بسم الله الرحمن الرحيم عود على بدء المرة اللي فاتت
بدأنا بال linear transformation و بعد ذلك أخدنا
عدة تمثيل عليها ثم أخدنا بعض النظريات أثبتنا أن ال
kernel linear transformation is a subspace و
أثبتنا أن ال range لل linear transformation is a
subspace و أخدنا على ذلك المثال الأولطبعا اعطينا
function معرفة بالشكل التالي T of A بتسوي A زائد A
Transpose تمام؟ و قولنا هاتينا ال range تبع من ال
T ال kernel طبعا وجدناه المرة اللي فاتت و قولنا
the set of all skew symmetric matrices هذا اخر ما
اخدناه المحاضرة الماضية تمام؟ إذا نفني جيب نكمل
حديثناو بدنا نوجد من ال R of T
اللي هي عبارة عن مين؟ كل العناصر Y او احنا كانت T
من كل العناصر ايش بجينا نقول هي T من A الى او T
كانت من وين الى وين من مصممة M22 الى M22 مش هيك؟
من M22 لل M22بقى باجي بقول كل المصفات بي اللي
موجودة في ال M22 such that ال B تساوي T of A for
some A
اللي موجودة في ال M22 مش شكت عارف ال range؟يبقى كل
المصفوفات اللي موجودة في مجموعة المصفوفات M22
واللي صورتها تكون main T of A بحيث الـA some
element موجود في M22 يبقى هذا التعريف العام لمين؟
لل range تبعتي بدنا نيجي نطبق هذا التعريف و نشوف
بدي وصلني إلى وينيبقى هذا الكلام بده يساوي كل
المصفات B اللي موجودة في ال M22 such that ان ال B
تساوي T of A حسب التعريف هيها فوق اللي هو A زائد A
transpose for some A اللي موجودة في ال M22
طيب بدي أعرف مين هي ال B هذه طيب
إيش رايك لو أخدت transpose للطرفين يبقى هذه بدأت
ساوي كل المصفوفات B اللي موجودة في ال M22 such
that B transpose بده يساوي A زائد A transpose لكل
ال transpose يبقى for some A اللي موجودة في ال B22
يبقى هذا الكلام بده يساوي كل المصففات بيه اللي
موجودة في ال M22 such that ال BT تساوي لترانسبوز
بتجي ترانسبوز على الأولى زائد ترانسبوز على من؟ على
التانية يبقى ال A transpose زائدهذه a ترانسبوز
ترانسبوز اللي هي عبارة عن مين ال a itself يبقى ال
a itself طيب هذه ال a زي a ترانسبوز مش هي هذه اللي
فوقيبقى كأنه بي ترانسفوس بدي تسوي من بي يبقى
معناته كل مجموعة ال symmetric matrices يبقى ال
kernel هو ال skew ال symmetric matrices و ال range
هو ال symmetric matrices يبقى for some a اللي
موجودة في b22 يبقى هذا بدي يسوي the setof all
symmetric
matrices in M22 يبقى مجموعة الـ symmetric matrices
في M22 انتهينا من المثال الأول بدنا نروح الآن
للمثال الثاني يبقى بالداجل example 2
المثال الثاني بيقول let ال a بي an m في n matrix
define
عرفونا ايه mapping define
ايه mapping
من RN إلى RM by T
of X بده يساوي اللي هو ال AX where ال X اللي هو ال
call matrix X1 X2 وانضل ماشيين لغاية ال XN
is a calm vector المطلوب
نمرأ a show that بينون ان ال T is a linear
transformation نمرأ بيهFind الـ kernel للـ T نمرة
C Find
the
range of T اللي هو R of T نمرة
Dshow that ان
الـ T of X بده يساوي ال A X و
الله define a linear transformation from R
N
RM سؤال مرة تانيةبنقول افترض ان T من Rn إلى Rm
عرفناها اولت ال A ب M by N matrix يبقى اخدنا مصوفة
نظامها M في N define a mapping عرفنا function من
