السلام عليكم هنكمل
اليوم section أربعة اثنين في ال section هذا كان
اتبقى بس إن أحنا نثبت النظرية اللي كتبتها على
اللوح النظرية هذه بتنص على إن لو كان في هندية
function من A إلى R و c cluster point للset A وإذا كان
limit ال function عن c exist وموجبة أو
على التوالي إذا كانت limit f of x عن c موجودة
وسالبة يوجد
نقدر نلاقي delta neighborhood دي delta لل c بحيث إن
الدالة هتكون إذا كانت ال limit موجبة فالدالة هتكون
موجبة على ال delta neighborhood ل C وإذا
كانت ال limit سالبة فالدالة هتكون سالبة على جوار
delta ل C هذه
نظرية تشبه نظرية سابقة بخصوص limits of sequences
النظرية اللي فاتت بتاعة ال sequences المشابهة
بتقول لو كانت ال sequence النهاية بتاعتها limit x
exist وموجبة فلازم ال sequence تكون حدودها من
capital N وأنت طالع كلها موجبة ولو كانت ال limit
لل sequence exist وسالبة فلازم حدود ال sequence
من capital N وأنت طالع كلها تكون سالبة فهذه شبيهة
فيها والبرهان سهل وشبيه بالبرهان تبع النظرية
المشابهة في حالة ال sequences فناخد الحالة assume
ناخد
الحالة اللي فيها ال limit ل
f of x at c exists and equals عدد l موجب
فإذا كانت ال limit موجبة بنا أثبت إن يوجد delta
neighborhood إلى آخر A فخلّينا
ناخد let epsilon في الحالة دي let epsilon بيساوي
L على 2 فهذا عدد موجب الآن by definition of limit
of function by epsilon delta definition لأي
epsilon موجبة زي هذه يوجد delta تعتمد على L على 2
اللي هي ال epsilon عدد موجب بحيث إنه لو كان X
ينتمي إلى A و absolute x minus c أصغر من delta
أكبر من 0 فهذا بتضمن إن absolute f of x minus L
أصغر من epsilon اللي هي عبارة عن L ع 2
فحل المتباينة هذه في f of x فتصير f of x minus L
أصغر من L على 2 أكبر من سالب L على 2 وهذا
بيؤدي إلى إن
f of x
من هنا F of X تطلع أكبر من L على 2 لأنه لما أخد
سالب L أنقلها عن ناحية التانية فتصير F of X أكبر
من L سالب L على 2 تطلع L على 2 وال L موجبة إذا L
على 2 موجبة إذا هيك بنكون أثبتنا إن ال F of X طلعت
أكبر من صفر لمين لكل X تنتمي إلى A ومن
المتباينة هذه هذا معناه X لا تساوي C إن ال X ينتمي
إلى A ولا تساوي C يعني موجودة في A ومش موجودة في
singleton set C والمتباينة هذه هذه معناها إن X
ينتمي إلى V Delta
x-c أصغر من دلتا بكافئ
إن X أصغر من C زائد Delta أكبر من C سالب Delta
فهذا
معناه X تنتمي لفترة مفتوحة Delta-neighborhood ل-C
Okay تمام إذا f of x اللي أعطاها موجبة لكل x في a
ومختلفة عن c وأيضا من هنا ال x أيضا تنتمي ل delta
neighborhood ل c وبالتالي تنتمي لتقاطع المجموعتين
إذا هذا بيثبت النظرية في حالة لما يكون ال limit
تبعتها موجبة
لو كانت ال limit سالبة فالبرهان مشابه لأن ال
proof of the case لما تكون ال limit ل f of x لما x
تؤول ل c بيساوي العدد سالب l is similar to
above case مشابه
للبرهان السابق في الحالة هذه take start with
epsilon بيساوي سالب ال ع اتنين وهذا بيطلع عدد موجب
يعني ابدأوا البرهان بدل ما نبدأ ب epsilon بيساوي ال ع
اتنين ابدأوا epsilon ... epsilon بيساوي
البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان
البرهان البرهان
لأن ال L سالبة وهذا صحيح لكل X في جوار Delta ل C
وفي A minus single to C okay؟ لأن حاسبكم أنتم
تكتبوا البرهان تبع الحالة التانية تمام؟ واضح؟ في
أي سؤال أو سفسار؟ تمام؟
Okay إذا نبدأ section جديد
section
أربعة ثلاثة
بعض التطبيقات .. بعض التطبيقات ل
limit concept
بعض التعاملات أو توصية بعض مفاهيم النهايات احنا
قبل هيك درسنا في section 4.1 و 4.2 ال limit of
function أو ال two sided limit لل function عن نقطة
