بسم الله الرحمن الرحيم هنواصل اليوم تغطية section
5-3اللي بتعلق ب .. موضوع ال continuous functions
على ال intervals على الفترات احنا بدينا ال ..
بدينا الموضوع هذا المحاضرة السابقة و كان اخر نظرية
أخدناها اللي هي ال maximum .. maximum minimum
theorem نعود نستذكر بس نظرية الأخيرة هذه ال
maximum
ال maximum minimum minimum
theorem يقول
إذا كانت if I is a closed and bounded interval is
closed and bounded
وإذا كانت العملية من I إلى R مستمرة
على
الفترة I
there exist x lower star و x upper star عناصر في I
بحيث انه
f of x lower star بساوي ال minimum ل range ال
function f and f of x super star بساوي ال supremum
ل range ال function f وبالتالي هذه بسميها ال
absolute maximum
value و القيمة هتبسميها ال absolute minimum
value
لل function f على الفترة I طبعا okay okay في اليوم
هناخد نظريات برضه خاصة باتصال الدوال على الفترات
فأول نظرية هتكون location location
of roots theorem
نظرية تحديد ال roots فنفس
الحاجة let
I be closed and bounded interval على الصورة AB and
let f be function from I to R be continuous
function
على الفترة المغلقة والمحدودة I if
لو كان f of a أصغر من صفر أصغر من f of b او f of b
أصغر من صفر أصغر من f of a then
there exist c ينتميللفترة المفتوحة من a إلى b بحيث
أن f of c بيساوي سفر فالنظرية
هذه ممكن أنلخصها بالرسمة التالية محاور
الأحداثيات وممكن يكون في ending حاجة زي هذه
فهي function هذه عبارة عن ال graph y بساوي f of x
ال function هذه متصلة على الفترة المغلطة من a ل d
وهي
عندي f of a أصغر من سفر وهي عندي
النظرية بتقول لو كان في اندرالا متصلة زي هذه على
فترة مغلقة من a لb وكان f of a أصغر من الصفر و
الصفر أصغر من f of bلابد ان نجد نقطة C بين A وB
بحيث ان قيمة الـ function عندها بالساوي سفر و واضح
ان نقطة C هي قيمة الـ function عندها بالساوي سفر
ممكن برضه يكون العكس يعني الملحانة هذا يكون شكله
زي هيك
فيكون يعني عندي هنا ال F of B هي السالة بقى وهي
عند ال A فال F of B هي الموجة بقى برضه نفس النتيجة
okay تمام؟
البرهان النظرية هذه يعني it's زي ما بيقولوا it's
quite technical يعني فيه شوية تفاصيل تقنية زاد انه
طويل شوية فاحنا عشان بصدر نهاية الفصل مابناش ناخد
.. ناخد .. ناخد في البرهين الطويلة فحسيبكم تقراوا
البرهان اذا see the textbook
إذا الممكن بدؤوكم يمكن تقرؤوا البرهان من الكتاب و
تحاولوا تفهموه طبعا البرهان طويل مابنجوبش طبعا
البرهين طويلة جه هدف الامتحانات okay فهذا بالنسبة
للبرهان الآن هاي مثال مثلا مثال example
Show that the
equation f
of x بتساوي x في e أُس x سالب اتنين بتساوي سفر has
a root
in الـ interval من سفر لواحد لنثبت
ان المعادلة f of x بالساوي سفر عشان f of x بالساوي
الدالة هذه لها جدر يعني بنقدر اللاجم اي
هذا يعني showان يوجد C ينتمي للفترة المغلقة من سفر
لواحد بحيث انه اخه C مساره سفر ففي الحالة اللي
بنقول انه C root جدر للمعادلة او C zero لل
function F فبنرفبت الكلام هذا فحسب النظرية هذه
F of X بساوي X في E to X سالب اتنين is continuous
متصلة على الفترة المغلقة من سفر لواحد
لأن X في E to X هي دالة متصلة اتراحى منها ثابت
دالة متصلة على R كذلك
