1
00:00:20,750 --> 00:00:26,090
Okay اذا اليوم ان شاء الله هنكمل موضوع ال limit

2
00:00:26,090 --> 00:00:32,390
theorems او نظريات النهايات و من النظريات المهمة

3
00:00:32,390 --> 00:00:39,710
هذه هي نظرية 12 بتقول لو في عندي sequence x in و

4
00:00:39,710 --> 00:00:44,570
ال sequence هذي convergent ل x فال sequence of

5
00:00:44,570 --> 00:00:49,350
absolute valuesبتطلع convergence وال limit تبعتها

6
00:00:49,350 --> 00:00:55,490
تطلع absolute .. absolute limit تبعت ال sequence

7
00:00:55,490 --> 00:01:00,750
XL فالبرهان

8
00:01:00,750 --> 00:01:04,470
بيتمد على ال triangle inequality

9
00:01:07,360 --> 00:01:13,720
أحد صور ال triangle inequality كانت المتباينة هذه

10
00:01:13,720 --> 00:01:20,740
absolute a minus absolute b وأخد ال absolute value

11
00:01:20,740 --> 00:01:28,600
هذا أصغر من أو ساوي absolute a minus bفلو أخدت هنا

12
00:01:28,600 --> 00:01:36,160
a بساوي xn و b بساوي x فبطلع الكلام هذا صحيح لكل

13
00:01:36,160 --> 00:01:43,760
الأعداد الطبيعية n الآن أنا عندي xn converges to x

14
00:01:43,760 --> 00:01:51,740
فلو أخدت أي epsilon أكبر من الصفر given

15
00:01:55,040 --> 00:02:00,540
واندي انا x in converge ل x، اذا هذا بيدّي انه

16
00:02:00,540 --> 00:02:03,580
يوجد

17
00:02:03,580 --> 00:02:13,660
capital N عدد طبيعي يعتمد على epsilon بحيث انه لو

18
00:02:13,660 --> 00:02:18,260
كان N أكبر من أو ساوي capital N فهذا بيدّي ان

19
00:02:18,260 --> 00:02:22,080
absolute x in minus x أصغر من epsilon

20
00:02:25,260 --> 00:02:30,300
وبالتالي من هنا إذا الهدف بيطلع أصغر من epsilon

21
00:02:30,300 --> 00:02:34,260
لكل

22
00:02:34,260 --> 00:02:41,180
n أكبر من أو ساوي capital N إذا

23
00:02:41,180 --> 00:02:44,800
أنا هيك بكون أثبتت إنه لأي epsilon أكبر من سفر

24
00:02:44,800 --> 00:02:50,760
يوجد capital N يعتمد على epsilon عدد طبيعي بحيث

25
00:02:50,760 --> 00:02:57,040
لكل n أكبر من أو ساوي capital Nالقيمة المطلقة ل

26
00:02:57,040 --> 00:03:02,480
absolute xn minus absolute x أصغر من epsilon إذا

27
00:03:02,480 --> 00:03:07,900
حسب تعريف epsilon capital N for limits هذا معناه

28
00:03:07,900 --> 00:03:14,260
بالظبط أن limit absolute xn as n tends to infinity

29
00:03:14,260 --> 00:03:21,790
بساوي absolute x وهو المطلوبOkay تمام اذا هذا

30
00:03:21,790 --> 00:03:32,890
بيكمل برهان نظرية اتناش تمام واضح النظرية

31
00:03:32,890 --> 00:03:39,270
اللي بعدها نظرية تلاتاش بتقول لو انا فيها اندي

32
00:03:39,270 --> 00:03:45,490
sequence حدودها كلها غير سالبة حدود ال sequence xm

33
00:03:45,490 --> 00:03:50,750
كلها غير سالبة اعداد غير سالبةوالـ sequence لو

34
00:03:50,750 --> 00:03:57,730
كانت الـ sequence Xn convergent to some X فالـ

35
00:03:57,730 --> 00:04:02,730
limit للـ sequence of square roots لـ Xn تطلع

36
00:04:02,730 --> 00:04:08,470
convergent والـ limit تبعتها بساول square root للـ

37
00:04:08,470 --> 00:04:09,890
limit للـ sequence Xn

38
00:04:13,780 --> 00:04:19,760
والبرهان تبع النظرية دي سهل انا اول شي عندى احنا

39
00:04:19,760 --> 00:04:25,060
فرضين ان ال limit ل Xn بساوي X في نظرية تمانية

40
00:04:25,060 --> 00:04:28,700
قلنا ان لو كانت حدود ال sequence Xn كلها غير سالبة

41
00:04:28,700 --> 00:04:34,360
ف limit ل sequence Xn اللى هى X ايضا تطلع غير

42
00:04:34,360 --> 00:04:40,840
سالبة اذا X اكبر من او ساوى 0الان في عندي حالتين

43
00:04:40,840 --> 00:04:46,300
ال X هنا أكبر من أو ساوي سفر ففي عندي احتمالين اما

44
00:04:46,300 --> 00:04:54,260
X بساوي سفر او X أكبر من السفر تمام و في كل حالة

45
00:04:54,920 --> 00:04:59,540
مطلوب مني ان اثبت ان limit ال square root ل xn

46
00:04:59,540 --> 00:05:03,960
بساوي ال square root of x تمام؟ انشوف في الحالة

47
00:05:03,960 --> 00:05:08,520
الأولى لو كانت ال x بساوي سفر وانا عندي من الفرض

48
00:05:08,520 --> 00:05:15,550
xn converges to x اللي هي سفرأذا لو أخدت أي إبسلون

49
00:05:15,550 --> 00:05:20,250
أكبر من السفر من كون ال sequence هذه converge

50
00:05:20,250 --> 00:05:24,270
للسفر إذا لأي إبسلون يوجد capital N يعتمد على

51
00:05:24,270 --> 00:05:30,150
إبسلون بحيث المسافة بين xn والسفر أصغر من إبسلون

52
00:05:30,150 --> 00:05:33,470
تربية لكل N أكبر من أوسعه ال capital N هذا من

53
00:05:33,470 --> 00:05:36,690
تعريف ال conversion ممكن أحط هنا إبسلون أو إبسلون

54
00:05:36,690 --> 00:05:42,940
تربية مافي مشكلةطيب أنا عندي xn من الفرض الـ xn

55
00:05:42,940 --> 00:05:48,840
كلهم أكبر من أو يساوي سفر وبالتالي القيمة المطلقة

56
00:05:48,840 --> 00:05:53,800
لـ xn بساوي نفسها ناخد

57
00:05:53,800 --> 00:05:59,120
الجدر التربيعي للحدود المتباينة هذه هي ال square

