بسم الله الرحمن الرحيم عودًا على بدء، بِجينا نتحدث
المرة اللي فاتت عن الـ Diagonalization لـ Matrix
وخدنا مجموعة من الأمثلة، بدل المثال تلاتة بِجينا
نجيب الـ Eigen Values و الـ Eigen Vectors و نثبت هل
المصفوفة اللي عندي Diagonalizable ولا لأ؟ طبعًا
عرفنا إنه معناه إيه؟ Similar to B، معناه إنه في
Diagonalization لـ للمصفوفة A، المثال الرابع بيقول
افترض المصفوفة A هي على الشكل اللي قدامنا هذا
بطالب تلت مطاليب، المطلوب الأول قال لي: هات الـ
Eigenvectors، شغلة روتينية يا ما أوجدناها في
السيكشن هذا أو السيكشن اللي جابه، أربعة واحد
المطلوب الثاني بيقول: Find a the Dimension of the
Eigenvector Space، وبرضه أوجدناها قبل ذلك، الأمر
الثالث بيقول لي: هل الـ Matrix is Similar to a
Diagonal Matrix ولا لأ؟ يعني إيش قصد يقول ليه؟ قال
لي: هل المصفوفة is Diagonalizable ولا لأ؟ هي السؤال
السؤال اللي قال لي: شوف لي هل الـ A is Similar to a
Diagonal Matrix يعني كانوا بيسألوا ليه: هل المصفوفة
is Diagonalizable ولا لأ؟ بقول نفسُه إن كان الأمر
كذلك: Find a Matrix K، من الـ Matrix K and Diagonal
الـ Matrix D، بحيث إن الـ K inverse A K بدّه يساوي من؟
بدّه يساوي D، مش هتعريف الـ Similar، يبقى Similar
والله Diagonalize هم الاتنين are the Same، نفس
المفهوم بالضبط، تمام، طيب نيجي نحل هذا السؤال، يبقى
أول نقطة بدي أروح أجيب الـ Eigen، الـ Eigen
Values لمين؟ للمصفوفة اللي عندنا إيه؟ يبقى بدي أبدأ
بمين؟ بالمعادلة الأساسية اللي هي: Lambda I ناقص A
تساوي I Lambda 00 Lambda 00 Lambda بالشكل اللي
عندنا هذا، تمام؟ في ناقص المصفوفة A، بنزل المصفوفة
كما هي، واحد اتنين تلاتة، سالب واحد أربعة تلاتة، واحد
سالب اتنين سالب واحد بالشكل اللي عندنا هذا الكلام
بدّه يساوي: Lambda ناقص واحد، Lambda ناقص واحد، ناقص اتنين
ناقص تلاتة هنا، واحد هنا، Lambda ناقص أربعة وهنا ناقص
تلاتة، وهنا ناقص واحد وهنا اتنين وهنا Lambda زائد
واحد بالشكل اللي عندنا هذا، بعد ذلك لكي احصل على الـ
Eigenvalues أنا باخد المحدد لهذه المصفوفة، إذا أنا
باخد الـ Determinant لمين؟ للـ Lambda I ناقص الـ A، وهو
المحدد Lambda minus one، سالب اتنين، سالب تلاتة، وهنا
one وهنا Lambda minus four وهنا minus three، minus
one، to Lambda plus one، هذا المحدد، بدي أحسب قيمة هذا
المحدد، يبقى بدي أفك المحدد اللي عندنا باستخدام
مثلًا عناصر الصف الأول، يبقى باجي بقول هذا الكلام
بدّه يساوي Lambda minus one، يبقى Lambda minus one في
المحدد الأصغر المناظر له، الـ Lambda minus four مضروبة
في Lambda plus one، minus مع minus بصير زائد ستة
العنصر اللي بعده، حسب قطع الإشارات، شرطة موجبة يبقى
زائد اتنين في، نشط بصفه وعموده يبقى Lambda plus
one minus three، يبقى Lambda plus one minus three
اللي بعده، minus three، فيه نشط بصفه وعموده يبقى
اتنين، minus مع minus بصير زائد Lambda minus four
بالشكل اللي عندنا هذا، يبقى هذا لو جيته اختصرته، بدّه
يصير كتالي، Lambda minus one هذا بدّه يفكّه يا بنات
يبقى Lambda تربيع ناقص تلاتة Lambda وهنا زائد اتنين