انا عندي F of سفر بساوي سالب اتنين اصغر من سفرو F
of واحد بالساوي E ثاند اتنين وال E معروف انه عدد
اكبر من اتنين فهذا اكبر من ساكنة اذا هاي شروط ال
location of roots ال theorem كلها متحققة hence by
location of roots theorem
يوجد C أنتمي للفترة المغلقة من ستة إلى واحد بحيث
انه F of C بساوي سفر اذا هنا اثبتنا ان C is a root
of equation F of X
بساوي X في E أس X minus اتنين بساوي سفر وهو
المطلوب اذا هنا اثبتنا ان فعلا المعادلة هذه لها
جذر في الفترة هذا الجذر يقع هو عدد C يقع في الفترة
من سفر لوحده عدد من سفر لوحده طبعا ممكن هذا العدد
C نعمله تقريب إلى أقرب يعنيبحيث يكون النسبة الخطأ
من القيمة الحقيقية تبقى تكون أقل من واحد على ألف
أو واحد على مية أو واحد على عشر ألف فالكتاب الموضح
لكم هي هنا في المثال كيف نجيب تقريب نحصل العدد
سيرة بحيث نطلع تقريبا قريب من القيمة الحقيقية
والفرق بينها ومن القيمة الحقيقية واللي هنجيبها في
المثال تكون أقل من واحد على ألف أوش زيهافممكن تقرأ
و تشوف الكلام هذا في الكتاب لكن احنا اللي بهمنا ان
ال equation هذه ضمننا انه في لها root في الفترة
هذه حسب ال location of roots في الفترة الباقية
كانت تخلي ال root هذا يعني تجيبله قيمة قريبة جدا
من القيمة الحقيقية هذه مجرد يعني تفاصيل حسابية
okay فحاولوا تقراوها من الكتاب لو سمحتالان هذه
النظرية بتقود الى نظرية تانية وهي
Bolzano's
intermediate
value theorem let
I be any interval
and if from I to R be continuous على
الفترة I إذا كان A و B أعداد في الفترة I and
K عدد حقيقي such that F of A أصغر من K أصغر من F
of B then
النتيجة أنه يوجد C ينتمي للفترة I وهذا العدد C يقع
بين
between a and b such that بحيث ان f and c تطلع
بالساوية قيمة k لنعمل
رسمة قبل أن أظهر المظهر
فممكن يكون في عندي function زي هذه مثلا فهي
في عندي فترة I ال dialer معرفة و متصل عليها
يعني هذه الفترة من هنا إلى هنا I وممكن يكون في
عندي أعداد A وB فممكن يكون مثلا هذه ال A وهذه ال B
فهذه
F of A فهذه
F of A
وهي F of B فلو
كان
K عدد بين F of A و F of B فهي F of B وهي F of Aف K
عدد بين F of A و F of B فلهذا العدد نقدر نلاقي C
عدد C عدد
C بين A و B وبالتالي ينتمي للفترة I
إذا C بين A وB وينتمي للفترة I بحيث إن صورة C
هي صورة الـ C بساوي العدد P هذا هو بولزانو
intermediate value theorem نظرية القيمة الوسيطية
نظرية القيمة الوسيطية لبولزانو مرهانة نظرية هذه مش
صعبة سهل
Proof البرهان بعتمد على ال maximum minimum theorem
وعلى اللي هو location of roads theorem ففي عندي
هنا حلتين لاحظوا أن a و b أعداد دراوي
النتيجة بتكون واضحة لو كان a بساوي b ف f of a
بتطلع بساوي f of bوبالتالي اي k بين f of a وf of b
هيساوي واحدة منهم وبالتالي ال k بيساوي f of a خد
ال c بيساوي a او b فالنتيجة ايه واضح بدهية يعني
متحققات القائمة so assume ان
a لايساوي b then
by tricotomy property إذا كان في عددين بيسويش بعض
فبطلع a أصغر من b or b أصغر من a فناخد الحالة
الأولى case one لو كان a أصغر من b ففي الحالة هذه
لو كان ال a أصغر من b فبدي أعرف define
في الحالة هذه define g of x علي أنها الدالة
اللي هي بالساوي f
of x minus
k
فطبعا الـ function g الـ function f متصل على
الفترة I هو متصل على الفترة المغلقة من a إلى b