معينة اليوم هندرس ال one sided limit ل function عن
نقطة and cluster point للمجال تبعها مقصود بال one
sided limit اللي هو limit من اليمين أو limit من
اليسار ونشوف ما هي علاقة ال one sided limit بال
two sided limit فنعرف
الأول definition نعرف ال one sided limit
definition let
f be a function from a to r and c be a cluster point
cluster
point of a واحد أو
خلّيالـ cluster point of المجموعة A
تقاطع الفترة المفتوحة من C إلى infinity اللي هي كل
ال X مجموعة كل العناصر X تنتمي إلى A حيث X أكبر من
C نقول
إن العدد l ينتمي إلى R is
a right .. is a right hand limit .. right hand
limit of the function F at ..x بيساوي c if الشرط
التالي بيتحقق لكل
epsilon given
epsilon
أكبر من الصفر يوجد delta تعتمد على epsilon عدد موجبة
بحيث إنه لو كان x ينتمي ل a و x minus c أكبر من
صفر أصغر من delta فهذا بتضمن إن absolute f of x
minus l أصغر من epsilon in
this case in
this case we write نكتب إن ال limit لل function f
عندما x تؤول إلى c من اليمين بيساوي العدد l ..
تمام؟ لأن هذا تعريف ال limit from the right أو ال
right hand limit لل function f عند النقطة c
إذا أنا عندي هذه خط الأعداد وهي النقطة C وأنا عندي
ال C هي cluster point ل
A .. لكل ال X موجود في A وأكبر من C
فبنقول إن ال limit عند x بيساوي c أو ال function
في إلها right-hand limit وال right-hand limit هي
العدد L إذا كان لأي epsilon أكبر من الصفر بتقدر
نلاقي delta عدد موجبة بيعتمد على epsilon بحيث لكل x
في المجموعة A إذا كانت ال X هذه على يمين ال C
والمسافة بينها وبين ال C أصغر من Delta فبتطلع
المسافة بين F و X L أصغر من Y بالمثل
ممكن نعرف ال limit from the right يعني أنا بدي
أعرف ال limit from the right أو ال right hand
limit هي نفس let f be a function from A to R و C
cluster point للمجموعة A تقاطع الفترة المفتوحة من
سالب مالانهاية إلى C اللي هي كل ال X في A حيث X
هتكون أصغر من مرة هذه أصغر من C فنقول إن ال real
number L هو بدل right hand limit هيكون left hand
limit of f at c if given epsilon there exists
delta depends on epsilon بحيث إنه لكل x ينتمي إلى
A لكل X تنتمي إلى A وال X طبعا موجودة في الفترة هذه
يعني ال X المرة هذه على يسار المرة هذه ال X هتكون
موجودة في A وفي الفترة المفتوحة من سالب مالانهاية
إلى C يعني ال X هتكون على يسار ال C وبالتالي هنا
ال C minus المسافة بين X و C absolute X minus C
هتطلع بيساوي C minus X فلو كانت المسافة هذه أصغر من
Delta وطبعا أكبر من صفر
هذا الشرط سيصبح c-x أصغر من دلتا أكبر من صفر فهذا
لازم يضمن أن absolute of f of x minus l أصغر من
إبسيلون في الحالة هذه بيقول إن ال limit لf of x لما
x تقول لc من اليسار
بس n بساوي l okay إنّها تعريف ال left hand limit
أو ال limit from the left okay تعديل
بسيط بس طيب
ال limits هذه هنشوف يعني بعد شوية إنّ ال one sided
limits ده functional نقطة ممكن يعني التنتين يكونوا
موجودين عند النقطة و ليهم نفس القيمة أو ممكن
التنتين يكونوا موجودين عند نقطة لكن قيمهم مختلفة
زي ال Signum function عند الصفر شوفنا إنّ ال limit
تبعتها من اليمين واحد و ال limit تبعتها من اليسار
سالب واحد إذا ممكن ال two sided limits يكونوا
موجودات لكن they are different مختلفات، ممكن برضه
one sided limit تكون موجودة and the other may not
exist، ممكن ما تكونش موجودة من أساسه
ممكن ال one sided limits ولا واحدة فيهم تكون
موجودة فكل الحالات هذه هنشوفها في أمثلة لاحقة لكن
الأول خلّينا نبرهن النظرية التالية
طبعا هنا بنحب ال ...