اللي بعده، زائد اتنين في Lambda minus اتنين، اللي
بعده، ناقص تلاتة في Lambda minus اتنين، كل هذا
الكلام، بدّه يساوي جداش؟ بدّه يساوي Zero، أو ممكن أقول
هذا الكلام Lambda minus الـ one، هذه المناطق بقدر
أحللها، اللي هو مين؟ Lambda جوز وجوز تاني Lambda
وهي الجوز، هنا بقدر أقول واحد وهنا بقدر أقول
اتنين، يبقى هذه بالناقص وهذه بالنقص، هذا الـ Term
الأول طلع لي للـ Term هذا، هذا الـ Term اتنين بالموجب
و تلاتة بالسلب لنفس المقدار، يبقى وفضل Term واحد
بمين؟ بالموجب، يبقى هذا الكلام زائد Lambda minus
اتنين فقط لا غير، ناقص Lambda ناقص اتنين، وين هنا؟
هذه نقص
واحد، يعني واحد، آه حاطين سالب، آه هذه بالسالب الصحية
100% إصابة امرأة وأختها عمر، هذا الكلام يبدو يساوي
اللي هو Lambda minus two، عامل مشترك من الكل، بيظل
مين هنا؟ هنا بيظل Lambda ناقص واحد الكل تربيع، نقص
واحد، بالشكل، لأن هذا بدي أساويه 100، بدي أساويه 0، أو
بقدر أقول Lambda minus two، فيه، بدي أفك الجثة دايمًا
بصير Lambda تربيع نقص اتنين Lambda وزائد واحد ونقص
واحد، مع السلامة، إذا ممكن أخد Lambda عامل مشترك من
هذا الجوز الثاني، يبقى Lambda minus two في Lambda في
Lambda minus two بدّه يساوي zero، يبقى Lambda في Lambda
minus two لكل تربيع بدّه يساوي جداش؟ بدّه يساوي zero
إذا طلع عندي قيمتين فقط للـ Lambda وليس تلات قيم، وطلع
القيمتين، والقيمتين متساويات، أو الـ Lambda طلعت مكررة
يبقى بناءً على إن علي، بروح بقوله هنا: The Eigenvalues
are اللي هو Lambda تساوي zero و Lambda تساوي اتنين
فقط لا غير، و هذه الـ Lambda مكررة كدهش مرتين يبقى و
بقول: Of Multiplicity two، يعني مكررة مرتين، أو بقدر
أقول Lambda اتنين تساوي اتنين و Lambda تلاتة تساوي
اتنين، يبقى هذه Lambda تساوي اتنين is of Multi
Lambda تساوي اتنين مكررة مرتين، إذا انتهينا من
المطلوب الأول اللي قال لي عنه من عند ما بدأنا هنا
وكل واحنا بنحاول نحصل على المطلوب الأول اللي هو
الـ Eigen Values، قال لي بعد هيك أتهت لي الـ Dimension
لمين؟ للـ Eigen Vector Spaces، يبقى بدأ أخد Lambda
تساوي زيرو، بعد هيك Lambda تساوي اتنين وأشوف إيش
اللي بيحصل معانا، يبقى باجي بقوله هنا: If Lambda تساوي
zero then، بدي أخد Lambda الأولى، بدي أرجع لمين؟
للمعادلة الأصلية اللي عندنا هذه، تمام، وبدي أخد
المعادلة كثيرة، then Lambda I نقص الـ A في الـ X يساوي
Zero implies هي المصممة، بدي أشيل Lambda وأحط
مكانها Zero، بظلنا ناقص واحد ناقص اتنين ناقص تلاتة
واحد ناقص أربعة وهنا ناقص تلاتة وهنا ناقص واحد
اتنين وهنا واحد بالشكل اللي عندنا هذا، X واحد X
اتنين X تلاتة، هذا الكلام بدّه يساوي Zero و Zero و
Zero، إذا ترجمتي المعادلة اللي عندنا هذه عامليًا
بالقيم اللي موجودة عندنا، نحاول نجيب قيم كلها من X1
و X2 و X3، لإن هذه الـ X بتجيب لمين؟ للـ Eigen Vectors
إذا بدي أجهزي وأقول بدي أعطي المعادلة دُغري يبقاش
بصير أنا لابنت هنا، ناقص X1 ناقص 2 X2 ناقص 3 X3 بدّه
يساوي 0 وهنا X1 ناقص 4 X2 ناقص 3 X3 بدّه يساوي كمان
100، بدّه يساوي 0، ناقص X1 وهنا زائد اتنين X2 وهنا