58
00:05:59,120 --> 00:06:04,790
root of xnبساوي ال absolute value ل square root ل

59
00:06:04,790 --> 00:06:10,190
xn minus صفر وهذا أصغر من إبسلون square root

60
00:06:10,190 --> 00:06:13,870
لإبسلون تربية بيطلع إبسلون هذا الكلام صحيح for

61
00:06:13,870 --> 00:06:18,830
every n bigger than or equal capital N طب هذا

62
00:06:18,830 --> 00:06:23,050
معناه بما أن إبسلون was arbitrarily بما أن احنا

63
00:06:23,050 --> 00:06:29,850
أثبتنا هذا الكلام لكل إبسلون عدد موجبهذا من تعريف

64
00:06:29,850 --> 00:06:34,350
epsilon capital N for limits للنهايات هذا معناه

65
00:06:34,350 --> 00:06:40,970
limit ال square root ل XN بالساوي السفر لما N تولى

66
00:06:40,970 --> 00:06:47,140
Nوهذا ايه هذا اللي هو المطلوب طيب السفر هنا احنا

67
00:06:47,140 --> 00:06:50,780
ماخدين x بالساوية سفر فالسفر هذا هو square root ل

68
00:06:50,780 --> 00:06:54,360
x اذا هين اثبتت ان limit square root ل x in

69
00:06:54,360 --> 00:06:58,820
بالساوية square root ل x في حالة لما x بالساوية

70
00:06:58,820 --> 00:07:07,280
سفر تمام باقي نثبتالنتيجة نفسها في حالة لما X أكبر

71
00:07:07,280 --> 00:07:11,740
من 0 تفضلي قال جيت حكيت أنه ممكن أخد يبسلون مش

72
00:07:11,740 --> 00:07:15,740
يبسلون تربيه لما أكمل خطوة بعد تطلع جدر اليبسلون

73
00:07:15,740 --> 00:07:19,660
يعني أقل من الجدر يبسلون جدر اليبسلون قولت أن أحنا

74
00:07:19,660 --> 00:07:23,600
خلنا يبسلون تربيه عشان لما أخد الجدر يطلع يبسلون

75
00:07:23,600 --> 00:07:29,520
مافي مشكلة يعني اعتبر هذه هي اليبسلون مش اليبسلون

76
00:07:29,520 --> 00:07:34,300
أكبر عدد أكبر من 0 givenإذا إبسلون تربية برضه عدد

77
00:07:34,300 --> 00:07:39,880
موجة بقى تقري هو ال given وبالتالي يوجد أن تعتمد

78
00:07:39,880 --> 00:07:44,320
على إبسلون تربية بدل إبسلون طب إبسلون تربية تعتمد

79
00:07:44,320 --> 00:07:48,420
على إبسلونإذا ليش ما نقول إذا يوجد N تعتمد على

80
00:07:48,420 --> 00:07:52,240
إبسلون وإعتبر الإبسلون تربية بدل إبسلون في ال

81
00:07:52,240 --> 00:07:55,920
definition فمافي مشكلة بس خدناها الإبسلون تربية

82
00:07:55,920 --> 00:07:59,660
عشان لما ناخد جدر التربية يطلع أندي أصغر من إبسلون

83
00:07:59,660 --> 00:08:03,760
وبالتالي نقول حسب التعريف إذا limit جدر X N بساوة

84
00:08:03,760 --> 00:08:11,840
ستة تمام اللي هي جدر X في أي سؤال تاني؟طيب، نشوف

85
00:08:11,840 --> 00:08:16,800
الحالة التانية، لو كانت ال X هذه أكبر من صفر، إذا

86
00:08:16,800 --> 00:08:20,640
جدر ال X بالتأكيد أكبر من الصفر، وبالتالي جدر X in

87
00:08:20,640 --> 00:08:26,120
زي جدر X أكبر من أو ساوي جدر ال X، لأن هذا أكبر من

88
00:08:26,120 --> 00:08:35,430
أو ساوي صفر، وهذا موجب، لأن ال X موجبةطيب، الآن

89
00:08:35,430 --> 00:08:40,630
هذا المقدار أكبر من أو ساوي هذا واتنين موجبين، إذا

90
00:08:40,630 --> 00:08:47,950
المقلوب الكبير أصغر من أو ساوي المقلوب الصغير هذه

91
00:08:47,950 --> 00:08:53,010
الخاصية أخدناها في chapter one وبناء عليه

92
00:09:01,430 --> 00:09:06,810
بنان على ذلك انا ممكن احسب جدر xn minus جدر ال x

93
00:09:06,810 --> 00:09:12,870
بضرب المقدار هذا في المرافق تبعه بسطه مقاما، هاي

94
00:09:12,870 --> 00:09:16,870
المرافق تبعه بسطه مقام فكأني ضربت المقدار هذا في

95
00:09:16,870 --> 00:09:23,030
واحد، اذا هذا بساوي نفسه ضرب مرافقه على مرافقه،

96
00:09:23,030 --> 00:09:27,870
تمام؟الان ال bus تحليل الفرق بين المربعين فبطلع

97
00:09:27,870 --> 00:09:33,170
مربع هذا سالب مربع هذا اللي هو x in negative x و

98
00:09:33,170 --> 00:09:38,310
بيبقى ال end في المقام المقدار هذا الان ناخد

99
00:09:38,310 --> 00:09:43,370
القيمة المطلقة للكلام هذا بيساوي القيمة المطلقة

100
00:09:43,370 --> 00:09:48,230
للطرف اليمين القيمة المطلقة لل bus على القيمة

101
00:09:48,230 --> 00:09:53,070
المطلقة للمقام المقام هذا موجب فالقيمة المطلقة له

102
00:09:53,070 --> 00:09:58,770
نفسهأذا الأن أنا في عندي sequence اللي هي الحد

103
00:09:58,770 --> 00:10:02,810
العام تبعها square root of xn وفي عندي عدد square

104
00:10:02,810 --> 00:10:10,390
root of x المسافة بينهم أصغر من أو يساوي أصغر من

105
00:10:10,390 --> 00:10:15,610
أو يساوي هي المسافة هذه بالساوي واحد على square

106
00:10:15,610 --> 00:10:21,870
root of xn زي square root of x والكسر هذا من

107
00:10:21,870 --> 00:10:27,950
المتباينة تسعةهذا الكثير أصغر من أو يساوي واحد على

