بسم الله الرحمن الرحيم هذه هي المحاضرة رقم 28 مساق
تحليل الحقيقة 2 طلاب وطالبات الجامعة الإسلامية كلية
العلوم قسم الرياضيات الآن هنبدأ في ال section 9-3
اللي هو tests for non-absolute convergence tests
for non-absolute convergence الآن لو لاحظنا اللي
هو حديثنا في السابق كان على اللي هو tests for
absolute convergence كل اللي هي ال series اللي
فحصناها اللي هي بواسطة اللي هي series of positive
terms أو اللي هي absolute convergence للي هي ال
series الآن لو كانت عندي ال series مش اللي هي
positive terms لو كانت اللي هي series متغيرة
الإشارة زي عندنا لو جينا summation ناقص واحد ثم
نزيد واحد على n وsummation ناقص واحد ثم نزيد واحد
على جذر ال n الآن بدنا اللي هو نعمل testing for
absolute convergence أو for convergence test for
convergence لهذه ال series مش في .. بدنا نحكي الآن
عن test for convergence لأن absolute convergence
بنعرفها من اللي هو خلال السابق الآن بلزمنا إذا
الحديث عن حاجة اسمها alternating series إيش ال
alternating series لو كانت عندي X بالساوية XN of
non-zero real numbers يعني هدولة عبارة عن real
numbers مش صفار اللي هو ممكن تاخد موجبة أو سالبة
ولكن ال set to be alternating الآن لما بنقول عنه
ال alternating بدنا نيجي أنه انقيدهم بمعنى أخر it
is set to be alternating if the terms ناقص واحد
أس n زائد واحد XN are all positive or all
negative يعني يا كلها دولة أيش موجبات يا كلها أيش
سالبات if the sequence X بيساوي XN اللي هي is
alternating we say that the series summation اللي
هي it generates is an alternating أيش ما لها
series مدام هذه كلها positive أو كلها negative صارت
على بعض و هذه تنساش أنه مرة بتاخد positive و مرة
بتاخد negative إذا ال series ال Xn أو ال Xn الأصلي
هذه هتكون مرة بتاخد موجب و مرة بتاخد سالب أو مرة
بتاخد سالب و مرة بتاخد موجب فعشان هيك بدل ما
نكتبها زيك و نقول هذه دايما كلها موجبة بنيجي
بنكتبها بصورة ثانية بنقول خلينا نكتب ال series Xn
تساوي ناقص واحد أس n زائد واحد في مين في Zn وبتصير الآن
Zn هي اللي دايما positive و هذه هي اللي بتحدد
الإشارة عشان هيك اللي لما نحكي عن ال alternating
series هنصير نكتبها على الصورة هذه ناقص واحد أس أن
زائد واحد أو ناقص واحد أس n في Zn و Zn دايما تكون
موجبة و الناقص واحد أس n زائد واحد أو ناقص واحد
أس n هتتحدد لي هياللي هو إنها مرة موجبة و مرة
سالبة هل هتحدد اللي هو في الأول موجب وبعدين سالب
حسب اللي هو الأس n زائد واحد أو الأس n الآن نيجي
اللي هو بدنا نفحص ال series اللي منها النوع هل هذه
ال series اللي هي converge ولا diverge وهذا اللي هو
الشيء الجديد عن اللي هو ال section السابق الآن
اللي بنقوله alternating series test let Z بتساوي
ZN be a decreasing sequence of strictly positive
numbers with limit ZN بساوي صفر إذا في عندي شروط
الآن لل series اللي أنا بده أفحصها أول حاجة بدي
أكون عندي Zn عبارة عن decreasing sequence وكل
واحدة of strictly positive numbers وكل واحدة إيه