النوّه إنّ كل نظريات اللي أثبتناها في section 4.1
أو 4.2 بخصوص ال two sided limit هتكون صحيحة بخصوص
ال right limit و كذلك صحيحة بخصوص ال left hand
limit
فعلى سبيل المثال وليس الحصر إحنا أخدنا sequential
criterion sequential criterion for two sided limit
الآن هنكتب برضه sequential criterion for right
limit sequential criterion for right
hand
limits let f from a to r be a function and c be a
cluster
point of A then the following statements are
equivalent العبارات التالية متكافئة واحد ال limit
ل F of X as X tends to C from the right exists
و بساوي عدد L اتنين
for every sequence
x n contained in a تقاطع c إلى infinity such that
limit x n as n tends to infinity بيساوي c we have
limit
لل image of the sequence x n بيساوي العدد L
البرهان شبيه بالبرهان الخاص بالـ two-sided limit
فمثلا لو بدنا نبرهن proof لو بدنا نبرهن العبارة
الأولى بتأدي للتانية فبنقول assume .. نبدأ ب
assume إنّ ال limit ال right limitالـ F عند الـ C
exists بساوي L و بدنا
نثبت إنّ الـ two بيطلع العبارة اتنين بتطلع صحيحة
لبرهان العبارة to prove two
holds
لتبدأ لت xn contained in a تقاطع c إلى infinity
ب sequence
such that ال limit تبعتها as n tends to infinity
بيساوى c إذا أنا باخد sequence في المجموعة a
و حدودها كلها أكبر من c و بفرض إنّ ال limit لل
sequence بيساوي العدد c نحتاج إنّنا نظهر عشان
نثبت اتنين باقي نثبت إنّ ال limit نحتاج إنّنا نظهر إنّ
ال limit لل image of the sequence xn as n tends to
infinity بساوي L هيك بنكون أثبتنا إنّ العبارة 2
صحيحة، مصبوط، صح؟ طيب لبرهان ذلك to
see this
نبدأ نثبت إنّ ال limit لل sequence هذه بساوي عدد L
فبستخدم تعريف epsilon capital N لل limit فلازم
نبدأ with epsilon أكبر من الصفر ب given طيب مش
إحنا فرضنا Since الـ right limit ل F and C موجود أو
بيساوي L من تعريف ال right limit there exists
delta depends on epsilon positive number بحيث إنّه
لو كانت ال X تنتمي إلى A و X minus C أكبر من 0 أصغر
من دلتا هذا معناه بيؤدي إنّ absolute f of x minus
L أصغر من إبسيليون نسمي ال implication هذي star now
for the above الدلتا أكبر من الصفر لدلتا هذه
العدد الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا
هذه العدد الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة
لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا هذه العدد
الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا هذه
العدد الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا
هذه العدد الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة
لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا هذه العدد
الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا هذه
العدد الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا
natural number عدد طبيعي بحيث إنّه لو كان ال N أكبر
من أو يساوي capital N فهذا بيضمن إنّ absolute xn