108
00:10:27,950 --> 00:10:32,610
square root of x ضرب absolute x in سالب x الآن

109
00:10:32,610 --> 00:10:43,830
ارجعوا لنظرية اتنين اربعة with

110
00:10:43,830 --> 00:10:52,060
c عدد موجب ساوي واحد على جدر ال x هذا عدد موجبو a

111
00:10:52,060 --> 00:10:59,780
n بساوي x n minus x إذن

112
00:10:59,780 --> 00:11:03,940
هى يوجد c عدد موجب اللى هو واحد على جدر ال X و هى

113
00:11:03,940 --> 00:11:08,820
فى عندي sequence a n الحد العام تبعها x n سالد x و

114
00:11:08,820 --> 00:11:14,680
ال sequence هذه تقول إلى سفر as n tends to

115
00:11:14,680 --> 00:11:19,870
infinityلأن انا من المعطيات عندي xn تقول x أو

116
00:11:19,870 --> 00:11:24,490
limit xn بساوي x، لذلك limit الفرق بساوي سفر، لذلك

117
00:11:24,490 --> 00:11:29,890
حسب نظرية 2.4، كل شروطة متحققة، وبالتالي، لذلك حسب

118
00:11:29,890 --> 00:11:34,630
النظرية هذه، by theorem 2.4، بيطلع عندي limit

119
00:11:34,630 --> 00:11:41,190
square root ل xn بساوي square root ل xوهو المطلوب

120
00:11:41,190 --> 00:11:46,690
اثباته اذا هاي اثبتنا ان limit ال square root ل X

121
00:11:46,690 --> 00:11:50,410
ان بساوي ال square root ل X في حالة لما X تكون

122
00:11:50,410 --> 00:11:54,750
موجبة و الحالة الأولى في حالة لما X صفر برضه

123
00:11:54,750 --> 00:11:58,410
اثبتنا نفس الحاجة لذلك بنكون كملنا برهان نظرية

124
00:11:58,410 --> 00:12:02,690
تمام؟ في حد عنده اي سؤال او استفسار واضح البرهان؟

125
00:12:05,660 --> 00:12:12,800
في نظرية هنا ممكن نسميها نعتبرها ratio test اختبار

126
00:12:12,800 --> 00:12:21,660
الكسر او النسبة او ايش

127
00:12:21,660 --> 00:12:27,300
ال ratio test ماذا هذا ال ratio test بيقول هذا ال

128
00:12:27,300 --> 00:12:31,120
ratio test بتعلق بال sequences of positive numbers

129
00:12:32,030 --> 00:12:35,090
يعني عشان أنا أطبخ ال ratio test لازم ال sequence

130
00:12:35,090 --> 00:12:39,170
تبعتي تكون حدودها كلها موجة بقى فلو في عندي

131
00:12:39,170 --> 00:12:44,310
sequence of positive real numbers such that limit

132
00:12:44,310 --> 00:12:49,050
ال ratio ل xn زائد واحد على xn exists موجود أو

133
00:12:49,050 --> 00:12:54,370
بتساوي عدد حقيقي L و لو كان هذا العدد L أصغر من

134
00:12:54,370 --> 00:13:01,300
واحد ف limit ال sequence xn بتساوي سبلهذا هو ال

135
00:13:01,300 --> 00:13:07,380
ratio test برهان ال test أو النظرية هذه موجود في

136
00:13:07,380 --> 00:13:11,680
الكتاب نظرية تلاتة اتنين احداشر فحاسبكم تقرؤوا

137
00:13:11,680 --> 00:13:15,780
البرهان برهان سهل مش صعب بيعتمد على الحاجات اللي

138
00:13:15,780 --> 00:13:20,340
أخدناها فعايزينكم

139
00:13:20,340 --> 00:13:23,660
تفتحوا الكتاب و تقرؤوا برهان و تفهموا لحالكم بعد

140
00:13:23,660 --> 00:13:28,800
ما خدنا كل هالبرهين بدنا ياكم تعتمدوا عن أنفسكم

141
00:13:28,800 --> 00:13:33,440
شويةتمام؟ و اللي عنده أي صعوبة في فهم البرهان

142
00:13:33,440 --> 00:13:38,840
ترجعليه إذا هسيكم تخرق البرهان من الكتاب طيب نهار

143
00:13:38,840 --> 00:13:42,540
.. الآن الكتاب للأسف مش في أمثلة في ال section هذا

144
00:13:42,540 --> 00:13:49,000
تلاتة اتنين فهعطيلكم أس .. examples أو أمثلة بحال

145
00:13:49,000 --> 00:13:52,100
من التمرين بحال بعض التمرين فأول مثل

146
00:13:58,060 --> 00:14:02,820
فأول مثال هو exercise تمانتاش الفرحة c في section

147
00:14:02,820 --> 00:14:06,700
تلاتة اتنين أو صفحة تمانية وستين في الكتاب المقرر

148
00:14:06,700 --> 00:14:10,300
السؤال هذا بيقول discuss the convergence of the

149
00:14:10,300 --> 00:14:15,820
sequence xn اللي لحد العام ال nth term تبعها b to

150
00:14:15,820 --> 00:14:20,600
n على n factorial حيث بيه عدد حقيقي أكبر من واحد

151
00:14:21,470 --> 00:14:24,070
Discurses ل Convergence يعني بين هل ال sequence

152
00:14:24,070 --> 00:14:27,850
هذي Convergent ولا Divergent وده كانت Convergent

153
00:14:27,850 --> 00:14:35,790
عايزين نجيب ال limit تبعتها طيب تعالوا أول شي احنا

154
00:14:35,790 --> 00:14:41,150
طبعا هنطبق ال ratio test نظرية 2.14 اللي هو الرسم

155
00:14:41,150 --> 00:14:45,490
منها ال ratio testلتطبيق ال ratio test بلزمني

156
00:14:45,490 --> 00:14:50,690
اتأكد ان ال sequence xn حدودها موجبة وهذا صحيح لان

157
00:14:50,690 --> 00:14:54,970
ال bus b اكبر من واحد و b أكبر من واحد و n

158
00:14:54,970 --> 00:14:57,830
factorial عدد موجب لان هذه sequence of positive

159
00:14:57,830 --> 00:15:07,550
real numbers الآن ال ratio ل xn زياد واحد و xn هي

160
00:15:07,550 --> 00:15:12,230
عندي xn زياد واحد عوض عنها بدل n بn زياد واحد

161
00:15:13,160 --> 00:15:18,740
وضربها في مقلوب xn هي مقلوب xn وطبعا احنا عارفين