شمالها عبارة عن positive number يعني أكبر من 0
strictly و اللي هو لكل N فصار عندى اللي هو شرطين
إنها تكون decreasing و limit و الـ Zn أكبر من 0
strictly لكل N و الشرط الثالث اللي هو limit الـ ZN
يساوي صفر إذا صارت الـ sequence اللي بده أكوّن
منها ال alternating series تحقق ثلاث شروط ZN
decreasing sequence strictly positive numbers الـ
ZN و limit الـ ZN بساوي صفر اللي أنا بقول لذن الآن
النتيجة ال alternating series الصممش ناقص واحد أس n زائد
واحد ZN إشمالها is convergent إيش مالها؟ هتكون
Convergent وأنت مغمض يعني لو جينا على اللي هو ال
series اللي فوق عندي اللي هي اللي تعرضناها في
الأول اللي هي ال 1 على n اللي هو نصف اللي هو أكبر
من ثلث أكبر من ربع أكبر يعني decreasing و limitها
بساوي صفر وهي alternating وكل واحد ما هو positive
ده هذه ال series إيش مالها؟ Converges حسب نظرية
طبعا it's not absolutely convergent لأن لو في
absolute convergence بترجعلنا للواحد على n series
ماشي الحال الآن عندي نشوف اللي عندنا اللي هو برهان
النظرية let z بالساوية zn be decreasing of
strictly positive numbers with limit zn بساوية 0
then the series summation ناقص واحد أس n زائد واحد zn is
convergent خلينا نشوف يا جماعة
عندي الآن خلّينا نطلّع وين بدنا نروح احنا بدنا
نثبت انه ال .. اللي هو ال series ناقص واحد أس n
زائد واحد زد n n من واحد إلى ما لا نهاية converges
هذا اللي بدنا نثبته ماشي الحال خلّينى نشوف إيش
اللي عندي summation هذا الآن من واحد إلى ما لا
نهاية converges نشوف احسب الأول إيش إيه اللي هو ال
partial sum S 2n S 2n إيش هيساوي عبارة
عن Z واحد ناقص Z 2 زائد Z 3 ناقص Z 4 بفك في ال series هذه
من ال N بتساوي واحد عندي N بتساوي واحد بيصير ناقص
واحد أس n زائد واحد و Z n زي واحد زي ZN ماشي الحال الآن صار عندي
ال S الآن من هاي ال series هاي ال series عندي ماشي
الآن عندي أس 2n زد واحد ناقص زد اثنين زائد
زد ثلاثة ناقص زد أربعة زائد زد خمسة ناقص زد ستة
لما أصل لآخر two two زد 2n ناقص واحد ناقص زد
2n هد مين هي الأس 2n الآن ال sequence
الأصلية زد k decreasing ما دام decreasing إذا zk
ناقص zk زائد واحد أكبر أو يساوي صفر يعني z واحد
ناقص z اثنين أكبر أو يساوي صفر و z اثنين ناقص z
ثلاثة ناقص z أربعة برضه أكبر أو يساوي صفر وهذه أكبر
أو يساوي صفر يعني وكأنه أس 2 اللي هي is
increasing sequence of partial sums ليش؟ الآن it
follows that the subsequence S2 of partial sums is
increasing ليش increasing؟ خلّينا نشوف عندي لاحظ
الآن الآن لو أخدت S2 و S4 و S6 هتلاقي كل مرة إيش مالك
بتضيف term هذا ال term اللي بنضاف اللي هو positive
إذا حيكون الـ S2 as a sequence of partial sums إيش
مالها عبارة عن اللي هو increasing sequence ليش؟ خد
بشكل أوضح من اللي حكيته فوق خد S2 خد Z1 ناقص Z2
ناقص Z3 ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص
ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص
ناقص ناقص ناقص ن
is decreasing يعني هيكون الـ Z أس 2n هذا لما
انضفنا له هذولة ال terms الآن هيكون أصغر أو يساوي