زائد X3 يساوي Zero، يبقى حصلنا على الـ Homogenous
System اللي عندنا، بنحاول نحل الـ Homogenous System
بأي طريقة من الطرق التي سبقت دراستها، فمثلًا لو جيت
أخدت المعادلة الأولى والتانية هذه يا بنات، وجيت
جماعة طبعًا هتروح هذه مع هذه، مظبوط؟ بضع إننا ناقص
6X2 وناقص 6X3 بدل يساوي قداش؟ Zero، أو لو جسمت على
سالب ستة، بصير X2 زائد X3 يساوي Zero، أو بقدر أقول
إن X2 يساوي سالب X3، هذا لما أخد الأولى مع مين؟ مع
الثانية، طب لو أخدت التانية مع مين؟ مع التالتة هذه
خد مع هذه، أو أخد الأولى مع التالتة، مثلًا لو أخدت
الأولى مع التالتة، يبقى الأولى ناقص X واحد ناقص
اتنين X اتنين ناقص تلاتة X تلاتة بدّه يساوي zero
وهنا سالب X واحد، اتنين X اتنين زائد X تلاتة بدّه
يساوي zero، طبعًا هذه هتروح مع هذه، بظل هنا الـ main اللي
هو من سالب اتنين X1 وهنا سالب اتنين X3 بدّه يسوي
Zero، يبقى X1 زائد X3 بدّه يساوي Zero، يبقى X1 يسوي
سالب X3، يبقى بناء عليه أصبح عندي X1 بدّه يساوي X2
بدّه يساوي X3، إذا لو أخدت إن الـ X3 بدها تساوي.. لو
أخدت الـ X3 مثلًا تساوي A أو أخدت X1 تساوي X2 تساوي
A
ثم سالب X ثري تساوي إيه؟ هذا يعطيك إن X ثري
يساوي قداش؟ سالب A، يبقى باجي بقوله: The Eigen
Vectors corresponding to
the Lambda تساوي zero are in the form، على الشكل
التالي، X1
X2 X3، X1
X2 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3
X3 X3 X3 X3 X3 X3 X3 طب إيش بيقول لي؟ قال لي هات الـ
Dimension للـ Eigen Vector Space، يبقى هذا الـ Vector
اللي
هو من واحد واحد سالب واحد is a basis for the Eigen
Vector Space
يبقى هذا بدّه يعطينا مين؟ إنه Its Dimension اللي
بدّه يعطينا كده؟ واحدة
يبقى أنا جبت له الـ A والـ B مرة واحدة، تمام، طيب قال
لي: Is the Matrix A Similar، يبقى استنى شوية، لبسها
سيه فيها كلام تاني بعد هيك، بدي أروح أجيب Lambda
تساوي اتنين، يبقى If Lambda تساوي اتنين then Lambda I
ناقص A في الـ X بدها تساوي Zero implies عن طريق
المصفوفة اللي عندنا هذه، بدي أشيل كل Lambda وأحط مكان
هاقدر أشيل اتنين، اتنين ناقص واحد، بدل إن هاقدر أشيل واحد
وعندنا هنا ناقص اتنين ناقص تلاتة، الصف الثاني واحد
وهنا ناقص اتنين وهنا ناقص تلاتة، صفة تالت ناقص
واحد اتنين وهنا بدنا نحط اتنين بيصير تلاتة في X
واحد X اتنين X تلاتة، بدّه يساوي Zero و Zero و Zero
هذه المعادلة بتجيب لي تلات معادلات، لكن في الحقيقة
هما تلات معادلات ولا اتنين ولا معادلة واحدة، يبقى
هذه المعادلة واحدة فقط لا غير، الصف هذا لو ضربت في
سالب واحد بيطلع الصفين اللي فوق، تمام، يبقى هذه مش
معادلة واحدة وإنما، أو التلات معادلات عبارة عن
معادلة واحدة فقط لا غير، يبقى معناه هذا الكلام إن X
واحد ناقص اتنين X اتنين ناقص تلاتة X تلاتة بيساوي
قدر Zero، أو إن شئتم فقولوا إن X واحد يساوي 2 X2
زائد 3 X3، يبقى هذه المعادلة مجهولة بتلات مجهول
إذا لا يمكن حل هذه المعادلة إلا إذا أعطينا قيمتين
لمجهولين، يبقى ممكن أحط مثلًا X2 بـ A و X3 بـ B وبالتالي
بجيب X1 بتلات X2 و X3، يبقى If الـ X2 بدّه يساوي الـ A