ال vector space Rn إلى ال vector space Rm by T of
capital X بدو يساوي Ax الشكل هنا يعني حاصل ضرب
المصوفة اللى نضامها M فى N فى المصوفة العمودية
اللى هى X مى المصوفة العمودية مصوفة مكونة من N من
الصفوف وعمود واحد يبقى هنا قولنا ال X دى is a
column vector يبقى متجه عمودي يعنى مصوفة مكونة من
عمود واحد لكنها مجموعة من الصفوفبناء على هذا
التعريف بدي أثبت أن T هي linear transformation
يعني إيش بدي أحقق؟ الشرطين تبعات ال linear
transformation أمر تاني بدي أجيبها لل kernel بدي
أعرف قداش الأمر التالف بدي أعرف قداش ال range تبع
T اللي بجي نربزله R of T تلاتةبتبين Any Linear
Transformation من الـ RN إلى ال RM من ال RN إلى ال
RM هي على الشكل اللي عندنا دائما او بدا T of X بدي
سوى حصل ضرب المصوفة A في المصوفة العمودية X يبقى
عندنا أربعة مطاليب بدنا نبدأ نحسب كل مطلوب من هذه
المطاليب الأربعةبنجي للمطلوب الأول اللي هو بدي
أثبت أن T عبارة عن Linear Transformation
يبقى بدى اثبت اول شىء ان هاد الـ T Linear
Transformation يبقى بدى اخد element من ال set of
real numbers الـ scalar يعني و element من ال
vector اللي هو main RN و اشوف حصل ضربه معاه وين
بدى يوديني يبقى باجي بقول هنا Fالـ C موجودة في الـ
R and على سبيل المثال الـ X موجودة في الـ RNالـ X
هذا بقدر اكتبه على شكل X1 و X2 و لغاية XN او بقدر
اكتبه على شكل مصفوفة عمودية X1 X2 لغاية XN بالشكل
اللي عندنا هناطيب انا بدي اخد T of CX بدي احاول
اثبت ان هذا بدي يسوى C في T of X برجع للتعريف اللي
انا قايله يبقى طبقا لهذا التعريف هذا بدي يسوى
المصوفة A في C of Xلأن C هذا scalar إذا بقدر أطلعه
برا ال T أو بقدر أطلعه برا حصل ضرب المصوفين يبقى
هذا C في ال AX بالشكل اللي عندنا هذايبقى هذا
الكلام بدي يساوي C ال AX عبارة عن مين حسب ال
definition اللي عندلي T of X يبقى C في T of X
يبقى T of X يبقى بناء عليه أصبح T في C of X يساوي
C في T of X إذا انتحقق ال condition الأول أو
الخاصية الأولى من خاصة Linear Transformation يبقى
هذه من هذه الخاصية الأولى بدأجي للخاصية الثانية
بدأ أخد two vectors يبقى بدأجي أقوله let X وY
موجودة في ال vector space RN
بتاخد T of X زائد Y يساويبناء على الـ definition
تابعناها هذا بيكون المصفوفة a في ال vector x زائد
y يبقى a في ال vector x زائد y هذا حسب خواص عملية
التوزيع على المصفوفات يبقى هذا بيكون ax زائد ay
هذا تعريف من ال T of x وهذا تعريف ال T of yيبقى
تحقق ال condition الثاني ولا لا يبقى بناء عليه so
T is a linear transformationإذا انتهينا من المطلوب
الأول اللي هو نمرا A نمرا B قال هاتل ال kernel
التي باجي بقوله ال kernel التي حسب ال definition
هو مين؟ هو كل ال X اللي موجودة في ال vector space
RN بحيث أن T of X بدي تساوي 100 ال 0، 0 تبع مين؟
تبع RM مش هيك عرفنا ال kernel كل ال vectors اللي
في ال vector space الأول و اللي صورتهم بيكون ال
zero تبع ال vector space الثاني تمام يبقى هنا كل
ال X اللي موجودة في RN بحيث ان T of X بده يساوي
zeroيبقى هذا بدى يساوي كل ال X اللى موجودة في RN
such that
ال T of X حسب ال definition مين ال A X بدى يساوي
Zero بالشكل اللى عندنا هذا يبقى هذا ايش معناه يا