آسف هذولة negative terms بيصير ال negative الآن
لإن هذا negative بيصير ناقص اللي هو هنا Z 2
ناقص Z 3 أصغر اللي هو أكبر أو يساوي صفر وهذا
أكبر أو يساوي صفر وهذا أكبر أو يساوي سفريعني
مضيوفات له صارن سالبات لما نشيلهن هيكبر الـ Z1 لأنه
نكون اتخلصنا من كل السوالب هدولة بيصير أس 2
أصغر و سوء اللي هي ميانة Z1 إذا صارت اللي عند ال
sub sequence هذا ال partial sums اللي هو
increasing بتتزايد ومش هيك was bounded above مدام
increasing و bounded إذا it follows by monotone
convergence theorem that S 2N convert to some
number S يعني الآن S 2N لو حسبناها هتطلع لك
increasing زائد bounded اللي هنقولنا S 2N
أصغر أو يساوي زائد واحد بدون حتى absolute value الآن
ومش هيك كمان و لو حسبت الاس 2n ناقص اس 2
في n ناقص واحد يعني عبارة عن اس 2n ناقص اس
2n ناقص 2 هتلاقيها بتساوي عبارة عن اللي
هي ال term اللي بطلع اللي هو عبارة عن زد واحد اللي
هو ناقص زد 2 زائد
z2n-1-z2n ناقص اللي هو s2n-2 s2n-2 هذا كله لما
أشيله وأشيل هذا مع هذا بيظل z2n-1-z2n وهذا أكبر
أو سوى 0 لأن ال sequence الأصلية decreasing إذا
صار s2n ناقص S2 فان ناقص واحد أكبر و سوء صفر يعني
صار عند الـ S2 أن هذه الـ sequence of partial sums
عبارة عن increasing sequence وهي bounded إذا بتكون
monotone الـ monotone اللي هو bounded sequence إذا
حسب الـ monotone convergence theorem هتكون ليها
هذا الـ subsequence اللي هي sequence of partial sums is
convergent خلّينا نقول converges to some S element
of R الآن من هذه الـ subsequence اللي هي بدي
أثبت لك إن الـ sequence الـ S and نفسها converges
للـ S شوف كيف خذ أي إبسلون أكبر من صفر، there
exists K، such that إذا كانت N أكبر أو يساوي K، بما أن
هذا الـ sequence S2 N converges، إذا سيكون S2 N
ناقص S أصغر من أي إبسلون في الدنيا وليكن إبسلون
على 2 لكن أنا بعرف إنه limit zn يساوي 0 مش جالين إن
هو الـ zn الـ sequence الأصلية يساوي .. limitها
يساوي 0 إذن أكيد limit الـ z2n زائد 1 الباقي اللي
هي الـ .. الـ subsequence منها برضه يساوي 0 مزام
يساوي 0 إذن من عند K معينة و نازل بيكون اللي هو
قيمتها أصغر من أي إبسلون في الدنيا وليكن إبسلون
على 2 عند اللي هي هذه إلها K واحد و هذه إلها K
اثنين أخذت الـ K maximum للتانين و سميتها K إذا
صارت هذه أصغر من نصف إبسلون و هذه أصغر من نصف إبسلون
لكل N أكبر أو يساوي K لماذا؟ لإن الـ limit هذه
يساوي هذه و لإن الـ limit هذه يساوي صفر إذا الآن
بدي أوصل اللي بدي أُثبته اللي هو الـ subsequence
التانية اللي هي الـ S2 N زائد واحد ناقص S برضه
هتكون أصغر من إبسلون زي اللي فاتت يعني الآن S
اثنين N زائد واحد ناقص S ايش يساوي اللي هو عبارة
عن هذه عبارة عن S 2n مضاف إليها من مين الـ term
اللي هو z2n زائد 1 z2n زائد 1 إشارته موجبة لأنه
الأصل في الـ sequence ناقص 1 و S n زائد 1 ف 2n زائد
1 زائد 1 بيصير 2n زائد 2 يعني موجبة يعني فعلاً
بتكون هذه عبارة عن الـ S 2n زائد 1 يساوي S 2n
زائد z2n زائد 1 ناقص الـ S الآن هذا أصغر من نصف
