي بارتشن بي إبسيلون بحيث أن أي بي بتحتول بي إبسيلون
يؤدي إلى هذا أصغر من إبسيلون كله على بعض بيؤدي F
أشماله is integrable إذا بيواصل 7 4 3 مدام حصلنا
على ال S بي و F نقص ال V أصغر من إبسيلون بيكون هذا
اللي حصلنا عليه اللي هو P بساوة ال integration لل
F على الفترة من A لB يعني بمعنى آخر احنا اللي
حصلنا الآن من النظريتين أن F is integrable F is
integrable if and only if limit الـ S,B وF من
norm B بيروح للسفر exist وبساوي قيمة ال
integration يعني الآن ال integration أوصلنا له عبر
طريقين إما عبر طريق اللي هو limit للرمان sum يكون
exist أو عبر الطريق الآخر لأن ال upper .. ال upper
integral والlower integral يكون جد بعض ومتساويين
وحيكون في هذه الحالة هم ال integration وقف
هنا يا أبو حسن كم ساعة .. كم
عندك الوقت؟
نخلصها هيك و نبدأ تانية؟ لأن الجزء الثاني هذا اللي
هو ال improper integral بس بطولش بياخد نص ساعة انت
قاعد معايا للجد إيش؟ أكيد؟ ما بديش أضغط عليك يا أبو
حسن طيب لأ خلينا نخلص هذه ما هو درس 17 ها؟ هلجيت
18؟
هي الآن بتبدأ في المحاضرة 18 خلصنا 17 كيف؟
هيك مكون احنا خلصنا المحاضرة رقم 17 اللي هو ال
integration as a limit بعد شوية هنكمل ال section
هذا مظبوط بس هنكمله بموضوع جديد اللي هو عبارة عن
ال improper integral وإلى لقاء آخر والسلام عليكم
ورحمة الله وبركاته