minus c أصغر من delta نسمي ال implication هذه
double star
hence و بالتالي star and double star imply بيؤدّيان
إلى ما يلي إنّه لو كانت ال N أكبر من أو يساوي
capital N فمن
double star
لو كانت n أكبر من أو يساوي capital N فمن double
star بيطلع absolute xn minus c أصغر من delta هذا
بيؤدي إنّ xn
minus C أكبر من صفر أصغر من Delta ليه؟ لأنّ ال xn
موجودة تنتمي لإيه؟ هو أكبر من C، لذلك هذا لأنّ xn
أكبر
من C فبالتالي absolute xn-c أكبر من 0 و بالتالي
absolute xn-c absolute عدد موجب بيساوي نفسه لأنّ ال
absolute value هنا ل xn-c بساوي xn-c لأنّ xn أكبر
من c و طبعا
هذا أكبر من الصفر لأنّ xn لا تساوي c أكبر من c الآن
من ال star هذا بيؤدي by star ال star بتقول إذا
كانت ال X أو هنا في الحالة تبعتنا xn ال xn هذه
تنتمي لإيه؟ ال xn هي تنتمي لإيه؟ و بعدين هي عندي
xn سالب C أكبر من صفر أصغر من Delta إذا by star
بيطلع absolute F of xn minus L أصغر من epsilon تمام؟
الآن نلاحظ إنّ epsilon was arbitrary إبسيليون
was arbitrary since
إبسيليون أكبر من الصفر was arbitrary إذاً هيك بنكون
إحنا أثبتنا إنّه لأي إبسيليون أو لكل إبسيليون يوجد Delta
لكل إبسيليون يوجد capital N يعتمد على ال Delta
و بالتالي تعتمد على إبسيليون لأنّ ال Delta تعتمد على
إبسيليون بحيث إنّه لكل N أكبر من أو يساوي capital N طلع
عندي absolute f of xn minus L أصغر من إبسيليون إذاً
by epsilon capital N definition of limit بيطلع هيك
بيكون أثبتنا إنّ limit ال sequence f of x n as n
tends to infinity بساوي L و هذا اللي بدنا يعني هذا
اللي إحنا إيه اللي عايزين نثبته
إذاً هيك بنكون أثبتنا إنّه إيه اتنين holds و بالتالي
هيك هذا بيكمل برهان واحد implies two okay تمام؟
بالمثل ممكن إنّنا نبرهن اتنين implies one
the proof of اتنين implies العبارة
التانية implies الأولى is similar is
similar to is
similar to the proof of
the sequential criterion for two-sided limit
exercises
يعني اتمرّنوا عليها أنا ارجع لبرهان ال sequential
criterion for two-sided limit و شوفوا اقرأوا
البرهان و اعملوا التعديلات البسيطة على البرهان لأنّ
هنا إحنا بنتعامل مع right hand limit أو limit from
the right rather than two-sided limit زي ما عملنا
في البرهان تبع واحد implies اتنين okay فحاسيبكم
انتوا تكتبوا البرهان تبع اتنين بيؤدي لواحد بنفس
الطريقة اللي برهناها في حالة ال two sided limit
okay تمام في أي سؤال طبعا ممكن برضه أيضا يوجد
ممكننا نثبت sequential criterion for left hand
limit أو limit from the left بنفس الطريقة okay يعني
إحنا مش هنكتب طبعا نظرية دي هنعتبرها نظرية قائمة و
صحيحة و مش بدون برهان okay تمام؟ إذن هذه واحدة من
النظريات اللي برهناها في section 4.1 و 4.2 و
بالمثل كل نظريات اللي برهناهم لـ two sided limit
في section 4.1 و 4.2 هنعتبرهم قائمين أو نعتبر
نظريات هذه صحيحة لـ left limit و right limit
في نظرية أخرى مهمة وهي التعطيل
العلاقة بين الـ two sided limits و الـ one sided
limits ف