إبسلون و هذا أصغر من إبسلون و هذا المقدار أصغر من
إبسلون إذا صار عندي لأي إبسلون أكبر من صفر there
exists such that دائماً بغض النظر S2 N زائد 1 ولا S2
سيكون الـ S N لأن الفردي و السوي إله ناقص الـ S
هيُطلع أصغر من إبسلون و هذا يعني أنه limit الـ S N
اللي هو exists و يساوي S يعني بمعنى آخر الـ summation
هذا converges و هو المطلوب طيب الـ N بكون هيك احنا
أثبتنا اللي هو مين اللي هو الـ alternating
series أنها converges إذا حققت الشروط اللي حكيناها
الآن it is an exercise to show that if S is the
sum of the alternating series and if S N is its
Nth partial sum اثبت لي إن الـ absolute value دائماً
S ناقص S N أصغر أو يساوي مين Z N زائد واحد الآن
بدنا نأخذ اللي هو اللي هي نحكي عن test اسمه
Dirichlet test و قبل test لكن جايب لهنا بدنا
نأخذ هاللمة اللي هي قبل اللمة نشوف كيف اللي هو
نحاول أن هو أن نبرهن هذه اللمة و أعتقد برهانها سهل لأن
شكلها بالظبط زي كما كنا نعمل integration by
parts في calculus با خلينا نشوف ايش اللي هو اللمة
بتقول و كيف هذه اللمة بتفيدنا في إثبات النظريات
المتبقية في هذا ال section قبل اللمة لت X يساوي
XN و Y يساوي YN بـ Sequences in R ماشي؟ نفترض أن X
و YN عبارة .. و Y Sequences in R and let the
partial sums of summation YN be denoted by Sn الآن
الـ sequence of partial sums للـ yn سميناها Sn
ونفترض نسميه للأس n0 يساوي صفر عشان هيلزمنا لأن
بيقول لي if M أكبر من N then إذا كانت M أكبر من N
يساوي إذا يساوي الـ summation Xk Yk K من N زيادة
واحد عند M يساوي Xm Sm ناقص Xn زيادة واحد Sm Xm Xm
ناقص xn زائد واحد sn زائد الـ summation xk ناقص xk زائد
واحد sk k من n زائد واحد عند m ناقص واحد اتخيل
هذا الـ integration وهذا الـ integration هتلاقي اللي
هو مشابه ل اللي هو الـ integration by parts اللي
كنا نعمله زمان الآن هذه اللمّات .. ليش هي اللمّات؟
اللمّات عشان تستخدمها في برهان نظرية بعد شوية بس
مش أكثر الآن خلينا نشوف ايش البرهان ويقول لي since
yk يساوي sk ناقص sk ناقص واحد عارفينها اللي هي sk
ناقص sk ناقص واحد ايش هيساوي لك الـ yk عارفين ليش
for k يساوي واحد و اثنين و الآخرين الآن the left
side of تلاتة هذا الـ left side of تلاتة is seen to
be obtained to be equal to summation اللي هو XK في
SK ناقص K ناقص واحد الآن هذا هو هذا بنفكه
بيطلع هذا بتشوف كيف انتبهوا عليها حساباتي أنا
متأكد إنكم هتجيبوها لحالكم الآن summation XK YK K
من عند واحد N زائد واحد لعند مين لعند M يساوي
انتبه عليها يساوي بدي أعوض مكان الـ YK اللي هو SK
ناقص SK ناقص واحد يساوي الـ summation XK في YK
اللي هي قلنا SK-SK-1 K من عند N زائد واحد لعند
مين لعندها M يساوي نفرط هذا خلينا نفكه بيصير
عبارة عن KN زائد واحد يعني XN زائد واحد في SN زائد
واحد ناقص SN زائد اللي بعدها XN زائد اثنين في SN
زائد اثنين ناقص SM زائد واحد و يكون خربط زائد اللي
بعدها لما أوصل لآخر واحد اللي هو عبارة عن XM في SM
ناقص SM ناقص واحد و يساوي الآن بدي آخذ اللي هو اضرب
هذا جوا بيصير XN زائد واحد اللي هو في ناقص في ..