162
00:15:18,740 --> 00:15:25,460
ان n plus one factorial بتساوي n plus one في n

163
00:15:25,460 --> 00:15:31,900
factorial هذا بنفك حاصل ضرب زي هذا n factorial

164
00:15:31,900 --> 00:15:37,640
بتروح مع n factorial وb to n بتروح مع b to n بضل b

165
00:15:38,750 --> 00:15:43,210
بعد الاختصارات والتبسيط الكاسر هذا بيطلع بي على n

166
00:15:43,210 --> 00:15:47,870
زياد واحد الان لما انت قول ل infinity ان زياد واحد

167
00:15:47,870 --> 00:15:54,050
بتقول ل infinity مقلوبة بروح ل سفر ضرب بي عدد موجة

168
00:15:54,050 --> 00:15:58,990
بروح ل سفر اذا limit بي على ان زياد واحد بساوي بي

169
00:15:58,990 --> 00:16:03,290
في limit واحد على ان زياد واحد اللي هي سفر بي في

170
00:16:03,290 --> 00:16:10,590
سفر بساوي سفر تمام؟إذا أنا عندي L اللي هو بمثل

171
00:16:10,590 --> 00:16:17,570
limit ال ratio هذا طلع بساوي سفر عدد حقيقي أصغر من

172
00:16:17,570 --> 00:16:23,910
واحد إذا حسب ال ratio test limit لل sequence xn

173
00:16:23,910 --> 00:16:28,030
بساوي سفر إذا هنا أثبتنا إن ال sequence convergent

174
00:16:28,030 --> 00:16:34,010
ونهيتها بتطلع بالساوي سفر تمام؟ واضح؟ إذا تطبيق

175
00:16:34,010 --> 00:16:35,510
مباشر على ال ratio test

176
00:16:38,490 --> 00:16:42,730
مثال تاني مثال

177
00:16:42,730 --> 00:16:46,330
تاني عبارة عن exercise اتنين فرع a section تلاتة

178
00:16:46,330 --> 00:16:54,610
اتنين بنشوف ايه ال exercise هذا بيقول give

179
00:16:54,610 --> 00:17:01,930
an example of two divergent sequences two

180
00:17:01,930 --> 00:17:04,090
divergent sequences

181
00:17:06,940 --> 00:17:12,840
such that there are some مجموعهم there

182
00:17:12,840 --> 00:17:19,020
are some converges نعطي

183
00:17:19,020 --> 00:17:24,060
مثال ل two divergent sequences تنتهي from two

184
00:17:24,060 --> 00:17:29,140
divergent لكن مجموعهم convergent فأسهل مثال هو مثل

185
00:17:29,140 --> 00:17:36,270
هذا الحلناخد الـ sequence xn للحد العام تبعها سالب

186
00:17:36,270 --> 00:17:42,430
واحد to n و n بتبدأ من واحد إلى ملا نهاية طبعا ال

187
00:17:42,430 --> 00:17:48,210
sequence هذه لو بيننا انفرفتها فحدودها هتكون هكذا

188
00:17:48,210 --> 00:17:53,670
أول حد سالب واحد، تاني واحد، تالت سالب واحد،

189
00:17:53,670 --> 00:18:00,040
الرابع واحد، و هكذاوناخد ال sequence yn الحد العام

190
00:18:00,040 --> 00:18:04,760
تبعها سالب واحد قص ان زاد واحد وان طبعا تبدأ من

191
00:18:04,760 --> 00:18:12,080
واحد فهذه ال sequence حدودها هتكون أول حد واحد،

192
00:18:12,080 --> 00:18:17,160
التاني سالب واحد، التالت واحد، الرابع سالب واحد و

193
00:18:17,160 --> 00:18:17,620
هكذا

194
00:18:20,300 --> 00:18:25,720
تمام احنا اثبتنا بالتفصيل ان ال sequence xn هذي

195
00:18:25,720 --> 00:18:29,660
divergent by contradiction فرضنا انها convergent

196
00:18:29,660 --> 00:18:35,960
وصلنا الى تناغم صح؟ طب ما هذي هي هذي هي ال

197
00:18:35,960 --> 00:18:43,750
sequence ال sequence yn هي سالب ال sequence xnو Xn

198
00:18:43,750 --> 00:18:47,710
is divergent و Yn is divergent او بنفس البرهان

199
00:18:47,710 --> 00:18:51,530
ممكن نعمل نفس البرهان اذا هي عندي مثال على two

200
00:18:51,530 --> 00:18:57,670
sequences كلاهما both are divergent لكن لما نيجي

201
00:18:57,670 --> 00:19:04,750
نجمعهم لو أخدت ال sequence جديدة ال inf term تبعها

202
00:19:04,750 --> 00:19:09,070
او الحد العام تبعها هو مجموعة ال inf term زي Xn

203
00:19:09,070 --> 00:19:15,280
وYn هذه sequence تالتة جديدةما هو الحد العام لهذه

204
00:19:15,280 --> 00:19:21,360
الـ sequence؟ اجمع الحد الأول على الأول بيطلع سفر،

205
00:19:21,360 --> 00:19:25,740
التاني على التاني سفر، إذا هذه عبارة عن الـ

206
00:19:25,740 --> 00:19:30,300
sequence constant zero ثابت سفر أو الـ sequence

207
00:19:30,300 --> 00:19:35,480
الحد العام تبعها ثابت سفر وطبعا أي sequence ثابتة

208
00:19:35,480 --> 00:19:39,880
بتكون convergent و limit تبعتها هي الحد الثابت

209
00:19:39,880 --> 00:19:45,000
نفسه، لذلك limit لهذه الـ sequence ثابت سفرإذا هذا

210
00:19:45,000 --> 00:19:50,700
مثال على two divergent sequences their sum is

211
00:19:50,700 --> 00:19:55,900
convergent okay تمام؟ في برضه حاجات زي هذه ممكن

212
00:19:55,900 --> 00:20:00,200
ينقلب منكم جيبي مثال على two sequences contain

213
00:20:00,200 --> 00:20:05,820
مثلا convergent لكن حصل ضربهم divergent يعني حاجات

214
00:20:05,820 --> 00:20:11,880
زي هيك و هكذا في الكتاب في تمارينعلى هذا السياق

215
00:20:11,880 --> 00:20:22,020
هتشوفوها تمام؟ مفهوم؟ واضح المثال هذا؟ طيب مثال

216
00:20:22,020 --> 00:20:29,440
رقم تلاتة هذا

217
00:20:29,440 --> 00:20:32,900
عبارة عن exercise أربعة عشر في section تلاتة اتنين

218
00:20:35,100 --> 00:20:41,360
بقول خد zn بساوي a to n plus b to n to the power