and X3 بدّه يساوي الـ B، then الـ X1 بدّه يساوي 2A زائد
3B، أظن هذا كله ما له لزومة الحين
طيب بنواصل الحل، الآن باجي بقول: The Eigenvectors 16
عندنا C C بيقول مانو؟ بيقول هل ال matrix A similar
to the diagonal matrix أم لا؟ بمعنى آخر هل ال A
دياجونالي Z بالو ولا لا؟ شفوي بمجرد النظر الآن
طلعنا مين؟ قداش الـ linearly independent elements
طيب اه استنى شوية طلع لي الاتنين هدول واطلع لي
لمين؟ للتالت اللي هو عندنا هذا هل التلاتة هدول are
linearly dependent أو linearly independent؟
بتعملي لهم ال check يبقى هنا بدك تقولي لي ما يأتي
بدك تعملي لي ال check التالي
Check that the vectors
اللي هم مين؟ ال vector الأول يعني، الذي هو واحد واحد
سالب واحد، والثاني اللي طالع عندنا اللي هو اثنين
واحد صفر، والثالث اللي هو من ثلاثة صفر واحد are
linearly independent كيف
بدي أسويهم linearly independent كيف بدي أعملهم بقى؟
وكيف بدي أثبت إنهم linearly independent؟ نفترض C1
و C2 و C3 تكون أصلاً C في الأول زي C في الثاني زي C
في التالي يساوي صفر وأثبت أن C1 يساوي C2 يساوي C3
يساوي صفر هذه إحدى الطرق الطويلة، في أكثر منها ايش
اللي أكثر منها؟ نعمل محدد وليست مصفوفة، نعمل محدد
ونثبت أن المحدد لا يساوي صفر، ينطلع ذلك يبقى بيصير
عندي linearly independent، يبقى طريقة المحدد أسهل من
الأولى، الأولية بدها شغل شوية لأن بدي أعمل system
و ال system بتروح عليه بس ال determinant ده سهل
جداً، يعني في خطوة واحدة بكون جبت، جبت النتيجة و
أثبتت إن هدول linearly independent، طيب معناته
الثلاثة هدول بيكملوا لي من the complete set of
linearly independent elements، صحيح ولا لأ؟ يعني في
غيرهم؟ مافيش عندي غيرهم، قداش عددهم؟ قداش نظام
الصفوف؟ يبقى يا شباب المصفوفة diagonalizable أصلاً عن
اللي مرضي، أو similar to a diagonal matrix الصيغة
هذه، والصيغة هذه الاثنين are the same يبقى باجي
بقول هدول كلهم لي linearly independent element، this
means that the set، التي هي مين؟ واحد واحد سالب واحد
اثنين واحد صفر، ثلاثة صفر واحد is the complete
set of eigen vectors
يبقى sense، بما أن number of
these vectors is three and the degree of the
matrix A is ثلاثة، ال A is diagonalizable
ايش يعني diagonalizable؟ يعني ال A is similar to a
diagonal matrix، هذا معناه أن ال A is similar
مش هذا معناه يا بنات؟ طيب، بدنا نجي نشوف هالكلام
هذا اللي احنا بنقوله، هذا ماذا قاله؟ قال نفسه إن كان
الأمر كذا لك هاتل ال matrix K، وإذا يجون ال
matrix دي فهي تبقى العلاقة هذه مالها؟ صحيحة يبقى
احنا بدنا نجيب له K ونجيب ال K and بس الحين
الـ K يا بنات هي من؟ هي المصفوفة عناصرها من؟ عناصر
الـ eigenvectors، يبقى واحد واحد سالب واحد اثنين واحد
صفر ثلاثة صفر واحد، بدنا نجيب المعكوس تبعها مشان
نجيب المعكوس، بدنا نروح نجيب مين؟ المحدد يبقى هذا
بده يعطينا المحدد تبع المصفوفة كذا، بده يساوي، اللي هو
main، المحدد تبع واحد اثنين ثلاثة، واحد واحد صفر،
سالب واحد صفر واحد، ويساوي
بتفكر ايش رأيكم باستخدام عناصر الصف الثاني أو