بيصير xn اسمحوا لي أكتب هادي xn زائد واحد في Sn زائد
واحد ماشي ناقص عندي xn زائد واحد في Sn ناقص خليني
أكتبها دي لأن xn زائد واحد في Sn ضربت هادي هيها
و ضربت هادي في هادي هيها زائد خلصت من الأولى لأن هذي
بتضاف هنا بعد شوية زائد اللي بعدها xn زائد خلينك
تبقى ضربها تصبح ضناقص اضرب هذه قبلها xn زائد اثنين
sn زائد اثنين زائد واحد ضربت هذه في هذه زائد اللي
هو xn زائد اثنين sn زائد اثنين خذوا الفكرة
أنتم بتحسبوا لحالكم آخر شيء اللي هو عبارة عن XM
في SM أين أكتبها ال XM في SM هذه ناقص اللي هو XM
SM ناقص واحد و يساوي عبارة
عن هذه اللي هي اللي بدنا إياها ال XM سم ناقص xn
زائد واحد سم الآن زائد الآن خذوا لي اللي هو xn
زائد واحد ناقص xn هذا يعني xn زائد واحد xn زائد
واحد و هنا S N زائد واحد ناقص X N زائد اثنين هدول
الاثنتين مع بعض الاثنتين المضروبات في مين؟ في S N
زائد واحد اللي بعيد ده نفس الشيء هلاقي عبارة عن
اللي هو S N زائد اثنين مضروبة في X N زائد اثنين
ناقص
xn زائد تلاتة و أضرب لما آخر الأصل لآخر شيء
هلاجيها عبارة عن هذا راح بيظل اللي جاب له اللي هو
هلاجي اللي هو xm ناقص واحد ناقص xm مضروبة في 100
في Sn الآن هذه هي الأولى هذه و هذا الـ summation
summation هذا هو الـ summation هذا و لو فرضت لك
كمان اثنين تلاتة هيكون تتأكد من هذا الكلام تماماً
هاي عندي اللي هو في حالة K بصي و N زائد واحد بيصير
X N زائد واحد ناقص X N زائد اثنين هاي ها X N زائد
واحد ناقص X N زائد اثنين مضروبة في S N زائد واحد و
لما أوصل عند آخر واحد إذن اللي بيكون هيك احنا أثبتنا
اللي هو هذه اللي هو اللمّة و الآن بدي أستخدم هذه
اللمّة في إثبات اللي هو النظريات اللي بعد هيك طيب،
الآن ما أدريش الـ test بيقول لي بدنا عرض علينا إنه
نعرف اللي هو summation لحاصل ضرب اللي هو XN في YN
is convergent ولا مش convergent طيب لو عرفت معلومات
عن هذه XN و معلومات عن هذه YN هل بعرف اللي هو الـ
convergence الآن هذه الـ .. الـ .. الـ .. الـ .. الـ
theory معاه الـ test الـ Dirichlet test هذا هذا الـ Dirichlet test
الآن هو اللي هيعمل لي testing للـ summation XN في YN
converge اللي عندنا .. نشوف كيف بيقول لي let X
يساوي Xn is a decreasing sequence إذا أول حاجة
مفترض لأن Xn decreasing و limit Xn هيش يساوي صفر
and if the partial sums Sn of Yn are bounded then
Xn is Y of Yn is convergent يعني بتعرض علينا الـ
series بالشكل هذا بعدي بفحص إذا نجيت الـ limit للـ Xn
يساوي صفر و هي decreasing و كانت الـ sequence of
partial sums Yn bounded على طول بقول هذه الـ series
ايش ما لها is convergent إذا بتفحص لي الـ
convergence لهذه الـ series ده نشوف الآن summation
XN YN convergence إذا كانت اللي هي limit XN يساوي
صفر و decreasing و الـ sequence of partial sums
اللي هي للـ YN هذه اللي هو عبارة عن bounded ماشي ايش
معناه bounded؟ يعني اللي هو عند الـ absolute value
لـ S N أصغر أو يساوي B for all N and for some B إذا
بما أن S N is bounded إذا there exist B أكبر من 0
such that اللي هو الـ absolute value لـ S N أصغر أو
يساوي B for all N element N
بما أنه .. بما أنه اللي هو عند .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ومفترضين أنها decreasing يعني الـ XK نقص
XK زيادة واحد أكبر ويساوي صفر إذا الشروط اللي قبل
لمّا متحققة أنه الـ absolute summation لـ XK YK K من
N زيادة واحد لعند الـ M اللي هي حتساوي لمّا أخد الـ