219
00:20:41,360 --> 00:20:47,240
one over n where a و b are positive numbers and a

220
00:20:47,240 --> 00:20:56,260
less than b prove أن limit zn بساوي العدد b تمام؟

221
00:20:56,260 --> 00:21:02,420
لبرهان ذلك أنا عندي من الفرض a positive إذا a to n

222
00:21:02,420 --> 00:21:09,520
positiveوكذلك وبالتالي b to n أصغر من a to n plus

223
00:21:09,520 --> 00:21:16,460
b to n الان ناخد ال nth root لطرفي المتبينة هذه

224
00:21:16,460 --> 00:21:22,700
فبطلع b أصغر من ال nth root للمجموعة ده اللي احنا

225
00:21:22,700 --> 00:21:33,440
سمناه zn اذا الان انا عندي zn بساوي a n زاد b nto

226
00:21:33,440 --> 00:21:39,580
the power one over n والان انا عندى بما انه a أصغر

227
00:21:39,580 --> 00:21:45,740
من b a أصغر من b من الفرض هى فهذا بالتأكيد بيقدى

228
00:21:45,740 --> 00:21:52,200
انه a to n أصغر من b to n اذا

229
00:21:52,200 --> 00:21:59,680
هشيل ال a to n هذه و اضع خليها أصغر من b to n زائد

230
00:21:59,680 --> 00:22:07,730
b to n الكل to one over nطب هذا بيطلع two ضرب b to

231
00:22:07,730 --> 00:22:14,450
n الكل to power one over n وزع ال power فبطلع two

232
00:22:14,450 --> 00:22:22,290
to one over n ضرب b صح؟ الآن ال sequence إذا

233
00:22:22,290 --> 00:22:28,470
أنا أصبح عندي لو دمجت المتباينتين عشرة و أحداشر مع

234
00:22:28,470 --> 00:22:35,870
بعض فبطلع عندي bمن المتباينة عشرة الـ B هدا هي

235
00:22:35,870 --> 00:22:42,590
أصغر من ال ZN ومن المتباينة أحداشر ال ZN أصغر من

236
00:22:42,590 --> 00:22:47,610
two to one over N times B for every N natural

237
00:22:47,610 --> 00:22:56,780
number احنا اتوصلنا لالمتباينة هذه صحيحة لكل Nانا

238
00:22:56,780 --> 00:23:01,660
لان عندي الـ sequence ZN هذه اللي انا عايز اثبت ان

239
00:23:01,660 --> 00:23:07,120
ال limit تبعتها بالساوي بيه is squeezed between

240
00:23:07,120 --> 00:23:13,680
two sequences محصورة من متتاليتين تنتين هاي

241
00:23:13,680 --> 00:23:20,620
متتالية وهاي متتالية المتتالية هذه الحد العام

242
00:23:20,620 --> 00:23:27,340
تبعها ثابت بيهوبالتالي ال limit تبعت بي لما بي

243
00:23:27,340 --> 00:23:35,340
تقول ل infinity بتساوي بي و limit ال sequence هذي

244
00:23:35,340 --> 00:23:39,380
two to واحد على n limit two to واحد على n بتساوي

245
00:23:39,380 --> 00:23:44,760
واحد اثبتنا احنا قبل هيك ان لو n دي c عدد موجب ف

246
00:23:44,760 --> 00:23:52,170
limitc to 1 على n as n tends to infinity بساوة

247
00:23:52,170 --> 00:23:59,230
واحد صح فاندي c هنا بساوة اتنين لان ال limit ل two

248
00:23:59,230 --> 00:24:02,450
to one over n as n tends to infinity بساوة واحد

249
00:24:02,450 --> 00:24:07,290
وبالتالي limit two to one over n times constant b

250
00:24:07,290 --> 00:24:12,170
بساوة واحد في b او b في واحد ف limit ال sequence

251
00:24:12,170 --> 00:24:18,000
هذه ايضا تطلع bلما انتقل ل infinity، اذا by

252
00:24:18,000 --> 00:24:23,000
squeeze theorem بطلع عندي limit ال sequence zm

253
00:24:23,000 --> 00:24:28,240
المحصورة في النص بساوي بيه، okay؟ اذا هاي هنا

254
00:24:28,240 --> 00:24:34,120
استخدامنا ال sandwich او ال squeeze، تمام؟ واضح؟

255
00:24:36,340 --> 00:24:40,080
Okay إذا هذه يعني بعض الأسئلة هي اللي حلناها،

256
00:24:40,080 --> 00:24:43,480
حالها مش صعب إما تطبيق على ال sandwich theorem أو

257
00:24:43,480 --> 00:24:48,680
على نظرية 2.4 أو الحاجات اللي أخدناها في ال

258
00:24:48,680 --> 00:24:52,740
section هذا أو في ال succession السابق أو بالتالي

259
00:24:52,740 --> 00:24:58,760
مافيش حاجة يعني غريبة أو تستدى أن احنا نستخدم حاجة

260
00:24:58,760 --> 00:25:05,270
مش موجودة في المناجمإذا ما يكون إلا من شطرتكم

261
00:25:05,270 --> 00:25:10,210
تحاولوا تحلوا باقي التمرين اللي في ال section هذا

262
00:25:10,210 --> 00:25:15,550
طبعا هنا لهنا الامتحان .. الامتحان داخل لحد

263
00:25:15,550 --> 00:25:21,590
التمرين هذه الجزء اللي بعد هيك مش داخل في الامتحان

264
00:25:21,590 --> 00:25:22,310
النصف الأول

265
00:25:26,220 --> 00:25:32,640
تمام فإذا هنا ال section جديد أو أنوان جديد ال

266
00:25:32,640 --> 00:25:38,160
monotone sequences المتتاليات اللي بيسموها

267
00:25:38,160 --> 00:25:42,380
الواتيرية المتتاليات الواتيرية ال monotone

268
00:25:42,380 --> 00:25:46,960
sequence يعني متتالية واتيرية يعني إما متزايدة أو

269
00:25:46,960 --> 00:25:55,200
متلاقصة فناخد تعريف let x in be a sequence of real

270
00:25:55,200 --> 00:26:02,880
numbersسنقول إن سيكوينس Xn increasing متزايدة إذا

271
00:26:02,880 --> 00:26:07,400
كان Xn less

272
00:26:07,400 --> 00:26:11,800
than or equal to Xn plus one for every n لو كان كل

273
00:26:11,800 --> 00:26:17,260
حد أصغر من أول ساول لبعده فالسيكوينس في الحالة دي