العمود الثالث أو العمود الثاني، سيادة، ناخذ العمود
الثالث، يبقى هاي ثلاثة فيها نشطة بصفه وعموده تمام
بيصير واحد ناقص اثنين، اللي بعده حسب قاعدة الإشارات
بصفر، في قد ما يكون يكون مش مشكلة زائد واحد في
قشطة بصفه، لأ استنى شوية، نشطب صفه وعموده، صفه وعموده
يجي بهنا صفر، زائد واحد
زائد واحد، اللي بعد واحد، نشطب صف وعمود، لواحد ناقص
اثنين، واحد ناقص اثنين يبقى النتيجة ثلاثة وهنا ناقص
واحد، ويساوي كده؟ ويساوي اثنين، تمام بدي أجيب له الـ K
inverse، يبقى الـ K inverse ويساوي اللي هو واحد
على المحدد، فاهمين؟ فيه بدي أستبدل هذه المصفوفة كل
عنصر فيها بالـ cofactor تبعه مظبوط؟ يبقى بدي أجيب
للواحد بدي أشيل صفه وعموده، بيظل واحد نخزنه كله
بواحد وحسب قاعدة الإشارات شارطة بالموجب، نجي لبعده،
لاثنين حسب قاعدة الإشارات شارطة بمين؟ بالسالب، نشطب
صفه وعموده، بيصير واحد فقط كذلك، نجي للي بعده حسب
القاعدة، شارطة بالموجب، نشطب صفه وعموده، بيصير
صفر، زائد واحد، اللي هو بواحد، بعد هيك نجي لصفه
الثاني بدي أشيل اللي صفه وعموده، بيصير اثنين ناقص
ثلاثة، بقدرش، باتنين، بدي أجي لعنصر اللي بعده، طبعا هذا
حسب قاعدة الإشارة، الشرط السالب، بيبنى تمام، اللي بقى
ده الشرط موجب، يبقى ده، شيل صفه وعموده بيصير واحد
ناقص ثلاثة يعني زائد ثلاثة، اللي بقى كده، شلنا علشان
نشيل هذا يبقى شلنا هذا، يبقى واحد زائد ثلاثة اللي
هو بقداش؟ بأربعة، هذا حسب قاعدة الإشارات، شارطة بين
بالسالب، نشطب صفه وعموده يبقى صفر، زائد اثنين
اللي هو بقداش؟ بناقص اثنين، نجي لبعده حسب قاعدة
الإشارات، شارطة بالموجب، نشطب صفه وعموده، صفر ناقص
ثلاثة، نجي للي بعده، اللي بعده حسب قاعدة الإشارات
شارطة سالب، يبقى سالب، نشطب صفه وعموده، يبقى صفر
ناقص ثلاثة بيصير زائد ثلاثة، اللي بعده حسب قاعدة
الإشارات، شارطة موجبة، نشطب صفه وعموده، بيصير واحد
ناقص اثنين، اللي هو قداش؟ بناقص واحد، بالشكل اللي
عندنا، أنا بدي أجيب له D، يبقى D بدها تساوي K inverse
في K، تمام؟ يبقى هذا الكلام بده يساوي النصف، وهنا
واحد، سالب واحد، واحد، سالب اثنين، أربعة، سالب اثنين
سالب ثلاثة، ثلاثة، سالب واحد، في مين؟ في ايه؟ رأس
المسألة واحد اثنين ثلاثة، وهنا سالب واحد أربعة
ثلاثة، وهنا واحد سالب اثنين سالب واحد، في مين؟ في ال
K، ال K اللي هي واحد اثنين ثلاثة، واحد واحد صفر
سالب واحد صفر واحد، بالشكل اللي عندنا هناك، قداش
تتوقع يكون النتيجة؟ صفر، اثنين اثنين والباقي يبقى
أسفل، يبقى هذا يكون المصفوفة القطرية التالية، صفر و
هنا صفر صفر صفر، اثنين صفر صفر، اثنين، ليست لاندا
طلعت هنا صفر و لاندا طلعت هنا اثنين واثنين
يبقى هاي عناصر القطر الرئيسي الـ diagonal matrix اللي
يقول لنا عليها الـ diagonal دي، يبقى براحتك تروح تضرب
هدول مصفوفات في بعض في بيتك، والناتج هي ما أعطينك
ياه، إذا طلع غلط يبقى غلط علينا مش عليك، أو عليك
إذا بتضرب غلط، لكن عندنا احنا ما أعطينك الجواب، بدك
تضربه، والناتج هي عندك، في واحدة أبناء ما سجلتش
اسمها هنا
طيب، ننتقل إلى مثال يختلف عن هذا نوعاً ما، لكنه مرتبط
معه ارتباطاً، هذا المثال جبته نظري من خلال أسئلة