absolute value حتساوي بالظبط بتاخد الـ absolute
value يصير أصغر أو يساوي اللي هو الـ SN في الـ XM
زيادة الـ XN زيادة واحد ماشي؟ متذكرين الابلزمة؟ هي
الابلزمة
الآن الـ absolute value
لهذه أصغر أو يساوي الـ absolute value لِهذه مضروبة
في مين؟ اللي هو الـ absolute value لِهذه اللي هي أسأم
وأسئن طبعا absolute value لهن زي الـ absolute value
لهذه الـ absolute value لِهذه اللي هي أصغر أو يساوي
الـ absolute هذه زائد هذه في مين؟ في اللي هي الـB
الـB إيش هي؟ الـbound للـSM والـSN لأن مفترضين
الـsequence of partial sums is bound إذن يعني
بيصير عندي الكلام هذا صحيح يعني هذا أصغر أو يساوي
الـXM زائد الـXN زيادة واحد في مين؟ في إيش؟ في الـB
لأن هدول positive terms فبيصير الـ absolute value
نفس الشيء زائد الـ summation لـ xk-xk-xk-xk-xk-xk
-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk
-xk
-xk-xk
-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk
-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-لو
جينا فكّينا هذا المقدار
اللي عندي هذا xk نقص xk زائد واحد كله بيروح بيظل عند
الـ N زائد واحد والـ M ماي .. اللي هي الـ M آخر term
M نقص واحد زائد واحد اللي هي الـ M فبيصير عندي الـ B
طبعا متاخدة عامل مشترك كلها و بيظل هذا زي ما هو و
هذا اللي هو الـ telescoping أو اللي هو بما آخر as
if اللي هو هذا اللي هو كل شيء .. كل term بيضيع اللي
بعده بيظل أول واحد و آخر واحد Xm زائد واحد ناقص Xm
هذه صارت حركة معروفة عندكم الآن هذه بتروح مع هذه
بيصير بيظل هذه و هذه نتين بيصير اثنين Xm زائد بي
في مين؟ في بي الآن قلنا limit الـ Xn as n goes to
infinity إيش معطينيها؟ بساوي صفر بدأ بساوي صفر إذا
الآن بقدر أزغرها لأصغر من أي ي في الدنيا من ضمنها
اللي هي أي شمالها اللي هي إبسلون بساوي إبسلون
على اثنين بيه يعني بمعنى آخر as N goes to infinity
as N goes to infinity طبعاً M أكيد هتروح لـ
infinity يعني بمعنى آخر هيكون اللي هو الـ SM لِهذه
هذه S M ناقص لـ S N هيكون أصغر من أي Y في الدنيا
for very large N و M لأن الـ N و الـ M لمّا N تروح
لمّا النهاية دي بتروح لـ 0 و الـ M هتكبر برضه بمعنى
آخر for very large N هذا هيزغرها جداً ما بدّه يعني
هذا المقدار أصغر ما يمكن و هذا المقدار هو عبارة عن
مين يا جماعة؟ عبارة عن الـ SM لِهذه الـ sequence X
M هذه الأسماء هي Sequence of Partial Sums لمين؟ لأن
هذه كلها على بعض وهذه نفس الشيء فسأقرر Sequence of
Partial Sums هذه اللي هو الـ Cauchy Criterion
تبعها متحققة مدام الـ Cauchy Criterion متحققة إذن
صارت السيريز الأصلية Converges إذن هذه summation
XKYK follows from Cauchy Convergence الـ Criterion
اللي هو is convergent طيب الآن نجي لِـ اللي هو الـ
test اللي بعده اللي هو الـ Abel's test الآن اللي هو
الـ test الأخير عندنا في هذا الـ section بنشوف كيف
بدنا .. اللي هو برضه نحكم على الـ summation للـ XN YN is
convergent كيف؟ بيقول لي لو كانت عندك الـ XN is a
convergent monotone sequence convergent monotone
بغض النظر إنه هذه الـ sequence decreasing ولا
increasing أو حتى Converge لـ 0 أو غير 0 المهم تكون
الـ Xn عبارة عن مونوتون Convergent Sequence
والسيريز Yn بديها بس شوية الآن مش bounded بديها
تكون Convergent إذا بيقولي لو كانت الـ Yn
Convergent والـ Xn مش convergent بس convergence to