بنات كل ال Xهه اللي موجودة في RN يعني call vectors
ما لهم بحيث ال X يساوي Zero يعني هذا بيعطينا مين
مجموعة الحلول ال homogenous system مظبوط يبقى هذا
معناه اللي هو the set of all solutions of the
هوموجينيا سيستم الهو ax بده يساوي من زرع شو شكلهم
اش ما يكون يكون يبقى ملموعة كل الحلول للهوموجينيا
سيستم اكم حلله الهوموجينيا سيستمأما حل واحد هو
الحل الصفري أو عدد لانهائي من الحلول وهذا العدد
النهائي يجتمع عالميا على الحل الصفري نفسه طيب ما
علينا يبقى حسبنا له كيرنل يبقى كيرنل تبع هذه ال
function هو كل الحلول لل homogenous system X بده
يساوي مان؟ بده يساوي Zero طيب نمرى ال Cنمرا سيجا
اللي هتل ال range تبع ال T باجي بقول له ال range
تبع ال T هو مين؟كل العناصر اللي موجودة في الـ RM
يبقى كل ال vectors Y اللي موجودة في الـ RM بحيث ان
الـ Y هذه بدها تساوي T of X for some X اللي موجودة
في الـ RN مش هيك تعريف ال rangeمظبوط كل العناصر
اللي موجودة في ال domain RM و اللي إلها أصل في ال
domain RM طيب تمام تمام يبقى هذي بده أعيد صياغتها
مرة تانية فبقول كل ال Y اللي موجودة في RM such
that ال Y بده يساوي T of X حسب ال definition بده
يساوي مين؟الـ AX هي
نكمل for some X
اللي موجودة في الـ RNإذاً كل ال Y اللي موجودة في
ال RM بحيث ال Y على الشكل A of X for some X اللي
موجودة في ال RN يعني إيش قصدا نقول؟يبقى كل القيم
اللي هي Y بحيث الـ non homogeneous system has a
solution ماقلتش حلول هذا ال system لأ يبقى باجي
بقول هذا الكلام بده يساوي the set of all elements
Y الموجودة في الـ RM such that بحيث ان ال system
X يساوي Y has a solution
يعني المقصود بهذا الحل الـ Y's و لا الـ X's
الإجابة الـ Y's لأن هذا الـ non homogeneous system
قد يكون له حل و قد لا يكون له حل مش هيك ده اللي
أخدناه قبلك ان الـ non homogeneous system ممكن
يكون مالوش حلول و ممكن يكون حل وحيد و ممكن يكون
عدد لا نهائي من الحلولهذا ما تقوله؟ كل العناصر Y
بحيث ال system هذا له حلول يبقى لو مالهوش حلول
مالهم مستبعدة كليا يبقى سواء كان حل واحد أو عدد
لنهائي من الحلول على كل الأمرين الأمر الجوابي لأن
هذا ماله جواب صحيح إذا طلع الفرج ما بين A وB ال B
يا ترى صبصت من RN و لا RMمن مين؟ من RN هذا ال
kernel طيب ال range subset من مين؟ من RM لأن ال
range المدى الصور تبعت العناصر يبقى في الحلقة كل
ال solutions تبع ال homogeneous system ال solution
يعني قيم X وال X قولنا وين موجودةبالنسبة للـ RM
يبقى هذا يتفق وكلمنا تماما الـ range قولنا هو جزء
من الـ RM لذلك قولنا الـ range كل العناصر اللي
موجودة في RM يبقى كل العناصر اللي موجودة في RM
بحيث الـ non homogeneous system هذا له solution
يبقى انتهينا من النقطة C بدنا نروح للنقطة ديالنقطة
دي بيقوللي اثبتلي ان ال T of X سوى X defined a
Linear Transformation يعني Linear Transformation
من ال RN للRM دائما و أبدا تاخد الشكل اللي عندنا
هذا بقولك كويس اذا بدنا نبدأ الحل كتالي بده اجي
علمين على ال RN و اروح اخد ال basis تبعه و نتفهم
عليه بعد هيكيبقى هنا بجي بقول له let E1 يبقى يساوي
1 و 0 و 0 و لغاية 0 و E2 يساوي 0 و 1 و 0 لغاية 0 و
نظل ماشيين لغاية ما نصل الى EN 001