التمرين، وهو سؤال 16 في التمرين تبع الـ section 4-3
السؤال بيقول ما يأتي
يبقى example خمسة، له سؤال ستة عشر من الكتاب بيقول
If A and B are similar matrices
matrices so that، بحيث أن الـ B تساوي الـ K inverse A K
show
that، بيّن لي
أن X is A is an eigen vector
of A if and only if K inverse X is an eigen
vector
هو eigen vector لـ B
سؤال مرة ثانية، السؤال بيقول لو كانت A و B
are similar matrices، طبعاً احنا أخذنا علاقة المرة
قبل الماضية، لو كان A similar to B يبقى B similar to
A، وأثبتناها مظبوط، يبقى الآن جلدتين هدول are
similar، يعني ايه؟ يعني أن الـ B بدها تساوي K inverse
A K، طيب أصبحت هذه معلومة عندنا، بيقول شوية بيه لإن
الـ X is an eigen vector لـ A، ايه؟ فندقول إذا K
inverse X is an eigen vector لـ A، ايه؟ فندقول إذا K
inverse X is an eigen vector لمين؟ لـ B، يبقى هذا
سؤال والله سؤالين، سؤالين، بدي امسك واحد أوصله لمين؟
لثاني، وبعدين امسك الثاني أوصله لمين؟ للأول، السبب
كلمة if and only if، ده يبقى الآن بدنا نجي بالخطوة
الأولى، let A be similar to B then، There exists a
non-zero matrix K such that، بحيث أن الـ B بدها
تساوي الـ K inverse A K، المعطى، يبقى حتى الآن أنا بس
اتجمد، الشيء المقطع عندي، خطوة ثانية بدي افترض ان X
عبارة عن مين؟ عن Eigen vector لمين؟ للمصفوفة A، يبقى
assume that، أن X is an eigen vector
for the matrix، for the matrix A، then، ايش فرضنا أن
الـ X هي eigen vector لمين؟ لهذه، ايش يعني معناها؟ ايش
يعني معناها؟ أن X هي eigen vector لـ A، يعني لو
ضربت الـ A في الـ X، ايش بدي يطلع لي؟
تعريف الـ eigen vector والـ eigen value، Chapter
Section 4-1، أول تعريف أخذناه، ايش يعني؟ يعني هلاقي
عدد scalar لأن ده مضروب في x، بدها تساوي x الشركة
أخذنا التعريف؟ يبقى هذا معناه x is an eigen vector
then، الـ AX بدها تساوي lambda x، for some real lambda
اللي موجودة في الـ set of real numbers
يبقى هلاقي مادام هذا eigenvector هو بيجيش الـ
eigenvector إلا إذا كان عندي eigenvalue، صحيح ولا
لأ؟ طيب، مادام عندي eigenvalue، مادام عندي
eigenvector، ايه اللي هو الأصلي اللي هو الـ eigenvalue
اللي هو lambda x، مش lambda I، lambda x بالشكل اللي
عندنا، يبقى الـ AX بدها تساوي مين؟ بدها تساوي lambda x
for some real، اللي هو lambda أو، for some بلاش كلمة
real، لأنهم كرروا مرتين، بالصريحة x، for some lambda
اللي موجودة في الـ set of real numbers، يبقى هذه
المعلومة أخذتها من الفرض، طب بدي أشوف ايش اللي بدي
ياه؟ ايش بيقول لي؟ بيقول لي أثبت لي إن هذا هو
eigenvector لمين؟ لـ B، يعني بدي أثبت إن حصل ضرب هذا
في B، بدها تساوي scalar في الـ X، صحيح ولا لأ؟ طيب،
بدنا نجي نقول له الآن consider
خُذ لي بدي أثبت إن هذا is an eigenvector يبقى بدي
آخذ لمين؟ لـ B، يبقى بدي أخذ B في مين؟ في الـ K
inverse X
هه، مش هذه هنا AX، بدي أثبت إن الـ B في الـ K inverse
X بدها تساوي الرقم مضروب في x، ينطلع هذا الرقم بيصير
هذا هو eigen vector، صحيح ولا لأ؟ طيب ماشي الحال