if f is a function from a to r and let c be a cluster
point
of
المجموعة a تقاطع الفترة المفتوحة from c to
infinity and of a تقاطع الـ open interval from
negative infinity to c then
الـ two-sided limit للـ function f and c بتكون
موجودة وبتساوي
عدد L if and only if الـ one-sided limit أو الـ
limit from the right the limit at C from the right
exist و بتساوي L and the limit of f at C from the
left exist و بتساوي نفس العدد L وهذه نظرية أخذناها
في تفاضل ألف إذا بتذكروا
متى ال limit عند نقطة في مجالها أو cluster point
لمجالها بتكون exist بالساوية عدد إذا كانت ال limit
من اليمين موجودة و ال limit من اليسار موجودة و
الاثنتين متساويتين و بتساوي نفس العدد هناك
بس ماكنش البرهان المطلوب منكم المرة دي احنا
مطالبين بالبرهان البرهان يعني كتير سهل ينتج من
التعريفات proof ف .. هحاول أبرهن لكم الـ f part هذا
مسمى الـ f part يعني هفرض أنه assume أنه
الـ one sided limits
the limit from the right exist و بتساوي L وكذلك
limit from the left موجودة
و بتساوي العدد L وعايز اثبت ان ال limit from the two
sides exist إذا هنا هذا الفرض المطلوب
أكلم الـ two-sided limit لـ الـ function f at x
بتساوي c exist و بتساوي نفس القيمة أو نفس الأعداد L
لبرهان ذلك to see this لبرهان ذلك بنحاول نطبق
تعريف epsilon delta للـ limit of function فبنبدأ
بنقول let epsilon أكبر من الصفر be given طيب
أنا من الفرض أنا فارض تعالى نستفيد من الفرض للوصول
إلى المطلوب هذا برهان مباشر البرهان المباشر ده
ناخد الفرض بنشتغل عليه بنحط عليه شوية برات و بعدين
بنطلع منه المطلوب فمن الفرض فرضين احنا ان ال limit
لـ f of x as x tends to c positive لما انه ال limit
من اليمين عن c بتساوي L y أكبر من الصفر given by
definition there exists delta واحد بالساوي delta
واحد تعتمد على epsilon عدد موجب بحيث أنه لو كان x
ينتمي إلى a و x minus c أكبر من الصفر أصغر من delta
واحد فهذا بتضمن أن absolute f of x minus l أصغر من
epsilon
نسمي الـ implication head star also كذلك بما أن
احنا فرضين ان ال limit لـ f of x as x tends to c
from the left exist و equal نفس العدد L، إذا by
definition of left hand limit there exists delta
ثانية مش صارت الـ delta هذه تكون نفس الـ delta
اللي فوق ماحد بيقدر يجزم بذلك فنسميها delta ثانية
there exists delta two depends طبعا بالتأكيد تعتمد
على إبسلون وعدد موجب بحيث أنه حسب التعريف لكل x
تنتمي إلى a و c minus x أكبر من الصفر أصغر من delta
و 2 طبعا هذا بتضمن أن absolute f of x minus n less
than epsilon نسمي الـ implication هذه double star
خلينا
ناخد كالعادة delta نعرف delta على إنها minimum ال
minimum الأصغر بين delta واحد و delta اثنين طبعا
هذه بالتأكيد هيطلع الصغيرة بين الاتنين هتكون واحدة
منهم وبالتالي تطلع عدد موجب وتعتمد على epsilon إذن
هيثبت أن يوجد delta تعتمد على epsilon و ال delta
هي عدد موجب الان for this delta تعالى نشوف
لو كان x ينتمي ل a و absolute x minus c أكبر من