بالشكل اللي عندنا هنايبقى خدت هدول مين هدول ال
bases تبعات مين تبعات العناصر ال bases تبعات ال RN
يبقى هدول العناصر لت بي the standard bases
for RN
يبقى دول عناصر ال standard basis لمن؟ لل RN كويس
بدا أفترض برضه suppose that افترض ان ال T of E1
بده يسوي E1و T of E2 هو A2 وانظر لغاية T of EN هو
AN خليني
أسألكم السؤال التالي ال A1 و ال A2 و ال A3 و ال AN
شم هدول؟يعني answer real number والله vector يعني
مصفوفة والله ايه شو a1 هذا؟ vector ليش؟ لأن T of
E1 E1 موجود في ال R in صورة وين؟ في ال R M يبقى
هذا vector و ال vector عليها شكل مصفوفة عمودية
فيها M من الصفوف و عمود واحد يبقى هنا where
حيث ال A1 و ال A2 و لغاية ال AM RM في one matrices
يعني وين موجود كل واحد فيهم؟فى ال R M يعني كأنه
ايش A1 و A2 مجصدي ال A1 بده يساوي X1 و X2 لغاية X
M تمام يعني موجود فى ال R M تمام التمام طيب كويس
احنا عايزا الان كيف ANA مش سامع ليه حطت هنا AN مش
Mم في واحد لماذا الموجودة في الار ام كل element
مكون من ام من العناصر بدل ما هو الرقم الأول فاصل
الرقم اللي كتبته على شكل عمود مكون من ام من الصفوف
و عمود واحد فقط يبقى اقول ان كل الان ان كلهم ار ام
في one matrices
belongs to RM يبقى كلها موجودة في الـ RM بالشكل
اللي عندنا هناأيش بقولي بقولي هذه ال T اللي أنت
أخدتها من ال RN لل RM بدي أثبت إنه دايما و أبدا
بقدر أكتبها على مين على الشكل اللي عندنا هذا
يمكنني أن أروح أخد element X موجود في RN و أشوف شو
بدي أساوي أنا إذا لو جيت قلت خدلي ال X اللي هو بدي
أساوي من X1 و X2 و لغاية XMالإنسان موجود في كل
مكانبالـ RN يعني T بيقدر يؤثر عليه حتى أقول T of X
بدي أثبت أنه بدي يسوى main X طيب هذا مش يسوى
مجموعة من ال vector X 1 و 0 و 0 لغاية الـ 0 زائد 0
و X 2 و 0 و 0 زائد و تبقى ماشية لغاية ما توصل إلى
0و 0 و XN ولا لأيبقى هذا العنصر كتبته على شكل
مجموعة من مين؟ من العناصر يبقى لو جيت اخدت x1 عامل
مشترك بيظل كده؟ 100 زيد x2 0 و 1 و 0 و 0 زيد ان
بيظل ماشيين xn 0 و 0 و 1 بالشكل اللي عندنا هذايبقى
واحد وهيجفلنا مين؟ الجوز لعلكوا الآن أدركتوا ما هو
السر اللي خلاني أبدأ بمين بالفرضية اللي عندنا هذه
تمام؟ يبقى هذه كإنه إيه يا شبنات؟ كإنه X1E1 وهذه
X2E2 وضلت ماشي إلى غاية XNEN هذا مين؟الـ X يبقى
الـ X اللي عندي هذا كتبته على شكل linear
combination من عناصر ال bases تمام الان T linear
transformation بدي أخليها تأثر على مين؟على X يبقى
بالداجي هاخدله T of X اللي أنا بدور عليها يبقى
بتثوي T للمقدار هذا كله ونظرا لأنها T Linear
Transformation يبقى بتصير T of X1 E1 زائد T of X2
E2 زائد زائدT of X N E N ليش الكلام هذا since لأن
T is a linear transformation طيب من خواصة ال
linear transformation الأن ال E1 vector طب و ال X1
vector ولا scalarأول خاصية يبقى هنا X1 في T of E1
زائد X2 في T of E2 زائد زائد XN في T of ENيبقى هذا
الكلام بدي يساوي X1A1 زي ال X2A2 زي ال XNAN حسب ما
نفرض فوق صحيح ولا لأ؟ طيب وقولنا ال اهات مالهم
هدول؟ مصفوفات يبقى هدول ماله مصفوفات طيب سؤال أليس
هذا هو حاصل الضرب AX؟صح ولا لأ؟ لأن هذه الـA
مصوفات اللي عندنا هذه تمام؟ كأنه ايش؟ كأن الـE1
مصوفة عمود الـA2 مصوفة عمود الـA3 ماصوفة عمود