274
00:26:17,260 --> 00:26:23,860
بنسميها increasing و بنسميها decreasingإذا كان كل

275
00:26:23,860 --> 00:26:32,760
حد أكبر من أو يساوي اللي بعده تمام؟

276
00:26:32,760 --> 00:26:40,000
طيب بنسمي ال sequence monotone ال sequence بنسميها

277
00:26:40,000 --> 00:26:45,460
monotone أو واتيرية if it is either increasing or

278
00:26:45,460 --> 00:26:46,040
decreasing

279
00:26:48,950 --> 00:26:53,170
إن المتتالي الوطرية هي متتالية إما increasing أو

280
00:26:53,170 --> 00:26:58,250
decreasing معنى

281
00:26:58,250 --> 00:27:01,490
آخر كل increasing sequence is monotone sequence

282
00:27:01,490 --> 00:27:06,090
and every decreasing sequence is monotone sequence

283
00:27:06,090 --> 00:27:14,370
طب هاي أمثلة على monotone sequences فاندي هنا

284
00:27:14,370 --> 00:27:21,540
sequence n of natural numbersis increasing واضح ان

285
00:27:21,540 --> 00:27:26,440
xn بساوي n أصغر من او ساوي xn plus one اللي هو n

286
00:27:26,440 --> 00:27:31,440
زاد واحد لان هذا increasing وهذا increasing ال

287
00:27:31,440 --> 00:27:36,040
sequence اللي ال inf term تبعها two to n اللي هي

288
00:27:36,040 --> 00:27:41,440
هذه is increasing بينما

289
00:27:41,440 --> 00:27:46,720
ال sequence one over n decreasing هي كل حد أكبر من

290
00:27:46,720 --> 00:27:52,140
أو ساوي لبعدهو كذلك ال sequence one over two to n

291
00:27:52,140 --> 00:27:57,580
طيب، في سؤال هنا بطلح نفسه، هل كل sequence لازم

292
00:27:57,580 --> 00:28:01,720
تكون monotone sequence؟ لأ، مو لأ، مش شرط، مش شرط،

293
00:28:01,720 --> 00:28:03,620
مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش

294
00:28:03,620 --> 00:28:03,840
شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش

295
00:28:03,840 --> 00:28:07,680
شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش

296
00:28:07,680 --> 00:28:12,580
شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش

297
00:28:12,580 --> 00:28:17,150
شرط، مش شرط، مش شرطthe following sequence is

298
00:28:17,150 --> 00:28:20,010
sequence اللي الحد اللي عام تبعها negative one to

299
00:28:20,010 --> 00:28:24,830
n أو n زيادة واحد اللي هي ال alternated sequence

300
00:28:24,830 --> 00:28:29,750
ال sequence هذه المتدبدبة alternating يعني

301
00:28:29,750 --> 00:28:34,930
المتدبدبة في الإشارة واحد سالب واحد واحد سالب واحد

302
00:28:34,930 --> 00:28:40,450
هذه ليست conversion ليست monotone is not

303
00:28:40,450 --> 00:28:46,980
increasing and it is not decreasingنفس الشيء ال

304
00:28:46,980 --> 00:28:51,180
sequence اللي حد اللي عم تبعها سالب one to n اللي

305
00:28:51,180 --> 00:28:56,040
هي سالب واحد موجة بتنين سالب تلاتة و هكذا ال

306
00:28:56,040 --> 00:29:00,560
sequence هذه is not monotone لا increasing ولا

307
00:29:00,560 --> 00:29:05,590
decreasing تمام واضحإذا ال sequence .. أي .. لو

308
00:29:05,590 --> 00:29:09,310
أخدنا أي sequence عشوائية فممكن تكون increasing،

309
00:29:09,310 --> 00:29:14,070
ممكن تكون decreasing، ممكن تكون neither، neither

310
00:29:14,070 --> 00:29:16,810
increasing nor decreasing زي ال function ممكن تكون

311
00:29:16,810 --> 00:29:22,950
odd أو even أو neither، لا odd ولا even، أه؟ تمام؟

312
00:29:22,950 --> 00:29:26,870
طيب ال .. في نظرية مهمة هنا في هذا السياق

313
00:29:29,970 --> 00:29:34,290
بتخص الـ monotone sequences وبالتالي بنسميها

314
00:29:34,290 --> 00:29:39,170
monotone convergence theorem وبنستخدم اختصارات

315
00:29:39,170 --> 00:29:46,690
monotone convergence theorem النظرية

316
00:29:46,690 --> 00:29:52,550
هذه بتقول خد .. خدي let x and b a monotone

317
00:29:52,550 --> 00:29:57,650
sequence خلينا ناخد monotone sequenceالان هذه الـ

318
00:29:57,650 --> 00:30:01,130
monotone sequence بتكون convergent if and only if

319
00:30:01,130 --> 00:30:05,830
it is bounded تمام؟

320
00:30:05,830 --> 00:30:10,470
moreover إضافة إلى ذلك لو كانت ال sequence x in

321
00:30:10,470 --> 00:30:16,970
هذه bounded and increasing فأكيد طبعا convergent و

322
00:30:16,970 --> 00:30:22,370
ال limit تبعتها بساوي ال supremum إلها ك set كذلك

323
00:30:22,370 --> 00:30:25,170
لو كانت ال sequence x in bounded و decreasing

324
00:30:27,590 --> 00:30:31,190
فبتكون طبعا convergent و ال limit بتبعتها بساوة ال

325
00:30:31,190 --> 00:30:36,270
inform اللي لها ك set طيب

326
00:30:36,270 --> 00:30:39,430
احنا عندي انا عندي هنا two statements او تلاتة

327
00:30:39,430 --> 00:30:47,010
statements انا عندي العبارة هذه انا

328
00:30:47,010 --> 00:30:53,490
عندي بتثبت العبارة هذه و العبارتين هدون فكيف

329
00:30:53,490 --> 00:31:00,150
البرهان بتتمأول شي العبارة الأولى اللى فى البرواز

330
00:31:00,150 --> 00:31:08,610
هذه if and only if statement صح ففى two parts واحد

331
00:31:08,610 --> 00:31:15,750
هذا ال part ال only if part و ال if part نشوف ال

332
00:31:15,750 --> 00:31:21,260
only if part يعنىلو كانت x in convergent بينا نثبت

333
00:31:21,260 --> 00:31:25,680
إنها it is bounded وهذا أثبتناه في نظرية سابقة

334
00:31:25,680 --> 00:31:31,120
أثبتنا إن كل تجارب convergent is bounded اختبار