الصفر أصغر من دلتا الان
بناخد delta بتساوي ال minimum ل delta واحد و delta
اثنين طبعا بما ان دلتا واحد ودلتا اثنين اعداد موجبة
اذا دلتا عدد موجب وكذلك تعتمد على epsilon لان
دلتا واحد ودلتا اثنين تعتمد على epsilon الان لو
أخدت x تنتمي لمجموعة a و ال x صارت مختلفة عن ال c
و المسافة بينها و بين ال c أصغر من دلتا هذا معناه
هذا معناه أنه ال x لا تساوي c وبالتالي
ال x ممكن تكون أصغر من c أو ال x أكبر من c فهذا
بيقدي أن ال .. ال
.. ال .. إذا كانت ال x إذا كانت الـ x أكبر من c لو
كانت الـ x أكبر من c فهذا بقدي أن absolute x
minus c بتساوي x minus c بصير الـ absolute value
هذه عبارة عن x minus c هو أكبر من 0 أصغر من delta
ولو كانت ال x أصغر من c فال absolute value هذه
بيصير c minus x أكبر من الصفر أصغر من delta في
الحالة الأولى ال delta تبعتي هذه أصغر من أو ساوي
delta واحد صح؟ ال delta هذه هي ال minimum ل delta
واحد و delta اثنين وبالتالي أصغر من أو ساوي delta
واحد وبالتالي من ال star إذا كانت x تنتمي إلى a و x
minus c أكبر من الصفر أصغر من دلتا واحد من ال star
بيطلع عندي absolute f of x minus l أصغر من يو إذا
كانت ال x أصغر من ال c فبيطلع absolute x سالب c
بيطلع بيساوي c سالب x أصغر من delta وطبعا x مستويش
c أكبر من 0 وال delta هذه من تعريفها أصغر من أو
يساوي delta 2 باستخدام double star ال implication
double star لما يكون ال x تنتمي ل a و c minus x
أكبر من 0 أصغر من delta 2 هذا بيقدر أن absolute f
of x minus l أصغر من إبسن إذن في كل الأحوال هذه
بتقدر أن absolute f of x minus l أصغر من إبسن
تمام؟
طب ما هذا هو تعريف epsilon delta للـ limit of
function صح؟ إذا نيجي بنقول هنا since epsilon أكبر
من الصفر was arbitrary
إذا احنا بنكون أثبتنا لكل إبسلون أكبر من الصفر يوجد
delta تعتمد على إبسلون عدد موجب بحيث لكل x تنتمي ل
a و absolute x minus c أكبر من الصفر أصغر من delta
طلع عندي absolute f of x في الحالتين minus l أصغر
من إبسلون وبالتالي إذا هذا صحيح لكل إبسلون
وبالتالي by epsilon delta definition of limit أو
function we have أثبتنا أن ال limit ل f of x as x
tends to c بتساوي العدد l okay تمام، إذا هذا بيثبت
اللي هو لو كان ال two sided limits موجودين
متساويتين، لأ لو كان ال one sided limits كلا هما
موجودة و بتساوي قيمة مشتركة l ف ال two sided limit
بتطلع exist و قيمتها بتساوي القيمة المشتركة الان
برهان العكس أسهل لذلك هكتب هنا ال proof of
the converse is easier أسهل
So exercise it يعني
تمرن عليها لو كانت ال two-sided limit exist فمن
السهل أن نثبت أن ال right hand limit exist و ال
left hand limit exist و كلهم لهم نفس القيمة okay
تمام؟ إذا هنوقف هنا و في المحاضرة الجاية إن شاء
الله هناخد أمثلة على one-sided limits إما في اثنين
موجودين و متساوياتين أو اثنين موجودين و مختلفتين
أو واحدة موجودة و اثنين مش موجودة و هكذا، هنشوف كل
الأنواع و كل ال situations، تمام؟ okay شكرا لكم و
نشوفكم إن شاء الله المرة القادمة