الـA4 ماصوفة عمود الـA5 ماصوفة عمود الـA6 ماصوفة
عمود الـA7 ماصوفة عمود الـA8 ماصوفة عمود الـA9
ماصوفة عمود الـA9 ماصوفة عمود الـA9 ماصوفة عمود
الـA9 ماصوفة عمود الـA9 ماصوفة عمود الـA9 ماصوفة
عمود الـA9 ماصوفة عمود الـA9 ماصوفة عمود الـA9
ماصوفة عمود الـA9مظبوط يبقى هذا ال ax where حيث ال
a هي المصحوفة لعمودي a1 و a2 و لغاية an بالشكل
اللي عندنايعني كل واحد من A1 و A2 و AN هو عمود
لمن؟ للمصوفة A يبقى من الأنفا ساعدا أي linear
transformation من ال RN إلى ال RM تكون دائما و
أبدا على الشكل T of X بيساوي 100 يساوي AX و هكذا
حد فيكم بتحب تسأل أي سؤال هنا؟طيب انتهينا من
المثال الثاني بدنا نروح للمثال الثالث
Example 3 بيقول
LED T من R3 لغاية R3 بـ A linear transformation
defined by معرفة على الشكل التاليفى ofX هو عبارة
عن TR X1 و X2 و X3 بالشكل اللي عندنا هذا بده يساوي
حصل ضرب 101 112213
في X1 X2 X3الشكل اللي عندنا هذا المطلوب الأول نمر
ايه find ال kernel التي and ال dimension لل kernel
التي نمر بيه find a bases
Find a basis for R of T and الـ dimension للـ R of
T نمره
C Find T of واحد و اتنين و تلاتة نمره Dis the
element
اتنين وخمسة وسبعة موجود في ال R of T ام لا؟
سؤال مرة تانيةطبعا زي ما انت شايفين من سؤال إلى
سؤال بتختلف الفكرة شوية بيقول افترض T من R3 إلى R3
بيه Linear Transformation واضح من RN إلى RM ايش
اتفاجنا النصيقه دايما من T of X بديه سوى من؟ بديه
سوى X من المثال اللي جابله يعني كأنه سؤالنا هذا هو
تطبيق عملي على من؟ على المثال اللي جابله، مظبوط؟
يبقى كأن احنا بناطل أن مثال عددي تطبيق على المثال
النظري اللي جابله يبقى معرفة كالتالي T of X الـ X
هو اللي موجود في R3 يعني T of X واحد و X اتنين و X
تلاتة بتكتبهم على شكل عمود يبقى يقول T of X واحد X
اتنين X تلاتة بده يساوي حاصل ضرب المصوفة A أخدناها
بالشكل هذا في X اللي هو X واحد و X اتنين و X تلاتة
يبقى هذه الـ Linear Transformation اللي عندنا
مطلوب من هذه الـ Linear Transformation هي تبدأ الـ
Kernelو بدي ال dimension للكيرنل لان كيرنل ماله
sub space يعني space بدي ال dimension له جداش تنين
بدي basis لل range بدي ال vectors اللي بوالدولي ال
range تبع من ال subspace R of T و بعد هيك بدي ال
dimension كمان لل R of T يعني كل نقطة زي ما تلاحظت
ب main بمطلبين لكن إذا جبت المطلب الأول بصير
المطلب التاني السهل تحصيل حصلالمطلوب نمرى C بيقول
لي هاتلي T of واحد واثنين وثلاث بتعرف قداش صورة
واحد واثنين وثلاث شو بتعطيني الأمر الرابع بيقول لي
هل العنصر هذا موجود في ال range أم لا؟ بيقول له
الله أعلم يبقى بداجي للنقطة الأولى اللي هي A قال
لي هاتلي ال kernelبقول له قبل ال kernel خلّيني أحط
هذه في شكل ألطف من هيك شوية بقوله كيف بقوله هيتي
of X1 X2 X3 كمصفوفة الشكل اللي عندنا تمام؟ بده
يساوي حاصل ضرب هدول طب مضربهم في بعضماشي يبقى لو
روحت ضربتم في بعض بيقول لمين الصف الأول في العمود
الأول يبقى x1 زائد x3 الصف الثاني يبقى x1 زائد x2
زائد 2x3 الصف التالت 2x1 زائد x2 زائد 3x3 هاي
ضربنايبقى هذا الـlinear transformation المعرفة عنه
جالي هاتل الكيرنل باجي بقوله اه الكيرنلالتي هو كل