335
00:31:31,120 --> 00:31:41,320
الدم فاكرين؟ إذا هذا was proved proved

336
00:31:41,320 --> 00:31:49,530
earlier تم إثباته سابقا في نظرية سابقةلو كانت

337
00:31:49,530 --> 00:31:54,830
السيكوانس تبقى convergent ضرورة تكون bounded سواء

338
00:31:54,830 --> 00:31:58,690
كانت السيكوانس monotone ولا حتى مش monotone okay؟

339
00:31:58,690 --> 00:32:02,950
تمام؟ إن هاي برهان الجزء لهذا موجود في نظرية سابقة

340
00:32:02,950 --> 00:32:08,970
باقى نثبت الجزء هذا يعني بنا نثبت أنه لو كانت

341
00:32:08,970 --> 00:32:17,730
السيكوانس bounded السيكوانس لو كانت bounded و

342
00:32:17,730 --> 00:32:18,510
monotone

343
00:32:21,420 --> 00:32:25,800
طبعا احنا فرضين انها monotone اه من البداية x in

344
00:32:25,800 --> 00:32:32,020
is monotone فالان عشان نكمل برهان العبارة هذه ال

345
00:32:32,020 --> 00:32:35,060
if and only if او ال by conditional statement هذا

346
00:32:35,060 --> 00:32:40,920
فبدنا نثبت ان لو كانت ال sequence bounded و

347
00:32:40,920 --> 00:32:49,520
monotone فبتطلع convergent طيب

348
00:32:49,520 --> 00:32:54,920
monotoneمونوتون لما ال sequence تكون مونوتون

349
00:32:54,920 --> 00:33:04,060
معناها اما increasing او decreasing او decreasing

350
00:33:04,060 --> 00:33:08,260
اذا

351
00:33:08,260 --> 00:33:16,500
عشان اثبت الجزء هذا بده اثبت a و b هذا الجزء هذا

352
00:33:16,500 --> 00:33:25,750
لبرهانه بده برهين a و bلأن جزء A بيقول لو كانت ال

353
00:33:25,750 --> 00:33:29,330
sequence bounded و increasing فبتثبت أنها

354
00:33:29,330 --> 00:33:33,510
convergent صح؟ فهي لو كانت ال sequence bounded و

355
00:33:33,510 --> 00:33:37,930
increasing فبتثبت أنها convergent و ال limit

356
00:33:37,930 --> 00:33:43,530
تبعتها هي ال suprem من إلها كمجموعة و الجزء B

357
00:33:43,530 --> 00:33:47,690
بيثبت أن لو كانت ال sequence bounded و decreasing

358
00:33:47,690 --> 00:33:54,510
فبتطلع convergentوإضافة لذلك إن ال limit تبعتها هي

359
00:33:54,510 --> 00:34:00,390
ال infront إلى كسب إذا الإكمال برهان الاتجاه هذا و

360
00:34:00,390 --> 00:34:05,690
برهان a و b وبالتالي نكمل برهان النظرية يكفي إن

361
00:34:05,690 --> 00:34:11,290
أحنا نثبت a و b و أضع يكمل كون أثبتنا إلى عبارة من

362
00:34:11,290 --> 00:34:16,750
بروزة هذه و a و b يعني برهاننا النظرية كاملة تمام؟

363
00:34:17,990 --> 00:34:39,030
نثبت الآن باقي اثبات a وb نثبت الجزء a فخلّينا

364
00:34:39,030 --> 00:34:43,130
نفرض ان ال sequence x in is bounded قلنا bounded

365
00:34:43,130 --> 00:34:48,700
زاد increasingطيب من تعريف الـ bounded sequence

366
00:34:48,700 --> 00:34:54,840
مدام ال sequence bounded إذا يوجد عدد حقيقي موجب M

367
00:34:54,840 --> 00:35:03,840
بحيث أنه absolute Xn أصغر من أو ساوي M لكل N طيب

368
00:35:03,840 --> 00:35:07,540
معروف أنه أي عدد حقيقي Xn أصغر من أو ساوي القيمة

369
00:35:07,540 --> 00:35:14,200
المطلقة له، مظبوط؟إذا من ال boundedness من فرض ان

370
00:35:14,200 --> 00:35:18,260
ال sequence bounded في معدد موجد بحيث ان xn أصغر

371
00:35:18,260 --> 00:35:23,640
من أو ساوي M لكل M تمام واضح طيب الآن إذا ال

372
00:35:23,640 --> 00:35:27,800
sequence xn bounded above وبالتالي by supremum ال

373
00:35:27,800 --> 00:35:33,120
property ال supremum تبعها exist سميه x star

374
00:35:35,800 --> 00:35:40,000
الان بيدثبت الادعاء هذا الـ claim الادعاء بيدثبت

375
00:35:40,000 --> 00:35:45,260
انه limit ال sequence xn بساوي ال x star اللي هو

376
00:35:45,260 --> 00:35:51,580
ال suprem لست xn فلو أثبتت هذا الادعاء معناته

377
00:35:51,580 --> 00:35:55,600
أثبتت أنا ان ال sequence xn is convergent و ال

378
00:35:55,600 --> 00:36:00,650
limit تبعتها بساوي ال suprem إلها كستتعالى نشوف

379
00:36:00,650 --> 00:36:04,930
كيف نثبت ال claim to see this لبرهان ال claim انا

380
00:36:04,930 --> 00:36:09,430
ايش بتثبت؟ بتثبت ان ال sequence x in convergent و

381
00:36:09,430 --> 00:36:13,630
ال limit تبعتها بساوي العدد x star فهستخدم تعريف

382
00:36:13,630 --> 00:36:17,830
epsilon capital N لل limit فلازم ابدأ let epsilon

383
00:36:17,830 --> 00:36:25,090
أكبر من الصفر بيه given الان ال x star هذاهو ال

384
00:36:25,090 --> 00:36:28,430
supremum لل set هذه لما نطرح من ال supremum عدد

385
00:36:28,430 --> 00:36:33,830
موجب بيبطل upper bound بيبطل upper bound لأن ال x

386
00:36:33,830 --> 00:36:37,690
star هو أصغر upper bound اطرح منه عدد موجب بيبطل

387
00:36:37,690 --> 00:36:41,590
upper bound إذا هذا العدد x star minus y is not an

388
00:36:41,590 --> 00:36:46,710
upper bound معناته في أنصر في ال set هذه اللي هو x