اللي هي جزء من الفترة I فالـ function g اللي
بتساوي f ثالث ثابت مثلها متصل على نفس الفترة اذا g
is continuous على الفترة المغلقة من a إلى bاللي هي
بالمناسبة مجموعة جزئية من I لأن ال A و ال B
موجودين في I و
كذلك لاحظوا أن G of A بساوي F of A minus K وهذا من
هنا من الفرض هذا بيطلع أصغر من سفروهذا أصغر من F
of B minus K F of B minus K بيطلع عموجة اللي هو
بساوي G of B اذا هاي شروط ال location of roots ال
theorem كلها متحققة هي اندي فانش جي متصلة على فترة
مغلقة ومحدودةوقيمة الـ G عند الـ left endpoint
سالبة وقيمة الـ G عند ال right endpoint موجبة and
then by then
by location of roots theorem يوجد
C ينتميللفترة I يعني ينتمي يوجد C ينتمي للفترة
المطوحة من A وB اللي هي subset من I بحيث انه صورة
الـ C عندها بساوي سفر لكن انا عندي G of C من تعريف
ال function GG of C بساوي F of C negative K حل
المعادلة هذه في F of C فبطلع F of C بساوي K كما هو
مطلوب زي ما هو مطلوب ان هيك بتكون برهانة نظرية بس
A في الحالة اللي فيها بتكون A أصغر من Bيبقى ندرين
النظرية في الحالة التالية case 2 اللي فيها ال b
أصغر من a ففي
الحالة هذه خلّيني أعرف المرة هذه function h على
أنها بتساوي k minus f of x فواضح clearly
واضح ان الـ H زيها زي ال F متصلة is continuous على
الفترة المغلقة والمحدودة من A ل B and H
of A بيساوي K minus K minus F of A بيطلع سالب K
minus F of Aومن الفرب هذا بيطلع سالب وهذا أصغر من
k minus f of b اللي هو بيطلع h of b كذلك كي لو
طرحت من ال k f of b فبيطلع سالب فرق إذا الأن في
اندي function h continuous على فترة مغلقة ومحدودة
وقيمتها عند الـ left endpoint سالبة وعند ال right
point موجبة اذا كل شروط ال location of roots في
المحققة so by
locationof roots theorem يوجد
C ينتمي الى الفترة مظبوط هيك؟ كده كده كده كده كده
كده كده كده كده
كده كده كده كده كده
هك صح K سالب F of B بطلع سالب و هنا هاد المفروض
تكون A و هاد A صحيح، بظبط، صح، اذا H of A اللي هي
K minus F of A هي K اطرح منها F of A بطلع موجة
بينما K سالم F of B بيطلع سالم، مظبوط هيك، إذا U
جان C بين B وA وهي طبعا فترة contained in R بحيث
انه H of C بيساوي سفر، لكن H of C من تعريفها هي
عبارة عن K minus F of C وبالتالي هذا بيقدر حل
المعادلة هذه في F of Cفبطلع F of C بساوي K وهو
المطلوب إذا في الحالتين أثبتنا أن يوجد C في الفترة
I بين A وB وقيمتها عند C بساوي LK إذا نليك بيكون
برهاننا Bolzano's Intermediate Value
الان هذه النظرية في عليها نتيجة مهمة
let I بساوي closed and bounded interval and if the
function from I to R be continuous واتصلة على
الفترة I تمام؟
لو كان
فك عدد حقيقي satisfies
بيحقق الشرط التالي انه ك .. العدد ك هذا أكبر من أو
ساوي ال infimum لست f of I اللي هو range ال Fاللي
هي القيمة الصغيرة المطلقة ل F على I وأصغر من أوسعه
ال supremum ل range ال F اللي هي ال absolute
maximum value ل ال function F على I ففي الحالة هذه
من نقدر نلاقي C there existC ينتمي للفترة I بحيث
ان F of C بيساوي العدد K وبرهان
النظرية هذه سهل By
maximum minimum theorem
الـ maximum minimum theorem بتقول لو كان في أندي
function مفتصلة على فترة مغلقة ومحدودة فال