ال X's اللي موجودة في ال R3 اللي عندها و اللي
صورتها T of X بده يساوي مين؟ بده يساوي Zero يبقى
هذه كل ال X's ال X هذه اللي هي مين؟ X واحد و X
اتنين و X تلاتة اللي موجودة في ال R3 صتش دهلما
أقول هذا الـT of X ساوي 0، الـT of X ساوي مين؟
يساوي هذا كله، معناته هذه بدها تساوي مين؟ بدها
تساوي المصوفة الصفرية يبقى ده such that المصوفة دي
X1 زائد X3وهنا X1 زائد X2 زائد 2 X3 وهنا 2 X1 زائد
X2 ثلاثة X3 كله بيساوي المصفوفة الصفرية اللي عندنا
بالشكل هذا تمام؟ اذا انا طبقت حتى الان تعريف من ال
kernel هذا يا بنات بيقودنا الى كام معادلة؟يعني هو
homogeneous system صح ولا لأ؟ يبقى هذا يقودنا إلى
ما يأتي ان X1 زائد X3 يسوى 0 و X1 زائد X2 زائد 2
X3 يسوى 0 و 2X1 زائد X2 زائد 3X3 يسوى 0 هذا عبارة
عن ماذا؟Homogeneous System بحاول نحل الـ
Homogeneous System بأي طريقة من الطرق التي سبقت
دراستها طبعا الـ Homogeneous أسهل من الـ Non
-Homogeneous في الحل وبالتالي ممكن نجيب الحل
بسهولة بدون ملجأ لـ Gaussian ولا لـ Rho Epsilon
Form إلى آخرى فمثلا لو جيت قلت هنا X واحد تتساوي
مين يا بنات؟بدي يساوي سالب X3 مظبوط طيب إذا لو جيت
على المعدل التاني هذا إيش بيصير سالب X3 زائد X2
زائد 2 X3 بدي يساوي Zero وهنا سالب 2 X3زائد X2
زائد X3 زائد X2 زائد X2 زائد X3 زائد X2 زائد X2
زائد X2 زائد X2 زائد X2 زائد X2 زائد X2 زائد X2
زائد X2 زائد X
بتبقى x2 زائد x3 يساوي 0 و هذه بتعطيني x2 زائد x3
يساوي 0 يعني بتعطيني مين؟ نفس المعادلة إذا من
الاتنين هدول بقدر أقول ان x2 بده يساوي سالب x3يبقى
بناء عليه لو كانت x تلاتة تساوي a then x واحد كده
بده يساويو X2 بده يسوي كده؟ سالب A يبقى أصبح الـ
Kernel لمن؟ لـ Linear Transformation T هو عبارة عن
من؟ The set of all elements X1 اللي يبقى كده؟ سالب
A و X2 اللي هو سالب A و X3 اوهذا اللي بقدر اكتب
عليه الشكل التالي كل المصوف اللي ع شكل ناقص ايه
ناقص ايه و ايه such that او هذا اللي بده يساوي
كمان ايه لو أخدت عامل مشترك بده يكون مين ناقص واحد
ناقص واحد واحد such that ال a موجودة في ال set of
real numbersيعني ماحطيتش عليها أي قيود لأي عدد
حقيقي من مكان يكون تمام؟ إذا أصبح ال kernel من هو؟
هو كل ال vectors اللي المركبة الأولى تساوي المركبة
الثانية و المركبة التالتة باس تساويهم لكنها تخلفهم
في من؟ الإشارة يبقى ال vector هذا منات إيش علاقته
بال kernel؟بجيب بعض عناصر الكرنن ولا كلهم؟ يعني
إيش بينفع يكون؟bases لأنه مستقل حاله لينياري مش
معتمد على غيره يبقى هذا لينياري independent اثنين
كل أنصر في ال kernel بقدر اكتب دلته حطيت قيود على
ايه لأ يبقى حط الرقم اللي يجبك وهذا ثابت يبقى هذا
معناته ال bases للكيرنل هو مين ال vector اللي
عندنا هذا يبقى هذا معناه ايش معناه ذاVector لحاله
أو the set هذا معناته ال vector
على الشكل هذا سالب واحد سالب واحد هذا is a basis
for ال kernel التيهذا معناته ان ال dimension لل
kernel of T يساوي جداش يا بنات خلصنا المطلوب الأول
قال لي هتل ال kernel و في نفس الوقت هتل ال
dimension تمام؟ إذا هيجب ناله ال kernel من هو كل
ال vectors اللي المركبة الأولى تساوي المركبة
التانية تساوي المركبة التالتة بإشارة مخالفة يبقى