monotone يعني يا increasing يا decreasing يعني
ما حدش يجي يقول الـ Xn هو convergent و Yn
convergent إذا التلتين الـ summation convergent
ليس شرطا الآن اللي بيقوله أنه لو كانت الواحدة
convergent والتانية convergent to نتفة يعني
convergent النتفة هذه اللي هي تكون increasing أو
decreasing يعني monotone خلّينا نشوف كيف اللي هو
البرهن النظري البرهان سهل و بيعتمد على اللي جابلها
مباشرة إذا Xn كانت تتقارب لنقطة X إذا Xn
كانت تتقارب لنقطة X إذا Xn كانت تتقارب لنقطة X
إذا Xn
ناقص X صارت الآن الـ xn ناقص x مدام الـ xn
decreasing وده راحنا منه إيش ثابت حتظلها
decreasing إذا صارت الـ yn decreasing ومش
decreasing كمان و limit الـ yn الـ un بساوي limit
الـ xn ناقص الـ x هذه ما هي ثابت يعني limit xn x
ناقص x صفر يعني limit الـ un صفر يعني حولت الـ
sequence اللي عند الـ xn إلى sequence yn تكون
decreasing و limitها بساوي صفر I saw that UN
decreases to zero then XN بيساوي X زائد UN ومنه
once الـ XN في الـ YN صارت عندي الـ sequence XN في YN
بيساوي X في YN زائد UN في YN ماشي الآن عندي
الـ Sequence اللي هي الـ y .. from Dirichlet Test
الدنيا اللي هي صارت منيحة، ليش؟ لأنه بما أنه اللي
هو الـ u .. هذه طبعاً ال .. ال .. ال y unconverges
إذا ال .. هي ال .. ال series summation x في y
unconverges، مظبوط؟ و هذه ..UNYN بما أنها تتقارب أو
تتقارب وفي نفس الوقت ليمتها بساوي صفر وهذه ال YN
التي هي is convergent إذا صارت اللي هو حسب اللي هو
قبل اللي هي الـ Dirichlet theorem هيها حققت الشروط
بس على الـ U N الآن الآن عندي Y N bounded احنا قلنا
Y N نفسها convergent مدام convergent إذا الـ
sequence of partial sums إشماله is bounded لأن
convergence is then bounded any sequence is
convergent must be bounded إذا صارت هذه bounded
ماشي أو بمعنى آخر sequence of partial sums bounded
وعندها دي كثرة الـ UN اللي قبل بشوية Decreasing
وLimited بساوي 0 إذا اللي هي دي test is
applicable لنشوف كيف الآن صارت عندي ال XYN
converges و ال UN YN اللي هو هذي converges هذه تتقل
إلى 0 وهذه مجموعة إذا صار عند الـ summation X UN
في XN تتقل لأن الـ summation XN تتقل بسبب الـ
assumption of convergence of the series summation
YN لأن هذه السيريز مفترضة أنها تتقل وهذا ثابت
بالنسبة لها صارت هذا converge وهذا converge من D
test إذا صار مجموع على بعض اللي هو summation xn yn
is convergent الآن في حالة الـ increasing إشي مش
شابه الآن نفترض اللي xn is increasing with limit x
الآن خذ الـ vn بدل ما هي xn ناقص x خذ x ناقص xn صارت
اللي هي الـ sequence اللي increasing اللي هي الـ
XN لمّا ضربت بناقص صارت decreasing وضفت لها limitها
صار عندك اللي هو limit H بساوي صفر صارت VN
decreases to zero ماشي؟ إذا صارت الـ XN بساوي x
ناقص vn وضرب زي قبل بشوية في xn في yn بساوي هذه
ناقص هذه هذه نفس الأسباب اللي قبل بشوية متحققة بالـ
test إذا صارت اللي هي converges وهذه converges اللي
هو طبعا الـ summation بحكي عن الـ summation series
إذا صار الـ series converges وهذا converges إذا صار
الـ xn yn converges وكل هيك واحنا اللي هو أنهينا
اللي هو اللي الـ tests اللي في هذا الـ .. الـ section
بيظل اللي هو examples هدول أنتو بتحاولوا تطلعوا
لحالكم فيهم و بكون هيك أنه احنا بكون أنهينا section
اللي هو تسعة ثلاثة وإلى لقاء آخر والسلام عليكم