function هذه بتأخذ قيمها العظمى المطلقة وقيمتها
العظمى المطلقة وقيمتها العظمى المطلقة على الفترة I
يعني في أعداد في الفترة I أندها ال function بتاخد
قيمتها العظمى المطلقة وقيمتها العظمى المطلقة
إذاً there exist x lower star و x super star عناصر
في I بحيث أن ال F of x lower star بساول infimum
لسيت f of i and f of x super star بيساوي ال
supremum لسيت
f of i تمام
hence
by حسب ال hypothesis ال hypothesis star من الفرض
ال star اللي هو احنا فرضين انه ال key عدد key هذا
بحق المتباينة يعني we have لديناالـ k أكبر من أو
ساوي f of x lower star أصغر من أو ساوي f
of upper star و
ال function and if is continuousعلى الفترة المغلقة
من x lower star ل x super star او
لعكس ممكن يكونوا متبادلة تانية او x super star x
lower starتعتمد على مين اللي أصغر من التانية إذا
كانت هذه أصغر من هذه فهذه تطلع فترة داخل I و F
continuous على I ايضا continuous على أي فترة جزئية
منها وإذا كان ال X Superstar أصغر من X Lower Star
فمناخد الفترة أيضا
شروط بولزانو فيروس تراسي فيرم هاي في عندي نقطتين A
و B بينتموا للفترة I و F continuous على I
وعندي a و b بينتموا للفترة I وعندي K أكبر من أو
ساوي F of A أصغر من أو ساوي F of B so by Bolzano's
يوجد C ينتمي للفترة I بين X
lower star و X super starبحيث ان f of c بساوي
العدد k وهذا
اللي بدنا نقيله يعني اثبتنا يوجد c ينتمي للفترة I
وصورة c بساوي العدد k وهو المطلوب اذا هذه النتيجة
على بلزانو intermediate valley theoremبرهنها بكل
بساطة وبكل أريحية واضح البرهان في أي استفسار أن
البرهان هنا تبع النظرية هذه بعتمد على maximum
minimum maximum minimum theorem نظرية القيام
القصوى نخدناها المحاضرة اللي فاتت وعلى Bolzano
intermediate value theorem okay
تمام
طيب ال ..
ناخد نظرية
يمكن
ما نحتاجش هدول نمسح
اللوح هذا
فيرم let I بساوي closed bounded interval be closed
and bounded closed and bounded interval and let f
from I to Rدي continuous متصلة على الفترة I then
النتيجة انه ال set او ال rangeالـ range للـ
function I is a closed and bounded closed and
bounded interval that
is هذا يعني
هذا يعني .. يعني النص او نتيجة النظرية دي من كلها
خصها في عبارة واحدة وهي انه a continuous function
a continuous function preserves .. preserves
بتحافظ closed
and bounded intervals
الدوال
المتصلة بتحافظ على ال closed و ال bounded interval
يعني ال function f بتاخد I اللي هي closed bounded
interval بتعطيني صلتها closed bounded interval
زيها من نفس الصنف من نفس النوع لبرهان ذلك
ف let M بساوي الالفمن ل range ال F و
capital M بساوي ال superman ل range ال F
بOTH M AND N EXIST IN R BY MAXIMUM
MINIMUM THEOREM
نظرية القيام القصوى بتقول إنه إذا كانت f function
متصة على closed bounded interval فال .. ال .. ال
function إلها قيمة صغيرة مطلقة و إلها قيمة أضمة
مطلقة سمها قيمة صغيرة المطلقة M و قيمة الأضمة
المطلقة capital M تمام؟
clearly
F of X أكبر من أو ساوي M أصغر من أو ساوي م لكل X
في I قيمة الدالة عند أي X في المجال تبعها أصغر من
أو ساوي قيمة العظمى المطلقة و أكبر في نفس المجال
أكبر من أو ساوي قيمة الصغر المطلقة
فهذا بيقدي which