يبقى باجي اقول هذا الكلام بده يساوي، طلع لي هنا هذه،
أنا عند مين؟ عند B، بدها تساوي K inverse A K، إذا
بقدر أشيل الـ B وأكتب بدلها K inverse A K
اللي بدك إياه يسمى alpha أي رقم اللي بدك إياه يسمى
النامبر الواحد في الست الواحد في الست الواحد في
الست الواحد في الست الواحد في الست الواحد في الست
الواحد في الست الواحد في الست الواحد في الست
الواحد في الست الواحد في الست في الـ K inverse X بده
يساوي Lambda 1 بالـ X هاي طبقت التعريف اللي أنا إيش
بقوله هو بقول لي أثبت إنه X هو Eigen vector لمن؟
للمصفوفة A يعني بده أروح أثبت إنه AX بده يساوي
scalar في من؟ في X إذا مدّاجي أقوله consider خد لي
الـ A في الـ X طيب
بدأ أجي لمن؟ لمعلومة عندي، هي المعلومة عندي هي
هذه أو هذه بقدر أجيب الـ a بدلالة الـ b و الـ k و الـ
k inverse بقوله خلي لي هذه since بما أن الـ b بده
تساوي الـ k inverse a k we have بتخلّي A لحالها يا
بنات يبقى بدي أضرب من جهة الشمال في مين؟ في K وهنا
بيه ومن جهة اليمين في مين؟ في الـ K inverse بدي
أساوي مين؟ بدي أساوي المصفوفة A كويس then بدي أخد
الـ X يساوي الـ A بدي أشيلها و أكتب بدالها K بك انفرس
وهنا هي الـ X هي أخذته شيلت الـ a و حطيت قيمتها تمام
طيب أنا عندي بي كي انفرس X هذه موجودة بقدر
أشيلها و أكتبها لقداش لاندا وان X يبقى هذا
الكلام بده يساوي K لحالها وهنا بي كي انفرس X و
يساوي K في الـ BK inverse X بدي أشيل و أكتب بدالها
Landau 1 X
طيب Lambda ون هذا بقدر أطلع وين؟ أطلع برا إذا هذا
الكلام لأ بي اه Lambda ون X بي ك انفرست X كتب لها
Lambda ون X طيب هذا الكلام بده يساوي طيب أنا فارض
استنى شوية هي AX شيلت الـ A حاطبها K بك inverse X
مظبوط وجيت على هذه كتبت K برا و بك inverse X مظبوط
بك inverse X هي lambda one X يبقى هذا الكلام بده
يساوي Lambda ون برا في مين؟ في K X تمام؟ أيوة علي
صوتك شوية هادي
بيبقى يساوي
لأ اه بده يساوي الرقم في K اه بده يساوي الرقم في K
inverse X صحيح هذه الخطأ هنا صحيح هذه يا بنات
الي Lambda في K inverse X مظبوط شو اسمك أنت؟ سمح
أصابة امرأة وأختها عمر على طول الخط يبقى هذه Lambda
inverse X إذا بدي أشيل هذه يا بنات كالتالي و أكتب
بدالها ما يلي يبقى هاي عملت الـ associativity تبع
المصفوفات هذا الكلام بدي أساوي K في بك انفرس X
بدي أشيله و أكتب بداله Lambda ون K انفرس X لأن
Lambda ون كونستانت بقدر أقوله شرفنا برا يبقى هاي
Lambda ون برا صار K في K inverse في من؟ في الـ X
يبقى هذا Lambda ون هذه مصفوفة من؟ الوحدة في أي
مصفوفة تعطيني نفس المصفوفة يبقى صار عندنا هنا مين
Lambda ون أن الـ AX يساوي Lambda ون X إيش معنى هذا الكلام
معناه أن الـ X عبارة عن Eigen vector لمن؟ للمصفوفة A
يبقى هنا الـ X is an eigen vector for the
لحد هنا stop انتهى هذا الـ section وإلى يكون أرقام
المسائل يبقى Exercises أربعة تلاتة المسائل التالية
من واحد إلى عشرة ومن تلتاش لغاية ستاش الشكل اللي
عندنا هذه المرة جاء إن شاء الله بنبدأ في المعادلات
التفاضلية خلصنا الجبر الخطي الآن بنرجع ضايل علينا
two chapters في الـ ordinary differential