389
00:36:46,710 --> 00:36:51,450
رقم capital N أكبر من العدد هذا اللي هو ما هوش

390
00:36:51,450 --> 00:36:55,860
upper boundوطبعاً العدد هذا المؤشر او ال index

391
00:36:55,860 --> 00:37:00,040
capital N ده يعتمد على ال epsilon مرتبط بال

392
00:37:00,040 --> 00:37:05,500
epsilon اللي بنيت فيها طبعا انا فرض ان ال sequence

393
00:37:05,500 --> 00:37:10,860
xn increasing وبالتالي x capital N أصغر من أو سوى

394
00:37:10,860 --> 00:37:14,880
xn لكل N أكبر من أو سوى capital N من تعريف ال

395
00:37:14,880 --> 00:37:20,500
increasing sequence اذا انا في عندي هنا هى عندي x

396
00:37:20,500 --> 00:37:28,280
capital N هىxN أصغر من أو ساوي xN لكل N أكبر من أو

397
00:37:28,280 --> 00:37:36,360
ساوي N طيب و x*) هو ال suprem of ال sequence xN و

398
00:37:36,360 --> 00:37:42,440
xN هذا عنصر في ال sequence و x*) upper bound لل

399
00:37:42,440 --> 00:37:49,540
sequence إذن xN أصغر من أو ساوي x*) طيب و x*) أصغر

400
00:37:49,540 --> 00:37:57,820
من نفسها زاد عدد موجب هذا مافي شكو من هنا .. أيوه

401
00:37:57,820 --> 00:38:03,460
.. من المتباينة هذه هي عندي x capital n أكبر من x

402
00:38:03,460 --> 00:38:11,420
star سالب y إذا أنا طلع عندي الآن x star أكبر من

403
00:38:11,420 --> 00:38:13,160
.. أو x in

404
00:38:15,810 --> 00:38:25,070
أكبر من X star minus Y أصغر من X star زاد Y لكل N

405
00:38:25,070 --> 00:38:30,910
أكبر من أو ساوي capital N فظبطك صح؟ طيب مهاد

406
00:38:30,910 --> 00:38:37,890
المتباينة هي نفسها X N minus X star أصغر من Y أكبر

407
00:38:37,890 --> 00:38:44,610
من سالب Y لكل N أكبر من أو ساوي capital Nطب

408
00:38:44,610 --> 00:38:49,930
المتباينة هذه هي .. صح؟ أظبط؟ إذن absolute xn

409
00:38:49,930 --> 00:38:53,210
minus x star أصغر من إبسلون لكل n أكبر من أوي

410
00:38:53,210 --> 00:38:58,370
ساوية كابتن ان الأن since إبسلون was arbitrary هذا

411
00:38:58,370 --> 00:39:03,810
بالظبط تعريف إبسلون كابتن ان لل limit أه؟ بأن هذا

412
00:39:03,810 --> 00:39:08,470
الكلام صحيح لكل إبسلون أكبر من سفر إذن هذا معناه

413
00:39:08,470 --> 00:39:13,190
حسب التعريف إن limit xn بساوي x star

414
00:39:18,780 --> 00:39:23,660
إذا هذا بثبت ال claim وبالتالي هكذا نكون أثبتنا

415
00:39:23,660 --> 00:39:30,560
الجزء A من النظرية فالجزء

416
00:39:30,560 --> 00:39:35,300
التاني B ممكن نستخدم A في برهان ال B

417
00:39:38,510 --> 00:39:42,310
ففي الجزء B الان انا عندي ال sequence تبعتي

418
00:39:42,310 --> 00:39:46,570
bounded و decreasing اذا ا assume x in is bounded

419
00:39:46,570 --> 00:39:50,770
and decreasing فاش

420
00:39:50,770 --> 00:39:55,690
عمل هعرف sequence جديدة yn اللي هي negative الحد

421
00:39:55,690 --> 00:40:01,530
العام تبعها negative x in تمام؟ الان بما ان x in

422
00:40:01,530 --> 00:40:05,170
decreasing اذا ال sequence سالب x in تطلع

423
00:40:05,170 --> 00:40:10,610
increasingوطبعا بما أن ال sequence x in bounded

424
00:40:10,610 --> 00:40:15,670
إذا ال sequence سالب x in أيضا bounded إذا الأن

425
00:40:15,670 --> 00:40:18,790
أنا في عندي sequence جديد اللي هي sequence yn

426
00:40:18,790 --> 00:40:26,310
bounded وin crazy إذا حسب الجزء a by part a limit

427
00:40:26,310 --> 00:40:32,790
ال sequence yn تطلع existوبتساوي ال supremum لكل

428
00:40:32,790 --> 00:40:37,870
ال y in ال supremum لعناصر ال sequence اللي هي y

429
00:40:37,870 --> 00:40:41,510
in تمام؟

430
00:40:41,510 --> 00:40:47,370
انها ده من ايه؟ من الجزء ايه من النظرية؟طيب ال

431
00:40:47,370 --> 00:40:51,450
supremum ل سالب xn هيفقن العدد طبيعي احنا خدنا قبل

432
00:40:51,450 --> 00:40:56,490
هيك exercise بيقول supremum او infimum سالب حاجة

433
00:40:56,490 --> 00:41:02,190
بساوي سالب ال infimum فهنا بصير هذا سالب ال

434
00:41:02,190 --> 00:41:07,530
infimum تمام؟ اذا انا عندي بيطلع عندي limit xn

435
00:41:07,530 --> 00:41:15,180
بساوي سالب limit سالب xn تمام؟أضربوا هنا هيندي

436
00:41:15,180 --> 00:41:18,940
limit سالب xn أضربوا المعادلة هذه بالسالب واحد

437
00:41:18,940 --> 00:41:24,700
فبطلع سالب limit سالب xn بساوي سالب سالب موجب اللي

438
00:41:24,700 --> 00:41:29,000
هو ال inform ل xn وهذا اللي بدنا يعني لأن هي

439
00:41:29,000 --> 00:41:33,280
أثبتنا أن limit xn موجودة exist يعني ال sequence

440
00:41:33,280 --> 00:41:37,640
xn convergent وال limit تبعتها بساوي ال inform

441
00:41:40,760 --> 00:41:44,680
بنكمل برهان الـ monotone convergence theorem طبعا

442
00:41:44,680 --> 00:41:49,280
الأمثلة هذه اللي هنا كلها أمثلة تطبيق على الـ

443
00:41:49,280 --> 00:41:53,180
monotone convergence theorem فارجو أنكم تحاولوا

444
00:41:53,180 --> 00:41:56,080
تخرجوا الأمثلة هذه و تشوفوا كيف نستخدم الـ

445
00:41:56,080 --> 00:41:58,440
monotone convergence theorem في