implies هذا بيقدي انه ال .. انه f of I contained
في الفترة المغلقة من small m لcapital Mالمتبادلة
الأخيرة هذه تثبت أن ال set هذه subset من هذه لأنه
خدوا أي عنصر هنا فأي عنصر هنا عبارة عن f of x for
some x ينتمي ل I صح فأي f of x for some x ينتمي ل
I هيمحصور من small m وcapital M وبالتالي ينتمي
للفترة المغلقة هذه، لأن كل أنصر أنا هو أنصر في
الفترة المغلقة، لأن هذا الاحتواء صحيح، تمام؟ الان
احنا بنثبت المساواة
إن ال range لل function f بساوي كل الفترة المغلقة
من small m لcapital M فلإثبات
ذلك هي عندي أنا to prove this it
remains
it remains to show يبقى اثبات دا في اثبات ان احنا
لثبت الاحتواء المعاكس the reverse inclusion
إذا يبقى إثبات إن الفترة المغلقة من small m to
capital M contained in F of I فكيف نثبت إحنا set
subset من الأخرى نسميه
برهان بإيه بتتبع العناصر يعني بناخد أنصر في
المجموعة الأولىنثبت العناصر في المجموعة التانية
هذا بيسموه في رياضيات الـ chasing of elements
argument برهان بتطبع العناصر فقالت why تنتمي
للفترة المغلقة من small m لcapital M طيب هذا
بيقدّيالـ y أكبر من أو ساوي small m أصغر من أو
ساوي capital M وهذا عبارة عن الـ infimum لـ range
الـ function f وهذا بساوي الـ supremum لـ range
الـ function f
وعندي ال .. إذا حسب ال .. ال corollary تبع النظرية
هذه فإن عندي ال function if continuous على الفترة
المغلقة a,b فعندي if continuous على الفترة المغلقة
a,bوعندي k اللي هو y عدد محصور بين ال infimum ل f
of i و ال suprem ل f of i by
above corollaryالقرن اللي لـ Bolzano Intermediate
Value Theorem يقول إن يوجد C ينتمي للفترة I بحيث
أن F of C بساوي
العدد Y اللي هو قابل الـK في نص النظريةالـ C ينتمي
لـ I إذاً F of C تنتمي لـ F للست F of I إذا هاني
بدأت بـ Y ينتمي للفترة المغلقة طلع Y ينتمي لـ F of
I Therefore Hence هيك
منكون أثباتنا أن الفترة المغلقة من small m
لcapital M is containedفي ال set f of i هذا
ببرهن ال claim و النظرية لأن هيك بيكون برهننا ال
claim وبالتالي برهننا النظرية لأن هيك هي اثبتت ان
ال image ل ال closed bounded interval I طلعت
closed bounded interval صح و هو المطلوب
Okay واضح البرهان؟ في أي استفسار على البرهان؟
في هنا تحذير warning تحذير
in
the above theorem we hadF of I التي هي F للفترة
المغلقة من A لB طلعت
بالساوي الفترة المغلقة من small m لcapital M حيث
small m is the absolute minimum value وcapital M
is the absolute maximum value of the function F on
the interval Iو هذا ليس بالضرورة مش شرط هذه الفترة
تكون الفترة من F of A ل F of Bهذه الفترة ماحدش جال
او مقدر يزم انها الفترة المغلقة من F of A لF of B
هذا مش صحيح okay النظرية ما بتقولي الكلام هذا
بتقولي الكلام هذا فقط هذا غلط مش شرط ال image
للفترة I بالساوي الفترة المغلقة من F of A لF of B
فاخدوا بالكم من ايه من التحذير هذاOkay إذا هين
أثبتنا إن لو كانت ال function تبعتي متصلة على فترة
مغلقة أو محدودة فصورتها بتطلع مغلقة أو محدودة
وبالتالي ال function preserves ال .. ال .. ال
intervals طيب
ال .. النظرية دي إلها تعميم
preservation of intervals
theorem لو
كانت الفترة let I be any interval مش شرط تكون ..