هذا كل ال kernel إذا بقدر أحدد منهما كم vector
هدول يا بنات؟2 3 4 10 100 عدد لا نهائي لأن الـ a
هو عدد لا نهائي من الـ vector تمام إذا جلبنا الـ
main جلبنا ال basis اللي هو بالتالي جلبنا ال
dimension لـ main لل kernel بالمثل بدنا نروح نجلب
mainالمطلب الثاني المطلب الثاني بال domain ال
bases لل range تمام؟ إذا بروح أجيب له ال bases لل
range يبقى هذا ال element موجود في ال range ولا
لا؟ صح ولا لا؟ يبقى هذا ال element موجود في ال
range يبقى باجي بقوله هنا هذا نمرا a نمرا b the b
أو the element
اللي هو على الشكل التالي X1 زائد X3 و X1 زائد X2
زائد 2 X3 و 2 X1 زائد X2 زائد 3 X3 موجود في R of D
طب بدى أشوف ال element هذا إيش بقدر أعمل منه
تعالى نشوف ال element هذا اللى موجود فى ال range
شو شكله يبقى باجي بقولهم ال element هذا x1 زائد x3
اللى بعده x1 زائد x2 زائد 2x3 2x1 زائد x2 زائد 3x3
ويسوىهذا ال element أخدته من ال R of T يعني من ال
range طبعا هيش قاللي ماجلليش هاترين قاللي هاتلي
basis لل range بقوله كويس طيب هذا يا بنات بقدر
أكتبه على شكل مجموع تلاتة vectorsأه بنقدر، كيف كان
التالي؟ بداخل هنا x1 وهنا x1 وهنا 2x1هو اجي اقول
زاد المصفوف التاني اكس اتنين ماعنديش يبقى بزيرو
وهي اكس اتنين وهي اكس اتنين زاد بدهاجي لمين للي
بعده اكس تلاتة اتنين اكس تلاتة تلاتة اكس تلاتة
مظبوط هيك؟طيب بقدر اقول هذا الكلام لو اخدت x واحد
بصير واحد واحد اتنين زائد zero واحد واحد و هنا x
اتنين زائد x اتنين و جينا اللي بعده زائد x تلاتة
في واحد اتنين تلاتة بالشكل اللي عندنا هذايبقى ال
element اللى موجود فى ال range حطيته على صيغة
linear combination من من ال vectors التلاتة اللى
عندنا يبقى أي element فى ال range كتبته على صيغة
linear combination من three vectors x1 فى ال
vector زاد x2 فى ال vector زاد x3 فى ال vector
التالىلو طلعوا هدول linearly independent بيصير هم
ال bases طب لو طلعوا linearly dependent بدك تدور
على ال bases تعالوا نطلع هك ندجج النظر لو جمعت ال
two vectors هدول قدش بيعطيني ايه التالت بيعطيني
التالتو 1 زي 0 ب1 و 1 ب1 ب2 ب2 ب1 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3
ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3
ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3 ب3
بوبالتالي الاتنين هذول بيوضول بيوضولي جميع أناصر
ال vector of space أو ال subspace R of T طب و
التلت مش جزء و التلت ما هو linear combination من
الاتنين صحيح ولا يعني ايه بقدر اخلي هذا في شجة و
ادى هذول على شجة تانية ساوة زيرة و اخليها سالب
سالب و انت ايه رأي منهم يبقى ده اسم linearly
dependent لكن اتنين هذول linearly independent يبقى
باجي بقول هناالان الواحد والواحد واثنين زائد زيرو
واحد واحد بده يساوي واحد اتنين تلاتة اذا لا يمكن
اقول ان التلاتة دول linearly independent لكن يا
بنات بقدر اقول هنا the vectorsv1 اللي هو بده يساوي
11e2 وv2 بده يساوي 011r
ماله linearly independent السبب because anyone of
v1 and v2 is notmultiple of the other ولا واحد
فيهم مضاعفات التانية يبقى هدول إيش بيشكلولي؟
بالنسبة ل R2 بيبقى هنا ساعة
V1 V2 V3
V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V12 V13 V12 V12