مش شرط تكون close about it .. be any interval and
letإذا من I إلى R يكون مستمر على الفترة I ثم
ستة F من I هي عرفة
النظرية هذه بتقول لو كانت f دالة متصلة المجال
تبعها أي فترة مغلقة، محدودة، مش محدودة، half-open،
open-half-open interval اللي لقاش، أي لوحة من ال
intervals اللي شفناهم في جبتر واحد فصورتها أيضا
لازم تطلع interval وبالتالي ال continuous function
بتحافظ على الفترة، على الفترات يعني بتاكن فترة في
مجالها بتعطيل صورتها فترةالفترة هذه ما بنعرفش كيف
نوعها لكن اللي بنقدر نزّمه في النظرية السابقة أنه
لو كانت الفترة I هذه closed bounded فصورتها هتطلع
closed bounded أما لو كانت من نوع أخر فصورتها مش
شرط تكون من نفس النوع ماحدش جال الكلام هذا فلبرهان
ذلك لبرهان
ذلك
خلّينا ناخد let alpha و beta belong to except f of
I with alpha أصغر من beta خلّينا
نستذكر بس
في نظرية أخدناها قبل هيك ال theorem اتنين خمسة
واحد بتقول if S subset of R contains at least two
elements and satisfies
Satisfies الخاصية واحد إن لو كان X و Y تلوي ل S و
X أصغر من Y هذا بيقدي إن الفترة من X إلى Y
contained in S then
set S is an interval
إن ان هذه النظرية أخدناها في ال chapter .. في ال
chapter الأولاري بتقول لو كان في عندي set subset
من R فيها على الأقل أنصر Lوبتحقق ال set هذه بتحقق
الخاصية واحد property one انه لأي x و y في ال set
و x أصغر من y الفترة من x ل y بتكون موجودة داخل ال
set في الحالة هذه ال set نفسها S تطلع interval اذا
انا بدي اثبت to show طيب
انا عندي
هذه أخدت نقطتين في ال set هذه هي ال set ال set S
هذه أخدت نقطتين و Alpha أصغر من Beta و بتثبت أنها
بتحقق الخاصية واحد عشان أثبت أنها interval أنا
عندي Alpha و Beta تنتمي ل F of I لأن Alpha بتساوي
F of Afor some a تنتمي إلى I و Beta بساوي F of B
for some B تنتمي إلى I وبالتالي
..
بالتالي ..
انا عندي ال bolzanova طيب طيب to show to
show f of I is an interval we
need to showان الset f of i satisfies property
واحد
of theorem اتنين خمسة واحد فهي
عندي alpha و beta تنتمي ل f of i و alpha أصغر من
beta ف
to show
الفترة من Alpha إلى Beta content in F of I let K
ينتمي إلى الفترة المغلقة من Alpha إلى Beta
أكبر من أو يساوي alpha هي بيساوي f of a وأصغر من
أو يساوي beta هي بيساوي f of b وبالتالي so by
Bolzano's
intermediate
value theorem
يوجد K عفوا يوجد C ينتمي إلى I between Alpha
و Beta بحيث ان F of C بساوي K او
K بساوي F of Cطبما ال C تنتمي ل I إذا F of C تنتمي
ل F of I إذا
هاني أثبتت إنه كل K في الفترة المغلقة من Alpha إلى
Beta طلع ينتمي لفترة F of I وبالتالي إذابطلع عند
الفترة المغلقة من Alpha إلى Beta ال subset من F of
I وبالتالي إذا ال set F of I بتحقق ال property
واحد إذا by theorem .. by theorem اتنين خمسة واحد
ال set F of I بتطلع interval is an interval
و هذا بيكمل النظرية اذا هذا بيكمل البرهان هيك
بنكون خلصنا ال section خمسة تلاتة و باقي عننا
section خمسة أربعة هناخده في المحاضرة الجاية نحاول
نشوف زمنا نخلصه ولا لأفال .. شكرا لحصن إصراعكم و
يعطيكم العافية و نشوفكم ان شاء الله المرة الجاية