V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12
V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 V122 عدد
العناصر في الـ Basel إذا خلصنا من المطلوب الثاني
قال لي هاتلي Basel لل R of T of 2 of T جيبناله و
قاللي هاتلي ال dimension جيبناله ال dimension
قاللي بعدين هاتلي صورة العنصر T of 1 و 2 و 3 إذا
بيداجي للمطلوب التالد
إذا المطلوب التالت نمرى الـC بدنا T of واحد واتنين
وتلاتة من وين بده أجيب له هذا؟
من وين بده أجيب له؟ وين هي؟ مش هذه؟مش T of element
يساوي أي عنصر في ال range على الشكل اللي عندنا هذا
يبقى ده يقول X1 زي X3 كذا يبقى بناء ان عليه هذا
الكلام بده يساوي بده يساوي من X1 زي X3 يبقى 1 زي 3
العنصر التاني X1 زي X2 زي 2X3 يبقى 1 زي 2 زي 3
يبقى هذا العنصر التالت 2x1 يبقى 2 في 1 زائد 2 زائد
3 في 3 بالشكل اللي عندنا هذاتمام واحد زي التلاتة
كداش اربعة هنا اتنين في التلاتة بستة و تلاتة تسعة
تسعة و اتنين احداش و اتنين تلتاش اذا صورة العنصر
واحد و اتنين و تلاتة هي اربعة و تسعة و تلتاش اظن
واضح ادى كيف جيبناها جيبناها من خلال التعريف لما
قلنا T of X واحد و X اتنين لما ضربنا المصفوف T
الاتنين هادول طلعت على الشكل اللى قدامنا هذاطيب
بسأل كمان سؤال بقول لي هل العنصر هذا موجود في ال
range أم لا؟ بقول له الله أعلم تعالى نشوف يعني هل
العنصر اتنين و خمسة و سبعة موجود في ال range تبع
ال T باجي بسأل مين هو ال business تبع ال T؟إذا
قدرنا نكتب العنصر هذا على صورة linear combination
من الاتنين هذول بصير موجود في ال range صح ولا لأ
وإذا ماقدرناش يبقى مكون برا ال rangeطبعا إذا بداجي
لمن؟ لنمردي بداجي أخد العنصر اللي هو اتنين وخمسة
وسبعة يبقى اتنين وخمسة وسبعة بقدر اكتبه على شكل
مصوف اتنين خمسة سبعة مش هيك قولنا هذا if and قولي
if و بقدر اكتبه فوقي كمان طب إيش رأيك؟أنا بدي أكتب
عليه شكلًا يعني بدي الرقم الأول جد الرقم الثاني
الرقم الأول عندي مقداش اتنين والرقم الثاني بدي
يكون زيه اتنين والرقم التالت باتنين يبقى بدي أكتب
أربعة زاد
أيش بيظل عندي؟ بدي أكتبه الحين من اتنين أخدت اتنين
بيظل كده؟ Zero من الخمسة أخدت اتنين بيظل كده؟
تلاتة من السبعة أخدت أربعة بيظل كده؟ تلاتة يبقى
هذا الكلام .. بقدر أخدي اتنين عامل مشترك أيش بيظل
عندي؟ واحد واحد اتنين بقدر أخد تلاتة عامل مشترك
Zero واحد واحد linear combination من الاتنين؟يبقى
موجود في ال range ولا لا لإنه يبقى كتبت هذا ال
element بواسط عناصر البذل لو ما جدرتش يبقى بنقول
مش موجود طبعا هذه طريقة سهلة جدا بمجرد النظر لكن
الأصل ان اقول اتنين وخمسة وسبعة يساوي يكون اصلا في
الأول ويكون اصلا في التاني واروح احل ال non
homogeneous system تمام يبقى هذا معناه هذا يبقى
إتنين وخمسة وسبعة is a linear combination of the
elements of the basesof R of T Thus و هكذا اتنين
خمسة سبعة و عنصر موجود في R of T و هو المطلوب حد
فيكم بتحب تسأل اي سؤال هنا يا مانال؟ اي سؤال؟طب
لازلنا في نفس ال section و هناك بدل المثال اتنين
لسه كمان لإن الموضوع هذا قلتلكوا هذا ال section
بالذات very important و لازم ييجي عليه سؤال في
امتحان أعمال الفصل و كذلك النهاية وضع طبيعي لازم
يكون هذا يعطيكوا العفو